Estrutura Metalicas EC3 Volume 2

Estruturas Metálicas EC3 – Parte 1.1 / Volume II F1

O F1

F1

O F2

F2

O F3

F3

O

F2

F3

Série ESTRUTURAS

João Guerra Martins

6.ª edição / 2011

Prefácio

Este texto resulta do trabalho de aplicação realizado pelos alunos de sucessivos cursos de Engenharia Civil da Universidade Fernando Pessoa, vindo a ser gradualmente melhorado e actualizado. Apresenta-se, deste modo, aquilo que se poderá designar de um texto bastante compacto, completo e claro, entendido não só como suficiente para a aprendizagem elementar do aluno de Engenharia Civil. Certo é ainda que pretende o seu teor evoluir permanentemente, no sentido de responder quer à especificidade dos cursos da UFP, como contrair-se ao que se julga pertinente e alargar-se ao que se pensa omitido. Para tanto conta-se não só com uma crítica atenta, como com todos os contributos técnicos que possam ser endereçados. Ambos se aceitam e agradecem. De notar que este texto tem apenas fins pedagógicos, sem nenhum interesse comercial e de acesso gratuito e livre. Por outro lado, a consulta e estudo da bibliografia que ajudou a criar este texto é indispensável para a consolidação dos conhecimentos aqui contidos, não podendo este documentos de apoio, de qualquer forma, substituir-se à mesma.

João Guerra Martins

Série Estruturas

Estruturas Metálicas

INDICE 1. MÉTODOS DE ANÁLISE GLOBAL DE ESTRUTURAS

ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.

1.1. INTRODUÇÃO


1.2. MÉTODOS DE ANÁLISE MATERIAL (OU FÍSICA) GLOBAL DE ESTRUTURAS


1.2.1. ANÁLISE GLOBAL ELÁSTICA


1.2.2. ANÁLISE GLOBAL PLÁSTICA


1.2.2.1. MOMENTO PLÁSTICO DE UMA RÓTULA PLÁSTICA


1.2.2.2. TEOREMAS FUNDAMENTAIS DA ANÁLISE PLÁSTICA


1.3. MÉTODOS DE ANÁLISE GEOMÉTRICA GLOBAL DE ESTRUTURAS


1.3.1. ANÁLISE GLOBAL DE PRIMEIRA ORDEM


1.3.2. ANÁLISE GLOBAL DE SEGUNDA ORDEM


1.4. CARGAS CRÍTICAS


1.5. COMENTÁRIOS ADICIONAIS


1.6. RESUMO DAS ANÁLISES GLOBAL GEOMÉTRICA E MATERIAL


2. ANÁLISE ESTRUTURAL (EC3)


2.3 RESUMO DAS POSSÍVEIS ANÁLISES DO EC3


3. IMPERFEIÇÕES


3.1. CONSIDERAÇÃO DAS IMPERFEIÇÕES – BASES


3.2. MÉTODO DE APLICAÇÃO CONSIDERANDO O EFEITO DAS IMPERFEIÇÕES


3.2.1. IMPERFEIÇÕES NAS ESTRUTURAS RETICULADAS PARA ANÁLISE GLOBAL


3.2.2. IMPERFEIÇÕES DOS SISTEMAS DE CONTRAVENTAMENTO


3.2.3. IMPERFEIÇÕES AO NÍVEL DOS ELEMENTOS


4. COMPORTAMENTO GLOBAL DAS ESTRUTURAS


4.1. MODELOS DE ESTRUTURAS


4.2. ESTABILIDADE ATRAVÉS DA RIGIDEZ LATERAL


4.3. CLASSIFICAÇÃO DE UM PÓRTICO QUANTO À SUA MOBILIDADE (NÓS FIXOS OU MÓVEIS) ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.

4.4. CLASSIFICAÇÃO DE PÓRTICOS COMO CONTRAVENTADOS


4.5. ANÁLISE GLOBAL DE PÓRTICOS


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4.5.1 ANALISE GLOBAL ELÁSTICA DE PÓRTICOS COM E SEM DESLOCAMENTOS LATERAIS

ERRO! MARCADOR NÃO

DEFINIDO.

4.5.2. ANÁLISE GLOBAL PLÁSTICA DE PÓRTICOS COM E SEM DESLOCAMENTOS LATERAIS

ERRO! MARCADOR NÃO

DEFINIDO.

4.6. RECOMENDAÇÕES 5. COMPORTAMENTO DAS LIGAÇÕES

ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.

5.1. CLASSIFICAÇÃO DAS LIGAÇÕES QUANTO À RIGIDEZ


5.2. CLASSIFICAÇÃO DAS LIGAÇÕES QUANTO À RESISTÊNCIA


6. ESTABILIDADE GLOBAL, LOCAL E COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA

ERRO! MARCADOR NÃO

DEFINIDO. 6.1. ESTABILIDADE DE PÓRTICOS


6.1.1. MÉTODO DE HORNE


6.1.2. EXEMPLO PRÁTICO DO MÉTODO DE HORNE


6.2. COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA


6.2.1. EXEMPLO DE CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ENCURVADURA DE PILARES INSERIDOS EM PÓRTICOS

ERRO!

MARCADOR NÃO DEFINIDO. 6.2.2. EXEMPLO DE CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ENCURVADURA DE PÓRTICOS SEM DESLOCAMENTOS LATERAIS


6.2.3‐ EXEMPLO DE CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ENCURVADURA DE PÓRTICOS COM DESLOCAMENTOS LATERAIS


BIBLIOGRAFIA


ANEXO ‐ ANEXO E DO EC3 1993 (INCLUÍDO NOUTRA PARTE, NA NOVA VERSÃO) ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.

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Parte II / 2

Série Estruturas


INDICE FIGURA 1 – DIAGRAMA CLÁSSICO ENTRE RELAÇÕES TENSÕES‐DEFORMAÇÕES DO AÇO MACIO.

6

FIGURA 2 – COMPORTAMENTO MATERIAL: POSSÍVEIS RELAÇÕES TENSÕES‐DEFORMAÇÕES.

8

FIGURA 3 ‐ REDISTRIBUIÇÃO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS (AS LINHAS RECTAS INCLINADAS DO DIAGRAMA SIMBOLIZAM OS PONTOS DE MOMENTO NULO)

10

FIGURA 4 ‐ DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NUMA SECÇÃO DEVIDO A UM MOMENTO FLECTOR

13

FIGURA 4A – DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NA SECÇÃO EM FUNÇÃO DO TIPO DE MOMENTO FLECTOR RESISTENTE.

14

FIGURA 5 – POSSÍVEIS MECANISMOS PLÁSTICOS

15

FIGURA 6 ‐ DIAGRAMA MOMENTO‐ENCURVADURA PARA DISTINTAS SECÇÕES TRANSVERSAIS

16

FIGURA 7A ‐ DIAGRAMA MOMENTO‐ENCURVADURA REAL E SIMPLIFICADO

16

FIGURA 7B ‐ DIAGRAMA CARGA‐DESLOCAMENTO DE UMA VIGA CONTÍNUA SEGUNDO A CLASSIFICAÇÃO DA SECÇÃO 17 FIGURA 8 – DIAGRAMAS TENSÕES DEFORMAÇÕES EM CÁLCULO ELÁSTO‐PLÁSTICO E PLÁSTICO.

19

FIGURA 9 – PASSOS DE UMA ANÁLISE MATERIAL NÃO LINEAR SIMPLES (RÍGIDO‐PLÁSTICA).

21

FIGURA 10 – FUNCIONAMENTO DE ESTRUTURAS EM FUNÇÃO DAS SUAS DIMENSÕES RELATIVAS.

22

FIGURA 10A – FORMAÇÃO DE UMA RÓTULA PLÁSTICA

23

FIGURA 10C – MOMENTO ELÁSTICO E MOMENTO PLÁSTICO DE SECÇÕES

25

FIGURA 10D ‐ ZONA PLÁSTICA NA ROTURA

26

FIGURA 11A – PÓRTICO CONTRAVENTADO E SEM DESLOCAMENTO LATERAIS E PÓRTICO NÃO CONTRAVENTADO E COM DESLOCAMENTO S LATERAIS.

28

FIGURA 11B – PÓRTICO COM EFEITO “P‐Δ” E PILARES COM EFEITO “P‐Δ”.

29

FIGURA 12 ‐ EXEMPLO DA ANÁLISE DE SEGUNDA ORDEM

30

FIGURA 13 ‐ CURVA CARGA‐DESLOCAMENTO NUM CASO NORMAL.

31

FIGURA 14 ‐ DIAGRAMA CARGA‐DESLOCAMENTO PARA O MÉTODO DO CONTROLO DE DESLOCAMENTO.

32

FIGURA 15 ‐ CURVA CARGA‐DESLOCAMENTO E CARGAS CRÍTICAS NUM CASO NORMAL.

36

FIGURA 16 ‐ EFEITOS DE DEFORMAÇÃO GEOMÉTRICA DA ESTRUTURA

40

FIGURA 16A ‐ O MÉTODO ALTERNATIVO DE DIMENSIONAMENTO DO PÓRTICO E ANALISE APROXIMADA (RULES FOR MEMBER STABILITY IN EN 1993‐1‐1: BACKGROUND DOCUMENTATION AND DESIGN GUIDELINES, ECCS, 2006).

44

FIGURA 17 – IMPERFEIÇÕES INICIAIS.

47

FIGURA 18 – FORÇAS HORIZONTAIS EQUIVALENTES EM PÓRTICOS

48

FIGURA 19 – IMPERFEIÇÃO INICIAL DOS ELEMENTOS.

48

FIGURA 19A – IMPERFEIÇÃO INICIAL DOS PÓRTICOS (ESQUERDA) E DOS ELEMENTOS (DIREITA).

49

FIGURA 20 – EFEITOS DE TRANSLAÇÃO E TORÇÃO (VISTA EM PLANTA)

49

FIGURA 21 – CRITÉRIO DE ESTABILIDADE PARA PÓRTICOS PLANOS DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS

54

FIGURA 21A – PÓRTICOS CORRENTES

55

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FIGURA 22 – SISTEMA DE CONTRAVENTAMENTO

56

FIGURA 23 – SISTEMA DE CONTRAVENTAMENTO

57

FIGURA 24 – CLASSIFICAÇÃO DE PÓRTICOS QUANTO À SUA MOBILIDADE LATERAL.

61

FIGURA 25 ‐ CURVA MOMENTO FLECTOR‐ROTAÇÃO DE UMA LIGAÇÃO.

62

FIGURA 26 – ILUSTRAÇÃO DA RELAÇÃO FLEXÃO‐ROTAÇÃO DE UMA LIGAÇÃO

63

FIGURA 27 – DIAGRAMA MOMENTO‐EXTENSÃO DE ALGUMAS SECÇÕES

63

FIGURA 28 – SIMULAÇÃO DE UMA LIGAÇÃO SEMI‐RÍGIDA

65

FIGURA 29 – TIPOS DE LIGAÇÕES

65

FIGURA 30 – TIPOS DE MODOS DE INSTABILIDADE DE PÓRTICOS

66

FIGURA 31 – EFEITO COMPARATIVO DO CONTRAVENTAMENTO DE PÓRTICOS NO VALOR CARGA CRÍTICA

67

FIGURA 32 – COMPRIMENTO DE ENCURVADURA DE ELEMENTOS ISOLADOS (LE/L)

71

FIGURA 33 – MODO DE DEFORMAÇÃO PARA PÓRTICOS SEM MOBILIDADE LATERAL E COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA ASSOCIADOS.

71

FIGURA 34 – MODO DE DEFORMAÇÃO PARA PÓRTICOS COM MOBILIDADE LATERAL E COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA ASSOCIADOS.

71

FIGURA 35 – ENCURVADURA LATERAL DE UM BANZO COMPRIMIDO DE UMA TRELIÇA E EFEITO ELÁSTICO DAS BARRAS VERTICAIS DE DIAGONAIS, NO PLANO DESTA (PARA FORA DO SEU PLANO ESTE EFEITO NÃO EXISTE: VER DESLOCAMENTOS DE ENCURVADURA F).

72

FIGURA 36 – CENTRO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO

72

FIGURA 36A – FORMAS DE ENCURVADURA COM MODOS DE ENERGIA CRESCENTES (DE 1 PARA 3)

73

FIGURA 37 – PÓRTICO SEM DESLOCAMENTOS LATERAIS

74

FIGURA 39 – PÓRTICO COM DESLOCAMENTOS LATERAIS

75

FIGURA E.2.1 ‐ RAZÃO L/L DO COMPRIMENTO DE ENCURVADURA PARA UM PILAR DE NÓS FIXOS.

