Funcion de Probabilidad y Esperanza Matematica

Función de Probabilidad y Esperanza Matemática

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD PROBABILIDAD Y ESPERANZA MATEMÁTICA Raúl Flores Rivero Profesor Académia Académia César Vallejo Vallejo - ICH

Introducción Uno de los instrumentos fundamentales de la estadística es la probabilidad que tuvo sus inicios en los juegos de azar, azar, en el siglo XVII, como por ejemplo lanzar dados, tirar al aire una moneda, extraer una carta, etc. en los cuales el resultado de una prueba es incierto, sin embargo, es sabido que aún cuando el resultado de una prueba en particular sea incierto, existe un resultado que se puede predecir a largo plazo. En la ciencia experimental se presenta también un tipo similar de incertidumbre y regularidad a largo plazo, así por ejemplo en la genética es incierto saber si un descendiente será macho o hembra, pero en un plazo largo se conoce aproximadamente el porcentaje de descendientes que serán machos y el de aquellos que serán hembras. Una compañía de seguros no puede predecir que personas de un país morirán a la edad de 60 años, pero si puede predecir con bastante exactitud, cuantas personas de ese país morirán a dicha edad.

DEFINICIONES BÁSICAS Experimento aleatorio (ε) Es todo experimento en que al repetirse en las mismas condiciones es imposible predecir los resultados, cada experimento de este, tiene dos o más resultados posibles que pueden describirse, por ejemplo: ε1 : Lanzar un dado equilibrado. ε2 : En una empresa, elegir dos artículos de la producción de un día y anotar si son defectuosos

o buenos. ε3 : Extraer 3 cartas de una baraja de 52 Espacio muestral (Ω) Es el conjunto cuyos elementos son los posibles resultados de un experimento aleatorio, por ejemplo: Para ε1 Ω1 = {1,2,3,4,5,6}

n(Ω1) = 6

t

Para ε2 Ω2 = {BB, BD, DB, DD}

n(Ω2) = 4

t

Para ε3 52 Ω3= { 2 3 5 , 5 3 2 , ....} : n(Ω3) = C 3

-1-


Evento Es un subconjunto del espacio muestral y será denotado por las letras A, B, C, D, E, F, .., por ejemplo: Para Ω1 A: se obtiene como resultado un número primo A = {2, 3, 5}

n(A) = 3 ; A _ Ω1

t

Para Ω2

B: se obtuvo como resultado sólo un defectuoso B = {BD, DB}

n(B) = 2 ; B _ Ω2

t

Para Ω3

D: las 3 cartas extraídas sean de la misma figura D : {3 5 5 , 6 7 10 , ...} 13 13 13 n(D) = C 13 C C C ; D + + + 3 3 3 3

t

⊂ Ω3

Tipos de eventos a) b) c)

Evento seguro Es el que siempre ocurre, coincide con el espacio muestral (Ω) Evento imposible Es aquel que nunca ocurre, coincide con el conjunto vacío (φ) Evento elemental Es cualquier evento que tiene un sólo elemento. Nota

1. Dado los eventos A y B Si A 3B = φ, si y sólo si los eventos A y B son mutuamente excluyentes (disjuntos). 2. Dado los eventos A y B Si A 4B = Ω, si y sólo si el evento B es complementado de A y se denota

B = AC

DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD (Regla de Laplace) Llamado también probabilidad a priori. Dado un espacio muestral finito Ω, en el que todos sus elementos tienen igual posibilidad de ocurrir, la probabilidad de que ocurra A, que denotaremos P(A), se calcula así: (A _ Ω). P(A) =

Cantidad de casos favorables de A Cantidad de casos possibles de Ω

=

n(A) n(A)

Ejemplo

En el juego de la tinka, se realizan todas las jugadas con los 10 primeros números, cual es la probabilidad de ganar el premio. -2-


Propiedades 1. 2. 3.

4. 5.

Si A es un evento de Ω, entonces 0≤P(A)≤1 Si A y B son eventos no excluyentes entonces P(A 4B) = P(A) + P(B) – P(A 3 B) Si A es un evento de Ω, entonces P(A C) = 1 – P(A) Si A _ B, entonces P(A) < P(B) Si A _ B, entonces P(B – A) = P(B) – P(A) Nota

Existen varios inconvenientes en la manera clásica, de abordar el problema, es obvio que la definición de probabilidad deberá modificarse de algún modo cuando el total de resultado posibles sea infinito, por ejemplo: Cual será la probabilidad de que un número natural extraído al azar sea par. Cuál será la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda, si la moneda tiene un sesgo a favor de las caras. Cual será la probabilidad de que un niño nacido en Huánuco sea varón. Cuál será la probabilidad de que una lámpara luzca al menos durante cien horas. Deseamos que todos estos problemas tengan respuestas dentro del marco de la teoría de la probabilidad, sin embargo las cuestiones de "simetría" e "igualdad de posibilidad", etc. no pueden considerarse como lo serían en un juego de azar, por tanto, tendremos que alterar o extender nuestra definición para incluir pr oblemas análogos a los anteriores en la estructura de la teoría. Esta probabilidad aplicable más extensamente, se llama probabilidad a posteriori o probabilidad frecuencial.

