Corso di laurea in ingegneria industriale
FENOMENI DI TRASPORTO
R. Lapasin Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell ’ ’Informazione Informazione Universit à di Trieste
Obiettivi formativi
Illustra Illust rare re i fond fondam ament entii del tra traspo sporto rto di ma mater teria, ia, ene energ rgia ia e qua quanti ntità tà di mot moto o all ll'i'in nte terrno di una una fa fase se e tra tra due fa fasi si,, fornir forn ire e gl glii el elem emen enti ti ne nece cess ssar ari i per l'analisi e la risoluzione risoluzione di problemi problemi semplici, riducibil ridu cibilii a forma monodi monodimen mensiona sionale, le, attraver attrav erso so la defi definiz nizion ione e e deriv derivazi azione one delllle de e gr gran ande dezz zze e e de delllle e re rela lazi zion onii ut utilili, i, e l'ese l'eserc rciz izio io di calc calcol olo o di bila bilanc ncii ma macr cros osco copi pici ci
Obiettivi formativi
Illustra Illust rare re i fond fondam ament entii del tra traspo sporto rto di ma mater teria, ia, ene energ rgia ia e qua quanti ntità tà di mot moto o all ll'i'in nte terrno di una una fa fase se e tra tra due fa fasi si,, fornir forn ire e gl glii el elem emen enti ti ne nece cess ssar ari i per l'analisi e la risoluzione risoluzione di problemi problemi semplici, riducibil ridu cibilii a forma monodi monodimen mensiona sionale, le, attraver attrav erso so la defi definiz nizion ione e e deriv derivazi azione one delllle de e gr gran ande dezz zze e e de delllle e re rela lazi zion onii ut utilili, i, e l'ese l'eserc rciz izio io di calc calcol olo o di bila bilanc ncii ma macr cros osco copi pici ci
PROGRAMMA
TRASPORTO MOLECOLARE Natura, meccanismi e forze motrici Flussi, equazioni costitutive, bilanci Trasporto di energia in stato stazionario Trasporto di energia in stato non stazionario Flussi diffusivi di materia Traspor Tras porto to di quan quantità tità di moto moto Proprietà di trasporto trasporto per stati fisici e sistemi diversi Proprietà Prop rietà non lineari: lineari: fluidi non-Newto non-Newtonian niani. i. Analisi dimensionale, dimensionale, bilanci bilanci in forma adimensionale adimensionale TRASPORTO CONVETTIVO Trasporto convettivo in flusso laminare Flussi interni ed esterni, strato limite. Moti potenziali Convezione forzata e convezione naturale Trasporto turbolento, approcci semi-empirici. Coefficienti di trasferimento e numeri caratteristici CALCOLI MACROSCOPICI Trasporto di quantità quantità di moto ,di energia, energia, di materia Coefficienti di trasferimento
MODALITA’ D’ESAME esame finale: prova scritta + una prova orale Sono previste due prove scritte di accertamento in corrispondenza alla metà del corso e al termine dello stesso. La prova scritta finale può essere omessa in presenza di due prove effettuate con esito positivo La prova orale può essere omessa in presenza di due prove effettuate con esito positivo
MATERIALE DIDATTICO W.J. Thomson Introduction to transport phenomena Prentice Hall PTR, 2000 (testo di riferimento) R.B. Bird, W.E. Armstrong, E.N. Lightfoot Transport phenomena John Wiley & Sons, 2 nd ed. 2002 (testo di approfondimento) Dispense (copie della presentazione PPT)
FENOMENI FENOMENI DI DI TRASPORTO: TRASPORTO: NATURA NATURA E E RUOLO RUOLO
approcci ingegneristici e discipline dell’ingegneria chimica: evoluzione storica e linee guida rielaborazione e riordino delle conoscenze fisiche, chimiche, … in un quadro razionale funzionale alla descrizione dei processi alla progettazione/gestione dei processi alla comprensione dei meccanismi basilari
criteri e principi unificanti per la razionalizzazione su scala macroscopica: concetto di operazioni unitarie (1925) su scala microscopica/molecolare: meccanismi e leggi dei fenomeni di trasporto (1960)
esempio di differenti criteri di lettura/analisi di un processo: processo di produzione di p-xilene scomposizione in differenti operazioni unitarie (reazioni, separazioni, …) analisi degli aspetti fluidodinamici e dei processi di trasferimento di calore e di materia
FENOMENI FENOMENI DI DI TRASPORTO: TRASPORTO: NATURA NATURA E E RUOLO RUOLO p-xilene
acido tereftalico
HOOC-C6H4-COOH
dimetil tereftalato CH3HOOC-C6H4-COOCH3 fibre di poliestere (Dacron) polietilen tereftalato (PET)
FENOMENI FENOMENI DI DI TRASPORTO: TRASPORTO: NATURA NATURA E E RUOLO RUOLO xilene: isomeri
orto-xilene
T m T b
meta-xilene
para-xilene
o-xilene
m-xilene
p-xilene
-25°C 144°C
-48°C 139°C
13°C 138°C
produzione di xileni dal processo di ‘reforming’ della frazione (250°-450°F) della distillazione del greggio processo di ciclizzazione CH3CH2CH2CH2CH2CH3
processo di aromatizzazione
H2 C H2C CH2 CH2 H2C C H2
+ H2
+ 3H2
FENOMENI FENOMENI DI DI TRASPORTO: TRASPORTO: NATURA NATURA E E RUOLO RUOLO
processo di produzione di paraxilene
Criteri di analisi 1) Il processo di produzione di paraxilene nel suo insieme 2) Le operazioni unitarie che lo compongono 3) I processi di trasporto (di materia, energia, e quantità di moto) su scala locale
FENOMENI FENOMENI DI DI TRASPORTO: TRASPORTO: NATURA NATURA E E RUOLO RUOLO
FENOMENI FENOMENI DI DI TRASPORTO: TRASPORTO: NATURA NATURA E E RUOLO RUOLO trasferimento di quantità di moto, di calore e di materia (momentum, heat, mass transfer) processi comuni in campo industriale, biologico/medico, ambientale/geologico esempi moto di fluidi in tubazioni o intorno ad oggetti (moti interni, moti esterni) scambio di massa attraverso pareti cellulari e membrane fenomeni meteorologici su scala regionale e planetaria meccanismi simili su scala molecolare (analogie fisiche intrinseche) processi risultanti da differenti valori di grandezze <> (velocità, temperatura, concentrazioni) all’interno di una regione, tra due regioni o fasi contigue esempio: diffusione di massa all’interno di una regione gassosa (emissioni di inquinanti) permeazione di principi attivi in applicazioni transdermali assorbimento di gas in fasi liquide o di idrogeno in metalli forze motrici: differenze di concentrazione Δc i gradienti di concentrazione ∇c i effetti risultanti: flussi del componente i
FENOMENI FENOMENI DI DI TRASPORTO: TRASPORTO: NATURA NATURA E E RUOLO RUOLO
FENOMENI FENOMENI DI DI TRASPORTO: TRASPORTO: NATURA NATURA E E RUOLO RUOLO
A B C D E F G
RBC RBC membrane Plasma film around RBC Plasma Plasma film adiacent to capillary wall Endotelium Tissue
FENOMENI FENOMENI DI DI TRASPORTO: TRASPORTO: NATURA NATURA E E RUOLO RUOLO
scelta dell’espressione delle forze motrici: Δc i o scelta dell’approccio analitico
∇c i :
Δc i → approccio ‘ingegneristico’ convenzionale (rate process approach )
coefficienti di trasferimento e correlazioni empiriche per il calcolo del trasferimento globale
∇c i → approccio ‘fondamentale’ molecolare (transport approach )
proprietà di trasporto e leggi costitutive leggi costitutive: equazioni differenziali simili (analogie formali sul piano matematico) possibilità di calcolo delle condizioni locali (profili di velocità, temperatura, concentrazione) possibilità di analisi di processi simultanei di trasporto possibilità di impiego nell’analisi di nuove tecnologie
FENOMENI FENOMENI DI DI TRASPORTO: TRASPORTO: NATURA NATURA E E RUOLO RUOLO
scelta dell’espressione delle forze motrici: Δc i o scelta dell’approccio analitico
∇c i :
diffusione di H 2 in un metallo: profili di concentrazione di H 2 nel metallo a tempi differenti
H 2
metallo c o
flusso = k Δc flusso variabile nel tempo Δc costante nel tempo
Δc = c o-c b c b
H 2
rate process approach
k variabile nel tempo
metallo
transport approach flusso = -D ∇c flusso variabile nel tempo D costante nel tempo
∇c variabile nel tempo
MECCANISMI MECCANISMI DEI DEI PROCESSI PROCESSI DI DI TRASPORTO TRASPORTO
trasporto convettivo - trasporto molecolare dipendente indipendente dal moto di insieme del fluido
trasporto convettivo : trasporto simultaneo di massa, quantità di moto, energia trasporto efficace, legato alla velocità del fluido, importante lontano dai contorni del sistema differente efficacia dei processi di trasporto in assenza o in presenza di un moto impresso (interno o esterno) miscelazione di due fluidi dissoluzione di sali raffreddamento di un corpo caldo
