ALGEBRA LINEAL Fase 6 - Evaluación Final (POA)
Presentado Por: DEINER ALBERTO CERVANTES LUZ ADRIANA SANTAMARIA MAURICIO DAVID PEREZ YONATAN MANUEL CARRILLO CARRILLO
Grupo cód.: 100408_46 cód.: 100408_46
Presentado a: SANDRA PATRICIA HERNANDEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA DISTANCIA UNAD
JULIO 2017
INTRODUCCION A través de la presente actividad colaborativa desarrollamos los ejercicios de la prueba final de Algebra Lineal, relacionados con vectores y matrices, colocando en práctica los conocimientos aprendidos durante el curso. El cálculo vectorial y matricial brinda las herramientas de desarrollo de pensamiento lógico en los estudiantes, que nos permiten ejecutar ejercicios matemáticos de manera rápida y eficiente; además es de gran ayuda dentro y fuera de las matemáticas puesto que se conecta con varias áreas , como el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la investigación de operaciones, la ingeniería, entre otras.
OBJETIVOS
-
Desarrollar los métodos algebraicos del orden matricial en la determinación de sistemas de ecuaciones lineales.
-
Representar de manera correcta objetos, como vectores, rectas y planos en 2 y 3 dimensiones.
-
Diferenciar entre aquellos casos de sistemas de ecuaciones en los que no se puede concebir una respuesta y aquellos en los que las soluciones pueden ser infinitas.
EJERCICIOS 1.
Encuentre un vector que tenga la magnitud y dirección dadas a)
|| = 2 ; = =2 √ 1 +2 1 + 2 = 4
=
2 + (1√ 3)2 = 4
=
, √ 3 = 2
1 +31 = 4 4 1 = 4
< 1, √ 3 >
1 = 1 = ±1 b) 2.
|| =
2 = ±√ 3
; = 105°
Encuentre y represente de manera gráfica la magnitud y dirección de los siguientes vectores a) V= (-3 , 6) b) V= (√4 , -2)
Hallando la magnitud de: a) V= (-3 , 6) Trabajando el punto A, se aplica
√ 3 + 6 √ 9 + 3 6 √ 45
+ , reemplazando
Para el vector A, el resultado va a ser
6,7
Para el vector B, se aplicaría la fórmula para hallar la magnitud
a) V= (√4 , -2), se pasa a números enteros resolviendo la ecuación que está dentro del paréntesis.
=22 = + = 2 + 2 = √ 4 + 4 = √ 8 = 2,8 Magnitudes A= 6,7 B= 2,8 Hallando la dirección: V= (-3 , 6) Hallando la dirección del vector de aplica:
, −
= = − = = − = 2 = 63,4° Ahora con el punto b para hallar la dirección:
V= (√4 , -2)
=22
Hallando la dirección del vector de aplica:
, −
= − = − = − = − = 1 = 45° Las direcciones para el punto A Y B son: A: 63,4° B: 45°
Ejercicio 4. Aplicación de matrices
Un arrocero de la meseta del norte del Tolima puede adquirir Maquinaria agrícola, semillas, insecticida y abonos de tres proveedores: T, F y L. Los precios de cada proveedor vienen dados así: Proveedor T: 390.000 Maquinaria Agrícola, 470.000 de semillas, 490.000 insecticida y 790.000 abono Proveedor F: 265.000 Maquinaria Agrícola, 440.000 de semillas, 500.000 insecticida y 815.000 abono Proveedor L: 280.000 Maquinaria Agrícola, 490.000 de semillas, 490.000 insecticida y 800.000 abono
El arrocero debe comenzar a cultivar en tres lotes y para ello necesita: Lote1: 3 máquinas agrícolas, 5 bultos de semillas, 7 canecas de insecticida, 17 bultos de abono Lote2: 1 máquina agrícola, 7 bultos de semillas, 9 canecas de insecticida, 20 bultos de abono Lote3: 1 máquina agrícola, 4 bultos de semillas, 9 canecas de insecticida, 15 bultos de abono
El arrocero desea adquirir todos los insumos y servicios de cada lote al mismo proveedor. De acuerdo a lo anterior, que proveedor es el más económico para cada lote.
