Teori Peluang
Fisika Statistik Fisika Statistik Mirwan Mirwan 2007
BAB I TEORI PELUANG (PROBABILITAS). (PROBABILITAS). A. PENDAHULUAN Pada Pada bab bab ini anda anda diajak diajak untuk untuk membah membaha a tentan tentan! ! "uan! "uan! am#e am#e$% $% #e$uan!% dit"ibui #e$uan! dik"it% dit"ibui #e$uan! k&ntinu% dit"ibui #e$uan! Gau% dan dit"ibui P&i&n. Se'a"a tidak ada"% ebena"na anda te$ah men!ikuti (me$akukan) ha$ha$ da$am kehidu#an eha"iha"i be"kaitan den!an tik ini% e#e"ti mia$na #ada *aktu anda be"main ka"tu "emi% di*aktu ke'i$ anda be"main umbu$umbu$an !amba"% be"main ke$e"en!% be"main dak&n dan $ain eba!aina% an! #ada hakekatna anda te$ah be$aja" tentan! te&"i #e$uan! . Pada keem#atan ka$i ini anda anda diajak diajak untuk untuk mem#e mem#e$aj $aja"i a"i ha$ha ha$ha$$ an! an! be"kai be"kaitan tan den!a den!an n #e$uan #e$uan! ! ini e'a"a i$miah. Ada#un tujuan int"uki&na$ khuu da$am #embahaan tik ini ada$ah diha"a#kan anda mem#unai kemam#uan untuk menje$akan te&"i #"&babi$ita dan +un!i dit"ibui #ada be"ba!ai kau a$amiah uatu bahan atau ,at.
B. PEN-AIAN /./. Ruan! Sam#e$. Bi$a anda #e"hatikan me$a$ui #en!a$aman e$ama ini% baik #en!a$aman $an!un! $an!un! (tak dien!aja) dien!aja) mau#un #en!a$ama #en!a$aman n an! dien!aja dien!aja (ke"ja (ke"ja $ab)% maka akan di#e"&$eh #en!e"tian bah*a e!a$a euatu di dunia ini ada$ah e"ba mun!kin adana% mun!kin te"jadi atau tidak mun!kin te"jadi. Semua kemun!kinan ini ini akan ke$ua" da"i ebuah ebuah #e"'&baan #e"'&baan an! di$akukan e'a"a e'a"a a'ak% an! diban!un da$am ebuah him#unan. Ambi$ '&nt&h0 ebuah uan! $&!am anda $em#a"kan dua ka$i. 1emun!kinan a#a an! akan te"jadi 2 -an! te"jadi ada$ah ada$ah kedua kedua uan! $&!am te"ebut te"ebut akan menam#akkan menam#akkan muka be$akan! an! be"3a"iai. Ambi$ muka 4 5 dan be$akan! 4 B% maka 3a"iai #enam#akan #e"mukaan uan! itu 4 55% 5B% B5% BB% $ain tidak. tidak. Bi$a Bi$a emua emua kemun kemun!ki !kinan nan da"i da"i #e"it #e"iti*a i*a dua #e$em# #e$em#a"a a"an n uan! uan! $&!am itu dibe"i imbu$ imbu$ S% maka S 4 6 55% 5B% B5% B5% BB 7. 1
Teori Peluang
Fisika Statistik Fisika Statistik Mirwan Mirwan 2007
8&nt&h $ain anda me$em#a"kan ebuah dadu eka$i. Ba!aimana S 2 1emun!kinan an! te"jadi ada$ah0 S 4 6 /% 9% :% ;% <% = 7. S diebut "uan! am#e$ am#e$.. Bi$a Bi$a anda anda mem#u mem#una naii ebuah ebuah ke$e"e ke$e"en!% n!% kemudi kemudian an ke$e"e ke$e"en! n! te"ebut anda jatuhkan ti!a ka$i da"i ketin!!ian atu mete" ke $uban! an! bea"na ama den!an uku"an ke$e"en!. Ba!aimana S 2 Be!itu #u$a bi$a ada ti!a buah #a"tike$ !a be"ada da$am "uan! an! te"ekat e#e"ti te"$ihat #ada !amba" /./. Bi$a k"an dibuka% dibuka% ba!aimana S 2
Hampa Kran
Gamba"0 /./0 Ruan! te"ekat ba!ian ki"i be"ii : #a"tike$ #a"tike $ !a% dan ba!ian kanan k&&n!
Da"i kedua #e"&a$an te"ebut akan ditemukan ja*abanna% aitu0 S4 6555%5TT% 6555%5TT%T5T%TT5 T5T%TT5%TTT %TTT%5T5 %5T5%55T% %55T%T557% T557% den!an 54mauk dan T4 tidak. Pen!e"tian $ain ada$ah #e"iti*a. A#a itu #e"iti*a 2 -aitu ebuah him#unan ba!ian da"i "uan! am#e$. 55% 5B% B5% BB ada$ah #e"iti*a #e"iti*a an! kemun!kinan te"jadi a#abi$a ebuah uan! $&!am di$em#a" dua ka$i. ka$i. Sedan! Sedan!kan kan 5 dan B me"u#a me"u#aka kan n #e"it #e"iti*a i*a e$emen e$emente" te".. Atau Atau #e"it #e"iti*a i*a e$emente" ada$ah #e"iti*a an! hana memi$iki atu titik am#e$.
/.9. Pe$uan!. Pe$uan! me#unai ni$ai anta"a > dan /. Ni$ai > be"a"ti tidak te"jadi (tidak ada) % dan ni$ai / be"a"ti te"jadi (ada). Suatu #e"iti*a mem#unai #e$uan! 9< ?% be"a"ti ada 9< ? keem#atan akan te"jadi dan @< ? keem#atan tak akan te"jadi (jum$ah #e$uan!na ada$ah atu). Bi$a Bi$a A ada$ah ada$ah uatu uatu #e"it #e"iti*a i*a%% dan P ada$a ada$ah h #e$uan #e$uan!% !% maka maka da#at da#at ditu$ikan eba!ai0 P(A/)P(A9)P(A:)...........P(Ak) 4 /% den!an k 4 /% 9% :% ;% <%....................n. 1 n
Atau P(A k) 4 Bi$a #e"iti*a A ada$ah te"di"i da"i h buah ub #e"iti*a% maka0 2
... (/./)
Teori Peluang
Fisika Statistik Fisika Statistik Mirwan Mirwan 2007
h n
P(A) 4
... (/.9)
Bebe"a#a te&"ema an! #e"$u diketahui ada$ah0
A
B 4 #e"iti*a A atau B atau keduana.
A B 4 #e"iti*a #e"iti *a A teta#i bukan B. AC
4 #e"iti*a bukan A.
A >
B 4 #e"iti*a be"dua A dan B.
≤
P(A)
≤
/
P(AC) 4 / P(A)
P(A
B) 4 P(A)P(B)P(A
B)
P(A
B) 4 P(A)P(BA) 4 P(B)P(AB)
P(AB) 4 #e$uan! mun'u$ #e"iti*a A den!an den!an a"at B te$ah te"jadi. P(BA) 4 #e$uan! mun'u$ #e"iti*a B den!an a"at A te$ah te"jadi. Pe"hatikan '&nt&h &a$ be"ikut0 Ambi$ ka"tu "emi% amati be"a#a jum$ah ka"tu itu% kemudian 'a"i #e$uan! be"ikut0 P(
<) 4 2
P( <
)4 2
P(A
) 42
a*abna ada$ah0
1
1
1
4
13
13
P( <) 4 % P( < ) 4 % dan P( A )4 Be"hubun!an #u$a te&"i #e$uan! ini den!an #e"mutai% aitu banakna banakna uunan an! be"beda. 8&nt&h0 ada benda A% B% 8. 1eti!a benda te"ebut da#at diuun eba!ai be"ikut0 A B
A8
B8
BA
8A
8B
Nam# Nam#ak ak ada ada = 'a"a 'a"a #en #enu uun unan an bend benda a A% B% 8. Atau tau dika dikata taka kan n bah* bah*a a #e"mutai da"i benda A% B% 8 ada$ah ama den!an =. Ha$ ini da#at dihitun! eba!ai be"ikut0
3
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
3! (3 − 2)!
= 3.2.1 = 6 1
P9 4 Bi$a di"umukan akan be"bentuk 0
.
:
n Pr =
n! (n − r )! ... (/.:)
Pen'a'ahan k&mbinai mem#unai bentuk #e"amaan0
n! r !(n − r )! n
n
C r
=
3! 2!(3 − 2)!
8" 4
=
... (/.;)
3.2.1 2.1.1
=3
adi 0 Pen'a'ahan k&mbinai 4 ti!a. Suunanna ada$ah eba!ai be"ikut0 AB 4 BA% A8 4 8A dan B8 4 8B. "4 uunan% dan n 4 jum$ah benda. Pe"'&baan an! di$akukan be"u$an!u$an! den!an k&ndii an! ama% teta#i membe"ikan hai$ an! tidak ama% diebut #e"'&baan a'ak. Bi$a etia# titik am#e$ da$am "uan! am#e$ dibe"i ni$ai% maka dikatakan ada +un!i da$am "uan! am#e$ te"ebut. un!i demikian diebut +un!i a'ak atau diebut ju!a 3a"iabe$ a'ak. Fa"iabe$ a'ak dik"it mem#unai ni$ai an! te"bata% dan 3a"iabe$ a'ak k&ntinu mem#unai ni$ai tak te"bata.
/.:. Dit"ibui Pe$uan! Dik"it0 Ambi$ 4 3a"iabe$ a'ak dik"it% an! ni$aini$aina ada$ah0 /% 9% :%...................% maka #e$uan!na ada$ah0 P(4k) 4 +(k)% k 4 /% 9% :% ; ................ Atau P(4) 4 +() Ini di#enuhi bi$a +()
≥
> dan
∑ f ( x) = 1
.
Seba!ai '&nt&h ada$ah ebuah uan! $&!am di$em#a" dua ka$i% akan menimbu$kan "uan! am#e$ S 4 655% 5B% B5% BB7. Ambi$ 4 banakna muka an! mun'u$. Sehin!!a0 55 4 /
/ 4 55
5B 4 9
9 4 5B
B5 4 /
: 4 B5
BB 4 >
BB 0 tak te"ni$ai% ka"ena bukan 3a"iabe$ an! 4
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
dibutuhkan.
um$ah kejadian (4n) 4 ;% ehin!!a #e$uan!na ada$ah0
h
1
n
4
P(/) 4 +(>) 4
4
% h 4 /% ebab mun'u$na #e$uan! $em#a"an a*a$ 5 dan $em#a"an kedua 5 hana / ka$i.
2 4
P(9) 4 +(/) 4
%
h49% ebab mun'u$na #e$uan! $em#a"an a*a$ 5 dan $em#a"an kedua B ada 9 ka$i aitu #ada 55% 5B% untuk 5 dan #ada B5% BB% untuk B.
1 4
P(:) 4 +(9) 4
%
h4/% ebab mun'u$na #e$uan! $em#a"an a*a$ B dan $em#a"an kedua 5 hana / ka$i.
Bi$a ditabe$kan akan be"bentuk eba!ai be"ikut0 Tabe$ /./0 Da+ta" mun'u$na muka be$akan! hai$ $em#a"an uan! $&!am I Titik am#e$ 55 5B B5 BB / 9 / > > / 9 1 1 1 +() 4 2 4
Bi$a eka"an! diambi$ den!an -4 banakna be$akan! an! mun'u$% maka da#at ditabe$kan eba!ai be"ikut0 Tabe$ /./0 Da+ta" mun'u$na muka be$akan! hai$ $em#a"an uan! $&!am II Titik am#e$ 55 5B B5 BB > / 9 / 9 / > +()
/.;. Dit"ibui Pe$uan! 1&ntinu0
5
1
1
1
4
2
4
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
Ambi$ eba!ai 3a"iabe$ a'ak k&ntinu. Pe$uan! untuk mem#unai ni$ai te"tentu% aitu0 / >
9 /
>
9
>
:
i a
+ b
Bi$a diambi$ ni$ai itu ada$ah i
+% maka0 mem#unai ni$ai i
≤
≤
+
adi #e$uan! da#at ditu$ikan eba!ai0 f
P(i
≤
∫ f ( X )dx
≤ +) 4 ≥
ni$ai +()
i
... (/.<)
>
+∞
∫ f ( X )dx = 1 −∞
dan
... (/.=)
+() 4 +un!i #"&babi$ita 4 dit"ibui #"&babi$ita 4 +un!i "a#at #"&babi$ita ini emua be"$aku untuk 3a"iabe$ a'ak k&ntinu. Dit"ibui #e$uan! bin&mia$na be"bentuk0
P ( n; N , p ) = P ( n, N ) =
N ! n!( N − n)!
p n (1 − p ) N −n ... (/.@)
N 4 jum$ah #e"'&baan n 4 jum$ah kejadian 4 /% 9% : ............N # 4 #e$uan! uke da$am #e"'&baan (/#) 4 #e$uan! !a!a$ da$am #e"'&baan
N ! n!( N − n)! 4 k&mbinai 4 banakna 'a"a
an! be"beda da$am menda#atkan
uke mun'u$na n ka$i da"i N #e"'&baan.
6
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
N
∑ P (n; N , p) = 1 n =0
T&ta$ #e$uan! Ni$ai "ata"ata da"i n0 N
=< n >= ∑ nP (n; N , p )
n
n =0
N
∑ n n!( N N −! n)! p (1 − p) n
=< n >
n
N − n
n =0
4
... (/.)
Untuk dit"ibui k&ntinu da#at ditu$ikan eba!ai be"ikut0
< X >= ∫ Xf ( X )dX
... (/.Ja)
< X 2 >= ∫ X 2 f ( X )dX
... (/.Jb)
< X 3 >= ∫ X 3 f ( X )dX
... (/.J')
dan ete"una. Seba!ai '&nt&h mia$kan Te"da#at da+ta" ni$ai e#e"ti #ada tabe$ /.: eba!ai be"ikut0
Tabe$ /.:0 Da+ta" ni$ai / N> / 9 : ; <
+ /> 9> ;> 9> />
Ni$ai (n) Hu"u+ E D 8 B A
1ita 'a"i ni$ai "ata"atana eba!ai be"ikut0 N
n
=< n >= ∑ nP (n; N , p) n= 0
Da"i da+ta"0 n 4 >% /% 9% :% ;. Pe$uan!na0
7
An!ka > / 9 : ;
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
10
=
100
1
20
10
100
/.
%
20
=
100
5
100
% 1 10
10 5
40
5
100
% 10
< n >= 0.
1
9.
1
;.
=
=
=
2 5
:.
1 10
dan <. 1
2
1
1
5
5
5
10
+ 1. + 2. + 3. + 4.
=2
4
4 8.
8ATATAN0
< nn >=< n < n >>=< n >< n >=< n > 2 σ n2 Fa"iani diimbu$kan eba!ai0
σ n2
dan di"umukan eba!ai0
< ( n − < n >) 2 > 4
σ n2
< ( n− < n >) 2 > 4
< n 2 − 2n < n > + < n > 2 > 4
< n 2 > −2 < n >< n > + < n > 2 4
< n 2 > −2 < n >2 + < n > 2 4
σ n2
< n2 > − < n >2 4
... (/./>)
8atatan0
n
=< n >= NP
N 4 t&ta$ kejadian% P 4 #e$uan!% dan K 4 (/#) NPK 4 NP(/#) 8&nt&h kau0 1ita mem#unai kemeja den!an *a"na #utih% hitam% bi"u% kunin!% me"ah% '&k$at% hijau% dan jamb&n. Be"a#a ni$ai "ata"ata kita memakai tia# baju itu da$am emin!!u2 8
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
a*ab0
n
7
=< n >= NP
1 8
=
7 8
4 Bi$a te"nata baju bi"u be"jum$ah : buah% be"a#a ni$ai "ata"ata kita memakai baju bi"u da$am emin!!u 2 a*ab0 3
21
nbiru =< nbiru >= NP 7 8 = 8 4
Bi$a baju bi"u be"jum$ah buah% maka0
nbiru =< nbiru >= NP 4 @. 1.5. Dit"ibui Pe$uan! Gau.
un!i dit"ibui Gau0 f ( X ) =
1
σ 2π
e −( X − µ )
2
/ 2σ 2
− ∞ < X < ∞
%
... (/.//)
4 +un!i "a#at #"&babi$ita.
µ =
+∞
∫ Xf ( X )dX =< X >= X −∞
+∞
∫ f ( X )dX = 1 −∞
Den!an
/.=. Dit"ibui P&i&n0 mn n!
e −m
P(nm) 4
n
... (/./9)
=< n >= NP
m4
4 man 3a$ue
∞
∑ P (n; m) = 1 n =0
σ 2
= m(1 − p) 4m%
# MM /
Bentuk umum dit"ibui #e$uan! menu"ut P&i&n0
9
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
n
X
X 1 X − P n = e λ λ n! λ ... (1.13)
4 #anjan! (ja"ak)
λ 4 ja"ak "ata"ata anta"a dua titik. X < n >=
λ
Da$am ha$ ini 8&nt&h kau0 X
n
X 1 X − λ P n = e λ n! λ Diketahui0 Tentukan0
.
σ 2 a Mn dan
X λ
P n
b Sket #> dan #/ da$am atu dia!"am a*ab0 n
X
X 1 X − P n = e λ λ n! λ a Da"i
e
X λ
=∑
X λ n!
Diketahui0 n −1
X X ∞ n d λ X / λ (e ) = ∑ = e λ n! X 1 d λ Sehin!!a0 n −1
X n X ∞ X λ X λ ∑1 n! λ = e λ n
X n X ∞ X λ = e λ ∑1 n! λ Diketahui0
10
te"hada#
X
λ
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
n
1 X
∞
∑ n n! λ
X < n >= ∑ nP n λ 1
X − e λ
4 X
X
X e λ e − λ λ 4
X e 0 λ 4
X λ
< n > 4
σ 2
5en'a"i
0 n −1
X n X ∞ X λ X λ ∑1 n! λ = e λ Da"i0 n
X X ∞ λ ∑ λ e = 1
X n λ n!
X λ dide++e"enia$kan ke
% di#e"&$eh
X n n X d X λ d ∞ λ e = ∑ n! X λ X 1 d d λ λ n −1
X X λ X λ ∞ n e + e = ∑ λ 1
2
X λ n!
X λ ka$ikan den!an di#e"&$eh0 11
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
n
2
X
X
x e λ + X e λ = ∞ ∑1 λ λ
n
2
X λ n! n
X 2 X X λ ∞ n λ + λ e = ∑ 1
2
X λ n!
Sehin!!a eka"an!0
2
X X σ 2 = ∑ n − P n λ λ 1 ∞
X n − X λ e 2 ∞ X X λ ∑1 n 2 − 2n λ + λ n!
4 n 2 X X X n X ∞ λ − λ ∑ − 2n λ λ e n! n! 1 n
n 2 X X + λ λ n!
4 n n X 2 X n n X ∞ − ∞ X λ λ λ = e ∑ − 2 ∑ n! λ 1 n! 1 σ 2
e
X − λ
n X 2 X ∞ λ + ∑ λ 1 n!
X 2 X X λ X X X λ X 2 X λ e − 2 e + e λ + λ λ λ λ
4
e
X − λ
X 2 X λ X X λ X 2 X λ X 2 X λ λ e + λ e − 2 λ e + λ e
4
X 2 X X 2 X 2 λ + λ − 2 λ + λ 4
X λ 4
n
X
X 1 X − λ P n = e λ n! λ b Da"i
12
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
0
X
0
X
X 1 X − λ P 0 = e λ 0! λ n4>
X − λ 1. e λ 4
1.1.e
X − λ
4 X
X − λ P 0 = e λ 1
X
X 1 X − λ P 1 = e λ 1! λ n4/ X
X X − λ P 1 = e λ λ Buat tabe$ eba!ai be"ikut0 Tabe$ /.;0 Dit"ibui #e$uan!
X λ
>
/
9
:
;
..........
X λ
/
>%:@
>%/:<
>%><
>%>9
..........
X λ
>
>%:@
>%9@
>%/<
>%>@
..........
