Formule de Taylor-Lagrange
Pascal Lainé
Formule de Taylor-Lagrange
0,
Exercice 1. Soit un réel strictement positif et une fonction sur . 1. Quelles sont les hypothèses qui permettent d’écrire la formule de Taylor -Lagrange -Lagrange pour sur à à l’ordre (c’est-à-dire (c’est-à-dire avec un reste où intervient la dérivée troisième de ) ? Ecrire cette formule. 2. On pose . Justifier la possibilité d’écrire la formule de Taylor -Lagrange -Lagrange pour à l’ordre , et écrire cette formule. Allez à : Correction : Correction exercice 1
3 = ln1 3
0,0,
Exercice 2. Soit un réel strictement positif. 1. Ecrire la formule de Taylor-Lagrange pour la fonction cosinus hyperbolique, sur l’intervalle le reste à l’ordre 5. 2. Montrer que
3. En déduire que :
Allez à : Correction : Correction exercice 2 Exercice 3.
, avec
0 ≤ ch 1 2!2! 4!4! ≤ 5!5! sh 433384 ≤ chch 12 ≤ 438433 38401 √ = 4 = 5 = 2 √
1. Ecrire la formule de Taylor-Lagrange pour la fonction définie par
0,
entre
et
avec un reste à l’ordre . 2. En déduire que
une valeur approchée de
Allez à : Correction : Correction exercice 3 Exercice 4.
à
près.
ℝ+∗ = 16 17 < 65 8317 < 17 4096 32 = √ 16 17 √ 5 × 10− ≤∈ ar0,0,g1th ≤ +
Soit la fonction définie sur par 1. Ecrire la formule de Taylor-Lagrange Taylor- Lagrange avec un reste à l’ordre 2 de entre 2. En déduire que
et
.
Allez à : Correction : Correction exercice 4 Exercice 5.
2
1. Ecrire la formule de Taylor-Lagrange pour la fonction .
2. Montrer que
est une valeur approchée de
à
Allez à : Correction : Correction exercice 15
Exercice 6. (Hors programme) Montrer que pour tout
: :
−
1
entre
près.
et
avec un reste à l’ordre
Formule de Taylor-Lagrange
Pascal Lainé
Allez à : Correction exercice 5 Exercice 7. A l’aide de la formule de Taylor -Lagrange avec un reste à l’ordre 2 montrer que approchée à près de . Allez à : Correction exercice 7
5 ×10− sin10−
Exercice 8. 1. Enoncer le théorème de Taylor-Lagrange, on notera
2
1
3. En déduire un nombre décimal qui approche Allez à : Correction exercice 8
∈ ℝ+∗
Exercice 9. Soit , 1. Montrer que
2. En déduire une valeur approchée de Allez à : Correction exercice 9 Exercice 10. Montrer que pour tout
√
: ↦ √ 100 101 5×10−
avec une précision inférieur à
0,< 5 ×10 1− 2 < 6 à
près.
∈ = 1,∞ 1 1 < ln < 1 21 ,
On pourra utiliser la formule de Taylor Lagrange entre et . Allez à : Correction exercice 10
Exercice 11. 1. Enoncé le théorème de Taylor-Lagrange. 2. Soit définie par . Calculer les dérivées successives de jusqu’à l’ordre . 3. En utilisant Taylor-Lagrange, en déduire l’encadrement de
:0, ∞→ ℝ
Allez à : Correction exercice 11
>0
Exercice 12. 1. Soit
. Démontrer que
2. En déduire que
Allez à : Correction exercice 12
= ln1 4 l n 2 712 ≤ ln2 ≤ 119257
suivant :
cos 1 2! 4! ≤ 5! 337384 38401 ≤ cos12 < 338437 38401
Exercice 13. 2
est une valeur
l’ordre du reste dans la formule.
2. Ecrire la conclusion de ce théorème lorsqu’on l’applique à la fonction avec un reste à l’ordre .
10−
, entre
et
près.
et
Formule de Taylor-Lagrange
Démontrer que pour tout
∈ 10,∞ 2 14 ≤ 1 ≤ 1 2 3 9 81 √ 1 3 9
Pascal Lainé
:
Allez à : Correction exercice 13 Exercice 14. Démontrer que
11 à102!1− 3!1 4!1 5!1 6!1 7!1 8!1 ≤ 9!3
En déduire une valeur approchée de Allez à : Correction exercice 14 Exercice 15. Inégalités de Kolmogorov Soit une fonction définie sur
près.
