FISIKA – MODUL 3
MEKANIKA – 2 HUKUM NEWTON DAN PENERAPANNYA Hukum Newton tentang dinamika dinyatakan oleh formulasi : F = m a Dengan : F
:
jumlah semua vektor gaya (gaya total) yang bekerja langsung pada benda
m
:
massa benda yang terkena gaya
a
:
vektor percepatan benda akibat terkena gaya
Kita membatasi masalah dimana vektor gaya total yang bekerja pada benda bernilai konstan. Yaitu, vektor gaya total tidak berubah terhadap perubahan apa pun. Contohnya, pada masalah benda yang bergerak atau pun diam di sekitar permukaan bumi, kita menganggap gaya gravitasi bumi dimana pun nilainya tetap. Dan kita juga membatasi masalah dimana massa benda selama mendapatkan pengaruh gaya, tidak berubah juga. Akibat asumsi di atas, dengan menggunakan hukum Newton, maka percepatan benda juga akan konstan. Jika dianggap vektor gaya total : F = Fx i + Fy j Y
Fx = F cos β ; Fy = F sin β
F Fy j β
X Fx i
Yaitu, vektor gaya total dapat memiliki arah dalam sumbu – X dan sumbu – Y, dimana F x nilai komponen vektor gaya total dalam arah sumbu – X dan F y nilai komponen vektor gaya total dalam arah sumbu – Y. Dan dengan menggunakan hukum Newton, kita peroleh :
a = F / m = (F x / m) i + (F y / m) j atau a = ax i + ay j Sehingga kita dapat menggunakan formulasi untuk fungsi kecepatan kecepatan dan fungsi posisi terhadap waktu adalah sebagai berikut : Jika akibat gaya di atas, benda bergerak dalam arah sumbu – X v x (t ) = v x (0 ) + a x t
x (t ) = x (0) + v x (0) t +
1 ax t2 2
Jika akibat gaya di atas, benda bergerak dalam arah sumbu – Y v y (t ) = v y (0 ) + a y t y (t ) = y (0 ) + v y (0 ) t +
1 ay t2 2
Secara ”kompak” ke empat rumus di atas dapat dituliskan secara vektor sebagai berikut : r v (t ) = [v x (0 ) + a x t ] iˆ + v y (0 ) + a y t ˆj
[
]
r 1 1 r (t ) = x (0) + v x (0) t + a x t 2 iˆ + y (0 ) + v y (0 ) t + a y t 2 ˆj 2 2
Contoh Soal – 1 01.
Sebuah benda dilepaskan dari ketinggian H = 10 m terhadap permukaan bumi (percepatan gravitasi bumi, g = 10 m/s2). Carilah : (a)
fungsi kecepatan dan fungsi posisi benda terhadap waktu
(b)
kurva fungsi kecepatan dan fungsi posisi benda terhadap waktu
(c)
pada waktu, t , dan dengan laju, v , berapa benda tiba di permukaan bumi (misalkan waktu benda untuk tiba dipermukaan bumi dari ketinggian H adalah t B , dan laju saat tiba di permukaan bumi adalah v B )
(d)
waktu, t , dan laju, v , dimana posisi benda setengah dari ketinggian awal benda, H/2, dari permukaan bumi
(e)
pada waktu, t , dan posisi, y , kecepatan benda setengah dari v B .
Jawab
Prosedur – 1. Mencari gaya – gaya yang bekerja pada benda dan memilih dan menempatkan sistem kordinat yang kita gunakan
Perhatikan gambar di bawah ini.
