Dott. Ing. Simone Caffè
FORMULARIO DI FISICA TECNICA AMBIENTALE - Gas Perfetti - -
pV = n RT
Legge fondamentale : :
pV = MR1T
- Legge - Legge di Dalton (per miscele di gas perfetti):
p
pv = R 1T
ρ
= R1T
pi V = n i RT i i
J kmol K
R = 8314
n=
M m
(massa molecolare)
R
R1 =
m pv
Z (fattore di comprimibilità)=
R 1T
=1
- Stato - Stato aeriforme di un fluido ( approssimazione per poter considerare un gas come gas perfetto):
T ridotta =
T T critica
>2
e/o pridotta =
p pcritica
< 0.05
- Tabella - Tabella delle trasformazion trasformazioni: i: Isoterma
Isocora
Isobara
T = cost. pv = cost.
v = cost.
p = cost.
p
v
T
= cost.
T
= cost.
- Tabella delle proprietà: Energia interna Entalpia
Entropia
Entropia
u = fnz(T )
h = fnz(T )
s = fnz(T , v )
s = fnz(T , p )
du = cv (T )dT
d h = c p (T )dT
ds = cv (T )
dT T
+ R1
dv
ds = c p (T )
v
dT T
− R1
d p p
- Fluidi incomprimibili - (la densità non varia al variare della pressione
wi
= wu
- Tabella delle proprietà: Energia interna
Entalpia
du = cdT
dh = cdT + vd p
Entropia
ds = c
dT T
- Fluidi Termodinamici monofase - - Tabella delle proprietà: Energia interna
Entalpia
Entropia
u = fnz(T , v )
h = fnz(T , p )
s = fnz(T , p ) o s = fnz(T , v )
∂ p − p dv ∂T v
du = cv dT + T
∂v d p ∂T p
dh = c p dT + v − T
ds = c p ds = cv
dT T
dT T
∂v d p ∂T p
−
∂ p dv ∂T v
+
1
Dott. Ing. Simone Caffè
- Formule generali:
∂u ∂T v
δ Q ∂T v
- Calore specifico a volume costante:
cv =
=
- Capacità termica a volume costante:
C v = Mcv
- Calore specifico a pressione costante:
c p =
- Interpolazione lineare diretta:
f (T x ) = f (T min ) +
- Interpolazione lineare inversa:
T x = [ f (T x ) − f (T min )]
- Massa ( proprietà additiva) :
M=
∂h ∂T p
M
δ Q ∂T p
=
f (T max ) − f (T min ) T max − T min
(T x − T min )
T max − T min f (T max ) − f (T min )
+ T min
i
i
- Energia interna (proprietà estensiva
U = Mu
U=
U
i
i
ed additiva):
- Variazione di energia interna:
∂u ∂u dT + dv ∂T v ∂v T
du =
T
p
0
0
∂u ∂u du = cvdT + dv u = cv dT + dv ∂v ∂v T T p T ∂ p − p dv ∂T v
du = cv dT + T - Entalpia:
h = u + pv H = U + pV
- Variazione di entalpia:
dh = du + vd p + pdv dh = δ QQ.E. + vd p
∂h ∂h dT + d p ∂T p ∂ p T
dh =
p
T ∂h ∂h d p h = c p dT + dp dh = c p dT + ∂ p T ∂ p T T p ∂v dh = c p dT + v − T d p ∂ T p 0
- Mentalpia:
h = h + g z + ciclo
- Traccia termodinamica sull’esterno:
σ e
=−
Qi
T i
w
0
2
2 ≥0
σ e
=0
per trasf. REV.
