Examenes Matematicas Selectividad CyL - 2016-10

EJERCICIO

Pruebas de acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado

MATEMÁTICAS II Nº Páginas: 2

Castilla y León

INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.

OPCIÓN A  −5

  tiene inversa.  10 −a − 1 (1,5 puntos)

E1.- a) Discutir para qué valores de a ∈  la matriz M =  Calcular M − 1 para a = 0 .

b) Si B es una matriz cuadrada de orden 3 y

a

B = − 5 , calcular 2 B , donde B t

t

(1 punto)

denota la matriz traspuesta de B .

E2.- a) Calcular un vector de módulo 4 que tenga la misma dirección, pero distinto sentido, (2,1,, − 2) . que el vector v = (2,1 (1 punto) 

b) Calcular un punto de la recta r ≡

x − 1

−1

=

y+2

1

z −3

=

−2

cuya distancia al punto

A = ( −1,2,0) sea mínima.

E3.- a) Calcular a , b y c para que la función

(1,5 puntos) f ( x ) = x + ax + bx + c tenga pendiente nula en 3

2

el punto (1,1) de su gráfica y, sin embargo, no tenga un extremo relativo en dicho (1,25 puntos) punto. b) Probar que la ecuación x5 + x − 1 = 0 tiene una única solución real positiva.

(1,25 puntos) E4.- a) Calcular lim+  − x  . x →0 x e −1 1



1

(1 punto)



b) Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función

f ( x)

=

2 1 x y las −

rectas tangentes a dicha gráfica en los puntos de abscisa x = 1 y x = − 1 .

(1,5 puntos)

MATEMÁTICAS II-Propuesta 2/2016.

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OPCIÓN B E1.- a) Discutir, según el valor del parámetro

m , el sistema de ecuaciones lineales

 x + y + mz = 2   x + my + z = 2m  x + y − mz = 0 

b) Resolverlo para

(1,5 puntos) (1 punto)

m = 1.

x

z −1

2

2

E2.- Consideremos las rectas r ≡ = y =

y s≡

x

2

=

y −1

3

= z.

a) Comprobar que las rectas r y y s se cruzan.

(1 punto)

b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y corta a las (1,5 puntos) rectas r y y s.

E3.- Tenemos un cartón cuadrado de 6 cm de lado y queremos construir con él una caja sin tapa. Para ello recortamos un cuadrado de x cm de lado en cada vértice del cartón. (2,5 puntos) Calcular x para que el volumen de la caja sea máximo.

E4.- a) Calcular lim+ x→0

(

1 + x 2

1/ x

)

.

b) Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función OX y la recta x = 3 .


(1 punto) f ( x) = ln x , el eje

(1,5 puntos)

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OPCIÓN B E1.- a) Discutir, según el valor del parámetro

m , el sistema de ecuaciones lineales

 x + y + mz = 2   x + my + z = 2m  x + y − mz = 0 

b) Resolverlo para


m = 1.

x

z −1

2

2

E2.- Consideremos las rectas r ≡ = y =

y s≡

x

2

=

y −1

3

= z.

a) Comprobar que las rectas r y y s se cruzan.

(1 punto)

b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y corta a las (1,5 puntos) rectas r y y s.

E3.- Tenemos un cartón cuadrado de 6 cm de lado y queremos construir con él una caja sin tapa. Para ello recortamos un cuadrado de x cm de lado en cada vértice del cartón. (2,5 puntos) Calcular x para que el volumen de la caja sea máximo.

E4.- a) Calcular lim+ x→0

(

1 + x 2

1/ x

)

.

b) Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función OX y la recta x = 3 .


(1 punto) f ( x) = ln x , el eje

(1,5 puntos)

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EJERCICIO



Castilla y León

INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.

OPCIÓN A E1.- a) Discutir, en función del valor de

 mx + y + z = 0  my + mz = 2

m , el sistema de ecuaciones lineales 

(1,5 puntos)

y resolverlo para m = −1 .

b) Para

m = 1 añadir una ecuación al sistema del apartado a) para obtener: en un caso un

(1 punto)

sistema compatible determinado y en otro caso un sistema incompatible.

E2.- a) Determinar la posición relativa de la recta π

 x − 2 y + z = 1 r ≡  2 x − y + z = 2

(1 punto)

≡ 5 x − y + 2 z = 4 .

b) Dadas las rectas

r 1 ≡

y el plano

x − 1

2

=

y

−1

=

z

5

 − x + 2 y − z = 3 , calcular el plano que x y z 2 3 1 − + = 

y r 2 ≡ 

contiene a r 1 y es paralelo a r 2 .

