Fisica 1unidad 2. Gustavo Salinas. Uta

UNIDAD MAGNITUDES Y MEDIDAS

2 Las medidas juegan un papel importante en nuestro intento por describir y comprender el mundo físico.

OBJETIVOS.

CONTENIDOS TEMA 1. MEDICIONES EN FISICA .

1. Origen el sistema métrico. 2. Magnitudes físicas. 3. Sistema métrico. 4. Conversión de unidades. 5. Análisis dimensional. 6. Cifras significativas. 7. Notación científica.

8. Actividad 02 9. Ejercicios.

    

 



Establecer las unidades fundamentales, derivadas y suplementarias del S.I. Expresar las magnitudes en unidades adecuadas. Identificar y usar prefijos métricos comunes. Reconocer que todas las cantidades medidas tienen cierto grado de incertidumbre. Emplear correctamente las cifras significativas para registrar los resultados de las mediciones. Realizar operaciones aritméticas en notación científica. Calcular e interpretar el error absoluto y el error relativo en un conjunto de datos de medidas directas e indirectas. Analizar el papel de la física en el desarrollo de la tecnología.

TEMA 2. TEORIA DE ERRORES.

1. Errores. Clases de errores. 2. Mediciones. 3. Cálculo de Errores en las mediciones. 4. Actividad 03. 5. Ejercicios. TEMA 3. FUNCIONES Y GRAFICAS.

1. Funciones. 2. Proporcionalidad. 3. Distancia entre dos puntos. 4. Pendiente de la recta. 5. Actividad 04 6. Ejercicios.

Magnitudes y Medidas.

MAGNITUDES Y MEDIDAS Todo se mueve: las galaxias, los aviones, los átomos y las personas. La descripción cuidadosa de su movimiento es la base para controlar el tráfico aéreo y para lograr que las personas lleguen a donde quieren ir, o para comprender los átomos y su modo de formar las galaxias. El primer paso en el largo camino de comprender cómo se comporta el Universo y lo que hay en él, fue cómo aprender a describir el movimiento. En los aportes dados por los científicos anteriores podemos ver los procesos seguidos en los trabajos de Galileo y Kepler. Después de ellos tuvo que transcurrir medio siglo de avances matemáticos y controversia sobre los principios de la mecánica, para poder contar con una teoría completa. Fue Isaac Newton, profesor de d e matemáticas m atemáticas en la Cambridge University, quien creó esa teoría y l a publicó en su libro, los Principia, en 1687. La teoría de Newton tuvo tanto éxito que no se observó discrepancia entre ellas y la realidad durante más de 200 años. Durante el siglo xx se han desarrollado más teorías de grandes consecuencias, pero la de Newton permanece como el punto de partida para estudiar la física, y como la aproximación correcta que se aplica ap lica a una cantidad gigantesca de aplicaciones prácticas. En los capítulos posteriores estudiaremos la teoría de Newton y varias de esas aplicaciones. Galileo, Kepler y Newton establecieron firmemente a las matemáticas como el lenguaje de la física, idioma que comenzaremos a aplicar en este capítulo. Los procesos físicos suceden en el espacio y se llevan a cabo a través del tiempo. Para modelarlos se establecen convenciones para medir posiciones, longitudes, intervalos de tiempo y ángulos. Para comprender el movimiento necesitamos herramientas matemáticas que nos permitan describir cantidades con dirección y tamaño. ¡Comencemos!.

2.1. MEDICIONES EN FÍSICA FÍSICA 2.1.1. ORIGEN DEL SISTEMA METRICO DE UNIDADES.- El sistema métrico moderno se originó poco después de la Revolución Francesa, cuando Napoleón dispuso eliminar normas de inconveniencia obvia, heredadas del pasado. Después, en 1875 fue establecida la Oficina Internacional de Pesas y Medidas para desarrollar un conjunto internacional de patrones, a la cual también se le ha encargado supervisión del Sistema Internacional de Unidades (SI). Los físicos en el mundo adoptaron este sistema en 1960. En Estados Unidos y en otros dos países todavía se permite el uso oficial de La práctica musical fue uno de otras unidades no métricas. los primeros métodos empleados para medir el tiempo.

Para descubrir las leyes que gobiernan los fenómenos naturales, los científicos deben llevar a cabo mediciones de las magnitudes relacionadas con dichos fenómenos. La física, en particular, suele ser denominada “ciencia de la medición”. Loor Kelvin, destacado físico inglés del siglo pasado, destacó la importancia de las mediciones en el estudio de las ciencias, por medio de las siguientes palabras. “Siempre d igo

que si es posible medir aquello de lo que se habla y se consigue expresarlo en números, entonces puede saberse algo al respecto; pero cuando no puede expresarse así, el conocimiento es deficiente e insatisfactorio...”

Como sabemos, para efectuar una medición es necesario escoger una unidad para cada magnitud. El establecimiento de unidades, reconocidas internacionalmente, también es imprescindible en el comercio y en el intercambio entre los países.

Gustavo Salinas E.

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MAGNITUDES Y MEDIDAS Todo se mueve: las galaxias, los aviones, los átomos y las personas. La descripción cuidadosa de su movimiento es la base para controlar el tráfico aéreo y para lograr que las personas lleguen a donde quieren ir, o para comprender los átomos y su modo de formar las galaxias. El primer paso en el largo camino de comprender cómo se comporta el Universo y lo que hay en él, fue cómo aprender a describir el movimiento. En los aportes dados por los científicos anteriores podemos ver los procesos seguidos en los trabajos de Galileo y Kepler. Después de ellos tuvo que transcurrir medio siglo de avances matemáticos y controversia sobre los principios de la mecánica, para poder contar con una teoría completa. Fue Isaac Newton, profesor de d e matemáticas m atemáticas en la Cambridge University, quien creó esa teoría y l a publicó en su libro, los Principia, en 1687. La teoría de Newton tuvo tanto éxito que no se observó discrepancia entre ellas y la realidad durante más de 200 años. Durante el siglo xx se han desarrollado más teorías de grandes consecuencias, pero la de Newton permanece como el punto de partida para estudiar la física, y como la aproximación correcta que se aplica ap lica a una cantidad gigantesca de aplicaciones prácticas. En los capítulos posteriores estudiaremos la teoría de Newton y varias de esas aplicaciones. Galileo, Kepler y Newton establecieron firmemente a las matemáticas como el lenguaje de la física, idioma que comenzaremos a aplicar en este capítulo. Los procesos físicos suceden en el espacio y se llevan a cabo a través del tiempo. Para modelarlos se establecen convenciones para medir posiciones, longitudes, intervalos de tiempo y ángulos. Para comprender el movimiento necesitamos herramientas matemáticas que nos permitan describir cantidades con dirección y tamaño. ¡Comencemos!.

2.1. MEDICIONES EN FÍSICA FÍSICA 2.1.1. ORIGEN DEL SISTEMA METRICO DE UNIDADES.- El sistema métrico moderno se originó poco después de la Revolución Francesa, cuando Napoleón dispuso eliminar normas de inconveniencia obvia, heredadas del pasado. Después, en 1875 fue establecida la Oficina Internacional de Pesas y Medidas para desarrollar un conjunto internacional de patrones, a la cual también se le ha encargado supervisión del Sistema Internacional de Unidades (SI). Los físicos en el mundo adoptaron este sistema en 1960. En Estados Unidos y en otros dos países todavía se permite el uso oficial de La práctica musical fue uno de otras unidades no métricas. los primeros métodos empleados para medir el tiempo.

Para descubrir las leyes que gobiernan los fenómenos naturales, los científicos deben llevar a cabo mediciones de las magnitudes relacionadas con dichos fenómenos. La física, en particular, suele ser denominada “ciencia de la medición”. Loor Kelvin, destacado físico inglés del siglo pasado, destacó la importancia de las mediciones en el estudio de las ciencias, por medio de las siguientes palabras. “Siempre d igo

que si es posible medir aquello de lo que se habla y se consigue expresarlo en números, entonces puede saberse algo al respecto; pero cuando no puede expresarse así, el conocimiento es deficiente e insatisfactorio...”

Como sabemos, para efectuar una medición es necesario escoger una unidad para cada magnitud. El establecimiento de unidades, reconocidas internacionalmente, también es imprescindible en el comercio y en el intercambio entre los países.

