Electrostática
Hugo Medina Guzmán
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
INTRODUCCIÓN. La primera observación de la electrización se remonta a la época de la Grecia antigua. A Tales de Mileto se le atribuye haber observado la atracción que el ámbar previamente frotado, ejerce sobre pequeños pedazos de fibra y paja. A pesar de que la electrización del ámbar por fricción fue transmitida de un escrito a otro, nada nuevo se descubrió hasta principios del siglo XVII en que Sir William Gilbert anunció el descubrimiento de que muchas sustancias podían ser electrizadas por frotamiento y que el ámbar es uno de los muchos materiales que manifiestan el efecto.
ELECTRIZACIÓN
Si frotarnos una barra de plástico con una piel de gato, o si frotamos una barra de vidrio con seda. Las barras adquieren la propiedad de atraer cuerpos ligeros corno pedacitos de papel a una pequeña bola hecha da material ligero como corcho o médula de saúco (Sambucus peruviana) suspendida por hilos de seda. Se dice que estos cuerpos están electrizados. Si frotarnos una barra de cobre sostenida por la mano, no habrá acción sobre los cuerpos ligeros, pero si frotamos la misma barra de cobre pero esta vez sostenida por un mango de vidrio, se electriza y ejercerá acción sobre los cuerpos ligeros. O sea que tenemos cuerpos de dos categorías, los primeros como al vidrio, plexiglás, ebonita, resina que se electrizan agarrándolos con 1a mano y otros cuerpos que necesitan un mango de un material de la primera categoría para poder ser electrizados La experiencia demuestra que en los cuerpos de la primera categoría la electricidad permanece localizada en los puntos frotados, no se propaga, estos cuerpos son malos conductores de la electricidad se conocen como aislantes o dieléctricos. Para los cuerpos de segunda categoría, las propiedades de la atracción sobre cuerpos ligeros no solo se manifiestan en los puntos frotados, sino en todos los puntos, a sea la electrización producida se transmite a todos los puntos del cuerpo, estos cuerpos son conocidos como conductores. El cuerpo humano y la tierra son conductores. Además de la electrización por frotamiento descrita, hay otras formas de electrización que indicamos a continuación.
EL ELECTROSCOPIO. Dispositivo que sirve para detectar y medir la carga eléctrica de un objeto. Los electroscopios han caído en desuso debido al desarrollo de instrumentos electrónicos mucho más precisos, pero todavía se utilizan para hacer demostraciones. El electroscopio más sencillo está compuesto por dos conductores ligeros suspendidos en un contenedor de vidrio u otro material aislante. Se puede utilizar un electroscopio para determinar si un objeto está cargado eléctricamente. Cuando un objeto cargado se acerca al bulbo, las hojas divergen. a) El electroscopio neutro tiene las cargas distribuidas uniformemente, las hojas están juntas.
(b) Las fuerzas electrostáticas causan que las hojas diverjan.
1° Electrización por contacto La carga es transferida al electroscopio cuando la varilla cargada toca el bulbo. Entonces, cuando una 1
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
tierra, es decir, se da una trayectoria para que los electrones puedan escapar del bulbo. Entonces, cuando se acerca al bulbo una varilla cargada negativamente los electrones son repelidos del bulbo. Al retirar los dedos se deja al electroscopio una carga positiva neta.
varilla con carga opuesta se acerca al bulbo, las hojas se colapsan y se juntan. El electroscopio neutro se toca con una varilla cargada negativamente; las cargas son transferidas al bulbo.
3º Piezoelectricidad. Una lámina de cuarzo convenientemente tallada, se electriza por compresión o por tracción, el fenómeno es reversible. Estos cuerpos son conocidos como piezoeléctricos. El electroscopio tiene una carga negativa neta. 4° Electrización por las fuentes de electricidad. Si ponemos una pila o un acumulador, uno de sus polos se conecta a tierra y el otro a un conductor aislado, éste se electriza. Con una sola pila la electrización es débil, pero si se dispone de muchos elementos se obtiene electrización fácil de poner en evidencia. La varilla cargada positivamente atrae los electrones; las hojas se colapsan.
ELECTRICIDAD POSITIVA Y NEGATIVA Cuando frotamos entre sí dos sustancias diferentes y luego las separamos, nos encontramos con dos tipos de electricidad. Para ver mejor esto realicemos la siguiente experiencia. Dispongamos de dos barras de plástico y dos barras de vidrio. Se carga por frotamiento con una piel una de las barras de plástico y se la suspende mediante un gancho y un hilo de nylon como se muestra en la figura siguiente, pudiendo girar libremente.
2° Electrización por inducción Al tocar el bulbo se proporciona una trayectoria para la transferencia de carga, los electrones son transferidos a la tierra. Cuando el dedo se retira, el electroscopio tiene una carga neta, el electroscopio queda cargado positivamente.
Si acercamos a esta barra de plástico la otra frotada similarmente, observamos que gira alejándose, si acercamos la piel a la barra de plástico suspendida observamos que ésta gira acercándose. De igual modo si acercamos la barra de vidrio electrizada por frotación con seda observamos que el plástico gira acercándose y si acercamos la seda el plástico gira alejándose.
Tierra eléctrica se refiere a la tierra (o sea al “suelo”) o a algún otro objeto que pueda recibir o suministrar electrones sin cambiar significativamente su propia condición eléctrica. Como esto se debe a electrones que han sido transferidos, usted puede preguntarse cómo se puede cargar positivamente un electroscopio. Esto se hace cargando por inducción. Al tocarse el bulbo con un dedo, el electroscopio hace 2
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
iguales de carga positiva y negativa, la carga de un electrón es igual pero opuesta a la carga de un protón. En cada núcleo hay tantos protones como electrones hay rodeándolo. Los átomos aislados o los grupos grandes de átomos y moléculas tienen una afinidad para adquirir electrones adicionales sobre el número exacto que neutralizan las cargas positivas del núcleo. Esta afinidad de los átomos para tener más electrones que el número suficiente de ellos, varía considerablemente de una sustancie a otra. Por lo tanto, cuando dos sustancias diferentes se ponen en contacto, la que tiene mayor afinidad toma las electrones próximos de la otra y adquiere una carga negativa, mientras que la otra queda cargada positiva mente, tal es el caso del Caucho cuando se frota con una piel.
Puesto que la piel al igual que el vidrio, atraen al plástico electrizado, ambos tienen la misma clase de electrización. Se dice que estén cargados positivamente. De modo similar el plástico y la seda estarán carga dos negativamente. Las Cargas positivas las designamos por el signo (+) y las Cargas negativas por el signo (-). De esta experiencia también podemos describir que “Las Cargas iguales se repelen y las Cargas contrarias se atraen”. También es una observación experimental que la carga no puede ser creada ni destruida, la carga total de un sistema no puede ser cambiada. Del punto de vista macroscópico las cargas pueden reagruparse y cambiarse de diferentes maneras o sea que “La carga neta se conserva en un sistema cerrado”.
LA LEY DE COULOMB Esta ley de la fuerza entre los cuerpos cargados puede enunciarse como sigue: “Cuerpos con cargas similares se repelen y con cargas diferentes se repelen; para cargas puntuales (llamando puntual cuando sus dimensiones espaciales son muy pequeñas comparadas con cualquier longitud del problema en cuestión) la fuerza de interacción es proporcional al producto de lo cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa”.
TEORÍA DE LA ELECTRIZACIÓN La Carga es una propiedad característica y fundamental de las partículas elementales que forman luego materias. Las sustancias estén formadas por moléculas y estas por átomos. Cada átomo contiene un núcleo que tiene una cantidad conocida de carga positiva. Esta Carga positiva se debe a la presencia de un cierto número de protones. Todos los protones son semejantes y tienen la misma masa y la misma carga positiva. Alrededor de cada núcleo atómico hay un número de partículas cargadas negativamente, llamadas electrones.
La ley fue establecida en 1784 por Coulomb por medios experimentales utilizando una balanza de torsión. Podemos nosotros reproducir este experimento en una forma sencilla, para esto dispongamos de dos esferas pequeñas de médula de saúco (se puede usar esferas de tecknopor) suspendidas de hilo de nylon, como se muestra en la figura (a) donde la distancia puede variarse a voluntad. Al ponérsele carga a las esferas estas toman la posición mostrada en la figura (b).
Normalmente cada átomo de una sustancia es eléctricamente neutro, o sea que tiene cantidades 3
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Donde θ es el ángulo de deflexión, mg los pesos, FE. la fuerza electrostática y T la tensión en las cuerdas. De las leyes de la mecánica encontramos la relación entre FE y θ .
Sistema M.KS. En esta sistema la unidad de carga se define a partir de la corriente eléctrica, concepto que veremos más adelante en detalle, la unidad fundamental es el ampere y la carga está definida por ampere - segundo, y a esto se le llama Coulombio (C). Como FE está en Newton, q1 y q2 en Coulombios y r en metros, la constante k se fija por estas elecciones y toma el valor
FE = mg tan θ
Variando la separación d entre los soportes podemos observar diferentes deflexiones. De las medidas de FE en función de la separación de equilibrio r de las cargas encontramos que
FE ∝
k = 8,9874×109
1 r2
El cual puede aproximarse a 9x109 en la mayoría de los cálculos numéricos. Es útil expresar el valor de k en la forma
esta evidencia experimental se presenta a continuación en forma de ecuación
q1 q 2 r2 Donde q1 y q2 representan las magnitudes de
k=
FE = k
C2 Nm 2
Ejemplo 1. Se tienen dos cargas puntuales. →
q1 = 2 ×10−9 C , r1 = 2iˆ + ˆj + 3kˆ en metros y →
q2 = 3 × 10−9 C , r2 = iˆ + 3 ˆj + kˆ en metros.
→ qq qq → F1 = k 1 3 2 r21 O F1 = k 1 2 2 rˆ21 r21 r21
¿Cuál es esfuerzo sobre cada una de ellas? Solución.
→
r21 , vector unitario a lo largo de r21
→
Fuerza sobre q1 : F1 =
r21
→
→
q1 q 2 → r21 4πε 0 r213 1
(
→
) (
r21 = r1 − r2 = 2iˆ + ˆj + 3kˆ − iˆ + 3 ˆj + kˆ = iˆ − 2 ˆj + 2kˆ
Fuerza sobre la carga q →
4πε 0
ε 0 = 8,85415 × 10 −12
→
F2 = k
1
Donde ε 0 es una constante que se conoce como la permitividad del espacio libre y su valor es
las cargas. La dependencia de la carga no fue establecida por Coulomb, puesto que no tenía medios independientes para juzgar la magnitud de la carga, r es la distancia entre los centros de las cargas. Como la fuerza es un vector la ley de Coulomb la podemos escribir de la siguiente forma, fuerza sobre la carga
Donde rˆ21 =
Nm 2 C2
→ q1 q 2 → r = − F 12 1 r123
[
r21 = 12 + (− 2 ) + 2 2 2
Luego →
F1 = 9 × 10
9
]
12
)
= 9 =3
(2 × 10 )(3 × 10 ) (iˆ − 2 ˆj + 2kˆ ) −9
−9
32
F1 = 2 × 10 −9 (iˆ − 2 ˆj + 2kˆ ) N Fuerza sobre q2 →
F2 = − F1 = −2 × 10 −9 (iˆ − 2 ˆj + 2kˆ ) N →
→
El modulo es
[
F1 = F2 = 2 × 10 −9 12 + (− 2 ) + 2 2 2
]
12
= 6 × 10 −9 N
Ejemplo 2. ¿Cuál de las dos situaciones siguientes daría como resultado una mayor fuerza? a) La fuerza de repulsión que ejerce una carga de 100 C sobre una de 1 C.
UNIDADES Como la carga eléctrica es un concepto nuevo, no conocido en la mecánica es necesario introducir una nueva unidad fundamental. Sistema CGS. En este sistema hacemos k = 1 y la unidad de carga se llama el statcoulombio. 4
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
b) La fuerza de repulsión que ejerce una carga de 1 C sobre una de 100 C. Solución. Las dos opciones nos conducen a la misma situación, ya que tienen la misma distancia. Y el producto de la carga es la misma
n=
q 1,43 × 10 −16 C = e 1,6 × 10 −19 C = 894
Lo único que cambia es la dirección de la fuerza.
Ejemplo 5. Determine la fuerza eléctrica, de atracción, ejercida por una carga Q1 = 2,0 μC que se encuentra en la posición (1, 1,1) sobre la carga Q2 = −2,0μC en el origen.
Ejemplo 3. ¿Si deseo trasladar una carga de 1C del origen a el punto (100,100, 100) y luego del punto al origen, en cual de los dos la fuerza de atracción debe ser mayor? Solución. Al igual que en el problema anterior, la misma fuerza, en magnitud, que se requiere para trasladar la carga del origen al punto y del punto al origen es la misma. Por lo tanto la misma fuerza que se requiere para trasladar la carga del origen al punto es la misma que la que se requiere para trasladar la carga del punto al origen. Analicemos la siguiente relación.
Solución. La fuerza, mediante la ley de Coulomb queda determinada por:
→
F =k
→
F =k
q1 q 2 r r2
→
q pQ 4πε 0 r 2
F=
r
Determinemos para ello el vector que existe entre las cargas:
Donde qp es una carga llamada carga de prueba, que podemos utilizar para medir la fuerza necesaria del para trasladar la carga del origen al punto P. Analicemos ahora la fuerza para trasladar la carga del punto P al origen →
F =k
q pQ
→
r 12 = (0 − 1)iˆ + (0 − 1) ˆj + (0 − 1)kˆ = −iˆ − ˆj − kˆ →
→
4πε 0 r 2
La magnitud del vector r 12 es:
r
→
Por lo tanto el vector unitario →
Ejemplo 4. Dos esferas pequeñas separadas por una distancia de 20,0 cm tienen cargas iguales. ¿Cuántos electrones en exceso hay en cada esfera si la magnitud de la fuerza de repulsión entre ellas es de 4,57x 10-21 N? Solución. Primero encontramos la carga de las esferas.
es: rˆ =
→
F=
− iˆ − ˆj − kˆ
=
→
3
Q1Q2 rˆ 4πε 0 r 2
(2 × 10 )(− 2 ×10 ) ⎛⎜ − iˆ − ˆj − kˆ ⎞⎟ −6
=
q = 4πε0 Fr 2
4πε 0
=
= 4πε0 ( 4,57 × 10 −21 )(0,2) 2
= 1,43 × 10
r 12 r 12
1 q2 ⇒ 4πε0 r 2
−16
(− 1)2 + (− 1)2 + (− 1)2
r = r 12 =
Observemos que ambas relaciones son las mismas.
F=
Q1Q2 rˆ 4πε 0 r 2
→
→
−6
( 3)
36 × 10 −3 3
2
⎜ ⎝
3
(− iˆ − ˆj − kˆ )
La magnitud de la fuerza es
C
F=
Luego, el número total de electrones requerido es:
36 × 10 −3 3
3 = 36 x 10-3 N
Es decir, el término:
5
⎟ ⎠
= 3
Electrostática
F=
Hugo Medina Guzmán
b) Cuando se ponen en contacto se produce equilibrio de las cargas diferentes o sea
Q1Q 2 Ya que la magnitud del vector 4πε 0 r 2
unitario es 1 Ejemplo 6. Encuentra la fuerza de repulsión que existe entre dos cargas de 2 C cada una. Una de las cargas esta en el origen y la coordenada de la otra carga en (0, 0,0) Solución. Primeramente sabemos que las dos cargas no pueden estar en el mismo punto. Para estar en el mismo punto tendríamos r = 0, que en la ecuación de la ley de Coulomb nos conduciría a una indeterminación debido a la división entre cero.
F =k
3 × 10 −9 − 1 × 10 −9 = 2 × 10 −9 ⇒ Sería la carga total, la que se distribuye por igual en cada una de las esferas, por ser idénticas. 2 × 10 −9 q1 = q 2 = = 1 × 10 −9 C 2
c) La fuerza entre las dos esferas cuando se colocan a 3 cm es:
q pQ
4πε 0 (0 )
Sabemos del hecho que la fuerza eléctrica entre dos cargas es una ley
F=
La fuerza crece muy rápidamente a medida que r es pequeña, como se puede observar en su gráfico
→
1 4πε 0
F=
−9
−9
−2 2
−5
N
1 q1q2 4πε 0 r 2
Luego
F1 =
1
q1q2 1 q1q2 y F2 = 2 4πε 0 (0,2 ) 4πε 0 (0,5)2
F1 (0,5) = = 6,25 F2 (0,2)2 2
∴
b) Si las esferas se unen por un alambre, las cargas, que se atraen a una otra, pueden fluir por el alambre bajo influencia de las fuerzas que actúan en ellas. Las cargas neutralizarán lo más lejos posible y (16,0 x 10-14 – 6,4 x 10-14) = 9,6 x 10-14 C se distribuirán sobre el sistema. No tomar en cuenta el efecto del alambre, por simetría 4,8 x 10-14 C quedará en cada esfera. La fuerza entre las dos esferas ahora es:
(3 × 10 )× (− 1× 10 ) (3 × 10 ) −9
4πε 0
(1 × 10 )× (1× 10 ) = 1 × 10 (3 × 10 )
Ejemplo 8. Dos esferas conductoras iguales de tamaño insignificante se cargan con 16,0 x 10-14 C y -6,4 x 10-14 C, respectivamente, y se colocan separadas 20 centímetros. Luego se mueven a una distancia de 50 centímetros separación. a) Compare las fuerzas entre ellas en las dos posiciones. b) Las esferas se conectan por medio de un alambre fino. ¿Qué fuerza ejerce la una sobre la otra? Solución. La ecuación que da la fuerza entre las esferas, que se pueden considerar como cargas puntuales, es
Ejemplo 7. Dos esferas idénticas pequeñas y conductoras tienen cargas de 3x10-9 C y -1x10-9 C, respectivamente. Cuando se colocan separadas 3 cm. a) ¿Cuál es la fuerza entre ellas? b) Si se ponen en contacto y luego se separan 3 cm, c) ¿cuál es la fuerza entre ellas? Solución. a) La fuerza entre las dos esferas cuando están separadas 3 cm. es:
F=
1
→
1 F∝ 2 r
−9
−2 2
= − 3 × 10 −5 N La fuerza es de atracción e igual a 3x10-5 N. 6
Electrostática
F=
Hugo Medina Guzmán
q2 4πε 0 r 2
repulsiva de Coulomb F que actúa horizontalmente, y la tensión T en el hilo de soporte. Puesto que la esfera está en equilibrio, las componentes horizontales y verticales deben equilibrarse por separado. Así mg = Tcos 45º y F = Tsen 45º o F = mg tan 45º Pero
1
(4,8 × 10 = (9,9 × 10 ) 9
−17
= 8,29 × 10
−14
(0,5)2
C
)
2
N
q2 1 q2 F= = 4πε 0 (2hsen 45º )2 4πε 0 r 2 1
Ejemplo 9. Un electrón tiene una masa de 9,1 x 10-31 kg y una carga eléctrica de 1,6 x 10-19 C. Suponga que dos electrones están colocados cerca de uno de otro. Compare las fuerzas gravitacionales y eléctricas entre ellas. Solución. La fuerza de atracción gravitacional entre los electrones es:
Donde q es la carga sobre cada esfera. ∴
q 2 = 4πε 0 (2h sen 45º )mg
− 31 m2 ) 11 (9,1 × 10 = ( ) 6 , 6 × 10 2 2 r r −72 54,6 × 10 = N m2 2 r
2
FG = G
q = 3,7 x 10-7C.
Ejemplo 11. Las cargas puntuales de magnitudes 2,5 x 10-14 C, 1,0 x 10-14 C, -3,5 x 1014 C, y 2.0 x 10-14 C se ponen en las esquinas A, B, C, y D de un rectángulo respectivamente en el cual el AB tiene una de longitud 8 cm y BC tiene una longitud de 6 cm. ¿Qué fuerza actúa sobre la carga en D debido a las otras tres? Solución.
La fuerza de repulsión entre los electrones es: −19 q2 ) 9 (1,6 × 10 Fe = = ( ) 9 , 9 × 10 2 2 r 4πε 0 r
1
=
2
⎛ 1 ⎞⎤ ⎞⎡ ⎟⎥ (2,5 × 9,8) ⎟ ⎢2 × 0,5⎜ ⎠⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ = 13,6 x 10-14 C2. ⇒
⎛ 1 =⎜ 9 ⎝ 9 × 10
2
23,04 × 10 −29 N m2 r2
Luego
Fe 23,04 × 10−29 = = 4,2 × 10 42 − 72 FG 54,6 × 10 La fuerza gravitacional entre los electrones es despreciable en comparación con la fuerza eléctrica. Ejemplo 10. Dos esferas conductoras pequeñas, cada uno de la masa 0,25 g, están colgando por medio de hilos aisladores de longitud 50 centímetros de modo que apenas se tocan. Se da una carga, que comparten igualmente, y a cada una toma una posición tal que el hilo por el cual cuelga forma un ángulo de 45º con la vertical. ¿Cuál es la carga en cada una? Solución.
Las cargas en A, B, C, y D son q1, q2, - q3, y q4, respectivamente. Las fuerzas ejercidas sobre q4, por las otras tres se muestran en el diagrama como los vectores F1, F2, y F3, respectivamente. Los ejes x e y se han seleccionado en las direcciones mostradas.
q1 q 4 q2 q4 1 , F2 = , 2 4πε 0 b 4πε 0 a 2 + b 2 1 q3 q 4 F3 = 4πε 0 a 2 F1 =
1
(
)
Las tres fuerzas que actúan sobre q4 se combinan en una sola fuerza F con componentes (Fx, Fy) a lo largo de los ejes elegidos. F2 se descompone a lo largo de los ejes x e y, y observamos que:
Hay tres fuerzas que actúan en cada esfera, el peso mg que actúa hacia abajo, la fuerza 7
Electrostática
BD =
Hugo Medina Guzmán
(8cm )2 + (6cm )2
Como F2→1 es negativa, F3→1 también debe ser negativa porque la fuerza neta sobre q1 es 7,00 N en la dirección negativa x.
= 10 cm
Obtenemos
Fx = F3 − F2 senθ , Fy = F1 − F2 cosθ De estas ecuaciones, se obtiene
⎤ q 4 ⎡ q3 q2 a × ⎢ 2 − 2 ⎥ 2 2 2 4πε 0 ⎣ a a +b a +b ⎦ ⎤ q 4 ⎡ q3 q a = ⎢ 2 − 2 2 2 32 ⎥ 4πε 0 ⎣⎢ a (a + b ) ⎦⎥
Fx =
=
(
)
q2 está a la derecha de q1. →
F 2→1 =
⎡ ⎤ (9 ×10 )(2,0 ×10 )⎢ 3,5 ×10 − (1,0 ×10 )(8 ×10 )⎥ (10 ×10 ) ⎥⎦ ⎢⎣ (8 × 10 ) −14
9
−14
−14
−2
-16
= 8,40 x 10 N. Del mismo modo
q ⎡q q2 a Fy = 4 ⎢ 12 + 2 4πε 0 ⎣⎢ a a + b2
(
)
→
F 3→1 =
i ≠1
−6
−6
0,04
(8 × 10 )(3 × 10 ) ˆj −6
→
→
−6
x2
→
F sobre1 = F 2 →1 + F 3→1 = −7,00 ˆj 0,216 ˆj − 7,00 ˆj = −3,375 ˆj + x2 0,216 = 10,375 x2
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DISTRIBUCIÓN DE CARGAS Si más de dos cargas puntuales están presentes, las fuerzas mutuas se determinan por la aplicación repetida de la ley de Coulomb, esto viene a ser la ley de adición o principio de superposición y se demuestra experimentalmente. Si son n las cargas esto es q1, q2, q3. La fuerza sobre la carga es
F1 = q1 ∑
1
4πε 0 0,216 ˆj = x2
de tan-1 (13,58/8,40) = 58°16’ con el eje x.
qi
(5 × 10 )(3 × 10 ) ˆj
q3 debe estar a la izquierda de q1.
⎤ 32 ⎥ ⎦⎥
8,40 2 + 13,58 2 = 15,97x10-16 N, a un ángulo
n
ˆj
4πε 0 (0,20 )2
= −3,375 ˆj N
= 13,58 x 10-16 N. El vector F tiene componentes: (8,40x10-16 N y 13,58x10-16 N), Cuya magnitud es:
→
q2 q1
= −9 × 10 9
−2 3 2
−2 2
1
x = ± 0,144 m
Para que F3 x sea negativa, q3 debe estar en x = - 0,144 m.
→
Ejemplo 13. Se colocan cuatro cargas idénticas q en los vértices de un cuadrado de lado L. a) En un diagrama de cuerpo libre, muestre todas las fuerzas que actúan sobre una de las cargas. b) Halle la magnitud y dirección de la fuerza total que ejercen sobre una carga las otras tres. Solución. a) Consideremos la fuerza sobre la carga situada en el origen de coordenadas
r i1 4πε 0 ri13
Donde la sumatoria so extiende sobre todas las cargas con excepción de la Carga q1. Ejemplo 12. Tres cargas puntuales están ordenadas a lo largo del eje de las x. La carga q1 = + 3,00 μC está en el origen, y la carga q2 = 5,00 μC está en x = 0,200 m. La carga q3 = 8,00 μC. ¿Dónde está situada q3 si la fuerza neta sobre q1 es 7,00 N en la dirección negativa x? Solución. Como la fuerza neta de q2 y q3 sobre q1 está sobre el eje x, la carga q3 necesariamente estará sobre el eje x.
8
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
⇒ (d − x ) = 3x 2
b)
2
→
F1 =
2
1
q iˆ 4πε 0 L2
d2 =0 2 1 3 Resolviendo: x = − ± 2 2 ⇒ x 2 + dx −
q2 2 (iˆ − ˆj ) F2 = 4πε 0 2 L2 2 1
→
hay dos posiciones posibles
1 q2 ˆj F3 = − 4πε 0 L2 →
La fuerza total →
→
→
Reemplazando
El módulo
) 4πε1
0
)
x1 está entre ellas a la derecha de q. x2 está fuera a la izquierda de q. Ahora encontramos el valor Q para x1, para que haya equilibrio es necesario que las fuerzas sobre q se anulen.
1 q2 ⎛ 2⎞ ⎜1 + ⎟(iˆ − ˆj ) F= 2 ⎜ 4πε 0 L ⎝ 4 ⎟⎠ →
(
)
(
→
F = F1+ F 2 + F 3
F = 1+ 2 2
(
3 −1 d = 0,36 d y 2 3 +1 x2 = − d = − 1,36 d , 2 x1 =
q2 2 L2
Formando un ángulo de 45º debajo del positivo de eje x.
1
Ejemplo 14. Dos cargas puntuales se encuentran separadas una distancia d. ¿Dónde y qué carga se debe colocar para que el sistema quede en equilibrio? So1ución. La posición de la tercera carga Q debe estar en la recta formada por la línea que une las dos cargas, de no ser así no habría equilibrio como muestra la figura la componente vertical no tiene anulación posible.
3qq
4πε 0 (d )
2
+
1
qQ
4πε 0 (0,36d )2
=0
⇒ Q = −1,71q La situación x2 = - 1,36 d, no es posible, porque estando Q a la izquierda de las dos cargas positivas, tendría que ser negativa y no habría forma de lograr el equilibrio con las dos cargas positivas en diferentes posiciones, como se muestra a continuación Fuerzas sobre q
Fuerzas sobre 3q
Para determinar la posición de la carga Q llamaremos x a esta posición.
Ejemplo 15. Las cargas se colocan en el eje x como sigue: q1 = + 2 μ C en x = 0, q2 = - 3 μ C en x = 2 m, q3 = - 4 μ C en x = 3m, y q4 = + μ C en x = 3,5 m. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza en q3? Solución.
⎛q q q ⎞ F = kq3 ⎜⎜ 21 + 22 + 24 ⎟⎟ ⎝ r13 r23 r43 ⎠
Como Q está en equilibrio,
1
qQ 1 3qQ = 2 4πε 0 x 4πε 0 (d − x )2 9
Electrostática
(
)
Hugo Medina Guzmán
⎡ 2 μC
= 9 × 10 9 (4 μC )⎢− = 2,44 x 10-10N/C
(3)2
⎣
+
3μC
+
(1)2
1μC ⎤ (0,5)2 ⎥⎦
F = F12 + F22 = 4,10 x 10-9 N d) W = mg = (3,82 x 1026)(9,8) = 3,7 x 105N Como las fuerzas eléctricas que actúan en objetos cargados pequeños son mucho más grandes que sus pesos, a menudo no se toman en cuenta.
Ejemplo 16. Tres cargas positivas idénticas q se colocan en las esquinas de un triángulo equilátero de lado L. ¿Qué fuerza experimenta una de las cargas? Solución. F = 2F1cos 30° = 2k
Ejemplo 18. Dos esferas idénticas de tecknopor, cada una de 0,030 kg, cada esfera atada a un hilo de 30 cm de largo y suspendidas de un punto. A cada esfera se le da una carga q (frotándola con un paño), las dos esferas se repelen formando un ángulo de 7º con la vertical. ¿Cuál es la carga en cada esfera? Solución. Dibuje el diagrama de fuerzas para una de las esferas. La esfera está en equilibrio, tal FV = 0 que: FH = 0 y
q2 q2 = k cos 30 º 3 L2 L2
∑
Ejemplo 17. La sal de mesa (cloruro de sodio) es un cristal con una estructura cúbica simple con iones de Na+ y de Cl- que se alternan en sitios adyacentes del enrejado. La distancia entre iones es 2,82 x 10-10m = 0,282 nm (1 nm = 10-9 m). a) ¿Qué fuerza experimenta un ión del Na+ debido a uno de sus vecinos Cl- más cercano? b) ¿Qué fuerza experimenta un ión de Cldebido a un ión de Na+ vecino? c) ¿En qué fuerza experimenta un ión de Na+ en el origen debido a los iones de Cl- en (a, 0, 0) y (0, a, 0)? d) ¿Cuál es el peso de un ión del Na+ de masa 3,82 x 1026 kg? Solución.
∑
T cos θ − mg = 0 ⇒ T cos θ = mg T sen θ − F = 0 ⇒ T sen θ = F Tsenθ F Dividiendo: , donde = tan θ = T cos θ mg
F =k
q2
(2 Lsenθ )2
Resolviendo:
q2 = =
(mg tan θ )(2 Lsenθ )2 k
(0,03)(9,8)(tan 7 º )(2)(0,3)(sen7º ) 9 × 10 9
⇒ q = 0,146 x 10 C = 0,146 μC -6
(
)
2
1,6 × 10−19 e2 9 a) F1 = k 2 = 9 × 10 r 0,282 × 10−9
(
Ejemplo 19. Dos esferas idénticas de masa m se cuelgan de hilos de seda de longitud L, como se muestra en la figura. Cada esfera tiene la misma carga; por tanto, q1 = q2 = q. El radio de cada esfera es muy pequeño en comparación con la distancia entre las esferas, por lo que éstas se pueden tratar como cargas puntuales. Demuestre que, si el ángulo θ es pequeño, la separación de
)
2
= 2,90 x 10-9 N b) Por la tercera ley de Newton: La fuerza sobre el Cl- debido al Na+ es igual que la fuerza en el Na+ debido al Cl-.
(
)
→ → → ˆ ˆ c) F = F1 + F2 = 2,90 x 10-9 i + j N
10
Electrostática
equilibrio
Hugo Medina Guzmán
d
entre
las
esferas
es
13
⎛ q L ⎞ ⎟⎟ . d = ⎜⎜ ⎝ 2πε 0 mg ⎠ (Sugerencia: Si θ es pequeño, tan θ ≅ sen θ ). 2
Solución. a)
Solución. Examinando las fuerzas:
∑ Fx = Tsenθ − Fe = 0 y ∑ Fy = T cos θ − mg = 0 . mg sen θ kq 2 = Fe = 2 . Pero cos θ d d 2 kq 2 L . ⇒ d3 = ⇒ tan θ ≈ 2L mg
Luego
⎛ q2L ⎞ ⎟⎟ d = ⎜⎜ ⎝ 2πε 0 mg ⎠
b) Usando el mismo análisis que en el problema anterior, encontramos: q 2 = 4πε0 d 2 mg tan θ y d = 2(1,2)sen2 5 ⇒
13
q = 4πε 0 [2(1,2)sen 25°] (0,015)(9,80 ) tan 25° 2
⇒ q = 2,79 x 10-6 C. c) Del problema anterior, kq 2 mg tan θ = 2 . d d ⇒ sen θ = 2L kq 2 tan θ = mg ( 2 L ) 2 sen 2θ
Ejemplo 20. Dos esferas pequeñas de masa m = 15,0 g cuelgan de hilos de seda de longitud L = 1,20 m de un punto común. Cuando se les proporciona a las esferas cantidades iguales de carga negativa, de modo que q1 = q2 = q, cada hilo cuelga a θ = 25,0° respecto a la vertical, a) Dibuje un diagrama que muestre las fuerzas sobre cada esfera. Trate las esferas como cargas puntuales. b) Halle la magnitud de q. c) Ahora se acortan los dos hilos a una longitud L = 0,600 m, en tanto que las cargas q1 y q2 permanecen sin cambio. ¿Cuál es el nuevo ángulo que cada hilo forma con la vertical? (Sugerencia: Esta parte del problema se puede resolver numéricamente empleando valores de prueba de θ y ajustando estos valores hasta obtener una respuesta congruente consigo misma).
=
(8,99 × 10 9 )(2,79 × 10 -6 ) 2 (0,015 )(9,8 ) 4(0,6) 2 sen 2θ
Luego
tan θ =
0,331 . sen 2θ
Hacemos
y = tan θ y y =
0,331 sen 2θ
Graficamos las dos funciones
11
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
b) T = mg cos 20° = 0,0834 N Luego
La intersección es la solución. Obtenemos θ = 39,5°.
Fe = Tsen 20 ° = 0,0285 N =
Ejemplo 21. Dos esferas idénticas se sujetan a hilos de seda de longitud L = 0,500 m y se cuelgan de un punto común. La masa de cada esfera es m = 8,00 g. El radio de las esferas es muy pequeño en comparación con la distancia entre ellas, por lo que se les puede tratar como cargas puntuales. A una esfera se le proporciona una carga positiva q1, y a la otra una carga positiva diferente q2 esto provoca que las esferas se separen de tal modo que cuando están en equilibrio, cada hilo forma un ángulo θ = 20,0° con la vertical. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre de cada esfera en equilibrio, e identifique todas las fuerzas que actúan sobre cada esfera. b) Halle la magnitud de la fuerza electrostática que actúa sobre cada esfera, así como la tensión en cada hilo. c) Con base en la información dada, ¿qué se puede afirmar acerca de las magnitudes respectivas de q1 y q2? Explique sus respuestas. d) Ahora se conectan las esferas mediante un alambre pequeño, lo que permite que se transfiera carga de una esfera a la otra hasta que ambas tienen la misma carga; después se retira el alambre. Cada hilo forma ahora un ángulo de 30,0° con la vertical. Halle las cargas originales. (Sugerencia: La carga total del par de esferas se conserva).
kq1q2 r 21
r1 es la separación entre las cargas
r1 = 2(0,500 m) sen20° = 0,342 m
c) De (b),
0,0285 =
9 × 10 9 q1 q 2 0,342 2
⇒
q1q2 = 3,71 × 10−13 C 2 . d) Las cargas sobre las esferas se igualan conectándolas con un alambre, pero aun tenemos
Q2 Fe = mg tan θ = 0,0453 N = 4πε 0 r22 q + q2 . con Q = 1 2 La separación r2 es: r2 = 2(0,500 m)sen30º = 0,500 m. Luego: q + q2 Q= 1 = 4πε0 Fe r22 = 1,12 x 10-6 C. 2 1
Esta ecuación, con la de la parte (b), nos da dos q1 y q 2. ecuaciones en
q1 + q2 = 2,24 × 10−6 C
y
q1q2 = 3,70 × 10−13 C 2 . Por eliminación, sustitución y después de resolver la ecuación cuadrática resultante, obtenemos:
q1 = 2,06 × 10−6 C y q2 = 1,80 × 10−7 C . Ejemplo 22. Se colocan tres cargas puntuales idénticas q en tres vértices de un cuadrado de lado L. Halle la magnitud y dirección de la fuerza neta sobre una carga puntual - 3q situada a) en el centro del cuadrado; b) en el vértice vacío del cuadrado. En cada caso, dibuje un diagrama de cuerpo libre que muestre las fuerzas que ejercen sobre la carga - 3q las otras tres cargas.
Solución. a) 12
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
d) Halle los valores numéricos de hmax y d si E = 500 N/C, v0 = 4,00 x l05 m/s y α = 30.,0°. Solución.
Solución. a) F = +
2
1 1 6q q(3q ) , hacia la = 2 4πε0 ( L 2 ) 4πε0 L2
Fx = 0
Fy = eE
carga izquierda inferior. Las otras dos fuerzas son iguales y opuestas.
ay =
Fy mp
=
v y2 = v02y + 2a y Δy = v02 sin 2 α +
a)
Δ y = hmax ⇒ hmax =
⎛ q (3q ) 2 q (3q) ⎜ + ⎜ L2 ( 2 L) 2 ⎝ 3⎞ q2 ⎛ 3 2 + ⎟N. = 2 ⎜ 4πε0 L ⎝ 2⎠
cuando v y = 0
vo2 m p sin 2 α
1 ⎛ ⎞ ⇒ 0 = ⎜ − v 0 sin α + a y t orig ⎟ t orig 2 ⎝ ⎠ 2v sin α Luego Δy = 0 t orig = 0, 0 ay 2v 0 m p sen α o t orig = eE 2v02 mp d = v0 x torig = cos α sen α eE
por resultado una fuerza total 2 veces de la fuerza de una, dirigida hacia la carga izquierda más baja. Así pues, toda la suma de las fuerzas a:
1 4πε 0
2eE Δy mp
2eE 1 b) Δy = v0 y t + a y t 2 2 t = t orig cuando Δy = 0
b) La carga izquierda superior y la carga derecha más baja tienen fuerzas de igual magnitud perpendiculares el uno al otro, dando
F=
eE ax = 0 mp
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
c)
Ejemplo 23 Se proyecta un protón en un campo eléctrico uniforme que apunta verticalmente hacia arriba y tiene una magnitud E. La velocidad inicial del protón tiene una magnitud v0 y está dirigida formando un ángulo α abajo de la horizontal. a) Halle la distancia máxima que el protón desciende verticalmente por debajo de su elevación inicial. Se pueden pasar por alto las fuerzas gravitatorias. b) ¿Después de qué distancia horizontal d regresa el protón a su elevación original? c) Dibuje la trayectoria del protón.
d)
(4 × 105 ) 2 (1,67 × 10−27) sen 2 30° 2(1,6 × 10−19 )(500) = 0,42 m.
hmax =
2( 4 × 10 5) 2 (1,67 × 10 27 ) cos 30 ° sen 30° (1,6 × 10 −19 )(500 ) = 2,49 m.
d=
CARGA DISTRIBUIDA. En el caso ya no de cargas puntuales sino de una distribución continua, a pesar que la carga eléctrica se 13
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Ejemplo 25. La figura muestra un alambre infinito horizontal con densidad lineal de carga λ, y un alambre finito de largo y densidad lineal de carga λ’ = λ (y + a), donde λ es una constante
encuentre en múltiplos de una carga básica que es el electrón (e = 1,6x10-19 C), la cual es extremadamente pequeña. Esto significa que la carga macroscópica está compuesta de un número muy grande de electrones. Así podemos describir una distribución de carga en términos de una densidad de carga. Densidad de carga volumétrica definida por
0 2.
0
de unidad C/m
dq Δq = ΔV → 0 Δ V dV
ρ = lim
Densidad de carga superficial definida por
Δq dq = ΔS → 0 Δ S dS
σ = lim
a) ¿Cuál es la fuerza que el alambre infinito ejerce sobre el alambre de largo l ? b) ¿Cuál es la fuerza que el alambre de largo l ejerce sobre el alambre infinito? Solución. a) La fuerza que el alambre infinito ejerce sobre el alambre de largo l :
Densidad de carga lineal definida por
λ = lim
Δl → 0
Δq dq = Δl dl
Ejemplo 24. ¿Cuál sería la fuerza sobre une carga q, debido a cargas distribuidas por volumen? Solución.
→
→
→
d F = dq E , E =
→
Luego: d F = σ 0 (a + y )dy
La fuerza sobre la Carga q es: →
Fq =
q 4πε 0
∫
→
r − r'
V →
→3
→
q 4πε 0
∫
→3
σ (r ' ) dS '
r − r'
→
−F =−
y para una distribución lineal, con densidad de Carga λ (r ' ) →
Fq =
q 4πε 0
→
∫
ˆj
λσ 0 l ˆ j 2πε 0
→
r − r'
l →
2πε 0 (a + y )
b) La fuerza que el alambre de largo l ejerce sobre el alambre infinito por la tercera ley de Newton es:
→
r − r'
S →
λ
=
Del mismo para una distribución superficial, con densidad de Carga σ (r ' )
Fq =
ˆj ,
λσ 0 dy ˆ j 2πε 0 → → λσ 0 ˆ l λσ 0 l ˆ F = ∫d F = j ∫ dy = j 0 2πε 0 2πε 0
ρ (r ' ) dV '
r − r'
→
2πε 0 (a + y )
dq = λ ' dy = σ 0 (a + y )dy
Sea al volumen V con densidad de Carga ρ (r ' ) . →
λ
→3
Ejemplo 26. Una esfera maciza, no conductora de radio R, tiene una densidad de carga volumétrica ρ = A r , donde A es constante. Calcular la carga de la esfera. Solución.
λ(r ' ) dl'
r − r'
14
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Este valor en el punto no cambie con el tiempo, depende de la masa de la tierra y de la distancia → mM T GM ˆ r g = 2 T rˆ y 2 r r
→
F =G
La Ley de Coulomb establece la fuerza de interacción entre dos cargas, pero cuando quitamos una de las cargas ¿qué hay en ese espacio? Similarmente al campo gravitacional podemos decir que el espacio que rodea a la carga esta afectado por lo que llamamos campo eléctrico.
dq ⇒ dq = ρ dV dV r =R A y dV = 4πr 2 dr : y q = ∫ ρdV , con ρ = r =0 r R A R q = ∫ 4πr 2 dr = 4πA∫ rdr = 2πAR 2 0 r 0
Si ρ =
DEFINICIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO Sea una carga q1 fija en el espacio, la acción sobre la carga q2 es
Ejemplo 27. Se tiene una esfera aisladora con densidad de carga variable de la forma ρ = ρ 0 r 2 e − r y radio R limitada exteriormente por una esfera conductora de radio interior R y exterior 2R. En la esfera conductora hay una carga neta tal que el potencial exterior (r > 2R) es constante. Determine la carga total en la esfera aisladora.
(
→
)
F=
Sí variamos la posición de q2 la fuerza en cada punto dependerá de las coordenadas de su posición. Para eliminar la dependencia de la fuerza a q2, se especifica esta como carga unitaria y positiva. Así el campo fuerza se define como la fuerza por unidad de carga positiva en todos los puntos alrededor de q1, un resultado equiva1ente se obtiene dividiendo la fuerza en cada punto por el valor de q2, esto es
Solución. La carga total en una región del espacio donde hay una densidad de carga ρ está dada por la integral:
Para el caso del Campo debido a cargas distribuidas. - Cargas puntuales. Campo producido por las n cargas puntuales ( q1 , q2 , q3 , q2 ….. q2 )en un
q = ∫ ρdV V
En este caso, donde la simetría es esférica, la expresión toma la forma: 2π
0
π
∫ ∫
R
0
0
= 4πρ0
R
∫
0
ρ0
→
punto determinado por r .
e−r 2 r senθ dr dθ dφ r2
e dr = 4πρ0 (1 − e −r
−R
→
E=
)
CAMPO ELÉCTRICO - INTRODUCCIÓN. Nosotros conocemos la existencia del campo gravitacional porque al dejar en un punto del espacio (cerca de la tierra) una masa m esta sufre
⎛→ → ⎞ ⎜r− ri ⎟ 1 ⎠ ∑ qi ⎝ 3 n
4πε 0
→
i =1
→
r− ri
- Distribución volumétrica →
E=
→
la acción de la fuerza gravitacional F , habiendo en ese punto una intensidad de campo
1 4πε 0
∫ ρ(
r ')
⎛→ → ⎞ ⎜r− ri ⎟ ⎝ ⎠dV ' →
→ 3
r− ri
V
- Distribución superficial
→
gravitacional g , donde →
→
F g= m
→
→
F 1 q1 → 1 q1 E= = r 12 = rˆ 3 q 2 4πε 0 r12 4πε 0 r122 →
q=∫
q1 q 2 → 1 q1 q 2 r 12 = rˆ 3 4πε 0 r122 4πε 0 r12 1
E=
15
1 4πε 0
∫σ ( S
r ')
⎛→ → ⎞ ⎜r− ri ⎟ ⎝ ⎠ dS ' →
→
r− ri
3
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
La materia en la naturaleza es por general eléctricamente neutra, no se encuentra tan a menudo situaciones donde las fuerzas se deben a la carga neta en un objeto. Sin embargo, todo puede adquirir un momento dipolar cuando está colocado en un campo eléctrico porque las cargas negativas en los átomos son jaladas en una forma tirada y las cargas positivas en el núcleo son jaladas en la dirección opuesta. Así los dipolos eléctricos desempeñan un papel muy importante en nuestra comprensión de la materia. Cuando un dipolo eléctrico se coloca en un campo eléctrico, tiende a alinearse con su eje paralelo al campo. Si no es paralelo al
- Distribución lineal
⎞ ⎛ ⎜r− ri ⎟ ⎠ dl ' ⎝ →
→
E=
1 4πε 0
∫ λ( l
r ')
→
→
→
3
r− ri
Ejemplo 28. Un dipolo eléctrico consiste en las cargas + q y - q separadas por una distancia. 2a Si las cargas se colocan en (0, 0, a) y (0, 0, - a) en el eje de z (el eje del dipolo), determine el campo eléctrico del dipolo en un punto a una distancia z del origen en el eje de z, donde z >> 2 a. Exprese el resultado en los términos del momento dipolo eléctrico, definido como p = 2 aq . Solución.