(1,5 puntos)

E3.- Dada la función f ( x) = 2e−2 x , estudiar: derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, (2,5 puntos) extremos relativos y asíntotas. E4.- a) Calcular lim+ x(e1/ x −1) . x→0

b) Consideremos la función f ( x) = x3 + mx 2 + 1 con

(1 punto) m ≥ 0 . Calcular el valor de m para

que el área del recinto limitado por la gráfica de la función f ( x) , el eje OX y las rectas x = 0 y x = 2 sea 10 .


(1,5 puntos)

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OPCIÓN B

E1.- a) Sea A una matriz cuadrada de orden 3 y tal que

A = 2 . ¿Tiene inversa la matriz A4 ?

Calcular 5 A−1 y (5 A) −1 .

(1,5 puntos)  a +1 6   es 1? a

b) ¿Para qué valores del parámetro a el rango de la matriz   2

E2.- a) Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano

π

≡ 2 x − 2 y + 4 z − 5 = 0 y que

contiene a los puntos (−2,0,0) y (0,1,0) .

b) Dos caras de un cubo están contenidas en los planos π

2

(1 punto)

(1,25 puntos) π

1

≡ 2 x − 2 y + z −1 = 0 y

≡ 2 x − 2 y + z + 5 = 0 . Calcular el volumen de dicho cubo.

(1,25 puntos)

E3.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,1) y forma con los ejes (2,5 puntos) coordenados un triángulo de área mínima en el primer cuadrante.

E4.- Se considera la parábola y = − x 2 + 2 x . a) Calcular las rectas tangentes a dicha parábola en sus puntos de intersección con el eje (0,75 puntos) OX . b) Calcular el área delimitada por la gráfica de dicha parábola y las rectas tangentes obtenidas en el apartado a). (1,75 puntos)


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EJERCICIO MATEMÁTICAS II Nº Páginas: 2

Castilla y León

INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.

OPCIÓN A 0 0   m  2   E1. Dada la matriz A    3 m  1 1  , se pide:  1 m  1  0 

a) Hallar los valores de m para que la matriz A10 tenga inversa.

(1,25 puntos)

b) Para m  0 , calcular, si es posible, la matriz inversa de A.

(1,25 puntos)

E2.- a) Calcular la recta que corta perpendicularmente al eje OZ y que pasa por el punto (1,25 puntos) P  (1, 2,3) .  x  0 y el plano  y 0 

b) Estudiar, en función del parámetro a, la posición relativa de la recta r   

 x  y  az  1 .

(1,25 puntos)

E3.- Determinar los vértices del rectángulo de área máxima que tiene lados paralelos a los ejes de coordenadas y vértices en el borde del recinto delimitado por las gráficas de las funciones f ( x)  x 2 y g ( x )  2  x 2 .

E4.- a) Sea g ( x ) una función continua y derivable en toda la recta real tal que g ( 2)  2 . Probar que existe algún punto c del intervalo (0,2) tal que g ' (c )  1 .

b) Hallar la función

2 f ( x ) que cumple f ' ( x )  x ln( x  1) y f (0)  1 .

MATEMÁTICAS II‐Propuesta 6/2015.

(2,5 puntos)

g (0)  0 y

(1 punto) (1,5 puntos)

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OPCIÓN B x  my  1



E1.- Dado el sistema de ecuaciones lineales 

(1  2m) x  y  m

, se pide:

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro m.

(1,25 puntos)

b) Resolver el sistema en los casos en que la solución no sea única.

(0,75 puntos)

c) Calcular los valores de m para que x  3, y  2 sea solución.

E2.- a) ¿Puede haber dos vectores u y v de 





3

(0,5 puntos)

tales que u  v  3 , u  1 y v  2 ? 







(1 punto) b) Hallar el valor de

a para que exista una recta que pase por el punto P  (1  a,1  a, a) ,

 x  y  2  x  z  0 corte a la recta r   y sea paralela a la recta s   .  z  1  y  0

E3.- Dada la función

f ( x ) 

x

1

1

(1,5 puntos)

, determinar su dominio, asíntotas, intervalos de ln x (2,5 puntos) crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica.



E4.- a) Calcular lim   . x 0 ln(1 )  x x  

(1 punto)

b) Calcular el área del recinto delimitado por las gráficas de las funciones

f ( x ) 

g ( x) 

1 x

2

y la recta x  e .

MATEMÁTICAS II‐Propuesta 6/2015.

1 x

(1,5 puntos)

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,


EJERCICIO MATEMÁTICAS II

Castilla y León

Nº Páginas: 2


OPCIÓN A  x + 2 y + 3z = 4  E1.- Consideremos el sistema  (a + 3) y = 0 .  (a + 2) z = 1 

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a . b) Resolverlo cuando sea posible.

E2.- Sean las rectas r ≡ x = y = z

y

 x − y = 1 . s ≡  x z 3 1 − = 

a) Comprobar que las rectas r y s se cruzan. b) Calcular la recta que corta perpendicularmente a las rectas r y s .

