Ferrari Matematica

Matemática

Matemática Hernán Javier Ferrari

Carpeta de trabajo

Diseño original de maqueta: Hernán Morfese Procesamiento didáctico: Marina Gergich / María Cecilia Paredi

Primera edición: Diciembre de 2009

ISBN: 978-987-1782-05-5

© Universidad Virtual de Quilmes, 2010 Roque Sáenz Peña 352, (B1876BXD) Bernal, Buenos Aires Teléfono: (5411) 4365 7100 | http://www.virtual.unq.edu.ar

La Universidad Virtual de Quilmes de la Universidad Nacional de Quilmes se reserva la facultad de disponer de esta obra, publicarla, traducirla, adaptarla o autorizar su traducción y reproducción en cualquier forma, total o parcialmente, por medios electrónicos o mecánicos, incluyendo fotocopias, grabación magnetofónica y cualquier sistema de almacenamiento de información. Por consiguiente, nadie tiene facultad de ejercitar los derechos precitados sin permiso escrito del editor.

Queda hecho el depósito que establece la ley 11.723 Impreso en Argentina

Íconos

Lectura obligatoria Es la bibliografía imprescindible que acompaña el desarrollo de los contenidos. Se trata tanto de textos completos como de capí tulos de libros, artí culos y “papers” que los estudiantes deben leer, en lo posible, en el momento en que se indica en la Carpeta.

Actividades Se trata de una amplia gama de propuestas de producción de diferentes tipos. Incluye ejercicios, estudios de caso, investigaciones, encuestas, elaboración de cuadros, grácos, resolución de guías de estudio, etcétera.

Leer con atención Son armaciones, conceptos o deniciones destacadas y sustanciales que aportan claves para la comprensión del tema que se desarrolla.

Para refexionar Es una herramienta que propone al estudiante un diálogo con el material, a través de preguntas, planteamiento de problemas, confrontaciones del tema con la realidad, ejemplos o cuestionamientos que alienten la autorreexión, etcétera.

Lectura recomendada Es la bibliografía que no se considera obligatoria, pero a la cual el estudiante puede recurrir para ampliar o profundizar algún tema o contenido.

Pastilla Se utiliza como reemplazo de la nota al pie, para incorporar informaciones breves, complementarias o aclaratorias de algún término o frase del texto principal. El subrayado indica los términos a propósito de los cuales se incluye esa información asociada en el margen.

Índice

Introducción ........................................................................................ 11 Problemática del campo ...................................................................... 12 Reexiones acerca del aprendizaje de la asignatura en el entorno virtual 12 Mapa conceptual.................................................................................. 13

1.Funciones de una variable ................................................................. 17 1.1. Introducción ..................................................................................17 1.2. Representación de puntos en el plano ............................................ 18 1.3. Funciones .....................................................................................20 1.3.1. Composición de funciones ................................................... 24 1.3.2. Función inversa ................................................................... 24 1.4. Funciones lineales ........................................................................ 28 1.4.1. Pendiente y ordenada al origen de una función lineal ............. 29 1.4.2. Ceros o raíces de una función lineal .....................................31 1.5. Funciones cuadráticas ................................................................... 32 1.5.1. Ceros o raíces de una función cuadrática .............................. 37 1.6. Funciones potenciales y polinómicas .............................................. 38 1.7. Funciones racionales ..................................................................... 39 1.8. Funciones exponenciales y logarítmicas ..........................................41 Apéndice 1. Funciones aplicadas a problemas de economía y negocios ... 43 Apéndice 2. Ajuste de datos a una curva dada ....................................... 47

2.Las ideas básicas del cálculo ...........................................................53 2.1. Introducción ................................................................................ 53 2.2. El límite ........................................................................................54 2.2.1. Un ejemplo de aplicación del límite...................................... 55 2.2.2. Cálculo algebraico del límite................................................. 57 2.2.3. Un límite muy particular ....................................................... 58 2.3. Continuidad .................................................................................. 60 2.4. Cociente incremental y derivada ..................................................... 60 2.4.1. Derivada de una función en un punto .................................... 61 2.4.2. Reglas de derivación ........................................................... 62 2.4.3. Derivadas de orden superior ................................................ 66 2.5. Aproximación lineal ....................................................................... 67 2.6. Teoremas generales sobre la continuidad ....................................... 68 2.6.1. Intervalos ........................................................................... 68 2.6.2. Teoremas ........................................................................... 68 2.6.3. Aplicación del teorema de Bolzano ....................................... 70 2.7. Crecimiento de una función y su relación con la derivada ................. 72 2.8. Derivada segunda y concavidad ...................................................... 75 2.9. Optimización ................................................................................. 76 2.10. Ejemplos de aplicación ................................................................ 79 2.10.1. Discreto vs. continuo ......................................................... 79 2.10.2. Discontinuidades con asíntota vertical ................................ 80

2.10.3. Cómo derivar un cociente de funciones ............................... 82 Apéndice 1. Tabla de derivadas ............................................................. 87 Apéndice 2. Problemas resueltos con derivadas .....................................89 Apéndice 3. Problemas de administración con derivadas......................... 91

3.Integración, métodos y aplicaciones ................................................. 97 3.1. Introducción..................................................................................97 3.2. Primitiva o antiderivada de una función ........................................... 98 3.3. Integral indenida de una función ................................................... 98 3.4. Integración con condiciones iniciales ............................................100 3.5. Métodos de integración ............................................................... 101 3.5.1. Integración por partes........................................................ 101 3.5.2. Método de sustitución ....................................................... 103 3.6. Integrales denidas y regla de Barrow ...........................................104 3.6.1. Cálculo de áreas ............................................................... 105 3.6.2. Cálculo de áreas aplicando la integral denida .................... 106 Apéndice. Problemas resueltos con integrales denidas........................ 111

4.Sistemas lineales ........................................................................... 117 4.1. Introducción................................................................................ 117 4.2. Matrices y sistemas lineales .......................................................118 4.2.1. Suma y producto de matrices ............................................. 119 4.2.2. Resolución de sistemas de ecuaciones operando con la matriz ampliada .................................................................................... 121 4.2.3. Método de Gauss. Resolución de un sistema compatible indeterminado ....................................................................................... 124 4.3. Determinantes ........................................................................... 128 4.4. Matriz inversa ............................................................................. 140 4.5. Matrices especiales y sus propiedades.........................................149 4.5.1. Matrices estocásticas ....................................................... 149 4.5.2. Matrices de insumo producto ............................................. 153

5.Programación lineal ........................................................................ 157 5.1. Introducción................................................................................ 157 5.2. Formulación de modelos .............................................................. 158 5.3. Resolución gráca ....................................................................... 160 5.4. Resolución analítica .................................................................... 164 5.5. Método Simplex para resolución de problemas de programación lineal.......................................................................................... 167

Introducción

La Matemática, como ciencia básica, sirve de fundamento para todos los temas vinculados con procedimientos cuantitativos en Economía y Administración. Actualmente, hay una Matemática de las Ciencias Sociales que incursiona en campos como la Psicometría, la Sociología y la Filosofía. Básicamente, la Matemática se apoya en conjuntos de axiomas o postulados, creados al efecto en cada una de sus ramas. A partir de estos axiomas se realiza una construcción de resultados que deben ser coherentes con ellos y responder a una lógica que le es propia. En el marco de las carreras en Economía y Administración, lo importante para el estudiante es aprender a resolver probl emas. Justamente, este es uno de los métodos de trabajo de tipo constructivista en los procesos de aprendizaje. La idea central de este curso estará, por lo tanto, orientada a problemas. Esto signica que, luego de una exposición y fundamentación teórica sucinta pero suciente, nos volcaremos a la resolución de los mismos. En Matemática, el hilo conceptual es lineal, esto es, cada tema está encadenado, según una secuencia lógica, con el siguiente. Es muy difícil un seguimiento aleatorio de los temas, salvo que se tenga un conocimiento previo de los mismos. Es decir, los temas son presentados en un orden lógico y consecutivo con pocos grados de libertad como para alterar ese orden sin perder la secuencia de conceptos que se fundamentan unos a partir de otros. Así es que se presentan, en la primera unidad, las funciones matemáticas y sus propiedades, con el agregado de un sistema de representación de datos experimentales para ajustarlos a una función dada, una operación que se apoya tanto en el rigor lógico como en las necesidades prácticas, en adecuado balance. La segunda unidad trabaja con algunos elementos de análisis matemático aplicado a las funciones: el cálculo de límites, continuidad y derivación, así como los signicados geométricos de las derivadas sucesivas de una función, con mención de algunos casos particulares de interés. El análisis de funciones por medio de sus derivadas, permite introducirse en el cálculo de máximos, mínimos y puntos de inexión. Estos conceptos se aplican luego a problemas simples de optimización matemática. La tercera unidad trabaja con integrales, primero con el problema general del cálculo de la función primitiva o antiderivada, conocida como integral indenida y luego con la integral denida y el cálculo de áreas. La cuarta unidad describe las funciones lineales, los sistemas de ecuaciones lineales, determinados e indeterminados y sus métodos de resolución. Por último, en la quinta unidad, se considera el problema general de la Programación Lineal, con la resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones y su implementación general mediante el Método Simplex.

11

Universidad Virtual de Quilmes

Problemática del campo El advenimiento de las computadoras ha obligado a extender los conceptos matemáticos al uso de herramientas numéricas, que permiten resolver problemas antes fuera del alcance de los métodos de cálculo convencionales. Una tendencia moderna en los cursos orientados a problemas, es buscar que los mismos sean abiertos, esto es, que no han sido resueltos antes. En este curso básico de Matemática se pretende poner en conocimiento de los estudiantes las técnicas básicas necesarias para que, en los cursos especícos posteriores, puedan resolverse este tipo de problemáticas. La vida profesional que los espera al nalizar las carreras de cada uno, será un continuo de problemas abiertos, únicos, a veces irrepetibles, donde deberán contar con herramientas para poder, con la ayuda del razonamiento deductivo o inductivo, presentar soluciones. La Matemática es una ciencia deductiva por naturaleza; si a lo largo de este curso, el estudiante capta la esencia de los modelos deductivos, habrá dado un paso importante para poder comprender los métodos cuantitativos en Economía y Administración, que verá en cursos posteriores.

Refexiones acerca del aprendizaje de la asignatura en el entorno virtual Algunos cursos se prestan más que otros a la enseñanza virtual. En particular, éste es uno de los que mejor se ajustan a ese tipo de procesos de enseñanza y aprendizaje. En efecto, la presentación de cada uno de los temas tendrá un mínimo de teoría, compatible con la complejidad del dominio del conocimiento y ejemplos para su rápida aplicación y comprensión. La enseñanza virtual permite al estudiante seguir su propio paso en el estudio del curso, no lo exime de estudiar y resolver ejercicios para poder aprender. La correcta concatenación de cursos es otro tema que debe resolver el estudiante con responsabilidad. Este curso, por ejemplo, demanda conocimientos previos de Matemática, especialmente los adquiridos en la educación media, que se suponen conocidos y manejados adecuadamente por los estudiantes. La plataforma de enseñanza virtual adecuada es una condición necesaria para poder desarrollar un modelo de enseñanza participativo, eso es lo que se aspira a conseguir con la nueva plataforma, diseñada por la Universidad Nacional de Quilmes para la enseñanza virtual. El uso intensivo de sus recursos es una ventaja comparativa para estudiantes y docentes; se recomienda pues interiorizarse de todas las funcionalidades de la misma de modo de poder aprovecharla al máximo. Parte de la “distancia relativa” entre estudiantes y docentes se resuelve mediante el uso de herramientas interactivas como foros, videos y, esencialmente, la promoción del trabajo colaborativo. En un mundo cada vez más complejo, las actividades profesionales suelen ser interdisciplinares. La modalidad de enseñanza virtual de la Universidad de Quilmes prepara, entre otras cosas, para el trabajo grupal y colaborativo donde la responsabilidad individual contribuye a los mejores resultados del grupo.

12

Matemáticas de las Operaciones Financieras

Mapa conceptual

CURSO DE MATEMÁTICA FUNCIONES TIPOS

PROPIEDADES FUNCIONES DE UNA VARIABLE

APLICACIONES DISCONTINUAS

CONTINUAS

TIPOS

LÍMITES DE LAS FUNCIONES CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUAS

PROPIEDADES

CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES DISCONTINUAS

DERIVADAS INTERPRETACIÓN DE LAS DERIVADAS

MÁXIMOS Y MÍNIMOS SISTEMAS LINEALES INTEGRALES

ECUACIONES LINEALES

INDEFINIDAS

DEFINIDAS

CÁLCULO DE PRIMITIVAS

CÁLCULO DE ÁREAS

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

PROPIEDADES

SISTEMAS INDETERMINADOS

SISTEMAS DETERMINADOS

PROGRAMACIÓN LINEAL

FUNCIÓN OBJETIVO

RESTRICCIONES

MÉTODO SIMPLEX

13

Objetivos del curso

• Presentar los métodos básicos del análisis matemático para Economía y •

• • •

Administración. Ver ejemplos de ajuste de datos a funciones dadas como método para la construcción de modelos matemáticos usuales en Economía y Administración. Desarrollar ejercicios y problemas con énfasis en los vinculados con Economía y Administración. Exponer los conceptos de sistemas de ecuaciones lineales y sus aplicaciones. Incentivar la capacidad para plantear y resolver problemas matemáticos.

15

1 Funciones de una variable

Ob jetivos • Representar grácamente pares de puntos ordenados en un plano. • Introducir el concepto de función como relación entre dos conjuntos de • • • •

elementos. Estudiar la composición de funciones como función de una función. Calcular la función inversa de una función. Reconocer la función lineal como caso más simple de funciones. Recordar funciones más complejas, como las funciones cuadráticas, polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

1.1. Introducción A lo largo del curso trabajaremos con números, fórmulas, funciones, etc. Sin embargo, no siempre cuando hablemos de números los usaremos, sino que a veces utilizaremos letras para representarlos. Así, para decir que trabajamos con un número cuyo valor es constante pudiendo tomar cualquier valor dentro de un grupo de números, usaremos las primeras letras del abecedario, distinguiéndolas, al escribirlas, en itálicas, por ejemplo a, b, c. Si decimos que a es un número real (escribiremos a ∈ ℜ), estaremos diciendo que su valor es jo, pero puede ser cualquier número real (por ejemplo, 2, -3.25, p, etc.). Si es un número natural se suele utilizar las letras n, m. Por último, utilizaremos las últimas letras del alfabeto para denotar valores que no son jos, sino que pueden variar (se llaman variables), para el caso de las funciones o incógnitas cuyos valores se quiere encontrar cuando se trabaja con igualdades en ecuaciones. Una función es una relación entre variables. Los casos particulares que trataremos en este curso se reeren a funciones de una única variable independiente, es decir, relaciones funcionales entre algo que cambia en forma independiente y algo que cambia en relación con esa variable independiente. Nuestro concepto de función está incorporado a la vida diaria e, incluso, al léxico común. Decimos, por ejemplo, que el tiempo que demoramos en llegar de un lugar a otro es una función de la distancia que separa ambos lugares (suponiendo que otros factores como el medio de transporte, la velocidad y anes sean los mismos); también tomaremos decisiones en función de hechos externos que no controlamos, como llevar paraguas si llueve o usar abrigo si hace frío.

17


Es posible que, en los ejemplos, las relaciones funcionales sean menos complejas que las matemáticas, pero lo son al n.

1.2. Representación de puntos en el plano Las funciones de una variable pueden representarse grácamente como líneas en un plano, rectas o curvas, según sea la relación funcional que las vincula.

a

René Descartes (1596 –1650), lósofo, matemático y cientíco francés, considerado como el pionero de la losofía moderna.

El autor de la vinculación entre unciones y sus gráfcas ue René Descartes, undador de una rama de la Matemática que se conoce como Geometría Analítica.

Las líneas se conciben como sucesiones de puntos, de modo que una representación gráca de una función se inicia con la representación de algunos de los puntos que la componen. Para ara representar cualquier punto en el plano se necesita un punto de referencia y a partir de él, para determinar la posición, dos valores (uno para el largo y otro para el alto). Si en el plano tomamos dos ejes o rectas perpendiculares, ubicando en cada una de ellas todos los números reales y haciéndolas coincidir en el “0” de ambas, tendremos un punto origen, 0 para la recta horizontal y 0 para la recta vertical, es decir (0,0), y a partir de ese origen si nos desplazamos en ambas direcciones y sentidos podemos determinar cualquier posición del plano.

G.1.1 eje y

eje x origen

El término ‘cartesiano’ proviene de cartesius , el nombre latino que se le daba a Descartes en una época en que la escritura cientíca se escribía en latín. ‘Ortogonal’ significa que los ejes son perpendiculares entre sí, lo que implica que forman ángulos iguales.

18

A este sistema de ejes lo denominamos sistema de ejes cartesianos ortogo- nales. El horizontal x es el eje de las abscisas y el vertical y es el de las ordenadas. De este modo, el plano queda dividido en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

Matemática

G.1.2

Para determinar la posición de cualquier punto del plano basta con tomar un par ordenado de números reales (a, b) donde, por convención, el primer valor corresponde a la abscisa y el segundo a la ordenada.

a

Un punto del plano es de la orma (a , b) con a ∈ ℜ y b ∈ ℜ dónde a se representa en el eje “ x ” y b en el eje “ y ”.

Es necesario que el par de números esté ordenado; por ejemplo, no es lo mismo (3, 25) que (25, 3). En general (a, b) ≠ (b, a). Veamos algunos ejemplos de ubicación de puntos en el plano.

G.1.3

y

(-4,5)

5 (2,3) 3 (0,1)

(-5,0)

-5

1

-3

4 0

-4

-1

2

6

x

(6,0)

(-3,-1) -3 (0,-4)

(4,-3)

19


1.3. Funciones Una función, desde el punto de vista matemático, es una aplicación o relación entre dos conjuntos (de partida y de llegada) donde a cada elemento del con junto de partida le corresponde un único elemento en el conjunto de llegada.

G.1.4. Función o Aplicación Conjunto de partida

Conjunto de llegada

A los elementos del conjunto de partida los llamamos Dominio de la función, y a los elementos del conjunto de llegada que intervienen en la relación los llamamos Imagen de la función. Se utilizarán funciones donde los conjuntos (el de partida y el de llegada) serán los números reales o algún subconjunto de ellos y deniremos las funciones como operaciones entre números reales. Por ejemplo, elegimos una función f donde los conjuntos de partida y de llegada son los números reales ℜ y la aplicación es sumar al elemento de partida el número 3. Es decir que aplicando la función (sumar 3) a cada x del conjunto de partida se obtiene (x + 3) en el conjunto de llegada. Simbolizando lo anterior tenemos: f : ℜ ℜ f ( x) = x + 3 r

Calculando algunos valores del conjunto de salida se obtiene que: A A A A

“1” le corresponde “4” donde 4 = 1 + 3 “0” le corresponde “3” donde 3 = 0 + 3 “1/2” le corresponde “7/2” donde 7/2 = 1/2 + 3 “-2” le corresponde “1” donde 1 = -2 + 3

A cualquier número real “ x” le corresponde un número real “ y ” donde y = x + 3

a

La variable “ x ” que representa los valores del conjunto de partida se denomina variable independiente y la variable “ y ” que representa los valores f ( x ) en el conjunto de llegada se denomina variable dependiente.

Observamos que los puntos del plano (1,4); (0,3); (1/2,7/2); (-2,1) y todos los que tienen la forma (x, x + 3) son puntos de la función. Un gráco que represente la forma que tendrá la función en el plano, se obtiene marcando algunos de sus puntos en un par de ejes cartesianos y luego como el dominio son todos los números reales, unimos dichos puntos.

20

Matemática

G.1.5.

En otro ejemplo, tomando la función f ( x) = 5 x + 1, se puede construir una tabla con algunos valores (x, y )

x

y = f ( x)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-24 -19 -14 -9 -4 1 6 11 16 21 26

Se puede realizar el gráco de esta función utilizando el programa Gnuplot, simplemente escribiendo los comandos “plot 5* x + 1” y luego copiando al portapapeles desde el gráco y luego se puede “pegar” el gráco en un archiv o en Word.

ppara gracación, de código Es uno de los programas

abierto y libre distribución, más utilizado. Se puede bajar la última versión de este programa desde la página:

21


G.1.6 60 5*x+1

40

20

0

-20

-40

-60 -10

-5

0

5

10

Otros ejemplos de unciones a) f ( x ) = x − 2

1

x + 1

2 −3

En este caso el dominio o conjunto de partida no incluye al “-1” pues para este valor la función no está denida.

b) f 2 ( x ) = x

El dominio es el conjunto de los números reales.

c) f 3 ( x ) =

El dominio son los reales mayores o iguales que 1/2, porque el radicando debe ser positivo. (2x-1 ≥ 0 ⇔ (si y solo si) x ≥ 1/2)

2 x -1

x + 1

d) f ( x ) = 2

4

⎧

e) f ( x ) = ⎨ x + 2

5

⎩3

El dominio es el conjunto de los números reales.

si x ≥ 1 si x < 1

f 5 (x) recibe el nombre de función por partes, pues en ella interviene más de una denición, dependiendo del rango de valores de la variable independiente, x. Para los x mayores o iguales a 1 la aplicación es distinta que para los que

son menores a 1.

22

Matemática

Gráfcos de estas unciones

G.1.7

La gráca de una función tiene como propiedad que cada recta vertical x = a la corta una sola vez. A continuación se muestra un gráco que no corresponde a una función. Para el valor x = 2, entre otros, existen dos valores de y.

G.1.8.

23


1.3.1. Composición de unciones Vimos una función como una relación entre x e y , f x

y

A su vez, podemos relacionar el valor y = f(x), con otro número con una nueva relación o función g que relaciona dos valores, en este caso el valor y con otro valor z . g y

z

es decir que al valor x le asignamos el valor y por medio de la función , luego a y le asignamos el valor z por medio de la función g . A esta doble asignación la llamamos composición. En este caso decimos que componemos la función g con la función  , y lo anotamos:

(g o f) (x) de esta forma la composición (g o f )(x) = g( f(x)) resulta: f x

g y

z

Ejemplo:

Dadas dos funciones,

f(x) = 3 x + 2 y g(x) = - 5 x2 + 1

(g o f )(x) = g( f(x)) = g( 3 x + 2 ) = - 5 (3 x + 2)2 + 1

Observamos además que este resultado no coincide con (f o g) (x) (f o g) (x) = f(g(x)) = f( - 5 x2 + 1) = 3 (- 5 x2 + 1) + 2

a

En general, (g o f )(x) ≠ (f o g) (x)

1.3.2. Función inversa Denimos las funciones inyectivas como aquellas funciones que cumplen con la siguiente condición: a cada valor de y del conjunto imagen le corresponde un solo valor de x del conjunto de partida.

a 24

Si una unción es inyectiva existe una unción inversa , f -1( x ), que es aquella que relaciona y con x en orma inversa a la unción original f que relaciona x con y .

Matemática

La función inversa compuesta con la función original f da como resultado la función identidad, Id, que como su nombre lo indica, es la función que relaciona la variable x con el mismo valor en el conjunto de llegada. La composición de una función con su inversa resulta: (f -1 o f )( x) = ( f o f -1)( x) = f -1( f ( x)) = f (f -1( x))= Id( x) = x f -1

f x

y

x

De los cuatro grácos mostrados anteriormente (G.1.7) observamos que el único que no corresponde a una función inyectiva es el b). Para hallar la función inversa de una función inyectiva y = f(x), debemos despejar x en función de y de la denición de la función. Así se obtienen las operaciones a realizar a y = f(x) para volver a obtener x. Ejemplo

Dada la función y = f(x) = ( x - 3 ) 3 + 2, se puede calcular su inversa de la siguiente manera: Para vericar que es inyectiva se puede gracar con el Gnuplot escribiendo:

set zeroaxis plot ( x - 3 ) ** 3 + 2 Con el gráco se verica que a cada valor de x le corresponde un solo valor de y necesario para ser una función y además que a cada valor de y le corresponde un solo valor de x, condición necesaria para ser una función inyectiva.

G.1.9

25


Luego se despeja x para hallar la función inversa: y = ( x - 3 )3 + 2 Se resta 2 de ambos lados de la ecuación y - 2 = ( x - 3 )3 + 2 - 2 y - 2 = ( x - 3 )3 Se aplica la raíz cúbica de ambos lados (la raíz cúbica es la función inversa de la función cúbica) Sumando 3 de ambos lados se obtiene

3

3

y − 2 = 3 ( x − 3)

3

y − 2 = x − 3

3

y − 2 + 3 = x − 3 + 3

3

y − 2 + 3 = x

con lo cual resultan las operaciones que tiene que realizar la función inversa al valor y para reobtener la variable x:

f −1( y ) = 3 y − 2 + 3 = x donde la variable independiente lleva el nombre y . Como en general a la variable independiente se la llama con la letra x se suele reemplazar y por x (no es más que un nombre) con lo cual la función inversa queda 3

f −1( x ) = x − 2 + 3 Si se gracan las dos funciones, se puede observar que la inversa es la reexión (como si fuese un espejo) respecto de la recta y = x (función identidad). Para gracar en el Gnuplot se deben escribir los siguientes comandos: plot [0:5] [0:5] (x-3)**3+2, -(2-x)**(1./3)+3, (x-2)**(1./3)+3,x y se obtiene el gráco

26

Matemática

G.1.10 5 (x-3)**3+2 -(2-x)**(1./3)+3 (x-2)**(1./3)+3 x

4

3

2

1

0 0

c

1

2

3

4

5

1. a. Sea f ( x ) = 3 x y g ( x ) = x + 3, calcule:

a) ( f + g ) ( x ) d) ( f o g ) ( x )

b) ( f – g ) ( x ) e) ( g o f ) ( x )

c) ( f – g ) (5) ) ( g o f ) (2)

b. Sea f ( x ) = –2 x 2 + 6 y g ( x ) = – x + 2, calcule:

a) ( f + g ) ( x ) b) ( f – g ) ( x ) c) ( f – g ) (–1) d) ( f o g ) ( x ) e) ( g o f ) ( x ) ) ( g o f ) (–3) c. En una ábrica de zapatos, su dueño observó que el número de zapatos producido por día dependía de la cantidad de empleados que asistían a trabajar. Siendo x el número de empleados, la cantidad de zapatos producida estaba representada por la relación:

30 x − x 2 z ( x ) = 3 Por su parte, el dueño de la empresa obtiene por cada zapato que vende un benefcio de $80. El benefcio puede ser entonces representado por la unción f ( x ) = 80 x si usamos x en este caso para representar el número de zapatos vendido. ¿Qué representa la composición de las unciones f y z, ( f o z ) ( x )? d. Encuentre la inversa de las siguientes unciones:

a) f ( x ) = 5 x + 1

b) f ( x ) = x 2 – 2 x + 1

c) f ( x ) = x 2 + x + 1

d) f ( x ) = x 3 + 3

3

27


e. Grafque las unciones del ejercicio anterior y sus inversas en un mismo gráfco y verifque que son reexiones respecto de la recta y = x . f. Dadas f ( x ) = 3 x – 2 y ( g o f ) ( x ) =

5

3 x + 1 determine la unción g ( x ).

g. Dadas g ( x ) = x 3 – 1 y ( g o f ) ( x ) = x 2 – 1 determine la unción f ( x ).