→
campo, experimenta un torque τ . Asociado a este torque hay una energía potencial U, donde →
→
→
→ →
τ = p× E y U = − p⋅ E = − pE cosθ Aquí θ es el ángulo entre el campo eléctrico y el eje del dipolo y el p = 2aq es el momento del dipolo. Ejemplo 29. Se coloca una carga positiva puntual q en x = a, y una carga negativa puntual - q en x = - a. a) Halle la magnitud y dirección del campo eléctrico en x = 0. b) Deduzca una expresión para el campo eléctrico en los puntos sobre el eje de las x. Con base en su resultado, grafique la componente x del campo eléctrico en función de x con respecto a valores de x entre - 4a y 4a. Solución. Una carga positiva y negativa, de igual magnitud q , están sobre el eje x, a una distancia a del origen.
(− q ) q 1 + 2 4πε 0 ( z − a ) 4πε 0 ( z + a )2 1 1 1 ⎞ ⎛ q⎜ 2 = − 2 2 2 ⎟ 4πε 0 ⎝ z − 2 az + a z + 2az + a ⎠
E=
1
Como a 2 << 2 az << z 2 , podemos eliminar a 2
1 = z − 2a z 2
1 ⎛ 2a ⎞ z 2 ⎜1 − ⎟ z ⎠ ⎝
a) En un punto entre ellas,
1 Usando ≈ 1 + δ , si δ << 1 : 1−δ 1 1 ⎛ 2a ⎞ = 2 ⎜1 + ⎟ 2a ⎞ Z ⎝ z ⎠ 2⎛ z ⎜1 − ⎟ z ⎠ ⎝ 1 q ⎡ 2a ⎛ 2a ⎞ ⎤ E= 1+ − ⎜1 − ⎟ ⎥ 4πε 0 z 2 ⎢⎣ z ⎝ z ⎠⎦ aq = πε 0 z 3 p o E= 2πε 0 z 3
E=
1 2q , a la izquierda. 4πε0 a 2
b) En cualquier posición ⎧ 1 ⎛ −q ⎞ q ⎜⎜ ⎟, | x | < a − ⎪ 2 2 ⎟ ( a − x) ⎠ ⎪ 4πε0 ⎝ (a + x) ⎪ 1 ⎛ −q ⎞ q ⎪ ⎜⎜ ⎟, x > a E=⎨ + 2 2 ⎟ (a − x) ⎠ ⎪ 4πε0 ⎝ (a + x) ⎪ 1 ⎛ −q ⎞ q ⎪ ⎜⎜ ⎟, x < −a − 2 2 ⎟ ⎪⎩ 4πε0 ⎝ (a + x) ( a − x) ⎠ con el sentido positivo hacia la derecha. Graficado a continuación. 16
x,
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
=
q12
48πε 0 R 2
(iˆ +
3 ˆj
)
La fuerza ejercida por q3
q1q3 (sen30º iˆ + cos30º ˆj ) 4πε 0 d 2
→
F 31 = −
Con d = 3R , q3= - q1/2,
cos 30º = − 3 / 2
sen 30º = 1 / 2
Tenemos:
(
⎛1 3 ⎞ ˆj ⎟ ⎜⎜ iˆ − 2 ⎟⎠ 3R ⎝ 2
q12
3 ˆj
q12
→
F 31 = − Ejemplo 30. Disponemos de tres cargas q1, q2 y q3 (q1 = +5×10-5 C, q2 = q3= - q1/2) sobre una circunferencia de radio 1 m, como indica la figura.
8πε 0
=−
) (iˆ − 2
48πε 0 R 2
)
La fuerza neta es →
→
→
F neta = F 21 + F 31 =−
q12
48πε 0 R 2
=−
(iˆ +
)
3 ˆj −
q12
48πε 0 R 2
(iˆ −
3 ˆj
)
3q12 ˆj 24πε 0 R 2
Reemplazando valores
(
→
F neta = − 9 × 10 9
) 3 (5 × 10 )
6(1,00 ) = −6,49519 N ˆj
a) Calcular la fuerza total ejercida sobre la carga q 1. b) Calcular la fuerza total ejercida sobre una carga de + 1 C situada en el centro de la circunferencia. Solución. a)
La fuerza neta sobre q1
La fuerza ejercida por q2
Fuerza debido a q1
→
F 21 = −
b)
→
F 1Q = −
Qq2 (sen60º iˆ + cos 60º ˆj ) 4πε 0 R 2 Con q2 = - q1/2, cos 60º = −1 / 2 sen 60º = − 3 / 2 →
F 2Q = −
Tenemos:
8πε 0
(
Qq1 ˆj 4πε 0 R 2
Fuerza debido a q2
sen 30º = −1 / 2
q12
ˆj
→
q1q2 (sen30º iˆ + cos 30º ˆj ) 4πε 0 d 2
→
2
F neta = −6,49519 N ˆj
Con d = 3R y q2 = - q1/2, cos 30º = − 3 / 2 y
F 21 = −
−5 2
⎛ 1 3 ⎞ ˆj ⎟ ⎜ − iˆ − 2 ⎜ ⎟ 2 2 3R ⎝ ⎠
)
Tenemos: 17
y
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Qq1 ⎛ 3 1 ⎞ ⎜− F 21 = − iˆ − ˆj ⎟⎟ 2 ⎜ 8πε 0 R ⎝ 2 2 ⎠ Qq1 = 3iˆ + 1 ˆj 16πε 0 R 2
→
→
(
→
)
Qq3 (sen60º iˆ + cos 60º ˆj ) 4πε 0 R 2 Con q3= - q1/2, cos 60º = −1 / 2 sen 60º = 3 / 2
El campo eléctrico total lo encontraremos integrando desde x = −∞ hasta x = ∞ . → ∞ rdx xdx λ ⎡ ∞ ˆj − E= ⎢ ∫−∞ 2 32 ∫ − ∞ 2 2 4πε 0 ⎣⎢ r +x r + x2
)
(
La fuerza neta es
=
→
F neta = F 1Q + F 2Q + F 3Q
[ (
) (
3iˆ + ˆj + − 3iˆ + ˆj
)]
(
)
32
⎤ iˆ⎥ ⎦⎥
rdx
∞
∫ (r −∞
2
+ x2
)
3 2
Cambiando variable: x = r tan θ ⇒ dx = r sec 2 θd θ
) 3(1)(5 × 10 ) ˆj
4(1,00) = −67,5 × 10 4 N ˆj
(
λ [I 1 − I 2 ] 4πε 0
I1 =
Reemplazando valores →
)
⎤ iˆ⎥ ⎥⎦
Integrando I1:
3Qq1 ˆj =− 16πε 0 R 2 F neta = − 9 × 10 9
⎡ rdx xdx ˆj − ⎢ 2 3 2 (r 2 + x 2 )3 2 ⎢⎣ (r + x 2 )
λ 4πε 0
→
dE=
Qq1 ⎛ 3 1 ⎞ ⎜ iˆ − ˆj ⎟⎟ 2 ⎜ 16πε 0 R ⎝ 2 2 ⎠ Qq1 = − 3iˆ + ˆj 16πε 0 R 2
Qq1 ˆj + =− 16πε 0 R 2
)
o
y
F 31 = −
→
→
(
Tenemos:
→
→
12 r 12 = rˆj − xiˆ ⇒ r12 = (r 2 + x 2 ) → 1 λdx rˆj − xiˆ Luego: d E = 2 4πε 0 (r + x 2 )3 2
→
→
→
→
F 3Q = −
(
→
r1 = xiˆ y r2 = rˆj
Fuerza debido a q3
→
→
Donde r 12 = r 2 − r 1 y r12 = r2 − r1 con
−5
Los límites x = −∞ → θ = −
2
y x = ∞.→ θ =
La fuerza sobre la carga central Q es
π
π
2
2
De aquí
→
F neta = −67,5 × 104 N ˆj
π
1 senθ I 1 = ∫ 2π cos θdθ = r −2 r
Ejemplo 31. Campo eléctrico de una línea recta infinita con carga λ Coulombios/metro. Solución. Consideremos la línea como se muestra en la figura el punto P situado a una distancia r de la recta,
π 2 −
π
=
2
2 r
Integrando I2:
I2 = ∫
∞
−∞
=∫
(r
∞
−∞
xdx 2
(r
+ x2
)
xdx 2
+ x2
32
)
32
= −
(r
1 2
+ x2
∞
)
=0
12 −∞
Valor que esperábamos para I2 ya que al haber simetría los componentes horizontales se anulan entre sí. Finalmente, reemplazando los valores de I1 e I2. →
E=
La carga del elemento dx es dq = λ dx El campo eléctrico en P producido por este elemento es: →
dE=
λ iˆ 2πε 0 r
Como el campo sale radialmente, el resultado puede escribirse.
dq → r 12 4πε 0 r123 1
→
E= 18
λ rˆ 2πε 0 r
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
a) Calcule las componentes x e y del campo eléctrico producido por la distribución de carga Q en puntos sobre el eje positivo de las x donde x > a. b) Calcule la fuerza (magnitud y dirección) que la distribución de carga Q ejerce sobre q. c) Demuestre que si r >> a, la magnitud de la fuerza del inciso (b) es aproximadamente Qq / 4πε 0 r 2 . Explique por qué se obtiene este resultado.
Recta finita. Para el caso de una recta finita la variación son los límites, veamos por ejemplo, encontrar el campo eléctrico en el punto P de la figura
Aquí x varía de x = −l 1 a x = l 2 Integrando θ2
1 θ2 senθ I 1 = ∫ cos θdθ = θ r 1 r
Solución.
θ1
1 (senθ 2 − senθ1 ) r l2 l1 1⎡ = ⎢ + 12 2 2 2 r ⎣⎢ r + l 2 r + l 12
a) Sobre el eje
=
(
I2 = ∫
l2
−l1
)
(r
xdx + x2
2
⎡
= −⎢
(
l2
⎢⎣ r + l 2
(
)
= −
)
−
32
2 12 2
(r
→
El campo eléctrico es E = →
E=
λ 4πε 0
(r
2
+ x2
+l
)
2 12 1
12 −l1
b)
⎤ ⎥ ⎥⎦
(
(
)
)
(
)
Si l1 = l2 = l →
E=
=
λ 4πε 0 1
1 ⎛⎜ 2l 2 r ⎜⎝ r + l 22
(
(
Q
4πε 0 r r 2 + l 22 Donde Q = 2 l λ
)
⎞ ⎟ ˆj 12 ⎟ ⎠
)
12
a+r = x,
1 Q⎛ 1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⇒ 4πε 0 a ⎝ x − a x ⎠ → → 1 qQ ⎛ 1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ iˆ F = qF = 4πε0 a ⎝ x − a x ⎠ c) Para x >> a , kqQ F= ((1 − a x ) −1 − 1) ax kqQ = (1 + a x + ⋅ ⋅ ⋅ − 1) ax 1 qQ kqQ . ≈ 2 ≈ 4πε 0 r 2 x (Observe que para x >> a, r = x − a ≈ x ). La
λ [I 1 − I 2 ] 4πε 0
)
Si
luego E =
⎧⎪ 1 ⎡ ⎤ l2 l1 + ⎥ ˆj ⎨ ⎢ 2 2 12 2 2 12 r r + l 1 ⎦⎥ ⎪⎩ ⎣⎢ r + l 2 ⎡ ⎤ ⎫⎪ l2 l1 + ⎢ − ⎥iˆ⎬ 12 12 r 2 + l 12 ⎥⎦ ⎪⎭ ⎢⎣ r 2 + l 22
(
1 Qdx = ∫ 4πε0 0 a (a + r − x) 2
1 Q⎛1 1 ⎞ ⎜⎜ − ⎟ y Ey = 0 . 4πε 0 a ⎝ r a + r ⎟⎠
l2
)
1 dq 4πε 0 (a + r ) 2
a
⇒ Ex =
)
1
l1 2
⎤ ⎥ 12 ⎦⎥
x: dE x =
distribución de carga parece como la de un punto lejano.
ˆj
Ejemplo 33.La carga positiva + Q está distribuida uniformemente a lo largo del eje positivo de las x de x = 0 a x = a. La carga negativa - Q está distribuida uniformemente a lo largo del eje negativo de las x, de x = 0 a x = - a. Hay una carga puntual positiva q sobre el eje positivo de las y, a una distancia y del origen. a) Halle la fuerza (magnitud y dirección) que las distribuciones de carga positiva y negativa
Ejemplo 32. La carga positiva Q está distribuida uniformemente a lo largo del eje de las x de x = 0 a x = a. Hay una carga puntual q situada sobre el eje de las x en x = a + r, una distancia r a la derecha del extremo de Q. 19
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
ejercen en conjunto sobre q. Muestre que esta fuerza es proporcional a y cuando y >> a. b) Suponga ahora que la carga puntual positiva q está sobre el eje positivo de las x, a una distancia x > a del origen. Halle la fuerza (magnitud y dirección) que la distribución de carga ejerce sobre q. Muestre que esta fuerza es proporcional a x cuando x >> a. Solución. a)
=
λ ⎡ a a⎤ − ⎥ ⎢ 2 1 2 4πε 0 y ⎢⎣ ( y + a 2 ) y ⎥⎦
=
⎡ 1 ⎢ 2 4πε 0 y ⎢⎣ y + a 2 Q
(
)
12
1⎤ − ⎥ y ⎥⎦
Campo debido a la carga – Q →
E −Q = − E− Qxiˆ − E−Qy ˆj Componente en x.
E− Qx = −
⎤ 1 Q ⎡1 1 − 2 ⎢ 2 1 2⎥ 4πε0 a ⎣ y ( y + a ) ⎦
Componente en y.
E− Qy = −
⎡ 1 ⎢ 2 4πε 0 y ⎣⎢ y + a 2 Q
(
)
12
1⎤ − ⎥ y ⎦⎥
Las componentes y del campo eléctrico se cancelan, y las componentes en x de ambas cargas se suman
E Total = −(E+ Qx + E−Qx )iˆ ⇒ →
Campo debido a la carga + Q
→
→
E Total = −
E + Q = − E+ Qxiˆ + E+ Qy ˆj Componente en x.
dE+ Qx = =
1
(
λdx
4πε 0 y + x 1
2
2
)
λxdx
(
4πε 0 y 2 + x 2
Integrando
λ 4πε 0
E+Qx = ∫ dE+Qx =
x y +x 2
1
(
λdx
4πε 0 y + x
Integrando
E+ Qy = ∫ dE+ Qy =
2
2
λy 4πε 0
→
→
⎤ 1 Qq ⎡ 1 1 iˆ − 2 ⎢ 2 1 2⎥ 2πε0 a ⎣ y ( y + a ) ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 Qq ⎢ 1 ⎥iˆ ⇒ =− 1− 12⎥ ⎢ 2 2πε0 ay ⎢ ⎛⎜1 + a ⎞⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎜⎝ y 2 ⎟⎠ ⎥⎦
F =− xdx
a
∫ (y 0
+ x2
2
)
32
a
)
12 0
⎤ 1 Q ⎡1 1 − 2 ⎢ 2 1 2⎥ 4πε0 a ⎣ y ( y + a ) ⎦
Componente en y.
dE+Qy =
→
F = q E Total
32
(
=−
La fuerza sobre la carga q debido a este campo eléctrico.
2
)
1 Q a =− 4πε 0 y 2 + x 2
⎤ 1 Q ⎡1 1 iˆ − 2 ⎢ 2 1 2⎥ 2πε0 a ⎣ y ( y + a ) ⎦
⎞⎤ 1 Qq ⎡ ⎛ a2 ⎜ 1 1 − − + ... ⎟⎟⎥iˆ ⎢ ⎜ 2 2πε0 ay ⎣ ⎝ 2 y ⎠⎦ Si y >> a , →
F =−
y
)
Qq a 2 F− iˆ 3 4 πε 0 y →
y + x2 2
dx
a
∫ (y 0
λy x = 4πε 0 y 2 ( y 2 + x 2 )1 2
2
+ x2
b) Si la carga puntual está ahora sobre el eje x las dos partes de la barra proveen fuerzas diferentes, aun en el eje x. Campo debido a la carga + Q
)
32
a
0
20
Electrostática
Hugo Medina Guzmán →
F Total ≈
1 4Qq iˆ 4πε0 x 2
Ejemplo 34. Campo eléctrico en el eje de un anillo de radio R y carga λ Coulombios/metro
1 λdx' d E +Q = iˆ 4πε0 (x − x')2 → → 1 Q x ' = a dx' E +Q = ∫ d E +Q = iˆ 4πε0 a ∫x ' = 0 ( x − x')2 →
x '= a
1 2Q 1 iˆ = 4πε0 a ( x − x') x ' = 0
=
1 Q⎡ 1 1⎤ − ⎥iˆ ⎢ 2πε0 a ⎣ ( x − a ) x ⎦
Solución. Consideremos un elemento de anillo d l , determinado por el ángulo θ y barrido por d θ de tal manera que d l = Rd θ . La carga del elemento d l es dq = λ dl = λ Rd θ El campo eléctrico producido por este elemento en P es
La fuerza sobre q es →
→
F +Q = q E +Q =
1 Qq ⎛ 1 1⎞ − ⎟iˆ ⎜ 2πε 0 a ⎝ x − a x ⎠
Campo debido a la carga – Q
dq → r 12 4πε 0 r123 1
→
dE=
→
1 λdx' d E −Q = − iˆ 4πε0 ( x − x')2 → → 1 Q x '=− a dx ' E −Q = ∫ d E −Q = − iˆ 4πε0 a ∫x '=0 ( x − x')2 →
→
→
→
→
con r1 = xiˆ + yˆj = R cosθ iˆ + Rsenθ ˆj →
y r2 = zkˆ
x '= − a
=−
→
Donde r 12 = r 2 − r 1 y r12 = r2 − r1
1 2Q 1 4πε0 a ( x − x') x '=0
1 Q⎧ 1 1⎫ − ⎬iˆ ⎨ 2πε0 a ⎩ [x − (− a )] x ⎭ 1 Q⎡ 1 1⎤ =− − ⎥iˆ ⎢ 2πε0 a ⎣ (x + a ) x ⎦ =−
La fuerza sobre q es →
→
F −Q = q E −Q = −
→
r 12 = zkˆ − R cosθ iˆ − Rsenθ ˆj ,
1 Qq ⎛ 1 1⎞ − ⎟iˆ ⎜ 2πε 0 a ⎝ x + a x ⎠
(
r12 = z 2 + R 2
Luego, →
→
Luego
→
F Total = F + Q + F −Q
→
dE=
1 Qq ⎛ 1 1 ⎞ = − ⎜ ⎟iˆ 2πε 0 a ⎝ x − a x + a ⎠ 1 4Qq iˆ = 4πε0 x 2 − a 2
(
Para x >> a
1
(
→
)
12
λRdθ
4πε 0 z + R 2
O dE =
)
(
2
λR
4πε 0 z 2 + R 2
)
32
)
32
(zkˆ − R cosθiˆ − Rsenθˆj )
(zdθkˆ − R cosθdθiˆ − Rsenθdθˆj )
El campo eléctrico total lo encontramos integrando desde θ = 0 hasta θ = 2 π .
21
Electrostática →
Hugo Medina Guzmán
uniforme λ . Este se dobla en la forma indicada en la figura.
→
2π
E=∫ dE = 0
λR
4πε 0 (z + R 2
)
2 32
⎛⎜ z 2π dθkˆ − R 2π cosθdθiˆ − R 2π senθdθˆj ⎞⎟ ∫0 ∫0 ⎝ ∫0 ⎠
La primera integral es 2π , las dos últimas son 0, como era de esperar ya que sobre el eje la resultante del campo eléctrico por simetría debe ser vertical. Finalmente el Campo es →
E=
(
λRz
2ε 0 z + R 2
)
2 32
Halle: a) el campo eléctrico generado por la semicircunferencia en el punto O. b) el campo eléctrico generado por cada porción recta en el punto O. c) la fuerza eléctrica que ejercerá una carga puntual positiva q ubicada en el punto O sobre la línea de carga completa. Solución. a)
kˆ
Si el anillo tiene una carga total Q: →
Q = 2πRλ y E =
(
Qz
4πε 0 z + R 2
)
2 32
kˆ
Ejemplo 35. Un conductor de forma anular con radio a = 2,50 cm tiene una carga positiva total Q = + 0,125 nC distribuida uniformemente en toda su circunferencia, como se muestra en la figura. El centro del anillo está en el origen de coordenadas O. a) ¿Cuál es el campo eléctrico (magnitud y dirección) en el punto P, que está sobre el eje de las x en x = 40,0 cm? b) Se coloca una carga puntual q = - 2,50 C en el punto P descrito en el inciso (a). ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza que ejerce la carga q sobre el anillo?
→
dE=
dq (− cos θ iˆ − senθ ˆj ) 4πε 0 R 2
λdθ (− cosθ iˆ − senθ ˆj ) 4πε 0 R → π λ (− cosθ iˆ − senθ ˆj )dθ E= 4πε 0 R ∫0 λ ˆ j = − 2πε 0 R =
b) Campo debido al lado izquierdo:
Solución. Para un anillo con carga, el campo eléctrico está dado por: →
a) E =
Qx 1 iˆ tal que 2 4πε0 ( x + a 2 )3 2
Q = 0,125 × 10−9 C, a = 0,025 m
→
y
E izquierda
x = 0,4 m ⇒ E = 7,0iˆ N C. →
4πε 0 x
2
iˆ =
λdx ˆ i 4πε 0 x 2
Integrando:
→
→
dq
→
dE=
→
b) F sobre el anillo = − F sobre q = − q E
−R
λ ˆ − R dx λ ˆ⎡ 1 ⎤ i∫ = = i − 2 − R 3 4πε 0 x 4πε 0 ⎢⎣ x ⎥⎦ − 3 R λ ˆ λ ˆ⎡ 1 1 ⎤ i = = i⎢ − 4πε 0 ⎣ R 3 R ⎥⎦ 6πε 0 R
Similarmente encontramos el campo debido al lado derecho:
= − (−2,50 × 10−6 )(7,0iˆ) = 1,75 × 10-5 iˆ N
→
E derecha = −
Ejemplo 36. Un segmento de línea de carga positiva, tiene una densidad lineal de carga 22
λ iˆ 6 πε 0 R
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
1 λRdθ cos β 4πε0 ( R 2 + x 2 ) λRdθ 1 x = 1/ 2 2 2 2 4πε0 ( R + x ) ( R + x 2 )
c) Si colocamos una carga q en el punto O, →
→
F = q E total = −
qλ
2πε 0 R
dEx =
ˆj
Aplicando la tercera ley de Newton, la línea será empujada por una fuerza igual a:
qλ
2πε 0 R
1 λR xdθ 2 4πε0 ( R + x 2 ) 3 / 2 λRdθ 1 dE y = senβ senθ 4πε0 ( R 2 + x 2 ) R λRdθ 1 = 1 / 2 senθ 2 2 4πε0 ( R + x ) ( R 2 + x 2 ) =
ˆj
Ejemplo 37. En la figura se muestra un hilo cargado con densidad longitudinal de carga λ constante. El hilo se encuentra en el plano yz y es un arco (de abertura 2α) de una circunferencia de radio R y centro en el origen. Determine el campo eléctrico que el hilo produce en el punto P (x, 0, 0).
1 λR Rsenθ dθ 2 4πε0 ( R + x 2 ) 3 / 2 1 λRdθ senβ cosθ dEz = 4πε0 ( R 2 + x 2 ) 1 R λRdθ = 1 / 2 cosθ 2 2 2 4πε0 ( R + x ) ( R + x 2 ) =
=
1 λR Rcosθ dθ 2 4πε0 ( R + x 2 ) 3 / 2
Reemplazando tenemos: →
dE=
Solución.
+
1 x λRdθ ⎡ ˆ 1/ 2 i 2 2 ⎢ 2 4πε0 ( R + x ) ⎣ ( R + x 2 ) ⎤ R R senθ ˆj + 2 cosθ kˆ ⎥ 2 1/ 2 2 1/ 2 (R + x ) (R + x ) ⎦ 2
λR 1 (xdθiˆ 2 4πε0 ( R + x 2 )3 / 2 + Rsenθ dθˆj + Rcosθ dθkˆ )
=
Integrando →
→
E = ∫d E
π
θ = +α 1 λR 2 ( xdθiˆ 2 2 3 / 2 ∫θ = π −α 4πε0 ( R + x ) 2 + Rsenθ dθˆj + Rsenθ dθkˆ ) 1 2λR (xα iˆ − Rsenα kˆ ) = 2 4πε0 ( R + x 2 )3 / 2
=
El campo eléctrico en el punto P es: →
E=
El campo en el punto P debido a la carga diferencial dq = λRdα es
1 2λR (xα iˆ − Rsenα kˆ ) 2 4πε0 ( R + x 2 )3 / 2
Ejemplo38. La figura muestra un hilo cargado con densidad longitudinal de cargaλ. El tramo be es la mitad de una circunferencia de radio R y
→
d E = dExiˆ + dE y ˆj + dEz kˆ Donde 23
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
centro en O. El tramo ab es recto, de longitud 2R y paralelo a la línea bO
dq (cosθiˆ + senθˆj ) 4πε 0 R 2 λRdθ (cosθiˆ + senθˆj ) = 4πε 0 R 2 → → π λ (cosθiˆ + senθˆj )dθ E bc = ∫ d E = ∫ bc 0 4πε 0 R →
d E bc =
=
a) Calcule el campo eléctrico que producen en el punto O cada uno de los dos tramos ab y bc. b) Halle la magnitud del campo eléctrico neto que produce todo el hilo en el punto O y el ángulo que forma con la dirección. Solución. a) Tramo ab Campo eléctrico en O debido a la carga del elemento diferencial dx
→
d E ab =
→
El campo eléctrico es →
E bc =
→
E ab = ∫ d E
ab
=
λ
El campo eléctrico total es →
2
=
λ ⎡1
1⎤ − ⎥iˆ ⎢ 4πε0 ⎣ 3R R ⎦ λ ˆ 2 λ ˆ = i = i 4πε0 3R 6πε0 R
→
λ
6πε0 R
2
1 1 λ λ + 2 = 0,2777 2 πε 0 R 2 6 πε 0 R
El ángulo que forma con el eje x
λ 2πε 0 R tan β = = 3⇒ λ 6πε 0 R β = 71,56º
El campo eléctrico es
E ab =
λ ˆ λ ˆ i+ j 6πε 0 R 2πε 0 R
⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ En = ⎜⎜ ⎝ 6πε 0 R ⎠ ⎝ 2πε 0 R ⎠
dx =− iˆ 4πε 0 (3R − x) 0 =−
→
Su magnitud
0
−2 R
λ
→
E n = E ab + E bc =
dx iˆ 4πε0 − 2 R (3R − x) 2
∫
λ ˆ j 2πε 0 R
b)
λdx ˆ dq 1 1 iˆ = i 2 4πε0 (3R + x) 2 I 4πε0 (3R + x)
ntegrando
π λ λ ˆ cos θ ˆj 0 = j 4πε 0 R 2πε 0 R
iˆ
Tramo bc Campo eléctrico en O debido a la carga del elemento diferencial Rdθ
Ejemplo 39. Campo eléctrico en el eje de un disco de radio R y carga σ C/m2.
Solución. 24
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
El Campo eléctrico producido por este elemento en el punto P es: (utilizando el resultado del disco)
Consideremos un elemento anular de radio r y espesor dr cuya superficie es dA = 2πrdr , con carga dq = σ dA = 2π σ rdr . El Campo eléctrico producido por este elemento en P es: (Utilizando el resultado obtenido para un anillo). →
dE =
(
zdq
)
4πε 0 z 2 + r → zσ rdr ⇒ dE = 2ε 0 z 2 + r 2
(
→
)
32
E=∫
kˆ
→
→
R
0
zσ 2ε 0
→
rdr
R
∫ (z 0
2
E=
+ r2 )
32
→
kˆ
E=
(
)
→
ρ 2ε 0
{ [
⎧⎪ L 2 L2 (z0 − z )dz ⎨∫− L 2dz − ∫− L 2 ⎪⎩ ( z 0 − z )2 + R 2
[
ρ 2 z + (z 0 − z ) + R 2 2ε 0
ρ 2ε 0
]
}
12 L 2
−L 2
]
12
⎫⎪ ⎬kˆ ⎪⎭
kˆ
12 12 2 2 ⎧ ⎡⎛ ⎤ ⎫⎪ ⎡⎛ ⎤ L⎞ L⎞ ⎪ 2 2 L z R z R − + + + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎨ ⎬kˆ 0 0 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪⎩ ⎣ ⎦ ⎪⎭ ⎣ ⎦
⎡ z ⎢1 − 2 2πε 0 R ⎢⎣ z + R2 Q
2
(
)
12
2
⎤ ⎥ kˆ ⎥⎦
Para el caso de un PLANO INFINITO la integración se realiza desde r = 0 hasta r = ∞ y el campo eléctrico es
E=
→
dE=
Ejemplo 41. Campo eléctrico producido por una carga σ C/m2 distribuida sobre une superficie esférica de radio R.
Si la carga total del disco es Q: Q = σ πR →
]
R
⎡ ⎤ 1 ⎢− 2 ⎥ kˆ 1 2 ⎢⎣ z + r 2 ⎥⎦ 0 → ⎤ σ ⎡ z E= ⎥ kˆ ⎢1 − 2 2ε 0 ⎢⎣ (z + R 2 )1 2 ⎥⎦ zσ = 2ε 0
y E=
L2
−L 2
El Campo eléctrico total lo encontramos integrando desde r = 0 hasta r = R .
E=∫ dE=
[
⎫⎪ kˆ 12 ⎬ ⎪⎭
El Campo eléctrico total lo encontramos integrando desde z = − L 2 hasta z = L 2 .
kˆ
2 32
(z 0 − z ) ρπR 2 dz ⎧⎪ 1− 2 ⎨ 2πε 0 R ⎪ ( z 0 − z )2 + R 2 ⎩
→
dE=
Solución. Tomemos un anillo diferencial determinado por el ángulo θ y barrido por d θ , su área es: dS = ( 2πRsen θ ) Rd θ , Donde R = radio de la esfera 2πR sen θ = circunferencia del anillo Rd θ ancho del anillo Su Carga es dq = σdS = σ ( 2πRsen θ ) Rd θ El Campo producido por este elemento en el punto P es (utilizando la expresión del Campo eléctrico obtenido para un anillo)
σ ˆ k 2ε 0
Ejemplo 40. Ahora veamos el Campo eléctrico en el eje producido por un cilindro de radio R, largo L y carga ρ C/m3.
→
dE= →
dE=
[σ (2πRsenθ ) Rdθ ](l cosφ ) kˆ 4πε 0l 3
σR 2senθ cos φ ˆ dθk (1) 4πε 0l 2
Aplicando la ley de los cosenos al triángulo OPM
Solución. Para evaluar el Campo eléctrico en el punto P, tomemos un elemento diferencial con forma de disco de radio R y espesor dz cuyo volumen es
R2 = l2 + r 2 − 2lr cosφ y l 2 = R 2 + r 2 − 2 Rr cos θ
De la primera obtenemos:
dV = πR 2 dz y su carga dq = ρdV = ρπR dz . 2
25
Electrostática
cos φ =
Hugo Medina Guzmán
b) Repita el cálculo del inciso (a) suponiendo ahora que los cuatro lados tienen cada uno una carga positiva + Q.
l2 + r 2 − R2 2l r
Derivando la segunda:
2ldl = 2 Rr sen θdθ ⇒ senθdθ =
l dl Rr
Sustituyendo cos φ y sen θ d θ en la ecuación (1) →
dE=
σR 4ε 0 r 2
⎛ r 2 − R2 ⎜⎜1 + l2 ⎝
⎞ ˆ ⎟⎟dlk ⎠
Para obtener el campo eléctrico total integrarnos entre l=r−R y l=r+R →
E=∫
r+R
r−R
σR dE= 4ε 0 r 2 →
⎛ r 2 − R2 ∫r − R ⎜⎜⎝1 + l 2 r+R
σR ⎡ (r 2 − R 2 )⎤ ˆ = ⎢l − ⎥ k l 4ε 0 r 2 ⎣ ⎦ r−R
⎞ ˆ ⎟⎟dlk ⎠
Solución. a) El campo eléctrico a una distancia x en el bisector de un segmento de recta de largo a y carga Q está dado por
r+R
=
E=
2 σR ˆ = σ R kˆ ( ) 4 R k 4ε 0 r 2 ε 0r 2
Campo eléctrico de las cargas positivas
Siendo la carga total Q = σ 4πR →
Tenemos para r > R : E =
1 Q 4πε0 x x 2 + ( a )2 2
2
Q ˆ k 4πε 0 r 2 1
En el caso de entrar el punto P dentro de la esfera o sea r < R , los límites son: l= R−r y l = R+r
σR ⎡ (r 2 − R 2 )⎤ ˆ De aquí: E = ⎢l − ⎥ k l 4ε 0 r 2 ⎣ ⎦ R −r σR (0)kˆ = 0 = 2 4ε 0 r → Q ˆ ⎧ > ⇒ = Para k r R E ⎪ 4πε 0 r 2 ⎪ → ⎪ Q kˆ En resumen ⎨Para r = R ⇒ E = 2 4πε 0 R ⎪ → ⎪ ⎪Para r < R ⇒ E = 0 ⎩ →
R+r
E+ Qx = −
1
+Q
4πε 0 a ⎛ a ⎞2 ⎛ a ⎞2 ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠ 2 Q =− πε 0 a 2
E+Qy = −
1
+Q
4πε 0 a ⎛ a ⎞ 2 ⎛ a ⎞ 2 ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠ 2 Q =− πε 0 a 2
Ejemplo 42. Se tiene carga eléctrica distribuida uniformemente a lo largo de los lados de un cuadrado. Dos lados adyacentes tienen carga positiva total + Q en cada uno. a) Si los otros dos lados tienen carga negativa con una carga total - Q en cada uno, ¿cuáles son las componentes x e y del campo eléctrico neto en el centro del cuadrado? La longitud de cada lado es a.
→
E +Q = −
2 Q (iˆ + ˆj ) πε 0 a 2
Campo eléctrico de las cargas negativas
26
Electrostática
→
E −Q = −
Hugo Medina Guzmán
2 Q (iˆ + ˆj ) πε 0 a 2
El campo eléctrico total →
→
Las líneas de fuerza de una carga negativa se representan como líneas que van hacia la carga.
→
ETotal = E + Q + E −Q =−
2 2 Q (iˆ + ˆj ) πε 0 a 2
b) Si todos los lados del cuadrado tienen cargas iguales, los campos eléctricos se cancelan por simetría en el centro del cuadrado. LÍNEAS DE FUERZA ELÉCTRICA Para una mejor visualización del campo eléctrico →
Por medio del uso de aceite, semillas de grama y empleando un pequeño electrodo cilíndrico que se carga con el generador de Wimshurt, se obtienen las líneas de campo para una carga puntual
E Faraday ideó un modelo de campo eléctrico formado por líneas de fuerza. La relación entre las líneas de fuerza y el vector campo eléctrico son: a) La tangente a una línea de fuerza en un punto →
cualquiera de la dirección de E en ese punto. b) Las líneas de fuerza se dibujan de tal manera que el número de ellas por unidad de área que →
atraviesan sea proporcional a la magnitud de E , →
es decir donde las líneas están cercanas, E es
→
→
Si dibujamos los vectores del campo eléctrico E en los varios puntos alrededor de nuestra distribución de carga, una figura del campo eléctrico comienza a emerger.
grande y donde están separadas, E es pequeño. Si tenemos una carga puntual positiva las líneas de fuerza salen de ella. En los puntos cercanos las líneas están más juntas que en los alejados lo que nos muestra que el campo eléctrico es más intenso cerca y se va disipando a medida que el punto se aleja de la carga.
En el caso de dos cargas diferentes la figura a continuación nos muestra las líneas de fuerza
27
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Δ S , perpendicular a ésta, como el promedio de la intensidad de campo (E n ) en Δ S , es decir:
ΔΦ = En ΔS
Por medio del uso de aceite, semillas de grama y empleando dos electrodos cilíndricos que se cargan de distinto signo con el generador de Wimshurt, se obtienen las líneas de campo de dos cargas eléctricas puntuales de distinto signo.
Para poder relacionar el número de líneas con el campo eléctrico en cualquier punto, hacemos que ΔS → 0 y dΦ = EdS . Para quitar la restricción de perpendicularidad de la superficie a las líneas de fuerza (es decir el campo eléctrico) podemos escribir vectorialmente →
→
dΦ = E⋅ d S
El número de líneas a través de una superficie S será
En el caso de dos Cargas positivas iguales la figura siguiente nos muestra las líneas de fuerza.
→
→
Φ = ∫ dΦ = ∫ E⋅ d S
A esto se llama propiamente FLUJO ELÈCTRICO. Ejemplo 43. Encuentre el flujo total debido a una carga puntual q. Solución. A una distancia r de la carga el campo eléctrico
1
→
es: E = Por medio del uso de aceite, semillas de grama y empleando dos electrodos cilíndricos que se cargan de igual signo con el generador de Wimshurt, se obtienen las líneas de campo para dos cargas eléctricas puntuales del mismo signo.
4 πε
q rˆ , ese campo atraviesa r2
0
→
una superficie d S = rˆdS . →
El flujo eléctrico a través de d S es →
→
S
Φ=
1
q rˆ ⋅ rˆdS S 4πε r 2 0
Φ = ∫ dΦ = ∫ E⋅ d S = ∫ 1
q dS 4πε 0 r 2 ∫S
El valor de
→
∫ d S , siendo el lugar geométrico de S
un punto a una distancia r de la carga puntual es
FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO. Vemos que las líneas salen o entran hacia la carga en forma de un flujo de Campo eléctrico. Para poder encontrar una relación cuantitativa entre 1as líneas de fuerza y la intensidad del campo eléctrico definimos que el número de líneas ΔΦ que ocupa un elemento de superficie
el área de una esfera de radio r:
→
∫ d S = 4πr S
Luego:
Φ= 28
1
q 1 q dS = 4πr 2 2 ∫S 2 4πε 0 r 4πε 0 r
2
Electrostática
Φ=
Hugo Medina Guzmán
q
ε0
Ejemplo 44. En el centro geométrico de un cubo de 2 m de arista tenemos una carga de 50 μC . Calcular el flujo eléctrico que atravesará a cada una de las caras del cubo. (El medio que se considera es el vacío). La figura muestra la cara delantera del cubo, el flujo a través de esta cara es la sexta parte del flujo total.
Φ=
El cuadrado es 1/4 del área de la superficie de la cara del cubo imaginario, luego el flujo a través de la superficie cuadrada dada es
Solución. El flujo total debido a la carga es
Φ=
Φ=
q
ε0
50 × 10 −6 6 8,85415 × 10 −12
q Φ = 6 6ε 0
=
= 0,94 x 106
Nm 2 C
(
q 24ε 0
Ejemplo 46. En la superficie cerrada de la figura a = 0,5 m, b = 0,4 m, c = 0,3 m e y0 = 0,2 m. El campo electrostático en que está sumergida no es homogéneo y viene dado en el SI por
Como el cubo tiene seis caras y la carga está en el centro geométrico de éste, el flujo que atraviesa una de ellas será:
Φc =
q 6ε 0
→
)
(
)
E = 4 + 3 y 2 ˆj . Determinar la carga neta encerrada en la superficie.
Ejemplo 45. Una superficie cuadrada plana con lados de longitud L se describe mediante las ecuaciones x= L 0≤ y≤L 0≤z≤L a) Dibuje este cuadrado mostrando los ejes x, y y z. b) Halle el flujo eléctrico a través del cuadrado debido a una carga puntual positiva q situada en el origen (x = 0, y = 0, z = 0). (Sugerencia: Piense en el cuadrado como en parte de un cubo centrado en el origen). Solución. a)
Solución. Aplicando la definición de flujo a cada una de las áreas que forman el paralelepípedo las únicas en que éste no es cero son las paralelas al plano xz (en las demás es nulo puesto que el vector campo electrostático y los vectores área son perpendiculares); llamando A1 la que dista y0 del plano xz y A2 la que dista y0 + b, y teniendo en →
cuenta que E y sus vectores área son paralelos: →
→
→
→
→
→
Φ = ∫ E⋅ d S = ∫ E1 ⋅ d S1 + ∫ E 2 ⋅ d S 2 S
→
(
S1
)
S2
→
E1 = 4 + 3 y02 ˆj , d S1 = −dS1 ˆj y
b) Imagine una carga q en el centro de un cubo de arista 2L.
→
[
]
→
2 E2 = 4 + 3( y0 + b ) ˆj , d S 2 = dS 2 ˆj
29
Electrostática
Con esto:
(
Φ = − 4 + 3y
2 0
(
Hugo Medina Guzmán
)∫
S1
[
dS1 + 4 + 3( y0 + b )
[
)
2
]
]∫
= − 4 + 3 y0 ac + 4 + 3( y0 + b ) ac 2
2
S2
=
dS 2
Igualando: 3abc (b + 2 y 0 ) =
⇒ Q = 3abc(b + 2 y0 )ε 0
qd rdr
R
0
= −
= 3abc(b + 2 y0 ) Como este flujo es debido a la carga encerrada en la superficie tenemos: Φ =
∫
(
2ε 0 r 2 + d 2
(
qd
2ε 0 r 2 + d 2
)
32 R
)
12 0
⎤ ⎡1 1 ⎢ − 2 12 ⎥ ⎢⎣ d r + d 2 ⎥⎦ ⎤ q ⎡ d = ⎥ ⎢1 − 2 1 2 2ε 0 ⎣⎢ r + d 2 ⎦⎥
q
=
ε0
Q
ε0
qd 2ε 0
(
)
(
)
Ejemplo 48. Los lados del cubo de la figura tienen una longitud L = 10,0 cm. El campo eléctrico es uniforme, su magnitud es E = 4,00 x 103 N/C, y es paralelo al plano xv con un ángulo de 36,9° medido desde el eje de las + x hacia el eje de las + y. a) ¿Cuál es el flujo eléctrico a través de cada una de las seis caras del cubo S1, S2, S3, S4, S5 y S6? b) ¿Cuál es el flujo eléctrico total a través de todas las caras del cubo?
Ejemplo 47. Una carga puntual q se encuentra a una distancia d en el eje de un disco de radio R. ¿Cuál es el flujo a través de este disco? Solución.
La figura muestra una sección dS perteneciente al disco de radio R. →
→
El flujo a través de dS es: dΦ = E⋅ d S Donde:
( )
q sen β cos θ iˆ + cos β ˆj + senβ senθ kˆ 4πε 0 r 2 + d 2
→
E=
(
Solución.
)
→ →
a) Φ = E ⋅ A →
→
cos β =
(r
d 2
+d2
)
12
qd rdrdθ
dΦ =
(
4πε 0 r 2 + d 2
E = 4,00 x 103 N/C, A= 0,12 = 10-2 m2 EA = 40 Nm2/C Cara S1:
:
nˆ1 = − ˆj Φ1 = EA(0,6iˆ + 0,8 ˆj ) ⋅ (− ˆj )
)
32
= − 0,8 EA = - 32 Nm2/C Cara S2:
E]. flujo a través del disco es:
Φ=∫
R
0
=
∫
∫
0
R
0
qd rdrdθ
2π
(
4πε 0 r 2 + d qd rdr
(
4πε 0 r + d 2
nˆ2 = kˆ Φ2 = EA(0,6iˆ + 0,8 ˆj )kˆ = 0
)
2 32
Cara S3:
2π
)
→
E = E (0,6iˆ + 0,8 ˆj ) , A = Anˆ Φ = EA(0,6iˆ + 0,8 ˆj )nˆ
d S = rdrdθ ˆj : q cos βrdrdθ , como De aquí dΦ = 4πε 0 (r 2 + d 2 )
2 32
nˆ3 = ˆj Φ3 = EA(0,6iˆ + 0,8 ˆj ) ˆj
θ 0
= 0,8 EA = 32 Nm2/C 30
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
= - 881 Nm2/C Cara S4:
c)
nˆ4 = −kˆ Φ4 = EA(0,6iˆ + 0,8 ˆj )(− kˆ) = 0
Φ S3 =
= - 429 Nm2/C
Cara S5:
d)
nˆ5 = iˆ Φ5 = EA(0,6iˆ + 0,8 ˆj )iˆ
Φ S4 =
= 0,6 EA = 24 Nm2/C Cara S6:
e)
Φ S5 =
= −0,6 EA = - 24 Nm2/C b) El flujo total a través del cubo debe ser cero.