Solución Nota: Podemos denotar de acuerdo a la información suministrada por el ejemplo formar unas matrices de (3x4) y (4x1) es decir 3 filas y 4 columnas para el primer caso, y 4 filas y 1 columna para el segundo con sus respectivos proveedores (T-FL) Lote 1
Proveedor T (390.000x3) 1.170.000 + (470.000x5) 2.350.000 + (490.000x7) 3.430.000 + (790.000x17) 13.430.000 PT= 20.380.000 Proveedor F (265.000x3) 795.000 + (440.000x5) 2.200.000 + (500.000x7) 3.500.000 + (815.000x17) 13.855.000 PF= 20.350.000 Proveedor L (280.000x3) 840.000 + (490.000x5) 2.450.000 + (490.000x7) 3.430.000 + (800.000x17) 13.600.000 PL= 20.320.000 Solución: El más factible y económico del lote 1 es el proveedor L con 20.320.000 Lote 2
Proveedor T (390.000x1) 390.000 + (470.000x7) 3.290.000 + (490.000x9) 4.410.000 + (790.000x20) 15.800.000 PT= 23.890.000 Proveedor F (265.000x1) 265.000 + (440.000x7) 3.080.000 + (500.000x9) 4.500.000 + (815.000x20) 16.300.000 PF= 24.145.000 Proveedor L (280.000x1) 280.000 + (490.000x7) 3.430.000 + (490.000x9) 4.410.000 + (800.000x20) 16.000.000 PL= 24.120.000 Solución: El más factible y económico del lote 2 es el proveedor T con 23.890.000
Lote 3
Proveedor T (390.000x1) 390.000 + (470.000x4) 1.880.000 + (490.000x9) 4.410.000 + (790.000x15) 11.850.000 PT= 18.530.000 Proveedor F (265.000x1) 265.000 + (440.000x4) 1.760.000 + (500.000x9) 4.500.000 + (815.000x15) 12.225.000 PF= 18.750.000 Proveedor L (280.000x1) 280.000 + (490.000x4) 1.960.000 + (490.000x9) 4.410.000 + (800.000x15) 12.000.000 PL= 18.650.000 Solución: El más factible y económico del lote 3 es el proveedor T con 18.530.000
Lote 1= 20.320.000 todos los lotes (1-2-3) es el Lote 3 .
Lote 2=
Lote 3=
23.890.000
18.530.000
5. Operaciones con matrices Matriz A 2
3
4
4
3
2
0
1
0
Matriz B 1
3
2
-2
1
3
3
1
0
Solución: El más económico de 18.530.000
a) Hallar AxB y calcular su determinante mediante el método de sarrus b) Hallar A+B y calcular su determinante mediante el método de Gauss- Jordán Desarrollo: a)
2
3
4
4
3
2
0
1
0
X
1
3
2
-2
1
3
3
1
0
=
2 X 1 + 3 X (-2) + 4 x 3
2X3+3X1+4X1
2 X 2 + 3 X 3 +4 X 0
4 X 1 + 3 X (-2) + 2 X 3
4X3+3X1+2X1
4X2+3X3+2X0
0 X 1 + 1 X (-2) + 0 X 3
0X3+1X1+0X1
0X2+1X3+0X0
=
8
13
13
4
17
17
-2
1
3
Determinante Sarrus 2
3
4
2
3
4
3
2
4
3
0
1
0
0
1
= (2 X 3 X 0) + (3 X 2 X 0) + (4 X 4 X 1) – (0 X 3 X 4) – (1 X 2 X 2) – (0 X 4 X 3) =0 + 0 + 16 – 0 – 2 – 0 = 12
b)
2
3
4
4
3
2
0
1
0
+
1
3
2
3
6
6
-2
1
3
= 2
4
5
3
1
0
3
2
0
Determinante Gauss Jordan 2
3
4
4
3
2 Multiplicamos la fila 1 por 2 y la restamos en la fila 2
0
1
0
2
3
4
0
-3
-6 Multiplicamos la 2 por y la restamos en la fila 3
0
1
0
2
3
4
0
-3
-6 = 2 x (-3) x (-2) 12
0
0
2
6. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello determinantes (Recuerde: A -1 = 2
1
-5
-3
2
4
0
6
1
* AdjA) (-1)
Desarrollo por método de elimina gauss 2
1
-5
1
0
0
-3
2
4
0
1
0
0
6
1
0
0
1
1
−
0
0
-3
2
4
0
1
0
0
6
1
0
0
1
X
X (3) en 2
− −
0
6
1
0
1
