Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
CAPÍTULO 3. CAMPO MAGNÉTICO movimiento genera un campo magnético la otra carga eléctrica móvil sufre una fuerza debido a la influencia de dicho campo sobre ella. Este fenómeno tiene dos partes, primero la generación del campo magnético y segundo la influencia del campo magnético sobre cargas móviles. Por ahora solo nos ocuparemos de esta segunda parte. DEFINICIÓN DE CAMPO MAGNETICO
INTRODUCCION Otro campo que entra en el estudio de la electricidad y el magnetismo es el campo magnético. Los efectos de estos campos son conocidos desde tiempos antiguos. En la Grecia antigua era conocido que ciertas piedras procedentes de Magnesia (ahora denominadas magnetitas) atraían trocitos de hierro.
→
B
El campo magnético se define por sus efectos sobre una carga en movimiento. Supongamos una región del espacio que contiene varias fuentes magnéticas. Los experimentos que incluyen la observación de las trayectorias de las partículas cargadas que se desplazan por esa región demuestran que la fuerza que actúa sobre ellos tiene las características siguientes:
Magnetita El descubrimiento de la propiedad de orientación de este material en sentido nortesur, influyó profundamente en la navegación y exploración.
→
F es directamente proporcional a la carga (q) →
F es directamente proporcional a la magnitud de la velocidad de la partícula (v)
Aparte de esta aplicación el magnetismo tuvo poco uso y no fue explicado hasta cuando se inventó la pila voltaica. Le pila proporciona corrientes continuas del orden da amperios, con tales corrientes se descubrieron nuevos procesos une detrás de otro en rápida sucesión que relacionaron el magnetismo con la electricidad. Como habíamos visto en la interacción de dos cargas eléctricas estática la existencia del campo eléctrico, cuando estas partículas cargadas están en movimiento aparece un cambio en el movimiento debido a una fuerza que no es mecánica ni electrostática, es la fuerza de interacción magnética y depende de las velocidades relativas de las partículas cargadas, de la carga de cada una, de la dirección relativa del movimiento y de la distancie entre las cargas.
→
→
F es perpendicular a v en toda la trayectoria de la partícula. Debido a las propiedades experimentales mencionadas podemos definir el campo magnético que se asocia a las fuentes dadas mediante la relación →
→
→
F = q v× B →
A B se le conoce también como: Campo magnético vectorial Inducción magnética Densidad de flujo magnético La magnitud de F está dada por qvBsenθ , →
→
siendo θ el ángulo entre v y B . El campo magnético B está dado por la relación
B=
F qv
En el sistema MKS, la unidad de B es
N N = m Am C s
En la figura anterior mostramos dos cargas en movimiento, estas experimentan fuerzas
A esta unidad se le conoce como tesla (T) Otra denominación de esta unidad es
→
magnéticas F . Una carga eléctrica en
1
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Weber Wb = 2 m2 m Wb T= 2 m
→
dΦ B = B⋅ nˆ dS el sentido de nˆ es hacia afuera para superficies cerradas. El flujo neto a través de cualquier superficie es
También se usa el Gauss (G)
G = 10 -4 T
→
Φ B = ∫ B ⋅ nˆ dS
Para tener una idea de la magnitud del Gauss daremos algunos ejemplos de campos magnéticos. De la Tierra es del orden de 0,5 G De un imán pequeño 100 G De un imán grande 20000 G De un acelerador de partículas 60000 G Como la fuerza magnética sobre una partícula carga da se presenta además de la fuerza eléctrica con la formulación obtenida es posible escribir una expresión para la fuerza total experimentada por una partícula cargada. La fuerza electromagnética total sobre la partícula cargada es la suma vectorial de las fuerzas magnéticas y las fuerzas eléctricas, es decir,
S
El flujo magnético se mide en unidades de campo magnético por unidad de área o sea Weber (Wb). Se hará uso de ésta porte cuando discutamos la inducción electromagnética. Ejemplo 1. El campo magnético B en cierta región es de 0,128 T, y su dirección es la del eje de las + z en la figura. a) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie abcd de la figura? b) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie befc? c) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie aefd? d) ¿Cuál es el flujo neto a través de las cinco superficies que encierran el volumen sombreado?
→ ⎛→ → →⎞ F = q⎜ E + v × B ⎟ ⎝ ⎠
Esta ecuación es conocida como la ley de Fuerza de Lorentz. EL FLUJO MAGNETICO De la misma manera que en la teoría del campo eléctrico, asociaremos el campo →
magnético B a un flujo magnético; A las líneas del campo magnético se las llama líneas de inducción, una carga eléctrica moviéndose a lo largo de una línea de inducción experimenta una fuerza magnética igual a cero. Las líneas así definidas y trazadas en el espacio constituyen una representación del campo magnético. Cuando el campo tiene intensidad uniforme se representa por líneas rectas, uniformemente espaciadas, tal casa se muestra a continuación.
Solución. →
B = 0,128kˆ a) Flujo magnético a través de la superficie abcd . →
A = −(0,4)(0,3)iˆ = −0,12iˆ → →
Φ B (abcd ) = B⋅ A = 0,128kˆ ⋅ (− 0,12iˆ ) = 0 b) Flujo magnético a través de la superficie befc
Si se construye un área S normal a la superficie, el flujo se define como:
→
A = −(0,3)(0,3)kˆ = −0,09kˆ
Φ B (befc) = B⋅ A = 0,128kˆ ⋅ (− 0,09kˆ )
Φ B = BS
→ →
Si el campo no es uniforme y la superficie no es uniforme, usaremos la expresión general
= - 0,0115 Wb.
2
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La velocidad angular de la partícu1a
c) Flujo magnético a través de la superficie aefd
v r qB ω= m
ω = es:
→
A = (0,3)(0,3)kˆ + (0,4)(0,3)iˆ = 0,09kˆ + 0,12iˆ → →
Φ B (aefd ) = B⋅ A = 0,128kˆ ⋅ (0,09kˆ + 0,12iˆ )
Ejemplo 2. Cuando una partícula con una →
carga q > 0 se traslada con una velocidad v1 orientada a 45º con respecto al eje + x en el plano xy, un campo magnético uniforme
= 0,115 Wb. d) El flujo neto en el resto de la superficie es cero ya que son paralelas a las de eje x de manera que el total del flujo es la suma de todas las partes anteriores, que es cero
→
ejerce una fuerza F1 a lo largo del eje - z.
MOVIMIENTO DE UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO MAGNETICO →
→
→
De la ecuación F = q v × B se observa que una característica de la fuerza magnética que actúa sobre la partícula cargada es que siempre es perpendicular a la velocidad de la partícula. Cuando el campo magnético es uniforme y la
Cuando la misma partícula se traslada con →
una velocidad v 2 de la misma magnitud que →
v1 , pero a lo largo del eje + z, se ejerce sobre
→
velocidad inicial es perpendicular a B , tanto la fuerza corno la veloci1ad quedan en un
→
ella una fuerza F2 de magnitud F2 a lo largo del eje + x.
→
plano fijo perpendicular a B . Como la fuerza es constante en magnitud y siempre →
perpendicular a v el movimiento es circular uniforme como se muestra a continuación.
a) ¿Cuáles son la magnitud (en términos de q, v2 y F2) y la dirección del campo magnético? b) ¿Cuál es la magnitud de F1 en términos de F2 ? Solución. a)
Por la segunda ley de Newton
∑F
r
→
= ma r = qvB
a r es la aceleración centrípeta
v2 r
→
→ 2 v1 (iˆ + ˆj ) × B 2 2 − F1 kˆ = q v1 (iˆ + ˆj ) × (B x iˆ + B y ˆj + B z kˆ ) 2 2 − F1kˆ = q v1 (By kˆ − Bz ˆj − Bx kˆ + Bz iˆ ) 2
− F1 kˆ = q
2
v r
El radio es
r=
→
B = B x iˆ + B y ˆj + B y kˆ
De aquí
qvB = m
→
F 1 = q v 1× B
mv qB
Por inspección
3
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igual al producto qΔV , la que se convierte en
2 qv1 (By − Bx ) 2
− F1 =
energía cinética E K =
Bz = 0 →
→
masa de la carga y v la velocidad adquirida. De esto obtenemos la relación
→
F 2 = q v 2× B
qΔV =
F2 iˆ = qv 2 kˆ × (B x iˆ + B y ˆj ) F2 iˆ = qv 2 (B x ˆj − B y iˆ )
Bx = 0
mv = qB , de donde r qBr v= m
El campo magnético es
F2 y Bz = 0 qv2
El vector campo magnético
Igualando ambas expresiones para la velocidad:
⎛ F ⎞ B = (0 )iˆ + ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ ˆj + (0 )kˆ ⎝ qv2 ⎠ F = − 2 ˆj qv2 →
2qΔV qBr = m m Finalmente
q B2r 2 = m 2ΔV
b) Del resultado anterior se obtiene
2 qv1By y F2 = −qv2 By 2
Siendo las cantidades B, r y ΔV susceptibles
→
→
de medición se encuentra la relación
Siendo v 2 de la misma magnitud que v1 v2 = v1
F1 =
2qΔV m
Cuando este haz de electrones ingresa en un campo magnético perpendicular forma una trayectoria circular cumpliéndose la relación
F2 = −qv2 By
F1 = −
1 2 mv 2
y de aquí v =
Por inspección
Bx = 0 , By = −
1 2 mv , siendo m la 2
el electrón
q C = 1,76 × 1011 m s
2 F2 2
Ejemplo 3. Medida de la relación
q para m
También puede utilizarse los efectos de campos magnéticos y eléctricos en la misma región. Si los campos y la velocidad son mutuamente perpendiculares entre sí y además se ajustan las magnitudes de los campos de tal forma que qvB = qE ,
q para m
electrones (experimento de Thomson)
tendremos que v = La figura muestra el tubo de Thomson usado
E . Esta medición puede B
combinarse con las otras a fin de obtener el
q . para la medición para la medición de m
valor de
Los electrones proceden del cátodo C que c encuentra a una diferencia de potencial V con el ánodo A. Los electrones pasan a través de las rendijas A y B con una velocidad que se calcula de la siguiente manera: La carga q al moverse entra el cátodo y el ánodo que se encuentran a una diferencia de potencial ΔV gana una cantidad de energía
q . m
Ejemplo 4. En el cañón de electrones de un cinescopio de televisor los electrones (carga: e; masa: m) son acelerados por un voltaje V. Después de salir del cañón de electrones, el haz de electrones recorre una distancia D hasta la pantalla; en esta región hay un campo
4
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magnético transversal de magnitud B y ningún campo eléctrico, a) Demuestre que la desviación aproximada del haz debida a este campo magnético es
d=
BD 2 2
La deflexión es
d≈
D2B 2
q D2B = 2mV 2
e . 2mV
b) remplazando los datos
e 2mV
d=
b) Evalúe esta expresión con V = 750 V, D = 50 cm y B = 5,0 x l0-5 T (comparable al campo de la Tierra). ¿Es significativa esta desviación? Solución. a)
(0,50) 2 (5,0 × 10 −5 ) (1,6 × 10 −19 ) 2 2(9,11 × 10 −31 )(750)
= 0,067 m = 6,7 cm.
d ≈ 13% de D, cual es bastante significativa. Ejemplo 5. Cada uno de los puntos con letras de los vértices del cubo de la figura representa una carga positiva q que se desplaza con una velocidad de magnitud v en la dirección que se indica. La región de la figura se halla en un campo magnético B, paralelo al eje de las x y dirigido hacia la derecha. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza sobre cada carga y muestre la fuerza en su diagrama.
Para una partícula moviéndose en un campo magnético, R =
mv . qB
El movimiento es circular:
x2 + y 2 = R2 La partícula alcaza a la pantalla en el punto
Solución. Campo magnético del medio
x = D , y1 = R − D . 2
2
→
La trayectoria no reflectada llegaría en y2 = R . La desviación de la partícula es
B = Biˆ Punto a →
Velocidad va = vˆj Fuerza sobre la carga q
d = y2 − y1 = R − R 2 − D 2 = R − R 1−
D2 R2
→
→
Punto b
⎡ D2 ⎤ = R ⎢1 − 1 − 2 ⎥ R ⎥⎦ ⎣⎢
→
Velocidad vb = vkˆ Fuerza sobre la carga q
Sí
→
→
→
Fb = q vb × B = qvBkˆ × iˆ = qvBˆj
R >> D ⇒
Punto c
⎡ ⎛ 1 D 2 ⎞⎤ D 2 ⎟⎥ = . d ≈ R ⎢1 − ⎜⎜1 − 2 R 2 ⎟⎠⎦ 2 R ⎣ ⎝ Como
→
Fa = q va × B = qvBˆj × iˆ = − qvBkˆ
→
Velocidad vc = −viˆ Fuerza sobre la carga q
1 2 1 2mV . mv = qV , luego R = 2 B q
→
→
→
Fc = q vc × B = qvB(− iˆ ) × iˆ = 0 Punto d
5
Campo magnético
→
Velocidad vd =
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2 v (iˆ − kˆ ) 2
Fuerza sobre la carga q →
→
a=
Punto e
Fuerza sobre la carga q →
→
→
2 ( ˆj − kˆ )× iˆ 2
qvB m (1,6 × 10 −19 )(2,50 × 10 6 )(7,4 × 10 −2 ) = (9,11 × 10 −31 )
2 qvB( ˆj + kˆ ) 2
=−
qvB senφ m
La aceleración más pequeña posible es cero, cuando el movimiento es paralelo al campo magnético (φ = 0 ) . La aceleración es mayor cuando la velocidad y el campo magnético se encuentran en ángulo recto (φ = π 2 ) .
2 2 Velocidad ve = v( ˆj − kˆ ) = − qvBˆj 2 2 →
Fe = q ve × B = qvB
→
Su módulo es
2 (iˆ − kˆ )× iˆ Fd = q vd × B = qvB 2 →
→
q v× B a= m
→
a=
2
= 3,25 × 1016 m s .
qvB senφ ⇒ m
b) Siendo a =
ma qvB 1 Si a = (3,25 × 1016 ) = 0,81 × 1016 4
senφ =
La magnitud de cada una de las fuerzas es F0 = qvB, luego:
senφ =
2 F0 en la dirección − ˆj 2 Fe = F0 en la dirección − ( ˆj + kˆ )
Fd =
→
−2
6
→
(
)
partícula es F = F0 3iˆ + 4 ˆj , donde F0 es una constante positiva. a) Halle las componentes Bx, By y Bz, o al menos tantas de las tres componentes como sea posible a partir de la información dada. b) Si además se sabe que la magnitud del campo magnético es 6F0/qv, averigüe todo lo que pueda acerca de las componentes
Ejemplo 6. Un electrón se traslada a 2,50 x 106 m/s a través de una región en la que hay un campo magnético de dirección no especificada y cuya magnitud es de 7,40 x l0-2 T. a) ¿Cuáles son las magnitudes máxima y mínima posibles de la aceleración del electrón debida al campo magnético? b) Si la aceleración real del electrón es la cuarta parte de la magnitud máxima del inciso (a), ¿cuál es el ángulo entre la velocidad del electrón y el campo magnético? Solución. →
−19
16
Ejemplo 7. Una partícula con carga q > 0 se desplaza con rapidez v en la dirección + z a través de una región de campo magnético uniforme B. La fuerza magnética sobre la
0
Fc = 0
→
−31
⇒ sen φ = 0,25 ⇒ φ = 14,5 o.
Fa = F0 en la dirección − kˆ F = F en la dirección + ˆj b
(9,11× 10 )(0,81× 10 ) (1,6 × 10 )(2,50 × 10 )(7,4 × 10 )
→
restantes de B . a) →
→
→
F = q v× B iˆ ˆj kˆ iˆ ˆj kˆ = q vx v y vz = q 0 0 v
Bx B y Bz
→
a) Siendo F = m a = q v × B ⇒
6
Bx B y Bz
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= −qvB y iˆ + qvB x ˆj
iˆ ˆj kˆ iˆ ˆj kˆ = q vx v y vz = q vx v y vz
Pero →
F = 3F0 iˆ + 4 F0 ˆj
Bx B y Bz
[
Luego
]
0 Bz
= q (v y Bz )iˆ − (v x Bz ) ˆj ⇒
⇒ By = −
3F0 4 F0 , Bx = , qv qv
]
2
(v
1 2 y
2
+ vx
)⇒
1 2
v + vx 2 y
Reemplazando valores
1 − 1,25 0,120 1,05 × 10 6
q=
1
4 2 + (− 3)
2
= - 1,98 x 10-6C. b) La aceleración está dada por →
→
→
F q v× B a= = m m q = (v y B z )iˆ − (v x B z ) ˆj m
→
[
Ejemplo 8. Una partícula con carga negativa q y masa m = 2,58 x 10-15 kg viaja a través de una región que contiene un campo magnético
]
Reemplazando valores
→
uniforme B = - (0,120 T) kˆ . En un instante
→
a=
determinado la velocidad de la partícula es
v = (1,05 x l06 m/s) (− 3iˆ + 4 ˆj + 12kˆ ) y la
→
− 1,98 × 10 −6 (1,05 × 10 6 ) (−0,120) (4iˆ + 3 ˆj ) 2,58 × 10 −15
(
→
⇒ a = 9,67 × 1013 m/s 2 4iˆ + 3 ˆj
magnitud de la fuerza sobre la partícula es de 1,25 N. a) Halle la carga q.
)
c) El movimiento es helicoidal ya que la →
[
]
fuerza F = q (v y B z )iˆ − (v x B z ) ˆj está en el
→
plano xy pero la velocidad tiene una componente z. El radio de la parte circular del movimiento es:
b) Determine la aceleración a de la partícula. c) Explique por qué la trayectoria de la partícula es una hélice, y proporcione el radio de curvatura R de la componente circular de la trayectoria helicoidal. d) Obtenga la frecuencia de ciclotrón de la partícula. e) Aunque el movimiento helicoidal no es periódico en el sentido estricto de la palabra, las coordenadas x e y varían de manera periódica. Si las coordenadas de la partícula en t = 0 son (x, y, z) = (R, 0, 0), encuentre sus coordenadas en el tiempo t = 2 T, donde T es el periodo del movimiento en el plano xy. Solución. a) →
Bz
F Bz
q=
6 F0 2 2 2 b) B = = Bx + B y + Bz qv F 2 = 0 9 + 16 + B z qv F 2 = 0 25 + B z ⇒ qv 11F0 Bz = ± ⋅ qv
→ →
F2
q2 =
Bz es arbitrario.
→
[
F 2 = q 2 ( v y B z ) 2 − (v x B z ) 2 ⇒
3F0 = − qvB y y 4 F0 = qvBx
→
0
R=
mv qB
Con
v = v x2 + v y2 = 1,05 × 10 6
(− 3)2 + 4 2
= (1,05 x 106)5m/s Reemplazando valores
R=
(2,58 × 10 −15 ) (5) (1,05 × 10 6 ) (1,98 × 10 −6 ) (0,120)
= 0,057 m. d) La velocidad angular de la partícula en el ciclotrón es
→
ω=
F = q v× B F = q v× B
v 5,25 × 10 6 = = 92,11 x 106 rad/s R 0,057
La frecuencia es
7
Campo magnético
f =
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acelera desde el reposo por medio de una diferencia de potencial V. Luego el ión entra en una zona de campo magnético uniforme B perpendicular a su velocidad, por lo cual es desviado en una trayectoria semicircular de radio R1. Después de esta experiencia, un segundo ión e carga 2q y masa m2 se acelera a través de la misma diferencia de potencial V y se le desvía mediante el mismo campo magnético B dando Como resultado una trayectoria semicircular de radio R2 = 2 R1. ¿Cuál es la relación de las masas m1 y m2 de los iones? Solución.
ω 92,11 × 10 6 = = 14,67 x 106 Hz. 2π 2π
e) Después de dos ciclos completos, los valores de x e y vuelven a sus valores originales, x = R e y = 0, pero z ha cambiado.
z = 2Tv z =
2v z 2(12)(1,05 × 106 ) = 1,47 × 107 f
= 1,71 m. Ejemplo 9. El espectrómetro de masas. El espectrómetro de masas es un aparato que utiliza los principios anteriores para medir la masa de los isótopos. Mide la razón q/m de los iones, determinando la velocidad de estos y luego midiendo el radio de su órbita circular en el interior de un campo magnético uniforme
Para el ión 1:
1 m1v12 2 v12 qv1 B = m1 R1 qV =
En la figura se muestran los elementos de un espectrómetro, la sección entre A y C actúa como se-lector de velocidades y pasan por la ranura C solo las partículas con velocidad común v. Al salir de C estas partículas entran en una región en la que hay un campo magnético
1 m2 v 22 2 v2 qv 2 B = m2 2 2R1 2qV =
→
⎛ E E ⇒ R = m⎜⎜ B ⎝ qBB0
1 m1 v12 = 2 m2 v 22
(4)
(5)
Dividiendo (2): (4):
v1 m 2v 2 = 1 21 2v 2 m2 v 2 1 m v ⇒ = 1 1 4 m2 v 2
⎞ ⎟⎟ ⎠ →
Sendo conocido q, y pudiendo conocerse E , →
(3),
Dividiendo (1): (3):
2mv , por debajo e C qB0
Como v =
(2)
Para el ión 2:
constante B 0 perpendicular al plano de la figura, las partículas forman una trayectoria circular hasta que chocan con la pantalla o algún instrumento detector. La distancia a la que se detecta la partícula está dada por
2R =
(1),
Dividiendo (6)2: (5):
→
m12 v12 1 2 2 16 = m2 v 2 1 m1 v12 2 m2 v 22
B y B 0 , es posible determinar la nasa m con la medición de R. Ejemplo 10. Fuerzas sobre cargas eléctricas. Un ión de masa m1 con carga eléctrica q se
8
(6)
Campo magnético
⇒
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a) ¿Qué camino seguirán cuando se establece el campo magnético? b) ¿Cuánto se desviarán verticalmente al salir de la región? Razónese las respuestas Datos: masa del electrón 9.1 10-31 kg, carga 1,6 10-19 C. Solución. a)
m1 1 = m2 8
La relación de las masas m1 y m2 es 1/8. Ejemplo 11. ¿Es posible diseñar o plantear un campo magnético capaz de modificar la trayectoria y velocidad de una partícula cargada a nuestra conveniencia? ¿Cómo? o ¿por qué? Solución. Con campos eléctricos y campos magnéticos. Campos eléctricos Causa una fuerza sobre la partícula cargada →
→
F = qE Campos magnéticos. Causa una fuerza sobre la partícula cargada →
→
El haz de electrones acelerado por una diferencia de potencial de 300 V adquiere una velocidad que se obtiene por:
→
F = q v× B
1 2 1 2 mv f − mvi ⇒ 2 2 1 (1,6 × 10−19 )300 = 9,1 × 10− 31 v 2 ⇒ 2 m v = 1,03 × 107 s q.V =
Ejemplo 12. Se lanza una partícula se lanza horizontalmente con una velocidad de 104 m/s en tal dirección que se mueve perpendicularmente a un campo magnético horizontal, de magnitud 4,9 x 10-5 Wb.m2. La partícula, que lleva una sola carga electrónica, permanece en el mismo plano horizontal. ¿Cuál es su masa? Solución. Puesto que la partícula permanece en el mismo plano horizontal durante su movimiento, la fuerza magnética en ella debe equilibrar su peso. Puesto que el movimiento es perpendicular a la dirección de la inducción magnética, se deduce que
Cuando se establece el campo magnético: →
→
→
F B = q v × B , FB = qVBsen 90º Por la segunda ley de Newton:
ma c = FB ⇒ m r=
v2 = qVB ⇒ r
mv = 0,4 m qB
→ ⎛→ →⎞ − m g = q⎜ v × B ⎟ , y así mg = qvB y ⎝ ⎠ qvB m= . g
Reemplazando valores:
(1,6 × 10 )(10 )(4,9 × 10 ) m= −19
4
→
−5
9,8
= 8,0 x 10
-21
→
→
F B = q v × B , FB = qvBsen 90º Por la segunda ley de Newton: man = FB ,
kg.
v2 mv m = qvB ⇒ r = = 0,4 m qB r
Ejemplo 13. Un haz de electrones acelerado por una diferencia de potencial de 300 V, se introduce en una región donde hay un campo magnético uniforme perpendicular al plano del papel y hacia el lector de intensidad 1,46 10-4 T. La anchura de la región es de 2,5 cm. Si no hubiese campo magnético los electrones seguirían un camino rectilíneo.
b) Al salir de la región deja de actuar el campo magnético y el haz de electrones continúa con su última dirección.
9
Campo magnético
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las partículas que no son deflectectadas por este dispositivo.
0,025 , r d = r − r cos θ = 7,82 x 10-4m.
senθ =
Solución. La fuerza magnética qvB balancea la fuerza del campo eléctrico qE, tal que:
Ejemplo 14. En un tipo de espectrómetro las partículas cargadas pasan a través de un selector de velocidades antes de ingresar al campo magnético. En otras las partículas pasan a través de un campo eléctrico fuerte antes de ingresar al campo magnético. Compare el cociente de los radios de iones simples de litio cargados de masas 6 amu y 7 amu en los dos casos. Solución. En el campo magnético un ion se mueve en un círculo, la fuerza centrípeta necesaria es proporcionado por la fuerza magnética sobre
qvB = qE y v =
Ejemplo 16. Un electrón es acelerado por una diferencia de potencial de 300 V, entra en una región donde hay un campo eléctrico producido por las placas de un condensador de 40 cm de longitud y separadas 4 cm a las cuales se les aplica una diferencia de potencial de 100 V. a) Calcular el punto de impacto o la desviación del electrón a la salida de las placas. b) Ahora, aplicamos hay un campo magnético perpendicular al plano. Determinar la intensidad y el sentido (hacia dentro o hacia afuera) del campo magnético para que el electrón no se desvíe. c) Se suprime el campo eléctrico, determinar el radio de la órbita del electrón. Dibujar su trayectoria. ¿Chocará contra las placas? Razónese todas las respuestas haciendo los esquemas correspondientes.
v2 él. Así qvB = m . Cuando los iones han R pasado a través de un selector de la velocidad, ambos iones del litio tienen la misma velocidad en el campo. Además, tienen la misma carga y la misma densidad magnética del flujo. Luego R6/m6 = R7/m7.