Y t=0
Benda bermassa m A(0,H) = A(0,10)
H = 10
Permukaan bumi W
t = tB
B(0,0)
X
Anggap benda dilepas pada saat t = 0 , yaitu pada saat alat ukur waktu (misalkan stopwatch) dihidupkan dari ketinggian H. Kita gunakan sistem kordinat X – Y dimana titik B(0,0) diletakkan di tempat benda akan tiba di bumi. Permukaan bumi adalah sumbu – X. Maka titik tempat benda dilepaskan akan memiliki kordinat A(0,H). Benda akan tiba di bumi pada saat t = t B . Gaya yang bekerja langsung pada benda dalam perjalanan dari ketinggian H (anggap titik A(0,H)) sampai permukaan bumi (anggap titik B(0,0)) hanyalah, satu – satunya, gaya gravitasi, W. Kita asumsikan tidak adanya gaya gesekan udara dengan benda.
Prosedur – 2. Memilih dan menerapkan formulasi yang digunakan
Gaya gravitasi yang bekerja pada benda dapat kita anggap bernilai konstan. Dan gaya gravitasi ini bekerja hanya dalam arah sumbu – Y. F = W = – mg j Atau F y = mg = konstan
Sehingga percepatan benda pun hanya dalam arah sumbu – Y, yaitu :
a = F / m = (F x / m) i + (F y / m) j = (0 / m) i + (mg / m) (–j) a = – g j = – 10 j Atau a y = – g = – 10 Dan dari gambar di atas dapat kita anggap perjalanan benda hanya dalam arah sumbu – Y. Maka kita dapat gunakan formulasi dalam arah sumbu – Y, yaitu :
v y (t ) = v y (0 ) + a y t
y (t ) = y (0 ) + v y (0 ) t +
1 ay t2 2
Prosedur – 3. Menggunakan informasi di soal untuk melengkapi fungsi kecepatan dan posisi
(i)
Di soal dikatakan bahwa benda pada t = 0 ⇒ ”dilepas”. Artinya pada t = 0 kecepatan benda adalah nol, v(0) = (0) i + (0) j atau v y (0) = 0 dan v x (0) = 0 maka v y (t ) = −10 t
(ii)
Di soal dikatakan bahwa benda pada t = 0 ⇒ ”benda berada pada ketinggian H = 10”. Artinya pada t = 0 posisi benda adalah 10 m dalam arah sumbu – Y, atau r(0) = (0) i + (10) j atau y(0) = 10 dan x(0) = 0 Maka y (t ) = 10 −
1 (10) t 2 = 10 − 5 t 2 2
Sekarang kita telah siap menjawab semua pertanyaan. (a)
Fungsi percepatan, kecepatan, dan posisi terhadap waktu untuk sistem di atas adalah : a y (t ) = −10
v y (t ) = −10 t y (t ) = 10 − 5 t 2 Atau secara vektor dituliskan :
r a (t ) = −10 ˆj
r v (t ) = (−10 t ) ˆj
(
)
r r (t ) = 10 − 5 t 2 ˆj Ketiga fungsi di atas dikenal sebagai fungsi – fungsi keadaan. Karena ketiga fungsi tersebut ”menceritakan” tentang keadaan (=percepatan, kecepatan, dan posisi) benda sejak t = 0.