ℝ = sup| | , = sup| | ∈ℝ ∈ℝ | | | | ≤ ≤ | | = sup ∈ℝ ∈ ℝ ℎ > 0 ℎ 2 | ≤ 2ℎ ℎ2 | ℎ = 1 | | ≤ 2 ∈ℝ 2 ≤ 2 ℎ ≤→2 0,∞ ∈ 0:,10,1 → ℝ| | ≥ 4 0 = 0 = 1 = 0 1 = 1 0 1 :ℝ → ℝ ≥ 0 ∈ ℝ ≤ || = 0 ≥ 0 ∈ ℝ , de classe
. On suppose que et
sont bornées, et on pose :
( et sont donc des nombres réels tels que, pour tout réel, on a but de cet exercice est de prouver que est bornée, et de majorer et . Soit , et . 1. Appliquer la formule de Taylor-Lagrange à entre et à l’ordre . 2. En déduire l’inégalité :
En particulier, si on choisit
Ce qui prouve que
, on obtient, pour tout
est bornée, avec
et
. Le en fonction de
:
. On se propose de trouver une meilleure
majoration :
3. Etudier la fonction
sur
.
4. En déduire que
Allez à : Correction exercice 15 Exercice 16. Soit
de classe
tel que
vérifiant
et
. Montrer qu’il existe
.
Indication, on pourra appliquer la formule de Taylor-Lagrange entre et , puis entre et . Allez à : Correction exercice 16
Exercice 17. Soit une fonction de classe vérifiant la propriété suivante : il existe un polynôme de degré impair tel que pour tout , pour tout , 1. Montrer qu’il existe tel que pour tout . 2. En déduire que est identiquement nulle. 3. Le résultat subsiste-t-il si on suppose que est de degré pair ? Allez à : Correction exercice 17 3
Formule de Taylor-Lagrange
Pascal Lainé
:ℝ → ℝ > 0 0 = 0, ∀ ≥ 0 { suℝp ≤ ! == 00 ℝ ,
Exercice 18. Soit
de classe
1. Montrer que
et
vérifiant :
sur l’intervalle
.
2. Montrer que sur . Allez à : Correction exercice 18
< ∈ , ∈ + , = ∈2 , + 2 2 8 2 48 = ∈ 2, 2 2 8 2 48 = 2 24
Exercice 19. Soient et deux réels tels que
et
.
1. Montrer qu’il existe
tel que :
2. Montrer qu’il existe
tel que :
3. Montrer qu’il existe
tel que :
On utilisera bien sur les questions 1. et 2. et on pourra appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à . Allez à : Correction exercice 19
CORRECTIONS
3
0, 0 , ∈0, = 0 0 0 2 6 + 1,∞ 0, 0 = 0 ∈0, = + ⇒ 0 = 1 = + ⇒ 0 = 1 = + 2 = 2 6 × 1 = 2 31 ch ch′ch = sh ch′′ = ch ch =sh ℝch = ch0, ch ∈= 0sh, ch = ch0 sh0 ch0 2! sh0 3! ch0 4 5! sh = 1 2 24 120 sh
Correction exercice 1. 1. Si est de classe sur . Il existe tel que :
2.
est ordre.
sur
et de classe
donc sur
,
Il existe
sur
on peut appliquer la formule de Taylor à l’ordre
, on peut écrire la formule de Taylor-Lagrange à n’importe quel
,
et
.