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2.1.2. MAGNITUDES FÍSICAS: La definición correcta de una cantidad física se logra cuando se han establecido reglas y procedimientos para medir dicha cantidad y asignar una unidad a la misma; así por ejemplo, si consideramos la cantidad física masa, esta estará definida si se establece un patrón y le asignamos la unidad kilogramo. En cuanto a los procedimientos diremos que son arbitrarios, el único requisito es que la definición sea útil y práctica y que tenga tenga una validez universal, es decir, que sea aceptada en cualquier otro lugar. Entonces todas aquellas característica objetivas que describen de manera general y entendible a los objetos o fenómenos físicos y que son medibles (tamaño, dureza, tiempo empleado, etc.) se denominan Cantidades o Magnitudes Físicas, las mismas que matemáticamente pueden ser asignadas como variables y con las cuales se puede operar. De entre las múltiples magnitudes físicas tenemos las siguientes: longitud, volumen, tiempo, velocidad, aceleración, masa, fuerza, energía, temperatura, carga eléctrica, etc.

MEDIR.- Es comparar una magnitud con otra de su misma especie que arbitrariamente se toma como patrón o unidad. MAGNITUD.- Es todo aquello que podemos medir. Las magnitudes se clasifican de acuerdo a dos características como son: Por su origen en Fundamentales, Derivadas y Suplementarias y por su naturaleza en Escalares y Vectoriales.

MAGNITUDES FUNDAMENTALES.- Son aquellas en las que pueden realizarse mediciones directas por medio de un instrumento de medición. m edición. MAGNITUD

Longitud Masa Tiempo Temperatura Intensidad de Corriente Intensidad luminosa Cantidad de sustancia

UNIDAD

metros kilogramo segundo Kelvin Amperio Candela Mol

SIMBOLO DIMENSION

m kg s K A Cd mol

L M T -

MAGNITUDES DERIVADAS .- Son aquellas que se expresan en función de las fundamentales por medio de expresiones matemáticas llamadas ecuaciones dimensionales. Así por ejemplo, Área, velocidad, velocidad, aceleración, trabajo, etc. MAGNITUD Área Volumen Velocidad Aceleración Fuerza Energía Presión ........... ...........

UNIDAD SIMBOLO DIMENSION metro cuadrado m2 L2 metro cúbico m3 L3 metro/segundo m/s L/T = LT-1 metro/segundo cuadrado m/s2 L/T2 = LT-2 Newton N (kg.m/s2) ML/T2 = MLT-2 Joule J (N.m) ML2/T2 = ML2T-2 Newton/metro cuadrado cuadrado N/m2 ML/L2T2 = ML-1T-2 ……….. ..................... ........................... .............................. ……… .....................

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MAGNITUDES SUPLEMENTARIAS.- Son aquellas utilizadas en la medición de ángulos. MAGNITUD

UNIDAD

Angulo plano Radián Angulo sólido Estereoradián

SIMBOLO

rad. sr.

2.1.3.- SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I) La base para el S.I. fue el sistema Métrico Decimal. El Sistema Métrico decimal fue discutido durante un siglo, especialmente por hombres de ciencia quienes deploraban la caótica situación de las medidas en todo el mundo. Pues la investigación científica se hacía difícil por falta de coherencia entre las unidades, puesto que la misma unidad con un mismo nombre tenía diferentes equivalencias. Se llama Sistema Métrico Decimal por que: Métrico, por tener como base al metro, y Decimal por que para formar los múltiplos y submúltiplos se utiliza la base diez. Después de la primera y segunda Guerras Mundiales, el mundo da un viraje hacia un avance científico y técnico. Fue cuando se hizo necesario el uso de nuevas unidades que tenía el Sistema Métrico Decimal, y es así como se promulgó y estableció el llamado Sistema Internacional de Unidades S.I, que debería ser adoptado y aplicado en todos los países del mundo.

2.1.3.1. SISTEMA DE UNIDADES.- Es un conjunto sistemático organizado de unidades, adoptado convencionalmente. Entre los principales tenemos: Sistema C.G.S. – Este sistema se basa en las tres primeras magnitudes fundamentales: C (centímetro), G (gramo) y S (segundo), y es utilizado en el campo de la investigación: Sistema M.K.S. – Este sistema es utilizado en el campo de la ingeniería y también está basado en las tres primeras magnitudes fundamentales, M (metro), K (kilogramo), S (segundo). Sistema Inglés.- Este sistema es utilizado por los países de habla inglesa, la longitud se mide en pies, la masa en libras y el tiempo en segundo. 1. SISTEMA ABSOLUTO

C.G.S M.K.S INGLES

L cm m pie

M g kg lb

L : Longitud. M: Masa. T: Tiempo.

T s s s

2. SISTEMA TÉCNICO

C.G.S M.K.S INGLES

L cm m pie

F gf kgf lbf

T s s s

L: Longitud. F: Fuerza. T: Tiempo.

2.1.4. CONVERSIÓN DE UNIDADES: Debido a que unidades diferentes en el mismo sistema o en sistemas diferentes pueden expresar la misma magnitud, algunas veces es necesario convertir las unidades de una magnitud a otra

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unidad, por ejemplo, de pies a yardas o de pulgadas a centímetros. En la conversión de unidades tenemos:

2.1.4.1. CONVERSIÓN DIRECTA.- Cuando se utiliza tablas de conversión en las cuales se leen directamente la equivalencia de la unidad a ser convertida. Longitud

Masa

1m = 100 cm = 1 000 mm = 3,281 pies = 39,37 pulg. 1km = 1000 m = 0,6214 mi. 1 cm = 0,3937 pulg. 1 pie = 30,48 cm. 1 pulg = 2,540 cm 1 mi = 5280 pies = 1,609 km 1A= l0-10 m = l0-8 cm = 10-1 nm. Tiempo Volumen

1 kg = 103 g = 0,0685 slug 1 g = 6,85 x l0-5 slug 1 slug = 14,59 kg 1 lb = 454 g = 0,454 kg.

1 min = 60 s 1h = 3 600 s 1día = 86 400 s 1 año = 3,156 x 107 s

1 l = 1000 cm3 = l0-3 m = 0,0351 pie3 = 61,02 pulg3 1 pie3 == 0,02832 m3 = 28.321x10-3m3 = 7,477 galones

2.1.4.2. CONVERSIÓN INDIRECTA.- Cuando se utiliza un factor de conversión que es un número racional que relaciona unidades de una misma magnitud, de tal forma que la primera, multiplicada por el factor, nos dé el equivalente a la segunda unidad. MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS: Los múltiplos y submúltiplos de las unidades del S.I. se denominan agregando los prefijos al nombre de la unidad correspondiente.

Prefijo Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca Unidad deci centi mili micro nano pico fento atto

Símbolo Factor numérico Factor exponencial E 1 000 000 000 000 000 000 1018 P 1 000 000 000 000 000 1015 T 1 000 000 000 000 1012 G 1 000 000 000 109 M 1 000 000 106 K 1 000 103 H 100 102 Da 10 101 --1 100 d 0.1 10-1 c 0.01 10-2 m 0.001 10-3 0.000 001 10-6  0.000 000 001 10-9 n 0.000 000 000 001 10-12 p 0.000 000 000 000 001 10-15 f 0.000 000 000 000 000 001 10-18 a

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2.1.5.- ANÁLISIS DIMENSIONAL: Estudia las relaciones entre las magnitudes fundamentales y derivadas.

2.1.5.1. ECUACIÓN DIMENSIONAL .- Es una igualdad que se expresan en términos de magnitud y no de unidades. Dichas magnitudes se expresan con letras mayúsculas. En el sistema internacional las fundamentales son: Longitud [L]; Masa [M] y Tiempo [T]. Condición esencial de cualquier fórmula física es la homogeneidad. Los dos miembros que integran una igualdad deben presentar siempre la misma ecuación dimensional. 2.1.5.2. FINES DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL: * Sirve para encontrar la ecuación dimensional de una magnitud derivada cualquiera. * Sirve para determinar fórmulas empíricas en base a datos experimentales. * Sirve para verificar una fórmula física mediante el principio de homogeneidad.

2.1.5.3. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD: «Cada uno de los términos deben tener una misma dimensión». Sea: A = B + C ,

entonces por el principio: [A] = [B] = [C]

2.1.5.4. PROPIEDADES: 1) Se cumplen todas las operaciones menos la suma y la resta. 2) Todos los valores numéricos: números, ángulos, funciones trigonométricas, logaritmos y constantes sin unidades que están de coeficientes se representan por la unidad (1). 3) Para que una expresión sea dimensionalmente correcta u homogénea, c/u de los términos deben poseer una misma dimensión. Ejemplo.

x = Vot + at2 x=m vo = m/s a = m/s2 t=s m = m/s * s + m/s2*s2 m=m+m m=m [L] = [L]. Lo que se denomina ecuación dimensionalmente homogénea.