i
2
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ds =
- Variazione di entropia:
δ Q T
ds = c p ds = cv
+ δσ e =
dT T
dT T
δ Q
+ dssorgente
T
∂v d p T ∂ p
−
∂ p dv ∂T v
+
T
dT
c
∆s = s(T , v ) − s 0 =
v
T
+
T
T 0
∆s = s(T , p ) − s 0 =
v
c p
dT
T 0
T
- Equazioni in Tds:
T ds = du + pdv T ds = dh − vd p
- Energia libera di Gibbs:
G = U + pV − T S = H - T S dG = V d p − SdT
- Energia libera di Helmholtz:
ϕ = U - T S dϕ = - pdV − S dT
EXERGIA = 1 −
- Exergia:
∂u + p ∂v T
v0
+
T
dv
∂h − v p ∂ p dp T
p 0
T
T 0
q
T
ex = (u - u 0 ) + p0 (v − v0 ) − T 0 (s - s 0 ) - Formule fondamentali per SISTEMI CHIUSI: - 1° Principio della Termodinamica: Per trasformazioni REVERSIBILI
Per trasformazioni IRREVERSIBILI
Riferito alla massa:
δ Q − δ L = du
δ Q1→ 2 − δ L1→ 2
δ Q + T dssorgente
= U 2 − U1
= du + pdv
L = M L Riferito al tempo:
∂U ∂τ
q−P=
- Lavoro: Per trasformazioni REVERSIBILI
Per trasformazioni IRREVERSIBILI
2
2
L1→ 2 = pdv
1
1
L1→ 2 = pdv − T dssorgente
1 ciclo
- Trasformazioni CICLICHE:
2
ciclo
Q − L i
i
i
=0
i
3
Dott. Ing. Simone Caffè
- Formule fondamentali per SISTEMI APERTI:
m
- Equazione di continuità:
(portata massica) =
dM V.C.
- Principio di conservazione della massa:
dτ
=
ρ Aw
m − m i
u
i
u
- Principio di conservazione dell’energia:
i hi = q − Pe + m dτ i
dE V.C.
+
u hu + g zi − m 2 u
wi
2
+
wu
2
+ gzu
2
i pi vi − m u pu vu P(maccanica) = P(elica ) + P(pulsine) i − P( pulsine)u = Pe + m
Le = lavoro utile L p = lavoro non utile dSV.C.
- Principio di conservazione dell’entropia:
=
dτ
σ =
q
+
T
m s − m s i i
+ σ
u
dSsorgente dτ
dM V.C. dτ = 0 m i dE V.C. =0 τ d dSV.C. dτ = 0
- Condizioni di regime stazionario:
u u
i
u =m
- Lavoro (in regime stazionario) : Per trasformazioni REVERSIBILI u
elica i →u
L
= − pdv − i
2 u
2 i
w −w
2
Per trasformazioni IRREVERSIBILI u
− g ( zu − zi )
elica i →u
L
u
i
i
= − pdv − T dssorgente −
2 2 wu − wi
2
− g ( zu − zi )
- Potenza: Per trasformazioni REVERSIBILI:
PREV. = −
d dτ
(E V.C. − T 0SV.C. ) + 1 − j
T 0
q j T j
(
)
(
i h i − T 0s i − m u h u − T 0s u +m
)
Per trasformazioni IRREVERSIBILI:
P = PREV. − T 0σ
OSS. Per processo ciclico in regime stazionario:
PREV. =
T 0 j 1 − T q j j 4
Dott. Ing. Simone Caffè
“La disponibilità di flusso termico ci permette di ricavare lavoro o potenza
⇔ T j ≠ T 0 ”
- Vapore saturo - M Vapore
- Titolo:
x =
- Volume specifico:
v = vL + x(vV − vL )
- Energia interna:
u = u L + x(u V − u L )
- Entalpia:
h = h L + x(h V − h L ) = h L + xr
- Entropia:
s = s L + x(s V − s L ) = s L + x
M Vapore + M Liquido
r T
5
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-TRASMISSIONE DEL CALORE - CONDUZIONE
W m 2
dT