E3.- Consideremos la función

(1,25 puntos) (1,25 puntos)

f ( x) =

(0,5 puntos) (2 puntos)

x 2 − 1

. Calcular dominio, asíntotas, intervalos de 2 x + 1 (2,5 puntos) crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y puntos de inflexión.

E4.- a) Enunciar e interpretar geométricamente el Teorema de Rolle.

(1 punto)

b) Hallar la primitiva de la función f ( x) = x 2 ln x cuya gráfica pasa por el punto (1, 0) . (1,5 puntos)


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OPCIÓN B a−4   a (a − 4) . a a a 4 ( 4) − −  

E1.- Consideremos la matriz M = 

a) Calcular el rango de M en función del parámetro a .  x 

x

 

 

(1,5 puntos)

b) Para a = 1 , resolver la ecuación M   = −6   . y y

(1 punto)

E2.- a) Determinar la ecuación del plano que es perpendicular al segmento de extremos A = (0, −1, 3) y B = (2, −1,1) y que pasa por el punto medio de dicho segmento.

(1,25 puntos) b) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los cortes del plano 2 x + y + 2 z − 2 = 0 con (1,25 puntos) los ejes coordenados.

 ax 2 + bx + c , si x ≤ 2 E3.- Consideremos la función definida a trozos f ( x) =  . x x ln( 1), si 2 − >  Hallar los valores de a, b y c para que f ( x) sea continua en toda la recta real y tenga un extremo relativo en el punto (1, −1) .

1

E4.- a) Calcular lim ( cos x ) x . x →0 2

(2,5 puntos)

(1 punto)

b) Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones cos x y sen x y las rectas x = 0 y x =

π 2

.


(1,5 puntos)

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Castilla y León


OPCIÓN A

E1.- Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m :

 mx  y  1   x  my  m 2mx  2 y  m  1 

E2.- Sea por r 



(3,1, 0) y r la recta dada el plano que pasa por los puntos A(1, 1,1) , B (2,3,2) , C

x  7 2

(2,5 puntos)



y 6

1



z  3 2

.

a) Calcular el ángulo que forman la recta r y el plano  . b) Calcular los puntos de r que distan 6 unidades del plano



.


E3.- Hallar la función polinómica de grado 3 sabiendo que su gráfica pasa por el punto P (1,0) , que tiene por tangente en el punto de abscisa x  0 la recta de ecuación y  2 x  1 , y que su integral entre 0 y 1 vale 3.

(2,5 puntos)

2

E4.- Sea la función f ( x)  e  x . Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, (2,5 puntos) extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica.

MATEMÁTICAS II-Propuesta 5/2014. Página 1 de 2

OPCIÓN B  a a  1 a  2    E1.- Sea la matriz A   a a  3 a  4  .  a a  5 a  6  

(1,5 puntos)

a) Discutir su rango en función de los valores de a .

 0   b) Para a  1 , resolver la ecuación matricial At X  0 , siendo At la matriz traspuesta de A.    0  

(1 punto)

E2.- Calcular la recta contenida en el plano



1

 x  y  z  3 , paralela al plano

que pasa por el punto simétrico de B(1,1,1) respecto de

E3.- Sea la función



2

.



2

 x  0 , y

(2,5 puntos)

f ( x )   2 x .

a) Hallar su dominio y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Calcular el punto de la gráfica de f ( x) más cercano al punto (4,0) .

E4.- Sea la función f ( x) 

e x (1  e x )2

(0,5 puntos) (2 puntos)

.

a) Calcular un punto de su gráfica tal que la recta tangente en dicho punto sea paralela al eje (1 punto) OX . Escribe la ecuación de la recta tangente. b) Calcular el área limitada por la gráfica de la función, el eje OX y las rectas x  0 y (1,5 puntos) x  ln 5 .


EJERCICIO



Castilla y León


OPCIÓN A E1.- a) Resolver la siguiente ecuación matricial 2

1

3

2 

B  

 5 2   , 3 1  

X  A  B  C , siendo A  

1 1 . 1 2  

 y C  

(1,5 puntos)

b) Sean F1 , F 2 y F 3 las filas de una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcular razonadamente el valor del determinante de la matriz cuyas filas son respectivamente 3 F1  F3 , F 2 , y 2 F 3 .

(1 punto)

 x  y  2  0 .  z 2 

E2.- Sea el punto A(1,1,3) y la recta de ecuación r  

a) Calcular el plano perpendicular a la recta r que pase por A . b) Calcular la distancia del punto A a la recta r .


E3.- Sea la función f ( x)  x 2e  x . Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. (2,5 puntos) Esbozar su gráfica.

