UNIVERSIDAD DE GRANADA Departamento de Ingeniería Civil
Area de Ingeniería Ingeniería del Terreno
E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos
Mecánica de Suelos CURSO 2001/2002
Tema 2. FILTRACIÓN DEL AGUA EN EL SUELO. Granada, octubre de 2001
Profesor: Joaquín Pérez Romero
TEMA 2. FILTRACIÓN DE AGUA EN EL SUELO. PROGRAMA
1. Principio de presión efectiva. 1.1. Estado tensional geostático. 2. Ley de Darcy. 2.1. Solución de algunos casos sencillos. 2.2. Sifonamiento. 3. Ecuación del flujo estacionario subterráneo. 3.1. Líneas de filtración y líneas equipotenciales. 3.2. Expresión analítica de las condiciones de contorno. 3.3. Métodos de solución. 3.3.1. Analíticos. Analíticos. 3.3.2. Aproximados. Aproximados. 3.3.3.Gráficos. 3.3.3. Gráficos. 3.3.4. Analogías Analogías físicas. 3.3.5.Modelos 3.3.5. Modelos reducidos. 3.3.6.Métodos 3.3.6. Métodos numéricos. 4. El coeficiente de permeabilidad. 4.1. Valores habituales. 4.2. Determinación del coeficiente de permeabilidad en el laboratorio. 4.3. Determinación del coeficiente de permeabilidad en el campo. 4.4. Influencia de la presión efectiva sobre el coeficiente de permeabilidad. 5. Filtración en suelos anisótropos y suelos heterogéneos. 6. Resolución de fenómenos de filtración. 6.1. Hipótesis de Dupuit. 6.2. Filtración en acuíferos. 6.3. Filtración hacia pozos. 6.4. Filtración en presas de materiales sueltos. 6.5. Filtración bajo estructuras impermeables.
Principio de presión efectiva. En 1936 Terzaghi enunció por primera vez el principio de presión efectiva:
[definición] “El estado tensional en un punto de un suelo queda determinado a partir de las tres tensiones totales principales ( σ1, σ2, σ3 ) que actúan en dicho punto. Si los huecos están llenos de agua a presión u w , las tensiones totales principales constan de dos partes. Una parte (u w ) actúa a ctúa en el agua y en el suelo con igual intensidad en todas direcciones. La llamamos presión neutra o presión intersticial del agua. Las diferencias ( σ1 - u w ), ( σ2-u w ), ( σ3- u w ), representan un exceso sobre la presión neutra y se ejercen exclusivamente sobre el esqueleto de partículas sólidas.
[aplicación] Todos los efectos tangibles provocados por un cambio de presión, tales como la compresión, distorsión angular, y cambios en la resistencia a cortante, se deben exclusivamente a los cambio de las presiones efectivas ( σ1 - u w ), ( σ2-u w ), ( σ3- u w )”.
• Terzaghi K (1936). The shear resistance of saturated soils. Proceedings 1st International Conference on Soil Mechanics y Foundations Engineering, Cambridge MA, 1936, vol. I, 54-56.
Estado tensional geostático. Debido al peso propio de las partículas sólidas y del agua.
Presión vertical total z
σ v ( z ) = p + ∫ γdz 0
Presión neutra
u ≡ uw
Presión vertical efectiva
σ 'v = σ v − u
Coeficiente de empuje en reposo
σ 'h K o = σ 'v
Presión horizontal efectiva
σ 'h = K oσ 'v
Presión horizontal total.
σ h = σ ' h +u
Ley de Darcy. Obtenida experimentalmente por Darcy en 1850 mientras diseñaba filtros de arena para las fuentes, en París.
Q
= k
h3 − h4 L
A
v = − k i Potencial hidráulico
h = u + z γ w +
v2
2 g / γ w
Su ecuación dimensional es [ML-1 T-2 ], es decir, se trata de una presión y la unidad de medida es el kilopascal, aunque también se usan otras unidades.
100kPa ≈ 98kPa ≡ 98
kN m
2
= 1atm = 10m.c.a. = 1
kp cm
2
≈ 1.033
kp cm 2
= 760mmHg = 1013mbar
Es habitual medir las presiones neutras tomando la presión atmosférica como origen, es decir, cuando hablamos de presión neutra nula en realidad queremos decir que se encuentra en equilibrio con la presión del aire (atmosférica). La altura se mide a partir de un origen arbitrario o datum .