1.4. Funciones lineales La función lineal es, sin dudas, la más simple de las funciones que se pueden denir aunque no por ello deja de ser una de las más importantes, sobre todo en lo que respecta a la vida diaria de las personas y los razonamientos que se utilizan. En la mayoría de los problemas que se pueden tener diariamente, la forma más simple de resolverlos es a través de lo que se denomina ‘razonamientos lineales’. Por ejemplo, si una persona va a un supermercado a comprar 1 kilo de manzanas deberá abonar por ello unos 5 pesos. Es obvio (razonamiento lineal) que si compra 2 kilos de manzanas deberá pagar 10 pesos, por 3 kilos 15 pesos, etc. El incremento por cada kilo adicional que lleve es lo que se denomina la pendiente de esta relación lineal. Matemáticamente, si se llama x a los kilos de manzanas a comprar, luego el costo que se tendrá en función de los kilos será de 5 . x pesos. Por su parte, si se considera el gasto de transporte para ir hasta el supermercado, por ejemplo, 4 pesos el pasaje de ida y vuelta, hay que considerar entonces un gasto adicional jo, independiente de los kilos de manzanas a comprar. Así, comprando 1 kilo gastará 9 pesos, con dos kilos gastará 14 pesos, con 3 kilos 19, etc. A esta cantidad ja, independiente de la cantidad de kilos a comprar es lo que se denomina la ordenada al origen. En este caso el costo de nuestra compra será en función de los kilos de manzana de 5 . x + 4 pesos.

a

Se defne como unción lineal a una unción de la orma f ( x ) = a . x + b donde a y b son números reales cualesquiera. Al número que multiplica a la variable, a , se lo llama pendiente y al término independiente, b, ordenada al origen. El dominio y la imagen de esta unción es todo el conjunto de números reales ℜ y su gráfco es una recta.

Algunos ejemplos de unción lineal f 1( x) f 2( x) f 3( x) f 4( x)

= x + 2 = -2 x + 3 = -2 = - x - 1

Gracando todas en un mismo par de ejes cartesianos, se obtiene:

28

Matemática

G.1.11 5

y

f 2(x)=-2x+3 f 1(x)=x+2

4

3

2

f 4(x)=-x-1

1 x 0 -3-

2-

10

12

3

-1

-2 f 3(x)=-2 -3

-4

Como la gráca de una función lineal es una recta, con dos puntos queda determinada cada una de ellas. Para f 1 se eligieron los puntos (-1,1) y (0,2), para f 2 los puntos (1,1) y (2,-1), para f 3 (0,-2) y (-2,-2), y para f 4 los puntos (-1,0) y (2,-3). Del gráco se puede concluir que:

a

Si el valor de “a” es negativo ( f y f 4), la unción es decreciente. 2 Si el valor de “a” es positivo ( f 1), la unción es creciente. Si el valor de “a” es cero ( f 3), la unción es constante.

1.4.1. Pendiente y ordenada al origen de una unción lineal Si una recta no es función (vertical), su expresión será de la forma x = c

para c ∈ ℜ

Si una recta es función, su expresión será de la forma y = a x + b

para a y b ∈ ℜ

dónde a es la pendiente (la tangente del ángulo que forma la recta con el eje x) y b es la ordenada al origen (el valor de y cuando x = 0).

Relación entre los lados más pequeños de un triángulo rectángulo y por lo tanto dependiente del ángulo. En particular, la tangente de un ángulo es el cociente entre el lado pequeño opuesto al ángulo y el lado pequeño en contacto con el mismo.

29


El siguiente gráco corresponde a una recta en la que se han marcado dos puntos cualesquiera A y B, la ordenada al origen b, y el ángulo a que forma con el eje x.

G.1.12

Al quedar determinado un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento AB, se puede calcular la tangente de a que es la pendiente de la recta.

a = tg a =

medida del cateto opuesto y 2 − y 1 = medida del cateto adyacente x 2 − x 1 y − y a = 2 1 x 2 − x 1

Observamos que dos o más rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.

G.1.13

r1 // r2 // r3 pues a1 = a2 = a3 Dado que dos puntos en el espacio determinan una recta que pasa por ellos se puede calcular la pendiente y la ordenada al origen de esta recta a partir de las coordenadas de los dos puntos. Por ejemplo, si los dos puntos tienen coordenadas:

30

Matemática

La pendiente de dicha recta será

a =

0 −3 1 − ( −1) 2

=

−3 = −2 3 2

a = -2

De la ecuación sólo resta calcular la ordenada al origen b, pues tenemos y = -2 x + b

Reemplazando en la ecuación x e y por las coordenadas de uno de los puntos que tenemos como dato del problema, por ejemplo (-1, 3), obtenemos 3 = -2 (-1) + b por lo tanto debe ser b = 1 La recta que pasa por los dos puntos será y = -2 x + 1

G.1.14

Gráco de la recta y = -2 x + 1 que pasa por los puntos dados como dato

1.4.2. Ceros o raíces de una unción lineal Los valores de x para los cuales f ( x x) = 0, es decir, los valores donde la función corta al eje x, se llaman ceros de la función.

a

La unción lineal tiene como máximo un cero.

Como ejemplo, calcularemos los ceros de las funciones anteriores. Para f 1( x ( x) = 0, esto es equivalente a resolver la ecuación x) = x + 2 debe ser f 1 x

31


x + 2 = 0, es decir que x = -2 es un cero de la función. El punto (-2, 0)

pertenece a la función. x) = -2 x + 3 debe ser f 2( x x) = 0, esto es equivalente a resolver la ecuaPara f 2( x ción -2 x + 3 = 0, es decir que x = 3/2 es un cero de la función. El punto (3/2, 0) pertenece a la función.

Para f 3( x x) = -2 debe ser f 3( x x) = 0, esto es equivalente a -2 = 0 que es absurdo, luego, la función no tiene ceros. Para f 4( x x) = x -x - 1 debe ser f 4( x x) = 0, esto es equivalente a resolver la ecuación -x - 1 = 0, es decir que x = -1 es un cero de la función. El punto (-1, 0) x pertenece a la función.

a

x ) = b. Obsérvese además que cuando x = 0, f ( x

El punto (0, b) es un punto de la unción lineal. A este valor se lo llama ordenada al origen.

(0, 2) ∈ f 1

c

(0, 3) ∈ f 2

(0, -2) ∈ f 3

(0, -1) ∈ f 4

2. a. Encuentre la expresión de la recta que cumple con:

a) Tiene pendiente -3 y pasa por el punto (1, 1). b) Pasa por los puntos (-3, 1) y (1, 9). c) Pasa por el origen y es horizontal. f ( x x ) = 3 x – 2 d) Pasa por el punto (-3, -2) y es paralela a la recta f b. Determine si las siguientes rectas son paralelas: la que pasa por los puntos (1, -2) y (-2, 4) y la que pasa por el punto (-2, 2) y tiene como ordenada al origen el valor -2. Verifque el resultado gráfcamente. c. Halle el punto donde se intersectan las rectas de los ítems a.a) y a.b).

1.5. Funciones cuadráticas Retomando el problema de los kilos de manzanas a comprar en un supermercado, independientemente de los kilos que lleve, el comprador pagará 5 pesos por cada uno, aunque lleve un cajón de 20 kilos de manzanas, además del gasto jo de 4 pesos por el viaje al supermercado. ¿Qué pasa si el supermercado quiere incentivar la compra por parte de sus clientes realizando un descuento que no sea independiente de los kilos a comprar sino que es mayor cuanto más kilos se compren? Si el descuento fuese lineal, esto es, independiente de la cantidad de kilos a comprar –por ejemplo, descontando

32

Matemática

10 centavos si lleva un kilo, 20 centavos si lleva dos y así sucesivamente– esto representa solamente un cambio en el precio, a 4.90 pesos el kilo y no hay benecio por llevar en cantidad. Matemáticamente, un descuento lineal como es descripto se escribirá como 5 . x + 4 – 0.10 x pesos, lo que es igual a escribir 4.90 . x + 4 pesos. Sin embargo, el supermercado podría plantear un descuento como el siguiente. Si se compra un kilo se descuentan 10 centavos, si se compran 2 kilos se descuentann 40 centavos (aquí se tienen 20 centavos por kilo de descuento al comprar 2 kilos), 90 centavos si se compran 3 kilos, etc. Aquí el descuento no es proporcional a la cantidad de kilos sino que cuantos más kilos se llevan más descuento se obtiene. En particular, la forma de obtener un número que aumente más rápido que linealmente es, por ejemplo, multiplicando dos veces por los kilos a comprar. Si se compra 1 kilo el descuento a realizar será de 10 centavos por 1 (kilo) por 1 (kilo) resulta 10 centavos. Si se llevan dos kilos el descuento será de 10 centavos por 2 (kilos) por 2 (kilos) resultan 40 centavos de descuento y así sucesivamente. A este comportamiento que no es lineal se lo llama cuadrático y tiene una expresión matemática de la forma 4.90 . x + 4 – 0.10 x . x pesos o bien ordenando en forma decreciente el expo nente de la variable, se obtiene la expresión – 0.10 x2 + 4.90 . x + 4.

a

Se defne como unción cuadrática a una unción de la orma f ( x ) = a x 2 + b x + c donde a , b y c son números reales cualesquiera, debiendo ser a ≠ 0. El dominio de esta unción es todo el conjunto de números reales ℜ y su gráfco es una parábola.

Vértice de una unción cuadrática

Para hallar el vértice es necesario calcular xv pues y v = f ( xv).

x + x 2 Como x = 1 v 2 puede deducirse que xv = −

entonces

b 2a

⎛ b ⎛ b ⎞⎞ V = ⎜ − , f ⎜ − ⎟⎟ ⎝ 2a ⎝ 2a ⎠⎠

Algunos ejemplos de unciones cuadráticas y sus gráfcas 1) f 1( x) = x2 En x = 0 la función tiene un cero o raíz.

33


Una función cuadrática tiene como máximo dos ceros. El punto (0, 0) es un mínimo de la función (vértice de la parábola). La imagen de esta función es el intervalo [0, +∞] (solo se obtienen resultados positivos). La imagen de una función cuadrática depende de l a coordenada “y” del vértice. La recta x = 0 es el eje de simetría de la función. El eje de simetría es la recta x = xv

G.1.15 y f 1(x)=x2

4

1

-2

-1

0

1

2

X

Vértice V=(Xv, y v)

Eje de simetría

2) f 2( x) = x2 - 1 Los ceros o raíces están dados por: x2 – 1 = 0 por lo tanto x2 = 1 luego las raíces son x1 = 1 y x2 = -1 La coordenada x del vértice es el punto medio del segmento determinado por las raíces, la semisuma de las raíces, xv = (x1+ x2)/2 xv =

1 + ( −1) = 0 ⇔ xv = 0 2

Para la coordenada y del vértice calculamos f ( xv) y v = f (0) = -1

Entonces el vértice V = (0,-1) que es un mínimo de la función. El eje de simetría es la recta x = 0. La imagen de esta función es el intervalo [-1, +∞).

34

Matemática

G.1.16

y f 2(x)=x2-1

3

Raíces 1

-2

-1

01 -1

2X Vértice Eje de simetría

3) f 3( x) = -2 x2 + 2 x Los ceros se obtienen de -2 x2 + 2 x = 0 ⇔ 2 x.(- x + 1) = 0 2 x = 0 ó -x + 1 = 0 ⇔ x = 0 ó x = 1 luego, los ceros o raíces son x1 = 0

y

x2 = 1

Tendremos V = (1/2,1/2), que es un máximo de la función. El eje de simetría es la recta x = 1/2. La imagen de esta función es el intervalo (-∞, 1/2].

35


G.1.17

Eje de simetr a

y

Vértice

1/2 0

1/2 1

x

f 3(x)=-2x2+2x

De los ejemplos vistos podemos extraer la siguiente conclusión:

a

Dada una unción cuadrática f ( x ) = a x 2 + b x + c si a > 0 la unción tiene un mínimo que es el vértice de la parábola. si a < 0 la unción tiene un máximo que es el vértice de la parábola.

Esta función –la parábola– pertenece a una familia de curvas cuadráticas denominadas cónicas , porque resultan de la intersección de un plano con un cono (o con dos conos iguales unidos por el vértice) como muestra la siguiente gura.

G.1.18

Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_sections

36

Matemática

En la primera gura la intersección genera una parábola, que ya hemos analizado, en la segunda una elipse o un círculo (que es un caso particular de elipse) y en la tercera una hipérbola, que se caracteriza por tener dos ramas. Las elipses tienen un eje mayor y un eje menor.

G.1.19

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse

Las elipses son útiles en astronomía porque representan la trayectoria de los planetas alrededor del sol, que se considera ubicado en uno de los focos (F1 o F2). Las hipérbolas se verán más adelante, al estudi ar las funciones racionales.

1.5.1. Ceros o raíces de una unción cuadrática Toda función cuadrática f ( x) = a x2 + b x + c puede expresarse como

que se obtiene de completar cuadrados en la forma anterior. Esta expresión facilita el cálculo de las raíces, en el caso de tener una función cuadrática en la que guren los tres términos. Igualando a cero y despejando de la expresión anterior tendremos que los ceros son:

Si b2 – 4ac es negativo no se puede hallar x1 y x2, entonces la función no tendrá ceros.

c 37


c

3. a. Halle el término independiente, las raíces y el vértice de las siguientes unciones cuadráticas:

a) x 2 + x – 6 d) ( x –1)2 + 3

b) –2 x 2 – 6 x e) x 2 – x + 6

c) 49 x 2 –10 x + 17  ) – x 2 + 4 x – 3

b. Halle la intersección de las siguientes unciones:

a) f ( x ) = 5 x + 1 b) f ( x ) = x 2 – 2 x + 1 c) f ( x ) = 2 x 2 + 8 y d) f ( x ) = x 2 – 2 x – 11

y y y y

g ( x ) = x 2 – 2 x + 1 g ( x ) = x 2 + 2 x + 1 g ( x ) = x 2 + 4 x – 4 g ( x ) = –2 x 2 – 5 x + 7

c. Verifque gráfcamente los resultados que obtuvo en el ejercicio anterior.

1.6. Funciones potenciales y polinómicas Las funciones lineales y cuadráticas son casos particulares de las funciones polinómicas, que a su vez son sumas de funciones potenciales.

a

Se defne como unción potencial a la expresión de la orma f ( x ) = x a donde a es un número real cualesquiera, debiendo ser a ≠ 0. El dominio de esta unción es todo el conjunto de números reales ℜ.

a

Las unciones polinómicas son defnidas por expresiones de la orma: f ( x ) = a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + …… + a n x n

donde n es el grado del polinomio (mayor potencia) a n debe ser distinto de cero y a i son los coefcientes del polinomio, pudiendo tomar cualquier valor real. El dominio de estas unciones es todo el conjunto de números reales ℜ. Escribiendo de otra manera la expresión anterior, utilizando el símbolo llamado sumatoria Σ, la expresión general queda:

Algunos ejemplos de funciones polinómicas son: f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)

38

= ax + b = ax2 + bx + c = ax3 + bx2 + cx + d = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

función lineal de grado 1 función cuadrática grado 2 función cúbica de grado 3 función polinómica de grado 4

Matemática

1.7. Funciones racionales

a

Las unciones racionales son aquellas que se pueden escribir como el cociente de dos unciones polinómicas.

( x ) = f

b1 x + b2 x 2 + b3 x 3 + b4 x 4 + …… + bm x m __________________________________ a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + …… + a n x n

Estas funciones están denidas en todos los valores de x donde el denominador es distinto de cero. En los valores de x para los cuales el denominador se anula, habrá que estudiar qué sucede con el numerador. Si este no se anula para ese valor, la función no estará denida. Algunos ejemplos sencillos

1) La hipérbola: f ( x ) =

1 x

En esta función observamos que los valores de x que hacen posible la expresión son aquellos que no anulan el denominador, por lo tanto x puede tomar cualquier valor real menos el cero, Dom f ( x) = ℜ -{0}. Además, el numerador vale 1, por lo que nunca puede ser cero y entonces esta función no tiene ceros, Im f ( x) = ℜ -{0}. El gráco de la función resulta:

G.1.20

La curva se acerca indenidamente a los ejes pero no los toca. Las rectas x = 0 e y = 0 se llaman asíntotas de esta función.

así a las recpSetas llama a las que tiende –se parece– la función en el innito. Veremos este concepto con más profundidad en la próxima unidad.

2)

Esta función es racional, no está denida si el denominador 2 x + 3 = 0. Despejando, esto ocurre si x = -3/2, entonces Dom f ( x) = ℜ -{-3/2}. La función es nula cuando

.

39


Pueden recordarse las propiedades de la división de polinomios por binomios de la forma (x – a ) y su relación con el Teorema del resto y el Teorema del factor en < http:// www.hiru.com/matematika/ matematika_03200.html>

Realizando la división:

con lo que se obtiene

Dividiendo ambos miembros por (2 x = 3)

Luego, podemos expresar la función como:

Se observa que la función nunca vale 1/2 dado que el segundo término no puede ser cero. De esta manera Im f ( x) = ℜ -{1/2}. Grácamente,

G.1.21

Las rectas x = -3/2 e y = 1/2 son asíntotas de la función.

Otra manera para poder localizar las asíntota vertical es dividir el numerador y el denominador de la función por x, suponiéndolo distinto de cero

40

Matemática

Esta expresión para valores muy grandes o muy pequeños de x (cuando x se acerca a +innito o a –innito) se acerca a 1/2.

1.8. Funciones exponenciales y logarítmicas Si en lugar de estar elevada a una potencia f ( x)= xa, la variable gura en el exponente, entonces tendremos una función exponencial.

a

Las unciones exponenciales son de la orma: f ( x ) = a x El valor de la potencia varía al variar x .

Si a la función exponencial le agregamos la restricción de que el número base a sea positivo, y restringimos el codominio a los números reales mayores que cero, entonces esta función es inyectiva, existe su función inversa y se la llama logaritmo.

a

De esta orma, se defne la unción logaritmo como aquella que cumple: y = log a x ⇔ x = a y

Como caso particular de la función exponencial veamos una función que utilizaremos mucho en las próximas unidades. Resulta al considerar la constante a como el número irracional e que en forma aproximada vale e = 2.718281828459......... Se trata de la función f ( x) = e x La inversa de esta función es un logaritmo y se lo denomina logaritmo neperiano: log e x = ln x Algunos ejemplos

1) f ( x) = e x

La invención de los logaritmos se debe al matemático escocés John Neper quien, a principios del siglo XVII, intentó idear un método que aliviara los complejos cálculos que debían realizarse en astronomía para resolver problemas trigonométricos.

p

Es una función exponencial, donde Dom f ( x) = ℜ . Por su parte la función no tiene ceros pues e x > 0 para cualquier x, por lo tanto Im f ( x) = ℜ > 0. En particular, el punto (0, 1) pertenece a la función, pues si x = 0, f ( x=0) = e0 = 1. Su gráco aproximado es:

G.1.22

La recta y = 0 es asíntota horizontal de la función

41


2) f ( x) = - e x+1 + 1 Esta función está denida para cualquier valor de x, por lo tanto, Dom f ( x) = ℜ. Para calcular los ceros, se realizan las siguientes operaciones: -e x+1 + 1 = 0 e x+1 = 1

se iguala la función a cero se separa en términos y se despeja el término que contiene a la incógnita, x, de los términos que no la contienen.

Una función exponencial a x es igual a 1 cuando el exponente es cero, por lo que si e x+1 = 1 entonces x + 1 = 0 Luego x = -1 es cero de la función. Como -e x+1 es menor que cero para cualquier valor de x, la función es menor que 1 siempre, Im f ( x) = ℜ < 1. El gráco aproximado de la función es:

G.1.23

y = 1 es asíntota de la función

c

4. Una unción exponencial, cuya aplicación se verá en Matemática Financiera, tiene la orma:

C = C0 (1+i)n Expresa el valor de un capital C0, colocado a una tasa de interés simple i , constante, durante n períodos de tiempo. Represente gráfcamente C en unción de n, para una tasa del 10% anual, durante no menos de 10 años, para C 0 = 1.000 (la tasa de interés se expresa como 0.1, equivalente a 10%).

42

Apéndice 1

Funciones aplicadas a problemas de economía y negocios Problemas propuestos Alfredo Russo © 2009 con permiso del autor

Problema 1 Los costos de producción de una fábrica de zapatos obedecen a la siguiente regla: 1. Costos jos mensuales = $30.000 2. Costos variables= n*100, dónde n es el número de pares fabricados en el mes. 3. Los Costos Totales son iguales a la suma de los Costos Fijos + Costos Variables. El precio de venta de cada par de zapatos es de $200, de modo que el Ingreso por Ventas es n*200 donde n sigue siendo la cantidad fabricada por mes. a) Representar en un solo gráco, los Costos Fijos, los Costos Totales y los Ingresos por Ventas. b) Determinar el punto a partir del cual la fábrica empieza a generar ganancias, esto es, la producción mensual mínima necesaria para que los Ingresos por Ventas igualen a los Costos Totales.

Problema 2 Supongamos que, para promover las ventas, el propietario de la fábrica de zapatos decide implementar una política de descuentos, tal que los ingresos por ventas ahora no crecen linealmente con la cantidad producida sino que obedecen a una función de la forma: Ingresos Por Ventas = 200*n – 0.06*n2 a) Identicar la función que representa a los Ingresos por Ventas b) Representar, en una única gráca, los Costos Fijos, los Costos

Totales y los Ingresos por Ventas. c) Comparar con los resultados del problema anterior y proponer una explicación.

43


Problema 3 Mostrar grácamente que las siguientes funciones determinan un recinto cerrado. X=0 Y=0 Y=X Y=5

Problema 4 Trazar la gráca de la función usando una planilla electrónica para construir una tabla de valores de x y de y

a) Analizar qué sucede para x = 0 b) Analizar qué sucede para x = 1 y x = -1 c) ¿Tiene una o más asíntotas? ¿Cuáles?

Problema 5 Un apostador juega solamente a chances en la ruleta (rojo/negro, mayores/ menores), sabiendo que la probabilidad de que salga uno u otro valor es:

Donde P(k) es la probabilidad de que salga k -veces una de las chances en n tiradas, p es la probabilidad de que salga una de ellas en una tirada (1/2 en este caso si no consideramos el 0 de la ruleta) y el número combinatorio se calcula por medio de:

El símbolo ! se llama factorial y se calcula de la siguiente forma: n! = n (n-1) (n-2) ... 2 . 1 a) Calcular la probabilidad de que en 10 tiradas salga 5 veces negro, ídem 6 veces negro, ídem 7 veces negro, ídem 8 veces negro. b) Obtener una conclusión acerca de las chances del apostador.

44

Matemática

Problema 6 Dada la función

P es el valor actual de una suma P 0 colocada a una tasa de interés compuesto i durante n períodos, en unidades consistentes (eso quiere decir que si i es una tasa de interés anual, n debe estar expresado en años).

a) Calcular el valor de P si se colocan $100 a una tasa del 10% anual durante 5 años. b) Calcular la tasa de interés a la que deben colocarse $100 para obtener $250 al cabo de 5 años. c) Calcular el tiempo al que deben colocarse $100 para obtener $200 al 12% anual.

Problema 7 Una tasa de interés i periódica puede considerarse equivalente a una tasa de interés i’ continua cuando se las vincula con la expresión:

(1 + i ) n

=e

i'n

En este caso se considera que i’ corresponde a la capitalización continua de las sumas dinero puestas a interés a lo largo del período n. a) Para los casos del problema anterior, calcular la tasa i’ equivalente a cada una de las tasas de las tres alternativas del mismo. b) Demostrar que P = P 0 ei’n c) Vericar que los resultados que se obtienen usando i’ son los mismos que arroja el problema anterior.

Problema 8 El Valor Actual de un pago a recibir en el futuro se calcula por medio de la expresión: P A =

P F

(1 + i ) n

Donde P A es el valor actualizado del monto P F a recibir luego de n períodos de tiempo, en tanto i representa la Tasa de Descuento. a) Calcular el Valor Actual de un pago de $100 a recibir luego de 4 meses si la Tasa de Descuento mensual es del 1% b) Calcular el Valor Actual de una serie de pagos de $100 a recibir en 1, 2, 3 y 4 meses, respectivamente, con una Tasa de Descuento mensual del 1%.

45


Problema 9 Los economistas usan una función de producción conocida como CobbDouglas cuya expresión es la siguiente:

Donde Y es el valor monetario de la producción de bienes y servicios en un año. A es un factor de productividad total de la economía, L es el aporte del trabajo y K el aporte del capital a la producción total. a) Suponiendo que a + β= 1, A, la productividad global es de 100 unidades, L = 5000 unidades monetarias y K = 5000 unidades monetarias, calcular los valores de Y para diferentes valores de a y de β, tomados de 0.1 en adelante. b) Repetir el cálculo para A = 200. c) Representar grácamente Y = f( a ) para los dos casos. d) Obtener una conclusión de los resultados numéricos y grácos obtenidos.

46

Apéndice 2

Ajuste de datos a una curva dada Alfredo Russo © 2009 con permiso del autor

El problema central de la optimización matemática es encontrar la curva que mejor representa a un conjunto dado de datos. ¿Para qué sirve esto? Para tratar al conjunto de datos como una función, del tipo de las que venimos estudiando, en lugar de tratarlos como datos dispersos. Esto no es arbitrario y no se deben combinar datos tomados al azar. Se supone que el analista conoce los datos de antemano, por tratarse de resultados de un procedimiento experimental, por ejemplo, y sabe que hay una relación entre ellos y una variable predeterminada. En consecuencia, es lícito tratar al conjunto de datos como una función de esa variable predeterminada y calcular los parámetros de dicha función.

