evolución histórica del conepto de numero

TEMA 10.- SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CONCEPTO DE NÚMERO. EVOLUCIÓN HISTÓRICA Y PROBLEMAS QUE RESUELVE CADA UNA

1.- Introducción 2.- Sucesivas ampliaciones del concepto de número y problemas que resuelve cada una. 2.1- Números naturales. 2.2.- Números enteros. 2.3.- Números racionales. 2.4.- Números reales. 2.5.- Números complejos. 2.6.- Números algebraicos y transcendente transcendentes. s. 2.7.- Números cuaternio cuaterniones. nes. 3.- Evolución histórica. 3.1.-Babilonia. 3.2.- Los egipcios. 3.3.- Los griegos. 3.4.- Los romanos. 3.5.- Los chinos. 3.6.- Los hindúes. 3.7.- Los árabes. 3.8.- Los mayas.

Tema 10.- Sucesivas ampliaciones del concepto de número. Evolución histórica y problemas que resuelve cada una.

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TEMA 10.- SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CONCEPTO DE NÚMERO. EVOLUCIÓN HISTÓRICA Y PROBLEMAS QUE RESUELVE CADA UNA

1.- Introducción El concepto de número es tan antiguo como la matemática misma. Incluso podría decirse que es más antiguo que ésta, ya que desde sus orígenes el hombre ha sabido distinguir los conceptos de uno, dos y varios. Es de resaltar que la gramática griega incluía tres números: el singular, el dual y el plural. Es conocido por cualquier psicólogo que una persona es capaz de distinguir grupos de hasta tres elementos sin necesidad de contar. Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico. La primera sistematización de un sistema numérico es seguramente anterior a la existencia de testimonio escrito, y aún las tribus más atrasadas, disponen de un sistema más o menos rudimentario de contar. Paralelamente al concepto de número natural se desarrolla en la humanidad el concepto de magnitud y su relación con los números.


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2.- Sucesivas ampliaciones del concepto de número y problemas que resuelve cada una.

2.1- Números naturales. 2.1.1 Orígenes y motivación Existen desde un principio concepciones muy diversas del concepto de número. En sus primeros orígenes los números eran los que servían para contar, es decir, los números naturales, aunque no aceptaban el cero como número. Es decir, que la motivación de los números naturales es la necesidad de contar y su naturaleza está está estrechamente vinculada al concepto de número. 2.1.2Evolución histórica El ser humano ha empleado a lo largo de la historia diversos sistemas de numeración para contar. Las muescas encontradas en algunos palos y rocas demuestran que ya en la Prehistoria contaban agrupando, en este caso, en grupos de tres o cinco, lo que en el lenguaje actual significa que empleaban el 3 y el 5 como bases de sus sistemas de numeración.

BABILONIA. La primera escritura conocida, que apareció poco antes de finales del IV milenio a.C. en Mesopotamia, fue la escritura cuneiforme, consistente en grabar, mediante un estilete de forma triangular símbolos en una tablilla de arcilla. Esas tablillas se utilizaban para realizar anotaciones de cantidades asociadas a diversas clases de mercancías, siendo las primeras actas contables que se conocen. El gran descubrimiento de la cultura babilónica fue la introducción de un sistema de numeración posicional, que consiste en atribuir un valor diferente a las cifras según el lugar que ocupen en la escritura de un cierto número. El sistema babilónico empleaba la base 60, y todavía quedan restos de esa base, por ejemplo en la forma de medir un ángulo o en la medida del tiempo. El sistema era pseudoposicional, es decir, hasta el 60 era aditivo y posic¡onal para números mayores. Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo. De este se usaban los que fueran necesarios completando con las unidades hasta llegar a 60. los números mayores de 60 se


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representaban en varios estadios: en el primero se representaban las unidades, en el segundo grupos de 60, en el tercero grupos de 60 , etc. Además, no conocían el cero, al que solían sustituir por un espacio en blanco. “hueco”. Esto presentaba un inconveniente, al no disponer de símbolo para el cero. Como no estaba bien definido el tamaño de los huecos, no era fácil averiguar el número de ceros que contenía el número que otro había escrito. 2

LOS MAYAS La cultura maya, que no pudo recibir ninguna influencia de las culturas occidentales, desarrolló un sistema de numeración posicional en base 20 (con el 5 cómo base auxiliar) en el que ya utilizaban el cero. A pesar de utilizar el sistema de numeración en base 20 no necesitaron de 20 símbolos diferentes, sino que con la sola utilización de puntos (que tenían valor de 1), rayas (que tenían valor de 5) y un símbolo especial para el cero (en forma de concha), consiguieron escribir cualquier cantidad. La unidad se representaba por un punto, dos, tres y cuatro puntos servían para 2,3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas. Hasta aquí parece un sistema de base 5 aditivo, pero considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1,20, 202,203…..según el lugar que ocupe, y sumar el resultado.