- Ipotesi di Fourier:
q′′ = − k
- Flusso termico:
q=
- Equazione generale della conduzione:
∇(k ∇T ) + q′′′ = ρ c
d τ
q′′ A dT dτ
m2 s
k
- Diffusività termica:
a=
- Eq. Generale con k=cost:
∇ T+
ρ c
2
q′′′
=
k
1 ∂T a ∂τ
CONDUZIONE IN REGIME STAZIONARIO MONODIREZIONALE SENZA GENERAZIONE INTERNA
2
- Eq. Generale con k=cost,
q′′′ = 0 :
- Geometria lineare k=cost,
q′′′ = 0 :
d 2T
∇ T=0
Eq. generale
→
Temperatura
→ T(x ) = T1 −
Flusso specifico
→ q ′′ = -k
Flusso
→q=
dx 2
=0
T1 − T2 s
T1 − T2
(R T )eq s
s
=
kA
Parallelo
Tmax − Tmin
(R T )eq
≡ qi
R i
kA Resistenza equivalente
Variazione di T
(R T )eq
Tmax − Tmin =
=
R
i
i
1
q = (Tmax − Tmin )
dx
0
Flusso
q=
T1 > T2
s
∆T
Resistenza termica → R T =
Serie
x
i
1
(R T )eq
=
∆T
i
i
1
R i
∆T = (Tmax − Tmin ) ≡ ∆Ti
i
6
Dott. Ing. Simone Caffè
- Geometria Cilindrica k=cost,
q′′′ = 0 : 2
Eq. generale
→∇ =0
Temperatura
→ T(r ) = T1 −
T1 − T2
r2 r 1
ln
ln
r r1
k T1 − T2
Flusso specifico
→ q′′ =
Flusso
→ q = 2π Lk
r
= T1 − q
ln
T1 > T2 , r1 < r2
r ln 2 r1 T1 − T2
r2 r 1
T1 − T(r)
q = 2π Lk
ln Resistenza termica → R T =
r 2π kL r1 1
r r 1
ln r2
r dr ln 1 = 2π rLk r2 r 2π rLk 1
1
CONDUZIONE IN REGIME STAZIONARIO CON GENERAZIONE INTERNA
- Eq. Generale con k=cost,
q′′′ ≠ 0 :
2
∇ T+
q′′′ k
W 3 m
q ′′′ :
=0
- Temperatura (parabola):
T(x ) = Tparete +
- Temperatura massima:
Tmax = Tparete +
- Flusso specifico:
q′′ = q′′′x
q′′′
2
2k q′′′ 2k
(L
- x2 )
L2
CONDUZIONE IN REGIME TRANSITORIO
- Eq. Generale con k=cost,
q′′′ = 0 :
- Variabili adimensionali θ θ , θ η η:
a∇ 2 T =
∂T ∂τ
T(x, τ ) − T0 θ = Tw − T0 η = x 2 aτ
7
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θ - Variabile θ θ:
- erf ( η η ):
θ = 1 - erf (η ) = erfc(η ) erf (η ) =
2
η
π 0
2
z e − dz
[
(
erf (x ) = 1 - Ae -B x -C - Funzione erf:
erfc(x ) ≅ Ae
)2 ]
[-B ( x -C ) ] 2
A = 1.5577, B = 0.7182, C = 0.7856 aτ
Fo = - Numero di Fourier:
x2
Se Fo < 0.1, posso applicare queste formule di solido semifinito, al solido finito
CONVEZIONE TERMICA
- Flusso specifico:
q′′ = h(Tparete − Tfluido )
- Coefficiente di convezione:
h:
W 2 m K
Nu = - Numero di Nusselt:
Nu =
hL k fluido ′ q′CONV ′ q′COND
⇔ propagazione lineare
CONVEZIONE FORZATA SU LASTRA PIANA
du µ dy y=0
- Sforzo tangenziale:
τ s
- Sforzo di attrito :
du τ = µ dy
- Forza sulla superficie:
F = τ s A
=
dT dy y=0
− k - Coefficiente di convezione:
h=
Tparete − T∞
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Dott. Ing. Simone Caffè
u (δ )
- Strato limite della velocità:
u∞
Tparete − T (δ )
- Strato limite termico:
Tparete − T∞
- Numero di Prandtl:
Pr =
- Numero di Reynolds:
Re =
δ δ
ν
=
= 0.99
µ c p
a
k
u∞x
ν
t
t
ν =
- Viscosità cinematica:
- MOTO LAMINARE
