Exercices de Probabilités 2006

Les Espaces Probabilisés

A. El Mossadeq  

Exercice 16

Douze appareils sont en exploitation. Trois parmi eux sont fabriqués par l’usine U 1, quatre par l’usine U 2 et cinq par l’usine U 3. Les appareils provenant de l’usine U 1 passe l’essai avec une probabilité de 90%, ceux de l’usine U 2 avec une probabilité de 80% et ceux de l’usine U 3 avec une probabilité de 75%. Trouver la probabilité qu’un appareil choisi au hasard passe l’essai.

Solution 16

Considérons les événements : U i F 

”l’appreil provient de l’usine U i ” , i = 1, 2, 3 ”l’appreil est fiable”

: :

On a :

⎧⎪ ⎪⎨ ⎪⎪⎩

3 12 4 P  [U 2 ] = 12 5 P  [U 3 ] = 12 P  [U 1 ] =

;

P  [F  | U 1 ] = 0.90

;

P  [F  | U 2 ] = 0.80

;

P  [F  | U 3 ] = 0.75

D’après la formule des probabilités totales on a : 3

P  [F ]

=

X

P  [U i ] P  [F  | U i ]

i=1

= =

965 1200 80.42%

Exercice 17

Une pièce d’un équipement électronique est constituée de trois partie essentielles A, B et C . On a constaté dans le passé que la partie A tombait en panne dans 10% des cas, la partie B dans 30% des cas et la partie C  dans 40% des cas. La partie A opère indépendamment de B et de C . Les parties B et C  sont dépendantes de telle sorte que si C  est défaillante, les chances sont de 1 sur 3 que B soit défaillante aussi. Deux au moins des trois parties doivent être en état de marche pour que l’équipement fonctionne. Calculer la probabilité pour qu’il fonctionne.

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