Solución de algunos casos sencillos. En las siguientes figuras se utiliza el m.c.a.: pressure head=u/γw elevation head=z total head=h/γw
Permeámetro de sección constante con flujo vertical ascendente.
Permeámetro de sección constante con flujo horizontal.
Permeámetro vertical con dos secciones, dos suelos y flujo descendente.
Sifonamiento. [definición] Se produce el fenómeno de sifonamiento cuando la presión efectiva en un plano de un suelo se anula.
[determinación] El sifonamiento se produce cuando la presión neutra iguala a la presión total.
[aplicación] Al no existir compresión que mantenga unidas a las partículas sólidas éstas no rozan entre sí, por lo que el suelo pierde su resistencia a cortante a lo largo de dicho plano. En el caso de que la presión neutra supere a la presión total se produce la separación entre partículas sólidas. Al perder éstas el contacto el suelo saturado pasa a ser agua con partículas sólidas en suspensión, y los principios de la Mecánica de Suelos ya no son vigentes.
[ocurrencia] Las presiones neutras alcanzan valores anormalmente altos: 1. En ciertos procesos de filtración, siendo especialmente característicos los ascendentes. 2. Ante excitaciones dinámicas producidas por terremotos (licuefacción).
Ecuación del flujo estacionario subterráneo. Hipótesis: 1. El dominio del flujo está saturado. 2. La velocidad y la presión son funciones de la posición, es decir, no varían con el tiempo. 3. La porosidad no varía con la presión efectiva.
De acuerdo con la ley de Darcy y considerando la figura tenemos
∂h ∂ x ∂h v y = −k yy ∂ y ∂h v z = − k zz ∂ z v x
= −k xx
Considerando la dirección x en el elemento de la figura, por unidad de tiempo, el flujo entrante es
ρv x ∆ y∆ z
y el saliente
ρv x + ∆ x ∆ y∆ z por lo que el balance es
ρ (v x ∆ y∆ z − v x + ∆ x ∆ y∆ z ) Aplicando el teorema de Taylor al flujo saliente y considerando los dos primeros términos de la serie tenemos
v x + ∆ x
= v x +
∂v x ∆ x ∂ x
Por lo tanto, el balance de flujo que sale del elemento en la dirección x, por unidad de tiempo, es
∂v x ρ ∆ x ∆ y∆ z ∂ x Podemos obtener expresiones similares para las direcciones ortogonales a x. Aplicando el principio de conservación de la materia el balance global de flujo en el elemento ha de ser nulo, es decir
∂v x ∂v y ∂v z ρ ∆ x ∆ y∆ z + ∆ y ∆ z ∆ x + ∆ z ∆ x∆ y = 0 ∂ z ∂ y ∂ x y por lo tanto
∂v x ∂v y ∂v z + + =0 ∂ x ∂ y ∂ z Aplicando a la expresión anterior la ley de Darcy queda
∂ ∂h ∂ ∂h ∂ ∂h − k x + − k y + − k z = 0 ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z ∂ z En el caso de que la permeabilidad sea constante (suelo homogéneo)
∂ 2h ∂ 2h ∂ 2h k x 2 + k y 2 + k z 2 = 0 ∂ x ∂ y ∂ z Para suelos homogéneos e isótropos resulta, finalmente, la ecuación de Laplace
∂ 2h ∂ 2h ∂ 2h ∆h ≡ 2 + 2 + 2 = 0 ∂ x ∂ y ∂ z
Líneas de filtración y líneas equipotenciales. Suponemos que el dominio es isótropo. Consideremos el plano (x,z). Definimos la función velocidad del potencial como
Φ = −kh Una línea equipotencial cumple que la velocidad de potencial es también constante. La ecuación del flujo subterráneo se puede expresar entonces como
∆Φ = 0 Definimos la función de corriente como
∂Ψ ∂Φ = ∂ y ∂ x ∂Ψ ∂Φ =− ∂ x ∂ y Se puede comprobar que la ecuación del flujo subterráneo se expresa también como
∆Ψ = 0 Llamamos línea de corriente o de filtración a aquella en la que la función de corriente es constante.