Regresión lineal El procedimiento usado para calcular los parámetros de la función es el llamado Mínimos Cuadrados. Fue llamado Método de Regresión Lineal porque formaba parte de un estudio que constituyó, en sí, un error; el método quedó pero los resultados no son válidos. La regresión lineal busca encontrar los parámetros de una recta (ordenada al origen y pendiente) que mejor satisface a una distribución de puntos que corresponden a una medición dada, por ejemplo. Supongamos que medimos una magnitud y que queremos representar los resultados de la medición, obtendremos una dispersión de puntos como la que muestra el gráco siguiente:

pde Charles Darwin, realizó Francis Galton, un primo

un estudio sobre las alturas de los padres y los hijos en Inglaterra y encontró que había una tendencia a que los hijos fueran de menor altura que sus padres. La conclusión resultó errónea pero el método usado recibe todavía el nombre de análisis de regresión por esa pretendida regresión de las alturas de los hijos respecto de los padres.

47


Se observa que los puntos se distribuyen en torno de una recta, cuyos parámetros hay que calcular. La ecuación de esa recta, expresada en función de cada uno de sus puntos, puede expresarse por medio de:

Dónde a0 y a1 son, respectivamente, la ordenada al origen y la pendiente de la recta representativa de los datos. Por su parte, εi es el error de cada medición. Como puede observarse en la ecuación anterior, cada valor de y i es función de dos variables: xi y el error. El método de mínimos cuadrados, por medio de una técnica que vamos a examinar en las próximas unidades, lo que hace es encontrar una recta tal que los cuadrados de las distancias de cada punto a la recta que los representa, sean mínimas. ¿Por qué los cuadrados? Para no tener que lidiar con funciones negativas. Este método nos permite calcular los dos parámetros de una recta tal que resulte ser la que mejor compensa las diferencias con los puntos reales obtenidos en el proceso de medición. Finalmente, un coeciente de correlación, R, del que también se suministra su cuadrado por las razones expresadas anteriormente, nos informa sobre la bondad del ajuste, esto es, para valores de R cercanos a 1 la correlación es óptima y la ventaja de la misma se reduce a medida que el valor de R se acerca a 0. Si R fuera negativo, la correlación sería la inversa de la planteada en nuestro supuesto. Para funciones de grado 2 o superior, el número de parámetros aumenta, aunque el procedimiento es similar. A continuación, vamos a plantear algunos ejemplos y sus soluciones usando una propiedad de los grácos de Excel, que permiten calcular los parámetros de las rectas o curvas de regresión y los coecientes de correlación respectivos.

Ejemplo La empresa Informatix SA vende Netbooks de importación. Para estimar sus necesidades de importación para los próximos meses dispone de un estudio de mercado con los siguientes datos: Mes Demanda

48

1 50

2 61

3 72

4 79

5 89

6 99

7 111

8 122

9 131

Matemática

El gráco resultante es el que vemos arriba, con la línea quebrada que representa los datos y la línea de tendencia superpuesta. La ecuación de la línea de tendencia es la que vemos en la parte superior derecha, la cual nos permite interpolar o, si se justica, extrapolar para determina r la demanda esperada en los meses que siguen al 9º. El coeciente de correlación R2 es de 0.9981, lo cual indica que R = 0.999 (obtenido extrayendo la raíz cuadrada de R2) de modo que la correlación es casi perfecta. Para extrapolar la demanda y calcular, por ejemplo, la del mes 10 hacemos el siguiente cálculo: D10 = y 10 = 10,083 * 10 + 40,028 Esta expresión nos da un valor de demanda de 140.8 unidades ≈141 unidades, siempre que sea válido considerar que se mantendrá una demanda creciente en el mes 10.

Regresiones no lineales El procedimiento puede extenderse a datos que son mejor representados por funciones no lineales. La demostración del procedimiento no se hará aquí, sólo se mostrará cómo ejecutar el ajuste de un conjunto de datos a curvas no lineales y cuál es el criterio para elegir la curva más adecuada para cada caso. Supongamos que ahora tenemos la siguiente tabla de Ingresos por Ventas: Ventas Ingresos

100

200

300

400

500

600

19400

37600

54600

70400

85000

98400

Mientras que la tabla de Costos es la siguiente: Costos jos Costos variables Costos Totales

30000 10000 40000

30000 20000 50000

30000 30000 60000

30000 40000 70000

30000 50000 80000

30000 60000 90000

La curva de ingresos en función de las ventas resulta ser:

49


Si queremos hacer una regresión lineal para encontrar los parámetros de la recta óptima que representa el conjunto de datos obtenemos:

Esta recta tiene un ajuste sucientemente bueno como para usarla para extrapolaciones de corto alcance, por ejemplo, 700 unidades de ventas. Veamos qué sucede si hacemos una regresión no lineal, considerando una forma cuadrática:

Obtenemos, con una regresión polinomial, una expresión cuadrática con un Coeciente de Correlación R = 1. La elección se ha hecho con el siguiente procedimiento: se selecciona la curva de representación de datos con el mouse y luego se ejecutan los comandos: Gráco >> Agregar Línea de Tendencia >> Polinomial >> Grado 2; por supuesto, en todos los casos hay que tener la precaución de seleccionar Opciones y dentro de las Opciones marcar con el mouse: Presentar ecuación en el gráco y Presentar el valor de R2 en el gráco. Hemos ajustado las escalas de valores de abscisas y ordenadas para mejorar la forma de ver la gráca. Si hubiéramos querido representar los datos con un polinomio de orden superior, hubiéramos elegido el orden en la casilla respectiva, como 3, 4 o 5, por ejemplo. Otra alternativa, que suele ser útil en casos especiales, es usar una forma exponencial para la regresión. Veamos qué sucede en el caso anterior:

50

Matemática

Esta expresión nos da un coeciente de correlación menor y una forma de la curva que nos va a llevar a errores signicativos si quisiéramos calcular los Ingresos correspondientes a una venta de 700 unidades, por ejemplo. Con estos ejemplos hemos querido explicar que la elección de la curva de regresión va a condicionar los resultados a obtener. De cualquier manera, por tratarse de un método numérico aproximado, en muchos casos no tendremos mejor solución que una de las regresiones propuestas. Se deja como ejercicio para los estudiantes hacer pruebas con los mismos datos para otras curvas de regresión y sacar conclusiones al respecto. Una regla práctica indica comenzar con la regresión lineal y vericar si los resultados obtenidos se apartan demasiado de los datos reales. Por ejemplo, en el caso analizado para la regresión cuadrática, la regresión lineal sugiere desviaciones crecientes en extrapolaciones para mayores valores de las unidades vendidas, pero muestra una razonable capacidad para interpolar datos, dentro del rango de valores propuestos. Otras curvas de regresión son aplicables a casos especiales, como la logarítmica, la potencial o los promedios móviles (muy usados en el análisis de series de tiempo en Economía, por ejemplo). Las diferentes versiones de Excel pueden mostrar diferencias en los menúes pero las operaciones, básicamente, son las mismas en todas ellas.

51

2 Las ideas básicas del cálculo

Objetivos Comprender el concepto de límite de una función y analizar su continuidad en un valor dado. • Entender los conceptos de cociente incremental y derivada de una función en un punto. • Comprender y aproximar funciones en las cercanías de un valor usando derivadas y aproximación lineal o de grado superior. • Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. Obtención de máximos y mínimos (extremos relativos) utilizando la derivada. •

2.1. Introducción El cálculo, en diversas formas, fue conocido en la antigüedad por matemáticos orientales y occidentales; japoneses, indios, iraquíes, persas y griegos desarrollaron algunas de sus formas y se dice que, entre los textos perdidos de Arquímedes, 200 a.C., se encuentran consideraciones sobre derivadas e integrales. Sin embargo, en su forma actual fue desarrollado, casi simultáneamente, por Newton en Inglaterra y Leibniz en Alemania. Newton se dedicó principalmente a los fundamentos del cálculo y Leibniz a la notación que se usa actualmente. Esta disciplina trabaja con cantidades pequeñas, de allí su calicativo de innitesimal, concepto abstracto que, a veces, no resulta fácil de capturar e incorporar. Para analizar la continuidad de las funciones se trabaja con límites, esto es, con los valores que toma una función cuando la variable independiente se aproxima, con valores pequeños y sucesivos, a un valor que, en algunos casos, no llega a alcanzar nunca, como se verá en uno de los ejemplos más adelante. En el terreno práctico, el cálculo se aplica para estudiar el área bajo una curva, las velocidades y el movimiento y también problemas de óptimos, considerados como máximos o mínimos relativos de una función dentro de límites impuestos por restricciones. Es riguroso en cuanto a los postulados que lo respaldan, como toda construcción en Matemática. La axiomática –el conjunto de postulados– debe ser estrictamente respetada para, valga la paradoja, no cometer errores de cálculo. En ese orden, el cálculo se maneja con una serie de reglas que no dan lugar a opiniones, como puede suceder en otras ciencias, especialmente las sociales. Precisamente, en los últimos tiempos han aparecido textos de Matemática para las Cien-

Del latín calculus , una piedra pequeña usada para contar.

53


cias Sociales, que desarrollan conceptos aplicables a algunas de ellas. En ese sentido han sido pioneras la Sociología y la Psicología (Psicometría) con el uso del cálculo de probabilidades, estadística y números índice para caracterizar conductas de grupos humanos o de individuos aislados. Allí, puede ser opinable la forma de aplicar el cálculo, no el cálculo en sí. Como cualquier otra herramienta, lo que la distingue es su aplicación correcta. El cálculo o cálculo innitesimal comprende básicamente límites, funciones, derivadas, integrales y series innitas. Se distinguen dos ramas principales: el cálculo diferencial y el cálculo integral. En general, se aplica el cálculo innitesimal o simplemente el cálculo, cuando las ecuaciones –materia del Álgebra– son insucientes para describir un fenómeno. Las aplicaciones del cálculo son muy diversas; las principales son las Ciencias Exactas, la Economía y la Ingeniería, aunque el grado de intensidad en estas aplicaciones puede ser diferente. Dentro de la Economía, en una forma más general, se consideran incluidas las Ciencias de la Administración, en las que también se aplican algunas de las formas del cálculo. En esta Unidad se considerarán los límites y la continuidad de las funciones de una sola variable independiente, así como las derivadas de las mismas. En el desarrollo se considerarán problemas de aplicación vinculados con las carreras de grado que incluyen este curso en sus currículos.

Pierre de Fermat (16011665) fue un destacado jurista y matemático francés. Su trabajos abrieron el camino al desarrollo ulterior del cálculo innitesimal por Newton y Leibniz. En 1654, y como resultado de una larga correspondencia, desarrolló con Blaise Pascal los principios de la teoría de la probabilidad. También realizó destacados aportes en geometría analítica y la teoría de números. Fuente: www.biograasyvidas.com Las primeras deniciones de límite aparecen en la obra de Wallis (1616-1703) y en ella se utiliza por primera vez el símbolo innito. Con posterioridad, D’Alembert perfeccionó la denición. Fue Cauchy (1789-1857) quien elaboró la denición que utilizamos hoy en día.

54

La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite. Sin embargo, se utilizará este concepto en la denición de la derivada. La derivada de una función en un punto surge del problema de calcular la tangente a la gráca de la función en ese punto. Fue Fermat el que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos, las tangentes son paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grado. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales, y esta es una de las aplicaciones de las derivadas que más se utilizan para el análisis de una función.

2.2. El límite El límite de una función está íntimamente unido a su representación gráca y a la interpretación de la misma debido a que indica su comportamiento o tendencia. Por esta razón, el concepto de límite es básico en el Análisis Matemático.

Matemática

2.2.1. Un ejemplo de aplicación del límite

La función

no está denida en x = 2, ya que para ese valor el denominador se hace cero. La pregunta que se plantea es qué sucede con la función para valores de x cercanos a 2. f ( x) se acerca a un valor al que se llamará límite de la función f ( x ) cuando x se acerca a un valor dado (en este ejemplo, este valor es 2 y se dice que x tiende a 2). Una manera de estudiarlo es realizando una tabla y evaluando la función en estos valores cercanos a 2. La forma más simple es utilizar el Excel de la siguiente manera (se hará una descripción general como para poder reproducirla en otro problema): En la primera columna se colocan valores crecientes, por ejemplo del 1 al 7, luego en la segunda columna se calcula 10 elevado a la potencia de los valores de la columna anterior (B1=10^A1). En la tercer columna se calculan los inversos multiplicativos de la segunda columna (C1=1/B1). En la cuarta y quinta columna se calculan los valores cercanos a 2 donde se desea estudiar la función, para ello se suma y se resta el número pequeño calculado en la columna anterior al valor 2, se hace D1=2-C1 y E1=2+C1. Finalmente, se calcula la función en cuestión en los valores de x cercanos a 2, que acabamos de obtener F1=+(D1^3-8)/(D1-2) y G1=+(E1^3-8)/(E1-2). Con ello se obtiene la siguiente tabla al calcular los pasos anteriores para el resto de la misma. 1 2 3 4 5 6 7

10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000

0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 0,0000001

1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999 1,9999999

2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001 2,0000001

11,41 11,9401 11,994001 11,9994 11,99994 11,999994 11,9999994

12,61 12,0601 12,006001 12,0006 12,00006 12,000006 12,0000006

En esta tabla de observa que cuando x tiende a 2 la función tiende a 12 y se escribe como

También se puede ver el comportamiento de la función grácamente con la ayuda del Gnuplot:

gnuplot> f(x)=((x**3)-8)/(x-2) gnuplot> plot [1.999:2.001] f(x) donde se obtiene el siguiente gráco:

55


G.2.1.

No se observa ningún problema de la función en x = 2, sin embargo, si se quiere evaluar la función en este valor, el Gnuplot devuelve el siguiente mensaje de error (se está intentando dividir por cero):

gnuplot> print f(2) gnuplot> print f(2) ^ undened value Generalizando, el concepto de límite de una función está relacionado con lo que sucede con los valores a los que se aproxima la función f ( x) cuando la variable x se aproxima a un número a se dice que,

a

El límite de una función f ( x ) cuando x se aproxima a un número a es l si los valores correspondientes de la función f ( x ) se aproximan al valor l . Ello se representa de la forma:

La manera formal de demostrarlo es ver que se puede hacer la diferencia | f ( x ) - l | tan pequeña como se quiera, (se puede hacer | f ( x ) - l |< ε, ε > 0) si tomamos valores de x lo sucientemente cercanos a a (existe el número δ > 0 tal que si | x - a |< δ, entonces se cumple que | f ( x ) - l | < ε, ε > 0). Se advierte aquí que en la denición de límite no entra en discusión el valor de f ( x) en x = a, (f (a)). De hecho, la función en x = a puede no ser igual a l o incluso puede llegar a no estar denida para ese valor como se vio en el ejemplo anterior.

56

Matemática

También se pueden denir los límites laterales (límites por derecha o izquierda), en los cuales se aproxima al número a con valores de x mayores o menores que a respectivamente. Estos límites se expresan como: Límite por izquierda o límite izquierdo

Límite por derecha o límite derecho

a

Se dice que existe

si existe el límite por derecha y el límite por izquierda de f ( x ) en x = a y además estos límites coinciden.

En el ejemplo de la función que se estudió previamente con la tabla, estos límites existen y coinciden en el valor 12, y por ello se concluye que

2.2.2. Cálculo algebraico del límite

La función anterior

no se puede evaluar en el punto x = 2, pues no está denida. Lo que sí se puede hacer es transformarla algebraicamente en otra función que tenga el mismo comportamiento que ella en todos los valores de x salvo en 2. Luego si x ≠ 2, el denominador es siempre distinto de cero y f (x) se transforma en g(x ) = x 2 + 2.x + 4 luego de hacer ( x 3 – 8) : ( x – 2). Para dividir ambos polinomios se completa el dividendo y se realizan los siguientes pasos:

57


Luego ( x3 – 8) : ( x – 2) = x2 + 2.x + 4 Volviendo al límite se tiene:

Resultado que se obtuvo previamente con la tabla de valores.

2.2.3. Un límite muy particular

Veremos qué sucede con el siguiente límite cuando x tiende a cero:

Para comenzar, la función no está denida en x = 0 ya que la potencia (1/x) no está denida en x = 0. Si se quiere calcular el límite por izquierda y por derecha, como se hizo en el ejemplo anterior, construyendo una tabla de valores, esta vez calculándolos de a uno en lugar de hacerlo con el Excel, se tomarán valores cada vez más cercanos a cero. Acercándose por izquierda con valores menores que cero serán valores negativos, mientras que al hacerlo por derecha serán positivos. Para realizar los cálculos más fácilmente sólo se tomarán fracciones cada vez más pequeñas (en valor absoluto). El cálculo para algunos valores acercándose por ambos lados es el siguiente:

58

Matemática

Límite por Izquierda x<0 f(x) -1/2 4 3 -1/3 (3/2) = 3.375 -1/4 (4/3)4 ≈ 3.1605 -1/5 (5/4)5 ≈ 3.0518 -1/n (n/(n-1))n -1/100 (100/99) 100≈2,732

Límite por derecha x>0 f(x) 1/2 (3/2) 2 = 2.25 1/3 (4/3) 3 ≈ 2.3704 1/4 (5/4) 4 ≈ 2.4414 1/5 (6/5) 5 = 2.48832 1/n ((n+1)/n)n 1/100 (101/100) 100≈2,705

De esta forma se obtienen expresiones para estimar los límites por derecha y por izquierda. Hasta aquí se puede estimar que el límite estará entre 2.705 y 2.733. Si se utiliza ahora el Excel para calcular con valores más cercanos a cero como se realizó en el ejemplo anterior, utilizando las expresiones recién obtenidas, resulta: n 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000

(n /(n-1))n

((n+1)/n)n

2,86797199 2,73199903 2,71964222 2,71841776 2,71829542 2,71828319 2,71828197 2,71828185

2,59374246 2,70481383 2,71692393 2,71814593 2,71826824 2,71828047 2,71828169 2,71828179

Con estos valores se observa que ambos límites tienden a un valor cercano a 2.718281... entre 2.71828185 y 2.71828179. El verdadero valor del límite es un número de los denominados trascendentes, con innitas cifras decimales y con el que ya se trabajó en la unidad anterior.

a

El límite en este caso es el famoso número e que se utiliza en la base de los logaritmos neperianos o como base de la función exponencial e x y de hecho, este límite, es una de las formas de denir este número:

59


2.3. Continuidad Se dice que una función es continua en el punto x = a si la función está denida en x = a; si existe Lim f ( x ) x → a

y si este límite coincide con f(a)

En el ejemplo previo, la función no está denida en x = 2, con lo cual la función no es continua por esta razón, sin importar que exista el límite

Sin embargo, dado que existe el límite de f ( x) cuando x tiende a 2, esa discontinuidad se puede evitar deniendo una nueva función g ( x) igual a f ( x) en todos los x distintos de 2 pero que en x = 2 tome el valor 12. ( g (2)=12).

Para esta “nueva” función g ( x), se cumplen las condiciones de continuidad en x = 2 ya que está denida en 2; g (2) = 12; existe el límite de g ( x) cuando x tiende a 2

y este límite coincide con el valor de la función en x = 2.

2.4. Cociente incremental y derivada Dada una función f ( x) el cociente incremental entre los puntos ( x1, f ( x1)) y ( x2, f (x2)) se dene como:

60

Matemática

A este cociente también se lo llama tasa de variación media o tasa de variación promedio entre x2 y x1. Grácamente, se observa que el cociente incremental es la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( x1, f ( x1)) y ( x2, f ( x2)). G.2.2.

Se observa que en los tramos donde la función crece, el cociente es positivo pues f ( x2) > f ( x1), y en los tramos donde la función decrece, el cociente es negativo pues f ( x2) < f ( x1). En el caso particular de que la función sea una recta, este cociente es constante e igual a la pendiente de la recta.

2.4.1. Derivada de una función en un punto

Tomando a = x1 y a + h = x2, el cociente incremental previo resulta Como x2 - x 1 = a + h - a = h, G.2.3.

61


Se puede observar que a medida que h disminuye (h → 0), los puntos se acercan y la recta secante a la gráca de la función se transforma en una recta tangente a la función en x = a.

a

El valor del cociente incremental cuando h tiende a 0 es la pendiente de la recta tangente a la función en x = a

Este límite es lo que se llama la derivada de la función f ( x ) en el punto a y se escribe como f ’(a ). La derivada de una función en un punto a se llama también tasa de crecimiento instantáneo de la función en a . La derivada de una función en un punto es un número.

La función derivada de una función f(x) se llama f ’(x) y se obtiene haciendo

2.4.2. Reglas de derivación

Véase en el Apéndice 1 un resumen de estas funciones y sus derivadas

La derivada de cualquier función puede calcularse utilizando la denición que se ha dado. Para las funciones mas simples se calcula utilizando el límite; para funciones mas complejas –sumas, productos o composiciones de funciones simples– las derivadas pueden calcularse utilizando las reglas de derivación. Derivada de una función constante f(x) = k es cero

Derivada de la función f(x) = 1/x

62

Matemática

Derivada de la suma (diferencia) de funciones

Ejemplo: (ln(x)+1/x)’=(ln(x))’ + (1/x)’ = 1/x + ( - 1/x2) =

Derivada de un polinomio

y = x 4 + 2 x3 + 3 x + 5 y ' = 4 x3 + 6 x 2 + 3 Como vimos anteriormente, cada sumando del polinomio se deriva en forma independiente del otro y se obtiene una función derivada que es la suma de las derivadas de cada uno de los elementos del polinomio primitivo. Derivada del producto de funciones

Ejemplo

Derivada del cociente de funciones

Ejemplo

63


Derivada de la composición de funciones (regla de la cadena)

Ejemplo

En este caso, se puede resolver la derivada calculando primero la función composición y derivando la función cuadrática resultante: (f o g)(x)=2(25 x2 -2 5x 1+ 12 )+ 1=50 x2 - 20 x + 3

entonces se obtiene el mismo resultado (f o g)’(x)= 100 x -20

c

64

1. a.

Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

Matemática

b. Calcule mediante

la fórmula de la derivada de una potencia:

c.

Calcule mediante la fórmula de la derivada de una raíz:

d.

Derive las siguientes funciones exponenciales:

65


e.

Calcule la derivada de las siguientes funciones logarítmicas:

f.

Calcule la derivada de las siguientes funciones:

2.4.3. Derivadas de orden superior

La derivada de una función es a su vez una función, con lo cual también puede calcularse su derivada, y así sucesivamente. Ejemplos

f(x) = x4 - 2 x3 + 3 x2 + 4x - 8 f(x)’ = 4 x3 - 6 x2 + 6 x + 4

La derivada de la derivada será (f(x)’)’ = f(x)(2) = 12 x2 - 12 x + 6

y así se puede seguir derivando ((f(x)’)’)’ = f(x)(3) = 24 x - 12 (((f(x)’)’)’)’ = f(x)(4) = 24 ((((f(x)’)’)’)’)’ = f(x) (5) = 0

66

Matemática

c

2.

Halle las derivadas sucesivas de:

2.5. Aproximación lineal Se puede aproximar el valor de una función en las cercanías de un punto a calculando la recta tangente a la función en ese punto y aproximando el valor de la función por el valor de la recta tangente. En general, si una función es derivable en x = a se puede aproximar el valor de la función f ( x) en x = a usando la recta que pasa por el punto ( a, f (a)) y cuya pendiente es igual a la derivada de f ( x) en el punto a. De esta forma, se puede aproximar f ( x) para valores cercanos a a usando la recta m.( x – a) + b = f ‘(a).( x – a) + f (a). Como ejemplo calculamos 4.000009 Se puede aproximar la función f ( x ) = x para el valor x = 4.000009, en las cercanías de x = 4. Buscando la recta tangente a f ( x) = x en x = 4 utilizando la derivada de f ( x) = x se obtiene:

,

entonces la recta tangente que se busca es

.

en particular en x = 4 se tiene Con ello se puede aproximar el valor 1 4

( 4.000009 – 4 ) + 2

1 =

4

4.000009 por

( 0.000009 ) + 2

=

0.00000225 + 2

=

2.00000225

Se puede comparar este resultado aproximado con el que nos entrega una calculadora: 4.000009 = 2,00000224999873

Es decir, pudimos calcular casi exactamente, utilizando cuentas sencillas y evaluando una recta, una raíz cuadrada que solo se puede resolver utilizando una calculadora.

67


c

3. a.

Halle la ecuación de la recta tangente a la función f (x) = A ln( x) en x = 1.

a.

Graque en un mismo gráco f ( x ) y la recta que resuelve el problema propuesto para A= 5.

b.

Aproximar el valor de f ( x ) en x = 1.003 para A = 5.

2.6. Teoremas generales sobre la continuidad Intuitivamente, se puede interpretar la continuidad de una función si para valores cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores que toma la función. Se puede gracar una función continua sin tener que levantar el lápiz del papel donde se realiza la gráca.

2.6.1. Intervalos

Hasta aquí se ha hecho referencia al conjunto de salida (intervalo) sobre el cual se estudia el comportamiento de una función dada. Este conjunto, generalmente de números reales, estará denido de distintas formas: Intervalo abierto (a, b), es el conjunto de todos los número reales x que cumplen la condición a < x < b. Nótese que los extremos del intervalo, los valores a y b, NO pertenecen al conjunto de salida. • Intervalo cerrado [a, b], es el conjunto de todos los números reales x que cumplen la condición a ≤ x ≤ b. Nótese aquí que los extremos del intervalo, los valores a y b, SÍ pertenecen al conjunto de salida. • Intervalos semiabiertos [a, b) o (a, b] es el conjunto de todos los números reales x que cumplen la condición a ≤ x < b o a < x ≤ b respectivamente. En este caso un extremo pertenece al conjunto y el otro no. •

2.6.2. Teoremas

Se enunciarán algunos teoremas fundamentales sobre continuidad y se verán algunas aplicaciones de los mismos.

a

Toda función continua de una función continua es una función continua.

Como ejemplo más simple se puede decir que la función lineal f ( x) = ax+ b es continua y entonces también lo será la función g ( x) = cx + d. Lo que este teorema dice es que g (f ( x)) = g (ax+ b) = c (ax+ b) + d = ca x + (cb + d) también es continua (en este caso particular también sigue siendo una recta). 68

Matemática

Otro ejemplo puede ser la función cuadrática f ( x) = x2 + 1 que también es continua, como todos los polinomios, que en este caso toma valores mayores o iguales a 1; y la función g ( x) = x que es continua para todo x > 0. De estas dos funciones se puede concluir que la función g (f ( x)) = g ( x2 + 1) = x 2 + 1 es continua para todo x.

a

Toda función continua en un intervalo cerrado [ a , b] es acotada: existe un valor para el cual la función es para todos los valores dentro del intervalo menor que él. También existe un valor en ese intervalo para el cual la función es mayor. Este es el enunciado del Teorema de Weierstrass.

