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En el caso especial cuando la amplicación de la estructura con desplazamiento lateral ∆ B2) ≤ 1.1, se permite realizar el diseño del marco usando K =1.0 =1.0 2°orden /∆ 1er orden ,(o B para las columnas, tal como se estipula en la cláusula (4). Al limitar la amplicación de laestructuracondesplazamientolateral(onivel)aunmáximode B laestructuracondesplazamientolateral(onivel)aunmáximode B2 =1.1,selimitael errordelladoconservadoraunmáximodeaproximadamente6porcientoenelplanode vericación de la resistencia de la viga-columna del Capítulo H (White y Hajjar, 1997). LosmarcosarriostradospuedenserdiseñadosentodosloscasossobrelabasedeK=1.0.
2b.
Diseño mediante Análisis de Primer Orden Estasecciónentregaunmétodoparaeldiseñodemarcosusandoanálisiselásticodeprimer ordencon K = K = 1.0, condicionado a un factor de amplicación por desplazamiento lateral ∆ 2°orden/∆ 1er orden ≤ 1.5 (o B2 ≤ 1.5 determinado de acuerdo con el procedimiento de amplicar el análisis elástico de primer orden de la Sección C2.1) y cuando la resistencia rerequeridaacompresióndetodoslosmiembros queridaacompresiónde todoslosmiembrosqueformanpartedel queformanpartedelmarcoresistenteacar marcoresistenteacargas gas laterales (distinto de aquellos miembros enrejados cuya rigidez a exión exión fue despreciada enelanálisis)cumplecon α P r <0.5 P y .Todaslascombinacionesdecargadebenincluir unacargalateraladicional, N unacargalateraladicional, N i, especicada mediante la ecuación C2-8, que debe aplicarse encombinaciónconotrascar encombinaciónconotrascargasencadaniveldelaestructura gasencadaniveldelaestructura.Debetenersepres .Debetenersepresenteque enteque lacargadebeaplicarseindependientementeendosdireccionesortogonalesdelaestructura. Sieldesplazamientolateralocurredebidoalascargasgravitacionales,entonceslacarga mínima deberá aplicarse en la dirección del desplazamiento relativo. Esta ecuación deriva delMétodoDirectodeAnálisis,talcomoseindicaenelcomentarioalAnexo7.Estábasadaensuponerunvalor ∆ 2°orden/∆ 1er orden(o B B2)de1.5.Laexcentricidadinicialno esnecesarioincluirlaenelcálculode ∆.LaecuaciónC2-8estábasadaenlacláusuladel Anexo 7 que permite aplicar una carga virtual (“notional”) como carga lateral mínima en las combinacionesdecargasquesonexclusivasdecar combinacionesdecargas quesonexclusivasdecargasgravitacionalesynoencom gasgravitacionalesynoencombinación binación conotrascargaslateralescuando∆ 2°orden /∆1er orden ≤ 1.5 (o B2 ≤ 1.5). El valor mínimo de N N ide0.0042Y de0.0042Y iestábasadoenlasuposi estábasadoenlasuposicióndeunarazóndedespl cióndeunarazóndedesplazami azamientolat entolateral eral de primer orden mínima para cualquier efecto de ∆/ L=0.002.Debehacersenotarque L=0.002.Debehacersenotarque el límite máximo de desplazamiento relativo corresponde a las combinaciones para dede terminarlasresistenciasusadasporelmétodoLRFDo1.6veceslascombinacionespara determinarlasresistenciasusadasporelmétodoASD,loquepuedesuponersealiniciar elprocesodediseñoparadeterminarlacargalateralvirtualadicional N i .Enlamedida quenoseexcedelarazóndedesplazamientorelativoencualqui quenoseexcedelarazónde desplazamientorelativoencualquierniveldecargasresiserniveldecargasresistentes,eldiseñoseráconservador.
La amplicación de los momentos en vigas-columnas para la condición sin despladespla zamiento es presentada en el procedimiento especicado en esta sección mediante la aplicacióndelfactor B aplicacióndelfactor B1delaSecciónC2.1enformaconservadoraparaeltotaldelos momentosdelosmiembros.Enmuchosdeloscasosqueinvolucranvigas-columnasque no están sometidas a carga transversal entre apoyos en el plano de exión, B exión, B1 =1.0.Al nal del Anexo 7 se presenta una explicación más detallada de este procedimiento de diseñobasadoenanálisisdeprimerorden.
