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Fórmulas de Adams. Los otros tipos de fórmulas de integración que se utilizan para resolver EDO son las fórmulas de Adams. Muchos algoritmos de uso generalizado para la solución de EDO por multipaso se basan en dichos métodos.
Fórmulas abiertas (Adams-Bashforth) Las fórmulas de Adams se deducen .
de varias formas. Una técnica consiste en escribir una expansión hacia adelante de la serie de Taylor alrededor de xi :
+1 ℎ
′ ′′ ℎ ⋯ 2 6
Que tambien se escribe como :
3!
+1 ℎ[ ℎ[
⋯]
… (I)
De la sección de diferenciación numérica se puede usar una diferencia hacia atrás −
ℎ (ℎ (ℎ) Que al sustituirse en la ecuación I da como resultado ℎ −1 ℎ +1 ℎ{ ℎ{ [ ℎ (ℎ )] ⋯ } 2 ℎ 2 6 O agrupando términos 3
1
5
4
1
+1 ℎ[ −1
ℎ 3 (ℎ (ℎ4 ) …II
Esta fórmula se conoce como la fórmula abierta de Adams de segundo orden. Las fórmulas abiertas de Adams también se denominan fórmulas de AdamsBashforth. En consecuencia, la ecuación (26.37) se llama la segunda fórmula de Adams-Bashforth.Es posible desarrollar fórmulas de Adams-Bashforth de orden superior sustituyendo aproximaciones por diferencias superiores en la ecuación (26.36). La fórmula abierta de Adams de n-ésimo orden en forma general se representa como: =1 +1 ℎ ∑=0
− (ℎ (ℎ+1 ) …II
Método de Adams-Bashforth de cuatro pasos Se calculan los valores iniciales w 0 = α0, w1 = α1, w2 = α2, w3 = α3 (con el método de Runge-Kutta), y se aplica la fórmula:
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Se deja como ejercicio verificar, resolviendo el sistema dado en (24) para p = 4, los coeficientes de la ecuación (27). Puede demostrarse que el error local de truncamiento |w i – y(ti)| en el método de Adams-Bashforth de cuatro pasos está dado por la expresión:
para algún μi∈[ti-3, ti+1]. Es decir, este método es del orden de h4. Se muestra a continuación el pseudocódigo del algoritmo de este método. Los parámetros de entrada de este algoritmo son: los extremos del intervalo inicial a y b, el valor de la condición inicial, α, y la cantidad de puntos a considerar en la malla, N.
Método de Adams-Moulton de tres pasos
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Se calculan los valores iniciales w 0 = α0, w1 = α1, w2 = α2 (con el método de RungeKutta), y se aplica la fórmula:
Se deja como ejercicio verificar los coeficientes de la fórmula (29), resolviendo el sistema de ecuaciones dado en (26). Puede demostrarse que el error local de truncamiento |w i – y(ti)| en el método de Adams-Moulton de tres pasos está dado por la expresión:
para algún μi∈[ti-2, ti+1]. Es decir, este método también es del orden de h4. Por ello se comparan siempre los resultados de aplicar el método de Adams-Bashford de n + 1 pasos, contra el método de Adams-Moulton de n pasos. Se muestra a continuación el pseudocódigo del algoritmo de este método.
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Este método requiere menos puntos y tiene la misma precisión que el anterior, pero tiene la dificultad de tener que resolver en cada paso una ecuación, que puede ser no lineal, en cuyo caso se deberá aplicar un método de aproximación de soluciones de ecuaciones no lineales. Ejemplo Consideremos el siguiente problema de valor inicial:
y' = y - t2 + 1,
0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0,5
Se aplicarán los métodos de Adams-Bashforth de cuatro pasos (A-B) y el de Adams-Moulton de tres pasos (A-M), ambos con tamaño de paso h = 0,2 para la malla en el dominio [0, 2]. Con este tamaño de paso, la malla de puntos resulta:
ti = 0,2.i, para i = 0, ..., 10.
El método de A-B aplicado a este problema, siendo f(t,y) = y - t 2 + 1 y tomando ti = 0,2 i, tiene por ecuación de diferencias:
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Análogamente, El método de A-M aplicado a este problema, con la misma expresión para f(t,y) y los mismos valores para los ti, tiene por ecuación de diferencias:
Se ve claramente aquí que el método de A-M tiene por ecuación de diferencias una expresión implícita para wi+1. Se puede despejar en este caso la incógnita w i+1, para obtener la ecuación:
Los resultados que se obtuvieron aplicando estas ecuaciones, se muestran en la siguiente tabla. Los valores exactos provienen de la solución exacta del PVI, y(t) = (t+1)2 - 0,5 e t. No tiene sentido mostrar la comparación de estos valores en forma gráfica, por la gran precisión de los resultados obtenidos, que hace que los errores sean del orden de 10 -3.
Tabla 1 En el ejemplo, el método implícito de Adams-Moulton dio mejores resultados que el método explícito de Adams-Bashforth del mismo orden. Generalmente ocurre esto, pero los métodos implícitos tienen la debilidad intrínseca de que primero deben convertir algebraicamente el método en una representación explícita de w i+1. Este procedimiento no siempre es posible, como ocurre por ejemplo en el siguiente problema elemental de valor inicial:
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Dado que f(t)= e y, el método de Adams-Moulton de tres pasos tiene como ecuación de diferencia la siguiente:
y de esta ecuación no se puede despejar wi+1. Para resolver la ecuación anterior, se deberá aplicar algún método numérico. Método predictor-corrector En la práctica, los métodos multipasos implícitos no se emplean como se mostró aquí. Se utilizan para mejorar las aproximaciones obtenidas con métodos explícitos. La combinación de un método explícito con uno implícito recibe el nombre de método predictor-corrector: El método explícito predice una aproximación, y el método implícito la corrige. Consideremos el siguiente método de cuarto orden para resolver un problema de valor inicial. El primer paso consiste en calcular los valores iniciales w 0, w1,w2 y w3 para el método de Adams-Bashforth de cuatro pasos. P ara ello, se puede usar el método de Runge-Kutta. El siguiente paso consiste en calcular una primer aproximación w4(0) en el punto t 4 de la malla usando como predictor el método de Adams-Bashforth:
Luego, se mejora esta aproximación utilizando el método de Adams-Moulton de tres pasos como corrector, introduciendo el valor de w 4(0) en el lado derecho:
En este procedimiento, la única nueva evaluación de la función que se necesita calcular es f(t4, w4(0)) en la ecuación del corrector. El resto de las evaluaciones de f ya habían sido calculadas para la aproximación anterior. Luego, se utiliza el valor w 4(1) como aproximación de y(t 4), y se repite la técnica que consiste en utilizar como predictor el método de Adams-Bashforth y como corrector el de Adams-Moulton para obtener w 5(0) y w5(1), las aproximaciones inicial y mejorada de y(t 5), y así sucesivamente. A continuación se presenta el pseudocódigo del método predictor-corrector de Adams de cuatro pasos.
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Ejemplo Dado el problema de valor inicial del ejemplo anterior:
y ‘ = y - t2 +1, 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0,5
Aplicamos ahora el método predictor-corrector de Adams dado en las fórmulas antes desritas y habiendo aplicado previamente Runge-Kutta para determinar los valores de arranque para el predictor-corrector, y se obtuvieron los valores que se muestran en la siguiente tabla. En la misma se listan también los valores correspondientes de la solución exacta, y el error de truncamiento local.
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Tabla 2 Se puede ver, comparando los resultados mostrados en las tablas 1 y 2, que el método predictor-corrector mejora los resultados obtenidos con el método de Adams-Bashforth.
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