Obsérvese cuán importante es la exigencia de que el intervalo sea cerrado, esto es, que los extremos a y b formen parte del intervalo. La función 1/ x que es continua en el intervalo abierto (0, 1), no está acotada en él, ya que como el intervalo es abierto en 0, se puede acercar a 0 tanto como se quiera encontrando un valor para 1/ x cada vez mayor. En este caso se dice que la función no tiene cota superior. Sin embargo, sí tiene cota inferior; por ejemplo, el valor 1 es una cota inferior ya que la función toma valores mayores que 1 en todo el intervalo de estudio mencionado. Nuevamente si se toma como ejemplo la función 1/ x que es continua en el intervalo abierto (0, 1), no tiene mínimo, pues al acercarnos a 1 pueden hallarse valores cada vez más pequeños. Si el intervalo fuera cerrado en 1, entonces sí la función tendría un mínimo en x = 1. Tampoco tiene máximo (como se vio, ni siquiera estaba acotada).

a

Karl Weierstrass (18151897). Matemático alemán que suele citarse como el padre del análisis moderno.

Fuente: Wikimedia commons

Si en un intervalo cerrado [ a , b] resultan f (a ) y f (b) de signo opuesto, hay (por lo menos) un valor c interior al intervalo en el cual se anula la función: f (c ) = 0. Este es el enunciado del teorema de Bolzano y constituye el fundamento teórico de los métodos de resolución aproximada de ecuaciones.

G.2.4.

Una función continua no puede pasar de un valor f ( x1) a otro distinto f ( x2) sin pasar por todos los valores intermedios.

Bernard Bolzano (17811851) fue matemático, lógico, lósofo y teólogo bohemio; realizó importantes contribuciones a las matemáticas y a la teoría del conocimiento. Fuente: Wikimedia commons.

a 69


a

Dada una función continua en un intervalo cerrado [ a , b] y derivable en el intervalo abierto ( a, b), existe un punto dentro del intervalo abierto c ∈ (a , b) tal que

Este es el enunciado del teorema de Lagrange.

a Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813), matemático,, físico y astrónomo mático franco-italiano, demostró el teorema del valor medio, medio, desarrolló la mecánica lagrangiana y realizó una importante contribución en astronomía astronomía.. Fuente: Wikimedia commons. Michel Rolle (1652 (1652-1719). Matemático M atemático francés,, se dedicó preferentefrancés mente a la teoría de ecuaciones, dominio en el que encontró diversos resultados, entre los que se destaca el reconocido teorema que lleva su nombre,, formulado en 1691 bre 1691,, que representa una aplicación de la teoría de funciones a la de ecuaciones algebraicas. También inventó la notación n x para designar la enésima raíz de x .

Dada una función continua en un intervalo cerrado [ a , b] y derivable en el intervalo abierto ( a , b) y f (a ) = f (b), existe un punto dentro del intervalo abierto c ∈ (a , b) tal que f ´( ´(c ) = 0. Este es el enunciado del teorema de Rolle.

2.6.3. Aplicación del teorema de Bolzano

Utilizando el teorema de Bolzano se pueden resolver ecuaciones en forma aproximada y también hallar raíces de funciones. Por ejemplo, la simple ecuación se x2 = 2, cuya solución conocida para los valores positivos de x es x = 2 , se puede resolver en forma aproximada y así obtener un valor numérico aproximado. Para ello se escribe la ecuación anterior, pasando el 2 al lado izquierdo, obteniendo la ecuación igualada a cero, x2 - 2 = 0. Por lo tanto, hallar la solución de la ecuación inicial es equivalente a hallar las raíces de la función f x (x)= x2 – 2. Esta función es continua en el intervalo [1, 2] y además f (1) (1) = -1 y f (2) (2) = 2, con lo cual el teorema de Bolzano nos asegura que existe

c ∈ [1, 2] tal que f (c ) = 0. La idea es ir encerrando el valor c tomando valores xi dentro del intervalo [1, 2]. Si por casualidad se selecciona un xi tal que f ( x xi) = 0 ya se encontró entonces el valor c que se buscaba. Si en cambio f ( x xi) ≠ 0 entonces hay xi). En este punto se reemplaza el intervalo origique ver qué signo tiene f ( x nal [1, 2] cambiando el extremo del intervalo donde la función tiene el mismo xi ). signo que f ( x Con símbolos esto se expresa de la siguiente manera: Si f ( x xi). f (a) > 0 entonces ambos tienen el mismo signo. Si f ( x xi). f (a) < 0 ambos tienen signos contrarios. En el caso f ( x xi). f (a) > 0, se vuelve a tener un problema equivalente al inicial: dada la función f ( x x)= x2 – 2, continua en el intervalo [ x xi , 2] y además (2) = 2, nuevamente existe un valor donde se anula la función pero f x (xi) < 0 y f (2) ahora en el nuevo intervalo –más pequeño que el inicial– y por ello se va acorralando el valor donde se anula la función. Método de la bisectriz para elegir x xi

En principio, xi se puede elegir aleatoriamente tomando cualquier valor dentro del intervalo. Un método para seleccionarlo es elegir un valor de la forma 70

Matemática

más efectiva posible. Si se toma un valor xi más cercano a b y por lo tanto más alejado de a y sucede lo que se supuso antes, f x ( xi). f (a) > 0, entonces es efectivo tomarlo más cercano a b ya que el nuevo intervalo [ x xi , b] es más pequeño que si se toma el xi más cercano a a. Sin embargo, si la situación es la inversa y se cumple que f ( x xi). f (a) < 0 (signos opuestos), entonces el intervalo en el que se continúa buscando la raíz será el [a, xi], con lo cual la elección es poco efectiva, pues al haber tomado el xi más cercano a b el intervalo [a, xi] es mayor que si se hubiese tomado el xi más cercano a a. De esta manera, la solución salomónica es elegir un xi que esté a la misma distancia de ambos extremos y este valor es el que se conoce como el promedio xi =

a+b 2

y geométricamente, se llama bisectriz del segmento

.

Para terminar con el ejemplo se puede resolver el problema con la ayuda del programa Excel. Se abre el programa y en la primer columna y primera la se coloca el valor inicial del intervalo a estudiar, al que se llamó en general a; en la segunda columna se coloca el valor del otro extremo del intervalo, b; en la tercera columna se calcula el promedio de los extremos. Para ello se escribe en la celda C1 lo siguiente =(A1+B1)/2 con estos comandos se suma el valor de la celda A1 con el de la celda B1 y se divide este resultado por 2. En la celda D1, E1 y F1 se coloca el valor de x) evaluada en los extremos y en el promedio: la función f ( x x = a, b y xi =

a+b 2

Nuevamente, usando el programa para que evalúe la función en la celda D1 se escribe =A1*A1-2; en la celda E1 se escribe =B1*B1-2 y por último en la celda F1 se coloca =C1*C1-2 . Con ello ya se tiene t iene la primera la de la tabla. Aquí se debe elegir qué extremo reemplazar por el xi. Para ello se debe considerar si f ( x xi). f (a) > 0 o si f ( x xi). f (a) < 0. Se puede realizar esta comparación utilizando el mismo programa. En la celda A2 se debe escribir =SI(D1*F1>0;C1;A1); =SI(D1*F1>0;C1;A1); luego, en la celda B2 se escribe =SI(E1*F1>0;C1;B1). En las celdas C2 a F2 se copia lo colocado en la la 1 marcando las celdas C1 a F1 y poniendo el cursor en la esquina inferior derecha de la celda F1 hasta que el cursor se convierte en un + negro, allí se aprieta el botón izquierdo del mouse, se lo mantiene apretado y se baja hasta la la 2. De esta manera se copian los valores de la la 1 en la la 2, pero considerando en lugar de los valores celda A1 los de la celda A2 y lo mismo con los valores de la columna B. Por último, se hace lo mismo pero para todas las columnas en la la 3 en adelante, marcando toda la la 2 y nuevamente poniendo el cursor en la esquina inferior derecha de la celda F2 hasta que el cursor se convierte en un + negro, allí se aprieta el botón iz quierdo del mouse, se lo mantiene apretado y se lo baja hasta la la que se desee calcular. Cuanto más las se calculen, más se s e irá cercando a la raíz buscada. La siguiente es una muestra de la tabla que se obtiene:

71


A

b

1 1 1,25 1,375 1,375 1,40625 1,40625 1,4140625 1,4140625 1,4140625 1,4140625 1,4140625 1,4140625 1,41418457 1,41418457 1,41418457 1,41419983 1,41420746 1,41421127 1,41421318 1,41421318 1,41421318 1,41421342

2 1,5 1,5 1,5 1,4375 1,4375 1,421875 1,421875 1,41796875 1,41601563 1,41503906 1,41455078 1,41430664 1,41430664 1,41424561 1,41421509 1,41421509 1,41421509 1,41421509 1,41421509 1,41421413 1,41421366 1,41421366

x i

1,5 1,25 1,375 1,4375 1,40625 1,421875 1,4140625 1,41796875 1,41601563 1,41503906 1,41455078 1,41430664 1,41418457 1,41424561 1,41421509 1,41419983 1,41420746 1,41421127 1,41421318 1,41421413 1,41421366 1,41421342 1,41421354

f(a)

-1 -1 -0,4375 -0,109375 -0,109375 -0,022460938 -0,022460938 -0,000427246 -0,000427246 -0,000427246 -0,000427246 -0,000427246 -0,000427246 -8,20011E-05 -8,20011E-05 -8,20011E-05 -3,88434E-05 -1,72643E-05 -6,47477E-06 -1,07998E-06 -1,07998E-06 -1,07998E-06 -4,05632E-07

f(b)

2 0,25 0,25 0,25 0,06640625 0,06640625 0,02172852 0,02172852 0,01063538 0,00510025 0,00233555 0,00095391 0,00026327 0,00026327 9,0633E-05 4,3148E-06 4,3148E-06 4,3148E-06 4,3148E-06 4,3148E-06 1,6174E-06 2,6872E-07 2,6872E-07

f(x ) i

0,25 -0,4375 -0,109375 0,06640625 -0,02246094 0,02172852 -0,00042725 0,01063538 0,00510025 0,00233555 0,00095391 0,00026327 -8,2001E-05 9,0633E-05 4,3148E-06 -3,8843E-05 -1,7264E-05 -6,4748E-06 -1,08E-06 1,6174E-06 2,6872E-07 -4,0563E-07 -6,8457E-08

2.7. Crecimiento de una función y su relación con la derivada

a

Se dene una función creciente en el intervalo ( a , b) si para todo par de x 2 pertenecien puntos x 1 y x pertenecientes tes al intervalo, se verica que si x 1 < x 2 enton x 1) ≤ f ( x x 2). Una función decreciente en el intervalo ( a , b) es tal, si ces f ( x x 2 pertenecientes al intervalo, se verica para todo par de puntos x 1 y x x 1) ≥ f ( x x 2). que si x 1 < x 2 entonces f ( x Se dene una función estrictamente creciente en el intervalo ( a , b) si x 2 pertenecientes al intervalo, se verica que para todo par de puntos x 1 y x x 1) < f ( x x 2). En tanto una función es estrictamente si x 1 < x 2 entonces f ( x x 2 perdecreciente en el intervalo ( a , b), si para todo par de puntos x 1 y x x 1) > f ( x x 2). tenecientes al intervalo, se verica que si x 1 < x 2 entonces f ( x

Es posible relacionar el crecimiento o decrecimiento de una función con el comportamiento de su derivada. La derivada se calcula como

De esta forma, para una función estrictamente creciente se tiene que si x1 < x2 entonces f ( x x1) < f ( x x2); tanto el numerador como el denominador que aparecen en el cálculo de la derivada son positivos, con lo cual la derivada

72

Matemática

tiene que ser positiva. Con un razonamiento similar, si la derivada es negativa, la función tiene que ser estrictamente decreciente en el entorno del valor donde se calculó la derivada. Con estos dos conceptos se puede expresar una condición necesaria para que una función tenga un máximo en x = x0. Para x < x0 la función debe ser creciente (derivada positiva) y para x > x0 la función debe ser decreciente (derivada negativa). De aquí que una condición necesaria para que una función tenga un máximo o mínimo en x0, es que su derivada debe anularse f ´( x0) = 0. G.2.5.

Que la derivada sea nula es una condición necesaria, pero no suciente ya que podría tratarse de un punto de inexión. En este caso, la función es creciente (derivada positiva), deja de crecer (derivada nula) y vuelve a crecer (derivada nuevamente positiva): G.2.6.

73


Ejemplo Estudio de la función f(x)= 12 x 5 + 15 x4 - 40 x3

Primero se calcula la derivada y se buscan los valores de x para los cuales se anula (estos valores se denominan en forma genérica x0). En este caso, la derivada es fácil de calcular ya que se trata de un polinomio, por lo que se obtiene: f ‘( x) = 12 . 5 x(5-1) + 15. 4 x(4-1) - 40 . 3 x(3-1) = 60 x4 + 60 x3 - 120 x2 = 60 x2 ( x2 + x - 2)

De esta forma, la derivada se anula en x = 0 o bien cuando x2 + x - 2= 0. Se utiliza la expresión para las raíces de una cuadrática:

con lo cual x = (-1+3)/2 = 2/2 = 1 es un valor que anula la derivada y x = (-1-3)/2 = -4/2 = -2 es otro valor que anula la derivada. De esta manera se puede escribir la derivada como f ‘( x)= 60 x2 ( x - (1))( x - (-2)) = 60 x2 ( x - 1)( x + 2)

Los valores donde la función puede tener un máximo o un mínimo son x = 0, x = 1 y x = -2. Luego se estudian los signos de la derivada en los entornos de los x0 hallados: En x = 0, se tiene f ‘( x)= 60 x2 ( x2 + x - 2) Se puede calcular para x < x0 y para x > x0 cómo es el signo de la derivada y con eso ver si se trata de un máximo, mínimo o de un punto de inexión. Con la ayuda de una calculadora se puede calcular f ‘( x= -0.01<0) = -0.0120594 < 0 (la función es decreciente). f ‘( x= 0) = 0 y f ‘( x= 0.01>0)= -0.0119394 < 0 (también la función es

decreciente) con lo cual x=0 no es ni un máximo ni un mínimo, sino un punto de inexión. Estas cuentas se pueden realizar en el Gnuplot: fp( x)= 60* x* x*( x - 1)*( x + 2) y luego, para ver cuánto vale en un valor dado de x, basta escribir (por ejemplo, en x=0.01)

gnuplot> print fp(0.01) Haciendo lo mismo en x= 1 y x= -2. f ‘( x= 0.99 <1) = -1.7582994 < 0 (la función es decreciente)

74

Matemática

f ‘( x=1) = 0 y f ‘( x= 1.01>1) = 1.8423006 > 0 (la función es creciente)

con lo cual x=1 es un mínimo. f ‘( x= -2.01 <-2) = 7.2964206 > 0 (la función es creciente) f ‘( x=-2) = 0 y f ‘( x= -1.99)= -7.1044194 < 0 (la función es decreciente)

con lo cual x = -2 es un máximo .

c

4. a. Analice

la continuidad de la función f(x) =

derivada.

log( x 2 ) x

y calcule su

b. Dada la función

, encuentre el dominio, los ceros, la derivada, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos locales (máximos y mínimos). Realice un graco de f ( x ) y su derivada para comprobar los resultados obtenidos. c.

2.8. Derivada segunda y concavidad La concavidad y convexidad de una función están asociadas a su curvatura. De esta forma, si la recta (cuerda) que pasa por dos puntos de la gráca de la función, ( x1, f ( x1)) y ( x2, f ( x2)), deja a los puntos de la curva por debajo de ella, se la llama convexa y si es al revés, cóncava. G.2.7.

convexa

cóncava Con razonamientos análogos a los utilizados para el crecimiento y la derivada, decimos que si f ´´( x) > 0 entonces la función es convexa (nótese en los grácos que una función con un mínimo es una función convexa ( f ´´( x) > 0) y una con un máximo es cóncava (f ´´( x) < 0)). Aplicando este resultado al ejemplo anterior se puede concluir que una forma alternativa para ver si los puntos x0 son máximos o mínimos es estudiar la curvatura de la función en dichos puntos, con lo cual se calcula la derivada segunda y se evalúa en los puntos x0. Si la derivada segunda es positiva en x0, f ´´( x0) > 0, entonces la función es convexa y en x0 hay un mínimo. Por otro lado, si la derivada segunda es negativa en x0, f ´´( x0) < 0, entonces la función es cóncava y en x0 hay un máximo. 75


En el ejemplo anterior se tenía que f ( x)= 12 x5 + 15 x4 - 40 x3 y f ‘( x)= 60 x4 + 60 x3 - 120 x2

La derivada segunda será, entonces, la derivada de la derivada f ´´( x)= 60 . 4 x(4-1) + 60 . 3 x(3-1) - 120 . 2 x(2-1) = 240 x3 + 180 x2 - 240 x

Nuevamente, con la ayuda del Gnuplot se puede calcular cuánto vale f ´´( x) en x = 0, x = 1 y x = -2 f ´´( x = -2) = -432 < 0 la función es cóncava y por lo tanto tiene un máximo en x = -2. f ´´( x = 1) = 144 > 0 entonces la función es convexa y por lo tanto tiene un mínimo en x =1. f ´´( x = 0) = 0 en este caso no sirve el método de la segunda derivada y se

debe estudiar el signo de la derivada como hicimos anteriormente para ver qué sucede en x = 0. Para terminar el análisis, es posible comprobar lo realizado analíticamente, viendo el gráco de la función f ( x)= 12 x5 + 15 x4 - 40 x3 (también se puede gracar la derivada y la segunda derivada). G.2.8.

2.9. Optimización En este punto lo que se busca es hallar los valores de la variable independiente que hacen que la variable dependiente tome su valor máximo o mínimo. El problema puede cambiar si se estudia la función en un intervalo cerrado [ a, b]. 76

Matemática

En él y por el teorema de Weierstrass, se puede asegurar que existe un valor máximo y uno mínimo de la función en dicho intervalo cerrado (claro que en este caso puede que el máximo se encuentre en un extremo del intervalo y no se lo encontrará con el método de las derivadas). Si el intervalo es abierto (a, b) o semiabierto entonces la función puede no estar acotada en el intervalo. Veamos cómo se procede en cada uno de estos casos. ¿Cómo hallar extremos en el caso de tener una función derivable en un intervalo cerrado [a, b]?

Se buscan los puntos donde la derivada se anula f ‘( x0) = 0 y se busca cuánto vale la función en dichos puntos f ( x0). Luego se evalúa la función en los extremos del intervalo f (a) y f (b). De estos valores se dene cuál da el máximo (y el mínimo) valor de f (x). ¿Cómo hallar extremos en el caso de tener una función derivable en un intervalo abierto (a, b)?

En primer lugar hay que estudiar qué pasa en los extremos del intervalo. Por ejemplo, la función 1/ x en el intervalo (0, 1). Si la función diverge en un extremo (en el ejemplo diverge en x = 0), entonces la función no tiene máximo y no existe la solución al problema de la maximización. Si no diverge (es acotada) pero estrictamente creciente (o decreciente) en el intervalo, tampoco tiene solución pues siempre se puede hallar un valor mayor (o menor) al acercarnos más al extremo. En el ejemplo, la función no tiene mínimo pues al acercarnos a 1 se pueden hallar valores cada vez más chicos cercanos a 1/1. Si el intervalo fuera cerrado en 1, entonces si la función tendría un mínimo en x = 1. Si no aparecen los problemas anteriores, se procede como en el caso del intervalo cerrado. Se buscan los puntos donde la derivada se anula f ‘( x0) = 0 y se evalúa cuánto vale la función en dichos puntos f ( x0). Se valora la función en los extremos del intervalo f (a) y f (b). De los valores anteriores se debe buscar cuál da el máximo (y el mínimo) valor de f ( x). Problema de aplicación

Una fábrica que produce radios estimó que el costo de producción diaria, en función de las unidades producidas, se puede describir a través de la siguiente función cuadrática: $(1/4 x2 + 35 x +25). Por su parte, el precio de de cada radio es $(50 – 1/2 x). ¿Cuál es la producción diaria óptima para obtener el mayor benecio? En este problema se desea encontrar cuántas radios deben producirse para obtener el máximo benecio. El benecio depende de la cantidad ( x) de radios producidas. Se debe obtener la función benecio utilizando el costo de producción y el precio de venta que son los datos que brinda el problema, teniendo en cuenta que el benecio se obtiene restándole al precio de venta el costo de producción. B( x) = PV ( x) – C (x). El costo de producir x cantidad de radios por día es 77


C ( x) = 1/4 x2 + 35 x +25.

Como el precio de venta de una radio es 50 – 1/2 x, el precio de venta de x cantidad de radios será PV( x) = x (50 – 1/2 x). Se debe tener presente que para este problema x debe ser mayor o igual a cero. Luego, si se produce x cantidad de radios, el benecio producido por las mismas será: B( x) B( x) B( x) B( x)

= PV ( x) - C( x) = x (50 – 1/2 x) – (1/4 x2 + 35 x +.25) = 50 x – 1/2 x2 – 1/4 x2 – 35 x – 25 = – 3/4 x2 + 15 x –25 ( x ≥ 0)

Ahora se debe maximizar la función, es decir, encontrar el valor de x para el cual la función tiene un máximo. 1. Se deriva B( x) B’( x) = -3/2 x + 15 2. Se hallan los valores de x donde la derivada es cero B’( x) = 0 ⇒ -3/2 x + 15 = 0 ⇒ x = 10 3. Se verica que en x = 10 la función tiene un máximo calculando la derivada segunda. B ’’( x) = -3/2 < 0 para cualquier valor de x entonces la función es cóncava y por lo tanto tiene un máximo en x = 10. Se obtuvo que el benecio es máximo cuando x = 10. Entonces, deben producirse 10 radios por día para obtener el máximo benecio. Si se desea saber cuánto es ese benecio basta con reemplazar la función por x = 10. B(10) = -3/4.10 2 + 15.10 – 25 = 50.

El benecio diario máximo será de $50.

c

78

5.

Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo arriba. Si debe tener un perímetro de 2.24 metros, ¿cuáles deben ser sus dimensiones para que pase la máxima cantidad de luz (área máxima)?

Matemática

2.10. Ejemplos de aplicación En este apartado veremos las diferencias entre variables y funciones discretas y continuas y ejemplos de su aplicación. En el primer caso –discretas– la variable de salida toma valores discontinuos, de a saltos, dejando ‘agujeros’ en la representación de los números reales al gracarlos como una recta llamada eje x. Y dado que el dominio no es continuo, la función tomará también valores discretos o discontinuos. En el segundo caso –continuas– la variable toma valores continuos en el dominio y, por lo tanto, la función también tomará valores continuos aunque, como veremos, igual podrá tener saltos o discontinuidades.

2.10.1. Discreto vs. continuo

Como ejemplo de una variable discreta se muestra el siguiente gráco, en el cual la variable de salida se llama t y en el eje vertical se graca la función f(t). G.2.9.

Un caso concreto de variable discreta pueden ser los números naturales, –por lo general, se utiliza la letra n o i, para su representación. Por su parte, una variable continua, puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, con lo cual en los valores que toma en el eje x no tendrá agujeros. La misma idea se transmite a la función continua, en la cual al ir ‘caminando por arriba de la función’, la misma no tiene ‘agujeros’. A continuación, se verá un ejemplo de una función que en ciertos valores es continua; sin embargo, en 1/3 y 1 da saltos, es decir, allí no es continua, (mientras que la variable de salida lo es). G.2.10.

79


2.10.2. Discontinuidades con asíntota vertical

En este apartado veremos la función

De alguna forma, esta función elimina la parte decimal del número quedándose con la parte entera, de allí su nombre.

su continuidad, gráco y las asíntotas verticales, en donde el símbolo [ x] representa la parte entera del número x. Esta función relaciona un número x con el máximo entero z que cumple z ≤ x . Por ejemplo, dado el número 3.5982, los enteros -2, -1, 0, 1, 2, 3 cumplen la condición de ser menores que 3.5982, mientras que los enteros 4, 5, 6, 7, ... no la cumplen. Por ello, el máximo entero que cumple la condición z ≤ 3.5982 es el número 3, con lo cual [3.5982] = 3. Con un número negativo cambia un poco la situación ya que no sólo se quita la parte decimal, sino que luego hay que restarle 1 al número que se obtiene. Por ejemplo, para el número -4.8164892, los enteros -7, -6, -5 son menores y los enteros -4, -3, -2, -1 , 0, 1, 2 son mayores, con lo que [-4.8164892] = -5. Utilizando el Gnuplot para gracar la función, con el comando oor que devuelve como resultado la parte entera de x, se debe escribir la sentencia gnuplot> Set samples 5000 plot [-5:5] [-10:10] oor (x)/(x-oor(x)), para obetener el siguiente gráco. G.2.11.

a 80

Nótese la diferencia entre la función y su símbolo. Para la parte entera se usa [ x ], mientras que para representar la función ‘valor absoluto de x ’ se utiliza el símbolo | x |, denido como

Matemática

Es decir, el valor absoluto de un número es el mismo número pero siempre con signo positivo, así ⏐3.5982 ⏐ = 3.5982 mientras que ⏐-4.8164892⏐= 4.8164892 La función f ( x) está denida siempre y cuando el denominador sea distinto de cero, x - [ x] ≠ 0. Por lo tanto, debe cumplirse x - [ x] ≠ 0 x - [ x] + [ x] x ≠ [ x]

≠ 0 + [ x]

sumando de ambos lados [ x], se obtiene

Por ello la función estará denida para todos los valores de x ∈ ℜ salvo cuando x sea un número entero, ya que en este caso se estaría dividiendo por cero. Entonces, el dominio de la función será ..... ∪ (-5, -4) ∪ (-4, -3) ∪ (-3, -2) ∪ (-2, -1) ∪ (-1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, 4) ∪ (4, 5) ∪ (5, 6) ∪ .... (en notación de intervalos abiertos ya que no debe incluir los extremos por ser números enteros donde la función no está denida). Entre (0,1), la función es constante, por lo tanto, su derivada es nula; pero a su vez, ¿f(x) en ese intervalo es cero?