LOS EGIPCIOS A partir de los papiros que han llegado hasta nuestra época, como el papiro de de Rhind y el papiro de Moscú, se ha podido saber que los egipcios disponían de dos sistemas de numeración:

A) El jeroglífico Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema de escribir los números en base 10 utilizando los jeroglíficos de la figura. Este sistema era aditivo no posicional y en el cual utilizaban jeroglíficos para representar el 1 y las seis primeras potencias de 10. Se utilizaban tantos de cada uno como fuera necesario y se podían escribir de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso. Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas, etc.) cuyo número indicaban. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad para los escribas.


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En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y así se introdujeron símbolos particulares para 20,30,….90…200,300….900,2000,3000…., con lo que disminuyeron el número de símbolos necesarios para escribir una cifra.

LOS GRIEGOS. Utilizaron varios sistemas de numeración entre los que cabe destacar:

A) El sistema ático. Es un sistema aditivo en base 10 en el cual, exceptuando a la unidad que es una raya vertical, los signos utilizados para representar el 5 y las potencias de 10 corresponden a la primera letra de la palabra que indica dicha cantidad, o es una combinación de esas letras numerales (principio de acrofonía). Los números 50, 500, 5000, etc, se denotan mediante signos que siguen el principio multiplicativo.

B) El sistema jónico o alfabético. Este sistema es también aditivo en base 10 y utilizaba 27 letras correspondientes al alfabeto griego, agrupadas en tres conjuntos de nueve, para designar los números 1 al 9; 10 al 90; 100 al 900 (no conocen el cero). Para distinguir si una letra representaba o no una cantidad, se introdujeron nuevos símbolos. Y un acento precediendo a un número (menor o igual que 9) equivalía a ese número multiplicado por 1000. Los griegos: o Utilizaban fracciones de cualquier tipo, además de establecer equivalencias entre ellas a partir de las proporciones. Descubrieron los números irracionales. o o Llegaron a demostrar algunas de las propiedades de las operaciones con números aunque haciéndolas para magnitudes como longitudes, áreas, etc.

LOS ROMANOS El sistema de numeración romano es del que más vestigios quedan en nuestra cultura. Es un sistema de numeración aditivo que utiliza los siguientes símbolos I=1 ; V=5 ; X=10 ; L=50 ; C=100 ; D=500 ; M=1000 sujetos a las siguientes reglas: o Una misma cifra sólo puede repetirse seguida un máximo de tres veces.


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Si una letra está colocada a la derecha de otra de mayor valor se suman sus valores. o Una letra colocada a la izquierda de otra de mayor valor, resta su valor. o Una cifra colocada entre dos de mayor valor, resta a la de la derecha. Las únicas cifras que pueden restar son, I, X y C; pero I sólo puede o restarse de V y X; X sólo de L y C; y C sólo de D y M. Una raya sobre una o varias cifras multiplica su valor por mil. o o

LOS CHINOS. En China coexistieron dos esquemas de notación numérica:

A) Sistema multiplicativo. Para expresar los números utilizaban un sistema decimal formado por 13 signos que corresponden a las nueve unidades y a las primeras 4 potencias de 10. A la hora de representar un número, se procede por adición y multiplicación a la vez.

B) Sistema posicional. Se remonta al siglo II a.C. Es un sistema análogo a nuestra numeración moderna. Es en base 10 y el valor de sus cifras viene determinado por la posición que ocupan. Se utilizan 18 símbolos, para representar los dígitos del 1 al 9 y los 9 primeros múltiplos de 10 (decena, centena, millar y decena de millar). Se escribía tanto de arriba abajo como de izquierda a derecha.

Conocían bien las fracciones, siendo capaces de obtener el mínimo común denominador de varias de ellas. Pero tenían preferencia por su escritura decimal. Los números negativos también fueron utilizados por los chinos. También estudiaron a fondo el número , dando una aproximación de él que no se vio superada hasta el siglo XV. Fue en el siglo VIII cuando los sabios chinos introdujeron un signo especial para escribir la ausencia de unidades, representado por un pequeño círculo (idea que tomaron de los matemáticos hindúes). Es a partir de este momento cuando comenzaron a representar números fraccionarios e irracionales de una forma similar a la actual occidental.