2.1.6. CIFRAS SIGNIFICATIVAS. Cuando realizamos una medición con cualquier instrumento de medida, y si este tiene cierta precisión limitada, el número de dígitos válidos en la medición también es limitado. De ahí que decimos, el número de cifras significativas de una magnitud medida es el número de dígitos conocidos confiablemente que contiene. Para una

magnitud medida, esto se define usualmente como los dígitos que se

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pueden leer directamente en el instrumento utilizado para hacer la medición, más un dígito incierto que se obtiene por estimación de la fracción de la división más pequeña de la escala del instrumento. Así por ejemplo: En la figura, la lámina metálica mide un poco más de 5.6 cm ó 56 mm. Si se mira cuidadosamente, observamos que el extremo de la lámina metálica se encuentra a 4/10 de milímetro a partir de 56 mm, por consiguiente la medida queda mejor expresada con 5.64 cm, siendo éste último (4), un número aproximado, en donde tenemos dos dígitos leídos con certeza ( 5,6 cm) y uno aproximado razonablemente (4). En este caso tenemos una cantidad de tres cifras significativas 5,64 cm.

Para determinar el número de cifras significativas se emplean las siguientes reglas: 1. Los dígitos diferentes de cero son siempre significativos. Ejemplos: 5.64 tres cifras significativas. 467 tres cifras significativas. 3,1416 cinco cifras significativas. 2. Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos. Ejemplos: 5.047 cuatro cifras significativas. 4809 cuatro cifras significativas. 207 tres cifras significativas. 3. Todos los ceros finales después del punto decimal y que terminan con uno o más ceros (como 4 500), los ceros con el cual termina el número pueden ser o no significativos. El número es ambiguo en términos significativos, para evitar confusiones hay que expresar los números en notación científica, cuando están expresados en esta forma, todos los dígitos se interpretan como significativos. Ejemplos: 2.4 x 103 dos cifras significativas. -6 4.50 x 10 tres cifras significativas -3 8 x 10 una cifra significativa 2 5.00 x 10 tres cifras significativas. 4. Los ceros a la izquierda del primer dígito que no es cero sirven solamente para fijar la posición del punto decimal y no son significativos. Ejemplo: 0.0254 tiene tres cifras significativas 0.0034 dos cifras significativas 0.00002 una cifra significativa.

Reglas para redondear un número con cifras significativas: 1. Si el dígito siguiente a la última cifra significativa es 5 o mayor, la última cifra significativa es 1. 2. Si el dígito siguiente a la última cifra significativa es menor que 5, la última cifra significativa queda igual. Ejemplo: * 23.1 * 0.546 * 1.45 * 5.5

redondeando queda 23. redondeando 0.55. redondeando 1.5. redondeando 6.

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2.1.7.- NOTACIÓN CIENTÍFICA: Los científicos trabajan con frecuencia con cantidades muy grandes o muy pequeñas. Por ejemplo, la masa de la Tierra es aproximadamente 6 000 000 000 000 000 000 000 000 kilogramos y la masa de un electrón es 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kilogramos. Escritas en esta forma, las cantidades necesitan mucho espacio y son difíciles de usar en los cálculos. Para trabajar más fácilmente con tales números, se escriben abreviadamente, expresando los decimales como potencias de diez. Este método de escribir números se denomina notación exponencial. La notación científica se basa en la notación exponencial. En la notación científica, la parte numérica de una medición se expresa como un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia entera de 10.

M x 10n En esta expresión, 1  M < 10, y n es un entero. Por ejemplo, 2 000 m puede escribirse 2 x 10 3 m. La masa de una pelota de tenis es aproximadamente 180 g o 1.8 x 10-1 kg. Para usar la notación científica al escribir los resultados de una medición, mueva el punto decimal hasta que a la izquierda de él sólo quede un dígito diferente de cero. Luego cuente el número de lugares que corrió el punto decimal, y emplee ese número como el exponente de diez. Por ejemplo, la masa aproximada de la Tierra: 6 000 000 000 000 000 000 000 000 kilogramos = 6 x 1024 kg. Observe que el exponente es mayor a medida que el punto decimal se mueve a la izquierda. Para escribir la masa del electrón en notación científica, hay que mover el punto decimal 31 lugares a la derecha. Así, la masa del electrón: 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kilogramos = 9.11 x 10 -31 kg. Observe que el exponente es menor a medida que el punto decimal se mueve a la derecha.

2.1.7.1. OPERACIONES CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA. 1. Suma y resta.- Para sumar o restar cantidades expresadas en notación científica, todas la potencias de base 10 deben tener igual exponente. Ejemplo: * 4.0 x 106 m + 3 x 105 m = 4.0 x 106 m + 0.3 x 106 m = 4.3 x 106 m.

2. Multiplicación.- Para multiplicar cantidades expresadas en notación científica, se multiplican las cantidades de M, se conserva la misma base de 10 y se suman algebraicamente los exponentes: Ejemplo: * (3 x 10-4 kg) . (8 x 10 -9 kg) = [( 3 ).( 8 )] x 10 -4 - 9 kg = 24 x 10-13 kg.

3. División.- Para dividir cantidades expresadas en notación científica con diferentes exponentes. Se dividen los valores de M, se conserva la misma base de 10 y se restan los exponentes, el denominador del numerador. Ejemplo: *

2.5 x10

6

kg 6 x10 4 m

5 x 10

2

s

2



2.5 x 6 x10 5 x 10

64

2

s

2

kg .m

10



15.0 x 10 5 x 10

2

kg .m s

2



10 

3.0 x 10

 2 

kg .m s 2

= 3.0 x 1012 kg.m/s2.

Gustavo Salinas E.

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Realizar mediciones de diferentes cuerpos, utilizando instrumentos de medición como el calibrador y el tornillo micrométrico.

2.1.8. ACTIVIDAD N°- 02 

Nunca trate de elaborar las actividades solicitadas sin antes haber estudiado los temas indicados, pues existen algunas preguntas que no podrá realizarlas sin un adecuado conocimiento.

 En los ejercicios prácticos y de investigación que se solicitan, sea lo más ordenado y detallista posible, ya que estas características permitirán establecer el nivel de conocimientos adquiridos por usted.

CONTESTE: 1. Con sus propias palabras escriba qué entiende usted por medir. 2. Investigue las definiciones de las unidades fundamentales. 3. Escriba tres prefijos de los múltiplos y submúltiplos, aplíquelos al metro e indique los nombres de las unidades obtenidas y sus equivalencias con el metro. 4. Escriba los sistemas que existen comúnmente. 5. ¿Qué se debe cumplir en cualquier ecuación donde intervengan variables físicas?. 6. Describa el método para convertir las unidades de una cantidad física. 7. ¿Cuál es la importancia de las cifras significativas en la medición?. 8. ¿Cuál es la importancia de utilizar la notación científica?.

COMPLETE: 9.- La unidad de masa del Sistema Internacional de Unidades es ................................................ 10.- El Kelvin es una unidad que se estableció para medir ............................................................ 11.- Son magnitudes derivadas las que resultan de la ..................................................................... 12.- La unidad para medir la superficie es en el S.I. es .................................................................. 13.- Tiene dimensión la masa en el S.I. ........ ¿Cuál esa dimensión? .............................................. 14.- En el sistema inglés, este sistema se basa en el pie como unidad de ....................................... la libra como unidad de ................................... y el segundo como unidad de ........................

ANALICE: 15.- Describa y explique el funcionamiento de los instrumentos de medida que se observan en las figuras.

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16.- En general. ¿Se puede expresar con exactitud el valor de una cantidad física?. ¿Por qué sí o por qué no?. 17.- Indique, qué son ecuaciones dimensionales, y para qué sirven. Ponga 3 ejemplos. 18.- Explique las tres reglas para determinar las cifras significativas. 19.- Indique cuáles de los siguientes conceptos pueden ser considerados como magnitudes físicas: edad, tamaño, volumen, color, inteligencia, simpatía, grosor, olor, dureza y belleza. Explique su respuesta. 20.- Complete el siguiente cuadro de unidades que no pertenecen al S.I., pero que han sido aceptados por la comunidad científica. TABLA 1

Magnitud Tiempo .................. Distancia Temperatura ................... Masa Potencia

Nombre Hora Tonelada Milla ......... Pulgada Onza ...........

Símbolo H T ...... °K ........ ........ HP

S.I. ........... ........... ........... ........... ........... ........... ..........

2.1.9. EJERCICIOS DE APLICACIÓN:

EJEMPLO MODELO 1: El cohete

Saturno V tiene

0.111 km de longitud cuando es

lanzado. ¿Cuál es su longitud en micrómetros y en pies?. DATOS: L = 0.111 km L = ........ m. L = ........ pies.

MODELO: Primero establecemos los Sistemas que intervienen, luego sus equivalencias y por último aplicamos a la cantidad dada. PLANTEAMIENTO:

1 km = 1000 m, 1 m = 10-6 y 1 pie = 0.3048 m.

SOLUCION: L = 0.111 km.

1000 m 1km

Gustavo Salinas E.