trasporto convettivo: complessità dell’analisi legata alla complessità del moto dipendente da: natura del moto (forze motrici, applicate o inerenti), velocità (moti laminari, moti turbolenti) contorni semplici, regolari o irregolari proprietà (struttura) del fluido
MECCANISMI MECCANISMI DEI DEI PROCESSI PROCESSI DI DI TRASPORTO TRASPORTO
esempio di trasporto molecolare in assenza di meccanismi convettivi : trasporto di energia (calore) in solidi energia tempo
l
q T 1 (> T 2 )
S T 2
∝ ΔT , S,
1 l
fattore di proporzionalità: proprietà inerente del materiale di trasportare energia (calore) su scala molecolare: conducibilità termica k
conducibilità termica k legata a meccanismi molecolari (moti traslazionale, vibrazionale, rotazionale) alla struttura microscopica (cristallina/amorfa) in solidi k = 380 W / m . K (rame)
0.04- 0.13 W / m . K (legno)
trasporto convettivo e trasporto molecolare possono coesistere in fluidi e avere direzioni uguali o differenti differenti velocità di trasporto trasporto convettivo ⇔ trasporto molecolare
MECCANISMI MECCANISMI DEI DEI PROCESSI PROCESSI DI DI TRASPORTO TRASPORTO conducibilità termica k di materiali
conducibilità termica k di elementi
MECCANISMI MECCANISMI DEI DEI PROCESSI PROCESSI DI DI TRASPORTO TRASPORTO conducibilità termica k di materiali (W m-1 K -1 )
conducibilità termica k di elementi
MECCANISMI MECCANISMI DEI DEI PROCESSI PROCESSI DI DI TRASPORTO TRASPORTO conducibilità termica k di elementi
FORZE FORZE MOTRICI MOTRICI DEI DEI PROCESSI PROCESSI DI DI TRASPORTO TRASPORTO processo di trasporto molecolare tra punti / regioni diverse di uno stesso sistema / fase oppure di sistemi / fasi diverse comunicanti tra loro attraverso una parete / interfaccia permeabile al processo trasporto molecolare di energia (calore) prodotto da condizioni di non equilibrio termico
ΔT ≠ 0
velocità di trasporto molecolare in direzione x da alta T a bassa T velocità di trasporto dipendente da differenza di temperatura ΔT e distanza Δ x
T grandezza misurabile e controllabile
dalla velocità di trasporto dipendono: le dimensioni dell’apparecchiatura destinata allo scambio termico (condizione di progetto) la capacità di scambio termico di un’apparecchiatura esistente (condizione di verifica)
FORZE FORZE MOTRICI MOTRICI DEI DEI PROCESSI PROCESSI DI DI TRASPORTO TRASPORTO trasporto molecolare di materia prodotto da condizioni di non equilibrio chimico:
⎛ ∂U ⎞ ⎛ ∂G ⎞ μ i = ⎜ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ∂n ⎟⎟ ⎝ i ⎠S,V, n ≠n ⎝ ∂ni ⎠T, P, n ≠n j
i
j
Δμ i ≠ 0
i
velocità di trasporto molecolare della specie i in direzione x da alto potenziale chimico μ i a basso potenziale μ i velocità di trasporto dipendente da differenza di potenziale Δμ i e distanza Δ x μ i grandezza di riferimento necessaria in presenza di più cause fisiche del trasporto di materia (effetti di concentrazione, temperatura, pressione) μ i grandezza non misurabile (direttamente)
sostituzione con concentrazioni in termini volumetrici densità di massa ρi o densità (concentrazione) molare c i
ρi =
mi V
ni c i = V
in termini relativi frazione di massa ωi o frazione molare x i
ρi ωi = ∑ ρi
c i x i = ∑ c i
FORZE FORZE MOTRICI MOTRICI DEI DEI PROCESSI PROCESSI DI DI TRASPORTO TRASPORTO
trasporto molecolare di quantità di moto (m v , m v ) da regione di alta velocità v a regione di bassa v
m v grandezza vettoriale (non scalare) due direzioni distinte della velocità (z) e del trasporto di quantità di moto (x)
alta v
v
x
bassa v z
rappresentazione formale più complessa (ricorso a grandezze tensoriali) per tener conto delle due direzioni
FLUSSI FLUSSI trasporto molecolare → flusso diffusivo trasporto convettivo → flusso convettivo flusso F Λ di una proprietà estensiva Λ: quantità di Λ che attraversa una sezione unitaria nell’unità di tempo A
. Λ
d Λ & Λ=
portata di Λ attraverso la sezione A normale alla direzione del trasporto
dt
F Λ
=
Λ&
A
ρΛ =
concentrazione volumetrica di Λ: portata volumetrica:
flusso convettivo di Λ attraverso la sezione A flusso convettivo di Λ in un punto
& = v A V
Λ
V
& V F Λ = ρ Λ = ρ Λ v A F Λ
= ρΛv
o F Λ ) flusso F Λ : grandezza vettoriale ( FΛ
CONCENTRAZIONI CONCENTRAZIONI VOLUMETRICHE VOLUMETRICHE E E FLUSSI FLUSSI concentrazione volumetrica
flusso convettivo in direzione x
energia cinetica 1 2
mv 2
1
1
= ρ v
V
2
2
2
ρ v 2 • v x
entalpia ˆ mH 0 ˆ ( = ρ H = ρ c p T − T ) V
ρ c p (T − T 0 ) • v x
massa (specie A)
ρ A
,
c A
ρ A v x
,
c Av x
quantità di moto (momento)
mv x V mv y V mv z
V
= ρ v x
(ρ v x ) • v x
= ρ v y
(ρ v y ) • v x
= ρ v z
(ρ v z ) • v x
flusso diffusivi
equazioni costitutive del trasporto molecolare
EQUAZIONI EQUAZIONI COSTITUTIVE COSTITUTIVE relazioni matematiche tra flussi diffusivi e forze motrici su scala molecolare (puntuale) trasporto molecolare di energia (calore) osservazioni di Fourier
ΔT & Q = k A x Δ x
Δ x & Q T 1
ΔT q = k Δ x
A x T 2
flusso di calore
relazione valida per ogni Δ x
Δ x → 0
x
dT q = k dx flusso orientato da alta T (T 1 ) a bassa T (T 2 )
dT <0 dx
flusso in direzione opposta al gradiente di temperatura
q x = −k
dT dx
q
= −k ∇T
legge di Fourier (estensibile in termini vettoriali) conducibilità termica k: proprietà di trasporto del materiale
EQUAZIONI EQUAZIONI COSTITUTIVE COSTITUTIVE trasporto molecolare di materia osservazioni di Fick
diffusione
A x
x serbatoio ad alta concentrazione di A
J A x
serbatoio a bassa concentrazione di A
= c DAm
Δ x A Δ x
flusso diffusivo di A
Δ x → 0 J A x
= c D Am
dx A
dx A dx
dx
<0
flusso orientato da alta x A a bassa x A in direzione opposta al gradiente di concentrazione
J A x
= −c D Am
dx A dx
= − DAm
dc A dx
a c costante
legge di Fick (estendibile in termini vettoriali)
J = −c D Am ∇ x A
= − DAm∇c A
diffusività o coefficiente di diffusione D Am: proprietà di trasporto del materiale proprietà di miscela (A m)
EQUAZIONI EQUAZIONI COSTITUTIVE COSTITUTIVE trasporto molecolare di quantità di moto osservazioni di Newton alta v
v x
bassa v z trasporto di quantità di moto secondo z in direzione x da strati ad alta v z a bassa v z in direzione opposta al gradiente di velocità
τ xz = −μ xz flusso
d v z
d v z
dx
dx
>0
di quantità di moto (sforzo tangenziale)
primo indice: direzione del trasporto di quantità di moto secondo indice: direzione del moto viscosità μ: proprietà di trasporto del materiale legge di Newton, valida per fluidi semplici (Newtoniani) (indipendente dalle condizioni di moto e dal tempo) legge di Newton generalizzabile in forma tensoriale
τ = −μ∇v
ANALOGIE ANALOGIE equazioni costitutive (Fourier, Newton, Fick) flusso =
forza motrice resistenza
proprietà di trasporto =
Ohm
flusso gradiente
riscrittura delle leggi di Newton e di Fourier μ d d v z d τ xz = − μ ( ρ v z ) = −v ( ρ v z ) =− ρ dx dx dx dT k d ^ d ^ q x = −k ( ρ c pT ) = −α ( ρ c p ( T − T 0 ) = − ^ ρc p dx dx dx dc A J A x = −D Am dx
ρ v z
^ T ρ c p
c A : concentrazioni volumetriche
ν , α , D Am
: diffusività
ν viscosità cinematica, α diffusività termica D Am diffusività (di materia) significato analogo, stesse dimensioni ( L2 / t ) confrontabili numericamente numeri caratteristici: Prandtl, Schmidt
ESTENSIONI ESTENSIONI E E GENERALIZZAZIONI GENERALIZZAZIONI equazioni costitutive in coordinate sferiche e cilindriche z
z
Φ
y
r
r
x
θ
θ
componente radiale in coordinate sferiche e cilindriche
dT q r = −k dr
J Ar
= − DAm
dc A dr
τrz = −μ
d v z dr
equazioni costitutive in forma generalizzata (vettoriale e tensoriale)
q
τ = −μ∇v
= −k ∇T J = −c D Am∇ x A = − DAm∇c A q J vettori (tre componenti) τ tensore (nove componenti)
operatore ∇ : vettore (tre componenti)
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∇ = ⎜⎜ i + j + k ⎟⎟ ⎝ ∂ x ∂y ∂z gradiente di grandezza scalare operatore ∇
(in coordinate cartesiane) vettore ∇T ∇c A
gradiente di grandezza vettoriale
tensore
divergenza di grandezza vettoriale
scalare
∇v
OPERATORE OPERATORE GRADIENTE GRADIENTE
coordinate cartesiane
z
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∇ = ⎜⎜ i + j + k ⎟⎟ ⎝ ∂ x ∂y ∂z
y x
z z