=
Φ6 = Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4 + Φ5 + Φ6 = 0
(q1 + q2 + q3 ) ε0
(4,00 − 7,80 + 2,40)×10−9 ε0 2
= - 158 Nm /C: f) Toda que importa para la ley del gauss es la cantidad total de carga encerrada por la superficie, no su distribución dentro de la superficie
Todo flujo que ingresa al cubo debe también salir. Ejemplo 49. Las tres esferas pequeñas que se muestran en la figura tienen cargas q1 = 4,00 nC, q2 = - 7,80 nC y q3 = 2,40 nC. Halle el flujo eléctrico neto a través de cada una de las superficies cerradas siguientes, las cuales se muestran en corte transversal en la figura: a) S1 b) S2 c) S3 d) S4 e) S5 f) ¿Dependen sus respuestas de (a) a (e) de cómo está distribuida la carga en cada esfera pequeña? ¿Por qué?
LA LEY DE GAUSS Consideremos una carga puntual q y encontremos el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de radio r concéntrica con la carga.
El Campo eléctrico de la esfera es producido por la carga en cada punto
Superficie Cargas que encierra S1 q1 S2 q2 S3 q1 y q2 S4 q1 y q3 S5 q1 y q2 y q3
q
→
E=
4πε 0 r 2
rˆ
∫
→
→
El flujo a través de la esfera es Φ = E ⋅ d S S
→
donde d S = rˆdS y Φ=
∫
q 2
rˆ ⋅ rˆdS =
(
)
q
4πε 0 r 2 4πε 0 r q q 4πr 2 = = 2 ε0 4πε 0 r
Solución. a)
q1 4,00 × 10−9 = ε0 ε0
S
∫ dS S
En resumen:
= 452 Nm2/C
→
→
Φ = ∫E ⋅d S =
b)
Φ S2 =
(q1 + q2 ) (4,00 + 2,40) × 10−9 = ε0 ε0
= 723 Nm2/C:
nˆ6 = −iˆ Φ6 = EA(0,6iˆ + 0,8 ˆj ) ⋅ (− iˆ)
Φ S1 =
(q1 + q2 ) (4,00 − 7,80) × 10−9 = ε0 ε0
S
q2 − 7,80 ×10 −9 = ε0 ε0
q
ε0
El flujo a través de la esfera es proporcional a la carga es independiente del radio de la superficie. 31
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Consideremos ahora el caso de una carga q encerrada por una superficie arbitraria S como se muestra en la figura siguiente.
Con todo esto podemos establecer la ley de Gauss. El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada que encierra varias cargas es: →
→
S
→
Φ = ∫E⋅d S →
Como d S = nˆdS →
Φ = ∫ E ⋅ nˆdS = ∫ E cos θ dS S
∫
→
q 2
S
cos θ dS
Pero
dS cos θ = r 2 d Ω ⇒
ángulo sólido subtendido por el elemento de
q
ε0
Q
dq
ε0
Ejemplo 50. Deducir la ley de Coulomb para dos cargas puntuales q1 y q2 partiendo de la ley de Gauss. Solución. Aplicando la ley de Gauss y el concepto de flujo a una superficie esférica en cuyo centro se encuentra la carga eléctrica q1, deducimos:
cos θ dS = dΩ , el r2
superficie dS , luego. Φ =
→
Φ = ∫E ⋅d S = ∫
S
4πε 0 r cos θ dS q = ∫ 4πε 0 S r 2 S
qi
Esta ecuación derivada para cargas puntuales puede aplicarse para cualquier configuración, notando que la integral en caso que no exista simetría geométrica se complica en su solución.
S
=
→
Φ = ∫E ⋅d S = ∑
El flujo a través de le superficie S es
∫ dΩ
E=
4πε 0 como el ángulo sólido total es 4π : q (4π ) = q Φ= 4πε 0 ε0
1
q1
4πε 0 ε 0 →
→
Φ = ∫ E ⋅ d S = E 4πr 2 = S
⇒ E=
Este resultado es el mismo que en el caso de una superficie esférica, por lo tanto válido para cualquier superficie. Si la carga está fuera de la superficie cerrada, el flujo a través de dS1 es igual pero opuesto al flujo a través de dS2
q1
ε0
q1 4πε 0 r 2 1
Si colocamos la carga q2 en un punto en que el campo sea E, la fuerza electrostática sobre esta carga será: F = q 2 E =
q1 q 2 4πε 0 r 2 1
Obsérvese que este ejemplo es lógicamente recíproco; sin embargo, demuestra la equivalencia entre las leyes de Gauss y de Coulomb. Ejemplo 51. Se tiene una línea infinita con una carga de densidad lineal uniforme λ C/m. ¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia r de la línea? Solución. En este caso la superficie gausiana conveniente es un cilindro de radio r y longitud l como se muestra en la figura siguiente.
de aquí que el flujo neto es igual a cero. Si hay varias cargas dentro de la superficie arbitraria, el flujo total es igual a la suma de los flujos producidos por cada carga.
32
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Ejemplo 53. Una carga se distribuye con densidad uniforme ρ a través del volumen de una gran placa aisladora fina de espesor 4a. Calcule el campo en todo el espacio, suponga que la placa es paralela al plano xy y que el origen esta en el centro de la placa. Sugerencia, use la simetría del problema y evalúe para toda altura z. Solución. a) Para − 2 a ≤ z ≥ 2 a
Aplicando la ley de Gauss. →
→
ε0 ∫ E ⋅d S = q La superficie la podemos suponer en 3 partes: (1) y (3) las tapas y (2) el cilindro propiamente dicho. La carga encerrada por la superficie es q = λl
ε 0 ⎛⎜ ∫ E⋅ d S + ∫ E⋅ d S + ∫ E ⋅ d S ⎞⎟ = λl →
⎝
→
1
→
→
→
2
→
⎠
3
→
Como E es perpendicular a la línea. →
→
∫ E⋅ d S = 0 y 1
∫
→
→
→
2 →
2
ε 0 E(2πrl ) = λl
λ 2πε 0 r
E=
⇒
Para − 2 a < z < 2 a
Vectorialmente →
q
ε0 ρ 4aA EA + EA = ⇒ ε0 ρ E=2 a ε0
∫ E⋅ d S = 0
Luego ε 0 E⋅ d S = λl ⇒ y E=
∫ E ⋅ nˆdS =
λ rˆ 2πε 0 r
Ejemplo 52. Se tiene un plano infinito con una densidad de carga superficial. σ ¿Cuál es el Campo eléctrico a una distancia r del plano? Solución. Aquí conviene como superficie gausiana un cilindro de sección A y longitud 2r, como se muestra en la figura siguiente.
→
∫ E ⋅ nˆdS =
→
Aquí nuevamente tenemos las tapas y el cilindro propiamente dicho, como el campo eléctrico es perpendicular al plano la integral en la superficie lateral es igual a cero, quedando solo la parte de las tapas, la carga encerrada es igual a q = σ A .
→
Vectorialmente E =
σ rˆ 2ε 0
ρ z ε0
ρ 2 zA ε0
Ejemplo 54. Dos láminas grandes de plástico, no conductoras, cada una con un espesor de 10,0 cm, tienen densidades de carga uniformes σ1, σ2, σ3 y σ4 en sus superficies, como se muestra en la figura . Los valores de estas densidades superficiales de carga son u1 σ1= - 6,00 μC/m2, σ2= + 5,00 μC/m2, σ3 = + 2,00 μC/m2 y σ4 = + 4,00 μC/m2. Utilice la ley de Gauss, para hallar la magnitud y dirección del campo eléctrico en los puntos siguientes, alejados de los bordes de estas láminas, a) Punto A, a 5,00 cm de la cara izquierda de la lámina de la izquierda. b) Punto B, a 1,25 cm de la superficie interna de la lámina de la derecha. c) Punto C, en medio de la lámina de la derecha.
ε0 ∫ E ⋅d S = q
ε 0 (EA + EA) = σ A ⇒ E =
ε0
⇒ EA + EA = ⇒ E=
Aplicando la ley de Gauss →
q
σ 2ε 0
El Campo es independiente de r. 33
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
E3 =
(2 + 4) μC = 2ε 0 m
2
6 μC 2ε 0 m 2
= 3,36 x 105 N/C El campo eléctrico en B: →
E B = −(3,36 + 0,56) × 105 N/C iˆ = −3,92 × 105 N/C iˆ c) en C: Solución. a) en A:
→
E C = −(E4 − E 5 )&i& (σ + σ 2 + σ 3 ) , E = σ 4 E4 = 1 5 2ε 0 2ε 0
→
E A = − E1iˆ Aplicando la ley de Gauss
Reemplazando valores
E1 =
E4 =
(σ 1 + σ 2 + σ 3 + σ 4 ) 2ε 0
(− 6 + 5 + 2 + 4) μC 2 ε0
m
2ε 0
m
2
1 μC 2ε 0 m 2
= 0,56 x 105 N/C
Reemplazando valores
E1 =
(− 6 + 5 + 2) μC =
E5 =
2
4 μC 4 μC = 2 2ε 0 m 2ε 0 m 2
= 2,24 x 105 N/C El campo eléctrico en B:
5
= 2,82 x 10 N/C El campo eléctrico en A:
→
E B = −(2,24 − 0,56) × 105 N/C iˆ = −1,68× 105 N/C iˆ
→
E A = −2,82 × 105 N/C iˆ b) en B
Ejemplo 55. Se tiene dos planos conductores infinitos paralelos separados una distancia d, uno con densidad de carga + σ y el otro con densidad de carga − σ . ¿Cuál será el valor del Campo eléctrico entre ellos y fuera de ellos?
→
E B = −(E2 − E 3 )&i& (σ + σ 2 ) , E = (σ 3 + σ 4 ) E2 = 1 3 2ε 0 2ε 0 Reemplazando valores
E2 =
(− 6 + 5) μC = − 2ε 0
m
2
1 μC 2ε 0 m 2
= -0,56 x 105 N/C Solución. Cálculo por la ley de Gauss directamente. 34
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
En la cara lateral E es perpendicular a la superficie
→
→
∫ E⋅ d S = 0 2
En la superficie que mira hacia adentro: →
→
∫ E⋅ d S = EA 3
Luego:
ε 0 EA = σA ⇒ E =
σ ε0
Las cargas se colocan en las superficies interiores de los planos, frente a frente a frente como se muestra en la figura a continuación. El campo fuera de las placas: Con la superficie gaussiana (a).
ε 0 ⎛⎜ ∫ E⋅ d S + ∫ E ⋅ d S + ∫ E ⋅ d S ⎞⎟ = σA − σA →
⎝
→
1
→
→
→
2
→
⎠
3
ε 0 (EA + 0 + EA) = 0 ⇒ E = 0
El campo eléctrico fuera de las superficies es cero. El campo entre las placas: Primera manera: Usando la superficie gausiana (b).
ε 0 ⎛⎜ ∫ E⋅ d S + ∫ E⋅ d S + ∫ E⋅ d S ⎞⎟ = −σA →
⎝
→
1
→
→
→
2
→
Cálculo por superposición. Este problema se puede resolver por el método de la superposición. El campo debido al plano con carga positiva se indica en la figura siguiente.
⎠
3
En la superficie que mira hacia afuera →
→
∫ E⋅ d S = 0
⇒
E = 0:
1
En la cara lateral E es perpendicular a la superficie →
→
∫ E⋅ d S = 0 2
En la superficie que mira hacia adentro: →
→
∫ E⋅ d S = − EA 3
Luego:
− ε 0 EA = −σA ⇒ E =
σ ε0
El campo debido al plano con carga negativa se indica en la figura siguiente.
Segunda manera: Usando la superficie gaussiana (c).
ε 0 ⎛⎜ ∫ E⋅ d S + ∫ E⋅ d S + ∫ E⋅ d S ⎞⎟ = σA →
⎝
→
1
→
→
→
2
3
→
⎠
En la superficie que mira hacia afuera E = 0:
⇒
→
→
∫ E⋅ d S = 0 1
35
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Cuando los planos están cercanos, El plano con carga positiva influye sobre el otro y recíprocamente, como se muestra en la figura
Cuando los planos están uno frente al otro, los campos se superponen y obtenemos los campos tal como se muestra en la figura siguiente.
Aquí aplicamos la ley de Gauss a cualquiera de los planos y obtenemos los resultados anteriores.
σ σ − =0 2ε 0 2ε 0 σ σ σ + = Entre los planos E = 2ε 0 2ε 0 ε 0
Ejemplo 56. Encontrar la distribución de cargas y el campo eléctrico en los espacios A, B, C y D en el dispositivo de la figura para: a) la llave S abierta. b) Después de cerrar la llave S.
Fuera de los planos: E =
Cálculo por distribución de las cargas. Originariamente las cargas están distribuidas como se muestra en las figuras siguientes: El plano con carga positiva.
Solución. a) La carga + 2σ se distribuye + σ en cada cara y la carga − σ se distribuye − σ 2 en cada cara e inducen las cargas tal como se muestra en la figura siguiente.
El plano con carga negativa.
36
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
eléctrico neto (magnitud y dirección) debido a las tres láminas en a) el punto P (0,150 m a la izquierda de la lámina I) b) el punto R (equidistante de las láminas I y II) c) el punto S (equidistante de las láminas II y III) d) el punto T (0,150 m a la derecha de la lámina III).
Los campos eléctricos se pueden hallar haciendo superficies gaussianas tal como se muestran en la figura siguiente.
Solución. La figura muestra los campos eléctricos producidos por cada uno de los tres planos.
b) Cuando se conecta a tierra tenemos una fuente inagotable y receptor de carga negativa y las cargas se acomodan tal como se muestra en la figura siguiente. a) Campo eléctrico en P
σ1 σ σ − 2 + 3 2 ε0 2 ε0 2 ε0 0,0200 0,0100 0,0200 =− − + 2 ε0 2 ε0 2 ε0 0,0100 N =− = −5,65 × 108 2 ε0 C → N ⇒ E P = −5,65 × 108 iˆ C EP = −
Los campos eléctricos se pueden hallar haciendo superficies gaussianas como las mostradas.
b) Campo eléctrico en R
σ1 σ σ − 2 + 3 2 ε0 2 ε0 2 ε0 0,0200 0,0100 0,0200 =+ − + 2 ε0 2 ε0 2 ε0 0,0300 N =+ = 1,69 × 109 2 ε0 C
ER = +
Ejemplo 57. Tres láminas aislantes grandes paralelas tienen densidades superficiales de carga de σ 1 = + 0,0200 C/m2, σ 2 = + 0,0100 C/m2 y σ 3 = – 0,0200 C/m2, respectivamente. Las láminas adyacentes están a una distancia de 0,300 m una de la otra. Calcule el campo 37
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
→
⇒ E P = 1,69 × 109 iˆ
N C
⎛ − σ 2 + σ3 ⎞ Fsobre I q1 ⎟⎟ = Een I = σ1 ⎜⎜ A A 2ε0 ⎝ ⎠ −4 2,00 × 10 N = = +1,13 × 10 7 2 2 ε0 m
c) Campo eléctrico en S
σ1 σ σ + 2 + 3 2 ε0 2 ε0 2 ε0 0,0200 0,0100 0,0200 =+ + + 2 ε0 2 ε0 2 ε0 0,0500 N =+ = 2,82 × 10 9 2 ε0 C → N ⇒ ES = 2,82 × 109 iˆ C ES = +
Hacia la derecha. Sobre la lámina II
⎛ + σ1 + σ 3 ⎞ Fsobre II q2 ⎟⎟ = Een II = σ 2 ⎜⎜ A A 2ε0 ⎝ ⎠ −4 4,00 × 10 N = = +2,26 × 10 7 2 2 ε0 m
d) Campo eléctrico en T
ET = +
σ1
+
σ2
−
σ3
Hacia la derecha.
2ε 0 2ε 0 2ε 0 0,0200 0,0100 0,0200 =+ + − 2 ε0 2 ε0 2 ε0 0,0100 N =+ = 5,65 × 10 8 2ε0 C → N ⇒ ET = 5,65 × 108 iˆ C
Sobre la lámina III
⎛ + σ1 + σ 2 ⎞ Fsobre III q3 ⎟⎟ = Een III = σ 3 ⎜⎜ A A 2ε0 ⎝ ⎠ −4 − 6,00 × 10 N = = −3,39 × 10 7 2 ε0 m Hacia la izquierda. Ejemplo 59. Se tiene dos hojas infinitas ubicadas en x = d y x = − d con cargas σ y − 2σ respectivamente, tal como se muestra en la figura.
Ejemplo 58. Con respecto a la situación descrita en el problema anterior, halle la fuerza en cada unidad de área (magnitud y dirección) que ejercen sobre cada una de las láminas I, II y III las otras dos láminas,
a) Determine el campo eléctrico en todo el espacio. b) Si entre las placas colocamos una placa infinita conductora descargada de espesor t. ¿Cuales son las densidades de carga superficiales inducidas sobre la placa?
Solución.
c) Si con un alambre conductor muy delgado conectamos a la placa conductora con la hoja
Sobre la lámina I 38
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
que está ubicada en x = d, ¿cuál es la densidad de carga superficial de esta hoja? Solución. Nota: la solución es considerando como si la carga se distribuyera uniformemente en los planos infinitos, lo que no es así, ya que están frente a un borde, motivo es porque la carga debe estar concentrada en una línea e ir haciéndose mas tenue hasta cero en el infinito. Las densidades de carga en los bordes también tienen ese problema, aun más considerando que son de espesor muy pequeño (el que debería de ser conocido) a) Distribución de las cargas.
Ejemplo 60. Se tiene una esfera no conductora de radio R con densidad de Carga por volumen ρ . ¿Cuál es el valor del campo eléctrico para todo punto? Solución.
El campo eléctrico:
σ 2ε 0 → σ Para x > − d : E = 2ε 0 →
Para x < − d : E =
→
iˆ Para r < R
iˆ
Para − d < x < d : E = −
→ → ⎛4 ⎞ ε 0 ∫ E ⋅ d S = q ⇒ ε 0 E (4πr 2 ) = ρ ⎜ πr 3 ⎟ ⎝3 ⎠ ρ r ⇒ E= 3ε 0 → ρ → r Vectorialmente E = 3ε 0 Para r = R → → ⎛4 ⎞ ε 0 ∫ E ⋅ d S = q ⇒ ε 0 E (4πR 2 ) = ρ ⎜ πR 3 ⎟ ⎝3 ⎠ ρ R ⇒ E= 3ε 0 → ρ Rrˆ Vectorialmente E = 3ε 0 Para r > R
3σ ˆ i 2ε 0
b) Las cargas se acumulan en los bordes tal como se muestra en la figura
→
→
ε0 ∫ E ⋅d S = q ⇒
ε 0 E (4πr 2 ) = ρ ⎜ πR 3 ⎟ = Q ⇒ E = ⎛4 ⎝3 →
c) Si se conecta con un alambre conductor muy delgado a la placa conductora con la hoja que está ubicada en x = d, la densidad de carga superficial de esta hoja queda tal como se indica en la figura siguiente.
Vectorialmente E =
39
⎞ ⎠ Q
4πε 0 r 2
rˆ
Q 4πε 0 r 2
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Para r > b →
→
ε0 ∫ E ⋅d S = q
(
)
4 ⎛4 3 ⎝3 3 3 ρ b −a Q = ⇒ E= 2 3ε 0 r 4πε 0 r 2 → Q rˆ Vectorialmente E = 4πε 0 r 2
⎞ ⎠
⇒ ε 0 E 4πr 2 = ρ ⎜ πb 3 − πa 3 ⎟
(
Si la esfera fuera conductora toda la carga estaría concentrada en la superficie y el Campo eléctrico en el interior o sea para r < R seria nulo.
En el ejemplo siguiente presentamos un caso de asimetría geométrica que es posible resolver con la ley de Gauss. Ejemplo 61. Para la configuración mostrada en la figura, suponga que a = 5,0 cm, b = 20 cm y c = 25 cm. Suponga también que se mide un valor de campo eléctrico en un punto a 10 cm del centro igual a 3,6 × 103 N/C radialmente hacia adentro en tanto que el campo eléctrico en un punto a 50 cm del centro es 3,6 ×102 N/C radialmente hacia afuera. A partir de esta información encuentre: a) la carga sobre la esfera aislante. b) la carga total sobre la superficie exterior de la esfera conductora hueca. c) la carga neta sobre la esfera conductora hueca d) el potencial eléctrico en un punto a 20 cm del centro.
Ejemplo 60. Como una variante veamos el caso de una esfera no conductora con una cavidad concéntrica. Solución.
Sean los radios de la esfera a y b. Para r < a Como no hay carga encerrada por la superficie gausiana E=0 Para a < r < b →
Solución. La figura muestra la distribución de cargas en el sistema.
→
ε0 ∫ E ⋅d S = q
(
)
⎛4 ⎝3 3 ρ r − a3 ⇒ E= 3ε 0 r2
4 3
⎞ ⎠
⇒ ε 0 E 4πr 2 = ρ ⎜ πr 3 − πa 3 ⎟
(
)
)
a) Para encontrar Q1
ρ (r 3 − a 3 ) rˆ Vectorialmente E = 3ε 0 r2 →
40
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
V =
⎛ 10 × 10 −9 ⎞ Q2 ⎟⎟ = 360 V = 9 × 109 ⎜⎜ 4πε 0 0,25 ⎝ 0,25 ⎠ 1
Como es una esfera hueca conductora el potencial es igual para todo punto del elemento, como un punto a 20 cm del centro pertenece a la esfera hueca su potencial es 360 V. Ejemplo 62. Campo eléctrico dentro de un átomo de hidrógeno. Un átomo de hidrógeno se compone de un protón con carga + Q = 1,60 x 10-19 C y un electrón con carga - Q = 1,60 x 10-19 C. Se puede considerar el protón como una carga puntual en r = 0, el centro del átomo. El movimiento del electrón provoca que su carga esté “difusa” en una distribución esférica en torno al protón, por lo que el electrón es equivalente a una carga en la unidad de volumen de
Encontremos el campo el eléctrico en un punto a 10 cm del centro. →
E=
1 Q1 rˆ 4πε 0 r 2 →
Para r = 10 cm, E = −3,6 × 103 rˆ N/C
− 3,6 × 103 rˆ = 9 × 109
Q1 rˆ (0,1)2
3,6 × 103 × 10−2 Q1 = − = −4 × 10− 9 C 9 9 × 10
ρ (r ) = −
Q − 2r / a0 e πa03
b) Para encontrar Q2
a0 = 5,29 x 10-11 m, llamado radio de Bohr. a) Halle la cantidad total de la carga del átomo de hidrógeno que está encerrada dentro de una esfera de radio r centrada en el protón. Demuestre que, cuando r → ∞, la carga encerrada tiende a cero. Explique este resultado. b) Halle el campo eléctrico (magnitud y dirección) producido por la carga del átomo de hidrógeno en función de r. c) Grafique la magnitud del campo eléctrico E en función de r. Fórmulas útiles.
Encontremos el campo el eléctrico en un punto a 50 cm del centro.
2 ax ∫ x e dx =
→
E=
e ax ⎛ 2 2 x 2 ⎞ + ⎟ ⎜x − a ⎝ a a2 ⎠ ∞ Γ (3) 2 2 − ax ∫0 x e dx = a 3 = a 3
1 Q1 rˆ 4πε 0 r 2 →
Solución. a) Carga del átomo de hidrógeno que está encerrada dentro de una esfera de radio r centrada en el protón
Para r = 50 cm, E = 3,6 × 102 rˆ N/C
3,6 × 102 rˆ = 9 × 109 Q2 =
Q2 rˆ (0,5)2
Q(r ) = Q − ∫ ρdV
3,6 × 102 × 0,25 = 10 × 10− 9 C 9 × 109
ρ (r ) = −
Q − 2r / a0 e πa03
dV = 4πr 2 dr
c) la carga neta sobre la esfera conductora hueca es QN = Q2 – Q1 = 10 × 10-9 – (- 4 × 10-9 = 14 × 10-9 C d) El potencial eléctrico en un punto a 20 cm del centro. El potencial en la superficie exterior de la esfera conductora es
r⎛ ⎞ Q Q(r ) = Q − ∫ ⎜⎜ − 3 e − 2 r a0 ⎟⎟4πr 2 dr 0 ⎝ πa0 ⎠ 4Q r = Q + 3 ∫ r 2e − 2 r a 0 dr a0 0 r
⎞ 4Q e −2 r a0 ⎛ 2 2r 2 ⎜r − ⎟ =Q+ 3 + 2 ⎟ ⎜ (− 2 a0 ) (− 2 a0 ) ⎠ 0 a0 (− 2 a0 ) ⎝ 41
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
a) Demuestre que la carga total contenida en la distribución es Q. b) Demuestre que el campo eléctrico en la región r ≥ R es idéntico al que produce una carga puntual Q en r = 0. c) Obtenga una expresión del campo eléctrico en la región r ≤ R . d) Grafique la magnitud del campo eléctrico E en función de r. e) Halle el valor de r en el que el campo eléctrico es máximo, y encuentre el valor de ese campo máximo. Solución. a) La carga total:
r
⎛ a2 ⎞ 2Q = Q − 2 e − 2 r a0 ⎜⎜ r 2 + a0 r + 0 ⎟⎟ a0 2 ⎠0 ⎝ a02 ⎞ 2Q − 2 r a0 ⎛ 2 ⎜⎜ r + a0 r + ⎟⎟ + Q =Q− 2 e a0 2⎠ ⎝
2Q − 2 r a 0 ⎛ 2 a02 ⎞ ⎜ ⎟ + + e r a r 0 ⎜ 2 ⎟⎠ a02 ⎝ 2 r 2 2r ⎞ − 2r a0 ⎛ 2r a0 ⎜ = Qe − 2 − − 1⎟⎟ ⎜ 2e a a 0 0 ⎝ ⎠
= 2Q −
Cuando r tiende a infinito.
Q(∞ ) = Q +
4Q ∞ 2 − 2 r a0 r e dr a03 ∫0
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 4Q ⎢ 2 ⎥ =Q+ 3 ⎢ a0 ⎛ 2 ⎞3 ⎥ ⎢⎜ − ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎜⎝ a0 ⎟⎠ ⎥⎦ = Q −Q = 0
V
q = ∫ ρ(r )dV 0
⎛ ⎝
ρ ( r ) = ρ 0 ⎜1 − dV = 4πr 2 dr
b) El campo eléctrico es radialmente hacia afuera, y su magnitud es
R r⎞ ⎛ q = ∫ ρ 0 ⎜1 − ⎟4πr 2 dr 0 ⎝ R⎠ R⎛ r⎞ = 4πρ0 ∫ ⎜1 − ⎟r 2 dr 0 ⎝ R⎠
1 Q(r ) E= 4πε 0 r 2
Qe −2 r a0 E= 4πε 0 r 2
r⎞ ⎟ R⎠
⎛ 2 r a 0 2 r 2 2r ⎞ ⎜⎜ 2e − 2 − − 1⎟⎟ a a 0 0 ⎠ ⎝
R
⎡ r3 r4 ⎤ πR 3 = ρ0 = 4πρ0 ⎢ − ⎥ 3 ⎣ 3 4R ⎦0 3Q : Reemplazando ρ 0 = πR 3 πR3 3Q q= =Q 3 πR3
c) Grafico de la magnitud del campo eléctrico E en función de r.
b) r ≥ R , .
Ejemplo 63. Una distribución de carga no uniforme, pero esféricamente simétrica, tiene una densidad de carga ρ ( r ) que es como sigue:
⎛ ⎝
ρ ( r ) = ρ 0 ⎜1 − ρ (r ) = 0
Donde ρ 0 =
r⎞ ⎟ para r ≤ R R⎠ para r ≥ R
Aplicando la ley de Gauss Toda la carga Q está encerrada
3Q es una constante positiva, πR 3 42
Electrostática
E 4πr 2 = E=
Q
ε0
Hugo Medina Guzmán
⇒
1
Q 4πε 0 r r 2 2
Igual que una carga puntual. c) r ≤ R
∂E = 0 (r ≤ R ) ⇒ ∂r ∂E 3r ⎞ ∂ 1 Qr ⎛ 4− ⎟ = 3 ⎜ ∂r ∂r 4πε 0 R ⎝ R⎠
e)
r r⎞ ⎛ q = ∫ ρ 0 ⎜1 − ⎟4πr 2 dr 0 ⎝ R⎠ r⎛ r⎞ = 4πρ0 ∫ ⎜1 − ⎟r 2 dr 0 ⎝ R⎠
rmáx
r
⎡ r3 r4 ⎤ = 4πρ0 ⎢ − ⎥ ⎣ 3 4R ⎦0 ⎛ r3 r4 ⎞ ⎟⎟ ρ 0 = 4π ⎜⎜ − R 3 4 ⎝ ⎠
Luego
3 ⎛ 2 R ⎞⎤ Q ⎛ 2R ⎞⎡ ⎟ ⎢4 − ⎜ ⎟ 3 ⎜ 4πε 0 R ⎝ 3 ⎠ ⎣ R ⎝ 3 ⎠⎥⎦ 1 2Q (4 − 2) = 1 4Q2 = 2 4πε 0 3R 4πε 0 3R
Emáx =
3Q : πR 3 ⎛ r 3 r 4 ⎞ 3Q ⎟⎟ 3 q(r ) = 4π ⎜⎜ − ⎝ 3 4 R ⎠ πR
Reemplazando ρ 0 =
volumétrica
ε0
⇒
Q ⎛ r 3r 2 ⎞ ⎟ E = 2 ⎜⎜ − πR ε 0 ⎝ R 4 R 2 ⎟⎠ E=
ρ = ρ0
r , donde ρ0 es una a
constante y r es la distancia al centro de la esfera. La esfera está rodeada por un cascarón conductor concéntrico de radio interior b y radio exterior c. La carga del cascarón es cero. a) Hallar la carga total de la esfera dieléctrica. b) hallar la densidad superficial de carga de cada superficie del cascarón conductor. c) Halle el campo eléctrico en todo punto del espacio. Solución. a) La figura muestra un elemento diferencial dV de la esfera dieléctrica.
Aplicando la ley de Gauss
4Q ⎛ 3 3r 4 ⎞ ⎟ ⎜r − 4 R ⎟⎠ R3 ⎜⎝
1
Ejemplo 64. Se tiene una esfera dieléctrica de radio a cargada con densidad de carga
4Q ⎛ 3r 4 ⎞ ⎟ = 3 ⎜⎜ r 3 − R ⎝ 4 R ⎟⎠
E 4πr 2 =
Q ∂ ⎛ 3r 2 ⎞ ⎜ ⎟ = 4r − R ⎟⎠ 4πε 0 R 3 ∂r ⎜⎝ 1 Q ∂ ⎛ 6r ⎞ = ⎜4 − ⎟ = 0 ⇒ 3 R⎠ 4πε 0 R ∂r ⎝ 2 = R. 3 1
Carga encerrada
Qr ⎛ 3r ⎞ 4− ⎟ 3 ⎜ 4πε 0 R ⎝ R⎠ 1
d)
43
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
La carga total en una región del espacio donde hay una densidad de carga ρ está dada por la integral:
Q = ∫ ρdV V
dV = 4πr 2 dr a r Q = ∫ ρ 0 4πr 2 dr 0 a 4πρ0 = a
∫
a
0
a
4πρ0 r 4 = πρ0 a 3 r dr = a 4 0 3
→
E=
En este caso, donde la simetría es esférica, la expresión toma la forma:
Q = πρ0 a 3 →
E=
b) La figura muestra la distribución de cargas del sistema.
σ ex =
ρ0 1 πρ0 a 3r 4 rˆ = rˆ 2 4πε 0 r 4ε 0 r 2
El campo eléctrico en b < r < c
πρ0 a 3 Q a3 = = ρ 0 4πc 2 4πc 2 4c 2
→
E=0
Densidad de carga de la superficie interior del cascarón conductor.
σ in =
Q rˆ 4πε 0 r 2 1
El campo eléctrico en r > c
−Q πρ a a = − 0 2 = − ρ0 2 2 4πb 4πb 4b 3
3
c) El campo eléctrico en r < a
→
E=
q rˆ 4πε 0 r 2 1
4πρ0 q= a →
E=
1 4πε 0
r
πρ 4 4πρ0 r 4 ∫0 r dr = a 4 = a 0 r 0 r
3
πρ0
a r2
r4
→
E=
Q rˆ 4πε 0 r 2 1
Q = πρ0 a 3
ρ rˆ = 0 r 2 rˆ 4ε 0 a
ρ0 1 πρ0 a 3r 4 E= rˆ = rˆ 2 4πε 0 r 4ε 0 r 2 →
El campo eléctrico en a < r < b
44
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Ejemplo 65. Una carga positiva Q está distribuida uniformemente en cada uno de los dos volúmenes esféricos de radio R. Una esfera de carga está centrada en el origen, y la otra, en x = 2R. Halle la magnitud y dirección del campo eléctrico neto debido a estas dos distribuciones de carga en los puntos siguientes sobre el eje de las x: a) x = 0; b) x = R/2; c) x = R; d) x = 3R.
Q R 1 Q iˆ = iˆ 3 4πε 0 R 2 4πε 0 2 R 2 → Q 1 1 4Q E2 = − iˆ = − iˆ 2 4πε 0 (3R 2 ) 4πε 0 9 R 2 → → → Q 1 E ⎛⎜ x= R ⎞⎟ = E 1 + E 2 = iˆ ⎝ 2⎠ 4πε 0 18 R 2 →
E1 =
1
c) Para x = R Solución. Densidad de carga de las esferas
ρ=
Q 3Q = 4 3 4πR 3 πR 3
Aplicando la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico para r < R.
E 4πr = 2
4 3
ρ πr 3 ε0
=
4πr 3 ρ
ε0
→
E1 =
→ Q 1 Q ˆ i E iˆ , 2 = − 2 4πε 0 R 4πε 0 R 2
1
→
⇒
→
→
E ( x = R ) = E1 + E 2 = 0 Los campos de las dos esferas se cancelan, d) Para x = 3R
ρ r ε0 → ρ → 1 Q→ E= r= r 3ε 0 4πε 0 R 3
E=
a) Para x = 0
→ Q 1 Q iˆ , E 2 = iˆ 2 4πε 0 (3R ) 4πε 0 R 2 → → → 1 10Q E ⎛⎜ x = 3 R ⎞⎟ = E1 + E 2 = iˆ 2 ⎝ ⎠ 4πε 0 9 R 2 →
E1 =
→
Los campos de las dos esferas contribuyen al campo apuntando a la derecha.
Q iˆ 4πε 0 (2 R )2 → → → 1 Q E ( x = 0 ) = E1 + E 2 = − iˆ 4πε 0 4 R 2 →
E1 = 0 , E 2 = −
1
1
Ejemplo 66. Se tiene una esfera conductora con una cavidad esférica en su interior como se muestra en la figura, y densidad de carga ρ . ¿Cuál es el campo eléctrico en la cavidad?
b) Para x = R/2
45
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Pero rˆ − rˆ' = 2aiˆ →
Finalmente E =
Ejemplo 67. En un cilindro sólido aislante, muy largo y de radio R, se ha taladrado un hueco cilíndrico de radio a a todo lo largo del cilindro. El eje del hueco está a una distancia b del eje del cilindro, donde a < b < R. El material sólido del cilindro tiene una densidad volumétrica de carga uniforme ρ . Halle la magnitud y dirección del campo eléctrico E en el interior del hueco, y demuestre que E es uniforme en todo el hueco.
Solución. Vamos a determinar el campo eléctrico en el punto P de la figura siguiente.
→
→
Solución. Primero encontramos el campo de un cilindro fuera del eje.
→
El Campo E en P es igual a: E = E1 − E 2 →
Donde E1 =
ρ 2aiˆ 3ε 0
ρ rˆ 3ε 0
Aplicando la le de Gauss →
→
∫E⋅d l = ρ rˆ' y E2 = 3ε 0 →
E 2πrL = E=
qencerrada
ε0
⇒
πr 2 Lρ ⇒ ε0
ρ r 2ε 0
Vectorialmente →
E=
ρ → r 2ε 0
Luego el campo eléctrico en un agujero en un cilindro.
→
De allí que E =
ρ ρ ρ (rˆ − rˆ') rˆ − rˆ' = 3ε 0 3ε 0 3ε 0 46
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Cálculo de E2 ⇒
→
∫ E ⋅ nˆdS =
⇒ E 2 4πa 2 =
4 3
ρ πa 3 ε0
q
ε0
⇒ E2 =
ρ a 3ε 0
Es la diferencia entre dos campos eléctricos de un cilindro sólido en el eje y otro fuera del eje.
E = E12 + E22 ⎛ρ ⎜⎜ ⎝ε0
=
2
⎞ ⎛ ρ a ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎠ ⎝ 3ε 0
⎞ a ⎟⎟ ⎠
2
= 1,05
ρ a ε0
Ejemplo 69. Sea una esfera sólida aislante de radio a con una densidad volumétrica de carga
ρ → → ρ → r , E2 = r' 2ε 0 2ε 0 → → → ρ → ρ → E = E1 − E 2 = r− r' 2ε 0 2ε 0 ρ ⎛→ →⎞ ρ → = b ⎜ r − r'⎟ = 2ε 0 ⎝ ⎠ 2ε 0 ρ ˆ = i 2ε 0 →
E1 =
igual a ρ = ρ 0 3
r , donde ρ 0 es una constante de a
unidad C/m . La esfera aislante está dentro de una esfera conductora hueca concéntrica de radio interior b y radio exterior c. La carga neta de la esfera hueca conductora es igual a cero. a) Halle la carga total Q en la esfera aislante. b) ¿Cuál es la densidad superficial de carga en cada superficie de la esfera conductora? c) A partir de la ley de Gauss, deduzca las expresiones de la magnitud del vector campo eléctrico en términos de la distancia radial r, para las regiones: r < a, a < r < b, b < r < c y r > c. d) (1 punto) Grafique la magnitud del campo eléctrico en función de r desde r = 0 hasta r = 2c. Solución. a) La carga total Q en la esfera aislante es:
→
Observe que E es uniforme dentro del hueco Ejemplo 68. Una carga se distribuye con densidad uniforme ρ a través del volumen de una gran placa aisladora fina de espesor 4a. Suponiendo que se quita algo de material, dejando una cavidad esférica de radio a colocada como se muestra en la figura, evalúe el vector de campo eléctrico en el punto P.
Q = ∫ ρdV , ρ = ρ 0 V
a
Q = ∫ ρ0 0
Solución.
=
→
E = E1 kˆ − E 2 ˆj
ρ0 a
r 2 y dV = 4π r dr a
r 4π r 2 dr = a
a
ρ0
0
a
∫
4π r 3dr
a
π r 4 = πρ0 a3 0
b) La densidad superficial de carga en la superficie interior de la esfera conductora (r = b).
ρ a Cálculo de E1 ⇒ E1 = ε0
σb = −
πρ0 a 3 ρ0 a3 = − 4π b 2 4b 2
La densidad superficial de carga en la superficie exterior de la esfera conductora (r = c).
47
Electrostática
σc =
Hugo Medina Guzmán
πρ0 a 3 ρ 0 a 3 = 4π c 2 4c 2
c) El campo eléctrico: r < a, Para r < a →
→
ε0 ∫ E ⋅d S = q ⇒ r
ρ0
0
a
ε 0 E (4πr 2 ) = ∫ E=
ρ0 2 r 4 aε 0
4π r 3dr =
ρ0 a
π r4 ⇒ b) Al conectarlo a tierra en la superficie exterior desaparece la carga. El campo exterior es cero.
Para a < r < b,
→
E=0
ε 0 ∫ E ⋅ d S = q ⇒ ε 0 E (4πr 2 ) = Q ⇒ →
E=
→
Q 4πε 0 r 2
= E=
πρ0 a 3 ρ0 a 3 = 4πε 0 r 2 4ε 0 r 2
Para b < r < c E=0 Para r > c.
ε 0 ∫ E ⋅ d S = q ⇒ ε 0 E (4πr 2 ) = Q ⇒ →
E=
→
Q 4πε 0 r 2
= E=
πρ0 a 3 ρ0 a 3 = 4πε 0 r 2 4ε 0 r 2
Ejemplo 71. Una bola que conductora pequeña de la masa 10-3 g suspendida de un hilo por medio de aislador a una placa conductora grande en posición vertical. Cuando la placa lleva una carga eléctrica de densidad superficial 5 x 10-8 C.m-2, la bola es rechazada de la superficie y el hilo queda formando un ángulo de 30° con la vertical. ¿Cuál es la carga que ha pasado a la bola?
d) Gráfico del campo eléctrico en función de r desde r = 0 hasta r = 2c
Ejemplo 70. Cargas por inducción en cáscaras esferas conductoras concéntricas. Si una carga +q se encuentra en el centro de una cáscara esférica de metal. Encontrar el campo eléctrico fuera de la esfera. a) Cuando la cáscara está libre. b) Cuando la cáscara se conecta a tierra. Solución. a) Se observan los campos eléctricos inducidos por q y los inducidos en las superficies de la cáscara. En el centro de la cáscara el campo es cero, pues ambos campos se anulan. El campo fuera de la cáscara no es cero. →
E=
Solución. Hay tres fuerzas que actúan sobre la bola, el peso mg que actúa hacia abajo, la fuerza F ejercida por la placa que actúa horizontalmente, y la tensión T en el hilo. Puesto que la bola está en equilibrio, las componentes horizontales y verticales de las fuerzas deben balancearse por separado. Así: mg = T cos θ y F = T sen θ Dividiendo: F = mg tan θ
q rˆ 4πε 0 r 2 1
48
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
espacio entre ellas un campo eléctrico E uniforme. Un electrón de carga - e se lanza con velocidad inicial v0 a través de un agujero pequeño en la placa positiva. Viaja hasta medio camino en el espacio entre las placas antes de detenerse y tomar dirección contraria. ¿Cuál es el valor de E en términos de la velocidad inicial v0 ? Solución.
Pero F = Eq, donde E es el campo eléctrico debido a la placa y q es la carga en la bola. ¿Además, F = mg tanθ = Eq = σ q ε 0 , dónde σ es la densidad de la carga en la placa. Así
q=
ε 0 mg tan θ σ
(8,85 × 10 )(1× 10 )(9,8)(1 3 ) −12
=
-9
−6
5 × 10 −8
= 1,00 x 10 C.
ax =
Ejemplo 72. Una gota de aceite cargada de masa 2,5 x l0-4 g está en el espacio entre dos placas, cada uno de área 175 cm2. Cuando la placa superior tiene una carga de 4,5 x l0-7 C y la placa más baja una carga negativa igual, la gota sigue estando inmóvil. ¿Qué carga lleva? Solución. El campo eléctrico entre placas paralelas con cargas iguales y opuestas está dado por la ecuación E = σ ε 0 =
z=
mv o2 ⎛ eE ⎞⎛ d ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⇒ E = ed ⎝ m ⎠⎝ 2 ⎠
Se puede también solucionar esto usando los principios de la energía. Así: Pérdida en K = trabajo hecho contra el campo eléctrico E:
Q , Aε 0
1 2 mv o2 ⎛d ⎞ mv0 = (eE )⎜ ⎟ ⇒ E = 2 ed ⎝2⎠ Ejemplo 73. a) ¿Cuál debe ser la carga (signo y magnitud) de una partícula de 1,45 g para que ésta permanezca inmóvil al colocarla en un campo eléctrico dirigido hacia abajo y cuya magnitud es 650 N/C? b) ¿Cuál es la magnitud de un campo eléctrico en el que la fuerza eléctrica sobre un protón tiene la misma magnitud que su peso? Solución. a)
qQ , Aε 0
y como esto balancea el peso de la gota,
qQ ⇒ Aε 0 mgAε 0 q= Q
mg =
=
(2,5 × 10 )(9,8)(175 × 10 )(8,85 × 10 ) −7
−4
4,5 × 10
d 2
Luego 0 = v 02 − 2⎜
donde Q y A son la carga y el área de la placa positiva. La fuerza sobre la gota del aceite es
F = qE =
F − eE y v 2 = v 02 + 2ax = 0 en = m m
−12
7
= 8,43 x 10-13 C MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CARGADA EN UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME Considere una carga q conforme a un campo eléctrico uniforme en la dirección z. No considere la fuerza de la gravedad puesto que normalmente es mucho más pequeña que la fuerza eléctrica. La fuerza qE da lugar a la aceleración a z = F m = qE m y a x = 0 . Podemos determinar el movimiento usando las ecuaciones de la cinemática.
Para que permanezca estático →
→
q E = −m g ⇒ qEˆj = −mgˆj mg ⇒ q=− E (0,00145kg)(9,8 m s 2 ) =− 650 N C
= −2,19 × 10−5 C
Ejemplo 71. Dos placas paralelas muy grandes de metal separaron por una distancia pequeña d tienen cargas opuestas uniformes, creando en el
b) Cuál es la magnitud de un campo eléctrico en el que la fuerza eléctrica sobre un protón tiene la misma magnitud que su peso? 49
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
a) Si el electrón pasa casi rozando la placa superior al salir del campo, halle la magnitud del campo eléctrico. b) Suponga que el electrón de la figura se sustituye por un protón con la misma rapidez inicial U. ¿Golpearía el protón en una de las placas? Si el protón no golpeara una de las placas, ¿cuál seria la magnitud y dirección de su desplazamiento vertical al salir de la región comprendida entre las placas? c) Compare las trayectorias recorridas por el electrón y el protón y explique las diferencias, d) Comente si es razonable pasar por alto los efectos de la gravedad en cada partícula.