.

1  m 10

6

m

1.11 x10

8

m.

20


L = 0.111 km .

1000 m 1 km

.

1 pie 0.3048 m

= 364 pies.

ANALISIS: Esta es una conversión indirecta en el primer caso y en el segundo caso una conversión directa exacta. 1.- Expresar 320 000 pulgadas/día a: pies/h, cm/mim, m/s. DATOS

MODELO:

PLANTEAMIENTO: SOLUCION:

ANÁLISIS:

2.- Escriba las siguientes cantidades en notación científica. a) 382 = d) 0,75 = b) 21 200 = e) 0.0042 = c) 62 000 000 = f) 0.000069 = 3.- Las siguientes cantidades expresadas en notación expresar en forma normal. a) 2 x 103 = d) 7.5 x 10-2 = b) 1.2 x 106 = e) 8 x 10-5 = c) 3.4 x 105 = 4.- Realice las siguientes operaciones y utilice cifras significativas. a) 1.28 x 105 + 4 x 104 = b) 6.4 x 10-4 - 0.43 x 10-3 = c) ( 2 x 10-2 ) (4 x 10-2) = d) (4.8 x 10-3) : (1.2 x 104) = e) (102)3 = f)

16 x10

6

=

5. Un chip de silicio tiene un área de 1,25 pulgadas cuadradas Exprese en cm2, pies2 y m2. 6. En Ecuador la rapidez permisible en las carreteras es de 55 millas por hora (mi/h). Cuál es la rapidez en: a) m/s, b) km/h. 7. Tres estudiantes obtienen las siguientes ecuaciones:

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a) x  x b)

o

 v t

2



x  xo  vo t 

2at 1 2

2

at

c) x  xo  vo t 2  12 at 2 En donde x y xo se refieren a la distancia recorrida en metros, v a la rapidez en m/s, a a la aceleración en m/s2, t al tiempo en s. ¿Cuál de estas ecuaciones es correcta de acuerdo con una comprobación dimensional?.

2.1.10. EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.- Realice las siguientes conversiones: a) 0.3 m a cm b) Tres días a min. c) 121 millas a m. d) 3 x 10-2 km a cm. e) 42 toneladas a kg. f) 0,068 pulgadas a cm. g) 42 litros a cm3. h) 65 km.g/h a m.kg/s. 2.- Escriba en notación científica las siguientes cantidades: a) Masa de un barco: 10 000 000 000 kg. b) Vida media de un hombre: 1 000 000 000 h. c) Masa del átomo: 0,000 000 000 000 000 000 000 1 kg. d) Período de un electrón en su órbita: 0,000 000 000 000 001 s. e) masa de la Tierra: 5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg. 3.- Realice las siguientes operaciones: a) 5,49 x 106 + 3,65 x 105 b) 4,21 x 10-3 + 4,82 x 10-3 - 5,07 x 10-4 c) (53,8 x 10-6)(4,567 x 10-3) d) (3,48 x 10 -5)(7 x 10-5) e) 32,45 x 10 -4  2,96 x 105 f) 4,649 x 10 9  6,87 x 10-6 g) (8,4 x 103 + 7,05 x 103) + 3,8 x 105 – 1,1 x 102 h) 0,66 x 102 x (7,8 x 10 -5 – 5,4 x 10-5) + 3,12 x 10-3 i) 1,02 x 107 – (0,7 x 1010  0,08 x 103) + (9,7 x 10) x (2,5 x 106). 4.- La distancia entre Nueva York y Londres es de 3 480 millas. Exprese esta distancia en kilómetros, metros y pies. Utilice la notación científica cuando sea apropiado. 5.- Un jugador de basquetbol mide 6 pies y 9,4 pulgadas de alto. ¿Cuánto mide en centímetros? 6.- La vida media de un núcleo radiactivo es de 1,5 x 10-8 s. ¿Cuál es su vida media en milisegundos (ms), microsegundos (s), nanosegundos (ns), picosegundos (ps) y en minutos (min)? 7.- El límite de velocidad en una carretera del país es de 45 mi/h. ¿Cuál es el límite en kilómetros por hora? 8.- En muchas carreteras europeas el límite de velocidad es de 100 km/h. ¿Cuál es este límite en millas por hora?

Gustavo Salinas E.

22


9.- La masa de un átomo de uranio es de 4.0 x 10 -6 kg. ¿Cuántos átomos de uranio hay en 12.0 g de uranio puro? 10.- A continuación aparecen las dimensiones de varios parámetros físicos que se describen posteriormente en este libro. [M], [L], y [T] indican masa, longitud y tiempo, respectivamente. Velocidad (v) ..................... [L]/[T] Aceleración (a) .................. [L]/[T2] Fuerza (F) .......................... [M] [L]/[T2] Energía (E) ........................ [M] [L2]/[T2] Potencial) .......................... [E]/[T] Presión(p) ........…………[F]/[L2] Densidad() .................... [M]/[L3]. a) Demuestre que el producto de masa, velocidad y aceleración tiene las unidades de potencia. b) ¿Qué combinación de fuerza y una de las unidades fundamentales (masa, longitud y tiempo) tiene la dimensión de energía? c) Si un objeto se deja caer desde una altura h, su velocidad al chocar contra el suelo está determinada por h; y por la aceleración de la gravedad, g = 9.8 m/s2. ¿Qué combinación de esas cantidades debe aparecer en una fórmula que relacione dicha velocidad con h; y con g?. d) De acuerdo con la "ley del gas ideal", la presión, el volumen y la temperatura de un gas están relacionados por pV= nRT. Aquí, p es la presión. V es el volumen del gas, n es un número adimensional (el número de moles del gas), R es una constante universal de los gases y T es la temperatura absoluta. Demuestre la relación entre RT y la energía de 1 mol de gas. 11.- Encuentre las respuestas de los siguientes problemas numéricos: a) (9.0 x l07)(3.0 x 10-6)

6.0 x10 4.0 x10 0.0040 b) 8

12

5

1.5 x10

   3.6 10  4 10  c) 3 10  x

5

x

1

2

2

x

3

Gustavo Salinas E.

3

2

23


2.1.11. AUTOEVALUACION: 1. CONTESTE: 1.- Con sus propias palabras escriba qué entiende usted por medir ……………………………… …………………………………………………………………………………………………….. 2.- Escriba las clases de sistemas de unidades y hable de una de el los …………………………... …………………………………………………………………………………………………….. 3.- Cuál es el objetivo de expresar cantidades en notación científica ……………………………. …………………………………………………………………………………………………….. 4.- Explique que diferencia existe entre medir y pesar la masa de un cuerpo ……………………. ……………………………………………………………………………………………………..

5.- Escriba tres prefijos de múltiplos, aplíquelos al metro e indique los nombres de las unidades obtenidas y sus equivalencias con el metro ………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………..

2. CORRELACION: Dentro del paréntesis ponga el número de la derecha que corresponde a cada a cada enunciado. ( ( ( ( ( ( ( (

6. Metro / Segundo cuadrado (m/s2) 7. Sistema Inglés 8. Grados Kelvin. 9. Notación científica. 10. Angulo plano. 11. Sistema de unidades 12. Fuerza 13. 0.000004

) Temperatura ) Magnitud suplementaria. ) Pie ) 4 x 10-6 ) M.K.S. ) M x 10n ) Aceleración ) Magnitud Derivada

3. CRUCIGRAMA: HORIZONTALES 1. Unidad de una magnitud suplementaria. 2. Error que se obtiene de la diferencia entre Xi y X. 3. Unidad de corriente eléctrica. 4. Unidad de magnitud fundamental

VERTICALES 1.- Error cometido en una medición 2.- Homogeneidad de una ecuación. 3.- Magnitud fundamental. 4.- Su dimensión es L2.

2 4 3

2 3

Gustavo Salinas E.

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2.2. TEORIA DE ERRORES 2.2.1. INTRODUCCION: El proceso de medida de una magnitud física nos lleva a la obtención de un número. Desde un punto de vista puramente matemático, el verdadero valor de una magnitud es un número real en general con infinitas cifras. En las situaciones reales, los aparatos son imperfectos, el observador cuenta con sentidos de sensibilidad limitada, las condiciones experimentales sufren alteraciones que pueden pasar inadvertidas, etc., y aún en el supuesto de que todos los factores fuesen controlables, las observaciones alteran el sistema que se está observando. Por lo tanto, cuando hacemos la medida de una magnitud no podemos asegurar que el número o valor que resulta es igual al valor verdadero de la magnitud medida, de modo que entre ellos existe, en general, una diferencia que se denomina error.

2.2.2. TIPOS DE ERROR: Las causas de error pueden ser diversas, de tal manera que el error total cometido es el resultado de la acumulación de varios errores parciales debidos a circunstancias diversas. Esto ha dado lugar a que los errores se los clasifique en: errores sistemáti cos y accidentales .