VARIABLE ALEATORIA Las palabras "variable aleatoria" suelen emplearse para subrayar que se ignora el valor concreto que tomará esta variable, pero sabemos que valores puede tomar y también sus probabilidades de unos y otros valores.

Variable aleatoria discreta Son las variables que admiten los distintos valores aislados de carácter cuantitativo como por ejemplo, la variable número de hijos que toma los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... n

Variable aleatoria continua Son las variables que admiten todos los valores de un intervalo, y es de carácter cuantitativo como por ejemplo, la variable, es tiempo que demora el bus en llegar de Huánuco a Lima t ∈<9, 12>

-3-

Función de Probabilidad y Esperanza Matemática Nota

En una gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar los resultados, es decir, asignar a cada resultado un número con el fin de poder realizar un estudio matemático, por ejemplo: Consideremos el experimento aleatorio ( ε1) ε1 : Lanzar tres monedas equilibradas

El espacio muestral asociado a este experimento será Ω = {ccc, ccs, csc, scc, ssc, scs, css, sss}

ahora podemos definir la variable aleatoria x como número de sellos obtenidos en el lanzamiento de las tres monedas, se observa que x es una variable discreta.

Veamos el siguiente gráfico:

Observación

En el lanzamiento de una moneda obtenemos cara (c) o sello (s), que son cualidades, sin embargo, al asignarle la cantidad de sellos podemos hacer un estudio cuantitativo. Del ejemplo podemos cuantificar la posibilidad de ocurrencia de cada resultado de la variable "x "

Veamos el siguiente cuadro: Ω

x

P(x)

ccc

0

P(x=0) = 1/8

ccs csc scc

1

P(x=1) = 3/8

css scs ssc

2

P(x=2) = 3/8

ccc

3

P(x=3) = 1/8

P(1 × 3) = P(1) + P(2) + P(3) =

7 8

-4-


FUNCIÓN DE PROBABILIDAD En el ejemplo anterior a cada resultado de la variable aleatoria le corresponde una probabilidad de ocurrencia, a esta correspondencia llamaremos función de probabilidad o distribución de probabilidad de una variable aleatoria. Veamos el siguiente gráfico:

Donde: Ω : espacio muestral

R x : conjunto de valores que admite la variable aleatoria p : función de probabilidad o función de cuantía. Ejemplo:

En una urna se tiene 12 tarjetas enumeradas del 1 al 12, se extrae al azar una tarjeta, se define la variable aleatoria x como la cantidad de divisores del número de la tarjeta extraída. Elabore su función de probabilidad de la variable aleatoria x. Propiedades: 1. 2.

p(x) > 0 : ∀ x ∈ R x = {x 1 , x 2 , ...}

∑

p(x) = 1

x ∈R x

3.

p(x) = 0

f

x

v

R x

ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA Llamada también medida de una variable aleatoria o valor esperado, es el promedio de los valores que toma la variable aleatoria donde cada valor x i de ésta es ponderada por su probabilidad respectiva p(x), es decir: ∞

E( x ) = ∑ x i p( x i ) i =1

= x 1 p(x 1) + x 2 p(x 2) + x 3 p(x 3) + ... De los ejemplos anteriores calculemos la esperanza matemática de la variable aleatoria x. -5-

Función de Probabilidad y Esperanza Matemática Ejemplo:

Una moneda es lanzada repetidamente hasta obtener cara por primera vez, sea la variable aleatoria z como el número de lanzamientos necesarios para obtener cara por primera vez, determine el valor esperado de z. Notas

1. Cuando un conjunto de datos no es agrupado en clases (catergorías), la esperanza matemática es la media aritmética de los datos. 2. Cuando un conjunto de datos es agrupado en clases (categorías) o en una tabla de frecuencias, la esperanza matemática es la media de dichos datos. 3. Las propiedades de esperanza matemática es similar a las propiedades del promedio aritmético. Por ejemplo E(x+b) = E(x) + b, donde b es constante. 4. La esperanza matemática de la variable aleatoria x elevado al cuadrado es: ∞

E( x ) = ∑ x i2 p( x i ) 2

i =1

en general ∞

E( x ) = ∑ x ni p( x i ) n

i =1

(n ∈Z+)

PROBLEMAS 1.

Consideremos el experimento aleatorio lanzar dos dados y observar los números que aparecen en las caras superiores. a. Determine la distribución de probabilidad P(x) de la variable aleatoria (x) y dé como respuesta P(5 ≤ x < 9) x : suma de números que aparecen en la cara superior de los dos dados. Rpta.: 5/9 b. Indique la distribución de probabilidad de la variable aleatoria y : diferencia positiva de los números que aparecen en la parte superior. Dé como respuesta E(y) Rpta.: 16/9

2.

