Fractional Factorial (FF)
Oleh : ( Kelompok VI ) Nurlina (60600109021) Febriani (60600109005) Rismawati (606001090)
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN MAKASSAR 2011
BAB III TWO_LEVEL FRACTIONAL FACTORIAL DESIGNS Rancangan Fractional Faktorial Dua Dua Level”
“
A. Alasan Menggunakan Rancangan Faktorial Sebagian (Fractional Fraction)
1. Prinsip efek sparsitas (Sparsity of effects) a. Mungkin ada banyak fakor, namun hanya beberapa yang penting. b. System didominasi oleh efek utama, low-order interactions 2. Dalam situasi penyaringan (screening), dimana diperkirakan hanya sebagian kecil faktor yang penting. 3. Kelompok-kelompok Kelompok-kelompok percobaan dilaksanakan secara bertahap. 4. Interaksi-interaksi dari faktor tertentu yang beralias dengan faktor interaksi yang lebih tinggi untuk sementara dapat dianggap tidak ada (dapat diabaikan). Dengan kata lain, faktor-faktor tertentu yang mungkin mempunyai interaksi yang beralias dengan faktor tersebut, pengaruhnya digambarkan dengan efek utama saja. k
Jika banyak faktor pada desain factorial 2 makin besar, maka banyaknya percobaan (run) yang harus dilakukan makin bertambah besar pula. Sebagai 6
contoh pada desain 2 akan dubutuhkan 64 runs. Padahal dari desain ini dari 63 derajat bebas total akan terbagi hanya 6 derajat bebas untuk efek-efek utama, dan hanya 15 untuk interaksi 2 faktor, sedangkan sisanya 42 untuk interaksi tiga faktor dan interaksi yang lebih tinggi. Jika peneliti mempunyai alasan untuk mengasumsikan bahwa interaksi tingkat tinggi dapat diabaikan, maka informasi tentang efek-efek utama dan interaksi tingkat rendah dapat diperoleh hanya dengan melakukan percobaan sebagian saja dari percobaan factorial lengkap. Desain yang digunakan disebut desain factorial sebagian ( Fractional Factorial Desaign). Desain ini banyak
digunakan dalam perancangan produk dan proses serta untuk perbaikan proses (Process improvement) Tujuan utama dari desain factorial ini adalah untuk Screening experiments, yakni pada jenis eksperimen ini ada banyak faktor yang harus dipertimbangkan dan tujuannya untuk mengidentifikasi faktor-faktor (jika ada) yang mempunyai efek besar baru kemudian dilanjutkan ke eksperimen berikutnya untuk meneliti lebih detail terhadap faktor-faktor yang efeknya besar tersebut. Desain fraksional ( fractional factorial design) disajikan menggunakan notasi l
k – p
;
Dengan:
l adalah jumlah level setiap faktor yang diselidiki
k adalah jumlah faktor yang diteliti, dan
p menggambarkan ukuran fraksi faktorial yang digunakan.
5 2 1 Sebagai contoh, desain 2 − adalah desain / 4 dari dua level dan lima faktor
desain faktorial. Daripada mendesain 32 percobaan yang diperlukan untuk 5
percobaan full factorial design 2 , penelitian ini hanya membutuhkan delapan percobaan dengan tingkat kesalahan yang tentunya lebih kecil. B. Pengertian Rancangan Fractional Factorial (FF)
Rancangan FF dengan dua taraf/level dinotasikan dengan 2 rancangan yang mencobakan hanya 2
k-p
k-p
merupakan
kombinasi perlakuan dari seluruh 2
k
kombinasi perlakuan lengkap. Rancangan FF yang akan didiskusikan paling awal adalah yang paling sederhana yaitu 2
k-p
. Rancangan ini melibatkan k faktor dan dua taraf. Alih-alih
k
melibatkan 2 perlakuan seperti pada rancangan faktorial lengkap, rancangan ini p
-p
hanya menggunakan 1/2 atau 2 dari total kombinasi atau sebanyak 2 disebut sebagai fraksi rancangan.
k-p
. Nilai 2
-p
Untuk mendapatkan rancangan 2
k-p
yang harus dilakukan adalah sebagai
berikut.Pertama susun (k - p) kolom yang berisi 2
k-p
kombinasi lengkap dari (k -
p) faktor. Notasi yang digunakan untuk taraf setiap faktor adalah '+' dan '-'. Selanjutnya p faktor atau kolom lainnya diperoleh dengan mengalikan unsur kolom sebelumnya menggunakan p buah generator yang saling bebas. Fraksi Percobaan dapat diartikan sebagai seberapa besar proporsi total
kombinasi perlakuan yang akan dicobakan dalam rancangan FF. adapun jenis fraksi percobaan yang sering digunakan adalah:
Fraksi setengah (The one-half Fraction), mencobakan hanya setengah bagian dari kombinasi perlakuan lengkap. Bentuk rancangan dari percobaan setengan fraksi ini adalah 2 Contoh: percobaan 2
5-1
k-1
.
melakukan 16 kombinasi perlakuan dari 32
kombinasi perlakuan lengkap.