Peso del protón −27
Wp = (1,67 × 10 kg)(9,8 m s ) 2
= 16,37 ×10−27 N W 16,37 N E' = p = q p 1,60 × 10−19 C = 1,02 × 10−7 N / C , hacia arriba.
Ejemplo 74. Campo eléctrico de la Tierra. La Tierra tiene una carga eléctrica neta que crea en los puntos cercanos a su superficie un campo igual a 150 N/C y dirigido hacia su centro. a) ¿De qué magnitud y signo debe ser la carga que un ser humano de 60 kg tendría que adquirir para compensar su peso con la fuerza que ejerce el campo eléctrico terrestre? b) ¿Cuál seria la fuerza de repulsión entre dos personas que tuviesen cada una la carga calculada en el inciso (a) y estuviesen separadas por una distancia de 100 m? ¿Es el uso del campo eléctrico terrestre un medio viable para volar? ¿Por qué? Solución. a) El campo eléctrico de la tierra apunta hacia el centro de la tierra, Luego una carga NEGATIVA se presentará sobre la superficie.
Solución. a) Pasando entre las placas cargadas el electrón siente una fuerza hacia arriba, y pasa justo por el borde de la placa superior. La distancia que viaja en la dirección y es 0,005 m. El tiempo de vuelo es m t = 1,600,×0200 10 6 m
ecuación del movimiento del electrón
y = v0 y t + 12 at 2 Con los datos
0,005 m = 12 a (1,25 × 10 −8 s) 2 ⇒ 2
a = 6,40 × 1013 m s .
2
(60,0 kg) (9,8 m s ) = −3,92 C. 150 N C
b) F =
= 1,25 x 10-8s.
Su velocidad inicial en y es v 0 y es cero. La
mg = qE ⇒
q=−
s
2
Pero también
a=
2
1 q 1 (3,92 C) = 2 4πε0 r 4πε0 (100,00 m)2
F eE a me = ⇒ E= m me e
Luego
= 1,38 × 107 N . La magnitud de la carga
E=
es demasiado grande para usos prácticos.
(9,11 × 10 )(40 × 10 ) −31
13
1,60 × 10 −19
= 34 N/C b) Puesto que el protón es más masivo, acelera menos, y no golpea las placas. Para encontrar el desplazamiento vertical cuando sale de las placas, utilizamos las ecuaciones de la cinemática otra vez:
Ejemplo 75. Se proyecta un electrón con una rapidez inicial v0 = 1,60 x 106 m/s hacia el interior de un campo eléctrico uniforme entre las placas paralelas de la figura. Suponga que el campo entre las placas es uniforme y su dirección es vertical descendente, y que el campo afuera de las placas es cero. El electrón entra en el campo en un punto equidistante de las dos placas.
y=
1 2 1 eE at = (1,25 × 10 − 8 s) 2 2 2 mp
= 2,73 × 10−6 m. 50
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
c) Como se menciona en b), el protón no golpeará una de las placas porque aunque la fuerza eléctrica sentida por el protón es igual que la fuerza del electrón, da como resultado una aceleración menor para el protón más masivo. d) La aceleración producida por la fuerza eléctrica es mucho mayor que g; es razonable no hacer caso de la gravedad
b) ¿Después de qué distancia horizontal d regresa el protón a su elevación original? c) Dibuje la trayectoria del protón. d) Halle los valores numéricos de hmax y d si E = 500 N/C, v0 = 4,00 x l05 m/s y = 30.,0°. Solución.
Ejemplo 76. Dos placas paralelas cargadas grandes se utilizan a menudo para crear un campo eléctrico uniforme E. Una partícula cargada disparada entre las placas será desviada por el campo eléctrico. Esta técnica se utiliza para desviar electrones en un tubo catódico (como en un osciloscopio) o para desviar gotitas de tinta en una impresora de inyección de tinta. ¿Suponga una partícula de masa m, carga q, y velocidad inicial v0 , lanzada paralela a las dos placas donde el campo eléctrico es E. La longitud de las placas es L. ¿A través de qué ángulo se desviará la partícula?
ay =
Fx = 0
Fy = eE
Fy eE ax = 0 = mp mp v y2 = v02y + 2a y Δy = v02 sin 2 α +
a)
Δ y = hmax
2eE Δy mp
cuando v y = 0
vo2 m p sin 2 α 2eE 1 b) Δy = v0 y t + a y t 2 2 t = t orig cuando Δy = 0 ⇒ hmax =
1 ⎛ ⎞ ⇒ 0 = ⎜ − v0 sin α + a y t orig ⎟ t orig 2 ⎝ ⎠ 2v0 sin α Luego Δy = 0 t orig = 0, ay 2v 0 m p sen α o t orig = eE 2v02 mp d = v0 x torig = cos α sen α eE
Solución. No hay ace1eration en la dirección x, tal que L = v0 t donde t = tiempo entre las placas.
c)
v x = v0 = constante: ⎛ qE ⎞⎛⎜ L ⎟⎜ ⎝ m ⎠⎝ v 0
y v y = v 0 y + at = 0 + ⎜
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ qEL ⎞ qEL ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 vx ⎝ mv 0 ⎠ mv 0 qEL ⇒ θ = tan −1 mv02 tan θ =
vy
=
1 v0
Ejemplo 77. Se proyecta un protón en un campo eléctrico uniforme que apunta verticalmente hacia arriba y tiene una magnitud E. La velocidad inicial del protón tiene una magnitud v0 y está dirigida formando un ángulo abajo de la horizontal. a) Halle la distancia máxima que el protón desciende verticalmente por debajo de su elevación inicial. Se pueden pasar por alto las fuerzas gravitatorias.
d)
(4 × 105 ) 2 (1,67 × 10−27) sen 2 30° 2(1,6 × 10−19 )(500) = 0,42 m.
hmax =
2( 4 × 10 5) 2 (1,67 × 10 27 ) cos 30 ° sen 30 ° (1,6 × 10 −19 )(500 ) = 2,49 m.
d=
51
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
d) Si se coloca una partícula puntual con carga – q y masa m sobre el eje z. Estará bajo la acción de la fuerza Fz = − qE z . Para (R1 >> z)
Ejemplo 78. Un disco delgado con un orificio circular en su centro, conocido como corona circular, tiene un radio interno R1 y un radio externo R2 . El disco tiene una densidad superficial uniforme de carga positiva σ en su superficie. a) Halle la carga total de la corona circular. b) La corona circular yace en el plano xy, con su centro en el origen. Con respecto a un punto arbitrario sobre el eje de las x (el eje de la corona circular), halle la magnitud dirección del campo
Ez ≈
σz⎛ 1 1⎞ ⎜ − ⎟ 2ε 0 ⎜⎝ R1 R2 ⎟⎠
Aplicando la segunda ley de Newton
∑F
z
= maz
Fz = −qEz
→
•• qσ ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ z = m z ⇒ 2ε0 ⎝ R1 R2 ⎠ •• qσ ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ z = 0 z+ 2ε0 m ⎝ R1 R2 ⎠
eléctrico E . Considere puntos situados tanto arriba como abajo de la corona circular de la figura. c) Muestre que, en los puntos sobre el eje z que están suficientemente próximos al origen, la magnitud del campo eléctrico es aproximadamente proporcional a la distancia entre el centro de la corona circular y el punto. d) Una partícula puntual de masa m y carga negativa - q puede moverse libremente a lo largo del eje de las z (pero no puede apartarse del eje). La partícula esta originalmente en reposo en z0 = 0,01 R1 y luego se deja en libertad, Halle la frecuencia de oscilación de la partícula.
−
••
z+ ω2z = 0
Con la frecuencia angular
ω= f =
qσ ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⇒ 2ε0 m ⎝ R1 R2 ⎠ ω 1 qσ ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ = 2π 2π 2ε0 m ⎝ R1 R2 ⎠
Si la carga – q se coloca en z0 = 0,01 R1, esta oscilará de z0 a - z0, de acuerdo a la ecuación
z = 0,01R1 cos ωt
Solución. 2 2 a) Q = Aσ = π ( R2 − R2 )σ b) Campo eléctrico en el eje de un disco con densidad de carga σ →
E disco =
⎤ σ ⎡ z ⎢1 − 2 ⎥ kˆ 1 2 2ε 0 ⎢⎣ (z + R 2 ) ⎥⎦
POTENCIAL ELÉCTRICO INTRODUCCIÓN ¿Cuál es el trabajo que se realiza para llevar una carga pequeña de un lugar a otro? El trabajo contra la fuerza eléctrica para transportar una carga a lo largo de una trayectoria con velocidad constante es igual al negativo de la componente de la fuerza eléctrica en la dirección del movimiento,
Campo de la corona circular →
E=
⎤ ⎡ ⎤ ⎫⎪ z z σ ⎧⎪⎡ − − 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎬kˆ ⎨⎢1 − 2 2ε 0 ⎪⎢⎣ (z + R22 )1 2 ⎥⎦ ⎢⎣ (z 2 + R12 )1 2 ⎥⎦ ⎪ ⎩ ⎭
=
⎤ 1 1 σz⎡ − ⎢ 2 ⎥ kˆ 2ε 0 ⎢⎣ (z + R12 )1 2 (z 2 + R22 )1 2 ⎥⎦
c) En los puntos sobre el eje de las x que están suficientemente próximos al origen (R1 >> z), la magnitud del campo eléctrico es aproximadamente proporcional a la distancia z. →
E≈
σ z ⎛ 1 1 ⎞ˆ ⎜ − ⎟k 2ε 0 ⎜⎝ R1 R2 ⎟⎠
Integrando en la trayectoria 52
Electrostática 2→
Hugo Medina Guzmán
Ejemplo 79. Una carga puntual q1 se mantiene fija en el origen. Se coloca una segunda carga q. en el punto a y la energía potencial eléctrica d par de cargas es + 5,4 x10-8 J. Cuando la segunda carga se traslada punto b. la fuerza eléctrica sobre la carga realiza -1,9 x10-8 J de ni bajo. ¿Cuál es la energía potencial eléctrica del par de cargas cuando la segunda está en el punto b? Solución.
→
W12 = − ∫ F ⋅ d l 1
→
F es la fuerza eléctrica sobre la carga en cada punto. →
d l es el vector desplazamiento diferencial a lo
largo de la trayectoria. Como la definición de la energía potencial se hace en términos de la diferencia de energía potencial, podemos escribir: 2→
W = − 1,9 × 10−8 J = − ΔU = U i − U f ⇒ U f = 7,3 x 10-8 J.
→
U 2 − U 1 = W12 = − ∫ F ⋅ d l 1
Ejemplo 80. Una esfera metálica pequeña, con una carga neta de q1 = - 2,8 μC, se mantiene en una posición fija por medio de soporte aislantes. Se proyecta hacia q1 una segunda esfera metálica pequeña con una carga neta de q2 = -7,50 μC y una masa de 1,50 g. Cuando las dos esferas están a 0,800 m una de la otra, q2 se traslada hacia con una rapidez de 22,0 m/s. Suponga que las dos esferas se pueden tratar como cargas puntuales. No considere la fuerza de gravedad. a) ¿Cuál es la rapidez de q, cuando las esferas están 0,400 m una de la otra? b) ¿Cuánto es lo más que q2 se acerca a q1?
Es conveniente para nuestros .propósitos considerar el trabajo por unidad de carga y en éste caso la energía potencial se denomina simplemente potencial eléctrico. Nuevamente aquí la definición la hacemos en términos de la diferencia de potencial eléctrico V2 – V1. →
→ 2 F W V2 − V1 = 12 = − ∫ ⋅d l 1 q q
Donde q es la carga positiva usada para evaluar el trabajo →
F → Como = E , podemos escribir q 2→
→
V2 − V1 = V12 = − ∫ E ⋅ d l 1
La unidad de potencial eléctrico es igual a la unidad de trabajo por unidad de carga, en el sistema internacional es Joule/Coulombio (J/C), a. la que se le ha dado el nombre de Voltio (V). A partir de potencial eléctrico, podemos definir una nueva unidad de energía
Solución. a) q1 = - 2,80 μC, q2 = -7,50 μC ri = 0,800 m, v = 22,0 m/s La energía de la esfera con carga q2 en ri = 0,800 m = Energía cinética + energía potencial eléctrica.
W12 = qV12 Si un electrón se mueve a través de una diferencia de potencial de un voltio, gana o pierde un electrón-voltio (eV) de energía. La conversión a las unidades SI la hacemos de la siguiente manera: V12 = 1 V y q = 1,6 x 10-19 C 1 eV = 1,6 x 10-19 VC = 1,6 x 10-19 J En estudios que implican partículas atómicas tales como electrones y protones, el electronvoltio es una unidad conveniente y muy comúnmente usada. Si el electronvoltio es demasiado pequeño, podemos medir la energía de la partícula en MeV (millones de electrón voltios) o GeV (mil millones de electrón voltios o Gigavoltios). 1 M eV ≡ 106 eV 1 GeV ≡ 109 eV
Ei = K i + U i 1 1 q2 q1 = mvi2 + 2 4πε 0 ri =
1 (0,0015)( 22,0) 2 2 1 (2,80 × 10−6 )(7,50 × 10−6 ) + 4πε 0 0,800
= 0,59925 J La energía de la esfera con carga q2 en rf = 0,400 m.
Ef = K f +U f
53
Electrostática
=
=
Hugo Medina Guzmán
1 2 1 q2 q1 mv f + 2 4πε 0 rf
V2 − V1 = −
1 (0,0015)v 2f 2 1 (2,80 × 10−6 )(7,50 × 10−6 ) + 4πε 0 0,400
V2 − V1 =
q 4πε 0 r 2
∫
2
1
2
dr q 1 = 2 4πε 0 r 1 r
q ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎜⎝ r2 r1 ⎟⎠
Así como tomamos la trayectoria 1, 1’, 2 podríamos haber tomado cualquier trayectoria de 1 a 2 a la que se divide fácilmente en tramos de trayectoria circular y radial como se muestra en la figura siguiente.
= 7,5 × 10−4 v 2f + 0,4725 Por conservación de la energía Ei = E f ⇒
0,59925 = 7,5 × 10−4 v 2f + 0,4725 vf =
(0,59925 − 0,4725) = 13 m/s. 7,5 × 10− 4
b) En el punto más cercano la velocidad es cero:
1 q1q2 ⇒ 4πε 0 r q1q2 1 r= 4πε 0 0,59925
0,59925 =
1 (2,80 × 10−6 )(7,50 × 10−6 ) = 4πε 0 0,59925
De la ecuación V2 − V1 =
= 0,315 m.
q
POTENCIAL ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UNA CARGA PUNTUAL. Consideremos el campo debido a una carga q. Tenemos que encontrar la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 determinados por r1 y r2 respectivamente.
4πε 0 r2
−
q 4πε 0 r1
q ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ = 4πε 0 ⎜⎝ r2 r1 ⎟⎠
que nos da la diferencia de
potencial entre 1 y 2, es conveniente identificar arbitrariamente los términos como
V2 =
q 4πε 0 r2
y V1 =
q 4πε 0 r1
.
Escribiéndose el caso general de la manera siguiente.
V(r ) =
→
figura, no hay trabajo de 1 a l’ ya que E y →
Ejemplo 81. Una carga puntual q1 = 4,00 nC se coloca en el origen, y una segunda carga puntual q2 = -3,00 nC sobre el eje de las x en x = + 20,0 cm. Se va a colocar una tercera carga puntual q3 = 2,00 nC sobre el eje de las x, entre q1 y q2. (Tome como cero la energía potencial de las tres cargas cuando la separación entre ellas es infinita). a) ¿Cuál es la energía potencial del sistema de tres cargas si se coloca en x = + 10,0 cm?
d l .tienen direcciones perpendiculares en cada
punto, luego queda solo la trayectoria de 1’ a 2. →
V2 − V1 = V12 = − ∫ E ⋅ d l 1
→
Donde: E =
→
q 4πε 0 r
2
rˆ , d l = rˆdr
Reemplazando V2 − V1 = −
∫
2
1
q 4πε 0 r 2
4πε 0 r
Cantidad que algunas veces se le denomina potencial absoluto. Como resultado de esta elección el potencial en el infinito es igual a cero.
La trayectoria más fácil está mostrada en la
2→
q
rˆ ⋅ rˆdr
54
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
b) ¿Dónde se debe colocar q3 para que la energía potencial del sistema sea igual a cero? Solución. a) U =
Ejemplo 83. Dos cargas puntuales q1 = - 2,40 nC y q2 = - 6,50 nC están a 0,100 m una de otra. El punto A está a medio camino entre ambas; el punto B está a 0,080 m de q1 y a 0,060 m de q2. Tome el potencial eléctrico como cero en el infinito. Halle a) el potencial en el punto A; b) el potencial en el punto B; c) el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre una carga de 2,50 nC que viaja del punto B al punto A.
1 ⎛ q1q2 q1q2 qq ⎞ ⎜⎜ + + 1 2 ⎟⎟ 4πε 0 ⎝ r12 r13 r23 ⎠
=
1 ⎡ (4,00 × 10 −9 )(−3,00 × 10 −9 ) 4πε 0 ⎢⎣ (0,200 m) ( 4,00 × 10 −9 )( 2,00 × 10 −9 ) + (0,100 m ) +
(−3,00 × 10−9 )(2,00 × 10 −9 ) ⎤ ⎥ (0,100 m) ⎦
= -3,60 x 10-7 J. b)
Si
U = 0, ,0 =
qq ⎞ 1 ⎛ q1q2 q1q3 ⎜⎜ + + 2 3 ⎟⎟ x r12 − x ⎠ 4πε 0 ⎝ r12
Resolviendo para x encontramos:
Solución. a) En A:
8 6 0 = − 60 + − ⇒ x 0.2 − x
1 ⎛ q1 q2 ⎞ ⎜ + ⎟ 4πε 0 ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠ 1 ⎛ 2,40 × 10 −9 − 6,50 × 10 −9 ⎞ ⎜ ⎟⎟ = + 4πε 0 ⎜⎝ 0,05 0,05 ⎠
VA =
60x − 26x + 1,6 = 0 ⇒ ⎧0,074 m x=⎨ . ⎩0,360 m 2
De aquí x = 0,074 m porque es el único valor entre las dos cargas.
= -738 V. b) En B:
1 ⎛ q1 q2 ⎞ ⎜ + ⎟ 4πε 0 ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠ 1 ⎛ 2,40 × 10−9 − 6,50 × 10−9 ⎞ ⎜ ⎟⎟ = + 4πε 0 ⎜⎝ 0,08 0,06 ⎠
VB =
Ejemplo 82. Una partícula con una carga de + 4,20 nC está inicialmente en reposo en un campo eléctrico uniforme E dirigido hacia la izquierda. Al quedar en libertad, la partícula se desplaza a la izquierda y, después de recorrer 6,00 cm, su energía cinética resulta ser de + 150 x l0-6 J. a) ¿Qué trabajo realizó la fuerza eléctrica? b) ¿Cuál es el potencial del punto de partida con respecto al punto final? c) ¿Cuál es la magnitud de E? Solución. a) W = − ΔU = qEd
= -705 V −9
c) W = qΔV = (2,50 × 10 )(− 33) = - 8,25 x 10-8 J. El signo negativo indica que el trabajo se realiza sobre la carga. El trabajo realizado por el campo es - 8,25 x 10-8 J.
= ΔK = 1,50 × 10−6 J .
Ejemplo 84. Una carga positiva q está fija en el punto x = 0, y = 0. y una carga negativa - 2q está fija en el punto x = a, y = 0. a) Muestre las posiciones de las cargas en un diagrama. b) Deduzca una expresión del potencial Ven puntos sobre el eje de las x en función de la coordenada x. Tome V como cero a una distancia infinita de las cargas. c) ¿En qué posiciones sobre el eje de las x es V = 0?
b) El punto inicial estaba en un potencial más alto, cualquier carga positiva cuando es libre de moverse, se moverá de mayor a menor potencial.
ΔV =
ΔU 1,50 × 10 −6 J = = 357 V. q 4,20× 10 −9 C
c) qEd = 1,50 × 10
E=
−6
J⇒
1,50 × 10 −6 J = 5,95 x 103 N/C. (4,20 × 10 −9 )(0,06 m) 55
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
d) Grafique V en puntos sobre el eje de las x en función de x en el intervalo de x = - 2a a x = + 2a. e) ¿Cómo cambia la respuesta al inciso (b) cuando x >> a? Explique por qué se obtiene este resultado. Solución. a)
V ≈−
mismo potencial de una carga puntual –q. (Observe: Las dos cargas deben ser sumadas con el signo correcto.) Ejemplo 85. A cierta distancia de una carga puntual, el potencial y la magnitud del campo eléctrico debido a esa carga son de 4,98V y 12,0 V m, respectivamente. (Tome el potencial como cero en el infinito). a) ¿Cuál es la distancia a la carga puntual? b) ¿Cuál es la magnitud de la carga? c) ¿Está dirigido el campo eléctrico hacia la carga puntual, o en sentido contrario? Solución. a) Sea d la distancia a la carga puntual al punto.
x > a:
b)
1 ⎛q 2q ⎞ ⎟ ⎜⎜ − 4πε 0 ⎝ x x − a ⎟⎠ 1 q( x + a) =− 4πε 0 x( x − a) 0 < x < a:
V=
E=
q ⇒ 4πε 0 d Vd (4,98 V)(0,415 m) = q= 1 4πε 0 9 × 109
1 ⎛q 2q ⎞ ⎟ ⎜⎜ − 4πε 0 ⎝ x a − x ⎟⎠ 1 q(3x − a) = 4πε 0 x( x − a) x < 0:
= 2,30 x 10-10 C. c) El campo eléctrico está dirigido alejándose de q porque es una carga positiva.
1 ⎛q 2q ⎞ ⎟ ⎜⎜ + 4πε 0 ⎝ x x − a ⎟⎠ 1 q( x + a) = 4πε 0 x( x − a)
V=
se
1 ⎛⎜ q 2q − ⎜ 4πε 0 ⎝ x x − a
1
b) V =
V =−
Esto
V 4,98 V V ⇒ d= = E 12.0 N C d
= 0,415 m.
V=
Observe:
1 qx 1 q =− , el cual es el 2 4πε 0 x 4πε 0 x
puede
escribir
POTENCIAL ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA Para calcular el potencial de n cargas q1, q2, q3 …….qn situadas en r1, r2, r3 …….rn. El potencial eléctrico en el punto situado en r es igual a la suma de los potenciales producidos por cada una de las cargas.
como
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
n
qi
i =1
4πε 0 r − ri
V( r ) = ∑
a c) El potencial es cero en x = − a y x = . 3 d)
→
→
Cuando la distribución de carga es continua tendremos: - Distribución volumétrica
V( r ) =
1 4πε 0
∫
ρ (r ' )
V →
→
dV '
r − r'
- Distribución superficial
V(r ) =
e) Para x >> a :
1
4πε 0 ∫S
σ (r ' )
→
→
r − r'
- Distribución lineal 56
dS '
Electrostática
V(r ) =
1 4πε 0
∫
Hugo Medina Guzmán
λ(r ' )
l→
→
r − r'
dl'
Ejemplo 86. En la figura siguiente calcular el potencial eléctrico en el punto P producido por las cargas. Donde: q1 = 1x10- 9 C, q2 = 3x10- 9 C, q3 = - 2x10- 9 C, q4 = 2x10- 9 C y a = 1 m.
El potencial en el punto P es
V =
q 4πε 0 r1
−
q 4πε 0 r2
=
De la figura vemos
(
r1 = r 2 − 2ar cos θ + a 2
Solución. El potencial en el punto P es n
qi
i =1
4πε 0 r − ri
V( r ) = ∑
→
q ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠
)
12
⎛ 2a cos θ a 2 ⎞ = r ⎜⎜1 − + 2 ⎟⎟ r r ⎠ ⎝
→
1 1 ⎛ 2a cos θ a 2 ⎞ y = ⎜1 − + 2 ⎟⎟ r1 r ⎜⎝ r r ⎠
En este caso es conveniente tomar como origen →
→
12
−1 2
Usando la expresión binomial para n = - ½
→
el punto P de tal manera que r = 0 y r − ri
(1 + x )−1 2 = 1 − 1 x + 3 x 2 + ... 2
8 2a cos θ a 2 En nuestro caso x = − + 2 r r
a 2 2 o sea metros. para los cuatro casos es 2 2 1 (q1 + q 2 + q3 + q 4 ) Luego V = 4πε 0 2 2
de allí 2 ⎤ 1 1 ⎡ 1 ⎛ 2a cosθ a 2 ⎞ 3 ⎛ 2a cosθ a 2 ⎞ + 2 ⎟⎟ + .....⎥ = ⎢1 − ⎜⎜ − + 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ − r1 r ⎢ 2 ⎝ r r ⎠ 8⎝ r r ⎠ ⎥⎦ ⎣
Reemplazando valores (1× 10 −9 + 3 × 10 −9 − 2 × 10 −9 + 2 × 10 −9 ) V = 9 × 10 9 2 2
Expandiendo términos y manteniendo sólo los términos con r2 y menores en el denominador ya que r >> a. 1 1 2a cosθ ≈ + r1 r r2 Procediendo de igual manera para r2
V = 32 2 = 45,12 voltios. Ejemplo 87. Dipolo eléctrico. El dipolo eléctrico consiste en dos cargas iguales y opuestas q y - q separadas una distancia pequeña 2a. Queremos encontrar el potencial eléctrico para puntos situados a una distancia r, para el caso de r >> a. Solución. La figura siguiente muestra un dipolo
(
)
12
r2 = r 2 + 2ar cos θ + a 2 1 1 2a cosθ ≈ − r2 r r2 1 1 Sustituyendo y en V tenemos: r1 r2 q ⎡⎛ 1 2a cos θ ⎞ ⎛ 1 2a cos θ ⎞⎤ V = ⎜ + ⎟−⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎢⎣⎝ r r2 ⎠ ⎝ r r 2 ⎠⎥⎦ 2aq cosθ = 4πε 0 r 2 En esta expresión al producto 2aq lo llamaremos momento dipolo p. Luego 57
Electrostática
V =
Hugo Medina Guzmán
p cosθ 4πε 0 r 2
donde la orientación de p es de - q a q para considerarlo vectorialmente, con esto el potencial eléctrico puede expresarse como producto escalar. →
→ →
p⋅ rˆ p⋅ r = V= 2 4πε 0 r 4πε 0 r 3
→
ˆj q ⎛⎜ iˆ kˆ ⎞⎟ − + + 4πε 0 ⎜⎝ L2 L2 L2 ⎟⎠ q − iˆ + ˆj + kˆ = 4πε 0 L2
Eb =
Ejemplo 88. Sean tres cargas puntuales de magnitud q ubicadas en vértices de un cubo de lado L, tal como lo muestra la figura. Determine: a) El potencial eléctrico en el vértice a producido por las 3 cargas. b) El trabajo externo necesario para desplazar una carga Q del vértice a al vértice b. c) La fuerza eléctrica que ejercen las cargas q sobre la carga Q ubicada en el punto b. d) Estando la carga Q en el vértice b se la deja libre. Las tres cargas q permanecen fijas en los vértices del cubo durante el desplazamiento de Q. ¿Cuál es la energía cinética máxima que adquirirá Q por acción de las tres cargas q?
(
)
La fuerza sobre la carga Q en el punto b: →
F=
Qq (− iˆ + ˆj + kˆ ) , F = 3Qq2 2 4πε 0 L 4πε 0 L
d) El potencial del punto con respecto al infinito es:
Vb =
q 4πε 0 L
+
q 4πε 0 L
+
q
=
3q
4πε 0 L 4πε 0 L
La diferencia de potencial entre el punto b y el infinito es:
ΔV = Vb − V∞ =
3q 4πε 0 L
Luego:
K máx = QΔV = Q
q q q = + + 4πε 0 L 2 4πε 0 L 2 4πε 0 L 2
(
)
(
)
(
)
3 2q 4πε 0 L b)
W = QV a → b = Q (V − V b )
Vb =
q 4πε 0 L
+
q 4πε 0 L
+
q
=
3q
4πε 0 L 4πε 0 L
Luego:
W = Q(Vb − Va ) =
(
3Qq ⎛ 1 ⎞ 3Qq 2 − 2 ⎟= ⎜1 − 8πε 0 L 4πε 0 L ⎝ 2⎠
4πε 0 L
Ejemplo 89. La figura muestra ocho cargas puntuales dispuestas en los vértices de un cubo con lados de longitud d. Los valores de las cargas son + q y - q, como se indica. Este es un modelo de la celda de un cristal iónico cúbico. En el cloruro de sodio (NaCl), por ejemplo, los iones positivos son Na+, y los iones negativos, Cl-. a) Calcule la energía potencial U de este arreglo. (Tome como cero la energía potencial de las ocho cargas cuando están infinitamente lejos unas de otras). b) En el inciso (a) usted debió haber hallado que U < 0. Explique la relación entre este resultado y la observación de que los cristales iónicos de este tipo existen en la naturaleza.
Solución. a)
Va =
3q
)
c)
58
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
U4 =
q2 4πε 0 d 1
1 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜− 2 + 2⎠ ⎝
Trabajo para colocar a la carga 5.
Solución. a) La energía potencial de la energía potencial U de este arreglo es igual al trabajo realizado para formarlo. Es decir para colocar todas las cargas en su posición trayéndolas del infinito. Vamos a colocar las cargas una por una.
U5 =
1 q2 ⎛ 2 1 ⎞ − ⎜−1+ ⎟ 4πε 0 d ⎝ 2 3⎠
Trabajo para colocar a la carga 6.
Trabajo para colocar a la carga 1.
U6 = U1 = 0
1 q2 ⎛ 2 1 ⎞ − ⎜− 2 + ⎟ 4πε 0 d ⎝ 2 3⎠
Trabajo para colocar a la carga 2.
Trabajo para colocar a la carga 7.
q2 (− 1) U2 = 4πε 0 d
U7 =
1
Trabajo para colocar a la carga 3.
U3 =
1 q2 ⎛ 3 1 ⎞ − ⎜− 2 + ⎟ 4πε 0 d ⎝ 2 3⎠
Trabajo para colocar a la carga 8.
q2 ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜−1+ 4πε 0 d ⎝ 2⎠ 1
Trabajo para colocar a la carga 4.
U8 =
1 q2 ⎛ 3 1 ⎞ − ⎜− 3 + ⎟ 4πε 0 d ⎝ 2 3⎠
El trabajo total 8
U Total = ∑U i i =1
= 59
q2 ⎛ 12 4 ⎞ − ⎜ − 12 + ⎟ 4πε 0 d ⎝ 2 3⎠ 1
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
= −4,37 × 10 9
q2 d
dV =
b) El hecho de que la energía potencial eléctrica es menor que cero significa que es energéticamente favorable para que los iones cristalinos estén juntos.
V=
V =
q2
L 2 L − 2
∫ (R
2λ 4πε 0
L 2 0
dx 2
+ x2
∫ (R
(
)
1 2
dx
2
+ x2 )
1 2
2λ ln x + R 2 + x 2 4πε 0
)
L 2
0
Ejemplo 92. Una línea de carga de longitud 2a tiene una carga total Q. a) Demuestre que, si x >>0, V(x) tiende a Q / 4πε 0 z . Interprete este resultado.
4πε 0 d
Trabajo para colocar la tercera carga:
Q ⎛q q⎞ Qq ⎜ + ⎟= 4πε 0 ⎝ d d ⎠ 2πε 0 d
(Sugerencia: Cuando z << 1 , → ln (1 + z ) ≅ z .
Trabajo neto para colocar las tres cargas:
b) Considere los puntos muy próximos a la varilla, tales que x << a. Simplifique la expresión V(x) con respecto a este caso especial. Compare el resultado V = (λ / 2πε 0 ) ln(R r ) obtenido en el ejemplo 23.10 (sección 23.3) con respecto a un cilindro infinitamente largo con carga. ¿Qué corresponde a R en este límite? ¿Puede explicar este hecho? Solución. a) El potencial en un punto a lo largo de la bisectriz perpendicular de la varilla, a una distancia x de su
W = W1 + W2 + W3 = 0 4πε 0 d
1 2
Podemos notar en este resultado que para el caso de una línea infinita, es decir para L = ∞ el potencial es infinito, esto es porque nosotros para el potencial del elemento diferencial estamos considerando como referencia el infinito con potencial cero y esta línea cargada va hasta el infinito. Luego pera una línea infinita tenemos que tomar otro punto como referencia.
W1 = 0
+
)
2 ⎞ ⎛L ⎜ + R2 + L ⎟ 2λ ⎜ 2 4 ⎟ = ln⎜ ⎟ R 4πε 0 ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝
Trabajo para colocar la segunda carga:
q2
(
4πε 0 R 2 + x 2
λ 4πε 0
o V=
Trabajo para colocar la primera carga:
W 3 = QΔ V3 =
λdx
El potencial de toda la línea es
Ejemplo 90. Tres cargas puntuales, que inicialmente están infinitamente lejos unas de otras, se colocan en los vértices de un triángulo equilátero de lados d. Dos de las cargas puntuales son idénticas y su carga es q. Si el trabajo neto que se requiere para colocar las tres cargas en el triángulo es cero ¿cuál es el valor de la tercera carga? Solución.
W2 = qΔV 1=
1
2Qq q =0 ⇒ Q=− 4πε 0 d 2
Ejemplo 91. Se tiene una línea de longitud L y con densidad de carga lineal λ . Calcular el Potencial eléctrico a una distancia R sobre la línea perpendicular bisectriz.
kQ ⎡ a 2 4 + x 2 + a 2 ⎤ ln ⎢ ⎥ a ⎢⎣ a 2 4 + x 2 − a 2 ⎥⎦ 2 2 kQ ⎡ a + x + a ⎤ ⎥ V ( x) = ln ⎢ 2a ⎢⎣ a 2 + x 2 − a ⎥⎦
centro, V =
Solución. Considerar el elemento dx, el Potencial que produce este elemento en el punto P es 60
Electrostática
=
Hugo Medina Guzmán
b) punto R, a una distancia y arriba del extremo derecho de la varilla. ¿A qué se reduce su resultado a medida que y se hace mucho más grande que a?
2 2 kQ ⎡ 1 + a x + a x ⎤ ⎥ ln ⎢ 2a ⎢ 1 + a 2 x 2 − a x ⎥ ⎣ ⎦
a << x, 1 + a 2 x 2 ± a x
Si 2
a a 1 ⎛a⎞ ≈ 1+ ⎜ ⎟ ± ≈ 1+ , x x 2⎝ x⎠ 1 ln (1 + α ) ≈ α + α 2 + ⋅ ⋅ ⋅ 2
y
⇒
V ( x) ≈
2 ⎞ ⎛ a 1 ⎛ a ⎞2 ⎞⎤ kQ ⎡⎛⎜ a 1 ⎛ a ⎞ ⎢ + ⎜ ⎟ + ⋅ ⋅ ⋅ ⎟ − ⎜ − + ⎜ ⎟ + ⋅ ⋅ ⋅ ⎟⎥ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎥ 2a ⎣⎢⎝ x 2 ⎝ x ⎠ ⎠ ⎝ x 2 ⎝ x⎠ ⎠⎦
=
Solución. a)
kQ ⎡ 2a ⎤ kQ = . 2a ⎢⎣ x ⎥⎦ x
Esto es, una varilla finita actúa como una carga puntual cuando se está a gran distancia de ella. b) Del ejemplo 23.12:
dVP =
λdx'
4πε 0 ( x'+ x ) 1 x '=0 λdx' VP = ∫ dVP = 4πε 0 ∫x '=− a ( x'+ x )
2 2 kQ ⎡ a + x + a ⎤ ⎥ = ln ⎢ 2a ⎢ a 2 + x 2 − a ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 kQ ⎡ 1 + x a + 1 ⎤ ⎥. ln ⎢ 2a ⎢ 1 + x 2 a 2 − 1 ⎥ ⎣ ⎦
V ( x) =
= 2
1⎛ x⎞ Si x << a, 1 + x a ± 1 ≈ 1 ± 1 + ⎜ ⎟ , y 2⎝a⎠ 1 ln (1 + α ) ≈ α + α 2 + ⋅ ⋅ ⋅ 2 kQ ⎡ ⎛ (2 + x 2 2a 2 ) ⎞⎤ ⎟⎥ ⇒ V ( x) ≈ ⎢ln⎜ 2a ⎣ ⎜⎝ ( x 2 2a 2 ) ⎟⎠⎦ 2
1
λ λ x 0 ln ( x'+ x ) − a = ln 4πε 0 4πε 0 x − a
Cuando x >> a
2
x a⎞ λ λ ⎛ ≈ ln ln ⎜1 + ⎟ x⎠ 4πε 0 x − a 4πε 0 ⎝ λ a Q ≈ = 4πε 0 x 4πε 0 x
VP =
kQ ⎡ ⎛ 4a 2 ⎞⎤ kQ = + 1⎟⎟⎥ ≈ In (2a x) ⎢ln⎜ 2a ⎣ ⎜⎝ x 2 ⎠⎦ a Q λ ln(2a x) = ln ( 2a / x) = 4πε 0 a 2πε0 Q , y R = 2 a cuál es la única Luego λ ≡ 2a
b)
longitud natural en el problema. Ejemplo 93. Se tiene carga eléctrica distribuida uniformemente a lo largo de una varilla delgada de longitud a, con una carga total Q. Tome el potencial como cero en el infinito. Halle el potencial en los puntos siguientes: a) punto P, a una distancia x a la derecha de la varilla. ¿A qué se reduce su resultado a medida que x se hace mucho más grande que a?
dVR =
λdx'
1 4πε 0
x '2 + y 2 1 x '=0 λdx' VR = ∫ dVP = 4πε 0 ∫x '=− a x'2 + y 2 =
61
(
λ ln x'+ x'2 + y 2 4πε 0
)
0
−a
Electrostática
=
λ ln 4πε 0
( ( ln
Hugo Medina Guzmán
y
y2 + a2 λ y 4πε 0 Cuando y >> a =
(
) + a)
Si todos los lados tienen la misma carga tenemos:
y + a2 − a 2
y2 + a2 + a λ ln VR = y 4πε 0 λ a Q ≈ ln = 4πε 0 y 4πε 0 y
2 ⎞ ⎛a ⎜ + x2 + a ⎟ 2Q ⎜ 2 4 ⎟ V= ln ⎜ ⎟ aπε 0 x ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a Para x = 2 2 2 ⎞ ⎛a ⎜ + a +a ⎟ 2Q ⎜ 2 4 4 ⎟ V= ln ⎜ ⎟ a aπε 0 ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 2Q Q = ln 1 + 2 = 0,174 × 1012 aπε 0 a
)
Ejemplo 94. Cuatro segmentos rectilíneos de carga forman un cuadrado con lados de longitud a. El potencial es cero en el infinito. Calcule el potencial en el centro del cuadrado si a) dos lados opuestos tienen cada uno una carga positiva + Q, y los otros dos, una carga negativa – Q. b) Si cada lado tiene una carga positiva + Q. Solución. El potencial eléctrico en la bisectriz de un segmento rectilíneo de longitud a y carga uniformemente distribuida Q:
(
)
Ejemplo 95. Potencial eléctrico en el eje de un anillo de radio R y Carga λ C/m. Solución.
2 ⎞ ⎛a ⎜ + x2 + a ⎟ Q 4 ⎟ V= ln⎜ 2 ⎜ ⎟ 2aπε 0 x ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
a)
Consideremos el elemento de anillo d l determinado por el ángulo θ y barrido por d θ de tal manera que d l = Rd θ . El potencial eléctrico debido a esta carga en el punto P es:
dV =
λRdθ
1
4πε 0 (z 2 + R 2 )1 2
El potencial debido a todo el anillo es
V=
Para un cuadrado con dos conjuntos de lados con cargas opuestas, los potenciales se cancelan y V =0. b)
=
(
λR
4πε 0 z 2 + R λR
(
) ∫
2 12
2ε 0 z 2 + R 2
2π
0
dθ
)
12
En términos de la Carga total Q = 2πRλ .
V=
(
Q
4πε 0 z 2 + R 2
)
12
Ejemplo 96. Dos anillos coaxiales uniformemente cargados de radios iguales R está en planos paralelos separados una distancia a, el 62
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
trabajo que se realiza para traer una carga q del infinito al centro de cada uno de los anillos es respectivamente A1 y A2. Encontrar les Cargas q1 y q2 que tienen los anillos. Solución.
⎡ A ⎤ 1 ⎢ − 2⎥ 12 2 2 A1 ⎥ 4πε 0 RA1 ⎢⎣ 1 + a R ⎦ q2 = q ⎡ ⎤ 1 − 1⎥ ⎢ 2 2 ⎣ 1+ a R ⎦
(
)
(
)
Ejemplo 97. Una carga Q = - 800 nC se distribuye uniformemente en un anillo de radio de 2,4 m. Una carga q = + 600 nC se pone en el centro del anillo. Los puntos A y B están situados en el eje del anillo. El potencial en 1:
V1 = =
q1
4πε 0 R
+
(
q2
4πε 0 a 2 + R 2
)
12
⎤ 12 ⎥ ⎥⎦
⎡ q2 ⎢q1 + 4πε 0 R ⎢⎣ 1+ a2 / R2 1
(
)
El potencial en 2:
V2 =
q2
4πε 0 R
+
(
q1
4πε 0 a 2 + R 2
a) ¿Cuál es el trabajo hecho por una fuerza externa que transporta un electrón de B a A? b) si el potencial eléctrico es igual a cero en un punto en el eje del anillo. ¿Cuál es la distancia de este punto del centro del anillo? c) Si se un electrón se lanza a lo largo del eje del anillo desde el infinito. El electrón llega y se detiene momentáneamente en un punto en el eje que está a 5,0 m del centro del anillo. ¿Cuál es la velocidad inicial del electrón en el infinito? d) Si una fuerza externa retira la carga q del centro del anillo y la transporta al infinito. ¿Cuál es el trabajo realizado por esta fuerza externa? Solución. a) WB→ A = e(VA − VB )
)
12
⎤ ⎡ q1 ⎥ ⎢q 2 + 1 2 4πε 0 R ⎢⎣ 1 + a 2 / R 2 ⎥⎦ El potencial en el infinito V∞ = 0 =
1
(
)
Trabajo para traer una carga q desde el infinito a 1:
A1 = q (V1 − V∞ ) =
⎡ q2 ⎢q1 + 4πε 0 R ⎢⎣ 1+ a2 / R2 q
(
)
12
⎤ ⎥ (1) ⎥⎦
Trabajo para traer una carga q desde el infinito a 2:
A2 = q (V2 − V∞ ) =
⎡ q1 ⎢q 2 + 4πε 0 R ⎢⎣ 1+ a2 / R2 q
(
)
12
=
⎤ ⎥ (2) ⎥⎦
⎡ A1 ⎤ 1 ⎢ ⎥ 12 − 2 2 A2 ⎥ 4πε 0 RA2 ⎢⎣ 1 + a R ⎦ q1 = q ⎡ ⎤ 1 ⎢ 1 + a 2 R 2 − 1⎥ ⎣ ⎦
b)
)
(
(
)
12
⎞⎤ ⎛ Q ⎟⎥ -⎜ q − ⎜ (3,2) (3,2 2 + 2,4 2 )1 2 ⎟⎥ ⎠⎦ ⎝ = -700 eV
(1) y (2) son dos ecuaciones con incógnitas q1 y q2. Resolviendo (1) y (2) obtenemos:
(
e ⎡⎛⎜ q Q ⎢ − 2 ⎜ 4πε 0 ⎢⎝ (1,8) 1,8 + 2,4 2 ⎣
q Q − = 0 ⇒ x = 2,7 m x (x 2 + 2,4 2 )1 2
c) 1 m v 2 = e ⎛⎜ ⎛⎜ q − e 0 ⎜
)
2
4πε 0 ⎜ ⎝ (5,0) ⎝
⇒ v 0 = 9 × 10 6 m/s
(5,0
d) WO→∞ = q(V∞ − VO )
63
Q 2
+ 2,4
)
2 12
⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
⎡ ⎞⎤ ⎛ Q ⎟⎥ = q ⎢⎛⎜ − Q ⎞⎟ − ⎜ − 4πε 0 ⎢⎜⎝ (2,4) ⎟⎠ ⎜⎝ (∞ 2 + 2,4 2 )1 2 ⎟⎠⎥ ⎣ ⎦ = + 1,8 x 10-3 J
Ejemplo 98. Potencial eléctrico en el eje de un disco de radio R y carga σ C/m2. Solución.
Solución. a) El campo eléctrico en (0, 5, 0)
Consideremos el anillo diferencial de radio r y superficie dS = 2πrdr . El potencial debido a este anillo en el punto P es:
dV =
σ 2πrdr
1
4πε 0 (z 2 + r 2 )1 2
El potencial debido a todo el disco es
V = =
σ 2π 4πε 0
rdr
R
∫ (z 0
[
2
+ r2)
=
12
12 σ ( z2 + r2 ) − z 2ε 0
]
12 σ 2 ( z + r2 ) 2ε 0
[(
Q z2 + r2 2 2πR ε 0
)
12
−z
→
E1 =
0
→
σ1 2
→
ˆj , E2 =
→
→
]
σ
2
→
σ1
σ2 2
(− 0,6iˆ + 0,8 ˆj ) σ2
(− 0,6iˆ + 0,8 ˆj ) 2 2 = −0,3σ 2iˆ + (0,5σ 1 + 0,4σ 2 ) ˆj
E = E1 + E2 =
En términos de le Carga total Q = πR
V =
R
ˆj +
→
F = q0 E = q0 [− 0,3σ 2iˆ + (0,5σ 1 + 0,4σ 2 ) ˆj ] b) El potencial en el punto (0, 10, 0)
En este caso al igual que para la línea infinita, para el plano infinito hay que tomar otro punto de referencia diferente al infinito.