P 0
P 1
Buat !"a+ikna0
X λ
P 0
/
>%@<
>%<>
>%9< 13
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
X λ
P 1
>
>%9<
>%<>
>%@<
X λ
X λ
P 1
P 0
3
Gamba" /.90 G"a+ik hubun!an
TUGAS : 1e"jakan &a$&a$ be"ikut0 /. Ambi$ ka"tu "emi% amati be"a#a jum$ah ka"tu itu% kemudian 'a"i #e$uan! be"ikut0 P( A) 42 P( ;) 42 P(A1) 42
P(=
)
42
P(1
)
42
P(
<) 4 2
P(
)
42
P(1)
P(
42
P(
;) 4 2
P(<
<) 4 2
) 42
P(
;)
42
9. Te"da#at da+ta" ni$ai e#e"ti an! ditunjukkan #ada tabe$ /.< eba!ai be"ikut0 Tabe$ /.<0 Da+ta" ni$ai 9 Ni$ai (n) N>
+
/ :> 9 9> : < Tentukan ni$ai "ata"atana 2
Hu"u+ 8 B A
An!ka 9 : ;
PUSTA1A0 / Siti Nu"u$ 1h&timah% Fisika Statistik. Bandun! 0 ITB% /JJJ. H0 9 . 2
Triyanta. Fisika Statistik. Ban!n"# $TB. 1999. H# 8 % 12.
BAB II TEORI 1INETI1 GAS IDEAL
A. PENDAHULUAN
14
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
Pada bab ini akan dibaha tentan! an!!a#an daa" !a idea$% +$uk m&$eku$% tekanan !a% dan #"ini# eki #a"tii ene"!i. Anda te$ah men!etahui dan te$ah mem#e$aja"i tentan! !a idea$ ini #ada *aktu men!ikuti ku$iah te"m&dinamika%
baik
#e"amaan
keadaanna
mau#un
#"&e
an!
dija$anina. Namun demikian da$am membaha #e"ku$iahan te"m&dinamika te"ebut be$um dibaha e'a"a detai$ #e"i$aku m&$eku$na. Pada bahaan tik ini akan dibaha #e"i$aku m&$eku$ !a idea$ mu$ai da"i an!!a#an an!!a#an daa" m&$eku$ am#ai #"ini# eki #a"tii ene"!ina. Ada#un an! menjadi tujuan int"uki&na$ khuu da$am bahaan ini ada$ah diha"a#kan anda mem#unai kemam#uan untuk menje$akan #"ini# #"ini# daa" #e"i$aku m&$eku$ !a be"daa"kan tekanan% 3&$ume% tem#e"atu"% dan ene"!ina.
B. PEN-AIAN 9./. An!!a#an Daa". Untuk mem#e$aja"i te&"i kinetik #ada !a idea$% kita #e"$u memahami an!!a#anan!!a#an daa" eba!ai be"ikut0 /. An!!a#an #e"tama ada$ah bah*a etia# e$emen 3&$ume be"ii m&$eku$ !a. Da$am keadaan tanda"t% =%>9 /> 9: m&$eku$ menem#ati 3&$ume ebea" 99%; />: m:. Untuk itu / mm: 3&$ume% be"ii m&$eku$ !a ebanak 4..... 2 Oke% untuk menja*ab ha$ ini ma"i kita te$uu" eba!ai be"ikut0 Da"i / m: 4 /m /m /m 4 />: mm />: mm />: mm 4 />J mm:. adi 99%; />: m: 4 99%; /> = mm:. 6,02 x10
23
22,4 x10
Sehin!!a / mm: be"ii m&$eku$ ebanak
6
4 >%9=@< />/@.
≈ 3 x1016 m&$eku$. e$a$ah eka"an!. Untuk itu ma"i kita #ahami an!!a#an an! kedua. 9. 5&$eku$m&$eku$ te"#iah &$eh ja"ak an! $ebih bea" dibandin! den!an diamete" m&$eku$ itu endi"i. Ambi$ mia$na atu m&$eku$ menem#ati atu kubu ke'i$ den!an te#at. Untuk ini te$ah diketahui bah*a da$am keadaan
15
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
tanda"t% =%>9 /> 9: m&$eku$ menem#ati 3&$me ebea" 99%; /> : m:. Sehin!!a 3&$ume kubu te"ebut ada$ah 4 −3
22,4 x10 m 23
3
6,02 x10 molekul
= 3,72 x10−26 m 3 / molekul .
F&$ume 4 " " "% dimana " 4 "uuk kubu. 3
Volume
= 3 3,72 x10 −26 = 1,549 x10 −9 m
"4
.
Ruuk kubu ini di"e#"eentaikan eba!ai ja"ak "ata"ata anta"a m&$eku$. ≈
9 />/> m. Sehin!!a0
Diketahui #u$a bah*a diamete" m&$eku$ ada$ah
jarak .antar .molekul 1,549 x10 −9 diameter .molekul
=
2 x10 −10
≈ 10
adi ja"ak anta" m&$eku$ 4 /> diamete" m&$eku$. :. An!!a#an ke ti!a ada$ah bah*a !aa inte"aki anta" m&$eku$ diabaikan% ke'ua$i jika m&$eku$ te"ebut a$in! be"tumbukan. Den!an an!!a#an an! ke ti!a ini kita da#at menatakan bah*a jika tidak ada !aa $ua"% maka m&$eku$ akan be"!e"ak $u"u dianta"a dua tumbukan. ;. An!!a#an an! keem#at ada$ah bah*a tumbukan anta" m&$eku$ den!an m&$eku$ atau anta" m&$eku$ den!an dindin! be"i+at $entin! em#u"na% dan ba!ian dindin! an! ditumbuk m&$eku$ dian!!a# "ata em#u"na. 1&m#&nen ke'e#atan m&$eku$ a"ah te!ak $u"u #e"mukaan dindin! be"ubah den!an #e"ubahan t&ta$. Lihat !amba" 9./ be"ikut0
θ F '&
θ F
θ
Gamba" 9./0 A"ah #enja$a"an !e"ak m&$eku$
Den!an k&n3eni a"ah% keki"i dan ke kanan % maka !e"ak b&$akba$ik m&$eku$ men!akibatkan #e"ubahan m&mentum ebea"0 16
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
θ m F '&
θ ( mF '&
θ ) 4 9 mF '&
θ 4 m (9 F '&
).
θ 9F '&
4 #e"ubahan ke'e#atan.
<. An!!a#an ke$ima% jika tidak ada #en!a"uh !aa medan $ua"% m&$eku$ m&$eku$ te"dit"ibui me"ata di e$u"uh *adah atau bejana. Den!an an!!a#an ini% maka ke"a#atan m&$eku$ da#at dide+iniikan eba!ai banakna m&$eku$ #e"atuan 3&$ume. Atau 1e"a#atan 4 NF 4 k&ntan. Sehin!!a da$am e$emen 3&$ume dF te"da#at dN m&$eku$. A"tina0 dN dV
=
N
N
V
V
% Atau0 dN 4
dF
... (9./)
=. An!!a#an keenam bah*a% $aju !e"ak m&$eku$ me$i#uti kia"an da"i n&$ hin!!a $aju 'ahaa. Den!an an!!a#an ini
tidak akan menimbu$kan
kea$ahan bi$a kita men!inte!"a$kan +un!i dit"ibui #e$uan! untuk $aju
da"i > am#ai
∞
.
@. An!!a#an ke tujuh ada$ah bah*a% m&$eku$m&$eku$ be"!e"ak meneba" kee!a$a a"ah den!an #e$uan! an! ama. Untuk men!!amba"kan an!!a#an ini ma"i$ah kita ambi$ #eneba"an m&$eku$ ini membentuk +"&nt an! menembu #e"mukaan b&$a e#e"ti an! ditunjukkan !amba" 9.9 be"ikut0
θ " in dA
θ "d "
0
θ
θ d 17
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
φ >>
>
d
φ
φ d
Gamba" 9.90 Pe"mukaan b&$a eba!ai #eneba"an m&$eku$
θ
φ
θ
dA 4 (" d ) (" in
d
φ
θ θ dA 4 " 9 in
)
d d
... (9.9)
um$ah "ata"ata titik tembu m&$eku$ #e" atuan $ua #e"mukaan b&$a 4 jum$ah m&$eku$ an! menembu #e"mukaan #e"atuan $ua #e"mukaan
N 4π .r 2
b&$a% -aitu 4
.
1a"ena meneba" me"ata ke e$u"uh #e"mukaan b&$a% maka0
dN dA
=
N 2
4π .r N
4π .r 2
dA
N
N
θ θ φ
4π .r 2
4π .
θ θ φ
dN 4 4 " 9 in d d 4 in d d . Nam#ak bah*a dN diini me"u#akan jum$ah m&$eku$ an! mem#unai
θ ke'e#atan da$am a"ah anta"a
θ dan
Sehin!!a da#at ditu$ikan hubun!an0
18
θ d dan anta"a
φ
φ dan
φ d .
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
=
dN θφ
N θ θ φ
4π in
... (9.:)
dN v
=
dN vθφ
d d
θ θ φ
4π in
d d
... (9.;)
De++. Ra#at m&$eku$ (denit) 4 n
.
≡ N ≡ jumlah molekul V
Volume
Atau n
=
dnθφ
dN θφ V
=
1 N θ θ φ
4π V in
dnθφ
=
n θ θ φ
4π in
dnvθφ
=
dan
9.9. $uk 5&$eku$
d d .
d d
... (9.<)
dnv θ θ φ
4π in
d d
≡Φ
$uk m&$eku$ #ada uatu #e"mukaan
≡
jum$ah t&ta$ m&$eku$ an! te!ak
$u"u men!enai #e"mukaan #e"atuan $ua #e"atuan *aktu. d Φ
=
dN
∆ N
dA.dt
N
%
atau
Φ
4
∆ N ∆ A.∆t
+"aki m&$eku$na 4
.
Pe"hatikan i$inde" mi"in! an! be"ada da$am k&&"dinat b&$a #ada !amba" 9.: be"ikut0
19
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
(n&"ma$)
θ
3
φ dA Gamba" 9.:0 Si$inde" mi"in! da$am k&&"dinat b&$a
θ φ Sumbu i$ide" mem#unai a"ah
% dan #anjan! i$inde" 4 3 dt.
θ φ 5&$eku$
an! men!enai #e"mukaan a$a da$am e$an! *aktu dt ama
θ φ den!an banakna m&$eku$ 3
≡
Ambi$ dnF
da$am i$inde".
banak m&$eku$ #e"atuan 3&$ume an! mem#unai $aju anta"a 3
dan 3 d3.
N vθφ
N
θφ
V
Da"i n 4
% maka 0 n3
V 4
% dan
dN vθφ
θφ d n3
V 4 1 4π
dnv &in θ .d θ .d φ
4 de++. dn3
≡
n +(3) d3 dan dN3
≡
N +(3) d3
Sehin!!a0 1
θφ
4π
n. f (v) dv &in θ .d θ .d φ
d n3 4 Da"i !amba" 9.: nam#ak bah*a0
... (9.=)
θ F&$ume i$inde" mi"in!0 dF 4 dA. 3 dt '&
20
.
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
F4
∫∫
θ dA ('&
) 3 dt.
N vθφ
θ φ Banakna m&$eku$ 3
da$am i$inde" ada$ah0
θφ 4 n3
. F.
dN vθφ = dnvθφ .V Sehin!!a 1
∫∫ dA. '&θ .v.dt
dnv &in θ .d θ .d φ .
4π
4 1
dN vθφ
4π
v.dnv &in θ . '& θ .d θ .d φ .dA..dt
4 N vθφ
... (9.@)
= ∫∫∫∫
1
4π
v.dnv &in θ . '& θ .d θ .d φ .dA..d t
Atau
... (9.) θ φ
$uk m&$eku$ 3
d Φ =
0
dN dA.dt ... (9.J)
Be"daa"kan #e"amaan 9.J% maka da#at ditu$ikan0 d Φ vθφ
=
d Φ vθφ =
dN vθφ dA.dt
dN vθφ dA.dt 1 4π
v.dnv &in θ . '&θ .d θ .d φ .dA.dt dA.dt
4 1 4π
v.dnv . &in θ . '& θ .d θ .d φ
4 1 4π
v.n. f (v).dv. &in θ . '&θ .d θ .d φ
4 21
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
1
d Φ vθφ
4π
.n.v. f (v).dv. &in θ . '&θ .d θ .d φ
4
... (9./>)
Φ vθ
θ $uk m&$eku$ 3 4 d
0
φ Di#e"&$eh den!an men!inte!"a$kan
π da"i > am#ai 9
.
2π
∫ d φ = 2π 0
% ehin!!a0
1
d Φ vθ
2
v.n. f (v ).dv.&in θ . '&θ .d θ .
4
... (9.//)
d Φ v $uk m&$eku$ 3 4
0
θ Di#e"&$eh den!an men!inte!"a$kan da"i > am#ai π / 2 1 &in θ . '&θ .d θ = 0 2 -aitu % ehin!!a0 1 d Φ v = n.v. f (v ).dv 4
π 9 (k&&"dinat i$inde")
∫
Φ=
1 4
∫
n v. f (v ).dv
Untuk itu% maka0
Φ Φ
< v > 4 (/;) n
... (9./9)
4 +$uk t&ta$ untuk e$u"uh $aju dan untuk e$u"uh udut.
≡
F
A
9.:. Tekanan Ga (P
).
1ita ketahui bah*a untuk !a idea$% tumbukan a! te"jadi ada$ah $entin! em#u"na. Pe"hatikan !amba" 9.; be"ikut0 n&"ma$ ()
22
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
θ
θ
m
m
-
bid. -
bid. -
Gamba" 9.;0 Bidan! k&&"dinat m&$eku$ !a
Da"i !amba" 9.; nam#ak bah*a0
∆ P Y = m.v. &in θ − m.v. &in θ = 0 Pada a"ah -0 Pe"ubahan m&mentum0
∆ P = m.v. '&θ − (−m.v. '&θ ) Pada a"ah 0 Pe"ubahan m&mentum0
.
= 2m.v. '&θ Den!an men!!unakan hukum Ne*t&n0 F =
d p
p
dt
%
≡
4 m&mentum.
F
A
P % P 4 tekanan. Da"i #e"amaan 9.@0
dN vθφ =
Den!an dn3
1 4π
v.dnv &in θ . '&θ .d θ .d φ .dA..dt .
≡
n +(3) d3% maka0 1 N dN vθφ 4π V v. f (v)dv &in θ . '&θ .d θ .d φ .dA..dt 4 ... (9./:) vθφ 4 banakna m&$eku$ ( ) da$am *aktu dt menumbuk dindin! e$ua dA.
∆ p = 2m.v. '&θ Pe"ubahan m&mentum0
.
23
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
vθφ Pe"ubahan m&mentum an! dia$ami dindin! &$eh m&$eku$ (
=
) ada$ah0
dN vθφ ( 2m.v. '& θ )
Be"daa"kan hubun!an 0 Im#u$ 4 #e"ubahan m&mentum% maka0 Gaa 4 #e"ubahan m&mentum *aktu% dan tekanan 4 !aa $ua% ehin!!a0 Tekanan 4 #e"ubahan m&mentum #e"atuan $ua #e"atuan *aktu. Tekanan an! dia$ami dindin! ada$ah0
dP =
dN vθφ ( 2.m.v. '&θ ) dA.dt
1 vn. f (v).dv. &in θ '&θ .d θ .d φ .dA.dt ( 2.m.v. '&θ ) π 4 dA.dt 4
N m
2
v 2 f (v).dv. &in θ . '& 2 θ .d θ .d φ
V 4π
4
P =
.
∫ ∫ ∫ θ
v
2
φ
N m
2
N m V 4π
v 2 f (v).dv. &in θ . '& 2 θ .d θ .d φ
∞
π / 2
2π
∫ v f (v).dv. ∫ &in θ . '& θ .d θ . ∫ d φ 2
2
V 4π 0
0
0
4
N m
2
V 4π
2
π / 2 2 2π > − ∫ '& θ .d ( '&θ ) ∫ d φ 0 0
4
2
π / 2 1 < v 2 > − ['& 3 θ ] 0 .2π V 4π 3
N m
4
N V
m < v 2
1 1 N > − [ 0 − 1] . m < v 2 > 3 V 3
4
4
1 P
3
n.m < v 2
>
4 Pe"amaan 1eadaan Ga Idea$0
... (9./;)
Da"i #e"amaan 9./; di#e"&$eh0 24
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
P =
1 N 3 V
m < v2
1 PV = N .m < v 2 3
>
>
atau
1 n"! = N .m < v 2 3
3k!
< v 2 >= v rms
>= Nk!
m
= < v2 > =
3k!
k! =
m
21 32
m < v2
>
dan ("m 4 "&&t mean Kua"e 4 aka" "ata"ata kuad"at) 1 3 m < v 2 >= k! 2 2 Di#e"&$eh0
... (9./<)
1 2
m
>
2
diebut "ata"ata ene"!i kinetik t"an$ai ebuah m&$eku$. 9.;. P"ini# Eki#a"tii Ene"!i0 5e"u#akan uatu #"ini# #eme'ahan maa$ah ene"!i an! dimi$iki &$eh m&$eku$ be"daa"kan de"ajad kebebaan at&mat&mna untuk be"t"an$ai% be"&tai% dan be"3ib"ai. Pada T"an$ai0
v
= v x i + v $ j + v # k < v x2 > + < v $2 > + < v # 2 >
2
dan
4
1
< v x2 >=< v $2 >=< v # 2 >= < v 2 > 3
3 < v x2
< v2 >
atau
>
4
25
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
3 < v $2
>
3 < v # 2
>
4 4 Da"i #e"amaan 9./<0
1 2
m < v2
>=
3 2
k! %
Be"a"ti0
1
m < 3v x
2 atau 1 2 1 2 1 2
2
m < v x2
>=
m < v $
>=
m < v # 2
>=
2
1
>= 1 2 1 2 1 2
2
m < 3v $
2
>=
1 2
m < 3v #
2
>=
3 2
k!
k! k! k!
adi da#at ditu$ikan0 1 2
m < v x2
>=
1 2
m < v $2
>=
1 2
m < v # 2
>=
1 2
k!
...
(9./=) Sehin!!a da#at dinatakan bah*a da$am t"an$ai te"da#at : de"ajad kebebaan aitu a"ah % a"ah - dan a"ah . Untuk "&tai dan 3ib"ai te"!antun! jeni m&$eku$na% a#akah m&n&at&mik% d*iat&mik atau #&$iat&mik. Seba!ai '&nt&h ambi$ m&$eku$ an! d*iat&mik. Pe"hatikan !amba" ; be"ikut0
26
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
-
Gamba" 9.<0 5&$eku$ d*iat&m
R&tai bia te"jadi #ada umbu % -% % namun ene"!i kinetik "&taina hana #ada "&tai umbu dan - aja. Untuk "&tai te"hada# umbu diabaikan% ebab m&men inne"iana n&$. Ene"!i kinetik "&tai0 1 2
2 % X ω X
1
=
2
2 % Y ω Y
=
1 2
k!
Pada 3ib"ai ada dua ene"!i% aitu ene"!i kinetik 3ib"ai dan ene"!i #&tenia$ 3ib"ai. Ene"!i kinetik 3ib"ai da$am ha$ ini ada$ah0 1 2
mf 2
=
1
k!
2
%
f den!an
4 ke'e#atan 3ib"ai a"ah . 1 2
k 2
=
1 2
k!
Ene"!i #&tenia$ 3ib"ai0 adi ene"!i an! te"jadi ada$ah0 E 4 Et"an$ai E"&tai E#&tenia$ 3ib"ai E3ib"ai 3 2 Atau
k! +
2 2
k! +
1 2
k! +
1 2
k! =
7 2
k!
E 4
... (9./@)
Da#at dikatakan bah*a untuk m&$eku$ d*iat&mik te"da#at @ de"ajad kebebaan.
Ene"!i Da$am (U)0 f Nk! 2 U4
den!an N 4 n N A
f 2 U4
n"!
f %
den!an
4 de"ajad kebebaan.
