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Formulário – Transferência de Calor – MEC 030 Formas de Transferência de Calor. Lei de Fourier. Equação da Condução de Calor. Usos/Modelo Equações ∂ E Primeira Lei da q˙ = w ˙+ Termodinâmica ∂ t ∂ T q˙ =kA Lei de Fourier ∂ x (Coordenadas ∂ T q˙ ' ' = k Cartesianas) ∂ x Transferência Transferência de calor q˙ = hA ( T w T ∞ ) por convecção Transferência Transferência de calor q˙ = εσ A T 4w T 4viz por radiação Coeficiente combinado q˙ = hc A ( T w T viz ) de transferência de calor por convecção e h c= h + εσ T 2w+ T 2viz ( T w +T viz ) radiação k α= Difusividade térmica ρc Equação Geral da ∂ ∂ T ∂ ∂ T ∂ ∂ T ∂ Condução + + + q˙ 'g' ' = ρc T k k k (Coordenadas ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z ∂ z ∂ t Cartesianas) ' ' ' Equação da Condução ∂ 2 T ∂ 2 T ∂ 2 T q˙ g 1 ∂ T + 2+ 2 + = com Condutibilidade 2 k α ∂ t ∂ ∂ y ∂ z x Térmica Constante ∂ ∂ T ∂ T Equação da Condução + q˙ 'g' ' = ρc k ∂ x ∂ x ∂ t Unidimensional ' ' ' (Coordenadas ∂2 T q˙ g 1 ∂ T + = Cartesianas) ∂ x 2 k α ∂ t
(
(
)
(
)
)
( ) ( ) ( ) ( )
Equação Geral da Condução (Coordenadas Cilíndricas) Equação da Condução com Condutibilidade Térmica Constante
( )
∂ T 1 ∂ kr ∂ r r ∂ r
( ) ( )
∂ ∂ T ∂ ∂ T ∂ T + + q˙ 'g' ' = ρc k k ∂ z ∂ z ∂ t r ∂ θ ∂ θ
+ 12
( )
∂ T 1 ∂ r r ∂ r ∂ r
' ' '
∂ 2 T ∂ 2 T q˙ g 1 ∂ T + 2 2+ 2 + = k α ∂ t ∂ z r ∂ θ 1
Condução de Calor Unidimensional Condução de Calor Unidimensional Unidimensional em Coordenadas Cartesianas: Paredes Simples
(
T ( x )= T 0+ T L T 0
dT T LT 0 = dx L kA q˙ = T 0 T L L
(
1
)
x
) L
L kA T 0 T L = Rt q˙ Rt =
T 0 T L
q˙ =
L A k A A
q˙ =
Condução de Calor Unidimensional em Coordenadas Cartesianas: Paredes Compostas
+
L B k B A
+.. .+
Ln k n A
T ∞ iT ∞ e L L L 1 1 + A + B +. .. + n + hi A k A A k B A k n A he A
Rt =
L L L 1 1 + A + B +.. .+ n + h i A k A A k B A k n A h e A
(
q˙ =UA T ∞ i T ∞ e
)
1
U =
L 1 L A L B 1 + + +. ..+ n + hi k A k B k n he dT q˙ =k ( 2π rL ) dr 2π kL q˙ = T iT e ln r e / r i
Lei de Fourier (Coordenadas Cilíndricas)
) )( 2 k q˙ = (T T ) ln ( r / r ) (
π
'
i
e
T ( r )=T i +
Condução de Calor Unidimensional em Coordenadas Cilíndricas: Paredes Simples
1 hi 2πr 0 L
(
Rt =
Raio Crítico
r i
() r r i
r e
(
ln r e / r i
)
1 h i 2πr 0 L
(
+
)
(
ln r 1 / r 0
)
2πk A L
+
) +ln ( r 2 / r 1) +. .. +
(
ln r 1 / r 0 2πk A L
2πk B L
2πk B L
(
(
1 r 0 ln r 1/ r 0 + hi k A
)+
q˙ =
2
)=U
e
1 r 0 ln r 2 / r 1
(
(
k C
(
)
(
)
h ( 2π rL )
2π kL
)
1 h e 2πr n L
( )
) + r 0 ln ( r 3 / r 2 ) +.. .+
k B T i T ∞
+
(
Ae T ∞ i T ∞ e
ln r / r i 1 + 2π kL h ( 2π rL ) ln r / r i 1