Allez à : Exercice 1
Correction exercice 2. 1. Les dérivées de
sont
, est une fonction de classe
,
(et même
, ) sur
2. D’après la question précédente
4
donc sur
et . Il existe
tel que :
Formule de Taylor-Lagrange
Pascal Lainé
ch 1 = s h 2 24 120 sh > 0 0, sh0 < sh < sh a120 sh0 < 120 sh < 120 sh ⇔ 0 < ch 1 2 24 < 120 sh = 1 1 1 1 2 2 2 01 < ch121 2 241 < 1201 sh 121 1 2 2 2 2 2 ⇔ 1 21 241 < ch2 < 1 2 24 120 sh 12 2 2 1 2 24 = 1 18 3841 = 384 48384 1 = 438433 12 = 1 = 1 120 32 ×120 3840 12 < ln2 ⇒ sh 12 < shln2 = 2− = 2 2 12 = 34 < 1 433384 < ch12 < 438433 38401 sh 12 < 438433 38401 ℝ+∗ = − ; = 1 − ; = 3 − = 34×,51 2 4 4 4 = √ 14 = 12 ; 4 = 12 × 41 = 12 × 21 = 161 ; ∈ 4,5 5 = 4 5 4 4 54 2 1√ 5 = 12 161 12 × 34 × 1 = 167 38 × 1 > 167 > 4 ⇔ > 4 = 2 = 32 ⇔ 1 < 321 1√ 5 = 167 38 × 1 < 167 38 × 321 = 167 2563 716 < √ 15 < 167 2563 Or est une fonction croissante sur Donc, puisque :
, donc
On a même des inégalités strictes.
3. On prend
.
Et
De plus
Donc
Allez à : Exercice 2
Correction exercice 3. 1. est sur
Il existe
donc on peut appliquer la formule de Taylor-Lagrange sur
tel que :
Donc
Donc
On en déduit les encadrements
5
.
Formule de Taylor-Lagrange
Ce qui montre que Allez à : Exercice 3
Pascal Lainé
est une valeur approchée de
√ à
près.
Correction exercice 4. 1.
Il existe
2.
= ⇒ 1 6 = 16 = 2 = 2 = 14 − ⇒ 316− = 14 ×2− = 314 ×2− − = 321 ⇒ = 16 = 16 ∈1 716, =1716 1617 16 1716 ⇔ 17 = 2 1 3 − 2! 32 32 16⇒ <3 2<−17 <⇒23<− << 17 3 ⇒×217 <− ⇒ <17 ⇒3 17− < < 3− −< 2<−0 32 ⇒ 2 321 3 32 < 2 1 3 32− ×128 32 1 < 2 32⇒ 81924096128 332< 1732 < 65 32 4096 32 ⇒ 8317 < 17 < 65 tel que
4096 32 16,1617 17 ∈ 16,116,71 7 1 1 − = = ⇒ 1 6 = 4 √ = 12 − = 12 × 1 ⇒ 16 = 12 × 1 = 12 × 41 = 1281 = 3 − 16 4 1 117 1= 136 1173216 116 317 161 3123 1 √ 17 = 4 128 8 × = 4× 32 128 8 × = 128 8 × 1√ 17 > 12831 ⇔ √ 117 12831 > 0 > 16 ⇒ > 16 = 4− = 1024 ⇒ 1 < 10241 ⇒ 38 × 1 < 38 × 10241 < 48 × 10001 = 0,5 ×10− = 5×10 1√ 17 < 12831 5×10− ⇔ √ 117 12831 < 5×10−
Allez à : Exercice 4
Correction exercice 5. 1. est sur Lagrange entre
et deux fois dérivable sur et . Donc il existe
donc on peut appliquer la formule de Taylor tel que :
2. D’après 1.
Et
Ce qui montre que
6
Formule de Taylor-Lagrange
Pascal Lainé
− < 0 < √ 117 12831 < 5 ×10− 5 ×10 √ 5 ×10− 0, argth > 00, = ln =+− 1=ln−1 1 ln−1 0 =01 = 0 " = = 11 −− 11 −− "0 = 0 − + = + − =0 ,+− +− = +++−+−+ = 2 − 1 3 1 3 ar g t h = 2 = 6 1 3 1 0 <0 <<1 <01< < <1 131 << 1−3 <− 1 < − < − + + 0 < − <− + + > 0 0 < − < − =0 == cossin ⇒⇒ 00 = =01 = s i n − − sin10−0,1 =0 sin0 10−0,1 00cos 0 10− ℝ0 sin∈ 0 ⇔,10si−n10− 2 − − sin =⇒ 10|si−n 10−102 10sin−| ⇔= 5×sin1010−−|si10n−| ⇒ = |s5×10 − − − | i n 1 0 10 ≤ 5× 10 10− sin10− 5×10− , + , ∈ , + = 2! ⋯ ! 1! + Finalement
est bien une valeur approchée de
à
près.
