Fundamentos de Termodinamica

Apunte de Termodinámica

Fundamentos de Termodinámica

Dr. - Ing. Gonzalo E. Salinas Salas Ingeniero Civil Mecánico

2011

Dr.-Ing. Gonzalo Salinas-Salas


Índice 0. 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2. 2.1 2.2 2.3 3. 3.1 3.2 3.3 4. 4.1 4.2 4.3 5. 5.1 5.2 5.3 6.

Índice Propiedades de la materia Sistemas de unidades Propiedades intensivas, su comportamiento y equipos de medida convencionales (temperatura, presión, densidad) Propiedades extensivas y su comportamiento (energía interna, entalpía y entropía) Conceptos de calor y trabajo Fases termodinámicas (liquida y gaseosa) Diagramas termodinámicos Ecuación de estado para aire (gases ideales) Conservación de la masa Principio de conservación de la masa Representación en formas de concentración (titulo de vapor, humedad, relación airecombustible) Ecuación de continuidad Ecuación de la energía Ecuación de la energía aplicada a gases y vapores Ecuación de la energía aplicada a líquidos Procesos termodinámicos Pérdidas térmicas Segunda ley de la termodinámica Concepto y aplicaciones de rendimiento Aplicaciones de pérdidas térmicas y mecánicas (pérdidas por rendimiento en equipos, pérdida de carga) Procesos térmicos Combustión Ciclos de potencia (ciclo de Carnot, Rankine, Otto y compresores alternativos) Análisis psicrométrico (secadores y torres de enfriamiento) Bibliografía


1 2 2 5 11 12 12 13 15 16 17 17 18 19 20 20 21 24 24 26 28 29 30 35 43 51

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Apunte de Termodinámica 1. Propiedades de la materia

El análisis de termofluidos, se aplica a todos los procesos de almacenamiento, transformación y transferencia de energía, que ocurren en un determinado volumen de control termodinámico, que es una cantidad fija de materia homogénea contenida dentro de ciertas fronteras reales y/o imaginarias. Toda la materia que no esta contenida dentro de dichas fronteras se le denominara como alrededores. El comportamiento de la materia frente a estos procesos, se determina a partir de un conjunto de propiedades o características distintivas, las que se aplican para describir un determinado estado de ésta. De modo que se entenderá por propiedad a cualquier cantidad que sirve para describir a la materia contenida dentro de un volumen de control y permitirá caracterizar, a la vez que modelar, a los procesos energéticos que sufre. Por lo anterior, es necesario establecer un sistema de unidades que permita cuantificar las propiedades, seleccionar las relevantes para los procesos energéticos, agrupándolas en dos categorías de acuerdo a su dependencia de la masa y analizar su representación. 1.1 Sistema de unidades Los sistemas de unidades tienen por objetivo alcanzar la equivalencia de las medidas realizadas por instrumentos similares, utilizados y calibrados en lugares distintos, asegurando así, sin la necesidad de ensayos y mediciones duplicadas, el cumplimiento de las características de los bienes que circulan en el comercio internacional y su intercambiabilidad. Para esto emplea unidades de medida, las que son cantidades estandarizadas de una determinada magnitud física. Por esta razón, debe existir un común acuerdo en el establecer y aceptar un conjunto de patrones de medidas, los que conforman un sistema de unidades, donde ninguna magnitud tiene más de una unidad asociada. En general, una unidad de medida toma su valor a partir de un patrón o de una composición de otras unidades definidas previamente. Las primeras se conocen como unidades básicas o de base (unidades fundamentales), mientras que las otras se denominan unidades derivadas. Un patrón de medidas es el hecho aislado y conocido que sirve como fundamento para crear una unidad de medida y nunca varía su valor. Actualmente, el sistema de unidades de empleo general a nivel ni vel mundial es el Sistema Internacional de Unidades (abreviado SI del francés: Le Système International d'Unités), que es la forma moderna del sistema métrico decimal. Una de las principales características, que constituye la gran ventaja del Sistema Internacional (SI), es que sus unidades están basadas en fenómenos físicos fundamentales. La única excepción es la unidad de la magnitud masa, el kilogramo, que está definida como «la masa del prototipo internacional del kilogramo» o aquel cilindro de platino e iridio almacenado en una caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas. Cabe indicar que entre 2006 y 2009 el Sistema Internacional de Unidades se ha unificando con la norma ISO 31 para formar el Sistema Internacional de Magnitudes (ISO/IEC 80000, con la sigla ISQ). El Sistema Internacional de Unidades consta de siete unidades fundamentales y dos complementarias. Donde las unidades utilizadas para expresar las magnitudes físicas definidas como fundamentales y las complementarias permiten a partir de leyes y definiciones físicas definir a las demás, que se denomina como derivadas básicas. La tabla 1.1 muestra las unidades fundamentales, mientras que la tabla 1.2 muestra las unidades complementarias.


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Apunte de Termodinámica Tabla 1.1: Unidades fundamentales del Sistema Internacional de Unidades, SI Magnitud física básica a medir

Unidad fundamental

Símbolo

Longitud Tiempo Masa Intensidad de corriente eléctrica Temperatura Cantidad de sustancia Intensidad luminosa

metro segundo kilogramo Amper Kelvin mol candela

m s kg A K mol cd

Tabla 1.2: Unidades complementarias del Sistema Internacional de Unidades, SI Magnitud física básica a medir

Unidad fundamental

Símbolo

Ángulo plano Ángulo sólido

radian estereorradián

rad strad

Los patrones a partir de los cuales se establecieron las unidades, se presentan en la tabla 1.3. Tabla 1.3: Patrones de las unidades fundamentales del Sistema Internacional de Unidades, SI Patrón de medida

Unidad

Definición

Metro

(m)

Kilogramo

(kg)

Segundo

(s)

Amper o amperio

(A)

Kelvin

(K)

Mol

(mol)

un metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de (1/299.792.458) segundo un kilogramo es una masa igual a la de un cilindro de 39 milímetros de diámetro y de altura, que se encuentra en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, en Sèvres; Francia. el segundo es la duración de 9.192.631.770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133 un Amperio es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2×10 -7 Newton por metro de longitud. un Kelvin es la temperatura termodinámica correspondiente a la fracción (1/273,16) de la temperatura termodinámica del punto triple del agua un mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Cuando se emplea el mol, es necesario especificar las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas.


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Apunte de Termodinámica Candela

(cd)

una candela es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540×1012 Hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 Watt por estereorradián.

Los símbolos de las unidades pueden verse afectados de prefijos que actúan como múltiplos y submúltiplos decimales. Estos prefijos se colocan delante del símbolo de la unidad correspondiente sin espacio intermedio. El conjunto del símbolo más el prefijo equivale a una nueva unidad que puede combinarse con otras unidades y elevarse a cualquier exponente (positivo o negativo). Los prefijos decimales se muestran en la tabla 1.4. Tabla 1.4: Prefijos de las unidades del Sistema Internacional de Unidades, SI Factor

Prefijo

Símbolo

Factor

Prefijo

Símbolo

1024

yotta

Y

10-1

deci

d

1021

zetta

Z

10-2

centi

c

1018

exa

E

10-3

milli, mili

m

1015

peta

P

10-6

micro

m

1012

tera

T

10 -9

nano

n

109

giga

G

10-12

pico

p

106

mega

M

10-15

femto

f

103

kilo

k

10-18

atto

a

102

hecto

h

10-21

zepto

z

101

deka, deca

da

10-24

yocto

y

Las unidades derivadas se obtienen a partir de leyes y definiciones físicas y por lo tanto pueden expresarse tanto en términos de las unidades fundamentales o denominándolas por un nombre propio. A modo de ejemplo, se presentan los casos casos de la fuerza, la presión y la potencia. a) Unidad de fuerza, a la que se le denomina denomina Newton (N). Esta unidad surge de la definición de fuerza, que es masa por aceleración, así se tiene: m F = masa ⋅ aceleración = kg ⋅ 2 = N s b) Unidad de presión, a la que se le denomina Pascal (Pa). Esta unidad unidad surge de la definición de presión es fuerza divida por área, así se tiene: kg Fuerza N P= = 2 = = Pa Area m m ⋅ s2 c) Unidad de potencia, a la que se le denomina Watt (W). Esta unidad surge de la definición de potencia que es fuerza por velocidad, así se tiene: m kg ⋅ m 2 N = Fuerza ⋅ velocidad = N ⋅ = =W s s3


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Apunte de Termodinámica 1.2 Propiedades intensivas, su comportamiento y equipos de medida convencionales (temperatura, presión, densidad) Las propiedades intensivas se definen como aquellas que describen un determinado estado de la materia independientemente de la cantidad de masa de ésta. Luego, en caso que dos sustancias se mezclaran, sus propiedades finales no son la suma de éstas. Para fines del análisis de termofluidos, estas propiedades son: - La temperatura (T) - La presión (P) - La densidad (ρ) o el volumen específico (v) Estas propiedades permiten caracterizar en un momento en particular, a un determinado estado macroscópico de la materia, la que a su vez, se le asume como una sustancia absolutamente pura u homogénea en su composición. El comportamiento de estas propiedades es de independencia entre ellas. No obstante lo anterior, para la temperatura y la presión se presenta un caso particular, ya que ellas se vuelven dependientes entre sí, en los estados que conforman las mezclas de gas-líquido, gas-sólido y sólido-líquido. Cuando estas propiedades no cambian establecen para la materia y el volumen de control que lo contiene un estado de equilibrio. Esto implica que para poder realizar una medición es necesario que el aparato de medida alcance el equilibrio con el volumen de control que mide. Esta situación es planteada por la Ley Cero de la termodinámica, que establece: que si dos sustancias están en equilibrio entre sí y una de ellas lo esta con una tercera sustancia, las tres están en equilibrio entre sí. La aplicación de esta ley permite el empleo de equipos de medición en condiciones de equilibrio y por ende de representatividad de la medición. a. Propiedad temperatura. La temperatura corresponde a la manifestación del nivel energético de la materia o de la vibración molecular de ésta. En ningún caso es energía térmica. Físicamente, existen dos escalas de temperatura, una absoluta (Kelvin) y una relativa (Celsius), las que se plantean a partir de dos fenómenos físicos, que son la fusión del agua (punto de hielo) y la ebullición del agua (punto de vapor) y su relación se presenta en la figura 1.1.

Temperatura positiva Temperatura absoluta Temperatura de fusión del agua ( 0 ºC = 273,16 K ) Temperatura negativa Temperatura absoluta Temperatura nula absoluta ( 0 K = - 273,16 ºC ) Fig.1.1: Representación gráfica de las escalas de temperatura


5

Apunte de Termodinámica La forma matemática que permite transformar una escala a la otra, es la ecuación (1.1): T(K ) = 273,16 + T(º C )

(1.1)

Los equipos de medición de temperatura son denominados comúnmente como termómetros, los cuales indirectamente miden la temperatura de la materia dentro de un volumen de control, al entrar en equilibrio térmico con éste, siguiendo lo indicado por la Ley Cero de la termodinámica. La medición es indirecta, ya que lo que se esta midiendo, según el tipo de equipo puede ser la dilatación volumétrica, la presión engendrada por el cambio de volumen de un gas, el torque generado por la dilatación volumétrica, el cambio de resistencia eléctrica, el cambio de la emisión de radiación, la generación de una diferencia de tensión u otro fenómeno. Las figuras 1.2 y 1.3 muestran algunos tipos de equipos empleados para la medición de la temperatura.