E4.- a) Hallar el punto en el que la recta tangente a la gráfica de la función f ( x)  x 2  x  4 es paralela a la recta de ecuación y  5x  7. (1 punto) 2 b) Calcular el área delimitada por la parábola de ecuación y  2 x y la recta y  2 x  4.

(1,5 puntos)


OPCIÓN B

mx  y  1 . 1 2     x my m 

E1.- Sea el sistema de ecuaciones lineales 

(1,5 puntos) a) Discutir el sistema según los valores de m. b) Hallar los valores de m para los que el sistema tenga alguna solución en la que x  2. (1 punto)

E2.- a) Dados el punto A(3, 5, 1) , la recta  

3 x  2 y  z  5  0 , determinar el punto B de



r 

x  1

2

 y 

2  z  1

y

el

plano

tal que la recta AB sea paralela a la

(1,5 puntos)

recta r .

b) Hallar las coordenadas de un vector de módulo 1 que sea perpendicular a los vectores PQ y PR , siendo P (1, 3,  1) , Q(2, 0, 1) y R(1, 1, 0) .

(1 punto)

E3.- Se desea construir un depósito de chapa (en forma de prisma recto, abierto y de base cuadrada) con una capacidad de 32.000 litros. ¿Cuáles han de ser las dimensiones del depósito para que se precise la menor cantidad de chapa posible en su construcción?

(2,5 puntos)

E4.- a) Enunciar e interpretar geométricamente el Teorema de Rolle. 2 b) Hallar la primitiva de f ( x)  x ln x cuya gráfica pasa por el punto (1, 2).



Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado


Castilla y León


OPCIÓN A 2  3 1 E1.- Sean las matrices A   1  , B   1  y C   2  . a  4  1      

( 0,75 puntos) a) Calcular, cuando sea posible, las matrices C  Bt , Bt  C , B  C . b) Hallar a para que el sistema x  A  y  B  4  C de tres ecuaciones y dos incógnitas x e y, (1,75 puntos) sea compatible determinado y resolverlo para ese valor de a. E2.- Sean los puntos A(1, 2, 1) , P (0, 0, 5) , Q(1, 0, 4) y R(0, 1, 6) . a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A, es paralela al plano que pasa por los puntos P, Q y R, y tal que la primera componente de su vector director es doble que la (1,75 puntos) segunda. (0,75 puntos) b) Hallar la distancia del punto A al plano que pasa por P, Q y R. a x  bx si 0  x  1,  E3.- Sea la función f ( x)   . Hallar a, b y  c ln x si 1  x 

continua en

(0, ) ,

c

sabiendo que f ( x) es

la recta tangente a f ( x) en el punto de abscisa x 

recta y   4x  3 , y se cumple que



e 1

f ( x)dx  2.

E4.- a) Estudiar el crecimiento de la función f ( x)  x3  3x2  3 .

1 16

es paralela a la


b) Probar que la ecuación x 3  3x 2  3  0 tiene exactamente tres soluciones reales. (1,5 puntos)

MATEMÁTICAS II – Propuesta 3 /2013.

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OPCIÓN B  a 2 0  E1.- Sea la matriz A   0 2 0  . 0 1 a  


a) ¿Para qué valores de a la matriz A es inversible? b) Estudiar el rango según los valores de a . 1

c) Hallar a para que se cumpla A1   A .

(1,5 puntos)

4

 x  1 . 4   y z 

E2.- Sean los puntos P (1, 4, 1) , Q(0, 3, 2) y la recta r  

a) Hallar la ecuación del plano que pasa por P , por un punto R de la recta r y es (1,5 puntos) perpendicular a la recta que pasa por Q y por R . (1 punto) b) Hallar el ángulo que forman la recta r y el plano   x  y  3  0 .

E3.- Sea la función f ( x) 

x  2 x  2

.

(1 punto) a) Calcular sus asíntotas y estudiar su crecimiento y decrecimiento. b) Dibujar el recinto comprendido entre la recta y  1, la gráfica de la función f ( x) , el eje OY (1,5 puntos) y la recta x  2 ; calcular el área de dicho recinto. E4.- Determinar, de entre los triángulos isósceles de perímetro 6 metros, el que tiene área (2,5 puntos) máxima.

MATEMÁTICAS II – Propuesta 3 /2013.

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Castilla y León

Nº Páginas: 2


OPCIÓN A

E1.- a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m :  3 x  y  mz  0  m  x  y mx  3 y  mz  2m 

b) Resolverlo para m  0 .

(2 puntos) (0,5 puntos)

E2.- Sean el plano   x  y  z  0 , la recta r  x  y  z y el punto A(3,2,1) . (1 punto) a) Hallar la recta que pasa por A, es paralela a  y corta a r . (1,5 puntos) b) Hallar los puntos de r que equidistan de A y de  .