87

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1. MÉTODOS DE ANÁLISE GLOBAL DE ESTRUTURAS

1.1. Introdução A verificação da resistência das secções transversais (incluindo da sua estabilidade), da estrutura no seu conjunto, como dos seus diversos elementos, exige conhecer à partida a distribuição dos esforços na estrutura. Sabedores desta repartição de forças, momentos e das cargas que as provocaram, poderemos deduzir a disposição das tensões em qualquer secção que se pretenda. É de salientar que para estruturas metálicas as ligações são também um outro importante grupo de condicionamento no comportamento da estrutura, bem como da verificação da sua segurança, durabilidade e funcionalidade. Designam-se por esforços as forças axiais, forças cortantes, momentos flectores, momentos de torção, etc. Os esforços numa estrutura isostática podem e devem ser determinados através da simples aplicação das regras de equilíbrio estático, utilizando uma análise global elástica. Os esforços numa estrutura hiperestática podem ser determinados através de uma análise global elástica ou de uma análise global plástica. Nas estruturas hiperestáticas (sujeitas a mais de três vínculos incógnitos) as equações de equilíbrio estático não são suficientes para resolvê-la, pelo que temos de recorrer a métodos auxiliares, como o das forças ou dos deslocamentos, entre outros. Contudo, a diferenciação maior é estabelecida quanto à forma do comportamento material e geométrico da estrutura, quando sujeita a determinada carga. Assim, podemos dividir a análise a efectuar em linear (ou de 1ª ordem) ou não linear (ou de 2ª ordem), conforme a estrutura tem, ou não, uma resposta única e constante ao longo da aplicação da carga. Na análise de 1ª ordem os esforços internos e os deslocamentos são obtidos a partir da geometria inicial indeformada da estrutura; ao contrário, na análise de 2ª ordem os esforços internos são influenciados pela configuração deformada da estrutura. Como se sabe, genericamente, os materiais só mantêm uma relação linear entre tensões e deformações até um certo valor da tensão instalada (limite de elasticidade), valor a partir do qual essa relação deixa de ser linear, embora o material continue a aceitar acréscimos da sua tensão, mas com um aumento desproporcional da sua deformação (Figura 1). Assim, se pretendermos aproveitar essa reserva não elástica (a partir do ponto A do diagrama da figura 1) de resistência, temos que efectuar uma análise que tenha essa não linearidade material em consideração, entrando no domínio da elastoplasticidade.

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σ

F

σy σc σ2 σ1

C D E A

0

G

ε

Figura 1 – Diagrama clássico entre relações tensões-deformações do aço macio.

Igualmente, e de um modo simplificado, se as variações de geometria não forem significativas, o facto das cargas provocarem deslocamentos na estrutura, pode não justificar ter em conta a posição terminal da estrutura deformada, no cálculo final dos esforços. Porém, em caso de surgirem excentricidades não desprezáveis nas peças estruturais, os seus esforços devem ser agravados, face ao facto de os esforços axiais produzirem momentos, dado essas excentricidades (e) funcionarem como braços de um binário do tipo N×e. Na verdade, embora não sendo os esforços axiais (N) de compressão os únicos responsáveis pelo agravamento dos momentos flectores nos efeitos geométricos não lineares (2ª ordem), são os seus principais causadores. Ainda considerando a figura 1, recorde-se ainda que o ponto E corresponde ao fim do domínio da componente elástica sobre a plástica (existindo já uma componente de endurecimento1), o ponto C ao início do patamar de cedência, o ponto D ao regresso a uma fase elastoplástica, o ponto F à tensão resistente absoluta (elastoplástica) limite e o ponto G ao colapso (ou rompimento do provete). De um modo sumário e directo, podemos dizer que os esforços de uma estrutura podem ser determinados: 1) Por análise global elástica ou por análise global plástica, isto no que respeita ao comportamento material. Embora a análise global elástica possa ser usada em todos os casos, a análise global plástica somente

1

) Uma “espécie” de tratamento material, em que se a carga cessasse (descarregamento) num novo ciclo de carga o limite elástico seria, exactamente, a tensão que corresponderia ao ponto em que anteriormente se tinha interrompido o carregamento. EC3

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serve quando a secção das barras e o aço satisfaçam determinadas condições, definidas nos artigos 3.2.2, 5.2.1, 5.4.3 e 5.6 do EC3; 2) Ou conforme se possa, ou não, desprezar o efeito das deformações na estrutura, esses esforços podem determinar-se segundo métodos distintos, no que se refere ao comportamento geométrico. Se for considerada a geometria inicial da estrutura, ou seja, se forem desprezadas as suas deformações, a análise pode ser de primeira ordem (linear), em caso contrário, a análise deverá ser de segunda ordem (não linear), considerando a geometria da estrutura deformada.

1.2. Métodos de Análise Material (ou Física) Global de Estruturas 1.2.1. Análise Global Elástica A análise global elástica baseia-se na hipótese de que a relação tensão-deformação do material é linear, em qualquer ponto da estrutura, qualquer que seja o nível de tensão actuante. Em termos práticos, tendo em conta o comportamento do aço macio corrente, a análise global elástica pressupõe que a tensão actuante (ou tensão equivalente obtida através de um critério de cedência) seja inferior à tensão de cedência em qualquer ponto da estrutura. Assim, quando se aplica a análise global elástica, o comportamento da estrutura, fabricada com um material que obedece à lei de Hooke, é por si mesma linear: as deformações e/ou curvaturas variam linearmente com as cargas aplicadas, ou seja, todo o aumento de deformação é proporcional à tensão que a causa2. σ =E.ε Sendo:

σ - tensão E – módulo de elasticidade ε - deformações

Nestas condições, podem-se somar pelo princípio da sobreposição das tensões, deformações, esforços e deslocamentos devidos às distintas acções. De resto, este princípio diz que as deformações devidas a várias cargas actuando simultaneamente são iguais à soma das deformações devidas à acção separadamente de cada carga. Isto não se aplica se a relação tensão-deformação do material não é linear, ou se a estrutura (mesmo que com material que obedeça à lei de Hooke) não se comporte linearmente devido às alterações geométricas causadas pelas cargas aplicadas (o que já obrigará a uma análise de 2.ª ordem, que o mesmo é dizer de não linear geométrica, como adiante veremos, pois o aumento das deformações é superior ao das tensões, por norma).

2

) Ser as tensões a provocar deformações ou vice-versa é matematicamente idêntico, porém, em termos físicos será mais correcto dizer que as deformações provocadas pelas solicitações (cargas) é que geram as tensões. EC3

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O princípio da sobreposição, se puder ser aplicado, é especialmente útil para determinar a condição mais desfavorável de cada barra de uma estrutura hiperestática. A acção recíproca entre as diferentes partes da estrutura dificulta saber qual é a carga exacta que produz a condição crítica no cálculo. A análise global elástica pode ser utilizada no cálculo de esforços e deslocamentos de qualquer estrutura (isostática ou hiperestática), constituída por qualquer tipo de secção (embora com base numa secção efectiva reduzida no caso de secções de classe 4). Em vigas continuas (ou pórticos) é permitida a redistribuição de momentos até um máximo de 15%, desde que: 1. Os esforços internos continuem em equilíbrio com as cargas aplicadas; 2. As secções onde ocorre a redistribuição sejam de classe 1 ou 2 e a encurvadura lateral da viga esteja impedida. Relativamente a este tipo de análise ainda que, apesar de os esforços serem obtidos através de uma análise global elástica, o dimensionamento dos elementos (dependendo da classe), pode ser efectuado com base na capacidade plástica das secções (classe 1 ou 2 e a encurvadura lateral da viga esteja impedida). A análise global elástica baseia-se na hipótese de que a relação tensão-deformação do material é linear qualquer que seja o nível de tensões actuantes. Assim, supõe-se que a deformação é proporcional à tensão, ou seja, que o material obedece à lei de Hooke com todas as cargas (Figura 3a).

a) Linear elástico

b) Linear elástico-perfeitamente plástico

c) Linear elástico-plástico com endurecimento por deformação

d) Perfeitamente plástico (ou rígido-plástico)

e) Trilinear

Figura 2 – Comportamento material: possíveis relações tensões-deformações.

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Por outro lado, e referindo-nos a situação de projecto real de estruturas, a análise do material deverá ser sempre uma análise elástica, pois se o limite elástico não for atingido, o estudo estará sempre do lado da segurança. Já no que se refere à análise geométrica de 2ª ordem (ou não linear geométrica), esta deverá ser sempre considerada, pois todas as estruturas de deformam e criam excentricidades, por pequenas que sejam (e sendo efectivamente muito pequenas, os regulamentos podem dispensar a sua consideração, mas contabiliza-las será sempre legítimo e do lado da segurança). Evidentemente, devem considerar-se as propriedades expectativamente seguras do material, especialmente a tensão de cedência, associada a factores de segurança, quando se estuda se os esforços excedem ou não os da resistência das secções das barras. Como já foi dito, na análise global elástica de estruturas isostáticas, os esforços determinam-se somente com as equações de equilíbrio estático. Nas estruturas hiperestáticas os esforços das barras devem cumprir as condições de equilíbrio e provocar deformações compatíveis com a continuidade elástica da estrutura, com as condições de apoio e os deslocamentos admissíveis. As equações de equilíbrio não são suficientes para determinar as forças desconhecidas e necessitam o suplemento de relações geométricas simples entre as deformações da estrutura. Estas relações denominam-se condições de compatibilidade porque asseguram que sejam compatíveis as deformações geométricas da estrutura deformada. Também se pretende que os tipos de ligação escolhidos sejam capazes de manter, praticamente sem qualquer alteração, o ângulo inicial entre barras unidas, ou seja, presume-se que as ligações sejam rígidas. Contudo, formulações podem ser adoptadas que tenham em consideração o comportamento das ligações (o assunto será abordado mais à frente em capítulo próprio). Na análise global elástica as condições de equilíbrio e de compatibilidade expressam-se relativamente à configuração da estrutura indeformada ou deformada, esta última se estivermos a efectuar uma análise geométrica de 2.º ordem (ou não linear geométrica). Os códigos e normas permitem em certos casos uma distribuição limitada dos momentos. Quer dizer, pode-se modificar o diagrama do momento elástico de uma certa percentagem (5% a 15%, às vezes mais, dos extremos dos momentos elásticos negativos), sempre que os momentos e os esforços internos, que resultem do cálculo, permaneçam em equilíbrio com cargas exteriores aplicadas (Figura 3). Desse modo, apesar de se manter o equilíbrio, viola-se a compatibilidade elástica da estrutura. Pode pensar-se que este conceito de redistribuição de momentos é um reconhecimento muito limitado do potencial que existe, dentro das estruturas hiperestáticas, para suportar cargas superiores às que são requeridas na resistência máxima à flexão das barras no ponto mais crítico, ou seja, para deslocar o efeito das cargas de pontos de menor resistência para outros de resistência superior. Chama-se à atenção que isto só é possível se

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existir uma certa ductilidade no comportamento da secção transversal, que explica o motivo para limitar o processo nos perfis comprimidos. As secções, como se poderá entender, devem ser das classes 1 ou 2, bem como a encurvadura lateral deve estar impedida.

Diagrama de momentos de flexão elástica

10 % de redistribuição do diagrama de momentos

Figura 3 - Redistribuição do diagrama de momentos (as linhas rectas inclinadas do diagrama simbolizam os pontos de momento nulo)

De notar que se pode manter a hipótese de comportamento de carga-deformação linear tanto na análise elástica de primeira ordem como na de segunda ordem, mesmo quando a resistência da secção é uma resistência plástica, ou seja, de forma a aproveitar o momento plástico da mesma. Na verdade, a análise linear ou não linear geométrica processa-se a nível da estrutura global e do elemento (peça estrutural), o estudo da secção pode, dentro dos limites regulamentares, ser efectuado de modo independente. Na classificação das secções transversais, quando se adopta uma análise global elástica, podem usar-se elementos com secções transversais de qualquer classe, desde que o dimensionamento dos elementos tenha em conta a possível limitação da resistência das secções transversais, devida à encurvadura local e as secções satisfaçam as seguintes condições:

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A classificação faz-se para identificar qual o limite imposto a uma secção transversal, pela sua resistência à encurvadura local;

-

Poderá admitir-se que a secção transversal absorve o seu momento plástico, quando todos os componentes comprimidos pertencem à classe 1 ou 2;

-

Quando todos os componentes comprimidos pertencem à classe 3, poderá determinar-se a sua resistência com base numa distribuição elástica de tensões na secção transversal, limitada pelo valor da tensão de cedência nas fibras extremas;

-

Quando um dos componentes comprimidos de uma secção transversal pertence à classe 4, esta secção deverá ser calculada como sendo desta classe, com correspondente redução da área não efectiva.