2.2.2.1. ERRORES SISTEMÁTICOS.- Son causados por deficiencia de los instrumentos de medición y por la impericia del observador. Son aquellos que se producen siempre en una misma dirección, ya sea por exceso o defecto del instrumento. Los errores causados por la deficiencia de los instrumentos se denominan también errores instrumentales y se cometen cuando se utiliza instrumentos de mala calidad o mal calibrados (la aguja del instrumento no está en el cero de la escala antes de iniciar la medida). Los errores por impericia del observador se llaman también errores personales y el más común es el posicionamiento del observador para medir o paralaje (la visual del observador no se dirige perpendicularmente a la escala).

2.2.2.2. ERRORES ACCIDENTALES.- Son los producidos por fluctuaciones desconocidas e imprevisibles de las condiciones experimentales, es decir están fuera del control del observador. 2.2.3. TRATAMIENTO DE LOS ERRORES: Cuando realizamos una sola medición nunca estaremos seguros de que aquella es la correcta, para ello hay que realizar varias veces la misma medición con el objetivo de disminuir los errores y realizar ciertos cálculos matemáticos y estadísticos. En una medición distinguimos dos clases de mediciones: Mediciones directas y mediciones indirectas.

2.2.3.1. MEDICION DIRECTA.- Son aquellas que se obtienen por lectura directa de un instrumento de medición. Así, por ejemplo: Para la longitud se utiliza el flexómetro, para la masa se utiliza una balanza, para la temperatura se utiliza un termómetro, etc. En una medición directa se determinan los errores absoluto y relativo. Error Absoluto.- El error absoluto ( x ) de una medición directa se obtiene de la diferencia entre el valor obtenido (xi) y el valor aceptado como verdadero ( x ).  x  xi  x

Gustavo Salinas E.

25


 x =

Error absoluto. xi = Valores obtenidos ( x1, x2, x3, ..., xn). x = Valor aceptado como verdadero.

Valor aceptado como verdadero ( x ).- Se obtiene dividiendo la sumatoria de todas las mediciones para el número de las mismas, a este valor se lo conoce como promedio o media aritmética. n

 x x



i 1

i



x 1

n

 x2  ..... x n n

.

Entonces el valor el valor probable de la lectura es: x p =

x

  x

Error Relativo porcentual (er%).- Se obtiene dividiendo el error absoluto para el valor aceptado como verdadero y multiplicado por 100 %. e

r %



 x

100%

x

Valor probable de la lectura es: x p = x  er %

2.2.3.2. MEDICION INDIRECTA.- Son aquellas que se obtienen por medio de operaciones matemáticas (fórmulas o ecuaciones). Así, por ejemplo. Para determinar el Área se multiplica longitud por longitud (L x L = L2), para determinar la velocidad se divide la longitud para el tiempo (L/T). En las mediciones indirectas existe propagación de errores debido a las operaciones que se realizan y el resultado final se ve afectado, como es la suma o resta, la multiplicación, la división, la potenciación y radicación. Error absoluto para la suma y la diferencia ( S).- Es igual a la suma de los errores absolutos de las variables intervinientes. Así, por ejemplo el semiperímetro de un rectángulo de lados a y b . Primero debemos medir las longitudes de los lados del rectángulo y sumarlos. Como son mediciones directas, consecuentemente tienen errores absolutos experimentales. Medición directa a  a = ( a b a

 a

).

Medición directa b  b = ( b  b ). Medición indirecta, Operación: S = a + b  S =

S  S

S + S = ( a  a ) + ( b  b ) S + S = a  a + b  b S + S = a  a + b  b -S = -a - b S = a + b Error absoluto de la suma o resta.

Gustavo Salinas E.

26


er 

S

S

a  b



Error relativo de la suma o resta.

ab

Error absoluto del Producto ( A).- Es igual a la sumatoria de los productos de la una variable por el error absoluto de la otra. Así mismo tomemos como ejemplo el rectángulo para demostrar el área. A

Δb

Medición directa a  a = ( a  a ). Medición directa b  b = ( b  b ). M. indirecta Operación: A = a x b  A = A   A

b a

Δa

A + A = ( a

 a

) x (b

 b )

0 A + A = ab + ab + ba + ab A + A = ab + ab + ba -A = - ab A =

ab + ba

Error absoluto del doble producto.

El producto a b se desprecia ya que comparado a x b con a x b es sumamente pequeño siempre y cuando los errores en las mediciones directas no sean mayores del 9 %, caso contrario no sirve ésta consideración. Para determinar el error relativo del producto se tiene: er 

er 

 A

A  A

A





a b a b a

a





ba a b

b

b

Error relativo del doble producto.

Error absoluto para el cuociente ( C).- Es igual a la sumatoria de los productos de la una variable por el error absoluto de la otra y ese resultado dividido para el denominador al cuadrado. Medición directa a  a = ( a  a ). Medición directa b  b = ( b  b ). Medición indirecta, Operación: C = a  b =

Gustavo Salinas E.

a b

 C = C  C

27


a  a

C  C 

-C

b  b

=

-

b

a  a

C =



b



 b  bb

b a  a  a b  b



ab  ba  ab  a b 

C =

b  bb ab  ba  ab  a b

C =

b  bb b a  a b

C =

b  bb b a  a b

=

a

-

b  b

C =

b + b  b  C

a

b

2

; como

muy pequeño, entonces:

; como se toma en cuenta los signos  y por ser valores

ba  a b

absolutos se tiene: C =

b es

Error absoluto del cuociente.

b2

Para determinar el error relativo del cuociente se tiene: er



er 

C

C C

C

b a b





b2 a a

a





b

b

ab b b2 a

Error relativo del cuociente.

Error de la Potenciación y radicación.- Si se tiene la ecuación Q

x n y m 

p

z

x n y m z p ; 



entonces la propagación de errores, primero se determina el error relativo, y se tiene:

Q

Q

Gustavo Salinas E.



n

 x

x



m

 y

y

 p

 z

z

Ecuación General.

28


Realizar mediciones directas e indirectas de diferentes cuerpos, utilizando instrumentos de medición como: la balanza, calibrador y el tornillo micrométrico.

2.2.4. ACTIVIDAD N°- 03 



CONTESTE: 1.- ¿En qué consiste medir un objeto directa e indirectamente?. 2.- ¿Qué características debe tener una unidad patrón?. 3.- Realice un cuadro sinóptico u organizador gráfico sobre las ideas fundamentales relacionadas al tema. 4.- Describa los posibles errores que se cometen en una medición. 5.- ¿De quién depende los errores sistemáticos cometidos en una medición?.

COMPLETE: 6.- Los errores sistemáticos se comenten siempre en una misma ........................................... 7.- El error absoluto es la diferencia entre el valor ..................... y el valor ................................... 8.- El error relativo es el cuociente entre el error ........................... y el valor ................................ 9.- Existe propagación de errores en la mediciones ........................... porque se realizan combinaciones entre varias variables. 10.- Un error relativo porcentual es aceptable en una medida directa hasta un ..............................

ANALICE: 11.- En el lenguaje cotidiano se acostumbra nombrar el peso de un cuerpo en kilogramos o gramos. ¿Es correcto eso?. Explique. 12.- ¿Cuándo realiza mediciones necesita de alguien que le ayude?. Explique. 13.- ¿De quién depende la exactitud de una medición?. ¿Por qué?. 14.- ¿Cómo haría la medida directa del volumen de una habitación?.


EJEMPLO MODELO 1: En el laboratorio se realizó la medición de la masa, largo, ancho y altura del paralelepípedo de la figura: Masa (m): 15,2 g; 15,7 g; 15,6 g; 15,6 g; 15,5 g. Largo ( l ): 8,7 cm; 8,8 cm; 8,5 cm; 9,0 cm; 9,4 cm. Ancho (a): 5,3 cm; 5,1 cm; 5,6 cm; 5,3 cm; 5,0 cm.

Gustavo Salinas E.

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Altura (h): 2,9 cm; 2,7 cm; 2,8 cm, 3,0 cm 2,4 cm. Determinar: a) Los errores absolutos y relativos de cada medida directa. b) Las lecturas con sus respectivos errores. c) El volumen del paralelepípedo con sus respectivos errores y lecturas. d) La densidad del paralelepípedo con sus respectivos errores y lecturas.

MODELO: Se utilizarán las definiciones de los errores absoluto y relativo para las medidas directas como son la masa, el largo, ancho y la altura. Para el volumen y la densidad se hará uso de las definiciones de los errores para la potenciación y el cuociente. PLANTEAMIENTO: De acuerdo con los datos, primero se determinará el valor aceptado como verdadero para cada una de las mediciones directas: x 

x  x 1

2

 ..... xn

.

n

Luego los errores absolutos y relativos: y

 x  xi  x

e

r %



 x

100%

x

A continuación se determinará el volumen del paralelepípedo: V = l x a x h. Y por último la densidad y sus errores:  =

SOLUCION:

m V

.