Rt =
1 he 2πr n L
) + ln ( r 2 / r 1) +.. .+
q˙ =U i Ai T ∞ i T ∞ e U i =
()
ln
2π kL T ∞ i T ∞ e
q˙ =
Condução de Calor Unidimensional em Coordenadas Cilíndricas: Paredes Compostas
T i T e
ln Rt =
e
i
) r 0
h e r n
k h ''' q˙ g
r c= d 2 T 2
dx
Condução de Calor Unidimensional em Coordenadas Cilíndricas com Geração de Calor
Aletas 2 d T k 2 Ac ph ( T T ∞)=0 dx 1 hp 2 m= kAc
Equação da Condução
( )
Aletas de Seção Constante
(
)
mx
T ( x )=T ∞ + T b T ∞ e
(
q˙ b = kA c hp
Aletas Longas
1 2
) ( T T ∞ ) b
L >> 1 / m ou L ≥
(
T ( x )=T ∞ + T b T ∞
Aletas Finitas com Ponta Isolada
) cosh ( mL )
q˙ b
kp hAc
b
=senh ( mL )
=
( )
1 2
) ( T T ∞ b
1 2
(
h senh [ m ( L x ) ] mk
h senh mL mk
senh mL
h cosh ( mL ) mk
cosh mL
h senh ( mL ) mk
q˙ aleta =η q˙ ideal
Aleta com Seção Transversal não Uniforme
(
q˙ ideal= hA sup T b T ∞
(
>> 1
( ) )+( ) ( ) ( )+( ) ) ( )+( )
cosh ( mL
Aletas com Convecção na Ponta
(
m cosh ( m ( L x ))
cosh [ m ( L x ) ]+
q˙ b = kA c hp
( 1 ε )
) ( T T ∞ ) tanh ( mL ))
q˙ ponta
T b T ∞
1
(
q˙ b = kA c hp
T ( x ) T ∞
1 2
tanh
)
)
q˙ total =q˙ aleta N +q˙ semaleta
)
(
)( q˙ total =[ β N ( η 1 )+1 ] hAtotal ( T b T ∞ ) =η ' hA ( T T ∞ ) q˙
q˙ total =η hA sup T b T ∞ N +h Atotal Asup N T b T ∞
total
total
b
η ' = β N ( η1 )+1
3
)
β = η=
Eficiência de uma aleta
Asup Atotal q˙ b q˙ ideal
(
q˙ ideal = hAsup T b T ∞
Efetividade de uma aleta
ε=
)
q˙ b q˙ sem aleta
(
q˙ semaleta =hAc T b T ∞
)
Condução de Calor Transiente Condução de Calor Unidimensional Transiente
∂2 T 1 ∂ T = ∂ x 2 α ∂ t δ ≈( αt )
Crescimento da Camada Superficial
1 2
2
L
t t
≈
α
(
)
n ( t t i )
T ( t )=T ∞+ T iT ∞ e
ln t =t i
(
T ( t )T ∞ T i T ∞
)
n hA n= ρ Vc p
Condução de Calor Transiente: Análise de Parâmetros Concentrados
T 1 ( t )=T i
T i
1
T 2 ( t )= T i
T i
+ 2
n=
m 2 c p m 1 c p
(
2
( 1 e ) nt
2
1
+m1 c p1 )
Número de Fourier
Fo= hL c k
1
p 2
Bi =
Radiação térmica incidente
2
( m c )( m c )
Número de Biot
Bi =
1
T i 2
hAs m 2 c p 2
Condição de Validade da Análise Concentrada
nt
m2 c p
1
1+
( 1e )
m1 c p
1
1+
T i2
p 1
hL k αt 2
L c
<1 ;
L c=
V A s
Radiação Térmica G =αG + ρG + τ G ; α + ρ+ τ =1
4
4
E b = σ T s
Lei de Stefan-Boltzmann Constante Boltzmann
de
Stefan-
σ
Radiação térmica emitida por uma superfície real
4
E = ε E b = εσ T s
ε=
Emissividade Emissão de um corpo negro à temperatura T viz Fluxo de calor por radiação em uma superfície cinza difusa
= 5,67 ×10-8 W/m2K4
E ( T )
=
E b (T )
Lei do deslocamento de Wien Potência emissiva total
σ T
4
4
G =σ T viz
(
q ˙' ' rad =ε E b αG = εσ T 4s T 4viz E b λ ( T )=