∴
B . E
R6 m 6 6 = = = 0,857 . R7 m 7 7
Si los iones han pasado a través de un campo eléctrico fuerte, ambos han adquirido la misma energía. Pero, de la ecuación anterior,
1 2 q 2 B2r 2 mv = . 2 2m r2 r2 r m6 ∴ 6 = 7 o 6 = = 0,926 . m6 m7 r7 m7 tenemos
Datos: carga del electrón 1,6x10-19 C, masa 9,1x10-31 kg. Solución. a) Para calcular la velocidad del electrón. Por conservación de la energía
Ejemplo 15. Cierto tipo de selector de velocidades consiste en un par de las placas paralelas entre las cuales se establece un campo eléctrico E. Un haz de partículas de la masa m, carga q, y velocidad v es dirigido paralelamente a las placas en la región entre ellas. Se aplica un campo magnético B perpendicular a E y a v. en la figura B se dirige hacia el papel, según lo indicado. Determine una expresión para la velocidad de
qΔV =
1 2 1 2 mv 2 − mv1 , ΔV = 300 V , 2 2
v 2 = v0 ,
v1 = 0 1,6 × 10 −19 (300) =
10
1 9,1 × 10 −31 v02 2
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
⇒ v0 = 1,027 × 10 7
c) Cuando se suprime el campo eléctrico.
m s
La fuerza debido al campo eléctrico constante
FE = qE , E =
ΔV ' 100 N = 2500 = d 0,04 C
El movimiento del electrón en presencia del campo magnético es parabólico tal como el que se muestra en la figura siguiente:
Por la segunda ley de Newton
FB = ma N qE = qvBsen90º = m
v2 r
mv = 0,24 m qB Punto de impacto: 0,02 = 0,24 − 0,24 cos θ ⇒ 0,02 + 0,24 cos θ = 0,24 ⇒ θ = 23,6º x = 0,24senθ ⇒ x = 0,096 m ⇒ r=
Este movimiento esta dado por:
⎧a x = 0 ⎪ a ⎨ FE 2500 29 m ⎪a y = m = 9,1 × 10 −31 = 2,75 × 10 s 2 ⎩ ⎧ x = v0 t → → ⎧v = v ⎪ 0 x y r ⎨ v ⎨ 1 2 ⎩v y = a y t ⎪⎩ y = 2 a y t
→
Ejemplo 17. Se tiene un campo magnético uniforme tal como se muestra en la figura, una partícula de masa m y carga q ingresa perpendicularmente con velocidad v. ¿Cuál es la trayectoria cuando abandona el campo magnético?
Para x = 0,4 m ⇒ y = 0,033 m , impacta antes de salir El punto de impacto es cuando
y = 0,02 m ⇒ x = 0,098 m
b) Para que el electrón no se desvíe.
→
→
→
Solución. Al ingresar la partícula en el campo magnético esta toma una trayectoria circular cuyo radio es
→
F B = q v × B , F B es de signo contrario a →
→
R= →
v × B , ya que la carga es negativa. Luego B
mv qB
debe de ser perpendicular al plano del papel y hacia adentro.
Si el valor de R es menor que L las partícula sale en sentido contrario al que ingreso tal como se nuestra en la figura a continuación.
FE = FB , qE = qvBsen90º E ⇒ B = = 2,43 × 10 − 4 T v
Si el valor de R es mayor que L
11
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
el radio sigue siendo R =
mv qB
La ecuación de la trayectoria de la partícula es
x 2 + ( y − R) = R 2 2
la ecuación de la trayectoria de la partícula es
x + ( y − R) = R 2
2
El punto de salida es cuando x = L y corresponde a
2
L2 + ( y − R ) = R 2 ⇒ 2
El punto de salida es cuando x = L y corresponde a
( y = R + (R
( y = R + (R
2
) −L )
y − R = R 2 − L2 2
12
⇒
2
12
⇒
2 12
(
)
12
La salida es en x = L , y = R + R 2 − L2 Si la partícula ingresa por el punto de salida con igual velocidad, pero de sentido contrario
2 12
(
) −L )
y − R = R 2 − L2
L + ( y − R) = R ⇒ 2
2
)
12
La salida es en x = L , y = R + R 2 − L2 La inclinación está dada por el ángulo θ . Derivando con respecto a x la ecuación de la trayectoria:
mv qB
El radio sigue siendo R =
dy dy x =0 ⇒ =− dx dx y−x Esta pendiente corresponde a tan θ dy x tan θ = =− dx y−x 2 x + 2( y − R )
En el punto salida
tan θ = −
(R
L 2
− L2
)
La ecuación de la trayectoria de la partícula es
12
(x − L )2 + (y +
Ejemplo 18. Una partícula ingresa a una región de campo magnético y sale por un punto determinado. Si lanzamos la partícula al revés por el punto donde salió de la región del campo magnético, ¿pasará la partícula por el punto por donde ingresó? Solución. Al ingresar la partícula en el campo magnético esta toma una trayectoria circular cuyo radio es
R 2 − L2
) =R 2
2
El punto de salida es en x = o y corresponde a
(
L2 + y + R 2 − L2
(y +
R 2 − L2
) =R 2
) =R 2
2
2
− L2
y + R 2 − L2 = R 2 − L2 y=0 La partícula por el punto por donde ingresó. Ejemplo 19. ¿Un protón (masa 1,67 x 10-27 kg) se mueve a lo largo de un arco de radio 32 cm cuando se mueve perpendicular a un campo magnético de 1,4 T. ¿Cuál es la frecuencia del ciclotrón y la cantidad de movimiento del protón? Solución. La cantidad de movimiento: mv = qBr = (1,6 x 10-19C)(1,4T)(0,32m)
mv R= qB Si el valor de R es mayor que L las partícula sale tal como se nuestra en la figura a continuación Si el valor de R es mayor que L
12
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
= 7,17 x 1020kg.m/s La frecuencia:
fc =
(
)
a) Calcule el vector Fuerza Magnética que actúa sobre la partícula en el punto de ingreso a la región de campo magnético. b) Para el caso que las componentes iniciales v0 x , y v0 y , sean iguales y positivas. Trace
1 qB 1,6 × 10 −19 (1,4) = 21 MHz = 2π m 2π 1,67 × 10 − 27
(
)
(esquemáticamente) la trayectoria de la partícula en la región de campo magnético. ¿Cuál es el vector velocidad de la partícula al salir de la región de campo magnético? Solución.
Ejemplo 20. Un espectrómetro de masas es un instrumento usado para separar los iones de masas ligeramente diferentes. Éstos son a menudo isótopos de un elemento, ellos tienen características químicas muy similares. La construcción de un espectrómetro de masas se muestra en la figura. Los iones de carga + q y masa m se aceleran con una diferencia potencial V0. Los iones luego se mueven en un campo magnético perpendicular B, donde forman una trayectoria semicircular. Se detectan a una distancia d = 2r de la puerta de la entrada. Determine la masa del ion en términos de los parámetros conocidos.
→
→
→
(
)
a) F = q v × B = qB0 kˆ × v0 xiˆ + v0 y ˆj =
(
qB0 v0 x ˆj − v0 y iˆ
)
b) Al ingresar la carga en la región del campo magnético tiene una trayectoria circular sobre el plano xy, el radio está dado por
R=
v02x + v02y qB
El gráfico muestra el caso en que v0 x = v0 y
Solución.
1 2 mv 2 mv = qV0 y qvB = 2 r Resolviendo:
Se puede observar que a en la salida del campo el vector velocidad continuará con el sentido que tenía en ese instante (tangente a la trayectoria).
qr 2 2 m= B 2V0 B puede ser variado para hacer que diversas masas lleguen al detector. Solamente la componente de la velocidad perpendicular al campo magnético es cambiada por la fuerza magnética. Por lo tanto, una partícula que se mueve en ángulo con excepción de 90° al campo magnético se moverá en una trayectoria helicoidal.
→
v salida = −v0 xiˆ + v0 y ˆj
Ejemplo 22. Un selector de velocidades se puede construir usando el principio siguiente: Los iones de carga q y masa m mueven hacia arriba comenzando en el origen con la velocidad v 0 a un ángulo θ con el eje de z. Un campo magnético B se establece a lo largo del eje de z. Determine el primer punto donde los iones regresan al eje de z. Solución. Los iones se mueven en una trayectoria helicoidal y volverán al eje de z después de un período de la frecuencia del ciclotrón.
Ejemplo 21. Sea la región del espacio x ≥ 0 , en la cual existe un campo magnético →
uniforme B = B0 kˆ . Desde una posición
x < 0 se dispara una partícula de carga positiva q con una velocidad →
v = v0 xiˆ + v0 y ˆj .
13
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
Durante este tiempo viajarán una distancia z = v0 cosθ T a lo largo del eje z.
fc =
Ejemplo 26. Iones positivos, con carga simple se aceleran a través de una diferencia potencial y entran en un campo magnético uniforme normal a su línea de movimiento. ¿Si una diferencia potencial de 1000 voltios trae Li6 al detector, qué diferencia potencial haría que los iones Li7 atraviesen la misma trayectoria? Solución. En el campo magnético la fuerza que actúa en los iones provee la fuerza centrípeta necesaria para mantenerlos en una circunferencia. Por
2π mv0 cos θ 1 qB 1 = y z= 2π m T qB
Ejemplo 23. En una emulsión fotográfica el trazo de un protón que se mueve perpendicular a un campo magnético de 0,60 T se observa que es una circunferencia de radio 1,2 cm. ¿Cuál es la energía cinética del protón en electronvoltios? Solución.
r=
mv , qB
K=
1 2 1 r 2e2 B 2 mv = 2 2 m
( (
) )
1 (0,012 ) 1,6 × 10 −19 (0,60 ) = 2 1,67 × 10 − 27 2
2
mv 2 lo tanto = qvB . R qRB 1 2 q 2 R 2 B 2 ∴ v= o mv = m 2 2m Pero esta energía cinética es adquirida pasando a través de una diferencia de potencial V.
2
1 2 q2R2B2 qR 2 B 2 ∴ qV mv = oV = 2 2m 2m
3,97 × 10 −16 J = 2480 eV = 1,6 × 10 -19 J eV
Para ambos iones, q, R, y B son iguales. Por
Ejemplo 24. Un electrón se mueve con una de velocidad 3,2 x 105 m/s en la dirección positiva de x en presencia de un campo
lo tanto V1 =
V2 m1 ⇒ = V1 m 2 m ⎛6⎞ V2 = 1 V1 = ⎜ ⎟(1000 ) = 857 V. m2 ⎝7⎠
∴
→
magnético B = 0,1iˆ + 0,3 ˆj − 0,2kˆ (en teslas). ¿Qué fuerza experimenta el electrón? Solución. →
→
→
F = q v× B
[
(
= − (1,6 × 10 −19 ) (2 × 10 5 iˆ )× 0,1iˆ + 0,3 ˆj − 0,2kˆ
= 0,96 × 10 −14 kˆ − 0,64 × 10 −14 ˆj El módulo de la fuerza
)]
Ejemplo 27. La figura siguiente representa el dispositivo diseñado por Bainbridge para medir exactamente masas de isótopos. S es la fuente de iones cargados positivamente del elemento investigado. Todos los iones tienen la misma carga e pero tienen una gama de velocidades. A través de la región un campo
F = Fx2 + Fy2 = 1,1 × 10 −14 N Ejemplo 25. Un ión de litio cargado tiene una masa de 1,16 x 10-26 kg. Se acelera con un voltaje de 600 V y después entra en un campo magnético perpendicular a su velocidad de 0,60 T . ¿Cuál es el radio de la trayectoria del ion en el campo magnético?
1 2 mv , 2 mv 1 2mV r= = qB B q
→
magnético uniforme B dirigida ingresando perpendicularmente a la página. Además, un →
campo eléctrico E , dirigido paralelo al plano de la página, se instala entre los electrodos P y N. a) Demuestre que solamente los iones que velocidad y iguala E/B emergerán en C. b) Demuestre que la masa m de un ion es proporcional al radio R de su trayectoria semicircular.
Solución. qV =
=
(
k k y V2 = , m1 m2
)
1 2 1,16 × 10 −26 (600 ) = 0,016 m 0,60 1,6 × 10 −19
14
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
Solución. a) De acuerdo a la figura anterior los iones que viajan de S a C está sujetos a una fuerza →
→
eléctrica F e = q E y una fuerza magnética →
→
→
→
F m = q v × B . Aquí E se dirige hacia la →
→
derecha (de P a N) y v × B señala en la dirección opuesta y tiene una magnitud vB . Estas fuerzas se cancelan cuando qE = qvB
Solución. a) Durante la aceleración de los iones: La variación de energía cinética del ión es igual a la energía potencial adquirida:
E . B mv 2 eB eB 2 = evB ⇒ m = R= R b) De R v E
y v=
qV =
1 2 mv ⇒ v = 2
2qΔV (1) m
Al incidir el ión perpendicularmente al campo →
magnético B , describirá una órbita circular de radio R, definido por
Ejemplo 28. Espectrógrafo de masas. El espectrógrafo de masas se utiliza para medir masas de iones, o para separar iones de diferente masa. En cierto diseño de un instrumento de este tipo, se aceleran iones de masa m y carga q a través de una diferencia de potencial ΔV, los cuales entran después en un campo magnético uniforme perpendicular a su velocidad, y son desviados en una trayectoria circular de radio R. Un detector mide el punto donde los iones completan el semicírculo, y a partir de esto es fácil calcular R. a) Deduzca una ecuación para calcular la masa del ion a partir de mediciones de B, ΔV, R y q. b) ¿Qué diferencia de potencial se necesita para que los átomos de 12C monoionizados tengan un R = 50,0 cm en un campo magnético de 0,150 T? c) Suponga que el haz se compone de una mezcla de iones 12C y 14C. Si ΔV y B tienen los mismos valores que en el inciso (b), calcule la separación de estos dos isótopos en el detector. ¿Considera usted que esta separación entre los haces basta para distinguir los dos iones?
R=
mv qB
(2)
Reemplazando (1) en (2):
R=
m 2qΔV qB m
De aquí obtenemos m.
qB 2 R 2 m= 2ΔV b) La diferencia de potencial está dada por
ΔV =
qB 2 R 2 2m
Masa del 12 C m12 = (12)(1,66 x 10-27) = 19,92 x 10-27 kg R = 0,50 m B = 0,150 T q = 1,6 x 10-19 C Reemplazando valores
ΔV =
(1,60 × 10 )(0,150) (0,50) 2(19,92 × 10 ) −19
2
2
− 27
= 2,26 × 104 V c) Los iones son separados por las diferencias entre los diámetros de sus trayectorias.
15
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
observa que los isótopos llegan a las posiciones R1 e R2. a) ¿Qué velocidad tienen los isótopos al ingresar a la región de campo magnético? b) El isótopo con mayor masa m1, ¿Llega al punto y1 o al punto y2? c) Qué punto, ¿a o b?, se encuentra a mayor potencial eléctrico. d) ¿Cuál de las dos partículas tiene mayor energía cinética al salir de la región de campo magnético? e) Halle la distancia y1, en función de los datos del problema. Solución. a) Para encontrar la velocidad que tienen los isótopos al ingresar a la región de campo magnético La diferencia de potencial ΔV = Ed La energía cinética que adquieren
2Vm qB 2 ΔD = D14 − D12 D = 2R = 2
Diámetro de 12C
D12 = 2
2Vm12 qB 2
m12 = 19,92 x 10-27 kg
(
)(
2 2,28 × 104 19,92 × 10−27 D12 = 2 2 1,6 × 10−19 (0,150)
(
)
)
1 2 mv = qΔV = qEd 2
= 1,0046 m Diámetro de 14C
D14 = 2
Luego
2Vm14 qB 2 -27
m14 = = (14)(1,66 x 10 ) = 23,24 x 10
D14 = 2
(
)(
2 2,28 × 10 23,24 × 10 2 1,6 × 10−19 (0,150 ) 4
(
)
−27
-27
)
v=
kg
2qEd m
La velocidad de m1
v1 =
= 1,0851 m Luego ΔD = 1,0851 - 1,0046 = 0,0805 m La separación es 8,05 cm Fácilmente distinguible.
2qEd m1
La velocidad de m2
v2 =
2qEd m2
b) El punto de llegada depende del radio de la trayectoria del isótopo.
Ejemplo 29. Se ha construido un espectrómetro de masas, cuyo esquema se ve en la figura, y se va a usar para separar dos isótopos (partículas de igual carga y diferente masa) de un mismo átomo. Sean las masas de los isótopos: m1 y m2, donde m1 > m2. Las placas a y b están separadas una distancia d, y entre ellas hay un campo eléctrico uniforme E
Para encontrar el radio de la trayectoria Fm = Fc ⇒
v2 R mv m R= = qB qB
qvB = m Los isótopos pierden un electrón, y parten del reposo de la placa a. Al encender el equipo se
16
2qEd 2mEd = m qB 2
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
A mayor masa mayor radio, luego el isótopo de masa m1 llega y1. c) Por el sentido en que las cargas son desviadas en el campo magnético se llega a la conclusión de que las cargas son positivas. Luego a tiene mayor potencial que b. d) La energía del ión 1 es
a) ¿Cuál debe ser la relación entre los →
1 EK 1 = m1v12 = qΔV 2 La energía del ión 1 es
EK 2 =
→
módulos de E y B en la región I, de manera que sólo los átomos con velocidad exactamente igual a v0 sigan sin desviarse? Suponga que la masa de los átomos es m0 b) Si queremos que los átomos se detengan exactamente cuando lleguen a la placa cargada con σ , ¿cuál es el espesor de la región II? c) Considerando que el campo magnético de
1 m2v22 = qΔV 2
Los dos isótopos tienen la misma energía potencial, luego las dos partículas tienen igual energía cinética al salir de la región de campo magnético e)
→
la tierra B H , está también presente en ambas regiones, en la misma dirección en la que se mueven las partículas cargadas. ¿Influirá en la trayectoria de los átomos cargados? ¿Cómo? Solución. a) qv 0 B = qE ⇒ b)
E = v0 B
m v 2ε 1 σ m0 v02 = e ΔL ⇒ ΔL = 0 0 0 2 2ε 0 e
c) No, porque el campo magnético de la →
tierra B H , está en la misma dirección en la que se mueven las partículas cargadas Ejemplo 31. El elemento estaño se analiza en un espectrómetro de Bainbridge. Están presentes los isótopos de masas 116, 117, 118, 119, y 120 u. Los campos eléctricos y magnéticos E = 20 kV/m y B = 0,25 T. ¿Cuál es el espaciamiento entre las marcas producidas en la placa fotográfica por lo iones de estaño 116 y los iones de estaño 120? Solución. Del problema anterior, la distancia x del punto C a la imagen de un isótopo se da por
La distancia y1 es
y1 = f + g f = R − R cosθ = R(1 − cosθ ) g = s tan θ
tan θ =
L , R1 = R1
2m1Ed qB 2
2
R1 − L2 cosθ = R1 y1 = R(1 − cos θ ) + s tan θ
x = 2R =
2E m por lo tanto, eB 2
2E Δm = eB 2 2 2,0 × 10 4 (4u )⎛⎜1,66 × 10 −27 kg ⎞⎟ −19 u ⎠ 1,6 × 10 ⎝
Ejemplo 30. En un horno a altas temperaturas una muestra de sodio es calentada al punto de evaporarse, el gas de sodio resultante está formado por átomos que perdieron un electrón (carga del electrón, - e).
Δx =
(
(
) )
= 2,66 x 10-2mm.
17
Campo magnético
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velocidad. Si el medio período del campo eléctrico oscilante es igual a este tiempo, la partícula cargada será acelerada otra vez cuando cruce el espacio entre las Des nuevamente, debido a la dirección inversa del campo eléctrico. Así ganará energía. Esto hace que el semicírculo siguiente tenga un radio más grande, según como se muestra en la figura. El aumento de energía se puede repetir muchas veces.
Ejemplo 32. Una partícula con la carga q y masa m orbita alrededor perpendicular a un →
campo magnético uniforme B . Demostrar que su frecuencia del movimiento orbital es
BQ Hz. El hecho de que la frecuencia es 2π m independiente de la velocidad de la partícula es importante en los aceleradores de la partícula llamados ciclotrones; esta frecuencia se llama la frecuencia del ciclotrón Solución.
Ejemplo 34. Un ciclotrón tiene una frecuencia del oscilador de 11,4 MHz y un radio de 60 cm. a) ¿Qué intensidad de campo magnético se requiere para acelerar los protones de la masa 1,67 x 10-27 kg y carga 1,6 x 10-19 C, b) ¿Cuál es la energía final que adquieren? c) ¿Qué error se comete si se asume que la masa de los protones sigue siendo constante? Solución. a) La frecuencia angular de los protones en el
2π r v , tal que f = . El periodo es v 2π r mv 2 qB , tenemos f = . Usando qvB = r 2π m Ejemplo 33. Describa un ciclotrón y su operación.
ciclotrón es, ω =
∴ B=
Bq Bq o f = . m 2πm
(
)(
2π fm 2π 11,4 × 10 6 1,67 × 10 −27 = q 1,6 × 10 −19
)
= 0,748Wb/m2. b) La energía final de los protones es
Solución. Un ciclotrón es un dispositivo para acelerar partículas nucleares. El corazón del aparato consiste en una caja metálica partida fortín. La figura muestra las vistas lateral y superior de las mitades llamadas Des. Una diferencia potencial oscilante se aplica entre las Des. Esto produce un campo eléctrico oscilante en el espacio entre el Des, la región dentro de cada D que esencialmente está libre de campo eléctrico. Las Des se encierran en un envase evacuado, y la unidad entera se pone en un
(
)
1 2 q2B2R2 1,6 × 10 −19 (0,748) (0,6 ) mv = = 2 2m 2 1,67 × 10 − 27 = 0,154 x 10
-11
2
(
2
)
J=
−11
0,154 × 10 J 1,6 × 10 -13 J/MeV = 9,64 MeV. c) Desde E = mc2, esta energía es equivalente a un incremento de masa
→
Δm =
campo magnético uniforme B con dirección normal al plano de las Des. Una partícula cargada de la masa m y carga q en el espacio entre las Des es acelerada por el campo eléctrico hacia uno de ellos. Dentro de las Des, se mueve con velocidad constante en un semicírculo. Del problema anterior el período del movimiento circular uniforme es
0,154 × 10 −11 J = 0,017 x 10-27 kg. 9 × 1016 m 2 /s
Luego el error es
0,017 Δm × 100 = × 100 =1,02%. m 1,67
Ejemplo 35. Un ciclotrón está acelerando los deuterones los cuales son núcleos de hidrógeno pesado que llevan una carga + e y tienen una masa de 3,3 X 10-27 kg. a) ¿Cuál es la frecuencia requerida del campo eléctrico oscilante si B = 1,5 T. b) Si los deuterones deben adquirir el 15 meV de energía cinética y la diferencia de
1 2π m = . Para la mitad de un círculo f qB T πm t= = y es independiente de la 2 qB
T=
18
2
Campo magnético
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potencial a través de la separación es 50 kV, cuántas veces el deuterón experimenta la aceleración? Solución. a) El período de la oscilación del campo eléctrico debe igualar al período orbital, así que la frecuencia requerida de la oscilación es
es un límite superior para el radio orbital de una partícula acelerada). Resolviendo para
K max , encontramos que K max =
a) La energía cinética máxima se parte en dos:
( 1 qB 1,6 × 10 −19 )(1,5) f = = = = 11,6 T 2π m0 2π (3,3 × 10 − 27 )
⎡⎛ 1 ⎞2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ 2 ⎛1⎞ K max ( p ) = ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ K max (d ) = ⎜ ⎟ K max (d ) ⎢ ⎛1⎞ ⎥ ⎝2⎠ ⎢⎜ ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
MHz. b) El deuterón al cruzar la separación, gana 50 keV = 5 x 104eV. Para ganar un total de 15 meV = 15 x 106 eV, el deuterón debe experimentar (15 x 106)/(5 x 104) = 300 travesías de la separación.
(b) La energía cinética máxima se duplica:
⎤ ⎡ ⎢ 1 ⎥ ⎥ K max (d ) = 2 K max (d ) K max ( p ) = ⎢ ⎢⎛ 1 ⎞ ⎥ ⎢ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥ ⎦ ⎣
Ejemplo 36. Un ciclotrón se ha ajustado para acelerar deuterones. Debe ahora ser ajustado para acelerar, que tienen casi exactamente la mitad de la masa del deuterón. a) ¿Qué cambio debe ser realizado si no hay cambio en la frecuencia, de la diferencia potencial oscilante aplicada entre el Des? b) ¿Qué cambio debe ser realizado si cambio en campo magnético normal aplicado a las Des? Solución. a) La frecuencia angular del ciclotrón es
Ejemplo 38. En un experimento de resonancia de ciclotrón, el campo magnético se dirige hacia arriba. Los resultados indican que las partículas cargadas están circulando a la izquierda según la vista de arriba. ¿Cuál es el signo de la carga en las partículas? Solución. Negativo (la fuerza debe estar dirigida al centro del círculo).
qB , así tenemos: m mω B= q
ω=
FUERZA SOBRE UN ALAMBRE CON CORRIENTE. Cuando las cargas eléctricas se mueven en un conductor que esté en un campo magnético, existe una fuerza sobre el conductor que es la suma de las fuerzas magnéticas sobre las partículas cargadas en movimiento.
Desde el protón y el deuterón tienen la misma carga q p = qd y m p =
1 q2B2R2 . 2 m
1 md , el campo 2
magnético debe ser disminuido a la mitad. b) Referente a la ecuación B =
mω . Si B q
debe permanecer invariable, la frecuencia de la oscilación del campo debe ser duplicada.
La figura muestra un conductor de sección A por el que pasa una corriente I y se encuentra
Ejemplo 37. ¿Cómo cada uno de los cambios en el problema anterior altera la energía máxima que los protones pueden adquirir? Solución. Si se asume que la mecánica no relativista es aplicable a través del movimiento, la energía cinética máxima
K max =
→
en un campo magnético B , producido por fuentes magnéticas diferentes. Tomemos un elemento infinitesimal dl del alambre, consideremos que el flujo de corriente se debe a N portadores de carga por unidad de volumen, cada uno de los cuales se desplaza con velocidad v d en la dirección de la corriente, por consiguiente la carga total que
mv mnax 1 2 , donde mv max y qv nax B = R 2
R es el radio R del dispositivo. (la cantidad R
19
Campo magnético
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participa es ΔQ = qNAdl siendo q la carga de cada portador.