E3.- Sea f ( x)  ( x  1)e x . Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. (2,5 puntos) Esbozar su gráfica.

E4.- a) Hallar lim

x 

b) Calcular



x ln( x  1) x 2  1

.

x  1  1 dx . x  1

MATEMÁTICAS II - Propuesta 1/2013

(1,25 puntos)

(1,25 puntos)

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OPCIÓN B 1 1   1   E.1.- Sea la matriz M   0 2 1  .  1  2  2   

a) Calcular M 1 . b) Calcular la matriz X que cumple X  M  M  2 M 2 .


E.2.- Sean las rectas r  x   y  z  1 y s  x  2  y  z  m . a) Determinar m para que las rectas sean coplanarias. b) Para m  2 , calcular la distancia entre las rectas.


E.3.- a) Enunciar el teorema del valor medio de Lagrange. Dar su interpretación geométrica. (1 punto) b) Estudiar la continuidad de la función  1 / x si x  0, e   f ( x )   k si x  0,   1  cos( x ) si x  0,   sen( x)    en el intervalo    ,  , según los valores de k .

 2 2 

(1,5 puntos)

E4.- a) Determinar las asíntotas horizontales y verticales de la función f ( x) 

1 x  x  2 2

.

(1 punto) b) Calcular

 x

1 2

 x  2

dx .


(1,5 puntos)

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Castilla y León

Nº Páginas: 2

INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.-CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.

OPCIÓN A E1.- Sea f (t ) =

1 1 + et

.

a) Calcular ò f (t) dt .

(1,5 puntos)

x

b) Sea g ( x ) = ò0 f (t )dt . Calcular lim

g ( x)

x ® 0

E2.- Dada la función f ( x) =

(1 punto)

.

ae2 x

, se pide: 1+ a) Hallar a para que la pendiente de la recta tangente a la función en x = 0 valga 2. (0,5 puntos) (1 punto) b) Para a = 1 , estudiar el crecimiento, decrecimiento y extremos relativos. (1 punto) c) Para a = 1 hallar sus asíntotas. ,

ìax + y + z = (a - 1)(a + 2) ï E3.- Se considera el sistema de ecuaciones í x + ay + z = (a - 1) 2 (a + 2). ï x + y + az = (a - 1)3 (a + 2) î

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a b) Resolver el sistema para a = 1. c) Resolver el sistema para a = - 2.

E4.- Se consideran las rectas: r º

x

1

=

y -1

-2

=

z -3

2

; sº

x-2

3

( 1,5 puntos) ( 0,5 puntos) ( 0,5 puntos)

.

=

y

1

a) Justificar razonadamente que ambas rectas se cruzan. b) Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas.


=

z + 1

-1

.


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OPCIÓN B E1.- a) Calcular ò

1 dx . x 2 + 2 x + 3

(1,5 puntos)

b) Calcular los valores del parámetro a para que las tangentes a la gráfica de la función f ( x ) = ax 3 + 2 x 2 + 3 en los puntos de abscisas = 1 y x = - 1 sean perpendiculares. (1 punto)

E2.- Se considera la función f ( x ) = e x + ln( x) , x Î (0, ¥) donde ln denota el logaritmo neperiano.

(1 punto)

a) Estudiar la monotonía y las asíntotas de f ( x).

b) Demostrar que la ecuación x 2e x - 1 = 0 tiene una única solución c en el intervalo [0,1] . (0,75 puntos) c) Deducir que f presenta un punto de inflexión en c. Esbozar la gráfica de f .( 0,75 puntos)

E3.- Sea M una matriz cuadrada que cumple la ecuación M 2 - 2M = 3I , donde I denota la matriz identidad. a) Estudiar si existe la matriz inversa de M . En caso afirmativo expresar M -1 en (1,25 puntos) términos de M e I . æa bö

b) Hallar todas las matrices M de la forma ç ÷ que cumplen la ecuación b a è ø 2 (1,25 puntos) M - 2 M = 3I .

E4.- Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P (2,1,3) y Q(1, 3,1) ; los otros dos sobre una recta r que pasa por el punto R(-4,7, -6). a) Calcular la ecuación de la recta r . b) Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado. c) Hallar las coordenadas de uno de los otros vértices.


( 0,5 puntos ) ( 1 punto ) ( 1 punto )

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MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas 2

Castilla y León


OPCIÓN A E1.- Sea la función f ( x )  (2 x 2  3)e x . a) Estudiar asíntotas, crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad (2 puntos) y puntos de inflexión. (0,5 puntos) b) Esbozar su gráfica.

E2.- a) Calcular

sen (2 x)

 3  sen 2 ( x) dx .