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Determinación del Factor K de Longitud efectiva o la Tensión de Pandeo de Columna F e . Haydosusosparaelfactordelongitudefectiva, K, en esta Especicación: (1) Análisis de Primer Orden Amplifcado. K seusaparaladeterminacióndela cargadepandeoelástico, P e1, si se trata de un miembro o ∑ P e2 si se trata de un entrepiso de un edicio, para el cálculo de los factores de amplicación co rrespondientesa B1y B2 comopartedelProcedimientodeAnálisisElásticode Primer Orden Amplicado de la Sección C2.1b; y (2) Resistencia al Pandeo por Flexión de una Columna, P n. K seusaenladeterminación de la resistencia a pandeo por exión de una columna, P n,dadaenel Capítulo E, la cual puede estar basada ya sea en un análisis de pandeo elástico o inelástico. Cadauno deestos usosesdiscutidoen detallea continuación. Laseccióncomienza sinembargo,conunadiscusióndelosfundamentosdelfactordelongitudefectiva, K , y algunas metodologías tradicionales usadas en la determinación de K ,conocidascomo nomogramasocartasdealineación. Metodologías Tradicionales para el Cálculo de K – Nomogramas. Unaampliavariedaddemétodoshansidopropuestosenlaliteraturatécnicaparaelcálculodelfactor delongitudefectivadecolumnas, K (Kavanagh,1962;Johnston,1976;LeMessurier, 1977;ASCETaskCommitteeonEffectiveLength,1997;WhiteyHajjar,1997a).El rango varía desde idealizaciones de columnas simples tales como las mostradas en la Tabla C-C2.2 hasta soluciones complejas de marcos para condiciones especícas de carga.Enalgunosmarcos,losfactores K puedenserestimadosocalculadosfácilmente ysirvencomounaherramientaconvenienteparaeldiseñoporestabilidad.Enotrotipo deestructurasladeterminacióndefactores K másprecisospuederesultartediosacuando selasrealizamedianteprocedimientosmanuales,ylaestabilidaddelsistemapuedeser determinada más ecientemente sin considerar en absoluto, los valores K delosmiem bros.Esteúltimoprocedimientoespresentadoconmásdetalleenestasección.
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TABLA C-C2.2 Valores Aproximados del Factor de Largo Efectivo, K La geometría deformada se muestra en línea discontinua
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Valor teórico de K
0.5
0.7
1.0
1.0
2.0
2.0
0.65
0.80
1.2
1.0
2.10
2.0
Valor recomendado para condiciones aproximadas Vínculo en el extremo
Restricción al la l rotación y desplazamiento i i l i i Rotación libre al desplazamiento i li i i l - l restricción i i i i i li Restricción a lrotación – desplazamiento libre
i l i li Rotación y traslación libres
Elmétodomáscomúnparadeterminar K esmedianteelusodenomogramas,estosse muestranenlaFiguraC-C2.3paramarcoscondesplazamientolateralrestringidoyen laFiguraC-C2.4paramarcoscondesplazamientolateralpermitido(Kavanagh,1962). Lassubestructurasenlascualessebasanlosnomogramasocartasdealineación,están basadas en la gura mostrada junto con el nomograma. Estas cartas suponen condicionesidealizadasquerarasvecessepresentanenlasestructurasdelarealidad.Estas hipótesis son del siguiente tipo: 1. 2. 3. 4.
5.
6. 7. 8. 9.
Comportamientoelástico. Miembrosdeseccióntransversalconstante. Uniones rígidas. Enelcasode columnasdemarcos con desplazamientolateralrestringido, las rotacionesaladosopuestosdelasvigas,sonigualesenmagnitudydedirección opuesta, produciendo exión en curvatura simple. Enelcasodecolumnasdemarcoscondesplazamientotransversallibre,lasrotacionesenlosextremosdelasvigas,sonigualesenmagnitudydirección,produciendo exión en doble curvatura. Elparámetroquemidelarigidez L P / EI detodaslascolumnaseselmismo. Larestriccióndelasconexionessedistribuyesobreybajolacolumnaenproporcióna EI / Lparalasdoscolumnas. Todaslascolumnaspandeansimultáneamente. No hay una compresión axial signicativa en las vigas.