Termómetro de bulbo

Termómetro de gas

Termómetro bimetálico

Fig.1.2: Equipos de medición de temperatura por cambio de volumen

Termómetro digital

Termómetro digital

Termómetro infrarrojo

Termocupla o Termopar

Fig.1.3: Equipos de medición de d e temperatura por fenómenos eléctricos o de radiación


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Apunte de Termodinámica Todo equipo de medición tiene un tiempo de respuesta, el que corresponde al tiempo necesario para que el elemento sensible del equipo, alcance el equilibrio térmico con el volumen de control medido. Este tiempo depende del principio de funcionamiento del equipo y de magnitud de la diferencia de temperatura entre la del volumen de control y la del equipo de medida. En general es esperable una curva de respuesta como al mostrada en la figura 1.4, donde la temperatura del volumen de control a medirse se representa por la línea azul y la que registra en el tiempo el equipo de medida por la línea roja, la que se acerca asintoticamente a la temperatura del sistema termodinámico. El tiempo que transcurre entre el inicio de la medición y el instante en que la medida registrada por el equipo se acepta como representativa, se le denomina constante de tiempo y obviamente cualquier medida tomada durante éste no puede considerarse como válida. 1,2 1,0

0,8

a r u t a r e 0,6 p m e T

0,4 0,2

0,0 0

10

20

30

40

50

60

Tiempo Temperatur Temperatura a del s istema medido Temperatura del equipo de medida

Fig. 1.4: Curva de respuesta de un equipo de medida b. Propiedad presión. La presión corresponde a la fuerza ejercida por un medio perpendicularmente sobre un elemento de superficie de un volumen de control que este sumergido en él. Su definición matemática es planteada a través de la ecuación 1.2 y corresponde a un escalar. r

F P= r Δ A


(1.2)

7

Apunte de Termodinámica La presión total a la que se encuentra sujeto un fluido en escurrimiento se conforma de la suma de dos presiones, la primera llamada presión estática que actúa contra los alrededores y la segunda denominada presión dinámica, es la que genera el movimiento del fluido. Su forma matemática y su relación se representan en la ecuación 1.3. Ptotal = Pestática + Pdinámica = Pestática +

ρ ⋅ v2

(1.3)

2

Donde: ρ

v

: Densidad del fluido : Velocidad media del fluido

Al igual que la temperatura, la presión se mide a través de escalas absolu ta y relativa, correspondiendo el punto inicial de la escala absoluta el vacío absoluto. Mientras que en el caso de la escala relativa, denominada comúnmente como manométrica, donde se asigna como el valor inicial o nulo de la escala a la presión atmosférica. Luego, en términos de presión manométrica, existen las presiones negativas, llamadas de presiones de vacío o vacuométricas. Para todos los efectos se asume un valor el de presión atmosférica de: 101.325 Pa absolutos (101.325 Paa), equivalentes a: 0 Pa manométricos (0 Pag). La figura 1.5 ilustra la relación existente entre las escalas de medida absoluta y manométrica de la presión.

Presión manométrica Presión absoluta Presión atmosférica ( 0 Pag = 101325 Paa ) Presión vacuométrica Presión absoluta Vacío absoluto ( 0 Paa = - 101325 Pag ) Fig.1.5: Representación gráfica de las escalas de presión La forma matemática que permite transformar una escala a la otra, es la ecuación (1.4): Pabsoluta = Patmosférica + Pmanométric a

(1.4)

En el caso de presiones de vacío o vacuométricas la expresión anterior adopta la forma de la ecuación 1.5. Pvacuométrica = Pabsoluta − Patmosférica


(1.5)

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Apunte de Termodinámica Los equipos de medición de presión son denominados comúnmente manómetros, los cuales miden la presión estática de un volumen de control, a través del denominado de Pascal, que establece que la presión estática actúa perpendicularmente a la superficie y con igual magnitud en todas las direcciones en la misma línea de profundidad. Lo que se plantea matemáticamente a través de la ecuación 1.6. r

Pestática

r

F F = r1 = r 2 A 1 A 2

(1.6)

Las figuras 1.6 y 1.7 muestran algunos tipos de equipos empleados para la medición de la presión absoluta y manométrica.

Barómetro análogo

Manómetro de Bourdon

Principio de funcionamiento del Manómetro de Bourdon

Fig.1.6: Equipos de medición de presión por cambio de volumen

Manómetro digital

Manómetro diferencial digital

Vacuométro digital

Fig.1.7: Equipos de medición de presión digitales Por lo común del uso de la unidad de presión del sistema de unidades británico, se plantea en la ecuación 1.7, la relación de equivalencia entre la unidad SI de presión y la unidad británica. 1 bar = 100.000 Pa ≈ 14,7psi = 14,7 librasfuerza/pulgada2


(1.7)

9

Apunte de Termodinámica Cabe indicar que otra forma de representar la p resión es través de las denominadas columnas de líquido, empleando para ello los equipos llamados piezómetros de vidrio, los cuales miden la presión mediante el desplazamiento que desarrolla una columna de líquido manométrico, desde su posición inicial, a la presión atmosférica hasta su posición final que indica el valor de la presión existente. Mediante el empleo de la ecuación 1.8, se puede transformar unidades de presión en altura de columna de líquido manométrico. Pmedida = g ⋅ ρ ⋅ Δh = γ ⋅ Δh

(1.8)

Donde: g : Aceleración de gravedad : Altura de columna de líquido manométrico Δh γ : Peso especifico del fluido c. Propiedad densidad o volumen específico. El hecho que la materia se asuma como una sustancia absolutamente pura u homogénea en su composición, por lo que el volumen que ocupa una determinada masa de materia o su inverso, es directamente proporcional. Por lo anterior, pasa a ser una propiedad de la materia. La definición de densidad, se plantea a través de la ecuación (1.9). ρ=

Δm ΔV

(1.9)

Donde: : Cantidad de masa Δm ΔV : Volumen ocupado por la cantidad de masa Por su parte, se define al volumen específico como el inverso de la densidad y su aplicación es para vapores y gases. La ecuación 1.10, muestra la forma matemática del volumen específico. v=

∂V 1 = ∂m ρ

(1.10)

El equipo más común empleado para la medición de la densidad, es el densímetro que es un tubo de vidrio dotado de una escala graduada y un peso en su extremo. La forma de determinar la densidad es de acuerdo a lo que se sumerge en el fluido a medir. La tabla 1.5 muestra la densidad y volumen específico de algunas sustancias relevantes: Tabla 1.5: Densidad y volumen específico de algunas sustancias relevantes. Sustancia

Densidad kg/m3

Volumen específico m3/kg

Agua Petróleo Mercurio Vapor de agua Aire

1.000 910 13.550 0,5903 1,2050

0,0010 0,0011 0,0000738 1,6940 0,8299


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Apunte de Termodinámica 1.3 Propiedades extensivas, su comportamiento y equipos de medida convencionales (energía interna, entalpía y entropía) Las propiedades extensivas se definen como aquellas que describen un determinado estado energético de la materia, por lo que dependen directamente de la cantidad de masa de ésta. Luego, en caso que dos sustancias se mezclaran, sus propiedades finales serian proporcionales al aporte de masa de cada una de éstas. Al asumir que la materia es una sustancia absolutamente pura u homogénea en su composición, es posible definir las denominadas propiedades específicas, esto es propiedades por unidad de masa, lo que para fines de las propiedades extensivas, permite transformaras y tabularlas en la forma de propiedades extensivas específicas, las que para fines del análisis de termofluidos, son: - La energía interna específica específica (u) - La entalpía (h) - La entropía (s) Estas propiedades permiten al igual que las propiedades intensivas caracterizar en un momento en particular, a un determinado estado macroscópico de la materia. Empero, en este caso estas propiedades describen el nivel energético de la materia. En términos conceptuales estas propiedades son: a. Energía interna específica. La energía interna corresponde a la energía térmica contenida en la materia en reposo relativo, o sea que cambia de posición y no tiene velocidad. Por lo anterior, es la suma de todos los trabajos mecánicos elementales desarrollados por los átomos que conforman las estructuras moleculares de la materia. El termino energía interna específica se aplica a la cantidad de energía interna existente en una unidad de masa de materia, por lo que sus unidades de medida en el sistema SI son kJ/kg. b. Entalpía específica. La entalpía corresponde a la energía térmica más la energía mecánica necesaria para ingresar o egresar de un volumen de control. A esta energía mecánica se le denomina trabajo de flujo. La entalpía se aplica a todos los ciclos, equipos y máquinas térmicas, ya que en éstos ingresa o egresa un caudal masico. La entalpía específica se aplica a la entalpía existente por unidad de masa de materia, por lo que sus unidades de medida en el sistema SI son kJ/kg. De acuerdo a la definición de entalpía, matemáticamente se evalúa la entalpía específica utilizando la ecuación 1.11. h = u+P⋅v

(1.11)

c. Entropía específica. La entropía corresponde al grado de desordenamiento molecular de la materia o sea es un nivel de la vibración de las a través del desorden de las estructuras moleculares, las que inicialmente están absolutamente ordenadas y no vibran. Por su lado, la definición matemática de la entropía específica corresponde a la ecuación 1.12. s=

∫∂TQ

(1.12)

A partir de la definición de entropía. Se puede definir a entropía específica, como la l a entropía por unidad de masa de materia, por lo que sus unidades de medida en el sistema SI son kJ/kg·K.


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Apunte de Termodinámica 1.4 Conceptos de calor y trabajo La definición de trabajo mecánico planteado por Newton, corresponde al producto punto del vector fuerza por el vector de cambio de posición de una masa, siendo ambas constantes. En términos matemáticos, cuando la fuerza o el cambio de posición varían, corresponde hacer la suma de todos los trabajos ejecutados en la trayectoria seguida. Esto matemáticamente se define a través de la ecuación 1.13, donde se emplea de manera de convención el signo negativo, para indicar que toda forma de energía, sea este trabajo o calor que abandona el volumen de control, es negativa. Por su lado, si la energía entra al volumen de control será esta energía positiva. 2

r

∫

r

2

∑

1W 2 = - F ⋅ d r = -

r

(1.13)

1

1

Donde: r 1 2

r

F ⋅ Δ r

: Cantidad de masa : Posición inicial : Posición final

Termodinámicamente, el trabajo mecánico se define a partir de su aplicación a un gas o un vapor, por lo que conceptualmente corresponde a la fracción de la energía interna de la materia con una dirección preferente de vibración. En otras palabras es energía, pero puede intercambiarse forzando a una parte de la vibración de la materia a seguir a una dirección determinada. Por lo anterior, se puede agregar o retirar trabajo de un volumen de control sin que necesariamente se requiera agregar o retirar materia. En términos matemáticos la forma de evaluar el trabajo mecánico es empleando una variante de la definición trabajo, la que se presenta en la ecuación 1.14. 2

1W 2

∫

= - P ⋅ dV

(1.14)

1

La definición de calor planteado por Carnot, establece que el calor es la cantidad de energía térmica transferida, cuando ocurre un proceso de transferencia de energía entre un volumen de control y sus alrededores, debida a una diferencia de temperaturas entre éstos. A estos procesos de transferencia de energía se les denomina de transferencia de calor y estos procesos no llevan, necesariamente, asociados ingresos o egresos de materia al volumen de control. Como se indicó precedentemente, el trabajo y el calor son formas de energía térmica, por lo que para un volumen de control termodinámico emplean la misma convención de signos, esto es positivo si la energía ingresa (calor o trabajo) y negativa si lo abandona. 1.5 Fases termodinámicas Termodinámicamente se reconocen tres fases termodinámicas, las que corresponden al conjunto de estados que presentan un grado similar de cohesión molecular de la materia. A estas se les denominan: sólida, líquida y gaseosa. A su vez, existen las llamadas interfases, que son conjuntos de estados termodinámicos donde las propiedades temperatura y presión son dependientes entre sí. Esto significa que para una determinada temperatura de cambio de fase existe una única presión de cambio de fase. En la interfase existe


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Apunte de Termodinámica una mezcla de fases, o sea en la interfase líquido-gas, la masa total esta compuesta de una fracción de masa de líquido, la que se encuentra en condiciones saturadas, esto es a punto de gasificarse o vaporizarse. La parte restante es gas, al que se le denomina vapor saturado seco. Donde a la mezcla se le denomina vapor saturado. La particularidad que sea una mezcla de la misma sustancia hace necesario emplear la concentración de gas o vapor saturado seco presente en la masa total para determinar el estado termodinámico de la materia. A esta concentración se le denomina titulo de vapor o calidad de vapor y oscila entre 0 y 1. Matemáticamente adopta la forma de la ecuación 1.15. x=

m gas m gas + m líquido

(1.15)

La definición anterior se puede extender a las otras propiedades asociadas a la masa, las que adoptan la forma que se presenta en la ecuación 1.16. x=

vg ug hg sg = = = v g + v f u g + u f h g + h f s g + s f

Donde: g f

(1.16)

: Condición de vapor saturado seco (subíndice) : Condición de líquido saturado (subíndice)

1.6 Diagramas termodinámicos El comportamiento termodinámico de la materia es posible representarlo gráficamente a través de los denominados diagramas termodinámicos, que son gráficos cuyos ejes son distintas propiedades termodinámicas de la materia, lo que permite describir el comportamiento de las demás en función de éstas. Dentro de los diagramas el que físicamente representa el comportamiento de las propiedades intensivas es el diagrama presión v/s volumen específico (P-v). Mientras que el más empleado para el caso del agua es el diagrama temperatura v/s entropía (T-s). En todos estos diagramas se presenta la llamada campana termodinámica, compuesta por todo el conjunto de estados termodinámicos es el conjunto de propiedades termodinámicas termodinámicas en condiciones saturadas. Esto es las propiedades con titulo 0 o 1. En la parte superior de la campana termodinámica se encuentra el llamado punto crítico. Este estado es de singular importancia, ya que permite clasificar el comportamiento de la materia dentro y fuera de la campana termodinámica. Así el conjunto de estados termodinámicos saturados ubicados por debajo de él y a su izquierda, corresponden a los estados de líquido saturado o con titulo x = 0, llamada línea de líquido saturado. El otro estados termodinámicos saturados ubicados por debajo de él y a su derecha, corresponden a los estados de vapor saturado seco o con titulo x = 1, llamada línea de vapor saturado seco. El área encerrada por estas líneas, es llamada campana termodinámica y contiene a aquellos estados de vapor saturado, o sea con títulos de vapor entre 0 y 1, (0 < x < 1). Esta situación es ilustrada en la figuras 1.8 y 1.9. Por otro lado, este punto permite hacer una diferencia importante en la fase gaseosa, ya que aquellos estados termodinámicos que se encuentren por debajo d e las condiciones críticas, se les denominara como vapores. En cambio aquellos estados termodinámicos que se encuentren por encina de las condiciones críticas, se les llamara simplemente gases.