1.2.2. Análise Global Plástica Na prática, a análise global plástica emprega-se geralmente para estudar a eficácia do comportamento da estrutura, ou seja, os estados limites após os quais os critérios de comportamento aceites deixam de se cumprir. A análise global plástica é particularmente útil para se investigar as configurações que causam um colapso real da estrutura e para determinar a resistência à rotura, ou os estados limites últimos. Contudo, para dimensionamento corrente é necessário muito cuidado no uso deste tipo de abordagem, não só em termos da resistência e equilíbrio da estrutura, como no controle das deformações (nem sempre fácil de determinar neste tipo de análise). Quadro 1 - Métodos de análise global plástica

PLÁSTICA 1 – Métodos rigido-plásticos

ELASTO-PLÁSTICA 1 – Método elasto-plástico

2 – Métodos elasto-perfeitamente plásticos O comportamento tensão-deformação do aço não é infinitamente linear. A figura 2-b representa a relação tensão-deformação de um material ideal perfeitamente elástico, sendo que a lei de Hooke se limita ao campo das tensões σ ≤ fy, (fy é a tensão de cedência do material). Quando atingida o nível de tensão de cedência (σ = fy), o material cede plasticamente a uma tensão constante de σ = fy. Se a tensão se reduzir em alguns pontos do campo elástico, o caminho de retorno é uma linha recta paralela à da lei de Hooke, cuja inclinação é o módulo de elasticidade E. Tanto “E” como “fy”, e toda a relação tensão-deformação, supõem-se iguais em tracção e compressão. Ou seja, a relação é linear até à tensão de cedência e perfeitamente plástica a partir desse ponto, pelo que temos um comportamento material elástico e perfeitamente plástico.

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A relação tensão-deformação ideal, embora seja somente um modelo matemático, assemelha-se muito ao comportamento do aço macio estrutural, e é também uma aproximação razoável a muitos materiais continuamente endurecidos por deformação que se utilizam em engenharia de estruturas. Supor uma plasticidade perfeita depois de atingir a tensão de cedência, equivale a desprezar os efeitos do endurecimento por deformação e está pelo lado da segurança. De facto, o endurecimento actua como uma espécie de tratamento de melhoria da resistência elástica: a peça sujeita-se a uma deformação plástica (permanente), passando o seu limite elástico para o valor da tensão plástica alcançada, sendo o trajecto de descarregamento paralelo à anterior recta elástica. Na próxima solicitação o valor de cedência elástica será precisamente o valor plástico atingido. Obviamente que este processo tem limites, se outro não fosse seria o próprio limite plástico do material. A análise global plástica (aplicável apenas a estruturas hiperestáticas) só pode ser usada quando as secções transversais das peças e o material aço satisfizerem os requisitos definidos anteriormente e especificados no EC3, ponto 3.2.2 (para o aço), 5.2.1, 5.4.3. e 5.6. (para secções). O projecto de estruturas ao usar a análise global plástica, deve também satisfazer os outros requisitos estabelecidos no EC3. Deste modo, este tipo de análise pressupõe a plastificação de algumas zonas da estrutura (por exemplo através da formação de rótulas plásticas) e só pode ser efectuada se a estrutura verificar determinadas condições, relativas à estabilidade global e local da estrutura, bem como as características do próprio material. À frente serão identificados integralmente esses pressupostos obrigatórios do EC3. Vejamos uma secção com área A que possua eixo de simetria e experimente uma flexão no plano da simetria (Figura 4). Se o momento de flector é pequeno, a tensão e a deformação variam linearmente através da largura. Ao aumentar o momento, a tensão de cedência chega a uma das fibras superiores, e ao aumentá-lo mais, a tensão de cedência chega à fibra inferior. Se continuarmos a aumentar o momento flector, a cedência estende-se para as fibras internas não só superiores como inferiores. Continuando ainda a aumentar o momento, a tensão de cedência estende-se totalmente ao longo das fibras interiores, até se encontrarem todas as zonas em cedência. Neste estado diz-se que a secção é totalmente plástica, ou seja, todas as suas fibras plastificaram, a secção não poderá absorver mais qualquer acréscimo de tensão que seja: atingiu o seu limite de resistência por completo. O valor do momento máximo, chamado momento plástico, deduz-se das condições de equilíbrio. Dado que não existe força axial, o eixo neutro da secção transversal divide-a em duas áreas iguais A/2; a tracção e a

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compressão resultantes são iguais e formam um par igual ao momento máximo, o de esgotamento no estado perfeitamente plástico, ou seja:

⎛ __ __ ⎞ M pl = 0,5 A f y ⎜ z c + z t ⎟ ⎠ ⎝ __

•

z c - Distância ao centro da zona de tracção, relativamente ao eixo neutro.

•

z t - Distância ao centro da zona de compressão, relativamente ao eixo neutro.

__

(Elástica – fibra extrema inferior)

(Elastoplástica total)

(Plástica – fibra extrema superior)

(Plástica)

Figura 4 - Distribuição de tensões numa secção devido a um momento flector

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Estruturas Metálicas __

Numa secção de dupla simetria, as distâncias

__

_

_

__

z c e z t são iguais, de tal modo que 0,5 Az (com z = z c +

__

z t ) é o primeiro momento da área S (em volta do eixo de flexão) e o momento plástico é: Mpl = 2 S fy = Wpl fy Sendo Wpl = 2S o módulo da secção plástica, em relação ao eixo em causa (reparar que: Wpl = 2S = S/v, sendo v _

= h/2 = z , com v a distância do eixo neutro à fibra mais tensionada – neste caso indiferente se em tracção ou compressão, o que só é verdade em secções simétricas em relação ao eixo que se considera, y no caso). O momento-flector máximo que esta secção, pode suportar sem nunca ultrapassar a tensão de cedência, é: Mel = Wel fy •

Wel – o módulo da secção elástica em volta do mesmo eixo.

O aumento relativo da resistência que se obtém permitindo a cedência total da secção mede-se pelo factor de forma: α = Mpl / Mel = Wpl / Wel Que, por exemplo, é igual a 1,5 numa secção rectangular, a 1,7 numa secção circular maciça, e varia de 1.12 a 1.18 em perfis I, H e U, flexionados em volta do seu eixo principal “yy”.

Figura 4A – Distribuição de tensões na secção em função do tipo de momento flector resistente.

Registe-se que nas secções normalizadas de perfis metálicos (como I, H e U) o aproveitamento total do material em fase plástica (permitir que se atinja o momento plástico), traduz-se num rendimento pouco significativo. Isto

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sucede porque a sua grande fatia de resistência está nos banzos, sendo que todas as fibras dos mesmos estão numa tensão próxima da de cedência, dada a sua proximidade da fibra mais externa que se encontra efectivamente nesta tensão máxima admissível, considerando o máximo do regime elástico (σ = fy). Ao aumentar a carga sobre uma estrutura produz-se cedência em alguns pontos e experimenta deformações elasto-plásticas. Aumentando-se a carga, a estrutura alcança um estado totalmente plástico no qual se forma um número de secções plenamente plásticas, suficiente para transformar a estrutura num sistema plástico isostático. Este sistema colapsa se continuar a ser carregado, transformando-se num mecanismo plástico hipoestático (Figura 5 - c, b e d). É necessário estudar o mecanismo de colapso e conhecer a magnitude da carga que o ocasiona para determinar o factor de carga em análise. Ou, também, se o factor de carga está especificado, pode-se calcular a estrutura de modo que a carga de colapso seja igual ou superior ao produto do factor de carga pela carga de serviço de referência.

Figura 5 – Possíveis mecanismos plásticos

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A análise plástica supõe, portanto e antes de mais, a distribuição de tensões plásticas dentro da secção (formação de rótulas plásticas), mas também uma redistribuição do momento-flector suficiente para que se desenvolvam todas as rótulas plásticas necessárias à existência do mecanismo plástico. Quando se atinge a cedência numa secção, o seu valor efectivo de rigidez à flexão, EI, desce gradualmente (Figura 6). De facto, o módulo efectivo do material fluído é nulo quando se presume um comportamento perfeitamente plástico, para além da cedência, sendo aí o fim da absorção de momento pela rótula plástica.

Figura 6 - Diagrama momento-encurvadura para distintas secções transversais

Figura 7A - Diagrama momento-encurvadura real e simplificado

Uma vez que se produz esta rótula, a estrutura comporta-se, sujeita a carga adicional, como se tivéssemos introduzido uma rótula real na secção plastificada. O aparecimento da primeira rótula plástica na estrutura ocasiona a redução da hiperestaticidade inicial em um grau (cada rótula plástica adicional tem o mesmo efeito).

EC3

Parte II / 16

Série Estruturas


O colapso produz-se quando se tenham formado as suficientes rótulas plásticas para que a estrutura hiperestática inicial se torne gradualmente menos hiperestática e, finalmente, se converta num mecanismo (hipoestaticidade) (ver exemplo 1). Numa estrutura hiperestática, em análise plástica, o processo de redistribuição do momento é afectado pelo modo de formação das rótulas, não sendo, por isso, linear.

Figura 7B - Diagrama carga-deslocamento de uma viga contínua segundo a classificação da secção

Para que uma estrutura possa redistribuir tensões dentro da secção e entre as secções (da mesma peça ou de outras peças), não deve ocorrer nenhuma outra forma de falha antes do mecanismo de colapso para que possa chegar à carga limite. Para que se permita a análise plástica devem cumprir-se as seguintes condições: 1.

Que o aço tenha uma ductilidade adequada para que possa desenvolver-se a resistência plástica dos perfis (Figura 2-b a 2-e);

2.

Os elementos permitam a formação de rótulas plásticas com capacidade de rotação suficiente para permitir a necessária redistribuição de momentos flectores;

3.

As secções transversais dos elementos onde se formam as rótulas plásticas tenham a capacidade rotativa suficiente, sem desvio local nem lateral (encurvadura), para permitir a formação do mecanismo de colapso e a correspondente redistribuição de momentos (Figura 7A e 7B). Se necessário procede-se ao contraventamento lateral da zona da rótula;

4.

Que a carga da estrutura seja predominantemente estática para que um ciclo curto de fadiga não ocasione um defeito;

EC3

Parte II / 17

Série Estruturas 5.


Nas estruturas de edifícios em que as rotações pretendidas não sejam calculadas, todos os elementos onde se formem rótulas plásticas, devem possuir secções transversais da Classe 1 (e simétricas), na zona de desenvolvimento destas rótulas.

Para se cumprirem estas condições, deve-se colocar condições ao tipo de aço e às proporções das barras e secções transversais. Actualmente permite-se o cálculo plástico para as classes correntes de aço macio, enquanto que para outras classes se requer uma longitude mínima da parte horizontal do diagrama de cedência e uma relação mínima entre a resistência máxima de tracção e a tensão de cedência (endurecimento por deformação). As proporções da aba dos banzos e a alma das barras que tenham rótulas plásticas devem sujeitar-se a certos limites, que são mais restritos para aços de classe superior. Como a cedência reduz muito a rigidez, as barras que tenham rótulas plásticas são especialmente propensas a serem instáveis. Portanto, o limite de esbelteza de tais elementos estruturais é muito restrito e obriga a contraventá-los lateralmente, sobretudo onde existem as rótulas plásticas. O descrito anteriormente supõe que a resistência à rotura por flexão de um perfil se define somente pelo seu momento plástico. Sem obstáculo, a carga axial e a forma de o corte também tem um efeito interactivo. Numa estrutura submetida a cargas específicas cuja magnitude aumenta até à rotura, a sequência da formação de rótulas é fixa. Não obstante, factores tais como imperfeições iniciais, assentamentos, variação da resistência do material das barras, tensões residuais, efeitos térmicos, etc., podem mudar a sequência, mas normalmente não o bastante para afectar significativamente a carga de colapso plástico. Este tipo de análise plástica baseia-se no comportamento não linear do material, incluindo a admissão que os efeitos de segunda ordem são desprezáveis. Estes métodos de análise valem-se dos teoremas fundamentais do cálculo plástico, que desprezam as curvas elásticas relativamente às plásticas, e concentram as deformações plásticas onde existem rótulas plásticas. Os seus métodos são portanto rígido-plásticos (Figura 2-d). Outros métodos dependem menos de idealizações tão rígidas e simples, sendo mais realistas relativamente às curvaturas e deformações causadas pela relação tensão-deformação do material. Estes últimos métodos chamamse elastoplásticos e distinguem-se do método elástico e perfeitamente plástico (ou rigido-plástico), caracterizando-se: a)

Por uma parte inclinada (fase elástica) e outra horizontal (fase completamente plástica) da curva de cedência infinita (Figura 2-b);

b) Por uma parte inclinada (fase elástica) e outra de leve pendente da zona de cedência (fase elástoplástica, com endurecimento) (Figura 2-c);

EC3

Parte II / 18

Série Estruturas

c)


Por uma parte inclinada (fase elástica), uma horizontal (fase completamente plástica) e outra caracterizada por um campo de deformação-endurecimento que se segue a esta parte horizontal da curva de longitude limitada (fase elásto-plástica com endurecimento) (Figura 2-e).

Assim, podem-se adoptar relações ainda mais precisas, como o caso de refinados programas de elementos finitos que actualmente permitem prolongar a cedência e valer-se do conceito de zonas plásticas em vez de rótulas plásticas.

Elasto-perfeitamente plástico

Elásto-plástico

d d f

f

y

d

=

d

d d

E

= E = 0

y

10 000

d

= E

d

= E

Rígido-plástico d d f

= E = 0

y

d

= E = infinito

d

Relação bilinear tensões-deformações

Relação bilinear tensões-deformações alternativa

σ

σ

tg α =

fy

α

ε

dσ =E dε

β

fy

α

tg α =

dσ =E dε

tg β =

dσ E = d ε 10 000

ε

Figura 8 – Diagramas tensões deformações em cálculo elásto-plástico e plástico.

