FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estado est adoss de sí o no, o bie bien n act activo ivo o ina inacti ctivo. vo. Por eje ejempl mplo, o, una fue fuerza rza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión elctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse despus de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conv co nvie iene ne in intr trod oduc ucir ir un una a fu func nció ión n es espe peci cial al ll llam amad ada a fu func nció ión n es esca caló lón n unitario. !a función escalón de "eaviside, tambin llamada función escalón unitar uni tario, io, deb debe e su nom nombre bre al mat matem emáti ático co ing ingls ls #liv #liver er "eav "eaviside iside.. Es una funció función n disco discontinua ntinua cu cu$o $o va valo lorr es % pa para ra cu cual alqu quie ierr ar argu gume ment nto o negativo, $ & para cualquier argumento positivo. Esta función es usada muc'o en casos donde la acción de la vari va riab able le no es co cont ntin inua ua du dura rant nte e el ti tiem empo po,, es po porr es eso o qu que e en lo loss siguientes ejemplos se procederá a tomar el valor % para cualquier argumento menor que un número real (a) pero ma$or o igual que cero, $ & para que cualquier número ma$or o igual a (a), quedando de*nido de la siguiente manera+
{
H ( (t − a )= 0 Si 0 ≤ t < a 1 Sit ≥a
Observación: la función de "eaviside se de*nió sobre el intervalo [ 0, + ∞ ] , pues esto es su*ciente para la transformada de !aplace. En un sentido más general H ( (t − a )=0 para t < a .
Ejemplo razar razar la grá*ca de la función f ( ( t )= H ( ( t −1 ) . Solución !a función f ( ( t )=
{
f ( ( t )
está dada por
<
0 Si 0 ≤ t 1 1 Sit≥ 1
$ su grá*ca se muestra+
Ejemplo razar la grá*ca de la función
f ( t )= Sen ( t ) H ( t −2 π )
.
Solución !a función está dada por
f ( t )=
{
<
0 Si 0 ≤t 2 π
Sen ( t ) Sit ≥ 2 π
RELACIÓN E LA FUNCIÓN ESCALONAA EN EL USO E CIRCUITOS En el análisis de circuitos es importante conocer una serie de funciones básicas, que permiten estudiar el comportamiento de un circuito ante determinadas excitaciones.
{
( ) 0 Sit < 0 -sando la función escalonada u t = 1 Sit > 0 se supone que 'asta
el momento de 'acerlos ensa$os no 'abía variación de variables. Para compensar esta 'ipótesis debemos tener en cuenta las condiciones iniciales.
ft/
2u(t-t o )
u(t)
to
t
-u(t o-t)
Función !e Impulso En ingeniería usualmente se maneja la idea de una acción ocurriendo a un determinado punto. Puede ser una fuerza en ese punto o una se0al en un punto del tiempo, se convierte necesario desarrollar alguna manera cuantitativa de de*nir este 'ec'o. Esto nos lleva a la idea de un pulso unitario. Es probablemente la segunda se0al más importante en el estudio de se0ales $ sistemas despus del Exponencial 1omplejo. !a 2unción 3elta de 3irac, conocida tambin como el impulso unitario o función delta es una función in*nítamente angosta, in*nítamente alta, cu$a integral tiene un valor uni"ario . al vez la manera mas simple de visualizar esto es usar un pulso rectangular que va de a456a 5 6 a a756a 5 6 con una altura de &5& 5. 8l momento de tomar su límite, limit 59%5 %, podemos observar que su anc'o tiende a ser cero $ su altura tiende a in*nito conforme su área total permanece constante con un valor de uno. !a función del impulso usualmente se escribe como :t/.
!a función
dada por
donde
,
se conoce como la función impulso unitario. !a
grá*ca de la función escalón para
$
.
#bservación+ para valores peque0os de , se tiene que es una función constante de gran magnitud que esta activa por un tiempo mu$ corto alrededor de
.
Existen tres propiedades mu$ importantes que se usan frecuentemente cuando se opera con la ;e0al
#ropie!a! !e $ues"reo:
#ropie!a! espla%amien"o:
!e
#ropie!a! Escalamien"o:
!e
CON&OLUCIÓN : ;e denomina convolución a una función, que de forma lineal $ continua, transforma una se0al de entrada en una nueva se0al de salida. !a función de convolución se expresa por el símbolo =.
En un sistema unidimensional, se dice que gx/ convoluciona fx/ cuando
donde x’ es una variable de integración. El resultado de gx/ depende únicamente del valor de fx/ en el punto x, pero no de la posición de x. Es la propiedad que se denomina invariante respecto la posición position>invariant/ $ es condición necesaria en la de*nición de las integrales de convolución. En el caso de una función continua, bidimensional, como es el caso de una imagen monocroma, la convolución de fx,$/ por gx,$/ será+
gx,$/ debe cumplir el requisito de no variar según la posición x e $.
Ejemplo? 'allemos de manera grá*ca la convolución del impulso unitario con
, tenemos la siguiente grá*ca+
#bservand o la ecuación de la convolución se debe realizar la integral desde % 'asta , la función sería como agarrar invertirla con respecto al eje @, e ir trasladándola de izquierda a derec'a mientra se multiplica por el A&A que existe en .
Ejemplo !e c'lculo+ Primero se gra*can las se0ales x t / $ ' t / +
;e cambia la variable t por
$ se reBeja ' t / +
8'ora se desplaza ' > /, t unidades, consiguiendo ' t > que es lo mismo ' > > t / / +
/ , o lo
!uego se deben tomar en cuenta los diferentes intervalos de t para los cuales cambia la expresión de x t / C ' t > /, resolviendo la integral de convolución para cada intervalo. El primer intervalo a considerar
sería >
D t D >&, en el cual se tiene, para cualquier valor de t+
El segundo intervalo a considerar sería > & D t D &, en el cual se tiene, para cualquier valor de t+
El siguiente intervalo a considerar sería & D t D 6, en donde+
El cuarto intervalo a considerar sería 6 D t D , en el cual, para cualquier valor de t+
intervalo a considerar sería D t D cualquier valor de t+
El último , en el cual se obtiene para
2inalmente, resumiendo el resultado de x t / F ' t / en un grá*co, se obtiene+
Gepública Holivariana de Ienezuela -niversidad Jacional Experimental Politcnica (8ntonio Kos de ;ucre) Iice>rectorado !uis 1aballero Lejías Júcleo+ Muarenas Latemáticas
$ATE$(TICAS I&
Profesor+ 8lumnos+ Nngel Marcía 8lfonso !ara
1le$ber t Larrero Orist'ian "ernández Pedro Kimnez
Muarenas,abril de 6%&