(1,25 puntos)

ln(1  x)  ln(1  x) . x 0 x sen ( x)

(1,25 puntos)

b) Calcular lim

 x  ay  z  2  E3.- Se considera el sistema  2 x  y  az  0 , donde a es un parámetro real. Se pide:  x  y  z  a  1 


a) Discutir el sistema en función del valor de a. b) Hallar la solución del sistema para a  1 , si procede.

E4.- Dados el punto A(2,1,1) y las rectas r  x 

y  2

 x  y  0 , se pide:  z  1 , y s    x  z  2

2 a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y corta a r y s. b) Hallar la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A.

MATEMÁTICAS II. Propuesta 4/2012.


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OPCIÓN B E1.- a) Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y  x 3  6 x 2  4 x  8 la recta (1 punto) tangente a la misma es paralela a la recta y  4 x  7 . b) Hallar el área de la región comprendida entre las rectas x  1 , x  4 y que está limitada por (1,5 puntos) dichas rectas, la gráfica de la función f ( x)  x 2  4 y el eje OX .

E2.- a) Determinar los extremos absolutos de la función f ( x)  x 2  4 x  4 en el intervalo (1,25 puntos) [1,4]. b) Aplicando la definición, estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f dada por  x  x 2 si 0  x  1,  f ( x )   ln 2 ( x ) en el punto x  1 , donde ln denota el logaritmo neperiano. x   si 1 2 ,  x  1 (1,25 puntos) E3.- a) Determinar, en función del valor del parámetro real a, el rango de la  1 a  1    (1,5 puntos) matriz A   1 0  1 . 3 a a    b) Sea C una matriz 2x2 de columnas C 1 y C 2 y de determinante 5, y sea B una matriz 2x2 de determinante 2. Si D es la matriz de columnas 4C 2 y C 1  C 2 , calcular el determinante de (1 punto) la matriz BD 1 .  x  3  2t  E4.- Sea s la recta de ecuaciones paramétricas  y  1  t .  z  1 

a) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(1,0,5) y corta perpendicularmente a (1,5 puntos) la recta s. (1 punto) b) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y a s.

MATEMÁTICAS II. Propuesta 4/2012.

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Castilla y León


OPCIÓN A E1.- Calcular el área de la región finita y limitada por la gráfica de la función 3 f ( x) = x − x + 1 y la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 .(2,5 puntos) E2.- a) Estudiar si la función

f : [0,2] → R dada por

⎧ x si 0 ≤ x ≤ 1 ⎪ f ( x ) = ⎨ 3 2 7 ⎪⎩− 2 x + 2 x − 1 si 1 < x ≤ 2,

(1,5 puntos)

verifica las hipótesis del teorema de Rolle. Enunciar dicho teorema. b) Calcular lim x → 0

cos(2 x) − e

−x

− x

xsen( x )

(1 punto)

.

⎛ 1 2 3 4 ⎞ ⎜ ⎟ 5 6 7 8 ⎟ E3.- a) Calcular el rango de la matriz A = ⎜⎜ (1,5 puntos) . 9 10 11 12 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 13 14 15 16 ⎠ b) Si B es una matriz cuadrada de dimensión 3 × 3 cuyo determinante vale 4, calcula el

(1 punto)

2

determinante de 5 B y el de B .

⎧ y − x = 1 y el plano z x 2 0 − = ⎩

E4.- a) Determinar la posición relativa de la recta r ≡ ⎨ b) Hallar el plano perpendicular a

π

que contiene a r .

π

≡ x − y = 0 .


MATEMÁTICAS II - Propuesta 4/2011. Página 1 de 2

OPCIÓN B E1.- Sea f ( x ) =

x 2 − 3 x + 3

. x − 1 a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, (2 puntos) intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas. (0,5 puntos) b) Esbozar su gráfica.

E2.- a) Hallar el valor de los parámetros reales a y b para los que la función ⎧ sen( x) − ax ⎪ 2 f ( x ) = ⎨ x ⎪⎩ x 2 + b

si x > 0 si x ≤ 0

(1,5 puntos)

es continua en R. b) Calcular

∫

ln( x ) x

2

(1 punto)

dx .

E3.- Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m :

⎧ x + y + z = 1 ⎪ . ⎨ x − y − z = 0 ⎪3 x + my + z = m + 1 ⎩

E4.- a) Hallar la recta r que pasa por el punto

A(1,−1,0) , está contenida en el plano

≡ x + y = 0 , y corta a la recta s ≡ x = y = z . b) Hallar la distancia del punto B(2,−2,2) a la recta s. π

(2,5 puntos)



EJERCICIO



Castilla y León

INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.

OPCIÓN A E1.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y determina en el primer cuadrante con los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Calcular dicha área.