EC3

Parte II / 19

Série Estruturas


De uma forma condensada, e no que à análise plástica diz respeito, podemos então dizer sumariamente: a)

Na análise rígido-plástica desprezam-se as deformações elásticas dos materiais, surgindo apenas um claro comportamento plástico a partir da tensão de cedência (ou momento plástico);

b) Na análise elasto-perfeitamente plástica admite-se que a secção se mantém perfeitamente elástica até se atingir o momento resistente plástico (ou tensão de cedência), tornando-se a seguir perfeitamente plástica; c)

Na análise elasto-plástica admite-se que a secção se mantém perfeitamente elástica até se atingir o momento resistente plástico (ou tensão de cedência), tomando a seguir um comportamento com endurecimento (elasto-plástico).

A análise plástica de segunda ordem (análise não linear material) requer geralmente trabalhar com programas informáticos poderosos, que necessitam de cuidado e experiente acompanhamento (assente na correcta entrada de dados e na criteriosa apreciação de resultados – finais mas também processuais). Convém destacar, uma vez mais, que por ser a análise plástica essencialmente não linear, o princípio da sobreposição não é aplicável. Consolidemos com o exemplo seguinte os conceitos apresentados. Considere-se que numa estrutura porticada simples (figura 9) o momento plástico (Mpl) é igual para as secções de vigas e pilares (com valor de 300 KN.m) pelo que as rótulas se podem formar tanto nas vigas como nos pilares. 1.

Assim, suponhamos que num 1.º carregamento (com carga uniformemente distribuída na viga de valor q) se atinge a 1.ª rótula plástica no vértice entre o topo do pilar da esquerda e o extremo da viga desse lado: Fase I, que corresponde à figura 9-a). A partir deste momento esta secção não poderá absorver mais momento flector, pelo que o efeito de qualquer carga terá que ser absorvido pelas restantes secções da estrutura;

2.

Continuemos o carregamento com um incremento de carga Δq1, que provoca o acréscimo de momentos flectores ao longo da estrutura, conforme figura 9-b). Então, ao diagrama anterior (Fase I, provocada por q) temos que somar a acção desta nova solicitação (Δq1), para actualizar o diagrama de esforços: estamos no final da Fase II, figura 9-c;

3.

Continuemos, de novo, o carregamento com um incremento de carga Δq2, que provoca o acréscimo de momentos flectores ao longo da estrutura, conforme figura 9-d. Então, ao diagrama anterior (Fase II, provocada por q+Δq1) temos que somar a acção desta nova solicitação (Δq2), para actualizar o diagrama de esforços: estamos no final da Fase III, figura 9-e;

4.

A novidade é que com a Fase III se formou um mecanismo na viga, pelo que não poderá esta estrutura continuar a ser carregada: está atingido o seu limite de carregamento, que é q+Δq1+Δq2.

EC3

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q q1

+ 300 150

q

300

300

150

150

300

300

q1

300

150 100

+

150

250

=

125

125

25

100

a)

125

b)

c) q

+

q

+

q1

q1

+

q2

300

300 300

300

q2 300

300

250

+

300

50

300

=

125

300

125

125

125

25

d)

e)

Figura 9 – Passos de uma análise material não linear simples (rígido-plástica).

O que se pretendeu foi mostrar e explicar, passo a passo, o processo incremental de aplicação de carga e respectiva formação de rótulas plásticas. O exercício foi simples, mas pode-se generalizar a qualquer situação, independentemente da sua complexidade ou número de barras. Em situações práticas correntes não é habitual existir uma igualdade, ou proximidade, entre as secções de vigas e pilares, sendo que o funcionamento das estruturas porticadas ocorre mais próximo da ilustração caricatural (propositadamente exacerbada) explicitada na figura 10.

EC3

Parte II / 21

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q M

R

q M

R

Viga com pequena rigidez face aos pilares: mais perto do encastramento.

R

R

Viga com grande rigidez face aos pilares: mais perto do simplesmente apoiado.

Figura 10 – Funcionamento de estruturas em função das suas dimensões relativas.

Nestes dois exemplos, os esforços transversos são iguais, mas os momentos maiores são negativos nas vigas com grandes encastramentos e os positivos quando as vigas funcionam como simplesmente apoiadas. Considerando que os esforços vão sempre para as zonas mais rígidas das estruturas e que as rótulas, na situação ideal, dever-se-ão formar nas vigas, estas deviam possuir rigidez inferior há dos pilares: pois que de outro modo os mecanismos se formam, preferencialmente nestes últimos, podendo levar ao colapso global da estrutura (pelo contrário, se as rótulas se formarem nas vigas, estas ficam isostáticas, ou mesmo que formem um mecanismo o colapso é meramente local). Infelizmente, nota-se que nas estruturas vulgares as vigas têm normalmente dimensões maiores do que os pilares (dimensionadas com preocupação nas cargas gravíticas: carga permanente e sobrecarga), o que faz com que as rótulas se formem nos pilares. Assim, e para se conseguir este objectivo (rótulas nas vigas), estas tem de ter uma rigidez menor do que a dos pilares.

1.2.2.1. Momento plástico de uma rótula plástica A formação de uma rótula plástica consiste na plastificação das fibras longitudinais de um elemento à flexão, a partir dos pontos mais afastados do eixo neutro até à plastificação completa da secção. Em materiais dúcteis, como o aço macio utilizado nas estruturas metálicas correntes, o processo de formação de rótula plástica inclui uma fase elástica, uma fase elasto – plástica e uma fase correspondente à plastificação completa, tal como se ilustra na figura 10A para uma secção rectangular. De acordo com o princípio das secções

EC3

Parte II / 22

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planas, as extensões mantêm-se proporcionais à distância ao eixo neutro, e como tal, nas fases elasto-plástica e plástica deixa de haver proporcionalidade entre tensões e extensões.

<- c

=- c

=- c

=- c

Compressão M

e.n.

h

Tensão

< c

= c

= c

= c

b

Fase elástica (M= Melastico)

Fase elásto-plastica (Melastico< M< Mplastico)

Fase plástica (M= Mplastico)

Figura 10A – Formação de uma rótula plástica

O processo de plastificação de uma secção é um processo gradual que, teoricamente, só fica completo para uma curvatura infinita da peça. No entanto, quando a altura da zona elástica (junto ao eixo neutro) é pequena pode-se admitir que a secção se encontra totalmente plastificada. O processo de formação de uma rótula plástica é ilustrado na figura 10B. Numa secção submetida a flexão, a fase elasto - plástica pode ser quantificada através da relação entre o momento plástico e o momento elástico, a qual se designa por factor de forma. Este parâmetro assume valores reduzidos em secções adequadas à flexão (≈ 1.15 em perfis em “I” e ≈ 1.5 em secções rectangulares). Em aplicações práticas, em secções com um factor de forma baixo (como as secções em I) pode admitir-se que a formação de uma rótula plástica é instantânea, pois com a plastificação dos banzos atinge-se praticamente o momento de cedência (momento plástico da secção).

EC3

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M

Mp

Me

Me EI

1 p

Figura 10B – Processo de formação de uma rótula plástica

No cálculo do momento plástico de uma secção (admitindo tensões de cedência à tracção e à compressão idênticas como acontece com o aço) o eixo neutro em regime plástico só é baricentrico se a secção for de simetria, como acontece com secções rectangulares, secções em I de banzos iguais, etc.. No caso de secções não simétricas, como a secção em T, há uma migração do eixo neutro de forma a dividir a secção em áreas iguais. Considerando os diagramas de tensões normais representados na figura 10C, o momento plástico de uma secção em I de banzos iguais é dado por:

Mp

= 2 .

A . 2

fy

. d = 2 . S .

fy

=

W pl

.

fy

A - área da secção fy - tensão de cedência do material d - distância entre o centro de gravidade de meia secção e o eixo neutro Wpl - módulo plástico de flexão, igual a 2 vezes o momento elástico de meia secção em relação ao eixo neutro (Wpl = 2 . S).

EC3

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eixo de acção

fy

fy Fc d

e. n. elástico

G

e. n. elástico

d Ft fy

fy

eixo de acção

Fc Ac

fy dc

e. n. elástico

e. n. elástico

G At

dt Ft

fy

fy

Figura 10C – Momento elástico e momento plástico de secções

O momento plástico de uma secção em T é dado por:

Mp

=

Ac . f

y

.

dc

+

At . f

y

.

d1 = f

y

.

(S c + S t ) = f y . W pl

Ac - área comprimida da secção At -área traccionada da secção fy - tensão de cedência do material dc - distância entre o centro de gravidade da área comprimida e o eixo neutro dt - distância entre o centro de gravidade da área traccionada e o eixo neutro Wpl - o módulo plástico de flexão, igual à soma dos momentos estáticos das áreas Ac e At em relação ao eixo neutro (Wpl = Sc + St)

EC3

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Zona plástica na rotura Q zona plástica

L 2

L 2

Mpl.Rd

M el.Rd

+

curvatura ΔL

rótula plástica

Qu 2

Q u - Carga última

Qu 2

Figura 10D - Zona plástica na rotura

1.2.2.2. Teoremas fundamentais da análise plástica A análise plástica de estruturas submetidas fundamentalmente a esforços de flexão pressupõe a verificação de requisitos fundamentais como: ¾

Materiais com comportamento dúctil;

¾

Secções suficientemente compactas (preferencialmente secções de classe 1 segundo o EC3) e devidamente contraventadas lateralmente.

Os métodos de análise plástica de estruturas baseiam-se essencialmente nos seguintes teoremas fundamentais: Teorema do limite inferior

EC3

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Se para uma dada carga é possível encontrar uma distribuição de momentos estaticamente admissível e satisfazendo as condições de cedência (momento actuante menor que o momento plástico), então essa carga é menor ou igual que a carga de colapso. Teorema do limite superior Se para um dado mecanismo, o trabalho das forças exteriores é igual ao trabalho desenvolvido na formação das rótulas plásticas, então a carga correspondente às forças exteriores é maior ou igual que a carga de colapso. Teorema da unicidade Se para uma determinada carga são verificadas todas as condições anteriores (Teoremas do limite inferior e do limite superior), então essa é a carga de colapso.

1.3. Métodos de Análise Geométrica Global de Estruturas A determinação de deslocamentos e esforços nas estruturas metálicas depende do tipo de análise efectuado, nomeadamente se de 1.ª ou 2.ª ordem no que à alteração de geometria e rigidez concerne. De qualquer modo, independente do tipo de análise, os parâmetros principais a considerar são: 1. Características físicas de deformabilidade ou de rigidez; 2. Tipo de grandeza das cargas ou deformações impostas (como variações de temperatura e assentamentos de apoio); 3. Estabilidade global da estrutura, das suas peças, secções e ligações; 4. Resistência das secções transversais e ligações; 5. Tipo e grandeza das imperfeições. 1.3.1. Análise Global de Primeira Ordem Na análise de primeira ordem, somente é usada a geometria inicial da estrutura e são desprezadas as deformações causadas pelo processo de carregamento, por serem pequenas e porque os deslocamentos resultantes pouco afectam a geometria da estrutura, pouco variando as forças que actuam nas barras. As tensões resultantes e os componentes de reacção podem-se determinar segundo os métodos gerais. Tradicionalmente, o primeiro é o método da flexibilidade (ou das forças), no qual se libertam forças para que a estrutura seja isostática, sendo as incógnitas, os esforços. Estes determinam-se partindo do princípio que a estrutura libertada experimenta deformações irregulares que se corrigem aplicando as forças adicionais necessárias.

EC3

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A segunda formulação é a da rigidez (ou dos deslocamentos), na qual se restringe a deformação para impedir a rotação das ligações, determinando-se as forças necessárias para originar a restrição. Então permite-se que se produzam deformações nas ligações até que tenham desaparecido as restrições fictícias. Uma vez que se conhecem as deformações, determinam-se os esforços presentes na estrutura por sobreposição dos efeitos das deformações separadas. A estrutura pode ser analisada pelo método das forças ou dos deslocamentos. A utilização do método das forças apoia-se em determinar as forças necessárias para restaurar a regularidade de geometria. A análise consiste em usar várias equações simultaneamente, tantas quanto as forças desconhecidas, que são as que se devem libertar para tornar a estrutura isostática. No método dos deslocamentos as incógnitas são as possíveis deformações e rotações das ligações. O número de forças de restrição que se acrescentam à estrutura é igual ao número de deformações possível das ligações e, igualmente, a análise faz-se usando um sistema de equações. A análise de primeira ordem pode ser usada, por exemplo, para uma análise global nos casos em que a estrutura não tem mobilidade horizontal expressiva, está devidamente contraventada (impedida de deslocamentos laterais, figura 11), ou se os métodos de cálculo prevêem indirectamente os efeitos de segunda ordem, dispensando uma metodologia teoricamente rigorosa (que normalmente obriga a um processo incremental e iterativo, provavelmente mais delicado de controlar e mais moroso). Resumindo, a análise de primeira ordem usa a geometria inicial da estrutura e pode ser utilizada nos casos de estruturas reticuladas contraventadas, reticuladas não contraventadas sem deslocamentos laterais com significado (nós fixos) e também em métodos de cálculo nos quais os efeitos de segunda ordem sejam considerados indirectamente.