(b)
Jawaban (a) adalah gambaran rumus. Kita perlu memperlihatkan fungsi keadaan itu dengan gambaran visual. Yaitu dengan menggambarkan kurvanya terhadap waktu. Modalnya adalah penggambaran fungsi linear dan fungsi kuadrat yang anda telah dapat dalam pelajaran matematika. y(t) 10
0
t 2
vy(t) 2 0
t
− 10 2
ay(t) 2 0 – 10
t
(c)
Dari jawaban (a) dan (b) maka kita dengan mudah bisa mencari lamanya waktu yang dibutuhkan benda untuk bergerak dari titik A(0,H) ke titik B(0,0) , yaitu t B , dan kecepatan benda pada saat tiba di titik B(0,0), yaitu v B . Dari gambar pada jawaban (b) hal itu telah terjawab. Yaitu : t B = 2 second r r r r v B = v (t B ) = (−10 t B ) ˆj ⇒ v B = v
( 2 ) = (−10 2 ) ˆj
Minus menunjukkan bahwa pada saat t = tB , yaitu di titik B(0,0), arah gerak benda adalah menuju arah sumbu – Y negatif, yaitu ke arah bumi. Hasil di atas diperoleh dengan pengertian bahwa : ”pada saat t = t B benda tiba di titik B(0,0) sehingga posisi benda dalam sumbu – Y
adalah nol, yaitu secara matematis :
y (t B ) = 0 ”. Dengan menggunakan hasil (a) maka :
y (t B ) = 0
⇒ 0 = 10 − 5 t B
2
⇒ tB =
2
Dan dengan menggunakan fungsi kecepatan kita peroleh : t = t B ⇒ v B = v y (t B ) = −10 t B ⇒ v B = v y
( 2 ) = −10
y(t) 10
0
t 2
vy(t) 2 0
− 10 2
t
2
(d)
Kita anggap titik C(0,H/2) = C(0,5) dicapai benda pada saat t = t C . Dengan menggunakan hasil dari (a), diperoleh : t = t C ⇒ y (t C ) =
H 10 2 = = 5 ⇒ 5 = 10 − 5 t C ⇒ t C = 1 2 2
Jadi pada saat t = 1 , benda berada di C(0,5) dari permukaan bumi
Y t=0
H = 10
Benda bermassa m A(0,H) = A(0,10)
t = tC
C(0,H/2) = A(0,5)
H/2 = 5 t = tB
Permukaan bumi B(0,0)
X
Kecepatan benda pada saat di titik C(0,5) adalah t = t C = 1 ⇒ v C = v y (t C ) = v y (1) = −10 (1) = −10 Atau secara vektor, r r r r v C = v (t C ) = (−10 t C ) ˆj ⇒ v C = v (1) = (−10 ) ˆj
y(t) 10 5 0
t 1
2
1
2
vy(t)
0
t
– 10 − 10 2
(e)
Anggap benda pada titik D kecepatannya adalah
(
)
r r r r 1 r v D = v (t D ) = v C ⇒ v D = v (t D ) = − 5 2 ˆj 2 y(t) 10 15/2 0
t tD
2
tD
2
vy(t)
0 −5 2 − 10 2
t
(
)
r r v D = v (t D ) = − 5 2 ˆj ⇒
( − 5 2 ) ˆj = (−10 t
⇒ tD =
D
) ˆj
1 2 2
Maka posisi titik D dicari dengan : 2
1 15 1 1 t = tD = 2 ⇒ y (t D ) = y 2 = 10 − 5 2 = 2 2 2 2
Sistem seperti di atas dikenal dengan nama sistem gerak jatuh bebas. Disebut sistem gerak jatuh bebas karena gerakan benda yang jatuh dari ketinggian H ke permukaan bumi dengan tanpa kecepatan awal (karena dilepas). Dari hasil (a) kita bisa juga memperoleh formulasi cepat gerak jatuh bebas untuk mengerjakan kasus – kasus khusus :
Laju benda pada saat tiba di bumi (titik B(0,0)) , v B , yaitu : vB =
2g H
Waktu yang dibutuhkan untuk bergerak dari A(0,H) ke B(0,0) , t B , yaitu : tB =
02.
2H g
Sebuah benda ditembakkan ke atas dari ketinggian H = 10 m terhadap permukaan bumi (percepatan gravitasi bumi, g = 10 m/s2) dengan kecepatan 10 m/s. Carilah : (a)
fungsi kecepatan dan fungsi posisi benda terhadap waktu
(b)
kurva fungsi kecepatan dan fungsi posisi benda terhadap waktu
(c)
pada waktu, t , dan dengan laju, v , berapa benda mencapai titik tertinggi dalam sumbu – Y dan tiba di permukaan bumi (misalkan waktu benda untuk mencapai ketinggian maksimum, t C , dan tiba dipermukaan bumi dari ketinggian H adalah t B , dan laju saat tiba di permukaan bumi adalah v B )
(d)
pada waktu, t , dan posisi, y , kecepatan benda setengah dari v B .