Para facilidad del tratamiento de los datos se realizará en un cuadro:

Tabla 2

N° 1 2 3 4 5

m (g) m (g) l (cm) l (cm) A (cm) a (cm) h (cm) h (cm)

15,2 -0,32 15,7 0,18 15,6 0,08 15,6 0,08 15,5 -0,02  77,6 0,68 15,52 0,14 x a) m = 0,14 g. em%  el % 

e

a

%



eh % 

m

m l

l

8,7 8,8 8,5 9,0 9,4 44,4 8,88

l = 0,26 cm.

100% 

100% 

a

h

b) m  m

100% 

Gustavo Salinas E.

15,52

8,88

100% 

 m

0,14

0,26

a

h

-0,18 -0,08 -0,38 0,12 0,52 1,28 0,26

5,3 5,1 5,6 5,3 5,0 26,3 5,26

0,04 -0,16 0,34 0,04 -0,26 0,84 0,17

a = 0,17 cm.

2,9 2,7 2,8 3,0 2,4 13,8 2,76

0,14 -0,06 0,04 0,24 -0,36 0,84 0,17

h = 0,17 cm.

100%  0,9% .

100%  2,93% .

0,17 5,26 0,17 2,76

100%  3,23 % . 100%  6,16 %

 = (15,52  0,14)g.

m =

m  em% 



15,52 g  0,9 %

30




 = (8,88  0,26)cm.

l  l  l

 a

 = (5,26  0,17)cm.

a=

h  h  h

 = (2,76  0,17)cm.

h= h



a



l = l

a





a

 el %



e

a

%

 eh %





 

8,88cm  2,93% 5,26  3,23% 2,76 cm  6,16 % cm

c) V = l x a x h. V = (8,88 cm)x(5,26 cm)x(2,76 cm). V = 128,92 cm3. V

1

V V

V V V

1



V

l

1

0,26

a

a

1

8,88



0,17 5,26

h

h

1

0,17 2,76

0,029  0,032  0,062



V

l

0,123

V = 0,123 V = 0,123 (128,92 cm3) = 15,86 cm3. V

ev% =

V

100 %  0,123 100 %

ev% = 12,3%. V = ( V  V ) = (128,92  15,86)cm3.

d)

=







m V

V = ( V  eV % ) = (128,92 cm3  12,3%)

. 15,52 g



128,92 cm

3

= 0,12 [g/cm3].

  =

  =

V m  mV V

2



128,920,14  15,5215,86 18,0488  246,1472  2 16620 ,3664 128,92

264,196 g 16620 ,3664 cm

3

  = 0,0159 [g/cm3].

Gustavo Salinas E.

31


e  % 

e  % =

 

0,0159



0,12

100% 

100%

13,25 %.

Lectura:



 0,12  0,0159  g / cm3



 0,12 g / cm

     

    e  % 

3

.

 13,25%

ANÁLISIS: Es necesario realizar paso por paso para una mejor comprensión y al final poner las unidades. 2.- Una persona midió varias veces su masa y obtuvo los siguientes datos: 56,80 kg; 56,78 kg; 56,74 kg; 56,82 kg; Determinar: a) El valor aceptado como verdadero. b) El error absoluto. c) El error relativo porcentual. d) Expresar su lectura. DATOS:

MODELO:

PLANTEAMIENTO:

SOLUCION:

ANÁLISIS:

3.- El área de un rectángulo se reporta como (452  9) cm2 y una de sus dimensiones se reporta como (10,0  0,25) cm. ¿Cuál será el valor y su error absoluto de la otra dimensión?.

Gustavo Salinas E.

32


2.2.6. EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.- Una persona midió varias veces su masa y obtuvo los siguientes datos: 56,80 kg; 56,78 kg; 56,74 kg; 56,82 kg;. Determinar: a) El valor aceptado como verdadero. b) El error absoluto. c) El error relativo porcentual. d) Expresar su lectura. 2.- El área de un rectángulo se reporta como (452  9) cm2 y una de sus dimensiones se reporta como (10,0  0,25) cm. ¿Cuál será el valor y su error absoluto de la otra dimensión?. 3.- Experimentalmente se hallaron los siguientes valores de la velocidad del sonido: 340,5 m/s; 338,9 m/s; 340,8 m/s; 340,5 m/s; 339,3 m/s. Hallar el valor aceptado como verdadero. R. 340 m/s. 4.- Los siguientes son los errores absolutos: 0,4 °C; -0,3°C; 0,8°C y – 0,2°C. se encontraron al realizar la medición de la temperatura en la ciudad de Baños. Si la temperatura promedio del lugar es de 18,6°C. Hallar los errores relativos de estas mediciones. R. a) 2,15%; b) 1,6 %; c) 4,3 % y d) 1,0 %. 5.- Calcular el error relativo del volumen de un cilindro, si ecuación es: V = (2h)/4 6.- La medición de la magnitud de un segmento es L = (15,4  0,3)mm; y la medición de una longitud de onda es:  = (5 500  300) A°. Determinar cuál de las mediciones es más precisa. R. La del segmento, por que el porcentaje es menor. 7.- Calcular el error relativo de la resistividad, cuya ecuación es:



 R 2 

4 L

.

8.- Se obtienen los resultados de las mediciones de un paralelepípedo con sus respectivos errores absolutos: l = (12,1  0,2) cm; a = (8,7  0,12 ) cm; h = (4,3  0,10) cm. Respectivamente. La masa del mismo está expresada como : m = (11,3 g  4,3 %). Determinar: a) El área formada por el largo y ancho con sus respectivos errores y lecturas. b) El volumen del paralelepípedo con sus respectivos errores y lecturas. c) La densidad con sus respectivos errores y lecturas. R. a) 105,25 cm 2; 3,192 cm2; 3,03 %; b) 452,661 cm 3; 24,25 cm3; 5,35 %; c) 0,0249 g/cm 3; 0,0024 g/cm3; 9,68 %. 9.- En un laboratorio se obtuvieron los siguientes resultados de ciertas medicione s: Masa (m): 60,38 kg; 60,41 kg; 60,44 kg; 60,41 kg; 60,35 kg. Tiempo (t): 6,84 s; 6,88 s; 6,80 s; 6,86 s. Distancia (x): 21,89 m; 21,85 m; 21,90 m; 21,80 m y 21,86 m. Determinar: a) Los errores absolutos y relativos de cada variable y sus respectivas lecturas. b) La velocidad con sus respectivos errores y lecturas, si se sabe que v = x/t. 10.- En el Laboratorio, se obtuvieron los siguientes valores de las mediciones realizadas a un cilindro macizo. Altura: 16 mm; 16,5 mm; 17 mm; 16,5 mm; Diámetro: 18,0 mm; 18,5 mm; 19,0 mm; 18,0 mm. Masa: 42,7 g; 42,0 g; 42,6 g y 43 g. Determinar: a.- El volumen con sus respectivos errores y su escritura. b.- La densidad del cilindro con sus errores y su escritura. 11.- La masa de un objeto está dad por m = (346,2  0,1)g y su volumen por V = (53,17  0,08) cm3. Encontrar la densidad. 12.- El diámetro de una esfera es  = (8,65  0,04) cm. Encontrar la expresión. (V  V), donde V es el volumen de la esfera (3/6). 13.- Un trozo de alambre de cobre cuya longitud es l = (58,3  0,05) m tiene una masa m = (265  1)g. Determinar el diámetro de éste alambre si la densidad del cobre es  = (8,8  0,05) g/cm3.

Gustavo Salinas E.