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Apunte de Termodinámica Es conveniente reiterar que en un cambio de fase la temperatura y la presión permanecen constantes, por lo que un proceso de cambio de fase conlleva que para una presión de cambio de fase exista una única temperatura de cambio de fase.

Fig. 1.8: Diagrama presión v/s volumen específico para el agua (P-v)

Fig. 1.9: Diagrama temperatura v/s entropía específica para el agua (T-s)


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Apunte de Termodinámica 1.7 Ecuación de estado para aire (gases ideales) La teoría de gases ideales fue desarrollada para modelar el comportamiento de la materia en la fase gaseosa, que se encuentra por encima de las condiciones críticas. Ya que para aquellos estados es aplicable la denominada ecuación de estado, la que relaciona las propiedades intensivas de la materia entre sí y la denominada constante particular de gas (R). La forma matemática de la ecuación de estado se plantea a través de la ecuación 1.17. R=

P⋅v T

(1.17)

La constante particular del gas depende de la masa molecular de éste y de una constante denominada constante universal de los gases. La constante particular del gas se evalúa empleando la ecuación 1.18. R=

ℜ

(1.18)

M

Donde: ℜ

: Constante universal de los gases : Masa molecular del gas

M

Cabe indicar que el valor de la constante universal de los gases es: ℜ = 8.314

J kmol ⋅ K

Las relaciones energéticas para los gases se definen a partir de los denominados calores específicos, los cuales se definen a través de las ecuaciones 1.19, 1.20 y 1.21. Calor especifico a volumen constante: Cv =

∂u ∂T

(1.19) V =Cte

Calor especifico a presión constante: Cp =

∂h ∂T

(1.20) P =Cte

Además, se define la relación de calores específicos específicos (k), como: k=

Cp Cv

(1.21)

El comportamiento de estas relaciones energéticas depende de la estructura molecular del gas, por lo que se agrupan estos calores específicos y sus relaciones en tres casos de estructura molecular, la monoatómica cuando la molécula esta conformada por un solo átomo, la biatómica cuando la molé-


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Apunte de Termodinámica cula esta conformada por dos átomos y la poliatómica cuando la molécula esta conformada por un más de dos átomos. La tabla 1.6, muestra el comportamiento de los calores específicos de gases en función de su estructura molecular. Tabla 1.6: Comportamiento de los calores específicos de gases en función de su estructura molecular Estructura molecular del gas

Cv

Cp

k

Monoatómico

3 ⋅R 2 5 ⋅R 2 3·R

5 ⋅R 2 7 ⋅R 2 4·R

1,667

Biatómico Poliatómico

1,400 1,333

Aplicando lo anterior, a la evaluación de los intercambios energéticos en procesos que involucran a gases, se puede emplear la ecuación 1.22, para evaluar el cambio de energía interna específica y la ecuación 1.23 para evaluar el cambio de entalpía específica. u 2 − u1 = Cv ⋅ (T2 − T1 )

(1.22)

h 2 − h1 = Cp ⋅ (T2 − T1 )

(1.23)

Para el caso de sustancias en las fases líquida y sólida, la tabla anterior no es aplicable. Empero, las relaciones de carácter energético se pueden extender, bajo la consideración de que la sustancia se encuentra en una fase, al concepto de calor específico medio, según lo indica la tabla 1.7. Tabla 1.7: Comportamiento de los calores específicos en función de la fase termodinámica Fase de la materia

Calor específico medio

k

Gaseosa

Cv ≠ Cp ≠ C

k≠1

Líquido

Cv ≈ Cp = C

k≈1

Sólido

Cv = Cp = C

k=1

Para el caso de los calores específicos medios para las diversas sustancias en fase sólida y líquida se evalúan a partir de trabajos experimentales y obviamente depende de su composición atómica y su fase. Luego, para las fases líquida y sólida se cumple la ecuación 1.24. u 2 - u1 = h 2 - h1 = C ⋅ (T2 - T1 )

(1.24)

2. Conservación de la masa

El principio de conservación de la masa fue planteado por Lavasoir y establece que la masa permanece constante en todo tipo de proceso, incluidas las reacciones químicas. Luego, la masa no se crea ni se destruye.


16

Apunte de Termodinámica 2.1 Principio de conservación de la masa El principio de conservación de la masa establece que la suma de todas las sustancias que ingresan a un volumen de control (máquina o equipo), menos la suma de todas las sustancias que salen de éste, deben ser igual a la variación de la masa contenida en el volumen de control. El caso más sencillo es cuando una sola sustancia ingresa y egresa del volumen de control. Empero, es común que a un equipo ingrese más de una sustancia, por ejemplo aire y agua, de modo que debe salir la misma cantidad de masa de aire y agua, a no ser que exista una acumulación o cedencia de alguna de estas sustancias en el equipo. Por lo anterior el equilibrio de masa se plantea para la masa total de la mezcla y para cada sustancia componente de ésta. En el caso de que exista una combustión, este análisis este análisis debe plantearse a nivel de los elementos químicos que componen las sustancias, ya que durante la reacción química estas se recombinan formando nuevos compuestos. 2.2 Representación en formas de concentración (titulo de vapor, humedad, relación aire-combustible) El análisis, la determinación y medición de los caudales másicos, se realizan en el caso de que exista más de un tipo de masa (mezcla), que ingrese o egrese de un equipo o máquina. Se realiza a través de diversas formas de concentración de masa. Esta forma de plantear la conservación de masa es especialmente relevante, en el caso que en el interior del volumen de control exista una reacción química, como lo es la combustión. Además, el uso de diversas formas de concentración, permite su empleo y aplicación en procesos de dosificación y de caracterización de comportamiento de sustancias respecto de otras. Genéricamente existen dos tipos de concentración, las que serán definidas de acuerdo a la base de sustancia como: - de base húmeda - de base seca a. La concentración en base húmeda. La concentración en base húmeda se define como la cantidad de masa de una sustancia presente en la mezcla, respecto del total de masa. Matemáticamente se plantea a través de la ecuación 2.1. c=

m1 (− ) m1 + m 2

(2.1)

Este tipo de concentración no tiene unidades y se plantea en formas de tanto por uno o por porcentajes. Luego, varía entre un valor mínimo de 0 y un valor máximo de 1 (0 < c < 1), o entre 0 y 100% (0%< c > 100%). Un ejemplo de este tipo de concentración es el titulo o calidad de vapor (x), cuya expresión matemática expresada en forma porcentual se presenta en la ecuación 2.2. x=

mg ⋅ 100(%) m g + m f


(2.2)

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Apunte de Termodinámica b. La concentración en base seca. La concentración en base seca se define como la cantidad de masa de una sustancia presente en la mezcla, respecto de otra, también presente en la mezcla. Matemáticamente se plantea a través de la ecuación 2.3. C=

m1 m2

⎛ kg1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ kg 2 ⎠

(2.3)

Este tipo de concentración se posee unidades, las que corresponden a unidades de masa de la sustancia 1, divido sustancia 2. Luego, no tiene limitaciones de valor, pudiendo ser muy pequeñas, como en el caso de la humedad absoluta del aire, o muy grandes, como en el caso de la relación aire-combustible. Dos ejemplos de este tipo de concentración, son la humedad específica o absoluta del aire ( ω) y la relación aire-combustible (r a/c a/c), las que se presentan en las ecuaciones 2.4 y 2.5, respectivamente. ω=

m agua m aire

ra = c

⎛ kg w ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ kg a ⎝ ⎠

m aire m combustible

(2.4)

⎛ kg a ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ kg ⎝ c ⎠

(2.5)

2.3 Ecuación de continuidad La forma matemática del principio de conservación es la denominada ecuación de continuidad aplicada a un volumen de control, la que se representa en su forma general en la ecuación 2.6. m

m

∑ m& e + ∑ Δti = ∑ m& s + ∑ Δtf Donde: & m m t i f e s

(2.6)

: Caudal másico que ingresa o sale del volumen de control : Masa en el interior del volumen de control : Tiempo : Inicial (subíndice) : Final (subíndice) : Ingreso (subíndice) : Salida (subíndice)

Los términos conceptuales la ecuación de continuidad indica que el cambio del caudal másico que ingresa a un volumen de control es igual al cambio de la masa en el contenido en éste, respecto del tiempo. La ecuación de continuidad puede simplificarse según sea la situación física a analizar. Considerando el caso de una máquina o equipo que opere en condiciones de Flujo Estable, esto es que el caudal másico que ingresa es idéntico al caudal másico que sale y si se consideran que la sólo ingresa y egresa un tipo de materia o masa, se obtiene la ecuación 2.7.


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Apunte de Termodinámica & −m & = m e s

∂m ∂t

(2.7)

Si se asume que la sustancia fluido que ingresa y egresa del volumen de control tiene una densidad constante o sea es cuasi incompresible (ρ = Cte.), se obtiene la ecuación 2.8, al dividir la ecuación 2.7 por la densidad. v e ⋅ A e − v s ⋅ A s =

∂V ∂t

(2.8)

Donde: v : Velocidad media del escurrimiento A : Área transversal al escurrimiento V : Volumen del volumen de control

3. Ecuación de la energía

La Primera Ley de la Termodinámica establece el principio de conservación de la energía, ya que la define la existencia de un campo conservativo, de manera que para un volumen de control, se cumple que la energía intercambiada por éste con los alrededores, mas la energía inicial de la materia, debe ser igual a la energía terminal de la materia, según lo indica la ecuación 3.1. E int ercambiada + E inicial = E ter min al

(3.1)

La energía intercambiada corresponde a energía que no esta asociada a masa intercambiada por lo tanto es calor y trabajo, que ingresan o egresan del volumen de control. La energía inicial corresponde a la energía contenida en la materia que ingresa a un volumen de control, por lo que la componen su entalpía, su energía cinética y su energía potencial. A esta energía se le debe sumar la energía contenida en la materia presente inicialmente en el volumen de control, la que estaría compuesta por su energía i nterna, su energía cinética y su energía p otencial. La energía terminal es la energía contenida en la materia que abandona un volumen de control, por lo que la componen su entalpía, su energía cinética y su energía potencial. A esta energía, también, se le suma la energía contenida en la materia existente finalmente en el volumen de control, la que estaría compuesta por su energía interna, su energía ciné tica y su energía potencial. La ecuación 3.2 permite evaluar la energía cinética específica de una sustancia.

v2 Ec = 2

(3.2)

Donde: v : Velocidad media del escurrimiento A su vez, la ecuación 3.3 permite evaluar la energía potencial específica específica de una sustancia.