Untuk m&$eku$ m&n&at&mik% te"da#at : de"ajad kebebaan% ehin!!a0
3 3 & = Nk ! = n"! 2 2 ... (9./) 27
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
S#e'i+i' Inte"na$ Ene"! #e"m&$0
u
=
& n
=
f N 2 n
f f "! = N Ak! 2 2
k! =
... (9./J) ' =
1a$&" jeni
C m
4
%
den!an 8 4 1a#aita 1a$&".
'*
=
C n
1a$&" jeni m&$a" 4
C V
f f ∂& = = Nk = n" 2 ∂! V 2
Pada 3&$ume teta#0
'V
... (9.9>)
f N f f ∂u k = N Ak = " = = 2 2 ∂! V 2 n
1a$&" jeni0
... (9.9/)
' P
= 'V + "
Te$ah diketahui bah*a0 f " + " 2
f + 2 " 2
=
4
f + 2 " ' P 2 f + 2 2 = = = 1+ γ = 'V f f f " 2
dan
... (9.99)
Rumu"umu de+inii0
dnv
= n. f (v).dv
dN v
= N . f (v).dv
dN (
= N . f ( ( ).d(
dN p
= N . f ( p).dp
28
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
∞
< v >= ∫ 0 v. f (v).dv ∞
< v 2 >= ∫ 0 v 2 . f (v).dv Laju an! #a$in! mun!kin0 ∆ N
∂ f (v) =0 ∂v
N
"aki at&m 0
= < v2 >
v rms
∫∫∫ dv dv dv = ∫∫∫ v dv.&in θ .d θ .d φ ∫∫∫ dp dp dp = ∫∫∫ p dp.&in θ .d θ .d φ 2
x
$
#
2
x
$
#
TUGAS0 1e"jakan &a$&a$ be"ikut0 / Hitun!$ah $aju "ata"ata M3 dan 3"m untuk dit"ibui = buah m&$eku$ den!an ketentuan0 a 3 4 < m/ untuk ebuah m&$eku$ 3 4 @ m/ untuk : buah m&$eku$ 3 4 /< m/ untuk 9 buah m&$eku$ b 3 4 < m/ untuk ; buah m&$eku$ 3 4 9> m/ untuk 9 buah m&$eku$ ≥
Da#atkah kita menim#u$kan bah*a 3"m Kapan ip+n!i 3"m 4 M3 2
M3 untuk uatu dit"ibui $aju 2
9 Diketahui bah*a $aju "ata"ata m&$eku$ !a da$am ebuah bejana ditu$ikan eba!ai0 ∞
< v >= ∫ vf (v)dv = 0
1
∞
∫ v.dN
v
N 0
B!-ti-an a/a anya-nya m+-! yan" m+n!m!- &at!an ian" +ana p+r&at!an /a-t! aaa#
Φ=
N < v
>
4.V
29
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
PUSTA1A0 /. Siti Nu"u$ 1h&timah% Fisika Statistik. Bandun! 0 ITB% /JJJ. H0 J /@. 9. * Sea" and Sa$in!e"% Thermodynamics, Kinetic Theory and Statistical Thermodynamics. Addi&n e$e% /J=. H0 9<> 9@/. 3. emank 5.% dan R.H Dittman. /J=.Kalor dan Termodinamika. A$ih Bahaa0 The H&u* Li&n!.Pene"bit ITB Bandun! . H# 137 % 143.
BAB III DISTRIBUSI 1E8EPATAN DAN LAU 5ENURUT 5AELL A. PENDAHULUAN Pada bab ini akan dibaha tentan! +un!i dit"ibui $aju menu"ut 5a*e$$% dan $e#ana m&$eku$ da"i $uban! bejana. Be"daa"kan hai$ #emahaman an! te$ah anda $akukan #ada ba!ian / tentan! te&"i #e$uan! dan ba!ian 9 tentan! te&"i kinetik !a idea$% eka"an! anda diajak untuk men!a#$ikaikanna da$am memahami dit"ibui ke'e#atan dan $aju m&$eku$ (#a"tike$) menu"ut 5a*e$$. Ada#un tujuan int"uki&na$ khuu da$am mem#e$aja"i tik ini ada$ah diha"a#kan anda mem#unai kemam#uan untuk me"umukan +un!i dit"ibui $aju #a"tike$ an! be"!e"ak di da$am *adah (bejana) menu"ut 5a*e$$.
B. PEN-AIAN :./. un!i Dit"ibui Laju 5enu"ut 5a*e$$. Te$ah kita ketahui da"i bahaan an! $a$u bah*a !e"ak m&$eku$ ada$ah a'ak% ehin!!a da$am !e"akanna m&$eku$ mem#unai #e$uan! untuk keki"i dan kekanan ama. Bi$a a"ah te"ebut kita be"i % -% % maka akan kita da#atkan #e$uan!#e$uan! untuk a"ah te"ebut. Ambi$ mia$kan untuk a"ah . Da$am ha$ ini #e$uan! m&$eku$ mem#unai ke'e#atan den!an k&m#&nen anta"a 3 dan 3 d3 ada$ah
+(3) d3% den!an +(3) ada$ah +un!i dit"ibui
k&m#&nen ke'e#atan a"ah . e$a$ah eka"an! bah*a +(3 ) d3 mem#unai #en!e"tian eba!ai #e$uan! den!an +∞
∫ f (v ).dv x
x
=1
−∞
... (:./) ika demikian mem#unai #en!e"tian a#a an! be"ikut ini0
30
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
= N . f (v x ).dv x
dN v x
O1% aitu0 4 banakna m&$eku$ an! be"!e"ak den!an ke'e#atan anta"a 3 dan 3 d3 . Be!itu #u$a an! be"ikut0
= N . f (v $ ).dv $
dN v $
4 banakna m&$eku$ an! be"!e"ak den!an ke'e#atan anta"a 3 dan 3 d3 .
dN v #
= N . f (v # ).dv # 4 banakna m&$eku$ an! be"!e"ak den!an ke'e#atan anta"a 3, dan 3, d3, .
dN v x
v $
= N . f (v x ).dv x f (v $ ).dv $ dN v x v
$ v #
Seka"an! anda da#at menu$ikan bentuk #e"amaan untuk
dN v x
v $ v #
dN v x v v
$ #
% aitu0
= N . f (v x ).dv x f (v $ ).dv $ f (v # ).dv # = N . f (v x ). f (v $ ). f (v # ).dv x .dv $ .dv # ... (:.9) 4 banakna m&$eku$ an! mem#unai ke'e#atan #ada k&m#&nen k&m#&nen0 % aitu anta"a 3 dan 3 d3 -% aitu anta"a 3 dan 3 d3 % aitu anta"a 3, dan 3, d3,
8&ba eka"an! anda #e"hatikan !amba" :./ be"ikut0
3,
d3, dNv x v $ v #
3,
3 3 3 d3 31
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
3
d3 Gamba" :./0 1&&"dinat ke'e#atan
1e"a#atan m&$eku$ da$am e$emen 3&$ume d3 d3 d3, da#at ditu$ikan eba!ai
ρ v x v $ v #
= ρ ρ
Ba!aimana bentuk #e"amaan "a#at m&$eku$ (
ρ =
) e$anjutna 2 O1% aitu
dN v xv $ v # dv x dv $ dv #
akan be"bentuk0
ρ
=
N . f (v x ). f (v $ ). f (v # ).dv x .dv $ .dv # dv x .dv $ .dv #
ρ = N . f (v x ). f (v $ ). f (v # ) ... (:.:)
ρ (v x , v $ , v # ) Gunakan +un!i0
d ρ =
% ehin!!a di#e"&$eh0
∂ ρ ∂ ρ ∂ρ dv x + dv $ + dv ∂v x ∂v # # ∂v $ N . f (v x ). f (v $ ). f (v # ).dv x + N . f (v x ). f (v $ ). f (v # ).dv $
4
+ N . f (v x ). f (v $ ). f (v # ).dv # d ρ
ρ
=
N . f (v x ). f (v $ ). f (v # ).dv x N . f (v x ). f (v $ ). f (v # )
+
+
N . f (v x ). f (v $ ). f (v # ).dv $ N . f (v x ). f (v $ ). f (v # )
N . f (v x ). f (v $ ). f (v # ).dv # N . f (v x ). f (v $ ). f (v # )
f (v x ) f (v x )
dv x
+
f (v $ ) f (v $ )
4
32
dv $
+
f (v # ) f (v # )
dv #
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
Diketahui bah*a% m&$eku$ be"!e"ak ke e!a$a a"ah den!an #e$uan! an!
ρ ama% ehin!!a
ρ ada$ah k&ntan di ku$it b&$a. -an! be"a"ti d
d ρ
f (v x )
ρ
f (v x )
Atau0
dv x
+
f (v $ ) f (v $ )
dv $
+
f (v # ) f (v # )
4
v x .dv x
4 >.
dv # 4 >
+ v $ .dv $ + v # .dv # = 0
Be!itu #u$a0
v x , v $ , v # untuk
k&ntan.
Den!an men!!unakan met&de undete"mined mu$ti#$ie" La!"an!e% aitu
λ den!an menambah #a"amete"
beba% dan tidak ama den!an n&$% akan
di#e"&$eh hubun!an eba!ai be"ikut0
f (v $ ) f (v x ) f (v # ) . . . . .dv # = 0 + λ .v x + + + + λ λ dv v dv v x $ $ # f (v x ) f (v # ) f (v $ ) Da$am ha$ ini0
f (v x ) + λ .v x dv x = 0 f ( v ) x f (v $ ) f (v $ ) + λ .v $ dv $ = 0 f (v # ) + λ .v # dv # = 0 f ( v ) # f (v x )
f (v x ) + λ .v x dv x = 0 ( ) f v x Da"i Se$anjutna da#at kita tu$ikan 0
f (v x ) f (v x )
f (v x ) Atau
= −λ .v x
df (v x ) d (v x ) f (v x )
= −λ .v x
33
+ λ .vx = 0 %
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
df (v x ) f (v x )
= −λ .v x .dv x
df (v x )
∫ f (v ) = −∫ λ .v .dv x
x
x
1
n . f (v x ) = −
f (v x ) =
2
+ n .'
λ .v x2
1 − λ .v x2 C .e 2
... (:.;) 8 da#at kita 'a"i den!an n&"ma$iai eba!ai be"ikut0 +∞
∫ f (v ).dv x
=1
x
−∞ +∞
∫ C .e
1 − λ .v x2 2 .
dv x
=1
−∞
C .
π λ / 2
C =
=1
λ 2π
atau
Sehin!!a eka"an!0 1
f (v x ) =
2
λ − 2 λ .v x .e 2π
... (:.<) Pe"amaan :.< diebut +un!i dit"ibui k&m#&nen ke'e#atan a"ah . Den!an 'a"a an! ama akan kita #e"&$eh #u$a0 f (v $ ) =
λ 2π
.e
1 − λ .v $2 2
... (:.=) Pe"amaan :.= diebut +un!i dit"ibui k&m#&nen ke'e#atan a"ah -. 1
f (v # ) =
λ − 2 λ .v # .e 2π 2
... (:.@) Pe"amaan :.@ diebut +un!i dit"ibui k&m#&nen ke'e#atan a"ah . Da"i +un!i dit"ibui keti!a k&m#&nen ini e$anjutna akan di#e"&$eh0
34
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
3/ 2
λ f (v) = 4π 2π
e −(1 / 2) λ v v 2 2
... (:.) 3/ 2
m f (v) = 4π 2π k!
e
− (1 / 2 )
m k!
v2
v2
... (:.J) (Diebut +un!i dit"ibui $aju menu"ut 5a*e$$).
< v >=
8k! mπ
Di#e"&$eh #u$a0 Buktikan keti!a #e"amaan0 :.% :.J% dan :./> diataQ
... (:./>)
:.9. Le#ana 5&$eku$ da"i Luban! Bejana.
A
A (3)
f (v)
Gamba" :.90 Bejana be"$uban! be"ii !a.
De+inii0 Banakna m&$eku$ an! ke$ua" da"i bejana ka"ena menumbuk $uban! e$ua A an! $ajuna 3 dan 3 d3 da$am *aktu dt ada$ah4 +$uk $ua *aktu.
≡1
dN v
4 V
= dN v
N
1 N 4 V
v. f (v).dv.dA.dt
v. f (v).dv. A.dt
= dN v
dN v
= N F (v ).dv
... (:.//) N 4 banakna m&$eku$ da$am bejana NC4 banakna m&$eku$ di$ua" bejana. (3) 4 +un!i dit"ibui $aju m&$eku$ di $ua" bejana 5&$eku$m&$eku$ an! ada di$ua" bejana be"aa$ da"i m&$eku$m&$eku$ $e#a. adi da#at ditu$i0
35
an!
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
N
N
=
N F (v).dv
4V
∞
N
0
4V
∫
F (v).dv =
v. f (v ).dv. A.dt ∞
∫ v. f (v).dv. A.dt 0
N 1 N ( ) = . < v > . A.dt 2 4V
F (v ).dv =
4V = 2 < v > . A.dt
v. f (v).dv. A.dt
Sehin!!a 0
2 < v > . A.dt
F (v).dv =
v. f (v).dv. 2
Den!an #e"amaan :.J dan :./>% e$anjutna da#at ditu$ikan0 m 2
3/ 2
−( 1 / 2 ) v m v.4π e k! 2π k! = 1/ 2 8k! 2 F (v).dv π m
4π v
3
=
m 2
1/ 2
m e −( 1/ 2 ) k! v 2π k! 2π k! 1/ 2 8k! 2 m π m
1/ 2
m.mπ = 4π .k! 2π .k! .8k! 4π .mv 3
m
m. e − 2 k! .v = 4π .k! 4k! 4π .mv 3
=
m2v 3 2
2
4.k ! 2
m F (v) = k!
e
v3 4
m 2 − .v 2 k!
e
dv
m 2 − .v k! 2 e dv
2
dv 2
m dv = k!
v
3
4
m 2 − .v 2 k! e dv
m 2 − .v 2 k!
Sehin!!a di #e"&$eh0
... (:./9)
v rms
v 2 .dv
= < v2 >
dan
36
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
∞
< v 2 >= ∫ 0 v 2 . F ( v ). dv Gunakan0 2
∞
∫ v
2
0
m . k!
v3 4
m 2 − v 2 k! e dv
4
1 m
2
m
2
∞ v 5 e − 2k! v 0 4 k! ∫
dv
4 ∞
∫ 0
5
x e
− ax 2
=
dx
1 a3
Da"i tabe$ matematik 0
< v >= 2
=
< v2 >
1 m2
1
4 k 2! 2
m 2k!
3
=
1 m 2 8.k 3! 3 4 k 2! 2
m3
2.k!
m ... (:./:)
Dida#at0
vrms
=
2.k! m ... (:./;)
TUGAS: Seka"an! anda ke"jakan tu!a da$am bentuk &a$&a$ be"ikut0
/. Da"i +un!i dit"ibui be"ikut0 1
2 x
f (v x ) =
λ − 2 λ .v .e 2π
f (v $ ) =
λ − 2 λ .v $ .e 2π
f (v # ) =
λ − 2 λ .v .e 2π
1
2
1
2 #
Tunjukkan bah*a0 3/ 2
λ f (v) = 4π 2 π
e −(1 / 2) λ v v 2 2
3/ 2
m f (v) = 4π 2 π k!
e
− (1 / 2 )
m k!
v
2
v
2
(Diebut +un!i dit"ibui $aju menu"ut 5a*e$$).
37
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
9. Da"i +un!i dit"ibui $aju menu"ut 5a*e$$ ini% buktikan #u$a 0
< v >=
8k!
< v 2 >=
mπ
a)
3.k! m
b) 1 v
=
2m
vrms
π k!
')
3 "!
=
N)
d)
v mp e)
4 Laju an! #a$in! mun!kin den!an men!!unakan 0
∂ f (v) 0 = ∂v
2k!
v mp dan
m
4
PUSTA1A0 /. Siti Nu"u$ 1h&timah% Fisika Statistik. Bandun! 0 ITB% /JJJ. H0/ 9= . 9. * Sea" and Sa$in!e"% Thermodynamics, Kinetic Theory and Statistical Thermodynamics. Addi&n e$e% /J=. H0 :<; :=/. :. emank 5.% dan R.H Dittman. /J=.Kalor dan Termodinamika. A$ih Bahaa0 The H&u* Li&n!.Pene"bit ITB Bandun!. H0 :9J ::<.
BB $ GEALA TRANSPOR. PENDAHULUAN
Pada bab ini anda diajak untuk memahami tentan! !aa anta" m&$eku$% k&"eki 8$auiu te"hada# 3&$ume% k&"eki Fan de" aa$ te"hada# tekanan% ja$an beba "ata"ata% k&e+iien 3ik&ita% k&ndukti3ita te"ma$% dan di+ui. Anda te$ah memi$iki beka$ #en!etahuan dan #emahaman tentan! !a idea$ dan te&"i kinetik !a. Daa" #emahaman ini eka"an! da#at anda a#$ikaikan untuk memahami tik ini. an!an $u#a bah*a #emahaman tentan! #e"amaan keadaan !a idea$ #ada *aktu men!ikuti ku$iah te"m&dinamika ju!a di!unakan da$am mem#e$aja"i tik ini Ada#un tujuan int"uki&na$ khuu da$am mem#e$aja"i tik ini ada$ah diha"a#kan anda mem#unai kemam#uan untuk menje$akan #"ini##"ini# 38
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
daa" da$am menentukan 3ik&ita% k&ndukti3ita te"ma$% dan di+ui da"i uatu ,at an! be"!e"ak da$am *adah (bejana).
B. PEN-AIAN ;./. Gaa Anta" 5&$eku$. Da"i an!!a#an daa" te&"i kinetik !a% bah*a tidak ada !aa anta" m&$eku$. Sebena"na ada$ah ada !aa anta" m&$eku$ ini. Gaa anta" m&$eku$ ini be"aa$ da"i !aa e$ekt"&ma!netik. Gaa inte"aki e#aan! m&$eku$ e'a"a umum di!amba"kan e#e"ti !amba" ;./ be"ikut0 Daerah gaya tolak
"
Daerah gaya tarik
Gamba" ;./0 G"a+ik inte"aki anta" m&$eku$
Pada ja"ak #iah an! jauh% !aa an! te"jadi ada$ah ta"ik mena"ik (an! dikena$ den!an !aa Fan de" aa$$) an! menu"un e'a"a 'e#at den!an be"tambahna ja"ak #iah. 1etika dua buah m&$eku$ mendekat edemikian "a#at% !aa inte"aki menjadi !aa t&$ak men&$ak an! be"tambah den!an 'e#at bi$a ja"ak #iah emakin ke'i$. 1edua kejadian te"ebut di!amba"kan &$eh ku"3a #enuh #ada !amba". 1u"3a #utu#utu menunjukkan ketika kedua m&$eku$ tidak k&ntak (tak be"entuhan)% edan!kan ku"3a #enuh menunjukkan ketika kedua m&$eku$ be"entuhan (k&ntak).
Pe"amaan 1eadaan0 Te$ah kita kena$ #e"amaan keadaan untuk !a idea$0 PF4nRT. Den!an an!!a#an uku"an m&$eku$ dan !aa anta" m&$eku$ diabaikan. Da$am kenataanna m&$eku$ !a #una uku"an dan te"da#at !aa inte"aki% ehin!!a #e"$u k&"eki te"hada# #e"amaan keadaan te"ebut.
;.9. 1&"eki 8$auiu te"hada# F&$ume. 39
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
5enu"ut 8$auiu0 3&$ume an! di!unakan eha"una bukan 3&$ume bejana% me$ainkan 3&$ume "uan! !e"ak beba ebuah m&$eku$ an! $ebih ke'i$ da"i 3&$ume bejana% ka"ena m&$eku$ mem#unai uku"an. Bi$a b menatakan 3&$ume tumbukan #e" m&$% maka untuk item !a an! te"di"i da"i n m&$% bea"na 3&$ume tumbukan ada$ah (n.b)% ehin!!a #e"amaan keadaan menjadi be"bentuk0
P (V − nb)
= n"! ... (;./)
V − b = "! n
P
P (V
*
− b) = "!