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14.- Al determinar la aceleración de la gravedad g, valiéndose del método del péndulo invertido, se aplica la fórmula g = 2l /t2, don l es la longitud del péndulo, y t el período de oscilación simple. La medición de l y t son: l = (50,02  0,01) cm. t = (0,7098  0,0001)s. basándose en éstos datos, encontrar la aceleración de la gravedad con sus respectivos errores. 15.- Calcular la velocidad angular por la fórmula  = /t, en la cual  = 23°  1°) y t = ( 18  1)s. 16.- En la figura dada. Determinar el volumen total con sus respectivos errores. Las dimensiones son: D1 = 4,005 cm D2 = 4,000 cm D3 = 4,005 cm D4 = 4,010 cm D5 = 4,010 cm J1 = 2,389 cm J2 = 2,385 cm J3 = 2,387 cm J4 = 2,386 cm J5 = 2,388 cm E1 = 2,007 cm E2 = 2,003 cm E3 = 2,005 cm E4 = 2,06 cm E5 = 2,007 cm A1 = 2,696 cm A2 = 2,698 cm A3 = 2,694 cm A4 = 2,697 cm A5 = 2,695 cm B1 = 1,990 cm B2 = 1,992 cm B3 = 1,988 cm B4 = 1,991 cm B5 = 1,989 cm C1 = 0,792 cm C2 = 0,790 cm C3 = 0,794 cm C4 = 0,791 cm C5 = 0,793 cm

C

A

B

J

E D

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2.2.7. AUTOEVALUACION: 1.0. CORRELACION: Dentro del paréntesis ponga el número de la derecha que corresponde a cada a cada enunciado. ( ) Función cuadrática que pasa por el origen. 1. a b + ba ( ) Función lineal. 2. Producto de la deficiencia del instrumento. ( ) Error relativo

a

3.

a

( ) Error absoluto. ( ) Pendiente. ( ) Error absoluto del cociente.

4. xi - x 5. y = ax2 6. y = ax.

( ) Error absoluto del producto.

7.

( ) Error sistemático.

8.

 y  x

.

ab  ba b2

.

2. VERDADERO O FALSO: 9. El error relativo porcentual es el cociente entre el error absoluto para el valor aceptado como verdadero por 100%?. ( ) 10. Medida indirecta es aquella que se realiza con los instrumentos de medida?. ( ) 11. Función lineal es la que su gráfica es una parábola?. ( ) 12. Proporcionalidad directa es cuando una variable aumenta o disminuye, también sucede con la otra?. ( )

3. CRUCIGRAMA:

2 1

HORIZONTALES 1. Error que se obtiene de la diferencia entre xi y 2. Tipo de proporcionalidad. 3. Su gráfica es una hipérbola. 4. Unidad de medida fundamental.

1 x

VERTICALES 1.- Error cometido en una medición 2.- Relación entre dos o más variables. 3.- Inclinación de una recta. 4.- Sistema de referencia en honor a Descartes.

.

3

4

2

3 4

4. ENSAYO: En el Laboratorio, se obtuvieron los siguientes valores de las mediciones realizadas a un cilindro macizo. Determinar: Altura: 16 mm; 16,5 mm; 17 mm; 16,5 mm; Diámetro: 18,0 mm; 18,5 mm; 19,0 mm; 18,0 mm. Masa: 42,7 g; 42,0 g; 42,6 g y 43 g. a.- El volumen con sus respectivos errores y su escritura. b.- La densidad del cilindro con sus errores y su escritura.

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2.3. FUNCIONES Y GRAFICAS. 2.3.1. INTRODUCCIÓN: Al estudiar los fenómenos naturales, generalmente se presenta la necesidad de relacionar dos o más magnitudes, estas relaciones en muchos casos pueden ser expresadas a través de ecuaciones matemáticas, una de ellas se llama función y que depende de otra magnitud que se le denomina variable. Estas relaciones entre funciones se pueden representar por medio de gráficas, las mismas que nos permiten apreciar y visualizar las variaciones de las funciones. Una gráfica bien elaborada hace más que afirmar que “una imagen vale más que mil palabras”.

2.3.2. SISTEMAS DE REFERENCIA Los sistemas de referencias, son ejes de coordenadas que permiten representar valores en cada uno de los ejes a escalas preestablecidas. Entre los sistemas de referencia más usados tenemos: Unidimensionales, bidimensionales, tridimensionales, esféricos y cilíndricos.

De una Dimensión.- Este sistema está formado por un solo eje horizontal, llamado eje de las x, Se toma como un punto fijo 0 como origen de una escala adecuada de graduación, las magnitudes a la derecha del origen 0 son positivas y a la izquierda del origen 0 son negativas. Para ubicar un punto en este sistema de referencia estará formado por una sola componente, llamada abscisa, la misma que puede ser positiva o negativa, P(x).

-5 -4 -3 -2 -1

x

01 2 3 4 5 6

De dos Dimensiones.- Está formado por dos ejes perpendiculares entre sí, llamados ejes de coordenadas que se cruzan en un punto común llamado origen 0, dividiendo al plano en cuatro cuadrantes: I, II, III y IV, enumerados en sentido antihorario. El eje horizontal se llama eje de las abscisas y el eje vertical se llama eje de las ordenadas, por tanto, para ubicar un punto en este sistema de referencia, se tendrá dos componentes: P(x;y). Las magnitudes a la derecha del eje y son positivas y a la izquierda son negativas, las magnitudes sobre el eje de las x son positivas y bajo del mismo son negativas. y 4 3 II

I

2 1

x

0 -4 -3

-2 -1-1 III

-2

1

2

3

4

IV

-3 -4

De tres Dimensiones.- Este sistema de referencia está formado por tres ejes de coordenadas perpendiculares entre sí, dando lugar a la formación de tres planos: xy; xz y yz. Para determinar un punto en los ejes tridimensionales, está formado por tres componentes: P(x;y;z).

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y XY YZ

XZ

Coordenadas polares esféricas.- Se expresa mediante un sistema de coordenadas esféricas tomando como referencia tres ejes cartesianos, se pueden usar como forma alternativa de asignar números a puntos en el espacio, medibles directamente con el telémetro láser. En éstas coordenadas r es la distancia del origen a P, y θ es el ángulo que forman el eje z y la línea OP. La línea PQ es perpendicular al plano x-y , y ф es el ángulo que forman OQ y el eje x . Por lo anterior, z = r cos θ , x = r sen θ cos ф y y = r sen θ sen ф. Entonces el punto P(r ; θ ; ф). Coordenadas polares cilíndricas.- Es una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana, donde se mantiene la coordenada z del sistema de coordenadas cartesianas, pero se emplea la distancia y el ángulo en el plano x-y . El ángulo ф se define en cuanto a las coordenadas esféricas. La coordenada z se define como en las coordenadas cartesianas. La tercera coordenada es r , que es la distancia perpendicular del eje z al punto P. Por consiguiente el punto queda expresado de la siguiente forma, P(r ; ф; z ). 2.3.3. FUNCIÓN Se dice que una magnitud y (variable dependiente) es función de otra magnitud x (variable independiente), cuando su valor es determinado por el valor de la variable. Una función se escribe simbólicamente: y = f(x), que se lee “ y función de x”.

De esta manera, muy frecuentemente los resultados de los experimentos en Física se presentan en tablas o cuadros de datos, en una columna van los valores de x y en otra los valores de y, luego a partir de la tabla se construyen las gráficas.

2.3.4. GRAFICAS Una gráfica se elabora a partir de los datos de una función, en el caso del plano, la variable se ubica en la abscisa (eje x) y la función en la ordenada (eje y), y se unen los puntos con una recta o línea de curvatura. Así una gráfica nos da informaciones no sólo sobre los puntos experimentales, sino también sobre todos los puntos de la gráfica, nos indica cómo se comporta un fenómeno.

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Existen diferentes gráficas, dependiendo de la función. Función lineal, es cundo su gráfica es una línea recta, que tienen la forma : y = ax , que pasa por el origen, y = ax + b, que no pasa por el origen. Función cuadrática, es cuando su gráfica es una parábola, que tiene la forma: y = ax 2 , la misma que pasa por el origen, y = ax 2 + b, que no pasa por el origen. Existen también otro tipo de gráficas de funciones como por ejemplo: y = a /x , donde la gráfica es un hipérbola.

2.3.5. PROPORCIONALIDAD Se dice que es una proporción o proporcionalidad de dos magnitudes cuando están relacionadas de modo que al variar la una también varía la otra, ya sea en aumento y disminución, dando lugar dos clases de proporcionalidad directa e inversa.

2.3.5.1. PROPORCIONALIDAD DIRECTA.- Una proporción es directa, cuando la variable independiente aumenta, también aumenta en la misma proporción la función. Si la función es de la forma: y = Kx , la gráfica es una línea recta que pasa por el origen, y es directamente proporcional a x , (y x ), donde K es la constante de proporcionalidad: K = y/x.

 y

k   x

También existe otra proporción directa de la forma y = Kx + b, su gráfica es una línea recta, pero que no pasa por el origen, como se observa en la figura.  y

k   x

Cuando se tiene una proporcionalidad cuadrática, si la variable se duplica, la función se cuadruplica, y es de la forma: y = Kx 2 , donde y es proporcional al cuadrado de x, (y x2 ), y la gráfica es una parábola. y = kx2

2.3.5.2. PROPORCIONALIDAD INVERSA.- Si consideramos dos magnitudes x y y , tales que al aumentar la una variable, la función disminuye en la misma proporción. Así por ejemplo: al duplicar x , el valor de y queda dividido entre 2. Si triplicamos el valor de x , el valor de y queda dividido por 3. Cuando esto ocurre decimos que, y es inversamente proporcional a x . ( y



1

y y  xk

), la

x

x

gráfica es una hipérbola.

