Aula 13 Extens˜ oes oes de corpos; corp os; r´ egua egua e compasso (Ant Anterior: erior: grau da result resultante ante.. ) 13.1 13 .1
o grau de uma extens extens˜ ˜ ao ao
1. Defini efini¸ ¸ c˜ cao. a ˜o. Seja L um corpo e seja K um subanel subanel.. Se K L um K ´e um corpo, dizemos que L que L ´e uma extens˜ ao de K e K e que este ´e um subcorpo de L.
⊆
Seja L
⊇ K a o d corpos e seja S ⊆ L um subcon subconjun junto. to. O K uma extens˜ao subcorpo de L men or sub s ubcorp corpoo de L de L contendo contendo K, L gerado por S S sobre K ´ K ´e o menor K, S , denotado K denotado K (S ). A extens˜ao L ao L ⊇ K ´e finitamente gerada gerada se existir existir um subconjunto subconjunto finito ⊆ L tal que L = = K S ⊆ L tal que L K (S ). 2 . exerc exe rc´ ´ıcios. ıci os. 1. Se S Se S = s1 , . . . , sn , escrevemos K escrevemos K (S ) = K = K (s1 , . . . , sn ).
{ } Se f Se f , g ∈ K ao polinˆ omios omios e g e g((s , . . . , s ) = 0, K [[X , . . . , X ] s˜ao 1
1
n
n
ent˜ ent˜ ao ao
f ( f (s1 , . . . , sn )/g( /g(s1 , . . . , sn ) ´e um elemento de K (s1 , . . . , sn), e todo elemento de K (s1 , . . . , sn ) ´e dess de ssaa forma.
√
√
2. Mostre que todo elemento de Q( 2) se escreve na forma a + b + b 2 com a, b Q.
∈
Se L Se L K ´ ´e uma u ma exte ex tens ns˜ao ˜ao de corpos, L corpos, L ´ ´e natu n aturalm ralmente ente um espa¸ esp a¸co co vetorial sobre o corpo K ; a dimens˜ao ao desse espa¸co co ´e chamada o grau de L K , denotado [L [L : K ]; ]; quando finita, dizemos que L K ao finita. K ´´e uma extens˜
⊇
⊇
⊇
2
Extens˜oes de corpos
Evidentemente toda extens˜ao finita ´e finitamente gerada. Vale a rec´ıproca para extens˜oes alg´ebricas que discutiremos a seguir. Seja L K uma extens˜ao de corpos. Dizemos que um elemento α L ´e alg´ebrico sobre K se existir f (X ) K [X ] polinˆomio n˜ao constante tal que f (α) = 0. Equivalentemente, a seq¨uˆencia 1, α , α2 , . . . gera um subespa¸co de L de dimens˜a o finita. Se α n˜ao ´e alg´ebrico, diremos que ´e transcendente . Dizemos que L ao alg´ ebrica se todo α K ´e uma extens˜ L ´e alg´ebrico sobre K .
⊇
∈
∈
⊇
∈
3 . exerc´ıcios.
√ ⊃ Q; idem para Q(√ p) ⊃ Q, p primo. 4 . Proposi¸ c˜ ao. Seja L ⊇ K uma extens˜ ao de corpos e seja α ∈ L . Ent˜ ao o se o subanel K [α] ⊆ L ´ e um subcorpo de L. α ´e alg´ebrico sobre K se e s´ ao Q( 2) 3. Calcule o grau da extens˜
3
e, por defini¸c˜ao, o menor suProva. Observemos logo que o subanel K [α] ´
´ o conjunto formado por todas as combina¸co˜es banel de L contendo K e α. E ´ lineares, a 0 + a1 α + + am αm , de potˆencias de α, com coeficientes em K . E igualmente o conjunto de todos os valores p(α) de polinˆomios p(X ) K [X ] (note que, enquanto X ´e uma indeterminada, α denota o elemento pr´efixado de L.) Suponhamos α alg´ebrico sobre K . Seja y K [α], y = 0. Devemos −1 mostrar que y K [α]. Como K [α] ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita sobre K (pela hip´otese de algebricidade de α sobre K ), existe n 1 tal que 1, y , . . . , yn s˜ao linearmente dependentes. Tomando n m´ınimo, obtemos uma rela¸c˜ao + a1 y + a0 = 0, yn + an−1 y n−1 + com a i K e necessariamente a 0 = 0 (por que?). Da´ı obtemos + a1 ) = a0 y(yn−1 + e portanto, + a1 ) y −1 = ( a0 )−1 (yn−1 + que pertence a K [y] K [α]. Reciprocamente, se K [α] ´e um corpo e α = 0, temos α−1 K [α], i.e., vale uma rela¸ca˜o + a0 α−1 = an αn + com a i K seguindo-se evidentemente que α ´e alg´ebrico sobre K .
···
∈
∈
∈
≥
··· ···
∈
⊆
∈
5 . exerc´ıcios.
− ···
−
···
∈
13.2 o polinˆ omio m´ınimo 4.