→
Donde d l = Rdφ (senφ iˆ − cos φ ˆj ) , →
→
B = − Bkˆ .
La fuerza d F sobre el elemento dl podemos expresarla como →
→
→
→
F 2 = I ∫ Rdφ (senφ iˆ − cos φ ˆj ) × (− Bkˆ ) = →
→
0
d F = (ΔQ ) v d × B = qNA v d × B
IRB ∫ (senφ ˆj + cos φ iˆ )dφ = IRB(2 ) ˆj = π
En esta expresión podemos hacer un
0
2 IRBˆj
→
intercambio entre dl y v d donde el sentido vectorial sin alterar la expresión o sea usar en →
La fuerza total es →
cambio d l y v d ( d l con el sentido de I). →
→
d F = qNAv d d l × B →
→
d F = I d l× B
Que es la expresión para calcular la fuerza magnética sobre un alambre con corriente. Para una longitud dada L, la fuerza es: →
→
→
Ejemplo 40. Balanza magnética. El circuito que se muestra en la figura sirve para construir una balanza magnética para pesar objetos. La masa m, que se van medir, se cuelga del centro de la barra, que está en un campo magnético uniforme de 1,50 T dirigido hacia el plano de la figura. Se puede ajustar el voltaje de la batería para modificar la corriente en el circuito. La barra horizontal mide 60,0cm de largo y es de un material sumamente ligero. Está conectada a la batería mediante unos alambres verticales finos incapaces de soportar una tensión apreciable; todo el peso de la masa suspendida m está sostenido por la fuerza magnética que se ejerce sobre la barra. Hay un resistencia R = 5,00 Ω en serie con la barra, la resistencia del resto del circuito es mucho menor que ésta. a) ¿Cuál punto a o b, debe ser el borne positivo de la batería? b) Si el voltaje máximo de bornes de la batería es de 175 V, ¿cuál es la mayor masa que puede medir el instrumento?
La corriente es I = qNAv d , por consiguiente →
→
F = F 1 + F 2 = IB(L + 2 R ) ˆj
→
→
π
→
F = I ∫ d l× B L
Ejemplo 39. ¿Cuál es la fuerza sobre el alambre mostrado en la figura siguiente?
Solución.
La figura consta de dos partes, la parte recta y la parte curva. La fuerza sobre la parte recta es →
L
→
→
F1 = I ∫ d l × B 0
→
Solución. a) La fuerza magnética de la barra debe ser hacia arriba de tal manera la corriente a través de ella debe ser hacia la derecha. Por lo tanto, a debe ser el terminal positivo. b) Para el equilibrio, FB = mg
→
Donde d l = dxiˆ , B = − Bkˆ
F 1 = I ∫ (dxiˆ ) × (− Bkˆ ) = I ∫ Bdxˆj = IBLˆj →
L
L
0
0
La fuerza sobre la parte curva es →
π
→
→
F2 = I∫ d l × B 0
20
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
F B = I L× B = ILiˆ × (− Bkˆ ) = ILBˆj →
→
→
→
→
L = Liˆ , B = − Bkˆ →
F B − mgˆj = 0 ILBˆj − mgˆj = 0 ILB ⇒ mg g
→
Φ = ∫ B ⋅ nˆdS = ∫ BdS cos 0º =
Tenemos B = 1,50 T, L = 0,60 m
I=
ε
R
=
∫
0
175 = 35,0 A 5,00
2 (0,1x )(0,1dx ) = 0,01 x 2
0 ,1
= 5 x 10-5Wb 0
b)
Luego
m=
0 ,1
(35,0)(0,600 )(1,50) = 3,21 kg. 9,80
Ejemplo 41. Una espira de alambre cuadrada de 10 cm de lado yace en el plano xy tal como se muestra en la figura. Se aplica un campo magnético paralelo al eje z, que varía a lo largo del eje x de la forma B = 0,1 x T (donde x se expresa en metros). a) Calcular el flujo del campo magnético que atraviesa la espira. b) La fuerza (módulo, dirección y sentido) sobre cada uno de los lados de la espira.
Lado AB: B = 0 ⇒ F = 0 Lado CD: B1 = 0,1(0,1) = 0,01 T
⇒ F1 = (10)(0,1)(0,01)sen90º = 0,01 N , en
el sentido negativo de x →
F 1 = −0,01iˆ Para los lados BC y AD las fuerzas son iguales y de sentidos opuestos, como B no es constante hay que calcular la fuerza sobre un elemento dx y luego por integración la fuerza total sobre el lado.
Solución. a)
Para el lado BC: dF = (10 )(dx )(0,1x )sen 90º = xdx
21
Campo magnético
F2 = ∫
0 ,1
0
x2 xdx = 2
Hugo Medina Guzmán
0 ,1
= 5 × 10 −3 N , fuerza 0
aplicada en el extremo C del lado BC. →
F 2 = −5 × 10 −3 ˆj Para el lado AD: Es igual a F2 , pero de sentido opuesto, aplicada en el extremo D de AD.
Del segundo diagrama, vemos en que las fuerzas que actúan sobre el alambre y los accesorios son tres: el peso que actúa verticalmente hacia abajo, la fuerza F, y N, la reacción normal. Puesto que el conjunto se mueve con velocidad uniforme, N = mg cos θ y F = mgsenθ .
→
F 3 = 5 × 10 −3 ˆj Ejemplo 42. Un príncipe científico ha encontrado un método de enviar mensajes secretos a una princesa hermosa que ese encuentra prisionera de un ogro travieso en el piso superior de su castillo a 15 m del suelo. El príncipe coloca dos barras ligeras del metal (demasiado ligeras para ser usadas para subir) contra el travesaño de la ventana, y entre las barras él monta un alambre 10 cm de largo, en el cual pone el mensaje y un imán, de tal manera que el alambre está permanentemente en un campo magnético de fuerza 0,049 Wb/m2, perpendicularmente al plano de las barras. Cuando él pasa una corriente de 10 A por una barra, a través del alambre que conecta y vuelve por la otra barra, el mensaje, el alambre y el imán viajan con velocidad uniforme hacia arriba de las barras. El conjunto móvil tiene una masa de 0,25 kg. Despreciando la fricción, calcule cual debe ser la longitud de las barras. Solución.
0,049 = 0,02 (0,25)(9,8) h Del diagrama, = 0,02 L h 15 Luego L = = = 750 m 0,02 0,02 ∴ senθ =
Llevar tales barras sería absolutamente una hazaña. ¡El Príncipe mejor haría en recurrir a los servicios de una buena bruja! Ejemplo 43. Un alambre que está a lo largo del eje de x lleva 2,0 A. La corriente fluye en la dirección positiva de x. Un campo magnético de 1,2 T paralelo al plano xy y que forma un ángulo de 30° con el eje de x (apuntando al primer cuadrante). ¿Cuál es la fuerza sobre un segmento de alambre de 0,40 m de longitud?
Solución.
Del primer diagrama, vemos que el campo magnético debe ser perpendicular al plano de las barras y debe actuar hacia abajo. La magnitud de la fuerza experimentada por el alambre y los accesorios es F = IlB = (0,1)(10 )(0,049 ) = 0,049 N
F = BIL senθ kˆ = (1,2 T)(2 A)(0,40 m) sen 30º kˆ = 0,48 kˆ N
Ejemplo 44. Cañón electromagnético de rieles. Una barra conductora de masa m y longitud L se desliza sobre rieles horizontales conectados a una fuente de voltaje. La fuente de voltaje mantiene una corriente constante I en los rieles y en la barra, y un campo
22
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
conductores horizontales paralelos separados una distancia L. Una fuente de poder hace circular una corriente I por los rieles y la barra A de la distancia para atravesar los carriles y la barra. Se mantiene un campo magnético vertical uniforme B. ¿Si la barra está inicialmente en reposo, cuál será la velocidad después de que haya movido una distancia x? Se ha sugerido que este dispositivo se podría utilizar para proyectar cargas útiles en órbita alrededor de la tierra, o transportar el mineral de la superficie de la luna a una fábrica en el espacio, o inducir reacciones de fusión nuclear con choques de alta velocidad. Solución.
magnético vertical uniforme y constante B llena la región comprendida entre los rieles. a) Proporcione la magnitud y dirección de la fuerza neta que actúa sobre la barra conductora. No tenga en cuenta ni la fricción, ni la resistencia del aire ni la resistencia eléctrica. b) Si la barra tiene una masa m, halle la distancia d que la barra debe recorrer a lo largo de los rieles a partir de una posición de reposo para alcanzar una rapidez v. c) Se ha sugerido que cañones de rieles basados en este principio podrían acelerar cargas hasta una órbita terrestre o más lejos aún. Halle la distancia que la barra debe recorrer a lo largo de los rieles para alcanzar la rapidez de escape de la Tierra (11,2 km/s). Sean B = 0,50T, I = 2.0 x l03 A, m = 25 kg y L = 50cm.
⎛F⎞ v 2 = v02 + 2ax = 0 + 2⎜ ⎟ x ⇒ ⎝m⎠ 2 Fx v= m Como F = BIL : 2 BILx v= m
Solución. →
→
→
Ejemplo 46. Un alambre recto que está a lo largo del eje de x y que lleva una corriente de 2,0 A en la dirección positiva de x. Un campo magnético uniforme de 0,08 T en el plano xy hace un ángulo de 60° con el alambre. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza magnética en un segmento del 1,5 m del alambre. Solución.
a) F = I L× B →
→
L = − Liˆ , B = Bkˆ →
F = I (− Liˆ ) × Bkˆ = ILBˆj
F = BILsenθ = (0,08)(2 )(1,5)sen60º
b) v 2 = v02 + 2ad
= 0,21 N en la dirección positiva de z.
Siendo v0 = 0 ⇒ v = 2ad ⇒ 2
Ejemplo 47. Un alambre que está en una superficie horizontal en el plano xy lleva 1,5 A. Un extremo del alambre está en el origen y el otro está en (3 m, 4 m). El alambre sigue una trayectoria errática a partir de un extremo al otro. Un campo magnético de 0,15 T dirigido verticalmente hacia abajo está presente. ¿Que fuerza magnética actúa en el alambre? Solución. Divida la trayectoria en pasos pequeños dx hacia la derecha y dy hacia arriba. La fuerza en cada segmento es
v2 v2m d= = . 2a 2 ILB c) Con v = 1,12 x 104 m/s, m = 25 kg, I = 2.0 x l03 A, L = 50 cm, B = 0,50T, obtenemos:
(1,12 × 10 4 ) 2 (25) d= 2(2000)(0,50)(0,50) =3,14 x 106 m La distancia que debe recorrer son 3140 km Ejemplo 45. Un riel electromagnético para lanzar puede ser construido como sigue: Una barra conductora de masa m sobre dos carriles
23
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
( )
→
= 0,88 N
d F = BIdxˆj + BIdy − iˆ . La fuerza total luego es: →
Ejemplo 50. Un alambre con masa por unidad de longitud 0,04 kg/m lleva 3 A horizontalmente al este. ¿Qué campo magnético mínimo se requiere para equilibrar este alambre contra la fuerza de la gravedad? Solución. F = BILsenθ = mg , m = λL ,
F = (0,15T )(1,5A )⎛⎜ ˆj ∫ dx − iˆ ∫ dy ⎞⎟ = 0 ⎝ 0 ⎠ 0,225 3 ˆj − 4iˆ 3
(
4
)
La magnitud de la fuerza es
F = (0,225) 3 2 + (− 4 ) = 1,13 N 2
Observe que no importa la trayectoria exacta del alambre, desde que el alambre zigzaguea hacia adelante y hacia atrás, las fuerzas se cancelan en las partes que retroceden. La fuerza total es justamente la qué resultaría si el alambre fuera en línea recta de (0, 0) a (3, 4).
B=
3
El lazo rotará en el sentido antihorario. Ejemplo 52. Un alambre de longitud L en forma de un lazo rectangular. ¿Lleva una corriente I. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para maximizar el torque en él cuando es colocado en un campo magnético? Solución. τ = mBsenθ , τ es máximo cuando m = IA es un máximo, es decir, cuando A es un máximo. Sea x = longitud de un lado
π
0
0
(0,04)(9,8) = 1,13 T
m = nIA = nIL2 τ = mBsenθ = nIL2 B cos φ ya que θ + φ = 90º
Fz = ∫ BIdl cos θ , donde dl = Rdθ π /2
IL
=
Ejemplo 51. Un lazo cuadrado de lado L y de n vueltas lleva una corriente I. Un lado del cuadrado está a lo largo del eje de z, y la corriente fluye hacia abajo en este lado. El resto del lazo está en el cuadrante xy positivo, y el plano del lazo hace un ángulo φ < 90° con el eje x. Un campo magnético B se dirige a lo largo del eje positivo de x. ¿Qué torque experimenta el lazo? ¿Cuándo es visto de arriba, en qué dirección el lazo tenderá para rotar? Solución.
Ejemplo 48. Un lazo circular de alambre de radio R lleva una corriente I. Un campo magnético uniforme B actúa perpendicularmente al plano del lazo. ¿Cuál es la tensión en el alambre? Solución. La fuerza en la mitad superior del lazo es equilibrada por la fuerza de la tensión en cada extremo del semicírculo. Usando la regla derecha, se ve que la fuerza magnética está dirigida radialmente hacia fuera. Por simetría la fuerza resultante en el lazo está dirigida en la dirección z, donde Fz = F cos θ .
Fz = 2 ∫
λLq
BIR cos θ dθ = 2 BIR(senθ )0
π /2
⎛L ⎞ − x⎟ , ⎝2 ⎠ dA L L ⎞ ⎛ = 0 = ⎜ − x⎟ − x ⇒ x = dx 4 ⎝2 ⎠
Luego A = ( x )⎜
= 2 BIR = 2T De aquí T = BIR Ejemplo 49. En un altoparlante un imán permanente crea un campo magnético de 0,12 T dirigido radialmente hacia fuera del eje de z. La bobina del altoparlante tiene 60 vueltas y un radio de 0,013 m y se coloca en el plano xy. ¿Qué fuerza actúa en la bobina cuando lleva una corriente de 1,5 A? Solución.
Un lazo cuadrado da el torque máximo. (Un lazo circular da aún más torque para una longitud dada de alambre.) Ejemplo 53. Un alambre aislado de masa m = 5,40 x l0-5 kg está doblado en forma de U invertida, de tal modo que la parte horizontal tiene una longitud l = 15,0 cm. Los extremos doblados del alambre están parcialmente
F = NBILsenθ = (60 )(0,12 )(1,5)(2π )(0,013)senθ
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Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
Aplicamos
inmersos en dos depósitos de mercurio, con 2,5 cm de cada extremo abajo de la superficie del mercurio. La estructura entera se halla en una región que contiene un campo magnético uniforme de 0,00650 T dirigido hacia la parte interna de la página. Se establece una conexión eléctrica entre los depósitos de mercurio a través de los extremos del alambre. Los depósitos de mercurio están conectados a una batería de 1,50 V y a un interruptor S. Cuando se cierra el interruptor S, el alambre salta 35,0 cm en el aire, medidos respecto a su posición original. a) Determine la rapidez v0 del alambre en el momento en que sale del mercurio. b) Suponiendo que la corriente I a través del alambre fue constante desde el momento en que se cerró el interruptor hasta que el alambre salió del mercurio, halle I. c) Sin tener en cuenta la resistencia del mercurio y de los alambres del circuito, determine la resistencia del alambre móvil
v 2 = v02 − 2 gh Siendo v = 0, tenemos:
0 = v02 − 2 gh ⇒ v0 = 2 gh Reemplazando valores
v0 = 2(9,8)(0,325) = 2,52 m/s La rapidez v0 del alambre en el momento en que sale del mercurio es 2,52 m/s. b) En el instante en que se cierra la llave S comienza a circular la corriente I por el alambre. El alambre con corriente I en presencia del campo magnético B produce una fuerza F sobre él.
F = Iliˆ × (− Bkˆ ) = ILBˆj La fuerza F es hacia →
Arriba. Esta fuerza actúa mientras circula la corriente I , esto es cuando el alambre sumergido en el mercurio (Δy = 0,025 m). En una distancia de 0,025 m la velocidad del alambre se incrementa de cero a v0 =2,52 m/s.
a=
v02 (2,52 ) 2 = = 127 m/s2. 2Δy 2(0,025)
El alambre tiene aceleración a mientras circula la corriente I. Solución. a) En el momento que sale el alambre ya ha recorrido la distancia de 2,5 cm, espacio en que esta dentro del mercurio y circula la corriente I produciendo una fuerza f hacia arriba. Durante ese espacio se acelera hasta llega ala velocidad vo, velocidad inicial del movimiento hacia arriba.
Aplicando la segunda ley de Newton
∑ F = ILB − mg = ma
⇒ I=
m( g + a ) LB
Reemplazando valores
I=
(5,40 × 10−5 )(127 + 9,8) (0,15) (0,00650)
=7,58 A c) Aplicando la ley de Ohm
V = IR ⇒ V 1,50 V = 0,20 Ω. R= = I 7,58 A
Se produce un movimiento hacia arriba con velocidad v0, bajo la acción de aceleración de la gravedad. El alambre sube la altura
Ejemplo 54. Suponga que el campo magnético sobre la tierra presenta un ligero cambio en su magnitud en función de la altura
h = 0,350 − 0,025 = 0,325 m
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Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
Las fuerzas sobre los lados verticales son iguales y de sentidos opuestos. Fuerza sobre el lado inferior
h al piso. Así el campo tiene la forma
⎛ h⎞ B = − B0 ⎜1 − ⎟kˆ , donde B0 y a son ⎝ a⎠ →
→
→
→
→
F1 = I 0 l × B1 , con l = liˆ y
constantes. Un estudiante decide sorprender a sus compañeros haciendo levitar una espira cuadrada de lado l y que lleva una corriente I0 . a) ¿Qué orientación del plano de la espira respecto del campo magnético, hará que la fuerza magnética resultante sea máxima y opuesta a su peso mg? Indique el sentido en la que deberá circular la corriente I0. Nota. Ignore los efectos del torque en la posición hallada. b) ¿Cuál es la magnitud de la corriente que puede suspender la espira en el aire? Suponga que el lado más cercano al piso de la espira se encuentra a una altura h0.
→ ⎛ h ⎞ B1 = − B0 ⎜1 − 0 ⎟kˆ a⎠ ⎝
Luego → ⎛ h ⎞ F1 = − I 0lB0 ⎜1 − 0 ⎟iˆ × kˆ a⎠ ⎝ ⎛ h ⎞ = I 0 lB0 ⎜1 − 0 ⎟ ˆj a⎠ ⎝ Fuerza sobre el lado superior
→
→
→
→
F2 = I 0 l × B2 , con l = −liˆ y → ⎛ h −l⎞ˆ B2 = − B0 ⎜1 + 0 ⎟k a ⎠ ⎝
Luego → ⎛ h − l ⎞ˆ ˆ F2 = I 0lB0 ⎜1 + 0 ⎟i × k a ⎠ ⎝ ⎛ h −l⎞ˆ = − I 0 lB0 ⎜1 + 0 ⎟j a ⎠ ⎝
Solución. a) El plano de la espira debe estar en posición vertical normal al campo magnético. La corriente I0 deberá circular en el sentido antihorario. La fuerza sobre el lado inferior es superior a la del lado superior de tal manera que la resultante es en el sentido positivo y la corriente I0 debe tener tal magnitud para compensar al peso mg de la espira.
La suma de las fuerzas → → ⎡⎛ h − l ⎞ ⎛ h − l ⎞⎤ ˆ F1 + F2 = I 0lB0 ⎢⎜1 + 0 ⎟ j ⎟ − I 0lB0 ⎜1 + 0 a ⎠ a ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎣⎝
=
I 0 l 2 B0 ˆj a →
El peso es P = − mgˆj Para la levitación
I 0l 2 B0 ∑ Fy = 0 ⇒ a − mg = 0 mga ⇒ I0 = 2 l B0 La magnitud del campo magnético terrestre en la superficie de la Tierra es de alrededor de 0,5 x 10-4 T, la constante a del orden de 1010 m Si la espira tiene un metro de lado, una masa de 0,1 kg, la corriente I0 debe ser del orden de 1014 amperes para sostener 0,1 kg. ¡Imposible por ahora!
b)
FUERZA Y TORQUE SOBRE UNA ESPIRA CON CORRIENTE Consideremos una espira rectangu1ar de lados a y b, situada en un campo magnético uniforme tal como se muestra en la figura siguiente.
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Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
El par viene a estar dado por →
→
→
τ = m× B Esta expresión deducida para una espira rectangular es válida para una espira de forma cualquiera. Ejemplo 55. Una bobina circular de alambre lleva 50 mA de corriente. La bobina tiene 50 vueltas y un área de 2,0 cm2. Un campo magnético de 0,300 T orientado paralelo al plano de la bobina está presente. ¿Qué torque actúa sobre la bobina? Solución. Cincuenta vueltas que llevan 50 mA son equivalentes a una vuelta que lleva (50)(50 mA), tal que τ = NIABsen θ = 50(2 x 10-4)(50 x 103 )(0,30)sen 90° = 1,5 x l04 N.m Si uno intenta rotar un dipolo magnético en un campo magnético, un torque − μBsenθ debe aplicarse. Así
Sobre los miembros verticales (lados de →
→
→
→
longitud b) actúan las fuerzas F 1 y F 2 que son iguales y opuestas cuyo efecto es tratar da abrir la espira o cerrarla en caso de invertir la corriente, nosotros consideramos una aspira rígida indeformable de tal manera que no causan efecto alguno. Sobre los miembros horizontales (lados de longitud a) actúan las fuerzas F 3 y F 4 , tal que F3 = F4 = IaB . Estas fuerzas son iguales en magnitud y opuestas en sentido, formando así un par de fuerzas de valor
θ
U − U 0 = − ∫ τBsenθdθ = θ0
τ = F3bsenθ = IaBbsenθ
− mB(cos θ − cos θ 0 ) . Elegimos U 0 tal que U = 0 cuando θ = 90º , luego
con ab = A (área de lo espira) podemos escribir
→ →
τ = IABsenθ
U = − μB cos θ = − m⋅ B , energía potencial
Se puede expresar vectorialmente con la siguiente relación de producto vectorial.
de un dipolo magnético.
→
Ejemplo 56. Un lazo rectangular rígido, que mide 0,30 m por 0,40 m, lleva una corriente de 2,0 A, como se muestra. Un campo magnético externo uniforme de la magnitud 1,2 T en la dirección negativa de x está presente. El segmento CD está en el plano xz y forma un ángulo 25° con el eje de z.
→
→
τ = I A× B →
El sentido de A se determina por la regla de la mano derecha, como de describe en la figura siguiente.
Al curvar los cuatro dedo de la mano derecha en la dirección de la corriente de la espira. El →
pulgar apunta en la dirección de A = Anˆ . De tal manera que →
→
τ = IAnˆ × B . →
Si llamamos momento magnético m a IAnˆ .
a) ¿Cuál es el valor de la componente y de la fuerza magnética en el segmento AB?
→
m = IAnˆ
27
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
b) Un torque externo se aplica al lazo y lo mantiene en equilibrio estático. ¿Cuál es la magnitud del torque externo? c) ¿Cuál es el flujo magnético a través del lazo debido al campo externo? Solución. →
→
→
a) F = I l × B = 2,0(− 0,3 cos 25º kˆ + 0,3sen 25º iˆ )× (− 1,2iˆ )
= + (7,2 )(0,91) ˆj = +0,65 ˆj F = + 0,65 N →
→
→
(
) (
b) F = I l × B = 2,0 0,4 ˆj × − 1,2iˆ
Solución. a) La fuerza sobre un lado está dada por →
)
→
→
F = I l× B
Con
= + 0,96kˆ Esta fuerza es producida en los dos lados largos produciendo un par de fuerzas o cupla, para mantener en equilibrio se debe aplicar un torque opuesto a este, cuya magnitud es: τ = (0,96)(0,3sen 25º ) = (0,288)(0,42) = 0,12 N m c) Φ = BA cos 25º = (1,2 )(0,4 × 0,3) cos 25º = 0,13 Wb
→
B = 3,00 ˆj T , I = 5,00 A Fuerza sobre el lado PQ →
l = 0,600 ˆj m →
F PQ = (5,00)0,600 ˆj × 3,00 ˆj = 0 Fuerza sobre el lado RP →
l = −0,800iˆ m
Ejemplo 57. La espira triangular de alambre que se muestra en la figura conduce una corriente I = 5,00 A en el sentido que se indica. La espira se encuentra en un campo magnético uniforme de magnitud B = 3,00 T. orientado en la misma dirección que la corriente en el lado PQ de la espira. a) Halle la fuerza que el campo magnético ejerce sobre cada lado diferente de cero, especifique su dirección. b) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la espira? c) La espira gira alrededor de un eje situado a lo largo del lado PR. Con base en las fuerzas calculadas en el inciso (a), calcule el momento de torsión sobre cada lado de la espira. d) ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión neto sobre la espira? Calcule el momento de torsión neto a partir de los momentos de torsión calculados en el inciso (c). ¿Coinciden estos resultados? e) ¿Está dirigido el momento de torsión de modo que hace girar el punto Q hacia el plano de la figura o hacia afuera de este plano?
→
F RP = (5,00)(− 0,800iˆ ) × 3,00 ˆj = −12,0kˆ N Fuerza sobre el lado QR →
l = (0,800iˆ − 0,600 ˆj ) m →
F QR = (5,00)(0,800iˆ − 0,600 ˆj ) × 3,00 ˆj = 12,0kˆ N b)
→
→
→
→
∑ F = F PQ + F RP + F QR = 0
La fuerza neta sobre la espira triangular de alambre es cero. →
→
→
c) τ = r × F Para calcular el torque sobre un alambre uniforme cabe suponer que la fuerza sobre el alambre se aplica en su centro. Torque debido a la parte PQ →
→
r = −0,3 ˆj , F = 0
→
τ QP = (− 0,3 ˆj ) × (0) = 0 Torque debido a la parte RP →
→
r = 0 , F = −12kˆ
τ RP = (0) × (− 12kˆ ) = 0 →
Torque debido a la parte QR
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Campo magnético
→
Hugo Medina Guzmán
Torque producido por el peso del alambre
→
r = 0,3 ˆj , F = 12kˆ
→
τ QR = 0,3 ˆj × 12kˆ = 3,6iˆ Torque neto →
→
→
→
τ = τ QP + τ RP + τ QR = 3,6iˆ Nm d) →
→
→
τ = I A× B . →
A=−
1 (0,6)(0,8)kˆ = −0,24kˆ m 2 2
⎛1 ⎝2
⎞ ˆj ⎟ × (− m1 gˆj ) ⎟ ⎠ l ⎛1 3 ⎞ ˆj ⎟ × (− 2m2 gˆj ) + 2 ⎜⎜ iˆ − 2 ⎟⎠ 2 ⎝2
→
τ = l 2 ⎜⎜ iˆ −
→
B = 3,00 ˆj T
τ = (5,00)(− 0,24kˆ )× 3,00 ˆj →
= 3,6iˆ Nm
3 2
1 = l 2 (m1 + m2 )gkˆ (1) 2
Este resultado concuerda con la parte (c). e) El punto Q será rotado fuera del plano de la figura.
