Fungsi Error Fungsi error merupakan salah satu fungsi spesial yang tidak memiliki kaitan sama sekali dengan error atau kesalahan pengukuran. Lebih lanjut, fungsi error ini terkait
=e −t dengan luasan kurva lonceng y 2dari 0 hingga x. (1.) x
−2 e−t erf ( x )= ∫
2
√ π 0
Deskripsi penggunaan fungsi error dijelaskan oleh gambar berikut.
Pencarian Nilai Fungsi Error pada Nilai x Kecil Nilai fungsi error dapat didekati dengan menggunakan deret ac Laurin pada nilai x kecil !nilai x antara "# dan #$. %encarian deret ac Laurin untuk fungsi error !erf$ di atas bisa kita mulai dengan pengertian deret ac Laurin itu sendiri. Deret Mac Laurin
!&.$ 2
n
f ( 0 ) f ( 0 ) f ( ( x )= f ( ( 0 ) + x . f ( 0 ) + x . + … .. + x2 . 2! n! '
2
Dari sini, kita bisa mulai menemukan deret ac Laurin untuk e x. 'ngat kembali bah(a xsama dengan e x. turunan dari e
2
0
!).$
ex = e
0
+ x e +
x e
2!
0
+ …=1 + x +
x
∞
2
2!
∑
…=
x
n= 0
n
n
*emudian kita menggantikan variabel x pada e 2, sehingga perumusan !).$ xdengan −t berubah menjadi deret berikut.
(−t )
2 2
= e + (−t ) e
2
− t
!+.$
e
0
2
0
+
0
e
2!
4
t
2
+ … = 1−t +
2!
+¿
Dari sini, kita bisa masukkan deret tersebut ke perumusan !#.$ sehingga menjadi perumusan !.$ di ba(ah.
!.$
∫ ∑
( =2π√ e r f x)
0x
( −1) 2nn ! nt d t
∞ n=0
elihat perumusan !.$ di atas, nampaknya sulit sekali. -api begitu kita tahu bah(a disana ada dt, maka kita tahu variabel yang terlibat proses integrasi hanyalah variabel dan variabel lainnya, keluar dari lambang integrasi. %ada perumusan selanjutnya, kita bisa melihat bagaimana operator penjumlahan deret ! Σ$ menjadi berada di luar, melingkupi operator integral.
!.$
∑
( =2π√ e r f x) /ekarang kita fokus dulu ke bentuk
∫
( −1) !0xt 2nd nn t
∞ n=0
tpada perumusan !.$ di atas. Dengan 2nd ∫0xt
teknik integrasi yang dulu pernah kita dapatkan semasa /, kita bisa dengan mudah mengetahui bah(a 1
!2.$
∫ t dt=t 0x 2n
2n+12 −0. ∣∣∣x0=x2n+12 n+1 n+1
t
/ehingga hasil akhirnya adalah1
(8.)
∑
e r f x) ( =2π√
∞ n=0
n+1) 2n+1n ( −1) ! . n⋅x ⋅(2
r f x)pada %erumusan !3.$ tadi sangat sering dipakai dalam algoritma pencarian nilai e ( nilai x yang cukup kecil. %ada nilai x yang besar, maka algoritma yang digunakan
r f x) berbeda. 4al tersebut karena, (alaupun perumusan !3.$ tetap memberikan nilai e ( yang bagus untuk x besar, tapi (aktu perhitungan yang dihabiskan komputer jadi lebih lama karena membutuhkan operasi perulangan yang lebih banyak. 5ambar di ba(ah
r f x)sebenarnya !kurva menerangkan kesesuaian perumusan !3.$ dengan fungsi e ( merah$. %erumusan !3.$ yang digunakan untuk plot kurva biru putus"putus di ba(ah dihitung hingga suku n ke"6.
Pencarian Nilai Fungsi Error pada x Besar %ada x besar, !biasanya nilai x besar adalah nilai x7# dan nilai x8"#$ maka pencarian nilai fungsi error dilaksanakan dengan bantuan fungsi error komplementer, erfc!x$. Fungsi error komplementer ini didefinisikan sebagai berikut.