Si el intervalo a estudiar es (0, 1) (abierto), la función vale

En los valores enteros de x la función se hace paralela al eje y; por lo tanto, la derivada, que es la tangente de la función, ¿qué valores adopta?

Nuevamente, la función no está denida en los valores enteros de x, entonces, la función no es continua y no va a existir el límite

Por lo tanto, no existe la derivada en los valores enteros de x; y esta era una de las condiciones necesarias para que una función sea derivable; la función debe ser continua. ¿Cómo es la discontinuidad en los valores enteros de x?

Al acercarse a los valores enteros, el denominador cada vez se hace más pequeño,

81


[]→ 0 →[]

mientras que el numerador permanece constante, por lo cual, al dividir con estos valores cada vez más pequeños el resultado de la división es cada vez más grande y se dice que la función diverge en el lugar donde no está denida la división por cero (en el ejemplo, valores enteros de x). De allí que esta función es un ejemplo de discontinuidades con asíntotas verticales.

2.10.3. Cómo derivar un cociente de funciones

Recordemos cómo se realiza la derivada del producto de funciones:

En palabras, la regla es: la derivada de la primer función por la segunda función sin derivar más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda función. Para el cociente de funciones, no hay más que escribir el cociente como una multiplicación:

donde ción g(x).

no es la función inversa de g(x), sino 1 sobre la fun-

Entonces se debe derivar este producto:

Por lo tanto, la regla para un cociente de funciones resulta: la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo dividido por el denominador al cuadrado. Ejemplo

82

Matemática

Ejemplo de aproximación de funciones con polinomios de grado mayor a uno

El polinomio de Taylor permite aproximar el valor de una función en un punto utilizando un polinomio del grado que se desee. Ya se vio un ejemplo con una recta en el apartado 2.4 (polinomio de grado 1) y aquí se verá un ejemplo con c on una parábola (polinomio de grado 2). Los coecientes que multiplican cada término xn del polinomio se calculan evaluando las distintas derivadas de la función. La denición para la serie de Taylor es:

Al quedarse con los primeros términos (recta, parábola, cúbica, etc.), se obtiene un valor aproximado de la función ya que se desechan los demás términos. Como ejemplo, se aplicará a la función f ( x x)

= x(3/2) + log ( x x)

Para ello se calculan las derivadas sucesivas de la función: 3 1 f ' ( x ) = x 2 2

1

3

x

2

+ =

x

+

1 x

recordando que (1/ x) = x(-1) se puede calcular la derivada segunda

con esto ya se puede calcular la recta y la parábola que aproximan a la función f ( x x)

para la recta, a la que se llamará, para simplicar, PT1( x) y

para la parábola, a la que se llamará, para simplicar, PT2( x). Se pueden calcular, como ejemplo, valores de la función en puntos cercanos al 1, en particular se tomará f (0.994). (0.994).

83


x) queda expresada por Para valores cercanos a uno, la recta PT1( x

Por su parte, la parábola PT2( x x) queda

De esta forma se puede aproximar f (0.994) (0.994) por PT1(0.994) o por PT2(0.994) PT1( x x) = (5/2) x x-(3/2) que en x=0.994 queda PT1(0.994) = (5/2) (0.994)-(3/2)=2,485-1,5=0 (0.994)-(3/2)=2,485-1,5=0.985 .985 PT2( x x) =(-1/8). x x2+(11 /4). x x-(13/8) que en x=0.994 queda PT2(0.994) = (-1/8). (0.994) 2+(11 /4). (0.994)-(13/8) = = -0.1235045+ 2.7335- 1.625 = 0.9849955 Para comparar se puede calcular el valor exacto de la función en x=0.994 utilizando una calculadora: (0.994) = (0.994) (3/2) + log(0.994) = f (0.994) = 0.9910135135305-0.006018072325563 = 0.9849954412049 Todos estos cálculos se pueden realizar con la calculadora que viene en los accesorios de Windows, pero también se pueden realizar con el Gnuplot, ejecutando las siguientes líneas: Primero se dene la función y sus aproximaciones cuadráticas f ( x x), PT1( x x) y PT2( x x) f x x) ( x) = x**(1.5)+log( x x) = 2.5* x-1.5 PT1( x x) =-0.125* x2+2.75* x-1.625 PT2( x

Luego, se pueden evaluar las distintas funciones en 0.994 usando el comando print en el Gnuplot

84

Matemática

print f (0.994) 0.984995441204903 print PT1(0.994) 0.985 print PT2(0.994) 0.984995 Finalmente, se pueden gracar las funciones f ( x), PT1( x) y PT2( x) y observar cómo, para valores de x cercanos a 1, los polinomios PT1( x) y PT2( x) se parecen mucho a f (x) pero al alejarse de x = 1 se ve que no resultan buenas aproximaciones para la función. plot [0:3] f( x),PT1( x),PT2( x) G.2.12. 7

f(x) PT1(x) PT2(x)

6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Si se desea aproximar la función en otro punto que no sea x = 1 se deberá volver a evaluar las expresiones que se obtuvieron previamente, reemplazando x0 por el valor en el cual se quiere aproximar la función.

85

Apéndice 1

Tabla de Derivadas Función

Derivada

a . f ( x)

a . f ´( x)

f ( x) + g ( x)

f ´( x) + g ´( x)

g (f ( x))

g ´ (f ( x)) . f ´( x)

f ( x) = a

f ´( x) = 0

f ( x) = xn

f ´( x) = n x

f ( x ) = x

f ´( x ) =

f ( x) = e x

f ´( x) = e x

f ( x) = a x

f ´( x) = a x ln(a)

f ( x) . g ( x)

f ´( x) g ( x)+ f ( x) g ´( x)

n-1

1 2 x

f ( x ) g ( x ) f ( x) = x

f ´( x) = 1

1 n

f ( x ) = x

=

x n

f ( x ) = ln( x )

f ´( x) =

f ( x ) = log a ( x )

f ´( x) =

87

Apéndice 2

Problemas resueltos con derivadas

Problema 1

Esta derivada es de la forma y = u.v

Problema 2

y

= x 2 + 6 x + 3

Esta derivada es de la forma y = un

89


Problema 3 y

=

2 x + 1 x + 5

Esta derivada es de la forma y = u /v

Problema 4 y

= e x

2

Esta derivada es de la forma y = au

Problema 5

Hay que hallar la derivada de y respecto de x, pero aquí se tiene una composición de funciones.

90

Apéndice 3

Problemas de Administración con derivadas El tamaño óptimo de compra en las compras de materias primas y materiales se encuentra utilizando la ecuación del costo de aprovisionamiento y mantenimiento de stocks o inventarios en la planta del comprador. El costo total anual está dado por la expresión: CT

=

CC + CL + CM

El costo total (CT) es la suma del costo de compra (CC), el costo de lanzamiento de la orden de compra (CL) y el costo de mantenimiento de stocks o inventarios en planta (CM). A su vez, podemos escribir las siguientes expresiones para cada uno de los sumandos de la anterior: CC

=

PxD

Donde P es el precio de compra y D la demanda anual del componente o producto a comprar. D CL = C L Q Expresión que nos indica que el Costo Anual de Lanzamiento de órdenes de compra es el producto del costo de cada orden por la cantidad de órdenes emitidas por año que, a su vez, es igual a la Demanda dividida por el tamaño de cada compra. Por su parte, el Costo de Mantenimiento de un inventario estará dado por: CM

= H

Q 2

Donde H es el costo anual de mantener una unidad en stock y Q/2 es el stock promedio entre compras, suponiendo que el consumo de las unidades compradas es el mismo en todos los días que median entre una entrega y la otra. En denitiva, podemos escribir una expresión en Q, que será de la forma: CT

= PD + C L

D Q

Q

+H

2

Si suponemos que tanto la Demanda Anual como el precio de compra son independientes de Q, el tamaño de la compra óptima, que llamaremos Q* será el que resulte de igualar a 0 la primera derivada del Costo Total. Esta derivada tiene la siguiente expresión:

91


Despejando el valor de Q que hace mínima la función de Costo Total, valor que hemos denominado Q*, obtenemos: Q*

2CLD

=

H

Que es la llamada expresión de Harris-Wilson para el tamaño óptimo de la compra. Problema

Una empresa tiene un costo de lanzamiento de una orden de compra de $1000 cada una, una demanda anual de 100.000 unidades de un producto cuyo costo es de $10 por unidad. El costo promedio de mantenimiento de una unidad en stock es del 20% anual del precio de la misma. a) Calcular el tamaño óptimo del pedido a realizar. b) Calcular el número de pedidos a realizar por año. c) Trazar una gráca que muestre la evolución del stock entre dos pedidos. Solución:

a) El tamaño óptimo se calcula teniendo en cuenta los siguientes valores: D = 100.000 unidades/año H = 0.2 * 10 = $2/unidad CL= $1.000/orden Por lo tanto: Q*

=

Q*

=

2 DC L H 2*100000*1000 0,2*10

*

= 100000000 Q* = 10.000 Q

Es decir, el tamaño óptimo de compra es de 10.000 unidades por vez.

b) El número de compras por año será 10, que resulta de dividir la Demanda de 100.000 unidades/año por 10.000 unidades/compra. 10 compras por año equivalen a una compra cada 36,5 días. c) Si se considera un consumo constante entre una compra y la otra, la gráca de evolución del stock, suponiendo que cuando llega el suministro no hay nada en existencia, será:

92

Matemática

Esta evolución se repite cada 36,5 días, que es el período de reposición del stock.

Marginalismo

La Teoría Marginal utiliza los valores que resultan de incrementar en una unidad la producción de bienes o servicios. No es aceptada por muchos economistas, pero tiene utilidad en el análisis de problemas de Administración, por lo cual exponemos aquí algunos de sus conceptos relevantes. Costo Marginal

Si hay una función de costo de un producto en una empresa, el costo marginal en un punto es la derivada del costo total respecto de la cantidad producida. Ingreso Marginal

Si hay una función del ingreso por producto, el ingreso marginal es la derivada del ingreso total (bruto) respecto de la cantidad vendida. Utilidad marginal

Una función de utilidad generalmente se dene como la diferencia entre el ingreso total bruto menos el costo total bruto para un nivel de producción dado; la utilidad marginal será entonces la derivada de la utilidad respecto de la cantidad producida, para el punto de producción considerado. El Costo Marginal, el Ingreso Marginal y la Utilidad Marginal son útiles para analizar el efecto del aumento de la producción de bienes o servicios en función de las condiciones en las que trabaja la empresa. Se supone siempre que la empresa produce lo necesario para atender la demanda. Si hace reservas de stock para atender demandas futuras, la conservación de esos stocks tiene un costo adicional, como hemos visto antes. Aquí analizaremos solamente los aspectos matemáticos de esas funciones. Sea la función:

93


IT es el Ingreso Total de la empresa y q es la cantidad de unidades vendidas. La gráca de la función nos ayudará a comprender mejor la naturaleza de la misma. Se puede observar que el Ingreso Total aumenta hasta cierto valor y luego disminuye. Analizaremos entonces el Ingreso Marginal en diferentes puntos de la curva para determinar analíticamente lo que ya podríamos adelantar observando la curva de la función de Ingreso Total. De acuerdo con lo que hemos dicho, el Ingreso Marginal es una función de q, la cantidad producida, obtenida por derivación de la función del Ingreso Total:

En un punto donde la curva del Ingreso Total es creciente, el Ingreso Marginal deberá ser positivo, supongamos que elegimos 4 unidades como producción, entonces:

IM = 165

Para 6 unidades y haciendo el mismo cálculo que en el caso anterior, obtenemos IM = 65

Por último, para 7 unidades, será: IM = 15

Se observa que el ingreso marginal disminuye y que, para un punto comprendido entre 7 y 8 unidades producidas será igual a 0, lo que indica que, por encima de 7 unidades el Ingreso Total disminuye si se pretende aumentar la producción. 94

Matemática

Con los Costos Marginales se obtiene expresiones similares. Supongamos que la función de Costo Total de una empresa está dada por la expresión:

Se desea calcular el nivel de producción para el cual el Costo Total es mínimo, costo que suele llamarse Punto Óptimo de Explotación. Para calcularlo deberemos encontrar el valor de q que hace nula a la primera derivada del Costo Total, cuya expresión es:

El valor de q para el cual el costo es mínimo será: q=

36 1,5

q = 24

Sabemos que este punto es un mínimo porque la segunda derivada de la función de Costo Total es 1,5 (una constante positiva). El siguiente gráco nos ilustra sobre lo que ya hemos encontrado analíticamente:

Problemas propuestos

1. Dada la función: a. Encontrar la función del Ingreso Marginal. b. Trazar las grácas de las funciones de Ingreso Total e Ingreso Marginal. c. Calcular el Ingreso Marginal para q=10, 15 y 20. 2. Para la función: a. 95


b. Deducir la ecuación para el Ingreso Marginal. c. Encontrar el valor del IM para q=80 por cálculo. d. Encontrar el valor de IM para q=80 usando una planilla electrónica y dando valores a q comenzando por q=90 y siguiendo con q=81, 80,1, 80,01, 80,001 y 80,0001. e. Trazar las grácas de las funciones de IT e IM. 3. Encontrar la producción para la cual IM es cero cuando la función describe la variación del precio de venta p en función de la cantidad producida q (recordar que IT = pq ). 4. Calcular el Punto Óptimo de Operación para una empresa cuya función de costo total es: . Dibujar las grácas de las funciones de Costo Total y Costo Marginal. 5. Una empresa monopólica tiene una curva de precio: una de Costos Totales: + 300 a. ¿Cuánto deberá vender para maximizar el Ingreso Total bruto? b. ¿Cuánto será ese Ingreso Total bruto? c. Trazar las grácas de Precio, Costo Total e Ingreso Total.

6. Una empresa tiene una curva de precios: p= 184 – 4q y una de Costo Total: a. ¿Cuánto será la venta que maximice el IT? b. Deducir la función de IM. c. Trazar las grácas de IT e IM.

96

y

3 Integración, métodos y aplicaciones

Objetivos

• Presentar los conceptos de primitivas e integrales denidas e indenidas. • Estudiar distintos métodos de integración: sustitución y partes. • Utilizar la integral de una función para el cálculo del área debajo de una curva.

3.1. Introducción El problema de la integración está asociado con el cálculo de áreas con contornos irregulares. Tal como arma Bertrand Russell en su Principia Mathema- tica, nada en Matemática es producto de un desarrollo puro y desinteresado; por el contrario, los problemas que intenta resolver son reales y de uso diario. Si bien la Geometría y el Análisis Matemático se desarrollaron en forma separada, casi independiente, la convergencia de ambas ciencias, debida a René Descartes, hace posible aplicar métodos del segundo a la primera. Si bien se considera como la operación recíproca de la derivación, en esta unidad se analizará de qué forma la integración se aplica al cálculo de supercies encerradas por curvas irregulares, donde no se pueden deducir expresiones exactas para el cálculo de las áreas, tal como sucede con las formas regulares –triángulos, rectángulos, círculos y anes–. La integración de formas funcionales diversas se ha facilitado enormemente con el cálculo numérico, que depende de la capacidad computacional de que dispone el calculista. En efecto, muchas integrales que no tienen una resolución analítica, pueden admitir una resolución numérica, pero ese es un tema que queda afuera de lo que se espera tratar en esta Carpeta. Aquí nos limitaremos a estudiar, primero, la integral indenida y, luego, la integral denida de funciones de una única variable independiente. En el estudio de la integral indenida, como operación recíproca de la derivación, se encuentra que la integración de una función no produce un resultado único, sino una familia de funciones que diferen entre sí en una constante. El concepto de familia de curvas, diferenciadas por un parámetro, es parte de la interpretación gráca de la integración. El cálculo en varias variables es un tema mucho más complejo, en especial porque mentalmente es posible hacerse una imagen de funciones de hasta dos variables independientes (más una dependiente o función). Las funciones que tienen más de dos variables independientes son más difíciles de representar y los espacios n-dimensiona-

Bertrand Russell (1872-1970). Filósofo, matemático y escritor inglés. Premio Nobel de Literatura en 1950. Fuente: Wiki Commons.

97


les en las que se producen no admiten una representación gráca del tipo de las que se utilizan aquí. Sin embargo, las reglas que se deducirá n para las funciones de una variable independiente son fácilmente asociables para producir reglas para varias variables. En cambio, en la integral denida, al poner un límite superior y uno inferior para la integración, se obtiene una solución única.

3.2. Primitiva o antiderivada de una función Dada una función f ( x), si F ( x) es una función tal que F ’( x) = f ( x) entonces F ( x) se denomina primitiva o antiderivada de f ( x). De esta forma, la primitiva de una función f ( x) es otra función F ( x) que, al ser derivada, da por resultado f ( x). Ejemplos

a) Una primitiva de f ( x) = x es F ( x) = pues F ’( x) = 2. x /2 = x,

x 2 2

o lo que es lo mismo,

Sin embargo, esta no es la única primitiva de f ( x). Las siguientes funciones

x 2 2

+1

x 2 2

-3

x 2 2

+5

son todas primitivas de f ( x). Las funciones de la forma F ( x) = x2 /2 + C donde C es una constante, son primitivas de la función f ( x) = x. Es decir que existen innitas primitivas de la función f ( x) = x. b) Una primitiva de f ( x) = 3 x2 – 3 x + 1 es pues

Dos primitivas cualesquiera de una función dieren sólo en una constante.

Las funciones de la forma F ( x) = x3- 3/2 x2 + x + C son primitivas de la función f ( x) = 3 x2 – 3 x + 1

3.3. Integral indenida de una función Se llama integral indenida de una función al conjunto de todas las primitivas de dicha función. La integral indenida de la función f ( x) con respecto a x se expresa como

donde d x indica la variable implicada Luego

98

= F ( x)

si y sólo si

F ’( x) = f ( x)

Matemática

Con respecto a los ejemplos anteriores se tiene que:

C se denomina constante de integración.

Otros ejemplos

a

Obsérvese que siempre puede vericarse la integral de una función derivando el resultado de la misma.

99


3.4. Integración con condiciones iniciales La integración con condiciones iniciales es un caso particular de la integral indenida. Al disponer de un valor de la función en un punto dado (llamado el de condición inicial) es posible calcular el valor de la constante C . Esto implica que la existencia de la condición inicial ja una correspondencia biunívoca entre la función a integrar y la integral, según la cual el resultado es una única función y no una familia de funciones que se diferencian entre sí por el valor de la constante. Si se dispone de una función primitiva de la forma:

y además hay una condición que establece que y (1) = 4, esta forma de escribir la función indica que: el valor de y en el punto en el que x = 1, es 4. Si ese fuera el caso se puede reemplazar los valores de x e y en la expresión anterior, para obtener: y( x) = x2 + C y( x=1) = 12 + C = 4 1 + C = 4

Expresión de la cual se puede despejar C = 3, lo cual permite escribir la expresión inicial como:

y = x

2

+

3

Es decir, de todas las expresiones que se pueden obtener dando valores a C, la que está determinada por una condición impuesta o condición inicial es aquella en la que C = 3. En otro ejemplo se puede enunciar de la siguiente manera: “Si y es una función de x tal que y’ = 8 x - 4 y además sabemos que y (2) = 5, encontrar y , calcular también y (4)” Para resolver el ejemplo se debe, en primer término, integrar la función derivada de y que se ha llamado y’ y luego calcular el valor de la constante de integración como ya se ha hecho antes; nalmente, conocida la constante, se puede calcular y (4):

100

Matemática

Pero además, se tiene que y (2)=5, por lo que se pueden hacer los reemplazos correspondientes en la integral indenida obtenida y luego calcular C .

Reordenando queda:

De lo que resulta

C = –3

La expresión nal será entonces:

El cálculo de y (4) resulta el siguiente:

Cuyo resultado numérico es: y (4) = 45

3.5. Métodos de integración Para integrar una suma de funciones se puede hacer la suma de las integrales de cada función. Esto tiene sentido porque la integral indenida es una antiderivada y la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función, es decir que:

pues

El problema se presenta cuando se quiere integrar un producto de funciones porque la derivada no es distributiva respecto al producto. En este caso, dependiendo del producto que se tenga que integrar habrá que recurrir a algún procedimiento algebraico. Los métodos de integración que se utilizarán para integrar un producto de funciones son: el de partes, que se basa en la derivada de un producto, y el de sustitución, que se basa en la regla de la cadena para composición de funciones. Lo importante es reconocer en qué casos se puede aplicar cada uno de ellos.

3.5.1. Integración por partes Si se desea calcular la siguiente integral de la función Recordando que la derivada de un producto es

101


Al integrar toda la ecuación se obtiene:

De esta manera, al calcular una integral se puede reemplazar por el cálculo de otra integral diferente. Calculando

∫ ln(x). x2 dx

Se puede tomar con los que resulta

f(x) = ln(x) y g’(x) = x2 f ‘(x) = 1/x y g(x) = x3 /3.

De esta forma se puede calcular la integral anterior haciendo:

Luego:

nalmente se obtiene

Resta la vericación: como siempre, se debe derivar la primitiva encontrada y obtener la función que se desea integrar al inicio del problema.

Así, se comprueba que la integral hallada es correcta.

102

Matemática

3.5.2. Método de sustitución Si se desea calcular la integral

en este caso también se tiene un producto de funciones, pero este producto tiene una particularidad: la función (3 x2 + 2)3 es una composición de funciones f ( g ( x)) y la función x que aparece a la izquierda del paréntesis de la integral deseada, es la sexta parte de la derivada de g ( x). Entonces, se tiene un producto donde una de las funciones es una composición y la otra es la derivada de la función de adentro de la composición multiplicada por una constante. Para poder integrar este tipo de producto se recurre a la regla de la cadena, donde:

con lo cual al integrar toda la ecuación se obtiene:

reemplazando u= g ( x) resulta du = g ’( x) d x entonces f (u)=f ( g ( x)) y f ‘ (u)= f ‘ ( g ( x)) y por otro lado du = g ’( x) d x. De esta forma se puede pasar a calcular simplemente la primitiva de

Calculando la integral anterior

∫ x . (3 x2 + 2)3 d x Sustituyendo 3 x2 + 2 ( g ( x)) por u se tiene u = 3 x2 + 2 con lo que du = (3 x2 + 2)’ d x es decir que du = 6 x d x y por lo tanto resulta du /6 x = d x. Reemplazando en la integral anterior se tiene:

Se puede conrmar el resultado derivando:

Con lo que una vez más se verica que el resultado es correcto.

103


3.6. Integrales denidas y regla de Barrow Previamente se han visto las integrales inde nidas, cuya solución es una familia de funciones que dieren en una constante. A diferencia de éstas, la integral denida entre dos valores o límites tiene como solución un valor numérico relacionado con el área debajo de la curva entre los extremos o límites de integración.

a

Sea f ( x ) una función continua denida positiva en el intervalo [ a ,b] y F ( x ) es una primitiva de f ( x ), entonces se verica que:

Este teorema también se conoce como regla de Barrow.

Por ser f ( x) denida positiva, esta integral denida (un valor numérico) es igual al área delimitada entre la función y el eje x entre los límites a y b.

Ejemplo de aplicación Las integrales pueden utilizarse para calcular lo que se denomina excedente del productor y excedente del consumidor. Consideremos dos funciones: una de demanda f ( x) y otra de oferta g ( x), ambas correspondientes a un mismo artículo, donde x representa el número de artículos y cada función corresponde al precio de oferta y demanda por x artículos. Para ambas curvas existe un punto donde se intersectan, el cual se denomina ‘punto de equilibrio del mercado’ (x0, p0) con p0 = f ( x0) = g (x0) y representa un precio al que los consumidores están dispuestos a comprar y los productores a vender la misma cantidad x0 de unidades del artículo. Sin embargo, de acuerdo con la curva de demanda, existen consumidores que están dispuestos a comprar una cantidad menor que x0 artículos a un precio mayor que el de equilibrio p0 pues este precio está por debajo del que ellos demandan y con este precio mayor se benecia el productor. A la suma del precio adicional que están dispuestos a pagar los consumidores por menos artículos se lo denomina excedente de los consumidores (EC). Esta suma puede calcularse entonces como:

De la misma forma, los productores se benecian del precio de equilibrio ya que, según la curva de oferta, están dispuestos a vender a un precio menor que p0 cantidades menores que x0. La ganancia total de los productores corresponde a sumar todas estas diferencias (excedente de los productores, EP), que se puede calcular como:

104

Matemática

3.6.1. Cálculo de áreas Obsérvese la siguiente gura: G.3.1.

Corresponde a la región del plano delimitada por las rectas

y = 3 x + 2, x = 1, x = 4, y = 0 (el eje de las x ) Se puede calcular geométricamente el área de la gura como la suma del área del rectángulo más la del triángulo. El rectángulo tiene un área igual a su base por la altura = b.h = 3 . 5 = 15 (donde la base = 4 – 1 y la altura = f (1) - 0 = 3.1 + 2 = 5) El área del triángulo es base por la altura sobre 2 = (b.h) /2 = (3.9) / 2 = 27 / 2 (donde la base = 4 – 1 y la altura = f (4) - f (1) = (3.4 + 2) -(3.1 + 2) =14 – 5 = 9) Luego, el área de la gura es 15 + 27 / 2 = 57 / 2 La dicultad en el cálculo de las áreas se presenta cuando algún borde de la región no es una recta. Por ejemplo, la región limitada por: f ( x) = 5. x3 – 10; x = 4; x = 8 y el eje x, que se presenta en el siguiente gráco

105


G.3.2.

En este caso no se puede calcular el área de la región de la forma anterior. Para resolver áreas de este tipo se utilizan las integrales denidas.

3.6.2. Cálculo de áreas aplicando la integral denida En G.3.1 se observa que el área pedida es la determinada por la función f (x) = 3. x + 2 y el eje x entre los valores 1 y 4. Se puede calcular resolviendo la integral

Usando la regla de Barrow, se debe primero hallar la primitiva de f ( x) = 3 x+2.