−
0
1
-1
0
6
1
0
1
−
0
1
-1
0
0
7
1
−
0
1
-1
0
0
1
1
−
0
1
0
0
0
1
− − −
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1 0
− − − − −
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
−
0 −
X
X (-6) en 3
0 1
X
0 0
X 1 en 2
0
0
−
− − − − −
− X en 1
X en 1
2
1
-5
-3
2
4
0
6
1
(-1)
=
− −
− − −
−
7. a) Método de Gauss – Jordan x – 2y + 3z = 1
−2x + 5y − z = 2 6x – 4y + 2z = 4 Desarrollo 1
-2
3
1
-2
5
-1
2
6
-4
2
4
A la segunda línea le sumamos la línea 1 multiplicada por 2, a la tercera línea le restamos la línea 1 multiplicada por 6 1
-2
3
1
0
1
5
4
0
8
-16
-2
A la primera línea le sumamos la línea 2 multiplicada por 2, a la tercera línea le sumamos la línea 2 multiplicada por 8 1
0
13
9
0
1
5
4
0
0
-56
-34
La tercera línea la dividimos en - 56 1
0
13
9
0
1
5
4
0
0
1
A la línea 2 le restamos la línea 3 multiplicada por 13, a la línea 2 le restamos la línea 3 multiplicada por 5 1
0
0
0
1
0
0
0
1
X=
; Y= ; Z=
b) Regla de Cramer X + Y + Z – W = 2 2X – Y + Z + 5W = 9 3X + Y + Z – 2W = 1 2X + 2Y + 4Z + 6W = 2
∆=
∆1 =
∆2 =
1
1
2
-1
2
-1
1
5
3
1
1
-2
2
2
4
6
2
1
1
-1
9
-1
1
5
1
1
1
-2
2
2
4
6
1
2
1
-1
2
9
1
5
3
1
1
-2
2
2
4
6
= 10
=-34
= -226
∆3 = 1
∆4 =
1
2
-1
2
-1
9
5
3
1
1
-2
2
2
2
6
1
1
1
2
2
-1
1
9
3
1
1
1
2
2
4
2
∆1 -34 17 = = X= ∆ 5 10 ∆2 -226 113 = = Y= ∆ 5 10 ∆3 222 111 = = Z= ∆ 5 10 ∆4 -58 29 = = W= ∆ 5 10
= 222
= - 58
8
Encuentre las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que cumple con las condiciones dadas a). Que contenga a los puntos (3, 2,-1) y (2,-1, 1). Solución
Ecuaciones paramétricas
= + = + = + ⃗ = ⃗ = 2 3̂ + 1 2 ̂ + 1 1 ⃗ = ⃗ = 1̂ + 3̂ + 2 Por lo tanto
=1 =3 =2 = 3 1 =23 =1+2 Ecuaciones paramétricas −
− = − =
− − − = − = −
b) Que contenga a los puntos (1, 3,-2) y (5,-1, 1). Ecuaciones paramétricas
= + = +
= + ⃗ = ⃗ = 5 1̂ + 1 3 ̂ + 1 2 ⃗ = ⃗ = 4̂ + 4̂ + 3 Por lo tanto
=4 =4 =3 = 1 + 4 =34 =2+3
Ecuaciones paramétricas − − − = = − − − = − =
9. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos: a) π1 = 3x −1y + 8z = 9 b) π2 = 4x − y -6z = 1 Solución:
CONCLUSIONES
Existen diferentes tipos para la representación gráfica de un vector, tanto coordenadas polares como cartesianas. Las operaciones entre vectores es posible desarrollarlas tanto con un método analítico como un método gráfico. La solución de un sistema de ecuaciones lineales es posible hacerla mediante métodos como el de Gauss Jordán como usando los determinantes. Se pudo comprender que la intersección de 2 planos es un conjunto de infinitos puntos, por lo cual se debe expresar una ecuación para la recta en la cual los dos planos se interceptan.
BIBLIOGRAFIA
Guia de actividades UNAD algebra lineal, evaluación final,recuperado de: file:///C:/Users/SONY/Downloads/Guia%20de%20actividades%20y%20rubrica%20 de%20evaluacio%CC%81n%20Fase%206-%20evaluacion%20final%20%20POA%20(1).pdf ; Julio de 2017.
Vectores tomado de http://www.ditutor.com/vectores/vector.html, Julio de 2017.