Tres bolsas son aleatoriamente seleccionadas en forma simultánea de una urna que contiene 3 bolas blancas, 3 rojas y 5 negras. Supongamos que ganamos S/1. Por cada bola blanca seleccionada y perdemos S/1. por cada bola roja seleccionada. a. Establezca la distribución de probabilidad de la variable aleatoria (x). x : ganancia neta obtenida en el experimento. Dé como respuesta P(x=–2)+P(x=2) Rpta.: 0 b. Calcule la probabilidad de que gane dinero en el experimento. Rpta.: 1/3 -6-


3.

4.

Sea el experimento aleatorio: arrojar 5 monedas y se observan sus resultados; y la variable aleatoria. x : número de sellos obtenidos al arrojar las 5 monedas. a. Determine la función de probabilidad de x.

Rpta: P( x

b.

Determine la esperanza matemática de x. Rpta.: 2,5

=

n)

C n5

=

32

Sea f(x) = a x + 1/8 una función de probabilidad, x ∈N y

x

≤ 4. Hallar P(2 <

x

≤ 4)

Rpta: 0,6 5.

Suponga que un juego al azar consiste en lanzar un dado y que el jugador puede ganar $7, si obtiene al menos 5 puntos, o perder $2 en caso contrario. ¿ Cuánto espera ganar en el juego el jugador? Rpta.: 1

6.

Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente tabla de distribución de probabilidad. Hallar el valor esperado. x

1

p(x)

2

3

2k − 3

3k

3k

14

14

14

4 k

−1

14

Rpta: 2,5 7.

La función de probabilidad de la variable aleatoria x, definida como el número de caras que se obtiene al lanzar 5 monedas es: p( x )

1 =

n

. C 5x

El valor de p(3) es: Rpta.: 0,135 8.

Sea x una variable aleatoria con esperanza matemática E(x)=5 y varianza V(x)=2. ¿Cuál es la esperanza matemática de x 2? Rpta.: 27

9.

Juan lanza una moneda 3 veces. Si obtiene al menos dos cras se le permitirá lanzar un dado y recibirá tantos soles como puntos obtenga en el dado. ¿Qué cantidad se espera que gane Juan? Rpta: 1,75 -7-


10. El número de licitaciones que gana al año una empresa consultora es una variable aleatoria x con función de densidad definida como x

0

1

2

3

4

P(x)

0,15

3n

0,25

2n

n

calcule el coeficiente de variación (CV) si se sabe que CV =

S

. 100%

x

S : desviación estándar x : media

Rpta.: 31,1% 11. Se lanzan dos dados simultáneamente y sea la variable aleatoria x. x mayor valor que puede salir en los dados, calcule E(x). Rpta.: 161/36 12. Al lanzar 2 dados, un negro y el otro blanco, cuál es la probabilidad de obtener: I. El mismo puntaje en cada uno. II. Un puntaje mayor en el dado negro, que en el blanco. III. Puntaje par en uno e impar en el otro. Calcule la suma de los resultados. Rpta.: 39/36 13. En una urna se tienen bolas numeradas del 1 al 15 y se extraen tres bolas al azar sin reposición (una por una). Halle la probabilidad de que la última resulte mayor que 10, si las dos primeras resultaron impares. Rpta.: 17/195 14. Una urna contiene cuatro fichas numeradas: 1 ; 2 ; 3 ; 4 y de ellas se extraen dos fichas sin reposición. Si x es la variable aleatoria que representa la suma de los cuadrados de los dos números obtenidos, calcule E(x). Rpta.: 15 15. Sea x una variable aleatoria discreta y su respectiva función de probabilidades P(x). x

2

3

4

5

P(x)

2n

m

n

3m

Si el valor esperado de x es 3,4, calcule m+n. Rpta.: 0,30 -8-


16. Dada la función de probabilidad.

1  ; x = 2 , 4 , 8 , 16 P( x ) =  4 0, para otros casos Calcule E(x) Rpta.: 7,5 17. Suponga que la vida útil en años de cierto tipo de computadora es una variable aleatoria x con la función de densidad:

2 − 2 x ; si 0 ≤ x ≤ 1

f ( x ) = 

0

en el resto

El distribuidor ofrece una garantía de 6 meses. Si la computadora falla en ese período se reemplaza por otra, a lo más una sola vez. Si cada computadora tiene el costo de fabricación de 400 UM y el precio de venta de 900 UM. ¿Cuál es la utilidad esperada por computadora? Rpta.: 300 18. Sea x el tiempo de supervivencia en segundos después de un diagnóstico de una enfermedad donde la función de densidad es: x

a f( x ) = K    b  P( x < 3) =

11 3

; x = 1 , 2 , 3 , 4 , ...

; (a < b)

siendo a y b enteros.

Halle P(x=10) Rpta.: 0,124

-9-

Funcion de Probabilidad y Esperanza Matematica

Recommend Documents