= 0.99
µ ρ
(Re )x < 0.5 ⋅10 6 : 0.5
0.33
Nu x (locale) = 0.332(Re )x (Pr )
Nu L (lamina) = 0.664(Re )L (Pr ) 0.5
1
h x = k f 0.332(Pr ) 3 hL =
1
L
L0
h x dx =
k f L 1
h L = k f 0.332(Pr )3
τ s
= 0.332 µ u ∞
(C f ) x =
δ (x )u
=
τ s ρ u ∞2
=
2 4.92 x Re
u∞
ν x
0.33
Coeff. di scambio termico convettivo locale 1
0.664(Pr ) 3 u∞
ν L
u∞L
ν
=
k f L
(0.664(Pr )
0.33
(Re)0L.5 ) =
k f L
(Nu )L
Coeff. locale calcolato alla fine della lastra
u∞
ν x 0.664
(Re )x
Coeff. di attrito locale
Spessore velocità;
δ (x )T
=
δ (x )u Pr
1
Spessore temperatura
3
9
Dott. Ing. Simone Caffè
x critica =
- Distanza critica di transizione:
(Re )x
- MOTO TURBOLENTO
ν (Re x )critico U∞
=
ν 5 ⋅ 105 U∞
6
> 0.5 ⋅ 10 : 0.8
0.33
Nu x (locale) = 0.0296(Re )x (Pr ) 0.0592
(C f ) x =
Coeff. di attrito locale
(Re )0x.2
δ (x ) = 0.037
x
(Re )0x.2
Correlazione x
δ (x ) = 4.92
(C f )x
=
Regime di moto Note
0.664
Laminare
Lastra piana, valori locali
Laminare
Lastra piana, T uniforme
1
(Re )x 2 1
1
Nu x = 0.332(Re)x 2 (Pr ) =
1
1
3
Pr > 0.6
ξ 3 4 1 − x
3
−1
3
1.328
Laminare
Lastra piana con zona di estensione ξ non riscaldata, T uniforme
Laminare
Lastra piana, valori medi
Laminare
Lastra piana, valori medi, T uniforme
Laminare
Lastra piana, valori medi, T uniforme
Turbolento
Lastra piana, valori locale,
1
(Re )L2 1
Nu L = 0.664(Re )L2 (Pr ) St x (Pr )
(C f )x
Lastra piana, valori locali
(Re )0x.5
Nu x = 0.332(Re )x 2 (Pr )
(C f )L
Laminare
2
3
=
1
3
(C f )x 2 −1
= 0.0592(Re ) x
5
4
Nu x = 0.0296(Re )x 5 (Pr )
4
Nu x = 0.0296(Re )x 5 (Pr )
5 ⋅ 10 5 < Re x < 10 7 1
Turbolento
3
1
3
0.6 ≤ Pr ≤ 60 5 ⋅ 10 5 < Re x < 10 7
ξ 1 − x
Nu = 0.037 (Re )L5 − 871 Pr 4
(Cf )L =
0.074 1
(Re )L
5
−
−1
9.45 µ ∞ − 9200 Pr µ P
9
Turbolento
Lastra piana con zona di estensione
ξ non riscaldata Turbolento
3
Lastra piana, valori medio, T uniforme
0.6 ≤ Pr ≤ 60 5 ⋅ 10 5 < Re L < 10 8
(Re )L
Nu = 0.036 (Re )L5
1
9 10
1742
4
Lastra piana, valori locale, T uniforme
1
4
Laminare e Turbolento
Lastra piana, valori medio, T uniforme
Laminare e Turbolento
Lastra piana, valori medio, T uniforme
5 ⋅ 10 5 < Re L < 10 8 5 ⋅ 10 5 < Re L < 10 8 0.7 ≤ Pr ≤ 380
10
Dott. Ing. Simone Caffè
1
Nu x = 0.453(Re )x 2 (Pr )
1
Laminare
3
Nu x = 1.04(Nu x )Ts =cos t N uD
= 0.4(Re )D2 1
Lastra piana, valori locali, flusso termico uniforme Lastra piana, valori locali, flusso termico uniforme Pr ≥ 0.7 Moto trasversale su cilindro
Laminare
0.4 µ ∞ + 0.06(Re )D3 Pr µ
1
2
4
10 < Re D < 10 5 0.672 < 300 0.25 <
N uD = 0.3 +
N uD
0.62 Re D2 Pr
1
0.4 2 3 1 + Pr
m 0.36 Pr∞ = C Re D Pr Pr s
µ s
< 5.2
Moto trasversale su cilindro
4
1
µ ∞
5 8 Re D 1 + 282000 5
3
1
4
Banchi di tubi in moto trasversale