Allez à : Exercice 5
Correction exercice 6. (Hors programme) est une fonction de classe sur Taylor-Lagrange à l’ordre 3. Pour
et dérivable sur
, on peut appliquer la formule de
, d’où
Donc
, d’où
d’où
, d’où
Il existe
dans l’intervalle
tel que :
donc
d’où
Et
entraine que
et que donc
On en déduit que
On multiplie ces inégalité par
,
, il ne reste qu’à ajouter à ces
inégalités pour conclure. Si les égalités sont vérifiées trivialement. Allez à : Exercice 5 Correction exercice 7.
est
sur
et
sur
car est
Donc est une valeur approchée de Allez à : Exercice 7 Correction exercice 8. 1. Si est une application de classe que
2.
sur
sur
. Il existe
à
et de classe
7
sur
alors il existe
tel
Formule de Taylor-Lagrange
Pascal Lainé
− ⇒ 100 = √ 1100 = 101 = = 12 − = 12 × √1 ⇒ 100 = 12 × 100 ×1√ 100 = 12 × 10001 = 20001 = 12 × 32− = 34 × 1√ ⇒ = 34 × 1√ 1 =∈ 1100, 110101 100 × 1 101 100 × 3 × 1 = 1 1 3 × 1 2000 2 4 √ 10 2000 8 √ √ 101 10 √ 1101 101 20001 = 38 × 1√ 1 3 1 100 < < 101 ⇔ 3 100√ 100 < 3√ < 101√ 1014⇒ 10 < √ ⇒ √ < 10− ⇒ 8 × √ < 8 ×10− < 5 × 40 ×10− < 5 × 40 × 10− = 5× 10− − √ 1101 101 20001 < 5×10− 5 ×10 √ 1 1 199
Il existe
3.
Donc
Une valeur approchée à
de
Allez à : Exercice 8
est
10 2000 = 2000 = 0,0995
∈= 0, = 1 2! 3! 2 6 0 < <>0 ⇒ 0 < 6 < 6 1 2 < 1 2 6 < 1 2 6 1 2 < < 1 2 6 0 < 1 < 2 6 − = 00,<1 =,10 1 1 1 < 10− , < 10− ×3 = 0,5 ×10− = 5×10− 10 200 6 6 110 2001 = 1 0,1 0,005 = 1,105 1 , 5 ×10−
Correction exercice 9. 1. L’exponentielle est une fonction reste à l’ordre 3. Il existe
donc on peut appliquer la formule de Taylor-Lagrange avec un tel que :
Car l’exponentielle est croissante et que
, par conséquent
Ce qui entraine que
Soit encore
2. On pose
Donc
Est une valeur approchée de Allez à : Exercice 9
à
près.
8
Formule de Taylor-Lagrange
Pascal Lainé
l n 1 > 1 ∈ 1 , 1 1 ln = ln1 1 ln 11 12 ln′ 1⇔ ln = 1 1 21 < ⇔ < < 1 ⇔ 2 < 2 < 2 1 < < ⇔ 1 < 1 1 1 1 1 1 ⇔ 2 < 2 < 1 2 ⇔ 1 12 < 1 2 < 1 2 ⇔− 1 2 < ln < 1 2 1 < 1 1 1 2 < ln < 1 , + , ∈ , + = 2! ⋯ ! 1! + = 11 =− 1−1 = 1 = 1 2 = 21 − = 1 6 = 231 − = 1 − = 0 = 1 = 3 4 ∈1 =0,10 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 2! 3! 4! 12! × 1 3!1 × 2 4!1 × 1 6 = 1 12 13 14 × 1 1 ln2 = ln1 16 32 = 6 14 × 1 1 = 56 14 × 111 1 1 1 0 < < 1 ⇒ 1 < 11 < 2 ⇒ 1 < 1 < 2 = 16 ⇒ 16 < 1 < 1 ⇒ 64 < 41 < 4 1 1 1 5 1 5 1 5 1 ⇒ 140 <3 1 < 5×3264 ⇒ 6 34 < 6 71 < 6 1 5764 ⇒ 12 < ln2 < 6 ×32 64 ×3 ⇒ 12 < ln2 < 192
Correction exercice 10. La formule de Taylor Lagrange pour la fonction
Comme
entre et
dit qu’il existe
tel que
, on a bien
Allez à : Exercice 10
Correction exercice 11. 1. Si est une application de classe que
2.