(e)
pada waktu, t , dan dengan laju, v , berapa benda mencapai ketinggian H/2
Jawab
Prosedur – 1. Mencari gaya – gaya yang bekerja pada benda dan memilih dan menempatkan sistem kordinat yang kita gunakan
Perhatikan gambar di bawah ini. Y t=0
Benda bermassa m A(0,H) = A(0,10)
H = 10
Permukaan bumi W
t = tB
B(0,0)
X
Anggap benda ditembakkan pada saat t = 0 , yaitu pada saat alat ukur waktu (misalkan stopwatch) dihidupkan dari ketinggian H. Kita gunakan sistem kordinat X – Y dimana titik B(0,0) diletakkan di tempat benda akan tiba di bumi. Permukaan bumi adalah sumbu – X. Maka titik tempat benda dilepaskan akan memiliki kordinat A(0,H). Benda akan tiba di bumi pada saat t = t B . Gaya yang bekerja langsung pada benda dalam perjalanan dari ketinggian H (anggap titik A(0,H)) sampai permukaan bumi (anggap titik B(0,0)) hanyalah, satu – satunya, gaya gravitasi, W. Kita asumsikan tidak adanya gaya gesekan udara dengan benda.
Prosedur – 2. Memilih dan menerapkan formulasi yang digunakan
Gaya gravitasi yang bekerja pada benda dapat kita anggap bernilai konstan. Dan gaya gravitasi ini bekerja hanya dalam arah sumbu – Y. F = W = – mg j Atau F y = mg = konstan
Sehingga percepatan benda pun hanya dalam arah sumbu – Y, yaitu :
a = F / m = (F x / m) i + (F y / m) j = (0 / m) i + (mg / m) (–j) a = – g j = – 10 j Atau a y = – g = – 10 Dan dari gambar di atas dapat kita anggap perjalanan benda hanya dalam arah sumbu – Y. Maka kita dapat gunakan formulasi dalam arah sumbu – Y, yaitu :
v y (t ) = v y (0 ) + a y t y (t ) = y (0 ) + v y (0 ) t +
1 ay t2 2
Prosedur – 3. Menggunakan informasi di soal untuk melengkapi fungsi kecepatan dan posisi
(i)
Di soal dikatakan bahwa benda pada t = 0 ⇒ ”ditembakkan ke atas”. Artinya pada t = 0 kecepatan benda adalah v(0) = (0) i + (10) j
atau v y (0) = 10 dan v x (0) = 0 maka v y (t ) = 10 − 10 t (ii)
Di soal dikatakan bahwa benda pada t = 0 ⇒ ”benda berada pada ketinggian H = 10”. Artinya pada t = 0 posisi benda adalah 10 m dalam arah sumbu – Y, atau r(0) = (0) i + (10) j atau y(0) = 10 dan x(0) = 0 Maka y (t ) = 10 +10 t −
1 (10) t 2 = 10 +10 t − 5 t 2 2
Sekarang kita telah siap menjawab semua pertanyaan. (a)
Fungsi percepatan, kecepatan, dan posisi terhadap waktu untuk sistem di atas adalah : a y (t ) = −10
v y (t ) = 10 − 10 t y (t ) = 10 +10 t − 5 t 2 Atau secara vektor dituliskan : r a (t ) = −10 ˆj r v (t ) = (10 −10 t ) ˆj
r r (t ) =
( 10 +10 t − 5 t ) ˆj 2
Ketiga fungsi di atas dikenal sebagai fungsi – fungsi keadaan. Karena ketiga fungsi tersebut ”menceritakan” tentang keadaan (=percepatan, kecepatan, dan posisi) benda sejak t = 0.