(9.)
∫
2d −t e r f c x) t ( =2π√ x∞e
Fungsi erfc!x$ ini punya hubungan spesial dengan fungsi erf!x$, yaitu erfc!x$ 9 erf!x$ : #. 4al ini dibuktikan dengan perumusan berikut. !#0.$
∫ e dt+2π√∫ e dt=2π√∫ e dt
( +e ( =2π√ e r f c x) r f x)
2 x∞ −t
2 0x −t
2 0∞ −t
Mengganti t2 dengan s, maka perumusan 10 menjadi: !##.$
∫ e 2s√ds=2π√⋅Γ( )2=2π√⋅π√2
( +e ( =2π√ e r f c x) r f x)
0∞ −s
12
Γ( 12)merupakan fungsi gamma, penjelasannya dapat dilihat di we ge!fisika "#M ini. !#&.$
( +e ( =1 e r f c x) r f x) Dengan sifat istime(a seperti di atas, kita bisa menentukan deret yang digunakan untuk menemukan pendekatan nilai erf!x$ pada x besar. Deret ini berasal dari erf!x$ : #" erfc!x$. -eknik pencarian deret tersebut akan saya jelaskan di ba(ah. !#).$
( =1−e ( e r f x) r f c x) !#+.$
∫ e dt
( =1−2π√ e r f x)
x∞ −t 2
Mengganti t2 dengan s, maka perumusan 1$ menjadi: !#.$
∫
( =1−2π√ e r f x)
∫
2√ds =1−1π√
−s s x2∞e
√ds
−s x2∞e s
x)yang dapat didefinisikan %emudian kita mendefinisikan seuah fungsi aru ernama Fn( seagaimana pada perumusan (1&.). 'kspansi fungsi Fn( x)(perumusan (1.))dilaksanakan
Ud V=UV−∫ Vd U. dengan teknik pengintegralan ∫ !#.$
∫
= Fn( x)
∫
( √) = d s
−ss x2∞e ns
−s −n−12d x2∞e ⋅s s
!#2.$
( )
( )∫
=−s − n+12 e −s 2 ∣∣∣∞x2− n+1 Fn( x) !#3.$
−s −n−32d x2∞e ⋅s s
( )
−x2− n =x−(2n+1)e +12 Fn+1( Fn( x) x)
x)ke fungsi erf().... Menghuungkan fungsi Fn( !#6.$
∫
( =1−1π√ e r f x)
√ds =1−F0( x) π√
−s x2∞e s
!&0.$
[
(
(
))]
−x2−1 −x2−3 −x2−5 e r f x) x) ( =1−1π√ x−1e 2 x−3e 2 x−5e 2F3(
!&#.$
[
]
( =1−1π√ x−1e +3x−5e −3⋅5x−7e +. . . −x2−x −3e −x22 −x24 −x28 e r f x)
*ari perumusan n!. (21.), kita isa melihat ahwa deret yang digunakan untuk menemukan pendekatan nilai erf() pada esar (leih dari 1) adalah seagai erikut. (22.)
∑
( =1−e √ e r f x) −x2π
( −1) 2n−1) ! ! 2nx2n+1. n(
n=0 ∞
+edangkan pada nilai kurang dari 1, deret yang digunakan adalah seperti erikut. (2-.)
∑
e r f r f x) −x2π ( −x) =−e ( =e √
( −1) 2n−1) ! ! 2nx2n+1−1. n(
∞ n=0
x−4 ungsi x ! !dikenal seagai fakt!rial ganda, didefinisikan seagai x! ! =x⋅(x−2) ( )
( ) . . . x−8 n, n/1 jika ganjil dan n/2 jika genap.
l!t fungsi 'rf() (ungu), perumusan (8.), hingga n/9, da lam warna iru muda, dan perumusan (22.), hingga n/&, dalam warna hijau muda.