coordinate cilindriche 1 ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎛ j + k ⎟ ∇ = ⎜ i + ⎝ ∂r r ∂ϑ ∂z
r
θ
coordinate sferiche
Φ r
θ
⎛ ∂ 1 ∂ 1 ∂ ⎞ ∇ = ⎜⎜ i + j + k ⎟⎟ ⎝ ∂r r ∂ϑ r sinϑ ∂φ
STATI STATI STAZIONARI STAZIONARI E E NON NON equazioni costitutive in differenti coordinate spaziali stati stazionari (grandezze indipendenti dal tempo)
v
F x
v z ( x ) z
v z ( x ) lineare in stato stazionario per F costante nel tempo
τ xz =
F A
costante nel tempo e nello strato piano (flusso di quantità di moto costante)
evoluzione della distribuzione di velocità nel tempo verso il profilo lineare (gradiente di velocità costante)
t 1
t 2 > t 1
t →∞
evoluzione analoghe in geometrie analoghe per la distribuzione delle temperature e delle concentrazioni
LEGGI LEGGI DI DI CONSERVAZIONE CONSERVAZIONE E E BILANCI BILANCI applicazione dei principi di conservazione di energia, di materia e di quantità di moto bilanci di energia, di materia e di quantità di moto per volumi di controllo finiti bilanci di energia, di materia e di quantità di moto in un punto (equazioni differenziali) equazione di conservazione
[ input ] - [ output ] + [ sources ] - [ sinks ] = [ accumulation ] da applicare ad un volume di controllo scelta agevole del volume di controllo in condizioni di trasporto monodimensionale flusso
z
Δz
y x Ly
Δr
L x
r
r+Δr
flusso
Lz
Δz flusso
flusso
D
LEGGI LEGGI DI DI CONSERVAZIONE CONSERVAZIONE E E BILANCI BILANCI i termini dell’equazione di bilancio vanno intesi come energia, materia e quantità di moto entranti, uscenti, generati o consumati nell’unità di tempo
[ input ] e [ output ] risultano dal prodotto dei flussi molecolari e convettivi che attraversano le superfici del volume di controllo per le corrispondenti aree [ input ] e [ output ] corrispondono, rispettivamente, ai flussi entranti e uscenti attraverso le superfici seguendo la direzione positiva del sistema di coordinate indipendentemente dalla direzione del flusso reale [ sources ] e [ sinks ] sono i termini legati a processi di generazione e di consumo uniformi all’interno del volume di controllo (termini di generazione positiva e negativa) reazione esotermica ed endotermica
R A • ΔV R A
R A ΔH • ΔV
velocità di reazione della specie A (moli di A reagenti per unità di volume e di tempo)
ΔH
calore di reazione riferito alla specie A energia per moli di A reagenti (endotermico: negativo, esotermico: positivo)
[ accumulation ] = 0
⇔ stato stazionario
RISOLUZIONE RISOLUZIONE DEI DEI PROBLEMI: PROBLEMI: ELEMENTI ELEMENTI NECESSARI NECESSARI elementi necessari per la risoluzione dei problemi di trasporto di energia, di materia e di quantità di moto e procedura di risoluzione equazioni di bilancio (equazioni differenziali) (principi di conservazione) equazioni costitutive (equazioni differenziali) (comportamento dei materiali e valori delle proprietà di trasporto) combinazione dell’equazione di bilancio e dell’equazione costitutiva: equazione per la risoluzione del problema (equazione differenziale) soluzione generale attraverso integrazione/i
condizioni al contorno e condizioni iniziali (particolarizzazione del problema) (dalla soluzione generale a quella particolare)
CONDIZIONI CONDIZIONI AL AL CONTORNO CONTORNO esemplificazione per un problema di trasporto di energia in stato stazionario filo elettrico con guaina esterna
r
LR 2R 2
z
2R 1
flusso
T F
problema del riscaldamento della guaina calcolo della distribuzione di T Condizioni del sistema (assunzioni, semplificazioni): temperatura del filo costante in direzione z temperatura alla parete interna della guaina (R 1 ) eguale alla temperatura del filo T H temperatura alla parete esterna (R 2 ) eguale alla temperatura del fluido T F dal bilancio di energia in direzione radiale all’interno della guaina (e dall’equazione costitutitva)
d dT ( r ) = 0 dr dr
CONDIZIONI CONDIZIONI AL AL CONTORNO CONTORNO r
[ input ] - [ output ] = 0 r+Δr r
z
qr r • 2πrL − qr r + Δr • 2π( r + Δr ) L = 0 rq r r − ( r + Δr ) qr r + Δr
Δr d dr
rq r
L
= 0
dT q r = −k dr
=0 d
dT r ( k ) = 0 dr dr d dT r ( ) = 0 dr dr
k costante
due integrazioni : due costanti (C 1, C 2 ) da determinare per ricavare la soluzione specifica
T = C 1 ln r + C 2 due condizioni al contorno del sistema (guaina)
T = T H per r = R 1 T = T F per r = R 2 T H − T F r T = T H − ln R 2 R 1 ln R 1
per R 1 ≤ r ≤ R 2
CONDIZIONI CONDIZIONI AL AL CONTORNO CONTORNO profilo di temperatura nella guaina
dT T H − T F 1 = k q = −k R 2 r dr l n R 1 T H − T F & Q = 2 πrL q = 2πL k R 2 l n R 1
T F
T H
= cost
condizioni al contorno: due valori di temperatura
altre condizioni al contorno nei problemi di trasporto di energia (calore) riguardanti il flusso: a) flusso costante al contorno
qr R
2
= costante per r = R 2
b) caso di perfetto isolamento
q r R
2
= 0 per r = R 2
CONDIZIONI CONDIZIONI AL AL CONTORNO CONTORNO condizioni al contorno tipiche dei problemi di trasporto di energia, di materia, di quantità di moto sulle variabili
sui flussi
energia
T = cost
dT qi = −k dx i
= cost
superfici isoterme
qi = 0 perfetto isolamento (adiabaticità)
materia
dc A J A i = −D dx i
c A = cost equilibrio all’interfaccia
= cost
da velocità di reazione alla superficie (catalisi eterogenea)
J A i
= 0
impermeabilità
quantità di moto
v j
= cost
velocità dei contorni mobili (assenza di slittamento)
v j
= 0
contorni fissi (assenza di slittamento)
τij = −μ
d v j dx i
= cost
τij x − = τij x + i
i
all’interfaccia tra due fluidi
τij = 0 all’interfaccia gas/liquido
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) IN IN STATO STATO STAZIONARIO STAZIONARIO Trasporto assiale in un corpo cilindrico r T H
2R
z L
superficie isolata
qr = 0
superficie isolata
[ input ] - [ output ] = 0
q z z • πR 2 − q z z + Δz • πR 2 q z z − q z z + Δz
Δz dq z − dz
T C
=0
flusso
2R
=0
z z +Δz
=0 qz = cost = C 1
dT q z = −k dz
dT − k = C 1 dz k costante
T = −
T = T H per z = 0 T = T C per z = L
C 1 k
z + C 2
T = T H − ( T H − T C )
ΔT q z = −k = k = −k dz Δz dT
z
L T C − T H L
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) IN IN STATO STATO STAZIONARIO STAZIONARIO Trasporto di calore attraverso una parete
y
T 0 T 1
due strati (I : muro (L1 ), II: isolante (L2 ) )
T 2
flusso monodirezionale (parete molto estesa)
x
z flusso
Ly
T F
T a
x
Δ x q x x
q x x + Δ x
Lz L1 L2
[ input ] - [ output ] = 0
− q x x + Δ x • L L = 0 z y z
q x x • L L y
q x x − q x x + Δ x
Δ x
=0
analisi valida per
dq x − dx
0 ≤ x ≤ L1 parete I
q x 1 condizione al contorno (interfaccia muro/isolante)
x = L1
q x = C 1
=0 ,
isolante
= C 1I I x
q
L1 ≤ x ≤ L1 + L2 II x
q II x
= C 1
II
I
= q = C 1 ( = C 1 = C 1
II
)
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) IN IN STATO STATO STAZIONARIO STAZIONARIO dalla legge di Fourier: I dT I q x = −k I dx I
T
=−
C 1 I
II dT = C 1 = q x II = −k II dx
I 2
x + C
k 0 ≤ x ≤ L1
=−
II
T
C 1 II
II 2
x + C
k L1 ≤ x ≤ L1 + L2
parete
isolante
condizione al contorno (interfaccia ambiente interno/muro) x = 0 condizione al contorno 3 (interfaccia muro/isolante) 2
T I T I
x = L1
4
condizione al contorno (interfaccia isolante/ambiente esterno)
= T F
= T II = T i
T II
= T a
x = L1 + L2 2 3 4
I 2
= T F
C
T F −
C 1 I
k
C 1 =
L1
I
T II 2
= C −
T F − T a L1 L2 + II I k k
=− C 1 II
k
= q x
C 1 I
k
L1
x + T F II 2
C
= T F + C 1L1(
1 II
k
potenziale flusso = resistenza
−
1
k I
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) IN IN STATO STATO STAZIONARIO STAZIONARIO
L1 ≤ x ≤ L1 + L2
0 ≤ x ≤ L1 parete I
T
= T F −
isolante
T F − T a x L1 L2 k I + II I k k
II
T
= T F −
T F − T a ⎛ L1 x − L1 ⎞ ⎜ I + II ⎟ L1 L2 ⎝ k k ⎠ + II I k k
T F − T a T i = T F − k I L2 1 + II k L1 L1 I
k
,
L2 II
resistenze in serie
k
ruolo della conduttività e dello spessore dello strato isolante K II decrescente
L2 maggiore kII minore
I
T T i
resistenza maggiore flusso minore
T II K II= K I
C 1 =
T F − T a L1 L2 + II I k k
= q x
T i maggiore
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) IN IN STATO STATO STAZIONARIO STAZIONARIO Distribuzione radiale della temperatura in un filo conduttore temperatura esterna costante
L/R >> 1
solo flusso radiale qr
T a r
r+Δr flusso
2R
r
z
Δz generazione uniforme di calore (effetto Joule)