3.6.-LOS HINDÚES.


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Es a la cultura india a la que debemos el sistema de numeración posicional. Fue en el año 510 cuando el astrónomo indio Aryabhata inventa una notación numérica que precisa de un conocimiento perfecto del cero (aunque no existía un signo especial para denotar una posición que faltaba) y del principio de posicionamiento en base decimal. Esta notación le permite realizar fácilmente raíces cuadradas y cúbicas.

En el año 628, el matemático Brahmagupta utiliza asiduamente este sistema de numeración posicional, describe métodos de cálculo con las 9 cifras y el cero, da las reglas algebraicas fundamentales de números positivos y negativos, en las que el cero está presente como concepto matemático, y define el infinito matemático como el inverso del cero. Fue entonces cuando se formaliza el uso de los números negativos. En el año 875-876 se realizan las inscripciones indias en piedra de Gwalior, donde aparece por primera vez el cero en forma de un pequeño círculo.

3.7.- LOS ÁRABES. Los árabes tuvieron el acierto de recopilar todo el saber acumulado por las otras culturas: egipcios, griegos, indios, etc, terminando por imponerse el hindú, ya que era más sencillo para escribir y realizar operaciones, y lo introdujeron en occidente.

Hasta el año 875 d.C., en la India, no hay constancia de un uso sistemático de un símbolo para denotar el cero. El matemático árabe Al-Khowarizmi adoptó el sistema de numeración hindú, esto es, el sistema posicional en base 10 , y lo difundió por el mundo árabe. Aunque hubo que esperar al siglo XIII para que Jordanus Nemorarius lo introdujera en Europa. Los matemáticos no se preguntaron acerca de la consistencia de los números naturales hasta finales del siglo XIX. Coincidiendo con la crisis de fundamentación de las matemáticas, originada esencialmente por los trabajos de Cantor, el


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matemático italiano Peano construyó su fundamentación de la aritmética que incluye la definición axiomática:

-

de los números naturales:

el cero es un número natural a cada número natural se le asigna un siguiente que es también un o número natural o no existe ningún número natural cuyo siguiente sea el cero si los siguientes de dos números naturales son iguales es que esos o números naturales son también iguales o

-

del principio de inducción: todo conjunto de números naturales que

contenga el cero y que para cada uno de sus elementos contenga también a su siguiente, entonces contiene a todos los números naturales. La obra de Peano está íntimamente conectada con la de Fregue, quién escribió su fundamentación de la aritmética y fue el primero en definir el número cardinal. Construyendo axiomáticamente el conjunto de los números naturales, n , y definiendo sobre él las operaciones internas de la suma y de la multiplicación y las relaciones de equivalencia < y , tenemos que ( , +, ·) es un semianillo

conmutativo con elemento unidad, estrictamente ordenado por la relación < y totalmente ordenado por la relación .


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2.2.- Números enteros Números negativos Las culturas egipcia, babilónica, e incluso griega, fueron incapaces de aceptar los números negativos, en particular los enteros negativos, como tales números, y los desechaban cuando aparecían como soluciones de algunas ecuaciones. Los matemáticos chinos manejaban conceptos equivalentes a números positivos y negativos, representando los positivos en color rojo y los negativos en negro. Pero no aceptaban que un número negativo fuese solución de una ecuación. Los matemáticos hindúes aceptaban los números negativos, siendo Brahmagupta el primero en aceptar las raíces negativas de una ecuación cuadrática. Además, conocían las reglas de los signos. La introducción de los números negativos en Europa la realiza Nicolas Chuquet, matemático francés; en su obra realiza operaciones con números enteros, utilizando operaciones fundamentales suma, resta, producto y división. Hubo que esperar al S.XIX para que Weierstrass diera el modelo de los números enteros, definiéndolos como clases de pares de naturales mediante una relación de equivalencia.

Necesidad de ampliar el campo de los números naturales En los números naturales una ecuación de la forma a + x = b no siempre tiene solución, porque x = b – a sólo tendría sentido en n si ba. Es evidente, por tanto, la necesidad de crear unos nuevos entes numéricos que permitan dar siempre solución a dicha ecuación, es decir, hacer siempre posible la sustracción. Hay otras razones, además de la indicada, que obligan a crear a los números enteros: - La necesidad de expresar cantidades de las magnitudes que presentan un doble sentido y que suelen tomarse como positivos hacia arriba o hacia la derecha y como negativos hacia abajo o hacia la izquierda, a partir de un origen dado. - La necesidad de expresar numéricamente el problema de la deuda mediante números negativos.