(#e"amaan keadaan 8$auiu) Gamba"an 3&$ume tumbukan ditunjukkan #ada !amba" ;.9 be"ikut0
"
... (;.9)
"
Gamba" ;.90 Dua m&$eku$ den!an uku"an ama a$in! mendekat.
d Unku"an
D Gamba" ;.:0 dua m&$eku$ den!an uku"an ama a$in! menin!!un!
Dua m&$eku$ den!an uku"an ama a$in! menin!!un! (k&ntak) atau a$in! tumbuk. Dikatakan bah*a kedua m&$eku$ te"ebut membentuk atu b&$a den!an ja"ija"i 9"4d. 9"4d
Gamba" ;.;0 Penam#an! tumbukan
σ = π .d 2 Sehin!!a #enam#an! tumbukanna ada$ah0
40
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
F&$ume tumbukan eba!ai 3&$ume da"i eten!ah 3&$ume b&$a an! be"ja"ija"i d. Ha$ ini te"jadi ka"ena tumbukan e$a$u te"jadi da"i de#an aja. Ba!ian be$akan! b&$a m&$eku$ tidak #e"nah akan be"tumbukan. adi 3&$ume
V !
1 4 = π .d 3 2 3
tumbukan da$am ha$ ini ada$ah0 V !
=
1
4 N π .d 3 2 3
Untuk item !a den!an N m&$eku$0
n =
N N A
Diketahui bah*a0
V !
=
N = n. N A atau 1 4 n. N A . π .d 3 2 3
Sehin!!a 0
... (;.:)
b=
V ! n
=
1
4 . N A . π .d 3 2 3
F&$ume tumbukan #e"atuan m&$ m&$eku$ ada$ah 2 = . N A .π .d 3 3 b ... (;.;) adi F b bukan me"u#akan 3&$ume k&&n!% namun me"u#akan 3&$ume "uan! !e"ak beba #e" m&$. V < d >= N
1/ 3
Untuk item !a% ja"ak "ata"ata anta"a dua #a"tike$
;.:. 1&"eki Fan de" aa$ te"hada# tekanan. Fan de" aa$ memaukkan k&"eki kedua te"hada# #e"amaan keadaan den!an mem#e"hitun!kan !aa ta"ik mena"ik anta" m&$eku$% an! kemudian !aa ini te"kena$ den!an !aa Fan de" aa$. 5&$eku$ #ada aat be"ada di ten!ah%
banak menda#at ta"ikan &$eh m&$eku$m&$eku$ tetan!!ana.
Sedan!kan #ada #"&e be"!e"ak menuju dindin!% dia di"em &$eh !aa ta"ik da"i m&$eku$m&$eku$ di kanan% ki"i% be$akan!% ata% ba*ah% ehin!!a ete$ah am#ai di dindin! m&$eku$m&$eku$ itu dita"ik kemba$i &$eh m&$eku$ $ain an! ada di be$akan!na. Den!an demikian% ebuah m&$eku$ an! be"!e"ak mendekati dindin! bejana di#e"$ambat% dan !aa "ata"ata an! dikenakan
41
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
#ada dindin! ju!a men!e'i$. Tekanan men!e'i$ bi$a dibandin!kan den!an an! akan te"jadi bi$a tidak ada !aa ta"ik mena"ik. Penu"unan tekanan an! te"jadi ebandin! den!an banakna m&$eku$ #e"atuan 3&$ume #ada $a#ian be$akan!% dan ebandin! den!an banakna m&$eku$ #e"atuan 3&$ume #ada $a#ian di ba*ahna an! me$akukan ta"ikan. 2
adi #enu"unan () tekanan ebandin! den!an n 9% aitu0
N ∝ V
4
α
Den!an
α .n 2
4 +akt&" an! be"!antun! #ada kekuatan !aa ta"ik. 2
α .n
2
2 N N A N .n = α = α = α * V V V 2
A
a 2 A
α . N
≡ a ≡
V *2
α .n 2 +akt&" k&"eki. Sehin!!a
4 a V *2
adi tekanan an! dibe"ikan &$eh 8$auiu ha"u$ah dik&"eki den!an
P +
P (V * − b ) = "! Da"i #e"amaan ;.90 P + a (V * − b ) = "! V *2
a V *2
=
"!
(V − b ) *
% maka0
... (;.<) 1/ 3
V < d >= N
Untuk item !a% ja"ak "ata"ata anta"a dua #a"tike$ ada$ah0
;.;. a$an Beba Rata"ata a"ak "ata"ata dianta"a tumbukantumbukan an! be"u"utan dinamakan
λ ja$an beba "ata"ata dibe"i imbu$
. Pe"hatikan kema !amba" ;.< be"ikut0
Gamba" ;.<0 a$an beba "ata"ta
42
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
Tinjau m&$eku$m&$eku$ !a eba!ai b&$a an! be"diamte" d. Penam#an!
σ = π .d 2 tumbukan
. 5&$eku$ an! be"tumbukan ini men!hai$kan ebuah
m&$eku$ ka den!an ja"ija"i d. 5&$eku$m&$eku$ an! $ain% an! be$um be"tumbukan eba!ai ebuah titik maa. 5&$eku$ ka be"!e"ak den!an $aju 3 me$a$ui #a"tike$#a"tike$ titik% ehin!!a da$am *aktu dt menem#uh $intaan
v.∆t e#anjan!
σ .v.∆t dan mena#u ebuah i$inde" den!an 3&$ume ebea"
. Banakna m&$eku$ da$am i$inde" te"ebut ada$ah0
N σ .v.∆t V
σ .v.∆t
4( ) (ke"a#atan m&$eku$) 4( ) 1a"ena ete$ah tumbukan% a"ah ke'e#atan 3 be"ubahubah% maka i$inde" an! dibentuk &$eh m&$eku$ ka me"u#akan i$inde" #atah#atah an! a"ahna be"ubah tia# tumbukan e#e"ti an! di#e"$ihatkan #ada !amba" ;.= be"ikut0
Gamba" ;.=0 Si$inde"i$inde" bentukan 5&$eku$ kha.
adi etia# bentukan i$inde" me"u#akan hai$ tumbukan m&$eku$ an! be"u#a m&$eku$ ka. Banakna m&$eku$ da$am i$inde" bentukan itu ju!a me"u#akan banakna tumbukan an! te"jadi anta" m&$eku$ an! dibe"i
v imbu$ . Ni$ai dan
untuk tia# #atahan i$inde" be"bedabeda ehin!!a
#e"$u ni$ai "ata"atana. Da$am ha$ ini0
43
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
N < >= ( σ .v.∆t ) V
N V
= ( σ .v.∆t )
dan
#
N
= σ < v > .∆t
V ... (;.=)
≡
jalan. $an* .ditempuh.rata − rata.dalam.+aktu.∆t ban$ak .tumbukan. $an* .terjadi.antar .molekul
a$an beba "ata"ata
< v > .∆t
=
≡ λ λ =
N
σ < v > .∆t
1 N σ V
=
V
1
σ .n ... (;.@)
Bi$a eka"an! banakna m&$eku$ da$am i$inde" #atahan itu dian!!a# eba!ai be"ka% maka da$am e$an! ja$an beba "ata"ata in+initeima$% dx
λ
#e$uan! te"jadina tumbukan 4
. Banakna m&$eku$ an! men!a$ami N
x tumbukan da$am e$an! ja$an beba "ata"ata d
ini ada$ah
dx
λ
. Da$am
etia# ka$i tumbukan% m&$eku$ di da$am be"ka te"nata membe$&kkan m&$eku$ itu endi"i da"i $intaanna atau m&$eku$ te"hambu" ke$ua" da"i be"ka (diebut m&$e'u$a" beamb) dan menu"unkan jum$ah m&$eku$ di da$am beambna. adi banak m&$eku$ da$am beamb ada$ah0
dN = − N
dx
dN
λ
N
=−
dx
λ
dan N
dN
∫ N No
x
= − ∫ 0
dx
n
λ
N No
=−
1
λ
. x
ehin!!a
N = N 0 .e
−
x
λ
atau
... (;.)
;.<. 1&e+iien Fik&ita. 44
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
A
L A Gamba" ;.@0 Ba!an teknik menentukan k&e+iien 3ik&ita.
Dua #$at an! main!main! $ua #e"mukaanna A te"#aan! ejaja" an! dianta"a kedua #$at te"ebut te"da#at !a. P$at ata dita"ik kekanan den!an $aju k&ntan te"hada# #$at ba*ah an! diam. 5&$eku$m&$eku$ !a u
mem#unai k&m#&nen ke'e#atan
an! membea" e'a"a uni+&"m #ada
ja"ak - da"i #$at ba*ah.
L
Gamba" ;.0 Ba!an dae"ah #iah m&$eku$ !a.
1&e+iien 3ik&ita dide+iniikan eba!ai0
F A
≡ η
du dY ... (;.J)
F A
4 Gaa ta"ik #$at #e"atuan $ua.
45
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
du dY 4 !"adien ke'e#atan m&$eku$m&$eku$ !a da$am a"ah !e"ak #$at ata
η kekanan.
4 k&e+iien 3ik&ita% den!an atuan N m 9. / N m9 4 /> #&ie.
Ga"i #utu#utu me"e#"eentaikan #e"mukaan khaa$ da$am !a. 1 N Φ=
> an!
menebe"an! #e"mukaan khaa$ baik da"i ata dan da"i ba*ah. a$an beba "ata"ata te"akhi" ebe$um m&$eku$ menebe"an! #e"mukaan khaa$ SS%
∆Y = λ . '&θ be"mu$a #ada ja"ak
($ihat !amba" ;.J be"ikut)0
θ λ
∆
4 #&ii tumbukan te"akhi" m&$eku$ ebe$um menebe"an!
S
S
Gamba" ;.J0 P&ii tumbukan m&$eku$.
1a"ena a$i"an m&$eku$ di ata SS $ebih bea" da"i #ada di ba*ah SS% maka m&$eku$m&$eku$ an! menebe"an! da"i ata mem$iki m&mentum (kea"ah kanan) an! $ebih bea" da"i #ada an! da"i ba*ah. 1eadaan ini men!hai$kan $aju net& t"an#&" m&mentum menebe"an! #e"mukaan #e"atuan $ua% aitu !aa #e"atuan $ua. P&ii tumbukan te"akhi" ebe$um
m&$eku$ menebe"an! SS da"i ata
ada$ah
∆Y
% an! da$am bentuk
#e"amaanna ada$ah 0
λ . '&θ .dN ∫ ∆Y = ∫ dN
v θ φ
v θ φ
... (;./>)
Da"i #e"amaan :./:0
46
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
=
dN v θ φ
1 N 4π V
v. f (v).dv. &in θ . '&θ .d θ .d φ .dA.dt
Sehin!!a0 1 N
v. f (v).dv. &in θ . '& θ .d θ .d φ .dA.dt ∫∫∫∫∫ 4 π V ∆Y = 1 N ∫∫∫∫∫ 4π V v. f (v).dv. &in θ . '&θ .d θ .d φ .dA.dt
λ . '&θ .
1 N
v. f (v ).dv. &in θ . '& θ .d θ .d φ ∫∫∫ 4 V π ∆Y = 1 N ∫∫∫ 4π V v. f (v).dv.&in θ . '&θ .d θ .d φ
λ . '&θ .
∆Y =
π /2 2π λ N ∞ v. f (v).dv. &in θ . '& 2 θ .d θ . d φ 0 0 4π V 0 π /2 2π N ∞ v. f (v).dv. &in θ . '&θ .d θ . d φ 0 0 4π V 0
∫ ∫
π / 2
= λ ∫ ∫
2
π / 2
0
= λ ∫ ∫ 1
= λ 3 1 2
&in θ . '&θ .d θ .
'& 2 θ .d ('& θ )
0 π / 2 0
∫ ∫
&in θ . '& θ .d θ .
0
π / 2
∫ ∫
'&θ .d ('&θ ).
['& θ ] 3
π / 2 0
['& θ ] 2
π / 2 0
2
∆Y
adi
= λ 3
... (;.//)
u0 Bi$a
4 ke'e#atan !a kekanan #ada bidan! SS. 2 u
3
Dan
λ
4 ke'e#atan !a kekanan #ada ja"ak diata bidan! SS% 2 du u = u 0 + λ . 3 dY % dan m&mentum ebuah m&$eku$na ada$ah0 2 du m.u = m.u0 + λ . 3 dY
47
maka0
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
,↓ T&ta$ m&mentum (
) da$am a"ah ke kanan an! di ba*a menebe"an! ke
ba*ah $e*at #e"mukaan SS #e"atuan $ua
#e"atuan *aktu &$eh m&$eku$
m&$eku$ da"i ata ada$ah0
, ↓= Φ(m.u )
Dimana
Φ
4 t&ta$ +$uk.
Te$ah di#e"&$eh bah*a0
Φ=
1 N 4 V
v %
ehin!!a0
1 N v ( mu ) 4 V
, ↓=
=
1 N 4 V
+ 2 λ du 3 dY
v .m u 0
2 du < v > .m u0 + λ 3 dY , ↓ 4 V
=
1 N
... (;./9) Den!an 'a"a an! ama% di#e"&$eh t&ta$ m&mentum da$am a"ah a$i"an (kekanan) an! diba*a menebe"an! #e"mukaan SS #e"atuan $ua #e"atuan *aktu &$eh m&$eku$m&$eku$ da"i ba*ah ke ata ada$ah0
, ↑=
2 du < v > .m u0 − λ 4 V 3 dY
1 N
... (;./:) Nett& $aju t"an#&" m&mentum #e"atuan $ua #e"atuan *aktu0
, = , ↓ −, ↑
,
=
2 du 1 N 2 du < v > .m < v > .m u0 + λ − u0 − λ 4 V 3 dY 4 V 3 dY
1 N
2 du 2 du < v > .m. u0 + λ − u0 − λ 4 V 3 dY 3 dY
=
1 N
=
1 N
2 du 2 du < v > .m. u0 + λ − u0 + λ 4 V 3 dY 3 dY
48
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
= 1 N < v > .m. 4 λ du 4 V 3 dY N
,=
< v > mλ
3V
du dY
... (;./;) Te$ah diketahui ebe$umna (da"i #e"amaan ;./>)0
F A
= η
du dY
In!at bah*a im#u$ 4 #e"ubahan m&mentum
F .t = ∆(mv) F = F
=
A
∆(mv ) t
∆(mv) At ... (;./<)
Gaa #e"atuan $ua 4 #e"ubahan m&mentum #e"atuan $ua #e"atuan *aktu. Sehin!!a0
F A η
= η
du dY
η =
du dY
=
≡,
N
< v > mλ
3V
N
du dY
< v > mλ
3V
... (;./=)
λ =
=
1
1 N
σ
σ .n
V
=
V
σ . N
Diketahui bah*a
η =
N 3V
m
V
σ . N
1
m
3
σ
= < v >
Sehin!!a0 1 m
η = 3
σ ... (;./@)
Te$ah diketahui #u$a bah*a0
49
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
8k!
< v >=
π .m
Sehin!!a eka"an! #e"amaan ;./@ menjadi be"bentuk0
1 m
η =
=
η =
σ
m
8k!
3σ π .m
= =
3
8k!m2
1
2
3 π .mσ
1 8k!m
π .σ 2
3
1
8k!m
3σ
π ... (;./)
;.=. 1&ndukti3ita Te"ma$. T9 T L
GAS S
T>
S H
T/ Gamba" ;./>0 Dae"ah #iah !a ka"ena tem#e"atu".
Dua #$at diam te"#iah ejauh L &$eh !a. P$at ata be"tem#e"atu" $ebih tin!!i da"i #ada #$at ba*ah% ehin!!a ada !"adien tem#e"atu" da$am !a d! dY
ebea"
4 #e"ubahan tem#e"atu" te"hada# ja"ak da$am a"ah te!ak $u"u
κ #e"mukaan da$am !a. Da$am ha$ ini dide+iniikan k&ndukti3ita te"ma$ ( 50
)0
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
- = −κ
den!an
κ
d! dY ... (;./J)
4 k&ndukti3ita te"ma$.
H 4 a$i"an ka$&" #e"atuan $ua #e"atuan *aktu an! menebe"an! bidan! #e"mukaan SS. Tanda ne!ati# menunjukkan bah*a a$i"an ka$&" mem#unai a"ah an! d! dY
be"$a*anan den!an a"ah kenaikan tem#e"atu". A"tina jika
#&iti#% maka
H ne!ati#% euai den!an !amba" ;./>% maka H men!a$i" ke ba*ah. d! dY
Seba$ikna jika
ne!ati#% maka H #&iti# (H men!a$i" ke ata). Da"i !amba"
;./>0 Tem#e"atu" #ada bidan! SS ada$ah T >. Ana$&! den!an a$i"an !a #ada 3ik&ita% maka tem#e"atu" #ada ja"ak 2 3
λ
di ata bidan! SS ada$ah0
! = ! 0 +
2 3
λ
d! dY ... (;.9>) 2 3
λ
Be!itu #u$a tem#e"atu" #ada ja"ak
! = ! 0 −
2 3
λ
di ba*ah bidan! SS% ada$ah0
d! dY ... (;.9/)
Da"i te&"i kinetik !a0
< ( >=
f
f
f
2
k! =
2
2
k!
k ! 0 +
Di ata bidan! SS0
51
2 3
λ
d! dY
Teori Peluang
Fisika Statistik Fisika Statistik Mirwan Mirwan 2007
f 2
f
k ! =
2
k ! 0 −
2 3
λ
d! dY
Di ba*ah bidan! SS0 A$i"an ene"!i #e"atuan $ua #e"atuan #e"atuan *aktu da"i m&$eku$m&$eku$ m&$eku$m&$eku$ an! menebe"an! bidan! SS ke ba*ah0
- ↓=< ( > Φ
1 N < v > f k ! + 2 λ d! 0 3 dY 4 V 2
- ↓=
... (;.99) Seba$ikna A$i"an A$i"an ene"!i #e"atuan $ua #e"atuan *aktu da"i m&$eku$m&$eku$ an! menebe"an! bidan! SS ke ata ada$ah0
1 N < v > f k ! − 2 λ d! 0 4 V 2 3 dY
- ↑=
... (;.9:) Nett& a$i"an ene"!i #e"atuan $ua #e"atuan *aktu ada$ah0
- = - ↑ − - ↓ 1 N f 2 d! 1 N f 2 d! = < v > < v > k ! 0 − λ − k ! 0 + λ 4 V 2 3 dY 4 V 2 3 dY
= 4 V 1 N
= V 4 1 N
-
=−
1 N 3 V
− 2 λ d! − ! − 2 λ d! 0 3 dY 3 dY
f
k ! 0
2 f 2
k −
f
2
k λ
4 3
λ
d!
dY
d! dY ... (;.9;)
- = −κ Da"i #e"amaan ;./J0 d! − κ dY
=−
κ =
1 N
κ =
1 N
3 V
6 V
1 N 3 V
d! dY
f 2
% ehin!!a0 f d! k λ 2 dY
k λ
fk λ
52
Teori Peluang
Fisika Statistik Fisika Statistik Mirwan Mirwan 2007
1
= λ =
σ .n
Diketahui bah*a
κ =
1 N
κ =
1 N
κ =
1
6 V
< v > fk
1
σ .n
Sehin!!a0
6 V
6
fk
< v > fk
1 N σ V
σ
...(;.9<)
Se$anjutna0
1
fk
κ 6 σ = η 1 m < v > 3 σ
κ 3 fk fk = = η 6 m 2m ... (;.9=)
;.@. Di+ui. Tinjau item !a be"ikut0
B
Gamba" ;.//0 ;.//0 Ga A dan !a B di#iah &$eh Sekat SS. T A 4 TB% P A 4 PB% n A 4 nB% Dindin! adiabat
Bi$a ekat diambi$% akibata% eaat tidak te"jadi a$i"an !a da"i A
B.