V(0,5, 0 ) = V(0,10,0 ) − ∫
(0,5, 0 ) →
E
(0 ,10 , 0 ) (0 , 5, 0 )
→
•d s
= V0 − ∫ (0,5σ 1 + 0,4σ 2 )dy 5
Ejemplo 99. Se tiene un plano infinito con densidad de carga superficial σ1 (en el plano xz), y un segundo plano infinito con densidad de carga superficial σ2 (interfecta perpendicularmente al plano xy formando un ángulo de 37º con el eje x). Determine. a) La fuerza que ejercen los planos sobre una carga qo ubicada en el punto (0, 5, 0) m. b) El potencial eléctrico en el punto (0, 5, 0) m, sabiendo que el potencial en el punto (0, 10, 0) m es igual a V0.
10
= V0 + 5(0,5σ 1 + 0,4σ 2 )
Ejemplo 100. ¿Cuál es el potencial en el eje producido por un cilindro de radio R, largo L y carga ρ C/m3. Solución.
64
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Para evaluar el potencial eléctrico en el punto P, tomaremos un disco de ancho diferencial dz, cuyo volumen es dV = πR 2 dz . El potencial debido al disco en el punto P es 12 ρπR 2 dz ⎧ (z 0 − z )2 + R 2 − (z 0 − z )⎫⎬ dV = 2 ⎨ 2πε 0 R ⎩ ⎭ El potencial debido al cilindro es
[
→
Por la ley de Gauss E = El potencial es →
= −
]
ρ L2 ⎧ 2 2 V = − ( z 0 − z )⎫⎬dz L ⎨ (z 0 − z ) + R ∫ − 2ε 0 2 ⎩ ⎭ ρ ⎧ 1 2 2 12 + = ⎨− ( z 0 − z )( z 0 − z ) + R 2ε 0 ⎩ 2 12
[
R log ⎡( z 0 − z ) + ⎢⎣ 2
ρ = 4ε 0
(z 0 − z )
2
z2 + R ⎤ ⎫⎬ − z 0 z + ⎥⎦ ⎭ 2
⎡ L ⎢ z0 + + 2 ⎢ + R 2 log ⎢ ⎢z − L + ⎢⎣ 0 2
0
ρ 2 r + C2 6ε 0
ρR 2 ρR 2 =− + C2 3ε 0 6ε 0
L 2
12 2 ⎧ ⎤ L ⎞ ⎡⎛ L⎞ ⎪⎛ 2 ⎨⎜ z0 + ⎟ ⎢⎜ z0 + ⎟ + R ⎥ − z0 L 2 ⎠ ⎢⎣⎝ 2⎠ ⎥⎦ ⎪⎩⎝
2 ⎤ L ⎞ ⎡⎛ L⎞ ⎛ − ⎜ z0 − ⎟ ⎢⎜ z0 − ⎟ + R 2 ⎥ 2 ⎠ ⎢⎣⎝ 2⎠ ⎝ ⎥⎦
rdr + C2 = −
ρR 2 ⇒ V= 3ε 0
L 2 −
ρ
∫ 3ε
Como para r = R
]
2
→
V = − ∫ E ⋅ d r + C2
]
[
ρ → r 3ε 0
ρR 2 ⇒ C2 = 2ε 0 ρr 2 ρR 2 + y V =− 6ε 0 2ε 0
12
⇒ V =
⎤⎫ L⎞ ⎛ 2 ⎜ z0 + ⎟ + R ⎥ ⎪ 2⎠ ⎥⎪ ⎝ ⎥⎬ 2 L⎞ ⎛ 2 ⎥⎪ ⎜ z0 − ⎟ + R ⎥ ⎪ 2⎠ ⎝ ⎦⎭ 2
ρ 2ε 0
⎛ 2 r2 ⎞ ⎜⎜ R − ⎟⎟ 3 ⎠ ⎝
La figura siguiente muestra la distribución de campo eléctrico y potencial eléctrico en el caso visto.
Ejemplo 101. Se tiene una esfera de radio R con carga uniforme de densidad ρ C/m3. Encontrar el potencial para todo punto. Considerar el potencial en el infinito igual a cero. Solución. Para r > R Por la ley de Gauss →
E=
Q ρR 3 r= rˆ 2 ˆ 3ε 0 r 4πε 0 r 2
El potencial es →
→
V = − ∫ E ⋅ d r + C1 = − ∫
V=
ρR 3 dr + C1 3ε 0 r 2
Ejemplo 102. Como una variante veamos el caso de una esfera conductora. La carga se encuentra en la superficie y el campo eléctrico en el interior es cero y por lo tanto el potencial es constante, igual al de la superficie. Lo mismo sucede cuando la esfera es hueca estos dos últimos casos se muestra en la figura siguiente
ρR 3 + C1 3ε 0 r
Para r = ∞ ⇒ V = 0 De aquí yV =
ρR3 Q = 3ε 0 r 4πε 0 r
Para r = R
ρR 2 Q = ⇒ V = 3ε 0 4πε 0 R Para r < R 65
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Solución. a) La carga total en una región del espacio donde hay una densidad de carga ρ está dada por la integral:
q = ∫ ρdV V
En este caso, donde la simetría es esférica, la expresión toma la forma:
Ejemplo 103. Las superficies interior (r = a) y exterior (r = b) de un cascaron esférico no conductor tienen la misma densidad de carga σ. La densidad de carga en el resto del espacio es nula. a) Encuentre el campo eléctrico en las zonas r < a, a < r < b, y r > b. b) Calcule el potencial electrostático en cada una de las regiones mencionadas. Solución.
q=∫
0
π
∫ ∫ 0
= 4πρ0
R
0
∫
R
0
ρ0
e−r 2 r senθ dr dθ dφ r2
e− r dr = 4πρ0 (1 − e − R )
b) Dado que el potencial en esa región es →
→
constante y que E = −∇V , entonces E ext = 0 . c) Obsérvese que las condiciones del problema dicen que para r > 2R , V = Cte. Igual cosa ocurre en el conductor, donde el campo eléctrico es nulo. Si consideramos que φ = 0 en el infinito, entonces, en el resto del espacio, incluido el conductor, V = 0, de este modo, la diferencia de potencial entre r = 3R/2 y el centro de la esfera estará dado por:
→
a) Para r < a E (r ) = E(r ) rˆ , donde E (r ) = 0 ¸
σ a2 Para a < r < b E(r ) = ; ε 0r 2 σ (a 2 + b 2 ) , Para r > b E (r ) = 2 ε 0r σ 2 ( a + b 2 ); b) Para r > b V( r ) = ε 0r σ 2 (a + br ) y Para a < r < b V(r ) = ε 0r σ (a + b ) . Para r < a V(r ) = ε0
V = Vr = 0 − V
= Vr = 0 − Vr = R = Vr = 0
3 r= R 2
Es decir, V = −
∫
0
∞
0
E(r )dr = − ∫ E(r )dr R
Para evaluar esta integral es necesario determinar E(r) en la esfera aisladora, lo que se realiza utilizando la Ley de Gauss. Dado que E(r) es radial, podemos escribir directamente:
E=
Ejemplo 104. Se tiene una esfera aisladora con densidad de carga variable de la forma ρ = ρ 0 r 2 e − r y radio R limitada exteriormente por una esfera conductora de radio interior R y exterior 2R. En la esfera conductora hay una carga neta tal que el potencial exterior (r > 2R) es constante. Determine: a) La carga total en la esfera aisladora. b) el campo eléctrico en el exterior (r > 2R). c) a diferencia de potencial entre r = 3R/2 (esfera conductora) y el centro de la esfera aisladora (considere V = 0 en r = ∞). d) la densidad de carga en la superficie exterior de la esfera conductora.
(
2π
)
q(r ) 4πε 0 r
V =−
2
ρ0 4πε 0
(
, donde q(r ) = 4πρ0 1 − e
−r
) . Así
⎛ 1 e −r ⎞ ∫R ⎜⎜⎝ r 2 − r 2 ⎟⎟⎠dr = ∞ 0
d) Dado que el campo eléctrico exterior a la esfera conductora es nulo, la carga total, comprendiendo la esfera interior y la conductora debe ser nula. Además, para que el campo eléctrico en el conductor también sea nulo, la carga encerrada por cualquier superficie gaussiana en su interior debe ser nula, es decir, en la superficie interior del conductor debe haber una carga de igual magnitud a la de la esfera aisladora, con distinto signo, las que sumadas se anulan. En consecuencia, en la superficie 66
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
exterior del conductor no hay carga, es decir, σ = 0.
→
E=2
σ r0 cos 60 ° ε0D
b) Para contestar esta pregunta es necesario considerar que el campo eléctrico en el interior de los cilindros es nulo, como se deduce directamente con la ley de Gauss. Ello nos dice que allí V es constante. De este modo, la diferencia de potencial entre los centros de los cilindros corresponde la diferencia de potencial entre sus mantos. Eligiendo como trayectoria de integración una recta paralela al eje y, que pasa por los centros de los cilindros, se tiene:
Ejemplo 105. En la figura se ha representado parte de 2 cilindros muy largos, cada uno de radio ro, que tienen en su superficie densidades de carga constantes σ1 = σ y σ2 = -σ respectivamente. (No hay carga en el interior de los cilindros).
y2
V = ∫ Edy y1
∫
a) Encuentre el campo eléctrico sobre la línea AB, que equidista de los cilindros en una distancia igual a la separación entre ellos (D). b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los centros de los cilindros? c) Calcule el potencial en un punto sobre la línea AB. Solución. a) Utilizando una superficie gaussiana cilíndrica de radio r y largo L concéntrica con un cilindro cargado, de similares características que los propuestos en este problema, por la ley de gauss, se obtiene la expresión: E 2π rL =
2π r0 Lσ
ε0
y2
σ r0
dy + ∫
y1
σ r0
y1
magnitudes de los campos generados por los cilindros con centros en y = - D/2 e y = +D/2 respectivamente. Resolviendo estas integrales se llega a
V =
de
2σ r0
ε0
⎛ D − r0 ⎞ ⎟⎟ ln⎜⎜ ⎝ r0 ⎠
c) El potencial eléctrico en general se puede calcular sumando los potenciales originados desde diversas fuentes. Utilizando esta idea, para responder a esta pregunta, basta con calcular el potencial de una de las distribuciones de carga, ya que la otra es similar, salvo el signo. (Además deben compatibilizarse los orígenes del potencial). Considerando un cilindro con densidad de carga
σ r0 donde E = , forma general para el campo ε0 eléctrico para tales distribuciones de carga. Si los cilindros se observan en corte y se dibujan allí los campos eléctricos generados por cada cilindro se observaría lo siguiente:
→
σ, el campo eléctrico es E =
Donde E1 = E 2 =
y2
dy D⎞ ⎞ ⎛D ⎛ ε0⎜ y + ⎟ ε0⎜ − y⎟ 2⎠ ⎠ ⎝2 ⎝ D ⎛D ⎞ Con y 2 = − r0 e y1 = −⎜ − r0 ⎟ 2 ⎝2 ⎠ σ r0 σ r0 y son las Donde D⎞ D ⎛ ⎛ ⎞ ε0⎜ y + ⎟ ε 0 ⎜ − y ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝2 ⎠ =
σ r0 rˆ , siendo r la ε0
distancia entre el centro de la distribución (cilindro) y el punto en que calculamos el potencial. Al calcular la integral de línea, eligiendo como trayectoria de integración una recta radial y una curva sobre el manto, como esta última no contribuye al potencial, se tiene:
σ r0 , con lo cual, la suma ε0D
resulta ser un vector en la dirección horizontal cuyo valor es la superposición de las proyecciones de E1 y E2: en esa dirección
V+ = 67
σ r0 ⎛ D ⎞ ln⎜ ⎟ y, para la otra distribución, ε 0 ⎜⎝ r0 ⎟⎠
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
σ r ⎛D⎞ V = − 0 ln⎜⎜ ⎟⎟ , con lo cual V AB = 0 . En ε 0 ⎝ r0 ⎠
→32
→
−
en nuestro caso r − r '
= L/2, y = 0 ,
y ' = (L / 2)senθ con θ medido desde el eje x. A su vez dl = (L / 2 )dθ . Reemplazando estos
este caso se ha elegido el origen de V(rs ) en un punto equidistante de los cilindros (es arbitrario). Obsérvese que este resultado depende obviamente del origen de los potenciales y por lo tanto, su respuesta puede ser otra
valores en la integral se tiene.
⎛L⎞ 1 ⎝ 2 ⎠ ⎛ − L senθ ⎞ dE y = ⎟ ⎜ 4πε 0 ⎛ L ⎞ 3 ⎝ 2 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ λ 1 = − senθ dθ 4πε 0 ⎛ L ⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
λ ⎜ ⎟dθ
Ejemplo 106. Tres trozos de hilo cargado con densidad de carga λ se disponen como se indica en la figura. a) Determine el campo eléctrico total sobre la carga Q. b) Calcule la fuerza que ejerce Q sobre cada uno de los trozos de hilo. c) Determine la energía potencial de la carga Q (origen en ∞).
Integrando entre 0 y π se tiene →
E=−
4λ ˆj 4πε 0 L 1
Para el tercer segmento operamos en forma similar. En este caso → L ⎛L⎞ r = 0 , r ' = ⎜ ⎟iˆ + y ' ˆj , dq = λ dy ' , x ' = 2 ⎝2⎠
→
Con lo que
1
dEδ , x = − Solución. a) Para resolver este problema es conveniente dividirlo en tres, uno para cada distribución. Calculamos primero el campo eléctrico de la distribución lineal de la izquierda: Si ponemos un eje x conteniendo a este trozo, con el origen en Q se tiene que →
E1 = Ex1iˆ =
1 4πε 0
∫
−L / 2
−3L / 2
dEδ , y
E3 x =
iˆ
λ 1 λ ⎛ 2 2 ⎞ˆ iˆ = ⎜ − ⎟i 4πε 0 x ' − 3 L / 2 4πε 0 ⎝ L 3L ⎠ λ iˆ = 3πε 0 L
λdl
4πε 0
→32
(
)
→
(
)
1 ⎡ 2λ 5 − 5 4 5λ iˆ + ⎢ 4πε 0 ⎣ 5L 5L →
→
→
⎤ ˆj ⎥ ⎦
Obviamente E = E1 + E 2 + E3 b) Para responder a esta pregunta, basta con calcular la fuerza que realiza cada una de los trozos de hilo sobre Q, así, la fuerza que ejerce Q sobre el hilo estará determinada por el principio de acción y reacción, es decir, las respuestas a la pregunta son: Caso 1 F1 = - E1Q ; Caso 2 F2 = - E2 Q ; Caso 3 F3 = E3 Q c) Como son distribuciones finitas, podemos utilizar la expresión deducida para ese fin a partir del potencial de una carga puntual respecto de infinito
Si llamamos E2 al campo generado por la semicircunferencia, por simetría, éste debe apuntar hacia abajo (eje –y), luego, la única componente que, luego de integrar es diferente de cero, está dada por
→
]
2λ 5 − 5 1 4 5λ y E3 y = 4πε 0 5L 4πε 0 5L 1
→
= −
1
]
[
De donde E3 =
−L / 2
dE y =
[
4πε 0 (L / 2 )2 + y '2 3 2 1 λy ' dy ' =− 4πε 0 (L / 2)2 + y '2 3 2
Integrando en y’ ambas expresiones entre 0 y - L encontramos:
λdx'
(x')2
λ (L / 2)dy '
( y − y ')
r − r'
68
Electrostática
dV =
1
Hugo Medina Guzmán
dq
4πε 0
→
r − r'
En el primer caso tendremos
V1 =
1 4πε 0
−L/2
λdx '
−3 L / 2
x'
∫
=−
1 4πε 0
−L/2
λdx '
−3 L / 2
x'
∫
el
es V = −
⎛1⎞ ln ⎜ ⎟ 4πε 0 ⎝ 3 ⎠ 1
1 4πε 0
∫
y finalmente
V3 =
=
V=
1 4πε 0
∫
−L
0
0=−
⎛L⎞ ⎝2⎠ L 2
=
λ (ln R1 − ln R2 ) 2πε 0 λ λ R 1,39λ ln 2 = ln 4 = = 2πε 0 R1 2πε 0 2πε 0
⇒ 600 = −
λdy' 2
⎛L⎞ 2 ⎜ ⎟ + ( y ') ⎝2⎠
⇒
λ 600 = = 432,8 2πε 0 1,39
El campo entre los conductores es
(
E=
)
⎡ ⎛1⎞ ⎤ ⎢ln⎜ 3 ⎟ + π + ln − 2 + 5 ⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦
λ 432,8 = 2πε 0 r r
El campo máximo se obtiene con el menor r.
432,8 = 21640 V/m 20 × 10 −3 q e Er v2 c) q e E = m e ⇒ v= r me E máx =
Ejemplo 107. Dos cáscaras cilíndricas conductoras largas son coaxiales y tienen radios de 20 mm y de 80 mm. El potencial eléctrico del conductor interno, con respecto al conductor externo, es + 600 V. a) (1 punto) Se lanza un electrón desde el reposo en la superficie del conductor externo. Encuentre la velocidad del electrón cuando alcanza al conductor interno. b) (1 punto) ¿Cuál es a magnitud máxima del campo eléctrico entre los cilindros? c) (1 punto) Si un electrón está en movimiento circular alrededor del cilindro interno en una órbita de radio 30 mm. ¿Cuál es a velocidad del electrón? d) (1 punto) Se lanza un electrón radialmente hacia afuera de un punto entre las cáscaras en las cuales el potencial eléctrico es + 350 V con respecto al conductor externo. La energía cinética inicial del electrón es 150 eV. ¿Cuál es a energía cinética del electrón, cuando alcanza cualquiera de las cáscaras? Solución. a) q e ΔV =
λ λ ln R1 + C ⇒ C = ln R1 2πε 0 2πε 0
Cuando r = R1 , V R1 = 600 V y
λ 4ε 0
λ ln(− 2 + 5 ) 4πε 0 λ 4πε 0
dr λ λ +C = − ln r + C ∫ 2πε 0 r 2πε 0
Cuando r = R2 , V R2 = 0 y
λ ⎜ ⎟ dθ π
0
)
V R1 = 600 V El potencial entre los conductores
Del mismo modo,
V2 =
(
2 1,6 × 10 −19 (600) 9,1 × 10 −31
= 1,45 x 107m/s b) Si consideramos que el conductor externo tiene V R2 = 0 y el conductor interno
cambio de signo es debido a que el dominio de integración. Comprende sólo valores de x < 0
V1 =
2 q e ΔV = me
vf =
→
q e = 1,6 × 10 −19 C , me = 9,1 × 10 −31 kg , 432,8 432,8 = 14426,7 r = 30 mm , E = = r 0,03 V/m
⎞ (1,6 × 10 )⎛⎜ 432,8 ⎟(0,03) 0,03 −19
v=
⎝ ⎠ −31 9,1 × 10
= 8,72 x 106m/s d) Se lanza un electrón radialmente hacia fuera desde el punto 1 al punto 2 El punto 1 esta a + 350 V, el punto 2 en la cáscara exterior a 0 V.
W1→2 = K 2 − K1 ⇒ − e(0 − 350V ) = K 2 − 150eV ⇒ K 2 = 350eV + 150eV = 500 eV
1 m e v 2f ⇒ 2
Ejemplo 108. Un electrón e (carga - e) incide con velocidad v a un pequeño agujero 69
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
c) La fuerza que ejercen las placas sobre el electrón en cualquier punto interior a las placas
practicado en el centro de dos placas cuadradas planas de lado a. (En sus cálculos utilice la aproximación de placas infinitas). a) Encuentre la expresión que da cuenta de la densidad de carga en las placas cuando entre ellas hay una diferencia de potencial V (inicialmente las placas están descargadas). b) ¿Cuál debe ser la diferencia de potencial V para que el electrón llegue con velocidad v/2 al agujero O’? c) En las condiciones dadas en b). ¿Qué fuerza ejerce el electrón contra la placa positiva cuando ha recorrido una distancia δ/2 entre las placas?
→
Placa 2 →
ε0
Ejemplo 109. Una esfera pequeña con una masa de 1,50 g cuelga de un cordel entre dos placas verticales paralelas separadas por una distancia de 5,00 cm. Las placas son aisladoras y tienen densidades de carga superficiales uniformes + σ y - σ . La carga de la esfera es q = 8,90 x 10-6 C. ¿Qué diferencia de potencial entre la placas hará que el cordel adopte un ángulo de 30,0° con respecto a la vertical?
Solución.
→
E ⋅ d r integral que, al ser E = cte,
vale V = Eδ . Por otro lado, cada placa produce
∑F
un campo E =
Fe − T cos30º = 0 Fe = T cos30º (1)
Placa1
eσ
dirigida hacia la placa positiva. Por el principio de acción y reacción, la fuerza que ejerce el electrón sobre las placas es igual, pero con sentido contrario a la anterior.
Solución. a) Si inicialmente las placas tienen carga nula, al conectarlas a la diferencia de potencial V, cada una de ellas adquiere cargas de igual magnitud y distinto signo. Dichas cargas deben ser tales que generen un campo eléctrico tal que
V =∫
→
es F = e E cuya magnitud es F =
x
σ , (Gauss) y, por lo tanto, el 2ε 0 σ campo total entre las placas resulta ser E = ε0 ε ,con lo cual σ = 0 V . δ
∑F
y
=0
=0
T sen30º −mg = 0 mg = T sen30º (2) (2) : (1)
b) La energía total del electrón antes de ingresar
Fe = mg tan θ
v 1 a O es m 0 v 2 y si llega a O’ con v O ' = , 2 2
= (1,50×10−3 )(9,80)tan(30°) = 0,0085 N. También:
usando el teorema de conservación de la energía podemos escribir en O’,
V q⇒ d Fd (0,0085)(0,0500) V = = q 8,90 × 10 − 6
2
Fe = Eq =
1 ⎛v⎞ 1 eV + m0 ⎜ ⎟ = m0 v 2 . A partir de esta 2 ⎝2⎠ 2 3 expresión, V = mv 2 . 8e
= 47,8 V 70
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Ejemplo 110. Dos placas metálicas paralelas grandes tienen cargas opuestas de igual magnitud. Las separa una distancia de 45,0 mm y la diferencia de potencial entre ellas es de 360 V a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico (se supone uniforme) en la región entre las placas? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que este campo ejerce sobre una partícula con una carga de + 2,40 nC? c) Con base en los resultados del inciso (b) calcule el trabajo realizado por el campo sobre la partícula cuando ésta se traslada de la placa de mayor a la de menor potencial. d) Compare el resultado del inciso (c) con el cambio de energía potencial de la misma carga, calculado a partir del potencial eléctrico. Solución. a) El campo eléctrico entre las placas
E=
(suponga que el agujero en P es pequeño y no afecta la forma del campo) b) ¿Cual placa, A ó B, estaría a mayor potencial?, ¿Cuál placa cargada negativamente? c) Luego el átomo pasa por condensador C0 de placas paralelas con cargas iguales pero de signo opuesto entre E y D. Determine el valor las cargas en E y D cuando ΔV2 = V E − V D es responsable de la desviación mostrada. d) ¿Es posible que el átomo no sufra desviación alguna entre E y D? ¿Una desviación en sentido opuesto? Solución. a) eΔV1 =
1 mv 02 ⇒ v 0 = 2
2eΔV1 m
b) Como el átomo tiene carga positiva la placa A es positiva y la placa B es negativa, por lo tanto A está a mayor potencial que B. c) Q = C0 ΔV2 d) Si es posible que el átomo no sufra desviación alguna entre E y D mg = eE También es posible, invirtiendo las cargas de las placas.
360 V V = = 800 N/C. d 0,0450 m
b) La fuerza que este campo ejerce sobre una partícula con una carga de + 2,40 nC
F = Eq = (8000)(2,40× 10−9 ) = 1,92 x 10-5 N. c) El trabajo realizado por el campo sobre la partícula cuando ésta se traslada de la placa de mayor a la de menor potencial
Ejemplo 112. Los tubos de rayos catódicos (TRC) suelen formar parte de los osciloscopios y los monitores de computadora. En la figura se proyecta un electrón con una rapidez inicial de 6,50 x 106 m/s a lo largo del eje que pasa por el punto medio entre las placas de desviación de un tubo de rayos catódicos. El campo eléctrico uniforme entre las placas tiene una magnitud de 1,10 x 103 V/m y es ascendente. a) ¿Cuál es la fuerza (magnitud y dirección) sobre el electrón cuando éste se halla entre las placas? b) ¿Cuál es la aceleración del electrón (magnitud y dirección) cuando actúa sobre él la fuerza del inciso (a)? c) ¿A qué distancia por debajo del eje ha descendido el electrón cuando alcanza el extremo de las placas? d) ¿Con qué ángulo con respecto al eje se desplaza el electrón cuando sale de entre las placas? e) ¿A qué distancia por debajo del eje incidirá en la pantalla fluorescente P?
W = Fd = (1,92 × 10−5 )(0,0450) = 8,64 x 10-7 J. d) Cambio de energía potencial de la misma carga, calculado a partir del potencial eléctrico
ΔU = ΔVq = (− 360)(2,40 × 10−9 ) = - 8,64 x 10-7 J. Ejemplo 111. Sea un gas de átomos neutros entre dos placas a ΔV1 = V A − VB , la separación es tal que el campo eléctrico entre ellas es uniforme. Cuando un átomo de masa m choca con A queda inicialmente en reposo y pierde una carga − e (la carga de un electrón).
a) Determine ΔV1 cuando el átomo que chocó con A pasa con una velocidad en P igual a v0 71
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Solución. 3 −19 a) F = Eq = (1,10 × 10 )(1,60 × 10 ) = 176 x 10-16 N, hacia abajo.
F 1,76 × 10 −16 = b) a = 9,11 × 10 − 31 me = 1,93 x 1014 m/s2, hacia abajo.
0,060 m , = 9,23 x 10-9 s, 6 6,50 × 10 m s 1 y − y 0 = at 2 2 1 = (1,93 × 1014 ) (9,23 × 10 −9 ) 2 2
c) t =
Sea la superficie gausiana de área A
q
→
∫ E ⋅ dS = ε ⇒ 2 EA =
= 8,22 x 10-3 m.
d) Ángulo
0
− σA
ε0
⇒ E=−
σ ˆ k 2ε 0 → σ ˆ k Para z < 0 E = 2ε 0
σ 2ε 0
→
⎛ vy ⎞ ⎛ at ⎞ θ = tan ⎜⎜ ⎟⎟ = tan − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ vx ⎠ ⎝ vx ⎠ ⎛ 1,78 ⎞ = tan −1 ⎜ ⎟ = 15,3º. ⎝ 6,50 ⎠
Para z > 0 E = −
−
e) La distancia debajo del centro de la pantalla es:
b) El campo producido por el plano en z = 0:
D = d y + vyt = 8,22 × 10 − 3 + (1,78 × 10 6 )
0,120 6,50 × 10 6
= 0,0411 m. Ejemplo 113. Responda los casos siguientes justificando cada respuesta. a) Un plano cargado con densidad de carga − σ se coloca en el plano x y (z = 0). Halle el campo eléctrico en todo el espacio por medio de la ley de Gauss. b) Usando el principio de superposición y el resultado en a), halle el campo eléctrico en todo el espacio cuando añadimos un segundo plano infinito con densidad de carga + 2σ paralelo, en z = 2. c) Usando la definición, evalué la diferencia de potencial V (x1) - V (x2) entre x1 = -3 y x2 = 1, 5. d) Se coloca un tercer plano infinito descargado en z = 3 y se une al plano en z = 0 con un alambre conductor muy delgado, puede suponer que lo hace atravesando el plano z = 2 por un agujero muy pequeño, de manera de no afecta la geometría del sistema. Calcule la diferencia de potencial pedida en c). Solución. a)
El campo producido por el plano en z = 2:
Para z > 2: →
E=−
σ ˆ σ ˆ σ ˆ k+ k= k ε0 2ε 0 2ε 0
Para 0 < z > 2: →
E=−
3σ ˆ σ ˆ σ ˆ k− k =− k 2ε 0 ε0 2ε 0
Para z < 0: →
E=
72
σ ˆ σ ˆ σ ˆ k− k=− k ε0 2ε 0 2ε 0
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Como hemos podido observar, el potencial es solamente función de las coordenadas de posición, de tal manera que un potencial constante define una superficie equipotencial. En esta superficie no se realiza trabajo al mover una carga de prueba sobre ella, el campo eléctrico es perpendicular a estas superficies. Los equipotenciales son perpendiculares a las líneas de fuerza, un campo eléctrico puede representarse también por medio de las equipotenciales. Las equipotenciales de una carga puntual están
c) La diferencia de potencial V (x1) - V (x2) entre x1 = -3 y x2 = 1, 5. ⎛ σ ˆ⎞ ΔV1 = V(−3 ) − V(0 ) = ⎜⎜ − k ⎟⎟ ⋅ 0 − − 3kˆ 2 ε 0 ⎝ ⎠
[ ( )]
= −
dadas por r =
3σ 2ε 0
q 4πε 0V
, las que se muestran en la
figura siguiente.
[
]
⎛ 3σ ˆ ⎞ ΔV2 = V(0 ) − V(1,5 ) = ⎜⎜ − k ⎟⎟ ⋅ 1,5kˆ − 0 2 ε 0 ⎠ ⎝ 4,5σ = − 2ε 0 3σ 4,5σ 7,5σ ΔV = ΔV1 + ΔV2 = − − =− 2ε 0 2ε 0 2ε 0 d) Con el tercer plano infinito descargado en z = 3, el campo eléctrico queda distribuido como se muestra a continuación.
A continuación se muestra las líneas equipotenciales producidas por dos cargas iguales y opuestas.
Ejemplo 114. Se tiene dos cargas puntuales q y 2q situadas en los puntos (0, 0, 0) y (a, 0, 0), respectivamente, encontrar la superficie equipotencial. Solución.
La diferencia de potencial V (x1) - V (x2) entre x1 = -3 y x2 = 1. Tomando en cuenta la nueva disposición: ⎛ σ ˆ⎞ k ⎟⎟ ⋅ 0 − − 3kˆ ΔV1 = V(−3 ) − V(0 ) = ⎜⎜ − 2 ε 0 ⎠ ⎝
[ ( )]
= −
3σ 2ε 0
⎛ σ ΔV2 = V(0 ) − V(1,5 ) = ⎜⎜ − ⎝ ε0 = −
[
⎞ kˆ ⎟⎟ ⋅ 1,5kˆ − 0 ⎠
]
1,5σ
El potencial en el punto P (x, y, z) es:
ε0 3σ 1,5σ 3σ ΔV = ΔV1 + ΔV2 = − − =− ε0 ε0 2ε 0
Cuando V = 0
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
1 4πε 0
V =
73
1
q
4πε 0
x +y +z 2
2
q x +y +z 2
2
2
−
2
−
1 4πε 0
1 4πε 0
2q
(x − a )
2
+ y2 + z2
2q
(x − a )2 + y 2 + z 2
=0
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
(x − a )2 + y 2 + z 2 = 4(x 2 + y 2 + z 2 )
El Campo resultante es la suma vectorial de sus componentes:
a2 2 x 2 + ax + y 2 + z 2 = 3 3
→
E = E x iˆ + E y ˆj + E z kˆ ⎛ ∂V ˆ ∂V ˆ ∂V ˆ ⎞ = − ⎜⎜ i j− k⎟ ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂x ∂y
2
Sumando a ambos miembros a 9 : 2
a⎞ 4 2 ⎛ 2 2 ⎜x+ ⎟ + y + z = a 3⎠ 9 ⎝
o
Ecuación de la superficie equipotencial que corresponde a una esfera con centro en − a 3 , 0
→ ⎛ ∂ ∂ ˆ ∂ ˆ⎞ E = −⎜⎜ iˆ j − k ⎟⎟V ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y
En notación abreviada →
y radio R = 2a 3 , la figura siguiente muestra la superficie equipotencial V = 0 .
E = −∇V
donde el operador ∇ llamado nabla es
∇=
Ejemplo 115. Dos esferas metálicas de diferente tamaño están cargadas de modo tal que el potencial eléctrico es el mismo en la superficie de cada una. El radio de la esfera A es tres veces más grande que el de la esfera B. Sean QA y QB las cargas de cada esfera y EA y EB las magnitudes del campo eléctrico en la superficie de cada esfera. a) ¿Cuál es la proporción QB/QA?; b) ¿Cuál es la proporción EB/EA? Solución. a) Para la esfera A 1 QB V= 4πε 0 RB Para la esfera B 1 QA 1 QB = V= 4πε 0 R A 4πε 0 R A 3 Se concluye que
CÁLCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO A PARTIR DEL POTENCIAL. Como las fuerzas están dadas por el campo →
eléctrico E , ésta puede obtenerse inversamente a partir del potencial V. Consideremos dos puntos orientados con el eje x uno en x y el otro en x + Δ x , la diferencia de potencial entre estos dos puntos es Δ V .
ΔV = V ( x. + Δx, y, z ) − V ( x., y, z )
Por definición, escribimos en función de la derivada parcia1
Q A = 3QB ⇒
∂V ΔV = Δx ∂x
b)
(Derivada parcial: Es la derivada de una función de dos o más variables con respecto a una de ellas, considerando en el desarrollo a las demás como constantes). Simultáneamente en la misma trayectoria →
EA = −
QB 1 = . QA 3
∂V 1 QB = ∂r 4πε 0 RA 2
QA 1 QB 1 ∂V 3 EB = − = = 2 4πε 0 ⎛ RA ⎞ 2 ∂r 4πε 0 RB ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ 1 QA =3 4πε 0 RA 2
→
ΔV = − ∫ E ⋅ d l = − E x ΔX Fácilmente podemos deducir que
Ex = −
∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
∂V ∂x
Similarmente, podemos hacer a lo largo de los ejes z e y.
Luego
E B = 3E A ⇒
∂V ∂V y Ez = − Ey = − ∂z ∂y
74
EB = 3. EA
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
a) Deduzca una expresión del campo eléctrico
Ejemplo 116. Una carga Q está distribuida uniformemente a lo largo de una varilla de longitud 2a. El potencial V en un punto sobre la bisectriz perpendicular de la varilla a una distancia x de su centro está dado por.
V=
→
E en cualquier punto de esta región. b) Se mide el trabajo realizado por el campo cuando una carga de prueba de 1,5 μC se desplaza del punto (x, y, z) = (0, 0, 0,250 m) al origen, el cual resulta ser de 6,00 x 10-5 J. Determine A. c) Determine el campo eléctrico en el punto (0, 0, 0,250 m). d) Demuestre que en todo plano paralelo al plano xz los contornos equipotenciales son círculos. e) ¿Cuál es el radio del contorno equipotencial que corresponde a V = 1280V e y = 2,00m? Solución. a) Tenemos V( x, y , z ) = A( x 2 − 3 y 2 + z 2 ) .
Q ⎛⎜ a 2 + x 2 + a ⎞⎟ ln 4πε 0 2a ⎜⎝ a 2 + x 2 − a ⎟⎠ 1
a) Diferenciando esta expresión, halle la componente x del campo eléctrico en ese punto. (Sugerencia: Escribir el logaritmo natural de la fracción como la diferencia de dos logaritmos para simplificar el cálculo). b) Por simetría, en un punto sobre la bisectriz perpendicular de la varilla E y = 0 y E z = 0. Explique por qué no seria correcto sacar estas conclusiones con base en las ecuaciones ∂V ∂V ∂V ( Ex = − , Ey = − , Ez = − .) ∂y ∂x ∂z Solución. 2 2 ∂V ∂ ⎛ kQ ⎛⎜ a + x + a ⎞⎟ ⎞⎟ a) E x = − ln =− ⎜ ∂x ∂x ⎜ 2a ⎜ a 2 + x 2 − a ⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎠ ⎝
⇒ Ex =
=−
=
Ex = =
Luego: →
E=−
= − 2 Axiˆ + 6 Ayˆj − 2 Azkˆ b) Una carga se mueve a lo largo del eje z . Luego el trabajo realizado está dado por:
Q ⎡∂ ln( a 2 + x 2 + a) ⎢ 4πε 0 2a ⎣ ∂x ∂ ⎤ − ln( a 2 + x 2 − a)⎥ ∂x ⎦ 1
1
Q 4πε 0 2a
1
0→
4πε 0 x a 2 + x 2 (2aλ)
0
W = q ∫ E⋅ kˆdz = q ∫ (−2 Az ) dz z0
z0
2
= + ( Aq) z0 ⇒ W A= 2 q z0
⎡ x(a 2 + x 2 ) −1 2 x(a 2 + x 2 ) −1 / 2 ⎤ − ⎢ 2 ⎥ 2 a2 + x2 − a ⎦ ⎣ a +x +a
Q
∂V ∂V ∂V ˆ ˆj − iˆ − k ∂x ∂y ∂z
V 6,00 × 10 −5 = 640 2 −6 2 m (1,5 × 10 )(0,250 ) → V ⎞ ⎛ c) E (0, 0, 0, 250 ) = − 2⎜ 640 2 ⎟(0,250 m)kˆ m ⎠ ⎝ V = -320 kˆ . m
A=
⇒
4πε0 xa 1 + x 2 a 2 1 λ 2πε0 x 1 + x 2 a 2
d) En cada plano paralelo al plano xz, y es constante, luego:
b) El potencial fue evaluado en y y z igual a cero, y no demuestra así ninguna dependencia de ellos. Sin embargo, el campo eléctrico depende de la derivada del potencial y el potencial podría aún ser una función dependiente de las variables y y z, y por lo tanto E y y E z pueden ser
V ( x, y, z) = Ax 2 + Az 2 − C ⇒ x2 + z 2 =
V +C ≡ R2 , A
La cual es la ecuación de la circunferencia porque R es constante mientras el potencial sea constante en aquellos planos. e) V = 1280 V e y = 2 m:
diferentes a cero. Ejemplo 117. El potencial eléctrico en cierta región del espacio está dado por V(x, y, z) = A (x2 - 3y2 + z2), donde A es una constante.
x2 + z 2 =
1280 + 3(640)( 2,00) 2 640
= 14 m2. Luego el radio de la circunferencia es 3,74 m.
75
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Ejemplo 118. Encontrar el campo eléctrico producido por un dipolo eléctrico a partir del potencial. Solución. El potencial del dipolo es
V =
Ejemplo 120. Encontrar el Campo eléctrico en el eje de un disco de radio R y con carga Q a partir del potencial. Solución. Para el disco
p cos θ 4πε 0 r 2 1
V=
E = −∇V
Ez = −
∂ 1 ∂ ˆ 1 ∂ ˆ ∇= rˆ + θ+ φ ∂r r ∂θ rsen θ ∂φ
12
]
−1
⎞ 1 p cos θ ⎟⎟ = r ⎠ 2πε 0 1 psenθ 1 ∂ ⎛ 1 p cos θ ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ Eθ = − 2 2 r ∂θ ⎝ 4πε 0 r ⎠ 4πε 0 r →
Ejemplo 119. Encontrar el campo eléctrico en el eje de un anillo de radio R y con carga Q, a partir del potencial. Solución.
(
(
⎡1 2 2 ⎢⎣ 2 z + R
)
12
)
−1 2
]
−1
⎤ 2 z − 1⎥ ⎦
q
2
(
)
)
Ejemplo 121. Perpendicular al eje x hay tres placas delgadas de metal, A en x = 0, B en x = 1 m, y C en z = 3 m. A se mantiene conectado a tierra, B tiene un potencial de 200 voltios, y C tiene un potencial de 100 voltios. a) Encuentre el campo eléctrico entre A y B y entre B y C. b) Encuentre la densidad de la carga en cada placa.
E = E r rˆ + Eθ θˆ
4πε 0 z 2 + R 2
q 2πε 0 R 2
(
∂ ⎛ 1 p cos θ ⎜ ∂r ⎜⎝ 4πε 0 r 2
q
[(
⎡ ⎤ z ⎢1 − 2 ⎥ 1 2 2πε 0 R ⎢⎣ z + R 2 ⎥⎦ → ⎡ ⎤ q z y E= − 1 ⎢ ⎥ kˆ 2 2 12 2πε 0 R 2 ⎣⎢ z +R ⎦⎥ =
En esta ecuación el último término vale cero ya que no existe variación de potencial respecto a φ , entonces:
Para el anillo V =
)
∂ q z 2 + R2 ∂z 2πε 0 R 2
=−
∂V 1 ∂V ˆ 1 ∂V ˆ rˆ − θ− φ ∂r r ∂θ rsenθ ∂φ
Er = −
+ R2
→
Para este caso es conveniente trabajar con coordenadas esféricas,
→
2
El Campo eléctrico es E = −∇V Ex = 0 , E y = 0
→
E=−
2
0
El Campo eléctrico es
y
[(z 2πε R q
)
12
→
El Campo eléctrico es E = −∇V Ex = 0 , E y = 0 y
Ez = − = − =
∂ q ∂z 4πε 0 z 2 + R 2
(
Solución. a) Los campos se asumen uniformes. A la izquierda (entre A y B).
)
12
q ⎛ 1⎞ 2z ⎜− ⎟ 4πε 0 ⎝ 2 ⎠ 4πε 0 z 2 + R 2 q z
(
(
E=−
)
12
A la derecha (entre B y C).
)
4πε 0 4πε 0 z 2 + R 2 1 2 → 1 qz Finalmente: E = 4πε 0 4πε 0 z 2 + R 2
(
ΔV 200 = - 200 V/m. =− Δx 1
E' = −
)
12
(− 100 ) = + 50 V/m 2
b) Teniendo en cuenta que que σ A = -200 ε 0 C/m2
kˆ
76
σ = ε 0 En , vemos
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
σ C = - 50 ε 0 C/m2 La placa B tiene una densidad de carga de +200 ε 0 C/m2 a su izquierda y de - 50 ε 0 C/m2 a su derecha, o una densidad de carga neta σ B = + 150 ε 0 C/m2.
Ejemplo 122. Un anillo de radio R se encuentra en el plano xy, donde centro del anillo coincide con el origen de coordenadas. La densidad lineal de carga λ en el anillo es variable e igual a λ = λ0 cosθ , donde θ es el ángulo que hace un
dV =
dq 4πε 0 R
V = ∫ dV =
radio respecto al eje x, y λ0 es una constante de unidad C/m, Determine: a) La carga total en el anillo y el potencial eléctrico en el centro del anillo. Suponga: V(∞ ) = 0,0V.
, dq = λ d l =
λ0 4πε 0
∫
2π
0
λ 0 cos θ dθ 4πε 0
cos θ dθ = 0
b) El vector campo eléctrico en el centro del anillo.
b) El vector campo eléctrico en el centro del anillo. Solución. a) La carga total en el anillo →
dE=
dq λ cos θ dθ r = 0 rˆ 2 ˆ 4πε 0 R 4πε 0 R
rˆ = − cosθ iˆ − senθ ˆj → λ cos θ dθ (cos θ iˆ + senθ ˆj) dE=− 0 4πε 0 R →
Q = ∫ λdl
λ = λ0 cosθ y dl = Rd θ 2π
2π
0
0
Q = ∫ λ0 R cosθ dθ = λ0 Rsenθ
→
E = ∫d E = −
=0
2π λ0 ( cos 2 θ iˆ + cos θsenθ ˆj)dθ ∫ 0 4πε 0 R
2π 2π = − λ0 ⎛⎜ cos 2 θ iˆdθ + cos θsenθ ˆjdθ ⎞⎟ ∫ ∫ 0 0 ⎝ ⎠ 4πε 0 R 2π 2π = − λ 0 ⎛⎜ cos 2 θ iˆdθ + cos θsenθ ˆjdθ ⎞⎟ ∫ ∫ 0 ⎠ 4πε 0 R ⎝ 0
La carga total es cero, porque la distribución de la carga es como se muestra en el dibujo siguiente
= I1 + I 2
2π λ0 cos 2 θ iˆdθ ∫ 0 4πε 0 R 2π λ0 = − (1 + sen2θ )iˆdθ ∫ 8πε 0 R 0 λ0 = − iˆ 4πε 0 R 2π λ0 I2 = − cos θsen θ ˆjdθ = 0 ∫ 4πε 0 R 0
I1 = −
El potencial eléctrico en el centro del anillo, con V(∞ ) = 0,0V.
77
Electrostática →
E=−
Hugo Medina Guzmán
λ0 iˆ 4πε 0 R
El potencial que produce en el punto O(o,o,o) es
1
1 dq = λRdθ 4πε 0 R 4πε 0 λ 1 = λ0 Rsenθdθ = 0 senθdθ 4πε 0 4πε 0
dV =
Integrando para todo el anillo
V = ∫ dV =
λ0 4πε 0
∫
2π
0
senθdθ = 0
El potencial debido a la parte superior se anula con el potencial debido a la parte inferior. b) Campo eléctrico debido a la parte superior Ejemplo 123. Sea un anillo de radio R con densidad lineal de carga λ = λ0 senθ (ver figura). a) Halle el potencial eléctrico en el centro del anillo. b) ¿Es el campo eléctrico en el centro del anillo igual a cero? Si no lo es diga cual es su dirección y sentido.