Ec = g ⋅ z Donde: z : Posición del centro de gravedad de la masa


(3.3)

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Apunte de Termodinámica g

: Aceleración de gravedad

La forma matemática general de la ecuación de la energía, corresponde a la ecuación 3.4, donde se desglosan cada termino y se expresa en función de estado inicial (1) y el estado terminal (2). & & 1 Q 2 + 1W 2 +

∑

⎛ ⎞ v2 & ⋅ ⎜h + e + g ⋅ z ⎟ + m e ⎜ e e⎟ 2 ⎝ ⎠ =

Donde: Q& & W & m m t 1 2 i f e s

∑

⎛ ⎞ v2 ⋅⎜ u i + i + g ⋅ z i ⎟ = ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎞ v2 mf ⎛ v 2f ⎜ & ⋅ ⎜h + s + g ⋅ z ⎟ + ⋅ + + g ⋅ z f ⎟ m u s s f ⎟ ⎜ ⎟ s ⎜ Δt ⎝ 2 2 ⎝ ⎠ ⎠

∑

mi Δt

∑

(3.4)

: Flujo de calor intercambiado entre el volumen de control y los alrededores : Flujo de trabajo intercambiado entre el volumen de control y los alrededores : Caudal masico : Masa en el interior del volumen de control : Tiempo : Estado termodinámico inicial (subíndice) : Estado termodinámico terminal (subíndice) : Inicial (subíndice) : Terminal (subíndice) : Ingreso (subíndice) : Egreso (subíndice)

3.1 Ecuación de la energía aplicada a gases y vapores Para el caso de gases y vapores, dada la baja densidad de éstos, se pueden despreciar los términos de posición, por lo que la ecuación 3.4, adopta la forma de la ecuación 3.5. 1

Q&

& 2 + 1W 2

+

∑

& m

e

⎛ v 2e ⎞⎟ ⎜ ⋅ he + + ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

∑

mi Δt

⎛ v i2 ⎞⎟ ⎜ ⋅ ui + = ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

∑

& m

s

⎛ v 2s ⎞⎟ ⎜ ⋅ hs + + ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

∑

m f ⎛ v 2f ⎞⎟ ⎜ ⋅ u f + ⎜ Δt ⎝ 2 ⎠⎟

(3.5)

A su vez, la ecuación 3.5 para el caso de que se aplicara a una única úni ca sustancia, adoptaría la forma de la ecuación 3.6. 1

Q&

& 2 + 1W 2

+

& m

e

⎛ v 2e ⎞⎟ m i ⎛ v i2 ⎞⎟ ⎜ ⎜ & ⋅ he + + ⋅ u + = m s ⎜ ⎟ Δt ⎜ i ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ v 2s ⎞⎟ ⎜ ⋅ hs + ⎜ 2 ⎠⎟ ⎝

m + fi Δt

⎛ v 2f ⎞⎟ ⎜ ⋅ u f + ⎜ 2 ⎠⎟ ⎝

(3.6)

3.2 Ecuación de la energía aplicada a líquidos Para el caso de líquidos, se pueden realizar algunas consideraciones que modifican sustancialmente a la ecuación de la energía. Estas consideraciones son las de asumir que el líquido es incompresible, a la vez que es isotérmico y que el escurrimiento es adiabático. Esto permite no considerar los términos de energía interna. Por lo que para el caso de un escurrimiento sin acumulación de masa, lo que permite anular los términos asociados a la masa contenida dentro del volumen de control. Lo que permite obtener la denominada ecuación de Bernoulli, cuyos términos representan los niveles de energía de un fluido en escurrimiento. Donde los términos de energía quedan expresados como altu-


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Apunte de Termodinámica ra de presión del fluido, a los que se les asigna el nombre de Bernoulli y se evalúan empleando la ecuación 3.7. v i2 Bi = + + zi γ 2⋅g Pi

Donde: B P v z i

(3.7)

: Bernoulli o nivel de energía : Presión estática : Velocidad media de escurrimiento del fluido : Posición geodésica : Estado (subíndice)

Al aplicar la ecuación anterior (3.7) en la ecuación (3.6) y considerando que existe una máquina o máquinas que agregan o retiran energía al fluido, se obtiene la forma general de la ecuación de Bernoulli, matemáticamente expresada a través de la ecuación 3.8.

∑ H1M2

v 12 P2 v 22 + + +z = + + z2 2⋅g 1 γ 2⋅g γ P1

Donde: H1M2

∑ 1 2

(3.8)

: Energía en forma de altura que se agrega o retira de una línea de corriente. : Estado inicial (subíndice) : Estado final (subíndice)

3.3 Procesos termodinámicos La definición general de proceso termodinámico es cualquier cambio de un estado termodinámico inicial (1) a uno terminal (2), lo que conlleva el cambio de una o más propiedades termodinámicas. En todo proceso se deben cumplir las leyes de conservación de la masa y de la energía, de modo que un proceso debe satisfacer simultáneamente a las ecuaciones de continuidad y energía. Los procesos termodinámicos se emplean para representar y modelar el funcionamiento ideal y real de máquinas y equipos térmicos. Para lo cual, se caracterizan a estos procesos, mediante una propiedad termodinámica que permanece constante, la cual utiliza el prefijo “iso”, que significa constante. La tabla 3.1, presenta los principales procesos termodinámicos, así como a etapas de funcionamiento de equipos y/o equipos y máquinas que representan. Tabla 3.1: Comportamiento de los prin cipales procesos termodinámicos Proceso

Característica

Máquina o equipo modelado

Isobarico Isovolumétrico Isotérmico Adiabático Isoentálpico

P1 = P2 V3 = V4 T 5 = T6 s7 = s8 h9 = h10

Calderas, condensadores, intercambiadores de calor Adiciones y rechazos de calor Compresiones Turbinas, bombas, compresores, cilindros Expansiones, calorímetros, válvulas


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Apunte de Termodinámica Estos procesos se representan en los diagramas termodinámicos, marcando los estados iniciales y finales, uniéndolos mediante la línea de proceso, que es la propiedad que permanece constante. La figura 3.1, muestra el comportamiento de estos procesos para el agua en la región de la campana termodinámica, en un diagrama temperatura v/s entropía específica (T-s).

Fig. 3.1: Procesos termodinámicos en un diag rama temperatura v/s entropía para agua En el caso de los gases y en particular del aire estos procesos pueden ser modelados a través de ecuaciones, que cumplen con la ecuación de estado para gases ideales y las definiciones de trabajo y calor. La tabla 3.2, muestra el tipo de proceso, las ecuaciones evaluación de trabajo y calor para gases ideales. En esta tabla se agrega el proceso politrópico, que es un proceso que pretende representar de mejor el comportamiento de un gas frente a procesos de compresión y expansión. Tabla 3.2: Ecuaciones de evaluación de trabajo y calor para gases ideales Tipo de proceso

Característica

Trabajo

Calor

Isobarico Isovolumétrico Isotérmico

P1 = P2 V3 = V4 T 5 = T6

P1 ⋅ (V1 - V2 ) 0

m ⋅ Cp ⋅ (T2 - T1 ) m ⋅ Cv ⋅ (T4 - T3 ) m ⋅ R ⋅ T ⋅ ln⎛ V6

Adiabático

P7 ⋅ V7k

Politrópico

P9 ⋅ V9n


V ⎞ m ⋅ R ⋅ T1 ⋅ ln⎛ ⎜ 5V ⎟ =

P8 ⋅ V8k

=

n P10 ⋅ V10

⎝ P8 ⋅ V8 - P7 ⋅ V7

k -1 P10 ⋅ V10 - P9 ⋅ V9 n -1

6 ⎠

1

⎜ ⎝

⎞

V5 ⎠⎟

0 ⎛ n − k ⎞ ⎟ ⋅ (T10 - T9 ) ⎝ n − 1 ⎠

m ⋅ Cv ⋅ ⎜

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Apunte de Termodinámica Las figuras 3.2 y 3.3, muestran el comportamiento de estos procesos para el aire, en un diagrama presión v/s volumen específico (P-v) y temperatura v/s entropía específica (T-s), respectivamente.

Fig. 3.2: Comportamiento de los procesos termodinámicos en un diagrama presión v/s volumen para aire

Fig. 3.3: Comportamiento de los procesos termodinámicos en un diagrama temperatura v/s entropía para aire


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Apunte de Termodinámica 4. Pérdidas térmicas

Físicamente en la naturaleza no existen procesos reversibles, ya que existen fenómenos como el roce mecánico, la resistencia eléctrica, pérdidas térmicas, etc. Estos fenómenos generan un intercambio de energía a los alrededores, lo que le impide que la energía terminal de un proceso sea igual a la inicial, por lo que es imposible, energéticamente, alcanzar con la energía disponible al término de un proceso su estado inicial. Este grado de pérdida de energía se mide a través de la propiedad entropía, la que representa el grado de desordenamiento molecular de la materia y que siempre se incrementa, siguiendo la desigualdad de Clausius. Matemáticamente la entropía se obtiene de la desigualdad de Clausius, a través de la ecuación 4.1. s 2 − s1 =

∫

∂Q

T

≥0

(4.1)

Cabe indicar que la Tercera Ley de la Termodinámica establece que la entropía sólo puede ser nula cuando la temperatura es nula, lo que permite contar con un estado de referencia para la escala de medición de la entropía. Matemáticamente esto plantea mediante la ecuación 4.2. s=0↔T=0

(4.2)

4.1 La Segunda Ley de la Termodinámica La Segunda Ley de la Termodinámica establece la inexistencia de procesos reversibles o ideales en la naturaleza y adopta diversas formas matemáticas, al introducir este concepto en la forma de irreversibilidad (1I2), que es la energía cedida a los alrededores, durante un proceso. Esto permite emplear la ecuación de la energía, que se aplicó a la Primera Ley de la Termodinámica, agregando este término de irreversibilidad o pérdida. La ecuación 4.3 corresponde a la forma matemática de la Segunda Ley de la termodinámica. 1

Q&

& 2 + 1W 2

+

∑

& m

e

⎛ ⎞ v 2e ⎜ ⋅ he + + g ⋅ ze ⎟ + ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

⎛ ⎞ v i2 ⎜ ⋅ ui + + g ⋅ zi ⎟ = ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎞ v2 mf ⎛ v 2f ⎜ & ⋅ ⎜h + s + g ⋅ z ⎟ + ⋅ + + g ⋅ z f ⎟⎟+1I2 m u s s f ⎜ ⎟ ⎜ s 2 2 Δt ⎝ ⎝ ⎠ ⎠

∑

∑

mi Δt

∑

(4.3)

De la ecuación 5.3 se desprende que siempre la energía transformada será menor que la energía disponible de transformarse, siendo la irreversibilidad, la energía pérdida y que no es posible de recuperar y sólo se puede pretender minimizarla. A su vez, la desigualdad desigu aldad de Clausius, como lo muestra la ecuación 4.1, la entropía siempre crecerá en un proceso. La magnitud del crecimiento de la entropía indica el grado o magnitud de la pérdida energética. Por lo anterior, un proceso ideal es adiabático y por ende isentrópico, lo que implica que la entropía permanece constante. Luego, la entropía del estado inicial (estado 1), tendrá el mismo valor que la del estado terminal (estado 2), por lo que ambos estados en un diagrama termodinámico se unen mediante una recta. En un caso “real”, el estado de terminal real se ubicará a la derecha del estado inicial, siendo la irreversibilidad el área encerrada entre la recta isentrópica y la curva real. La figura 4.1 muestra los procesos de expansión ideal y real que tendría lugar en una turbina de vapor, indicando el comportamiento esperado si el punto terminal real se ubicara dentro y fuera de la campana termodinámica.


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Fig. 4.1: Comportamiento del proceso termodinámico de expansión en un diagrama temperatura v/s entropía para agua La figura 4.2 muestra los procesos de compresión ideal y real que tendría lugar en un compresor de gas, en este caso aire.