Torque sobre una espira con corriente
Ejemplo 58. La espira rectangular de alambre que se muestra en la figura tiene una masa de 0,15 g por centímetro de longitud y gira en torno al lado ab sobre un eje sin fricción. La corriente en el alambre es de 8,2 A, en el sentido que se indica. Encuentre la magnitud y dirección del campo magnético paralelo al eje y que provocará que la espira se balancee hasta que su plano forme un ángulo de 30,0° con el plano yz.
→
→
→
τ = I A× B ⎛ 3 1 ⎞ A = l 1l 2 ⎜⎜ iˆ + ˆj ⎟⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 → ⎛ 3 1 ⎞ → τ = Il 1l 2 ⎜⎜ iˆ + ˆj ⎟⎟ × B 2 ⎠ ⎝ 2 →
Para que el torque sea en el sentido positivo de z. →
B = Bˆj ⎛ 3 1 iˆ + 2 ⎝ 2
→
τ = Il 1l 2 ⎜⎜
Solución. Datos.
m g 102 cm kg μ = = 0,15 × × 3 l cm m 10 g kg = 0,015 m l 1 = 0,06 m , l 2 = 0,08 m m1 = μl 1 , m2 = μl 2
=
3 Il 1l 2 Bkˆ 2
⎞ ˆj ⎟ × Bˆj ⎟ ⎠ (2)
Igualando (1) y (2):
1 3 l 2 (m1 + m2 )gkˆ = Il 1l 2 Bkˆ 2 2 (m + m2 )g B= 1 3Il 1
I = 8,2 A
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Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
⎛ l ⎞ 3g B = μ ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ l 1 ⎠ 3I ⎝ ⎛ 8 ⎞ 3g B = 1,5 × 10− 2 ⎜1 + ⎟ ⎝ 6 ⎠ 3(8,2 )
3 Il 1l 2 Bkˆ (2) 2 Igualando (1) y (2): 1 3 l 2 (m1 + m2 )gkˆ = Il 1l 2 Bkˆ 2 2 (m + m2 )g B= 1 3Il 1 =
= 0,0241 T Ejemplo 59. Una bobina circular radio 4 cm y 100 vueltas lleva una corriente de 1,2 A. En presencia de un campo magnético de 0,80 T, orientado perpendicularmente al plano de la bobina. ¿Cuánto trabajo es requerido para dar una vuelta de 180° a la bobina? Solución.
⎛ l ⎞ 3g B = μ ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ l 1 ⎠ 3I ⎝ ⎛ 8 ⎞ 3g B = 1,5 × 10− 2 ⎜1 + ⎟ ⎝ 6 ⎠ 3(8,2 ) = 0,0241 T
W = − μB(cos180° − cos 0°) = 2 μB = 2 NAIB
(
)
→
= 2(100) π 0,04 2 (1,2 )(0,8) = 0,97 J
⎛1 3 τ = l 2 ⎜⎜ iˆ − 2 ⎝2 l ⎛1 + 2 ⎜⎜ iˆ − 2 ⎝2 →
B = 0,0241 ˆj T Ejemplo 60. Bobina de voz. Se ha demostrado que la fuerza neta sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme es cero. La fuerza magnética sobre la bobina de voz de un altavoz es diferente de cero porque en la bobina el campo magnético no es uniforme.
⎞ ˆj ⎟ × (− m1 gˆj ) ⎟ ⎠ 3 ⎞ ˆj ⎟ × (− 2m2 gˆj ) 2 ⎟⎠
1 = l 2 (m1 + m2 )gkˆ (1) 2 Torque sobre una espira con corriente Cierta bobina de voz de un altavoz tiene 50 espiras de alambre y un diámetro de 1,56cm, y la corriente es 0,950 A. Suponga que el campo magnético en cada punto de la bobina tiene una magnitud constante de 0,220 T y está dirigido a un ángulo de 60° hacia afuera respecto a la normal al plano de la bobina. →
→
→
τ = I A× B ⎛ 3 1 ⎞ A = l 1l 2 ⎜⎜ iˆ + ˆj ⎟⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 → ⎛ 3 1 ⎞ → τ = Il 1l 2 ⎜⎜ iˆ + ˆj ⎟⎟ × B 2 ⎠ ⎝ 2 →
Para que el torque sea en el sentido positivo de z. →
B = Bˆj ⎛ 3 1 τ = Il 1l 2 ⎜⎜ iˆ + 2 ⎝ 2 →
El eje de la bobina está en la dirección z. La corriente en la bobina tiene el sentido que se indica (en sentido contrario a las manecillas
⎞ ˆj ⎟ × Bˆj ⎟ ⎠
30
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
del reloj visto desde un punto encima de la bobina sobre el eje z). Calcule la magnitud y dirección de la fuerza magnética neta sobre la bobina. Solución. Consideremos un elemento diferencial dl = R dθ, de una espira de la bobina.
=−
3 1 IBdlkˆ + IBdlrˆ 2 2
Comparando con →
d F = dFr rˆ + dFz kˆ Obtenemos 1 dFr = IBdl 2 Como dl = Rdθ ⇒ 1 dFr = IRBdθ y 2 3 dFz = − IBdl 2
El diferencial de fuerza magnética sobre dl esta dado por → ⎛ → →⎞ d F = d ⎜ Id l × B ⎟ ⎝ ⎠
Donde →
B = Br rˆ + Bz kˆ
La fuerza magnética sobre la espira es
Con
→
∫ d F = ∫ dF rˆ + ∫ dF kˆ
3 Br = Bsen 60º = B, 2 1 Bz = Bcos60º = B y 2 → B 3rˆ + kˆ B= 2
(
r
⇒
→
F = Fr rˆ + Fz kˆ Cálculo de la fuerza radial Fr. → 1 d F r = dFr rˆ = IBdlrˆ 2 En el gráfico descomponemos al vector unitario rˆ en sus componentes cartesianas iˆ y ˆj .
)
→
z
→
Reemplazando B en d F , tenemos: →
(
)
1 ⎡→ ⎤ IBd ⎢ l × 3rˆ + kˆ ⎥ 2 ⎣ ⎦ 1 = IBdl − 3kˆ + rˆ 2
dF =
(
rˆ = cos θ iˆ + senθ ˆj
)
→
→
Fr = ∫d Fr =
31
2π 1 IRB ∫ (cos θiˆ + senθˆj )dθ 0 2
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
1 1 2π 2π IRBiˆsenθ 0 − IRBˆj cosθ 0 = 0 2 2 Resultado esperado por la simetría diametral de los diferenciales de fuerza.
→
=
campo magnético externo B está dado por
τ = D (4iˆ − 3 ˆj ) , donde D es una constante →
positiva, y con esta orientación de la espira la → →
energía potencial U = μ ⋅ B es negativa. La magnitud del campo magnético es
Cálculo de la fuerza Fz.. 3 dFz = − IBdl 2 Integrando 2π 3 Fz = ∫ dFz = − IRB ∫ dθ 0 2
B0 = 13
D . IA
a) Determine el momento magnético vectorial de la espira de corriente. b) Proporcione las componentes Bx, By y Bz de
= − 3πIRB
→
B.
Luego
Solución. a) El momento magnético vectorial de la espira de corriente
→
F = Fr rˆ + Fz kˆ = (0)rˆ + − 3πIRBkˆ La fuerza sobre una espira es. →
F = − 3πIRB kˆ N La fuerza sobre la bobina formada por N espiras →
F bobina = − 3 NπIRB kˆ N Reemplazando valores
→
μ = IAnˆ = − IAkˆ
→
F bobina = 3π (50)(0,0156)(0,95)(0,22)kˆ N
Usando la regla de la mano derecha obtenemos el sentido. b)
= 0,44kˆ N 0,88 →
F = Fr rˆ + Fz kˆ = (0)rˆ + −0,44kˆ
iˆ τ = μ× B = 0 Bx
→
F = −0,444 kˆ N
→
→
→
kˆ − IA Bz
ˆj 0 By
= iˆ( IABy ) − ˆj ( IABx ) . →
Pero τ = 4 Diˆ − 3Dˆj Comparando, obtenemos
IABy = 4 D ⇒ Bx =
3D IA
y
− IABx = −3D ⇒ B y =
La fuerza magnética sobre la bobina tiene una magnitud de 0,44 N paralela al eje z con sentido negativo
4D . IA
Para encontrar Bz. 2
2
2
B0 = Bx + By + Bz = 13
Ejemplo 61. Una espira circular de área A yace en el plano xy. Vista a lo largo del eje z mirando en la dirección z hacia el origen, una corriente I circula en el sentido horario en torno a la espira. El torque que produce un
⇒
32
D 25D 2 2 + Bz = 13 2 2 I A IA
D IA
Campo magnético
⇒ Bz = ±12
Hugo Medina Guzmán
torque actúa en la bobina cuando lleva una corriente de 10-8 A? Solución. La magnitud del torque que actúa en una sola vuelta de la bobina es, τ = AIB cos α . Cuando la bobina tiene n vueltas,
D IA
→ →
Siendo U = μ ⋅ B
U = (− IAkˆ ) ⋅ (Bxiˆ + By ˆj + Bz kˆ ) − IABz
τ = nAIB cos α = (500)(0,02 × 0,01)(10 −8 )(0,05)(1)
Como la energía potencial es negativa, Bz debe ser positivo, luego
Bz =
12 D IA
= 5 x 10-11 N.m.
Ejemplo 63. La bobina de un galvanómetro tiene 150 vueltas de área media 1 cm2 y el par restaurador de la suspensión es 10-6 N.m por radián. La magnitud del campo magnético radial en la cual la bobina gira es 0,2 Wb/m2. ¿Qué desviación será producida cuando una corriente de 10 μ A atraviesa la bobina? Las placas de un condensador de 1 μ F se cargan a una diferencia potencial de 1 V y después se descargan a través de la bobina del galvanómetro, la desviación resultante que es 0,1 rad. ¿Cuál es el momento de la inercia de la bobina? Solución. La magnitud del torque que actúa en las 150 vueltas de la bobina debido al campo magnético es, τ = 150 AIB , el campo es radial. La bobina gira hasta que este torsión es balanceado por el torque restaurador de la suspensión κθ . Así en la posición del equilibrio κθ = 150 AIB o
Aplicación 1: El Galvanómetro de D’ansorval. Como ya vimos anteriormente el Galvanómetro consiste de un campo magnético producido por un imán permanente y una bobine de n espiras, la cual tiene libertad de rotar contra un torque restaurador de un espiral de suspensión. El torque de rotación es causado por la corriente I que fluye por la bobina y es justamente la que queremos medir.
El torque producido por el movimiento es τ = nIAB cos α , siendo α el ángulo rotado desde la posición cero de equilibrio. La rotación se detendrá cuando el torque restaurador producido por el resorte se iguala al torque magnético, para obtener la posición de equilibrio α con la corriente que pasa tenemos
θ=
150 AIB
κ
=
150(10 −4 )(10 −5 )(0,2) 10 −6
= 0,03 rad. Cuando se descarga el condensador, la carga que atraviesa la bobina del galvanómetro es Q = CV = 10 −6 (1) = 10-6 V Pero la carga y la desviación máxima resultante del galvanómetro están relacionadas por la ecuación
(
κα = nIAB cos α
Si el ángulo de deflexión es pequeño, cos α ≈ 1 , la deflexión α directamente proporcional a la corriente I .
)
⎛ κI ' ⎞ ⎟θ max , donde I’ es el momento de Q = ⎜⎜ ⎟ nAB ⎝ ⎠ inercia de la bobina. Así
Ejemplo 62. Una bobina de un galvanómetro tiene 500 vueltas de alambre enrollado alrededor de un marco de 2 cm de largo y 1 cm de ancho. La bobina rota en un campo magnético de 0,05 Wb/m2, siempre paralelo a su plano y perpendicular a su largo. ¿Qué
I'= =
33
n 2 A2 B 2Q 2 2 κθ max
(150)2 (10 −4 )2 (0,2)2 (10 −6 )2
(10 )(10 ) −6
−1 2
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
= 9 x 10-10kg.m2
asociada a él, los electrones se desplazan con su velocidad v d en una dirección opuesta al campo.
Aplicación 2: Motor de corriente Continua. Consideremos un motor a corriente continua muy simple como el motor en la figura siguiente.
Si se conecta un voltímetro transversalmente a la lámina, dará una lectura cero, ya que el campo eléctrico no tiene componente a lo largo de la dirección vertical. Ahora pongamos un campo magnético dirigido perpendicularmente fuera de la lámina como se muestra en la figura siguiente, la fuerza magnética sobre estas
El motor a corriente continua consiste en una armadura formada por varias vueltas de alambre, la cual se encuentra en un campo magnético B uniforme, los motores pequeños utilizan imanes pera producir este campo y los grandes tienen electroimanes para este fin. La armadura esta conectada al conmutador el cual es un anillo dividido. La finalidad del conmutador es invertir la corriente en la apropiada fase de rotación, tal que el torque sobre la armadura actúa en la misma dirección. La corriente es proporcionada por la batería a través de un par de resortes o escobillas que están en contacto con el conmutador, El torque del motor está dado por τ = NIABsenθ . Cuando θ = 0 , no fluye corriente por la armadura y es el instante justo en que se invierte la corriente, en el proceso momentáneamente no interviene la batería. Pero como el motor ya esta funcionando, la inercia rotacional hace pasar la armadura a través de la región de torque cero.
→
→
partículas estará en la dirección q v d × B (hacia abajo en la figura). Los electrones se moverán hacia abajo con trayectoria curva.
Como consecuencia de este movimiento las cargas negativas se apilan en el fondo y en compensación aparecen cargas positivas en la parte superior. Como se muestra en la figura siguiente.
EFECTO HALL Un caso de efecto que produce un campo magnético sobre una corriente es el fenómeno descubierto por E.H. Hall en 1879, conocido como Efecto Hall. Este efecto nos permite determinar el signo de la carga situada en el portador y el número de portadores de carga por unidad de volumen (n) del conductor. Para describir este fenómeno consideremos una lámina delgada de material conductor con sección A, ancho a y largo l . Conectamos una fuente de voltaje como se muestra en la figura a continuación, aparece
La apilación de cargas continuará hasta que la fuerza producida por el campo eléctrico transversal cancele la fuerza magnética, es decir →
→
→
q Et + q v d × B = 0 Tomando en cuenta los sentidos y cancelando q, obtenemos
→
Et = v d B
un campo E y una cierta corriente I
34
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
La existencia de E t queda evidente con el
n=
→
hecho de que ente la presencia de B
I nqA Reemplazando esta expresión de v d en E t : I = nqAv d , obtenemos: v d = ⎛ 1 ⎞ IB Et = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ nq ⎠ A Ejemplo 64. Una cinta de metal de 2 cm. de ancho y 0,1 cm. de espesor lleva una corriente de 20A y está situada en un campo magnético perpendicular al plano de la cinta de 2,0 T. La fuerza electromotriz Hall se mide y resulta 4,27 μV . Calcular: a) La velocidad de desplazamiento de los electrones en la cinta. b) El número de portadores de carga por unidad de volumen de la cinta. Solución. a) Como E t = v d B
Determine una expresión en términos de los parámetros dados para el voltaje Hall medido entre los puntos X e Y en el arreglo mostrado. Solución. La fuerza magnética desvía a los portadores hacia arriba de la muestra hasta que un campo eléctrico E aumenta lo suficiente hasta cancelarse por la fuerza magnética. Cuando sucede esto qE = qvB y el voltaje entre X e Y es V H = Ed = v d Bd . La corriente es
I = nAqv , donde A = ad y n es la densidad
Et V a = B B −6 Siendo V = 4,27 × 10 V , a = 2 × 10 −2 m , B = 2,0 T .
tenemos que, v d =
de del portadores. Luego:
VH I 1 IB = B ⇒ VH = d nAq nq a 1/nq es el coeficiente de Hall. Si los portadores son negativos, y la corriente es hacia la derecha, como en el dibujo, la velocidad del portador se dirige a la izquierda, y la fuerza magnética empuja otra vez los portadores hacia arriba. En este caso V H es
Reemplazando valores −6
4,27 × 10 = 1,06 × 10 −4 m/s −2 2 × 10 × 2
b) Como
I nqA
Tenemos que n =
)
Ejemplo 65. Los semiconductores tales como el silicio se pueden dopar con impurezas de modo que los portadores de la carga sean negativos (los electrones) o positivos (agujeros). Esta es una característica importante en la construcción de dispositivos como los transistores. En la figura se bosqueja una disposición para medir el efecto Hall. Tal medida puede determinar el signo y la densidad de los portadores y, cuando está calibrado, se puede utilizar para medir la fuerza de un campo magnético.
Como la corriente está dada por la expresión
vd =
)(
= 58,8 × 10 28 portadores / m3
⎛→ ⎞ ⎜ B ≠ 0 ⎟ , el voltímetro en la figura marca ⎝ ⎠ una lectura V . El valor de Et está dado por V Et = a
vd =
20 0,2 × 10 − 4 1,06 × 10 − 4
(1,602 × 10 )( −19
negativo, mientras que V H es positivo para los portadores positivos. Así la medida del coeficiente de Hall determina el signo de los portadores y su densidad ya que casi siempre q = e.
I qAv d
Siendo I = 20A , q = 1,602 × 10 −19 C ,
v d = 1,06 × 10 −4 m/s y
A = (2 × 10 −2 )(0,1 × 10 −2 ) = 0,2 × 10 −4 m 2
Ejemplo 66. En un experimento de efecto Hall una muestra de 12 mm de espesor se utiliza con un campo magnético de 1,6 T. Cuando pasa una corriente de 10 A a través de la muestra, se observa un voltaje Hall de
Reemplazando valores
35
Campo magnético
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muchos científicos trabajaron sobre este fenómeno. Jean Baptiste Biot y Félix Savart anunciaron los resultados de las mediciones de la fuerza que actúa la aguja magnética en la cercanía del alambre con corriente. André Marie Ampere amplió estos experimentos y demostró que los propios elementos de corriente experimentan una fuerza en presencia de un campo magnético, demostró que dos corrientes ejercen fuerzas entre sí.
0,080 V. ¿Cuál es la densidad del portador, asumiendo q = e? Solución.
VH =
IB 1 IB ⇒ n= nq a eVH a
Reemplazando valores:
n=
(10)(1,6)
(1,6 × 10 )(0,08 × 10 )(12 × 10 ) −19
−6
−3
= 1,04 x 1029 m-3
LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO Como vimos en nuestros estudios de la electrostática, la ley de Gauss y la existencia de una función de potencial determinan, en gran parte, todas las características esenciales del campo electrostático. Hay dos leyes análogas, denominadas ley de Gauss para el magnetismo y ley de Ampere que desempeñan el mismo papel para el campo B. La finalidad de esta sección y la que sigue es analizar esas dos descripciones muy importantes del campo de inducción magnética. Como se verá en el capítulo que sigue, la importancia de estas dos leyes se debe, en general, al hecho de que son básicas para las ecuaciones de Maxwell. De hecho, la ley de Gauss para el magnetismo es una de las cuatro relaciones básicas. Además, para cualquier distribución dada de corrientes, las leyes de Ampere y Gauss, cuando se toman juntas, constituyen una especificación completa del campo B en todas partes. Por tanto constituyen la generalización necesaria de la ley más restringida de Biot Savart, que se aplica sólo a los flujos de corriente en alambres delgados. Por analogía con la definición del flujo eléctrico, definimos el flujo magnético a través de una superficie S mediante
Ejemplo 67. Determinar la fuerza electromotriz Hall que se produce en una cinta de cobre (suponiendo para éste metal un electrón libre por átomo) de 0,2 cm de espesor, por la que circula una intensidad de corriente de 5 A, cuando se aplica un campo magnético uniforme de 1,5 T, perpendicular a la cinta. Densidad del cobre 8,95 g/cm3, masa atómica 63,5 g. Solución.
El número de electrones libres por unidad de volumen del cobre será. N =
Naρ Mm
La fuerza electromotriz Hall es:
ε = Ed = vBa
I I = Nqv ⇒ v = A NqA IaB De lo anterior: ε = NqA IBM m ε= = N A ρeh
Además J =
→
(5)(1,5)(63,5 × 10 −3 )
(6,02 × 10 )(8,985 × 10 )(1,6 × 10 )(2 × 10 ) 23
= 0,3 × 10
3
−6
−19
−3
V
LEY DE AMPERE, LEY DE BIOT Y SAVART Después de los experimentos de Oersted en 1820 que describen el movimiento de les agujas de una brújula por la acción de un alambre por el que circula corriente eléctrica,
Φ B = ∫ B ⋅ nˆ dS S
en donde dS es un elemento de área normal a →
S, B es el valor del campo magnético en ese punto y la integral es sobre la superficie de S. En función de esta cantidad, la ley de Gauss para el magnetismo establece que el flujo magnético de todas las superficies cerradas desaparece. Por ende →
∫ B ⋅ nˆdS = 0 , en donde dS es un elemento S
vectorial de área dirigido hacia el exterior a 36
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
En la práctica se adopta la regla de la mano derecha orientando el pulgar con la corriente y la punta de los dedos con el campo magnético como muestra la figura siguiente.
partir de la superficie cerrada S. La comparación con la ley de Gauss para el campo E,
Q
→
∫ E ⋅ nˆdS = ε S
, nos lleva a la
0
conclusión de que no hay análogo magnético para la carga eléctrica. Con frecuencia describimos esto, diciendo que no hay monopolos magnéticos. La validez de (25-11) se estableció mediante un gran número de experimentos y a pesar de las investigaciones continuas, nadie ha detectado todavía la presencia de un monopolo magnético Una de las consecuencias más importantes de la ecuación
Se observó experimentalmente que al alejarse del alambre el campo disminuía y al acercarse aumentaba. Asimismo, el campo aumentaba con el aumento de la intensidad de la
→
∫ B ⋅ nˆdS = 0 es la de que todas S
las líneas de campo B tienen que ser continuas. Por lo tanto, en general, es cierta la propiedad de las líneas de campo B, como se ilustra en la figura abajo, de que siempre se cierran sobre sí mismas.
I I o B = K , donde r r Tesla.m K es una constante igual a 2x10-7 Ampere corriente, es decir B ∝
en el sistema MKSC. También K =
μ0 , donde μ 0 es la constante 2π
de permeabilidad en el vacío tiene un valor de
μ 0 = 4π 10 −7 LEY DE AMPERE. Hans Oersted en 1820 descubrió experimentalmente que una corriente que circula en un alambre produce efectos magnéticos sobre una brújula situada a su alrededor.
Tesla.m Ampere
Finalmente B =
μ0 I 2πr
Esta expresión es conocida como la ley de Ampere. Debido a la dependencia radial de B y a que r es constante en la circunferencia, podemos expresarla en la siguiente forma →
→
∫ B ⋅ d l = μ0 I Esta expresión es válida en general para cualquier arreglo de conductores con corriente, para cualquier trayectoria cerrada de integración y para cualquier campo B, siempre y cuando éste no varíe con el tiempo. La corriente I es la corriente encerrada por la integral de línea. Se puede escribir en función de le densidad de corriente.
Al colocar varias brújulas en los alrededores del alambre estas se orientan tangencialmente a la circunferencia formada por la distancia radial al alambre, figura (a). Al invertir la corriente se orientan tangencialmente pero en sentido contrario, figura (b).
Como
→
∫ J ⋅ nˆdS ⇒ S
→
→
→
∫ B ⋅ d l = μ 0 ∫ J ⋅ nˆdS S
Donde la integral de superficie de la densidad de corriente corresponde al área encerrada por la integral de línea cerrada. La ley de Ampere tiene aplicación muy limitada ya que solo puede evaluar problemas que tienen simetría. 37
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
b) Campo magnético: para r < R :
Ejemplo 68. Una corriente I fluye por un alambre infinitamente largo, el cual pasa por el origen O(0, 0, 0) perpendicularmente al plano xy.
∫
→
→
→
→
∫ B ⋅ d l = μ ∫ J ⋅ nˆdS 0
S
Como la corriente I es uniforme → I I ; J= nˆ 2 πR π R2 I B 2π r = μ 0 π r2 2 πR μ 0 Ir B= 2π R 2 c) Para r = R μ I B= 0 2π R
J=
→
a) Halle el valor de la integral B • d l a lo largo de la circunferencia C1 y el cuadrado C2. b) ¿Cuál sería el valor de dicha integral a lo largo de la circunferencia C1 y el cuadrado C2 si el alambre pasa por el punto (-3a/2, 0, 0).
d) El gráfico de B versus r es
Solución. a) Aplicando la ley de ampere a la largo de C1 →
→
∫ B • d l = μ0 I Aplicando la ley de ampere a la largo de C2 →
→
∫ B • d l = μ0 I
Ejemplo 70. Un hilo rectilíneo conduce una corriente de 4 A, un cable cilíndrico de 3 cm de radio conduce la misma corriente, uniformemente distribuida, pero en sentido contrario. a) Determínese, aplicando la ley de Ampere, la expresión de campo magnético producido por cada una de las corrientes rectilíneas infinitas a una distancia r, de forma separada. b) Hallar el campo magnético (módulo, dirección y sentido), en los puntos (13 cm, 0), y en el punto (0 cm, 4 cm) producido por las dos corrientes. c) Por último, hallar la fuerza, (módulo, dirección y sentido) que ejerce el cable sobre la unidad de longitud del hilo rectilíneo.
b) Si el alambre pasa por el punto (-3a/2, 0, 0).