Sete$ah *aktu 'uku# $ama% kedua !a te"dit"ibui me"ata di e$u"uh 3&$ume bejana. Geja$a demikian ini diebut di+ui% #"&ena i""e3e"ibe$. Seka"an! kita tinjau !a da$am bejana itu me"u#akan !a 'am#u"an an! te"di"i da"i m&$eku$ be"$abe$ dan m&$eku$ tak be"$abe$% den!an ke"a#atan n 53
Teori Peluang
Fisika Statistik Fisika Statistik Mirwan Mirwan 2007
me"ata di e$u"uh bejana. 1e"a#atan m&$eku$ be"$abe$ ada$ah n an! hana me"u#akan +un!i - aja. $uk m&$eku$ be"$abe$ kea"ah ba*ah $ebih bea" da"i #ada +$uk ke a"ah ata da$am menebe"an!i #e"mukaan khaa$ SS. Pe"hatikan !amba" ;./9 be"ikut #
n n>
S
S n
Gamba" ;./90 Dae"ah #iah m&$eku$ !a
Nett& +$uk m&$eku$ be"$abe$ an! menebe"an!i #e"mukaan SS #e"atuan $ua #e"atuan *aktu ada$ah0
Γ ≡ − .
dn * dY
... (;.9@)
Γ
dimana dimana D4 k&e+i k&e+iie ien n di+ui di+ui.. Tanda ne!ati ne!ati# # be"a"t be"a"tii a"ah a"ah be"$a*ana be"$a*anan n a"ah dn * dY den!an . Ana$&! den!an 3ik&ita% maka diata #e"mukaan SS0
n
n
=n +
2
=n −
2
*
*
* 0
* 0
3
3
λ
λ
dn * dY
dn* dY
Di ba*ah #e"mukaan SS0 $uk m&$eku$ be"$abe$ an! menebe"an! #e"mukaan SS ke ba*ah #e"atuan $ua #e"atuan *aktu ada$ah0
Γ ↓= Φ.n* = Γ ↓=
1 4
1 N 4 V
< v > .n *
n < v > n*
* 2 dn * Γ ↓= n < v > n0 + λ 4 3 dY 1
... (;.9) 54
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
Seba$ikna% $uk m&$eku$ be"$abe$ an! menebe"an! #e"mukaan SS ke ata #e"atuan $ua #e"atuan *aktu ada$ah0
* 2 dn* Γ ↑= n < v > n0 − λ 4 3 dY 1
... (;.9J)
Γ = Γ ↑ −Γ ↓ * 2 dn* 1 * 2 dn* = n < v > n0 − λ − n < v > n0 + λ 3 dY 4 3 dY Γ 4 1
4 dn * 1 dn * = n < v > − λ = − n < v > λ 4 dY 3 dY 3 1
Γ ≡ − .
dn * dY
Da"i #e"amaan ;.9@0
− .
dn * dY
=−
1 3
n < v > λ
dn * dY
Di#e"&$eh0
. =
1 3
n < v > λ
=
1 3
n
nσ
=
1 3 σ ... (;.:>)
T:# Kerjakan soal-soal berikut: / Tu$ikan #e"amaan untuk menu"unkan k&e+iien 3ik&ita% k&e+iien k&ndukti3ita te"ma$% dan k&e+iien di++ui. e$akan makna da"i etia# n&tai an! ada bee"ta atuanna da$am item atuan inte"nai&na$. 9 Sebuah at&m !a idea$ be"maa 9%9= k! dan be"ja"ija"i >%/9< nm. ≥
Pada T
@>> 1 m&$eku$ !a ini be"at&m tun!!a$% edan!kan #ada T M @>>
1 m&$eku$ !a ini be"at&m dua. Ruan! ebea" />> $ite" diii =%9< !"am !a ini #ada T 4 J>> 1. a Hitun! ja"ak "ata"ata anta"a dua buah at&m m&$eku$ !a te"ebut . b Hitun! ja$an beba "ata"ata m&$eku$ !a ini. 55
Teori Peluang
'
Fisika Statistik Mirwan 2007
Hitun! tekanan !a itu.
d 1emudian tem#e"atu" !a ditu"unkan am#ai =>> 1. Hitun!$ah tekanan !a itu #ada tem#e"atu" an! ba"u. e Tentukan ka#aita te"ma$ #ada 3&$ume teta# untuk !a te"ebut #ada =>> 1. +
Tentukan ka#aita te"ma$ #ada 3&$ume teta# untuk !a te"ebut #ada J>> 1
PUSTA1A0 : Siti Nu"u$ 1h&timah% Fisika Statistik. Bandun! 0 ITB% /JJJ. H0 9@ ;/. 9. * Sea" and Sa$in!e"% Thermodynamics, Kinetic Theory and Statistical Thermodynamics. Addi&n e$e% /J=. H0 9@< 9J=.
BB K;< =K>? < =$K>? . P;<H:@: Paa a ini a-an iaa& t+ntan" -+aaan ma-r, -+aaan mi-r, an p+!an" t+rminami-. :nt!- m+mp+aari tp- ini, ana iarap-an m+mii-i +-a p+n"+ta!an an p+maaman t+ntan" !-!mA!-!m t+rminami-a yan" t+a ana p+aari paa /a-t! m+n"i-!ti -!ia t+rminami-a. Paa aa&an tpi- ini i-ai p+n"+man"an t+rminami-a &+'ara ma-r an mi-r, +n"an m+n""!na-an t+ri p+!an" yan" t+a ana p+aari paa a"ianAa"ian &++!mnya. ap!n t!!an aam p+maa&an tpi- ini aaa iarap-an ana m+mp!nyai -+mamp!an !nt!- m+m+a-an antara -+aaan ma-r an -+aaan mi-r &i&t+m parti-+.
B. P;C$ 5.1. K;< =K>?. :nt!- m+mp+rm!a aa&an t+ntan" -+aaan ma-r, -ita aa& t+r+i a!! "a"a&an yan" m+na&ari aam m+-ani-a &tati&ti- ini, yait! a/a# m+-ani-a &tati&ti- ia"i m+nai !a a"ian p--, yait! m+-ani-a &tati&ti- -a&i- an m+-ani-a &tati&ti- -!ant!m. =+-ani-a &tati&ti- -a&i- ip+pri + =aD/+ an BtEmann yan" -+m!ian i-+na +n"an &tati&ti- =aD/+ABtEmann. +an"-an m+-ani-a &tati&ti- -!ant!m, ia"i a"i m+nai &tati&ti- B&+A;in&t+in an &tati&ti- +rmiA
tumbukan den!an m&$eku$ $ain atau den!an dindin!%akan teta#i mekanika tatitik meman+aatkan kenataan bah*a jum$ah m&$eku$ an!at banak 56
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
ehin!!a #e"ata"ataan da#at di$akukan tan#a in+&"mai da"i main!main! m&$eku$ den!an meninjau ene"!i m&$eku$. Tinjau ebuah tabun! be"ii !a e#e"ti !amba" <./ be"ikut0
a&
Gamba" <./0Tabun! be"ii !a.
Untuk kau ini ada ti!a 'a"a #andan!% aitu0 /. Di#andan! e'a"a te"m&dinamik. Dindin! bejana ada$ah adiabatik den!an d 4 >. F&$ume tidak be"ubah% ehin!!a d 4 > dan dU 4 >. adi item ada$ah tati. 9. Di#andan! e'a"a kinetik. Ga di da$am bejana te"di"i da"i banak #a"tike$ den!an E 4 (/9)m39. :. Di#andan! e'a"a kuantum. P"ini# mekanika kuantum men!a"ah ke#ada hai$ bah*a ebuah #a"tike$ (an! beba da"i medan !aa k&ne"3at+) tidak be"ha"!a emba"an! ni$ai atau tidak da#at be"ubah e'a"a k&ntinu. Pa"tike$#a"tike$ hana da#at be"ada #ada ejum$ah keadaan an! men#ei+ikai ene"!i. Dikatakan ene"!i #a"tike$ te"kuantiai. 1ita tin!!a$kan #andan!an e'a"a te"m&dinamik dan e'a"a kinetik. Se$anjutna emuana di#andan! e'a"a kuantum. Diketahui bah*a da$am atu tin!kat ene"!i ada bebe"a#a keadaan ene"!i. Setia# keadaan ene"!i ditentukan &$eh emua bi$an!an kuantumna. Tinjau kau at&m (e$ekt"&n te"ikat #ada intina). 1eadaan ene"!i ditentukan &$eh em#at buah bi$an!an kuantum. Bi$an!an kuantum an! dimakud ada$ah0 n 4 bi$an!an kuantum utama. l
4 bi$an!an kuantum &"bit.
m l 4 bi$an!an kuantum ma!netik &"bita$. m s
4 bi$an!an kuantum ma!netik #in.
57
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
8&nt&h0 #ada tin!kat ene"!i at&m ke / dii$ut"aikan eba!ai be"ikut0 1
l = 0, ml
= 0, ms =
l = 0, ml
= 0, ms = −
2
n 4/% / 1 2
n 4/% adi ada dua keadaan . Dikatakan bah*a tin!kat ene"!i ini te"de!ene"ai den!an de!ene"ai 4 9. De!ene"ai (imbu$4 ! j ) menatakan banakna keadaan an! be"beda% an! main!main! mem#unai ene"!i (E j ) an! ama.
( = −
13,6
n2
Ada#un #ekt"um ene"!ina di"umukan eba!ai
− n4<
ev
. 13,6
25
E4
e3
− n4;
13,6 16
E4
e3
− n4:
13,6 9
E4
e3
−
13,6 4
n49
E4
e3
n4/
E4 /:%= e3
Tinjau #a"tike$ beba an! be"!e"ak da$am 3&$ume te"tutu# be"bentuk kubu den!an ii L. Ene"!i kinetik #a"tike$ #ada tin!kat ke j ada$ah0
( j
=
( j
1 2
=
m.v j2
=
1 2
m.v j .v j .
m m
=
1 ( m.v j ) 2
2
m
p 2j 2m ...
(<./) 58
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
ika #a"tike$ be"!e"ak beba b&$akba$ik anta"a dua bidan! data" be"ja"ak L% maka bentuk mekanika kuantum an! #a$in! ede"hana ada$ah menatakan0 da$am uatu dau" $en!ka# (da"i dindin! kedindin! $ain dan kemba$i ke dindin! emu$a den!an menem#uh ja"ak 9L)% maka m&mentum dika$ikan den!an t&ta$ $intaan ha"u me"u#akan bi$an!an bu$at teta#an P$an'k.
p j .2 /
≡ n j .h
adi0
=
p j
n j .h 2 /
atau p 2j ( j = 2m
Be"daa"kan #e"amaan0
% da#at$ah ditu$ikan kemba$i menjadi0
2
n j .h 2 / = ( j =
n 2j .h 2 8.m. /2
2m
/2
( j
= 3 V 2 = V 2 / 3
den!an
=
n 2j .h 2 8.m.V
2/ 3
di#e"&$eh
n j2
= n x2 + n $2 + n # 2
dimana
=n
( j
h2
2 j
8m
V
−2 / 3
Atau
... (<.9)
Ambi$ mia$na tin!kat an! #a$in! "endah% aitu j 4 / untuk n 4n 4 n, 4 /%
n j2
= n x2 + n $2 + n # 2
den!an
n j2 . Untuk
( 1
=
3h
2
8m
=3 % maka di#e"&$eh0
V −2 / 3 ... (<.:)
adi hana ada atu keadaan ene"!i untuk tin!kat ene"!i te"endah ini. Untuk men'a"i de!ene"ai #ada tin!kat an! $ebih tin!!i da#at di$akukan 'a"a e#e"ti #ada '&nt&h be"ikut0
n Ambi$ j 4 9% a*ab0
2 j
( 2
=6 %
=
6h 2 8m
V
−2 / 3
. Be"a#a bea"na ! 2
Buat tabe$ e#e"ti be"ikut0 Tabe$ <./0 De!ene"ai be"daa"kan tin!kat ene"!i #a"tike$. 59
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
n
n
n,
n j
9 / /
/ 9 /
/ / 9
= = =
2
adi ada : keadaan. Atau ! 4 : Skema tin!kattin!kat ene"!i (E j)% de!ene"ai (! j )% dan banakna #a"tike$ an! men!ii tia# tin!kat N j. 5ia$na untuk at&m an! memi$iki /; e$ekt"&n #ada ku$itku$itna. Ha$ ini da#at dii$ut"aikan e#e"ti an! ditunjukkan ba!an be"ikut0
! 4 n;
(/)
(9)
(:)
(;)
(<) E;% !;4<%N;49 E:% !:4;%N:4:
n: n9
E9% !94:%N94;
n/
E/% !/4/(n&n de!ene"ai)%N/4<
Rumu untuk keadaan ini ada$ah0
N =
∑ N
j
j
& =
∑ ( N j
... (<.;)
j
j
... (<.<) U 4 ene"!i inte"na$ item. Keadaan makro #ada kau ini dide+iniikan eba!ai keadaan uatu item an! e'a"a #ei+ik men!indikaikan banakna #a"tike$ da$am tia# tin!kat ene"!i% baik #a"tike$#a"tike$ itu te"bedakan atau tidak.
<.9. 1EADAAN 5I1RO. Untuk partikel-partikel tak terbedakan: keadaan mik"& me"u#akan keadaan an! men!indikaikan banakna #a"tike$ da$am tia# keadaan ene"!i. Sedan!kan Untuk partikel-partikel yang terbedakan: keadaan mik"& me"u#akan keadaan an! men!indikaikan banakna #a"tike$ ma'amna da$am tia# keadaan ene"!i. 60
dan
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
Pa"tike$ tak te"bedakan0 diindikaikan eb!ai #a"tike$ an! tidak mem#unai ke'ende"un!an untuk menem#ati tem#at te"tentu. 8&nt&hna ada$ah #a"tike$#a"tike$ !a. Sedan!kan #a"tike$ te"bedakan0 diindikaikan eba!ai #a"tike$#a"tike$ an! da#at dibedakan $anta"an tem#at atau kedudukan te"tentu. 8&nt&hna ada$ah #a"tike$#a"tike$ da$am item k"ita$. Untuk mem#e"je$a #en!e"tian keadaan mak"& dan keadaan mik"&% #e"hatikan eka$i $a!i kema di ata. Den!an 'atatan bah*a keadaan mak"& ebuah item ditentukan &$eh banakna #a"tike$ an! men!ii tia#tia# tin!kat ene"!i. Da"i kema te"ebut nam#ak bah*a n 4 ;. Dikatakan bah*a keadaan mak"& den!an N /; te"dit"ibui #ada ; tin!kat ene"!i E /% E9% E:% E ;. 1eadaan mak"& #ada keadaan item da#at be"ubah bi$a #ada item N be"ubah. Dan ju!a da#at be"ubah *a$au#un N t&ta$ teta#% ka"ena #a"tike$ be"#indah da"i tin!kat ene"!i ke tin!kat ene"!i an! $ain. Untuk #e"ubahan an! #e"tama (N be"ubah)% ini bia te"jadi bi$a jum$ah #a"tike$ #ada tia# tin!kat ene"!i tidak ama e#e"ti keadaan emu$a. 1a"ena maukna ebuah #a"tike$ atau $ebih% an! kemudian dikatakan keadaan mak"& be"ubah den!an N t&ta$ be"ubah. Untuk #e"ubahan an! kedua (#a"tike$ be"#indah)% ini bia te"jadi bi$a dit"ibui #a"tike$ hana be"#indah aja da"i ti!kat ene"!i an! atu ke tin!kat ene"!i an! $ain tan#a ada #a"tike$ an! ke$ua" atau mauk item. Dikatakan keadaan mak"& be"ubah *a$au#un N t&ta$ teta#.
1 0 <.:. Pe$uan! Te"m&dinamik (
).
Pe$uan! te"m&dinamik ada$ah me"u#akan banakna keadaan mik"& an! be"beda% an! mem#unai keadaan mak"& an! ama% den!an a"at N dan U teta# (N 4 banakna m&$eku$% dan U ada$ah ene"!i da$am item). Inte"aki
anta"a
#a"tike$
da$am
item
te"i&$ai
akan
men!hai$kan
#e"ubahan jum$ah #a"tike$ an! men!ii keadaankeadaan ene"!i% dan jika #a"tike$#a"tike$ te"ebut ada$ah te"bedakan% maka akan men!hai$kan #e"ubahan keadaan ene"!i main!main! #a"tike$. Inte"aki ini da#at be"u#a tumbukan anta" #a"tike$ atau den!an dindin! bejana% atau bia ju!a te"jadi #ada #e"tuka"an ene"!i anta"a m&$eku$m&$eku$ an! be"&i$ai da$am k"ita$.
61
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
Setia# #e"tuka"an akan men!hai$kan #e"ubahan keadaan mik"& item. Sitem te"i&$ai% be"a"ti N% U dan F ada$ah k&ntan. Postulat: Semua keadaan mik"& ebuah item te"i&$ai mem#unai #e$uan! an!
ama. T&ta$ keadaan mik"&
≡Ω
4 jum$ah emua #e$uan! te"m&dinamik untuk
e$u"uh keadaan mak"&. Di"umukan eba!ai0
Ω = ∑1 k k
... (<.=)
TUGAS0 Kerjakan soal-soal berikut: / A#a an! dimakud den!an0 tin!kat ene"!i% keadaan ene"!i% dan de!ene"ai 2 Be"i '&nt&h untuk #a"tike$ beba da$am k&tak. 9 Suatu #a"tike$ be"ada da$am tin!kat ene"!i ke j 4 :. n j2 = 9 a. Bi$a diketahui n j2 = 66
% tentukan be"a#a banak de!ene"ai an! te"jadi.
b. Bi$a % tentukan de!ene"ai an! te"jadi. '. Bi$a maa #a"tike$ untuk a dan b ada$ah :%/ />/J k!% dan menem#ati "uan!an ebea" /> />= m:% tentukan ene"!i #a"tike$ te"ebut.
PUSTA1A0 ; Siti Nu"u$ 1h&timah% Fisika Statistik. Bandun! 0 ITB% /JJJ. H0 ;: ;<. < T"ianta. Fisika Statistik. Bandun!0 ITB. /JJJ. H0 /@ /J. 6
/ +ar& an ain"+r, T+rmynami'&, Kin+ti' T+ry an tati&ti'a T+rmynami'&. i&n F+&+y, 1986. H# 307 % 312. BAB FI
STATISTI1 5AELLBOLT5ANN
A. PENDAHULUAN 62
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
Pada tik ini akan dibaha tentan! an!!a#an daa" tatitik 5a*e$$ B&$t,mann% dit"ibui #a"tike$ da$am keadaan ene"!i% k&n+i!u"ai den!an #e$uan! te"bea"% dan "uan! +aa. Beka$ untuk memahami dan mem#e$aja"i tik ini ada$ah emua #en!etahuan dan #emahaman an! te$ah anda #e"&$eh da"i memahami dan mem#e$aja"i ba!ianba!ian ebe$um ini. Ada#un tujuan int"uki&na$ khuu da$am mem#e$aja"i tik ini ada$ah diha"a#kan anda mem#unai kemam#uan untuk menje$akan #"ini##"ini# daa" tatitik 5a*e$$B&$t,mann da$am menentukan k&n+i!uai item #a"tike$.
B. PEN-AIAN =./. An!!a#an Daa" Da$am tatitik 5a*e$$B&$t,mann0 •
Pa"tike$#a"tike$ da$am ebuah item dian!!a# te"bedakan.
•
Tidak ada bataan da$am banakna #a"tike$ an! da#at men!ii keadaan ene"!i an! ama.
•
Setia# keadaan ene"!i da#at diii bebe"a#a #a"tike$.
•
Dianta"a #a"tike$ te"jadi !aa anta" aki hana ketika be"tumbukan (be"inte"aki $emah atau kuai beba).