Propiedades:
• Las líneas de corriente, o líneas de filtración, y las líneas equipotenciales • •
son ortogonales en el dominio de la solución y en los puntos de clase uno del contorno. Las líneas de filtración no se cruzan. Dos líneas equipotenciales con distinto valor de potencial no se pueden tocar.
Las líneas equipotenciales separan el dominio en saltos de potencial. Las líneas de corriente separan el dominio en canales de flujo.
Expresión analítica de las condiciones de contorno. • Límites impermeables. El líquido de los poros no puede atravesar dicho límite, por lo que la componente normal de velocidad debe ser cero. Se deduce que los límites impermeables son una línea de filtración.
∂Φ = 0; Ψ = cte ∂n
• Contorno en contacto con líquidos en estado libre (ejemplo: agua embalsada). El potencial es constante, es decir, es una línea equipotencial.
∂Ψ = 0; Φ = cte ∂n
• Nivel freático. Se define el nivel freático como la superficie del terreno en la que la presión neutra es nula (atmosférica). En algunos casos se considera como un límite del dominio e incluso como línea de filtración. Esta planteamiento pierde validez ante la entrada o salida de agua, por ejemplo por evapotranspiración, o cuando se considera la filtración en el régimen parcialmente saturado. El nivel freático no es una línea (superficie) equipotencial, salvo en el caso de que sea una línea (superficie) horizontal.
• Superficie de filtración al exterior. Se trata de surgencia de agua de filtración al exterior del dominio, convirtiéndose en una escorrentía superficial. En ésta la presión neutra es nula, por lo que no es equipotencial salvo en el caso de ser horizontal.
Métodos de solución. 1 Analíticos. 1.1 Exactos: planteando el problema de contorno y obteniendo una solución exacta en el dominio, por ejemplo a partir de la solución de la ecuación diferencial en casos sencillos o con técnicas de variable compleja. 1.2 Aproximados: se introducen ciertas simplificaciones o hipótesis. A partir de ahí se obtiene la solución exacta. Ejemplo: hipótesis de Dupuit.
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3
Gráficos:
se basan en las propiedades de las redes de flujo, líneas de filtración y equipotenciales.
Analogías físicas: como el empleo de técnicas eléctricas (en desuso). Estudio de modelos a escala reducida:
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su empleo permite visualizar los fenómenos, por lo que su aplicación es más docente que constructiva.
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Análisis numérico:
empleo de métodos de relajación en hojas de cálculo, método de los elementos finitos, método de los elementos de contorno, etc. Tienen un gran avance en la actualidad.
El coeficiente de permeabilidad. Valores habituales
tipo de suelo Arcilla Arcilla arenosa Limo Turba Arena fina Arena gruesa Arena gravosa Grava
K (m/s) < 10-9 10-9 a 10-8 10-8 a 10-7 10-9 a 10-6 10-6 a 10-4 10-4 a 10-3 10-3 a 10-2 > 10-2
Determinación del coeficiente de permeabilidad en el laboratorio. Permeámetro de carga constante.
Permeámetro de carga variable.
Determinación del coeficiente de permeabilidad en el campo. 1 Ensayos de bombeo. 1.1 En régimen permanente.
1.2 En régimen transitorio.
2 Ensayos en sondeos. 2.1 Ensayo Lefranc. 2.1.1 Con carga constante.
2.1.2 Con carga variable.
2.2 Ensayo Lugeon.
Influencia de la presión efectiva en el valor de permeabilidad. Consideremos la relación de compresibilidad
e = eo
− mv (1 + eo )σ '
Supongamos que se puede establecer una relación del tipo
ln k = A1 + B1e
Se puede deducir, suponiendo que k o=k(eo ),
k = k o e
( − B1mv (1+ eo )σ ' )
Ejemplo: Permeámetro horizontal de longitud L. Presión vertical total constante. Potenciales de entrada (H0 ) y salida (H1 ) conocidos. Valor de B conocido, donde B es el parámetro B = B1 mv (1 + eo ) La solución del caso viene dada por
e Bh K (0) K ( L)
=e
x BH 1 x 1 = e BH − + e L L o
− B ( H o − H 1 )
;
q
A
(e =
BH o
− e BH 1 )
LB
K o e − Bσ
Presiones intersticiales, en régimen permanente, medidas en el núcleo de la presa de Salto Santiago, Brasil.
Presiones intersticiales, en régimen permanente, medidas en el núcleo de la presa de Vaturu (Fiji), compuesto de un suelo residual volcánico.