Aplicando la ley de ampere a la largo de C1 →
→
∫B•d l = 0 Aplicando la ley de ampere a la largo de C2 →
→
∫ B • d l = μ0 I Ejemplo 69. Se tiene un conductor cilíndrico largo y recto de radio R que lleva una corriente I uniformemente distribuida. Calcular el campo magnético para puntos dentro y fuera del alambre. Solución. a) Campo magnético para r > R . →
Solución. a) El campo magnético producido por el hilo rectilíneo
→
∫ B ⋅ d l = μ0 I B 2π r = μ 0 I ⇒ B =
μ0 I 2π r
38
Campo magnético
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El campo es perpendicular al plano formado por la corriente y el punto, su sentido está dado por la regla de la mano derecha. Se toma como camino cerrado una circunferencia concéntrica de radio r. Aplicando la ley de Ampere: →
→
∫ B ⋅ d l = μ0 I ,
→ 2μ 0 = 2 × 10 −5 T , B 1 = −2 × 10 −5 iˆ π 0,04 2μ 0 B2 = = 6,32 × 10 −6 T , 2 2 π 0,12 + 0,04
B es constante en todos los puntos de la circunferencia
∫ Bdl cosθ = B ∫ dl = B 2π r = μ
0
B1 =
I
μ 0 I 2μ 0 = 2π r π r
B=
→
B 2 = B2senθiˆ + B2 cosθˆj = 2 × 10−6 iˆ + 6 × 10−6 ˆj
El campo magnético producido por el cable cilíndrico.
→
→
→
B = B1 + B 2 = −1,8 × 10− 5 iˆ + 6 × 10− 6 ˆj T c) La fuerza, que ejerce el cable sobre la unidad de longitud del hilo rectilíneo. Para r < 0,03 m y la corriente está uniformemente distribuida I = 4
π r2
π (0,03)2
2μ 0 r r2 ⇒ B= 2 0,03 0,03 2 π Para r > 0,03 m I = 4 A μ I 2μ 0 B= 0 = 2π r π r B (2π r ) = μ 0 4
B2 = →
Ejemplo 71. Dos alambres paralelos al eje de las x rectos y largos, uno encima del otro, están separados por una distancia 2a. El eje y positivo está en el plano de los alambres en dirección del alambre inferior al alambre superior. Cada alambre transporta la corriente I en dirección x positiva. ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo magnético neto de los dos alambres en un punto situado en el plano de los alambres a) a medio camino entre ambos?, b) a una distancia a sobre del alambre superior?, e) a una distancia a debajo del alambre inferior? Solución.
2μ 0 = 0,62 × 10 −5 T , π 0,13
→
→
B 2 = −0,89 × 10 −5 ˆj →
→
cada metro de hilo.
B 1 = 0,62 × 10 −5 ˆj 2 μ 0 (0,01) B2 = = 0,89 × 10 −5 T , 2 π (0,03) →
→
F B = I L× B 2 , FB = (4 )(1)B2 sen90º = 2,7 × 10 −5 N en
b) Campo magnético resultante en el punto (13 cm, 0)
B1 =
2μ 0 = 0,67 × 10 −5 T π 0,12
→
→
B = B 1 + B 2 = −0,27 × 10 −5 ˆj T
a) B s = −
Campo magnético en el punto (0 cm, 4 cm).
39
μ0 I ˆ → μ0 I ˆ k y Bi = k 2πa 2πa
Campo magnético
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una. Un diagrama de sección transversal de estas líneas es un cuadrado de 20,0 cm por lado. Con respecto a cada caso que se muestra en la figura, calcule el campo magnético en el centro del cuadrado.
→
→
→
Solución. Como la corriente son iguales y la distancia al punto en el que se quiere conocer el campo también, la magnitud del campo magnético que produce cada uno de los alambres es igual a
B = B s + Bi → μI μI B = − 0 kˆ + 0 kˆ = 0 2πa 2πa → → μI μ0 I ˆ b) B s = 0 kˆ y B i = k 2π (3a ) 2πa
B0 =
μ0 I
(
2π a 2 2
)
=
μ0 I πa 2
Donde: I = 100 A, a = 0,2 m. Luego
B0 =
(4π × 10 )(100) = −7
π 0,2 2
a)
→
→
→
B = B s + Bi → μI μI 2μ I B = 0 kˆ + 0 kˆ = 0 kˆ 2πa 6πa 3πa → μ0 I ˆ → μI c) B s = − k y B i = − 0 kˆ 2πa 2π (3a )
2 B0 (− iˆ − ˆj ) 2 → 2 B2 = B0 (− iˆ + ˆj ) 2 → 2 B3 = B0 (iˆ + ˆj ) 2 → 2 B4 = B0 (iˆ − ˆj ) 2 →
B1 =
→
→
→
→
→
B = B1 + B 2 + B 3 + B 4 = 0 b) →
→
→
B = B s + Bi → μI μI 2μ I B = − 0 kˆ − 0 kˆ = − 0 kˆ 6πa 2πa 3πa Ejemplo 72. Cuatro líneas eléctricas paralelas y largas transportan corrientes de 100 A cada
40
2 × 10− 4 T
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
2 B0 (− iˆ − ˆj ) 2 → 2 B2 = B0 (iˆ − ˆj ) 2 → 2 B3 = B0 (iˆ + ˆj ) 2 → 2 B4 = B0 (− iˆ − ˆj ) 2 →
B1 =
→
→
→
→
→
B1 =
→
μ010 ˆ → μ 10 k , B 2 = 0 kˆ 2πy 2πx
B = B1 + B 2 + B 3 + B 4 = 0 c)
En los cuadrantes II y IV están en sentidos opuestos y se anularían cuando se cumpla la condición
2 B0 (− iˆ − ˆj ) 2 → 2 B2 = B0 (− iˆ + ˆj ) 2 → 2 B3 = B0 (− iˆ − ˆj ) 2 → 2 B4 = B0 (− iˆ + ˆj ) 2 →
B1 =
→
→
→
→
10 10 ⇒ y = −x . =− y x
→
B = B1 + B 2 + B 3 + B 4 = −2 2 B0iˆ Luego →
B = −2 2
(
)
2 × 10− 4 iˆ = −4 × 10− 4 T iˆ
La línea recta de pendiente - 1,00. b)
El campo magnético en el centro del cuadrado es 4,0 × 10 −4 T , a la izquierda. Ejemplo 73. Dos alambres rectos muy largos conducen corrientes, como se muestra en la figura. Con respecto a cada caso de la figura, halle todos los puntos donde el campo magnético neto es cero.
→
B1 =
Solución. a)
41
μ 10 μ0 3 ˆ → k , B 2 = − 0 kˆ 2πy 2πx
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
En los cuadrantes I y III están en sentidos opuestos y se anularían cuando se cumpla la condición
→
3 3 10 ⇒ y= x = 10 y x
Ejemplo 74. La figura muestra una vista de los extremos de dos alambres paralelos largos perpendiculares al plano xy, cada uno de los cuales conduce una corriente I, aunque en sentidos opuestos. a) Copie el diagrama y dibuje vectores que muestren el campo B de cada alambre y el campo neto B en el punto P. b) Deduzca la expresión de la magnitud de B en cualquier punto sobre el eje x en términos de la coordenada x del punto. ¿Cuál es la dirección de B? c) Grafique la magnitud de B en puntos sobre el eje de las x. d) ¿En qué valor de x alcanza un máximo la magnitud de B? e) ¿Cuál es la magnitud de B cuando x >> a?
La línea recta de pendiente 1/3. c)
→
B1 = −
→
de línea punteada, B1 y B2 están en direcciones opuestas. La línea recta de pendiente + 1,00
μ0 20 ˆ → μ 20 k , B 2 = 0 kˆ 2πy 2πx
Solución. a) En los cuadrantes I y III están en sentidos opuestos y se anularían cuando se cumpla la condición
20 20 ⇒ y = x. = y x
42
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
cuadrada, cada uno de los cuales conduce una corriente I, para formar una lámina infinita de corriente. Los conductores yacen en el plano xy, son paralelos al eje de las y y transportan corriente en la dirección + y. Hay n conductores por unidad de longitud medida a lo largo del eje de las x. a) ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo magnético a una distancia a abajo de la lámina de corriente? b) ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo magnético a una distancia a arriba de la lámina de corriente?
b) En una posición sobre el eje x: →
→
→
B = B1 + B 2 → μ0 I (senθiˆ + cosθˆj ) B1 = 2π x 2 + a 2 → μ0 I (senθiˆ − cosθˆj ) B2 = 2π x 2 + a 2 Sumando
μ0 I
→
B=
2π x 2 + a 2
Solución. a) Debajo de la hoja, todas las contribuciones de campo magnético de los diferentes alambres se suman para producir un campo magnético que apunta en la dirección x positiva. (Las componentes en la dirección y se cancelan.)
senθiˆ
Pero
senθ =
a x2 + a2
Luego →
B=2
μ0 I
2π x + a μ0 Ia iˆ = π (x 2 + a 2 ) 2
a 2
x + a2 2
iˆ
c) Usando la Ley de Ampere, →
→
μ0 I encerrada = ∫ B ⋅ d l I encerrada = nLI →
→
∫ B ⋅ d l = BL + BL = 2BL Luego
μ0 nLI = 2 BL ⇒ B=
d) El campo magnético es un máximo en el origen, x = 0. e) Cuando x >> a, →
B=
μ0 nI 2
Notar que no hay dependencia en a. b) A una distancia a debajo de la hoja el campo magnético también es:
μ0 Ia iˆ πx 2
B=
Ejemplo 75. Lámina infinita de corriente. Se disponen unos al lado de otros unos conductores rectos de sección transversal
43
μ0 nI , en la dirección negativa de x. 2
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
Ejemplo 76. La figura muestra una lámina plástica transparente que se utiliza para envolver carnes y embutidos en los supermercados. Cuando la lámina se mueve con rapidez v, se carga por frotamiento con densidad de carga σ constante. Podemos asumir que podemos despreciarlos efectos de borde. a) hallar la corriente por unidad de de longitud (ancho) de la lámina. b) Hallar el campo magnético para todo punto del espacio si suponemos que la lámina es muy grande.
→
→
∫B•a = μ I 0
Con
μ0 I = μ0σ a v →
→
∫ B • a = (Biˆ) • (aiˆ) + (− Biˆ) • (− aiˆ) = 2 Ba
Reemplazando 2 B = μ0σv ⇒
B=
μ0σv 2
Ejemplo 77. La figura muestra el corte transversal de un alambre muy largo (eje z) y de una tira metálica muy larga y delgada, paralela con el alambre. Por los conductores fluyen corrientes I iguales y opuestas. a) Copie el dibujo e indique los vectores
Solución. a) La figura muestra una porción de la lámina moviéndose con velocidad v.
→
Carga del sector l
q = σ al
→
figura. Halle el vector d F sobre una longitud L del alambre diferencial.
Tiempo en que pasa el sector l por un determinado punto
→
b) Halle la fuerza F L por unidad de longitud que la tira ejerce sobre el alambre situado en el eje z.
l t= v Corriente eléctrica creada
I=
→
campo magnético B y fuerza magnética d F sobre el alambre diferencial, ubicado a una altura y sobre la tira, tal como lo muestra la
q σ al = = σ av t lv
Corriente por unidad de de longitud (ancho) de la lámina.
I =σv a b) Para hallar el campo magnético para todo punto del espacio si la lámina es muy grande, el campo magnético es horizontal como se muestra en la figura y se puede calcular aplicando la ley de Ampere.
Solución.
44
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán →
a) indique los vectores campo magnético B y
=
→
fuerza magnética d F sobre el alambre diferencial,
μ0 I 2 LD a 2 1 2 ∫ − a 2 (y + D 2 ) dy 2πa a2
μ I 2 LD 1 y = 0 tan −1 2πa D D −a 2 μ 0 I 2 L −1 a tan πa 2D 2 y μ I L a2 Fy = ∫ dFy = 0 dy 2 ∫ 2πa − a 2 ( y + D 2 ) =
a2
=
μ0 I 2 L 1 ln ( y 2 + D 2 ) =0 2πa 2 −a 2
Luego
μ0 I 2 L −1 a F= tan πa 2D →
Por unidad de longitud →
F a μ I2 F L = − = − 0 tan −1 L πa 2D →
. El campo magnético debido al alambre en el punto (D, y):
μ0 I
→
B=
2π ( y + D 2 )
12
2
Ejemplo 78. La figura muestra dos alambres llevando corriente. La corriente en el anillo tiene un valor y dirección conocidos I 1 . Halle
(rˆ × kˆ )
el valor y dirección de la corriente I x en el alambre recto e infinito de manera que el campo en el centro del anillo sea nulo.
→
El vector d F sobre una longitud L del alambre diferencial →
d F = dFxiˆ + dFy ˆj Donde
dFx = dF cosθ , dFy = dFsenθ
Siendo
BLI 2 ⎛I⎞ dF = dI LB , dI = ⎜ ⎟dy = dy , a ⎝a⎠ y D senθ = y cosθ = 1 2 (y 2 + D 2 ) (y 2 + D 2 )1 2
Solución. El campo producido por el anillo es: →
B=
Obtenemos
→
Ba = −
μ 0 I1 ˆ k=− 2R
μ0 I x
2π (R + a )
Para esto el valor de I x = I 1
Finalmente
dF =
2R
Para que el campo en el centro del anillo sea nulo, el alambre debe producir un campo igual y de sentido opuesto
μ 0 I 2 LD 1 dFx = dy , 2 2πa ( y + D 2 ) y μ0 I 2 L dFy = dy 2 2πa ( y + D 2 ) →
μ 0 I1
μ0 I L 1 (Ddxiˆ + ydy ˆj ) 2 2πa ( y + D 2 ) 2
kˆ
π (R + a ) R
, con
sentido negativo de x.
b) Integrando
Ejemplo 79. Se tiene un cable coaxial, tal como se muestra en la figura. Calcular el campo magnético para todo punto.
Fx = ∫ dFx
45
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
Donde a es el radio del cilindro, r es la distancia radial respecto al eje del cilindro e I0 es una constante con unidades de amperes. a) Demuestre que I0 es la corriente total que pasa a través de toda la sección transversal del alambre. b) Con base en la ley de Ampere, deduzca una expresión de la magnitud del campo
Solución. a) Para r < R1 Resuelto en el problema anterior
B=
→
magnético B en la región r ≥ a . c) Obtenga una expresión de la corriente I contenida en una sección transversal circular de radio r ≤ a y centrada en el eje del cilindro. d) Con base en la ley de Ampere, deduzca una expresión de la magnitud del campo
μ 0 Ir 2π R12
b) Para r = R1
B=
μ0 I 2π R2
c) Para R2 > r > R1 →
→
∫ B ⋅ d l = μ0 I ⇒ B = c) Para r = R2
B=
→
magnético B en la región r ≤ a . ¿Cómo son comparativamente los resultados de los incisos (a) y (b) cuando r = a? Solución. a) La corriente que pasa por dA
μ0 I 2π r
μ0 I 2π R2
d) Para R3 > r > R2 → → → ⎛ ⎞ B d l μ I J ⋅ nˆ dS ⎟ ⇒ ⋅ = − ⎜ 0 ∫ ∫ S ⎝ ⎠ 2 2 ⎡ π (r − R2 ) ⎤ B 2π r = μ 0 ⎢ I − I⎥ ⇒ 2 2 ⎣ π (R3 − R2 ) ⎦ μ I ⎡ (r 2 − R22 ) ⎤ B = 0 ⎢1 − 2 ⎥ 2π r ⎣ (R3 − R22 )⎦
→
Con 2 2I 0 ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ ˆ J = 2 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ k y πa ⎣⎢ ⎝ a ⎠ ⎦⎥
→
e) Para r > R3
B=0
→
d A = 2πrdrkˆ
Ejemplo 80. Un cilindro sólido, recto y largo, orientado con su eje en la dirección z, conduce una corriente cuya densidad de
La corriente total que pasa a través de toda la sección transversal del alambre es →
corriente es J . La densidad de corriente, aunque es simétrica en torno al eje del cilindro, no es constante, sino que varia según la relación Para r ≤ a
2I ⎡ ⎛ r ⎞ J = 02 ⎢1 − ⎜ ⎟ πa ⎢⎣ ⎝ a ⎠ Para r ≥ a
2
→
I = ∫J ⋅d A
→
→
→
dI = J ⋅ d A
S
=∫
a
0
⎤ ⎥ kˆ ⎥⎦
=
2 2I0 ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ ˆ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ k ⋅ 2πrdrkˆ πa 2 ⎣⎢ ⎝ a ⎠ ⎦⎥
2I0 2π πa 2
⎛ r3 ⎞ ⎜ r − ∫0 ⎜⎝ a 2 ⎟⎟⎠ dr a
a
4I ⎛ r 2 r 4 ⎞ = 20 ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ a ⎝ 2 4a ⎠ 0
→
J =0
=
46
4I0 ⎛ a2 a4 ⎞ 4I0 ⎛ a2 ⎞ ⎜ − ⎟= ⎜ ⎟ a 2 ⎜⎝ 2 4a 2 ⎟⎠ a 2 ⎜⎝ 4 ⎟⎠
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
= I0 La corriente total que pasa a través de toda la sección transversal del alambre es I0. b) Aplicando la ley de Ampere para r ≥ a
⎛ a2 ⎞ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ = I 0 ⎝ 2a ⎠
a2 a2
I encerrada = 2 I 0
Igual que en c). Cuando r = a el campo magnético es
B=
a 2 ⎞ μ0 I 0 μ0 I 0 a ⎛ ⎜ ⎟= − 1 πa 2 ⎜⎝ 2a 2 ⎟⎠ 2πa
Igual que en d) Ejemplo 81. La figura muestra una sección de un alambre coaxial muy largo. Esta formado por un alambre interior de radio a y →
→
→
μ0 I 0 = ∫ B ⋅ d l = B 2πr ⇒ B=
con densidad de corriente J = −
μ0 I 0 . 2πr
además por un cascarón muy delgado de radio b llevando una corriente I en su superficie. Hallar a) La corriente neta en el alambre interior macizo. b) El campo magnético en el espacio entre a y b.
c) La corriente I contenida en una sección transversal circular de radio r ≤ a
→
I ˆ k,y 2πra
→
I encerrada = ∫ J ⋅ d A S
=
⎛ r ′2 ⎞ ∫0 ⎜⎜⎝1 − a 2 ⎟⎟⎠2πr ' dr '
2I0 πa 2
r
Solución.
∫
r
r2 a2
⎛ r2 ⎞ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ ⎝ 2a ⎠
∫
∫
r =0
(
I ˆ⎞ ⎛ k ⎟ ⋅ 2πrdrkˆ ⎜− ⎝ 2πra ⎠
r =a
I a dr = − I a ∫0
= −
→
⎛
→
r2 − a2 ⎞
⎟ b) B ⋅ d l = μ 0 I ⎜⎜1 − 2 2 ⎟ b a − ⎠ ⎝
→
⎛ r 2 − a2 ⎞ ⎟ ⇒ ⇒ B 2πr = μ 0 I ⎜⎜1 − 2 2 ⎟ ⎝ b −a ⎠ μ ⎛ r 2 − a2 ⎞ ⎟ , en el sentido B = 0 I ⎜⎜1 − 2 2πr ⎝ b − a 2 ⎟⎠
d) Campo magnético B en la región r ≤ a . Aplicando la ley de Ampere para r ≤ a
B 2πr = μ 0 I encerrada
⎛ r2 ⎞ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ ⎝ 2a ⎠ r2 ⎞ μ0 I 0 r ⎛ ⎜ ⎟ 1− B= πa 2 ⎜⎝ 2a 2 ⎟⎠ B 2πr = μ0 2 I 0
→
S
4 I ⎛ r ′ 2 r ′4 ⎞ ⎟ = 20 ⎜⎜ − a ⎝ 2 4a 2 ⎟⎠ 0 = 2I 0
→
a) I ' = J ⋅ d S =
r2 a2
horario. →
→
∫B⋅d l = μ B=
Cuando r = a la corriente encerrada es
47
0
I
r r ⇒ B 2πr = μ 0 I ⇒ a a
μ0 I , en el sentido horario. 2πa
)
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
μ0 ⎛ → → ⎞ → μ0 ˆ → ai × J ⎜ r − r'⎟ × J = 2π 2π ⎝ ⎠ μ μ = 0 aiˆ × Jkˆ = 0 aJ ˆj 2π 2π
Ejemplo 82. En el conductor cilíndrico hueco mostrado en la figura circula una corriente I uniforme hacia afuera. Calcular el campo magnético en la parte hueca.
=
Ejemplo 83. Un estudiante en un lugar donde la componente horizontal del campo magnético de la tierra es 1,7 x l0-7 Wb/m2, está realizando un experimento usando una brújula en un laboratorio que también tiene un experimento con un alambre vertical largo que lleva una corriente de 50 A. ¿Qué distancia los experimentos deben estar separados para que la aguja de la brújula sea afectada insignificante por el campo del alambre? Solución. La componente horizontal del campo magnético de la tierra es 1,7 x l0-5 Wb/m2. El efecto magnético debido al alambre vertical debe ser menor que 1/100 que esto para que su efecto sea insignificante a la exactitud de una aguja de brújula. Así si r es la distancia mínima por la cual los dos experimentos deben estar separados,
Solución. Estando la corriente distribuida uniformemente, la densidad de corriente es →
J=
I kˆ π R − R' 2
(
)
2
En la figura siguiente se muestra gráficamente el campo magnético en un punto P en la parte hueca.
→
B=
Cálculo de B 1 →
→
→
∫ B1 ⋅ d l = μ 0 ∫ J ⋅ nˆdS ⇒
⇒ r=
S
B1 2π r = μ 0 Jπ r 2 μ J B1 = 9 r 2π →
→
→
→
dirección del vector r × J como r y J son perpendiculares podemos escribir.
μ0 → → r× J 2π
→
B1 =
(2 × 10 )(50) = 58,8 m −7
1,7 × 10 −7
Ejemplo 84. Encontrar el campo magnético de un solenoide. Solenoide es un conductor enrollado en forma de hélice y se utiliza para producir un campo magnético interno y uniforme en una pequeña región. Solución. Si hacemos pasar corriente por una espira, ésta nos da un campo magnético como el mostrado en la figura siguiente.
La dirección del vector B 1 está en la →
μ0 I = 1,7 × 10− 7 Wb/m 2 2π r
→
Cálculo de B 2 Procediendo de igual manera →
B2 =
μ0 → → r '× J 2π →
Finalmente B es →
→
→
μ0 → → μ9 → → r× J − r '× J 2π 2π
Si juntamos varias espiras de un mismo radio, conectadas entre si, colocadas una a continuación de otras formando una bobina que tiene una longitud grande comparada con el radio de las espiras.
→
B = B1 − B 2 B=
48
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
Cuando circula corriente por el solenoide se produce la suma de los campos magnéticos de las espiras, tal como se muestra en la figura.
El campo magnético se refuerza en el interior del solenoide y se anula en la parte exterior. Así que podemos aplicar la ley de Ampere a lo largo de líneas cerradas a b c d mostrado a continuación.
Solución. Aplique la ley del amperio a una trayectoria circular dentro del toroide. Por simetría, B es tangencial a esta trayectoria y constante en magnitud a lo largo de la trayectoria, tal que →
→
∫ B ⋅ d l = B ∫ dl = 2πRB = μ 0 NI ⇒ B=
Si la trayectoria integral está fuera del toroide, la corriente que atraviesa el plano encerrado por la trayectoria es cero, así el campo fuera de un toroide ideal es cero.
Aplicando la ley de Ampere →
→
→
→
∫ B ⋅ d l = μ 0 ( Nl I ) ∫B⋅d l = ∫
b→
a
→
c→
→
d →
→
a→
∫
a
Ejemplo 86. Una hoja conductora infinita en plano del xz lleva una densidad de
→ el
B⋅d l + ∫ B⋅d l + ∫ B⋅d l + ∫ B⋅d l b
c
d
→
corriente uniforme (por unidad de ancho) J l en la dirección x. Determine el campo magnético fuera de la hoja.
La única parte que tiene valor es b→
μ 0 NI 2πR
→
B⋅d l = Bl
N es el número de espiras por unidad de longitud. La corriente total encerrada por la superficie es (NlI ) . De esta manera
Bl = μ 0 ( NlI )
Finalmente
B = μ 0 NI
Solución. Por medio de la regla de la mano derecha se
Ejemplo 85. El toroide. Determine el campo dentro de un toroide de N vueltas que llevan la corriente I. Un toroide es como un solenoide doblado en una forma de circunferencia.
→
ve que B está dirigido según se muestra en la →
figura. Por simetría, B es constante en →
→
magnitud. B y d l son perpendiculares a lo →
→
largo de la CA y de DE, tal que B⋅ d l = 0 allí. Aplicando la ley del Ampere →
→
∫ B ⋅ d l = 2BL = μ 0 J l L ⇒ B = μ 0
49
J 2
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
sentido de I 1 . Suponga que I 1 = I 2 = I .
FUERZA ENTRE DOS CONDUCTORES PARALELOS Anteriormente vimos que cuando un alambre de longitud l por el cual circula una corriente I se encuentra en un campo magnético sufre la →
→
Halle el vector de fuerza sobre el alambre I 3 . c) Suponga que cambia el sentido de I 2 ; es decir, I 2 = I . ¿Cómo cambia el vector de
→
fuerza sobre el alambre I 3 ? Justifique su respuesta.
acción de una fuerza F = I l × B . Si tenemos dos alambres rectos paralelos por los cuales circulan corrientes I 1 e I 2 respectivamente como se muestra en la figura, separados una distancia d .
Solución, a) Halle el vector de campo magnético en el punto P1 = (x; y; 0) debido a los dos alambres.
Debido a la corriente I 1 a la distancia d se forma un campo magnético B1 =
μ 0 I1 2πd
produciendo sobre el alambre por el que circula una fuerza F2 = I 2 lB1 (dirigida hacia el alambre 1). Reemplazando el valor de B1
F2 =
→
B1 =
(
B2 =
2
[
→
2
(x
→
y 2
+y
B = B1 + B2 =
Por supuesto se cumple el principio de acción y reacción.
2π x + y
→
→
[
F1 = − F 2
μ0 2
μ0
2π x 2 + y
Si las corrientes son en sentidos opuestos la fuerza entre los alambres es de repulsión. Ejemplo 87. Sean dos alambres rectos, muy largos, y paralelos entre sí, por los que pasa una corriente I 1 e I 2 en el mismo sentido.