Fraksi seperempat ( The
One-Quarter
Fraction), percobaan fraksi
seperempat mencobakan hanya seperempat bagian dari kombinasi perlakuan lengkap dan bentuk rancangannya adalah 2 Contoh: Percobaan 2
k-2
.
5-2
.melakukan 8 dari 32 kombinasi perlakuan lengkap.
Sebuah rancangan dikatakan memiliki resolusi R jika tidak ada pengaruh i faktor ber-alias dengan pengaruh lain yag mengandung kurang dari R-1 faktor. Beberapa resolusi yang biasa digunakan dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel resolusi dan maknanya
Keterangan
Resolusi -
Resolusi III(2III )
Pengaruh faktor utama tidak beralias dengan pengaruh faktor utama tetapi ber-alias dengan pengaruh interaksi dua faktor yang lebih tinggi. Pengaruh interaksi dua faktor tidak ber-alias dengan pengaruh faktor utama tetapi ber-alias dengan pengaruh interaksi dua faktor yang lebih tinggi. Pengaruh interaksi dua faktor tidak ber-alias dengan pengaruh utama dan pengaruh interaksi dua faktor, tetapi ber-alias dengan pengaruh interaksi tiga faktor dan yang lebih tinggi.
I = ABC
-
Resolusi IV(2IV ) I = ABCD
-
Resolusi V(2V ) I = ABCDE
Misalkan ada percobaan 3 faktor masing-masing 2 level yang dipertimbangkan, tetapi peneliti tidak dapat melakukan run percobaan sebanyak 3
2 =8 kombinasi treatment. Anggap hanya bisa melakukan 4 run, sehingga desain 3
yang digunakan adalah desain FF dengan fraksi setengah dari desain 2 atau sering dinotasikan dengan desain 2
3-1
.
Efek berbagai faktorial sebagai berikut: A = (abc) + (ac) + (ab) + (a) - (bc) - (c) - (b) - (1) B = (abc) + (bc) + (ab) + (b) - (ac) - (c) - (a) - (1) C = (abc) + (bc) + (ac) + (c) - (ab) - (b) - (a) - (1)
dinamakan kontras:
AB = (abc) + (c) + (ab) + (1) - (bc) - (ac) - (b) - (a) AC = (abc) + (ac) + (b) + (1) - (bc) - (c) - (ab) - (a)
A, B,…K =
BC = (abc) + (bc) + (a) + (1) - (ac) - (c) - (ab) - (b) ABC = (abc) + (c) + (b) + (a) - (bc) - (ac) - (ab) - (1)
Misalkan peneliti memilih 4 kombinasi treatment yaitu a, b, c, dan abc. Perhatikan bahwa peneliti hanya memilih eksperimen yang kolom ABC bertanda positif saja.Sehingga ABC disebut bertanda positif saja. Sehingga ABC disebut generator dan I = ABC disebut defining relation dari desain fraction ini. Secara
umum defining relation untuk suatu fractional factorial adalah kolom yang sama tandanya dengan kolom identitas I. Berdasarkan setengah dari tabel di atas diperoleh dugaan efek utama A, B, dan C adalah: A= ½ [a-b-c+abc] B = ½ [-a+b-c+abc] C = ½ [-a-b+c+abc]
Sedangkan dugaan dari interaksi dua faktor adalah: BC = ½ [a-b-c+abc] AC = ½ [-a+b-c+abc] AB = ½ [-a-b+c+abc]
Sehingga nampak bahwa:
A= BC B = AC C = AB
Yang konsekuensinya adalah tidak mungkin membedakan antara A dengan BC, B dengan AC dan C dengan AB. Karena dalam kenyataannya ketika kita menduga A dan BC (ditulis A + BC), B dan AC (ditulis B + AC), serta C dan AC (ditulis C + AB), hal ini sering dinotasikan : A A + BC, B B + AC C C + AB
Dua atau lebih efek efek yang memiliki sifat seperti ini d isebut aliases, sehingga pada contoh kasus ini A dan BC beralias (aliases), B dengan AC beralias, dan C denngan AB beralias. Struktur alias untuk desain dengan defining relation I = ABC pada contoh ini dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut: 2
A . I = A . ABC = A . BC = BC (karena kuadrat dari setiap kolom
selalu = kolom I) 2
B . I = B . ABC = AB C = AC 2
C . I = C . ABC = ABC = AB
Setengah fraction dengan I = +ABC, biasanya disebut dengan principal fraction.