Con lo cual, aplicando la regla de Barrow la integral resulta:

106

Matemática

Por medio de la integral se obtuvo el valor del área calculado geométricamente. Por último, se calculará el área de la región de la gura G.3.2, que se encuentra delimitada por f (x) = 5. x3 – 10; x = 4; x = 8 y el eje x. Hay que resolver entonces la siguiente integral: 8

∫ (5 x 4

3

– 10)dx

Calculando la primitiva de la función y luego aplicando la regla de Barrow resulta:

Luego el área de la región es 4760. Como otro ejemplo un poco más complicado se calculará el área de la región encerrada por las funciones: f ( x) = x y g ( x) = x ( x – 2)2 Para resolver estos problemas en los cuales se utilizan las integrales para calcular áreas, primero se debe saber dónde se cortan las funciones (intersecciones), y luego ver, en cada caso, ayudándose de un gráco o evaluando las funciones, qué función está por “arriba” de la otra (qué función es mayor que la otra) para de esa forma saber cómo deben restarse. Para ver donde se cortan, se igualan las funciones y se despeja: f ( x) = g ( x) que resulta x = x ( x – 2)2 si x es distinto de cero puede pasar dividiendo

Las soluciones son x = 1 y x = 3. Solo falta ver qué sucede si x = 0. Reemplazando en la ecuación original este valor para x, resulta que x = 0 también es solución, entonces las funciones f ( x) y g ( x) se cortan en x = 0, x = 1 y x = 3. Luego, se debe integrar la diferencia de las funciones entre 0 y 1; y entre 1 y 3. Para ver cuál es mayor en cada caso se evalúan las funciones en un punto intermedio en cada intervalo. Así, en el intervalo [0,1] evaluando f y g en x = ½ se obtiene: mientras que f (½) = ½ 1 9 9 g (½) = ½ (½ - 2)2 = ½ (-3/2)2 = . =

2 4

8

entonces g (½) > f (½)

107


por su parte en el intervalo [1,3] evaluando f y g en x = 2 se obtiene: mientras que f (2) = 2 2 g (2) = 2 (2 - 2) = 0 entonces g (2) < f (2).

Para calcular el área entre las curvas:

Luego, el área encerrada por las funciones es de 37/12.

108

Matemática

c

1.

Verique las siguientes integrales indenidas:

2. Verique las siguientes integrales de funciones de potencia, teniendo

en cuenta las restricciones que se indican en algunos casos. para n ≠ -1

para n ≠ -1 y n≠ -2

3. Verique las integrales con logaritmos naturales bajo la condición x >

0

109


para n ≠ -1

para m ≠ -1 para m ≠-1

para n ≠ -1

para n ≠ 0 para n ≠-1 Calcule las integrales indenidas con e x con las restricciones que se indican en cada caso: 4.

para a > 0 y a ≠ -1

para n ≠ -1 Resuelva las siguientes integrales indenidas y verique los resultados obtenidos. 5.

110

Apéndice

Problemas resueltos con integrales denidas Problema 1 Una piedra es arrojada desde el piso en forma recta hacia arriba, con una velocidad inicial de 20 m/s. Debemos calcular a. b. c. d.

Cuánto es el tiempo que transcurre hasta que alcanza su altura máxima Cuál es esa altura máxima Cuánto tiempo demora en volver a tocar el suelo Cuál es su velocidad cuando toca nuevamente el suelo

Dato: la aceleración de la gravedad es de 9,81 m/s2 Solución:

En los problemas de caída libre:

Para calcular la velocidad de caída recordemos que hemos denido la aceleración como: a=-9,81 m/s (el signo menos indica la dirección del movimiento) Entonces:

Si hacemos t=0, podremos llamar v 0 a la velocidad para ese instante, lo que nos permite escribir:

Ahora, para calcular el espacio recorrido integramos la velocidad:

111


Otra vez, para t=0 C 2=s0 , o sea, la posición inicial de la piedra, con lo cual podemos escribir:

Para nuestro caso, v 0=20m/s y s0=0, entonces,

Con estas expresiones, podemos comenzar a contestar las preguntas: a. A la altura máxima, la velocidad es 0, de modo que el tiempo transcurrido será de:

t =

20 9,81

= 2.038 s b. Cuando t=2,038 s

Esta es la máxima altura alcanzada por la piedra. c. Cuando la piedra vuelve a tocar el suelo

Esto es, la distancia al suelo es 0 y la ecuación que expresa la distancia en función del tiempo se divide miembro a miembro por t, de la ecuación resultante se despeja t. Se obtiene como resultado t= 4,076 segundos d. Cuando t=4,076, v =20 m/s

Problema 2 Si el ingreso marginal de una empresa está dado por:

112

Matemática

a. Deducir la curva de demanda de la empresa. b. Dibujar la curva solicitada. Solución:

a. Si la ecuación de la tangente de la curva es la dada, entonces la curva primitiva se obtendrá por integración:

Dado que el Ingreso de R(0)=0, será C=0 y, por lo tanto, la curva buscada es:

b.

Problema 3 Si el costo marginal de una empresa está dado por:

dc dq

= q 2 + 7q + 6

y los costos jos son de $ 2.500: a. Calcular el costo de fabricar 6 unidades. b. Dibujar la curva de costos. Solución:

113


a. El costo marginal es la derivada del costo variable respecto de la cantidad producida, por lo tanto, la integración de la ecuación superior nos dará como resultado la función de los costos variables:

Para el cálculo de la constante de integración C hacemos la misma consideración que en el problema anterior, cuando la cantidad producida es nula el costo variable también lo es, es decir, c(0)=0 y, por lo tanto C=0. Teniendo en cuenta que el costo total es la suma del costo jo más el costo variable y que el primero es independiente de la cantidad producida, la función de costo total estará dada por:

c=

q

3

3

7 +

q

2

2

+

6

q + 2500

Para la fabricación de 6 unidades, c=6, el costo total será: c = $2.734

b.

Problema 4 Si la tasa de cambio del valor de una propiedad está dado por:

y su costo inicial fue de $350.000, calcular el valor al cabo de 5 años.

114

Matemática

Solución:

En este caso, el valor al cabo de 5 años resultará de integrar la ecuación superior:

Por denición, la constante de integración C=350000, o sea, es igual al valor inicial de la propiedad, de modo que nuestra ecuación nal queda de la forma:

Cuya solución es, para t= 5: V = $350.205

115

4 Sistemas lineales

Objetivos

• Resolver un sistema de ecuaciones usando matrices equivalentes y ope-

raciones entre columnas. • Comprender el concepto de determinante asociado a una matriz cuadrada y utilizarlo para caracterizar un sistema de ecuaciones. • Calcular la matriz inversa utilizando el método de Gauss o con determinantes, el método de Cramer y la matriz adjunta. • Resolver un sistema compatible determinado utilizando la matriz inversa.

4.1. Introducción Cuando se tiene una ecuación con una incógnita, generalmente, el objetivo es obtener los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. Así, en la ecuación x2 - 4 = 0, los valores buscados son x = 2 y x = -2. En esta unidad se verán problemas con varias incógnitas y también varias ecuaciones que estas deberán satisfacer. A este conjunto de ecuaciones se lo llama “sistema” y el objetivo de su resolución es hallar los valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del mismo. Por otro lado, sólo se estudiará un tipo de sistema en particular: los sistemas lineales (esta es una restricción importante, ya que en sistemas no lineales no siempre se cumplen las propiedades que se estudiarán). En estos sistemas, en todas las ecuaciones todas las incógnitas aparecen a la primera potencia y pueden estar multiplicadas por un número. En la ecuación anterior x2 - 4 = 0, la incógnita está elevada a la potencia 2 por lo que se llama ‘cuadrática’ y no es del tipo de ecuaciones que aparecerán en los sistemas lineales a estudiar. La propiedad importante que cumplen las ecuaciones lineales es que si se multiplica por un número toda la ecuación, la nueva ecuación que se obtiene sigue teniendo la misma solución con el valor de la incógnita que resolvía la ecuación original. Se dice que las ecuaciones son equivalentes. Un ejemplo que se utiliza a diario es el precio de un producto. Así, si 2 kilos de pan cuestan 4 pesos, entonces ¿cuánto costarán 6 kilos? Como 2 kilos cuestan 4 pesos, si se desea comprar tres veces más pan, se deberá pagar tres veces lo que pagado por los 2 kilos; por lo tanto, se abonarán 12 pesos por los 6 kilos de pan. La incógnita aquí es el precio del kilo de pan, 117


que en este caso es de 2 pesos. Este procedimiento, que generalmente se resuelve mentalmente, es válido si el precio del pan es lineal con los kilos que se compran. Esto signica que si se compra el doble se paga el doble. Teniendo en cuenta su importancia, se estudiarán los sistemas lineales con varias incógnitas y cómo resolverlos.

4.2. Matrices y sistemas lineales Partiendo de un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas ( x, y , etc.) y los coecientes que multiplican a éstas (números), si se ordena el sistema de forma tal que las incógnitas iguales en cada ecuación estén encolumnadas, se puede trabajar con los coecientes por separado para hallar la solución del sistema y, de esta forma, no tener que mantener en los cálculos las incógnitas mientras se opera (aquí es importante notar que cada columna tiene asociada una incógnita, con lo cual será importante no intercambiar las columnas). A este ordenamiento de los coecientes, separados del sistema, se lo llama matriz (si se la arma a partir de un sistema de ecuaciones será la matriz asociada al sistema).

a

Luego, una matriz es un conjunto de coefcientes (números) con tantas flas como ecuaciones tenga el sistema y tantas columnas como incógnitas tenga el sistema.

En forma general, una matriz que tiene n las y m columnas se dice que tiene una dimensión (tamaño) de n x m. Por ejemplo, dado:

Queremos hallar la matriz asociada a este sistema. Primero, se encolumnan las incógnitas en cada ecuación:

Una vez ordenado el sistema se arma la matriz poniendo en la primera columna, asociada a las x, los coecientes que multiplican a esta variable en cada una de las ecuaciones; en la segunda columna, los coecientes de las y, y en la tercera columna, los coecientes de las z . Quedan los coecientes ordenados de la siguiente forma:

118

Matemática

A=

Cada elemento (números) de una matriz A se denomina en forma general con las letras i j como aij , donde el valor de i indica la la y j indica la columna de la matriz. Así, en la matriz anterior el elemento a22 = -1 , el elemento a11 = 3 y el elemento a31 = 2. También se dene la matriz ampliada asociada al sistema de ecuaciones: a la matriz original se le agrega una cuarta columna con los coecientes independientes de cada ecuación (los números que no multiplican a ninguna incógnita). La matriz ampliada del sistema anterior será:

pse utilizarán letras mayúsPara nombrar las matrices

culas así como para las variables o incógnitas se utilizan minúsculas en itálica.

4.2.1. Suma y producto de matrices La suma de dos matrices A y B de dimensión n x m (ambas deben tener la misma dimensión) será una matriz C = A + B de dimensión n x m cuyos elementos son iguales a la suma de los elementos correspondientes de A y de B, esto es: cij = aij + bij. El producto de dos matrices A de dimensión n x m y B de dimensión m x k (la primera tiene n las y m columnas y la segunda tiene la misma cantidad de las como columnas tiene la primera matriz, m en este caso y k columnas), será una matriz C = A . B de dimensión n x k (tantas las como las tiene la primera matriz y tantas columnas como tiene la segunda matriz), cuyos elementos cij son iguales a la suma de los productos de los elementos de la la i de la primera matriz con los elementos correspondientes de la columna j de la segunda matriz, esto es:

pes la primera y cuál es

Nótese que importa cuál

la segunda matriz y cómo están ordenadas.

cij = ai 1 b1 j + ai 2 b2 j + ai 3 b3 j + .......+ ai m bm j =

a

Se defne la matriz transpuesta de una matriz A de dimensión n x m –la designaremos como A t– a la matriz de dimensión m x n cuyas flas serán las columnas de A y sus columnas serán las flas de A. Sus elementos están defnidos como: a tij = a ji

Como ejemplo, veremos la multiplicación entre dos matrices iguales (potenciación), la matriz A por la misma matriz A, obteniendo A 2. Si la matriz A está dada por

119


El cuadrado de esta matriz se calcula como:

De esta forma, en el siguiente ejemplo se usará la matriz anterior formando parte de una ecuacion con matrices. Dada la matriz A:

Buscamos hallar a y b para que se verique la ecuación matricial:

A 2+ a A + b Id = 0 Id es la matriz identidad. El problema requiere hallar los valores de a y b (dos escalares, números) que veriquen la ecuación, por lo que calculando cada término se tiene que: el primer término de la ecuación a resolver es la matriz A 2, lo que es lo mismo que A*A. Haciendo el producto entre dos matrices:

El segundo término es igual a la constante a por la matriz A, esto es

El tercer término de la ecuación es el producto de otra constante b por la matriz identidad. Esta matriz tiene 1 en la diagonal (los elementos a ii , a 11, a22, etc., y ceros en los elementos fuera de la diagonal, con i distinto a j , o sea en el resto de la matriz fuera de la diagonal. Así, el término b . Id será:

Solo resta sumar los tres términos (las tres matrices, componente a componente) e igualar a cero:

A2 + a A+ b Id = 0 120

Matemática

Para que las dos últimas matrices sean iguales deben ser iguales componente a componente, entonces debe ser:

14 + 2a + b = 0 5 + 5a = 0 2 + 2a = 0 11 - a + b = 0 De la segunda y tercera ecuación se obtiene 5 a = -5, entonces a = -1, y de la primera ecuación, reemplazando con el valor de a encontrado, se obtiene:

14 + 2 * a + b = 14 - 2 + b = 0 entonces b = -12 valor que también satisace la cuarta ecuación 11 - a + b = 11 - (-1) + (-12) = 0.

4.2.2. Resolución de sistemas de ecuaciones operando con la matriz ampliada A continuación, revisaremos los métodos para resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, donde se multiplican las ecuaciones por escalares (números) y se suman o restan dos ecuaciones para eliminar una de las incógnitas. El objetivo es precisamente operar con las las de la matriz ampliada de tal forma que aparezcan la mayor cantidad de ceros en cada una de las las (un cero corresponde a haber eliminado la incógnita de la ecuación correspondiente a esa la). Veamos qué operaciones se pueden realizar para simplicar el sistema a resolver, pero recordando que el nuevo sistema tiene que tener las mismas soluciones que el sistema original (sistemas equivalentes). Las dos operaciones más importantes son las mencionadas anteriormente: • Reemplazar una la por la suma de esa la con otra la de la matriz. • Multiplicar (o dividir) una la por un escalar (número) distinto de cero.

También se pueden permutar dos las entre sí, lo que permite ordenar mejor el sistema. Dado el sistema:

ppodrían permutar las En algunos casos, se

columnas para ordenar el sistema, pero esto trae el inconveniente de cambiar la asociación inicial entre columnas de la matriz y las incógnitas del problema, razón por la cual no se realizará esta operación.

121


Se operará con la matriz ampliada para resolverlo, obteniendo matrices equivalentes a la original:

Aquí se puede multiplicar la la 1 (F1) por 2 y por otro lado multiplicar la la 3 (F3) por 3, obteniendo la matriz equivalente:

Luego, reemplazando la F3 por la F3 menos la F1, resulta:

Se obtiene una columna con un solo elemento distinto de cero (la columna 1). Si se opera adecuadamente, esos ceros permanecerán allí hasta el nal de la resolución. El siguiente paso será tratar de que aparezcan ceros en la segunda columna. Para eso se puede mantener el -1 de la la 2 y la columna 2 y operar para eliminar el 4 de la la 1 y el -1 de la la 3 ambos en la columna 2. Las operaciones que se realizarán serán (aquí ya se están aplicando en forma simultánea las operaciones mencionadas anteriormente): se reemplaza la F1 por la F1 + 4 F2 y por otro lado la F3 por F3–F2, obteniendo la matriz equivalente:

Hasta aquí se ha obtenido una matriz triangular. Sin embargo, se puede continuar operando para simplicar aún más el sistema hasta obtener lo que se llama una matriz diagonal (en la cual todos los elementos aij con i ≠ j son ceros). En el ejemplo, sólo resta obtener ceros en la columna 3. Para ello se realizan los reemplazos F1 por F1 - 8 F3 y también F2 por F2 - 2 F3 obteniendo:

Resulta así una matriz diagonal. Si se quiere simplicar del todo el sistema, se puede dividir las las de tal forma que queden sólo unos en la diagonal (y se conservan los ceros fuera de esta). A esta matriz diagonal se la llama 122

Matemática

matriz identidad. En el ejemplo se divide la la 1 por 6 y se multiplica la la 2

por (-1) obteniendo:

Recordando que la columna 1 correspondía a la incógnita x, la columna 2 a la incógnita y y la columna 3 la incógnita z se puede reescribir el sistema equivalente:

Con lo cual ya se tiene la solución del sistema. Es conveniente adquirir la costumbre, una vez que se resuelve un problema, de realizar la vericación de la solución. En este caso, la idea es reemplazar los valores obtenidos para x, y y z , en el sistema original y ver que satisfagan todas las ecuaciones del sistema. El sistema original era:

Vericando una a una las tres ecuaciones con los valores hallados, se obtiene: Primera ecuación: 3 x + 2 y = 3 (2) + 2 (3) = 6 + 6 = 12 Segunda ecuación: - y + 2 z = - (3) + 2 (-1) = -3 -2 = -5 Tercera ecuación: y + z + 2 x = (3) + (-1) + 2 (2) = 3 -1 + 4 = 6

verifcada verifcada verifcada

De esta manera, se ha vericado que el resultado obtenido es correcto. A los sistemas que admiten solución se los denomina compatibles . Aquellos sistemas compatibles que tienen una sola solución, como el ejemplo anterior, se llaman compatibles determinados. También hay sistemas que tienen más de una solución denominados compatibles indeterminados. Por último, hay sistemas que no tienen solución (no hay valores de las incógnitas que puedan satisfacer todas las ecuaciones del sistema). Estos son llamados incompatibles. Una vez que se tiene la matriz con ceros por debajo de la diagonal, se dice que se tiene la matriz ‘diagonalizada’ y se puede clasicar la solución del sistema en función del número de incógnitas, el número de ecuaciones distintas de cero de la matriz asociada resultante y también de la matriz ampliada. El rango de una matriz es el número de ecuaciones independientes (ecuaciones distintas de cero y que no son sumas ni múltiplos de las demás ecuaciones). Los grados de libertad del sistema (cuántas variables que pueden tomar cualquier valor real en la solución) son el número de incógnitas menos el rango de la matriz.

123


En el caso de tener un sistema compatible determinado, luego de diagonalizar el sistema, se tiene la misma cantidad de ecuaciones tanto para la matriz asociada como para la matriz ampliada y, a su vez, la misma cantidad de incógnitas.

a

En un sistema compatible determinado con una única solución, se tiene que el rango de la matriz asociada es igual al rango de la matriz ampliada y es igual al número de incógnitas, con lo cual los grados de libertad valen cero (solución única).

Puede resultar, luego de la diagonalización, que algunas de las ecuaciones se anulen, quedando todos los coecientes en cero, tanto los de las incógnitas como el término independiente. En este caso quedan más incógnitas que ecuaciones independientes por lo que existirán muchas soluciones posibles ya que algunas de las incógnitas quedarán indeterminadas –sistema compatible indeterminado.

a

En un sistema compatible indeterminado con infnitas soluciones, se tiene que el rango de la matriz asociada es igual al rango de la matriz ampliada y es menor al número de incógnitas, con lo cual los grados de libertad serán mayores que cero (infnitas soluciones).

Por último, si luego de la diagonalización hay ecuaciones con los coecientes de las incógnitas iguales a cero, pero el término independiente es distinto de cero, se llega a una contradicción, por lo que no existirá solución para ese sistema (sistema incompatible).

a

En un sistema incompatible, el rango de la matriz asociada es menor al rango de la matriz ampliada (sistema sin solución posible).

Cuando existen sistemas de ecuaciones donde el término independiente es cero en todas ellas, se dice que se trata de un sistema homogéneo. Su particularidad es que son siempre compatibles, pudiendo ser determinados (si tienen una única solución ésta será que todas las incógnitas valgan cero, llamada solución trivial) o compatibles indeterminados con innitas soluciones.

4.2.3. Método de Gauss. Resolución de un sistema compatible indeterminado Para diagonalizar la matriz asociada al sistema se debe elegir un coeciente de la matriz (pivote) para hacer ceros los coecientes de su columna. Se puede seleccionar cualquier coeciente y no hay una regla general, pero una vez que se tiene una columna con todos ceros menos uno de sus elementos, hay que seleccionar luego otro pivote en otra columna diferente y de una

124

Matemática

la que no sea la misma en donde quedó el número diferente de cero de la columna anterior. Por lo general, si hay algún elemento que valga 1 es más fácil de usar como pivote. Las operaciones que se pueden hacer sin cambiar el problema es multiplicar las las por cualquier número distinto de cero y reemplazar una la por la misma la sumada a otra la distinta (que se puede haber multiplicado por un número previamente; por lo general, se hacen ambos pasos a la vez). El objetivo nal es que, al hacer este paso, aparezca en la la que se está reemplazando algún coeciente igual a cero (por lo general, son los coecientes de la columna del pivote que busca que se transformen en cero). Por ejemplo, para resolver el sistema:

Se escribe la matriz ampliada que se desea triangular:

Se realizan las operaciones y reemplazos F2 + 2 F1 → F2 (se reemplaza la F2 por F2 + 2 F1) y F3 - F1 → F3 (se reemplaza la F3 por F3 - F1)

El siguiente paso es realizar el reemplazo F3 - 2 F2 → F3

La tercera la no contiene ninguna información dado que se la puede reescribir como: 0 x + 0 y + 0 z = 0 que no impone ninguna condición sobre las incógnitas. Continuando con el sistema que ya está triangulado (hay ceros debajo de la diagonal que es lo que busca realizar el método de Gauss), a partir de allí hay que rearmar las ecuaciones y despejar las incógnitas. De la la 2 se obtiene:

2 y + z = 5

z = 5 - 2 y

Esto es lo que sucede en los sistemas indeterminados: las incógnitas quedan dependiendo de los valores que toman las otras incógnitas, en este caso z será igual a 5 menos dos veces el valor que tome y . Usando la otra ecuación resulta: 125


x + y - z = 0 Aquí se puede reemplazar z por el valor obtenido de la ecuación anterior y conviene que la otra incógnita a despejar (en este caso la x) quede también en función de y . Entonces:

x + y - z = x + y - (5 - 2 y ) = x + y - 5 + 2 y = x + 3 y - 5 = 0 y despejando x resulta

x = 5 - 3 y No se puede encontrar más detalle para la solución del sistema, lo que aclara el término indeterminado utilizado para denominar al sistema. ¿Qué signica este resultado? Que existen muchas soluciones para el sistema, por ejemplo, tomando

y = 7, resulta x = 5 - 3 y = 5 – 3 . 7 = 5 - 21 = -16 y tomando z = 5 - 2 y = 5 – 2 . 7 = 5 - 14 = - 9 se obtiene una de las innitas soluciones del sistema.

Se busca el vector columna x, una matriz que tiene sólo una columna. Se utiliza la minúscula en negrita para las matrices con una sola la o una sola columna.

Si se toma otro valor cualquiera de y se obtendrán valores de x y z que sean solución del sistema. La solución general se suele escribir de la siguiente manera:

Reemplazando por la solución encontrada con x y z en función de y , se obtiene:

Este resultado se puede escribir como la suma de dos vectores columna: uno que tenga los términos con la y y otro con los términos independientes:

Este es el resultado general donde, como se obtuvo antes, y puede tomar cualquier valor; por ello, ese valor suele llamarse t para indicar que puede ser un número real cualquiera. Luego, la solución del sistema es:

126

Matemática

Restaría realizar la vericación. Para ello, reemplazamos en el sistema original los valores de x, y y z que obtuvimos.

Reemplazando por la solución encontrada

Colocamos los corchetes porque la matriz A multiplica la suma de los dos vectores columna. Aquí podemos aplicar la propiedad distributiva del producto de matrices respecto de la suma o bien sumar y obtener un solo vector columna (seguiremos este paso).

127


Obtuvimos el vector columna con los coecientes independientes, vericando así la solución general obtenida.

4.3. Determinantes

Recuérdese que se aplica solamente a matrices cuadradas.

El determinante es un valor que se puede asociar a una matriz cuadrada que permite una resolución alternativa al método de Gauss en el caso de un sistema determinado. Se trata entonces de una herramienta complementaria para el análisis y resolución de los sistemas de ecuaciones lineales. A través del determinante se puede analizar si un sistema es compatible determinado o no. Si no lo es, habrá que usar otras técnicas para saber si se trata de uno compatible indeterminado o incompatible. También utilizando determinantes se puede resolver un sistema compatible determinado –con la regla de Cramer, que se verá más adelante. Para obtener el determinante de una matriz hay que trabajar con los elementos de la misma, sumando y restando distintos productos entre ellos. En consecuencia, al multiplicar y sumar números, el resultado es un número. Por ello, el determinante de una matriz es una operación que asocia a una matriz un número. Según si este número es distinto de cero o cero, se puede concluir que el sistema asociado a la matriz es compatible determinado (determinante de la matriz distinto de cero) o si no lo es (determinante igual a cero). La forma en que se calcula el determinante de una matriz depende de sus dimensiones n x n. Para el caso de una matriz de 2 x 2, el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal menos el producto de los elementos fuera de la diagonal:

Como vimos, si el determinante es distinto de cero, se tratará de un sistema compatible determinado, y se puede encontrar la solución del sistema utilizando los determinantes. Así, la solución para un sistema de ecuaciones de 2 x 2 genérico es:

O en forma de producto de matrices A . x = b

128

Matemática

Si el det(A) = a 11 a 22 - a 12 a 21 ≠ 0 entonces el sistema es compatible determinado. Las soluciones se pueden escribir como

Este es el denominado método de Cramer para hallar las soluciones de un sistema compatible determinado. Para el sistema de 2 x 2 (dos ecuaciones y dos incógnitas) las soluciones x1 y x2 del sistema se pueden hallar calculando 3 determinantes. En primer lugar, el determinante de la matriz del sistema:

Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l’analyse des lignes courbes algé- briques de 1750.

Segundo, el determinante de la matriz que se obtiene al reemplazar la columna asociada a la variable x1 (columna 1 en este caso) por la columna de los términos independientes:

Y por último, el tercer el determinante de la matriz que se obtiene al reemplazar la columna asociada a la variable x2 (columna 2 en este caso) por la columna de los términos independientes:

Este método se puede aplicar para la resolución de cualquier sistema compatible determinado, como se verá al nal del siguiente apartado.

