MECANISMOS Y MÁQUINAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE LOS MATERIALES
Examen Parcial
Curso 2010/11
09-04-2011
EJERCICIO 1 (2 Puntos) Para el mecanismo de la figura calcular el número de grados de libertad y deducir, mediante métodos gráficos, el sentido del movimiento de cada uno de los eslabones .
D A
ωOA O2
O1
B
C
EJERCICIO 2 (3,5 Puntos) El mecanismo de Whitworth representado en la figura acciona una u na cepilladora. Determinar: a) grados de libertad del del mecanismo. b) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones. c) velocidad y aceleración del cepillo C cuando la manivela O1 A forma 20º con la horizontal. d) par resistente en O1, para la posición del apartado anterior, si la fuerza del cepillo C debe ser de 50 kgf.
A O1
ωOA B
Datos: O1A = 25 cm; O 1O2 = 15 cm; O2B = 10 cm; BC = 30 cm; ωOA = 40 rad/s (cte); mC = 10 kg
O2
C
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EJERCICIO 3 (4,5 Puntos) La figura muestra una plataforma elevadora hidráulica, en donde O1O2 es la base fija. El accionamiento se realiza a través del cilindro O2B. Para θ = 40º determinar: G
a) velocidad y aceleración de la plataforma si el cilindro hidráulico O2B se expande a razón de 0,1 m/s de forma constante.
0,45 m
D
b) fuerza necesaria en el cilindro hidráulico si el peso total de la plataforma con carga es de 500 kgf aplicada en G, así como todas las
C
A B
θ
reacciones en apoyos y fuerzas en uniones.
O1
0,1 m/s
Datos: O1A = AC = AD = AB = 0,6 m; Coeficiente de rozamiento cinético µk = 0,2
FORMULARIO Análisis cinemático de mecanismos Movilidad
m = 3 . (n - 1) - 2 . j1 - j2
Análisis vectorial
v B = v A + ωBA x rB/A + v desliz.B / A
aB = aA + αBA x rB/A + ωBA x (ωBA x rB/A ) + adesliz.B / A + 2.ωBA x vdesliz.B / A
Números complejos
rA = a.cosθ + a.senθ.j
da da vA = ⋅ cosθ + ⋅ senθ . j + [- a . ω . senθ + a . ω . cosθ . j] dt dt
d2a d2a da da ⋅ ω . senθ + 2 ⋅ ⋅ ω . cosθ . j + aA = 2 ⋅ cosθ + 2 ⋅ senθ . j + - 2 ⋅ dt dt dt dt
+
[ (- a . α . senθ
(
+ a . α . cosθ . j) + - a . ω2 . cosθ - a . ω2 . senθ . j
Análisis de esfuerzos en mecanismos Equilibrio dinámico
∑
Potencias Virtuales
∑ Fext . v) + ∑ Mext . ω) + ∑ Fin . vG ) + ∑ Min . ω) = 0
Fext + Fi = 0
;
∑
MG(ext) + Mi = 0
)]
O2
MECANISMOS Y MÁQUINAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE LOS MATERIALES SOLUCIÓN EJERCICIO 1 m = 3 x (6-1) – 2 x 7 – 0 = 1
vA vA
A
A
ωOA O1 vB
O2
B
ωAB
CIR(AB)
ωO BC
vB
2
O2
B
CIR(CD)
C vC
D vD
ωCD D vD
O2
C vC
MECANISMOS Y MÁQUINAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE LOS MATERIALES SOLUCIÓN EJERCICIO 2 a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 – 0 = 1 b) Son necesarios dos polígonos:
A r2 O1
θ2 r3
r1
B
r6
r4
θ3
θ6
θ4
O2
r5
O2 r1 + r2 = r3
C
r5 + r6 = r4
POSICIÓN 0,25 x cosθ2 = r3
x
cosθ3
0,15 + 0,25 x senθ2 = r3
x
;
senθ3
r5 + 0,3 x cosθ 6 = 0,1 x cosθ 4
;
θ3 = θ 4
0,3 x senθ6 = 0,1 x senθ 4
VELOCIDAD - 0,25 x (-40) x senθ2 = vdes
x
cosθ3 - r3
0,25 x (-40) x cosθ2 = vdes
x
senθ3 + r3
x x
ω3 ω3
senθ3
x
cosθ3
x
; ω3
= ω4 ;
vC - 0,3 x ω6 0,3 x ω6
x
x
senθ6 = −0,1 x ω4
cosθ6 = 0,1 x ω 4
x
x
senθ4
cosθ4
ACELERACIÓN - 0,25 x (-40)2
x