[ input ] - [ output ] + [ sources ] = 0
qr r • 2πr Δz − qr r + Δr • 2π(r + Δr ) Δz + Se • 2πr Δr Δz = 0 qr r • r − qr r + Δr • (r + Δr )
Δr
rqr
1
d (rqr ) dr
= Ser + C 1
= Ser
2
2 qr grandezza finita, ovvero per vincoli di simmetria
qr r =0
=0
+ Se • r = 0
qr
=
C 1 Se r + r 2
1
C 1 = 0
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) IN IN STATO STATO STAZIONARIO STAZIONARIO
qr
=
dT Se r = −k 2 dr
1
T = −
Se 4k
K costante
r 2 + C 2
condizione al contorno esterno: T = T a
Se R 2 ⎛ r 2 ⎞ T = T a + ⎜1 − ( ) ⎟ 4k ⎝ R a parità di condizioni esterne (T a ), riscaldamento controllato dalla conducibilità del materiale
k 1 k 2
> k 1
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) IN IN STATO STATO STAZIONARIO STAZIONARIO Alette di raffreddamento dissipazione di calore da un corpo caldo proporzionale alla superficie e alla differenza di temperatura tra superficie ed ambiente incremento della superficie di scambio con alette sottili metalliche (alette di raffreddamento) necessità di avere la più alta differenza possibile di temperatura tra superficie ed ambiente esterno su tutta l’aletta materiale di alta conducibilità termica: alette metalliche alette sottili (sviluppo mono- o bidimensionale) ragioni strutturali conservazione di un profilo alto di T in senso assiale
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) IN IN STATO STATO STAZIONARIO STAZIONARIO
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) IN IN STATO STATO STAZIONARIO STAZIONARIO Aletta di raffreddamento
r
Δz z
T w
2R L
T a
(2R<
[ input ] - [ output ] - [ sinks ] = 0
dissipazione dovuta alla differenza di temperatura tra superficie T(z) e ambiente T a regolata dalla legge di raffreddamento di Newton
qr
= hΔT = h (T − T a )
h: coefficiente di trasmissione termica dipendente dai moti convettivi attorno alla superficie
dissipazione relativa al tratto di lunghezza Δz:
Q& S
= h(T − T a ) • 2πR Δz
riconducibile ad un termine di volume ( sink )
Q& S
= Q&V = q&V πR Δz 2
q&V
=
Q& S
πR 2 Δz
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) IN IN STATO STATO STAZIONARIO STAZIONARIO
qz z
•
πR 2 − qz z + Δz • πR 2 − h(T − T a ) • 2πR Δz = 0 dqz h (T − T a ) − −2 dz R
q z = −k
dT
d 2 T
dz
2
dz
=
2h kR
=0
( T − T a )
usando variabili adimensionali
e ponendo
T − T a ( 0 ≤ Θ ≤ 1 ) Θ= T w − T a z ( 0 ≤ ζ ≤ 1) ζ= L d 2T 2h = (T − T a ) 2 dz kR
Γh =
2h
kR
N = Γh L d 2Θ d ζ 2
= N 2 Θ
soluzione generale :
Θ = C 1sinh( N ζ ) + C 2cosh( N ζ ) condizioni al contorno
T = T w per z = 0
Θ =1
per ζ = 0
dT = 0 per z = L q z = 0 → dz
d Θ = 0 per ζ = 1 d ζ
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) IN IN STATO STATO STAZIONARIO STAZIONARIO
Θ=
T − T a T w − T a
= cosh N ζ − tanh N • sinh N ζ
Θ= Θ=
cosh N ( 1 − ζ ) cosh N 1
cosh N
N = L
per ζ = 1
2h
kR
120
alluminio k = 206 J m -1 s -1 K -1 2R = 2.54 cm h = 17 J m -2 s -1 K -1
80 T (°C) 40
T w = 120°C T a = 25°C 0 0
30
60
90
z (cm) 120
importante ruolo di k
80
alluminio
T (°C) 40
legno
0 0
30
60 z (cm)
90
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) IN IN STATO STATO STAZIONARIO STAZIONARIO efficienza dell’aletta
calore dissipato con T(z) reale
=
calore massimo teorico (per T = T w )
calore dissipato dalla superficie dell’aletta nel tratto di lunghezza Δz
ΔQ = h • (T − T a ) • 2πR Δz
Δz → 0
dQ = h • (T − T a ) • 2πRdz calore dissipato dall’intera superficie dell’aletta L
L
∫
∫
Q = h • (T − T a ) • 2πRdz = 2πRh (T − T a )dz 0
0
h indipendente da z calore dissipato eguale al calore ceduto dalla parete calda all’aletta
Q = πR • qz z =0 2
dT = πR • ( −k ) dz z =0 2
calore massimo teorico L
∫
L
∫
Q = h • (T w − T a ) • 2πRdz = 2πRh (T w − T a )dz 0
0
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) IN IN STATO STATO STAZIONARIO STAZIONARIO calore dissipato con T(z) reale
efficienza = dell’aletta
calore massimo teorico (per T = T w )
L
L
∫
∫ (T − T ) dz ∫ Θd ζ
2πRh (T − T a )dz
η=
=
0
L
(T − T a )
1
w L
0
∫
∫
2 πRh (T w − T a )dz 0
a
dz
0
=
0
1
∫
d ζ
1
= ∫ Θd ζ 0
0
1 1
η = ∫ Θdζ = 0
tanh N
Θ
N
1
0
ζ
0.1
1
1
1
0.8
η
η
0.6 0.4 0.2 0
0.1 0
2
4
6
8
10
N
N
N = LΓh = L alta efficienza
10
2h
kR k grande
(L piccolo, h piccolo, R grande)
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) IN IN STATO STATO NON NON STAZIONARIO STAZIONARIO problemi in stato non stazionario equazioni differenziali a derivate parziali riducibili a equazioni differenziali ordinarie con semplificazioni Esempio: processo di riscaldamento di una sfera metallica termocoppia
sfera metallica (temperatura iniziale T 0 ) immersa in un bagno con temperatura T H elemento riscaldante
T H costante nel tempo T H > T 0
scambio di calore tra fluido e superficie della sfera variabile nel tempo e governato dalla legge di Newton
Q& = 4 π R 2 h (T H − T R ) distribuzione di temperatura all’interno della sfera T(r ) ?
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) IN IN STATO STATO NON NON STAZIONARIO STAZIONARIO
[ input ] - [ output ] = [ accumulation ] r flusso
[ input ] - [ output ] =
r+Δr
4πr qr r δt − 4π( r + Δr ) qr r + Δr δt = 2
2
( 4π( r 2 qr ) r − 4π( r 2 qr ) r + Δr ) δt [ accumulation ] → aumento di energia interna U nel tempo
(
4π r qr 2
) − (r q ) +Δ 2
r r
r
r
^
^
δt = ρ (U t +δt − U t ) 4πr 2 Δr δt , Δr →
0
^
∂ 2 ∂U − 2 ( r qr ) = ρ r ∂ r ∂ t 1
riducibile ad una sola variabile dipendente (temperatura) tramite ^
U = c V (T − T ^
0
) ≅ c (T − T ) ^
P
0
e
∂T k 1 ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞ = ^ 2 ⎜ r ⎟ ∂t ρc P r ∂r ⎝ ∂r ⎠ condizioni al contorno
∂T qr = −k ∂r
condizione iniziale
∂T T = T 0 per t = 0 = 0 per r = 0 ∂ r ∂T − k = h( T R −T H ) per r = R ∂r
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) IN IN STATO STATO NON NON STAZIONARIO STAZIONARIO t
T
T
T
r/R
r/R
r/R
soluzione esatta per via numerica: T(r,t) soluzione approssimata in forma chiusa per la cinetica di riscaldamento T(t)
ipotesi semplificativa: T uniforme all’interno della sfera calore scambiato = termine di generazione = accumulo
[ sources ] = [ accumulation ]
(
^
^
4πR h (T H − T ) δt = ρ U t + δt − U t 2
^
^
U t + δt − U t ^ ρc
p
dT dt
=
3h
R
= ^c p δT
(T H − T )
)
4 3
πR 3
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) IN IN STATO STATO NON NON STAZIONARIO STAZIONARIO
− ln (T H − T ) =
3h
ρ^c
p
T = T 0
per t = 0
R
t + C 1
= Φ t + C 1
Φ= C 1
3h ^ R ρc p
= − ln (T H −T 0 )
(T H − T ) ln = − Φ t (T H − T 0 )
T
T = T H − (T H − T 0 )ex p(− Φ t )
t
verifica sperimentale 60
T
sfera di alluminio (R = 2.5 cm) (T 0 = 0°C, T H = 57°C)
40 20 0 0
10
20
30
40
50
t (s)
T ( / ) T H
T (
ρ = 2.65 g cm-3 P
1
H
3h Φ = ^ = 0 .039 ρ c p R ^ = c
) o T -
-1
-1
0.92 J g K
h = 0 .079 J ( cm −2 s −1K −1 )
0.1 0
10
20
30
t (s)
40
50
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI ENERGIA ENERGIA (CALORE) (CALORE) aletta di raffreddamento
d 2T 2
dz
=
2h
kR
( T − T a )
h costante
c oshN ( 1 − ζ ) Θ= cosh N
h: coefficiente di trasmissione termica dipendente dai moti convettivi attorno alla superficie in assenza di moti prodotti da forze esterne (convezione forzata) h dipende dall’intensità dei moti convettivi naturali, prodotti dal gradiente di densità locale h dipende da ΔT 1/4
1 / 4
h = C (T − T a )
h dipende da z: h maggiore per z minore
d 2 T 2C 5 / 4 ( ) T T = − a 2 d z k R 120
migliore accordo con i dati sperimentali
80 T (°C) 40
0 0
30
60 z (cm)
90
ANALOGIE ANALOGIE E E SIMILITUDINI SIMILITUDINI analogie e similitudini tra problemi di trasporto riconoscibili attraverso l’analisi adimensionale (equazioni in forma adimensionale, gruppi adimensionali) confronto tra proprietà, riconoscimento dei fattori fisici determinanti soluzione di problemi per analogia, semplificazione di problemi (trasformazione di equazioni differenziali a derivate parziali in equazioni differenziali ordinarie) diffusività e gruppi adimensionali
J A x
= − D Am
dc A dx
q x = −α
D Am , α , ν
d dx
^ ( ρ c
P
T )
τ yx
= −ν
d dx
(ρ v x )
diffusivit à ( l 2t −1 )
numeri di Prandtl, Schmidt, Lewis ^ ν μ c diffusività di quantità di moto P Pr = = diffusività termica α k ν μ diffusività di quantità di moto = Sc = diffusività di massa D Am ρD Am α k diffusività termica Le = = ^ diffusività di massa D Am ρ c P D Am