(2,5 puntos) E2.- a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función [-2, 2]. Calcular la función derivada de f ( x ) en ese intervalo.

f ( x) = x − 1 en el intervalo

(1,25 puntos)

b) Calcular el área del recinto delimitado en el primer cuadrante, por la gráfica de la función y = ln x y las rectas y = 0 , y = 1 y x = 0 . (1,25 puntos) 1 ⎞ ⎛ − 1 0 ⎜ ⎟ E3.- a) Averiguar para qué valores de m la matriz A = ⎜ − 1 1 − m ⎟ no tiene inversa. ⎜ 0 m −2⎟ ⎝ ⎠


b) Calcula la matriz inversa de A para m = 0. c) Sabemos que el determinante de una matriz cuadrada A vale –1 y que el determinante de la (1 punto) matriz 2· A vale –16 ¿Cuál es el orden de la matriz A?

E4.- Sean la recta

⎧ x + y = 1 y el plano r ≡ ⎨ 0 + = my z ⎩

π

≡ x + (m + 1) y + mz = m + 1 . Estudiar la

posición relativa de la recta y el plano según los valores de m.

(2,5 puntos)


OPCIÓN B E1.- Dada la función y =

ln x

, determinar su dominio de definición, sus asíntotas, extremos x relativos y puntos de inflexión. Hacer un esbozo de su representación gráfica.

(2,5 puntos) E2.- Hallar el valor de m para que el área delimitada, en el primer cuadrante, por la función 3 y = 4 x y la recta y = mx sea de 9 unidades cuadradas. (2,5 puntos) E3.- Discutir según los valores de m y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones ⎧ mx + y = 2 ⎪ lineales ⎨ x + my = m . ⎪ x + y = 2 ⎩

(2,5 puntos)

E4.- a) Calcular un vector unitario y ortogonal a los vectores v = (1, 2, 0) y

w = ( −1, 0, 1) .

(1 punto) ⎧ y + 1 = 0 x y + 3 b) Calcular el plano que contiene a las rectas r ≡ ⎨ y s≡ = = z − 2 . 1 + = x z 1 0 − ⎩

(1,5 puntos)




Castilla y León


OPCIÓN A 1 2 y  x , y la recta y  9 , hallar las dimensiones y el área del 3 rectángulo de área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica (2,5 puntos) de la parábola.

E1.- Dada la parábola

E2.- Dada la función

f ( x) 

x  1 x  1

, se pide:

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, y las asíntotas. (1,5 puntos) b) Calcular el área de la región limitada por la gráfic a de la función g ( x) 

f ( x) x

las rectas x  2 , x  4 .

, el eje OX y

(1 punto)

 1 0 0     1  3 5   1 2 3  E3.- Dadas las matrices B   0 1 0  , C    y D    :   2 4 6 0 1 0     0 1 m   




a) ¿Para qué valores de m existe B 1 ? Para m  1 , calcular B 1 . b) Para m = 1, hallar la matriz X tal que X  B + C = D.

E4.- Se consideran las rectas r y s dadas por las ecuaciones:  y  z  1 ,    2 2 x y z   x

r  

s

x  2

3



y  1

2



z a

.

(1,5 puntos) a) Hallar el valor del parámetro a para que r y s sean perpendiculares. b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada z es 0. (1 punto)

MATEMÁTICAS II ‐ Propuesta 6/2010. Página 1 de 2

OPCIÓN B

 2  x  bx  c si x  0,  E1.- Calcular b y c sabiendo que la función f ( x )   es derivable en  ln( x  1) si x  0,  x

(2,5 puntos)

el punto x = 0.

E2.- Calcular la siguiente integral:



2

x  3 x  2 dx . 2

1

(2,5 puntos)

E3.- Discutir según los valores del parámetro a , y resolver cuando sea posible, el sistema:  x  z  1  .  y  (a  1) z  0  x  (a  1) y  az  a 

E4.- Dadas las rectas

s

x  1

3

 y 

(2,5 puntos)

z 1

2

2 x  y  0, y t   se pide hallar la perpendicular 2 4 ,   y z 

común a s y a t y la distancia entre ambas rectas.

(2,5 puntos)




Castilla y León


OPCIÓN A E1.- a) Dadas las funciones f ( x) = ln( x) y

g( x) = 1 – 2 x, hallar el área del recinto plano (2 puntos) limitado por las rectas x = 1, x = 2 y las gráficas de f ( x) y g( x). b) Dar un ejemplo de función continua en un punto y que no sea derivable en él. (0,5 puntos)

E2.- a) Si el término independiente de un polinomio p( x) es -5 y el valor que toma p( x) para x  3 es 7, ¿se puede asegurar que p( x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo [ 0,3 ]?

Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen. cos( x ) dx . b) Calcular 1  sen 2 ( x )




E3.- a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3  3 que verifica que B2 = 16 I , siendo I la (1,5 puntos) matriz unidad. Calcular el determinante de B.  0 1   0 0 1    X    . (1 punto) 0 2 0 0 2    

b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación 

 x  y  az  0, con a  R , y el plano ay z   4 , 

E4.- Se consideran la recta r  

a) Hallar los valores de a para los que r es paralela a  . b) Para a = 2, hallar la distancia de r a  . c) Para a = 1, hallar la distancia de r a  .



 x  y  z  2  0 .

(1 punto) (1 punto) (0,5 puntos)


OPCIÓN B E1.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5€/cm2 y para la base un material un 50% más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo.

(2,5 puntos) E2.- Hallar el valor de a para que se verifique que  2 x  a  lim   x   2 x  1  

x 5

= lim x  0

x 2  x 3

sen 2 ( x )

(2,5 puntos)

.

E3.- Consideramos el sistema de ecuaciones lineales: 2 x  y  az  1  a,  1,  x  ay  z   x  y  3 z  a. 


a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a. b) Resolver el sistema para a =1.

E4.- Dados el punto P(1,1,  1) , la recta

r  x 

y  6

4

 z  3 y el plano



 6 x  6 z  12  0 ,

se pide: a) Hallar el punto simétrico de P respecto del plano  . b) Hallar los puntos Q de r que distan

1 2

unidades de longitud de  .





Castilla y León


OPCIÓN A E1.- Dada la función f ( x) =

( x + 3)

2

, se pide determinar: e x a) El dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas. b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos. c) La gráfica de f .

E2.- Calcular

∫

e

1

1 + ln( x 3 ) + (ln x ) 2 x (1 + ln x )

(1 punto) (1 punto) (0,5 puntos) (2,5 puntos)

dx .

E3.- Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto A(1, 0, −1) , es perpendicular al plano

π

⎧ z = 0 ≡ x − y + 2 z + 1 = 0 y es paralelo a la recta r ≡ ⎨ . 2 0 − = x y ⎩

E4.- a) Sea A una matriz cuadrada tal que

(2,5 puntos)

A2 − 3 A = −2 I (siendo I la matriz identidad).

Probar que A admite inversa y utilizar la igualdad dada para expresar A−1 en función de A .

(1,5 puntos) ⎛ 1 2 m ⎞ ⎜ ⎟ b) Sea B = ⎜ 2 0 1 ⎟ la matriz de coeficientes de un sistema lineal. Hallar razonadamente ⎜m 1 2 ⎟ ⎝ ⎠ los valores de m para los que el sistema es compatible determinado.

(1 punto)


OPCIÓN B

E1.- De

f : R → R se sabe que f ´´( x ) = x 2 + 2 x + 2 y que su gráfica tiene tangente horizontal

(2,5 puntos)

en el punto P(1, 2). Hallar la expresión de f . x − x

E2.- a) Sean

f ( x) =

b) Calcular

∫ ( x + 3)e

2 x+2

⎧3 x y g ( x ) = ⎨ 2 ⎩ x

si x ≤ 0, si x > 0.

Hallar g ( f ( x )) .


dx .

E3.- a) Determinar las coordenadas del punto simétrico de A( −2,1, 6) respecto de la recta r ≡

x + 1

1

=

y −3

2

=

z +1

2

.


b) Hallar la distancia de A a r .

⎛ 3 0 2⎞ ⎛ 2⎞ E4.- Sean las matrices A = ⎜⎜ 0 0 1 ⎟⎟ y B = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ . ⎜0 1 0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a) Calcular A−1 . b) Resolver la ecuación matricial AX + 2 AB = B .





Castilla y León


OPCIÓN A E1.- Se divide un alambre de 100m de longitud en dos segmentos de longitud x y 100 − x . Con el de longitud x se forma un triángulo equilátero, y con el otro un cuadrado. Sea f ( x ) la

(2,5 puntos)

suma de las áreas. ¿Para qué valor de x dicha suma es mínima?

E2.- Determinar la función f tal que

f '( x) =

x4 + x + 1 x 2 + x

y con f (1) = 2 .

E3.- a) Determinar las ecuaciones de los planos paralelos al plano

≡ 12 x + 3 y − 4 z = 7 que

(1,5 puntos)

distan 6 unidades del mismo. b) Probar que el punto P(1,1,2) pertenece a

π

(2,5 puntos)

π

, y calcular la recta perpendicular a

π

que pasa

(1 punto)

por P.

E4.- Discutir, y resolver en los casos que sea posible, el sistema: ⎧ax + y − z = 1 ⎪ ⎨ x + 2 y + z = 2. ⎪ x + 3 y − z = 0 ⎩

(2,5 puntos)


Examenes Matematicas Selectividad CyL - 2016-10

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