(b)
Jawaban (a) adalah gambaran rumus. Kita perlu memperlihatkan fungsi keadaan itu dengan gambaran visual. Yaitu dengan menggambarkan kurvanya terhadap waktu. Modalnya adalah penggambaran fungsi linear dan fungsi kuadrat yang anda telah dapat dalam pelajaran matematika.
y(t) 15 10 0
t 1
3 +1
1
3 +1
vy(t) 10 0
t
− 10 3 ay(t)
0
t
– 10
(c)
Dari jawaban (a) dan (b) maka kita dengan mudah bisa mencari lamanya waktu yang dibutuhkan benda untuk bergerak dari titik A(0,H) ke titik B(0,0) , yaitu t B , dan kecepatan benda pada saat tiba di titik B(0,0), yaitu v B . Dari gambar pada jawaban (b) hal itu telah terjawab. Yaitu : t B = 2 second r r r r v B = v (t B ) = (−10 t B ) ˆj ⇒ v B = v
( 2 ) = (−10 2 ) ˆj
Minus menunjukkan bahwa pada saat t = tB , yaitu di titik B(0,0), arah gerak benda adalah menuju arah sumbu – Y negatif, yaitu ke arah bumi. Hasil di atas diperoleh dengan pengertian bahwa : ”pada saat t = t B benda tiba di titik B(0,0) sehingga posisi benda dalam sumbu – Y
adalah nol, yaitu secara matematis :
y (t B ) = 0 ”. Dengan menggunakan hasil (a) maka :
y (t B ) = 0
⇒ 0 = 10 − 5 t B
2
⇒ tB =
2
Dan dengan menggunakan fungsi kecepatan kita peroleh : t = t B ⇒ v B = v y (t B ) = −10 t B ⇒ v B = v y
( 2 ) = −10
2
y(t) 10
0
t 2
vy(t) 2 0
t
− 10 2
(d)
Kita anggap titik C(0,H/2) = C(0,5) dicapai benda pada saat t = t C . Dengan menggunakan hasil dari (a), diperoleh : t = t C ⇒ y (t C ) =
H 10 2 = = 5 ⇒ 5 = 10 − 5 t C ⇒ t C = 1 2 2
Jadi pada saat t = 1 , benda berada di C(0,5) dari permukaan bumi
Y
Benda bermassa m
t=0
H = 10
A(0,H) = A(0,10)
t = tC
C(0,H/2) = A(0,5)
H/2 = 5
Permukaan bumi
t = tB
X
B(0,0)
Kecepatan benda pada saat di titik C(0,5) adalah t = t C = 1 ⇒ v C = v y (t C ) = v y (1) = −10 (1) = −10 Atau secara vektor, r r r r v C = v (t C ) = (−10 t C ) ˆj ⇒ v C = v (1) = (−10 ) ˆj y(t) 10 5 0
t 1
2
1
2
vy(t)
0 – 10 − 10 2
t
(e)
Anggap benda pada titik D kecepatannya adalah
(
)
r r r r 1 r v D = v (t D ) = v C ⇒ v D = v (t D ) = − 5 2 ˆj 2 y(t) 10 15/2 0
t tD
2
tD
2
vy(t)
0
t
−5 2 − 10 2
(
)
r r v D = v (t D ) = − 5 2 ˆj ⇒
( − 5 2 ) ˆj = (−10 t
⇒ tD =
D
) ˆj
1 2 2
Maka posisi titik D dicari dengan : 2
t = tD =
03.