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De este modo, construimos el conjunto de los números enteros, z , a partir de n , definiendo z = n xn /R, siendo R la relación de equivalencia: (a,b)R(c,d)  a+d = b+c, (a,b), (c,d) n xn . Definiendo z de esta forma y con las operaciones internas de la suma y el producto, se demuestra que : ( , +, ·) es un anillo conmutativo y unitario , además de un dominio de integridad, estando totalmente ordenado por la relación . Además, se demuestra que es una extensión algebraica de , al ser n isomorfo al subconjunto de z de los números enteros positivos, z +, por lo que .


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2.3.- Números racionales. Las fracciones. En un principio las fracciones no eran consideradas como auténticos números, no eran más que relaciones entre números enteros. Era debido a que en muchas civilizaciones se consideraba a la unidad como un dios, y por tanto no podía ser dividido. Cuando se desarrolló la aritmética y el cálculo, se vio que estaban sometidas a las mismas reglas que el resto de los números y podían considerarse como tales. El uso de la regla de tres en los cálculos relacionados con transacciones económicas obligó a los egipcios a manipular los racionales positivos. Sus papiros muestran algunas anomalías de difícil justificación, como la especial relevancia de las llamadas fracciones unitarias, esto es, los números de la forma

1

n

, con nn , que

empleaban como unidades básicas para expresar las demás. Por contra, los babilonios manejaban con soltura los racionales positivos, dividiendo la unidad en potencias sucesivas de 60. Los griegos, intentaron elaborar una notación general para cualquier tipo de fracción (no solo las unitarias), pero su numeración alfabética no era apta, por lo que tuvieron que abandonar dicho intento y adoptar la notación en base 60 de los babilonios (para las fracciones). La notación moderna de las fracciones se la debemos de nuevo a los hindúes, quienes, con su notación posicional, simbolizaban las fracciones casi como nosotros. Esta notación fue adoptada por los árabes quienes introdujeron la famosa barra horizontal para separar numerador y denominador. Cuando se descubrieron las fracciones decimales (las que tienen denominador potencia 10) se hizo patente la necesidad de prolongar la numeración posicional decimal hindú en el otro sentido (ahora se diría: “ a la derecha de la coma”). Así se puede anotar con facilidad todas las fracciones y los números enteros serían un tipo particular de números: los que poseen cifras significativas a la derecha de las unidades. Este tipo de fracciones ya se usaban en China, en la Arabia medieval y en la Europa renacentista. En 1579, Francois Viéte, proclama su decidido apoyo a estas fracciones.


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Fueron Bürgi y Stevin, dos matemáticos a caballo entre el siglo XVI y XVII, los que contribuyeron al desarrollo y divulgación de las fracciones decimales. Y éste último, en 1585, solicitó el uso de una escala en base 10 para las fracciones, como ya lo estaba para los enteros. Fue precisamente Simon Stevin el primero en escribir los números decimales sin denominador, sino que encerraba en un círculo, a continuación de cada dígito, la potencia de 10 que debía llevar como divisor. El suizo Jost Bürgi simplificó la notación, eliminando la mención al orden de las cifras y sustituyéndolo por un circulito situado en la parte superior de las unidades. Y poco tiempo después, el cartógrafo italiano Magín (1555-1617), sustituyó el redondelito por el punto situado entre las unidades y las décimas, que ha perdurado hasta nuestros días. En cuanto a la coma, el primero que la utilizó fue el holandés Willebrod Snellius, a comienzos del siglo XVII.

Necesidad de ampliar el campo de los números enteros . En el conjunto de los números enteros, la ecuación a·x = b, a 0, a,bz , no siempre tiene solución; sólo sería posible cuando b fuera múltiplo de a. Por otra parte, tenemos la necesidad de representar las magnitudes por número, esto es, el problema de la medida. Para representar cada cantidad basta indicar el número m de unidades que contiene y el número n de ellas que contiene la unidad fundamental. Y así la fracción

m n

representa o mide una cantidad.

Aritméticamente, definimos el conjunto de los números racionales como = z xz 0/, donde z 0 = z * = z – {0} y  es la relación de equivalencia

a b



c d

q

a·d = b·c,



a,cz , b,dz 0.