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El nomograma para marcos restringidos que se muestra en la gura C-C2.3 esta basado en la siguiente ecuación:
GA + GB π K 2tg ( π 2 K ) + + −1= 0 1− K tg ( π K ) π K 2 2
G AGB π 4
P
θB
c1
θ A
θ A
A
b1
b2
θ A
θ A
c2 b3 θB
θB
θB
B
b4
θB
c3
θ A
P
Fig. C-C2.3 Nomograma - desplazamiento restringido (marco arriostrado) ∆
∆P
θB
c1
b1
θ A
θ A
A
θ A
b2
θ A
c2
θB θB
θB
b3
θB
B
c3
θ A
P∆
Fig. C-C2.4 Nomograma – desplazamiento permitido (marco rígido)
b4
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El nomograma para marcos libres lateralmente que se muestra en la gura C-C2.4 está basado en la siguiente ecuación: G G A
π B(
K )
2
− 36
6 ( G A + GB ) donde
G
=
−
( π K ) tg( π / K )
=0
Σ( Ec I c / Lc ) Σ( EI / L)c = Σ( E g I g / Lg ) Σ( EI / L) g
Los subíndices Ay B se reeren a las uniones en los extremos de la columna que está siendo considerada. El símbolo ∑ indica suma de todos los miembros que se encuentran unidos rígidamente a la unión y que están en el plano en el cual el pandeo de la columna estásiendoconsiderado. E ceselmódulodeelasticidaddelacolumna, I ceselmomento deinerciadelacolumnay Lcesellargonoarriostradodelacolumna.Egeselmódulo deelasticidaddelaviga, I g eselmomentodeinerciadelavigay L g esellargonoarriostradodelavigaodeotromiembroqueofrezcarestricción. I ce I g sonrespectodelos ejesperpendicularesalplanodepandeodelmiembroqueestásiendoconsiderado.El nomogramaesválidoparadiferentesmaterialescuandoseusaunarigidezefectiva, EI , apropiadaenloscálculosdeG. Para columnas apoyadas en sus extremos, pero no rígidamente conectadas a una zapata ofundaciónG es teóricamente innito pero a menos que se diseñe como rótula perfecta, puedeadoptarseelvalor10paraeldiseño.Valoresmáspequeñospuedenusarsesiseles justica mediante análisis. Losvaloresteóricosde K ,obtenidosdenomogramas,paradiferentescondicionesidealizadasenlosextremos,rótulaoempotramientoparaefectosdelarotaciónytraslación ja o permitida, se muestran en la Tabla C-C2.2 junto a recomendaciones prácticas para eldiseño. Esimportanterecordarquelosnomogramasestánbasadosenlascondicionesidealizadaspreviamentediscutidasyqueestascondicionesraravezsedanenlasestructuras reales.Enconsecuencia,cuandosedeseausarlosnomogramasynoesposiblerespetar dichascondicionesserequieredeajustesparalaaplicacióncuandosetratadeestructuras con nudos desplazables y condiciones reales en los vínculos. 1. Paraconsiderarlainelasticidaddelas columnasdebereemplazarse( E c I c)por a ( E c I c)paratodaslascolumnasenlasexpresionesparaG AyG B.Elfactorde reducción asediscutemásadelanteenestasección. 2. Para vigas que toman cargas axiales signicativas, debe multiplicarse el ( EI / L) g porelfactor(1-Q/Qcr )dondeQeslacargaaxialenlavigay Qcr eslacargade pandeoenelplanodelavigabasadaenK=1.0.
τ
τ
Enel caso demarcos impedidos dedesplazar lateralmente,pueden realizarse ajustes para diferentes condiciones en los extremos de las vigas, de la siguiente manera: 1. Cuando el extremo lejano de una viga es jo, debe multiplicarse ( EI/L) g del miembropor2.0.
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2. Cuandoelextremolejanodeunavigaesrotulado,debemultiplicarse( EI/L) g delmiembropor1.5. Para marcoslibres dedesplazarseyvigascon diferentes condicionesdeborde,debe usarse un largo modicado de viga; L' g enlugardellargoreal,donde
L' /M g = L g (2- M F N ) M F eselmomentoenelextremolejanodelavigay M N eselmomentoenelextremo cercano,obtenidosdeunanálisislateraldeprimerordendelmarco.Larazóndelosdos componentesespositivasilavigaestá endoble curvatura. Silarelación M /M F N es mayorque2.0,entonces L' g esnegativo,delocualresultaGnegativoydebenusarse losnomogramas. 1. Cuando el extremo lejano de una viga es jo, debe multiplicarse ( EI/L) g del miembropor2/3. 2. Cuando elextremolejanodeuna vigaes rotulado, debemultiplicarse( EI/L) g delmiembropor0.5. Unahipótesisimportanteeneldesarrollodelosnomogramasesquetodaslasconexionesviga-columnadebensercompletamenterestringidas(conexionesFR).Talcomose mostróanteriormentecuandoelextremolejanodeunaviganotieneunaconexióntipo FR,deacuerdoconlosupuesto,esnecesariorealizarajustesparaaplicarlosnomogramas.Cuandounaconexiónviga-columnaesdeltipodecortesolamente-estoes,no trasmite momento – entonces esa viga no participa en la restricción de la columna y no puede ser considerada en el término ∑ ( EI / L) g delaecuaciónparaG.SololasconexionesdeltipoFRpuedenserusadasdirectamenteenladeterminacióndeG.Conexiones parcialmenterestringidas(deltipoPR) enlascualessedispongadecurvasmomentorotacióndocumentadaspodránserusadas,peroel( EI / L) g decadavigadeberáser ajustado para tomar en cuenta la exibilidad de la conexión. El ASCE Task Committee onEffectiveLength(ASCE,1997)presentaunadetalladadiscusióndelaestabilidadde marcosconconexionesdeltipoPR. Análisis Elástico de Primer Orden Amplifcado (Sección C2.1b).Enestaaplicacióndel factordelongitudefectiva, K se usa para la determinación de la carga crítica de pandeo elástico, P e1, para un miembro o ∑ P e2 para el entrepiso de un edicio. Estas cargas críticas de pandeo elástico son así usadas para el cálculo de los factores de amplicación B1y B2correspondientes.