1 15 1 1 2 ⇒ y (t D ) = y 2 = 10 − 5 2 = 2 2 2 2
Sebuah benda ditembakkan ke bawah dari ketinggian
H = 10 m terhadap
2
permukaan bumi (percepatan gravitasi bumi, g = 10 m/s ) dengan kecepatan 10 m/s. Carilah : (a)
fungsi kecepatan dan fungsi posisi benda terhadap waktu
(b)
kurva fungsi kecepatan dan fungsi posisi benda terhadap waktu
(c)
pada waktu, t , dan dengan laju, v , berapa benda tiba dipermukaan bumi dari ketinggian H
(e)
pada waktu, t , dan dengan laju, v , berapa benda mencapai ketinggian H/2
Jawab
Prosedur – 1. Mencari gaya – gaya yang bekerja pada benda dan memilih dan menempatkan sistem kordinat yang kita gunakan
Perhatikan gambar di bawah ini. Y t=0
Benda bermassa m A(0,H) = A(0,10)
H = 10
Permukaan bumi W
t = tB
B(0,0)
X
Anggap benda ditembakkan pada saat t = 0 , yaitu pada saat alat ukur waktu (misalkan stopwatch) dihidupkan dari ketinggian H. Kita gunakan sistem kordinat X – Y dimana titik B(0,0) diletakkan di tempat benda akan tiba di bumi. Permukaan bumi adalah sumbu – X. Maka titik tempat benda dilepaskan akan memiliki kordinat A(0,H). Benda akan tiba di bumi pada saat t = t B . Gaya yang bekerja langsung pada benda dalam perjalanan dari ketinggian H (anggap titik A(0,H)) sampai permukaan bumi (anggap titik B(0,0)) hanyalah,
satu – satunya, gaya gravitasi, W. Kita asumsikan tidak adanya gaya gesekan udara dengan benda.
Prosedur – 2. Memilih dan menerapkan formulasi yang digunakan
Gaya gravitasi yang bekerja pada benda dapat kita anggap bernilai konstan. Dan gaya gravitasi ini bekerja hanya dalam arah sumbu – Y. F = W = – mg j Atau F y = mg = konstan
Sehingga percepatan benda pun hanya dalam arah sumbu – Y, yaitu :
a = F / m = (F x / m) i + (F y / m) j = (0 / m) i + (mg / m) (–j) a = – g j = – 10 j Atau a y = – g = – 10 Dan dari gambar di atas dapat kita anggap perjalanan benda hanya dalam arah sumbu – Y. Maka kita dapat gunakan formulasi dalam arah sumbu – Y, yaitu :
v y (t ) = v y (0 ) + a y t y (t ) = y (0 ) + v y (0 ) t +
1 ay t2 2
Prosedur – 3. Menggunakan informasi di soal untuk melengkapi fungsi kecepatan dan posisi
(i)
Di soal dikatakan bahwa benda pada t = 0 ⇒ ”ditembakkan ke bawah”. Artinya pada t = 0 kecepatan benda adalah v(0) = (0) i – (10) j atau v y (0) = –10 dan v x (0) = 0 maka
v y (t ) = − 10 − 10 t (ii)
Di soal dikatakan bahwa benda pada t = 0 ⇒ ”benda berada pada ketinggian H = 10”. Artinya pada t = 0 posisi benda adalah 10 m dalam arah sumbu – Y, atau r(0) = (0) i + (10) j atau y(0) = 10 dan x(0) = 0 Maka y (t ) = 10 −10 t −
1 (10) t 2 = 10 −10 t − 5 t 2 2
Sekarang kita telah siap menjawab semua pertanyaan. (a)
Fungsi percepatan, kecepatan, dan posisi terhadap waktu untuk sistem di atas adalah :
a y (t ) = −10 v y (t ) = − 10 − 10 t
y (t ) = 10 − 10 t − 5 t 2 Atau secara vektor dituliskan : r a (t ) = −10 ˆj
r v (t ) = (− 10 −10 t ) ˆj r r (t ) =
( 10 −10 t −
5t2
) ˆj
Ketiga fungsi di atas dikenal sebagai fungsi – fungsi keadaan. Karena ketiga fungsi tersebut ”menceritakan” tentang keadaan (=percepatan, kecepatan, dan posisi) benda sejak t = 0.