Fig. 4.2: Comportamiento del proceso termodinámico de compresión compresión en un diagrama temperatura v/s entropía para aire


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Apunte de Termodinámica 4.2 Concepto y aplicaciones de rendimiento Conceptualmente el rendimiento de un proceso o eficiencia de proceso, se entiende por el grado porcentual de energía transformada en un proceso respecto de la disponible. Siendo la energía transformada (ET), igual a la energía disponible (ED) menos la irreversibilidad (I). La ecuación 4.4 muestra matemáticamente este concepto que surge de la Segunda Ley de la Termodinámica. η=

ET ED + I I I = = 1+ = 1− ED ED ED ED

(4.4)

Donde: : Rendimiento o eficiencia : Energía transformada : Energía disponible : Irreversibilidad o pérdida de energía

η

ET ED I

Otra forma de plantear el rendimiento de procesos o eficiencia de éstos, es mediante la aplicación de los trabajos mecánicos idealmente y efectivamente desarrollados en el proceso. Matemáticamente esto se plantea en la ecuación 4.5. e=

& W T & WD

(4.5)

Donde: e : Rendimiento o eficiencia & : Trabajo transformado o realmente ejecutado W T & : Trabajo disponible o idealmente ejecutado W D Para el caso de una sujeción de procesos, que eventualmente se cierran, esto es el estado terminal del último proceso es el mismo que el inicial del primer proceso, aparece la figura de un ciclo termodinámico, que se emplea para transformar la energía térmica en trabajo mecánico y por extensión a la energía química en energía mecánica. Para fines de notación, se empleara el doble número de estado, para definir el estado real terminal del proceso. La figura 4.3 muestra a los procesos ideales y reales de compresión, adición de calor, expansión y rechazo de calor en un diagrama termodinámico de un gas ideal (aire).


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Fig. 4.3: Comportamiento de los procesos procesos ideales y reales de compresión, adición de calor, expansión y rechazo de calor en un diagrama temperatura v/s entropía En todo ciclo termodinámico, se cumple que la suma de los calores adicionados y rechazados es idéntica a la suma de los trabajos agregados y rechazados, pero con signo contrario, lo que matemáticamente se expresa en la ecuación 4.6.

∑ Q& + ∑ W& = 0

(4.6)

Si se aplica la consideración a la definición general de rendimiento, se puede obtener una expresión aplicable al caso de ciclos termodinámicos, sean estos ideales o reales, ya sólo cambia su aplicación por los estados iniciales y terminales de los procesos que conforman. La ecuación 4.7 muestra la forma matemática del rendimiento aplicado a ciclos. η = 1+

& Q& L W = N & Q& H Q H

(4.7)

Donde: η

Q&

L

: Rendimiento o eficiencia : Calor total extraído del ciclo

Q& H

: Calor total adicionado al ciclo

& W N

: Suma de los trabajos ejecutados en el ciclo (Trabajo o potencia neta)


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Apunte de Termodinámica 4.3 Aplicaciones de pérdidas térmicas y mecánicas (pérdidas por rendimiento en equipos, pérdida de carga, pérdidas por aislación térmica) La Segunda Ley de la Termodinámica indica la existencia de irreversibilidad en todos los procesos de la naturaleza, por ende las máquinas y equipos no están exentos a esta situación y todos ellos presentan algún tipo de pérdida o rendimiento de operación. a. Caso de rendimiento de equipos y máquinas Todos los equipos y máquinas presentan rendimiento, debido a las irreversibilidades que se presentan en la transmisión mecánica de la energía, su transformación de energía mecánica a energía térmica y viceversa, además de las pérdidas que se generan en un eventual proceso combustibo, que tenga lugar en el equipo o máquina. En todos estos casos, es necesario tener en cuenta el sentido en que fluye la energía, ya que la fuente corresponde a la energía disponible y el receptor a la energía transformada. Así en el caso de evaluar el rendimiento mecánico del compresor, se requiere tener en cuenta que la energía en forma de potencia ingresa al compresor a través del eje, proveniente de un motor y se transforma en energía térmica o potencia térmica, a la que se denomina como potencia indicada, en el interior de la máquina. Luego, el rendimiento mecánico del compresor adopta la forma de la ecuación 4.8. em =

Nindicada N eje

(4.8)

Donde: em : Rendimiento mecánico del equipo o máquina Nindicada : Potencia indicada o transformada contenida en el fluido Neje : Potencia en el eje En el caso de un motor o una turbina, la energía disponible esta contenida en el fluido, por lo que la expresión de rendimiento mecánico para este tipo de equipo o máquina, toma la forma de la ecuación 5.9. em =

N eje Nindicada

(4.9)

Una expresión análoga es aplicable a todo sistema de transmisión, sea por engranajes, poleas, hidráulicas, etc. Ya que al energía entrega a transmitirse como torque y movimiento en el eje de entrada, sólo una fracción es utilizable en su eje de salida. Con lo que la expresión para el rendimiento de sistemas de transmisión adopta la forma de la ecuación 4.10. et =

Nsalida N entrada

(4.10)

b. Caso de pérdida de carga por escurrimiento de un líquido La pérdida de carga por escurrimiento de un líquido plantea la existencia de dos tipos de pérdidas de carga, la primera es debida a transporte del fluido por el interior de tuberías rectas o pérdida primaria, que es engendrada por los efectos viscosos del fluido y la rugosidad de la tubería. A esta se suma la pérdida secundaria o por singularidades o accesorios, la que se produce en todo elemento, tales como codos, válvulas, reducciones, etc., que son elementos que engendran o un


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Apunte de Termodinámica cambio en la dirección del escurrimiento o de su velocidad. Esta pérdida de carga se puede evaluar por diversos métodos, siendo el más común el que emplea la ecuación de Darcy-Weißbach, que permite determinar la irreversibilidad asociada a la pérdida de carga. Esta forma de irreversibilidad o pérdida de carga se agrega a la ecuación de Bernoulli o de energía para líquidos, la que adopta la forma de la ecuación 5.11.

∑

H1M2 +

P1 γ

Donde: H1M2

∑ ∑ H1p2

+

v 12 P v2 + z1 = 2 + 2 + z 2 + 2⋅g 2⋅g γ

∑ H1p2

(4.11)

: Energía en forma de altura que se agrega o retira al líquido por la existencia de una máquina : Pérdida de carga o energía engendrada por el movimiento de un líquido

5. Procesos térmicos

En la práctica se conforma un sistema de ecuaciones formado por la ecuación de continuidad de la masa y la primera ley de la termodinámica, donde normalmente para la ecuación de conservación de la energía se puede asumir que las energías intrínsecas o las asociadas a las formas mecánicas de la masa (energía cinética y potencial) se pueden asumir como nulas, por lo que normalmente el sistema de ecuaciones que queda es el siguiente: ∂m

∑ m& e − ∑ m& s = ∑ ∂t & & 1 Q 2 + 1W 2 +

∑

⎛ ⎜ ⎝

& ⋅ ⎜h + m e e

(5.1) ⎞ v 2e + g ⋅ ze ⎟ + ⎟ 2 ⎠ =

∑

∑

mi Δt

⎛ ⎞ v2 ⋅⎜ u i + i + g ⋅ z i ⎟ = ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

⎛ ⎞ v2 & ⋅ ⎜h + s + g ⋅ z ⎟ + m s⎟ s ⎜ s 2 ⎝ ⎠

∑

⎞ mf ⎛ v2 ⋅⎜ uf + f + g ⋅ z f ⎟ ⎜ ⎟ 2 Δt ⎝ ⎠

(5.2)

El objeto de un u n ciclo termodinámico es transformar la energía térmica en energía mecánica o viceversa a fin de poder emplear la energía química contenida en un combustible o agregarle energía a una sustancia a fin de obtener mayores niveles de energía en ésta o provocarle cambios físico-químicos y/o bioquímicos. Básicamente, un ciclo termodinámico es una sucesión de al menos tres procesos, los que tiene como estado de origen del primer proceso el mismo que el de término del último proceso. Luego, matemáticamente se cumple que la suma de las energías térmicas intercambiadas con el medio externo (calor) es idéntica a la suma de las energías mecánicas intercambiadas con el medio externo (trabajo). Esto se expresa de la forma de la ecuación 5.3, que es una variante de la ecuación 4.6.

∫ ∂Q + ∫ ∂W = 0


(5.3)

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Apunte de Termodinámica 5.1 Combustión Todo combustible de uso industrial es de origen orgánico, esto significa que son restos de animales o vegetales. Si estos son muy antiguos los restos de animales y maderas primitivas que se degradaron en determinadas condiciones y quedaron atrapados en los distintos estratos del suelo, se transformándose en petróleo, en carbón mineral o hulla y en gas natural, a los que se les llama combustibles fósiles. Como se aprecia todo combustible fue alguna vez una forma de vida, que para desarrollarse utilizó la energía solar, la que se fijó progresivamente a través del tiempo en los enlaces que existen entre los átomos que conforman una determinada molécula orgánica, las que fueron cada vez más complejas. De manera tal, que la manera de liberar la energía contenida en los combustibles orgánicos es a través de una reacción química de oxidación, por lo que en la práctica, los combustibles orgánicos son verdaderos acumuladores de energía solar, los que alcanzaron estos niveles de acumulación energética a través del paso del tiempo, mientras mayor sea este tiempo de acumulación y la antigüedad, mayor será el nivel de energía existente en el combustible y menor su humedad. El tipo de enlace molecular que se presenta en una molécula de un hidrocarburo, o combustible compuesto de átomos de hidrogeno y carbono, determina la cantidad de energía presente en la molécula y por ende en el combustible, ya que define la cantidad de energía necesaria para romper los enlaces y liberar así la energía química contenida en el combustible. Todo proceso combustibo es una reacción química del tipo exotérmica, esto es desprende calor al ambiente a medida que ella se desarrolla, para lo cual requiere de un combustible y de un comburente, que es el oxígeno, generándose los denominados productos de la combustión. En términos industriales la combustión tiene lugar entre las sustancias combustibles, las que son una mezcla de los denominados combustibles elementales y el comburente, oxígeno, el que es normalmente aportado por el aire atmosférico. Los denominados combustibles elementales, que son elementos químicos, con sus respectivas estructuras moleculares, masas moleculares y potencia calorífica son presentados en la tabla 5.1. Tabla 5.1: Combustibles elementales Elemento químico

Estructura molecular

Hidrogeno Carbono Azufre

H2 C S

Masa molecular (kg/kmol)

2 12 32

Potencia (MJ/kg)

calorífica

143,998 34,074 9,293

A su vez, la composición química del de l aire que es utilizado como comburente en términos industriales es en volumen constituido por un 21% de oxigeno, O 2, cuya masa molecular es 32 kg/kmol y un 79% de nitrógeno, N2, cuya masa molecular es 28 kg/kmol, el que teóricamente es una sustancia inerte en términos de la reacción química de la combustión. Termodinámicamente toda reacción química debe satisfacer simultáneamente a la ecuación de continuidad de masa y la ecuación de energía. En el caso de la ecuación de conservación de la masa se aplica esta a nivel de elementos químicos, por lo que se plantean las ecuaciones estequiométricas, las que se basan en balances molares de los elementos químicos, esto es se asumen a los reactivos como gases ideales. Para ilustrar este proceso de balance masico, se empleara a modo de ejemplo, la combustión de octano (C8H18), que corresponde a gasolina, la que se combustiona en aire estándar. La ecuación 5.4 presenta la ecuación estequiométrica que representa la reacción química en términos de volumen e implícitamente en masa de la combustión del octano.


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Apunte de Termodinámica C8H18 + 12,5·(O2+3,76·N2) →8·CO2 + 9·H2O + 47·N2

(5.4)

A partir de esta ecuación es hace posible plantear la denominada relación aire-combustible, que representa la cantidad de aire que se requiere para quemar una unidad de un determinado combustible. Esta relación aire-combustible puede plantearse tanto en términos volumétricos o molares como másicos, siendo la forma más comúnmente utilizada esta última. La definición de la relación aire-combustible en base másica se obtiene empleando la ecuación 5.5, al tiempo que se aplica al caso del octano. r a∗ = c

& m m 12,5 ⋅ (32 + 3,76 ⋅ 28 ) kga ⎞ a = a = = 15,05⎛ ⎜ kgc ⎠⎟ & ⎝ mc mc 8 ⋅ 12 + 18 ⋅ 1

(5.5)

El hecho que una determinada combustión se realice en condiciones distintas a las ideales en términos de la masa de aire requerida para esta, genera la existencia de una condición a la que se le denomina exceso de aire, cuando la masa de aire presente es mayor a la requerida idealmente por la combustión y a la condición de defecto de aire cuando la masa de aire presente es menor a la requerida idealmente por la combustión. En el caso de la gasolina o el octano, este puede combustionar entre valores de relación aire-combustible que van de 9 kga/kgc a 22 kga/kgc. Bajo una relación airecombustible de 9 kga/kgc, no existe el oxigeno suficiente para mantener y propagar la combustión, en cambio una relación aire-combustible sobre 22 kga/kgc, implica que las moléculas de combustible están tan separadas que impiden el mantener y propagar la combustión. Una forma en que se manifiesta el exceso de aire en una combustión es a través de la presencia de oxigeno (O2) libre en los productos de combustión. Empero, esta presencia puede deberse a otras causas, tales como combustión incompleta. Por otro lado, se puede definir la existencia de una combustión completa cuando en los productos de ésta no aparece el monóxido de carbono (CO) y de una combustión incompleta cuando aparece en los productos de combustión el monóxido de carbono (CO). Respecto a la ecuación de energía es posible asumir la existencia de un sistema conservativo, donde la energía inicial de los reactivos es igual a la energía liberada a los alrededores más la energía retenida en los productos de la combustión. Para iniciar la combustión es necesaria la aplicación de una energía de activación, la que puede ser a través de una fuente de temperatura, como lo es en el caso de las b ujías en motores Otto, o por el incremento de presión y por ende de energía dentro de una cámara, como en el caso de los motores Diesel, o por la energía térmica existente en la cámara de combustión, en el caso de una caldera. Una representación gráfica de la situación energética en una combustión, se presenta en la figura 5.1.