→
π λ0 rˆ ∫ senθdθ 4πε 0 R 0 λ λ π = 0 rˆ cos θ 0 = − 0 ˆj 4πε 0 2πε 0
ES =
Campo eléctrico debido a la parte inferior →
EI =
2π λ0 λ λ 2π rˆ ∫ senθdθ = 0 rˆ cosθ π = − 0 ˆj 4πε 0 R π 4πε 0 2πε 0
Solución. La distribución de carga en el anillo varía de acuerdo a senθ, como se muestra en la figura siguiente
El campo total es →
→
→
E = ES + EI = −
λ0 ˆj πε 0
Ejemplo 124. Una esfera metálica de radio ra está sostenida sobre un soporte aislante en el centro de una coraza metálica esférica hueca de radio rb. La esfera interior tiene una carga + q y la coraza esférica exterior una carga - q. a) Calcule el potencial V(r) para r < ra , ra < r < rb y r > rb. (Sugerencia: El potencial neto es la suma de los potenciales debidos a las esferas individuales). Tome V como cero cuando r es infinito. b) Demuestre que el potencial de la esfera interior con respecto a la exterior es
a) Sea el elemento diferencial de carga
dq = λRdθ
78
Electrostática
Vab =
Hugo Medina Guzmán
q ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎜⎝ ra rb ⎟⎠
c) Con base en la ecuación E(r ) = −
V(a ) = ∂V y el ∂r
Luego
b) Va =
Vab 1 (1 ra − 1 r ) r 2
d) Con base en la ecuación E r = −
q ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎜⎝ ra rb ⎟⎠
V(r ) =
resultado del inciso (a), demuestre que la magnitud del campo eléctrico en cualquier punto entre las esferas es
E( r ) =
q ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎜⎝ ra rb ⎟⎠
1 4πε 0
⎛q q⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ y Vb = 0 ⎝ ra rb ⎠
Luego
∂V y el ∂r
Vab =
resultado del inciso (a), halle el campo eléctrico en un punto situado afuera de la esfera más grande a una distancia r del centro, donde r> rb. e) Suponga que la carga de la esfera exterior no es - q sino una carga negativa de diferente magnitud, por ejemplo, - Q. Demuestre que las respuestas a los incisos (b) y (c) siguen siendo las mismas pero la respuesta al inciso (d) es diferente. Solución. a)
⎛1 1⎞ 1 q ⎜⎜ − ⎟⎟ . 4πε0 ⎝ ra rb ⎠
c) Para ra < r < rb :
∂V q ∂ ⎛1 1 ⎞ ⎜ − ⎟ =− ∂r 4πε0 ∂r ⎜⎝ r rb ⎟⎠ 1 q Vab 1 . = = 2 4πε0 r ⎛ 1 1 ⎞ r2 ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ ra rb ⎠ ∂V d) De la ecuación E(r ) = − : ∂r E(r ) = 0, desde que V(r ) es cero fuera de las E(r ) = −
esferas. e) Si la carga externa es diferente, fuera de la esfera externa el potencial ya no es cero, es
V(r ) =
Para r > rb :
Todos los potenciales dentro de la cáscara externa apenas son cambiados por una cantidad
V(r ) = 0 , puesto que fuera de una esfera el potencial es igual que para la carga puntual. Por lo tanto tenemos el potencial idéntico a dos cargas puntuales opuestas en la misma posición. Estos potenciales se cancelan. Para ra < r < rb :
V(r ) =
−
1 q +C 4πε 0 r
Por lo tanto los potenciales
∂V 1 ∂ ⎛q −Q⎞ =− ⎜ + ⎟ ∂r r ⎠ 4πε 0 ∂r ⎝ r 1 q ⎛ Q⎞ ⎜1 − ⎟⎟ = 4πε 0 r 2 ⎜⎝ q⎠
E( r ) = −
q 1 q +C ⇒ C = − 4πε 0 rb 4πε 0 rb 1
Luego
V(r ) =
1 Q . 4πε0 rb
relativos dentro de las cáscaras no cambian. Luego (b) y (c) no cambian. Sin embargo, ahora que el potencial varía fuera de las esferas, hay un campo eléctrico allí:
En r = ra el potencial es 0
0=
1 q 1 Q 1 (q − Q) − = 4πε0 r 4πε0 r 4πε0 r
q ⎛1 1 ⎞ ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎜⎝ r rb ⎟⎠
Ejemplo 125. Cilindros coaxiales. Un cilindro metálico largo de radio a está sostenido sobre un soporte aislante sobre el eje de un tubo metálico largo y hueco de radio b. La carga positiva por unidad de longitud del cilindro interior es λ y el cilindro exterior tiene una carga negativa por unidad de longitud igual. a) Calcule el potencial V(r) cuando
Para r < ra : Como no hay carga el potencial es
V(r ) = C En r = ra el potencial es 79
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
r > b, a < r < b y r < a Tome V = 0 en r = b. b) Demuestre que el potencial del cilindro interior con respecto al exterior es
Luego
Vab =
V(r ) =
λ b λ λ ln = − ln a + C ⇒ C = ln b 2πε0 a 2πε0 2πε0
b λ ln 2πε 0 a
c) Con base en la ecuación E(r ) = −
∂V y el ∂r
b) El potencial del cilindro interior con respecto al exterior es
resultado del inciso (a), demuestre que la magnitud del campo eléctrico en cualquier punto entre los cilindros es
E(r ) =
λ b ln 2πε0 a
Vab = V(a ) − V(b ) =
Vab 1 ln b a r
λ b ln 2πε0 a
c) El potencial entre los cilindros es
λ b ln = 2πε0 r ∂V Como E(r ) = − ∂r ∂ V E(r ) = − ab ln b a ∂r V(r ) =
d) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los dos cilindros si el cilindro exterior no tiene carga neta? Solución. a)
Vab b ln ln b a r ⇒
ln
V 1 b = ab r ln b a r
d) La diferencia potencial entre los dos cilindros es idéntica a ésa en la parte (b) aunque el cilindro externo no tiene ninguna carga. Ejemplo 126. Se establece una diferencia de potencial de 480V entre placas metálicas paralelas grandes. Sea el potencial de una de las placas de 480V y de la otra de 0V. Las placas están separadas por d = 1,70cm. a) Dibuje las superficies equipotenciales que corresponden a 0, 120, 240, 360 y 480 V b) Muestre en su dibujo las líneas de campo eléctrico. ¿Confirma su dibujo que las líneas de campo y las superficies equipotenciales son mutuamente perpendiculares? Solución.
Potencial eléctrico de un cilindro. →
→
V(r ) = − ∫ E ⋅ d r + C Para r > b El campo eléctrico es cero y el potencial en r = b es cero. Luego
V(r ) = 0 Para b > r > a
V(r ) = −
λ ln r + C 2πε0
En r = b
V(b ) = 0
0=−
λ λ ln b + C ⇒ C = ln b 2πε0 2πε0
Luego
V(r ) =
λ b ln 2πε0 r
Para r < a
V(r ) = −
λ ln r + C 2πε0
a) Las líneas equipotenciales y de campo eléctrico de dos grandes placas paralelas se muestran arriba. b) Las líneas equipotenciales y de campo eléctrico son mutuamente perpendiculares
En r = a
V(a ) =
λ b ln 2πε0 a 80
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
b) F = Eq = 10 mg ⇒
Ejemplo 127. Los precipitadores electrostáticos hacen uso de fuerzas eléctricas para eliminar las partículas contaminantes del humo, en particular en las chimeneas de las centrales termoeléctricas que consumen hulla. Un tipo de precipitador consiste en un cilindro metálico vertical hueco con un alambre delgado, aislado del cilindro, a todo lo largo del eje de éste. Se establece una diferencia de potencial grande entre el alambre y el cilindro exterior, con el alambre al potencial más bajo. Esto genera un intenso campo eléctrico radial dirigido hacia adentro. El campo crea una región de aire ionizado cerca del alambre. El humo entra en el precipitador por el fondo, las cenizas y el polvo contenidos en él atrapan electrones, y los contaminantes con carga son acelerados hacia el cilindro exterior por el campo eléctrico. Suponga que el radio del alambre central mide 90,0 ¿.m, el radio del cilindro es de 14,0 cm y se establece una diferencia de potencial de 50 kV entre el alambre y el cilindro. Suponga además que tanto el alambre como el cilindro son muy largos en comparación con el radio del cilindro. a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico en el punto medio entre el alambre y la pared del cilindro? b) ¿De qué magnitud debe ser la carga de una partícula de ceniza de 30,0 μg para que el campo eléctrico calculado en el inciso (a) ejerza una fuerza equivalente a diez veces el peso de la partícula?
q=
10 (3,00 × 10 −8 )(9,80) 9,72 × 10 4
= 3,02 x 10-11 C. Ejemplo 128. Se tiene una media arandela con densidad de carga σ constante. Se coloca de manera que su centro coincide con el origen de coordenadas. Hallar: a) La expresión para el diferencial de potencial dV(z) para cualquier punto sobre el eje z producido por el diferencial de carga mostrado. b) El potencial V(z) para cualquier punto sobre el eje z producido por la media arandela. c) La componente en z del vector campo eléctrico para cualquier punto sobre el eje z.
Solución. a) La expresión para el diferencial de potencial dV(z) para cualquier punto sobre el eje z producido por el diferencial de carga mostrado.
dV( z ) =
dq
4πε 0 z + r 2 dq = σ dA = σ (dr )(rdφ ) = σ rdrdφ 1 σ rdrdφ dV( z ) = 4πε 0 z 2 + r 2 σ rdr dφ = 4πε 0 z 2 + r 2
Solución. a) Del problema 23.57,
E=
1
Vab 1 1 50000 = 0,140 ln (b a) r 0,070 ln -5 9,00 × 10
4 ⇒ E = 9,72 × 10 V m.
2
b) El potencial V(z) para cualquier punto sobre el eje z producido por la media arandela.
81
Electrostática
V( z ) = ∫ dV( z ) =
Hugo Medina Guzmán
σ b ,π rdrdφ 4πε 0 ∫a ,0 z 2 + r 2
σ b 4πε 0 ∫a σ b = 4πε 0 ∫a σ b = 4πε 0 ∫a
rdr
=
z2 + r2 rdr z2 + r rdr
∫
π
dφ
0
σ z2 + r2 4ε 0
π= 2
z2 + r2
⎞ z z σ ⎛ ⎜⎜ ⎟ − 2 2 2 2 ⎟ 4ε 0 ⎝ z + b z +a ⎠ ⎞ z z σ ⎛ ⎜⎜ ⎟⎟ = − 4ε 0 ⎝ z 2 + a 2 z 2 + b2 ⎠
=−
∫
π
0
b a
CAPACIDAD - ENERGÍA ELECTROSTÁTICA INTRODUCCIÓN. De lo visto anteriormente el potencial (tomado relativo a un potencial cero en el infinito) de un cuerpo conductor con carga Q es proporcional al valor de dicha Carga Q. O la carga total Q en el conductor aislado es directamente proporcional al potencial del conductor, es decir Q = CV Donde C es una constante que depende de la forma del cuerpo, mas no de Q o V. Esta constante C es una característica de un cuerpo al lado y se la denomina Capacidad.
dφ
c) La figura muestra el campo eléctrico producido por el elemento diferencial
C=
dEz ( z ) =
rdr ⎛ z σ ⎜ 2 2 2 ⎜ 4πε 0 (z + r ) ⎝ z + r 2 r σz dr = 2 4πε 0 (z + r 2 )3 2
Integrando
E z ( z ) = ∫ dE z ( z ) =
⎞ ⎟⎟ ⎠
picofaradio ( pF ) = 10 F A manera de ejemplo calculamos la capacidad de una esfera conductora aislada de radio R. El potencial de un conductor esférico con carga Q −12
r σz b dr ∫ 2 a 4ε 0 (z + r 2 )3 2
1 σz ⎛ ⎜⎜ − 2 = 4ε 0 ⎝ z + r2 =
En el sistema internacional su unidad es el coulombio/voltio, al que se le denomina faradio, cuya abreviatura es F, en la práctica la capacidad de un faradio es muy grande, por eso se usan los submúltiplos −6 microfaradio (μF ) = 10 F
σ rdr senθ 2 4πε 0 (z + r 2 )
=
es V =
b
⎞ ⎟⎟ ⎠a
1 1 σz ⎛ ⎜⎜ − 2 2 2 4ε 0 ⎝ z + a z + b2
C=
⎞ ⎟⎟ ⎠
Ex = −
(
z 2 + b2 − z 2 + a 2
1
Q y su capacidad 4πε 0 R
Q = 4πε 0 R V
EL CONDENSADOR Los sistemas que se encuentran en le práctica no están referidos al infinito, consisten en dos conductores con cargas iguales y de signo opuesto, esto se consigue llevando la carga de un conductor al otro de tal manea que si este tiene una carga Q el .primero habrá quedado con Carga -Q. A este sistema se le conoce como condensador. La relación que existe entre la carga Q y la diferencia de potencial ΔV = V1 − V2 , es Q = C Δ V , donde a capacidad C depende solamente de la geometría del Condensador. Para calcular la capacidad C de un condensador es recomendable seguirlos siguientes pasos:
Cálculo a partir del potencial eléctrico La componente en z del vector campo eléctrico para cualquier punto sobre el eje z.
∂V ∂x ∂V E( z )z = − ( z ) ∂z ∂ σ =− ∂z 4ε 0
Q V
) 82
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
a) Dados los dos conductores situar una carga + Q en uno de ellos y una carga - Q en el otro. b) Determinar el campo eléctrico entre los conductores. c) Determinar la diferencia de potencial entre los conductores d) Finalmente, C =
Q V
Los condensadores se representan por medio de dos líneas paralelas iguales, como se ilustra n la
Representación esquemática del circuito anterior.
. figura siguiente La figura a continuación muestra diferentes condensadores comerciales.
Ejemplo 126. El condensador de placas paralelas. Este Condensador consiste en dos placas paralelas de área A y separadas una distancia d (d es muy pequeña comparada con A). Solución.
La figura siguiente muestra como esta formado un condensador moderno de placas paralelas
El condensador electrolítico.
Ponemos la Carga Q y - Q como se muestra en la figura. El campo eléctrico que se forma entre las placas es: E = σ ε 0 , siendo σ = Q A , tenemos:
E= Esquema de condensador electrolítico.
Q ε0 A →
→
Como dV = − E⋅ d l La diferencia de potencial entre las placas es: 2→
→
2
V1 − V2 = ∫ E ⋅ d l = ∫ Edx = 1
1
Q d ε0 A
Finalmente la capacidad, es
C=
ε A Q = 0 V1 − V 2 d
Ejemplo 129. Las placas de un condensador de placas paralelas están separadas 3,28 mm y el área de cada una es de 122 cm2. Cada placa tiene
Como se carga un condensador 83
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
una carga cuya magnitud es de 4,35 x l0-8 C. Las placas están en un vacío, a) ¿Cuál es la capacidad? b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas? c) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico entre las placas? Solución. a) La capacidad
0,0094 m más, después de realizar los cálculos como antes, encontramos: a) La capacidad
C=
= 2,41 × 10−11 F b) La carga de cada placa
Q = 0,58 × 10−9 C
0,00122 A = 3,29 pF. C = ε 0 = ε0 0,00328 d
c)
d) La energía almacenada en el condensador
Q 4,35 × 10 −8 = 13,2 kV. = C 3,29 × 10 −12
U=
c) La magnitud del campo eléctrico entre las placas
E=
1 Q 2 1 (0,58 × 10 −9 ) 2 = 2 C 2 ( 2,41 × 10 −11 )
= 6,91 x 10-9 J C) Suponga que la batería del problema permanece conectada mientras se separan las placas. ¿Cuáles son entonces las respuestas a los incisos (a), (b), (c) y (d) después de separar las placas? Solución. Si las placas se separan como en el problema anterior la batería conectada, asegura la permanencia de voltaje constante. Esta vez encontramos: a) La capacidad
V 13,2 × 10 3 = 4,02 x 106 V/m. = 0,00328 d
Ejemplo 130. A) Se construye un condensador con aire entre las placas paralelas con dos placas de 16 cm2 separadas 4,7 mm, y se conecta a una batería de 12 V. a) ¿Cuál es la capacidad? b) ¿Cuál es la carga de cada placa? c) ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas? d) ¿Cuál es la energía almacenada en el condensador? a) La capacidad
C=
El campo eléctrico entre las placas
E = 2553 V m
b) La diferencia de potencial entre las placas
V =
ε0 A ε0 (0,16) 2 = d 9,4 × 10− 3
C = 2,41 × 10−11 F b) La carga de cada placa
(
)
Q = CV = 2,41× 10−11 (12) = 28,92 × 10−10 C
2
ε0 A ε0 (0,16) = d 4,7 × 10− 3
c) El campo eléctrico entre las placas
V 12 V = = 1,3 × 103 −3 d 9,4 × 10 m
= 4,8 x 10-11 F. b) La carga de cada placa
E=
Q = CV = (4,8 × 10−11)(12)
d) La energía almacenada en el condensador
-9
= 0,58 x 10 C. c) El campo eléctrico entre las placas −3 E= V d = (12 V)/(4,7 × 10 m) = 2553 V/m. d) La energía almacenada en el condensador
U=
U=
1 ( 2,41 × 10 −11 )(12) 2 CV 2 = 2 2 = 1,73 x 10-9 J.
Ejemplo 131. El condensador cilíndrico. Este Condensador cilíndrico en dos conductores cilíndricos concéntricos de radios a y b con longitud L, siendo esta longitud mucho mayor a fin de poder despreciar las irregularidades de los extremos.
1 1 CV 2 = ( 4,8 × 10 −11 )(12 ) 2 J 2 2
= 3,46 x 10-9 J
B) Si se desconecta la batería y luego se apartan las placas hasta tener una separación de 9,4 mm, ¿cuáles son las respuestas a los incisos (a), (b), (c) y (d)? Solución. Si se desconecta la batería, tal que la carga permanece constante, y las placas se separan 84
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Solución. Pongamos cargas Q y - Q a los cascarones de radios a y b respectivamente. Aplicando la ley de Gauss encontrar que el Campo eléctrico entre ellos es
E=
C=
Cuando b → ∞ , la capacidad tiende a C = 4πε 0 a , que es la capacidad del conductor esférico aislado.
λ Q , donde λ = 2πε 0 r L
De aquí E =
2πε 0 Lr →
→
b→
→
V1 − V2 = ∫ E ⋅ d l = ∫ a
b
a
Q
=
Ejemplo 133. Encontrar la capacidad entre dos esferas conductoras de radios a y b separadas una distancia c, siendo c mucho mayor que a y b. Solución.
Q
Como dV = − E⋅ d l
2πε 0 L
ln
Q
dr 2πε 0 L r
b a
Pongamos cargas Q y - Q a las esferas de radios a y b respectivamente. El potencial V1 sobre la esfera de radio a es el potencial debido a su carga Q mas el potencial debido a la carga - Q, tomada como puntual ya que c >> b
Finalmente la capacidad es
C=
2πε 0 L Q = b V1 − V2 ln a
Ejemplo 132. El condensador esférico. Este Condensador consiste en dos cáscaras esféricas conductoras y aisladas con radios a y b. Solución.
V1 =
C= →
Como dV = − E⋅ d l La diferencia de potencial entre los cascarones es →
a
b
a
(− Q )
4πε 0 c
4πε 0b
Q 4πε 0c
Q ⎛1 1 ⎜ + − 4πε 0 ⎝ a b
2⎞ ⎟ c⎠
La capacidad del sistema es:
Q 4πε 0 r 2
b→
(− Q ) +
=
1
V1 − V2 = ∫ E ⋅ d l = ∫
4πε 0 a
+
La diferencia de potencial entre las esferas es ⎛ Q −Q ⎞ ⎛ −Q Q ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ V1 − V2 = ⎜⎜ + + ⎝ 4πε 0 a 4πε 0c ⎠ ⎝ 4πε 0b 4πε 0c ⎠
Pongamos cargas Q y - Q a los cascarones esféricos de radios a y b respectivamente. Aplicando la ley de Gauss encontramos el campo eléctrico entre ellos
→
Q
De1 mismo modo el potencial V2 sobre la esfera de radio b
V2 =
E=
Q ab = 4πε 0 (b − a ) V1 − V2
4πε 0 Q = V1 − V2 ⎛ 1 1 2 ⎞ ⎜ + − ⎟ ⎝a b c⎠
Ejemplo 134. Analizar cada una de las siguientes afirmaciones y contestar lo que la afirmación pide, justificando brevemente. a) Explique por qué el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada con una carga encerrada determinada es independiente del tamaño o forma de la superficie. b) Una carga negativa se mueve en la misma dirección y sentido de un campo eléctrico uniforme. ¿La energía potencial eléctrica de la carga aumenta o disminuye?
Q dr 4πε 0 r 2
Q ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎝ a b ⎠ Q (b − a ) V1 − V2 = 4πε 0 ab =
Finalmente la capacidad es 85
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
c) Explique por qué el trabajo necesario para mover una carga Q a través de una diferencia de potencial ΔV es W = QΔV, en tanto que el trabajo para cargar un condensador con carga Q y una diferencia de potencial ΔV entre las placas es ½QΔV. Solución. a) El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada que encierra varias cargas es: →
→
Φ = ∫E ⋅d S = ∑ S
Como C =
COMBINACIONES DE CONDENSADORES Generalmente los condensadores se encuentran combinados en los circuitos eléctricos. Los condensadores pueden combinarse de dos formas en paralelo o en serie. A continuación encontraremos la capacidad equivalente de diferentes combinaciones.
qi
ε0
Esta ecuación derivada para cargas puntuales puede aplicarse para cualquier configuración, notando que la integral en caso que no exista simetría geométrica se complica en su solución. →
→
Φ = ∫E ⋅d S = ∫ S
Q
CONDENSADORES EN PARALELO. La figura siguiente muestra una combinación en paralelo de los condensadores de capacidades C1 y C2
dq
ε0
b) La energía potencial de la carga aumenta porque su potencial va en aumento. c) - Trabajo necesario para mover una carga Q a través de una diferencia de potencial ΔV La carga Q para moverse a través de una diferencia de potencial ΔV tiene que vencer la →
→
En este caso la diferencia de potencial es igual a Δ V para los dos condensadores. El Condensador C1 almacena una carga Ql
→
fuerza F = Q E a través de la distancia d , el →
→
→
Q1 = C1 ΔV
→
trabajo es W = F • d = Q E • d = QΔV - Trabajo para cargar un condensador con carga Q y una diferencia de potencial ΔV entre las placas La energía que se almacena en el condensador es igual al trabajo requerido para cargarlo. Ahora encontraremos esa energía. Consideremos que se ha tomado una carga q de una de las placas de un condensador de capacidad C colocado sobre la otra, la diferencia de potencial entre ellas es
V =
1 Q ⇒ W = QΔV 2 ΔV
El Condensador C2 almacena una carga Q2
Q2 = C 2 ΔV
La carga total almacenada es
Q = Q1 + Q2 = C1 ΔV + C 2 ΔV = (C1 + C 2 )ΔV Q Como le Capacidad es ΔV La capacidad equivalente es
C eq =
q C
Q = C1 + C 2 ΔV
Si fueran n condensadores en paralelo la capacidad equivalente sería
Para transferir en este instante una carga dq de una placa a la otra. El trabajo requerido para transferir esta carga es dW = dU = Vdq Poniendo V en función de q
n
C eq = ∑ C i i =1
CONDENSADORES EN SERIE. La figura siguiente muestra una combinación en serie de los condensadores de capacidades C1 y C2.
q dW = dq C Para obtener el trabajo total integramos desde q = 0 hasta la carga total q = Q.
1 Q 1 Q2 W = ∫ qdq = C 0 2 C
86
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
C eq1 = C 2 + C 3 = 1μF + 3μF = 4μF . El Sistema se reduce a
La diferencia de potencial entre los extremos es Δ V , de tal manera que la diferencia de potencial en el condensador C1 es ΔV1 y la diferencia de potencial en el Condensador C2 es ΔV 2 y ΔV = ΔV1 + ΔV2 . Si los dos Condensadores se conectan y luego se cargan, por la conservación de carga se requiere que cada condensador tome la misma carga Q, de tal manera que
C1 y Ceq1. Están en serie, el equivalente es
Ceq =
C1 + Ceq1
=
2× 4 4 = μF 2+4 3
Ejemplo 136. En la figura, cada condensador tiene C = 4,00 μF y Vab = + 28,0 V. Calcule a) la carga de cada condensador; b) la diferencia de potencial entre los bornes de cada condensador; c) la diferencia de potencial entre los puntos a y d
Q Q Q , ΔV2 = y ΔV = C1 C2 C Q Q Q Luego = + C eq C1 C 2 ΔV1 =
Simplificando Q:
C1Ceq1
1 1 1 = + C eq C1 C 2
Finalmente
C eq =
C1 C 2 C1 + C 2
Si fueran n condensadores en serie n 1 1 =∑ C eq i =1 Ci
Solución. a)
1 1 1 + = Ceq ⎛ 1 C4 1 ⎞ ⎟⎟ + C3 ⎜⎜ + ⎝ C1 C2 ⎠
Ejemplo 135. En la figura siguiente encontrar la capacidad equivalente entre a y b. Donde C1 = 2 μF , C2 = l μF y C3 = 3 μF .
=
1 1 + (2,00 × 10- 6 + 4,0 × 10- 6 ) (4,0 × 10- 6 )
⇒ Ceq = 2,40 μF . Luego,
Q12 + Q3 = Q4 = Qtotal = C eqV
= (2,40 × 10−6 )(28,0) = 6,72 × 10−5 C y 2Q12 = Q3 ⇒ Qtotal 6,72 × 10 −5 −5 = 2,24 × 10 C y Q12 = = 3 3 −5 Q3 = 4,48 × 10 C
Solución. Primero tenemos que encontrar el equivalente de los condensadores C2 y C3
Pero también, 87
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Q1 = Q2 = Q12 = 2,24 x 10-5 C. b)
V1 =
Q1 2,24 × 10−5 = = 5,60 V = V2 C1 4,00 × 10− 6
V3 =
Q3 4,48 × 10−5 = 11,2 V = C 3 4,00 × 10− 6
V4 =
Finalmente:
C eq
Q4 6,72 × 10−5 =16,8 V = C 4 4,00 × 10− 6
(C + C )C = (C + C ) + C eq
eq
=
C 2 + C eq C 2C + C eq
De donde resulta la ecuación
c) Vad = Vab − V4 = 28,0 V − 16,8 V = 11,2 V
Ceq2 + CCeq − C 2 = 0 Tomando la solución positiva
Ejemplo 137. Se tiene el sistema de Condensadores mostrado en figura, todos los condensadores tienen capacidad C y se extiende al infinito. ¿Cuál es la capacidad equivalente entre los puntos a y b?
C eq =
(
)
5 −1 C 2
Ejemplo 138. En el circuito mostrado, cada condensador tiene un valor de 4 μ F. Si Vb - Va = 12 voltios, hallar la carga de cada condensador y además Vd – Va..
Solución. Sea la capacidad C eq entre los puntos a y b. Hagamos un corte en el circuito como se muestra en la figura siguiente.
Solución. Secuencia para calcular las capacidades equivalentes:
Observamos que el circuito partiendo del corte AA a la derecha es igual al original luego la capacidad equivalente entre a’ y b’ es C eq también. De esta manera el circuito podemos dibujarlo como se muestra a continuación.
C'=
Este circuito es equivalente al mostrado al inicio. Luego
88
(
)
C 1 = 4 × 10 −6 = 2 × 10 − 6 μF 2 2
Electrostática
C'' = C +
Hugo Medina Guzmán
(
)
C 3C 3 = 4 × 10 − 6 = 6 × 10 − 6 μF = 2 2 2 Solución. El caso (a): Como la placa media y las dos adyacentes están unidas al mismo potencial, de tal manera que no hay campo entre ellas, y las placas extremas están al mismo potencial, de tal manera que el sistema consiste de dos condensadores en paralelo.
C''' =
1
=
3C 5
2 1 + 3C C 3 = (4 × 10 − 6 ) = 2,4 × 10 − 6 μF 5
a) La carga de cada condensador es la indicada en las figuras precedentes. Cálculo de Q1:
Q1 = QC ''' = QC '' = (Vb − Va )C
= 12(2,4 x 10-6) =28,8 x 10-6 μC Cálculo de Q2 y Q3: Q2 + Q3 = Q1 = 28,8 × 10 −6 (1)
La Capacidad es: C eq = 2C =
2ε 0 A d
El caso (b): La figura a continuación muestra como se forman los campos y es equivalente a cuatro condensadores en paralelo.
Q 2 C 'V C 2 1 (2) = = = Q3 CV C 2 De (1) y (2):
Q2 = 9,6 × 10−6 μC y Q3 = 19,2 × 10 −6 μC Q 28,8 × 10 −6 b) Vd − Va = 1 = = 4,8 V C' ' 6 × 10 − 6 Ejemplo 139. Un condensador de radio consiste de cinco placas igualmente espaciadas cada una de área A y separadas una distancia d. La Capacidad es: C eq = 4C =
4ε 0 A d
Ejemplo 140. Dos Condensadores de Capacidades 1 μF y 2 μF , cargados cada uno a 50 voltios se conectan en las dos formas posibles. ¿Cuales son la carga y diferencia de potencial de cada condensador en cada caso? Solución. La Carga que toman los condensadores a 50 voltios, es
Calcular la capacidad cuando las placas se conectan en las formas mostradas en las figuras (a) y (b). 89
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Q1 = C1V = 1× 10−4 × 50 = 0,5 x 10-6 C
V '= −
50 V 3
El valor negativo significa que el potencial es más negativo en la parte superior que la parte inferior. Luego
⎛ 50 ⎞ Q'1 = 1 × 10 −6 ⎜ − ⎟ = - 1,66 x 10-5 C ⎝ 3⎠ ⎛ 50 ⎞ Q '2 = 2 × 10− 6 ⎜ − ⎟ = - 3,33 x 10-5 C ⎝ 3⎠
Q2 = C2V = 2 ×10−4 × 50 = 1,0 x 10-6 C
Finalmente el esquema queda como sigue
Primera posibilidad: Conectar positivo con positivo y negativo con negativo Ejemplo 141.La figura muestra cuatro condensadores. Suponga que todos tienen igual capacidad y que están descargados inicialmente. La llave se lleva primero a la posición a luego a la posición b. Esta conexión nos da que la carga en cada condensador sigue siendo la misma Q1 = 0,5 x 10-6 C y Q2 = 1,0 x 10-6 C La diferencia de potencial sigue siendo 50 voltios. Segunda posibilidad: Conectar positivo con negativo y negativo con positivo.
a) ¿Cuál es la carga final en cada uno de los condensadores? b) ¿Cuál es la diferencia de potencial de cada uno de los condensadores? Solución. Con la llave en posición a.
En este caso la carga se redistribuirá
Con la llave en posición 2.
De tal manera que
Q'1 +Q' 2 = Q1 + (− Q2 ) = Q1 − Q2
Q'1 +Q' 2 = 0,5 × 10−6 − 1,0 × 10−6 = −0,5 ×10−6 Pero Q'1 = C1V ' y Q ' 2 = C 2V ' −6 De aquí C1V '+C2V ' = −0,5 × 10 0,5 × 10 −6 0,5 × 10 −6 V '= − =− C1 + C 2 1 × 10 −6 + 2 × 10 −6 90
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
a) Al Poner en la llave en posición a, el condensador tiene la carga
Q2 =
Q0 = C1V0
C1V0 ⎛ ⎜1 + C1 ⎜ C eq ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
=
C1C eqV0
(C
1
+ C eq )
b) La diferencia de potencial de cada uno de los condensadores
V1 =
Q1 = C1
C12V0 (C1 + Ceq ) C1
=
C1 (C1 + Ceq )V0
C1C eqV0
Al pasar a la posición b, la carga Q0 se redistribuye como se indica en la figura siguiente
V2 =
C1C eq Q2 (C1 + C eq ) V0 = = C2 C2 C 2 (C1 + C eq ) C1C eqV0
V3 =
C1C eq Q2 (C1 + C eq ) V0 = = C3 C3 C 3 (C1 + C eq ) C1C eqV0
V4 = Tenemos
Como comprobación sumamos los potenciales de cada uno de los condensadores de la derecha, debe de ser igual al potencial del condensador de la izquierda.
V1 = V2 + V3 + V4 Q1 = C1V1 Q2 = Q3 = Q4 La capacidad equivalente condensadores a la derecha es
de
los
V1 = V4 + V3 + V4 C1Ceq C1Ceq V0 + V0 = C2 (C1 + Ceq ) C3 (C1 + Ceq )
tres
1 1 1 1 = + + Ceq C2 C3 C4
Ceq =
+
C3C4 + C2C4 + C2C3 C2C3C4
Q1 Q = 2 C1 Ceq Por conservación de carga
Q0 = Q1 + Q2
Ejemplo 142. Dos esferas aisladas conductoras, cada una con radio 3 cm, están muy separadas conectadas por un alambre (no considerar la capacidad del alambre). Las esferas están cargadas a un potencial de 100 Voltios. Una cáscara esférica de radio 4 cm dividida en dos hemisferios se coloca concentricamente alrededor de una de las esferas conectándola a tierra, formando un condensador esférico; el alambre que une a las esferas pasa a través de un pequeño agujero en las cáscaras. Calcular el potencial final de los dos Conductores. Solución.
Reemplazando Q0 y Q2 encontramos Q1
C eq C1
C1V0 Q1 = ⎛ C eq ⎜⎜1 + C1 ⎝
Q1
C12V0 = ⎞ (C1 + C eq ) ⎟⎟ ⎠
De igual manera para Q2
C1V0 =
C1Ceq V0 C4 (C1 + Ceq )
⎛ 1 1 1 ⎞ C1C eq ⎟⎟ = ⎜⎜ + + V0 ( ) C C C C C + 3 4 ⎠ 1 eq ⎝ 2 ⎛ 1 ⎞ C1C eq C1 ⎟ =⎜ V0 V0 = ⎜ C ⎟ (C + C ) ( ) + C C 1 1 eq eq eq ⎝ ⎠
V1 es común para las dos ramas
C1V0 = Q1 +
C1C eq Q2 (C1 + C eq ) V0 = = C4 C4 C 4 (C1 + C eq )
C1 Q2 + Q2 C eq 91
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
En la posición antes: La capacidad de cada una de las esferas es C1 = 4πε 0 R1 , y la carga en cada esfera es Q = C1V1 = 4πε 0 R1V1
Solución. Este caso al parecer muy complicado se simplifica debido a su simetría. El reparto de Cargas al ponerlo a una diferencia de potencial sería como se muestra a continuación:
En la posición después: La capacidad de la esfera simple sigue siendo C1 = 4πε 0 R1 y su carga es Q ' 2 = C1V2 = 4πε 0 R1V1 . La capacidad de las esferas concéntricas es
C 2 = 4πε 0
R1 R 2 y su carga es R 2 − R1
Q' ' 2 = C2 (V2 − VTierra ) = 4πε 0
R1 R 2 V2 R 2 − R1
Claramente se ve que este circuito es igual al que se muestra en la figura a continuación:
Como la carga del sistema se conserva: Carga antes = carga después.
2Q1 = Q'1 +Q' ' 2 24πε 0V1 R1 = 4πε 0V2 R2 + 4πε 0
R1 R2 V2 R2 − R1
De aquí:
V2 =
2 V1 ⎛ R2 ⎞ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎝ R2 − R1 ⎠
Y esto nos lleva a:
Como V1 = 100 V, R1 = 3 cm y R2 = 4 cm, remplazando obtenemos:
V2 =
2 4 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜1 + ⎝ 4 −1⎠
100 = 40 V
El potencial final de los dos conductores es 40 voltios. Ejemplo 143. Encontrar la capacidad equivalente entre los puntos a y b, todos los condensadores tienen capacidad C.
Continuando la simplificación
92
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
y por último Podríamos resolverlo en forma similar al hexágono anterior, pero lo vamos a hacer en forma diferente. Se puede ver: Vab = Vad y Vcb = Vdb Con lo que podemos concluir: Vc = Vd , esto hace que el condensador entre c y d no se cargue y es como si no existiera, con lo que el circuito queda reducido, a condensadores en paralelo el que podemos ir simplificando hasta encontrar el condensador equivalente.
Ejemplo 144. Encontrar la capacidad equivalente entre los puntos a y b, todos los condensadores tienen capacidad C.
Solución. A este circuito aparentemente complejo, porque no está ni en serie ni en paralelo podemos hacerle algunas transformaciones sin cambiarlo.
Ejemplo 145. Sean cuatro condensadores conectados como se indica en la figura anexa. Con el interruptor S abierto, se aplica una diferencia de potencial Va − Vb = Vab = 9 V.
Entre a y c hay un solo condensador Entre a y d hay un solo condensador Entre c y d hay un solo condensador Entre d y b hay un solo condensador Entre c y b hay un solo condensador Esto nos permite hacer el dibujo equivalente siguiente
a) Calcule el valor de la carga de cada condensador. b) ¿Cuál es la diferencia de potencial Vcd = Vc − Vd ? ¿Qué punto está a mayor potencial? c) Se encierra el interruptor S, sin desconectar la diferencia de potencial Vab ¿Cuál es el valor de la carga de cada condensador?
El que también se puede dibujar como
93
Electrostática
d)
¿Cuál
es
ΔU = U i − U f
Hugo Medina Guzmán
el cambio de energía al cerrar el interruptor S?
comente el signo de su resultado. Sugerencia use el concepto de condensador equivalente para obtener el valor ΔU . Solución. a) El dispositivo se carga de la manera indicada en la figura siguiente.
De lo que obtenemos: Q = 4,5 × 10−6 (9) = 40,5x10-6 C = Q1 + Q2 Como Vac = Vad
⇒
Q1 Q2 Q = ⇒ 1 =2 −6 −6 Q2 6 × 10 3 × 10
De estas dos últimas relaciones: Q1 = 27x10-6 C, Q2 = 13,5x10-6 C d) U i =
(
= 1,62x10-4 J
Uf =
1 1 1 1 ⇒ C eq = 2,0 μ F = + = C eq 6,0 3,0 2,0
)
1 1 2 C eq (i )Vab2 = 4 × 10 −6 (9 ) 2 2
(
)
1 1 2 C eq ( f )V ab2 = 4,5 × 10 −6 (9 ) 2 2
= 1,82x10-4 J ΔU = U i − U f = 1,62x10-4 - 1,82x10-4 = - 0,20x10-4 J El signo es negativo porque se ha realizado trabajo sobre el sistema porque aumento su capacidad y había que aumentar la carga. Ejemplo 146. El circuito mostrado inicialmente se encuentra con los condensadores X, Y, y Z descargados, y los interruptores S1 y S2 abiertos. Se aplica una diferencia potencial Vab = +120 V entre los puntos a y b. Después de que el circuito esté montado, se cierra el interruptor S1, pero el interruptor S2 se mantiene abierto. Encontrar a) La energía almacenada en el condensador X b) La carga del condensador Y. c) El voltaje a través del condensador Z. d) Si el interruptor S1 se abre, y se cierra S2. Encontrar el voltaje final a través del condensador X,
De aquí Q = 2,0 × 10 (9) = 18,0 μ C Que es la carga que corresponde a cada condensador. −6
Q 18 × 10 6 =6V = 3,0 × 10 − 6 3,0 × 10 − 6 Q 18 × 10 6 =3V = = 6,0 × 10 − 6 6,0 × 10 − 6
b) Vcb =
V db
Vcd = Vc − Vd = Vcb − Vdb = 6 – 3 = 3 V El punto a está a mayor potencial. c) La distribución de las cargas es como se indica a continuación
Solución. a) Figura para a) , b) y c). Esto se reduce a
UX =
Y finalmente 94
(
)
1 1 2 C X Vab2 = 9 × 10 −6 (120 ) = 0,065 J 2 2
Electrostática
b)
1 C eqYZ
=
Hugo Medina Guzmán
1 1 1 1 1 + = + = CY C Z 6 3 2
C eqYZ = 2 μF
(
W = q 2V =
este trabajo realizado queda como energía en el sistema
)
QY = Q = CeqYZVab = 2 × 10−6 (120)
U =
= 240 mC c) VZ =
Q 0,240 = = 80 V C Z 3 × 10 −6
W =U =
1 ⎛ q1 q 2 q1 q 3 q 2 q 3 ⎞ ⎜ ⎟ + + 4πε 0 ⎜⎝ r12 r13 r23 ⎟⎠
Este resultado es independiente del radio en que se lleva las cargas a sus posiciones finales. En el caso de ser o cargas la energía electrostática total es la suma de las energías de todos los pares posibles.
La carga del condensador X es:
)
QX = C X V = 9 × 10−6 (120) = 1080 x 10-6C
U=
La carga del condensador Z es: QZ = QY = 240 x 10-6C
1 4πε 0
∑
todos los pares
qi q j rij
Cuando queremos cargar un cuerpo con densidad de carga ρ , consideramos que ya se ha juntado una cantidad de carga q, el trabajo para traer una carga dq del infinito es la energía diferencial que se almacena.
Con S2 cerrado. La carga de Y se disipa en una chispa al entrar en contacto las dos armaduras del condensador. Las cargas de X y Z se redistribuyen según la capacidad de cada condensador.
1
qdq 4πε 0 r Siendo dq = ρdV y dV un elemento diferencial dU =
del volumen del cuerpo. Nota: El concepto de “voltio” “potencial” en electricidad es similar al concepto de “altura” en gravedad y al concepto de “temperatura” en termodinámica. En todos estos casos, se define un nivel de referencia de el cual se mide voltio/altura/temperatura. El cero para el voltaje se considera el voltaje de la tierra del planeta, llamado en la ingeniería eléctrica “tierra”. El cero para la gravedad se considera ser el nivel del suelo (en el caso de la tierra). El cero para la temperatura se considera ser el Kelvin cero supuesto.
QX + QZ = Q ' X +Q 'Z = 1320 x 10-6C Q' X C X 9 × 10 −6 = = =3 Q' Z C Z 3 × 10 −6 3 Q ' X = (1320 × 10 −6 )= 990 x 10-6C 4 Q' 990 × 10 −6 = 110 V. Luego V ' X = X = CX 9 × 10 −6 Como
ENERGÍA ELECTROSTÁTICA DE CARGAS Para colocar una carga q1 en el espacio no se realiza trabajo pero si querernos colocar otra carga q2 tenernos que realizar un trabajo, porque tenemos que traer la carga q2 del infinito donde el potencial es cero hasta el punto situado a r12 de q1 donde el potencial debido a esta última es
V =
q1 q 2 4πε 0 r12 1
Ahora si tenernos tres cargas presentes la energía en el sistema es
d) Con S2 abierto.
(
q1 q 2 4πε 0 r12 1
q1 4πε 0 r12 1
El trabajo realizado es 95
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Ejemplo 147. Encontrar la energía almacenada al cargar una esfera de radio R con carga uniformemente distribuida de densidad volumétrica ρ . Solución. Supongamos que ya hemos cargado una esfera de radio r, y queremos ponerle un diferencial de carga en el volumen inmediato de espesor dr, como se muestra en la figura.
El potencial en 1:
q1
V1 =
4πε 0 R
=
+
q2
4πε 0 (a 2 + R 2 )
12
⎡ q2 ⎢q1 + 2 4πε 0 R ⎣⎢ 1+ a / R2 1
⎤ 12 ⎥ ⎦⎥
(
)
El potencial en 2:
V2 = =
q2 4πε 0 R
+
q1
4πε 0 (a 2 + R 2 )
12
⎡ q1 ⎢q 2 + 4πε 0 R ⎢⎣ 1+ a2 / R2 1
(
⎤ 12 ⎥ ⎥⎦
)
El potencial en el infinito:
V∞ = 0 Trabajo para traer una carga q desde el infinito a 1:
La Carga q almacenada ya, es
q=
A1 = q (V1 − V∞ )
4 π r 3 drρ 3
La Carga dq que vamos a traer del infinito es
=
dq = 4π r 2 drρ 4π ρ r dr qdq = 4πε 0 r 3πε 0
dU =
4
U = ∫ dU = 0
1 4πε 0
∫
R
0
qdq 4πρ 2 = 3ε 0 r
)
⎤ ⎥ (1) ⎥⎦
A2 = q (V2 − V∞ )
El trabajo para la carga toda la esfera se halla integrando r desde 0 hasta R. R
(
12
Trabajo para traer una carga q desde el infinito a2:
El trabajo en traer la carga dq es 2
⎡ q2 ⎢q1 + 4πε 0 R ⎢⎣ 1+ a2 / R2 q
∫
R
0
=
4
⎡ q1 ⎢q 2 + 4πε 0 R ⎢⎣ 1+ a2 / R2 q
(
)
12
⎤ ⎥ (2) ⎥⎦
(1) y (2) son dos ecuaciones con incógnitas q1 y q2. Resolviendo (1) y (2) obtenemos:
r dr
4πρ 2 R 5 U= 15ε 0
⎡ 1 A1 ⎤ ⎢ ⎥ 12 − 2 2 A2 ⎥ 4πε 0 RA2 ⎢⎣ 1 + a R ⎦ q1 = q ⎡ ⎤ 1 ⎢ 1 + a 2 R 2 − 1⎥ ⎣ ⎦ ⎡ A ⎤ 1 ⎢ − 2⎥ 12 2 2 A1 ⎥ 4πε 0 RA1 ⎢⎣ (1 + a R ) ⎦ q2 = q ⎡ ⎤ 1 − 1⎥ ⎢ 2 2 ⎣ (1 + a R ) ⎦
(
3 Q2 4πR 3 Como Q = ρ ⇒ U= 5 4πε 0 R 3
)
(
Ejemplo 148. Dos anillos coaxiales uniformemente cargados de radios iguales R está en planos paralelos separados una distancia a, el trabajo que se realiza para traer una carga q del infinito al centro de cada uno de los anillos es respectivamente A1 y A2. Encontrar les Cargas q1 y q2 que tienen los anillos. Solución.