De este modo, definiendo las operaciones internas de la suma y de la multiplicación tenemos que ( , +, ·) es un cuerpo conmutativo, y está totalmente ordenado por la relación . Además ( , ) es un retículo.


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También se demuestra que es una extensión algebraica de , ya que Z es isomorfo al subconjunto de q de las fracciones con denominador la unidad: x   U =   Q /     . Entonces



 1 

.

2.4.- Números reales. Números irracionales. Debemos a la escuela Pitagórica el descubrimiento de los irracionales, que ellos llamaron inconmesurables, aquellos que nos son ni enteros ni racionales. Desde Thales (s. VI a.C.), los griegos conocían la noción de proporción e intentaron calcularla para distintos pares de longitudes y áreas. Así, la escuela Pitagórica demostró que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no es racional. Los europeos, beneficiándose del sistema de numeración posicional hindú de base 10 que habían adoptado fueron capaces de definirlos con precisión: esos números podían expresarse en forma decimal, siendo infinitas las cifras tras la coma, sin que reprodujeran nunca en el mismo orden. Esa era la diferencia que tenían con los números racionales. Una vez descubiertos los irracionales, no fue fácil realizar manipulaciones aritméticas con ellos. Una clase distinguida es la de los radicales de enteros positivos , con los que ya trabajó Fibonacci, cuya utilización fue generalizada, entre otros, por Regiomontano y Chuquet a principios del Renacimiento. De entre los irracionales es quizás el número e, la base de los logaritmos neperianos, uno de los que ha desempeñado un papel más importante en el desarrollo de la matemática. De la necesidad de ampliar el conjunto de los números racionales para incluir estos nuevos números, los irracionales, surge el concepto de número real.

Números reales. Han sido numerosos los trabajos realizados por matemáticos para dotar al número real de una teoría rigurosa. En 1830, Bolzano intentó desarrollar una teoría de números reales como límites de sucesiones de números racionales, aunque no se publicó hasta 1962.


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Fue en 1872 cuando cinco matemáticos (Méray, Weierstrass, Heine, Cantor y Dedekind) dieron con la definición formal de número real.

Mèray definió el límite de una sucesión como un número real. Y demostró que toda sucesión de Cauchy era convergente. Weierstrass separó la definición de número real del concepto de límite y definió los números irracionales de forma general como conjuntos de racionales. Heine y Cantor realizaron trabajos similares a los descritos.

Dedekind , sin embargo, definió el número real como una cortadura en el conjunto de los números racionales. Consiste en obtener una partición de los números racionales en dos clases disjuntas, A y B, tales que todo número de la primera clase A es menor que todo número de la segunda clase B. Entonces existe uno y sólo un número real tal que si en A existe máximo o en B mínimo, el número real coincide con el máximo o mínimo, y por tanto, es racional, y en caso contrario el número real no está ni en A ni en B y es irracional.

Definiendo las operaciones internas de la suma y de la multiplicación tenemos que ( , +, ·) es un cuerpo conmutativo y está totalmente ordenado por la relación . Además, a diferencia del cuerpo de los números racionales, el cuerpo de los números reales es completo , ya que es un cuerpo ordenado y todo subconjunto suyo acotado tiene supremo.


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2.5.- Números complejos. En r las ecuaciones del tipo x 2 + 1 = 0 no tienen solución. Incluso para calcular las raíces de un polinomio de grado 3 con coeficientes en r se hacen imprescindibles las raíces cuadradas de números reales negativos. El primero en introducir los números complejos fue Cardano, que en el año 1545 publica su obra Ars Magna, en la que explica como resolver los diferentes casos de ecuaciones cúbicas. Como soluciones a esas ecuaciones obtenía raíces cuadradas negativas que él mismo denominó sofisticas. A través de un ingenioso razonamiento, Bombeli obtiene las propiedades de los números complejos conjugados, aunque en ese momento no sirvieron de mucho. En 1777 Leonhard Euler introdujo el símbolo i para la raíz cuadrada de –1 y la igualdad ei +1=0, en la que están presentes los “5 números más importantes”. Pasando de miembro a miembro y tomando logaritmos resulta que log(-1)= i. Este fue el primer avance en la cuestión del significado de los logaritmos de los números negativos, motivo de controversia durante algún tiempo debido a la siguiente “paradoja”: como 12=(-1)2, tomando logaritmos se tendría: 2log(-1) = 2log(1) = 0, luego log(-1) = 0. 