Figura 11A – Pórtico contraventado e sem deslocamento laterais e pórtico não contraventado e com deslocamento s laterais.

1.3.2. Análise Global de Segunda Ordem A análise de segunda ordem tem em conta a influência da deformação da estrutura e, por isso, deve fazer-se referência à geometria deformada em carga, podendo ser utilizada para análise global em todos os casos

EC3

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incluindo estruturas reticuladas com deslocamentos laterais. Neste caso, os esforços internos dependem da configuração deformada da estrutura, obtida pela divisão da carga total em parcelas, actualizando a geometria da estrutura de cada vez que cada incremento de carga é aplicado. Conforme figura abaixo, temos dois tipos base de deformação em estruturas: (i) um do tipo global, em que se contabiliza o deslocamento geral da estrutura, designado por efeito “P-Δ” (ou “P BIG” delta na figura); (ii) outro que tem em consideração a deformada ao nível dos elementos, sobretudo pilares comprimidos, designado por efeito “P-δ” (ou “P little” delta na figura). “P” aqui significa o esforço axial de compressão.

Figura 11B – Pórtico com efeito “P-Δ” e pilares com efeito “P-δ”.

De uma forma preliminar, estamos em condições de afirmar que com a análise não linear geométrica se pretende aferir e determinar o agravamento nas deformações e, consequentemente, nos esforços que uma estrutura sofre ao longo do seu processo de carregamento. Quer sejam esses acréscimos nos esforços resultado directo das novas e sucessivas excentricidades criadas pelos movimentos próprios da estrutura em deformação ou pela alteração da rigidez gerada pelo significativo valor que as forças internas venham a assumir, estamos, em qualquer dos casos, perante fenómenos que podemos considerar de efeitos de segunda ordem ou de não linearidade geométrica. Na verdade, a análise de segunda ordem (ou não linear geométrica) não contabiliza apenas as alterações geométricas da estrutura, atendendo à sua deformação provocada pelas cargas, mas também a perda de rigidez significativa que afecta as peças comprimida, sobretudo (como semelhança temos a carga crítica de Euler, em que uma coluna vertical rectilínea sujeita apenas a uma carga de compressão centrada, instabiliza, por perda de rigidez/equilíbrio, a partir de um determinado valor dessa acção). Quando for necessário contar com os efeitos de segunda ordem (não linearlidade geométrica), aplicar-se-á uma análise não linear apoiada em cálculos interactivos. Como neste caso não é permitido o princípio da sobreposição, deve recorrer-se a uma distribuição de cargas específica, que se incrementa por passos mediante um factor de carga (Figura 12). EC3

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Quase todos os regulamentos e normas permitem tratar a determinação dos esforços das barras nas estruturas de geometria regular de forma directa (um único cálculo), mediante análises elástica que se amplia, se necessário, para incluir efeitos da instabilidade. Este procedimento parece incompatível com o rigor técnico, ao não ser aplicável o principio da sobreposição, porém oferece aos projectistas a possibilidade de se socorrerem de programas correntes de análise de pórticos, ou seja, elásticos (linear geométrico) e lineares (linear material, propriamente dito), que poderão servir pelo menos no ante-projecto. Em termos materiais o comportamento pode ou não manter-se linear, variando ou não as suas grandezas físicas ao longo se todo o processo de cálculo (módulos de elasticidade longitudinal, coeficiente de Poisson, etc.). No caso de uma análise conjunta não linear geométrica e material o cálculo torna-se pesado, moroso e exige programas computacionais elaborados.

Figura 12 - Exemplo da análise de segunda ordem

Vários factores concorrem para o desenvolvimento destes comportamentos não lineares e pela sua maior participação no fenómeno destacam-se: •

Geometria global da estrutura, dos seus elementos e das suas secções;

•

Condições de apoio (ligações ao exterior);

•

Condições de continuidade dos elementos (ligações interiores);

•

Propriedades dos materiais.

O caso normal é aquele que ocorre na generalidade das estruturas construídas, em que a solicitação a que estão sujeitas leva a alguma perda na sua rigidez e ao aumento moderado da sua deformação que, podendo ser mais ou menos acentuada, nunca deve atingir valores que comprometam a sua utilização. Queremos com isto dizer que, muito embora não se mantenha linear a relação entre cargas e deslocamentos, existirá sempre entre estes uma relação de univocidade. EC3

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P Curva P-D

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D

Nestes casos nunca se chega a atingir uma situação de instabilidade estrutural sem cedência significativa dos materiais constituintes. Uma forma de constituir uma análise não linear geométrica é por adição à matriz de rigidez linear de uma outra matriz designada, habitualmente, de matriz de rigidez geométrica ou, simplesmente, matriz geométrica. Sendo este conjunto nomeado por matriz tangente e tendo a sua equação formal elementar a seguinte aparência: [KT] {U} = ([KL] + [KG] ) {U} = {P} [KT] – Matriz de rigidez tangente ou, simplesmente, matriz de rigidez.

Sendo:

[KL] – Matriz de rigidez linear ou, simplesmente, matriz linear. [KG] – Matriz de rigidez geométrica ou, simplesmente, matriz geométrica. {P} – Vector das cargas totais. {U} – Vector dos deslocamentos nodais (totais), devidos a {P}. Esta matriz geométrica pode ser complementada por outras matrizes do mesmo género ou terceiras acessórias, deduzidas para cada formulação.

Figura 13 - Curva carga-deslocamento num caso normal.

O uso da matriz geométrica tem duas capitais e distintas vantagens sobre as funções de estabilidade (que são factores que se multiplicam directamente pelos termos da matriz de rigidez linear): 1.

Um significado físico mais perceptível, porquanto se demarca da matriz de rigidez linear a função de produzir os efeitos de 2ª ordem;

2.

A exclusividade no cálculo de cargas críticas e modos de instabilidade associados.

A solução da formulação acima apresentada, passa pela associação de dois procedimentos: incrementos parciais de carga total seguidos de processo iterativo que equilibre a parte da carga aplicada com os correspondentes correctos deslocamentos. De facto, se a relação entre cargas e deslocamentos fosse sempre linear, bastaria aplicar a carga total e obter os correspondentes deslocamentos finais, de forma directa.

EC3

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Contudo, dado não existir linearidade entre estas duas grandezas, conforme a figura 13, é necessário acompanhar o trajecto da curva que relaciona as forças com os deslocamentos, o que só é possível por tentativas que se vão aproximando dessa curva por diminuição do erro entre passos sucessivos. Em termos meramente ilustrativos podemos visualizar um tipo de procedimento faseado na figura 14 (designado por método do controlo de deslocamento).

Figura 14 - Diagrama carga-deslocamento para o método do controlo de deslocamento.

Podemos dividir e definir as técnicas utilizadas frequentemente em dois grandes grupos: 1) Técnicas incrementais - baseiam-se na descrição do comportamento da estrutura através do somatório de cálculos linearizados, correspondentes à utilização da matriz de rigidez tangente, para incrementos de carga ou de deslocamento tão pequenos quanto se queira. Daí que o carregamento total é dividido num número previamente fixado ou que se vai estabelecendo em função do comportamento do processo de incrementos de carga, sendo para cada um deles efectuado um cálculo linear. Trata-se, pois, de substituir um comportamento não linear através de uma aproximação efectuada por um somatório de cálculos a elasticidade constante, com base na matriz tangente obtida no final do cálculo anterior; 2) Técnicas iterativas – pretendem, sempre, o estabelecimento do equilíbrio entre cargas aplicadas e deslocamentos correntes, ou seja: a correspondência entre forças e deformações. Pode tal proporção ser atingida de harmonia, ou não, com o relativo estado de tensão estabilizado. Quer isto dizer que esse equilíbrio pode ser fundamentado em equações que regem o sistema sem preocupações na sua trajectória

EC3

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de evolução, ou, pelo contrário, com base em formulações mais completas e sensíveis às diversas mudanças das suas variáveis de estado, tanto geométricas como materiais. Resumindo, a análise de segunda ordem serve para todos os casos sem restrição, pode ser usada para uma análise global indiscriminadamente.

1.4. Cargas Críticas Outro conceito importante, em termos da verificação da segurança de uma estrutura, é sabermos até que ponto estamos próximos do seu colapso, comparativamente ao carregamento a que estamos a sujeitar, ou seja a carga para além da qual a estrutura colapsa. Assim, carga crítica de uma estrutura corresponde ao último valor, de uma qualquer forma de carregamento, para o qual ainda é possível o equilíbrio, ou seja: qualquer que fosse o acréscimo infinitesimal de carga somado a esse presente estado de tensão a estrutura perderia, globalmente, o seu equilíbrio, entrando em colapso. Daqui se depreende que essa carga corresponde a um equilíbrio indiferente, situação da qual a estrutura já não regressará mesmo que seja retirada a totalidade da carga aplicada, ou seja, à remoção da perturbação não corresponde o regresso ao estado inicial. A este fenómeno corresponde, intrinsecamente, uma deformada dessa estrutura associada ao nível de energia que conduziu a esse estado, designando-se esta por modo de encurvadura. Em termos matemáticos, o estudo destes fenómenos está ligado à busca dos valores e vectores próprios da estrutura que se relacionam, directamente, com a matriz geométrica3. A sua determinação e a da configuração de instabilidade correspondente podem, pois, ser obtidas a partir de um modelo que inclua os efeitos de 2ª ordem, bastando adaptar as equações e equilíbrio que lhe servem de base, com vista a conseguir-se traduzir a situação de equilíbrio indiferente pretendida. Muito embora se possam obter tantos valores e vectores próprios quantos os números de graus de liberdade do sistema estrutural, em termos práticos só os mais baixos (ou mesmo somente o mais baixo) tem interesse determinar, já que são os que correspondem à menor energia necessária para conduzir a estrutura à perda generalizada de equilíbrio. Admitindo um qualquer carregamento que se pretende estudar, vai procurar-se um factor de carga λc que, multiplicado por essa solicitação inicial, traduzirá a carga crítica da estrutura e que corresponde ao valor próprio mais baixo. Quanto mais baixo for este valor (próximo de 1), mais risco tem a estrutura de colapso.

3

À semelhança do que acontece com a matriz de massa numa análise dinâmica de estrutura, na procura das frequências próprias e dos modos de vibração associados. EC3

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Série Estruturas


λ = Pc / P Pc – carga crítica. P – carga usada na estrutura. Ou seja: vamos aferir um parâmetro de carga λc, pelo qual se devem multiplicar as acções aplicadas no sistema em análise, de forma a não ser possível encontrar uma solução única de equilíbrio4. Em termos muito grosseiros, e formalmente errados, mas com vista a simplificar uma visualização inicial do conceito, o que se pretende é conhecer a quebra de rigidez da estrutura (da matriz de rigidez linear clássica KL) quando sofre um aumento de estado de tensão de compressão que a conduz à instabilidade (redução da matriz KL pela matriz de rigidez não linear ou geométrica KNL = KG). Se λ for o factor por que temos que multiplicar a KG para anular KL esse será o parâmetro de carga crítica: K = KL - λ KG Em termos matemáticos correctos, como a matriz geométrica é proporcional às forças internas existentes na estrutura: [ [KL] + λc [KG] ] {u} = λc {f} Deste modo, e uma vez que essa matriz depende linearmente dos valores dos esforços instalados em cada uma das barra da estrutura, uma situação de equilíbrio indiferente será expressa segundo o método dos deslocamentos por: [ [KL] + λc [KG] ] {u} = 0 Soluções não nulas desta equação poderão ser obtidas se: det ( [ [KL] + λc [KG] ) = 0 Como se disse, por esta via encontra-se um problema clássico de determinação de valores e vectores próprios associados a [KL] e [KG]. Sendo de salientar que a resolução desta equação terá de ser feita, em geral, por métodos iterativos, pois consiste na obtenção das raízes de um polinómio de grau igual ao das dimensões das matrizes [KL] e [KG].

4

Dado o equilíbrio ser indiferente, existem, consequentemente, tantas formas de equilíbrio quantos os graus de liberdade do sistema. Numa situação de equilíbrio estável, que corresponde a todos os instantes imediatamente antes deste, só é possível uma única configuração de equilíbrio (que não é mais que a deformada proporcional da estrutura para esse índice de carregamento). EC3

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Série Estruturas


Como só se conhecem métodos para o cálculo das raízes de um polinómio se o grau for igual ou inferior a quatro, a solução do problema terá que ser obtida recorrendo a processos iterativos. Convém aqui recordar as condições e hipóteses a que está sujeita, em geral, a análise: 1.

Admite-se que o sistema de barras carece de qualquer imperfeição geométrica, muito embora a geometria possa ser actualizada em resultado dos sucessivos cálculos de deslocamentos efectuados;

2.

Durante todo o processo supõe-se que o comportamento material é contínuo, homogéneo, isotrópico e perfeitamente elástico e linear;

3.

Não se considera a possibilidade de encurvadura nas barras por flexão ou torção;

4.