sur
et de classe
sur
alors il existe
tel
Remarque :
Il est très maladroit de dériver ces fonctions comme des quotients et donc d’utiliser la formule est bien préférable de s’apercevoir que ces fonctions sont de la forme
forme . 3. On va utiliser la formule avec Il existe
,
et
et que leur dérivée sont de la
(donc le reste est à l’ordre )
9
, il
Formule de Taylor-Lagrange
Pascal Lainé
Allez à : Exercice 11
cos ℝ 0 > 0 5 = cos ∈ 0, = 0 0 2! 0 0= cos3!0 =10 4! 0 5! = =cossin ⇒ ⇒00 == 10 0 ==cossin ⇒⇒ 00 == 01 = sin cos = 1 2! 4! 5! sin cos 1 2! 4! = 5! sin 1 cos 1 2! 4! = 5! sin = 5! |sin| ≤ 5! =1 1 1 1 1 1 1 cos121 22! 24! ≤ 25! ⇔ 25! ≤ cos121 22! 24! ≤ 25! 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ⇔ 1 2! 4! 5! ≤ cos2 ≤ 1 2! 4! 5! 1 1 2 2 1 2! 4! =11 18 16×1 24 = 384 48384 1 = 338437 25! = 32 ×120 1 = 38401 337384 38401 ≤ cos12 ≤ 338437 38401
Correction exercice 12. 1. est sur donc on peut appliquer la formule de Taylor-Lagrange à n’importe quel ordre et sur n’importe quel intervalle, on va l’appliquer entre et avec un reste à l’ordre . On pose Il existe
tel que :
Ce qui entraine que
Maintenant on peut prendre la valeur absolue puis majorer la valeur absolu du sinus par
.
2. On prend bien sur
Il reste à simplifier les fractions
Allez à : Exercice 12
>0 > 1 ∈ 0,
Correction exercice 13. Soit
1√ 1 = 1 − = 0 >0
3
Pour cette fonction est donc on peut appliquer la formule de Taylor-Lagrange à n’importe quel ordre et sur n’importe quel intervalle, on va l’appliquer entre et avec un reste à l’ordre . Il existe tel que : 10
Formule de Taylor-Lagrange
Pascal Lainé
= 0 1 0 2! − 0 3! = √ 1 1 = 1 ⇒ 0 = 11 = 31 − ⇒ 0 = 3 = 13 431 − ⇒ 0 = 13 43 = 49 = 132843 73−1− ⇒ = 13 43 731 − = 1 27 1 4 28 2 14 − − 1 = 1 3 9 × 2 6 × 27 1 = 1 3 9 − 81 1 −− 0 < < ⇒ 1⇒<114<11−⇒1>< 1141 < 1− > ⇒14 1 < 1 < 1 81 81 81 2 14 2 1 4 2 14 − − ⇒ 1 3 9 81 21 14> 1 3− 9 181 1 2>1 134 9 81 ⇒ 123 149 811 1 >2√ 1 14> 1 3 9 81 2 ⇒ 1 3 9 81 < √ 1 < 1 3 9 81 1 − < 1 3 9 14 − <0 1 81 =0 ≥ 0 2 14 1 2 1 ≤ ≤ 1
Car
Si
alors les trois termes de ces inégalités sont nuls et dans ce cas il y a égalité. Pour tout
3 9 81 √ 1 3 9
Allez à : Exercice 13
: → ℝ 0 1 > 0 9 1 ∈= 0,10 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2! 3! 4! 1 05! 0 1 06! 0 1 07! 0 1 08! 0 1 09! 0 = 1 ≥ 0 = =11 12! 3!1 4!1 5!1 6!1 7!1 8!1 9!1 11 2!1 3!1 4!1 5!1 =6!1 7!1 8!13 = 9!1 11 2!1 3!1 4!1 5!1 6!1 7!1 8!1 = 9!1 = 9!1 < 9!1 < 9!3