)
Ejemplo 149. Una carga Q = - 800 nC se distribuye uniformemente en un anillo de radio de 2,4 m. Una carga q = + 600 nC se pone en el centro del anillo. Los puntos A y B están situados en el eje del anillo.
96
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
b) estando presentes el anillo y la carga q0, y suponiendo conocido z0; obtenga el trabajo necesario en traer una carga q1, desde el infinito hasta la posición (0, 0 ,– z0). c) encuentre el valor y el signo de la carga q1, tal que colocada en el punto (0, 0, – z0) equilibre la carga q0.
a) ¿Cuál es el trabajo hecho por una fuerza externa que transporta un electrón de B a A? b) si el potencial eléctrico es igual a cero en un punto en el eje del anillo. ¿Cuál es la distancia de este punto del centro del anillo? c) Si se un electrón se lanza a lo largo del eje del anillo desde el infinito. El electrón llega y se detiene momentáneamente en un punto en el eje que está a 5,0 m del centro del anillo. ¿Cuál es la velocidad inicial del electrón en el infinito? d) Si una fuerza externa retira la carga q del centro del anillo y la transporta al infinito. ¿Cuál es el trabajo realizado por esta fuerza externa? Solución. a) WB→ A = e(VA − VB ) =
Solución. a) El campo eléctrico en el punto (0, 0, z0) es
(
⇒ x = 2,7 m
)
12
c) 1 m v 2 = e ⎡⎢ q − e 0 4πε 0 ⎢⎣ (5,0)
2
→
3/ 2
kˆ
1
→
Qq0 z0
4πε 0 (a + z02 )3 / 2 2
kˆ
→
→
d F Qq0 d z0 = dz0 4πε 0 dz0 a 2 + z02
(
(a
=0
1 2
+ z02
)
1/ 2
−
(a
3 z02 2
+ z02
)
)
5/ 2
3/ 2
kˆ = 0 ⇒
=0 ⇒
a 2 + z02 − 3z02 = 0 ⇒ ⎤ ⎥ 2 2 12 5,0 + 2,4 ⎥⎦ Q
(
z0 =
)
⇒ v 0 = 9 × 10 m/s
2a 2
b) Potencial en el punto (0, 0, – z0)
WO→∞ = q(V∞ − VO )
q ⎡⎛ Q ⎞ ⎛⎜ Q ⎟⎟ − − ⎢⎜⎜ − 2 ⎜ 4πε 0 ⎢⎝ (2,4) ⎠ ⎝ ∞ + 2,4 2 ⎣ = + 1,8 x 10-3 J
=
)
Para hallar el valor máximo de F derivamos con respecto a z0.
6
d)
(
4πε 0 a + z02
F = q0 E (0, 0, z 0 ) =
⎞ e ⎡⎛⎜ q Q ⎟ ⎢ − 4πε 0 ⎢⎜⎝ (1,8) (1,8 2 + 2,4 2 )1 2 ⎟⎠ ⎣ ⎛ ⎞⎤ Q ⎟⎥ -⎜ q − ⎜ (3,2) (3,2 2 + 2,4 2 )1 2 ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦
q Q − 2 x x + 2,4 2
Qz0
2
La fuerza sobre la carga q0 colocada en el punto (0, 0, z0) es
WB→ A = -700 eV b)
1
→
E (0 , 0 , z 0 ) =
(
⎞⎤ ⎟⎥ 12 ⎟ ⎠⎥⎦
V((0,0, - z 0 ) ) =
)
Q q0 ⎤ 1 ⎡ + ⎢ 2 ⎥ 1 / 2 4πε 0 ⎣⎢ (a + z02 ) 2 z0 ⎥⎦
V(∞ ) = 0 Diferencia de potencial entre el punto (0, 0, – z0) y el infinito.
Ejemplo 150. La figura muestra un anillo de radio a con carga + Q distribuida uniformemente. a) Halle la posición z0 donde colocar una carga + q0 de manera que la fuerza eléctrica que el anillo ejerce sobre la carga sea máxima.
ΔV = V((0,0, - z 0 ) ) − V(∞ ) =
97
q0 ⎤ Q 1 ⎡ + ⎢ 2 ⎥ 4πε 0 ⎣⎢ (a + z02 )1/ 2 2 z0 ⎥⎦
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Trabajo para poner una carga q1 en el punto (0, 0, – z0).
W = q1ΔV =
q1 ⎡ Q ⎢ 2 4πε 0 ⎣⎢ a + z02
(
)
1/ 2
+
λ=−
q0 ⎤ ⎥ 2 z0 ⎦⎥
2πε 0V0 ln 3
c) La figura siguiente muestra las fuerzas sobre q0 debido al anillo con carga Q y a la carga puntual q1.
b) Densidad de carga superficial en el cilindro.
−
Densidad de carga superficial en el cascarón conductor.
→
2πε 0V0 ln 3
F q1 , fuerza sobre qo debido a q1 →
F Q , fuerza sobre qo debido a Q
c) La energía almacenada en el campo eléctrico de la distribución de cargas es
La suma de estas fuerzas es cero →
2πε 0V0 ln 3
U = ∫ udV
→
F q1 + F Q = 0 ⇒ 1 q0 q1 ˆ 1 Qq0 z0 ˆ k+ k =0 ⇒ 2 2 4πε 0 (2 z0 ) 4πε 0 a + z02 3 / 2
(
q1 = −
(a
u = densidad de energía
)
u=
4Qz03 2
1 ε0 E 2 2
Con
+ z02 )
3/ 2
E=
Ejemplo 151. Se tiene un cilindro conductor muy largo de radio a rodeado por un casquete cilíndrico conductor muy largo de radio interior 3a y radio exterior 4a. Se sabe que la diferencia de potencial entre el casquete conductor y el cilindro es – V0 y que fuera del casquete no hay campo eléctrico. a) Hallar las cargas por unidad de longitud del cilindro y del cascarón conductor. b) Hallar las densidades de carga superficiales el cilindro y en el cascarón conductor. c) Halle la energía almacenada en el campo eléctrico de las distribuciones de cargas. d) A partir del resultado anterior, y de la carga hallada en la parte a), encuentre la capacidad del sistema por unidad de longitud. Solución. a) El potencial del cilindro interior con respecto al exterior es
λ 2πε 0 r 2
1 ⎛ λ ⎞ λ2 ⎜ ⎟ Luego μ = ε 0 ⎜ = 2 2 2 ⎝ 2πε 0 r ⎟⎠ 8π ε 0 r dV = 2πrLdr Reemplazando
U =∫
3a
a
λ2 2πrLdr 8π 2ε 0 r 2
Lλ2 U= 4πε 0 r 2
∫
3a
a
dr Lλ2 = ln 3 r 4πε 0 r 2
La energía almacenada por unidad de longitud
U λ2 = ln 3 L 4πε 0 r 2 d) Usando la ecuación
λ λ 3a ΔV = Va − V3a = ln = ln 3 2πε 0 a 2πε 0 λ −V0 = ln 3 2πε 0
U=
Q2 2C
Como Q = λL y U = Tenemos 98
λ2 L ln 3 4πε 0 r 2
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
( λ2 L λL )2 ⇒ U= ln 3 = 4πε 0 2C C=
(λL )2
λ2 L 2 ln 3 4πε 0
=
Uc =
1 Q2 Q2 = 2 6πε 0 a 12πε 0 a
Capacidad de una esfera conductora.
2πε 0λL ln 3
C4 a = 16πε 0 a
Energía potencial de una esfera conductora.
U 4a =
La capacidad del sistema por unidad de longitud.
C 2πε 0λ = L ln 3
1 Q2 Q2 = 2 16πε 0 a 32πε 0 a
Energía potencial total
U total = U c + U 4 a
Ejemplo 152. Una esfera conductora de radio a cargada uniformemente con + Q se rodea de un casquete conductor neutro. Se muestran dos situaciones distintas para este arreglo de conductores. Se coloca un interruptor eléctrico S (equivalente a un alambre conductor ideal) entre ambos inicialmente abierto,
=
Q2 Q2 11Q 2 + = 12πε 0 a 32πε 0 a 84πε 0 a
Cuando se cierra S: La carga Q se localiza en la superficie externa del casquete esférico La energía potencial es
Cuando se ase cierra el interruptor S, a) ¿Cuál es la distribución final de cargas en ambos conductores? y b) ¿Cuál fue el trabajo realizado para redistribuir + Q a la distribución resultante? Solución. a) Con S abierto. La carga se localiza tal como se muestra en la figura
U 4a =
1 Q2 Q2 = 2 16πε 0 a 32πε 0 a
El trabajo es igual al cambio de energía potencial
W = ΔU = U total − U 4 a =
11Q 2 Q2 Q2 − = 84πε 0 a 32πε 0 a 12πε 0 a
El trabajo es realizado por la fuerza eléctrica es:
W=
Ejemplo 153. En dispositivo del problema anterior además del interruptor se coloca una fuente de voltaje constante V0 con la polaridad indicada. Al conectar S, la esfera adquiere una carga Q1 y el casquete una carga Q2 de manera que debe conservarse la carga y el voltaje entre ambos será V0 Hallar los valores de Q1 y Q2 en función de Q, indicando sus respectivos signos (positivo o negativo).
La energía potencial cuando el interruptor S está abierto es igual a la de un condensador concéntrico esférico de radios a y 3a con carga + Q mas la energía potencial de una esfera conductora de radio 4a con carga + Q. Capacidad del condensador
Cc =
Q2 12πε 0 a
4πε 0 3a 2 = 6πε 0 a (3a − a )
Energía potencial del condensador
99
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Poniendo V en función de q
dW =
q dq C
Para obtener el trabajo total integramos desde q = 0 hasta la carga total q = Q0.
U =
1 C
∫
Q0
0
qdq =
1 Q02 2 C
Como Q0 = CV0 ⇒ U =
Solución. Al cerrar el interruptor la localización de cargas es como se muestra en la figura siguiente
Esta expresión es general para todo tipo de condensador, ya que la geometría del condensador no interviene en el razonamiento. Densidad de energía del campo eléctrico. Es razonable considerar que esta energía se almacena en el campo eléctrico y por lo tanto es conveniente definir el concepto de densidad de energía del campo eléctrico, para esto consideremos un condensador de placas paralelas, despreciando las irregularidades de
Cálculo de Q1 Corresponde a la carga de un condensador esférico concéntrico con radios a y 3a con una diferencia de potencia V0 ente las armaduras
1os extremos tenemos C =
6πε 0 a Cab = 6πε 0 a ⇒ Q1 = V0
Y Q0 = CV0 =
d
⎛V ⎞ V0 = ε 0 A⎜ 0 ⎟ d ⎝d ⎠
La densidad de energía es
C4 a = 16πε 0 a ⇒ Q2 =
μE =
Q0 = ε 0 AE0 U Volumen el volumen es: Ad
16πε 0 a V0
La suma de las cargas Q1 y Q2 es Q
1 (ε 0 AE0 ) 1 Q02 2 (ε 0 A d ) μE = 2 C = Volumen Ad 1 μ E = ε 0 E 02 2
2
6πε 0 a 16πε 0 a 22πε 0 a + = Q = Q1 + Q2 = V0 V0 V0
Luego
3 8 Q , Q2 = Q 11 11
Aunque para esta demostración particularizamos para el caso de placas paralelas, esta ecuación es aplicable para cualquier caso.
ENERGÍA ALMACENADA POR UN CONDENSADOR La energía que se almacena en el condensador es igual a la energía requerida para cargarlo. Ahora encontraremos esa energía. Consideremos que se ha tomado una carga q de una de las placas de un condensador de capacidad C colocado sobre la otra, la diferencia de potencial entre ellas es
V =
ε9 A
ε0A
Cálculo de Q2 Corresponde a la carga de una esfera conductora de radio 4a
Q1 =
1 CV 02 2
Ejemplo 154. Se tiene un condensador esférico con radio interior a y radio exterior b, cuando la diferencia de potencial entre las cáscaras esféricas es V0, calcular la energía electrostática almacenada. Solución. La capacidad de este condensador es
q C
C = 4πε 0
Para transferir en este instante una carga dq de una placa a la otra. El trabajo requerido para transferir esta carga es dW = dU = Vdq
ab b−a
La energía almacenada es
100
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
a) ¿Cuál es la densidad de energía en la región comprendida entre los conductores a una distancia r del eje? b) Integre la densidad de energía calculada en el inciso (a) con respecto al volumen entre los conductores, en una longitud L del condensador, para obtener la energía total de campo eléctrico por unidad de longitud.
1 1 ab CV 02 = 4πε 0 V2 = (b − a ) 0 2 2 ab 2πε 0 V2 (b − a ) 0
U =
Otra forma de cálculo es mediante la densidad de energía.
1 2
μE = ε 0E 2
Q2 c) Con base en la ecuación U = y la 2C
Por la ley de Gauss evaluamos E
capacidad por unidad de longitud, calcule U/L. ¿Concuerda su resultado con el obtenido en el inciso (b)?
El Campo eléctrico entre las cáscaras es
E=
Q 4πε 9 r 2
Donde Q = CV 0 = 4πε 0 Luego: E =
ab V (b − a ) 0
Solución. a) La densidad de energía es
ab V0 (b − a ) r 2
u=
-reemplazando el valor de E en μ E =
μE =
1 ε0E 2 2
Como E =
ε 0 a 2b 2 V02
2 2(b − a ) r 4
⎛ λ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2πε0 r ⎠ λ2 = 8π 2 ε 0 r 2
dU , dV Con dV = 4πr 2 dr y dU = μ E dV
μE =
U = ∫ dU = ∫ μE dV = 2πε 0 a b V (b − a )2
ε 0a b V 2 2
∫ 2(b − a )
2
a
2 0 2
2 0
b
2 2
r
2
Lλ 2 b) U = ∫ udV = 2πL ∫ urdr = 4πε0
dr =
rb
dr ⇒ r ra
∫
r λ2 U ln b . = L 4πε0 ra
dr 2πε a b V ⎛ 1 1 ⎞ ∫a r 2 = (b0− a )2 ⎜⎝ a − b ⎟⎠ ab Finalmente: U = 2πε 0 V2 (b − a ) 0 2 2
λ 2πε 0 r
1 u = ε0 2
Para obtener la energía total
b
1 ε0 E 2 2
2 0
Q2 : 2C r r λ2L Q2 Q2 ln b = U= ln b = U de = 2C 4πε 0 L ra 4πε 0 ra
c) Usando la ecuación U =
Resultado igual al evaluado directamente, lo cual prueba la aseveración que hicimos sobre la generalidad de la expresión de la densidad de energía.
la parte (b). Ejemplo 156. La red de condensadores mostrados está montada con los condensadores inicialmente descargados. Una diferencia de potencial V = 10,0 V se aplica a través de la
Ejemplo 155. El cilindro interior de un condensador cilíndrico largo tiene un radio r y una densidad de carga lineal + λ . Está rodeado de una coraza conductora cilíndrica coaxial con un radio interior ra y una densidad de carga lineal - λ .
ab
red. El interruptor S en la red se mantiene abierto. Calcule: 101
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
(
c
)
Q = 4,8 × 10−6 (10,0) = 48 x 10-6 C.
a) la capacidad equivalente de la red. b) la diferencia de potencial V – V . d
c) la carga y voltaje en el condensador de 2,0 μF. Se cierra el interruptor S manteniendo la diferencia de potencial V en 10,0 V. ab
d) la carga y voltaje en el condensador de 2,0 μF. e) el cambio de energía electrostática ΔU = U U , antes y después de cerrar el interruptor S.
Q1 = Q2 = Q/2 = 24 x 10-6 C
f
24 × 10 −6 = 6 V, 4 × 10 − 6 24 × 10 −6 = 4 V. Vbd = 6 × 10 − 6
i
Luego: Vbc =
Comente su resultado.
Vc –Vd = Vbc – Vbd = 6 - 4 = 2 V. c) la carga y voltaje en el condensador de 2,0 μF.
(
)
Vbd = 4 V, Q2 μF = 2 × 10 (4) = 8 x 10-6 C. Se cierra el interruptor S manteniendo la diferencia de potencial V en 10,0 V.
Solución. a) la capacidad equivalente de la red.
−6
ab
d) la carga y voltaje en el condensador de 2,0 μF. Como las capacidades equivalentes de la parte superior y la inferior son iguales a 10 μF, las diferencias de potencial de la parte superior y la parte inferior son iguales a 10/2 = 5 V. −6 Luego Q'2 μF = 2 × 10 (5) = 10 x 10-6 C.
(
)
e) el cambio de energía electrostática ΔU = U f
U , antes y después de cerrar el interruptor S. i
Comente su resultado Antes de cerrar
Ui =
= 2,4 x 10-4 J. Después de cerrar
b) la diferencia de potencial V – V . c
Vbc =
(
d
Q1 Q2 , Vbd = −6 4 × 10 6 × 10 − 6
Uf =
)( )
1 1 Ceq iV 2 = 4,8 × 10 − 6 10 2 2 2
(
)( )
1 1 Ceq f V 2 = 5 × 10 − 6 10 2 2 2
= 2,5 x 10-4 J. ΔU = 2,5 x 10-4 - 2,4 x 10-4. = 0,1 x 10-4 J = 10 x 10-6 J. La capacidad equivalente en la nueva configuración es mayor que en la original, siendo la diferencia de potencial igual, la energía almacenada en la nueva configuración es mayor. 102
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
tiene una área A, separación entre placas d y Carga Q? Solución. El trabajo Δ W = F Δ x es igual al cambio de la energía electrostática
Ejemplo 157. Las unidades de destello electrónico para cámaras fotográficas contienen un condensador para almacenar la energía con la que se produce el destello. En una de estas unidades, el destello dura 1,48 ms con una emisión de potencia lumínica promedio de 2,70 x l05 W. a) Si la conversión de energía eléctrica en luz tiene una eficiencia de 95% (el resto de la energía se transforma en energía térmica), ¿cuánta energía es necesario almacenar en el condensador para un destello? b) El condensador tiene una diferencia de potencial entre sus placas de 125 V cuando la energía almacenada tiene el valor calculado en el inciso (a). ¿Cuál es la capacidad? Solución. a) La energía eléctrica lumínica es
U=
El cambio es (por derivación con respecto a C)
ΔU =
1 2 ⎛1⎞ Q Δ⎜ ⎟ . 2 ⎝C ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎛ d ⎞ ⎛1⎞ ⎟⎟ = Δ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟ = Δ⎜⎜ ε ε A d A ⎝C ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠
Con Δ⎜
Como ε 0 y A son constantes, el único variable es d y Δd = Δx .
⎛ 1 ⎞ Δx ⎟= ⎝ C ⎠ ε0A
Luego tenemos: Δ⎜
E = Pt = (2,70 × 105 )(1,48 × 10−3 )
Y ΔU =
= 400 J Esto corresponde al 95% de la energía original. Luego la energía necesaria a almacenar en el condensador para un destello es
U =
1 Q2 2 C
Q 2 Δx 2ε 0 A
Siendo Δ U = Δ W = F Δ x , podemos escribir:
Q 2 Δx Q2 FΔx = ⇒ F= 2ε 0 A 2ε 0 A 1 Q Reacomodando: F = Q 2 ε0A Q σ Q Como σ = y E= ⇒ E= ε0 ε0 A A 1 Finalmente: F = QE 2
400 J = 421 J 0,95
b) Tenemos
1 CV 2 ⇒ 2 U 2(421) C=2 2 = = 0,054 F. V (125) 2
U =
Este resultado que es diferente en el factor ½ al que esperábamos por intuición se debe que el campo E no es el campo en las cargas, ya que la carga en la superficie tiene un espesor muy delgado y el campo va desde 0 en el interior hasta E en el espacio entre las placas, es decir la distribución superficial de cargas tiene un espesor. El campo que actúa sobre las Cargas es el promedio E / 2 , esto explica el factor ½.
FUERZAS, TORQUES Ahora mostraremos como la fuerza sobre uno de los objetos en un sistema cargado puede calcularse a partir de la energía electrostática. Consideremos un sistema formado por dos placas, si permitimos el movimiento Δ x de una de ellas,. El trabajo mecánico realizado por una fuerza exterior F para mover las placas es: ΔW = F Δx Siendo F la fuerza entre las placas, este trabajo debe ser igual al cambio de energía electrostática en el condensador. Si el objeto en mención es obligado a un movimiento de rotación debido a un torque τ y a un desplazamiento es Δ θ , el trabajo realizado es ΔW = τ Δθ
CAMPO ELÉCTRICO EN UN DIELÉCTRICO Dieléctrico es un material no conductor como por ejemplo el vidrio, el papel, el plástico. Faraday experimentando con condensadores aplicó la misma diferencia de potencial a dos condensadores de placas paralelas iguales, pero uno de ellos con un material dieléctrico entre las placas y observó que el condensador con dieléctrico almacena mayor carga. La capacidad de un condensador de placas paralelas es
Ejemplo 158. ¿Cuál es la fuerza entre las placas de un condensador de placas paralelas, al separarlas una distancia dx en, el condensador 103
Electrostática
C=
Hugo Medina Guzmán
ε0 A d
y la carga con respectó a la diferencia de potencial es: Q = CV Con un material dieléctrico la carga es mayor, o sea, aumenta la capacidad. Manteniendo la carga constante, al poner el dieléctrico, siendo las características de la capacidad las dimensiones, la diferencia de potencial disminuirá. Como V = Ed, el Campo eléctrico entre las placas disminuye, esto se explica porque las cargas del dieléctrico en presencia del campo eléctrico se orientan como se muestra en la figura siguiente, a este efecto decimos que el dieléctrico está polarizado.
El átomo se polariza, y esta configuración equivale en primera aproximación a un dipolo eléctrico.. Es razonable considerar que si el campo no es demasiado grande al momento sobre el dipolo será proporcional a la intensidad de este campo. →
Si consideramos que p sea el momento dipolar de cada átomo y que tenemos N átomos por unidad de volumen, el momento dipolar por →
unidad de volumen será N p , al que llamaremos →
Vector polarización P . →
→
P=N p →
P = momento dipolar por unidad de volumen, que tiene el mismo valor en todos los puntos del dieléctrico. →
→
Como p = q δ , siendo δ el desplazamiento promedio de las cargas positivas y negativas en
El dieléctrico polarizado a pesar de ser eléctricamente neutro en promedio produce un Campo eléctrico tanto exterior como interiormente, como resultado de esto aparece un campo eléctrico opuesto al original, disminuyéndolo.
→
el sentido de p , podemos escribir →
→
P = Nq δ
Consideremos un cuerpo tetraedral polarizado, tal como se muestra en la figura siguiente
POLARIZACIÓN. CARGAS DE POLARIZACIÓN. La figura a continuación nos muestra un átomo en un dieléctrico en ausencia de campo eléctrico, la carga positiva en el centro y la carga negativa distribuida uniformemente. En la superficie aparecen sólo cargas negativas. Sea A la superficie total del tetraedro y el volumen inmediato es A δ (recordar que δ es la longitud del dipolo). Pero en presencia de un campo eléctrico se produce una distorsión como se muestra en la figura siguiente.
104
Electrostática
Hugo Medina Guzmán →
→
El momento dipolo de este volumen es (Sδ ) P ,
ρ P = −∇ ⋅ P
→
esto lo podemos escribir corno SP δ . Si es la carga q la que debe desplazarse una distancia δ de - q para producir el momento dipolo tenernos →
Ejemplo 159. Una varilla delgada dieléctrica de sección transversal A se extiende a lo largo del eje x desde x = 0 a x = L la polarización es
→
(
→
SP δ = q δ , de donde obtenemos : q = SP . q Y =σP = P S q Llamando a = σ P densidad de carga S
)
longitudinal y está dada por P = ax + b iˆ . Encontrar la densidad de Carga de polarización y mostrar explícitamente que la carga total es cero. Solución. 2
superficial debido a la polarización. →
En general σ P = P⋅ nˆ , donde nˆ es la dirección normal a la superficie y q la carga total en la superficie. →
q = ∫ σ P dS = ∫ P ⋅ nˆdS A
Primero encontremos la densidad superficial
A
Ahora observamos lo que sucede en el interior del volumen, le figure muestra el volumen inmediato interior a la superficie.
→
σ P = P⋅ nˆ →
Para la cara en x = 0, nˆ = −iˆ y P = biˆ :
σ P ( x = 0 ) = biˆ ⋅ (− iˆ ) = −b
→
(
)
Para la cara en x = L, nˆ = iˆ y P = aL + b iˆ :
σ P ( x = L ) = (aL + b )iˆ ⋅ iˆ = aL + b 2
2
2
→
Para la superficie cilíndrica lateral, como nˆ ⊥ P
σPS = 0
Por el principio de conservación de la carga, la carga dejada en este volumen V debe ser igual a - q, Donde − q = ρ P dV
La densidad volumétrica
∫
⎛ ∂ ∂ ˆ ∂ ˆ⎞ ρ P = ∇ ⋅ P = ⎜⎜ iˆ + j + k ⎟⎟ ⋅ (ax 2 + b )iˆ dy dz ⎠ ⎝ dx →
V
Siendo ρ P la densidad de carga por volumen debido a la polarización.
=
→
Para evaluar ρ P en función de P
− q = − ∫ P ⋅ nˆdS = ∫ ρ P dV
(
Usando el teorema de la divergencia convertimos la integral de superficie en integral de volumen.
→
L
0
2ax( Adx)
LA LEY DE GAUSS PARA DIELÉCTRICOS - DESPLAZAMIENTO ELÉCTRICO Supongamos una región en que tenemos una carga q en un medio dieléctrico, este medio se polariza y aparecen cargas por polarización, aplicando la ley de Gauss.
→
operador ∇ opera vectorialmente sobre P . Luego V
) ∫
Valor que esperábamos encontrar.
V
Donde ∇ ⋅ P .es la divergencia de P , el
∫
2
QT = −bA + aL2 A + bA + aAL2 = 0
− ∫ P ⋅ nˆ dS = ∫ ∇ ⋅ PdV →
V
= − bA + aL + b A +
→
A
)
QT = σ P ( x =0 ) A + σ P ( x = L ) A + ∫ ρ P dV
V
→
(
La Carga total es:
→
A
∂ ax 2 + b = 2 ax dx
→
ρ P dV = ∫ ∇ ⋅ PdV V
De este último obtenemos finalmente 105
Electrostática
Hugo Medina Guzmán →
→
→
→
D = ε 0 E + χ E = (ε 0 + χ ) E Llamando a
(ε 0 + χ ) = ε , Permitividad del →
→
∫ E ⋅ nˆdS = S
1
(q + QP )
ε0
K=
Donde QP es la carga de polarización. →
ε ε0
QP = − ∫ ρ P dV = − ∫ ∇ ⋅ PdV
Para el vacío K =1
Convirtiendo la integral de volumen a integral de superficie por el teorema de la divergencia.
CONSTANTE DIELÉCTRICA DE ALGUNOS MATERIALES MATERIAL K Vidrio 5 - 10 Mica 6,0 Nylon 3,5 Madera 2,5 - 3,0 Caucho 2 – 3,5 Agua destilada (20 ºC) 60 Aire (1 atm) 1,00059
V
V
→
→
∫ ∇ ⋅ PdV = ∫ P ⋅ nˆdS V
S
∫
→
Obtenemos: QP = P ⋅ nˆ dS S
De aquí: → 1 ⎛ ⎞ ⎜ q + ∫SP ⋅ nˆ dS ⎟ ⎠ 0 ⎝
→
∫ E ⋅ nˆdS = ε S
→
∫
∫
→
⇒ ε 0 E ⋅ nˆ dS = q + P ⋅ nˆ dS S
Y ε0
S
Ejemplo 152. Cuál es la capacidad de un condensador de placas paralelas de área A y separación d, cuando se le introduce un dieléctrico de constante K que llena completamente el espacio entre placas. Solución. El Campo eléctrico entre las placas es:
S
⎛
∫ ⎜⎝ ε
⎞ E + P ⎟ ⋅ nˆdS = q ⎠ →
0
→
Definamos el Campo vectorial Desplazamiento
⎛→⎞ ⎝ ⎠
eléctrico ⎜ D ⎟ →
→
→
σ ε
D = ε 0 E+ P
E=
Y tenemos la ley de Gauss para dieléctricos
Q y ε = Kε 0 A Q ∴ E= Kε 0 A Donde σ =
→
∫ D ⋅ nˆdS = q S
LA CONSTANTE DIELÉCTRICA Vimos que la polarización del medio ocurre como una respuesta al campo eléctrico en el
La diferencia de potencial entre las placas →
Q
d Kε 0 A Q ε A La Capacidad es C = = K 0 V d
medio, pera el caso en que P desaparece cuando →
se quita E y para materiales isotrópicos en los →
→
V = ∫E ⋅d l =
→
→
La capacidad de1 condensador, con dieléctrico es K veces a la capacidad sin dieléctrico.
cuales se orienta según E , P es proporcional a , pare Campos no muy intensos →
→
material obtenemos una relación entre D y E . El comportamiento de un material queda completamente especificado ya sea por la permitividad ε o por la susceptibilidad χ . Sin embargo es más conveniente trabajar con una cantidad sin dimensiones, La constante dieléctrica K.
→
P=χE
Si al dieléctrico cubriera parte del espesor del espacio que separa a las placas, digamos un espesor t, como se muestra en la figura.
Donde χ es llamada Susceptibilidad eléctrica, →
→
→
como D = ε 0 E + P : 106
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Pero D1 = ε 1 E = K1ε 0 E y
D2 = ε 2 E = K 2ε 0 E Luego: K 1ε 0 E 2π r 2 + K 2 ε 0 E 2π r 2 = q
E 2πε 0 r 2 (K 1 + K 2 ) = q q y E= 2πε 0 (K 1 + K 2 )r 2
En este caso tenemos el campo eléctrico en parte vacío y en parte con dieléctrico. En el vacío:
Evacío =
Q σ = ε0 ε0 A
→
Vectorialmente: E =
En el dieléctrico:
E dieléctric o =
σ Q = ε K εA
→
V = ∫ E ⋅ d l = E vac (d − t ) + E dilec t =
Q ⎡ (d − t ) + t ⎤⎥ ⎢ ε0A ⎣ K⎦
y la Capacidad
C=
ε0 A
(d − t ) +
2πε 0 (K 1 + K 2 )r 2
rˆ
Ejemplo 161. Se tiene un condensador de placas paralelas cargado con carga Q y aislado de manera que la carga en las placas se conserva. Calcular la energía en el condensador antes y después de insertar un dieléctrico, llenando todo el espacio entre las placas. En base a lo calculado, ¿se realizó algún trabajo para insertar el dieléctrico? ¿Quien lo realizó? Solución.
La diferencia de potencial entre las placas →
q
t K
Ejemplo 160. Evaluar el Campo eléctrico debido a una Carga puntual q dentro del dieléctrico de constante K. Solución. Aplicamos la ley de Gauss para una superficie esférica de radio r, Colocando a la carga q en el origen.
Ui =
1 Q2 2 C
Uf =
1 Q2 2 KC
→
∫ D ⋅ nˆdS = q S
D4π r 2 = q ⇒ D = El Campo eléctrico es →
D
→ q q y D = rˆ 2 4π r 2 4π r
→
ΔU = U f − U i =
D q E= = rˆ = ε Kε 0 4πKε 0 r 2 →
1 Q2 2 C
⎞ ⎛1 ⎜ −1⎟ ⎠ ⎝K
Si se realiza un trabajo, ese trabajo lo realiza el ente que ejerce la fuerza para introducir el dieléctrico.
En el caso en que la carga q esté entre dos medios distintos de constantes K1 y K2
Ejemplo 162. Cuál es la fuerza F necesaria para introducir un dieléctrico de constante k entre les placas de un condensador de placas paralelas, las placas se mantienen a una diferencia de potencial constante V. Siendo las dimensiones del condensador, área La, separación d. Solución.
Aplicamos la ley de Gauss para una superficie esférica de radio y. →
2 2 ∫ D ⋅ nˆdS = q ⇒ D1 2π r + D2 2π r = q S
107
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
La figura muestra el dieléctrico parcialmente insertado, la energía potencial acumulada en esta posición es igual a la energía de la parte con dieléctrico (x) más la energía de la parte sin dieléctrico (L – x).
V '=
Q Q = C ' KC
(2)
Dividiendo (1) : (2)
Q V = C =K Q V' KC
ε a (L − x ) 1 Kε 0 a(x ) (ΔV )2 + 1 0 (ΔV )2 U= 2 2 d d ∂U La fuerza es F = Fx = ∂x
Luego
De aquí
( ) ∂ ⎡ 1 Kε 0 a( x ) (ΔV )2 + 1 ε 0 a L − x (ΔV )2 ⎤⎥ = F= ⎢ d 2 d ∂x ⎣ 2 ⎦
K=
V 45,0 = 3,91 = V ' 15,5
b) La carga Q permanece constante
1 Kε 0 a (ΔV )2 − 1 ε 0 a (ΔV )2 2 d 2 d 1 ε 0a (K − 1)(ΔV )2 Finalmente F = 2 d
Q=
Ejemplo 163. Un condensador de placas paralelas que tiene sólo aire entre las placas se carga conectándolo a una batería. El condensador se desconecta luego de la batería, sin que las placas pierdan nada de carga. a) Un voltímetro muestra una lectura de 45,0V cuando se coloca entre los bornes del condensador. Cuando se inserta entre las placas un dieléctrico que ocupa todo el espacio, la lectura del voltímetro es de 11,5 V ¿Cuál es la constante dieléctrica de este material? b) ¿Cuál será la lectura del voltímetro si ahora se retira parcialmente el dieléctrico de modo que ocupe sólo un tercio del espacio entre las placas? Solución. a) Q es constante. Sin el dieléctrico
ε0 A d
El condensador con las dos terceras partes del dieléctrico fuera es equivalente al gráfico siguiente
La capacidad de la parte sin dieléctrico C’
C'=
2ε 0 A , su carga Q’ = C’V’ 3d
La capacidad de la parte con dieléctrico C’’
C ''=
Kε 0 A , su carga Q’’ = C’’V’’ 3d
Como están en paralelo Siendo Q’ + Q’’ = Q
Kε A 2ε 0 A ε A V '+ 0 V ' = 0 V 3d 3d d
Simplificando
V =
Q C
(2 + K )V ' = V
(1)
3
V '=
Con el dieléctrico
3 3 (45,0 ) V = (2 + K ) (2 + 3.91)
= 22,84 V
108
⇒
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Ejemplo 164. Dos placas conductoras cuadradas con lados de longitud ¿están separadas por una distancia d. Se inserta una placa dieléctrica con constante K y dimensiones L x L x d una distancia x en el espacio entre las placas, como se muestra en la figura siguiente. Solución.
ε0 (L − x )L + Kε0 xL d d ε0 = L[L + (K − 1)x ] d
a) C x =
b) La diferencia de potencial V se mantiene constante.
a) Halle la capacidad Cx de este sistema. b) Suponga que el condensador está conectado a una batería que mantiene una diferencia de potencial constante V entre las placas. Si se inserta la placa dieléctrica a una distancia adicional Δx en el espacio entre las placas, demuestre que el cambio de energía almacenada es
ΔU =
Al inicio la energía es
Ux =
1 ε0 LV 2 ( K − 1)Δx 2 d
1 C xV 2 2
Al desplazar la placa la distancia Δx
c) Suponga que, antes de desplazar la placa la distancia Δx, se desconectan las placas de la batería para que las cargas de las placas permanezcan constantes. Determine la magnitud de la carga de cada placa, y luego demuestre que, cuando la placa se introduce una distancia adicional Δx en el espacio entre las placas, la energía almacenada cambia en una cantidad que es el negativo de la expresión de ΔU dada en el inciso (b). d) Si F es la fuerza que las cargas de las placas ejercen sobre la placa, entonces ΔU debe ser igual al trabajo realizado contra esta fuerza para desplazar la placa una distancia Δx. De este modo, ΔU = F Δx. Demuestre que la aplicación de esta expresión al resultado del inciso (b) sugiere que la fuerza eléctrica sobre la placa empuja a ésta hacia afuera del condensador, en tanto que el resultado del inciso (c) sugiere que la fuerza jala de la placa hacia adentro del condensador. e) La figura a continuación muestra que, de hecho, la fuerza jala de la placa hacia adentro del condensador. Explique por qué el resultado del inciso (b) indica incorrectamente la dirección de la fuerza y calcule la magnitud de ésta. (Este método no demanda conocer la naturaleza del pestañeo del campo).
1 C x + ΔxV 2 , con 2 ε = 0 L[L + (K − 1)(x + Δx )] d
U x + Δx = C x + Δx Luego
1 (C x − C x + Δx )V 2 2 εL Siendo C x − C x + Δx = 0 (K − 1)Δx d U x − U x + Δx =
Tenemos
ΔU =
1 ε0 LV 2 ( K − 1)Δx 2 d
Podemos llegar al mismo resultado Por derivación de Ux.
1 C xV 2 2 1 ⎡ε Kε ⎤ = ⎢ 0 (L − x )L + 0 xL⎥V 2 2⎣d d ⎦ 1 ε0 = L[(L − x ) + Kx ]V 2 2d 1 ε0 dU x = LV 2 d [(L − x ) + Kx ] 2d 1 ε0 = LV 2 (K − 1)dx 2d
Ux =
c) La carga Q se mantiene constante sobre las placas 109
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Cx + Δx Cx Entonces
Q=
ε0 LV [L + ( K − 1) x ] d
ε0 L[L + (K − 1)( x + Δx )] d = ε0 L[L + (K − 1)x ] d (K − 1)Δx =1+ [L + (K − 1)x ]
Luego
⎧ (K − 1)Δx ⎫ ⇒ U x + Δx = U x ⎨1 + ⎬ ⎩ [L + (K − 1)x ]⎭ (K − 1)Δx ⇒ 1 U x + Δx = U x + C xV 2 [L + (K − 1)x ] 2 1 ε0 U x − U x + Δx = − LV 2 (K − 1)Δx ⇒ 2 d 1 ε0 ΔU = − LV 2 (K − 1)Δx 2 d
Energía en posición x
1 Q2 Ux = 2 Cx Energía en posición x + Δx
1 Q2 1 Q2 1 Q 2 C x + Δx = = Cx 2 Cx Cx 2 C x + Δx 2 C x + Δx × Cx C = U x x + Δx Cx
U x + Δx =
d) Como
Reemplazando
dU = − Fdx =
ε C x = 0 L[L + (K − 1)x ] y d ε C x + Δx = 0 L[L + (K − 1)( x + Δx )] d
(K − 1)ε 0V 2 L 2D
dx
La fuerza esta en la dirección opuesta al movimiento dx, significando que la placa dieléctrica sienta una fuerza que lo empuja hacia afuera.
Obtenemos
PREGUNTAS Y PROBLEMAS 1. Considere dos esferas iguales cargadas con 1C separadas en una distancia r. (a) Calcule la masa que debieran tener las esferas para que se encuentren en equilibrio estático considerando la fuerza gravitacional y la electrostática. (b) Considerando que la densidad de masa de las partículas es de 5,5g/ cm3 (aproximadamente la densidad del hierro), ¿Cuál es la distancia mínima a la cual se pueden poner dichas esferas? Indicación: Aproxime la fuerza entre las esferas como cargas puntuales. La constante de gravitación universal es G = 6,67 x 10−11Nm2/ kg2 y la constante en la Ley de Coulomb es k =9 x 109Nm2/C2. Respuesta m = 1, 16 · 1010 kg; r = 159, 18m (entre centros)
magnitud de la fuerza eléctrica que experimenta cada una de ellas.
Respuesta.
F=
Q2 cos 30° 2πε 0 a 2 1
3. Dos pequeñas esferas de masa m están suspendidas de un punto común mediante cuerdas de longitud L. Cuando cada una de las esferas tiene carga q, las cuerdas forman un ángulo con la vertical como indica la figura. Demuestre que la carga q viene dada por
2. Tres cargas puntuales iguales a Q se encuentran ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado a. Determine la 110
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
7. Cuatro cargas puntuales q, 2 q, - 4 q y 2 q están fijas en los vértices de un cuadrado de lado b. En el centro del cuadrado se coloca una quinta carga q. (a) Indique en que dirección apunta la fuerza que actúa sobre la carga central q. (b) Calcule explícitamente la fuerza (magnitud y dirección). Respuesta Eligiendo el eje x como la diagonal que va desde - 4q a 2q y el eje y como la diagonal que va desde la otra carga 2q a la carga q, las
q = 2L sen θ mg tan θ/k ,donde k es la constante de Coulomb. Determine q si m = 10g, L = 50cm y θ = 10°.
Respuesta 2,4061 x 10−7 C
componentes de la fuerza son: Fx =
4. Dos globos iguales llenos de Helio, están cargados con carga igual Q. Mediante dos hilos de longitud 1m amarrados a los globos se suspende una masa de 0, 005 kg quedando el sistema flotando en equilibrio con los hilos formando un ángulo de 60° entre sí. Determine el valor de la carga Q.
Fy =
3q 2 , πε 0b 2
q2 2πε 0b 2
8. Dos cargas Q1 y Q2 están a una distancia d: (a) Determine el punto en la línea que une las cargas donde el campo eléctrico es cero. (b) Si se trae desde el infinito una tercera carga situándolo donde el campo eléctrico es cero, ¿La energía gastada en el proceso es también cero?. Calcúlela. 9. Ocho cargas puntuales de magnitud q se encuentran en los vértices de un cubo de arista a.
Respuesta 1, 2537 x 10−6 C 5. Dos cargas iguales a Q y 5Q están en línea recta separadas una distancia a. Determine los puntos en la línea que une las cargas donde el campo eléctrico es cero. 6. Se tienen tres cargas como se indica en la figura. a) Determine la fuerza eléctrica que actúa sobre la carga en el origen, producida por las otras y b) la magnitud de la fuerza sobre cualquier carga. Respuesta
(
kq 2 ⎛ 1 1 ⎞ˆ ˆ ˆ a) F = − 2 ⎜1 + + ⎟i + j+k a ⎝ 2 3 3⎠ →
)
1 1 ⎞ kq 2 ⎛ + b) F = 2 3 ⎜1 + ⎟ a 2 3 3⎠ ⎝ a) Calcular el campo eléctrico en el origen del sistema coordenado. b) Determinar la fuerza que se ejerce sobre la carga en el eje x.
10. En el problema anterior, calcule la energía que se requiere para formar la mencionada distribución de cargas
111
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
E=0
11. Dos cargas puntuales están colocadas sobre el eje x. Q1 = q en x = a y Q2 = −4q en x = - a . Encuentre una expresión vectorial en coordenadas cartesianas para la fuerza que actúa sobre una carga de prueba Q, ubicada en un punto cualquiera del plano XY. Encuentre las coordenadas (x, y) de todos los puntos en los cuales la carga de prueba esta en equilibrio. Discuta si el equilibrio es estable o inestable. Respuesta
15. Dos barras aisladoras delgadas se disponen como se indica en la figura, una con densidad de carga ρ0 y la otra con ρ = 2ρ0.
a) Calcular el campo eléctrico en el origen. b) Determinar la fuerza que se ejercen las barras sobre una carga q dispuesta sobre el eje x. c) Encuentre el o los puntos en los cuales la fuerza sobre q es nula.
(x + a )iˆ + yˆj ⎫⎪ , qQ ⎧⎪ (x − a )iˆ + yˆj F= +4 ⎨ 32 32⎬ 2 2 4πε 0 ⎪⎩ (x − a ) + y (x + a )2 + y 2 ⎪⎭ →
[
]
[
]
el punto (3a, 0) es un punto de equilibrio inestable.
16. En la figura la semicircunferencia yace en el plano yz mientras la carga Q es una carga puntual contenida en el eje z a la distancia a del origen. Tanto Q como λ son positivos.
12. Deduzca una expresión para el campo eléctrico producido por un trozo recto de hilo de longitud L con carga Q distribuida uniformemente en su longitud, en un punto de coordenadas (x; y), estando el origen en el extremo izquierdo del hilo y el eje y perpendicular al hilo.
13. De una barra fina vertical que tiene densidad lineal uniforme de carga λ = 10- 4 C/m, se suspende una carga puntual de magnitud Q = 105 C de masa m = 0,1g, amarrándola con un hilo de longitud L = 1m a un punto de la barra. Determine la tensión en el hilo y el ángulo que forma con la vertical en la posición de equilibrio.
a) Encontrar una expresión para el campo eléctrico sobre el eje x debido a ambas cargas. b) ¿Qué relación debe existir entre Q y la carga total de la semicircunferencia para que el campo eléctrico en el origen sea nulo? 17. Un anillo metálico de radio a tiene una carga total Q distribuida uniformemente en su perímetro. Una carga puntual q se trae desde el infinito y se coloca en un punto a distancia d sobre el eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por su centro. Determine el trabajo realizado por el campo eléctrico. 18. Un anillo aislador de radio a tiene una carga total Q distribuida uniformemente en su perímetro. a) Una carga puntual q se trae desde el infinito y se coloca en un punto a distancia d sobre el eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por su centro. Determine el trabajo realizado por el campo eléctrico. b) Si la carga puntual hubiese estado fija y el anillo se trae desde infinito a la posición descrita antes, ¿Cuál sería su respuesta?.