Pr e Sc presenti nelle analisi di problemi riguardanti moti convettivi combinati con conduzione di calore o con diffusione di massa
ANALISI ANALISI DEI DEI PROBLEMI PROBLEMI IN IN TERMINI TERMINI ADIMENSIONALI ADIMENSIONALI riscaldamento di una sfera metallica : T( r , t )
r flusso
1 ∂ ∂T 2 ∂T = α 2 ( r ) r ∂r ∂t ∂r
r+Δr
condizioni al contorno
k α = ρ^ c P
condizione iniziale
∂T T = T 0 per t = 0 = 0 per r = 0 ∂r ∂T k = h (T H − T R ) per r = R ∂r R k ∂T T R − T H = − h ∂r R
moti convettivi elevati
T R → T H
moti convettivi molto limitati
∂T → 0 ∂r R qr R → 0
h→∞
h → 0
T − T H Θ= T 0 − T H
η=
r R
∂T ∂T ∂Θ ∂t ∗ T 0 − T H ∂Θ = = ∗ ∂t ∂Θ ∂t ∂t t c ∂t ∗ ∂T ∂T ∂Θ ∂η T 0 − T H ∂Θ = = R ∂η ∂r ∂Θ ∂η ∂r
∗
t
=
t t c
trasformazione delle derivate
t c 1 ∂ ∂Θ 2 ∂Θ ) = α 2 2 (η * R η ∂η ∂t ∂η
ANALISI ANALISI DEI DEI PROBLEMI PROBLEMI IN IN TERMINI TERMINI ADIMENSIONALI ADIMENSIONALI
∂Θ 1 ∂ 2 ∂Θ = 2 ( η ) * ∂t η ∂η ∂η condizioni al contorno
∂Θ = 0 per η = 0 ∂η ∂Θ 1 = − Θ per η = 1 m ∂η
t c =
R 2
t * ⇔ Fo
α
numero di Fourier
condizione iniziale
Θ = 1 per t ∗ = 0 m=
k hR
1 / m modulo di Biot
soluzione:
Θ = f ( η , t ∗ , m ) m
rappresentazione grafica carte di Gurney-Lurie
Θ
t ∗
ANALISI ANALISI DEI DEI PROBLEMI PROBLEMI IN IN TERMINI TERMINI ADIMENSIONALI ADIMENSIONALI
m=
k hR
T − T H Θ= ΘT 0 − T H
η=
∗
t
=
αt 2
R
r R
ANALISI ANALISI DEI DEI PROBLEMI PROBLEMI IN IN TERMINI TERMINI ADIMENSIONALI ADIMENSIONALI carta di Gurney-Lurie per geometria cilindrica
ANALISI ANALISI DEI DEI PROBLEMI PROBLEMI IN IN TERMINI TERMINI ADIMENSIONALI ADIMENSIONALI carta di Gurney-Lurie per geometria rettangolare
SEMPLIFICAZIONE SEMPLIFICAZIONE DI DI PROBLEMI PROBLEMI semplificazione di problemi di stato transitorio nella fase iniziale: trasformazione di equazioni differenziali a derivate parziali in equazioni differenziali ordinarie T s z
riscaldamento di un mezzo solido messo a contatto con una parete calda
∂T ∂ 2T =α 2 ∂t ∂z
condizioni al contorno
condizione iniziale
T = T s per z = 0 t > 0 T = T 0 per z = ∞ t > 0
ζ η=
per t = 0
condizioni iniziali e al contorno
z = t z
T = T s T = T 0
4αt
per ζ = 0 per ζ = ∞
d 2 Θ d Θ + 2η 2 d η d η
T − T 0 Θ= T s − T 0
Θ = 1−
T = T 0
2
π
=0
z / 4 αt
∫e 0
− η2
η=0 η=∞
d η = 1 − erf
z 4αt
la variazione di temperatura con z si riduce all’ 1% del totale per ≅ 2 z ≅ 4 αt
SEMPLIFICAZIONE SEMPLIFICAZIONE DI DI PROBLEMI PROBLEMI
Θ
semplificazione (strato limite)
1 0.8 0.6 0.4
Θ = 0.01
0.2
strato limite
1 0.8
0 0
0.5
1
η
1.5
2
0.6 0.4 0.2
η=
z 4αt
T − T 0 Θ= T s − T 0
0 0
0.5
1
1.5
d Θ 1η ∂T dT d Θ ∂η = = ( T s − T 0 ) ( − ) d η 2 t ∂t d Θ d η ∂t d Θ η ∂T dT d Θ ∂η = = ( T s − T 0 ) ∂z d Θ d η ∂z d η z d Θ η ⎞ η2 ( T s − T 0 ) d 2 Θ ∂ 2T ∂ ⎛ ⎟⎟ = = ⎜⎜ ( T s − T 0 ) 2 ∂z ∂z ⎝ d η z z 2 d η2 η2 ( T s − T 0 ) d 2Θ 1η d Θ − ( T s − T 0 ) = α 2 t d η z 2 d η2 d 2 Θ d Θ + 2η =0 2 d η d η
2
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA MATERIA
trasporto molecolare di materia oggetto dell’analisi: miscele di due o più componenti maggiore complessità dell’analisi del processo di trasporto rispetto agli altri processi molecolari: proprietà di miscela (non di una singola specie) maggiore difficoltà di previsione delle proprietà
diffusione di materia: processo di trasporto molecolare legato al moto molecolare di una specie A ed allo stato di non equilibrio del sistema, prodotto da un gradiente di potenziale chimico (differenze di concentrazione di A nel sistema) risultante in un moto (flusso) netto della specie A orientato e differente da quello delle altre specie, distinto per causa e direzione dall’eventuale moto convettivo dell’intero sistema
necessità di definire in maniera appropriata le grandezze (flussi e gradienti) utili per l’analisi
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA: MATERIA: FLUSSI FLUSSI DIFFUSIVI DIFFUSIVI moto molecolare (Browniano) in stato di equilibrio moto molecolare diffusionale in stato di non equilibrio direzione del gradiente di potenziale
moto molecolare diffusionale di A + moto convettivo d’insieme nella stessa direzione
moto molecolare diffusionale di A + moto convettivo d’insieme in direzione opposta
trasporto molecolare di A legato alla velocità relativa (velocità di A relativa alla velocità del sistema) scelta duplice per la concentrazione: ρi (massiva), c i (molare)
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA: MATERIA: FLUSSI FLUSSI DIFFUSIVI DIFFUSIVI flusso massivo della specie i
flusso molare della specie i
= ρi vi
ni
N i
velocità media ponderale
ρ v ∑ v= ∑ρ i
= ci vi
velocità media molare
i
v
*
i
c v ∑ = ∑c i
i
i
flusso diffusionale molare della specie i
= ci ( vi − v* )
J i
= ci ( vi − v)
*
per v ≅ v
≅ J i *
J i
J i
*
relazione tra i flussi molari
∑c v c = c v − ∑c v J = c ( v − v) = c v − c c ∑c J = c v − x ∑ c v = N − x ∑ N ∑ J = ∑ N − ∑ x ∑ N =∑ N − ∑ x ∑ N = 0 j
j
j
i
i
i
i
i
i
i
i
i
j
j
j
j
j
i
i
i
i
j
j
i
i
j
j
i
i
i
i
i
i
∑
J i
i
j
j
=0
j
i
i
J A
i
i
= − J B
•
j
j
sistema binario
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA: MATERIA: FLUSSI – LEGGE FLUSSI DIFFUSIVI DIFFUSIVI – LEGGE DI DI FICK FICK flusso diffusionale molare della specie A regolato dalla legge di Fick J A
= N A − x A ( N A + N B ) = − c D AB∇x A
per c costante
J A
= − D AB∇c A
= D BA
D AB
sistema binario
[ L2 t-1 ]
D AB diffusività: proprietà di miscela J A + J B
= − c D AB∇ x A − c D BA∇xB = 0
D AB ∇ x A + D BA∇xB
=0
D AB
∇ x A + ∇ x B = 0
= DBA
N A = − c D AB ∇ x A + x A ( N A + N B )
sistema binario
flusso flusso diffusionale convettivo flusso complessivo risultante dalla somma dei flussi molecolare e convettivo
N i = J i + x i
∑ c v = J + x ∑ c j j
j
i
j •
i
j
v
= J i + x i c v = J i + c i v
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA: MATERIA: DIFFUSIONE DIFFUSIONE ATTRAVERSO ATTRAVERSO UNO UNO STRATO STRATO esempio di diffusione di materia: strato attraversato da una o più specie (membrana solida, film gassoso…)
flusso
flusso di una singola specie (A) in direzione z (membrana semipermeabile I-I)
L x x y
L x , Ly estesi rispetto a δ
z Ly
analisi in forma monodimensionale
δ
δ
concentrazioni di A nello strato I flusso (lato liquido, lato gas) costanti nel tempo: di A analisi in stato stazionario z=0 z=δ
liquido
x A0 , x B0 x Aδ, x Bδ
z
membrana semipermeabile x Aδ > x A0
gas
NBz = 0
I
Δz
flusso N Az da lato gas a lato liquido N Az = J Az + x A ( N Az + N Bz ) N Bz = J Bz + x B ( N Az + N Bz ) N Az = J Az
1 1 − x A
dal bilancio relativo a Δz L x L y • N Az z − L x L y • N Az z + Δ z
=0
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA: MATERIA: DIFFUSIONE DIFFUSIONE ATTRAVERSO ATTRAVERSO UNO UNO STRATO STRATO
N Az z − N Az z + Δz
Δz
dN Az
=0
N Az = J Az
−
1 − x A dx A
1 − x A
= −cD AB
= A1
ln (1 − x A ) = A1 z=0 z=δ
dz
Δ z → 0 1
=0
1 cD AB
1 cD AB
A2
x = x A0 x = x Aδ
A1
= cD AB
1
δ
dx A
N Az
= cost = A1
1
dz 1 − x A dz z + A2
= ln (1 − x A0 ) (ln (1 − x Aδ ) − ln (1 − x A0 )) z
1 − x A 1 − x A0
⎛ 1 − x Aδ ⎞ δ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ 1 − x A0 ⎠
x A distribuzione della concentrazione di A nello strato per differenti x Aδ
z
δ
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA: MATERIA: DIFFUSIONE DIFFUSIONE ATTRAVERSO ATTRAVERSO UNO UNO STRATO STRATO N Az = N Az z =0
N Az =
cD AB
δ
ln
= −cD AB
1 − x Aδ
1
dx A
1 − x A0 dz
z =0
‘stagnant film diffusion’ N Bz = 0
1 − x A0
‘equimolar counterdiffusion’ N Bz = - N Az N Az = −cD AB
dx A dz x A
z = 0 z =
δ
+ x A ( N Az + N Bz ) = −cD AB
= − A1
1 cD AB
x = x Aδ
x A
=−
cD AB
dz
= A1
z + A2
x = x A0 = A2
A1
dx A
δ + A2
x A
z
= ( x Aδ − x A0 ) + x A0 δ
z
δ N Az = N Az z =0
= −cD AB
dx A dz
= −cD AB z = 0
x Aδ − x A0
δ
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA MATERIA DIFFUSIONE DIFFUSIONE IN IN UNA UNA PARTICELLA PARTICELLA CATALITICA CATALITICA catalisi eterogenea (reazione alla superficie di un catalizzatore) particelle catalitiche (alta superficie specifica = alta porosità) efficacia della reazione legata alla diffusione dei reagenti all’interno dei pori
zeolite bisolfuro di molibdeno sintetico
foam catalyst zeolite sintetica (nanosheets)