Correction exercice 14. est sur donc on peut appliquer la formule de Taylor- Lagrange à n’importe quel ordre et sur n’importe quel intervalle, on va l’appliquer entre et avec un reste à l’ordre . Il existe tel que :
Or pour tout
,
donc
, on a donc
Ce qui entraine que
Puis on prend la valeur absolue et on majore
par
11
, puis par
Formule de Taylor-Lagrange
Pascal Lainé
39! = 2×3× 4×5 ×63 ×7× 8×9 = 2×4 ×5 ×6×1 7×8 ×9 = 2×51 × 4 ×61 × 7×81 ×9 5 = 10− × 5045 < 101 −× 201 ×5 7 ×8×1 −9 = 1011 × 1005 − × 7 ×8×1 9 = 10− × 7 ×8×9 < 10 × 500 = 10 × 100 = 10 12! 3!1 4!1 5!1 6!1 7!1 8!1 11 10− ∈ ,ℎℝ 2 ℎ ℎ = ℎ ℎ 2! ⇔ ℎ = ℎ 2! ℎ 1 ℎ ℎ = ℎ 2! ⇔ = ℎ ℎ 2 ℎ ℎ ( ) ℎ ℎ 2 2 ⇒ || = ℎ =ℎ ℎ ℎ ≤ | ℎ| |ℎ| 2 = | ℎ| |ℎ| 2 | | ≤ ℎ ℎ2 = 2ℎ ℎ2 ℎ ℎ ℎ 2 ≤ | ℎ| | | 2 | | | | ≤ || || || | | ≤ || || | | | | | | ≤ ℎ = ℎ > 0 ℎ = 2ℎ 2 = 42ℎ ℎ = 2ℎ ℎ 4 = 2ℎ ℎ 2 ℎ 2 ℎ = 2 Par conséquent
Est une valeur approchée de à Allez à : Exercice 14
près.
Correction exercice 15. 1. est de classe sur , on peut appliquer la formule de Taylor-Lagrange avec un reste à l’ordre . Il existe tel que :
2. D’après 1. :
Franchement j’ai fait des chichis parce que l’on peut très bien écrire directement que :
On rappelle l’inégalité triangulaire
On rappelle que l’inégalité suivante est en générale très fausse Et puisqu’on est dedans rappelons que
3. Posons
, pour
.
Cette dérivée s’annule pour
Elle négative pour
12
Formule de Taylor-Lagrange
Pascal Lainé
0 < ℎ < ℎ ℎ > ℎ ℎ 2 2 ℎ 2 ℎ = ℎ 2 = 2 2 = = 2 ℎ ℎ ≤ 2 | | ≤ ℎ | | ≤ 2 = sup∈ℝ| | ≤ 2 0 ℝ 2 ∈ 0, ℎ 1 1 2 = 0 12 0 0 2 2!0 12 = 18 1 ℝ 2 ∈ , 1 1 1 2 = 1 12 1 1 2 12! = < = 1 12 = 1 18 18 = 1 18 = 8 < 4 ⇔ | | < 4 4 < < 4 ⇔ | | < 4 4 < < 4 4 < 8| <| ≥4 | <|8 ≥ 4 ∈ 0,1 | = 8| ≥ 4 Et positive pour
Elle admet un minimum en
On déduit de cela que pour tout Or
donc pour tout
Par conséquent
Allez à : Exercice 15
Correction exercice 16. est de classe sur
, on peut appliquer la formule de Taylor-Lagrange avec un reste à l’ordre entre
et
Il existe
tel que :
Ce qui équivaut à
est de classe
sur
, on peut appliquer la formule de Taylor-Lagrange avec un reste à l’ordre entre
et
Il existe
tel que :
On rappelle que la formule « marche » aussi si Ce qui équivaut à
On en déduit que
D’où Si
, soit Allez à : Exercice 16
et , l’inégalité de droite contredit , il existe bien une valeur
Correction exercice 17. 13
tel que
alors et , par conséquent soit .
Formule de Taylor-Lagrange
1.