(b)
Jawaban (a) adalah gambaran rumus. Kita perlu memperlihatkan fungsi keadaan itu dengan gambaran visual. Yaitu dengan menggambarkan kurvanya terhadap waktu. Modalnya adalah penggambaran fungsi linear dan fungsi kuadrat yang anda telah dapat dalam pelajaran matematika.
y(t) 10
0
t 3 −1
vy(t) 3 −1 0 t – 10
− 10 3
ay(t)
0 – 10
t
(c)
Dari jawaban (a) dan (b) maka kita dengan mudah bisa mencari lamanya waktu yang dibutuhkan benda untuk bergerak dari titik A(0,H) ke titik B(0,0) , yaitu t B , dan kecepatan benda pada saat tiba di titik B(0,0), yaitu v B . Dari gambar pada jawaban (b) hal itu telah terjawab. Yaitu : tB =
(
)
3 − 1 second
r r r r v B = v (t B ) = (− 10 −10 t B ) ˆj ⇒ v B = v
(
) (
)
3 − 1 = −10 3 ˆj
Minus menunjukkan bahwa pada saat t = t B , yaitu di titik B(0,0), arah gerak benda adalah menuju arah sumbu – Y negatif, yaitu ke arah bumi. Hasil di atas diperoleh dengan pengertian bahwa : ”pada saat t = t B benda tiba di titik B(0,0) sehingga posisi benda dalam sumbu – Y
adalah nol, yaitu secara matematis :
y (t B ) = 0 ”.
Dengan menggunakan hasil (a) maka : y (t B ) = 0
⇒ 0 = 10 − 10 t B − 5 t B
2
⇒ tB =
3 −1
Dan dengan menggunakan fungsi kecepatan kita peroleh : t = t B = 3 − 1 ⇒ v B = v y (t B ) = v y ⇒ vB = v y
(c)
(
)
(
)
3 − 1 = − 10 −10
(
)
3 −1
3 − 1 = −10 3
Kita anggap titik C(0,H/2) = C(0,5) dicapai benda pada saat t = t C . Dengan menggunakan hasil dari (a), diperoleh : t = t C ⇒ y (t C ) =
H 10 2 = = 5 ⇒ 5 = 10 − 10 t C − 5 t C 2 2 2 ⇒ 0 = 5 − 10 t C − 5 t C ⇒ tC =
Jadi pada saat t = t C =
2 −1
2 − 1 , benda berada di C(0,5) dari permukaan
bumi. Maka kecepatan benda : r r v (t ) = (− 10 −10 t ) ˆj ⇒ v 2 − 1 = − 10 −10 2 − 1 ˆj r r ⇒ v C = v 2 − 1 = −10 2 ˆj
(
(
) (
) (
(
)
))
04.
Sebuah benda (bermassa m) ditembakkan dengan laju awal
100 m/s dari
permukaan bumi (H = 0) miring terhadap permukaan bumi dengan sudut α (tan α = ¾) . Percepatan gravitasi bumi, g = 10 m/s2 . Carilah : (a)
fungsi kecepatan dan fungsi posisi benda terhadap waktu
(b)
kurva fungsi kecepatan dan fungsi posisi benda terhadap waktu
(c)
pada waktu, t , dan dengan laju, v , berapa benda tiba dipermukaan bumi
(d)
jarak tempuh dari tempat ditembakkan sampai jatuh lagi ke bumi
(e)
ketinggian maksimum benda
Jawab
Prosedur – 1. Mencari gaya – gaya yang bekerja pada benda dan memilih dan menempatkan sistem kordinat yang kita gunakan
Perhatikan gambar di bawah ini.
Y Benda bermassa m
Permukaan bumi t=0 X B(0,0) W
Anggap benda ditembakkan pada saat t = 0 , yaitu pada saat alat ukur waktu (misalkan stopwatch) dihidupkan dari ketinggian H. Kita gunakan sistem kordinat X – Y dimana titik B(0,0) diletakkan di tempat benda ditembakkan dari bumi. Permukaan bumi adalah sumbu – X. Gaya yang bekerja langsung pada benda
dalam perjalanan dari permukaan bumi sampai permukaan bumi lagi hanyalah, satu – satunya, gaya gravitasi, W. Kita asumsikan tidak adanya gaya gesekan udara dengan benda.