B1seusaparaestimarlosefectos P - δdemarcossindesplazamientodepiso, M nt en miembrosaxialmentecargados. K 1 es calculado en el plano de exión de acuerdo con la hipótesis de nudos sin traslación en los extremos del miembro y es normalmente jado en 1.0, a menos que un valor menor pueda ser justicado mediante un análisis. Hay tambiénefectos P -δenlosmarcoscondesplazamientodepiso, M lt ,talcomoseexplicó anteriormenteenladiscusióndelaecuaciónC2-6b. B2esusadoparaladeterminacióndelefecto P - ∆ de los diferentes componentes de marcosdemomento,arriostradosy/osistemasdemarcoscombinados(mixtos).Elfactor K 2 se calcula en el plano de exión mediante un análisis de inestabilidad de la estruc-
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turacondesplazamientolateral. K 2puededeterminarsedeunnomogramacondesplazamientolateralpermitido,FiguraC-C2.4,sincorrecciónporpandeodeentrepisocomo se discute más adelante. ∑ P e2delsistemadecolumnasresistentesacargalateralcon K 2calculadodeestamaneraesunestimadorbastanteprecisodelaresistenciaapandeo elásticacondesplazamientodepisospermitido.Lacontribuciónalaresistenciaapandeodelentrepisodelascolumnasestáticasescero,enconsecuencia,dichascolumnasno sonincluidasenlasumatoriaenlaecuaciónC2-6a.Sinembargolacargaverticaltotal, incluyendotodaslascolumnasdelpiso,esusadapara ∑ P e2enlaecuaciónC2-3.
α
Puesto que el análisis elástico de primer orden amplicado implica el cálculo de cargas críticas de pandeo elásticas como una medida de la rigidez del marco y columnas, sólo losfactores K elásticossonapropiadosparaesteuso. Resistencia a Pandeo por Flexión de Columna (Capítulo E). Enestaaplicacióndelos factoresdelongitudefectiva, K seusaparadeterminarlaresistenciadelacolumnaapandeo por exión, P n,lacualpuedeestarbasadaenunanálisisdepandeoelásticooinelástico.