3
√ 2 ´e alg´ebrico sobre Q; idem √ 2 + √ 3.
5. Seja L um corpo finito. Mostre que existe um n´ umero primo p e um subcorpo K L isomorfo a Z p . Mostre que a extens˜ao L K ´e alg´ebrica.
⊆
⊇
oes de corpos. Ent˜ ao vale a 6 . Proposi¸ c˜ ao. Sejam M L K extens˜ regra da multiplicatividade dos graus,
⊇ ⊇
[M : K ] = [M : L][L : K ]. Em particular se M finita. Prova. Sejam αi
⊇ L e L ⊇ K s˜ ao extens˜ oes finitas, ent˜ ao M ⊇ L ´e
, y j j ∈J bases de L sobre K e M sobre L. Verificase facilmente que a cole¸c˜ao dos produtos, αi y j (i,j )∈I ×J ´e uma base de M sobre K .
{ }
i∈I
{ }
{ · }
7 . exerc´ıcios. 6. Detalhe a prova acima. 8. Proposi¸ c˜ ao. Seja L K uma extens˜ ao de corpos. Ent˜ ao o subconjunto de L formado pelos elementos alg´ ebricos sobre K ´ e um subcorpo de L.
⊇
Prova. Sejam α, y
∈ L alg´ebricos sobre K . Seja K = K [α]. Ent˜ao K ⊇ K ´e uma extens˜ao finita. Como y ´e claramente alg´ebrico sobre K , segue que M = K [y] ⊇ K ´e finita e portanto M ⊇ K tamb´em o ´e. Logo todo elemento de M ´e alg´ebrico sobre K ; em particular, α ± y, α · y s˜ao alg´ebricos sobre
K , completando assim a verifica¸c˜ao.
13.2
o polinˆ omio m´ınimo
Se α L K ´e alg´ebrico sobre K , ent˜ao existe um polinˆomio n˜ao constante p(X ) K [X ] tal que p(α) = 0. Logo, o ideal
∈ ⊃ ∈
{f (X ) ∈ K [X ] | f (α) = 0} ´e n˜ao nulo e admite um u ´ nico gerador mˆonico. Este ser´ a denotado pα (X ), chamado o polinˆ omio m´ınimo de α sobre K .
4
Extens˜oes de corpos
9 . exerc´ıcios. 7. deg pα = 1 se e s´o se α
∈ K .
8. Ache os polinˆ omios m´ınimos de
√ 2 + i?
√ 2 sobre Q; idem para i = √ −1; que tal
9. Mostre que se f
∈ K [X ] e f (α) = 0 ent˜ao p
α
divide f .
10. Prop. Seja α um elemento alg´ ebrico sobre K. Seja f (X ) mˆ onico. Ent˜ ao f (α) = 0 e o se f (X ) = p α (X ) se e s´ f (X ) ´e irredut´ıvel em K [X ].
∈ K [X ]
´ Prova. A informa¸ca ˜o relevante nesse enunciado ´e que p α (X ) ´e o unico po-
linˆomio mˆ onico irredut´ıvel em K [X ] que anula α. Primeiro, vejamos que pα (X ) ´e irredut´ıvel. Ora, se pα = gh em K [X ], ent˜a o vale 0 = pα (α) = (gh)(α) = g(α)h(α). Logo g(α) = 0 ou h(α) = 0. Mas g(α) = 0 implica g pα . Da´ı segue, como de habitude, que h ´e constante e p α ´e irredut´ıvel. Seja por fim f K [X ] mˆonico irredut´ıvel tal que f (α) = 0. Segue que f pα ; logo, f = pα g para algum g K [X ]. Por irreducibilidade, segue que f ´e m´ ultiplo constante de p α ; mˆonicos iguais.
∈ ∈
∈
∈
⇒
ebrico sobre K. Temos ent˜ ao 11. Prop. Seja α um elemento alg´ [K (α) : K ] = deg pα . Em palavras, o grau da extens˜ ao K (α) omio K ´e igual ao grau do polinˆ m´ınimo de α.
⊃
Prova. Seja d = deg pα . Basta mostrar que 1, α , . . . , αd−1 ´e uma base de
K (α) sobre K . Por conta da prop. 4, sabemos que todo elemento y de K (α) ´e combina¸c˜ao linear de um n´umero finito de potˆencias de α. Em s´ımbolos, y = a0 +a1 α+am αm com os coeficientes ai K . Ora, o polinˆomio m´ınimo permite escrever αd como combina¸c˜ao de potˆencias menores. Logo, 1, α , . . . , αd−1 geram. Para mostrar que s˜ao l.i., escreva a0 + a1 α + ad−1 αd−1 = 0. Isto exibe um polinˆomio de grau aparente1 d 1 que anula α. Mas o m´ınimo tem grau d, logo todos os a i s˜ao nulos.
∈
−
1
as aparˆencias irmanam.