Todas as barras encurvam simultaneamente.

Esta última hipótese não exclui, completamente, uma possibilidade de encurvadura local, muito embora, se tal suceder, não poderá conduzir ao colapso da estrutura. Isto é fácil de aceitar, já que de outro modo essa ocorrência deveria ser detectada, directamente, pela análise. Em geral as estruturas correntes afastam-se de situações perto do colapso global e, por conseguinte, total. Contudo, alguns dos processos de deformação não linear que uma estrutura pode sofrer podem conduzir a instabilidade, desde que em qualquer momento possa existir uma perda de equilíbrio. O caso mais frequente na generalidade das estruturas construídas é que a solicitação a que estão sujeitas leva a alguma perda na sua rigidez e ao aumento da deformação, sem que tal situação alguma vez atinja valores exagerados. Neste caso, a curva de carga crítica é sempre decrescente, ou seja: conforme o nível de Se esta curva interceptar a da análise não linear, esse ponto corresponderá a um valor unitário para o factor de carga crítica, pelo que o nível de carga até este ponto aplicado bastará para conduzir a estrutura ao colapso geométrico, devendo ser esta reequacionada. O EC3 estabelece condições sob as quais o perigo de uma instabilidade global não poderá ocorrer, assunto que será adiante tratado, sendo também esta problemática das cargas críticas uma forma do estudo da própria mobilidade da estrutura (de nós fixos ou móveis, que o mesmo é dizer com deslocamentos horizontais desprezáveis ou não). carregamento caminha para a sua totalidade o factor de carga crítica diminui proporcionalmente.

EC3

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P Curva P-D

Série Estruturas


Curva da Cargas Críticas

D

Figura 15 - Curva carga-deslocamento e cargas críticas num caso normal.

1.5. Comentários adicionais Deve observar-se que as hipóteses feitas na análise global devem conciliar-se com a conduta prevista nas ligações. Os pressupostos feitos no cálculo das barras também devem coincidir com o método da análise global (ou serem moderadas relativamente a este) e a conduta prevista das ligações. Os códigos e normas em vigor exigem que a análise global preveja a influência das tensões residuais e imperfeições geométricas, como a falta de verticalidade, falta de rectidão, falta de ajustamento e as pequenas excentricidades inevitáveis que existem nas ligações reais. Podem aplicar-se imperfeições geométricas apropriadas com valores que mostrem todos os tipos de imperfeição, como adiante se explicitará.

1.6. Resumo das análises global geométrica e material Numa breve súmula dos conceitos apresentados podemos sintetizar: 1.

Os esforços numa estrutura determinam-se através de uma análise global elástica ou plástica, quanto ao estudo material, e de 1ª ou 2ª ordem, quanto ao estudo geométrico. Por outras linguagens mas com o mesmo significado:

Pode ser feita uma análise de 1ª ou 2ª ordem, tanto para a análise geométrica como material (1.ª ordem = elástica; 2ª ordem = plástica);

Pode ser feita uma análise de linear (1ª ordem) ou não linear (2ª ordem), tanto para a análise geométrica como material;

2.

A análise global somente se pode fazer segundo a análise de primeira ordem utilizando a geometria inicial da estrutura, nas seguintes condições: 2.1. A estrutura é contraventada (EC3 – 4.4.3); 2.2. A estrutura é pouco sensível aos efeitos de 2ª ordem, ou seja, é rígida ao deslocamento horizontal (também designada de nós fixos ou “non sway”) (EC3 – 4.4.2);

EC3

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2.3. Utilizando métodos de cálculo que considerem indirectamente os efeitos de 2.ª ordem. O que é possível se puderem ser desprezada a interacção entre os efeitos P-δ (efeitos de 2.ª ordem ao nível local do elemento) e P-Δ (efeitos de 2.ª ordem ao nível global da estrutura). 3. A análise de segunda ordem, que expressa o equilíbrio e a compatibilidade relativamente à geometria desviada da estrutura, é necessária quando os efeitos dos deslocamentos horizontais não são passíveis de ser desprezados, podendo ser sempre utilizada; 4. A análise global elástica supõe que o material obedece à lei de Hooke em todo o seu campo de carga; por isso, a resistência de um perfil vem regida pelo primeiro aparecimento de cedência (ou seja, logo que uma fibra da secção atinge a tensão limite elástica, considera-se esgotada a capacidade resistentes da mesma, não sendo admissível qualquer acréscimo de tensão em qualquer dos seus pontos); 5. A análise global plástica tem em conta a redistribuição das tensões directas dentro das secções transversais e entre elas, que resulta na formação de rótulas plásticas até que ocorra o mecanismo de colapso; 6. É permitida a análise global plástica sempre que as propriedades do material e as proporções das secções cumpram os limites e condições correspondentes, nomeadamente: 6.1.

Aços com ductilidade suficiente, verificando os requisitos estabelecidos no sub-capítulo 3.2.2 do EC3;

6.2.

As secções transversais onde se formem rótulas plásticas devem possuir capacidade de rotação suficiente para acomodar essas deformações. No caso de as rotações requeridas não serem calculadas as secções devem ser da classe 1 (a classificação de secções é assunto à frente abordado);

6.3.

As secções onde deformem rótulas plásticas devem ser simétricas em relação ao plano de acção;

6.4.

As secções onde de formem rótulas plásticas devem estar contraventadas lateralmente.

7. A análise global elástica pode sempre utilizar-se, tendo em conta que o comportamento da estrutura também depende de critérios de serviço eficazes, sendo geralmente apropriado para calcular os estados limites de utilização, contando ainda com as seguintes possibilidades: 7.1.

As secções transversais podem ser de qualquer classe;

7.2.

Se as secções transversais forem das classes 1 e 2, pode ser considerada a sua resistência plástica ao nível dessa secção;

7.3.

Se a secção transversal for da classe 3 deve ser considerada a sua resistência elástica;

7.4.

Se a secção transversal for da classe 4 pode ser considerada a sua resistência elástica, considerando uma área efectiva reduzida (pois admite-se que parte da secção bruta tende a instabilizar por fenómenos de encurvadura ao nível da secção, não podendo resistir a tensões de compressão);

EC3

Parte II / 37

Série Estruturas 7.5.

Estruturas Metálicas Pode ser considerada uma redistribuição de esforços de 15% desde que os esforços internos continuem em equilíbrio com os carregamentos actuantes e as secções onde se considera a redistribuição sejam da classe 1 ou 2.

8.

A análise global plástica é geralmente apropriada apenas para calcular o estado limite último, mas a estrutura e os seus elementos têm que cumprir certos requisitos para tal ser aceitável;

9.

Seja qual for o tipo de análise global, deve-se harmonizar com o comportamento previsto das ligações (não linearidade do comportamento dos nós) e incorporar as imperfeições estruturais específicas pelos códigos e normas sobre a matéria.

EC3

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2. ANÁLISE ESTRUTURAL (EC3) 2.1. Efeitos da deformação geométrica da estrutura O esforços internos de uma estrutura podem ser geralmente determinadas usando uma das seguintes análises: – Análise de primeira ordem, usando a geometria inicial da estrutura; – Análise de segunda ordem, tomando em consideração a influência da deformação da estrutura. Os efeitos da deformação geométrica (efeitos de segunda ordem) deverão ser considerado se o aumento dos efeitos das acções for significativo, ou o comportamento da estrutura seja modificado significativamente. Análise de primeira ordem pode ser usada se o aumento dos esforços internos for pouco relevante em função da deformação da estrutura (ou outra qualquer mudança no seu comportamento), devido às acções aplicadas. Neste caso, o efeito das deformações laterais, da estrutura no global e dos elementos no local, pode ser negligenciado. Esta condição pode ser assumida se os seguintes critérios forem satisfeitos:

Onde: •

αcr - é o factor pelo qual as acções de cálculo teriam de ser multiplicadas para provocar a instabilidade elástica num modo global

•

Fed - valor de cálculo do carregamento da estrutura.

•

Fcr - valor crítico do carregamento associado à instabilidade elástica num modo global com deslocamentos laterais, determinado com base nos valores de rigidez iniciais

NOTA: Na expressão acima, o valor limite de acr é superior no caso da análise plástica, o que se deve ao facto de o comportamento estrutural poder ser significativamente influenciado pela não linearidade material no estado limite último (por exemplo, no caso de se formarem na estrutura rótulas plásticas com redistribuição de momentos ou quando ocorrerem deformações não lineares significativas provocadas por ligações semi-rígidas). Em pórticos de travessas inclinadas, com declives pouco acentuados, e os pórticos planos com vigas e colunas em edifícios, poderão ser verificados em relação ao colapso em modos com deslocamentos laterais através de uma análise de primeira ordem, desde que o critério acima seja satisfeito em cada piso. Nestas estruturas, αcr deverá ser calculado utilizando a seguinte expressão aproximada, desde que a compressão axial nas vigas ou travessas não seja significativa:

EC3

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Onde: •

HEd - valor de cálculo da carga horizontal total transmitidas pelo piso (storey shear);

•

VEd - valor de cálculo da carga vertical total transmitida pelo piso (storey thrust);

•

dH,Ed - deslocamento horizontal no topo do piso, medido em relação à sua base, quando se considera um carregamento do pórtico definido pelos valores de cálculo das acções horizontais (por exemplo, devidas ao vento) e das cargas horizontais fictícias, aplicadas ao nível de cada piso;

•

h - altura do piso.

Figura 16 - Efeitos de deformação geométrica da estrutura

Para mais detalhes e critérios ler o subcapítulo “5.2.1 Efeitos da configuração deformada da estrutura” do EC31-1. 2.2 Estabilidade da estrutura De acordo com o referido em 1.7.1. a influência da deformação na estrutura tem de ser tomada em conta, utilizando-se o disposto anteriormente, considerando estes efeitos, a fim de verificar a estabilidade estrutural. A verificação da estabilidade das estruturas, ou das suas peças, deve ser realizada considerando as imperfeições e os efeitos de segunda ordem. Dependendo do tipo de estrutura e do tipo de análise (elástica ou plástica), os efeitos de segunda ordem e as imperfeições podem ser tidos em conta na verificação da estabilidade da estrutura, por um dos seguintes métodos:

EC3

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Série Estruturas


a) Análise global de esforços, incluindo directamente todas as imperfeições (geométricas e do material) e todos os efeitos de 2ª ordem (P-Δ e P-δ). b) Análise global de esforços considerando as imperfeições globais da estrutura e os efeitos de 2ª ordem globais (P-Δ), sendo as imperfeições dos elementos e os efeitos de 2ª ordem locais (P-δ) incluídos nas formulas de dimensionamento à encurvadura (segundo 6.3 do EC3-1-1). c) Em alguns casos através da verificação da estabilidade individual dos elementos (segundo 6.3 do EC31-1), considerando comprimentos de encurvadura correspondentes ao modo de instabilidade global da estrutura. Efeitos de segunda ordem podem ser calculados usando qualquer análise apropriada para a estrutura (incluindo passo a passo e/ou processos iterativos). Para as estruturas onde o primeiro modo de encurvadura é predominantemente a análise elástica deve ser realizada com amplificação subsequente dos efeitos relevantes das acções (momentos flectores) por factores apropriados. Em pórticos de um piso calculados através de uma análise elástica global, os efeitos de segunda ordem associados a deslocamentos laterais, devidos à presença das cargas verticais, poderão ser calculados através da amplificação das cargas horizontais HEd (por exemplo, devidas ao vento), das cargas equivalentes às imperfeições e de todos os outros possíveis efeitos de primeira ordem associados a deslocamentos laterais, amplificação essa efectuada por meio do factor:

Contando que αcr ≥ 3,0. Onde αcr pode ser calculado de acordo com o anterior em 1.7.1, contando que a inclinação do telhado é pequena e que a compressão axial nas vigas ou nos pilares não é significativa, como definido em 1.7.1. NOTA: Para αcr< 3.0 uma análise de 2.ª ordem, mais exacta, terá de ser adoptada.

Para estruturas de vários pisos os efeitos de segunda ordem podem ser calculado pelo método dado, contado que todos os pisos são similares em distribuição de: •

Cargas verticais;

•

Cargas horizontais;

•

Rigidez dos pisos com respeito às forças horizontais.

NOTA: Para a limitação do método ver também 1.7.1. A estabilidade de membros individuais deve ser verificada de acordo com o seguinte:

EC3

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Série Estruturas


a) Quando os efeitos de segunda ordem e as imperfeições em cada elemento (ver 5.3.4 do EC3-1-1 ou subcapítulo seguinte deste texto) estão totalmente incluídos na análise global da estrutura, não é necessário efectuar verificações de segurança relativas à estabilidade desses elementos de acordo com 6.3 (consideração da encurvadura nas fórmulas verificativas a nível das secções); b) Quando alguns dos efeitos de segunda ordem ou das imperfeições de cada elemento (por exemplo, as imperfeições relativas à encurvadura por flexão e/ou à encurvadura lateral, ver 5.3.4 do EC3-1-1) não forem totalmente incluídos na análise global, deverão efectuar-se as verificações de segurança relativas à estabilidade desses elementos, de acordo com os critérios relevantes preconizados em 6.3, de modo a considerar os efeitos não incluídos na análise global. Esta verificação deverá tomar em consideração os esforços actuantes nas secções extremas dos elementos, obtidos através da análise global da estrutura, incluindo os efeitos de segunda ordem e as imperfeições globais (ver 5.3.2 do EC3-1-1), quando relevantes, e poderão utilizar-se comprimentos de encurvadura iguais aos comprimentos reais dos elementos.

