Formulário de Geometria Analítica
2
Equação do 2º grau: ax bx c 0
com x
Prof. Júlio César Tomio
b
2
b 4ac
sendo
2a
Distância entre dois pontos A e B no plano: d AB
( x B x A ) 2 ( y B y A ) 2
Ponto médio M ( x M , y M ) de um segmento AB : x M
Baricentro G( xG , yG ) de um triângulo AB ABC C :: xG
S
Área de um triângulo AB ABC C qualquer: qualquer:
Área de um polígono qualquer:
| |
S
2
Condição de alinhamento de 3 pontos
A
| D | 2
e y M
2
x A x B xC 3
sendo D x B
y A y B
e yG
x A y A
2
y A y B yC 3
1
y B
1
xC yC 1
sendo
, B e
x A x B
C :
x A x B
xC x D
y A y B
yC y D
x A
y A
1
x B
y B
1 0
x A y A
xC yC 1
m tg
Coeficiente angular da reta:
ou
m
y x
[Cálculo da] Equação da reta, tendo 2 pontos A e B :
ou
m
x
y
y B y A x B x A 1
x A y A
1 0
x B
1
y B
[Cálculo da] Equação da reta, tendo um ponto ( x0 , y0 ) e coef. angular m : y y0 m( x x0 ) [Equação Fundamental da Reta] Equação geral da reta:
ax by c 0 com
m
Equação reduzida da reta: y mx n sendo
Equação segmentária da reta:
Retas
// r e s paralelas [ r //
x p
y q
r e s :
b
e
n
m coef. angular
c b
n coef. linear
q intercepto y
1 sendo p intercepto x
s ]: mr m s
Ângulo agudo entre duas retas
a
tg
Retas mr m s 1 mr .m s
Distância entre um ponto P ( x P , y P ) e uma reta
r :
d P , r
r e s perpendiculares [ r
s ]: mr
1 m s
ou mr ms 1
Quando uma das retas [ s ] é vertical: tg
1 mr
| ax P byP c | a2 b2
Ponto de intersecção de duas ou mais retas: resolver o sistema contendo as respectivas equações das retas que se interceptam. Estudante: _____________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ______ Turma: ___________________ Formulário de Geometria Analítica
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Equação Reduzida da Circunferência: ( x a) ( y b) R com centro: C (a , b) 2
2
Equação Geral da Circunferência: x y x y 0 com centro: C
2
2
Da equação geral, temos: 2a , 2b , a b R
2
,
2
2 2
então: R
2
a b
Posição relativa entre um ponto P e uma circunferência :
Posição relativa entre uma reta s e uma circunferência :
d C , P R
P é Interno
d C , s R
s é secante à circunferê ncia
d C , P R
P
d C , s R
s é t angente à circunferência
d C , P R
P é Externo
d C , s R
s é exterior à circunferê ncia λ
Pontos de intersecção entre uma reta e uma circunferência: Resolver o sistema contendo as respectivas equações da reta e da circunferência. Se a resolução do sistema gerar 2 pontos ( > 0), a reta é secante à circunferência. Se a resolução do sistema gerar 1 ponto ( = 0), a reta é tangente à circunferência. Se a resolução do sistema não gerar ponto algum ( < 0), a reta é exterior à circunferência.
Pontos de intersecção entre duas circunferências: Resolver o sistema contendo as respectivas equações das duas circunferências. Se a resolução do sistema gerar 2 pontos ( > 0), as circunferências são secantes . Se a resolução do sistema gerar 1 ponto ( = 0), as circunferências são tangentes. Se a resolução do sistema não gerar ponto algum ( < 0), as circunferências não se interceptam .
Temos ainda que duas circunferências podem:
Não
Ser
Não
se interceptar externamente, então: d[C1 , C2] > r1 + r2 se interceptar internamente, então: d[C1 , C2] < | r1 – r2 | Não se interceptar e serem concêntricas, então: d[C1 , C2] = 0
tangentes externamente, então: d[C 1 , C2] = r1 + r2 Ser tangentes internamente, então: d[C1 , C2] = | r 1 – r2 |
Triângulo Retângulo – Informações Básicas: Relações Trigonométricas: sen cat
cat op hip
hip
cat adj
, tg
cat op cat adj
hip
Ângulos Complementares: 90º
●
, cos
cat
2
2
2
Teorema de Pitágoras: (hip) (cat ) (cat )
Mediana de um triângulo é um segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Bissetriz de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos de mesma medida. Altura de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento), formando com o lado oposto um ângulo reto. Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento passando pelo seu ponto médio. Baricentro: é o ponto (G) de encontro das três medianas de um triângulo. Incentro: é o ponto (I) de encontro das três bissetrizes de um triângulo. Ortocentro: é o ponto (O) de encontro das três alturas de um triângulo. Circuncentro: é o ponto (C) de encontro das três mediatrizes dos lados de um triângulo e é o centro da circunferência circunscrita em um triângulo.
VALORES TRIGONOMÉTRICOS 0º
30º 1
sen
0
cos
1
tg
0
2
3 2 3 3
Conversão graus
45º 2 2 2 2 1
60º 3
90º
120º 3
1
2
3
∄
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2
3
2
2
2
1
3
2 3
3
rad
180º
270º
360º
0
1
0
sen
1
0
1
cos
0
∄
0
tg
1
2
1
0
150º
2
2
1 2
135º
radianos: 180
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