[− cosθ iˆ − senθˆj ]
, cos θ =
)
2 12
(x
x
2
+ y2 )
12
]
2 12
]
(
)
(
⎡ I − yiˆ + xˆj I 2 − xiˆ + yˆj + ⎢ 1 2 2 12 ⎢⎣ x + y ( x − 2 a )2 + y 2
] [
2 12
⎡ xI1 +⎢ 2 2 ⎣⎢ x + y
[
]
2 12
→
μ II l F1 = 0 1 2 (dirigida hacia el alambre 2) 2πd
[
[− senθ iˆ + cos θ ˆj ]
2π ( x − 2a ) + y
senθ =
De igual modo encontramos el valor de F1 .
)
2 12
2π x + y μ0 I 2
→
μ 0 I1 I 2 l 2πd
μ 0 I1
]
[
)
]
12
⎤ ⎥ = ⎥⎦
⎧⎪⎡ − yI ⎤ − xI 2 1 + ⎥iˆ ⎨⎢ 2 1 2 1 2 2 (x − 2a )2 + y 2 ⎦⎥ ⎪⎩⎣⎢ x + y
12
[
+
[
]
yI 2
[(x − 2a)
2
+y
]
]
2 12
⎤ ⎫⎪ ⎥ ˆj ⎬ ⎦⎥ ⎪⎭
b) Se coloca un alambre recto de longitud L, paralelo a los alambres anteriores, cuyo centro coincide con el punto P2 = (a; a; 0), y por el que pasa una corriente I 3 en el mismo
Suponga que el alambre I 1 coincide con el eje z, el alambre I 2 pasa por el punto x = 2a, y que las corrientes tienen el sentido positivo de z. La figura anexa muestra un corte transversal de los alambres. a) Halle el vector de campo magnético en el punto P1 = (x; y; 0) debido a los dos alambres. b) Se coloca un alambre recto de longitud L, paralelo a los alambres anteriores, cuyo centro coincide con el punto P2 = (a; a; 0), y por el que pasa una corriente I 3 en el mismo
sentido de I 1 . Suponga que I 1 = I 2 = I . Halle el vector de fuerza sobre el alambre I 3 .
senθ = cos θ =
50
1 2
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
[
]
μ0 I − senθ iˆ + cos θ ˆj 2 2πa μ I = 0 − iˆ + ˆj 4πa → μ0 I − senθ iˆ − cos θ ˆj B2 = 2 2πa μ I = 0 − iˆ − ˆj 4πa → → → → μ I B = B1 + B2 ⇒ B = − 0 iˆ 2πa → I μ μ II ⎛ ⎞ F = I 3 kˆ × ⎜ − 0 iˆ ⎟ = − 0 3 ˆj 2πa ⎝ 2πa ⎠ →
B1 =
[
]
[
Solución. Corrientes en la misma dirección atraen y corrientes en direcciones opuestas repelen. Si los tres alambres llevan corrientes en la misma dirección ellos se atraen uno a otro.
]
[
]
No hay forma de tener todos los pares con corrientes opuestas, de tal manera no es posible tener a los tres alambres repeliéndose uno a otro.
c) Suponga que cambia el sentido de I 2 ; es decir, I 2 = − I . ¿Cómo cambia el vector de fuerza sobre el alambre I 3 ? Justifique su respuesta.
senθ = cos θ =
[
1 2
μ0 I − senθ iˆ + cos θ ˆj B1 = 2 2πa μ I = 0 − iˆ + ˆj 4πa → μ0 I B2 = cos θ iˆ + senθ ˆj 2 2πa μ I = 0 iˆ + ˆj 4πa → → → → μ I B = B1 + B2 ⇒ B = 0 ˆj 2πa → ⎛ μ I ⎞ μ II F = I 3 kˆ × ⎜ 0 ˆj ⎟ = 0 3 iˆ 2πa ⎝ 2πa ⎠ →
[
]
Solución. Sobre el alambre superior:
]
[
[
Ejemplo 89. Tres alambres paralelos transportan cada uno la corriente I en los sentidos que se indican en la figura. Si la separación entre alambres adyacentes es d calcule la magnitud y dirección de la fuerza magnética neta por unidad de longitud sobre cada alambre.
]
]
μ0 I ˆ → μI k , B 3 = 0 kˆ 2πd 4πd → → → μ0 I ˆ μ0 I ˆ μI B = B 2 + B3 = − k+ k = − 0 kˆ 2πd 4πd 4πd →
B2 = −
→
→
→
F = I L× B 2 → ⎛ μI ⎞ μI Lˆ F = ILiˆ × ⎜ − 0 kˆ ⎟ = 0 k 4πd ⎝ 4πd ⎠ F μ0 I 2 = , hacia arriba. L 4πd
Ejemplo 88. Tres alambres paralelos e infinitos se colocan de manera que pasan por los vértices de un triángulo equilátero. ¿Es posible que los tres se repelan o los tres se atraigan simultáneamente? ¿Por qué?
Sobre el alambre del medio
51
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
conductores sean tan largos, la fuerza resultante es lo suficientemente grande como para medirse con exactitud.
→
B1 = − →
LEY DE BIOT Y SAVART Hasta aquí solo hemos tratado con casos simétricos. Pero en general no es así y se presenta el problema de los casos carentes de simetría y esto lo veremos a continuación. En la figura siguiente se muestran dos circuitos completos
μ0 I ˆ → μI k , B 3 = 0 kˆ 2πd 2πd
→
→
B = B1 + B 3 = 0 →
→
→
F = I L× B
→ ⎛ μI ⎞ F = I (− Liˆ ) × ⎜ − 0 kˆ ⎟ = 0 ⎝ 4πd ⎠
Los campos magnéticos se cancelan tal que la fuerza es cero. Sobre el alambre inferior: Ampere encontró experimentalmente la →
relación que nos da la fuerza F 2 ejercida sobre el circuito 2 debido a la influencia del circuito 1, esta relación expresada en un lenguaje de matemática moderna es → μI μI B1 = − 0 kˆ , B 2 = 0 kˆ 4πd 4πd → → → μ0 I ˆ μ0 I ˆ μ0 I ˆ B = B1 + B 2 = − k+ k= k 4πd 2πd 4πd
→
→
→
→
F2 =
μ0 I1 I 2 ∫ ∫ 1 2 4π
→ ⎡ → ⎛ → → ⎞⎤ d l 2 × ⎢d l 1 × ⎜ r 2 − r 1 ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣ →
→
3
r 2− r1
A pesar de la aparente falta de simetría se puede demostrar por medio del análisis vectorial que esta ecuación es simétrica, esto
→
F = I L× B → μ I 2L ˆ ⎛μI ⎞ F = ILiˆ × ⎜ 0 kˆ ⎟ = − 0 k 4πd ⎝ 4πd ⎠ F μ0 I 2 =− , hacia abajo. L 4πd
→
→
es F 2 = − F 1 , cumpliéndose así la tercera ley de Newton. Sabemos que →
→
→
→
→
→
d F = Id l × B , F = ∫ Id l × B c
Esto implica que
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA (AMPERE) Anteriormente dejamos pendiente la definición de Ampere, la cual podemos hacerla ya en esta parte: Si por dos conductores paralelos muy largos situados a la distancia de 1 metro entre sí, se hacen circular corrientes iguales que causen una fuerza por unidad de longitud sobre cada conductor de 2x10-7 N/m. La corriente en cada uno de ellos es igual a un Ampere. En la práctica se escogen separaciones muy próximas y no es necesario que los
→
B (r2 ) =
μ0 I1 4π ∫1
→ ⎛→ → ⎞ d l 1× ⎜ r 2 − r 1 ⎟ ⎠ ⎝ →
→
3
r 2− r1
y su forma diferencial →
d B (r2 )
52
→ ⎛→ → ⎞ d l 1× ⎜ r 2 − r 1 ⎟ μ ⎠ ⎝ = 0 I1 3 → → 4π r 2− r1
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
Expresión conocida como ley de Biot y Savart, análoga a la ley de Coulomb. La causa del campo magnético es el elemento de corriente dl , del mismo modo que la carga q es la causa del campo eléctrico, el campo magnético al igual que el campo eléctrico disminuye proporcionalmente a la inversa del cuadrado de la distancia. Mientras el campo electrostático señala en dirección radial el campo magnético es perpendicular tanto a la dirección radial como a la dirección del elemento de corriente dl .
de la ley de Coulomb usando la teoría de la relatividad especial. Ejemplo 90. Campo magnético producido por un segmento de recta.
Otra demostración. Considere una corriente I que fluye en un alambre. Rompa el alambre en pequeños pedazos de la longitud ds. El campo magnético debido a este pequeño pedazo de corriente se encuentra experimentadme que es.
Solución. Se quiere encontrar el campo magnético con el punto P, producido por el segmento mostrado en la figura siguiente.
→
μ Id l × rˆ μ Idlsenθ o dB = 0 dB= 0 2 4π r 4π r2 →
Ésta es la ley de Biot y Savart. Aquí r es la distancia del elemento actual I ds en el punto P del campo donde deseamos encontrar el campo magnético B. rˆ es un vector unitario →
apuntando a lo largo de r . μ 0 es una constante de la naturaleza, es la permeabilidad del espacio libre. Recuerde para determinar la dirección de
En este caso → ⎛→ → ⎞ l d 1× ⎜ r 2 − r 1 ⎟ → b+ L μ ⎠ ⎝ B = 0 I1 ∫ 3 b → → 4π r 2− r1
→
d l × rˆ usar la regla de la mano derecha, →
señale sus dedos a lo largo de d l , y gírelos hacia rˆ . EL pulgar derecho apuntará a lo
→
→
largo de d B .
→
→
→
r 2 = akˆ , r 2 − r 1 = akˆ − yˆj y →
→
(
r 2 − r 1 = a2 + y2
Para encontrar el campo magnético total debido a un conductor, sumamos las contribuciones de cada elemento de corriente integrando sobre el conductor entero. Así
)
12
(
)
B=
μ 0 b + L dyˆj × akˆ − yˆj I 4π ∫b (a 2 + y 2 )3 2
=
μ 0 b+ L ady I∫ iˆ b 2 4π (a + y 2 )3 2
→
Integrando
μ Ia ⎡ y B= 0 ⎢ 4π ⎢ a 2 a 2 + y 2 ⎣ →
→
μ I d l × rˆ B= 0 ∫ 4π r2 →
→
Aquí: I 1 = I , d l 1 = dyˆj , r 1 = yˆj ,
La ley de Biot y Savart fue descubierta experimentalmente, pero puede ser derivada
53
b+ L
⎤ ⎥ iˆ ⎥⎦ b
Campo magnético
→
B=
Hugo Medina Guzmán
μ0 I ⎡ b+L b ⎢ − 2 2 4πa ⎢ a 2 + (b + L ) a + b2 ⎣
⎤ ⎥iˆ ⎥⎦
En el caso de tratarse de una recta infinita los límites serían de − ∞ a ∞ .
μ Ia ⎡ y B= 0 ⎢ 4π ⎢ a 2 a 2 + y 2 ⎣ →
μ I⎡ y = 0 ⎢ 2πa ⎢ a 2 + y 2 ⎣
∞
⎤ ⎥ iˆ ⎥⎦ −∞
∞
⎤ ⎥ iˆ ⎥⎦ 0 ∞
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ μ0 I ⎢ 1 ⎥ ˆ = ⎥ i 2πa ⎢ a 2 ⎢ +1⎥ ⎢⎣ y 2 ⎥⎦ −∞
El campo magnético producido por el elemento diferencial en el punto P. →
→
μ I d l× r μ I dl ⎛ π ⎞ = − 0 2 sen⎜ + θ ⎟kˆ dB= 0 3 4π r 4π r ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ Siendo dl = dy y sen⎜ + θ ⎟ cos θ →
⎝2
μ I = 0 iˆ 2πa
⎠
Tenemos →
dB=−
Ejemplo 91. Utilizando la ley de Biot y Savart, halle el campo magnético en el punto P generado por un segmento de longitud L que lleva una corriente I.
μ0 I dy μ I dy R cosθkˆ = − 0 2 kˆ 2 4π r 4π r r
Como
y = R tan θ dy = R sec 2 θ dθ ⇒ → μ I θ 0 R 2 sec 2 θ dθ ˆ B=− 0 ∫ k 4π −θ 0 R 3 sec 3 θ μ I θ0 μI = − 0 kˆ ∫ cos θ dθ = − 0 senθ 0 kˆ θ − 0 4πR 2πR Con
senθ 0 =
L2
[(L 2) + R ] 2
2 12
Finalmente →
B=−
μ0 I L kˆ 4πR (L2 + 4 R 2 )1 2
Ejemplo 92. Usando el principio de superposición, halle el campo magnético para un punto Q(0,0,a) situado sobre el eje de la espira cuadrada.
Solución. Tomemos un elemento diferencial dlde alambre
54
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
CONDUCTOR RECTILÍNEO INFINITO. El campo magnético debido a un conductor rectilíneo muy largo es tangente a una circunferencia concéntrica con él mismo. El →
sentido de B esta relacionado con el sentido de la corriente I por la regla de la mano derecha, como se muestra en la figura a continuación. Solución. La espira cuadrada tiene los lados 1, 2, 3 y 4. Campo producido por el lado 1.
Ejemplo 93. La figura muestra un alambre recto de corriente I que atraviesa un material no magnético en forma de un cubo de lado l . →
Una sección d l situada en el centro del →
L μ0 I (senθiˆ + cosθˆj ) 2 4πa (L + 4a 2 )1 2
→
B1 = Con
senθ =
(L
cosθ =
(L
2
2
L + 4a 2 2a + 4a 2
y
)
12
)
12
Obtenemos
L μ0 I (Liˆ + 2akˆ ) 2 4πa (L + 4a 2 )
→
B1 =
Similarmente para los lados 2, 3 y 4
Solución. En a: cero En b:
L μ0 I (Lˆj + 2akˆ ) 2 4πa (L + 4a 2 ) → L μI (− Liˆ + 2akˆ ) B3 = 0 2 4πa (L + 4a 2 ) → L μI (− Lˆj + 2akˆ ) B4 = 0 2 4πa (L + 4a 2 ) →
B2 =
→
d B (r2 )
→
→
→
→
B = B1 + B 2 + B 3 + B 4 μI L kˆ =2 0 2 π L + 4a 2
(
→ ⎛→ → ⎞ d l 1× ⎜ r 2 − r 1 ⎟ μ ⎝ ⎠ = 0 I1 3 → → 4π r 2− r1
→ → → l d l 1 = dl ˆj , r 2 = kˆ , r 1 = 0 2 → → → → l l ⎛ ⎞ ⎜ r 2 − r 1 ⎟ = kˆ , r 2 − r 1 = 2 ⎝ ⎠ 2
El campo magnético producido por la espira en el punto Q es: →
→
cubo produce un campo d B . Hallar d B cuando lo calculamos en los puntos a, b , c, d y e. Los puntos a, b y c están en el centro de las caras que forma el cubo, el punto d en el punto medio de una arista y el punto e en el vértice.
Utilizando el resultado obtenido en la parte a):
)
55
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
conductores por unidad de longitud, y cada conductor portando una corriente I.
ˆ l ˆ
→
d B (r2 )
dlj × k μ 2 = μ 0 I dl iˆ = 0 I1 1 3 π l2 4π ⎛l⎞
→
a) Calcule el campo magnético B producido por este arreglo de conductores en puntos situados a una distancia h, a ambos lados de la lámina. Ahora, suponga que se ubican dos de estas láminas infinitas de corriente en forma paralela, separadas una distancia d, como lo muestra el dibujo siguiente. Cada conductor de la lámina de arriba lleva una corriente I saliendo del plano del dibujo y cada conductor de la lámina de abajo también lleva una corriente I, pero entrando al plano del dibujo. El número de conductores por unidad de longitud de la lámina de arriba es n1 y el número de conductores por unidad de longitud de la de abajo es n2. Suponga que n1> n2 el eje de coordenadas x es horizontal. Calcule la magnitud y dirección del campo
⎜ ⎟ ⎝2⎠
En c: cero En d: →
d B (r2 )
→ ⎛→ → ⎞ d l 1× ⎜ r 2 − r 1 ⎟ μ ⎝ ⎠ = 0 I1 → → 3 4π r 2− r1
→ → → l l d l 1 = dl ˆj , r 2 = ˆj + kˆ , r 1 = 0 2 2 l 2 ⎛→ → ⎞ l ˆ l ˆ → → ⎜ r 2− r1⎟ = j + k , r 2− r1 = 2 2 ⎝ ⎠ 2 l ⎞ ⎛l dlˆj × ⎜ ˆj + kˆ ⎟ → μ 2 ⎠ ⎝2 d B (r2 ) = 0 I1 3 4π ⎛l 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ μ0 dl = I1 iˆ l 2 2π
→
magnético B , producido por las dos láminas: b) En el punto P, situado arriba de la lámina superior. c) En el punto S. situado debajo de la lámina inferior. d) En el punto R. equidistante de las láminas. e) Cuál sería el campo en los mismos puntos P, R y S si n1 = n2.
En e: →
d B (r2 )
→ ⎛→ → ⎞ d l 1× ⎜ r 2 − r 1 ⎟ μ ⎝ ⎠ = 0 I1 3 → → 4π r 2− r1
→ → → l l l d l 1 = dl ˆj , r 2 = iˆ + ˆj + kˆ , r 1 = 0 2 2 2 → → l l l ⎛ ⎞ ⎜ r 2 − r 1 ⎟ = iˆ + ˆj + kˆ , 2 2 ⎝ ⎠ 2 →
→
r 2− r1 =
Solución. a)
l 3 2
l l ⎞ ⎛l dlˆj × ⎜ iˆ + ˆj + kˆ ⎟ μ 2 2 ⎠ ⎝2 d B (r2 ) = 0 I1 3 4π ⎛l 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ μ0 dl ˆ ˆ = I1 −k +i l 3 3π →
(
)
dB =
μ0 Indx
(
2π x 2 + h 2
)
12
Al integrar desde – infinito a + infinito las componentes verticales se anulan, de tal modo que vamos a trabajar con la
Ejemplo 94. Se dispone de alambres conductores delgados, infinitamente largos y revestidos de material aislante, los cuales se ubican uno al costado del otro para formar una lámina infinita de corriente, con n
→
componente horizontal de d B .
56
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
μ0 Indx
→
dB=−
(
2π x + h μ0 Indx
=−
2
2
h
2π (x + h ) (x + h μ0 Inhdx ˆ =− i 2π x 2 + h 2
(
BR =
)
2 12
2
→
cosθ iˆ 12 2
)
2 12
2
i+
μ0 In2 ˆ μ0 I (n1 + n2 )iˆ i= 2
2
iˆ
)
d) En el punto S:
μ 0 Inhdx ˆ B = −∫ i −∞ 2π (x 2 + h 2 ) →
μ0 In1 ˆ
∞
→
BS = ∞
μ0 In1 ˆ μ0 In2 ˆ μ0 I (n1 − n2 )iˆ i− i= 2
2
2
x μ Inh ˆ ∞ dx μ In =− 0 i∫ 2 = − 0 iˆ tan −1 2 0 (x + h ) h0 π π μ In = − 0 iˆ 2
Otra manera de calcular es mediante la ley de Ampere, como en el ejemplo 60. Debido a que el campo magnético producido por los infinitos alambres produce un campo uniforme, en la parte superior dirigido hacia la derecha y en la parte inferior hacia la izquierda es factible utilizar la ley de Ampere.
→
e) Si n1 = n2: →
→
Ejemplo 95. Encontrar el campo magnético en el punto P en el eje de una espira circular de corriente.
→
∫ B ⋅ d l = μ 0 nlI ⇒ Bl + Bl = μ 0 nlI ⇒ 2 Bl = μ 0 nlI ⇒ B =
Solución. En este caso
μ 0 nI
2 μ 0 In A la distancia h: B = − iˆ 2 ←
→
B=
b) En el punto P:
→
→
B P = 0 , B R = μ0 Iniˆ , B S = 0
BP = −
μ0 In1 ˆ 2
i+
μ0 In2 ˆ μI i = − 0 (n1 − n2 )iˆ 2
2
c) En el punto R:
57
μ0 I1 4π ∫
→ ⎛→ → ⎞ d l 1× ⎜ r 2 − r 1 ⎟ ⎝ ⎠ →
→
r 2− r1
3
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
(
→
)
I 1 = I , d l 1 = Rdθ − senθ iˆ + cos θ ˆj ,
(
→
)
→
r 1 = R cos θ iˆ + senθ ˆj , r 2 = zkˆ
→
(
→
)
r 2 − r1 = zkˆ − R cosθ iˆ +senθ ˆj , →
(
→
r 2 − r 1 = R2 + z2
→
B=
)
12
(
μ 0 2π Rdθ (− senθ iˆ + cosθ ˆj )× − R cosθ iˆ − Rsenθ ˆj + zkˆ I 4π ∫0 (R 2 + z 2 )3 2
→
B=
(
)
y = R cosθ 0 tan θ dy = R cosθ 0sec 2θdθ R cosθ 0 r= cosθ → π 2 R cos θ secθdθ μ 0 Ba = 0 I ∫ iˆ θ 4π 0 0 ⎛ R cosθ 0 ⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎝ cosθ ⎠ =
)
μ 0 2π zR cos θ iˆ + zRsenθ ˆj + R 2 kˆ I dθ 4π ∫0 (R 2 + z 2 )3 2
=
La integral de los términos en iˆ y ˆj da cero. Finalmente →
B=
μ0 2
I
(R
R2 2
+z
)
2 32
=
=
kˆ
μ0
π 2
I∫
4πR cos θ 0
θ0
μ0
cos θdθ iˆ π 2
4πR cos θ 0
I senθ θ iˆ 0
μ0 π ⎛ ⎞ I ⎜ sen − senθ 0 ⎟iˆ 4πR cosθ 0 ⎝ 2 ⎠
μ0
4πR cos θ 0
I (1 − senθ 0 )iˆ
Similarmente para el otro lado
μ0
→
Ba =
Ejemplo 96. Se tiene un alambre con la forma mostrada en la figura, que lleva una corriente I. Los tramos rectos son muy largos. a) Hallar el campo magnético en el pinto P debido a los dos tramos rectos. b) Deducir a partir de la ley de Biot y savart el campo magnético en el punto P debido al tramo circular. c) Hallar el campo resultante en el punto P debido al alambre.
4πR cos θ 0
De los dos lados →
μ0
→
B = 2 Ba = 2 =
μ0
I (1 − senθ 0 )iˆ
4πR cosθ 0
2πR cos θ 0
I (1 − senθ 0 )iˆ
I (1 − senθ 0 )iˆ
b) La parte circunferencial
Solución. a) Hallar el campo magnético en el pinto P debido a los dos tramos rectos. Se quiere encontrar el campo magnético con el punto P, producido por el segmento mostrado en la figura siguiente.
Aplicando la ley de Biot y savart el campo magnético en el punto P . →
→
2 π −θ d l × r μ Bc = 0 I ∫ 4π θ r3 →
0
0
Con
d l = Rdθ (− senθ ˆj + cosθ kˆ ) , →
r = R(cosθ ˆj + senθ kˆ ) r=R →
Reemplazando
→
∞ μ dyˆj × r Ba = 0 I ∫ 4π Rcosθ r 3 ∞ μ dy = 0 I∫ senθ iˆ 4π Rcosθ r 2 →
→
Bc =
0
μ0 2π −θ Rdθ (− senθ ˆj + cosθ kˆ )× R (cosθ ˆj + senθ kˆ ) I R3 4π ∫θ 0
0
2π −θ μ - sen 2θ iˆ − cos 2 θ iˆ )dθ = 0 I∫ ( θ 4πR 0
0
0
58
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
μ 0 2 π −θ I dθ iˆ 4πR ∫θ μ = − 0 I (π − θ 0 )iˆ 2πR
=−
No hay contribución de los alambres rectos, y tenemos dos contribuciones orientadas en forma opuesta de las dos semicircunferencias:
0
0
B = ( B1 − B2 ) =
→
→
B = Ba + Bc =
μ0
2πR cosθ 0
4R
(I1 − I ) , hacia la
página. Si las corrientes fueran iguales, el campo magnético en el centro de la espira sería cero.
c) El campo resultante en el punto P . →
μ0
I (1 − senθ 0 )iˆ
Ejemplo 99. Una arandela delgada (o un disco con hueco concéntrico) de radio interno a y de radio externo b, tiene una densidad de carga superficial σ . Suponga que la arandela gira en torno a su eje con velocidad angular ω . Calcule el campo magnético en el centro de la arandela.
μ0 I (π − θ 0 )iˆ 2πR ⎤ μ I ⎡ (1 − senθ 0 ) = 0 ⎢ − (π − θ 0 )⎥iˆ 2πR ⎣ cos θ 0 ⎦ μ I = 0 (sec θ 0 − tan θ 0 − π + θ 0 )iˆ 2πR −
Ejemplo 97. ¿Un alambre recto largo que lleva una corriente I tiene una "torcedura semicircular" en ella de radio R. ¿Cuál es el campo magnético en el centro del semicírculo?
Solución.
Solución. Las secciones rectas no contribuyen nada a B, ya que para ellas θ = 0º y dxsenθ = 0 . La contribución del semicírculo es justamente la que corresponde a la mitad de un círculo
i=
1 μ0 I completo, B = . Luego 2 2R μ I B= 0 4R
2πrdrσ 2πrdrσω = = σωrdr T 2π
Esta corriente produce un campo magnético en el centro: →
dB=
Ejemplo 98. Calcule la magnitud del campo magnético en el punto P de la figura en términos del R1, R2, I1 e I2. ¿Qué resultado da su expresión cuando I1 = I2?
μoi ˆ μoσω ˆ k = drk 2
2r
El campo debido a toda la arandela lo encontramos integrando de r = a a r = b. →
B=
1 μoσω ˆ b k ∫ dr = μoσω (b − a )kˆ 2
a
2
Otra manera, como la arandela tiene poco ancho (b ≈ a )
b+a 2 → μI μo I ˆ μo I ˆ B = o kˆ = k= k ( b + a) 2 Rm ⎛b+ a⎞ 2⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ Rm =
Solución.
59
Campo magnético
I=
(
Hugo Medina Guzmán
)
(
Q σπ b 2 − a 2 ω σω b 2 − a 2 = = 2π 2 T
)
Si el campo resultante está a 45º del eje, el campo del alambre debe tener la misma magnitud que el campo del solenoide, puesto que son perpendiculares. Así
Finalmente: →
B=
μo
σω (b 2 − a 2 ) 2 (b + a )
μ0 I R = μ 0 NI 0 , r = , I = πRNI 0 2π r 2
1 kˆ = μoσω (b − a )kˆ 2
Ejemplo 103. Encontrar B en el punto central del dispositivo de la figura.