4.3.1. Determinante de 3 x 3 y método de Cramer Para calcular este determinante, se introduce lo que se llama desarrollo de un determinante por una la o columna. Con este método un determinante de n x n (3 x 3 en este caso) se calcula como sumas y restas de determinantes de ( n-1) x (n-1) (2 x 2 en este caso) por los coecientes de la la o columna. El desarrollo por una la o columna se realiza multiplicando los coecientes de la la o columna por el determinante de la matriz que se obtiene quitando la la y columna a la cual pertenece el coeciente en cuestión (menor complementario). Estos términos van sumados o restados dependiendo de la posición del coeciente aij ; si la suma i + j es par entonces va sumando, si la suma i + j es impar entonces va restando. En general, el término tiene el signo determinado por la expresión (-1) i + j . Calculando el determinante de la matriz de 3 x 3 con este método, desarrollando por la la 3

129


Los términos a sumar (el factor (-1)

i + j

determina la suma o resta) serán:

que sumados dan

a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 11 a 23 a 32 - a 12 a 21 a 33 - a 13 a 22 a 31

a

det(A) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 11 a 23 a 32 - a 12 a 21 a 33 - a 13 a 22 a 31

Precaución: a diferencia del método de Gauss, si se multiplica una la o columna por un escalar (un número) distinto de cero, para que el nuevo determinante sea igual que el anterior se debe dividir el resultado por el escalar.

130

Lo interesante del desarrollo por una la o columna es que si se tiene un determinante con una la o columna con todos ceros salvo un coeciente, al desarrollar por esa la o columna hay que calcular sólo un determinante con una la y columna menos (el menor complementario asociado al coeciente distinto de cero). Para obtener un determinante con estas características, se puede operar con las las (o columnas en los determinantes) de forma similar a como se hizo con el método de Gauss con las matrices, esto es: Sea l ≠ de cero, entonces

Matemática

Sin embargo, sigue siendo válido reemplazar una la o columna por la suma de ella más otra paralela (que puede estar multiplicada por un escalar), sin que cambie el valor del nuevo determinante.

Se puede relacionar el determinante con el rango de una matriz. Así, el rango puede determinarse con la dimensión de la mayor de las matrices (o submatrices que se armen quitando una la y una columna) que se pueda encontrar, cuyo determinante es distinto de cero. Como ejemplo se utilizará el sistema resuelto previamente vericando con el determinante que se trata de un sistema compatible determinado y hallando la solución por el método de Cramer. Dado el sistema

Primero, se conrma que el sistema es compatible determinado. Calculando el determinante de la matriz A, éste debe resultar distinto de cero. Desarrollamos el determinante por la tercera la ya que en ella hay un cero y por lo tanto se anulará uno de los términos.

Por lo tanto, el sistema es compatible determinado. Busquemos los valores de las incógnitas por el método de Cramer. Por ejemplo, para el valor de x debemos realizar el cociente del determinante de la matriz que obtenemos al reemplazar la columna correspondiente a la incógnita x en la matriz A (en este caso la columna 1) por el vector de los términos independientes. Así se obtiene:

131


Se debe calcular el determinante que aparece en el numerador. Aplicando antes algunas propiedades para simplicar el determinante, hacemos que aparezcan más ceros en una columna dada. En el determinante,

Igual que con el método de Gauss, pero teniendo cuidado de no multiplicar la la que se está reemplazando y sólo hacerlo con la paralela que se suma o resta.

se pueden realizar las operaciones F2 - 2 F3 → F2 para que no varíe el valor del determinante:

Nuevamente se desarrolla por la tercera columna que ahora tiene dos ceros.

Reemplazando el cociente se obtiene:

132

Matemática

Haciendo lo mismo para y y z resulta

Igual que para la x, se calcula el determinante aplicando antes algunas propiedades para simplicarlo, haciendo que aparezcan más ceros en una columna dada.

Haciendo F2 - 2 F3 → F2, que no varía el valor del determinante:

Y nuevamente desarrollando por la tercera columna que ahora tiene dos ceros,

Reemplazando el cociente da como resultado:

133


Por último, para z se tiene:

En este caso se trabaja con columnas haciendo C3 - 5 C2 → C3

Desarrollando por la la 2

por lo que resulta:

Resumiendo, se vuelve a obtener que la solución del sistema es x = 2, y = 3 y z = -1, como se encontró con el método de Gauss.

134

Matemática

4.3.2. Desarrollo de un determinante de 4 x 4 por una fla o columna Calculemos el siguiente determinante:

Se puede desarrollar directamente por una la o columna cualquiera, sin realizar operaciones entre las las; el n es simplicar los cálculos si se tienen muchos coecientes igual a cero. Desarrollando el determinante por la columna 3, de esta forma, aparecerán los coecientes de esta columna (el 3, el 7, el 9 y el (-1)). Cada coeciente va multiplicado por el determinante que se obtiene de eliminar la la y la columna en la que está ubicado, y también va multiplicado por (-1)(i+j) i y j son la la y matriz en la que está el coeciente.

135


Esta elección es arbitraria, convendrá desarrollarla por la la o columna que tenga más ceros, así no habrá que calcular el término correspondiente pues cualquier número por cero dará cero.

136

De esta forma, de un determinante de 4 x 4 se pasa a evaluar 4 determinantes de 3 x 3. Reemplazando los (-1) (i + j ), 1 o -1 y desarrollando en este caso los cuatro determinantes por la fila 3:

Matemática

137


=3 [(1-12)-(12+3)] - 7 [(-3+12)-(6-9)] + 9[(6-2)-(-1-6)]+[3(6-2)-6(2+4)-(-1-6)] = 3[-11-15]-7[9+3]+9[4+7]+[3 4 - 6 6 +7] = 3 (-26) - 7 12 + 9 11 + 12 - 36 + 7 = -78 - 84 + 99 + 12 - 36 + 7 = -80

4.3.3. Clasifcación del tipo de sistema utilizando el determinante Como ejemplo se resolverá un sistema con un parámetro, primero clasicándolo y luego resolviendo en cada caso. El objetivo es determinar l para que el sistema tenga soluciones no triviales y buscar la solución correspondiente en forma de vector columna.

Este es un sistema homogéneo; todos los coecientes independientes (sin x, y o z ) son 0. En estos casos, el sistema siempre es compatible. Puede ser compatible determinado o compatible indeterminado pero nunca incompatible. El determinante de la matriz resulta:

La regla de Sarrus recibe su nombre del matemático francés Pierre Frédéric Sarrus.

Para calcularlo se puede usar una regla mnemotécnica conocida como regla de Sarrus para determinantes de 3 x 3. Para ello se arma la siguiente estructura, donde se copia abajo la la 1 y luego la 2.

El determinante será igual a la suma de los productos de las diagonales hacia la derecha, más la resta de los productos de las diagonales hacia la izquierda:

138

Matemática

Una vez calculado el determinante de la matriz asociada al sistema, se estudia para qué valores del parámetro el determinante es igual a cero. En este problema particular, como el sistema no puede ser incompatible por ser un sistema homogéneo, entonces, si el determinante es igual a cero, el sistema será compatible indeterminado.

Recordemos que si el determinante es igual a cero, entonces el sistema es compatible indeterminado o incompatible.

aplicando la fórmula

Se obtienen como resultado 2 valores de l para los cuales se anula el determinante: l=-1 y l=-5 El sistema será compatible determinado si l≠-1 y l≠-5 (en este caso, la solución será la solución trivial). Si l=-1 y l=-5, entonces, el sistema es compatible indeterminado. Aplicando Gauss a la matriz para l=-1

z puede tomar cualquier valor, por lo tanto, z = t

Despejando y 2 y + z = 0 2 y + t = 0 y = -½ t

Despejando x -x + y + z = 0 -x -½ t + t = 0 -x = x = ½ t

Si escribimos el resultado como vectores se tiene:

Aplicando Gauss a la matriz para l=–5

Se toma nuevamente que z puede tomar cualquier valor, por lo tanto, z = t

139


Despejando x

Despejando y

Escribiendo el resultado como vectores se tiene:

Sólo resta realizar la vericación en cada caso para conrmar que la solución encontrada es correcta.

4.4. Matriz inversa Es posible obtener la solución de un sistema de ecuaciones lineales, multiplicando dos matrices: la matriz inversa por la matriz asociada a los coecientes independientes del sistema (una matriz que tiene una sola columna y que tiene los términos independientes, los mismos que se agregan a la matriz de un sistema al armar la matriz ampliada). Se dene como matriz inversa de una matriz cuadrada A, a la matriz A -1 que cumple: A . A-1 = A-1 . A = Id Id es la matriz identidad, con unos en la diagonal y ceros fuera de esta. Usando una propiedad para el determinante del producto de matrices se puede obtener una condición necesaria para la existencia de la matriz inversa:

| A . A-1 | = | Id | = 1 (el determinante de la matriz identidad es uno) | A | . | A-1 | = 1 entonces debe ser | A | ≠ 0 y | A-1 | ≠ 0

a

Una condición necesaria para que exista la matriz inversa de una matriz A es que el determinante de A sea distinto de cero

Se puede obtener la matriz inversa usando determinantes y el método de Cramer o bien se puede obtenerla usando el método de Gauss. Una vez calculada la matriz inversa se puede utilizar para hallar la solución del sistema compatible determinado. 140

Matemática

Dado el sistema en forma matricial A . x = b; si se multiplica del lado izquierdo de la ecuación por la matriz inversa, la ecuación del sistema queda:

A -1 . A . x = A -1 . b Id . x = A -1 . b x = A -1 . b

Recuérdese que en el producto de matrices es importante el orden, ya que estas no cumplen en general la propiedad conmutativa. Aunque A . A-1 = A-1 . A, en general, x . A-1 ≠ A-1. x

Entonces, la solución del sistema se puede calcular directamente como el producto de la matriz inversa por la matriz columna de los coecientes independientes b. A continuación, se calculará en un ejemplo la matriz inversa usando el método de Gauss y la regla de Cramer (usando determinantes). Dado el sistema resuelto previamente:

con la matriz asociada al sistema:

A=

Con las incógnitas se puede escribir un vector columna x y otro con los términos independientes b como producto de matrices de la forma:

A. x=b

Para entender la utilidad de la matriz inversa se verán nuevamente los pasos realizados al resolver una ecuación. Por ejemplo, 2 x + 1 = 7

Queremos encontrar los valores de x que satisfacen la ecuación. Se despe ja x, realizando operaciones que permitan dejar de un lado de la ecuación la incógnita x y del otro lado el valor que le corresponde para satisfacer la igualdad inicial. Viendo en detalle cómo se resuelve correctamente, para eliminar el 1 que está sumando del lado izquierdo, se resta 1 de ambos lados (estrictamente le sumamos su inverso aditivo (-1) de ambos lados, tal que, del lado izquierdo, obtenemos un cero sumando, elemento neutro de la suma). Así se obtiene:

Se puede pensar una ecuación como una balanza en equilibrio, representado por el signo igual, a la cual se le puede agregar o quitar cosas iguales de ambos lados con el objetivo de mantener el equilibrio, esto signica que sigue siendo válida la igualdad.

141


Aquí se divide de ambos lados por 2 para que quede la x despejada del lado izquierdo. Estrictamente, lo que se hace es multiplicar por el inverso multipli- cativo (½) de ambos lados, de tal forma de obtener del lado izquierdo un 1 multiplicando, elemento neutro de la multiplicación). Así resulta:

Por lo tanto, se despeja x = 3, que al reemplazar en la ecuación la verica.

2.3 +1= 7

Un sistema de ecuaciones se resuelve de la misma manera. El objetivo es despejar los valores de las incógnitas que verican el sistema, que en forma matricial se puede escribir como A x = b, por lo que se debe despejar de esta ecuación matricial el valor de x. La matriz inversa A-1 es por denición la inversa multiplicativa de la matriz A, dado que al multiplicarlas da como resultado el elemento neutro de la multiplicación de matrices (la matriz identidad). La denición de matriz inversa viene dada por A.A-1 = I. Entonces, al multiplicar en ambos lados de la ecuación por la matriz inversa, se mantiene la igualdad, obteniendo: Ax=b A A x = A-1 b (A-1 A) x = A-1 b I x = A-1 b x = A-1 b -1

Con lo cual, para obtener x simplemente hay que realizar el producto de matrices A-1 b (multiplicar la matriz inversa y el vector columna de los términos independientes). En el caso del cálculo de la matriz inversa se tiene que la ecuación matricial a resolver es: A A -1 = A -1 A = I

Escribiendo, para el sistema particular que se quiere calcular, la inversa de A resulta:

142

Matemática

Donde los coecientes cij son los elementos de la matriz A-1. Realizando el producto de las matrices se obtiene el siguiente sistema de 9 ecuaciones y 9 incógnitas:

Si se observa el sistema cuidadosamente, éste es, en realidad, equivalente a 3 sistemas separados cada uno con 3 incógnitas:

o bien en forma matricial hay que resolver los tres sistemas dados por

143


Nótese que los tres sistemas tienen la misma matriz asociada; sólo cambia el término independiente. De esta forma, para hallar la matriz inversa hay que resolver estos tres sistemas. Primero se resolverá utilizando el método de Gauss. Estos tres sistemas tienen las siguientes matrices ampliadas a las que se le aplicará el método de Gauss:

Dado que los tres tienen la misma matriz asociada, se pueden resolver los tres sistemas simultáneamente escribiendo:

Entonces se aplica el método de Gauss para esta matriz. Para hacer ceros en la tercera columna se realiza F 2 – 2 F 3 → F 2

Para hacer ceros en la segunda columna, 3 F 3 + F 2 → F 3 y 3 F 1 + 2 F 2 → F 1

Por último, para hacer ceros en la primera columna F 2 + 4 F 1 → F 2 y F 3 - 2 F 1 → F 3

Para terminar, se obtienen unos en la diagonal, F 2 / (-3) → F 2 y F 3 / 3 → F 3

Los sistemas se transforman en :

144

Matemática

En consecuencia, la matrix inversa A-1 será:

que es la matriz que queda a la derecha después de aplicar el método de Gauss. Luego, el proceso para hallar la matriz inversa utilizando Gauss es operar para obtener identidad a la izquierda en la matriz ampliada que se armó con la matriz asociada al sistema y la matriz identidad a la derecha como se muestra en el siguiente diagrama:

Se puede vericar que la matriz hallada es la inversa de la matriz A si se multiplican ambas matrices, debiéndose obtener como resultado la matriz identidad.

con lo cual se verica que la matriz inversa calculada es correcta.

145


También se pueden resolver los sistemas anteriores con la regla de Cramer:

Aplicando la regla de Cramer para el primer sistema se puede calcular c 11 utilizando el determinante que resulta al reemplazar el vector de los términos independientes en la primera columna de la matriz A dividido por el determinante de A (que ya se calculó previamente, |A| = -1). Esto da:

Lo mismo se realiza para los demás coecientes de la matriz inversa:

146

Matemática

Nótese que para calcular el elemento c 21 se utiliza el adjunto de la la 1 y la columna 2 de A, el adjunto A12. No se repite para el resto de los elementos todo el desarrollo, simplemente se calculan usando los adjuntos correspondientes de A:

147


Con lo cual nuevamente se obtiene la matriz inversa:

Para concluir este detallado cálculo para la obtención de la matriz inversa se utilizará la misma para resolver el sistema de ecuaciones inicial, haciendo la multiplicación de matrices:

x = A-1 . b =

Nuevamente se llega al resultado obtenido primero por el método de Gauss y luego por el método de Cramer.

r

148

Luego del desarrollo de la inversa con el método de Cramer, si una matriz tiene todos sus coefcientes enteros y su determinante vale uno o menos uno, ¿qué puede decirse sobre los coefcientes de la matriz inversa?, ¿y si el determinante vale un medio? ¿Puede generalizarse para el caso en que el determinante sea igual a 1/n?

Matemática

4.5. Matrices especiales y sus propiedades Entre las innitas matrices que se pueden construir existen algunas que, por razones particulares, reciben un nombre especial que las diferencia de las otras. Así, ya hemos nombrado, por ejemplo, las matrices escalares, simétricas, antisimétricas, identidad, diagonal, triangulares superior o inferior, adjuntas, traspuestas e inversas. A continuación, veremos el caso de las matrices estocásticas.

Este apartado fue elaborado por Alfredo Russo

4.5.1. Matrices estocásticas Se trata de matrices en las que todos sus elementos tienen un valor comprendido entre 0 y 1, y, además, la suma de los elementos de cada columna es igual a 1. Las matrices estocásticas se usan con frecuencia en el estudio de fenómenos aleatorios, en teoría de la probabilidad y estadística. Un vector de la forma u = (u1 ,u 2 ,u 3 ,u 4, u 5) es un vector estocástico si todos sus elementos son menores que 1 y la suma de ellos es igual a 1. Por ejemplo, el vector no es un vector estocástico porque uno de sus elementos es negativo. En cambio, si bien v = (2,3,5,0,1) no es un vector estocástico porque sus elementos no son menores que 1, se lo puede transformar dividiendo miembro a miembro cada uno de sus elementos por 11, que es la suma de ellos, para obtener: w = ( 2 , 3 , 5 , 0, 1 )que sí es un vector estocástico. 11 11 11

a

11

Se dice que una matriz cuadrada es estocástica si cada una de sus flas es un vector estocástico. Por ejemplo:

Si dos matrices A y B son estocásticas, el producto de las mismas, siempre que sea posible –es decir, que ambas sean del mismo orden– es otra matriz estocástica. En particular, las potencias sucesivas de matrices estocásticas A2, A3 … A n son también matrices estocásticas. Vectores de punto fjo

Si A es una matriz cuadrada de orden n, y u un vector la con n componentes, entonces podremos formar el producto:

149


uA

Dónde u premultiplica a la matriz A. En el caso en que: uA = u Se dice que u es un vector jo de A. Además, para un escalar cualquiera k , será:

( ku ) A = k (uA) = ku Esto nos lleva a concluir que, si u es un vector jo de la matriz A, su producto por cualquier escalar diferente de cero k será también un vector jo de A. Ejemplos

Lo que demuestra que u es un vector jo de la matriz considerada. Este vector jo que premultiplica a la matriz, se conoce también como vector jo a la izquierda de la misma. 3) Sea la matriz estocástica dremos:

a

si calculamos su cuadrado obten-

Cuando cada una de las potencias de una matriz estocástica A es otra matriz con todos sus elementos positivos y no nulos, se dice que A es una matriz regular y tiene las siguientes características: • •

Un vector fjo único con todos sus elementos positivos. La secuencia de potencias de A, A 2, …, An converge hacia una matriz T cada una de cuyas flas es, precisamente, el vector fjo único. • Si p es un vector de probabilidad, entonces la secuencia pA, pA2,…, pAn converge hacia el vector fjo t único de la matriz A.

150

Matemática

4) Usemos la matriz estocástica: jo con la ecuación:

y calculemos para ella un vector

Para ello hacemos t=( x1- x) y entonces resultará:

Resolviendo obtendremos:

Expresión de la que resulta x =

1 3

Si calculamos potencias sucesivas de nuestra matriz P, obtendremos, por ejemplo:

Se observa que las potencias sucesivas de P convergen hacia la matriz:

Cuyas dos las son iguales al vector jo de la misma.

151


c

1. a . Encuentre el único vector fjo de la matriz estocástica regular:

b. ¿Cuáles de los siguientes vectores son estocásticos? Explique por qué.

c. Multiplique cada uno de los siguientes vectores por un escalar apropiado para ormar los respectivos vectores estocásticos:

d. Indique cuáles de las siguientes matrices son estocásticas y explique por qué.

152

Matemática

e. Encuentre el único vector fjo de la matriz estocástica

¿A qué matriz converge P n? f . Halle el único vector fjo de la matriz estocástica regular

4.5.2. Matrices de insumo producto En economía, el modelo de insumo producto usa matrices para reejar la producción de una nación o provincia, y para predecir los cambios que pueden ocurrir por efecto de cambios en industrias, la preferencias de los consumidores o las regulaciones gubernamentales. El modelo fue inventado en 1919 por Wassily Leontief, un ruso emigrado a Estados Unidos, que recibió el Premio Nobel de Economía en 1973 por su desarrollo. Supongamos un país que tiene un número limitado de sectores productivos –a modo de ejemplo, jemos ese número en 2–. En la construcción de una matriz de insumo producto, los vectores la representan la producción de determinados insumos y los vectores columna el consumo de esa producción. La tabla siguiente muestra el esquema resultante:

Insumo

Agricultura

Consumo por Agricultura

Consumo por Industria

Demanda de consumidores fnales

Total

5

15

80

100

Industria

10

15

60

85

Trabajo

10

20

0

30

Wassily Leontief (1906-1999) Fuente: http://nobelprize.org

La tabla indica que la propia agricultura consume 5 unidades de producción de agricultura, la industria consume 15 unidades y 80 unidades van a los consumidores nales. El único insumo que no tiene demanda nal es el trabajo: en el esquema mostrado, la agricultura consume 10 unidades y la industria 20 unidades, mientras que no hay demanda nal. Por su parte, los trabajadores componen parte de la demanda nal como consumidores de lo que producen. Otros demandantes son las familias de los trabajadores, los funcionarios de la administración pública y todos aquellos que no están comprometidos en la producción primaria.

153


El balance de cada uno de los sectores productivos puede escribirse como: Producción de Agricultura: x1 Producción de Industria: x2 Producción de Trabajo: x3

x11 + x12 + c1 = x1 x21 + x22 + c2 = x 2 x31 + x32 + c3 = x3 Si suponemos que cada una de las participaciones del consumo es proporcional a la producción de cada sector, podremos escribir:

Si llamamos x al vector columna de sectores productivos

Podemos llamar c al vector columna de consumos

En consecuencia, A será la matriz de los coecientes a:

Del mismo modo, I será una matriz unidad de orden 3

154

Matemática

Con estos elementos y operando algebraicamente en las ecuaciones de producción y consumo, podremos escribir:

y nalmente: Esto es, siempre que la matriz (I-A) sea invertible. Los coecientes a ij son los llamados coefcientes técnicos de cada uno de los productos. Entre otros efectos, si se destina una parte mayor de la producción de un insumo a los intercambios con otros sectores, será a expensas del consumo y si se consume más de un determinado insumo, será a expensas de las transferencias intersectoriales. Un ejemplo simple, basado en nuestra tabla, con dos sectores productivos, nos muestra que, si la Agricultura está en su máximo nivel de producción, destinar una porción mayor de su insumo a la industria será en desmedro del consumo. De la misma manera, si aumenta el consumo de la producción agropecuaria, será a expensas de la industria.

c

2. a . Calcule A.BT y B.C, dadas las siguientes matrices:

b. Encuentre A.B y B.A para las siguientes matrices:

Verifque que A.B ≠ B.A c. Para las matrices del problema anterior, verifque (BA)T=A T.BT

d. Las tarias de los vuelos de Buenos Aires a Rosario están dadas po r el vector P = (280, 180, 89) donde cada elemento corresponde al precio en primera clase, clase business y clase turística. Si el vector de ventas de pasajes de un vuelo determinado es N=(8, 29, 115) T, calcule P.N y explique su signifcado.

155


e. El stock de computadoras en una cadena de 3 locales está dado por la matriz:

Las flas expresan los stocks en cada sucursal y las columnas las marcas de computadoras correspondientes. El costo mayorista de estas computadoras está dado por el vector: D = (700,1200)T Calcule el producto S.D y explique qué signifca. f . Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones, expresado en orma matricial A.X=B.

g . Determine si la matriz: las siguientes matrices:

Explique, en cada caso, por qué.

h. Calcule la inversa de la matriz:

Haga la verifcación correspondiente.

i.Calcule la inversa de la matriz:


j. Calcule la inversa de la matriz:


156

es la inversa de alguna de

5

Programación lineal

Objetivos

• • •

Resolver problemas de programación lineal. Desarrollar métodos gráfcos y analíticos para encontrar soluciones. Aplicar el método Simplex.

5.1. Introducción En múltiples operaciones en diversos ámbitos –como la industria, la economía, la estrategia militar, etc.– se presentan situaciones en las que es necesario maximizar o minimizar algunas unciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones o restricciones. La programación lineal es un conjunto de técnicas racionales de análisis y de resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables en las decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de variables. En este sentido, los modelos de programación lineal, por su sencillez, son recuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes benefcios y ahorros asociados a su utilización. Se trata de un modelo matemático que data de mediados del siglo XX; se creó durante la Segunda Guerra Mundial, cuando se necesitaba planifcar los gastos y envíos tratando de minimizar los costos y maximizar las pérdidas del enemigo.

a

El objetivo de la programación lineal es el de optimizar un sistema con ecuaciones lineales, sujeto además a restricciones también lineales expresadas como desigualdades.

Aquí se utilizarán algunos nombres específcos que se describen a continuación. • •

Se llama función objetivo a la unción lineal que se desea optimizar. Los puntos del dominio de la unción objetivo, que además satisacen las restricciones del problema, se llaman puntos factibles –puntos permitidos

157


por las restricciones en donde será actible hallar el máximo o el mínimo de la unción objetivo. • El punto actible que cumple la condición de optimizar la unción objetivo –máximo o mínimo, dependiendo del problema a resolver– se llama solu- ción óptima y es el resultado fnal al que se desea llegar. Un resultado importante de estos problemas es que la solución óptima se encuentra en la perieria de la región actible, ya que las restricciones dadas por desigualdades (por ejemplo: x + y ≤ 7), corresponden a semiplanos, con lo cual la intersección de las restricciones (intersección de semiplanos) es necesariamente una región convexa. En el caso de dos variables, la unción objetivo estará representada por una recta móvil que se desplaza paralela a sí misma al ir cambiando el término independiente, que alcanzará su valor óptimo en el último o en el primer punto que toque dentro de la región de validez que contiene a los puntos actibles. Por ser la región de validez convexa (dados dos puntos de la región, el segmento que los une está incluido en la región) la solución óptima estará en un vértice del conjunto actible o bien en un lado del conjunto actible (infnitas soluciones).

5.2. Formulación de modelos Un modelo de programación lineal considera que las variables de decisión tienen un comportamiento lineal, tanto en la unción objetivo como en las restricciones del problema. Los modelos matemáticos se dividen básicamente en Modelos Deterministas o Modelos Estocásticos. En el primer caso (MD) se considera que los parámetros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta; en el segundo caso (ME), la totalidad o un subconjunto de los parámetros tienen una distribución de probabilidad asociada.