Jika pada kasus ini dipilih defining relation I= -ABC yaitu yang dilakukan percobaan adalah 1, ab, ac, dan bc maka akan diperoleh ketika sedang menduga A, B, dan C. kenyataannya yang diduga adalah A – BC, B – AC, dan C – AB.
Dalam praktek desain fractional factorial I = ABC dan I = -ABC tidak dibedakan atau sama famili. Sehingga dapat dinuliskan bentuk-bentuk tabel plus dan minus untuk tiap resolusi sbb: 4-1
Tabel untuk 2IV
dengan I = ABCD
Percobaan (runs)
I
A
Faktor B C
1 2 3 4 5 6 7 8
+ + + + + + + +
+ + + +
+ + + +
5-1
Tabel untuk 2V
Percobaan (runs) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
I + + + + + + + + + + + + + + + +
A + + + + + + + +
B + + + + + + + +
+ + + +
D=ABC
Kombinasi Respon perlakuan
+ + + +
(1) ad bd ab cd ac bc abcd
dengan I = ABCDE
Faktor Kombinasi Respon C D E=ABCDE perlakuan + (e) a b + abe + c + + ace + + bce + abc + d + + ade + + bde + abd + + + cde + + acd + + bcd + + + abcde
Sebagai contoh desain
diperoleh dengan cara pertama-tama menuliskan
2
bentuk full 2 factorial sebagai basic design dan kemudian menyamakan faktor C dengan interaksi AB. Perhatikan tabel berikut:
k
Fraksi setengah dari desain 2 dengan resolusi tertinggi dapat dibentuk dengan menuliskan kembali basic design (tanda faktor A bergantian dengan tanda (-) dan (+), tanda untuk faktor B bergantian 2 kali (-) dan dua kali (+), faktor C bergantian 4 kali (-) dan 4 kali (+), dst). Untuk runs dari full factorial 2
k-1
dan
kemudian menambahkan faktor ke-k yang tanda plus minusnya sama dengan
interaksi AB… (k -1) C. Model Matematis
Model matematis dari rancangan fractional factorial yaitu;
̂ Keterangan: Yijk = pengamatan pada satuan percobaan ke-I yang memperoleh kombinasi perlakuan taraf ke-j dari factor A dan taraf ke-k dari factor B
= mean populasi = efek dari beberapa faktor
D. Tabel Anova
Secara umum, bentuk tabel Anova dari Rancangan Fractional factorial adalah sebagai berikut:
Sumber Keragaman
Derajat Kebebasan
Jumlah Kuadrat
Kuadrat Tengah
F-Hitung
Rata-rata
1
JKR
KTR
KTR/KTE
Efek utama A B C . . .
JKA JKB JKC . . .
KTA KTB KTC . . .
KTA/KTE KTB/KTE KTC/KTE . . .
Interaksi 2 faktor
1 1 1 . . .
KTAB KTAC KTBC . . .
KTAB/KTE KTAC/KTE KTBC/KTE . . .
Interaksi 3 faktor
JKAB JKAC JKBC . . .
ABC ACD BCD . . .
1 1 1 . . .
JKABC JKACD JKBCD . . .
KTABC KTCD KTBCD . . .
KTABC/KTE KTCD/KTE KTBCD/KTE . . .
. .
. .
. .
JKE JKT
KTE KTT
KTE/KTE KTT/KTE
AB AC BC . . .
1 1 1 . . .