n
Banchi di tubi in moto parallelo
N uD = Re 0D.8 Pr 0.4
- Temperatura media:
Tm =
- Forza:
F=
1 2
Tp + T∞ 2
ρ f U ∞2 AC fL
CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTI
- Temperatura media in un condotto:
- Portata massica:
- Relazione della velocità:
Tm =
1 UmR 2
R
uT(r )dr 0
= ρ Aw = ρ U m π R 2 m
u um
r 2 = 2 1 − R 11
Dott. Ing. Simone Caffè
- Distribuzione di T nel condotto:
- Lunghezza di avviamento:
T − Tm =
xA
2 q ′′R r
k R
−
7 − 4 R 24
1 r
= 0.05(Re )D
D
du
du
+v
dp 1
=−
+ ν
1 ∂ du r r ∂r dr
- Conservazione della quantità di moto:
u
- Moto completamente sviluppato:
du =0 dx v = 0
- Profilo di velocità (Hagen Poiseville):
2 2 dp R r u (r ) = − 1 − dx 4 µ R
- Velocità massima:
- Velocità media:
dx
u max
dp R 2 = u (0) = − dx 4 µ
um =
f = − - Fattore d’attrito:
dx ρ
dr
u max
=
2
R
2 R2
dp 1
ρ
dx 2
u (r )rdr 0
u m 2
D
2
∆p = ρ
- Fattore d’attrito di Bernoulli:
f =
- Fattore d’attrito di Bernoulli (LAMINARE):
f =
ρ c p - Eq. dell’energia:
DT Dτ
- Eq. di bilancio energetico:
U∞ L 2 D
f
∆p 2 D
2 L U ∞ ρ
64 64 = u m 2R Re D D DT Dτ =a
2
= k ∇ T
1 ∂ ∂T r r ∂r ∂r
q = q′′2π Rdx = ρπ R 2 u m c p dTm
m
h i −h u
12
Dott. Ing. Simone Caffè
Caso 1°: q ′′′ = cos t. (imposto)
dTm
=
dx
2q ′′
ρ Ru m c p hD
- Numero di Nusselt:
Nu D =
- T della parete (legge di Newton):
Tp = Tm +
Caso 2°: Tp − Tm = cos t.
dTp dx
= cos t.
q ′′
=
D
Tp − Tm k
k
=
48 11
= cos t.
q ′′ h
= cos t.
µ Nu D = 1.86(Gz ) 3 ∞ µ p
0.14
1
- Numero di Nusselt:
Gz =
Re Pr x D
Condotti circolari a flusso termico costante - Numeri di Peclet e Nusselt:
Pe = Re Pr =
Dw ρ c p k
Nu = 5.0 + 0.025Pe 0.8
Regime turbolento: xA
- Lunghezza di avviamento:
≅ 60 D x A ≠ x A Re
Nu D = 0.023(Re ) - Correlazione di Colburn:
- Temperatura del film:
0.8
(Pr )
1
3
0.7 ≤ Pr ≤ 160 ∪ Re D > 10 4 ∪
Tfilm =
x D
> 60
Ti − Tu 2
CONVEZIONE NATURALE SU LASTRA PIANA VERTICALE (x verticale)
- Coeff. di dilatazione volumetrica:
β =
1 ∂v
v ∂T p=cos t .
=−
1 ∂ρ ρ ∂T p=cos t
13
Dott. Ing. Simone Caffè
x+ - Eq. di Bernoulli:
U2
+
p x − p0
2g
ρ g
=0
p x − p 0 = − ρ ∞ gx
ρ ∞ vigente fuori dello strato limite
ρ ∞ − ρ = 2gx β (T − T∞ ) ρ
- Velocità:
u 2 = 2gx
- Velocità caratteristica di fine lastra:
uc =
gLβ (Tp − T∞ )
β gL3 (Tp
- Numero di Grashof:
Gr =
- Numero di Reynolds caratteristico:
Re c =
- Numero di Rayleigh:
Ra x =
− T∞
)
ν 2 ucL
ν
=
β gx 3 (Tp
β gq′′L4 = k ν 2
Gr
− T∞
)
ν 2
Ra = Re 2 Pr = Gr Pr 1
- Relazioni:
Ra < 10 Moto laminare → Nu x = 0.59Ra x4 9
Ra > 10 9 Moto turbolento → Nu = 0.13Ra 0.33
MUTUO SCAMBIO TERMICO TRA CONDUZIONE E CONVEZIONE (ALETTA)
- Eq. di scambio termico:
q = A base h Tparete − T∞ + A aletta h (T0 − T∞ )
14