Fuente: http://www.programacionlineal.net/programacion_lineal.html

158

Matemática

Ejemplo

Una empresa de muebles tiene dos ábricas A y B donde se elaboran los cortes de madera para los distintos módulos que se venden en el mercado y tres plantas de armado I, II y III donde se ensamblan los muebles para ser vendidos al público. Las ábricas A y B producen 2000 y 3000 muebles por año, que deben enviarse a las plantas I, II y III cuyas capacidades máximas de procesamiento son 500, 3500 y 1000 muebles por año. Los costos de transporte de los cortes desde las ábricas A y B a las plantas I, II y III en pesos por mueble son: G.5.1

A B

I

II

III

10 15

20 17.5

30 20

El problema a resolver es: ¿cómo conviene distribuir los muebles de las ábricas a las plantas tal que los costos de transporte sean lo mínimo posible? Resolución

El primer paso es traducir el problema al lenguaje que se utiliza en este curso, plantearlo como ecuaciones matemáticas con variables y unciones que se desea optimizar. Llamando x a la cantidad de muebles que se envían de la ábrica A a la planta I, y a la cantidad de muebles que se envían de la ábrica A a la planta II, el resto de los envíos quedan determinados con estas incógnitas y las condiciones del problema. Por ejemplo, si la planta I puede procesar hasta 500 muebles, entonces, si recibe x muebles de la ábrica A, podrá recibir a lo sumo 500 - x muebles de la ábrica B. De la misma manera, si la planta II puede procesar hasta 3500 muebles, entonces, si recibe y muebles de la ábrica A entonces podrá recibir a lo sumo 3500 - y muebles de la ábrica B. Sólo resta determinar cuántos muebles recibe la planta III. Si la planta A produce 2000 muebles y envía x muebles a la planta I e y muebles a la planta II, entonces deberá enviar 2000 - x - y a la planta III. Con el mismo razonamiento se puede determinar cuántos muebles recibe de la ábrica B. Si esta planta produce 3000 muebles y envía 500 - x muebles a la planta I y 3500 - y muebles a la planta II, entonces deberá enviar 3000 - (500 - x) - (3500 - y )= x + y - 1000 muebles a la planta III. En este caso, el mismo resultado se puede obtener como se hizo para averiguar cuántos muebles reciben las plantas I y II de la ábrica B sabiendo cuánto recibe de la ábrica A y cuál es la máxima producción de la planta III. La planta III puede procesar hasta 1000 muebles, entonces si recibe 2000 – x - y muebles de la ábrica A, podrá recibir a lo sumo 1000 - (2000- x -y ) = 1000 - 2000 + x + y = x + y - 1000 muebles de la ábrica B. 159


Resumiéndolo en un cuadro: G.5.2

I A=2000 B=3000

≤

500

II

≤

3500

x

y

500 - x

3500 - y

III ≤ 1000 2000- x -y x + y - 1000

Esta tabla representa la cantidad de muebles que serán enviados a cada planta, con lo cual las restricciones surgen de pedir que estas cantidades sean mayores o iguales a cero (no puede enviarse un número negativo de muebles). Usando estas cantidades junto con el precio de los traslados que se encuentran en G.5.1. se puede calcular el costo total que será la unción objetivo, es decir, lo que se busca minimizar. Esta resulta: f(x, y)= 10 x + 20 y + 30 (2000 – x - y ) + 15 (500 - x) + 17.5 (3500 - y ) + 20 ( x + y - 1000) = 108750 - 15 x - 7.5 y

sujeta a las restricciones, porque el número de muebles no puede ser negativo: 0 500 - x ≥0

x

≥

y ≥ 0

3500 - y ≥ 0

2000 - x - y ≥ 0 x + y - 1000 ≥ 0

que se puede escribir despejando las variables del lado izquierdo y los números del derecho de las desigualdades: x + y ≤ 2000 x ≤ 500 y ≤ 3500 x + y ≥ 1000 x ≥ 0 y ≥ 0

Hasta aquí hemos desarrollado el planteo del modelo matemático que describe el problema propuesto; resta entonces responder la pregunta: cómo distribuir los muebles para minimizar los costos, resolviendo el problema que se ha ormulado.

5.3. Resolución gráfca Resolveremos el problema de programación lineal planteado de manera gráfca, lo que permitirá visualizar mejor el problema, las ecuaciones planteadas y la solución que minimice los costos. Este tipo de resolución se puede utilizar solamente cuando el problema tiene dos variables (en el ejemplo, x e y ). Como se verá, las ecuaciones e inecuaciones planteadas defnen semiplanos en un gráfco xy. De las distintas intersecciones de estos semiplanos se irán restringiendo los valores de x y de y que cumplan con cada una de las restricciones del problema. Esta será la llamada región factible.

160

Matemática

Como se describió previamente, se determinan primero los puntos actibles según las restricciones. Las mismas corresponden a semiplanos en el plano xy y la intersección de ellos dará la región de validez, o región actible, que contiene los puntos actibles. En los siguientes gráfcos se muestra cada restricción en orma individual:

G.5.3

161


Luego, la intersección de todas las restricciones resultará: G.5.4

Si en este gráfco G.5.4. se agrega la unción objetivo obtenida y se la va moviendo: 162

Matemática

f(x, y)= 108750 -15 x -7.5 y = 108750 + 7.5 (-2x - y)

o lo que es equivalente, se optimiza la unción -2x -y en la región actible, se encuentra que se maximiza y minimiza, cuando toca un solo punto de la región actible. En el siguiente gráfco G.5.5. se muestran cuatro rectas, A, B, C y D en línea punteada que pasan por los cuatro vértices de la región actible. Las cuatro rectas paralelas son de la orma VALOR + 7.5 (-2x – y ). ). Gráfcamente se puede observar que a la recta A pertenece el vértice inerior izquierdo de la región actible, correspondiente a los valores x = 0 e y = 1000 que llevan a que la unción objetivo tome el valor: f ( x, x, y )= 108750 -15 x -7.5 y = 108750 + 7.5 (-2x - y) (0 ,1000)= 108750 -15. 0 -7.5 . 1000 = 108750 - 7500 = 101250 f (0

Por su parte, a la recta B pertenece el vértice inerior izquierdo de la región actible, correspondiente a los valores x = 500 e y = 500 que llevan a que la unción objetivo tome el valor: (500 ,500)= 108750 -15. 500 -7.5 . 500 = 108750 - 7500 - 3750 = 97500 f (500 En tercer lugar, a la recta C pertenece el vértice superior izquierdo de la región actible, correspondiente a los valores x = 0 e y = 2000 que llevan a que la unción objetivo tome el valor: f (0 (0 ,2000)= 108750 -15. 0 -7.5 . 2000 = 108750 - 15000 = 93750

Por último, a la recta D pertenece el vértice superior derecho de la región actible, correspondiente a los valores x = 500 e y = 1500 que llevan a que la unción objetivo tome el valor: (500 ,1500) = 108750 -15. 500 -7.5 . 1500 = 108750 - 7500 - 11250 = f (500 90000 Es decir, las cuatro rectas son paralelas y lo que cambia es cuál está más arriba y cuál más abajo, según el VALOR sumado en cada recta sea menor o mayor. Cuanto mayor sea el valor, mayores serán los valores de x e y de esa recta y, por lo tanto, la unción objetivo será menor cuanto más arriba esté la recta en el gráfco. Es ácil ver esto considerando los puntos de x = 0 de cada recta con los que y toma valores mayores. En la unción objetivo hay que restar 7.5 veces el valor de y, por lo que cuanto mayor sea y, menor será la unción objetivo. De la misma manera, cuanto más abajo esté la recta, la unción objetivo alcanzará valores mayores. Por lo tanto, en este problema se puede observar que la recta A es la que maximiza la unción objetivo y la recta D la que lo minimiza.

163


G.5.5

En consecuencia, para minimizar los costos de envío la ábrica A debe enviar 500 muebles a la planta I, 1500 muebles a la planta II y ningún mueble a la planta III, mientras que la ábrica B no debe enviar muebles a la planta I, envía 2000 muebles a la planta II y 1000 muebles a la planta III.

a

En todo problema de programación lineal, si éste tiene solución, la misma corresponderá a un vértice de la región actible.

La utilización de este método de resolución gráfca –que se limita a problemas en dos variables– tiene la doble ventaja de su rapidez y sencillez.

5.4. Resolución analítica La resolución analítica del problema anterior permitirá resolver cualquier problema –incluso con más de dos o tres variables– que no puede resolverse gráfcamente. Se modifcan las restricciones de menor o mayor e igual (inecuaciones) por restricciones de igualdad (ecuaciones) con lo que se pasará a tener un sistema de ecuaciones lineales para resolver. Por ejemplo, la restricción x + y ≤ 2000, puede escribirse como x + y + x3 = 2000

al agregar una nueva variable al problema x3 (variable de holgura o exceso), que será la que tenga en cuenta cuánto le alta a la suma x + y para llegar a 2000, dado que la inecuación x + y ≤ 2000 dice que x + y es menor o igual 164

Matemática

que 2000. En el caso en que sumen s umen 2000, x3 valdrá cero y, si no, será mayor que cero. De esta orma, cuando en la resolución se tengan resultados con x3 = 0 signifca que se está moviendo a lo largo de la recta x + y = 2000. Igualmente, la desigualdad x ≤ 500 se puede escribir como una igualdad, x + x4 = 500 al agregar una nueva variable al problema, x4, que tenga en cuenta cuánto le alta a x para 500. En el caso en que sea igual a 500, x4 valdrá cero y, si no, será mayor que cero. En consecuencia, cuando en la resolución r esolución se tengan resultados con x4 = 0 signifca que se está moviendo a lo largo de la línea x = 500. La restricción y ≤ 3500 se puede escribir como y + x5 = 3500 al agregar la variable x5 que será la que tenga en cuenta cuánto le alta a y para 3500. Para este caso, se sabe por la resolución gráfca que la región actible no tiene como borde la recta y = 3500, por lo cual no se podrá mover por esa recta al buscar optimizar la unción objetivo y por ello x5 nunca valdrá cero. Por último, resta considerar la restricción x + y ≥ 1000. Ésta se puede escribir como x + y - x6 = 1000; la variable x6 será la que tenga en cuenta cuánto le sobra a la suma x + y respecto de 1000. En el caso en que sumen 1000, x6 valdrá cero y si no será mayor que cero. De esta orma, cuando en la resolución se tengan resultados con x6 = 0, signifca que se está moviendo a lo largo de la recta x + y = 1000. El sistema a resolver queda en la orma canónica o aumentada que se desea minimizar. Z = f(x, y) = 108750 -15 x -7.5 y

x + y + x 3 = 2000 x + x4 = 500 y + x5 = 3500 x + y - x6 = 1000 x, y, x 3 , x4 , x 5 , x6 ≥

Nótese que, como la desigualdad era del tipo mayor o igual, la variable de holgura aparece restando, pues representa cuánto le sobra a la suma x + y respecto de 1000.

0

Como ya se mencionó, se deben variar los valores de las incógnitas por los bordes de la región actible, con lo cual deberán hacerse cero las variables del sistema que permiten moverse por estos bordes. Las posibles variables que tendrán que valer cero en este problema son x, x3 , x4 y x6. Entonces, una orma de resolver el problema es hallar las soluciones del sistema lineal igualando a cero dos de las variables del sistema, x, y, x3 , x 4 , x5 , x6. Para cada solución que se obtenga, se debe ver si los valores de x e y obtenidos pertenecen a la zona actible, y luego, de todos ellos, cuál maximiza o minimiza la unción objetivo. Las posibilidades serán considerar los vértices de la zona actible: los valores para ( x x, y ) iguales a (0, 1000), (0, 2000), (500, 500) o (500, 1500). Los valores de x3, x4, x5 y x6 se calculan a partir de las ecuaciones donde se defnieron estas variables x = 0

y = 1000

x3 = 1000

x4 = 500

x5 = 2500

x6 = 0

(0, 1000)= 108750 - 7500 = 101250 (este es el que maximiza la unción) f (0, x = 0

y = 2000

x3 = 0

x4 = 500

x5 = 1500

x6 = 1000

165


f (0, 2000)= 108750 - 15000 = 93750 x = 500

y = 500

x3 = 1000

x4 = 0

x5 = 3000

x6 = 0

f (500, 500)= 108750 - 7500 - 3750 = 97500 x = 500

y = 1500

x3 = 0

x4 = 0 x5 = 2000

x6 = 1000

f (500, 1500)= 108750 - 7500 - 11250 = 90000

(este es el que minimiza la unción). En consecuencia, la distribución que más conviene realizar entre las plantas de elaboración de muebles será con x = 500 e y = 1500 con las distribuciones a cada planta que se detallaron al fnal de la resolución gráfca y que se pueden resumir en el siguiente cuadro: G.5.6

A=2000 B=3000

I ≤ 500 500 0

II

3500 1500 2000 ≤

III

1000 0 1000 ≤

Como era de esperarse, la solución es la misma que la encontrada en orma gráfca. Sin embargo, la primera es más ácil de implementar y de interpretar. Por su parte, la limitación de la resolución gráfca a problemas con dos incógnitas no aparece en la resolución analítica que puede resolver cualquier número de incógnitas.

c

1.

Resuelva gráfca y analíticamente los siguientes problemas:

a. En una edifcación a realizarse en la Universidad se decidió construir

un edifcio de 300 metros cuadrados en la planta baja y 200 metros cuadrados en un primer piso. El precio fnal de la construcción en el mercado es de $4000 por metro cuadrado en la planta baja y de $16.000 en la planta superior. Solo dos empresas, A y B, pueden realizar el trabajo debido a los requerimientos técnicos necesarios para la instalación de laboratorios. La empresa A, sin embargo, por limitaciones propias sólo puede construir 400 metros cuadrados en el plazo de tiempo estipulado por la Universidad, mientras que la empresa B como máximo puede construir 300 metros cuadrados (en ambos casos en orma indistinta en cualquiera de las dos plantas). Por una cuestión de manejo de ondos, no pueden adjudicarse contratos menores de $300.000. La empresa A orece un descuento de $4 por metro cuadrado en la planta baja y de $12 por metro cuadrado en la planta alta. Por su parte, la otra empresa orece un descuento de $6 y $10 respectivamente. Si x e y representan los metros cuadrados en planta baja y primer piso adjudicados a la empresa A: i) Calcule el descuento total obtenido por la universidad de parte de ambas compañías: esta será la unción objetivo a maximizar. 166

Matemática

ii) Plantee las ecuaciones y desigualdades que representan al problema y halle los valores de x e y que maximizan el descuento. Una compañía produce dos tipos de teclados para computadoras, A con cable y B inalámbricos. Para su abricación, ambos requieren el uso de tres máquinas que llamaremos F, G y H. El teclado con cable requiere el uso de la máquina F por dos horas, la máquina G por una hora y la máquina H también una hora. Por su parte el teclado inalámbrico requiere el uso de la máquina F por 1 hora, la máquina G por dos horas y la máquina H una hora. Dados los requerimientos de armado y preparación de cada máquina las mismas no pueden utilizarse por mes más de 180 horas la máquina F, 160 la máquina G y 100 horas la máquina H. Si la ganancia por cada producto es de 4 dólares para los teclados con cable y de 6 dólares para los inalámbricos, ¿qué producción debe realizar la ábrica para maximizar las ganancias, suponiendo que vende todos los productos que produce?

b.

c. Una empresa alimenticia requiere mensualmente por lo menos 8000,

14.000 y 5000 kilos de harina de calidad 00, 000 y 0000 respectivamente. La misma tiene dos molinos que le proveen la harina y que producen diariamente: el molino A 2000, 3000 y 1000 kilos de harina de calidad 00, 000 y 0000; mientras que el molino B produce 1000, 1000 y 2000 kilos respectivamente. Si operar el molino A cuesta $25.000 por día y el molino B $20.000, ¿cuántos días deben operar los molinos para satisacer las necesidad de la empresa al menor costo posible? ¿Cuál es el costo para la empresa?

El método Simplex fue creado en 1947 por el matemático estadounidense George Bernard Dantzig (1914-2005), considerado el padre de la programación lineal.

5.5. Método Simplex para resolución de problemas de programación lineal El método Simplex se utiliza para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables, en los cuales el método gráfco no se puede aplicar. Se trata de un procedimiento que se repite –mejorando la solución a cada paso– hasta que ya no es posible seguir mejorando más dicha solución. Se parte del valor de la unción objetivo en un vértice cualquiera de la región actible; hay que buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre modifcando las incógnitas para que se muevan por un borde de la región actible, hasta otro vértice contiguo. De esta orma, si la unción objetivo no toma el valor máximo en un vértice dado, entonces existe una arista que parte de este vértice a lo largo del cual la unción objetivo se incrementa. Este método puede ser tedioso, complicado o imposible de llevar a la práctica cuando se tienen muchas variables. En el caso dado anteriormente se tienen 6 variables que, tomadas de a dos, resultan 15 posibilidades (vértices en la región actible) para seleccionar un par de variables e igualarlas a cero. Para resolver el problema de orma más efciente (no calculando la unción objetivo en todos los vértices, como se hizo previamente) se utilizará el método Simplex.

“Un matemático es como un modisto que no tiene consciencia de las criaturas a las que le puede venir bien su ropa. Por supuesto, su arte se originó en la necesidad de vestir a esas criaturas, pero eso fue hace mucho tiempo. Llegará, sin embargo, el día que surja una criatura para la que aquellas prendas se ajusten como si hubieran sido para ella. No hay pues n para la sorpresa y el gozo de las matemáticas.” (G.B. Dantzig)

167


El problema inicial es saber qué par de variables tomar inicialmente como cero (variables básicas). El método recorre el borde de la zona actible, moviéndose hacia el vértice siguiente que haga que la unción objetivo aumente más rápidamente. Se puede comenzar la resolución con cualquier par de variables igual a cero, siempre y cuando al igualarlas a cero el sistema que hay que resolver no resulte incompatible (se desea que las rectas que quedan defnidas al tomar las dos variables igual a cero, se corten en un punto). En el problema anterior, por ejemplo, no se podría tomar x3 = 0 y x6 = 0 ya que las rectas que resultan en estos casos ( x + y = 1000 y x + y = 2000) son paralelas, con lo cual no tiene solución. Recordando el problema: Hallar ( x, y ) para que la unción objetivo Z = f ( x, y ) = 108750 - 15 x -7.5 y

sea mínima, sujeta a las restricciones x + y + x3 = 2000 x + x4 = 500 y + x5 = 3500 x + y - x6 = 1000 x, y, x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0

Se debe maximizar la unción objetivo y así usar siempre el mismo procedimiento. Los problemas de minimización como el que se desea resolver se pueden convertir en uno de maximización si se cambia el signo de la unción objetivo, ya que lo que antes era un mínimo puede convertirse en un máximo. Por ejemplo, de los valores 7, 14, 9, 2, 5, 11, el mínimo es 2; al cambiarles el signo -7, -14, -9, -2, -5, -11 entonces -2 pasa a ser el máximo. Por ello, minimizar la unción f ( x, y ) = 108750 - 15 x -7.5 y

es equivalente a maximizar la unción g ( x, y ) = - 108750 + 15 x + 7.5 y

Llamando Z al valor de la unción Z = g ( x, y ) = - 108750 + 15 x + 7.5 y

y despejando, resulta la ecuación: Z -15 x -7.5 y = -108750 con lo que el sistema lineal resulta

168

Matemática

Luego, se buscan los valores de las variables x, y, x3 , x 4 , x 5 , x 6 tal que cumplan las restricciones anteriores al tomar dos de ellas igual a cero. Siempre se puede comenzar tomando x e y igual a cero (variables básicas) aunque en este caso ya sabemos que no es un punto actible. Con estos valores de la ecuación x + y - x6 = 1000

resulta x6 = - 1000

que no es compatible con la restricción en donde todas las variables deben ser mayores o iguales a cero ( x, y, x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0). Por eso, este par de variables, x e y , no es un punto de la región actible. Lo que ahora se hace es cambiar una de las variables anteriores, x o y , que se llamará variable básica saliente. Se elegirá arbitrariamente por ahora la variable y , ya que todavía no se está trabajando en la zona actible. La misma pasará a ser distinta de cero y se hará cero una de las otras cuatro variables que eran no básicas. ¿Cuál de las variables x3 , x4 , x5 , x6 pasará a ser cero (básica)? Será aquella que primero se anule al crecer y desde su valor cero. El sentido de esta operación es moverse por la línea x=0, variando y , hasta encontrar la primera recta que corte esta línea por la cual se realiza el movimiento; esto ocurre cuando una de las otras variables se hace cero. Luego, se estudiará en cuál de las restricciones con x=0, la variable saliente y toma el mínimo valor al hacer cero a las otras variables no básicas. con x = 0 y x3 = 0, la primera ecuación resulta x + y + x3 = y = 2000 con x = 0 y x4 = 0, la segunda ecuación resulta x + x4 = 0 = 500 (sistema incompatible) con lo cual no es posible que ambas variables sean cero. con x = 0 y x5 = 0, la tercera ecuación resulta y + x5 = y = 3500 con x = 0 y x6 = 0, la cuarta ecuación resulta x + y - x6 = y = 1000 Entonces, la variable que primero se anula al ir aumentando y desde cero es la variable x6 pues es la que da el menor valor de y al moverse por x = 0. Esta pasará a ser la variable básica siguiente reemplazando la y . La propuesta es reescribir el sistema de ecuaciones lineales tal que, en las restricciones, las variables no básicas (ahora y, x 3 , x 4 , x 5) estén en una sola ecuación y no se encuentren en la ecuación asociada a la unción objetivo. Este problema no es más que resolver el sistema lineal con el método de Gauss ya que las variables básicas valen cero. El sistema se puede trabajar usando la matriz ampliada, tomando las variables Z, x, y, x3 , x 4 , x 5 , x 6 en las columnas 1 a 7 respectivamente:

169


Se desea que la variable básica saliente y quede igual a uno en la ecuación en la que estaba la variable que entra x6 (en la última fla) con lo cual la anulamos en el resto realizando las operaciones de costumbre: F1 + 7.5 F5 → F1; F2 - F5 → F2; F4 - F5 → F4, con lo que la matriz equivalente resulta:

De esta orma, rápidamente se puede obtener los valores de las variables y de la unción objetivo x=0 , x6=0 , de la fla 1 la unción objetivo vale Z=-101250, de la fla 2 x3= 1000 , de la fla 3 x4 = 500, de la fla 4 x5= 2500, y de la fla 5 y= 1000. Los valores que se encontraron para las variables cumplen todas las restricciones del problema x + y + x3 = 2000 x + x4 =500 y + x5 = 3500 x + y - x6 = 1000 x, y, x 3 , x 4 , x5 , x 6 ≥ 0

con lo cual los valores x=0 e y=1000 corresponden a un punto actible. La pregunta es ahora si este punto actible es el óptimo. Para saberlo, se estudia qué pasa con la unción objetivo al moverse desde el punto (0, 1000) por el borde de la región actible hasta el próximo vértice. Como los coefcientes que aparecen en la primera fla correspondientes a las variables x y x6 son negativos, al aumentar los valores de estas variables desde cero a un valor positivo se logrará que la unción objetivo aumente, pues la misma será Z = -101250 + 7.5 x + 7.5 x6 El valor de la función objetivo es el máximo posible en la región factible.

con lo cual el punto (0, 1000) no es el punto óptimo. Se repite entonces el procedimiento anterior sacando una variable básica ( x o x6) e ingresando una no básica ( y, x3 , x4 , x5). Para determinar qué variable básica sale se determina cuál hará que la unción objetivo crezca más rápido al crecer esta desde cero. En este caso, como los coefcientes correspondientes a x y x6 en la unción objetivo son iguales, ambas la harán crecer de la misma orma, de modo que se puede tomar cualquiera de las dos. Se tomará x como variable básica saliente y se estudiará, como se realizó antes, al ir creciendo esta variable desde el valor cero moviéndose por la línea de x6 = 0 cuál es la primera de las otras variables que se anula; esto será para el menor valor de x al hacer cero alguna de las otras variables no básicas ( y, x3 , x4 , x5). De la fla 2 con x6 = 0 y x3 = 0 resulta x3 + x6 = 0 = 2000 (sistema incompatible) con lo cual no es posible que ambas variables sean cero. De la fla 3 con x6 = 0 y x4 = 0 resulta x + x4 = x = 500

170

Matemática

De la fla 4 con x6 = 0 y x5 = 0 resulta -x + x5 + x 6 = -x = 500 con lo que resulta x = -500 que no cumple la restricción donde todas las variables deben ser ≥ 0. De la fla 5 con x6 = 0 e y = 0 resulta x + y - x6 = x = 1000 De esta manera, la variable no básica que primero se hace cero al aumentar x es la variable x4 que será la variable entrante. Como antes, se reescribe la matriz ampliada tal que x sólo aparezca con coefciente 1 en la ecuación donde estaba la variable x4 con coefciente 1 (F3). Para ello se realizan las operaciones F1 + 7.5 F3 → F1; F4 + F3 → F4; F5 - F3 → F5 con lo que resulta la matriz ampliada:

Entonces, x4 = 0 , x6 = 0 , de la fla 1, la unción objetivo vale Z = -97500. De la fla 2, x3 = 1000 , de la fla 3, x = 500 , de la fla 4, x5 = 3000, y de la fla 5, y = 500. Como los movimientos son ya dentro de los bordes de la zona actible, está demás decir que el punto encontrado x = 500 , y = 500 es un punto actible. Sin embargo, no es el óptimo, dado que en la fla 1 el coefciente correspondiente a x6 es negativo y, por lo tanto, al aumentar esta variable desde cero hará que aumente la unción objetivo. Por el contrario, si se aumenta x4, como su coefciente en la matriz ampliada es positivo, unción objetivo disminuye, por lo que la variable básica que saldrá será x6. Para elegir la variable no básica saliente ( x, y, x3 , x5) se realiza como se hizo anteriormente, qué variable se anula primero al aumentar x6.

Nótese que efectivamente la función objetivo aumentó respecto del valor anterior.

De la fla 2 con x4=0 y x3 = 0 resulta x3 + x4 + x6 = x6 = 1000 De la ila 3 con x4=0 y x = 0 resul ta x + x 4 = 0 = 500 (sistema incompatible), luego, no es posible que ambas variables sean cero. De la fla 4 con x4=0 y x5 = 0 resulta x4 + x5 + x6 = x6 = 3000 De la fla 5 con x4=0 e y = 0 resulta y - x4 - x6 = - x6 = 500 con lo cual x6= - 500 que no cumple la restricción donde todas las variables deben ser ≥0. En consecuencia, la variable no básica que primero se hace cero al aumentar x6 es la variable x3 que será la variable entrante. Se reescribe la matriz ampliada tal que x6 sólo aparezca con coefciente 1 en la ecuación donde estaba la variable x3 con coefciente 1 en la fla 2. Las operaciones a realizar serán F1 + 7.5 F2 → F1; F4 - F2 → F4; F5 + F2 → F5; resulta la matriz ampliada:

171

Ferrari Matematica

Recommend Documents