cosθ2 = ades
x
cosθ3 - 2 x v des
- 0,25 x (-40)2
x
senθ2 = ades
x
senθ3 + 2 x v des
aC - 0,3 x α6
senθ6 - 0,3 x ω26
0,3 x α 6
x
x
cosθ6 - 0,3 x ω26
c) Para θ2 = 20º
x
x
ω3
x
x
ω3
cosθ6 = -0,1 x α 4
senθ6 = 0,1 x α 4
x
x
x
senθ3 - r3 x
x
cosθ3 + r3
α3 x senθ3 - r3 x
α 3 x cosθ3 - r3
senθ4 - 0,1 x ω24
cosθ4 - 0,1 x ω24
x
x
cosθ4
x
2
ω3 x
2
ω3
x
cosθ3 x
senθ3
α3 = α 4
senθ4
r3 = 0,3326 m ; θ3 = θ4 = 45,071º ; θ6 = 166,35º ; r5 = 0,3621 m
v des = -4,237 ades = -115,67
m/s
m/s2
; ω3 = ω4 = -27,23 rad/s ; α 3 = α 4 = -184,197 rad/s2
v C = 2,395
m/s
aC = -36,85
;
ω6 = 6,596
rad/s
; α 6 = 214,122 rad/s2 m/s2
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d)
O1(y) O1
Mr(O1)
ωOA
A
O1(x) B
vC
O2(y)
aC O2(x)
O2
FC
Fi(C) NC
Aplicando el método de las Potencias Virtuales:
∑ (Fext . v + ∑ (Mext . ω + ∑ (Fi . vG
+
∑ (Mi . ω
= 0
Los esfuerzos que producen potencia son el par resistente M r(O1), la fuerza externa en el cepillo F C y la fuerza de inercia en el cepillo F i(C). Por tanto:
(M
r(O1)
) (
) (
)
. ωOA + FC . v C + Fi(C) . v C = 0
- (Mr(O1) x 40) – (50 x 9,81 x 2,395) + (10 x 36,85 x 2,395) = 0 De donde: Mr(O1) = -7,305
N.m
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SOLUCIÓN EJERCICIO 3 a) Tomando dos polígonos:
D r4 A
r5
r3
r2
θ2 O1
A
r2
θ3
θ4
θ2 O1
B
r1 r1 + r3 = r2
r2 + r4 = r5
De donde: r1 + r3 = r5 - r4
siendo: r3 = r4 = 0,6 m ,
r1 + r3 + r4 = r5
θ 3 = θ 4 = 180º - θ2 ,
ω3 = ω4 , α3 = α 4
Para θ2 = 40º θ3 = θ4 = 140º: POSICIÓN r1 + (0,6 + 0,6 ) x cosθ3 = 0
r1 = 0,9192 m
(0,6 + 0,6) x senθ3
r5 = 0,7713 m
= r5
VELOCIDAD − 0,1 − (0,6 + 0,6 ) x ω3
(0,6 + 0,6) x ω3
x
x
senθ3 = 0
ω3 = - 0,1296 rad/s
cosθ3 = vP
vP = 0,1192 m/s
ACELERACIÓN − (0,6 + 0,6) x α3
x
senθ3 − (0,6 + 0,6) x ω23
x
cosθ3 = 0
(0,6 + 0,6) x α3 x cosθ3 − (0,6 + 0,6) x ω23 x senθ3
= aP
α3 = 0,02 rad/s2
aP = - 0,0314 m/s2
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b) Realizando el análisis de esfuerzos para cada uno de los eslabones: PLATAFORMA Fi = 500x0,0314
Dy
G
0,45 m
D
C 0,2xNC
Dx
NC
W = 500xg 0,9192 m
∑ Fx = 0 ⇒ Dx - 0,2 NC = 0 ∑ Fy = 0 ⇒ Dy + NC + 500 0,0314 - 500 ∑ MD = 0 ⇒ (NC 0,9192 ) + (500 0,0314 x
x
x
x
x
g=0 x
0,45) - (500 x g x 0,45) = 0
De donde: Dx = 478,72 N NC = 2.393,59 N Dy = 2.495,71 N
BRAZO OC NC = 2.393,59 N Ay 0,6 m
O1(y)
0,6 m
C
0,2xNC = 478,72 N
Ax
A
40º O1
O1(x)
∑ Fx = 0 ⇒ O1(x) + A x + 0,2 NC = 0 ∑ Fy = 0 ⇒ O1(y) + Ay − NC = 0 ∑ MD = 0 ⇒ (Ay 0,6 cos40º) - (Ax 0,6 sen40º) - (2.393,59 1,2 cos40º) - (478,72 1,2 sen40º) = 0 x
x
x
x
x
x
x
x
x
(1)
MECANISMOS Y MÁQUINAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE LOS MATERIALES BRAZO BD Dx= 478,72 N
D 0,6 m
Dy= 2.495,71 N
Ax
A 0,6 m Ay
40º
B
FC
0,2xNB NB
∑ Fx = 0 ⇒ −478,72 − A x - FC + 0,2 NB = 0 ∑ Fy = 0 ⇒ − 2.495,71 − A y + NB = 0 ∑ MB = 0 ⇒ (A y 0,6 cos40º ) + (A x 0,6 sen40º) + (2.495,71 1,2 cos40º) + (478,72 1,2 sen40º) = 0 x
x
x
x
x
x
x
De (1) y (2): A x = - 6.784,28 N A y = - 102,13 N
Despejando: O1(x) = 6.305,56 N O1(y) = 2.495,71 N NB = 2.393,59 N FC = 6.784,28 N
CILINDRO HIDRÁULICO O2(y) O2(x)
B
FC
O2
∑F ∑F
x
= 0 ⇒ FC + O2(x) = 0
y
= 0 ⇒ O2(y) = 0
Por tanto: O2(x) = - 6.784,28 N O2(y) = 0
x
x
(2)