31


Nivel de Energía Energía de activación Energía de reactivos Energía liberada Energía de productos Tiempo Fig. 5.1: Niveles de energía en una combustión La energía de los reactivos corresponde al nivel de energía química contenida en los enlaces moleculares del combustible. La energía de los productos corresponde al nivel de energía química contenida en los enlaces moleculares de los distintos productos de la combustión. La energía de activación o detonación, corresponde a la cantidad de energía térmica necesaria para iniciar la reacción entre los elementos químicos del combustible con el oxigeno presente en el comburente, inicialmente corresponde a una fuente externa al combustible y al comburente, de modo que una vez iniciada la combustión, esta fuente será suplida por cierta cantidad de energía que se genere durante la combustión y que permitirá sostenerla. En términos matemáticos, la ecuación de la energía para un sistema ideal, adopta la forma de la ecuación 5.6. n

∑ i 1 =

Hr o =

m

Hpo + h orp ∑ i 1

(5.6)

=

Donde los niveles de energía en las condiciones de presión, temperatura y relación aire-combustible en que se desarrolló la combustión, que se encuentran contenidas en los reactivos y productos se les representa a través de los términos contenidos en las sumatorias. Por su lado, el término libre corresponde a la denominada entalpía de reacción y es la cantidad de energía térmica o calor que se libera en el proceso combustibo en las condiciones termodinámicas en que se desarrolló éste. Lo anterior introduce el concepto de que la energía liberada por un proceso combustibo depende de ciertas variables físico-químicas y por lo tanto no son uniformes para un determinado combustible, a pesar que este se combustione con la misma relación aire-combustible. Los efectos más dominantes sobre la cantidad de energía liberada en una combustión o entalpía de reacción son - Temperatura - Turbulencia - Tiempo de combustión


32

Apunte de Termodinámica Estos efectos son simultáneos y para optimizar un a combustión se trata de controlarlos de manera que no interfieran de modo significativo en éste. a. Temperatura La temperatura en que se realiza el proceso combustibo limita la cantidad de energía que el combustible es capaz de aportar, ya que mientras mayor sea la temperatura en que se desarrolle la combustión, mayor será la cantidad de energía que el combustible tenga que aportar a los alrededores para sostener la temperatura del proceso combustibo. En el extremo, puede llegarse a que la energía liberada por el proceso combustibo desarrollado a una determinada temperatura sea nulo, ya que toda la energía se invierte en sostener esta temperatura, transformándose en energía de activación. A esta temperatura se le denomina temperatura de flama adiabática. Por lo anterior, mientras más baja sea la temperatura de combustión mayor será la cantidad de energía térmica o calor liberado, por ello industrialmente se trata de realizar la combustión a la temperatura más baja posible. b. Turbulencia El concepto de turbulencia esta asociado a que todo proceso combustibo implica el contacto físico de los elementos combustibles con el oxígeno, lo que en una atmosfera en reposo ocurre inicialmente, pero a medida que el proceso continua se comienzan a generar capas y/o atmósferas de material ya combustionado, que separa al combustible del oxigeno, de manera que se hace necesario removerlos mecánicamente mediante la generación de una turbulencia, turbulencia, que crea las fuerzas inerciales que permiten romper las atmósferas inertes y arrastrar al material inerte, permitiendo la continua mezcla de combustible y oxigeno. c. Tiempo de combustión El tiempo que dure una combustión influye en su liberación de energía térmica, ya que como proceso la reacción química requiere de un tiempo para separar mecánicamente las moléculas, hacer que estas químicamente reaccionen y que los gases de combustión absorban esta energía. Si el tiempo de combustión es muy corto, la reacción química no podrá desarrollarse completamente, así como el proceso de absorción de energía y por ende no podrá entonces el combustible liberar la totalidad de la energía por este contenida. Para efectos industriales se requiere de un valor estandarizado de la entalpía de reacción o energía térmica liberada por un combustible, a la que se le denomina como potencia calorífica de un combustible, cuando se realiza una combustión en condiciones estandarizadas de presión, temperatura y relación aire-combustible. Físicamente, en términos industriales, el modo de medir esta la potencia calorífica es a través de un ensayo el que se realiza en un calorímetro, donde una determinada masa o caudal volumétrico de combustible es combustionado con una determinada masa oxigeno puro o un caudal volumétrico de aire en condiciones estandarizas de presión y temperatura, las que corresponden a 1 atmósfera de presión y 25°C o 15,6°C, según sea la norma utilizada. Para combustibles sólidos se utiliza un calorímetro de volumen constante o calorímetro Parr, donde una determinada masa combustible es combustionado con una determinada masa oxigeno puro, traspasándose la energía liberada en la combustión a una masa de agua, la que ve incrementada su energía interna, manifestándose esto en una elevación de su temperatura. Luego, aplicando conservación de energía se puede plantear la ecuación 5.7. m w ⋅ Cv w ⋅ (Ti − T0 ) = m w ⋅ Cv w ⋅ (Tf − T0 ) + m c ⋅ NH Donde: mw Cvw

(5.7)

: Masa de agua en el ensayo : Calor especifico a volumen constante del agua


33

Apunte de Termodinámica Ti T0 Ti mc NH

: Temperatura del agua al inicio del ensayo : Temperatura de referencia (ºC) : Temperatura del agua al termino del ensayo : Masa de combustible en el ensayo : Potencia calorífica superior

Donde aproximando los valores de los calores específicos a volumen constante para el agua, la potencia calorífica del combustible se evalúa a través de la ecuación 5.8. NH =

m w ⋅ Cv w ⋅ (Tf − Ti ) mc

(5.8)

En el caso de los combustibles líquidos y gaseosos se utiliza otro tipo de calorímetro, denominado de presión constante, donde caudales masicos de combustible son combustionados con caudales masicos de aire, generando un flujo de calor que es absorbido por un caudal de agua que circula por el calorímetro, pudiéndose generar, de una manera análoga a la anterior, las ecuaciones de balance energético para el calorímetro de presión constante. Si el combustible posee hidrogeno en su composición química, éste al oxidarse genera agua, la que requiere de energía para vaporizarse y escapar en fase gaseosa de la combustión. El hecho que el agua generada químicamente al término del proceso combustibo se encuentre en fase líquida o gaseosa, genera una diferencia significativa entre los valores de la potencia calorífica cuando el agua residual aparece en fase líquida (Potencia calorífica superior), del valor de la potencia calorífica cuando el agua residual aparece en fase gaseosa (Potencia calorífica inferior). Esta diferencia corresponde a la energía de cambio de fase del agua, la que en el caso de la potencia calorífica superior se suma a la energía aportada por el combustible, mientras que en el caso de la potencia calorífica inferior se resta de la energía aportada por el combustible. Matemáticamente la relación entre la potencia calorífica superior y la potencia calorífica inferior se realiza mediante la ecuación 5.9. NH = NL + Donde: NL ufg hfg

& mw m ⋅ u fg = NL + w ⋅ h fg & mc m c

(5.9)

: Potencia calorífica inferior : Energía interna de cambio de fase del agua : Entalpía de cambio de fase del agua

De la ecuación 5.9, se desprende que siempre se cumple que la potencia calorífica superior será mayor que la potencia calorífica inferior ( NH > NL ) Dado que por lo general los combustibles sólidos poseen muy poca cantidad de hidrogeno y menor aún de agua, la energía requerida para vaporizar esta es mínima y no genera diferencia apreciable en términos de energía aportada por el combustible, si esta agua al término del proceso combustibo aparece en fase líquida o gaseosa. Considerando que en las aplicaciones industriales se procura una vez generada la combustión el evacuar rápidamente los productos de ésta de la cámara de combustión, para continuar con el proceso en condiciones de flujo estable y estado estable, es que resulta conveniente el extraer estos productos como gases, lo que si bien se traduce en una reducción de la energía aportada por el combustible, se compensa con la facilidad de sostener eficientemente el proceso combustibo. De ahí que se utilice para todos los cálculos de ingeniería el valor de la potencia calorífica inferior, para la evaluación de la cantidad de calor aportado por un determinado combustible, lo que se puede calcular empleando al ecuación 5.10.


34

Apunte de Termodinámica & =m & ⋅N Q c L

(5.10)

Además, debe tenerse en cuenta, que toda combustión industrial se realiza realiza en condiciones distintas a las estándar, por lo que al considerar este efecto, implica asumir que la energía que realmente es liberada es menor aun a la representada por la potencia calorífica inferior. 5.2 Ciclos de potencia Los ciclos de potencia tienen por función transformar la energía térmica o calor en trabajo mecánico. Inicialmente se plantearon para emplear la energía química contenida en los combustibles, ya que al combustionarlos permitía obtener calor y luego transformar éste en trabajo mecánico por medio de una máquina alternativa y luego a través de una turbina. Los principales ciclos de potencia son: - Ciclo de Carnot - Ciclo Rankine - Ciclo Otto - Ciclo de compresores alternativos El ciclo de Carnot es de carácter netamente teórico, pero es el fundamento de todos los ciclos de potencia. Los ciclos Rankine y Otto, son los empleados en las centrales térmicas de vapor y los motores endotérmicos respectivamente. Finalmente, el ciclo de compresores alternativos es el ciclo inverso, donde se entrega trabajo al ciclo para que éste lo transforme en energía térmica. a. Ciclo de Carnot. El análisis teórico de todo ciclo termodinámico se plantea a partir del denominado ciclo de Carnot, el que termodinámicamente, es el ciclo de máximo rendimiento posible. Este ciclo opera entre dos líneas de temperatura, denominadas como: temperatura de alta, (T H = T 2 = T3) y una temperatura de baja, (T L = T1 = T4). Por su lado, los saltos entre estas líneas de temperatura se realizan de manera isentrópica idealmente y politrópica en el caso de considerar eficiencia termodinámica de los equipos. Este ciclo se compone de cuatro equipos y por ende de cuatro procesos termodinámicos, los que indican en la tabla 5.2. Tabla 5.2: Caracterización del ciclo de Carnot Procesos

1-2 2–3 3–4 4-1

Equipo

Proceso

Tipo de proceso

Compresor Fuente térmica Turbina Sumidero térmico

Adición de trabajo isentrópico Adición de calor isotérmica Rechazo de trabajo isentrópico Rechazo de calor isotérmico

s1 = s2 T2 = T3 = TH s3 = s4 T4 = T1 = TL

En un diagrama temperatura v/s entropía, el ciclo de Carnot adopta la forma presentada en la figura 5.2:


35


Fig. 5.2: Diagrama temperatura v/s entropía de un ciclo de Carnot La definición general de rendimiento, se establece como la capacidad del ciclo de transformar la disponibilidad de energía disponible (ED) en energía transformada (ET), donde ésta es la diferencia entre la disponibilidad de energía menos la irreversibilidad (I). De modo que la forma general de rendimiento se plantea en la ecuación 5.11: η=

ET ED + I I I = = 1+ = 1− ED ED ED ED

(5.11)

Donde: η

ET ED I

: Rendimiento del ciclo : Energía transformada : Energía disponible : Irreversibilidad o pérdida de energía

Luego, considerando tanto la definición general de entropía, la energía disponible (ED), la energía transformada (ET) y la irreversibilidad (I), que son formas de flujo de calor, se obtiene el rendimiento de Carnot, que adopta la forma de la ecuación 5.12. η = 1+

QL T ⋅ (s1 − s 4 ) T = 1+ L = 1− L QH TH ⋅ (s 3 − s 2 ) TH

(5.12)

En cuanto a los procesos de transformación de energía mecánica en energía térmica en máquinas, se emplea el término eficiencia de proceso, el que considera la forma elemental de conversión energética a partir del flujo de energía, adoptando la forma de la ecuación 5.13.