=.9. Distribusi Partikel dalam Keadaan Energi Tinjau item ; #a"tike$ te"bedakan mem#unai dua tin!kat ene"!i an! n&n de!ene"ai (main!main! tin!kat hana mem#unai atu keadaan). 1eadaan mak"& an! mun!kin ada$ah0 1eadaan mak"& ke N9 N/
I > ;
II / :
63
III 9 9
IF : /
F ; >
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
Bi$a eka"an! ke ; #a"tike$ te"ebut dibe"i nama a% b% '% d. Tentukan be"a#a banak keadaan mik"& #ada tia# keadaan mak"& te"ebut 2 a*abna ada$ah0 Untuk N/ 4 ; dan N9 4 > N9 N/ A b ' d Untuk N/ 4:% dan N9 4 / N9 d ' N/ a b ' a b d Untuk0 N/ 49% dan N9 4 9
b a ' d
a b ' d
N9 8d bd b' ad a' ab N/ Ab a' ad b' bd 'd Untuk N/ 4/% dan N9 4: N9 b'd a'd abd ab' N/ a b ' d Untuk N/ 4 >% dan N9 4 ; N9 ab'd N/ Da"i ke < kejadian te"ebut% nam#ak banakna keadaan mik"& untuk keadaan mak"& ada$ah eba!ai be"ikut0 1eadaan mak"& ke um$ah keadaan mik"&
I /
II ;
III =
IF ;
F /
Ba!aimana an!kaan!ka da$am keadaan mik"& te"ebut di#e"&$eh 2 ika #a"tike$#a"tike$ te"dit"ibui edemikian ehin!!a ada N j #a"tike$ tia# tin!kat ene"!i% maka b&b&t k&n+i!u"ai di#e"&$eh da"i banakna 'a"a untuk men!hai$kan k&n+i!u"ai N #a"tike$ da$am item te"ebut.
An!kaan!ka
te"ebut me"u#akan banakna 'a"a memi$ih N #a"tike$ #ada tin!kat ene"!i. N 4 t&ta$ #a"tike$ dan N j 4 jum$ah #a"tike$ #ada tin!kat ene"!i j. Banakna 'a"a memi$ih N/ #a"tike$ #ada tin!kat #e"tama da"i t&ta$ N #a"tike$ ada$ah0
64
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
N ! N 1!( N − N 1 ).! Banakna 'a"a 4 ... (=./) Be!itu #u$a Banakna 'a"a memi$ih N 9 #a"tike$ #ada tin!kat ke 9 da"i t&ta$ N #a"tike$ ada$ah di#i$ih da"i #a"tike$ ia (NN/)% ehin!!a
( N − N 1 ).! N 2!( N − N 1 − N 2 ).! Banakna 'a"a 4 ... (=.9) T&ta$ banak 'a"a #emi$ihan #a"tike$ untuk tin!kat #e"tama dan kedua ada$ah0
( N − N 1 ).!
N !
N 1!( N − N 1 ).! N 2 !( N − N 1 − N 2 ).! 4
N !
N !
N 1! N 2 !( N − N 1 − N 2 ).!
N 1! N 2 !
4 4 ika hana ada ti!a tin!kat% dimana N: 4 N N/ N9 % maka t&ta$ banak 'a"a #emi$ihan k&n+i!u"ai den!an N /% N9% N:% ada$ah0
N ! N 1! N 2 ! N 3! Se'a"a
Banak 'a"a 4 umum untuk n
tin!kat
ene"!i%
banakna
'a"a
... (=.:) #emi$ihan
k&n+i!u"aina ada$ah0
N ! N 1! N 2 ! N 3!............. N n ! Banak 'a"a 4
... (=.;)
* j Seka"an! tinjau atu tin!kat ene"!i ke j den!an
4 9 dan N j 4 : (#a"tike$
te"bedakan). Be"a#a banak 'a"a #en!iian k&n+i!u"ai 2 a*abna0 N j
* j Banak 'a"a 4 Ab' Ab
4 9: 4 . I$ut"aina ada$ah eba!ai be"ikut0
' 65
Teori Peluang
Fisika Statistik Fisika Statistik Mirwan Mirwan 2007
A'
b
B'
a
A
b'
B
a'
8
ab
ab' T&ta$ T&ta$ 'a"a #enuunan N #a"tike$ ke da$am n tin!kat ene"!i den!an dit"ibui0 N/ #a"tike$ di tin!kat / den!an !/ N9 #a"tike$ di tin!kat 9 den!an !9 N: #a"tike$ di tin!kat : den!an !:
................................................... Nn #a"tike$ di tin!kat n den!an !n Ada$ah0
1 =
N !
N
N
N
N
* 1 1 * 2 2 * 3 3 ......... * j n N 1! N 2 ! N 3!...... N n !
T&ta$ ta$ 'a"a 'a"a #en #enu uun unan an N #a"t #a"tik ike$ e$ keda keda$a $am m n tin! tin!ka katt ene" ene"!i !i 4 #e$u #e$uan an! ! te"m&dinamik. -aitu0 N
1 = N !Π j
* j j N j ! ... (=.<)
N =
n
∑ N
j
j =1
den!an
ju!a ju!a mena menatak takan an bana banakn kna a keada keadaan an mik"& mik"& da$am da$am ebuah ebuah keada keadaan an mak"&.
=.:. 1&n+i!u"ai Den!an Pe$uan! Te"bea". 66
Teori Peluang
Fisika Statistik Fisika Statistik Mirwan Mirwan 2007
1eadaan 1eadaan mak"& an! mem#una mem#unaii #e$uan! #e$uan! te"bea" te"bea" ada$ah ada$ah keadaan keadaan mak"& mak"& an! an! mem#un mem#una aii keada keadaan an mik"& mik"& te"ban te"bana ak k ( te"be te"bea") a").. Bi$a Bi$a makimum% maka $n ju!a makimum. m akimum. Da"i #e"amaan =.<0 N
1 = N !Π j
* j j N j !
Den!an men!!unakan #endekatan Sti"$in! di#e"&$eh bah*a0 Ln(Q) 4 $n Atau $n NQ 4 N $n N N N
Ω= Bi$a ada #e"amaan be"bentuk n Ω = N 1 n . * 1 − N 1 n . N 1
* j 1 N 1! % maka0
+ N 1
Bi$a #e"amaanna be"bentuk00
Ω=
* 1 N 1 * 2N 2 N 1! N 2 ! % maka u"aianna menjadi0
n Ω = N 1 n * 1 − N 1 n N 1
+ N 1 + N 2 n * 2 − N 2 n N 2 + N 2
dan ete"una. Padaha$0 N 1
N 2
N
* 1 * 2 ........ * j j N 1! N 2 !........ N j !
=∏ j
N j
* j
N j ! N
1 = N !Π j
Untuk n 1 = N n N +
* j j N j !
∑ N n * − ∑ N n N j
j
j
j
j
j
... (=.=) Bi$a $n makim makimum% um% maka maka
d $n 4 >. Ini Ini be"$aku be"$aku untuk untuk N teta#% teta#% ehin!! ehin!!a a
#e"bedaan keadaan keadaan mak"& hana hana di tentukan tentukan &$eh #e"bedaan N j aja. Da$am ha$ ini $n eba!ai +un!i N j aja. Bi$a di!unakan +un!i $n(N%N j)% maka0 67
Teori Peluang
Fisika Statistik Fisika Statistik Mirwan Mirwan 2007
d (n (n 1 ) =
∂ n 1 ∂ n 1 dN + dN j ∂ N ∂ N j
Untuk N teta#% maka dN 4 >% ehin!!a 0 ∂ n 1 (n 1 ) = d (n dN j ∂ N j
d (n (n 1 ) =
∑ n * dN − ∑ n N dN j
j
j
j
j
=0
j
Bi$a dikum#u$kan0 $n makimum% maka d $n 4 > Sitem te"i&$ai% maka0 N% U% F ada$ah teta#. dN =
∑ dN
d& =
∑ ( dN j
j
=0
j
=0
α Den!an Den!an men!!una men!!unakn kn #en!a$i #en!a$i La!"an!e La!"an!e eba!ai0 d n 1 + α .dN + β .d& = 0
∑ ∂∂ N n 1 dN
j
j
dan
+ α ∑ dN j + β ∑ ( j dN j = 0
∂ n 1 + + α β . ( ∑ ∂ N j j dN j = 0 (n * − n N ) + α + β . ( ].dN ∑ [(n j
j
j
∑ [n * − n N + α + β .( ] = 0 j
n * j
n * j n
* j N j
j
j
− n N j + α + β .( j = 0
− n N j = −(α + + β .( j ) = −(α + + β . ( j )
68
j
β
=0
% maka da#at ditu$ikan
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
* j
= e−(α + β . ( ) j
N j N j
= * j .e(α + β . ( ) j
(dit"ibui 5a*e$$B&$t,mann)
= * j e
N j
e
∑ N = e ∑ * e α
j
De++.
... (=.@)
α β . ( j
β . ( j
j
∑ * e
β . ( j
j
≡
4 +un!i #a"tii (dikena$kan &$eh B&$t,mann an! menebutna eba!ai Zustandsumme% a"tina jum$ahan te"hada# keadaan. Lamban!na diambi$ hu"u+ de#anna)
∑ N = e . = N α
j
adi0
eα
=
N
Dit"ibui 5a*e$$B&$t,mann menjadi be"bentuk0
N j
= * j e (α + β . ( ) = eα * j e β . N
N j
=
j
j
N β . ( * j e j ... (=.)
β Pen!a$i
0
Tinjau dua buah item te"i&$ai be"ikut0
N(/) *(/) F(/) U(/) S(/)
N(9)
(9) F(9)
U(9)
Gamba" =./0 Dua item te"i&$ai
Sitem !abun!anna ada$ah0 S 4 S(/) S(9) 69
S(9)
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
4 (/) (9) $n 4 $n (/) $n (9) De++. S 4 k $n
... (=.J) N
* j j
∏ N !
1 = N !
j
Den!an men!in!at 0 n 1 = N n N +
j
∑ N n * − ∑ N n N j
j
j
j
j
j
dan
N
N j
=
& =
∑ ( N
* j e j
β . ( j
j
Di#e"&$eh0
S = k N n N +
∑ N n * − ∑ N n N j
j
j
j
j
j
N β . ( = k N n N + ∑ N j n * j − ∑ N j n * j e j
N = k N n N + ∑ N j n * j − ∑ N j n − ∑ N j n * j − ∑ N j n e β . ( j
N = k N n N − ∑ N j n − ∑ N j n e β . ( j
= k N n N − ∑ N j n N + ∑ N j n − ∑ N j .β .( j
= k N n N − N n N + N n − ∑ N j .β .( j
= k N n − β ∑ N j ( j S = k { N n − β & } ... (=./>)
∂S = −k β ∂& V Den!an hukum te"m&dinamika0 T dS 4 dU P dF
70
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
d& P
dS =
!
+
!
dV
∂S = 1 ∂& V ! %
− k β =
1
!
Sehin!!a
β = −
1 k!
atau
... (=.//)
Dit"ibui 5a*e$$B&$t,mann menjadi be"bentuk0
N j
=
N
* j
( − j k! e
... (=./9)
=
dan
∑ * e
( − 2 k!
j
... (=./:)
Ent"ina menjadi0
S = k N n +
&
k! ... (=./;)
un!i He$mh&$t,0 4 U TS
F = & − !k N n +
&
k!
= & − !kN n − & F = − N!k n = −k! n N ... (=./<) Da"i te"m&dinamika0 d 4 P dF S dT
∂ F = − P ∂V !
∂ F = − S ∂! V dan
71
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
6.4. >: . 1eadaan item #ada etia# aat dide+iniikan den!an #ei+ikai #&ii dan m&mentum. Ruan! #&ii mem#unai k&m#&nen ( % -% ).Ruan! m&mentum mem#unai k&m#&nen (#% #% #,). 1eadaan ebuah #a"tike$ ditentukan &$eh = k&&"dinat% aitu 0 % -% % #% #% #,% an! dibe"i nama "uan! +aa. Tinjau ebuah #a"tike$ te"$etak #ada #&ii den!an k&m#&nen anta"a 0 dan d - dan - d dan d 5aka e$emen 3&$umena ada$ah dF 4 d d- d. Namun bi$a ebuah #a"tike$ an! #&ii dan m&mentumna te"$etak anta"a 0 dan d - dan - d dan d # dan # d# # dan # d# #, dan #, d#, maka e$emen 3&$ume te"ebut ada$ah da$am "uan! +aa% aitu0
d Γ = dX .dY .d .dp x dp $ dp # (d Γ )1
= dX 1.dY 1.d 1.dp x1dp $1dp # 1
(d Γ ) 2
= dX 2 .dY 2 .d 2 .dp x 2 dp $ 2 dp # 2
Pa"tike$ ke /0 Pa"tike$ ke 90 .......................................................................................
( d Γ) n
= dX n .dY n .d n .dp xndp $n dp #n
Pa"tike$ ke n0 Untuk item N #a"tike$0 d Γ6 N
N
= ∏ ( d Γ ) j j =1
... (=./=)
& = ( 1 + ( 2 + ( 3
N
+ ........ ( N = ∑ ( j j =1
Ene"!i kinetik #a"tike$ ke j ada$ah0 72
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
+ p $j2 + p #j2
2
( j
=
p xj
2.m ... (=./@)
1eadaan #a"tike$ (% -% % #% # % # ,) dinatakan eba!ai +un!i ene"!i den!an men!ambi$ bah*a 3&$ume3&$ume (banak 3&$ume an! ama uku"anna) da$am "uan! +aa be"ii jum$ah keadaan an! ama. 5ia$ ada B keadaan #e"atuan 3&$ume "uan! +aa edemikian ehin!!a e$emen 3&$ume d "uan! +aa be"ii B d
Γ
Γ
da$am
keadaan. Atau da#at ditu$ikan bah*a de!ene"ai ke j
aitu0
* j
= 3.(∆Γ ) j
Γ
1ita 'a"i d eba!ai be"ikut0
d Γ = dx.d$.d# .dp x dp $ dp # 2 = dp dp V p ∆Γ = ∫∫∫dx.d$.d# ∫∫∫dp x $ # ∫∫∫ dp.&in θ .d θ .d φ
∞
π
2π
= V ∫ 0 p 2 dp ∫0 &in θ .d θ ∫ 0
d φ
∞
2π .V .2∫ p 2 dp = 0 ∆Γ
... (=./)
d Γ = 2π .V .2 p 2 dp ... (=./J) Diketahui bah*a0
( =
p 2 2m
∂ ( p = ∂ p m dp =
m p
d(
d Γ = 2π .V .2 p 2 dp
= 2π .V .2.2.m. (
Sehin!!a0
73
m p
d(
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
m
= 2π .V .2.2.m. (
= 2π .V
2m(
2 2 d( = 2π .V .2m 4m ( d(
2m(
= 2π .V ( 2m ) 3 / 2 ( 1/ 2 d(
23 m3 ( .d( ∞
∆Γ = 2π .V ( 2m )
3/ 2
∫ (
1/ 2
d(
0
... (=.9>)
d Γ = 2π .V ( 2m )
3/ 2
( 1/ 2 d(
Atau
* j
= 3.(∆Γ ) j
* j
= 3.2π .V ( 2m)
adi eka"an!0 ∞ 3/ 2
∫ (
1/ 2 j
d( j
0
un!i #a"tiina ada$ah0
=
∑ * e
β = −
+ β . ( j
j
1 k!
% dimana
( j
=
∑ * e
− k!
j
+in""a
... (6.21)
N j
= * j
N
e
( − j k!
an Se'a"a k&ntinu0
... (6.22)
∫
= 2π .V3( 2m ) =
( − j k! ( 1 / 2 e d(
3/ 2
j
j
( − k! 3e d
∫
Γ ... (=.9:)
Rumu"umu tatitik 5a*e$$B&$t,mann0 (
N − k! dN = 3e d Γ d Γ = dX .dY .d .dp x dp $ dp #
d Γ = 2π .V ( 2m )
3/ 2
( 1 / 2 d(
74
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
∫
= 3e
( − k!
d Γ
( j
− N k! N j = * j e
dN v
= N . f (v).dv
dN (
= N . f ( ( ).d(
* j
= 3.(∆Γ) j ... (=.9;)
TUGAS0 1e"jakan &a$&a$ be"ikut0 1) Dit"ibui 5a*e$$ B&$t,mann da#at ditu$ikan eba!ai0 ∈ j N − k!
N j
=
* j e
% Tu$ikan a"ti main!main! $amban! te"ebut. 9) Da$am "uan! +aa den!an k&&"dinat % -% % F% F-% F% dijum#ai inte!"a$ 0 f ( X , Y , ,V X , V Y ,V ) dX .dY .d .dV X .dV Y .dV
∫∫∫∫∫∫
. Da$am "uan! an! beba da"i medan $ua" te"da#at !a an! #a"tike$na tidak be"inte"aki% 3&$ume dX .dY .d !a ada$ah F dimana F 4
∫∫∫
. V X , V Y , V
a
Tu$i$ah ene"!i #a"tike$ dinatakan da$am
b Tu$i$ah +un!i dit"ibui #a"tike$ ini% aitu nu"ut 5a*e$$B&$t,mann. ' 8a"i un!i #a"tiina. d 8a"i #e"amaan keadaanna. e 8a"i ent"ina.
. f ( X , Y , ,V X ,V Y , V )
me
:) Ruan! i$inde" ($uana A dan tin!!ina L) be"ii !a m&n&at&mik an! memenuhi tatitik 5a*e$$B&$t,mann. Ga da$am keetimban!an te"ma$ #ada tem#e"atu" T. Tia# #a"tike$ !a te"ebut be"maa m an! be"ada da$am medan !"a3itai den!an #e"'e#atan !"a3itai ! an! dian!!a# teta#. a. Tu$i$ah ene"!i an! dimi$iki etia# #a"tike$ !a itu. b. Tentukan ene"!i "ata"ata an! dimi$iki etia# #a"tike$ !a te"ebut (natakan da$am L dan T). '. Tentukan +un!i #a"tii item ini. d. Tentukan ka#aita te"ma$ item #ada 3&$ume teta#. e. Tu"unkan un!ka#an tekanan te"hada# ketin!!ian. 75
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
PUSTA1A0 /. Siti Nu"u$ 1h&timah% Fisika Statistik. Bandun! 0 ITB% /JJJ. H0 ;= <:. 9. * Sea" and Sa$in!e"% Thermodynamics, Kinetic Theory and Statistical Thermodynamics. Addi&n e$e% /J=. H0 :9> :9@ dan ::; ::=. :. emank 5.% dan R.H Dittman. /J=.Kalor dan Termodinamika. A$ih Bahaa0 The H&u* Li&n!.Pene"bit ITB Bandun!. H0 :;9 :;@.
BB $$ TT$T$K ;=$ K@$K
. P;<H:@: Paa a"ian tpi- ini a-an iaa& t+ntan" para-& i&, p+!an" t+rminami- paa &tati&ti- &+mi -a&i-, +ntrpi &+a"ai G!n"&i an :, an G!n"&i H+mtE &tati&ti- &+mi -a&i-. :nt!- m+mp+aari an m+maami tpi- ini, ana t+a m+mii-i +-a p+n"+ta!an an p+maaman t+ntan" pt+n&ia t+rminami- yan" t+a ana p+aari paa /a-t! m+n"i-!ti -!ia t+rminami-a t+r!tama +n+r"i aam, +ntrpi, an G!n"&i H+mtE.
B. P;C$ 7.1. Para-& i&. Tinjau dua item !a an! mem#unai uku"an ama% aitu E% F% N% T% S% dan P. 1edua item !a te"ebut di'am#u"% $ihat ket be"ikut0
E% F% N% T% S% P
E% F% N% T% S% P
76
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
9E% 9F% 9N% T% S% P
Ent"i maim!main! item !a ada$ah0
∂ F = Nk . n { 3.V ( 2π .mk! ) 3 / 2 } + 3 Nk 2 ∂! V
S = −
(buktikan ). Ent"i ete$ah di'am#u"0
S !
= 2 Nk . n { 3.2V ( 2π ..2mk! ) 3 / 2 } +
3 2
.2 Nk
1enaikan ent"ina0
{
S ! − 2 S = 2 Nk n 3.2V ( 2π ..2mk! )
3/ 2
} − 2 Nk n { 3V (2π mk! ) } 3/ 2
= 2 Nk {n 3.2V ( 2π .2mk ! ) 3 / 2 − n 3V ( 2π .mk ! ) 3 / 2 } = 2 Nk {n 2 + n 2 3 / 2 } = 2 Nk {n( 2 x 2 3 / 2 )} = 2 Nk n 4 x 2 3 = 2 Nk 32 = 2 Nk n 4 2 S !