2.3 Resumo das possíveis análises do EC3 O EC3 preconiza que os “P – δ” e efeitos “P – Δ” devem estar presente na análise de estruturas metálicas, sendo que: 1. Na prática, as imperfeições dos elementos estruturais isoladamente normalmente não são tidas em consideração pelos projectistas, permitindo o EC3 a sua dispensa nas situações mais correntes, como se verá; 2. Também elementos finitos que têm em linha de conta a torção lateral e deslocamentos para fora do plano de carga não são normalmente utilizados na análise global do pórtico; 3. Portanto, os efeitos das imperfeições na instabilidade dos elementos singulares (pilares e vigas) são, normalmente, verificados posteriormente através do uso de fórmulas próprias de dimensionamento tais como as descritas no volume IV desta série de textos sobre estruturas metálicas; 4. Os efeitos “P – Δ” podem ser sempre considerados na análise estrutural, existindo, contudo, casos onde uma análise menos sofisticada proporciona ao projectista uma distribuição satisfatória das forças internas. De facto: - A análise de primeira ordem pode ser suficiente, sem que haja necessidade de contabilizar os efeitos de segunda ordem, conforme acima apresentado:

- A análise de primeira ordem pode ser realizada, mas os resultados precisam de uma correcção significativa ao nível dos efeitos de segunda ordem. Caso em que os momentos correspondentes são multiplicados pelo factor (contando que αcr ≥ 3,0):

EC3

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5. Pelo exposto no ponto anterior (4), para tornar esta selecção possível, o projectista precisa de um meio de avaliar em que medida a variação da estabilidade da estrutura pode modificar a distribuição de forças internas, sendo isto é contabilizado pelo coeficiente da carga critica elástica “αcr”; 6. Assim, como de viu, se o valor deste rácio for suficientemente grande (pórtico estável, de nós fixos ou sem deslocamentos laterais significativos), a análise de primeira ordem é suficiente. Se for suficientemente pequeno (pórtico instável, de nós móveis ou com deslocamentos laterais significativos), então a análise de segunda ordem é necessária; 7. No entanto, muitas estruturas são caracterizadas por um valor intermédio do rácio crítico (10 > αcr ≥ 3,0), para as quais é aceitável proceder a uma análise de primeira ordem, com a introdução das imperfeições iniciais no pórtico, e em que os momentos são amplificados apropriadamente de forma a contabilizar os efeitos de segunda ordem “P – Δ” (inicialmente desprezados na análise global), pelo factor acima identificado (factor de amplificação):

8. O projectista também terá de decidir sobre o uso do método de análise material elástico, ou, quando for apropriado, pelo uso do método de análise material plástica. Embora uma análise global elástica seja sempre permitida, o uso de uma análise plástica global está sujeita a requisitos adicionais (ductilidade material, ductilidade mínima dos elementos e secções, com classificação das classes e requisitos nas ligações, etc.); 9. No caso de se usar um método análise material plástica devemos considerar o efeito na estabilidade global e local nas zonas de formação de rótulas e os decorrentes do endurecimento do aço. Por estas razões, é recomendado que a análise elástica deva ser normalmente usada para a maioria dos dimensionamentos de pórticos. 10. O passo final, após o dimensionamento das forças internas determinadas como acima exposto (primeira ordem; segunda ordem ou primeira ordem com amplificação), é a verificação da resistência das secções, bem como a estabilidade dos elementos e seus componentes têm de ser controlada. Para o controlo de estabilidade, muitas vezes recorre-se ao conceito dos chamados comprimentos de encurvadura, nomeadamente em elementos do tipo coluna (pilares). Por razões de simplicidade, o comprimento de encurvadura dos pilares é muitas vezes tomada como seu, o que é seguro para estruturas sem modos de deslocamentos laterais significativos, mas nem tanto (ou nada) quando essa deslocabilidade tem lugar; 11. Tal como encontrado em alguns códigos nacionais, o EC3 permite um dimensionamento alternativo e uma abordagem conhecida como o “ Método do comprimento de encurvadura”. Este método consiste no: - Primeiro passo é realizar uma análise primeira ordem;

EC3

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- Depois verificação da estabilidade global do pórtico e a estabilidade local dos elementos comprimidos – nomeadamente pilares – verificando a estabilidade dos elementos utilizando equivalentes comprimentos de encurvadura, de acordo com o método de estabilidade global de toda a estrutura; - Isto é baseado em 2 pressupostos seguros: (i) todas as colunas num andar encurvam simultaneamente e (ii) que a instabilidade global do pórtico corresponde à maior carga de instabilidade de todos os andares do pórtico. O descrito método de dimensionamento e as abordagens possíveis são ilustradas na Fig. 16A (em inglês, conforme o original).

Figura 16A - O método alternativo de dimensionamento do pórtico e analise aproximada (Rules for Member Stability in EN 1993-1-1: Background documentation and design guidelines, ECCS, 2006).

EC3

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3. IMPERFEIÇÕES 3.1. Consideração das imperfeições – bases As imperfeições em estruturas, designadamente metálicas, são uma real inevitabilidade que deverá ser assumida por todos os intervenientes no processo de concepção e construção, por maiores que sejam os avanços tecnológicos nesta e noutras indústrias. Geometricamente, ao nível dos elementos base (vigas ou pilares) ou das ligações, ou mesmo ao nível das secções enquanto partes elementares do todo que é a estrutura, é necessário considerar imperfeições. Destas imperfeições geométricas pode-se destacar: (i) a falta de verticalidade ou horizontalidade/nivelamento da peça; (ii) a falta de desempeno do(s) eixo(s) da peça, não rectilíneo(s); (iii) a excentricidade da aplicação das cargas; (iv) as assimetrias, excentricidades e irregularidades das ligações; (v) desajustes e pormenores de execução deficiente; (vi) os imperceptíveis empenos das secções. Por outro lado, fisicamente, as características do aço variam ao longo da estrutura e na secção transversal, como resultado dos processos de fabrico do aço e dos perfis. Das imperfeições materiais evidencia-se: (i) a heterogeneidade do aço, em termos metalúrgicos; (ii) as tensões residuais resultantes do processo de conformação das peças; (iii) aquelas que surgem em resultado do fabrico e montagem; (iv) as provenientes da soldadura, com potenciais deformações permanentes e tensões residuais associadas, independentemente do processo. A consideração das imperfeições estruturais nos procedimentos de análise e dimensionamento de estruturas metálicas está implicitamente presente em todos os modelos de dimensionamento, dada a sua importância na redução da capacidade resistente de elementos e estruturas metálicas. Um exemplo clássico que ilustra esta afirmação são as curvas de encurvadura de pilares comprimidos do EC3. Actualmente, fruto dos avanços na capacidade numérica e sofisticação dos programas de análise estrutural, assiste-se à tendência progressiva de considerar explicitamente as imperfeições na análise de estruturas metálicas. Esta tendência corresponde à progressiva unificação do processo bi-etápico de análise estrutural/verificações de dimensionamento. A consideração explícita dos fenómenos “P-Δ” na análise estrutural constitui um padrão do estado actual da prática de projecto de estruturas. Segundo o EC3-1-1 (sub-capitulo 5.3), os diversos tipos de imperfeições podem ser simulados com base no conceito de “imperfeição geométrica equivalente” (ver 3.2.1 e 3.2.2), devendo ser usadas com valores que reflictam os possíveis efeitos de todo o tipo de imperfeições (a não ser que estes efeitos estejam incluídos na fórmula da resistência para os elementos – subcapítulo 6.3, ver 3.2.3). Em geral, na análise e dimensionamento de estruturas metálicas devem ser consideradas as seguintes imperfeições:

EC3

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a) Imperfeições globais para estruturas e contraventamento; b) Imperfeições locais dos elementos; c) Imperfeições das secções; d) Imperfeições das ligações. Como vimos, esforços de 2.ª ordem (secundários) são aqueles que não são considerados nos métodos de cálculo usuais, em consequência das hipóteses simplificativas em que estes se baseiam. Contudo, esses não são os únicos. Outros existem, tais como os resultantes de: ¾

Imperfeições no fabrico das estruturas: falta de rectilínearidade das peças em geral; carência de verticalidade dos pilares; pequenas excentricidades nas ligações; etc;

¾

Tensões residuais;

¾

Excentricidades das cargas face ao eixo das peças;

¾

Etc.

Todavia, estes esforços podem assumir valores pouco significativos em estruturas bem concebidas (por exemplo, com os elementos principais das estruturas possuindo secções simétricas em relação ao plano médio das estruturas, com estruturas trianguladas tendo os nós cuidadosamente pormenorizados e de forma que os eixos dos vários elementos sejam concorrentes num só ponto, etc.) e bem executadas (com a minimização dos problemas apontados no parágrafo anterior). De qualquer modo, regulamentarmente (EC3), o efeito das imperfeições deve ser considerado: -

Na análise global da estrutura;

-

Na análise dos sistemas de contraventamento;

-

No dimensionamento dos elementos.

3.2. Método de aplicação considerando o efeito das imperfeições Devem ser incluídos valores adicionais adequados, que englobem as imperfeições das estruturas reticuladas, imperfeições dos sistemas de contraventamento e as imperfeições dos elementos. 3.2.1. Imperfeições nas estruturas reticuladas para análise global A forma assumida de imperfeições globais e imperfeições locais podem ser derivadas do modo elástico de encurvadura no plano da encurvadura considerado.

EC3

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Deverão considerar-se, com a direcção e configuração mais desfavoráveis, todos os fenómenos de encurvadura, no plano e para fora do plano do pórtico, incluindo encurvadura por torção, associados a modos de instabilidade simétricos e assimétricos. Em pórticos susceptíveis à ocorrência de modos de encurvadura com deslocamentos laterais, o efeito das imperfeições deverá ser incorporado na análise global do pórtico através de uma imperfeição equivalente com a forma de uma inclinação lateral inicial das colunas do pórtico (imperfeição global), e de deformadas iniciais dos seus elementos (imperfeições locais). Nas estruturas reticuladas (pórticos) os efeitos das imperfeições devem ser considerados recorrendo a uma imperfeição geométrica equivalente, em forma de uma inclinação inicial do deslocamento lateral (φ), figura 17, determinada a partir da seguinte expressão: ϕ = αh αm ϕ0, com: •

ϕ0 = 1/200

(9) 0,5

•

αm = [0,5 (1+1/m) ]

•

αh = 2/[h]0,5 , em que 2/3 ≤ αh ≤ 1,0

Em que: m - é o nº de pilares por plano (direcção considerada) h – altura total da estrutura em metros. Só serão incluídos em m os pilares que suportam uma força vertical não inferior a 50% do valor médio da força vertical por pilar no plano considerado, e que se prolongam a todos os pisos considerados.

Figura 17 – Imperfeições iniciais.

Caso seja mais conveniente, a imperfeição inicial do deslocamento pode ser substituída por um sistema de forças horizontais equivalentes (fig. 18).

EC3

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Em pórticos de edifícios constituídos por vigas e pilares, estas forças horizontais equivalentes devem ser aplicadas a cada nível proporcionalmente às acções verticais, aplicadas à estrutura nesse ponto. Após as combinações de acções, as forças horizontais são retiradas quando se obtém o resultado do cálculo dos seus efeitos (fig. 18). F1

O F1

F1

O F2

F2

O F3

F3

O

F2

F3

Figura 18 – Forças horizontais equivalentes em pórticos

Já no que trata à imperfeição inicial dos elementos, figura 19, associadas à encurvadura por flexão, a amplitude a aplicar será: e0 / L

Figura 19 – Imperfeição inicial dos elementos.

Onde “L” é o comprimento do elemento. NOTA: Os valores de e0/L podem ser escolhidos através do anexo Nacional. Valores recomendados são dados na seguinte tabela.

Curva de encurvadura a0 a b c d

Análise elástica e0/ L 1 / 350 1 / 300 1 / 250 1 / 200 1 / 150

Análise plástica e0/L 1 / 300 1 / 250 1 / 200 1 / 150 1 / 100

Para estruturas onde se verifique a condição seguinte, as imperfeições podem ser negligenciadas: HEd ≥ 0,15 VEd

EC3

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O uso destas imperfeições locais pode ser negligenciado quando se pretende a determinar forças e momentos de dimensionamento, com base em expressões regulamentares do ponto 6.3 do EC3. Isto ocorre pois estas fórmulas já incorporam os aspectos relacionados com as imperfeições equivalentes. Contudo, em estruturas de sensíveis a efeitos de 2.ª ordem as imperfeições locais, em arco, devem ser sempre introduzidas nos membros que verifiquem:

λ > 0,5 A.f y / N Ed

(3)

Onde: ·

NEd – Força de compressão de dimensionamento;

·

λ – Esbelteza adimensional considerando o elemento rotulado nas extremidades, com flexão no plano de análise.

