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··· ··· ··· ··· 1 − θn−1 ∆t θn−1 ∆t 0 ··· 0 1 − θn ∆t θn ∆t ··· 0 0 1 − θn+1 ∆t · · ·
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∀ n:
Πn (t + ∆t) − Πn (t) = θn−1 Πn−1 − θn Πn ∆t
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(ii) P [{N t+∆t − N t > 1|N t = n}] = O2 (∆t) ( ∆t → 0) q
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(iii) P [{N t+∆t − N t = 0 |N t = n}] = 1 − θ∆t + O3 (∆t) ( ∆t → 0) q
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··· ··· ··· ··· 1 − θ∆t θ∆t 0 ··· 0 1 − θ∆t θ∆t ··· 0 0 1 − θ∆t · · ·
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⇔ P [{t0 ≤ t < t0 + dt}] = θe−θt dt
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P [{N t+∆t − N t = 0|N t = k }] = 1 − µk ∆t + O2 (∆t)
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P [{N t+∆t − N t = −1|N t = k }] = µk ∆t + O1 (∆t)
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.
.
.
.
.
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⇒ (θj + µj )Πj = θj −1 Πj −1 + µj +1 Πj +1
( j = 0)
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( j = 1) ⇒
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θ1 θ0 Π0 µ2 µ1
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(θ1 + µ1 )
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θ0 Π0 µ1
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j −1
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C j
j =1
1 ↓
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ρj = 1
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ρj
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y
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j =0
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j =0
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= ρ + 2ρ2 + 3ρ3 + . . . − 0 − ρ2 − 2ρ3 − .. = ρ + ρ2 + ρ3 + . . .
⇒
∞
(1 − ρ)S =
∞
ρj =
j =1
⇒
(1 − ρ)S =
⇒ S = e
t
II.8
S = 0 + ρ + 2ρ2 + 3ρ3 + . . . ρS = ρ2 + 2ρ3 + . . .
⇒
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I
I
.
8
L
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j =0
1 −1 1−ρ
1 − (1 − ρ) ρ = (1 − ρ2 ) (1 − ρ)2
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( j − 1)Πj
II.10
j =1
⇔ ∞
∞
Lf =
j =1
o
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II.11
j =1
:
∞
∞
jΠj =
jΠj = L
j =1
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Πj
jΠj −
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j =0
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Πj = 1 − Π0
j =1
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ρ −ρ 1−ρ
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ρ ρ2 − 1−ρ 1−ρ ρ(1 − ρ) =ρ 1−ρ Ls = ρ
II.13
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⇔ III.9
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v
é
r
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e
r
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1 = s!s
θ µ
Π0
:
1 Πn = s!sn−s M
e
III.9 ⇒ e
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⇔ Πn (t) = 0
0 = θΠs−1 − (θ + sµ)Πs + sµΠs+1 t
e
Πs = 0
⇔
e
i
Πs = P
e
u
r
1 Πn = n! e
r
s
n≤s
r
Πn (t) = θΠn−1 (t) − (θ + sµ)Πn (t) + sµΠn+1 (t) ∀ n≥s
Π3
e
i
c
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t
u
n
Π1
e
o
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a
e
= = · ·· =
t
M
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r
r
h
θ µ
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Π0
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⇔
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p
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s
1 + ... n!
1 + s!s
s+1
θ µ
s
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2
1 + ... + s!sn−s
n
θ µ
n≥s
L
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l
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e
n
t
)
s
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(θ/µ)s θ s! 1 − µs
(θ/µ)n + n! n=0
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