− 2S = 2 Nk n 4
2 ... (@./)
1enaikan ent"ina0
∆S = 2 Nk n 4
2 ... (@.9)
Di#e"ki"akan0 ka"ena di kedua item !a mem#unai uku"an an! ama% maka bi$a kedua item !a te"ebut di'am#u" tidak akan mem#en!a"uhi
S ! − 2 S = 0 ent"i. Atau Namun hai$ #e"hitun!an di ata ada$ah tidak n&$ % aitu 0 77
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
S ! − 2S = 2 Nk n 4 2 Ha$ an! k&nt"adikti+ ini$ah dikena$ eba!ai #a"ad&k Gibb.
@.9. Pe$uan! Te"m&dinamik Pada Statitik Semi 1$aik. Statitik emi k$aik di#e"&$eh den!an mend" NQ Pada un!ka#an #e$uan! te"m&dinamik untuk tatitik k$aik. Bandin!kan0 N
* j j
∏ N !
1 = N !
j
1 sk
=∏ j
j
(k$aik)
... (@.:)
(emi k$aik)
... (@.;)
N
* j j N j !
Un!ka#an untuk ent"ina ada$ah0
* N j = k n ∏ S sk = k n 1 sk j N j ! j
= k ∑ N j n * j − ∑ N j n N j + ∑ N j j
= k ∑ N j n * j − N j n N j + N j j
* j + N j S sk = k ∑ N j n N j j ... (@.<) Ba!aimana N j dan untuk tatitik emi k$aik2 Ana$&! den!an tatitik k$aik (5B)% dimana N% F% U ada$ah teta#% ehin!!a0 4 >% dan (ke"ja) 4 >
d n 1 sk = 0
∑ dN = 0 d& = ∑ ( dN = 0 dN =
j
j
j
β
α Den!an men!!unakan #en!a$i La!"n!e
78
dan
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
d n 1 + α .dN + β .d& = 0
∑
d n 1 dN j dN j
+ α ∑ dN j + β ∑ ( j dN j = 0
∂ n 1 ∑ ∂ N j dN j + α ∑ dN j + β ∑ ( j dN j = 0 ∂ n 1 sk ∑ ∂ N j dN j + α ∑ dN j + β ∑ ( j dN j = 0 Da"i0 N
1 =
* j j
∏ N ! j
n 1 sk
j
(emi k$aik) N j n * j − N j n N j
=∑ j
∑ j
+ ∑ N j j
∂ n 1 sk = ∑ n * j − ∑ n N j + 1 ∂ N j j j sehin**a #
∑ n * j − ∑ n N j + 1 dN j + α ∑ dN j + β ∑ ( j dN j = 0 j j j j
79
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
∑ ( n * − n N j
j
+ 1 + α + β . ( j )dN j = 0
j
− n N j + 1 + α + β . ( j = 0 − n N j = −(1 + α + β . ( j )
n * j n * j
* j
= e −(1+α + β . ( ) j
N j N j
= * j e (1+α + β . ( )
N j
= * j e.eα e β . (
j
j
∑ ∑ N
N j
j
= e.eα ∑ * j e β . (
j
j
j
= e1+α
j
N = e1+α e1+α
N j
=
=
N j
=
N
N β . ( 1 * j e j , dan.β = − k! N
* j
( − j k! e
... (7.6) =
∑ *
j
( − j k! e
j
... (7.7)
@.:. Ent"i Seba!ai un!i dan U0 =
∑ * e j
j
( − j k!
dan& =
∑ N ( j
j
Diketahui0 S sk
* = k ∑ N j n j + N j N j j
Ent"ina0
80
j
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
Se$anjutna kita u"ai menjadi0
( k! S sk = k ∑ N j n N e + N j j j
( S sk = k ∑ N j n + n e k! + N j j N j
( = k ∑ N j n + N j j + N j N k! j
= k ∑ N j n
N
j
= kN n S sk
N
= Nk n
+
N
+ k ∑ N j j
k& k!
+
& !
( j k!
+ k ∑ N j j
+ kN
+ Nk ... (@.)
S = k N n +
k! &
Pada tatitik k$aik0
... (@.J)
@.;. un!i He$mh&$t, Statitik Semi k$aik. S sk
= Nk n
N
Da"i #e"amaan @. 0
+
& !
+ Nk %
dan diketahui bah*a +un!i He$mh&$t, ada$ah0 4 U T S 5aka den!an memaukkan
ha"!a Sk akan di#e"&$eh bentuk #e"amaan
eba!ai be"ikut0
F = & − ! Nk n
= & − !Nk n = −!Nk n
N
N
N
+
+ Nk !
&
− & − Nk!
− Nk! N
= −!k n − Nk! N
81
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
= −!k n N + !k n N N − Nk! = −!k n N + !k (n N N − N ) = −!k n N + !k ( N n N − N ) = −!k n N + !k n N ! = −!k (n N + n N !) F = −!k n
N N ! ... (@./>)
Untuk item an! #a"tike$#a"tike$na tidak a$in! be"inte"aki dan beba
= 3.V ( 2π .mk! ) da"i medan $ua"% aitu0
F = −!k n
3/ 2
% maka den!an0
∂ F = − P ∂V !
N N ! dan
% di#e"&$eh0
F = −!kN n + k!N n N − Nk!
= −!kN n { 3V ( 2π .mk ! ) 3 / 2 } + k!N n N − Nk!
= −!kN {n V + n 3( 2π .mk! ) 3 / 2 } + k!N n N − Nk! = −k!N n V − k!N n 3( 2π .mk! ) 3 / 2 + k!N n N − Nk! F = −k!N n V − k!N n 3 ( 2π .mk! )
3/ 2
+ k!N n N − Nk! ... (7.11)
∂ F = − Nk! V ∂V ! − P = −
Nk! V
sehin**a # PV = Nk! ... (7.12)
TUGAS0 1e"jakan &a$&a$ be"ikut0 / Len!ka#i k&$&m ke dua #ada tabe$ be"ikut den!an 'a"a men!iikan #a"amete"#a"amete" an! di#e"$ukan. Statitik k$aik Statitik emi k$aik N
1 = N !Π j
* j j
4 ........................
N j !
82
Teori Peluang
=
Fisika Statistik Mirwan 2007
( j
∑ * +Dp . − k!
4 ..........................
j
j
N j
( = N * j +Dp . − j k!
N j 4 ...................................
S = k N n +
&
k!
S 4 ...........................
F = − Nk! n
4 ..........................
9) Ga idea$ be"ada da$am item e#e"ti ditunjukkan #ada !amba"% dan men!ikuti tatitik emik$aik.
Ga A F A% N A%T%U A
!a B FB%NB%T%UB
Bi$a kedua item !a te"ebut di'am#u"% ba!aimana un!ka#an kenaikan ent"ina.
PUSTA1A0 Siti Nu"u$ 1h&timah% Fisika Statistik. Bandun! 0 ITB% /JJJ. H0 <; <@.
BB $$$ TT$T$K B?;A;$T;$
. P;<H:@: Paa aa&an tpi- ini a-an ip+aari ++rapa t+ri t+ntan" an""apan a&ar &tati&ti- B&+A;in&t+in, i&tri!&i parti-+ -+ aam -+aaanA-+aaan +n+r"i, -nGi"!ra&i +n"an p+!an" t+r+&ar, an raia&i +na itam. :nt!- apat +i m!anya m+mp+aari tpi- ini, ana iarap-an t+a m+mp!nyai +-a p+n"+ta!an an p+maaman t+ri t+ntan" &tati&ti- -a&i-, &tati&ti- &+mi -a&i- , an &tati&ti- =aD/+ABtEmann yan" t+a iaa& paa a"ian 5, 6, an 7.
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
ap!n yan" m+nai t!!an in&tr!-&ina -!&!& aam m+mp+aari tpi- ini aaa iarap-an ana m+mp!nyai -+mamp!an !nt!- m+n+a&-an prin&ipAprin&ip a&ar &tati&ti- B&+A;in&t+in aam m+n+nt!-an -nGi"!ra&i &i&t+m parti-+.
B. P;C$
./. An!!a#an Daa" Statitik B&eEintein. •
Pa"tike$#a"tike$ ada$ah identik tak te"bedakan 4
- e
•
Pa"tike$#a"tike$ den!an #in bu$at (b&&n)% e#e"ti +&t&n% +&n&n% dan
•
Tidak memenuhi $a"an!an Pau$i
•
Da$am atu keadaan ene"!i% b&$eh di ii $ebih da"i atu #a"tike$.
.9. Dit"ibui Pa"tike$ ke da$am 1eadaankeadaan Ene"!i. Dit"ibui ene"!i den!an #e$uan! te"bea" da"i ebuah item b&&n an! identik tidak a$in! be"inte"aki% bia di#e"&$eh den!an 'a"a eba!ai be"ikut be"ikut0
* j Tinjau tin!kat ene"!i ke j den!an
N j 4 : dan
N/>
NJ
N
N@
N=
N<
4 : be"ikut0
N;
N:
84
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
N9
N/
(8atatan0 $a"an!an Pau$i ada$ah da$am atu keadaan ene"!i hana b&$eh ditem#ati &$eh atu #a"tike$ atau k&&n!). Nam#ak bah*a banakna k&mbinai keadaan ada$ah 4 />. Se'a"a matemati banakna k&mbinai te"ebut ada$ah0
+ * j − 1 .! ( 3 + 3 − 1).! = 3!( 3 − 1).! N j !( * j − 1).!
N j
=
5! 3!2!
=
120 12
= 10
adi nam#ak bah*a t&ta$ 'a"a #enuunan N #a"tike$ ke da$am n tin!kat ene"!i den!an dit"ibui eba!ai be"ikut0 N/ #a"tike$ di tin!kat / den!an de!ene"ai !/
N9 #a"tike$ di tin!kat 9 den!an de!ene"ai !9 .......................................................................
N j
* j #a"tike$ di tin!kat j den!an de!ene"ai
Ada$ah0
1 =
∏ j
+ * j − 1)! N j !( * j − 1)!
( N j
... (./) 4 #e$uan! te"m&dinamik 4 banakna keadaan mik"& da$am ebuah keadaan mak"& an! dibe"ikan.
.:.1&n+i!u"ai den!an Pe$uan! Te"bea". 1eadaan mak"& an! mem#unai #e$uan! te"bea" ada$ah keadaan mak"& an! mem#unai keadaan mik"& te"banak. adi akan di'a"i keadaan an! ni$ai #e$uan! te"m&dinamikna te"bea". Ini te"jadi bi$a item te"i&$ai ehin!!a U% F% N ada$ah teta#. Batabatana ada$ah0
85
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
∑ N
j
N teta# atau
= tetap
j
ehin!!a dN 4> dan
∑
( j N j
∑ dN = 0 ∑ ( dN j
= tetap
j
=0
U teta# atau ehin!!a dU4> dan Da"i #e"amaan ./ bah*a0 ( N j + * j − 1)! 1 = N j !( * j − 1)! j
∏
Den!an men!!unakan #endekatan Sti"$in!0 $nQ 4 $n % maka u"aian #ada #e"amaan ./ akan menjadi be"bentuk0 n 1 =
∑ n( N + * − 1)!− n ( N !( * − 1)! j
j
j
j
= ∑ {n( N j + * j − 1)!− n N j !− n( * j − 1)!} ( N j + * j − 1) n( N j + * j − 1) − ( N j + * j − 1) = ∑ − N j n N j + N j − ( * j − 1) n( * j − 1) + ( * j − 1) Untuk $n makimum% maka d $n 4>. Pada kau ini teta# dan keadaan mak"& hana di tentukan &$eh N j ehin!!a0 d n 1 =
∑ ∂∂n N 1 dN = ∑ 1. n ( N j
j
j
+ * j − 1 + 1 − 1 − (1. n N j + 1 + 1 dN j
N + * − 1 = ∑ {n ( N j + * j − 1) − n N j } dN j = ∑ n j j dN j N j Diketahui bah*a #ada kau ini d ($n) 4 >% ehin!!a0
N j + * j − 1 ∑ n N j dN j = 0
α Den!an men!!unakan #en!a$i La!"an!e
86
β dan
di#e"&$eh0
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
d n 1 + α .dN + β d& = 0
∂ n 1 ∑ ∂ N j dN j + α ∑ dN j + β ∑ ( j dN j = 0 ∂ n 1 ∑ ∂ N j + α + β . ( j dN j = 0 N j + * j − 1 ∑ n N j + α + β . ( j dN j = 0 N j + * j − 1 + α + β . ( j = 0 n N j N j + * j − 1 = −(α + β . ( j ) n N j N j + * j − 1 = e − (α + β . ( ) j
N j
N j e
(
− (α + β . ( j )
− 1) = * j − 1 * − 1 = − (α + jβ . ( ) −1 e
N j e N j
= N j + * j − 1
− (α + β . ( j )
j
Untuk N j /% dan ! j /% maka0
N j
=
* j e
−(α + β . ( j )
−1
... (.9)
Pe"amaan .9 diebut dit"ibui #a"tike$ ke be"ba!ai tin!kat ene"!i untuk k&n+i!u"ai den!an #e$uan! te"bea"% an! dikena$ eba!ai dit"ibui B&e Eintein. Bi$a ! j N j /% maka0
N j
=
* j e
− ( α + β . ( j )
−1
N j
=
* j
e
− (α + β . ( j )
menuju ke
dan ! j N j /% diebut $imit k$aik. 1 β = − k! Pada kau ini % ehin!!a dit"ibui B&eEintein menjadi0
N j
=
* j e
− ( α + β . ( j )
−1 87
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
* j
=
N j
e −α e
− β . ( j
−1
* j
=
−α
=
( j
e e k!
−1
* j 1 A
( j
e k!
−1
* j
=
( j
1
−1
e k!
A
(B&eEintein)
... (.:)
Bandin!kan den!an an! k$aik be"ikut0
N j
=
* j ( j
1 A
e k!
e −α
=
(1$aik)
1 A
dimana
den!an A ada$ah ebuah #a"amete". 4
- e
Tinjau kau 4
- e
5&$eku$m&$eku$ !a
mem#unai #in bu$at% ehin!!a m&$eku$m&$eku$
4
- e
!a
me"u#akan b&&n dan memenuhi tatitik B&eEintein. Dit"ibui
m$eku$ !a ke da$am tin!kattin!kat ene"!i men!ikuti #e"amaan be"ikut0 N j
=
* j ( j
1 k! e A
−1
-an! da#at ditu$ikan eba!ai0 * ( ( ) N ( ( ) = ( 1 k! e −1 A Den!an men!ikuti ketidak #atian Heienbe"! da$am "uan! +aa% etia# keadaan ene"!i meme"$ukan 3&$ume ebea" h :. L&!ikana ada$ah eba!ai be"ikut0 kita tahu da"i +iika m&de"n bah*a ketidak #atian Heienbe"! ada$ah0
∆ X . P x ≥ h 88
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
∆ X . P x = h 1ita #i$ih
∆ X . P X .∆Y . P Y ∆ . P = ∆Γ = h 3 Sehin!!a0
Banakna keadaan ene"!i da$am dae"ah ene"!i E dan E dE ada$ah0
* ( ( )d( =
d Γ h3
im ana d Γ = 2π V ( 2m)
3/ 2
( 1 / 2 d(
sehin**a # * ( ( )d( =
2π V ( 2m)
3/ 2
( 1 / 2 d(
h3 ... (8.4)
Banakna m&$eku$ an! mem#unai ene"!i #ada dae"ah ene"!i E dan E dE ada$ah0 N ( ( ) d( =
* ( ( ) d( 1 A
N ( ( ) d( =
(
e
k!
−1
2π .V ( 2m ) h
3
3/ 2
( 1/ 2 d(
( 1 k! e − 1 A
... (.<) An!ka / da#at diabaikan untuk ha"!a A an! an!at ke'i$ (!a)% ehin!!a dit"ibui akan mendekati ke dit"ibui 5a*e$$B&$t,mann. Ha"!a A da#at di'a"i eba!ai be"ikut0 ∞
∞
0
0
∫ N ( ( )d( = ∫ =
2π .V ( 2m ) h3
A
d(
e k!
3/ 2
∞
∫ (
1/ 2
0
∞
∫
( 1 / 2
(
1
2π .V ( 2m ) 1 h3 A
3/ 2
n
*unakan # x e
−ax
e
dx =
0
ehin!!a di#e"&$eh0
89
( − k!
d(
( n + 1) a
( n+1)
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
2π .V ( 2m) N ( ( )d( = 3 1 h A
∞
∫ 0
N = A =
A =
Aπ .V ( 2mk! )
3/ 2
1 2
( k! ) 3 / 2 π
3/ 2
π
h3 Nh 3 V ( 2mk! )
3/ 2
π
Nh 3 V ( 2π mk! )
3/ 2
... (8.6)
.;. Radiai Benda Hitam. Radiai e$ekt"&ma!netik an! be"ada da$am "&n!!a ham#a be"tem#e"atu" k&ntan da#at di#andan! eba!ai ebuah item +&t&n den!an ene"!i +&t&n an! be"3a"iai. &t&n mem#unai #in bu$at ehin!!a be"ke$akuan eba!ai b&&n dan dian!!a# !a +&t&n mem#unai dit"ibui ene"!i an! dibe"ikan &$eh tatitik B&eEintein. Dua ha$ #entin! an! #e"$u diketahui0 Pertama: &t&n die"a# dan di#an'a"kan kemba$i &$eh dindin! "&n!!a% ehin!!a +&t&n da$am "&n!!a tidak$ah k&ntan.
∑ N
j
Atau
= N
∑ dN = 0 j
dan
α = 0 Da$am ha$ ini
A = eα . Atau
tidak dite"a#kan #ada dit"ibui.
=1 .
Kedua:
hυ Ene"!i ebuah +&t&n ada$ah
.Sehin!!a $ebih mudah dit"ibui ene"!i +&t&n
dinatakan da$am 3a"iabe$ +"ekueni atau #anjan! !e$&mban! +&t&n. Da$am
90
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
λ ha$ ini banakna m&du !e$&mban! da$am dae"ah #anjan! !e$&mban!
4π
λ dan
λ d
λ 4
d λ
#e"atuan 3&$ume ada$ah0
Da$am !a +&t&n ada dua a"ah #&$a"iai !e$&mban! e$ekt"&ma!netik an! ende#enden. Pada a"ah #&$a"iai te!ak $u"u te"hada# a"ah #enja$a"an !e$&mban!% etia# +&t&n da#at mem#unai atu da"i dua a"ah an! ada% ehin!!a banakna m&du !e$&mban! menjadi dua ka$ina. Diketahui bah*a0
* ( ( )d( =
d Γ h3
= ∫∫∫∫∫∫
dX .dY .d .dp x dp $ dp #
=
h
3
∫∫∫
p 2 &in θ .d θ .d φ .dp
V
h
3
π
=
Vp 2 dp( − '&θ ) 0 ( 2π ) h
3
=
=
Vp 2 dp
π
∫
0
h
Vp 2 dp.2.( 2π ) h
3
2π
∫ d φ
&in θ .d θ
0
3 2
=
4π .Vp dp
h3
2
h h 4π V − 2 d λ . 4π Vd λ . λ λ = * (λ )d λ = 4 3 λ
h
* (λ )d λ V
=
4π .d λ .
λ 4 ... (.@)
Diebut +"aki !e$&mban! #e"atuan 3&$ume. Banakna +"aki !e$&mban! !a +&t&n 4 9 ka$ina% aitu 0
* (λ )d λ V
=
8π .d λ .
λ 4 ... (.)
Tanda minu di ata diabaikan% ka"ena tidak mun!kin jum$ah keadaan itu minu.
91
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
λ Banakna +&t&n da$am dae"ah #anjan! !e$&mban!
λ + d λ dan
#e"atuan 3&$ume #ada tem#e"atu" T ada$ah0
N (λ )d λ V
=
* (λ )d λ / V h'
−1
e λ k!
... (.J) ini ada$ah ana$&! den!an0 * ( ( )d(
N ( ( )d( =
(
1 A
e
−1
k!
α = 0 Dimana A 4 /% dan
% ehin!!a banakna +&t&n (!e$&mban!)
#e"atuan 3&$ume0 8π .d λ .
