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Fórmulas especiales
Existen algunas fórmulas especiales que permiten calcular cierto tipo de integrales. Para efectos de este curso bastará con aplicar la fórmula adecuada al ejercicio correspondiente. Sin embargo, en algunos casos, es preciso usar la técnica de completar cuadrados a fin de llevar la expresión a la forma correspondiente. La primera expresión, a partir de la cual se escribirán varias fórmulas es: ∫ 1. ∫
dx = arctgx + C 1 + x2
2. ∫
dx 1 1+ x = ArgThx + C = ln +C 2 1− x 2 1− x
3. ∫
dx 1 b = arctg x + C 2 2 a +b x ab a
4. ∫
dx 1 a + bx = ln +C 2 2 a −b x 2ab a − bx
dx . ax + bx + c 2
2
2
5.En el caso de un polinomio completo ax2 + bx + c se lleva, mediante completación de cuadrados a las formas 3 ó 4.
La segunda expresión es 1. ∫ 2. ∫
dx 1 − x2 dx x +1 2
∫
dx ax 2 + bx + c
. Las fórmulas correspondientes son:
= arcsenx + C
[
]
= ArgShx + C = ln x + x 2 + 1 + C
dx
[
3. ∫
x −1
4. ∫
x = arcsen + C a a −x
5. ∫
x ±a
2
]
= ArgChx + C = ln x + x 2 − 1 + C
dx
2
2
)
(
dx 2
= ln x + x 2 ± a 2 + C
2
6.El caso de un trinomio completo se lleva a alguno de los anteriores.
La tercera expresión a considerar es 1. ∫
(a
2
− x 2 dx =
2. ∫
(x
2
+ a 2 dx =
3. ∫
(x
2
− a 2 dx =
∫ ( ax
2
(
+ bx + c
)
1 2 x 2 2 a arcsen + x a − x + C 2 a
)
1 2 a ln x + 2
)
1 x 2
[ (
[
(x
(x
2
)
))
(
(
(x
)
Otras fórmulas son: 2 1. ∫ sen xdx =
1 ( x − senx ⋅ cos x ) + C 2
2 2. ∫ cos xdx =
1 ( x + senx ⋅ cos x ) + C 2
dx x = ln tg + C senx 2
4. ∫
dx π x = ln tg + + C cos x 4 2
)]
+ a2 + x a 2 + x2 + C
− a 2 − a 2 ln x +
3. ∫
)
2
− a2
) )] + C
Se recomienda a los estudiantes buscar la tabla de las funciones trigonométricas vistas en primer año de ciencias o humanidades, así como la tabla de las derivadas de las funciones trigonométricas. Si bien los economistas, en principio, no utilizan las funciones trigonométricas, por cultura general es bueno conocer estas integrales. Por otro lado, en algunas aplicaciones económicas muy avanzadas es posible encontrar funciones trigonométricas, por lo que no está de más conocerlas y manejarlas.