Ejemplo 100. Determine el campo magnético en el centro de un cuadrado de lado 2a que lleva una corriente I. Solución. El campo opuesto al punto medio de un segmento recto de longitud 2a con corriente está dado por la integral
B=
μ0 I 4π
∫
a
−a
dxsenθ . r2
Solución. Los segmentos rectos no hacen ninguna contribución al campo en el centro; los segmentos curvos dan, por la Ley de Biot y Savart,
Hay cuatro de tales segmentos en un cuadrado, tal que:
B=4
μ 0 Ia ⎛ 2a ⎜ ⎜ 2 4π ⎝ a a 2 + a 2
⎞ 2 μ0 I ⎟= ⎟ π a ⎠
μ 0 I ⎡ a(2π − θ ) b(2π − θ ) ⎤ − ⎥⎦ 4π ⎢⎣ a 2 b2 μ I (b − a )(2π − θ ) = 0 4πab
ΔB =
Ejemplo 101. Un alambre recto largo que lleva una corriente I 1 se coloca en el plano de un lazo rectangular que lleva una corriente I 2 , ¿cuál es la fuerza neta en el lazo? ¿Es atraída o rechazada por el alambre?
Ejemplo 104. Un disco fonográfico de radio R, con una carga uniformemente distribuida Q, está rotando con velocidad angular ω . Demostrar que el campo magnético en el centro del disco está dado por B =
μ 0 ωQ . 2πR
Solución. Las fuerzas en los extremos del rectángulo se cancelan, tal que:
F = B1 I 2 L − B2 I 2 L μ I I L⎛1 1 ⎞ = 0 1 2 ⎜ − ⎟ 2π ⎝ a a + b ⎠ Solución. En la figura, se muestra el disco en rotación en sentido horario (visto de arriba) con una frecuencia f c estándar de disco fonográfico.
Ejemplo 102. Un solenoide largo de radio R y vueltas de N por el metro lleva una corriente I 0 . En el eje del solenoide hay un alambre recto largo con una corriente I . ¿Qué valor de I dará lugar a un campo magnético en el punto r = 1/2 R que esté en 45º del eje del solenoide? Solución.
El anillo de carga dq entre los radios r y
r + dr constituye una corriente di = donde T =
60
2π
ω
dq , T
es el período de rotación del
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
dq 2π rdr = , de modo que Q πR 2 2Q rdr dq = R2
B=
disco.
Solución.
μ0 I 2R
, en este caso
I = di , R = r , luego la contribución del anillo diferencial es:
∫
∞
(
μ 0 di
μ ω 2Qrdr μ 0ωQ = 0 = dr dB = 2 2π rR 2 2 r 2πR 2
)
μ I⎛ x = 0 ⎜ ⎜ 2 4π ⎝ R x 2 + R 2
El campo magnético en el centro en el centro del disco lo hallamos por integración desde r = 0 a r = R.
B=
μ0 I 4π
dxsenθ −∞ r2 R y r = x2 + R2 Donde senθ = r μ I ∞ Rdx B= 0 ∫ 4π −∞ x 2 + R 2 3 2 B=
Usar el resultado del campo magnético en el centro de un anillo, B =
μ0 I 2πR
∞
⎞ ⎟ ⎟ ⎠ −∞
μ 0 ωQ R μ ωQ dr = 0 2 ∫0 2πR 2πR
Para Q > 0, el campo tiene la dirección − kˆ . Ejemplo 105. La corriente de una fuente de corriente continua es conducida a un instrumento por medio de dos alambres paralelos largos, separados 10 cm. ¿Cuál es el campo magnético entre los alambres cuando la corriente es 100 A?
En el dibujo de la tapa de la derecha B sale del papel. Las líneas de B son círculos concéntricos, con su espaciamiento aumentando a medida que se aleja del alambre. Ejemplo 107. Determine el campo magnético en el centro de un lazo circular de radio R que lleva la corriente I. Solución.
μ 0 I dxsenθ μ I 2π Rdθ = 0 ∫ 2 ∫ 4π 4π 0 R 2 r μ I = 0 (2π ) 4π Donde dl = Rdθ y θ = 90º , luego μ I B= 0 2π B=
Solución. El campo magnético debido a cada alambre en el diagrama en el punto situado entre ellos son perpendiculares e ingresando al papel. Los efectos debido a los alambres por lo tanto se suman en ese punto y el efecto total es dos veces el efecto de cualquiera de ellos. Por lo tanto, en el punto medio entre los alambres,
B=2
El campo magnético de un lazo pequeño con corriente es como el de un imán de barra pequeño, con las líneas de B que brotan fuera de un Polo Norte imaginario y que van al otro extremo a un polo sur imaginario. Así el campo de un lazo pequeño con corriente es el de un dipolo magnético, con el mismo aspecto que el campo de un dipolo eléctrico.
μ0 I 100 = 2(2 × 10 −7 ) 0,05 2π r
= 8 x 10-4Wb/m2. Ejemplo 106. Determine el campo magnético una distancia R de un alambre recto largo que lleva una corriente I. 61
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
μ II ' mg F μ 0 II ' = = ⇒ r= 0 = l l 2π r 2π mg / l (50)(25) = 0,33 x 10-2m =0,33 cm 2 × 10 −7 0,075 Por lo tanto los alambres deben ser muy finos para permitir que sus centros estén muy cercanos. Ejemplo 108. ¿Un alambre recto largo que lleva una corriente I está doblad 90º en un arco circular del radio R. ¿Cuál es el campo magnético en el centro del arco?
Ejemplo 110. Determine el valor del campo magnético en el centro de una bobina rectangular de largo a y ancho b, que lleva una corriente I. Solución.
Solución. Cada sección recta es como una mitad de un alambre recto infinitamente largo, así que la contribución de estas dos secciones es
B=
μ0 I . La contribución de la sección 2πR
Considere el alambre de longitud a en la →
figura arriba. Cualquier elemento d l tiene
curvada es el de un cuarto de un círculo
→
1 μ0 I completo, B = . Luego en el centro 4 2R μ I μ I μ I B = 0 + 0 = 0,28 0 2πR 8 R R
→
la dirección del flujo de la corriente y d l × r →
da un vector, para todo d l , dirigido hacia el →
papel. Así la contribución de todos los d l está en la misma dirección y las magnitudes son sumadas directamente. Para el di
Ejemplo 109. ¿Un alambre largo, horizontal, rígido apoyado lleva una corriente de 50 A. Directamente sobre él y paralelo hay un alambre fino, cuyo peso es 0,075 N por metro, que llevar uno corriente de 25 A. ¿A qué distancia sobre el primer alambre debe estar el segundo alambre para ser sostenido por la repulsión magnética? Solución. Si el alambre superior va a ser soportado por la repulsión magnética, la fuerza magnética por longitud de unidad debe igualar el peso de una longitud de unidad del alambre. Además, las corrientes en los dos alambres deben estar en direcciones opuestas para que la fuerza entre los alambres sea de repulsión. Por lo tanto
→
elemento d l mostrado, la magnitud del campo magnético producido en O una distancia z del alambre es
dB =
μ 0 Idl senθ . 4π r 2
z r = senθ , = -tanθ , por l r consiguiente dl = r cos ec 2θ dθ μ 0 I z cos ec 2θ dθ .senθ ∴ dB = 4π z 2 / sen 2θ μ I = 0 senθ dθ 4π z Pero
Para todo el alambre,
B=
μ0 I θ senθ dθ 4π z ∫θ 2
1
62
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
μ0 I (cosθ 2 − cos θ1 ) 4π z μ I a/2 . = 0 4π z (a / 2)2 + z 2
El campo magnético en el centro de una bobina del radio r es
= −
B2 =
μ0 I
2 r
B2 =
μ 0πI
2 2⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ L ⎝4 π ⎟⎠ μ I = 0 (0,785 − 0,900 ) < 0 L
Del dibujo arriba, es obvio que, puesto que las corrientes entran en direcciones opuestas en los dos alambres de la longitud a, el campo debido a cada alambre en O es el mismo y z tiene el valor b/2. Es también obvio que es el valor de B' debido a cada uno de los otros alambres de la longitud b es
μ0 I 4π (a / 2 )
o
π
. Finalmente:
4L
B2 − B1 =
B' =
2L
Aquí 2π r = 4 L , ⇒ r =
μ0 I ⎛ π
Así el campo debido a una bobina cuadrada es mayor que el de una bobina circular. Ejemplo 112. Campo magnético en el eje de un solenoide. Solución.
a/2
(a / 2)2 + (b / 2)2
El valor total del campo magnético en O es:
BTotal = 2(B + B') = μ0 I
2π a
a/2
+
(a / 2) + (b / 2) 2μ 0 I ⎛a b⎞ = ⎜ + ⎟ 2 2 π a +b ⎝b a⎠ 2μ 0 I a2 + b2 = πab 2
2
μ0 I 2π b
a/2
(a / 2)2 + (b / 2)2 Sea el solenoide de N vueltas por unidad de longitud, longitud L y radio R. El número de espiras del elemento dz es
NLdz = Ndz . L El campo magnético en un punto P debido a este elemento es:
Ejemplo 111. ¿Dado un alambre que lleva una corriente, ¿Cuándo el campo magnético producido en el centro será mayor, doblando el alambre en un círculo o en un cuadrado? Solución. El campo en el centro de una espira rectangular de lados a y b es
2μ 0 I B= πab
→
dB=
→
B=
2
+ (z 0 − z )
2
]
2 32
kˆ
μ 0 NIR ˆ k 2
∫
L
0
[R
Rdz 2
+ (z 0 − z )
]
2 32
Cambiando la variable z0 − z = Z , dz = − dZ
una espira cuadrada de lado a será:
B1 =
[R
2
R2
El campo magnético del solenoide es
a + b , Luego en el centro de 2
μ 0 NdzI
2 2μ 0 I πa
Cuando z = 0 ⇒ Z = z0 y z = L ⇒ Z = z0 − L
Aquí la longitud del alambre con corriente es 4L, luego a = L y así
→
De aquí B = −
2 2μ 0 I B1 = πL
Integrando
63
μ 0 NIR 2 ˆ k 2
∫
z0 − L
z0
[R
dZ 2
+Z2
]
32
Campo magnético
→
B=−
Hugo Medina Guzmán
μ0 NIR 2 ˆ ⎡ 2
⎧
= − μ0 NI kˆ ⎪⎨ 2
z0 − L
→
⎤ k⎢ 2 12⎥ ⎢⎣ R + Z 2 ⎦⎥ z 0
[
⎪⎩ R
2
(
Z
dB=
)
[R
2
R2 + (z 0 − z )
2
]
2 32
kˆ
El campo magnético del solenoide es
⎫⎪ ( z0 − L ) z − 2 0 2 12 ⎬ 2 12 (R + z0 ) ⎪⎭ + ( z0 − L ) ]
μ 0 NIR ˆ k
→
B=
Finalmente → (z0 − L ) ⎫⎪kˆ z μ NI ⎧⎪ B = 0 ⎨ 2 0 2 12 + ⎬ 2 12 2 ⎪ (R + z0 ) R 2 + (z0 − L ) ⎪⎭ ⎩
[
μ 0 NdzI
2
∫
L
0
[R
Rdz + (z 0 − z )
2
]
2 32
Cambiando la variable z0 − z = Z , dz = − dZ
]
Cuando z = 0 ⇒ Z = z0 y z = L ⇒ Z = z0 − L
En el caso de L >> R, la expresión entre llaves es igual a 2 y
μ0 NIR 2 ˆ z k∫ De aquí B = − →
→
B = μ 0 NIkˆ
2
0
−L
z0
[R
dz 2
+ z2
]
32
Integrando
Ejemplo 113. La figura muestra el corte longitudinal de un solenoide de largo L, radio R con n espiras, y con una corriente I. a) Utilizando el resultado del campo magnético en un punto del eje de un anillo
→
B=−
μ0 NIR 2 ˆ ⎡ k⎢ ⎢⎣
2
z0 − L
⎤ ⎥ 1 2 R 2 + Z 2 ⎥⎦ z 0
Z
(
)
=
→
−
con corriente, halle el campo magnético B en el punto P, ubicado a una distancia z0 del extremo izquierdo del solenoide. →
( z0 − L ) z k⎨ − 2 02 2 12 2 R + z0 ⎪⎩ R + ( z0 − L )
μ0 NI ˆ ⎧⎪ 2
[
] (
Finalmente → z μ NI ⎧⎪ B= 0 ⎨ 2 0 2 2 ⎪ R + z0 ⎩
b) Halle la expresión del campo magnético B en el centro del solenoide. Luego suponga que: L >> R, y comente su resultado.
(
b) Para z 0 =
)
12
+
⎫⎪ 12⎬ ⎪⎭
)
(z0 − L ) ⎫⎪kˆ [R 2 + (z0 − L)2 ]1 2 ⎬⎪⎭
L 2
⎧ ⎫ ⎪ ⎪ → μ0 NI ⎪ L L ⎪ˆ + B= ⎨ ⎬k 2 12 2 ⎪ ⎛ 2 L2 ⎞1 2 ⎛ 2 L ⎞ ⎪ 2⎜⎜ R + ⎟⎟ ⎪ ⎪ 2⎜⎜ R + 4 ⎟⎟ 4⎠ ⎭ ⎠ ⎝ ⎩ ⎝
Solución. a)
=
μ0 NIL
kˆ =
12
⎛ L ⎞ 2⎜⎜ R 2 + ⎟⎟ 4⎠ ⎝ 2
μ0 nI 12
⎛ L ⎞ 2⎜⎜ R 2 + ⎟⎟ 4⎠ ⎝ 2
kˆ
En el caso de L >> R →
B=
n Sea N = el número de vueltas por unidad L
μ0 nI
12
μ nI kˆ ≈ 0 ⎛L⎞ 2⎜ ⎟ ⎝2⎠
⎛ L ⎞ 2⎜⎜ R 2 + ⎟⎟ 4⎠ ⎝ μ nI = 0 kˆ = μ 0 NIkˆ L
de longitud del solenoide. El número de espiras del elemento dz es
NLdz = Ndz . L El campo magnético en un punto P debido a este elemento es:
2
Otra forma de solución. Demuestre que el campo magnético en el punto P en el eje de
64
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
un solenoide de la longitud finita y N vueltas por unidad de longitud y radio R que lleva una corriente I es
B=
B=
1 μ 0 NI (cos α 2 − cos α 1 ) , donde α 1 y 2
=
μ 0 NI
μ 0 NI
2
2
∫
z2
z1
α2
∫α
sen 2α dα senα
μ 0 NI
senα dα =
2
1
μ 0 NI
(− cos α ) αα
2 1
α 2 se muestran en el dibujo
Finalmente B =
Solución. Considere el solenoide como una serie de lazos circulares de radio R y ancho dx , cada uno con corriente di = NdxI . El campo magnético a una distancia z en el
Ejemplo 114. Dos bobinas circulares de Helmholtz de 250 vueltas son paralelas una a otra y separadas por una distancia igual a su radio común. Encuentre el valor del campo magnético en un punto en el eje entre ellas cuando la corriente atraviesa ambas bobinas en el mismo sentido, y demuestre que el campo es casi uniforme sobre el punto medio. Solución. El campo magnético debido a una sola bobina en un punto a lo largo del eje una distancia y del plano de la bobina es
eje de un lazo circular es B =
μ 0 IR 2
2(R 2 + x 2 )
32
.
El campo magnético producido por un lazo circular de ancho diferencial es:
dB =
μ 0 R di 2
μ 0 NIR dx
B1 =
2
μ 0 Iasenα
μ 0 Ia 2
encontrar el campo resultante integramos desde x = x1 a x = x 2 .
2 r3
B=
32
μ 0 NI 2
∫
z2
z1
=
2r 3
=
(cos α 1 − cos α 2 )
=
r2
2
para
2(R 2 + x 2 )
2
μ0
Ia 2
2 (a 2 + y 2 )3 2
R 2 dx r3
(
De la figura anterior: r = R 2 + x 2
)
12
,
R x r , cos α = y dx ≈ r r senα R R cos α dα = − 2 dr = − 3 dx r r xdx x dr = = dx 12 r x2 + R2
senα =
(
Similarmente, en el mismo punto el campo magnético debido a una sola vuelta de la segunda bobina es
B=
)
(
)
r : senα μ NI z2 R 2 dx μ 0 NI z2 R 2 rdα B= 0 ∫ = 2 z1 r 3 2 ∫z1 r 3senα R Con senα = : r
Con r = R 2 + x 2
12
μ0
Ia 2
[
2 a 2 + (a − y )2
]
32
Éstos actúan en la misma dirección, y el efecto total en O debido a las vueltas de n de ambas bobinas es
y dx ≈
B = n(B1 + B2 )
2 ⎧ = 250μ 0 Ia ⎪⎨
2
=0
65
(
1
⎪⎩ a 2 + y
)
2 32
+
[a
1 2
+ (a − y )
]
2 32
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
8(250 μ 0 I ) a , entonces B = , mas 2 53 2 a
Si y =
combinado de las dos bobinas, y la región del campo uniforme alrededor del punto medio del sistema se ve claramente.
adelante, dB 250 μ 0 Ia 2 = dy 2
, si y =
⎧⎪ − 3 y ⎨ 2 ⎪⎩ a + y 2
(
+
)
32
[a
3(a − y ) 2
+ (a − y )
2
Ejemplo 115. En un laboratorio de Física se requiere eliminar los efectos del campo magnético terrestre en un determinado punto P del mismo. Para ello, se produce un campo magnético contrario al campo magnético terrestre Btierra por medio de un par de espiras circulares que comparten el mismo eje, ambas de radio R y separadas una distancia 2R entre sus centros, Las corrientes de ambas espiras circulan en el mismo sentido y el punto P esta ubicado en el punto medio del mencionado eje. a) Suponga que el campo magnético de la tierra es paralelo a su superficie y se dirige hacia el norte, ¿Cuál es la posición en que tendrían que ponerse las espiras para lograr el efecto deseado en el punto P? b) ¿Cuál es la magnitud de la corriente en las espiras que anulará el campo magnético terrestre en el punto P? c) Obtenga la expresión de la magnitud del campo magnético resultante de las espiras Bespiras en cualquier punto sobre el eje que comparten, tomando como origen el punto P. d) A partir de su resultado en la parte anterior esboce un gráfico del campo Bespiras a lo largo de dicho eje. Indique los valores críticos [máximo(s) o mínimo(s)] en su gráfico. Solución. a)
⎫⎪ 32⎬ ⎪⎭
]
a , 2
También d 2 B 250 μ 0 Ia 2 = 2 dy 2
+
(a
15 y 2 2
+y
=
[a
(
)
32
15(a − y ) 2
250μ 0 Ia 2 2 +
Si y =
)
2 32
+
⎧⎪ −3 ⎨ 2 ⎪⎩ a + y 2
−
2
+ (a − y )
]
2 32
(
[a
3 2
+ (a − y )
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⎧⎪15 y 2 − 3 a 2 + y 2 ⎨ 32 ⎪⎩ a2 + y2
(
[
)
]
2 32
)
]
2 2 15(a − y ) − 3 a 2 + (a − y ) ⎫⎪ ⎬=0, 2 32 ⎪⎭ a 2 + (a − y )
[
]
a , 2
dB d 2 B y son cada uno igual a cero en dy dy 2 a el punto y = , en el punto medio entre las 2 Así
bobinas. Por lo tanto de B difícilmente es cero alrededor de ese punto, dando una región grande de campo uniforme en la región central entre las bobinas. Con este espaciamiento particular de las bobinas, al bajar el valor de B debido a una bobina cuando nos alejamos de ella es compensado por el aumento de B debido a la otra bobina para buena parte de la región entre ellas.
Las bobinas deben estar orientadas de norte a sur, con las corriente como se indican en el dibujo de tal manera que el campo producido por estás esté en el mismo eje y opuesto al campo magnético terrestre. b) El campo magnético debido a una sola bobina en un punto P en su eje a una distancia R del centro de la bobina es La situación se ilustra en el diagrama. Las líneas llenas dan la magnitud de B debido a cada bobina por separado a lo largo del eje. La línea discontinua muestra el efecto
→
B1 = −
μ0
(
IR 2
2 R2 + R
)
2 32
iˆ = −
μ0 I
( )
2 21,5 R
Lo mismo para segunda bobina
66
iˆ
Campo magnético
→
B2 = −
μ0
Hugo Medina Guzmán
IR 2
(
2 R2 + R
)
2 32
iˆ = −
μ0 I
( )R 1, 5
22
=−
El campo total producido por las dos bobinas es: →
→
→
B = B1 + B2 = −
μ 0 IR 2 ⎧⎪
1 ⎨ 2 2 ⎪⎩ R + ( x + R )2 ⎫⎪ 1 + ⎬iˆ 2 32 ⎪⎭ R 2 + (x − R )
iˆ
[
[
μ0 I ˆ i
(2 )R 1, 5
]
32
]
El campo magnético terrestre es de la Tierra es del orden de 0,5x10-4 T. Para equiparar este campo debe de circular una corriente:
0,5 × 10 −4 =
I=
4π × 10 −7 I ⇒ 2,83R
d) En el gráfico puede verse que los máximos están en x = ± R y el mínimo entre las espiras en el centro x = 0. El máximo en x = ± R es:
(0,5 × 10 )(2,83R ) = 112,60 R (4π × 10 ) −4
−7
(Amperes) c) El campo magnético resultante de las espiras Bespiras en cualquier punto sobre el eje que comparten, tomando como origen el punto P.
→
B1 = −
μ0
[
IR 2
2 R 2 + ( x + R )2
μ0 IR 2 ⎧⎪
1 ⎨ 2 2 ⎪⎩ R + (R + R )2 3 2 ⎫⎪ 1 + ⎬ 3 2 2 ⎪⎭ R 2 + (R − R ) μ I⎛ 1 μ I ⎞ Bmáx = 0 ⎜ 3 2 + 1⎟ = 0,54 0 R 2R ⎝ 5 ⎠ El mínimo en x = 0. es: 1 μ IR 2 ⎧⎪ Bmin = 0 ⎨ 2 2 ⎪⎩ R + (0 + R )2 3 2
Bmáx =
[
]
[
]
[
iˆ 32
]
+
]
[R
1 2
+ (0 − R )
]
2 32
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
μ0 I ⎛ 1
1 ⎞ ⎜ 32 + 32 ⎟ 2R ⎝ 2 2 ⎠ μI μI = 3 02 = 0,35 0 2 R R
Bmin =
Lo mismo para segunda bobina →
B2 = −
μ0
[
IR 2
2 R 2 + ( x − R )2
Ejemplo 116. Sobre la superficie de una esfera de madera de radio R se enrolla en una sola capa un número N de vueltas muy próximos entre si con un alambre muy fino, cubriendo completamente la superficie de le esfera. Como se muestra en la figura. Si se hace circular una corriente I ¿cuál es el campo magnético en el centro de la esfera?
iˆ 32
]
El campo total producido por las dos bobinas es: →
→
→
B = B1 + B2
67
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
centro de la esfera igual a →
dB=
(
μ 0 r 2 di
2r +y 2
)
2 32
ˆj
Donde
r = R cos θ , y = Rsenθ , NIdl NIRdθ NI dI = = = dθ l πR π
Reemplazando
μ 0 NIR 2 cos 2 θdθ ˆ j ⇒ 2πR 3 → μ NI ˆ 2 dB= 0 j cos θdθ 2πR
Solución. El campo magnético formado en el centro de la esfera es la suma de los campos magnéticos de todas las espiras, como no es posible calcular una por una y sumar, encontraremos un elemento diferencial e integraremos.
→
dB=
El campo magnético total es →
B=
μ 0 NI ˆ π j ∫ cos 2 θdθ = 2πR 0
π
μ 0 NI ˆ 1 j (θ + senθ cos θ ) 2πR 2 0 →
Finalmente B =
μ 0 NI ˆ j 4R
La espira formada por el ángulo dθ y determinada por θ produce un campo en el
PREGUNTAS Y PROBLEMAS
igual, cada una con 10 vueltas, conectada en serie con sus puntos de conexión en los 24 segmentos del conmutador rotatorio. Unas “escobillas” de carbón hacen contacto con el conmutador para poder admitir corriente en las bobinas; la disposición de las escobillas y la geometría del campo magnético en que gira la armadura son tales que cada alambre paralelo el eje gira en un campo de 8500 Gauss en promedio y los paras son todos del mismo sentido. Si, en cualquier instante, todas las bobinas están conectadas a las escobillas de tal manera que haya dos trayectorias iguales y paralelas a través de la combinación, y se entrega a las escobillas una corriente de 12 amperes, encontrar el par promedio desarrollado en la armadura. Tómese cada bobine como un cuadrado de 8 cm. de lado, con los alambres paralelos al eje del motor a una distancia de 5 cm. del eje.
1. Estudiar el movimiento en el vacío de una partícula de masa m, carga q, que se encuentra en un campo magnético uniforme que forma un ángulo θ con la velocidad inicial de la partícula. No se considerará la influencia del peso. 2. Una partícula de masa m y carga q en el vacío está sometida a un campo eléctrico uniforme E vertical a un campo magnético B uniforme horizontal. La partícula con una velocidad inicial en el punto 0. a) Estudiar el movimiento no tomando en cuenta la acción del peso. Considerar B paralelo al eje y. b) ¿Cómo se manifestaría la acción del peso? ¿Es despreciable? 3. La armadura de un motor de corriente continua, porta 24 bobinas espaciadas por
68
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
Respuesta. 3,6 x105T 4. Un protón de 2MeV se desplaza en una región del espacio donde hay un campo eléctrico uniforme de una intensidad 10 V/m y un campo magnético uniforme en ángulo recto con él. Si la dirección tanto del campo eléctrico como del campo magnético y el protón no se acelere, calcular la intensidad y el sentido del campo
9. Un alambre de 2l de longitud lleva una corriente I y reposa en el eje z de cierto sistema de coordenadas con su centro en el →
origen. Demuestren que el campo B en un punto con las coordenadas (x, 0, z), tiene la magnitud
B=
5. Un electrón describe una trayectoria circular de 0,2m de radio en un campo magnético de 0,002 Tesla. Calcular: a) Su velocidad b) Su periodo de revolución c) Su energía cinética en MeV
μ 0 I ⎧⎪ l−z ⎨ 4πx ⎪ (l − z )2 + x 2 ⎩
[
+
]
12
⎫⎪ 12 ⎬ + x 2 ⎪⎭
l+z
[(l + z )
2
]
y determinen su dirección.