N (λ )d λ V
λ 4
=
N (λ )d λ =
h'
e
λ k!
−1
8π .V .d λ
λ h'k! λ e − 1 4
... (./>) 1e"a#atan ene"!i #ekt"a$ da"i !a +&t&n dide+iniikan eba!ai ene"!i "adiai #e"atuan 3&$ume.
= ( rad . (λ )d λ =
( rad . (λ )d λ =
N (λ )d λ V
.( fot on
8π .d λ
h'
h' λ 4 λ k! λ e − 1
8π .h'.d λ
λ h'k! λ e − 1 5
... (.//) (Pe"amaan ini diebut #e"amaan "adiai P$an'k).
λ Untuk "adiai P$an'k #ada
bea"0
92
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
h'
e
≈ 1+
λ k!
h'
λ k!
Sehin!!a #e"amaan "adiai P$an'k menjadi be"bentu10
( rad . (λ )d λ =
8π .h'.d λ 8π .h'.d λ = h' − 1 λ 5 h' λ 5 1 + λ k! λ k!
( rad . (λ )d λ =
8π .h'.d λ 5 h'
λ
λ k! ... (./9)
Pe"amaan "adiai menu"ut Ra Lei!hean0
( rad . (λ )d λ =
8π .k! .d λ
λ 4
...(./:)
h'
λ Pada
e λ k!
>> 1
ke'i$0
% ehin!!a h'
h'
e λ k! − 1 ≈ e λ k! ( rad . (λ )d λ =
8π .h'.d λ h'
5
λ e λ .k! ( rad . (λ )d λ =
8π .h'
λ 5
h'
e
− λ .k!
.d λ ... (8.14)
(Pe"amaan "adai menu"ut ien) ika ebuah $uban! ke'i$ dibuat #ada dindin! "uan! den!an tem#e"atu" k&ntan% maka eba!ian ene"!i akan te"#an'a" ke$ua". Da"i te&"i kinetik te$ah diketahui bah*a +$uk #a"tike$ an! men!enai atuan $ua ada$ah0
Φ=
1 N 4 V
v
93
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
Untuk +&t&n% eba!ai !e$&mban!% maka +$uk diini be"u#a #an'a"an
N (λ )d λ
v
V +&t&n% ehin!!a banakna +&t&n #e"atuan 3&$ume 4
% dan
untuk
+&t&n ada$ah 4 8 (ke'e#atan 'ahaa). N
≡
V
N (λ ) d λ V
untuk +&t&n ada$ah
... (./<)
fluks = Φ = N rad (λ )d λ =
N (λ )d λ C . V 4 ... (./=)
λ Intenita #an'a"an +&t&n da$am dae"ah #anjan! !e$&mban! anta"a
dan
λ + d λ ada$ah0
( rad (λ )d λ = fluks. x.( foton ( rad (λ ) d λ = N rad (λ ) d λ
=
( rad (λ )d λ =
λ
8π d λ
' 4
h'
=
' N (λ ) d λ h' 4
h'
λ h'k! λ 4 λ e − 1
V
λ 2
=
2π .h' d λ
λ h'k! λ e − 1 5
2π .h' 2 d λ
λ h'k! − 1 λ e 5
... (8.17)
Ene"!i t&ta$ an! te"adiai #e"atuan $ua $uban! #e"atuan *aktu ada$ah0
( rad
∞
= ∫ 0 ( rad (λ )d λ d λ
∞
= 2π .h' 2 ∫ 0
λ h'k! λ e − 1 5
94
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
( rad
= 2π .h'
2
∞
∫ 0
λ −5 d λ
e
h'
λ k!
− 1 ... (8.18) ∞
∫ 0
Untuk #ene$eaian kau ini !unakan0 h' h' X = danλ = λ .k! Xk! Da$am ha$ ini0
sehin**a #
d λ dX
=−
h'
4
π dX = 15 e X − 1 X
h'
d λ = −
X 2 k!
3
X 2 k!
dX
dan
( rad = 2π .h'
2
d λ
∞
∫
λ h'k! λ e − 1
0
5
adi0
( rad
= 2π .h'
= 2π .h'
2
2
h'
−
∞
2
∫ h' X k! 0
dX
5
( e X − 1) Xk! 1
h'
−
∞
1 X 2
∫ 1
k! h' 5
dX
5
( e X − 1) k! X
=− ( rad
2π .h' 2 h'( k! )
=−
=− ( rad
k! ( h' )
5
5
0
∞
∫ X
dX
( e − 1) X
2
0
2π .h 2 ' 3 ( k! ) k! ( h' )
5
5
∞
X 3 dX
∫ ( e 0
2π .k 4! 4 π 4 h 3' 2
X 5
15
=−
X
− 1)
2π 5 .k 4! 4 15h 3 ' 2
= −σ .! 4
= −σ .! 4 ... (8.19)
95
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
5
σ =
4
2π k 3
15h '
2
... (.9>) Tanda ne!ati# be"a"ti me$e#a ene"!i atau me"adiai% dan bi$a be"a"ti men!ab&"bi ene"!i.
( rad
= σ .! 4
adi0
Diebut hukum "adiai Ste+an.
TUGAS0 1e"jakan &a$&a$ be"ikut0 / A#a an! menjadi daa" dit"ibui #a"tike$ menu"ut tatitik B&eEintein 2 9 e$akan beda anta"a tatitik k$aik% tatitik emi k$aik% dan tatitik b&eEintein. : Statitik B&eEintein ditu$ikan eba!ai0 * j N j = ( j 3 +Dp . − 1 k! a) untuk +&t&n da$am k&tak% be"a#akah ni$ai B 2 men!a#a demikian 2 ≥
;
b) Untuk !a He #ada tem#e"atu" :>> 1% tentukan ni$ai B dinatakan da$am m% N% F% T dan k&ntanta $ain an! be"euaian. ≥
8atatan0 #ada T eka$i.
:>> 1% ni$ai B untuk !a te"ebut akan dida#at bea"
PUSTA1A0 /. Siti Nu"u$ 1h&timah% Fisika Statistik. Bandun! 0 ITB% /JJJ. H0 < ==. 9. T"ianta. Fisika Statistik. Bandun!0 ITB. /JJJ. H0 =: =;. :. * Sea" and Sa$in!e"% Thermodynamics, Kinetic Theory and Statistical Thermodynamics. Addi&n e$e% /J=. H0 :/@ :9> dan ::/ :::.
BB $I TT$T$K ;>=$A<$>J 96
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
. P;<H:@: Paa aa&an a"ian tpi- ini a-an ip+aari t+riAt+ri t+ntan" an""apan a&ar &tati&ti- +rmiA
B. P;C$ J./. An!!a#an Daa" Statitik e"miDi"a'. •
Pa"tike$#a"tike$ identik tak te"bedakan.
•
Di#e"untukkan #a"tike$#a"tike$ den!an #in tak bu$at% e#e"ti0 net"&n% #"&t&n% e$ekt"&n% :He an! dikena$ eba!ai +e"mi&n.
•
5emenuhi $a"an!an Pau$i. ($a"an!an Pau$i 4 Da$am atu keadaan ene"!i% hana b&$eh diii &$eh atu #a"tike$ atau k&&n!).
•
Ga :He #ada 9>> 1
men!ikuti ttitik 5B
•
Ga :He #ada 9 1
men!ikuti ttitik D
•
Ga ;He #ada :>> 1
men!ikuti ttitik 5B
•
Ga ;He #ada 91
men!ikuti ttitik BE
•
Ga e$ekt"&n
men!ikuti tatitik D
•
Ga +&t&n
men!ikuti tatitik BE
J.9. Dit"ibui Pa"tike$ ke da$am 1eadaankeadaan Ene"!i.
97
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
Tinjau item te"i&$ai den!an N e"mi&n an! tidak a$in! be"inte"aki #ada tin!kat ene"!i ke j den!an ! j 4 < diii &$eh N j 4: #a"tike$. um$ah 'a"a #enuunan ditu$ikan eba!ai be"ikut0 * j ! N j !( * j
− N j )!
=
5!
=
3!(5 − 3)!
5.4.3.2.1 3.2.1( 2.1)
=
120 12
= 10
Ada#un !amba"an #enuunanna di#e"$ihatkan #ada kema be"ikut0 N/>
NJ
N
N@
N=
N< N;
N:
N9 N/
Ada /> keadaan mik"& #ada tin!kat ene"!i ke j. Pe$uan! te"m&dinamikna0 1 =
* j !
∏ N !( * − N )! j
j
j
j
... (J./) Pe$uan! te"m&dinamik 4 banakna keadaan mik"& da$am ebuah 1eadaan mak"&.
J.:. 1&n+i!u"ai den!an Pe$uan! Te"bea". 1eadaan mak"& te"bea" (keadaan an! mem#unai #e$uan! te"bea") ada$ah keadaan mak"& an! mem#unai keadaan mik"& te"banak. adi akan di'a"i ni$ai #e$uan! te"m&dinamik () an! te"bea". 98
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
Bi$a makimum% maka $n ju!a makimum. Bataan an! dibe"ikan ada$ah untuk item te"i&$ai den!an N dan U teta#. Sehin!!a #e"bedaan keadaankeadaan mak"& hana ditentukan &$eh #e"bedaan N j aja atau0 d n 1 =
∑ ∂∂n N 1 dN
j
j
% da"i #e"amaan J./0
1 =
* j !
∏ N !( * − N )! j
j
j
j
% maka0 n 1 =
∑ n * !− n N !− n( * j
j
j
− N j )!
= ∑ * j n * j − * j − N j n N j + N j − ( * j − N j ) n( * j − N j ) + ( * j − N j ) = ∑ * j n * j − N j n N j − ( * j − N j ) n( * j − N j )
= ∑ * j n * j − N j n N j − * j n( * j − N j ) + N j n( * j − N j ) Se$anjutna kita 'a"i d $n eba!ai be"ikut0 d n 1 =
∑ ∂∂n N 1 dN
j
j
% d n 1
1 1 1 = ∑ 0 − N j − n N j − 0 + * j − N j + n( * j − N j )dN j ( * j − N j ) ( * j − N j ) N j * j N j = ∑ − 1 − n N j + − + n( * j − N j )dN j ( * j − N j ) ( * j − N j ) * − N j = ∑ − 1 − n N j + j + n( * j − N j )dN j ( * j − N j ) = ∑ [ − 1 − n N j + 1 + n( * j − N j )]dN j = ∑ [ n( * j − N j ) − n N j ]dN j ( * − N j ) = ∑ n j dN j N j
β
α Gunakan #en!a$i La!"an!e
dan
eba!ai be"ikut0 99
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
d n 1 + α .dN + β .d& = 0
∑ ∂∂n N 1 dN + α ∑ dN + β ∑ ( dN j
j
j
j
=0
j
∂ n 1 α β + + . ( ∑ ∂ N j j dN j = 0 ∂ n 1 + α + β . ( j = 0 ∂ N j ( * j − N j ) + α + β . ( j = 0 n N j
( * − N ) j
n
j
N j
( * − N ) j
j
N j * j N j * j N j
= −(α + β . ( j )
= e −(α + β . ( ) j
− 1 = e −(α + β . ( ) j
= e −(α + β . ( ) + 1 j
... (9.2)
N j
=
* j e
−(α + β . ( j )
+1 ... (9.3)
Pe"amaan te"ebut dikena$ eba!ai dit"ibui #a"tike$ e"miDi"a'. Bi$a ! j N j / % maka0
N j
=
* j e
−(α + β . ( j )
N j
+1
α =
* j e
−(α + β . ( j )
menuju ke
( F
β = −
k!
da$am ha$ ini
=
1 k!
dan E 4 ene"!i e"mi% ehin!!a0
N j
=
=
* j e
−(α + β . ( j )
+1
* j e −α e
−β . ( j
+1
100
* j
=
( j
( F
e
−
k!
e
+
k!
+1
Teori Peluang
N j
Fisika Statistik Mirwan 2007
* j
=
( j − ( F
+1
k!
e
... (9.4)
ika banakna keadaan ene"!i anta"a E dan E dE ada$ah !(E) dE% maka banakna #a"tike$ da$am dae"ah ene"!i ini ada$ah0 1
* ( ( )d(
N ( ( )d( =
( ( − ( F ) k!
e
( ( − ( F )
+1
e
k!
= f ( ( ) +1
den!an
adi di#e"&$eh0
1
f ( ( ) =
( ( − ( F )
+1
k!
e
4 un!i e"mi.
...
4 un!i B&eEintein
...
(J.<) 1
f ( ( ) =
( ( − µ )
e
k!
−1
(J.=)
1
f ( ( ) =
( ( − µ ) k!
e
4 un!i 5a*e$$B&$t,mann
α =
µ k!
µ = α .k!
... (J.@)
= ( F
dan 1emba$i untuk +un!i e"mi% aitu #e$uan! uatu keadaan den!an ene"!i E akan diii &$eh ebuah +e"mi&n% dan keadaan den!an ene!i E mem#unai #e$uan! eten!ah. Tinjau kau item +e"mi&n #ada T4 > 1 dan ene"!i e"mi E(>)% maka ni$ai +un!i +e"mi untuk E M E(>) ada$ah0
f ( ( ) =
1
e
−∞
+1
=1 ... (J.)
Untuk E E(>)% maka0 1 f ( ( ) = ∞ =0 e +1 ... (J.J) 101
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
Bi$a di!amba"kan ada$ah eba!ai be"ikut0
+(E) T4>1 /
T>
>
E(>)
E
E
Gamba" J./0 G"a+ik +un!i e"mi
Nam#ak bah*a #ada T tidak ama den!an n&$ dan E 4 E% maka +(E) 4 .
J.;. Ga e"miDi"a' (e"mi&n). Tinjau !a +e"mi&n #ada T 4 >1. Ba!aimana E(>)4 2 N =
∑ N
j
j
Diketahui bah*a0 N =
∞
∫ N ( ( )d( 0
( F ( 0 )
= ∫0
∞
∫
f ( ( ) * ( ( ) d( +
( F ( 0 )
f ( ( ) * ( ( ) d(
+(E) T4>1 /
>
E(>)
E
Gamba" J.90 G"a+ik +un!i e"mi #ada T 4 > 1
Untuk T = 0K, maka f(E) = 1
ehin!!a0
102
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
( F ( 0)
N =
∫ * ( ( )d( 0
* ( ( )d( = 2
... (J./>)
d Γ h3
Da$am ha$ ini0
... (J.//)
An!ka 9 mun'u$ ka"ena +e"mi&n mem#unai #in eten!ah bu$at an! menebabkan ada $ebih da"i atu keadaan #e"in!kat ene"!i. Biaana ditinjau da"i kau dimana bi$an!an kuantum ma!netik #in +e"mi&n mem#unai dua kemun!kinan ni$ai% aitu /9 dan ./9% Sehin!!a ada dua keadaan #e"in!kat ene"!i. Diketahui bah*a0
* ( ( )d( = 2
d Γ h
3
dX .dY .d .dp dp dp ∫∫∫∫∫∫ * ( ( ) = 2 x
$
#
h3
* ( ( )d( = 2
2 V . p dp
=2 =2
2π
π
0
0
∫ ∫ &in θ .d θ .d φ h3
V . p 2 dp (− '&θ )π 0 (2π ) h3 Vp 2 .2(2π )
* ( ( )d( = 2
h3
4π .Vp
h3
dp
2
dp ... (J./9)
Diketahui bah*a0
103
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
p
( = p
2
2m
= 2m(
2
d( dp
=
dp =
p m m p
d(
4π .V .2m( .
* ( ( )d( = 2
m p
d(
h3
Sehin!!a0
m
4π .V .2m( .
=2 =2
h
2m(
3
4π .V .
=2
3
4π .V . 2m 3 ( . h
d(
23 m3
d( = 4π .V
h
6
4m 4 ( 2 2m( h3
.d(
( .d(
3/ 2
2m = 4π .V 2 h
( 1 / 2 d(
3/ 2
2m ∴ * ( ( ) = 4π .V 2 h
( 1/ 2 ... (J./:)
Da"i #e"amaan J./>0
N =
( F ( 0 )
∫ 0
* ( ( )d( = 3/ 2
2m = 4π .V 2 h
( F ( 0 )
∫ 0
( F ( 0 )
∫ 3/ 2
.
2 3
( 1 / 2 d(
1/ 2
( d(
0
2m N = 4π .V 2 h
3/ 2
2m 4π .V 2 h
( ( F (0)) 3 / 2 ... (9.14)
Di#e"&$eh ju!a0 3/ 2
h 2 3/ 2 ( F (0) = 8π .V 2m 3 N
3
( F (0)
dan
104
3
2 3 N h 2 = π V 8 . 2m
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
2/3
3 N ( F (0) = 8π .V
h 2 2m
... (9.15) Pe"$u dibedakan anta"a ene"!i te"ma$ 4 kT dan ene"!i e"mi kT 4E(>) e#e"ti
te"$ihat #ada tabe$ J./ be"ikut0 Tabe$ J./0 ene"!i e"mi dan tem#e"atu" e"mi0 Ga E(>) (e3) : He$ium (at&mat&m 9He) >%J;/>: Ga e$ekt"&n da$am Lithium ;%@ Ga e$ekt"&n da$am #&taium 9%/ ( − ( F k!
T(1) /> <;.>>> 9;.>>>
>> 1
Untuk #a"tike$ an! ene"!ina 0 k$aik% aitu0 1 f ( ( ) = ( ( − ( )
% maka +un!i e"mi menuju ke
F
e
k!
... (J./=) Atau dit"ibui #a"tike$#a"tike$ !a #ada tem#e"atu" "uan! akan menuju ke k$aik (5B).
9.5. a& ;+-trn. 1a"ena tin!!ina ni$ai tem#e"atu" e"mi untuk !a e$ekt"&n da$am $&!am% maka kenaikan tem#e"atu" da"i > ke uatu ni$ai dekat tem#e"atu" "uan! di#e"ki"akan hana mem#en!a"uhi e$ekt"&ne$ekt"&n an! ene"!ina dekat den!an ene"!i e"mi. Ada#un !"a+ik hubun!an +(E) dan E ada$ah eba!ai be"ikut0
(E) (E)4 >%@: (E)4 >%< (E)4 >%9@ E >
(EkT)
(EkT)
Gamba" J.:0 G"a+ik +un!i e"mi untuk e$ekt"&n
f ( ( ) = Untuk E 4 (EkT) 105
1 e −1
+1
= 0,73
E
Teori Peluang
Fisika Statistik Mirwan 2007
1
f ( ( ) =
+1
0
e
= 0,5
Untuk E4E f ( ( ) =
1
e +1
= 0,27
Utuk E(EkT) Dit"ibui e$ekt"&n ke keadaankeadaan ene"!ina ditentukan &$eh #e"amaan0 3/ 2
2m * ( ( ) = 2π V 2 h
N ( ( )d( = f ( ( ) * ( ( )d(
( 1 / 2
den!an Ni$ai "ata"ata ene"!i #ada T 4 > ditentukan &$eh #e"amaan0 ∞
( =< ( >=
∫ ∫ N ( ( )d( 0
( . N ( ( )d(
= ∫ 0 ( ( 0)
0
0
( . * ( ( )d(
∞
∫
F
0
< ( >=
( F ( 0 )
= ∫ 0 ( (0)
( F ( 0)
* ( ( )d(
( 3 / 2 d(
∫
F
1/ 2
( d(
=
3 5
( F (0)
3 ( F (0) 5 ... (9.17)
Ha"!a ene"!i e"mina di#e"&$eh0
π 2 ! 2 ( F = ( F (0) 1 − 12 ! F ... (J./) Ene"!i "ata"ata e$ekt"&n #ada tem#e"atu" T ada$ah0 ( =
1
N
∞
∫ 0
( . N ( ( )d(
=
1 N
∞
∫ ( . f ( ( ). * ( ( )d( 0
3 ! 2 π 2 ( = ( F (0) + 5 ! 4 F ... (9.19)
TUGAS0 1e"jakan &a$&a$ be"ikut0 / Dit"ibui e"miDi"a' da#at ditu$ikan eba!ai be"ikut0 N j
=
* j
( j − ( F + 1 k!
+Dp .
106