36

Apunte de Termodinámica e=

& ET W = T & ED W D

Donde: e ET ED & W T & W D

(5.13)

: Eficiencia de la máquina : Energía transformada : Energía disponible : Potencia transformada : Potencia disponible

b. Ciclo Rankine. El ciclo Rankine es el heredero directo de la máquina de vapor de Newcomen que marcó el comienzo de la revolución industrial, donde la energía química de un combustible se transformaba en energía térmica en una cámara de combustión y de ahí se traspasaba a agua, la que se convertía de esta manera, en un fluido refrigerante y en un medio de transporte para la energía térmica, la que mediante una turbina de vapor se le transforma en energía mecánica. El ciclo Rankine opera como un ciclo cerrado, en la cual el vapor se expande en una turbina, para condensarse en un intercambiador de calor y de ahí el vapor, regresa a la l a caldera para volver absorber energía térmica. El hecho de operar como ciclo cerrado permite reducir la cantidad de incrustaciones procedentes de las sales disueltas en el agua que circula por el ciclo al tratar estas, lo que actualmente se conoce como ablandar el agua. Termodinámicamente el ciclo Rankine, opera entre dos líneas de presión, denominadas como: presión de alta, (P A = P1 = P2) y presión de baja, (P B = P3 = P4). Por su lado, los saltos entre estas líneas de presión se realizaban de manera isentrópica idealmente. Inicialmente el ciclo Rankine se componía de cuatro equipos y por ende de cuatro procesos termodinámicos, los que son presentados en la tabla 5.3. Tabla 5.3: Caracterización del ciclo de Rankine Procesos

1-2 2-3 3-4 4-1

Equipo

Proceso

Tipo de proceso

Caldera Turbina Condensador Bomba

Adición de calor isobarico Expansión isentrópica Rechazo de calor isobarico Compresión isentrópica

P1 = P2 s2 = s3 P3 = P4 s4 = s1

Todo ciclo Rankine debe necesariamente cumplir con una condición física, la que se refiere al hecho que una bomba no puede operar con vapor, de ahí que el condensado que retorna a la caldera deba necesariamente hacerlo al menos como líquido saturado, vale decir con titulo igual a cero, lo que en el caso anterior implica que el titulo en el punto cuatro es cero, (x 4 = 0). Representando los distintos procesos termodinámicos de un ciclo Rankine, en un diagrama temperatura-entropía, asumiendo a los números representan a estados ideales, se obtiene el diagrama termodinámico presentado en la figura 5.3:


37


Fig. 5.3: Diagrama termodinámico de un ciclo Rankine Desarrollando el análisis termodinámico y considerando parámetro más relevante como el rendimiento térmico, para el caso ideal, el que se obtiene mediante la ecuación 5.14. •

QL

η = 1+ •

QH

•

=

•

Wb+ Wt •

(5.14)

QH

Donde los términos de flujo de calor agregado, flujo de calor rechazado, potencia de bombeo y potencia de turbina se evalúan de acuerdo a las ecuaciones 5.15, 5.16, 5.17 y 5.18 respectivamente. & & (5.15) Q H = m v ⋅ (h 2 - h1 ) & ⋅ (h - h ) Q& L = m v 4 3

(5.16)

& & W b = m v ⋅ (h1 - h 4 )

(5.17)

& =m & ⋅ (h - h ) W t v 3 2

(5.18)

Reemplazado, las ecuaciones 5.15, 5.16, 5.17 y 5.18, en la ecuación 5.14 se obtiene la ecuación 5.19, que es la forma general de la ecuación de rendimiento: η = 1+

(h 5 − h 4 ) (h − h 3 ) + (h1 − h 5 ) = 4 (h 3 − h 2 ) + (h 2 − h1 ) (h 3 − h 2 ) + (h 2 − h1 )

(5.19)

Aplicando la definición de eficiencia de proceso, se obtienen las ecuaciones 5.20 y 5.21, para evaluar las eficiencias de turbina y bomba respectivamente.


38

Apunte de Termodinámica et =

& ⋅ (h m v 44 − h 3 ) & ⋅ (h − h ) m v 4 3

(5.20)

eb =

& ⋅ (h − h ) m v 1 5 & m v ⋅ (h1 − h 55 )

(5.21)

c. Ciclo Otto. Un motor endotérmico, en general, se define como aquel motor en que la transformación de energía química en térmica y su reconversión en energía mecánica se realiza simultáneamente en el tiempo y en el mismo lugar, lo que implica la existencia de una cámara de combustión de volumen variable, conocido como conjunto cilindro-pistón. El análisis termodinámico de los motores endotérmicos se realiza a partir de una modelación matemática que considera como sustancia de trabajo un gas ideal, normalmente aire estándar y un conjunto de seis procesos termodinámicos de determinadas características. El análisis teórico de los motores ciclo Otto o bencineros, se plantea a través del denominado ciclo Otto de gas, el que plantea para el caso de motores de cuatro tiempos y considerando considerando como sustancia de trabajo a aire estándar, que se comportaría como un gas ideal, presenta los procesos termodinámicos, que se indican en la tabla 5.4. Tabla 5.4: Caracterización del ciclo de Otto Procesos

0-1 1-2 2-3 3-4 4-1 1-0

Proceso

Tipo de proceso

Admisión de aire isobarico Compresión de aire isoentrópica Adición de calor isovolumétrica Expansión de aire isoentrópica Rechazo de calor isovolumétrica Escape de aire isobarico

P0 = P1 P1·V1k = P2·V2k V2 = V3 P3·V3k = P4·V4k V4 = V3 P1 = P0

Representando los distintos procesos termodinámicos de un ciclo Otto, en un diagrama presiónvolumen, asumiendo a los números representan a estados ideales, se obtiene el diagrama termodinámico presentado en la figura 5.4:


39


Fig. 5.4: Diagrama termodinámico de un ciclo Otto Aplicando la definición termodinámica de rendimiento y considerando al aire como un gas ideal y los procesos indicados en la tabla 5.4, es posible plantear la ecuación 5.21, para el rendimiento, con las consideraciones de gas ideal. ⎛ T4

⎞ − 1⎟⎟ C ⋅ (T1 − T4 ) ⎝ T1 ⎠ η = 1+ v = 1− C v ⋅ (T3 − T2 ) ⎛ T ⎞ T2 ⋅ ⎜⎜ 3 − 1⎟⎟ ⎝ T2 ⎠

T1 ⋅ ⎜⎜

(5.21)

Definiendo a la relación de compresión a través de la ecuación 5.22. r k =

Vmuerto + Vdesplazado v 2 = Vmuerto v1

(5.23)

Reemplazando la ecuación 5.23 en al ecuación 5.21 y realizando las operaciones y reemplazos algebraicos pertinentes, se obtiene la ecuación 5.24, para el rendimiento térmico. 1

η = 1 − k −1 r

(5.24)

k

Como se aprecia el rendimiento térmico es función sólo de la relación de compresión, luego al graficar esta expresión se obtiene el comportamiento mostrado en la figura 5.5.


40

Apunte de Termodinámica 80

60 o c i m r é t o t n e i m i d n e R

40

20

0 0

4

8 12 Relación de compresión

16

20

Fig. 5.5: Comportamiento del rendimiento del ciclo Otto respecto de la relación de compresión d. Ciclo de compresores alternativos Los compresores son termodinámicamente la máquina opuesta al motor, ya que el flujo de energía va desde el exterior en forma de trabajo mecánico en un eje a transformarse en energía térmica en la forma de trabajo termodinámico, como energía interna (presión) acumulada en un gas. Existen numerosos tipos de compresores, siendo las principales familias cuatro: - Compresores termodinámicos - Compresores rotatorios - Compresores de flujo continuo - Compresores alternativos En términos generales, estas familias de compresores se pueden caracterizar en su funcionamiento de la manera siguiente. i. Compresores termodinámicos: termodinámicos: Estos compresores son empleados en procesos de la industria química fundamentalmente y consisten en una tobera que al incrementar su área, reducen la velocidad del fluido que transportan y con ello le incrementan la presión. ii. Compresores rotatorios: Estos compresores son constructivamente similares a los ventiladores y son capaces de incrementar levemente la presión para así alimentar grandes caudales de gas a relativa baja presión, su principio de funcionamiento consiste en aprovechar la fuerza centrifuga que la aporta al gas el rodete del compresor, de modo que dependiendo de la velocidad tangencial con la que el gas abandona el rodete y que es reducida se transforma en presión. A estos equipos comúnmente se les denomina sopladores.


41

Apunte de Termodinámica iii. Compresores de flujo continuo: Estos compresores basan su funcionamiento en comprimir a la vez de forzar el paso axialmente del gas a través de tornillos sin fin, los que van reduciendo radialmente el área disponible para el gas y con ello lo comprimen. Actualmente, son los más empleados en grandes y medianas instalaciones industriales. iv. Compresores alternativos: Tradicionalmente este tipo de compresores compresores más utilizados en las diversas aplicaciones y genéricamente son prácticamente idénticos a un motor endotérmico de dos tiempos, ya que un ciclo de trabajo se desarrolla en una revolución del eje del motor Termodinámicamente un compresor alternativo trabaja formando un ciclo compuesto de cuatro procesos. Estos procesos son: P 1 = P0 los que son presentados en la tabla 5.5. Tabla 5.5: Caracterización del ciclo de un compresor alternativo Procesos

1-2 2-3 3-4 4-1

Proceso

Tipo de proceso

Compresión de gas isoentrópica Rechazo de gas isobarico Expansión de gas politropica Admisión de gas isobarico

P1·V1k = P2·V2k P2 = P3 P3·V3n = P4·V4n P4 = P1

Sin embargo, al tratarse de gases la sustancia a trabajo a comprimir, resulta conveniente considerar formas alternativas de compresión, como lo serían las compresiones isotérmica y la politrópica, ya que al comprimir isotérmicamente un gas se produce una disminución del trabajo mecánico requerido respecto de una compresión isentrópica, de ahí que se dote a los compresores de sistemas de refrigeración a fin de sostener la temperatura del gas constante durante la compresión. De hecho cuando el incremento de presiones es del orden de 7 barg, una compresión isotérmica implica una reducción de un 30% aproximadamente de la energía requerida respecto de una compresión isentrópica. A continuación se presentan las l as ecuaciones 5.25 y 5.26, que representan el trabajo mecánico requerido por las compresiones isotérmicas e isentrópica respectivamente. ⎛ P2 ⎞ ⎟⎟ ⎝ P1 ⎠

Wisotermico = P1 ⋅ V1 ⋅ ln⎜⎜ Wisoentropico =

P2 ⋅ V2 − P1 ⋅ V1 k −1

(5.25)

(5.26)

Representando los procesos que tienen lugar en un compresor alternativo que opera con un gas ideal, se obtiene el diagrama presión-volumen, que se muestra en la figura 5.6.


