Final de Transformadas II 2016 2017012349

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON Facultad de Ciencias y Tecnología  Departament Departamento o de Matemáticas Matemáticas Prof.: Mgr. A. Carrasco C.

Examan Examan final final de Transfor Transformada madas s e Integral Integrales es

A.Paterno/ A.Paterno/A.Mater A.Materno/Nom no/Nombres: bres: ................................/................................./.............................. ................................/................................./.............................. Carr Carrer era/ a/ C. I. /Firm /Firma a ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...../ ../... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... .../.. /..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... Lea cuidadosamen cuidadosamente te cada pregunta y justi…que sus respuestas. Prohibido Prohibido usar calculadora, copiar y compartir formulario. Recomendaciones:

1.  (25 puntos)  Hallar la serie trigonométrica de Fourier por diferenciación para el pulso:

8>< 2 + 4 2+ ( )= >: 11  5 2 2

f  t

t  t



1  <

t <  0 0  < t < 1 ; 1  < t < 3

; ; t

;

f (t) =  f (t + 4)

2.   (25 puntos)  Estudiando de izquierda a derecha la siguiente función y usando la secuencia de funciones: ; P d ; sgn; sgn;  halle su transformada de Fourier.

1

0

1

3.  (25 puntos)  Hallar una solución particular de la siguiente ecuación diferencial: x00 (t) + 5 x0 (t) + 4 x (t) =  e 4t t2  (t)

4.  (25 puntos)  Evaluar la siguiente integral: 1

2

Z sin (7 ) t2

0

1

t

dt

Solución primer examen de TRANSFORMADAS E INTEGRALES II-2014 Responsable Alvaro carrasco C. 1. Hallar la serie trigonométrica de Fourier por diferenciación para el pulso:

8>< 2 + 4 1  0 0  1 ; ( )= ( ) = (  + 4) >: 112 +  5 1  3 2 2 0Z  1   Z  Z  1 11  5 7 A  = @ (2 + 4 )  + (2 + )  + = 2 2 2 4 0Z  1   Z  Z        1 11  5 A  = @ (2 + 4 )cos  + (2 + )cos  + cos = 2 2 2 2 2 2   6  = 0Z 1 cos 2   Z  1   Z      1@ 11  5 A=  = (2 + 4 )sin  + (2 + )sin  + sin 2 2 2 2 2 2   20 =  sin t  t

f  t





;

t

;

 < t <  < t <

;

 < t <

f  t

 f  t

Solución:

0

1

a0

3

t dt

1 0

 t dt

0



an

1

1

t dt

n

n

t

1

 2 n2

n

t



t dt

1

1

t dt

n

 t

3



t dt

0



n

t dt

t

0

bn

n

 t

3

0





t dt

1

n

t

 2 n2



n

t

t dt

1

t

2 2. Estudiando de izquierda a derecha la siguiente función y usando la secuencia de funciones: ; P d ; sgn; sgn;  halle su transformada de Fourier.

1

0

1

Solución:

  3  ( 4)) 1 + +2 ( ( 1)) + 2 + ( 3) + 1 2   3  ( 4)) + +2 ( ( 1)) + ( 3) + 2 2    2     2 + 4  ( ) 1  ( ) + +  sin + 2 +

f (t) = 2 (t  

=

2 (t  

F  [f (t)]



 P 1

= 2e4iw   w

 P 1

t

iw

t

sgn t  





 e

sgn t  

3 2

w

iw

w

2

2

eiw

 sgn t 

 sgn t 

 e3iw

iw

  w

3. Hallar una solución particular de la siguiente ecuación diferencial: x00 (t) + 5 x0 (t) + 4 x (t) =  e 4t t2  (t) Solución:

0 Z   1 ( )=@ 3 t

x (t) =

=

1 e 3

t





4t



e

2  e 375



 (t)  e4t t2  t

ex  e4x e4(tx) (t  x) dx



0

1 t e + 768



2

1 A



1 129 4t 13 4t 4t e  e t  (t) + e4t t2 + 40 32000 800



 (t)

4. Evaluar la siguiente integral: 1

2

Z sin (7 ) t

t2

dt

0

Solución:10: 99557 429 1

2

2

 sin (7 )  Z sin (7 )  = lim 8> sin (7 ) 9>  sin (7 )  < Z   sin (7 )  = = >: >; =  sin (7 )  1  1 cos (14 )  1 Z   1  t

dt

t2

L

t

t2

s!0

0

2

2

L

t

1

t t

L

t2

t

2

L

t

dx

t

s

2

L

1

t

=

t

2



L

t

=

t

2



x

x

x2 + 142

dx

s

1 =  ln (x)  2

M 

   1   ln + 14  4  sin (7 )  x2

2

s

2

L

t

t

 1 =  ln 4  1

=   ln 4

entonces 2

L

x2

x2

1 = 4

t

t2

Z   ln

2

;

M  ! 1

s2

s2 + 142

1

 sin (7 ) 

 + 14 

x2 x2 + 142



dx

s

integrando por partes con u = ln



x2 x2 + 142



dx; v  =  x 1

Z   ln

s

x2 x2 + 142



dx  = ln



x2 + 142 392x 392 ; du = dx y dv = = x2 x (x2 + 142 ) (x2 + 142 )2

x2

1

M 

x2

  Z   + 14 2

3



x

s

x

s

392 dx x (x2 + 142 )



M 2





s2

 + 14  

x

M 

   = = lim  ln ln  28 arctan 14  + 14   = ln 28 lim arctan arctan + 14 14 14     donde se uso que  lim  ln = 0  y  lim arctan = + 14 14 2  sin (7 )  1       = ln 14 arctan = 4 + 14 14       1 = ln + 14  + arctan M !1

M 

2

s2

s

s2

M !1

2

L

M 2

s

s2

M 



2

2

M !1



s

s



M 2

M 

M 2

t

2



t2

4

M 

s

s



M !1

s2

s2 s2

2



s2 + 142

s



s



14

…nalmente 1

2

Z sin (7 ) t2

t

2

dt   = lim L s!0

0

= donde se uso que  lim s

t

t2

s2 1 s ln = lim s 0 4 s2 + 142

 

!



   + 14  + arctan 

s

14

14 7   =  4 2

0 s ln

!

 sin (7 ) 



s2 s2 + 142



= 0 ;  lo cual se obtiene por el teorema de L’Hopital.

4