Latensióndepandeoelásticodecolumna, F e,olacorrespondientefuerzaaxialenlacolumnaenelmomentodeocurrirelpandeoelásticodelentrepisocondesplazamientolateralpermitido, P e,puedeserusadadirectamenteenelcálculodelaresistenciaapandeo elástico por exión de la columna, P n.Estoocurreporquelasecuacionesderesistencia de columna del Capítulo E (Ecuaciones E3-2 y E3-3) están expresadas en función de la relación F e/ F y.Dehecho,latensiónaxialdecolumnaenelinstantedeocurrirelpandeo, F e,esdeterminadadecualquiermodeloapropiadodepandeo,estevalorde F eestodo loquesenecesitaparaelcálculode P n. Latensióndepandeo elásticodecolumna, F e,esdadaporlaecuaciónE3-4,quese muestra a continuación: F e
=
π
2
E
KL
r
2
(C-C2-3)
Estaecuaciónusaelfactordelongitudefectiva, K ,determinadamedianteunanálisisde pandeo de un marco arriostrado o de un marco rígido. F e puedeserdeterminadatambién directamentemedianteunaanálisisenelcuallacargadepandeodelacolumnaes P e y
F e
=
P e (C-C2-4) A g
Otras metodologías para la determinación del factor de longitud efectiva y la carga crítica de pandeo usan relaciones simplicadas disponibles en la literatura. Algunas de estas serándiscutidasmásadelanteenestasección. Marcos Arriostrados:Siseusa K <1paraelcálculode P nenmarcosarriostradosde benser consideradas lademandaadicionaldeestabilidaddelosarriostramientosyla inuencia de los momentos de primer orden en las vigas que restringen las columnas. Esta Especicación no está orientada a las demandas adicionales en las arriostramientos cuandoseusa K <1.Generalmente,unanálisiselásticodesegundoordenrigurosoes necesarioparaelcálculodelosmomentosdesegundoordenenlasvigasquerestringen
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columnasdiseñadascon K <1.Enconsecuencia,eldiseñousando K =1esrecomendado, excepto en aquellas situaciones especiales en las cuales se justica el uso de cálculos adicionales. Marcos Rígidos: Es importante reconocer que la inestabilidad de marcos rígidos sin restricciónlateralesunefectodelentrepisoqueinvolucralasumadelasresistenciasal desplazamientolateraldecadacolumnadelentrepisoylasumafactorizadadelascargas gravitacionalesdeeseentrepiso.Noocurrequeunacolumnaaisladapuedapandearcon desplazamientolateralsinquetodaslascolumnasdeeseentrepisotambiénpandeen.Si cada columna en un entrepiso de un marco rígido es diseñada para soportar su propio P ymomento P - ∆,demaneraquelacontribucióndecadacolumnaalarigidezlateral,o alacargadepandeodelpiso,esproporcionalalacargaaxialsoportadaporlacolumna,entoncestodaslascolumnaspandearánsimultáneamente.Bajoestacondiciónnose produceinteracciónentrelascolumnasdelentrepiso;lainestabilidaddelacolumnacon desplazamientolateralylainestabilidaddelmarcoocurrensimultáneamente.Sinembargo muchos sistemas comunes de marco rígido pueden ser utilizados para redistribuir los eféctos P - ∆alascolumnasdelpisoenproporciónasusrigidecesindividuales.Laredistribuciónpuedeseralcanzadaconcomponentescomodiafragmasdepisooenrejados horizontales. En un marco rígido que contiene columnas que contribuyen poco o nada alarigidezaldesplazamientolateraldelentrepiso,talescolumnasserándenominadas columnascolgadasoestáticasysediseñaránusando K =1.0.Lasotrascolumnasde eseentrepisodebenserdiseñadasparasoportarlosmomentosdesestabilizantes P - ∆, productodelascargasaxialesdeestascolumnascolgadas.Deigualformalascolumnas querecibenmáscargaenunentrepiso,redistribuiránsusmomentos P -∆,alascolumnasmenoscargadas.Estefenómenodebeserconsideradoenladeterminaciónde K y F e para todas las columnas en el entrepiso en el diseño de los marcos rígidos. El factor K apropiadoparaelcálculode P n en marcos rígidos que considera estos efectos se denomina por el símbolo K 2. Sereconocendosmétodosparaevaluarlaestabilidaddelentrepisodelmarco,medidos por ∑ P e2 para un entrepiso dado: el Método de la Rigidez de Entrepiso (Le Messurier, 1976;LeMessurier,1977)yelMétododelaCargadePandeodePiso(Yura,1971).Estos métodos se reejan en el Capítulo C, en las ecuaciones C2-6b y C2-6c, respectivamente. Paraelmétododelarigidezdeentrepiso, K 2 se dene por la ecuación:
K 2
=
∑ P
2 EI ∆ H π r ≥ 2 HL L + 0.85 0.15 R L ) P r ∑
π
EI E
2
L2
∆ H (C-C2-5) 1.7 HL
Estevalorde K 2puedeserusadoenlaecuaciónC-C2-3odirectamenteenlasecuaciones del Capítulo E. Es posible que ciertas columnas, que tengan sólo una pequeña contribuciónalaresistenciaacargalateraldelmarcocomountodo,tenganunfactor K 2menor que 1.0 basado en el término de la izquierda de la desigualdad. El límite al lado derecho es un valor mínimo de K 2queconsideralainteracciónentrepandeocondesplazamiento permitidoypandeocondesplazamientorestringido(ASCETaskCommitteeonEffective Length,1997;WhiteyHajjar,1997a).EltérminoHcorrespondealesfuerzodecorteen lacolumnaconsiderada,producidoporlasfuerzaslateralesusadasparacalcular∆ H . Esimportantenotarqueestaecuaciónpara K 2noesapropiadaparaserusadaenlaecua-