Pascal Lainé
±∞ ±∞ ≤ || = 0 1 , , < = < ⋯ ∈ + + 2! ! 1 ! = 1+! + + + | | | | + | | = 1! ≤ 1! || | ∈| ≤| || ≤|+ 1 ! |+ −|! 0 = 0 ∈ ℝ = cos ±cos ±sin ≤ 1 1 1 ≠ 0 0 , , 0 0 < <0 = 0 0 0 ⋯ −∈ 0 + = 2! 1 ! ! ! ∈ , ⇔ || < || || | | | | = = ≤ s u p ≤ ! ! ! ℝ || ∈ 0,1 = 0 | | l i m →+ = = 0 ≠ 0 0 = 0 0 = 21 1 = 2 → 1 = ×1
est un polynôme de degré impair donc admet une racine réelle (c’est une conséquent quasi-évidente du théorème des valeurs intermédiaire puisque les limites en d’un polynôme sont et que les polynômes sont des fonctions continues), appelons cette racine
2. On applique la formule de Taylor-Lagrange, avec reste à l’ordre , sur ou que , intervalle que l’on nomme , il existe tel que
ou
, selon que
Donc
L’inégalité vient de l’hypothèse de l’énoncé. Puis comme fermé borné, il existe tel que pour tout ,
Et enfin on fait tendre
vers l’infini, comme
est une fonction continue sur un intervalle , par conséquent
ne dépend pas de ,
que pour tout . 3. Non, il suffit de prendre une fonction à dérivée bornée comme cette fonction sont et donc étant le polynôme constant égal à Allez à : Exercice 17
tend vers , on en déduit
, les dérivées successives de
(il s’agit donc d’un polynôme de degré pair), et pourtant
Correction exercice 18. 1. On applique la formule de Taylor-Lagrange, avec reste à l’ordre , sur ou que , intervalle que l’on nomme , il existe tel que
ou
, selon que
On prend
Comme
,
Cela montre que pour tout . Comme la première condition entraine que . On aurait peut conclure aussi en invoquant la continuité de en . 2. Soit
C’est évident, il faut quand même noter que la dérivée de fonction
, dont la dérivée est , et que donc que
suivantes s’en déduisent par une récurrence bien évidente. Reprenons 14
est la dérivée composée de avec la
, les dérivées
.
Formule de Taylor-Lagrange
Pascal Lainé
0 = 2 1 = 0 ∈ , , = 0 1 < < 1 ⇔ 21 < 21 < 23 = 0 , , = 2 , ∈ ℕ : ∀ ∈ ] 1 , 22[, = 0 ≥ 0 ⇒ + + = 21 + 0 = 1 = 0 2 + ∈ , + +∀ ∈ ] 1 , 1[, = 0 + 1 , 1[, 21 = 0 ] ∀ ∈ 3 1 < < 1 ⇔ 1 12− , <+ 21 < 1 21 ⇔ 21<, + 1 < 2 2 1 3 ] [ , 2 + ] 1 , ∞[ ∞, ℝ Car
, en utilisant la question 1°) pour
On en déduit que
sur
(au lieu de )
, et donc sur
l’intervalle où est nulle de
sur
, comme
, ce qui signifie que l’on a « agrandi »
à droite. Cela doit vous convaincre qu’en recommençant on pourra
agrandir l’intervalle autant qu’on le souhaite à droite, et évidemment on peut faire pareil à gauche. Pour cela considérons les fonctions
Et faisons un raisonnement par récurrence
est vraie c’est le 1°), , c’est ce que nous venons de montrer. Montrons que pour , Comme ci-dessus
Par conséquence
Car
et d’après l’hypothèse de récurrence.
En utilisant le 1°) pour la fonction
au lieu de la fonction
Ce qui entraine que
On en déduit que est nulle sur
C’est bien la proposition
, comme était déjà nulle sur
, est nulle sur
.
Ceci étant vraie pour tout on en déduit que est nulle sur
Par un raisonnement analogue on en déduit que est nulle sur
et donc sur
.
Allez à : Exercice 18
Correction exercice 19. 1.
+ , + , est
sur
et
sur
, on peut appliquer la formule de Taylor-Lagrange sur
15
+ ,
Formule de Taylor-Lagrange
Pascal Lainé
2 2 = 2 2 2 2! 2 3! = 2 2 2 8 2 48 + , + , + , = 2 2 2 2!2 2 3!2 = 2 2 2 8 2 48 = 2 2 2 8 2 48 = 2 2 2 8 2 48 2 2 2 8 2 48 = 2 48 ( ) 2 24 × 2 = + + < 2 ∈ , < ∈ , 2 , , ∈ , 2 = = = 2 = 24 = 2.
est
sur
et
sur
, on peut appliquer la formule de Taylor-Lagrange sur
3.
est le milieu de
et de
donc
est compris entre
et
, autrement dit
Si
Et si
Comme
est continue sur tel que
donc sur
, d’après le théorème des valeurs intermédiaire il existe
Par conséquent
Je n’ai pas traité le cas où évidente. Allez à : Exercice 19
, mais dans ce cas
16
ou
convient de manière