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA MATERIA DIFFUSIONE DIFFUSIONE IN IN UNA UNA PARTICELLA PARTICELLA CATALITICA CATALITICA
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA MATERIA DIFFUSIONE DIFFUSIONE IN IN UNA UNA PARTICELLA PARTICELLA CATALITICA CATALITICA catalisi eterogenea (reazione alla superficie di un catalizzatore) particelle catalitiche (alta superficie specifica = alta porosità) efficacia della reazione legata alla diffusione dei reagenti all’interno dei pori idealizzazione del sistema e semplificazione del problema diffusione in un poro cilindrico L D
z
A→B A→B reazione irreversibile di primo ordine
R A ∝ c A , S D << L
( R A ) s = k r c A
→ riduzione a problema monodimensionale
R A = k r c A π D L
c A = c A ( z), c A ≠ c A (r )
termine di consumo di A (superficiale) ridotto a termine di consumo riferito al volume
( R A )V =
k r c A π D L
π D L 2
4
=
4k r cA D
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA MATERIA DIFFUSIONE DIFFUSIONE IN IN UNA UNA PARTICELLA PARTICELLA CATALITICA CATALITICA analogia con il problema del trasporto di calore (assiale) in un corpo cilindrico
N Az z
π D2 4
input
− N Az z+Δ z -
π D2 4
output
− ( R A )V -
π D2 4
Δz = 0
sink
Δ z → 0 d − N Az − ( R A )V = 0 dz
D << L
→ riduzione a problema monodimensionale
dalla stechiometria di reazione:
N Az
= −N Bz
‘equimolar counterdiffusion’
N Az = −cD AB
−
d dz
(− D AB
dx A
dc A dz
dz
)−
+ x A ( N Az + N Bz ) = − D AB 4k r c A D
2
= D AB
d c A dz
D AB costante
2
−
4k r c A D
dc A dz
=0
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA MATERIA DIFFUSIONE DIFFUSIONE IN IN UNA UNA PARTICELLA PARTICELLA CATALITICA CATALITICA
⇔ urti molecola-molecola
D AB diffusività molecolare
diametro D >> cammino libero medio molecolare λ densità medio-alta del fluido
⇒ D comparabile con λ
bassa densità del fluido urti molecola-parete
⇔
2
Deff
d c A dz
2
−
diffusività di Knudsen dipendente dalla geometria
4k r cA D
=0
Deff diffusività effettiva, legata alla geometria reale
(lunghezza e tortuosità dei percorsi diffusivi reali) e alle condizioni di densità (bassa o alta) z=0 z=L
c A = c A0
dc A dz
=0
z = L ⇔ r = 0
N Ar = 0
condizioni al contorno ed equazione differenziale analoghe al caso del raffreddamento di un aletta soluzione analoga
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA MATERIA DIFFUSIONE DIFFUSIONE IN IN UNA UNA PARTICELLA PARTICELLA CATALITICA CATALITICA
d 2T dz
Θ=
2
4h
=
kD
2
(T − T a )
T − T a T w
d Θ d ζ
Γh = Θ=
ζ=
− T a
2
2
d c A dz
z
c A
L
c A 0 2
d
= N h Θ
2h
kR
2
N h
=
2
c A
d ζ c A0
c A
cosh N h
c A0
= N
2k r
Γc =
cosh N h (1 − ζ )
Deff D
ζ=
2
=Γh L
4k r
Deff R
=
2 c
c A
z L c A c A0
N c
=Γc L
cosh N c (1 − ζ ) cosh N c
profili assiali analoghi di temperatura e concentrazione espressioni analoghe dell’efficienza efficienza =
reagente convertito con c A(z) reale massima conversione (per c A = c A0 ) 1
η=∫ 0
c A c A0
d ζ =
tanh N c N c
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA MATERIA DIFFUSIONE DIFFUSIONE IN IN UNA UNA PARTICELLA PARTICELLA CATALITICA CATALITICA
1
reactioncontrolled
fattore di Thiele
η diffusioncontrolled
N c=
2k r
L
Deff R
0.1 0.1
1
10
Nc N
k r basso:
Deff basso:
k r parametro limitante
Deff parametro limitante
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA MATERIA ATTRAVERSO ATTRAVERSO UNA UNA MEMBRANA MEMBRANA separazione a membrana: separazione di miscele gassose basata sulla differente diffusività dei componenti attraverso una membrana (polimerica o ceramica)
H2/CO H2/ N2
H2
2R 1
2R 2
r analisi della diffusione di H 2 r+Δr attraverso la membrana r per concentrazioni costanti di A, B, C nelle due fasi (stato stazionario)
A N2 B CO C
c As c Cs z c A0 c B0 L
N Ar r 2πrL − N Ar r +Δr 2π(r + Δr ) L = 0
−
d dr
( N Ar r ) = 0
N Ar r = cost = A1
N Ar
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA MATERIA ATTRAVERSO ATTRAVERSO UNA UNA MEMBRANA MEMBRANA l’equazione costitutiva può essere semplificata (piccolo valore di x A )
N Ar = J Ar + x A ( N Ar + N Br + N Cr ) ≅ J Ar N Ar ≅ J Ar = − cD A
dx A dr
= − D A
D A diffusività di A attraverso la membrana
dc A dr c A condizioni al contorno
=−
=− A1 D A
c A = c A0 c A = c As
c A0 −c A c A0 −c As
ln
=
D A c A0 −c As N Ar = R2 r ln R1
ln
dc A dr
c costante
A1 1 D A r
ln r + A2
⇔ ⇔
r = R1 r = R2
A1 , A2 c As
r R1 R2 R1
c A0
N Ar R
2
D A c A0 −c As = R2 R2 ln R1
flusso uscente dalla membrana
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA MATERIA ATTRAVERSO ATTRAVERSO UNA UNA MEMBRANA MEMBRANA
A1 c A = − lnr + A2 D A
T = C 1 ln r + C 2
c A = c A0 per r = R 1
T = T H per r = R 1
= c As per r = R 2
T = T F per r = R 2
c A
r ln ln c A0 −c A R 1 = R 2 c A0 −c As ln R 1
T H − T F r T = T H − ln R 2 R 1 ln R 1
c As
c A0
N Ar R
2
=
D A c A0 −c As R 2 R 2 ln R 1
T H
q R
2
k T H − T F = R 2 R 2 l n R 1
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI MATERIA MATERIA ATTRAVERSO ATTRAVERSO UNA UNA MEMBRANA MEMBRANA
c A0 −c As = N Ar 2π R2 = 2π D A R2 L R2 ln R1
W A
portata molare uscente (per unità di lunghezza)
c A0 −c As W A = 2π D A L R2 ln R1
Δc A W A = Am D A Δ R c A0 −c As 2π D A L
ln
Am
= D A
Am
=
R2
R1 c A0 −c As R2 − R2
2π L( R2 − R1 ) R2 ln R1
A2 − A1 = A2 ln A1
area media logaritmica
Δc A W A = Aml D A Δ R
= Aml
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI QUANTITA QUANTITA’’ DI MOTO MOTO trasporto convettivo di quantità di moto nella direzione del moto trasporto molecolare di quantità di moto da regione di alta velocità v a regione di bassa v in direzione diversa da quella del moto condizione di moto laminare: moto ordinato fluido idealmente suddiviso in strati strati paralleli tra loro (regione piana di flusso) strati concentrici tra loro (moto in tubazioni, moto rotazionale in geometrie cilindriche), …
v alta v
y
bassa v x trasporto di quantità di moto secondo x in direzione y da strati ad alta v x a bassa v x in direzione opposta al gradiente di velocità
τyx flusso di quantità di moto (sforzo tangenziale) primo indice: direzione del trasporto di quantità di moto secondo indice: direzione del moto
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI QUANTITA QUANTITA’’ DI MOTO MOTO FLUSSO FLUSSO TRA TRA PIANI PIANI PARALLELI PARALLELI (COUETTE) (COUETTE)
F
v y
A
v x (y )
b x
F costante nel tempo
τyx =
v x (y ) lineare in stato stazionario
sforzo tangenziale costante nel tempo e nello strato piano (flusso di quantità di moto costante)
F A
v
τyx y+Δ y
y
Δy
Δy L x
τyx y
x
Lz
τyx y L x L z − τyx y+Δ y L x Lz = 0 − d dy
d dy
(μ
τyx = 0 d v x dy
)=0
τyx = cost τyx = −μ
d v x
dy fluido Newtoniano
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI QUANTITA QUANTITA’’ DI MOTO MOTO FLUSSO FLUSSO TRA TRA PIANI PIANI PARALLELI PARALLELI (COUETTE) (COUETTE)
d dy
(μ
d v x dy
)=0
= C 1 y + C 2
v x
μ = cost (T = cost) v x = 0 ⇔ y = 0 condizioni al contorno v x = v ⇔ y = b d v x dy
v x
=v
y b
v
= = cost b
flusso prodotto da contorno mobile e da gradiente di pressione (forze di superficie)
τyx y+Δ y
P x
Δy L x
τyx y
P x+ Lx
P x ≠ P x+ Lx
Lz
gradiente di pressione ≈ source / sink
τyx y L x L z − τyx y+Δ y L x L z + P x L z Δ y − P x+ L x L z Δy = 0 −
d τyx dy
−
P x+ L
x
− P x
L x d dy
(μ
d v x dy
=− )=
d τyx dy
ΔP L x
−
ΔP L x
=0
ΔP d d v x ( )= μ dy dy L x
TRASPORTO TRASPOR TRAS PORTO TO MOLECOLARE MOLECOLARE MOLECOLA RE DI DI QUANTITA QUANTITA’’ DI MOTO QUANTITA’ MOTO FLUSSO FLUSSO TRA TRA PIANI PIANI PARALLELI PARALLELI (COUETTE) (COUETTE)
ΔP = y + C 1 μ L x
d v x dy
ΔP y 2 v x = + C 1 y + C 2 μ L x 2 condiz cond izio ioni ni al contorno
=0 ⇔ y =0 v x = v ⇔ y = b v x
ΔP b v x = μ L x 2
2
C 1 C 2
⎡⎛ y ⎞2 y ⎤ y ⎢⎜ ⎟ − ⎥ + v ⎢⎣⎝ b ⎠ b ⎥⎦ b
1
P<0
0.8 0.8 0.6 0.6 y/b 0.4 0.4
P<0
0.2 0.2 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
v(y) / v
velo ve loci cità tà me medi dia a portata volumetrica
ΔP b2 v v x = − + 12μ L x 2 3 ΔP L zb v v x L zb = − + L zb 12μ L x 2
TRASPORTO TRASPOR TRAS PORTO TO MOLECOLARE MOLECOLARE MOLECOLA RE DI DI QUANTITA QUANTITA’’ DI MOTO QUANTITA’ MOTO FLUSSO FLUSSO SU SU SUPERFICI SUPERFICI flus fl usso so pr prod odot otto to da dall ca camp mpo o gr grav avit itaz azio iona nale le (forze (fo rze di vol volume ume)) esem es empi pio: o: fl flus usso so di co cond nden ensa sato to su su supe perf rfic icie ie ci cililind ndri rica ca in co cond nden ensa sato tore re (l (lat ato o ma mant ntel ello lo))