Lei de Planck para um corpo negro
E ( T )
λ
(
5
C 1
e λT 1
C 1 : 3,7415×1016 (Wm² ) C 2 : 1,4388× 10 2 (mK )
3
2,898×10 λ máx= T ∞
∫ E
E b =
b λ
0
)
c2
[ mK ]
d λ [ W / m
Transferência Difusiva de Massa m n ρ = ; C = V V ρi= µi C i Massa Específica e Concentração Molar
n
ρ=
∑ ρ i =1 n
C =
i
∑ C
i
i =1
ρi
mi =
Fração em Massa de uma Espécie em uma Mistura
ρ
n
∑ m =1 i
i =1
C i
x i =
Fração Molar de uma Espécie em uma Mistura
C
n
∑ C =1 i
i =1
Pressão Total e Pressões Parciais em uma Mistura Mistura de Gases Perfeitos
n
p =
∑ p i =1
ρ i=
5
i
pi Ri T
2
]
)
C i =
pi
̄ RT pi
x i =
p
Fluxo Difusivo
⃗ = ρ D AB ∇ m A ⃗ = DAB ∇ ρ A ⃗ =CD AB ∇ x A ∂ ρ ' = DAB A j 'Ax ∂ x
Fluxo Difusivo para Sistema Fixo de Coordenadas
⃗ ⃗n A =⃗ j A + ρ A V
Conservação das Espécies em Coordenadas Cartesianas Conservação das Espécies em Coordenadas Cilíndricas
' ' j A ' ' j A * j A
∂2 ρ A ∂ 2 ρ A ∂2 ρ A m˙ A'' ' 1 ∂ ρ A + 2+ 2+ = 2 D D ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z ∂2 C A ∂2 C A ∂2 C A n˙ A'' ' 1 ∂ C A + + 2 + = D D ∂ t ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2 2 ∂ ρ A ˙ A'' ' 1 ∂ ρ A 1 ∂ 1 ∂ ρ A ∂ ρ A m + 2 + 2+ = r 2 ∂ r r ∂ r D D ∂ t ∂ z r ∂ θ 2 2 ' ' ' ∂ C A 1 ∂ 1 ∂ C A ∂ C A n˙ A 1 ∂ C A + 2 + + = r 2 ∂ r r ∂ r ∂ z 2 D D ∂ t r ∂ θ
( ) ( )
Difusão Molar Unidimensional em Coordenadas Cartesianas
x +C A0 L C AL C A0
C A ( x )=C AL ' * = D AB j 'Ax
C A ( r )=C AL +
Difusão Molar Unidimensional em Coordenadas Cilíndricas
L C A0 C AL
ln
(
D T 0 ,p0
)
C AL C A0
( ) ( ) ( )
≃
T T 0
D (T ) D T 0
1,75
p 0 p
r L
r 0
para
µ ( T ) ≃ T 2 0 T 0 µ 2 ( T )
Condição de contorno: C L=Sp A Condição de contorno: p A= p SatA ( T )
6
r
r 0
j 'Ar' *=2πLDAB
D ( T,p )
( ) r L
( ) ( ) r L
ln
Difusividade mássica de mistura binária de gases Difusividade mássica de mistura binária de líquidos Concentração molar de um gás em um sólido Difusão da espécie A, pura, líquida em uma mistura gasosa com a espécie A como componente
ln
T >> 1 T 0
Difusão de mistura gasosa com a espécie A como componente para mistura líquida com espécie A como soluto Difusão de espécie A, substância pura em mistura binária com espécie A como soluto
Difusão em regime transitório: difusão transiente unidimensional em meio semi-infinito
Condição de contorno: p A Lei de Henry: x L= H
Condição de contorno: x L, solubilidade do soluto no solvente
∂ 2 C A 1 ∂ C A = ∂ y 2 D ∂ t C ( y,t )C 0 y =erf 1/2 C ∞C 0 2 ( Dt ) ̄ 8 C 0 C π 2 D ≃ exp t Placa: 4 L 2 C 0 C ∞ π 2 ̄ 4 C 0 C ≃ 2 exp b21 D2 t ; b1 = 2,405 Cilindro: C 0 C ∞ b1 r e ̄ 6 C 0 C D ≃ 2 exp π 2 2 t Esfera: C 0 C ∞ π r e