13.3 constru¸c˜ao com r´egua e compasso
13.3
5
constru¸ c˜ ao com r´ egua e compasso
Um ponto (a, b) R2 ´e construt´ıvel se a, b 0, 1 ou se puder ser obtido por uma seq¨ uˆencia finita de opera¸c˜oes do tipo:
∈
∈ { }
1. interse¸ca˜o de retas construt´ıveis, i.e., ligando pontos construt´ıveis; 2. interse¸ca˜o de c´ırculos construt´ıveis i.e., com centro um ponto construt´ıvel e passando por outro ponto construt´ıvel; 3. interse¸ca˜o de reta e c´ırculo construt´ıveis. Um n´ umero real α ´e dito construt´ıvel se aparecer como ordenada ou abscissa de um ponto construt´ıvel. Todo n´ umero inteiro ´e construt´ıvel: centre um c´ırculo em (1,0) e passando por (0,0). . . e repita. Dado um ponto construt´ıvel P e uma reta construt´ıvel L, a perpendicular a L passando por P ´e construt´ıvel. De fato, se P L, certamente existe Q L distinto de P ; centro em P e raio P Q constr´oi o sim´etrico Q L de Q com respeito a P ; centro em Q e raio QQ ; depois centro em Q ...acha-se R com RP L.
∈
∈
⊥
.. ... .. .. .. .. .. .. .. . R..... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... . ........................................................................................................................................P ........................................................................................................................................................ .. ... Q Q .. .. .. .. .... .. ... .. ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .
.............. .............. .............. .................................... .................... . . . . . ..... .... .... ....... .... .... .. .. .. .. ... .. .. ... ... .. .. ... ... .. .. ... .. .... .... . . . ... ... . .. . . ... ... . . .. .. ... ... . . .... .... .. .. . ..... ..... ..... . ...... ............ ..... . . . . ............ . . ............................. .........................................
•
L
12 . exerc´ıcios. 10. Caso P
∈ L?
◦
◦
◦
∈
6
Extens˜oes de corpos
Toda soma de n´umeros construt´ıveis ´e construt´ıvel. Idem para o produto e para o inverso. Para o produto, estude a figura abaixo.
.... . . . . . ...... . . . . . ... ... . . . . . ... ... . . . . . . .. ab . . . . . . ... . ..... . . . ... ... ... a . . . . . .........................•..........................................•.........
O
b
1
O segmento de comprimento a ´e tra¸cado perpendicularmente `a reta Ob. 13 . exerc´ıcios. 11. Invente uma figura an´ aloga para o c´ alculo de 1/a.
Vemos assim que o conjunto dos n´umeros construt´ıveis forma um corpo. Segue da defini¸ca˜o que, para cada n´umero construt´ıvel α, existe uma seQ e, em cada etapa subseq¨ q¨uˆencia α1 , α2 , . . . , αn = α tal que α1 uente, αi+1 se calcula como raiz de uma equa¸c˜ao de grau 2 com coeficientes no corpo gerado pelos anteriores. Em resumo, podemos garantir que, se α for construt´ıvel, ent˜ao existe uma extens˜ao L de Q de grau da forma 2n . Como aplica¸ca˜o, podemos deduzir da´ı que a trisse¸ca˜o de um ˆangulo ´e, em geral, imposs´ıvel de se construir com r´egua e compasso. Vejamos por exemplo a impossibilidade para o aˆngulo de 60◦. (Note que este ´e construt´ıvel, pois vocˆe sabe fazer triˆangulos equil´ ateros.) Pelas f´ormulas de adi¸ca˜o temos,
∈
≤
cos2a = cos2 a sen2 a = 2 cos2 a 1; sen2a = sen a cos a + sen a cos a = 2 sen a cos a; cos3a = cos 2a cos a sen2a sen a= (2cos2 a 1)cos a 2(sen a cos a)sen a = 2cos3 a cos a 2cos a(1 cos2 a) = 4cos3 a 3cos a.
−
− −
− − −
−
−
−
Fa¸ca a = 20◦ nas f´ormulas acima. Seja α = cos 20◦ . Temos assim cos3a = cos 60◦ =
1 = 4α3 2
− 3α.
13.3 constru¸c˜ao com r´egua e compasso
7
Seja p(X ) = 8X 3 6X 1. N˜ao tem raiz racional. Logo, ´e irredut´ıvel em Q[X ]. Portanto, o polinˆ omio m´ınimo de α tem grau trˆes e vale [Q(α) : Q] = 3. Argumento final: se fosse poss´ıvel fazer a trisse¸ca˜o do aˆngulo de 60◦ com r´egua e compasso, ent˜ ao α = cos20◦ seria igualmente construt´ıvel. Isto Q de grau d = 2n e tal que acarretaria a existˆ encia de uma extens˜ao L Q(α) Q. Pela multiplicatividade do grau, α L. Da´ı ter´ıamos L seguiria que 3 ´e divisor de d. Assim n˜ao d´a!!
− −
∈
⊇
⊃
⊇
14 . exerc´ıcios. 12. Leia em algum lugar a lista dos n-´ agonos regulares construt´ıveis e repro-
duza em poucas linhas o argumento central. Pr´oximo: transcendˆencia.