r z
R L
τrz r
τrz r +Δr
δ f
forrza peso = source fo
r r+Δr
τrz r • 2πrL − τrz r +Δr • 2π(r + Δr ) L + ρg z • 2πr ΔrL = 0 −
1 d
(r τrz ) + ρg z = 0 r dr ρg z r C 1
τrz =
2
condizione all’in all ’inter terfac faccia cia fil film/g m/gas as
C 1 = −
+
r
τrz = 0
ρg z 2
per r = R + δ f
( R + δ f ) 2
TRASPORTO TRASPOR TRAS PORTO TO MOLECOLARE MOLECOLARE MOLECOLA RE DI DI QUANTITA QUANTITA’’ DI MOTO QUANTITA’ MOTO FLUSSO FLUSSO SU SU SUPERFICI SUPERFICI
τrz = −μ
d v z
=
ρg z
(r −
( R + δ f )2
)
2 r 2 ( ) g R ρ + δ ρg z 2 z f v z = − ln r + C 2 r + 4μ 2μ dr
condizione all’inter all’ interfacci faccia a film/p film/paret arete e
vz = 0 per r = R
2 ( ) g R ρ + δ r ρg z R ⎛ r 2 ⎞ z f v z = ln ⎜1 − ( ) ⎟ + 4μ ⎝ R ⎠ 2μ R 2
r/R
1
1.0025 1.005 1.0075
1.01
0 1 2 v
3 4 5 6
R
R + δf
TRASPORTO TRASPOR TRAS PORTO TO MOLECOLARE MOLECOLARE MOLECOLA RE DI DI QUANTITA QUANTITA’’ DI MOTO QUANTITA’ MOTO FLUSSO FLUSSO IN IN TUBI TUBI
r
τrz r +Δr
ϑ P z
flusso flus so pr prod odot otto to dal camp campo o grav gravitazi itazional onale e e da da fo forz rze e di pr pres essi sion one e
flusso laminare sviluppato, stazionario e isotermo
τrz r
z
Δz
P z +Δz
τrz r • 2π r Δz − τrz r +Δr • 2π (r + Δr ) Δz + P z • 2π r Δr − P z +Δz • 2π r Δr + ρg sin ϑ • 2π r Δr Δz = 0 fluido flu ido inc incom ompri primib mibile ile
τrz r • 2π r Δz − τrz r +Δr • 2π( r + Δr ) Δz + P z • 2π r Δr − P z +Δz • 2π r Δr + ρg sinϑ • 2π r Δr Δz +
(2 π r Δr v z )(ρv z ) z =0 − (2 π r Δr v z )(ρv z ) z =L = 0
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI QUANTITA QUANTITA’’ DI MOTO MOTO FLUSSO FLUSSO IN IN TUBI TUBI flusso prodotto dal campo gravitazionale e da forze di pressione
r
τrz r +Δr
ϑ P z
flusso laminare sviluppato, stazionario e isotermo
τrz r
z
Δz
P z +Δz
τrz r • 2π r Δz − τrz r +Δr • 2π (r + Δr ) Δz + P z • 2π r Δr − P z +Δz • 2π r Δr + ρg sin ϑ • 2π r Δr Δz = 0 (r τrz ) r − (r τrz ) r +Δr
Δr
+ r
P z − P z +Δz
Δz
+ r ρ g sin ϑ = 0
pressione modificata: somma degli effetti della pressione e del campo gravitazionale
℘= −P + ρg sin ϑ z Δ℘=℘z +Δz −℘z =- P z +Δz + P z + ρg sin ϑ Δz (r τrz ) r − (r τrz ) r +Δr
Δr
Δ℘ + r =0 Δz
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI QUANTITA QUANTITA’’ DI MOTO MOTO FLUSSO FLUSSO IN IN TUBI TUBI
d (r τrz ) d ℘ − + r =0 dr dz 1 d (r τrz ) Δ℘ d ℘ − =− =− r dr dz L Δ℘ r C 1 τrz = + L 2 r condizione sull’asse: r = 0
τrz =
C 1 = 0
τrz = finito
Δ℘ r
dv z = −μ L 2 dr
Δ℘R 2 ⎛ r 2 ⎞ v z = ⎜1 − ( ) ⎟ 4μL ⎝ R ⎠ Q = 〈 vz 〉 πR
2
πΔ℘R = ∫0 vz • 2πr dr = 8μL R
4
equazione di Hagen - Poiseuille
Δ℘R 2 v z ,max 〈v z 〉 = = 8μL 2
vz /vz max
r/R
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI QUANTITA QUANTITA’’ DI MOTO MOTO FLUSSO FLUSSO IN IN TUBI TUBI
τrz
distribuzione radiale dello sforzo tangenziale fluidi newtoniani
μ1
μ2 (< μ1 )
dv z dr 2
fluidi non newtoniani
1 : pseudoplastico 2 : dilatante
dv z dr 1
distribuzione radiale del gradiente di velocità v z
distribuzione radiale del gradiente di velocità v z
1
2
distribuzione radiale della velocità
1
2
distribuzione radiale della velocità
TRASPORTO TRASPORTO MOLECOLARE MOLECOLARE DI DI QUANTITA QUANTITA’’ DI MOTO MOTO FLUSSO FLUSSO IN IN TUBI TUBI fluidi newtoniani e non:
τrz
dv z τrz = −μ dr
dv z τrz ≠ −μ dr
τrz funzione lineare e non di
τrz
dv z dr
dv z dr dv z dr
gradiente di velocità: profilo lineare e non
v z
velocità: profilo parabolico e non
Q andamento lineare e non della portata in funzione della perdita di carico P
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO METODI METODI DI DI CALCOLO CALCOLO TEORICO TEORICO E E CORRELAZIONI CORRELAZIONI proprietà di trasporto: valori numerici approcci teorici
metodi ‘predittivi’
dati sperimentali
equazioni di correlazione
possibilità di previsione teorica legate alla congruità del modello fisico
gas diluiti (bassa densità)
liquidi
viscosità conducibilità termica diffusività
viscosità
teoria elementare dei gas teoria di Chapman Enskog
teoria di Eyring
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO VISCOSITA VISCOSITA’’ DI DI GAS GAS DILUITI DILUITI
teoria cinetica elementare dei gas molecole = sfere rigide distanza intermolecolare media >> diametro molecolare d (assenza di interazioni)
Γ
potenziale di interazione vs distanza ‘hard sphere’ potential
d
r
dalla teoria cinetica:
8k T
=
u
πm 1
Z = nu 4 1
λ=
2πd n 2
a=
2
3
λ
velocità media frequenza di attraversamento di un’area unitaria (n: densità numerica molecolare) cammino libero medio molecolare distanza media tra due collisioni in una data direzione
analisi del trasporto di quantità di moto tra strati a differente velocità
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO VISCOSITA VISCOSITA’’ DI DI GAS GAS DILUITI DILUITI
y+a
y
vx(y)
y
a
x
y-a
in presenza di un gradiente di velocità secondo y: trasferimento netto di quantità di moto attraverso il piano y (differente scambio dai piani y-a e y+a )
τyx = Z • mv x y −a − Z • mv x y +a v x y −a v x y +a
2 dv dv x = v x y − a = v x y − λ x dy 3 dy dv x 2 dv = v x y + a = v x y + λ x dy 3 dy
dv x τyx = − n mu λ dy 3 dv x τyx = − μ dy
dv x <0 dy
1
μ=
2 3π
previsione teorica
μ ≠ f (P)
μ ∝ T 0.5
3
μ=
1 3
n mu λ =
1 3
ρu λ
mk T 2
d 2 andamenti reali
μ ≠ f (P)
per P < 10atm
μ ∝ T 0.7
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO CONDUCIBILITA CONDUCIBILITA’’ TERMICA TERMICA DI DI GAS GAS DILUITI DILUITI
k =
1
k 3T
2
π3m
d
k ≠ f (P )
k ≠ f ( P) per P < 1 − 2 atm
k ∝ T 0.5
k ∝ T n>0.5
k =
1
k 3T
2
πm
d
μ=
3
2 3π
3
mk T 2
d 2
~ k 3 k 3 k N 3 R = = ~= μ 2 m 2 m N 2 M dalla definizione della capacità termica a volume costante e dalla teoria cinetica elementare (l’energia molecolare è legata al solo moto di traslazione delle molecole)
∂U ⎞ ~ d ⎛ 1 2 ⎞ ~ d ⎛ 3 ⎞ 3 ~ 3 ⎛ C V ≡ ⎜ ⎟ = N ⎜ mu ⎟ = N ⎜ k T ⎟ = k N = R dT ⎝ 2 dT ⎝ 2 ⎠ 2 2 ⎝ ∂T ⎠V ⎠ k C V
μ
=
M
= cV
secondo la teoria cinetica elementare dei gas le due proprietà di trasporto sono correlate tra loro attraverso il calore specifico a volume costante
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO COEFFICIENTE COEFFICIENTE DI DI DIFFUSIONE DIFFUSIONE DI DI GAS GAS DILUITI DILUITI per una miscela binaria A-B
D AB d AB
=
k 3
2 3 d AB
2
3 / 2
T
π3m AB
1 ⎛ 1
1
1
2
m AB
= (d A + d B ) D AB ∝ T 1.5
P
1 ⎞
= ⎜⎜ + ⎟⎟ 2 ⎝ m A m B ⎠
D AB ∝ P −1
dipendenza differente da temperatura e pressione rispetto alle altre due proprietà di trasporto
k e μ legate alle collisioni molecolari diffusività D AB legata al moto netto delle molecole (sfavorito dalla densità numerica di molecole (P)
D AB ∝
T 3 / 2 P
P = c R T = n k T
D AB ∝
T 1 / 2 n
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO E E POTENZIALI POTENZIALI DI DI INTERAZIONE INTERAZIONE potenziali di interazione interatomici e intermolecolari
potenziali di interazione interparticellari
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO TEORIA -ENSKOG TEORIA DI DI CHAPMAN CHAPMAN-ENSKOG teoria rigorosa di Chapman-Enskog per gas monoatomici a bassa densità basata sui potenziali di interazione intermolecolare
Γ
Γ/ sostituito da
1 0.8 0.6 0.4
r/ σ
0.2 0
d
r
-0.2 0
1
2
3
-0.4
⎡⎛ σ ⎞12 ⎛ σ ⎞6 ⎤ Γ(r ) = 4ε ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠ ⎥⎦
potenziale di Lennard-Jones
d diametro molecolare sostituito da diametro di collisione
σ
, σ da tabelle o stimata da proprietà critiche (o altre)
ε k
= 0.77 T c
σ = 0.841 V c1 / 3
dal calcolo del contributo delle interazioni intermolecolari: valori di fattori correttivi integrali di collisione Ωμ , Ωk , ΩD
Ωμ , Ωk , ΩD :
funzioni della temperatura
correzioni nelle dipendenze delle proprietà di trasporto dalla temperatura
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO TEORIA -ENSKOG TEORIA DI DI CHAPMAN CHAPMAN-ENSKOG
μ=
2 3π
k =
D AB
=
mk T
3
2
d
k 3T
2
πm
2 3 d AB
2
μ = 2.669 10
2
1 d
−8
−23
k = 2.62 10
3
k 3
T 3 / 2
π3m AB
P
D AB
−3
= 1.8824 10
σ AB = μ
in Pa s k in W / m • K 2 D AB in m / s
Ωμ = Ωk
1 2
(σ A + σ B )
funzioni di
ε
σ2Ωμ T M σ 2Ωμ