La fórmula de Euler puso de manifiesto que, a diferencia de lo que pensaban los hermanos Bernouilli y D’Alembert entre otros, los logaritmos de los números reales negativos no son reales, sino complejos imaginarios puros. Aunque se cree que ya con anterioridad Cotes y De Moivre conocían que para cada número real x se cumple la igualdad: exi = cosx + isenx, fue Euler quien observó que puesto que para cada entero k se tiene cosx=cos(x+2k ) y senx=sen(x+2k), entonces exi = e(x+2k i), luego la exponencial compleja ya no es inyectiva y por tanto su supuesta “inversa”, el logaritmo, no es una función, sino lo que pasó a denominarse función multivaluada 



i

Así mismo, Euler descubrió que como e = -i, entonces elevando ambos miembros a 2i se obtiene que e =(-i)2i y así, la potencia imaginaria de un número imaginario es un número real. Pero, por el mismo argumento antes visto, la potenciación zz, con zc , no es una función. 2



Desde la época de Albert Girard (1590-1633) ya se sabía que los números reales positivos, cero y negativos se podían representar en correspondencia con los


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puntos de una recta. Wallis sugirió que los números imaginarios puros se podían representar por los puntos de una recta perpendicular al eje de los números reales. Pero fueron Wessel y sobre toso Gauss (s.XIX) los que establecieron la correspondencia entre los números complejos y los puntos del plano. Fue el matemático alemán Carl F. Gauss, en su tesis doctoral de 1799, el que demostró su famoso Teorema Fundamental del Álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.

Definiendo las operaciones internas de la suma y de la multiplicación, tenemos que ( , +, ·) es un cuerpo conmutativo y ( , +, ·R) es un -espacio vectorial. Además ( , +, ·) es un cuerpo no ordenable .


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2.6.- Números algebraicos y transcendentes . Un número complejo x se dice algebraico si es raíz de algún polinomio no nulo con coeficientes racionales, y se dice transcendente en caso contrario. Son números transcendentes: 

l= 10 m! llamado número de Liouville debiéndose a éste su demostración mN







número e ; demostrado por Hermite ; demostrado por Lindemann

Gelfond demostró que si u y v son dos números algebraicos tales que u {0,1} y v no es racional, entonces uv es transcendente.

2.7.- Números cuaterniones. Hamilton intentó generalizar la construcción de los números complejos dotando de estructura de cuerpo extensión de r al espacio euclídeo r 3. Pero la definición del producto se le resistió durante 10 años (hoy sabemos que no es posible). Con lo que Hamilton se percató de que podía arreglar la situación reemplazando r 3 por r 4 y violando una de las consideradas en la época “leyes sagradas” que debía cumplir todo sistema algebraico: la conmutatividad del producto. De modo que construyó los denominados números cuaterniones como elementos de r 4 de la forma x = a + bi + cj + dk, donde a,b,c,d r y los símbolos i,j y k cumplen las siguientes reglas: i2 = j2 = k2 = -1

ij = k = -ji

jk = i = -kj

ki = j = -ik

Con este descubrimiento, Hamilton abrió las puertas al desarrollo de las álgebras asociativas.


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3.- Evolución histórica. Antiguamente se definía la matemática como la ciencia del número, la magnitud y la forma. Estos conceptos comenzaron a desarrollarse a partir de diferencias y contrastes entre elementos del entorno del hombre primitivo, y luego a partir de semejanzas. El primer procedimiento aritmético de la historia comenzó la correspondencia biunívoca miembro a miembro, que permitía a cualquier persona la posibilidad de comparar dos conjuntos, aunque no tuviesen la misma naturaleza. El hombre debió sentir a continuación la necesidad de expresar y representar, de alguna manera esta propiedad. En un principio debió servirse de los dedos de las manos y posteriormente fue utilizando piedras pequeñas, trazos en la arena, marcas en las cortezas de un árbol, en un hueso, etc. La invención de la escritura ayudó al hombre a sustituir el concepto abstracto de número por signos convencionales. Pero surgía el problema de la infinitud de los números. La idea primitiva de agrupar las rayas marcadas en la corteza de un árbol de 5 en 5, en clara similitud con los dedos de la mano, pudo llevar al hombre a pensar en utilizar un número finito de signos para designar los primeros cardinales y después agrupar o reutilizar estos mismos signos con alguna pequeña diferencia para señalar los números siguientes. Este proceso que dio lugar a los sistemas de numeración, fue bastante lento y resuelto de muy distinta manera por las distintas culturas. Veamos a continuación cómo lo resolvieron algunas de ellas:


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evolución histórica del conepto de numero

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