6. Una barra conductora de masa 50g en reposo, y a ángulos rectos, dos carriles horizontales separados 10 cm. Una corriente de 20 A pasa a través de la barra a partir de un carril al otro. El coeficiente de la fricción estática entre la barra y los carriles es 0,30. ¿Cuál es el menor campo magnético perpendicular al plano de la barra y de los carriles que moverá a la barra sobre los carriles? Respuesta 0,0735 Wb/m2
10. Dos alambres paralelos e infinitos están separados por una distancia 2a y llevan corrientes I, en direcciones opuestas, como se muestra en la figura. →
a) Calculen B en un punto P que se encuentra u una distancia b a lo largo de la bisectriz perpendicular, de tal modo que, en función del sistema de coordenadas que se muestra, las coordenadas de P son (b, a) ¿Cuál será su respuesta cuando b = 0?
7. El alambre de la figura tiene una longitud total de 2l y el punto P está en la bisectriz perpendicular con las coordenadas (0, 0, z). →
Demuestren que B se dirige en el sentido del eje x en la figura y tiene la magnitud
B=
μ0 I l . 2 2πz (z + l 2 )1 2
b) Repitan el problema, calculando el campo en un punto general con las coordenadas (x, y). ¿Es una restricción esencial la de que no introduzcamos la coordenada z del punto de campo? c) Repitan el problema, suponiendo esta vez que las corrientes en los dos alambres se dirigen perpendicularmente hacia abajo. Respuesta →
b) B = 8. Una corriente de 10 amperios fluye por un lazo de alambre con la forma de un triángulo equilátero de 50cm de lado. Utilicen el resultado del problema anterior y calculen B en el centro del lazo.
μ0 I 2π
⎧⎪⎡ y − 2a y ⎤ˆ − 2 ⎨⎢ 2 ⎥i 2 x + y2 ⎦ ⎪⎩⎣ x + ( y − 2a )
⎡ x ⎤ ⎫⎪ x ˆj +⎢ 2 − 2 2 ⎥ ⎬ 2 x y + ( ) x y a 2 + − ⎣ ⎦ ⎪⎭
69
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
16. Un disco de radio a lleva una carga uniforme por unidad de área σ . y gira con una velocidad angular ω en torno a su eje.
11. ¿Qué corriente debe circular por un lazo circular de alambre de radio de 50 cm para que el campo en el centro sea de 5 x 10-3 tesla? ¿Qué corriente debe de fluir para que el campo tenga una intensidad de dos. teslas? Respuesta. 40A; 1,6 x 106A 12. Una corriente I fluye en un segmento de un lazo circular de radio a y un ángulo α →
como se muestra en la figura. Calcular B en el centro O del lazo, desdeñando los alambres de alimentación de la corriente.
a) Demuestren que el campo magnética dB en el punto P sobre el eje, debida a un anillo de radio r y espesor dr es
dB =
μ 0σω r 2 dr
(
2 r 2 + b2
)
32
b) Demuestren que el campo total B en el punto P es Respuesta
μ 0 Iα (abajo) 4π a
B=
13. Supongan que hubiera una corriente circular en torno a la Tierra, en el ecuador. ¿Cuál sería la intensidad de esta corriente para producir el campo observado en los polos de aproximadamente 7,5 x l0-5 tesla? ¿Iría la corriente de este a oeste o en dirección opuesta?
μ 0σω ⎡ a 2 + 2b 2 2
⎢ 2 ⎢⎣ a + b 2
(
)
12
⎤ − 2b⎥ ⎥⎦
17. Un solenoide de 0,5 cm de radio y 20 cm de longitud lleva una corriente de 10 A y tiene 1000 vueltas. Calculen el campo magnético sobre el eje de la bobina en los puntos siguientes: a) el centro de la bobina, b) el borde de la bobina, y c) a una distancia de 100 cm al centro de la bobina, d) tracen una gráfica de B en función de la posición sobre el eje de la bobina.
14. Calculen en el punto P la intensidad del campo magnético debido a la corriente I a través del alambre de la figura. (Indicación:
18. ¿Qué cantidad de vueltas por unidad de longitud se requieren para que un solenoide largo que lleva una corriente de 2,0 A tenga un campo magnético sobre su eje de 1,5 x l0-2 T? 19. Una corriente de 0,5 A fluye en torno a un solenoide de radio de 1,0cm y 40 cm de longitud. Si el campo magnético uniforme cerca del centro del solenoide es de l0-3 T, ¿qué cantidad de vueltas por unidad de longitud tendrá el solenoide? Respuesta 1,6 x 103 vueltas/m
15. Una línea de carga circular de radio a y carga por unidad de longitud λ , gira a una velocidad angular ω en torno a su eje. a) Demuestren que este movimiento corresponde a una corriente I que fluye en un lazo circular de radio a y está dada por I = λ aω . →
b) Calculen B en un punto sobre el eje de la línea de carga y a una distancia b de su centro.
20. Supongan que el campo sobre el eje de un solenoide muy largo con 1000 vueltas por metro es de 50 x l0-3T. a) Cuál es la corriente? b) Si se pone ahora un alambre que lleva una corriente de 10 A con N vueltas por unidad de
70
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
longitud en torno al solenoide original, de tal modo que el campo sobre el eje se reduzca a 2,5 x l0-3T,calculen N. ¿Son los flujos de corriente paralelos en las dos bobinas?
Respuesta Sobreponga el campo de un alambre recto,
21. Un protón se desplaza a una velocidad de 5,0 x l05 m/s a lo largo del eje de un solenoide, que tiene 1000 vueltas por metro y lleva una corriente de 2,0 A. Calculen la aceleración del protón. ¿De qué modo diferiría su respuesta, si se desplazan en paralelo, pero no a lo largo del eje? Respuesta Cero
B=
B=
25. Tres alambres largos, rectos, paralelos, cada uno con corriente I en la misma dirección. Son equidistantes uno de otro con la misma separación a . ¿Qué fuerza por unidad de longitud un alambre experimenta debido a los otros dos? Respuesta
B=2
μ 0 I 2π Rdφ cos θ ⇒ 4π ∫0 r 2 μ 0 IR 2
(
2R +z 2
μ0 I 3 μ0 I 2 cos 30° , F = BIL = 2π a 2π a
26. ¿Un disco del radio R lleva una densidad uniforme σ de carga superficial. Rota sobre su eje con velocidad angular ω . cuál es el campo magnético en el centro del disco? Respuesta. Considere los anillos anulares de ancho dr . Cada uno es como un lazo con corriente σ dAf , donde dA = 2πrdr y
23. ¿Cuál es el campo magnético en el eje de un lazo circular de radio R con una corriente I a una distancia z del centro del lazo? Respuesta
B=
.
2R μ I μ I B= 0 + 0 2πR 2 R
22. Un hombre camina hacia el norte por debajo y en sentido paralelo a una línea de potencia en la que fluye una corriente directa de 100 A. Si está a 10 m por debajo de la línea, ¿qué campo magnético más allá del que se debe a la Tierra, medirá? ¿Tendrá esto una interferencia grave con una lectura de la brújula en este punto?
B=
μ0 I , con el campo de un lazo, 2πR μ0 I
f = ω 2π .Luego el campo en el centro de un lazo es:
)
2 12
B=∫
R
0
μ 0 (rσωdr ) 2r
=
μ 0σωR 2
27. ¿Qué campo magnético es producido por un solenoide muy largo con 150 vueltas por metro que lleva una corriente de 20 A? Respuesta B = μ 0 NI = 4π 10 −7 (150 )(20) = 3,77 x 10-3T.
(
)
28. Un conductor recto, largo y de radio a , lleva una corriente I 0 , se ha diseñado de tal manera que la densidad de corriente dentro del conductor varía de acuerdo a la expresión
24 ¿Un alambre recto muy largo con una corriente I tiene un lazo circular de radio R. ¿Cuál es el campo magnético en el centro del lazo?
J=
r 3 I0 2 π a3
Determinar el carpo magnético para todo punto.
71
Campo magnético
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velocidad angular ω , encontrar el campo magnético en el centro del disco.
29. Se tiene tres conductores paralelos como se muestra en la figura. Calcular el campo magnético en los puntos A, B, C y O. I1 = 1 A , I 2 = 2 A , I 3 = 3 A .
34. Dada una tira delgada de metal de ancho a y muy larga. La corriente es longitudinal y vale I . Encontrar el campo magnético en el plano de la tira a una distancia b del borde más cercano. 35. calcular es Campo magnético B creado por una espira circular de radio R por la que circula una corriente I , en un punto P sobre el plano del anillo. Realizar un desarrollo en potencia de limitarse el segundo orden.
30. Una espira lleva una corriente de 4 A y tiene un radio de l0 cm. Si colocamos un alambre recto y largo en el eje de la espira con una corriente de 1 A, determinar la fuerza que ejerce la espira sobre el alambre por unidad de longitud.
36. Determinar el campo magnético en el punto O en la figura. Los alambres rectos se consideran muy largos.
31. Una aspira cuadrada de alambre de lado a a lleva una corriente I , determinar el valor de B en el centro de la espira.
37. Determinar el flujo magnético a través del contorno rectangular mostrado en la figura creado por la corriente I que pasa por el alambre recto infinito.
32. Calcular el campo magnético en el eje de la espira radio R que está conectada en ambos lados como se muestra en la figura y pasa una corriente I por ella. ¿Cual es el valor del campo en el centro de la espira?
33. Un disco de plástico de radio a tiene una carga uniformemente distribuida en su superficie σ C/m 2 . Si el disco gira con
(
38. Determinar el flujo magnético a través de las secciones de los toroides mostrados en la figura. Las bobines están arrolladas
)
72
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
densamente con N vueltas y pasa una corriente I.
los dos casos cuando las corrientes fluyen en el mismo sentido y en sentidos opuestos. 44. Una esfera de radio a tiene carga uniforme sobre su superficie con una carga total q , rota alrededor de un diámetro con velocidad angular constante ω . Encontrar el campo magnético dentro y fuera de la esfera. 45. Un protón en la capa superior de la atmósfera se desplaza a una velocidad de 10 m/s en ángulo recto con el campo de la Tierra, que tiene una intensidad de 5,0 x l0-5 T en este punto. a) ¿Cuál es el radio de la órbita del protón? b) ¿Cuánto tiempo necesita el protón para completar una órbita? c) ¿Cuál es su frecuencia de ciclotrón? Respuesta a) 210 m; b) 1,3x 10-3s; c) 4,8 x 103 rad/s
39. Una bobina cuadrada de 1 cm de lado, con 15 vueltas, está colgada en el centro de un solenoide largo de 200 vueltas por metro y conduce 300 mA. Si el plano de la bobina forma un ángu1o de 20º con el eje del solenoide y la bobina conduce 1 mA, encontrar el par sobre ella.
46. Un electrón se desplaza en ángulo recto con un campo magnético uniforme de una intensidad de 3,0 x l0-2 T. Si su energía es de 50 keV (1 keV = l0-3 MeV), calculen: a) su velocidad, b) el radio de su órbita y c) la frecuencia del ciclotrón.
40. ¿Cual es el trabajo necesario para voltear la bobina cuadrada del problema anterior de una posición en que la normal positiva a la
47. Un protón y una partícula alfa se desplazan en direcciones paralelas a la misma velocidad, cuando entran a una región del espacio en la que hay un campo magnético
→
bobina sea paralela a la dirección B en el solenoide a una posición invertida en 180°?
→
uniforme B . Supongan que se desplazan en ángulo recto con el campo. a) ¿Cuál es la razón de los radios de sus órbitas? b) ¿Cuál es la razón de sus frecuencias de ciclotrón? c) Cuál es la razón de sus energías? Respuesta
41. Las bobinas de Helmholtz son dos bobinas circulares planas (asimilarlo a dos espiras circulares de radio R), idénticas, con eje común, por las que pasa una misma corriente I en el mismo sentido. La distancia entre las bobinas es 2d. →
Calcular el campo magnético B en un punto P Situado en el ejes la distancia x del centro O da las dos bobinas
a)
42. Dos placas delgadas infinitas, paralelas de ancho a y la distancia entre ellas es b , llevan corrientes igual a I pero opuestas. Encontrar la fuerza por unidad de longitud de cada placa.
Rα ω K 1 = 2 , b) α = , c) α = 4 Rp ωp 2 Kp
48. Un protón de 2 MeV se desplaza en una región del espacio donde hay un campo eléctrico uniforme de una intensidad de 105 →
V/m y un campo magnético uniforme B en ángulo recto con él. Si la dirección de movimiento del protón es perpendicular a la dirección tanto del campo eléctrico como del campo magnético y el protón no se acelera,
43. Determinar el campo magnético debido a dos planos paralelos con iguales densidades de corriente superficial i constante. Considere
73
Campo magnético
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calculen la intensidad y el sentido de
Respuesta 9,l.2 x 104 MeV; no.
→
dirección del campo B .
53. Un ciclotrón con un campo magnético de 2,0 T se usa para acelerar protones. a) ¿Cuál debe ser la frecuencia (en Hz) del campo oscilador entre las Des? b) Si se utiliza este ciclotrón para acelerar deuterones, ¿a qué frecuencia se deberá ajustar la frecuencia de este campo oscilador?
49. Un haz que contiene una mezcla de los isótopos Li y 7Li entra en la región de campo →
magnético uniforme B 0 por la ranura C del espectrómetro de masas. Si los iones Li6 se detectan a una distancia de l0 cm por debajo de la ranura C, ¿dónde aparecerán los iones Li7? ¿Cuál es la razón de las energías cinéticas ale esos dos isótopos?
54. Si E 0 es la energía de un ciclotrón, cuando acelera protones, demuestren que puede acelerar iones, de masas atómicas A y con Z unidades de carga, a la energía
⎛Z2 ⎞ ⎟⎟ E 0 E = ⎜⎜ A ⎝ ⎠ 55. Si existiera un monopolo magnético de intensidad ε , entonces, el campo magnético Respuesta.
→
5, l2 cm bajo la ranura;
( ) ( )
⎛ ε ⎞→ r , en donde 3 ⎟ ⎝r ⎠
asociado a él sería de B = ⎜
7
7 K Li = 6 6 K Li
r es la posición en el espacio, medida a partir del monopolo. a) Escriban la ecuación del movimiento para una partícula de carga q y masa m que se desplace en el campo de un monopolo. b) Demuestren que la energía cinética de la partícula es una constante de movimiento. Respuesta
50. Un ciclotrón que se utiliza para acelerar protones tiene un radio de 0,5 m y un campo magnético de 0,75 T. a) ¿Cuál es la energía de los protones que salen? Exprese su repuesta en Joules y en Mev. b) ¿Cuál es la velocidad final de los protones expulsados? c) ¿Cuáles serían las energías de partículas alfa si se vieran aceleradas por este ciclotrón?.
→
→
→
dv v× r a) m = qε 3 dt r
56. Para el sistema físico del problema anterior, demuestren que: a) La cantidad de movimiento angular
51. Con el ciclotrón del problema anterior. a) ¿Cuál es la frecuencia del oscilador ω para este ciclotrón, cuando acelera protones? b) Si los protones recogen 100 keV cada vez que cruzan el espacio entre las Des, ¿cuántas órbitas semicirculares completarán los protones antes de verse expulsados? c) Calculen el tiempo necesario para acelerar los protones hasta sus velocidades finales. Respuesta a) 7,2 x 107 rad/s; b) 69 órbitas; c) 3,0 x10-6s
→
→
m r × v (en relación al monopolo) de la partícula no es constante en general.
⎛ → →⎞ d⎜m r⋅ v ⎟ ⎝ ⎠ es constante y b) La cantidad dt determinen su valor en función de la →
velocidad inicial v 0 .
52. Si se utilizara el mismo el ciclotrón para acelerar electrones, entonces, desdeñando los efectos relativistas, ¿cuáles serían las energías finales de los electrones? ¿Tenemos razones para suponer que los efectos relativistas son desdeñables?
57. Se ha estimado que en la superficie de una estrella de neutrones, el campo B puede ser de hasta 109 T. Para un protón de lo MeV que se desplace en ese campo, determinen:
74
Campo magnético
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a) Calculen la fuerza producida por el campo externo en cada segmento. b) Al utilizar los resultados de (a) demuestren explícitamente que la fuerza total sobre el lazo es cero. Respuesta a) IaB dirigido perpendicularmente al alambre en el plano de la bobina
a) su frecuencia de ciclotrón y b) el radio de su órbita. Respuesta a) 9,6 x 1016 rad/s b) 4,6x 10-10m 58. Una bobina rectangular de alambre lleva una corriente I y tiene una anchura a. Si el extremo inferior de la bobina se mantiene entre los polos de un electroimán con un campo magnético B y dirigido como se muestra en la figura, calculen la magnitud de
62. Sean dos alambres paralelos, cada uno de ellos con una longitud l , que tienen las mismas corrientes I y están separados por una distancia a, como en la figura. a) Demuestren que el campo magnético B en el punto (x, a) del alambre superior, debido a la corriente en el interior, tiene la magnitud
→
la fuerza F necesaria para sostener la bobina, por encima de la gravedad.
B=
μ 0 I 1 ⎧ (l 2) − x ⎨ 4π a ⎩ ( x − l 2)2 + a 2
[
+
]
(l 2) + x ⎫ [(x + l 2)2 + a 2 ]⎬⎭
¿Cuál es la dirección de B? b) Calculen la fuerza dF sobre el elemento de longitud dr, situado en el punto (x, a) del alambre superior. c) Demuestren por integración que la fuerza total F sobre el alambre superior es descendente y tiene la intensidad
59. Demuestren que la fuerza sobre una porción de alambre que lleva una corriente en un campo magnético uniforme es la misma para todos los alambres que tengan los mismos puntos extremos. O sea, demuestren que la fuerza sobre los alambres 1 y 2 en la figura es la misma que si pasara la misma corriente por cada uno de ellos.
F=
μ0 I 2 2π
[(
⎛1⎞ 2 2 ⎜ ⎟ l +a ⎝a⎠
)
12
−a
]
63. En la figura, si a = 3,0 cm, b = 5,0 cm,c = 3,0 cm, I1 = 5,0 A e I2 = 2,0 amperios, calculen: a) la fuerza en el segmento AC que se debe a la corriente en el alambre largo, y b) la fuerza en el segmento AE que se debe a la corriente en el alambre largo.
60. Una corriente de 5,0 A fluye en un lazo cuadrado de lado de 10 cm. Calculen la fuerza total en dos de sus lados adyacentes, producida por una inducción magnética externa perpendicular al plano del lazo y una intensidad de 0,1 T. 61. Una corriente de una intensidad I fluye en una bobina que tiene la forma de un pentágono regular de lado a. Supongan que hay un campo magnético uniforme B perpendicular al plano de la bobina.
75
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán →
c) Calculen la fuerza total F sobre alambre de longitud L.
64. Sea nuevamente el sistema del problema anterior. Esta vez, calculen la fuerza sobre el alambre recto y largo debida a la medición magnética producida por el lazo rectangular. Respuesta
→
67. Dos elementos de corrientes I 1 d l 1 e
μ 0 I1 I 2 h ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ − ⎟ , (izquierda) 2π ⎝ a b ⎠
→
I 2 d l 2 se colocan uno en relación al otro,
como se muestra en la figura. a) Calculen la fuerza que ejerce el elemento
65. Un lazo rectangular de alambre de lados de 10 y 30 cm lleva una corriente de 15 A. Calcular las fuerzas mutuas de repulsión entre los dos pares de alambres opuestos. Respuesta 9,7 x 10-5 N entre alambres más largos; 2,4 x 10-6 N entre alambres más cortos
→
I 1 d l 1 sobre el otro.
b) Calculen la fuerza que ejerce el elemento →
I 2 d l 2 sobre el otro.
c) Expliquen la razón por la que, cuando los resultados en (a) y (b) no sean iguales y opuestos, no haya contradicción esencial con la ley de Newton de la acción y la reacción.
66. Sean dos alambres de longitudes l y L en ángulo recto entre sí, de la figura. Supongan que las corrientes I1 e I2 se dirigen como se muestra. →
a) Demuestren que el campo magnético B en la posición del elemento de longitud dy situado en el punto (0, y, 0) es
μ I B = kˆ 0 1 4πy →
⎧⎪ −b ⎨ 2 ⎪⎩ b + y 2
(
+
)
68. En cierto sistema de coordenadas fluye una corriente I2 a lo largo de un alambre infinitamente largo que se encuentra a lo largo del eje x. Demuestren que la fuerza magnética sobre el segundo alambre de longitud l y que lleva una corriente I1 cuyos puntos extremos están en los puntos (0, 0, a) y (0, l , a) es
12
⎫⎪ 12 ⎬ + y 2 ⎪⎭
b+l
[(b + l)
2
]
b) Demuestren que la fuerza magnética dF sobre el elemento dy es
μ 0 I1 I 2 ⎛ l 2 ⎞ ˆ F =i ln⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 4π ⎝ a ⎠ →
⎧⎪ μ II −b d F = iˆ 0 1 2 dy ⎨ 12 4πy ⎪⎩ (b 2 + y 2 ) →
+
⎫⎪ 12 ⎬ + y 2 ⎪⎭
b+l
[(b + l)
2
69. Sea la misma situación que en el problema anterior, suponiendo esta vez que los puntos extremos del segmento más corto están en los puntos (0, − l 2 -, a) y (0, l 2 , a).
]
76
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
a) Demuestren que esta vez no hay fuerza sobre el segmento más corto. b) Calculen el torque en torno al punto (0,0, a) sobre el segmento más corto. 70. Calculen los momentos dipolares magnéticos asociados a cada uno de los lazos planos siguientes (suponiendo que en cada caso, la corriente es de 2,0 A y que hay 10 vueltas en cada lazo): a) Un lazo circular de radio de 10 cm. b) Un lazo rectangular de lados de 2 y 10 cm. c) Un lazo de forma elíptica de eje semi mayor de 10cm y semi menor de 5cm. Respuesta a) 0,63 A.m2, b) 4,0 x 10-2 A.m2, c) 0,31 A.m2
a) Demuestren que el torque τ en torno a un punto P dentro del lazo se puede expresar, →
∫
→
⎛ ⎝
→
→
⎞ ⎠
utilizando, en la forma τ = iˆ r × ⎜ d l × B ⎟ , →
en donde r es el vector del punto P al →
elemento Id l . b) Utilizando el hecho de que la integral se debe llevar en torno a un lazo cerrado, demuestren que otra fórmula equivalente para τ es
71. Al calcular el trabajo que se requiere para hacer girar un lazo de corriente de momento
τ = iˆ⎛⎜ ∫ r ×d l ⎞⎟ × B →
→
dipolar en un campo magnético B , demuestren que la energía U asociada con él es
1 2 ⎝
→
→
→
⎠
c) Finalmente, demuestren que la integral
1 → → r ×d l es el área vectorial del lazo y, en 2∫
→ →
U = − m⋅ B (Indicación: El trabajo dW que se re quiere para hacer girar un dipolo en un pequeño ángulo dα es rdα , donde τ es el torque que se tiene que aplicar.)
esa forma, establezcan la validez general de →
→
→
τ = m× B .
72. Una bobina circular de alambre de radio de 10cm y 150 vueltas lleva una corriente de 10-2 A. Cuál es el torque máximo que se puede ejercer sobre esta bobina mediante un campo magnético uniforme de una intensidad de 0,2 T. Respuesta 9,4 x 10-3 N.m
→
→
→
75. Demuestren que τ = m× B es válido para un lazo de forma arbitraria, reemplazando el lazo dado de corriente por un conjunto de lazos rectangulares contiguos y muy delgados, cada uno de los cuales tenga la misma corriente I.
73. Se suspende un lazo rectangular de lados a y b de tal modo que tenga libertad para girar en torno al eje horizontal AB. Si tiene una masa m y si la corriente en torno es I, calculen el ángulo θ al que estará en equilibrio en presencia de un campo magnético vertical
76 Sea un alambre de longitud fija l y que lleve una corriente I. Este alambre se puede formar en varios lazos, tales como el cuadrado del lado l 4 , n lazos circulares
→
uniforme B . 74. Sea un lazo plano de alambre que lleva una corriente I en presencia de un campo
cada uno de ellos de radio 1 2π n , etc. Demuestren que el torque máximo en cualquiera de ellos en un campo magnético
→
magnético uniforme B .
→
uniforme B se logra cuando el alambre
77
Campo magnético
Hugo Medina Guzmán
forma un círculo de radio 1 2π y calculen la torque en este caso. Respuesta
a) La velocidad de deriva de los electrones. b) El valor del coeficiente de Hall. e) El número de portadores de carga por unidad de volumen, comparando esto con el número de átomos de sodio por unidad de volumen. La masa atómica del sodio es de 23 y su densidad de l0 kg/m3. Respuesta a) 1.3 x 10-5 m/s, b) 2,5x 10-10 m3/C, c) 2,5 x 1028 portadores de carga/m3
Il 2 B 4π 77. Un lazo circular de alambre de masa m y radio a lleva una corriente I y tiene libertad para girar en torno a un diámetro horizontal →
AC en presencia de un campo B uniforme, dirigido verticalmente hacia arriba. Si está distribuido en una cantidad ligera a partir de su posición de equilibrio, demuestren que oscilará en torno a AC con un movimiento
⎛ 2π m ⎞ ⎟ ⎝ IB ⎠
79. Supongan que el galvanómetro de bobina pivotante de la figura tiene un campo radial →
B de una intensidad de 0,3 T, y que la bobina misma tenga 200 vueltas y un área de 3,0 cm2. Calculen la constante de resorte (torsión/desplazamiento angular), suponiendo que una corriente de 1,0 mA produzca una deflexión angular de 15°.
12
armónico simple de periodo T = ⎜
(Nota: El momento de inercia de este lazo en torno a un diámetro es de I inercia =
1 ma 2 .) 2
78. En un experimento para medir el efecto de Hall en el sodio, supongan que se utiliza un campo magnético de una intensidad de 0,8 T y se mide una corriente de 10 A. Suponiendo que el área de corte transversal de la lámina metálica sea de 2 cm2 y que E t = l0 V/m, calculen:
78
