FÓRMULA DA MULTISECÇÃO MULTISECÇÃO A fórmula da multisecção multisecção é uma ferramenta ferramenta utilizada utilizada para calcular calcular a soma dos coeficientes associados associados a expoentes múltiplos múltiplos de um determinado número número em um polinômio. (FÓRMULA DA MULTISECÇÃO) Dado um polinômio f x a0 a1x a2 x 2 an x n , temos: a0 ak a2 k
f w k 1
f 1 f w k
2 , onde w cis . k
PROVA: Antes de demonstrarmos demonstrarmos a fórmula, fórmula, precisamos do do lema do filtro. filtro. Lema (Filtro) 1 w j w 2 j
w
k 1 j
0,se j não é múltiplo de k k,caso contrário
Prova: Se j não é múltiplo de k , então w j 1 e então podemos somar a PG, w kj obtendo j w
1
1
0.
Se j é múltiplo de k , w j 1 e então cada parcela da soma é
igual a 1, donde obtemos que a soma é igual a k . Em posse do lema, temos que: f 1 f w
f w k 1
a0 a1 a2
an
a0 a1w a2w 2 a0 a1w 2 a2w 4
anw n anw 2n
a0 a1w k 1 a2w 2k 2
k 1n
anw
Desta forma, usando o filtro, temos que só restarão na soma os termos da forma a j , com j múltiplo de k e então obtemos: f 1 f w a0 ak a2k
f w k 1 k a0 ak a2k
f 1 f w
f w k 1
k
Vejamos agora dois exemplos de como esta fórmula pode ser útil: n n n EXEMPLO 1: Calcule 0 3 6
SOLUÇÃO:
n n n e 1 4 7
n
Os coeficientes binomiais aparecem na expansão de f x 1 x . Para calcular a primeira soma, queremos a soma dos coeficientes associados a expoentes múltiplos de 3, obtendo então: n n n 0 3 6
f 1 f w f w 2 3
, onde w cis
2 3
n
.
n
2 4 1 cis 2 1 cis 3 3 . n
n n n Logo 0 3 6
3
2
2
Usando a importante relação 1 cis 2 cos cis 1 cis 1 cis
2 3 4 3
3 2
3
2cos cis 2cos
3
cis
n n n Logo 0 3 6
cis 2 3
3
e
cis
, temos que:
2 3
cis cis
n 3
2n cis
2 3
cis
cis 3 3
5
n n n cis 3 2 2cos 3 .
3
3
Para calcular a segunda soma, devemos fazer uma leve alteração no polinômio f x n n para que os coeficientes , , 1 4 expoente múltiplo de 3.
estejam associados a potências de x com
Para isso, basta multiplicar f x por x 2 , obtendo n n n g x x 2 1 x x 2 x 3 0 1
n n n Desta forma, 1 4 7 n n n Logo 1 4 7
.
g 1 g w g w 2 3
n
n
2n w 2 1 w w 4 1 w 2 3
Como w 2 1 w e w 4 w 1 w 2 , temos: n n n 1 4 7
.
2n 1 w
n 1
3
1 w 2
n 1
.
Logo n 1 n 1 n 1 n cis 2 2cos 3 3 3
2n cis
n n n 1 4 7
3
3
EXEMPLO 2: Um dado, com faces numeradas de 1 até 6, honesto é jogado n vezes. Determine a probabilidade de a soma dos valores obtidos ser um múltiplo de 5. SOLUÇÃO: Nesta questão, podemos começar a sentir um gostinho de funções geratrizes. n
Considere o polinômio f x x x 2 x 3 x 4 x5 x6 . Não é difícil ver que o coeficiente ak do polinômio representa o número de maneiras de obtermos soma k jogando o dado n vezes. Desta forma, a probabilidade que queremos calcular é
a0 a5 a10 6n
.
Para encontrar o numerador, devemos, portanto, encontrar a soma dos coeficientes associados a potências com expoente múltiplo de 5 do polinômio f x . Para isso, usaremos a fórmula da multisecção. Sendo w cis
a0 a5 a10
2 5
, temos:
f 1 f w f w 2 f w 3 f w 4 5 n
n
Veja que f w w w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 1 w w 2 w 3 w 4 w 5 . Como 1 w w 2 w 3 w 4 0 e w 5 1, temos que f w w n . Analogamente, f w 2 w 2n , f w 3 w 3n , f w 4 w 4 n . Logo a0 a5 a10
6n w n w 2n w 3n w 4n 5
.
Se n é múltiplo de 5, w n w 2n w 3n w 4n 1 e então obtemos que a probabilidade é
6n 4 5 6n
.
Se n não é múltiplo de 5, w n w 2n w 3n w 4n 1 e então a probabilidade é 6n 1 5 6n
.