14. Una barra fina infinita, con densidad lineal de carga λ, se dobla en forma de horquilla como se muestra en la figura. Determine el campo eléctrico en el punto O.
Respuesta 112
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
19. Dos partículas, cada una con masa m y carga q, están suspendidas por cuerdas de longitud l desde un punto común. ¿Cuál es el ángulo θ que forman las cuerdas entre sí? 20. En los vértices de un cuadrado de 10 cm. de lado se colocan cargas l x l0-9 coulombios. ¿Cuál es la fuerza sobre cada carga? 21. Comparar la fuerza gravitacional y la fuerza eléctrica entre dos electrones colocados muy cerca. (e = l,6 x l0-19 C, m = 9,1 x 10-31 kg)
Respuesta →
a) F3 =
q3 ⎧⎪⎡ q1a ⎨⎢ 2 4πε 0 ⎪⎩⎣⎢ a + b 2
(
⎤ iˆ + 32⎥ ⎦⎥
)
⎡ qb ⎢ 2 1 2 ⎢⎣ a + b
22. Se tienen tres cargas iguales a q en los vértices de un triángulo equilátero, ¿qué carga y en qué posición debe colocarse para que el sistema esté en equilibrio?
(
)
32
+
q2 ⎤ ⎫⎪ ⎥ ˆj ⎬ b 2 ⎥⎦ ⎪⎭
→
b) F3 = 9(3iˆ − ˆj )10 3 N
23. Se tiene una semicircunferencia de radio R con una distribución de carga lineal λ = λ0 cosθ . Calcular la carga total.
27. El sistema de la figura se encuentra en reposo. Las dos partículas tienen la misma carga q1 = q2 = q y se encuentran a la misma altura. La carga q1 tiene masa m y cuelga de un hilo tenso que forma un ángulo θ con la vertical. La carga q2 se mantiene fija en su lugar por medio de un soporte unido a una masa. Halle la longitud L del hilo.
24. Un cilindro recto de radio R y altura L orientado a lo largo del eje z, tiene una carga no uniforme ρ ( z ) = ρ 0 + Az con referencia a un origen en el centro del cilindro. ¿Cuál es la fuerza sobre una carga q localizada en el centro del cilindro? 25. Un disco circular de radio R tiene una carga total Q uniformemente distribuida en su superficie. Calcule el campo eléctrico en un punto sobre el eje del disco a una distancia z del plano de dicho disco. Respuesta
σ ⎛⎜ z − E= 2ε 0 ⎜⎝ z →
Respuesta
L=
q 2 cosθ 4πε 0 sen 3θ
28. La figura muestra un sistema de tres partículas cargadas en un plano xy horizontal. Las partículas 1 y 2 se mantienen fijas y la 3, de masa m, se está moviendo a lo largo del eje x bajo la influencia de las fuerzas eléctricas que le aplican las otras dos. Llame x(t) a la posición de q3 respecto al origen. a. Halle la fuerza neta sobre q3 y su ecuación de movimiento. b. ¿Es el punto x = 0 un punto de equilibrio? ¿Por qué? c. Halle el período del movimiento de q3 si inicialmente se suelta desde el reposo en un
⎞ z ⎟ zˆ 2 2 ⎟ R +z ⎠
26. La figura muestra tres cargas que se mantienen fijas en el plano xy. a) Halle, en cartesianas, la fuerza eléctrica neta sobre q3 debida a las otras dos cargas. b) Evalúe el resultado anterior para el caso q1 = 25 mC, q2 = - 16 mC, q3 = 5mC, a = 3 m y b = 4 m.
punto x(0 ) << a . 113
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
Respuesta En el caso B > que en el caso C > que en el caso A
Respuesta
q 2 xiˆ
→
a) F3 = −
q2 x
••
x+
(
2πε 0 a + x 2
2πε 0 m(a 2 + x 2 )
32
)
2 32
31. En el sistema de la figura las tres partículas poseen la misma carga, q1 = q2 = q3 = q. Las partículas 1 y 2 se mantienen fijas y la 3, de masa m, se está moviendo a lo largo del eje x bajo la influencia de las fuerzas eléctricas que le aplican las otras dos. Llamaremos x(t) a la posición de q3 respecto al origen O. a. Halle la fuerza neta sobre q3 y su ecuación de movimiento. b. ¿Es el punto x = 0 un punto de equilibrio? ¿Por qué?
,
=0
b) Es un punto de equilibrio porque →
F3 (x )
x =0
=0
2πε 0 ma 3 c) T = 2π q2
c. Suponga que x(t ) << L y halle el período de las pequeñas oscilaciones de la partícula 3 en torno al origen.
29. Una carga puntual de 5 μC se coloca en el origen, otra carga puntual de 8 μC se coloca a 3 m del origen sobre el eje x, y una tercera carga de 12 μC se coloca a 3 m del origen sobre el eje
Respuesta
Nm 2 ≈ 9 × 10 y. Aproxime y halle la 4πε 0 C2 1
q2 ⎡ 1 1 ⎤ iˆ , − ⎢ 2 2πε 0 ⎣ (L + x ) (L − x )2 ⎥⎦ •• 1 ⎤ q2 ⎡ 1 − x+ ⎢ ⎥ = 0, 2πε 0 m ⎣ (L + x )2 (L − x )2 ⎦
9
→
a) F3 = −
magnitud de la fuerza sobre la carga en el origen. Respuesta
⎛ 1 ⎞ ⎟(q q + q1q3 ) = 104 N F = ⎜⎜ 2 ⎟ 1 2 ⎝ 4πε 0 r ⎠
b) Es un punto de equilibrio porque →
F3 (x )
30. Un electrón y dos protones se colocan en los tres diferentes arreglos mostrados en la figura. Llamemos F al módulo de la fuerza eléctrica total que los protones ejercen sobre el electrón. Compare F en los tres casos y ordene de mayor a menor.
x =0
= 0.
c) T = 2π
πε 0 mL3 q2
32. Dos pequeños cuerpos con cargas q1 y q2 del mismo signo están en reposo suspendidos mediante hilos de longitud L. Los hilos, como se muestra en la figura, forman un ángulo θ con la vertical y sus puntos de sujeción al techo están separados una distancia d. a. Dibuje el diagrama de fuerzas de cada cuerpo. b. Escriba en componentes (vertical y horizontal) la segunda ley de Newton para cada carga. 114
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
c. Determine las masas de los dos pequeños cuerpos.
b) v =
qQ R 2
(
2πε 0 M R 2 + a 2 2 c) R = 2
)
32
34. Un haz constituido por neutrones, electrones y protones, todos con igual velocidad, penetra en un campo vertical uniforme y se divide en otros tres haces A. B y C como indica la figura. Desprecie el efecto de la gravedad e indique a cuál tipo de partículas corresponde cada haz. Indique también qué se puede decir acerca del sentido del vector campo eléctrico.
Respuesta b) T1 cos θ = mg ,
q1 q 2
T1senθ =
4πε 0 (d + aLsenθ ) para q2 se cambia T1 → T2 y m1 → m2. q1 q 2 c) m1 = m2 = 2 4πε 0 tan θ (d + aLsenθ ) 2
33. Dos partículas, fijas y de carga q cada una se encuentran separadas una distancia 2a. Una tercera partícula de masa M y carga Q está sometida solamente a la fuerza electrostática de las partículas fijas, ella gira en una órbita circular de radio R; la órbita es perpendicular a la línea que une las dos partículas fijas y tiene su centro en el punto medio entre ellas. Ver figura. a. Calcule la fuerza electrostática sobre Q. Indique qué signo debe tener Q. b. Halle la rapidez de Q. c. Determine para qué valor de R es máximo el módulo de la fuerza sobre Q.
Respuesta Los neutrones forman el haz B los electrones el haz C y los protones el haz C. El sentido del campo eléctrico es hacia arriba 35. En los vértices de un cuadrado de lado 2L se fijan 4 partículas cuyas cargas se señalan en el dibujo. a) Calcule el campo eléctrico del sistema en un punto z sobre el eje perpendicular al cuadrado y que pasa por su centro. Ayuda: Calcule por separado la contribución de cada par de cargas conectadas por una diagonal.
Respuesta Tomaremos el vector unitario rˆ como aquél que apunta del centro O de la circunferencia hacia Q. →
a) F =
(
qQR
2πε 0 R 2 + a 2
)
32
b) En el punto z se coloca una partícula de masa m y carga 2q, inicialmente en reposo. Suponga que la gravedad no es relevante en este problema. b1) Halle la ecuación de movimiento de la partícula de masa m. b2) Suponga que z < L y calcule el período de las pequeñas oscilaciones que describe la partícula.
rˆ , Signo(Q) = -
Signo(q).
115
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
b2) Reescriba el resultado de b1 de forma tal que no aparezca Q y aparezca λ (la densidad longitudinal de carga del hilo).
Respuesta Tomaremos el vector unitario kˆ paralelo al eje z y apuntando hacia arriba.
qz
→
a) E = −
kˆ .
32
.
2q 2 z
••
b 1) z +
32
πε 0 (z 2 + 2 L2 )
πε 0 m(z 2 + 2 L2 )
b2) T = 2π
π 2ε 0 mL3 q2
36. La figura muestra una barra delgada de longitud L y carga Q uniformemente distribuida. El punto P está en la misma línea de la barra y a una distancia h del extremo de la misma. a) Halle el campo eléctrico producido por la barra en el punto P y la fuerza eléctrica que le aplicaría a una carga puntual q que se colocara allí.
c) Para hallar el campo eléctrico producido por un hilo recto de longitud infinita tomemos el límite L → ∞ en b1 y en b2. Explique por qué son distintos los dos límites. ¿Cuál se debe tomar? Respuesta a)
⎡⎛ L1 ⎢⎜ + 2 4πε 0 lL ⎢⎜ L1 + l 2 ⎣⎝ Q
→
E=
⎞ ⎟iˆ 2 2 ⎟ L2 + l ⎠ L2
⎛ ⎞ ⎤ l l ⎟kˆ ⎥ +⎜ − 2 2 ⎟ ⎜ L2 + l 2 L2 + l ⎠ ⎥⎦ ⎝ 1 → ⎞ Q ⎡⎛ 1 ⎟iˆ b1) E1 = ⎢⎜⎜ 2 2 4πε 0 l ⎣⎢⎝ L + l ⎟⎠
b) La figura muestra dos barras delgadas, colineales, separadas una distancia D y de longitudes L1 y L2. Sus cargas Q1 y Q2 están uniformemente distribuidas. Aproveche el resultado de la parte a) y halle la fuerza eléctrica entre las dos barras.
→
b 2) E 2 =
L λ ⎡⎛ ⎢⎜⎜ 2 2πε 0 l ⎣⎢⎝ L + 4l 2
⎞ ⎟iˆ ⎟ ⎠
→
c) lim E1 = 0 (corresponde a una carga Q finita L →∞
diluida en un hilo infinito) →
lim E2 =
Respuesta
1 ⎞ ⎛1 ⎟iˆ , ⎜ − 4πε 0 L ⎝ h h + L ⎠ → qQ ⎛ 1 1 ⎞ F= ⎟ iˆ ⎜ − 4πε 0 L ⎝ h h + L ⎠ →
a) E =
Q
L→∞
infinito con densidad de carga finita) 38. Un hilo circular de radio R y carga Q uniformemente distribuida está en el plano xy y su centro coincide con el origen. a. Halle el campo eléctrico que produce en el punto de coordenadas cartesianas (0, 0, z). b. Estudie el comportamiento del campo encontrado en la parte a cuando z > R. Respuesta
b) [Fuerza sobre Q2] = →
F 12 =
λ ˆ i (Corresponde a un hilo 2πε 0 l
⎡ (D + L1 )(D + L2 ) ⎤ Q1Q2 ln ⎢ ⎥ iˆ 4πε 0 L1 L2 ⎣ D(D + L1 + L2 ) ⎦
37. El hilo recto de la figura tiene longitud L = L1 +L2 y carga Q uniformemente distribuida. a) Halle el campo eléctrico que produce el hilo en el punto P. b1) Halle el valor del campo eléctrico para puntos tales que L1 = L2 = L/2.
→
a) E =
116
(
Qz
4πε 0 R 2 + z 2
)
32
kˆ
Electrostática
Q
→
b) E ≈
4πε 0 z 2
Hugo Medina Guzmán
kˆ (desde lejos se ve como urna
carga puntual). 39. La figura muestra un hilo cargado abc con densidad longitudinal de carga λ . El tramo bc es un cuarto de una circunferencia de radio R y centro en O. El tramo ab es recto, de longitud L = 4R/3 y perpendicular a la línea Ob.
a) Calcular la fuerza que la carga q = − Q/2, ejerce sobre cada uno de los planos. b) Determinar el lugar donde pondría una segunda carga q = − Q/2 de modo que la fuerza neta sobre ella sea nula. 42. Determine la fuerza entre un disco de radio R cargado con densidad uniforme de carga σ y una varilla de largo L y densidad lineal λ colocada en el eje del disco, a una distancia b del mismo. Respuesta
a) Calcule el campo eléctrico que producen en el punto O cada uno de los dos tramos ab y bc. b) Halle el campo eléctrico neto que produce todo el hilo en el punto O. Respuesta a)
→
→ λ (iˆ + 2 ˆj ) , E bc = λ (− iˆ + ˆj ) E ab 10πε 0 R 4πε 0 R → 3λ (− iˆ + 3 ˆj ) b) E abc 20πε 0 R
F=
→
σλ 2ε 0
⎡ L + R 2 + b 2 − R 2 + (b + L )2 ⎤ kˆ ⎢⎣ ⎥⎦
43. Una esfera uniformemente cargada de radio R esta centrada en el origen con una carga Q. Determine la fuerza resultante que actúa sobre una línea uniformemente cargada, orientada radialmente y con una carga total q con sus extremos en r = R y r = R + d. Respuesta
40. La figura muestra un hilo cargado con densidad longitudinal de carga). El tramo be es la mitad de una circunferencia de radio R y centro en O. El tramo ab es recto, de longitud L = 2R y paralelo a la línea bO
→
F=
Qλ d rˆ 4πε 0 R(R + d )
44. Un cilindro circular recto de radio R y altura L esta orientado a lo largo del eje z y tiene una densidad de carga volumétrica no uniforme dada por ρ(r) = ρ0+βr, donde r se mide respecto del eje del cilindro. Calcule el campo eléctrico producido por esta distribución sobre el eje del cilindro. Respuesta
a) Calcule el campo eléctrico que producen en el punto O cada uno de los dos tramos ab y bc. b) Halle la magnitud del campo eléctrico neto que produce todo el hilo en el punto O y el ángulo que forma con la dirección. Respuesta
→
→ λ λ ˆj iˆ , E bc = 2πε 0 R 6πε 0 R λ b) E ab = , ángulo arc tg (3). 6πε 0 R →
E=0
a) E ab =
45. En la pregunta anterior suponga que la distribución de carga es ρ(z) = ρo +βz donde z se mide respecto de la base del cilindro. Calcule el campo eléctrico producido por esta distribución sobre el eje del cilindro.
41. Dos discos de radio R se ubican como se muestra en la figura y una carga q = −Q/2 es puesta en el punto P. El disco izquierdo tiene una carga Q (> 0) y el derecho − Q, ambas uniformemente distribuidas.
46. Una carga lineal de densidad λ con la forma de un cuadrado de lado L se encuentra en el plano yz con su centro en el origen. Determine el campo eléctrico sobre el eje x a una distancia 117
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
arbitraria x, y compare el resultado con el del campo que existe en el eje de una anillo cargado de radio r = L/2, con un centro en el origen y con la misma carga total. Respuesta →
E cuadrado ( x ) =
x 1 λL iˆ , 2 2 2 πε 0 (x + L 4) x + L2 2
a) en el centro de la burbuja, b) sobre una línea que contenga los centros de la esfera y la burbuja, dentro y fuera de la esfera y c) sobre un eje perpendicular a la línea que une los centros de la esfera y la burbuja, dentro y fuera de la esfera.
λL x iˆ E anillo ( x ) = 2 4ε 0 (x + L2 4)3 2 →
47. Una carga puntual q está situada en el centro de un cubo cuya arista tiene una longitud d. →
⎛ → →⎞ ∫ ∫ E⋅ d S ⎟⎠ ⎝
a) ¿Cuál es el valor del flujo de E ⎜
53. La figura representa un volumen aislante de espesor d = 0,5m limitado por planos infinitos (perpendiculares al eje x) (en corte). La densidad de carga volumétrica es constante, ρ = 10 −6 C/m. a) Determine el campo eléctrico a ambos lados del dieléctrico. b) ¿porqué E = 0 en el centro del dieléctrico? c) Determine el campo eléctrico en el interior del dieléctrico como función de x.
en una cara del cubo?. b) La carga se traslada a un vértice del cubo. ¿Cuál es el valor del flujo de a través de cada una de las caras del cubo?. 48. Dos láminas planas, paralelas e infinitas, cargadas con una densidad σ1 = 4 µC y σ2 = 6 µC, distan 2 cm. Estudiar el campo eléctrico de este sistema. Supongamos que dichos planos en vez de estar paralelos se cortan perpendicularmente. Demostrar que la magnitud del campo es la misma en las cuatro regiones que ellos determinan en el espacio. 49. Calcule el campo eléctrico producido por una superficie circular de radio R con distribución de carga σ a lo largo del eje de simetría perpendicular al plano que la contiene y determine su valor en el límite R >> z. Compare su resultado con el valor que se obtiene utilizando la ley de Gauss en el caso de un plano infinito.
54. Una superficie gaussiana esférica (1) encierra y se centra en una carga puntual + q. Una segunda superficie gaussiana esférica (2) del mismo tamaño también encierra la carga pero no se centra en ella. ¿Cómo es comparado al flujo eléctrico a través de superficie 1, el flujo a través de la superficie 2?
50. Repita el cálculo anterior para el caso en que la superficie fuese un cuadrado de lado a y determine el valor límite cuando a >> z 51. Un cilindro macizo, muy largo, de radio a, tiene una carga distribuida con una densidad de carga ρ = − Ar , donde A es una constante positiva. Determine el valor del campo eléctrico en el interior y el exterior cercano al cilindro, en puntos lejanos de sus extremos. 52. La figura muestra una esfera aisladora de radio R con densidad de carga ρ = constante, la cual tiene una burbuja esférica vacía en su interior, de radio r, situada a la distancia a del centro. Calcule el campo eléctrico:
Respuesta iguales
118
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
55. Dos cargas del punto, + q y - q, se arregla según lo demostrado. ¿A través de qué superficie(s) cerrada el flujo eléctrico neto es igual a cero?
63. Calcular el flujo eléctrico producido por una lámina con carga superficial de densidad σ que atraviesa una superficie esférica de radio R en cada una de las posiciones mostradas en la figura.
Respuesta La superficie C y la superficie D 56. Se tiene una superficie cuadrada de lado a con carga σ C/m2. ¿Cuál es el valor del Campo eléctrico en puntos situados en el eje que pasa por el centro del cuadrado. 57. Se tienen dos alambres infinitos separados por una distancia 2d, con cargas iguales y opuestas λ y − λ , ¿cuál es la fuerza entre ellos?
64. Encontrar el Campo eléctrico de un cilindro infinito de radio R y con densidad de carga ρ coulombios/m3 para puntos r > R, r = E y r < E. 65. Se tiene una esfera de radio R y con densidad de ρ (r ) = c r . ¿A qué es igual el
58. Una esfera no conductora de masa m y cargada, cuelga por medio de un hilo de longitud l , se encuentra bajo la acción de un campo
campo eléctrico dentro de la esfera (r
→
eléctrico E . Calcular la carga da la esfera si el ángulo entre la vertical (perpendiculares al Campo) y el hilo es θ .
66. Una lámina infinita de espesor a contiene une densidad de carga uniforme ρ . Encontrar el campo eléctrico para todo punto.
59. Se tiene una recta infinita con densidad de carga lineal λ y una carga q situada a una distancia perpendicular d, ¿cuál es el campo eléctrico en un punto entre ellos sobre la distancia d?
67. Una nube de carga con simetría esférica origina un campo eléctrico dirigido radialmente hacia afuera desde el centro de la nube y es el siguiente
E (r ) =
60. Un casquete esférico definido por el ángulo sólido π y radio R, tiene una carga superficial de densidad σ . ¿Cuál es el valor del Campo eléctrico en el centro de curvatura del casquete?
A (1 − e −ar ) r2
Hallar la densidad de carga ρ (r ) en la nube. 68. Dos cáscaras esféricas concéntricas de radios a y b, aisladas una de la otra, la interior tiene una Carga Q y la exterior está conectada a tierra. ¿Cuál es el campo eléctrico entre ellas? ¿Qué pasa cuando la esfera exterior no está conectada a tierra?
61. Se tiene una Carga q en el centro de un cilindro de longitud 2 l y radio R, encontrar el flujo a través de cada una de las caras y el flujo total. →
62. Dado un campo eléctrico E = 2 xiˆ + yiˆ N/C. Calcular el flujo eléctrico que atraviesa cada una de las caras del cubo, de lado 1 m. y esté en el primer octante
69. Dos cáscaras esféricas concéntricas de radios a y b tienen Cargas Q y − Q 2 respectivamente. ¿Cuál es el Campo eléctrico para todo punto? 119
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
70. ¿Cuál es la densidad de carga de la superficie infinita que sostiene flotante una partícula con masa m y carga q.
a) Calcule el campo eléctrico en el interior y el exterior del globo. b) Determine la energía eléctrica que se requiere para cargar el globo trayendo las cargas desde el infinito. c) Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico generado por la carga en el globo al inflarlo entre R y R + ∆R.
71. Hallar la fuerza por unidad de área sobre un plano infinito con carga uniforme debido a otro plano infinito con carga uniforme paralelo al primero. 72. Se tiene un cilindro infinito de radio b y un vacío cilíndrico da radio a, tal como se muestra en la figura. Si la carga por unidad de volumen es ρ ¿Cuánto vale al Campo eléctrico en todos los puntos?
77. Una esfera aisladora de radio a y densidad de carga dada por ρ = ρ 0 e − r . Calcular el campo eléctrico en el interior y exterior de la esfera. 78. Considere la misma esfera anterior, pero esta vez rodeada por un casquete esférico conductor de radio interior b > a y espesor d. El casquete exterior tiene carga nula. Calcule el campo eléctrico y el potencial respecto de infinito, a) entre las esferas, b) en el interior de la esfera conductora y c) para un radio r > b + d. 79. Se tiene una esfera aisladora con densidad de carga variable de la forma ρ = ρ 0 e − r r y radio R limitada exteriormente por una esfera conductora de radio interior R y exterior 2R. En la esfera conductora hay una carga neta tal que el potencial exterior (r > 2R) es constante.
73. Bajo ciertas circunstancias la intensidad del campo eléctrico en la atmósfera tiene un valor E1 en la superficie y un valor E2 a una altura h sobre la superficie. En ambos casos el sentido del vector es hacia la Tierra. Determinar el valor promedio de la densidad de carga promedio en la atmósfera debajo de h. Calcular para E1 = 300 V/m, E2 = 20 V/m y h = 1400 m. 74. Un haz de electrones que se mueven con una velocidad de 2x106 m/s pasa entre dos placas horizontales que tienen densidad de carga 1xl09 C/m2 y -3xl09 C/m2. Suponer que el campo producido es el mismo a que si fueran placas infinitas. El haz ingresa paralelo a las placas y deja el campo después de pasar 1 cm., encontrar la deflexión resultante de los electrones.
Determine: a) La carga total en la esfera aisladora. b) el campo eléctrico en el exterior (r < 2R). c) la diferencia de potencial entre r = 3R/2 (esfera conductora) y el centro de la esfera aisladora (considere el potencial cero ( V = 0) en r = ∞). d) la densidad de carga en la superficie exterior de la esfera conductora.
75. Se tienen dos hilos aisladores muy largos, uno en la dirección del eje x con una densidad de carga λ1 y el otro, en la dirección del eje y con
80. Tres trozos de hilo cargado con densidad de carga λ se disponen como se indica en la figura.
una densidad de carga λ2 . Hallar el potencial V y el campo eléctrico en cualquier punto del →
plano xy y mostrar que E = −∇V . 76. Un globo esférico de radio R tiene una carga superficial con densidad σ . 120
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
a) Determine el campo eléctrico total sobre la carga Q. b) Calcule la fuerza que ejerce Q sobre cada uno de los trozos de hilo. c) Determine la energía potencial de la carga Q.
86. Calcular el campo eléctrico de un cascarón esférico de radio r con densidad de carga superficial uniforme σ en todo punto del espacio. a) Usando la ley de Coulomb. b) Usando la ley de Gauss.
81. Un volumen esférico de radio a está lleno con carga de densidad uniforme ρ . Calcular la energía potencial U de esta distribución esférica de carga, es decir, el trabajo requerido para formarla. Respuesta
87. Suponga que en lugar de la ley de fuerza de Coulomb, se encuentra experimentalmente que la fuerza entre dos cargas puntuales q1 y q2 está →
dada por, F12 =
2
3Q , donde Q es la carga total de la U= 5a
)
a) Halle el campo eléctrico alrededor de una carga puntual correspondiente a esta fuerza. b) Pruebe que el campo es irrotacional.
esfera. 82. Un cilindro macizo, muy largo, de radio a, tiene una carga distribuida ρ = − Ar , donde A es una constante positiva. Determine el valor del campo eléctrico y el potencial en el interior y el exterior cercano al cilindro, en puntos lejanos a sus extremos.
→
c) Halle el flujo de E a través de una superficie esférica centrada en la carga. Compare con el caso de un campo coulombiano 88. Una carga q se encuentra en el vértice A del cubo ABCDEFGH. Calcular el flujo de campo eléctrico a través de la cara FECD.
83. Un plano conductor tiene una carga + Q y a cada lado de éste, a las distancias x1 y x2 , se colocan, paralelas, placas infinitas conductoras con carga total nula. Encontrar la diferencia de potencial entre las caras internas y entre las externas de las placas.
89. Calcular el campo eléctrico de una esfera uniformemente cargada de carga total Q. a) Usando la ley de Coulomb. b) Usando la ley de Gauss. 90. Considere dada una distribución de carga con simetría esférica. En este caso ρ es ρ (r ' )
84. En una región del espacio, el potencial eléctrico está dado por V (x, y) = Axy siendo A una constante. Determine la fuerza ejercida sobre una carga puntual q ubicada en un punto de coordenadas (x, y). Calcule además el trabajo que realiza el campo eléctrico sobre q al moverse la carga desde el punto (0, 0) al punto (x, y) en una línea recta.
siendo r’ la distancia al centro de la distribución. a) Encuentre una expresión general para el campo eléctrico en función de ρ (r ' ) , en un punto cualquiera de una esfera de radio r y centro en el centro de la distribución. b) Aplique el resultado anterior al cálculo del campo producido por una densidad de carga
85. Un disco circular de radio a tiene una densidad superficial de carga uniforme σ . El disco se encuentra en el plano xy con su centro coincidiendo en el centro del sistema de coordenadas. a) Obtenga una fórmula para el campo eléctrico en el eje del disco en función de z. b) Aproxime el resultado anterior a primer orden para
(
q1 q 2 1 − r12 rˆ12 4πε 0 r122
dada por ρ (r ' ) = −
ε 0 Ab r'2
e −br ' + 4πε 0 Aδ (r ' ) .
c) Un cascarrón esférico tiene una densidad de 2 carga ρ = k r en la región a ≤ r ≤ b y cero en otro lado. Hallar el campo eléctrico en todo el espacio.
a → 0 y pruebe que el resultado coincide z
91. Un cable coaxial tiene una densidad de carga volumétrica uniforme ρ en el cilindro interior (r < a) y una densidad de carga superficial uniforme σ en la superficie del cilindro exterior (r = b). La carga total del cable es cero. Hallar el campo eléctrico en todo el espacio.
con el campo de una carga puntual. c) Determine la posición de un punto sobre el eje z, mas allá del cual, el disco puede considerarse como una carga puntual con un error en el →
cálculo de E menor al 1%. 121
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
radio r1 se le coloca una carga de 6 x 10−8 C y luego se conectan ambas mediante un hilo conductor muy fino, calcule: a) La carga final de cada esfera. b) El potencial final de las esferas. c) La energía almacenada en el campo eléctrico antes y después de la conexión.
92. Una plancha plana infinita de espesor 2d tiene una densidad de carga uniforme ρ . Hallar el campo eléctrico en todo punto como función de la distancia y al plano de simetría de la plancha. Graficar. 93. Dos esferas de radio R con densidades de carga + ρ y - ρ cuyos centros están separados por una distancia d tal que d < 2R están parcialmente superpuestas. Probar que el campo eléctrico en la región de intersección es constante y hallar su valor.
101. Calcule la diferencia de potencial entre dos esferas concéntricas de radios a y b (a < b) que tienen cargas q y Q respectivamente. Respuesta
ΔV =
94.Una distribución estática de carga produce un →
campo eléctrico radial dado por: E = A
e − br rˆ , r
q ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎝ b a ⎠
102. Calcule el campo eléctrico producido por una distribución de carga tal que el potencial que
donde A y b son constantes. a) Hallar la densidad volumétrica de carga de la distribución. b) Halle la carga total de la distribución
e − λr . 4πε 0 r Encuentre la distribución de carga ρ = ρ (r ) . produce esta dado por: V(r ) =
95. Considere un disco circular de radio a y densidad de carga uniforme. a) Calcule el potencial en un punto cualquiera del eje y. b) Determine la energía requerida para traer una carga desde el infinito hasta ese punto.
q
Respuesta
E(r ) = q
(1 + λr ) e− λr , 4πε 0
ρ (r ) = − qλ2
e − λr 4πr
103. Las superficies interior (r = a) y exterior (r = b) de un cascaron esférico no conductor tienen la misma densidad de carga σ. La densidad de carga en el resto del espacio es nula. Encuentre el campo eléctrico en las zonas r < a, a < r < b, y r > b. Calcule el potencial electrostático en cada una de las regiones mencionadas. Respuesta
96. Calcule el potencial respecto del infinito en el centro de un cuadrado de lado b en el cual se tiene una distribución uniforme de carga superficial σ . 97. En una región de espacio existe un campo eléctrico que se deriva del potencial V (x, y, z) = xyz - 3x - 2y - z. Determine el trabajo que realiza el campo eléctrico al llevarse una carga de 2 μC desde el punto (0, 0, 0) al punto (1, 1, 1) en forma cuasiestática (energía cinética despreciable).
→
E (r ) = E(r ) rˆ , donde E(r ) = 0 si r < a ¸
σ a2 si a < r < b ; ε 0r 2 σ E (r ) = (a 2 + b 2 ) si b < r , 2 ε 0r σ 2 V( r ) = ( a + b 2 ) si r > b ; ε 0r σ 2 V( r ) = (a + br ) si b > r > a y ε 0r σ V(r ) = (a + b ) si a > r . ε0 E(r ) =
98. Considere una esfera no conductora de radio R que tiene una carga total Q repartida uniformemente en su volumen. Determine el potencial eléctrico en todas partes. 99. Determine el trabajo que realiza el campo eléctrico al traer una carga puntual Q desde una distancia 2d hasta una distancia d de un hilo recto infinito que tiene una carga uniforme λ C/m.
104. Una burbuja de forma esférica tiene una carga Q. La energía asociada a la tensión superficial de la burbuja es proporcional a su superficie, es decir Umec = Sτ, en que S es el área
100. Se tienen dos esferas metálicas aisladas de radio r1 = 0,10 m y r2 = 0, 20m, inicialmente descargadas y alejadas entre sí. Si a la esfera de 122
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
111. Se acomodan linealmente tres cargas, la Carga -2q se coloca en el origen, y las otras dos cargas + q se colocan en (0, 2, 5) y (3, 0, - a) respectivamente. Encontrar el potencial V ( r ) para un punto en el
de la burbuja y τ es una constante. Calcule la energía total de la burbuja (eléctrica y mecánica) como función de su radio y grafíquela. Finalmente calcule el radio de equilibrio de la burbuja. 105. Calcúlese
→
→
∫E⋅d l
espacio r >> a. A partir de este valor encontrar al Campo eléctrico.
desde el origen e un
punto x0, y0 en el plano x,v para el Campo →
(
)
112. Un protón con una energía de 100 eV es disparado perpendicularmente hacia un plano metálico muy grande con una densidad de carga superficial de 10- 7 C/m2. ¿Desde dónde se disparará el protón si casi alcanza al plano?
E = A yiˆ − xˆj a lo largo de tras trayectorias rectilíneas diferentes. a) desde (0, 0) a (0, y0) y a (x0, y0) b) desde (0,0) a (x0, 0) y a (x0, y0) c) desde (0,0) directamente a (x0, y0) 106. Calcular el trabajo hecho contra las fuerzas electrostáticas en mover una carga de -1x10-10 C desde 10 cm. debajo de una carga da 1x10-5 C hasta una posición da 1 m. debajo de ella. En la posición final el cuerpo permanece suspendido, las fuerzas electrostáticas y gravitacionales son iguales y opuestas. ¿Cuál es la masa del cuerpo?
113. Una gota de aceite tiene una carga neta de tres veces la carga del electrón y un radio de l0cm. ¿Cuál es su velocidad terminal cuando cae entre dos placas horizontales con una diferencia de potencial de 1000 voltios y separadas 2cm, la positiva es la de arriba? Densidad del aceite 839 kg/m3 Densidad del aire 1,29 kg/m3 Viscosidad del aire 1,80 N.s/m2
107. Un anillo de radio R está formado por dos semicircunferencias con cargas q y -q. Encontrar al potencial y el campo eléctrico a lo largo del eje del anillo.
114. La presión dentro y fuera de una pompa de jabón es la misma. ¿A qué potencial ha sido cargada la pompa de jabón de radio 2 cm? La tensión superficial de la solución de agua jabonosa es 0,0265N/m.
108. En un plano infinito se ha hecho un agujero circular de centro O y radio R, el plano tiene una densidad de carga - σ . Calcular el potencial y el campo en un punto en la recta perpendicular al plano en O.
115. Una esfera conductora de radio R1 = 3 cm. lleva una carga negativa Q1 Una segunda esfera conductora le radio interior R2 = 4 cm. y radio exterior R3 = 5 cm, neutra, se colocan concentricamente. a) Encontrar le repartición de las cargas. Si se establece contacto entre las esferas ¿cuál es la nueva repartición de las cargas? b) Considerando que la esfera interior está a un potencial V1 = 0 lo esfera externa caté a potencial V2 = 10000 V. ¿Cuál es le repartición de las cargas y el valor de estas?
109. Se tiene un cilindro infinito de radios a y b como se muestra en la figura, con densidad de carga volumétrica ρ . ¿Cual es el valor del potencial para todo punto?
116. Si una carga q se coloca a una distancia d de un plano conductor infinito mantenido a potencial cero. Se puede determinar que el campo eléctrico resultante en frente del plano es el mismo que si se tuviera una carga - q a una distancia - d. Esta segunda carga se conoce como carga imagen. Encontrar la densidad de carga en el plano y verificar que la carga total en el plano es -q.
110. Encontrar le forma de las superficies equipotenciales para un segmento de recta de longitud 2a, colocado entre z = -a y z = a, con una Carga total q.
123
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
117. Encontrar las cargas imagen cuando una carga q está a iguales distancias de dos planos conductores a potencial cero que se encuentran formando un ángulo de 60°. Encontrar la fuerza sobre la Carga q.
124. En que forma cinco condensadores, cada uno de capacidad l μF , deben de conectarse para producir una Capacidad total de 4/9 μF . 125. Se tiene un condensador de placas paralelas de área de placas A y separación d, se le introduce una placa metálica paralela de espesor, calcular la capacidad resultante.
118. Un condensador coaxial está formado por dos cilíndricos conductores concéntricos de radios a y b respectivamente y largo L. Suponiendo que el espacio entre los conductores es vacío y que el cilindro interior se encuentra a potencial V = Vo y el exterior a potencial V = 0 y que tanto a como b son mucho menores que L, encuentre la capacidad del condensador coaxial. Respuesta
C=
126. La Capacidad de un condensador variable cambia 1inealmente de 50 a 36 μF durante una rotación de 0° a 180°. Cuando se coloca a 75° una diferencia de potencial de 00 voltios se mantiene a través del condensador. ¿Cuál es la dirección y magnitud del torque electrostático experimentado por el condensador?
2πε 0 L b ln a
127. Un Condensador de 5 μF se carga a una diferencia de potencial de 12 voltios, se conecta en paralelo este condensador a otro inicialmente descargado, la diferenciada potencial disminuye a 3 voltios, ¿cuál es la capacidad del segundo condensador?
119. Considere un sistema formado por dos conductores cilíndricos paralelos, muy largos, de radio a, separados una distancia d >> a, como muestra la figura. Entre los cilindros hay una diferencia de potencial V. Encuentre la capacidad por unidad de longitud para el sistema de conductores.
Respuesta
C=
(
πε 0
128. Se tiene dos condensadores planos de capacidades C1 y C2 con las armaduras de igual superficie A y con una separación d y d/2 respectivamente. Se conectan en paralelo y se cargan a una diferencia de potencial V0 . a) Calcular la carga y la energía en cada condensador. b) Si es posible mover una de 1as armaduras del condensador C2, ésta se mueve hasta que la separación entre placas es d, ¿cuál es la carga en cada condensador, cuál es la nueva diferencia de potencial y cuál es la energía almacenada? c) ¿Cuál es la fuerza que se ejerce sobre la armadura móvil de C2 en el estado intermedio x entre d y d/2 ¿cuál es el trabajo a realizar para llevar la armadura móvil de la posición inicial a la final?
)
⎡ d + d 2 − 4a 2 ⎤ ln ⎢ ⎥ 2a ⎥⎦ ⎣⎢
120- Encontrar la capacidad de un disco conductor muy delgado de radio a. 121. Determinar la capacidad de uno varilla delgada de radio R y longitud L, siendo L >> R.
129. El Conductor exterior dz un cable coaxial tiene un radio fijo b. Determinar el radio a del conductor interior, tal que para determinada diferencia de potencial entre los conductores, la intensidad del campo eléctrico en su superficie sea mínima. Determinar la capacidad por unidad de longitud de tal cable.
122. Determinar la capacidad por unidad de longitud entre dos alambres paralelos de radios R y distancia entre ellos d, siendo d >> R. 123. Un condensador de l μF se carga 0V y otro de 2 μF se cargad a 200V; estos se conectan de tal manera que la placa positiva de uno se conecta al negativa del otro. Encontrar la diferencia de potencial y la carga de cada condensador, así mismo la pérdida de energía que hubo.
130. Una esfera metálica de un metro de radio tiene un exceso de carga eléctrica de 10-9 C. Se conecta mediante un alambre a una esfera inicialmente descargada de 30 cm. de radio que 124
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
está lejos de la primera esfera (no tomar en cuenta la capacidad del alambre). a) ¿Cuál es la carga de cada una de las esferas? b) ¿Cuál es la energía antes de unirlas y después de unirlas? ¿Y si es diferente, qué pasa con la diferencia?
134. Encontrar la capacidad equivalente entre a y b en la figura, todos los condensadores tienen capacidad C.
131. Las armaduras de un condensador forman un ángulo encontrar la capacidad en función de las dimensiones.
135. En la figura se muestra un electrómetro esquematizado, este se usa para determinar diferencias de potencial. Consiste en una balanza cuyo platillo izquierdo es un disco de área A, colocado a una distancia a de un plano horizontal formando un condensador, cuando se aplica una diferencia de potencial V entre el disco y el plano aparece sobre el disco una fuerza hacia abajo. ¿Cuál es el va1or de la masa que debe ponerse en el otro platillo para retomar el equilibrio?
132. Un Condensador esférico está constituido de dos armaduras de radios R1 y R2. La armadura exterior está formada por dos hemisferios iguales, unidos a tierra por un conductor. La armadura interna tiene una carga Q y está aislada. Calcular la fuerza a que esté sometido cada uno de los hemisferios exteriores.
136. Una manera de determinar la capacidad de un condensador desconocido es utilizar el dispositivo mostrado en la figura donde E es un electrómetro. El procedimiento es tener los condensadores conocidos C1 y C2; buscar un condensador C3 para el cual la lectura en el electrómetro sea cero. Encontrar la expresión para calcular Cx.
133. Se tiene el sistema de condensadores mostrado en la figura, inicialmente cargado a la diferencia de potencial de 100 V, Si se cierra la llave S ¿cual es la diferencia de potencial en cada condensador y la carga en cada uno de ellos?
137. Dos condensadores idénticos de área A y lado a y separación entre placas d, inicialmente descargados, se conectan en paralelo. Mediante una batería se aplica al sistema una diferencia de potencial V0. Posteriormente se desconecta la batería, con lo cual los condensadores en 125
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
b. Halle la diferencia de potencial Va - Vb.
paralelo quedan cargados y aislados. Se introduce en uno de los condensadores una placa conductora de igual área y de espesor t, como se muestra en la figura.
Respuesta a) Calcule la energía almacenada en el sistema cuando la placa de espesor t ha penetrado una distancia x en el condensador. b) Calcule la cantidad de carga transferida de un condensador a otro como función de x, e indique en que sentido es la transferencia. Respuesta
C1 Q C 2Q , q2 = , C1 + C 2 + C 3 C1 + C 2 + C 3 C 3Q q3 = C1 + C 2 + C 3 Q b) Va − Vb = C1 + C 2 + C 3 a) q1 =
2ε 0 a 2 a (d − t ) V02 d 2a (d − t ) + at at Q b) ΔQ A = − , donde Q es la 2a (d − t ) + at 2 a) E =
140. Responder a la pregunta anterior cuando la placa que se introduce en el condensador de la izquierda está hecha con un dieléctrico cuya constante es ε .
carga total en el sistema.
141. Ente la placas del condensador de la figura, de lados a y b, existe una diferencia de potencial constante V0.
138. La figura muestra un circuito con tres condensadores y dos interruptores unidos por hilos conductores. El condensador C1 tiene carga Q y los otros dos están descargados. En cierto momento se cierran los interruptores y se espera hasta que el sistema alcance el equilibrio. a. Encuentre la carga que se almacena en cada placa de cada condensador. b. Halle la diferencia de potencial entre las placas de cada condensador.
a) Calcular la carga Q(x) en las placas en función de la distancia x cuando se introduce un dieléctrico de constante ε y ancho b, como se indica. b) Determine la variación de energía en el condensador en función de x. c) Determine la fuerza sobre el dieléctrico en función de x. Respuesta
Respuesta. Llamaremos q1, q2 y q3 a las cargas en las placas izquierdas de los condensadores C1, C2 y C3 respectivamente.
a)
Q( x ) =
V0 b [εx + ε 0 (a − x )] , b) d
5Q 6Q , q 2 = q3 = . 11 11 5Q 3Q 2Q , V2 = , V3 = b) V1 = 11C 11C 11C
→ Q2d , c) F = −∇U ( x ) U(x) = 2b[εx + ε 0 (a − x )]
139. El condensador C1 de la figura está cargado como se muestra y los otros dos condensadores están descargados. Se cierra el interruptor S y se espera hasta que el sistema alcance el equilibrio. a. Determine las cargas en las placas de los tres condensadores que están conectadas al punto a.
142. En un condensador de placas cuadradas paralelas de área A, se introducen dos dieléctricos de constantes ε 1 y ε 2 que llenan totalmente el interior del condensador como se muestra en la figura. Calcule la capacidad del condensador.
a) q1 =
126
Electrostática
Hugo Medina Guzmán
148. Considérese el mismo condensador del problema anterior, con los dieléctricos dispuestos diagonalmente como se indica, el cual se conecta a una batería que proporciona una tensión V. a) ¿Se distribuye en forma uniforme la carga en las placas? Explique. b) ¿Es el campo eléctrico y el campo de desplazamiento perpendiculares a las placas? Explique. c) Calcule la capacidad de este condensador y la distribución de carga en las placas.
Respuesta
C = ε 0 (ε 1 + ε 2 )
2a 2 , A = 4a 2 d
143. Un cubo dieléctrico de lado L tiene una →
→
polarización radial dada por P = A r , donde A →
es constante y r = xiˆ + yˆj + zkˆ . El origen de coordenadas está en el centro del cubo. Encontrar todas las densidades de carga y mostrar que la carga total se hace cero. 144. Dos placas conductoras paraleles están separadas una distancia d y mantenidas a la diferencie de potencial Δ V . Un dieléctrico de constante k y espesor uniforme t se ensarta entre las placas. Determinar los campos vectoriales E y D en el dieléctrico y en el vacío. 145. Se tiene un condensador de placas paralelas separadas una distancia d y área A. El espacio entre las placas se llena con dos dieléctricos como se muestra en la figura, calcular la capacidad del condensador.
146. El dieléctrico en un Condensador de placas paralelas no es uniforme, varía linealmente de un valor en la superficie de una placa a en la superficie de la otra placa. Le distancia entre placas es d y su área A. Determinar la capacidad de este condensador. 147. ¿Cuál es la capacidad del condensador mostrado en la figura?
127