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2.3.6. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UNA RECTA Cuando se conocen dos puntos de una recta, en cualquiera de los sistemas de referencia citados, es fácil determinar la distancia entre dichos puntos. Para demostrar el cálculo de la distancia, tomaremos dos punto, P1(x1 ; y1) y P2(x2 ; y2) de una recta l en un sistema de coordenada en el plano, para lo cual utilizaremos el Teorema de Pitágoras, de acuerdo a la figura. Si consideramos el triángulo rectángulo formado por los puntos P1QP2, entoces: (P1P2)2 = (P1Q)2 + (QP2)2. y

Pero de acuerdo al gráfico se tiene que: P1P2 = d P1Q =  x = x2 – x1 QP2 =  y = y2 – y1

x

Entonces se tiene: d2 =  x2 +  y2  d2 = ( x2 – x1)2 + ( y2 – y1)2 d 

 x

x1 

2



2



 y

2



y1 

2

Generalizando esta ecuación para puntos en el espacio ejes tridimensionales se tiene: d 

 x

2

x1 



2



 y

2



y1 

2



 z

2



z 1 

2

2.3.7. PENDIENTE DE LA RECTA La pendiente (m ) de una recta, es el grado de inclinación de la recta, la misma que es igual a tangente del ángulo . Entonces: m = tan . tan y θ

x

m=

=

 y  x

 y  x





y 2  y1 x2  x1

y2

 y1

x2

 x1

Determinar la proporcionalidad directa, utilizando el alargamiento de un resorte con relación a su masa.

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2.3.7. ACTIVIDAD N° 04. 



CONTESTE: 1.- En una función, qué elementos se identifican. 2.- Indique qué es una gráfica y explique cómo se dibuja. 3.- ¿Qué características tiene la proporcionalidad directa e inversa?. 4.- ¿Qué es la pendiente de una gráfica y qué utilidad puede tener su conocimiento?.. 5.- ¿Qué podemos deducir del hecho de que la gráfica de una magnitud A contra otra magnitud B sea una línea recta y cómo se indica algebraicamente?.

COMPLETE: 6.- Los sistemas de referencia sirven para graficar o ubicar ........................................... 7.- Si una variable se duplica en la misma ...................... que la función, entonces se dice que una proporcionalidad ................................... 8.- La distancia entre dos puntos es igual a ................................ de los incrementos de las variables al cuadrado. 9.- La tangente del ángulo de inclinación de una recta es igual a ................................. de la recta. 10.- El eje horizontal se conoce como ...................................... y al vertical como ..................................... ANALICE: 11.- Usted sabe que la longitud C de una circunferencia de radio R está dada por: C = 2R. a) ¿Qué tipo de relación existe entre C y R?. b) ¿Cómo sería el gráfico C = f( R )?. c) ¿Cuál es el valor de la pendiente de la gráfica?. 12.- Un medicamento debe administrarse a un enfermo en dosis de 8 gotas a la vez, empleando un cuentagotas. Como no se dispone de él, se usa otro que deja salir gotas con un diámetro dos veces mayor. En este caso, ¿cuántas gotas deberán administrarse al paciente?. 13.- Si Y es función de X, determine la ecuación respectiva, en las siguientes cuestiones. a) Si Y es proporcional a X, la constante de proporcionalidad es cuatro. b) Si Y es proporcional al inverso de X, la constante de proporcionalidad es ocho. c) Si Y es proporcional al inverso del cuadrado de X, la constante de proporcionalidad es “a”. 14.- En los gráficos siguientes, determinar cuál es una proporcionalidad directa con los cuadrados.

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15.- A es directamente proporcional a B, B es inversamente proporcional a C y A es inversamente proporcional a D2. Escriba la ecuación que se ajuste a estas condiciones.


EJEMPLO MODELO 1: De acuerdo a la siguiente gráfica. Determinar. a) La forma de la función y escribir. b) ¿Pasa la recta por el origen o no, porqué?. c) Escoja los puntos P1(5;40)cm y P2(15;80)cm. Encuentre x y y . d) La distancia entre P1 y P2. e) El valor de la pendiente (m). f) Si escribió la función en el literal a), ¿cuál es el valor de la constante a ?. ¿Y el de b ?. DATOS:

MODELO:

PLANTEAMIENTO:

SOLUCION:

ANALISIS 2.- Dados los siguientes puntos graficar en sus respectivos sistemas de referencia: a) P1(-3); P2(4). b) P13 ; 4); P2(-5 ; -3). c) P1(1 ; 3 ; 0); P2(0 ; 3 ; 4); P3(-2 ; 0 ; 4); P4(3 ; 4 ;6). 3.- Dadas las siguientes funciones, dar valor a la variable independiente y graficar. a) y = 2 x. b) y = 2 + 3 x c) y = x2 d) y = x2 + 3 e) y = x2 + 2 x + 8 f) y = 10/ x2 g) y = -2 x2 + 4 x

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2.3.10. EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.- Dados los siguientes puntos graficar en sus respectivos sistemas de referencia: a) P1(-7); P2(-2). b) P1(-5 ; 7); P2(4 ;-2). c) P1(-3 ; -4 ; -5); P2(5 ; -4 ; -3); P3(-2 ;8; -4). 2.- Dar valores a la variable independiente y graficar las siguientes funciones: a) y = 4x - 2 b) y = 2x2 +3 c) v = 6/t d) y = 8/x. 3.- Dados los puntos de una recta P 1(2 ; -3) y P2( -5 ; 7). Determinar. a) Su gráfica. b) La distancia entre P1 y P2. c) La pendiente de la recta. d) El ángulo de inclinación. 4.- Dados los puntos A(2 ; -3 ; -7) y B(4 ; 5 ; 4). Determinar: a) Graficar los puntos. b) La distancia. 5.- Considere el gráfico Y – X mostrado en la figura de este problema. a) Empleando los puntos B y C, calcule la pendiente de la recta. b) Repita el cálculo de la inclinación utilizando ahora los puntos A y D. c) Compare las respuestas de a) y b) y deduzca una conclusión. R. a) 3; b) 3.

X

6.- Durante un experimento, un estudiante midió la masa de 10 cm3 de agua. Luego midió la masa de 20 cm3 de agua. Siguió con ese proceso y obtuvo los siguientes datos, que se presentan en la tabla # 8. Determinar: Tabla 3 Volumen (cm3) Masa (g)

10 20 30 40 50

7,9 15,8 23,7 31,6 39,6

a) Represente gráficamente los valores y dibuje la curva que mejor se ajusta a los puntos. b) Describa la curva resultante. c) De la gráfica, utilice una ecuación que relacione el volumen con la masa. d) Escoja dos puntos y determine la pendiente. e) ¿Qué unidades tiene la pendiente y cómo se llama esa cantidad?. 7.- Al dejara caer un cuerpo desde cierta altura, durante un tiempo t corre una altura h . Los datos obtenidos se presentan en la tabla # 9. Determinar.

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Tabla 4 t (s) h (m)

1 2 3 4

5 20 45 80

a) Con los datos de la tabla dibuje la gráfica. b) Analice la gráfica y exprese la ecuación correspondiente. 8.- En un laboratorio, al medir la masa y su aceleración para una fuerza constante, se obtuvieron los siguientes datos que se tienen en la tabla # 5. Determinar: Tabla 5 Masa (kg) Aceleración (m/s2) 1 12,0 2 5,9 3 4,1 4 3,0 5 2,5 6 2,0

a) Represente gráficamente los valores dados. b) Describa la curva resultante. c) De acuerdo a la gráfica, ¿cuál es la relación entre la masa y la aceleración?. d) Escriba la ecuación que relaciona la masa y la aceleración. e) ¿Qué unidades tiene la constante?. 9.- Dada la siguiente tabla # 11. Determinar: Tabla 11

X 1 2 3 4 5

Y 30 15 10 ... ...

a) Cuando se duplica el valor de X ( de X = 1 a X = 2), ¿Entre cuánto queda dividido el valor de Y?. b) Y cuando se triplica el valor de X, ¿qué sucede con el valor de Y?. c) ¿Qué tipo de relación existe entre Y y X?. d) En base al literal anterior, complete la tabla. e) Trace la gráfica. 10.- Mediante la ecuación

x v



t

, halle las respuestas a estos problemas usando unidades

convenientes. a) ¿Qué distancia recorre una bicicleta durante 1,5 minutos, si viaja con una rapidez constante de 30 km/h?. b) ¿Cuánto tiempo emplea un auto para recorrer 6 000 m con una rapidez constante de 30 km/h?.

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Fisica 1unidad 2. Gustavo Salinas. Uta

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