Interaksi 4 faktor dan seterusnya. Error (kekeliruan)
Total
E. Contoh Kasus
Anggap ada 3 faktor dan 2-level yang akan diteliti , akan tetapi peneliti hanya dapat melakukan 4 runs(percobaan) saja, sehingga dipilih desain fractional factorial resolusi III dengan I = ABC. Hasil eksperimennya adalah sebagai berikut: Misal kasus yang diteliti ialah mengenai hasil semacam zat kimia karena kondisi temperatur dan konsentrasi larutan yang berlainan, serta pada tekanan tertentu dengan replikasi percobaan sebanyak tiga kali, seperti tampak pada tabel berikut:
Konsentrsi larutan (A) 30% 60% Tekanan (C)
Temperatur (B)
Rendah I II II 28 25 27 36 32 32
50 C 100 C
I 18 31
Tinggi II 19 30
III 23 29
Solusi:
Dari tabel hasil pengamatan di atas, dengan menggunakan rancangan FF, table tersebut dapat ditulis dalam bentuk: Faktor
Kombinasi
Replikasi
Total
A
B
C=AB
perlakuan
I
II
III
+ +
+ +
+ +
1 a b ab
28 36 18 31
25 32 19 30
1 32 23 29
80 100 60 90
Sehingga kita dapat merumuskan hipotesisnya: H0 :
Tidak ada pengaruh signifikan faktor-faktor A, B, dan C terhadap zat kimia yang dihasilkan. H1 : Ada yang tidak = 0. Ada pengaruh signifikan faktor-faktor A, B, dan C terhadap zat kimia yang dihasilkan. k
2
Kita dapat memperhatikan kembali basic design untuk 2 dengan k=2 (2 ) yang kemudian menuliskan faktor C sebagai interaksi antara faktor A dengan B ( C= AB). Maka untuk menguji data tersebut dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: A=
[ ( )]
=
=
= [50] = 8,33
B=
[ ( )]
Kontras A
=
=
Kontras B
= -5,00
[ ( )]
C= AB =
=
=
= 1,67 Jadi, untuk membuat tabel Anovanya yaitu :
SSA = = = 208,33
SSB= = = 75,00 = = 8,33 SSC= Sehingga,
SST =∑ ∑ ∑
= 9398,00 – 9075,00 = 323,00 Maka diperoleh :
Kontras C
SSE = SSF – SSA – SSB – SSC = 323,00 – 208,33 – 75,00 – 8,33 = 31,34 Jadi, tabel Anovanya : Source of
Sum of
Degrees of
Mean
Variation
Square (SS)
Freedom (df)
Square
F.Hitung
P.value
(MS) A
208,33
1
208,33
33,15
0,0001
B
75,00
1
75,00
19,13
0,0024
C
8,33
1
8,33
2,13
0,1826
Error
31,34
8
3,92
Total
323,00
12
Model Regresinya dapat ditulis :
Ŷ = β0 + β1x1 + β2x2 + β12x3 ŷ = 82,5 +
x1+ + x3 + 31,34
Adapun teknik analisis data untuk kasus fractional faktorial pada kasus tersebut dengan menggunakan software SPSS adalah sbb:
1.
Input variable yang digunakan pada kolom variable view
2.
Input data pada kolom variable view
3.
Klik Analyze
4.
Klik General Linear Model (GLM)
5.
Klik Unvariate... Pada kotak dialog unvariate, isikan:
Dependent Variabel: masukkan data-data pengamatan
Fixed Factor(s): masukkan faktor-faktor yang terkait
6.
7.
Kilik Model ...
Specify Model: pilih full Factorial
Klik include intercept in model
Klik Continue
Jika pada output data ingin menampilkan grafiknya, Klik Plots...
Horizontal Axis: masukkan faktor yang terkait
Separete Lines: masukkan faktor yang terkait
1.
Klik Add
Klik continue
Klik Post Hoc...
Post Hoc Tests for: masukkanfaktor-faktor yang terkait
Equal Variance Assumed: ceklis LSD dan Tukey.
Klik Continue
2.
Klik OK
Adapun outputnya :
Univariate Analysis of Variance [DataSet0]
Between-Subjects Factors Value Label konsentrasi larutan
Temperatur
N
1.00
30%
6
2.00
60%
6
1.00
50 drj C
6
2.00
100 drj C
6
Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable:output Source
Type III Sum of Squares
d
i
m
e
n
df
Mean Square
F
Sig.
a
4
2341.667
597.872
.000
A
208.333
1
208.333
53.191
.000
B
75.000
1
75.000
19.149
.002
A * B
8.333
1
8.333
2.128
.183
Error
31.333
8
3.917
Total
9398.000
12
Model
9366.667
s
i
o
n
1
a. R Squared = .997 (Adjusted R Squared = .995)
Kesimpulan :
Dari hasil analisis dengan SPSS 18. 0, maka cukum membandingkan nilai Sig dengan yang ditentukan , Karena nilai dari Asymp. Sig. Untuk medel regresinya (0.000 < 0.05 &0.000 < 0.1) sehingga untuk taraf signifikansi
, maka H o
ditolak artinya Ada pengaruh signifikan faktor-faktor A, B, dan
C terhadap zat kimia yang dihasilkan.
F. Kelebihan dan Kekurangan
Keuntungan dari rancanganfractionalfraction: 1. Dapat mengurangi penggunaan sumber daya sperti waktu, biaya dan lain-lain 2. Dapat mengurangi terjadinya kesalahan dalam eksperimen. 3. Ketika banyak faktor yang sedang diselidiki, bagaimanapun, desain faktorial penuh kadang-kadang sudah memiliki data yang lebih dari cukup yang dikumpulkan.Sehingga interaksi antara banyak faktor menjadi sulit untuk ditafsirkan. Maka alternatif yang dapat diambil ialah dengan menggunakan rancangan faktorial pecahan/sebagian
Kekurangan percobaan Fractional Factorial Kekurangan pada percobaan fractional fraction ini ialah pada masalah pemilihan tingkat resolusi. kriteria resolusi tertinggi kadang kala tidak
cukup karena beberapa rancangan yang berbeda dapat memiliki resolusi yang sama.
