2.2.1. Teoremas sobre Límites
Los siguientes teoremas, que se enuncian sin demostración, señalan importantes propiedades de los límites de funciones y son al mismo tiempo útiles herramientas que permiten determinar, en muchos casos, el límite de una función, sin tener que recurrir al empleo directo de la definición.
TEOREMA 2.1 (Unicidad del Límite) Si Lim f ( x ) = L1 x → a
y Lim f ( x ) = L 2 , entonces L 1 = L 2 . x → a
En palabras: Si una función función tiene límite en un punto a, dicho límite es único.
TEOREMA 2.2 (Algebra de Límites) Sean: n, un entero positivo; k , una constante real, y f y g funciones tales que Lim f ( x ) x → a
y Lim
x → a
1. Lim
x → a
g ( x )
existen. Entonces:
k = k (El límite de una constante es la constante).
2. Lim x = a x → a
(Límite de la función identidad).
3. Lim
kf ( x ) = k ⋅ Lim
4. Lim
[ f ( x ) +
x → a
x → a
x → a
f ( x ) (Todo factor constante puede “sacarse” del límite).
g ( x ) ] = Lim
x → a
f ( x ) + Lim g ( x )
(El límite de una suma de
x → a
funciones es la suma de los límites). 5. Lim
x → a
[ f ( x ) −
g ( x ) ] = Lim
x → a
f ( x ) − Lim g ( x ) (El límite de la diferencia de x → a
funciones es la diferencia de los límites). 6. Lim
x → a
[ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] =
Lim
x → a
f ( x ) ⋅ Lim g ( x ) x → a
(El límite de un producto es el producto de los límites).
7. Lim
x → a
f ( x ) g ( x )
=
Lim
x → a
f ( x )
Lim g ( x )
siempre que Lim g ( x ) x → a
≠ 0 (El límite de un cociente es
x → a
el límites).
cociente
de
los
8. Lim
x → a
[ f ( x ) ]n =
Lim
x → a
f ( x )
n
(El límite de una potencia es la potencia
del límite)
Consecuencias importantes
L.1. Si Lim f 1 ( x ), Lim f 2 ( x ),..., Lim f n ( x ) , existen, entonces: x → a
x → a
[ f 1 ( x ) ±
Lim
x → a
L.2. Lim
x → a
x → a
f 2 ( x ) ± ... ± f n ( x ) ] = Lim f 1 ( x ) ± Lim f 2 ( x ) ± ... ± Lim f n ( x ) . x → a
[ f 1 ( x ) ⋅ f 2 ( x ) ⋅ ... ⋅ f n ( x ) ] = Lim
x → a
L.3. Si n es un entero positivo, Lim
x → a
x → a
x → a
f 1 ( x ) ⋅ Lim f 2 ( x ) ⋅ ... ⋅ Lim f n ( x ) x → a
x → a
x n = a n
L.4. Como caso particular del límite de un cociente, se tiene: Lim
x → a
1 x
=
En general, si n es un entero positivo y a ≠ 0 , entonces: Lim x → a
1
si
a 1 x n
=
a ≠ 0 .
1 a
n
L.5. (Límite de la función polinómica).
Lim b n x n + b n −1 x n −1 + ... + b1 x + b 0 = b n a n + b n −1 a n −1 + ... + b1 a + b0 x → a
Esto significa que para calcular el límite en a variable x por a.
de una función polinómica, basta sustituir la
L.6. (Límite de una función racional) Si
m y n
Lim x → a
son enteros positivos,
bn ≠ 0, c m ≠ 0 ,
b n x n + b n −1 x n −1 + ... + b1 x + b 0 c m x
siempre que:
m
+ c m −1 x
m −1
+ ... + c1 x + c 0
=
entonces:
b n a n + b n −1 a n −1 + ... + b1 a + b 0 c m a m + c m −1 a m −1 + ... + c1 a + c 0
c m a m + c m − 1 a m − 1 + ... + c 1 a + c 0 ≠ 0 .
El límite en a de una función racional (cociente de dos polinomios) sustituyendo por a la variable x, siempre que no se anule el denominador.
se obtiene
TEOREMA 2.3 (Límite de funciones iguales) Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un intervalo I que contiene al punto a y tales que: 1. f ( x ) = g ( x ) 2. Lim g ( x ) x → a
para todo x ∈ I , excepto posiblemente en a.
existe y es L.
Entonces, Lim f ( x ) = L x → a
Asi, por ejemplo, las funciones:
2 x 2 − 5 x − 3 si x ≠ 3 f ( x) = x − 3 2 si x = 3
g ( x ) = 2 x + 1 ,
y
puntos del eje real, excepto en el punto a = 3
son iguales en todos los
.
fig. 2.3.
A pesar de la diferencia entre las dos funciones en x = 3, Así que de acuerdo con el teorema 2.3, Lim
x → 3
f ( x ) = 7
Lim g ( x ) = Lim ( 2 x + 1) = 7 . x → 3
x → 3
Observación:
Si en el ejemplo anterior se evaluara directamente el Lim
x → 3
Lim
x → 3
2 x
f ( x ) = Lim
x → 3
2
f ( x ) , se tendría:
2 − 5 x − 3 2 (3) − 5 (3 ) − 3 0 = = x − 3 3 − 3 0
Esto sería una incorrecta aplicación del teorema sobre álgebra de límites. ¿Por qué? El “cociente”
0
no es un número real; se conoce en el Cálculo como una forma indeterminada 0 (no puede determinarse a primera vista el valor exacto del límite). Sin embargo, usando manipulaciones algebráicas, se puede transformar la función en otra equivalente que tiene límite y que de acuerdo con el teorema 2.3, coincide con el límite de f (x). Efectuar el proceso algebráico y simplificar, se conoce en el lenguaje del cálculo como: “Eliminar la indeterminación”.
Asi,
Lim
x → 3
=
2 x
2
− 5 x − 3 ( 2 x + 1 )( x − 3 ) = Lim x → 3 x − 3 ( x − 3) = Lim ( 2 x + 1 ) x → 3
(factorizando) (simplificación)
= 2⋅3 +1 = 7 En los ejercicios resueltos 3, 4, 5, 6 y 7 procedimiento.
de la sección
2.4.
se ilustra nuevamente este
TEOREMA 2.4 (Teorema del Sánduche) Sean f(x), g(x) y h(x) tres funciones definidas en un intervalo I , excepto posiblemente en el punto a ∈ I y, tales que: 1. f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) 2. Lim
x → a
Entonces,
f ( x ) = Lim
x → a
para todo x ∈
( I − {a })
h ( x ) = L .
Lim g ( x ) = L . Este importante teorema, cuya ilustración gráfica aparece en la x → a
figura 2.4., será de gran utilidad para demostrar que: Lim
t → 0
sen t t
= 1 . Igualmente, se usa en
el cálculo integral para calcular áreas bajo curvas, usando las llamadas: sumas aproximantes.
fig. 2.4.