Ref: Vaughan (1988). Non-linearity in seepage problems. Theory and field observation. De Mello Volume, 497-516.
Filtración en suelos heterogéneos.
En la dirección del eje X,
k x
=
1
n
k d ∑ d i
i =1
En la dirección del eje Y,
k y
=
d n
∑ i =1
d i k i
i
Cambio de un medio a otro de distinta permeabilidad. k 1 k 2
=
tanα1 tanα 2
Filtración en suelos anisótropos.
Cambio de variables en el dominio,
X =
x k x
; Y =
y k y
∂ 2h ∂ 2h + 2 =0 2 ∂ X ∂Y
Hipótesis de Dupuit. Hipótesis de Dupuit:
1. Las líneas equipotenciales son verticales (por lo tanto las líneas de corriente son horizontales). 2. El gradiente hidráulico es igual a la pendiente del nivel freático y no varía en profundidad.
∂h q x dy = − k h dy ∂ x x ∂h q x + dx dy = − k h dy ∂ x x + dx (q x + dx
∂q x ∂ ∂h − q x )dy = ∂ x∂ y = −k h dxdy ∂ x ∂ x ∂ x
Obteniendo la misma expresión en la dirección y, e incorporando el principio de continuidad tenemos,
∂ ∂h ∂ ∂h k h + h = 0 ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y es decir
2 2 2 2 ( h ) (h ) ∂ ∂ 2 ∆h ≡ + =0 2 2 ∂ x ∂ y
Filtración en acuíferos. Acuífero no confinado de base impermeable horizontal.
∂ 2 h2 =0 2 ∂ x h=
h12
x
− (h12 − h22 )
∂h q = − kh ∂ x
L
− h22 q = k 2 L h12
Acuífero no confinado de base impermeable horizontal, con caudales de infiltración (e>0) o evapotranspiración (e<0).
∂ ∂h k h + e = 0 ∂ x ∂ x kh 2
+ ex 2 = C 1 x + C 2
Para una infiltración e>0 tenemos la siguiente ecuación de potencial
h=
h12
( h12 − h22 ) x e − + ( L − x ) x L
y los siguientes caudales.
q( x ) =
k (h12
− h22 )
2 L
L − e − x 2
El punto de mayor potencial es
− h22 a= − 2 e 2 L L
2
k h1
k
Acuífero no confinado de base impermeable inclinada. La solución es mucho más sencilla que el caso de transporte en canales en lámina libre. En el interior del suelo las velocidades son muy pequeñas y el régimen es laminar. La primera solución fue publicada por Pavlovsky (1930).
∂ y q = − k ( y − ix ) ∂ x y − ix +
q ki
kiy
= Ce q
Si C=0 (línea I de la figura),
y − ix = −
q ki
= cte
q = − kiho Cuando C≠0 las curvas A y B son asintóticas a la curva I, por lo que el caudal transportado es el de la expresión anterior. − y
y − ix − ho
= Ce h
o
i>0 i>0 I<0
C>0 C<0 C<0
(a) (b) (c)
Filtración hacia pozos. Pozo simple en acuífero confinado.
∂ 2 h 1 ∂h 1 ∂ 2 h + + 2 2 =0 2 ∂r r ∂r r ∂θ 1 ∂ ∂h r = 0 r ∂r ∂r h = he
−
Q
2πkD
ln
r e r h = h1 − Q=
Q
2πkD
ln
r 1 r
2πkD(h2 − h1 ) ln
r 2 r 1
Sistema múltiple:
r ej n 1 h = he − Q j ln ∑ j =1 2πkD r j
Pozo simple en acuífero no confinado.
h
2
= h1 −
Q=
Q
2
ln
r 1
πk r
πk (h22 − h12 ) ln
r 2 r 1
Sistema múltiple:
r ej 1 n h =h − Q j ln ∑ j =1 πk r j 2
2
e
Filtración en presas de materiales sueltos.
Filtración bajo estructuras impermeables.
N f Q = k ∆h N d
5 = k (24 − 16 ) 11
Rango de validez de la ley de Darcy.
Influencia de las sales disueltas en el coeficiente de permeabilidad.
Influencia de la porosidad en el coeficiente de permeabilidad de distintos suelos.
Influencia de la estructura en el coeficiente de permeabilidad.