42


Fig. 5.6: Diagrama termodinámico de un co mpresor alternativo Como puede apreciarse, al termino de la entrega de aire (punto 3), la cámara de compresión contiene aun aire a presión, el que se expande de manera politrópica hasta igual ar la presión externa (punto 4) y permitir la admisión de aire desde el exterior, de tal manera que siempre se presentara un rendimiento volumétrico de admisión del compresor debido a este efecto, lo que se traduce en una ineficiencia del sistema a través de una reducción de la capacidad de admitir masa a comprimir. Matemáticamente esta definición queda expresada en la ecuación 5.27. ea =

Vaspirado V4 − V1 = V3 − V1 Vdesplazado

(5.27)

En cuanto a la potencia del compresor, esta se evalúa a partir del trabajo desarrollado con el compresor y que en la práctica es el área encerrada por los procesos que conforman el ciclo en el diagrama presión-volumen o trabajo indicado. Teóricamente, esta área es la suma de los traba jos desarrollados por los cuatro procesos siguiendo la definición de trabajo mecánico termodinámico para procesos de compresión politrópicos y procesos de intercambio de masa isobaricos, obteniéndose el trabajo teórico en la forma de la ecuación 5.28: Wit =

P2 ⋅ V2 − P1 ⋅ V1 P ⋅ V − P2 ⋅ V4 + P2 ⋅ (V2 − V3 ) + 1 3 + P1 ⋅ (V4 − V1 ) n −1 n −1

(5.28)

5.3 Análisis psicrométrico El análisis psicrométrico se aplica al aire atmosférico, que es una mezcla conformada por aire seco y agua, la que esta en forma de vapor de agua. Dado que el aire es un gas que se comporta como gas ideal, independientemente de la temperatura ambiente siempre permanecerá en fase gaseosa, en


43

Apunte de Termodinámica cambio el agua puede cambiar de fase y condensarse, transformándose en agua líquida. Las condiciones en que esto ocurre, se le denomina de rocío y al estado termodinámico como punto de rocío. Este punto de rocío depende de varias condiciones, siendo las dominantes la temperatura del aire y su contenido de agua o humedad. Dado el comportamiento de esta mezcla es necesario definir ciertos parámetros de medida relevantes que permitirán caracterizar esta mezcla y su capacidad de absorber o expulsar agua. Estos parámetros son: - Temperatura de bulbo seco - Temperatura de bulbo húmedo - Humedad relativa - Humedad especifica especifica o absoluta - Entalpía de al mezcla mezcla Las definiciones de cada uno de estos parámetros y su correlación con propiedades termodinámicas son las siguientes. . a. Temperatura de bulbo seco (Tbs) La temperatura de bulbo seco corresponde a la temperatura del aire medida directamente con un termómetro. b. Temperatura de bulbo húmedo (Tbh) La temperatura de bulbo húmedo corresponde a la temperatura del aire medida con un termómetro cuyo elemento sensible se encuentra completamente saturado de agua. En el caso de un termómetro de mercurio estándar, esto se realiza al colocar una funda de tela mojada en el bulbo sensible del aparato c. Humedad relativa (Φ) La humedad relativa es la división entre la presión del vapor de agua existente en el aire atmosférico y la presión que tendría si a igual temperatura de bulbo seco se encontrara en condiciones de rocío. Esto significa que es un parámetro que permite establecer la capacidad de absorber vapor de agua por el aire. Mientras mayor sea este valor, menor será su capacidad de absorber agua. Si la humedad relativa es baja, mayor será la capacidad del aire de absorber agua. Cuando la humedad relativa alcanza el 100%, implica que el aire no puede absorber más agua y se esta en la llamada condición de niebla. Por su lado, el equipo de medición de la humedad relativa se denomina psicrómetro. d. La humedad específica o absoluta (ω) La humedad específica o absoluta es una forma de concentración en base seca y corresponde a la división entre la masa de agua presente en el aire atmosférico y la masa de aire seco o gas aire, que existe en el aire atmosférico. La ecuación 5.29, muestra la forma matemática de la humedad absoluta. ω=

m agua m aire

⎛ kg w ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ kg a ⎠

(5.29)

e. Entalpía de al mezcla La entalpía de la mezcla es asociar a la masa de aire seco el valor de la entalpía total del aire atmosférico, ya que éste contiene, no sólo, la entalpía del aire si no que además, la entalpía del vapor de agua. Matemáticamente este parámetro se evalúa a través de la ecuación 5.30.


44

Apunte de Termodinámica h=

m aire ⋅ h aire + m agua ⋅ h agua m aire

(5.30)

Las figuras 5.7 y 5.8 muestran diversos equipos de medición de parámetros psicrométricos

Psicrómetro de revoleo

Psicrómetro digital

Psicrómetro análogo

Fig.5.7: Equipos de medición de d e parámetros psicrométricos



Psicrómetro digital

Fig.5.8: Equipos de medición de d e parámetros psicrométricos Estos parámetros psicrómetricos se representan en el denominado diagrama psicrométrico, el que se emplea para los diversos cálculos que se debe realizar en equipos de acondicionamiento de aire y de secado de productos, tales como la madera, la fruta, pinturas, etc. La composición del diagrama psicrométrico es la siguiente. El eje horizontal corresponde a la temperatura de bulbo seco, mientras que el eje vertical, que se lee a la derecha, corresponde a la humedad específica o absoluta. La temperatura de bulbo húmedo y la entalpía son líneas inclinadas que se leen a la izquierda del diagrama. La humedad relativa son líneas curvas que van leyendo desde la humedad relativa de 100% hacia la derecha, a medida que disminuyen de valor. La figura 5.9 muestra un diagrama psicométrico estándar.


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Fig. 5.9: Diagrama psicrométrico Los procesos más relevantes, en términos industriales, corresponden a los procesos de reducción de temperatura de agua de condensación mediante torres de enfriamiento y el proceso de secado de productos. En ambos tipos de equipos existen dos procesos, el primero es un proceso de calentamiento del aire (1-2) y el segundo un proceso de humectación del aire (2-3), este último proceso se modela como isoentálpico, esto es que la entalpía del aire atmosférico permanece constante. Durante este proceso el aire producto de un proceso de difusión convectiva, absorbe vapor de agua, por lo cual se genera en el aire un aumento de la humedad específica o absoluta y de la humedad relativa, en el equipo. En el diagrama psicrométrico estos procesos se presentan en la figura 5.10, donde el proceso de calentamiento del aire, se produce desde la entrada del aire al equipo en el punto 1, hasta un punto en que finaliza el calentamiento y comienza la humectación en el punto 2, terminando la humectación isoentálpica en el punto 3, el que corresponde a la salida del aire del equipo. A su vez, el punto TA muestra las condiciones de saturación de la humectación.


46


Fig. 5.10: Proceso de humectación de aire representado en el diagrama psicrométrico La aplicación a torres de enfriamiento se efectúa en función de los términos de balance de masa del aire de enfriamiento, el agua a enfriar y la variación de la humedad del aire, que es un medio que absorberá, por difusión de materia, el agua. Por lo anterior, el aire ingresara con menor temperatura y humedad que el que tendrá a la salida. La figura 5.11 muestra un esquema de una torre de enfriamiento y la simbología empleada en el balance de masa de agua que permite evaluar el comportamiento de este equipo.


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& Penacho de aire húmedo, m ah3

& Caudal de agua a enfriar, m f 1

& Caudal de aire, m ah1

& Caudal de agua enfriada, m f 3

Fig. 5.11: Esquema de una torre de enfriamiento Desarrollando el balance de masa, para la torre de enfriamiento se tiene que se cumple la ecuación 5.31. & & & & & & m ah1 + m f 1 = m ah2 + m f 2 = m ah3 + m f 3

(5.31)

La ecuación anterior, se puede separar en sus términos componentes que son el aire seco (gas), la humedad contenida en éste y el agua a enfriar. Este desglose adopta la forma de la ecuación 5.32. & & & & & & & & & m a1 + m w1 + m f 1 = m a 2 + m w 2 + m f 2 = m a3 + m w 3 + m f 3

(5.32)

La ecuación anterior, puede reescribirse en términos psicrométricos, lo que da lugar a la ecuación 5.33. & & & & & & m a1 ⋅ (1 + ω 1 ) + m f 1 = m a 2 ⋅ (1 + ω 2 ) + m f 2 = m a3 ⋅ (1 + ω 3 ) + m f 3

(5.33)

Analizando cada elemento por separado, sep arado, el balance de masa para el gas aire seco, se representa en la ecuación 5.34.


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Apunte de Termodinámica & & & & m a1 = m a 2 = m a3 = m a

(5.34)

A su vez, el balance de masa para el agua presente e n el aire de enfriamiento y en el agua a enfriar, se representa en la ecuación 5.35. & & & & & & m a1 ⋅ ω 1 + m f 1 = m a 2 ⋅ ω 2 + m f 2 = m a3 ⋅ ω 3 + m f 3

(5.35)

Este balance de masa de agua presente en el aire de enfriamiento y en el agua a enfriar, expresado en términos psicrométricos adopta la forma de la ecuación 5.36. & & & & m rep = m a ⋅ (ω 3 - ω 1 ) = m f 1 - m f 3

(5.36)

La aplicación a secadores se efectúa en función de los términos de balance de masa del aire de secado, el material a secar, la variación de la humedad del aire y de la humedad del material de secado. Este material por difusión del agua que contiene, esta migrara a la superficie donde será absorbida por el aire de secado. Para mejorar las condiciones de difusión del aire de secado, en términos de su capacidad de absorber agua, éste debe ser calentado a fin de disminuir su humedad relativa. Esto se realiza previamente a su entrada a la cámara de secado o dentro de ella. Luego, al igual que la aplicación anterior, el aire ingresara con menor temperatura y humedad que el que tendrá a la salida del secador, mientras que el material de secado tendrá una menor humedad a la salida respecto de la que tenía a la entrada. La figura 5.12 muestra un esquema de un secador y la simbología empleada en el balance de masa de agua que permite evaluar el comportamiento de este equipo.

Ingreso de aire de secado & m ah1

Ingreso de producto húmedo & m pa

caudal de agua transferida

Salida de aire de secado & m ah3

Salida de producto seco & m pb

Fig. 5.12: Esquema de un secador Aplicando el comportamiento psicrométrico para el proceso de calentamiento del aire identificado en la figura 5.10, por el proceso 1-2, se obtiene la ecuación 5.37. De donde se desprende que la humedad especifica o absoluta, permanece constante, por lo que es posible considerar sólo los estados de entrada y salida, para el análisis másico de las sustancias.


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Apunte de Termodinámica & & m a1 ⋅ (1 + ω1 ) = m a 2 ⋅ (1 + ω 2 )

(5.37)

Desarrollando el balance de masa total, bajo las consideraciones anteriores para el secador se obtiene la ecuación 5.38. & & & & m ah2 + m pa = m ah3 + m pb

(5.38)

La ecuación anterior, se puede separar en sus términos componentes que son el aire seco (gas), la humedad contenida en éste, el material sólido presente en el producto a secar y el agua contenida en forma de humedad en éste. Este desglose adopta la forma de la ecuación 5.39 & & & & & & & & m a 2 + m w 2 + m sa + m fa = m a3 + m w 3 + m sb + m sb

(5.39)

La ecuación anterior, puede reescribirse en términos psicrométricos, lo que da lugar a la ecuación 5.40. & & & & & & m a 2 ⋅ (1 + ω 2 ) + m fa + m sa = m a3 ⋅ (1 + ω 3 ) + m fb + m sb

(5.40)

Analizando cada elemento por separado, el balance de masa para el gas aire seco, se representa en la ecuación 5.41. & & & & m a1 = m a 2 = m a3 = m a

(5.41)

A su vez, el balance de masa para el sólido sólido presente en el producto, se presenta en la ecuación 5.42. & & & m sa = m sb = m s

(5.32)

Finalmente, el balance de masa para el agua presente en el aire de secado y en el producto, se representa en la ecuación 5.43. & ⋅ω +m & & & m a 1 fa = m a ⋅ ω 2 + m fb

(5.43)

Este balance de masa de agua presente en el aire de secado y en el producto, expresado en términos psicrométricos adopta la forma de la ecuación 5.44. & ⋅ (ω - ω ) = m & & m a 3 1 fa - m fb

(5.44)

Cabe indicar que el concepto de humedad para el material a secar es una forma de concentración en base húmeda, con la forma matemática mostrada por la ecuación 5.45. xp =

m f m f + m s

Donde: xp mf ms

(5.45)

: Humedad del material a secar : Masa de agua contenida en el material a secar : Masa de sólido contenido en el material a secar


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Apunte de Termodinámica 6. Bibliografía

6.1 Termodinámica M. C. Potter y E. P. S cott Thomsom Editores 1ª Edición en castellano, 2006 ISBN 970-686-565-9 6.2 Termodinámica Y. A. Çengel y M. A. Boles McGraw-Hill Book Company 2ª Edición en castellano, 1997 ISBN 970-10-0909-6 6.3 Introducción a la Termodinámica K. Sherwin Addison-Wesley Iberoamericana 1ª Edición en castellano, 1995 ISBN 0-201-62591-1 6.4 Termodinámica V. M. Faires UTEHA (Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana) 1ª Edición en castellano, 1982 ISBN 968438029-1 6.5 Transferencia de Calor y Masa Y. A. Cengel McGraw-Hill Interamericana 1ª Edición en castellano, 2007 ISBN 970-10-6173-X 6.6 Mecánica de Fluidos Y. A. Cengel & J. M. Cimbala McGraw-Hill Interamericana 1ª Edición en castellano, 2006 ISBN 970-10-5612-4


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Fundamentos de Termodinamica

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