⎛ 1 1 ⎞ 3 ⎜⎜ ⎟⎟ T + ⎝ M A M B ⎠ 2 P σ ABΩ D ε AB = ε Aε B
T in K P in kPa σ in nm
k T
MT
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO NUMERO NUMERO DI DI PRANDTL PRANDTL confronto tra trasporto molecolare di quantità di moto e trasporto molecolare di energia: confronto tra diffusività (numero di Prandtl)
μ ν ρ μ cP Pr = = = = α k k ρcP Pr =
μ cP k
diffusività di quantità di moto diffusività termica
5 R
=
cP cV
=
dalla teoria cinetica: stesso valore di Pr per i gas monoatomici indipendente da T
2 M = 5 3 R 3 2 M
dalla teoria di Chapman-Enskog:
k
μ
=
5 2
Pr =
cV
2 cP 5 cV
=
2 3
secondo una correzione semiempirica (Eucken) che tiene conto delle altri componenti di moto (vibrazionali e rotazionali):
5 R ⎞ ⎛ = ⎜ cP + ⎟ μ ⎝ 4 M ⎠ k
cP
Pr =
= cP (T) →
T (°F)
aria
N2
0
0.721
200 600
C P C P + 1.25R
Pr = Pr (T) O 2
CO 2
0.719
0.718
0.792
0.654
0.690
0.703
0.730
0.680
0.686
0.688
0.700
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO DI DI LIQUIDI LIQUIDI E E SOLIDI SOLIDI viscosità di liquidi: sistemi Newtoniani e non liquidi omogenei semplici, soluzioni polimeriche e sistemi dispersi a basso contenuto di polimero o di fase dispersa la viscosità dipende solo da T e P e segue la legge di Newton sistemi Newtoniani sistemi non Newtoniani
sistemi polimerici (soluzioni concentrate, gel, fusi) sistemi dispersi concentrati (sospensioni, emulsioni, schiume) cristalli liquidi (polimerici e non) la viscosità dipende non solo da T e P ma anche dal gradiente di velocità e dal tempo
da sviluppi teorici (Eyring) e dai dati sperimentali: viscosità di liquidi Newtoniani funzione fortemente decrescente con T
B μ = A exp T
valida per T distanti da T c
A e B da tabelle (Reid-Prausnitz-Poling), da correlazione di dati, da relazioni teoriche approssimate
A =
Nh V
B = 3.8 T b
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO DI DI LIQUIDI LIQUIDI E E SOLIDI SOLIDI
sistemi polimerici soluzioni associative
fusi, soluzioni ordinarie
gel polimerico (agarosio)
gel chimici
gel fisici
gel polimerico (actina)
sistemi cristallini micellari
PROPRIETA PROPRI PRO PRIETA ETA’’ ’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO TRASPO RTO DI DI LIQUIDI LIQUIDI E E SOLIDI SOLIDI
kaolin
carb ca rbon on bl blac ackk
fum fu med si sili lica ca
mult mu ltiw iwal alll ca carb rbon on na nano notu tube be
red blood cells
PROPRIETA PROPRI PRO PRIETA ETA’’ ’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO TRASPO RTO DI DI LIQUIDI LIQUIDI E E SOLIDI SOLIDI
maionese: evoluzione della struttura in fase di preparazione
water/crude oil
doub do uble le em emul ulsi sion on
maggior emulsionante
10
μm
emulsione cosmetica inversa
10
μm
PROPRIETA PROPRI PRO PRIETA ETA’’ ’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO TRASPO RTO DI DI LIQUIDI LIQUIDI E E SOLIDI SOLIDI cond co nduc ucib ibililit ità à te term rmic ica a di liliqu quid idi i grandezz grand ezza a di non non facile facile misur misura a spe sperim rimen ental tale e (eff (e ffet etti ti le lega gati ti a mo moti ti co conv nvet etti tivi vi na natu tura ralili)) approc appr occi cio o te teor oric ico o di Bri Bridg dgma man n per per liqu liquid idii pu puri ri (mod (m odel ello lo fi fisi sico co:: re reti tico colo lo cu cubi bico co cr cris ista tallllin ino) o) N 2 / 3 k = 2.8 ( ) k vs V cond co nduc ucib ibililit ità à k pro propo porz rzio iona nale le al alla la ve velo loci cità tà de dell suo suono no v s
vs =
C
⎛ ∂P ⎞ ≅ ⎛ ∂P ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ C ⎝ ∂ρ ⎠T ⎝ ∂ρ ⎠T V P
altre altr e re rela lazi zion onii em empi piri rich che e in manuali manuali (Rei (Reid-Pr d-Prausn ausnitz-P itz-Polin oling) g)
cond co nduc ucib ibililit ità à te term rmic ica a di solid solidi i correl cor relazi azion one e con con conduc ducibi ibilit lità à ele elettr ttrica ica in co condu ndutto ttori ri ele elettr ttrici ici equazion equa zione e di Wie Wiedema demann-F nn-Franz ranz-Lor -Lorenz enz
k k eT
= L = 22 ÷ 29 • 10−9 volt2 / K 2
conduc cond ucib ibililit ità à te term rmic ica a e diffu diffusi sivi vità tà in sol solid idi i lega le gate te all alle e ca cara ratt tter eris isti tich che e de delllla a st stru ruttu ttura ra ( amo amorf rfa a / cri crist stal allilina na ) ( isot isotro ropa pa / anis anisot otro ropa pa ) ( grad grado o di ete etero roge gene neit ità à in mat matri rici ci co comp mpos osit ite e)
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO DI DI LIQUIDI LIQUIDI E E SOLIDI SOLIDI diffusività di liquidi teoria idrodinamica di Nerst-Einstein (moto equivalente di una sfera A in un liquido viscoso B) (condizioni di ‘creeping flow’) u A D AB = k T F A
D AB
= k T
1
D AB = k T
6πμ B R A
dimensioni differenti delle molecole A e B
1 4πμBR A
dimensioni eguali delle molecole A e B
relazione empirica di Wilke-Chang −16
D AB =1.17 • 10 2
D AB in m / s μ B in Pa s
ψB
T
ψ B M B
μ BV A0.6
T in K 3 V A in m / kg mol
parametro di associazione (1: solventi non associati, 1.5: etanolo, 2.6: acqua)
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO DI DI MISCELE MISCELE GASSOSE GASSOSE viscosità e conducibilità termica di miscele gassose (bassa densità) n xiμi 2 1 / 2 1 / 4 μ= ⎡ ⎛ μ ⎞ ⎛ M ⎞ ⎤ n j i ⎟ i =1 ⎜ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ 1 + x j φij ⎜ ⎟ ⎜ μ j ⎟ ⎝ M i ⎠ ⎥ ⎢ j =1 ⎝ ⎠
∑
k =
n
∑ i =1
∑
φ ij
xi k i
=⎣
⎦
1 / 2
⎡ ⎛ M i ⎞⎤ ⎢8 ⎜⎜1 + ⎟⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ M j ⎠⎥⎦
n
∑ x φ j
ij
j =1
miscela binaria
x 1μ1 x 2μ2 μ= + x 1 + x 2φ12 x 2 + x 1φ21
μ1 M 2 φ12 = φ21 μ2 M 1
viscosità di miscele liquide (equazione di Grunberg-Nissan)
ln μ =
n
n
n
∑ x lnμ + ∑∑ x x G i
i =1
i
i j ij
i =1 j ≠i
Gij calcolabile con un metodo basato sui contributi di gruppo miscela binaria
ln μ = x 1 ln μ1 + x 2 ln μ2 + G12 x 1 x 2
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO PREVISIONE PREVISIONE DELLA DELLA VISCOSITA VISCOSITA’’ (NEMD) (NEMD)
United Atom version of the TRAnsferable Potentials for Phase Equilibria (TraPPE-UA)
Reverse Non Equilibrium Molecular Dynamics (RNEMD)
1,2-butanediol 1,3-butanediol 1,4-butanediol 2-methyl-1,3-propanediol 1,2,4-butanetriol
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO DATI DATI DA DA LETTERATURA LETTERATURA
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO DATI DATI DA DA LETTERATURA LETTERATURA
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO DATI DATI DA DA LETTERATURA LETTERATURA
PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO DATI DATI DA DA LETTERATURA LETTERATURA
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PROPRIETA PROPRIETA’’ DI DI TRASPORTO TRASPORTO DATI DATI DA DA LETTERATURA LETTERATURA
FLUIDI FLUIDI NON NON NEWTONIANI NEWTONIANI sistemi polimerici sospensioni e emulsioni concentrate schiume cristalli liquidi
η = η(T , P, xi , γ&, t ) d v x γ& ↔ dy
tipi di comportamento in flusso laminare . . (dipendenza di η da γ, dipendenza di τyx da γ )
τyx
a: Newtoniano b: pseudoplastico c: plastico d: dilatante
log η
c
b a d
c
γ& b a d
log γ&
FLUIDI FLUIDI NON NON NEWTONIANI NEWTONIANI EQUAZIONI EQUAZIONI COSTITUTIVE COSTITUTIVE equazioni costitutive per . fluidi non Newtoniani . (dipendenza di η da γ, dipendenza di τyx da γ ) legge di potenza (power law)
τ yx = −m
d v x
n −1
dy
d v x
η = m γ& n−1
= m γ& n
dy
pseudoplastico: n < 1, dilatante: n > 1
γ& ≥ 0
modelli plastici
per τ yx ≥ τ0
modello di Bingham
τ0 η = + η p γ&
d v x τyx = τ0 − η p = τ0 + η p γ& dy modello di Herschel-Bulkley
τ yx = τ0 − m
d v x dy
n −1
d v x dy
modello di Cross
= τ0 + m γ&
n
τ0 η = + m γ& n−1 γ&
η0 − η∞ η = η∞ + 1−n & 1 + (λγ) η0 = lim η & γ →0
η∞ = lim η & γ →∞
FLUIDI FLUIDI NON NON NEWTONIANI NEWTONIANI EQUAZIONI EQUAZIONI COSTITUTIVE COSTITUTIVE microemulsione O/W: crescente carattere pseudoplastico per aggiunte crescenti di Carbopol 1000000 2%
10000
1% 0.5%
100 viscosità (Pa.s) 1
0.375% 0.25% microemulsione
0.01 0.000001
0.0001
0.01
1
100
velocità di deformazione (s-1)
10000
FLUIDI FLUIDI NON NON NEWTONIANI NEWTONIANI EQUAZIONI EQUAZIONI COSTITUTIVE COSTITUTIVE microemulsione O/W – 1% Carbopol: confronto con modelli
log η power law Cross Herschel -Bulkley
log γ &