Prosedur – 2. Memilih dan menerapkan formulasi yang digunakan
Gaya gravitasi yang bekerja pada benda dapat kita anggap bernilai konstan. Dan gaya gravitasi ini bekerja hanya dalam arah sumbu – Y. F = W = – mg j Atau F y = mg = konstan
Sehingga percepatan benda pun hanya dalam arah sumbu – Y, yaitu :
a = F / m = (F x / m) i + (F y / m) j = (0 / m) i + (mg / m) (–j) a = – g j = – 10 j Atau a y = – g = – 10 ax = 0 Karena kecepatan awalnya memiliki komponen sumbu – X dan sumbu – Y , yaitu : vy(0) j
v(0)
vx(0) = v(0) cos α vy(0) = v(0) sin α
α
vx(0) i
Maka kita harus menggunakan formulasi untuk sumbu – X dan sumbu – Y secara simultan. Yaitu : v x (t ) = v x (0 ) + a x t
x (t ) = x (0) + v x (0) t +
1 ax t2 2
v y (t ) = v y (0 ) + a y t
y (t ) = y (0 ) + v y (0 ) t +
1 ay t2 2
Prosedur – 3. Menggunakan informasi di soal untuk melengkapi fungsi kecepatan dan posisi
(i)
Percepatan benda hanya dalam arah sumbu – Y a y = – 10 ax = 0
(ii)
Di soal dikatakan bahwa benda pada t = 0 ⇒ ”ditembakkan miring terhadap permukaan bumi dengan sudut α (tan α = ¾)”. Artinya pada t = 0 kecepatan benda adalah v(0) = v x (0) i + v y (0) j v(0) = v(0) cos α i + v(0) sin α j v(0) = (100) (4/5) i + (100) (4/5) j = 80 i + 60 j atau v y (0) = 60 dan v x (0) = 80 maka v x (t ) = 80 v y (t ) = 60 − 10 t
(iii)
Di soal dikatakan bahwa benda pada t = 0 ⇒ ”benda ditembakkan dari permukaan bumi”. Artinya pada t = 0 posisi benda bisa kita pilih sebagai (0,0), atau r(0) = (0) i + (0) j atau y(0) = 0 dan x(0) = 0 Maka x (t ) = 80 t y (t ) = 60 t −
1 (10) t 2 = 60 t − 5 t 2 2
Sekarang kita telah siap menjawab semua pertanyaan. (a)
Fungsi percepatan, kecepatan, dan posisi terhadap waktu untuk sistem di atas adalah :
a y (t ) = −10 v y (t ) = 60 − 10 t y (t ) = 60 t − 5 t 2 a x (t ) = 0 v x (t ) = 80
x (t ) = 80 t
Atau secara vektor dituliskan : r a (t ) = −10 ˆj
r v (t ) = (80 ) iˆ + (60 −10 t ) ˆj
(
)
r r (t ) = ( 80 t ) iˆ + 60 t − 5 t 2 ˆj
Ketiga fungsi di atas dikenal sebagai fungsi – fungsi keadaan. Karena ketiga fungsi tersebut ”menceritakan” tentang keadaan (=percepatan, kecepatan, dan posisi) benda sejak t = 0.
(b)
Jawaban (a) adalah gambaran rumus. Kita perlu memperlihatkan fungsi keadaan itu dengan gambaran visual. Yaitu dengan menggambarkan kurvanya terhadap waktu. Modalnya adalah penggambaran fungsi linear dan fungsi kuadrat yang anda telah dapat dalam pelajaran matematika. x(t) y(t)
960
180
480 0 6
12
t
x(t) 80
0
6
12
6
12
t
vy(t) 60
0
0
t
– 60
ax(t)
0
ay(t)
t
0 – 10
Pertanyaan (c), (d), dan (e) telah terjawab oleh gambar pada jawaban (b)
t