Figura 19A – Imperfeição inicial dos pórticos (esquerda) e dos elementos (direita).

Deverão igualmente considerar-se os eventuais efeitos de torção provocados por translações anti-simétricas nas faces opostas da estrutura:

Figura 20 – Efeitos de translação e torção (vista em planta)

EC3

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Para mais informações e detalhes ler “5.3.2 Imperfeições para a análise global de pórticos” do EC3-1-1. 3.2.2. Imperfeições dos sistemas de contraventamento O tipo de imperfeições equivalentes previsto para sistemas de contraventamento e seus membros usa conceitos similares aos utilizados nas estruturas base após pequenas adaptações. No cálculo dos sistemas de contraventamento devem ser tidos em conta os efeitos das imperfeições através de uma imperfeição geométrica equivalente dos elementos a contraventar, com forma de uma deformada inicial: eo = αm L /500 •

αm = [0,5 (1+1/m) ]0,5

•

L – comprimento do sistema de contraventamento

•

m - número de elementos a restringir/travar

Para mais informações e detalhes ler “5.3.3 Imperfeições para a análise dos sistemas de contraventamento” do EC3-1-1. 3.2.3. Imperfeições ao nível dos elementos Os efeitos das imperfeições locais dos elementos estão incorporados nas respectivas expressões de verificação da resistência à encurvadura, conforme subcapítulo 6.3 do EC3-1-1. Nos casos em que a estabilidade dos elementos é tomada em consideração por meio de uma análise de segunda ordem, de acordo com 5.2.2(7)a), deverão ser tidas em conta imperfeições dos elementos comprimidos com amplitudes “e0” obtidas a partir de 5.3.2(3)b), 5.3.2(5) ou 5.3.2(6). Nas imperfeições equivalentes dos membros (locais), sujeitos a bambeamento (encurvadura lateral em flexotorção), o elemento deverá ser sujeito a uma imperfeição inicial equivalente, aplicada no seu eixo fraco (segundo o qual se dá o deslocamento lateral em encurvadura - eixo de menor inércia), no valor de: (4)

K . e0,d Em que: ·

K = 0,5 ou valor estabelecido no Anexo Nacional;

·

e0,d = imperfeição inicial equivalente, em curvatura, do eixo fraco (supostamente da magnitude de e0).

Em geral, não é necessário considerar uma imperfeição adicional associada à torção. Contudo, é salientado que, em certos casos, «deverá ser necessário a aplicação de uma imperfeição inicial de torção», não quantificando. Admite-se que, aqui e em todos os casos omissos do EC3, deverá ter-se em consideração a normalização

EC3

Parte II / 50

Série Estruturas


aplicável, como a EN1090, sendo razoável admitir a imperfeição geométrica como o limite, ou uma percentagem, da tolerância de fabrico. Assim, o EC3 não parece dar grande significado a imperfeições equivalentes seccionais, muito embora seja dito, ponto (1) 5.3.2, que as formas das imperfeições globais e locais podem derivar dos modos elásticos de encurvadura, incluindo instabilidade para fora do plano associada a fenómenos de torção. Sendo assim, a inclusão de imperfeições equivalentes seccionais, que podem gerar e potenciar distorções ao nível das secções, poderia ser prevista, apesar da dificuldade da sua efectiva implementação em modelos de cálculo correntes (como os de barras lineares - diga-se que é referido em (3) 5.3.4 do EC3 que, em geral, torna-se desnecessário a imposição de imperfeições torsionais). NOTA: O anexo nacional pode escolher o valor de k. O valor k = 0,5 é recomendado.

EC3

Parte II / 51

Série Estruturas


4. COMPORTAMENTO GLOBAL DAS ESTRUTURAS 4.1. Modelos de Estruturas A análise global depende da forma e comportamento das estruturas de acordo com os seguintes modelos: ¾

Elementos estruturais simples - As vigas de um só tramo e os elementos traccionados ou comprimidos isolados são estaticamente determinados. As estruturas trianguladas podem ser isostáticas ou hiperestáticas;

¾

Vigas contínuas e pórticos sem deslocamentos laterais - Em que os efeitos dos deslocamentos laterais são desprezáveis (nós fixos), ou evitados por meios apropriados, como por exemplo sistemas de contraventamento. Devem ser analisadas sob arranjos adequados das acções variáveis de forma a determinar as combinações de esforços, condicionantes para verificar a resistência de cada elemento e das ligações. Essa resistência é, no cômputo, condicionada pela resistência individual dos diversos elementos e ligações;

¾

Pórticos com deslocamentos laterais (nós móveis) - Devem ser analisados para combinações de acções variáveis que sejam condicionantes para a rotura num modo de translação. As estruturas reticuladas devem também ser analisadas para os modos de rotura sem deslocamento lateral. Além da resistência individual dos elementos e ligações, deve ser verificada a estabilidade global da estrutura (não se sabendo, à partida, qual destas é condicionante).

Na analise global de todos os pórticos, devem ser incluídos, os efeitos das imperfeições iniciais dos deslocamentos laterais e quando necessário das imperfeições dos elementos.

4.2. Estabilidade através da rigidez lateral Todas as estruturas devem ter uma rigidez suficiente para limitar os deslocamentos laterais, que pode ser assegurada por: ¾

Sistemas de contraventamento - tais como estruturas reticuladas trianguladas, estruturas reticuladas com nós rígidos, paredes, núcleos resistentes e outros sistemas semelhantes;

¾

Rigidez da própria estrutura - proporcionada por triangulação de elementos estruturais, rigidez das ligações, pilares encastrados na base, colunas em consola.

Classificação dos pórticos com ou sem deslocamentos laterais:

EC3

Parte II / 52

Série Estruturas •


Uma estrutura é classificada como estrutura reticulada sem deslocamentos laterais (nós fixos) se a sua resposta às forças horizontais no plano da estrutura for suficientemente rígida para se poderem desprezar, com rigor aceitável, todos os esforços adicionais resultantes dos deslocamentos horizontais dos nós da estrutura;

•

Caso não seja verificada a condição anterior, para efeitos de dimensionamento, deve-se ter em conta as deformações (análise de segunda ordem), ou seja terão que se contabilizar os esforços secundários surgidos da alteração de geometria da estrutura, em função do carregamento que a mesma sofre, bem como a estabilidade global desta;

•

Assim, dependendo da rigidez aos deslocamentos laterais, os pórticos podem ser classificados de: (i) nós fixos ou (ii) de nós móveis – quando a influência dos deslocamentos laterais não pode ser desprezada.

4.3. Classificação de um pórtico quanto à sua mobilidade (nós fixos ou móveis) As estruturas reticuladas planas de estruturas de edifícios, constituídas por vigas e pilares, com vigas a ligar cada pilar ao nível de cada piso, podem ser tratados como não possuindo deslocamentos laterais para um dado caso de carga se for satisfeito o critério do Quadro 2. Quadro 2. Classificação das estruturas como: com ou sem deslocamentos laterais.

P

P

F

h

H1 V1

⎛δ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ h ⎠

⎛ ∑ ⎜⎜ ⎝∑

V H

⎞ ⎟⎟ ⎠

≤

H2 V2

0 ,1 → para classificação de pórtico sem deslocamento lateral.

δ = Deslocamento horizontal do topo do piso relativamente à sua base, resultado da teoria de primeira ordem. h = altura do piso. ∑ H = reacção horizontal total na base do piso (H1 + H2). ∑ V = reacção vertical total na base do piso (V1 + V2).

De notar que uma estrutura pode ter classificação diferente, quanto à sua mobilidade, para casos de carga distintos.

EC3

Parte II / 53

Série Estruturas


Uma estrutura reticulada pode ser classificada como contraventada se a sua resistência aos deslocamentos laterais for proporcionada por um sistema de contraventamento suficientemente rígido para se poder admitir, com rigor aceitável, que irá resistir a todas as acções horizontais no seu plano. Uma estrutura de aço pode ser tratada como contraventada desde que o sistema de contraventamento reduza, no mínimo, em 80% os seus deslocamentos horizontais iniciais, ou seja, calculados ainda sem o contraventamento (ver Quadro 2). Quase todos os códigos e normas permitem determinar os esforços nas barras das estruturas de geometria regular mediante análise elástica que de imediato se amplia, se for necessário, para incluir os efeitos da instabilidade (suprimindo, então, os passos mais elaborados anteriormente descritos). Esta formulação parece incompatível com o rigor teórico ao não ser aplicado o principio da sobreposição, mas oferece ao projectista a possibilidade de valer-se de programas normalizados de análise de pórticos, ou seja elásticos lineares, pelos menos no anteprojecto. Recordando, em análise elástica, um pórtico pode ser classificado como pórtico sem deslocamentos laterais, (nós fixos) para determinada carga, desde que se verifique: Vcr / Vsd ≥ 10 Sendo:

Vsd - o valor de cálculo da acção vertical total Vcr - o valor da carga crítica elástica correspondente ao modo com deslocamentos laterais

Para pórticos planos de estruturas de edifícios, com estrutura regular, vigas a ligar cada pilar ao nível de cada piso (ver fig.21A), o critério anterior pode ser substituído pelo seguinte:

h

δ V

⋅ ≤ 0,1 h H

Figura 21 – Critério de estabilidade para pórticos planos de estruturas de edifícios

Sendo: Δ - é o deslocamento horizontal relativo entre o topo e a base de um dado andar, devido às cargas verticais e horizontais de cálculo acrescidas das forças horizontais equivalentes à imperfeição inicial; h - é a altura do piso; H - é a reacção horizontal total na base do piso;

EC3

Parte II / 54

Série Estruturas


V - é a reacção vertical total na base do piso. De notar que o modelo é uma simplificação com as restrições referidas, existindo outros métodos. Para pórticos com deslocamentos laterais devem verificar-se também os requisitos aplicáveis a estabilidade de pórticos.

PÓRTICO COM VIGAS A LIGAR TODOS OS PILARES AO NÍVEL DE CADA PISO

Figura 21A – Pórticos correntes

Quadro 3. Classificação de estruturas reticuladas como: contraventadas ou não.

R

S

1

1

1

R

ψ

S

≤

0,2

ψ

R

, para uma estrutura poder ser classificada como contraventada.

(Recordar que: se ⎛⎜ δ ⎞⎟ ⎝ h ⎠

ψ

R

ψ

S

S

⎛ ∑ ⎜⎜ ⎝∑

V H

⎞ ⎟⎟ ⎠

≤

0 ,1 a estrutura pode ser considerada de nós fixos)

= Rigidez ao deslocamento lateral de uma estrutura não contraventada. = Rigidez ao deslocamento lateral do sistema de contraventamento.

EC3

Parte II / 55

Série Estruturas


4.4. Classificação de pórticos como contraventados Define-se pórtico contraventado se a sua resistência aos deslocamentos laterais, for proporcionada por um sistema de contraventamento suficientemente rígido para se poder admitir, com segurança, que ira resistir a todas as acções horizontais no seu plano. Um pórtico de aço pode ser tratado como contraventado desde que o sistema de contraventamento reduza no mínimo em 80% os seus deslocamentos horizontais iniciais (face à situação anterior não contraventada: não satisfação da condição: Vcr / Vsd ≥ 10, em análise elástica). Como se viu, num pórtico contraventado deverá ser considerado, no dimensionamento do sistema de contraventamento, os efeitos das imperfeições iniciais dos deslocamentos laterais. As imperfeições iniciais do deslocamento lateral que, sendo mais conveniente, podem ser substituídas por um sistema de forças horizontais equivalentes, acrescidas das acções horizontais aplicadas a um pórtico contraventado, podem ser tratadas como afectando apenas o sistema de contraventamento (ver fig. 22).

N

ØN Ø

2 ØN Ø ØN Sistema de contraventamento N

Figura 22 – Sistema de contraventamento

Em que: Ø – Imperfeição geométrica equivalente de uma estrutura Ø0 – Valor de base da imperfeição geométrica αm – Factor de redução dependente do nº pilares de um pórtico NEd – Valor de cálculo do esforço axial actuante EC3

Parte II / 56

Série Estruturas


Ø = αm . Ø0 ; Ø = 1/200 2.Ø.NEd = αmNEd/100 Nestas condições, o sistema de contraventamento deve ser dimensionado para resistir: •

Às acções horizontais aplicadas aos pórticos que contraventa;

•

Às acções horizontais ou verticais aplicadas directamente ao sistema de contraventamento;

•

Aos efeitos das imperfeições iniciais do deslocamento lateral (ou forças horizontais equivalentes) dos pórticos que contraventa.

Assim, um pórtico suficientemente contraventado pode ser considerado de nós fixos, enquanto que um pórtico não contraventado pode ser de nós fixos ou de nós móveis (conforme satisfaz, ou não, respectivamente a condição: Vcr / Vsd ≥ 10, em análise elástica).

N

N ØN

Ø

ØN N

N

Figura 23 – Sistema de contraventamento

4.5. Análise global de pórticos Todos os pórticos devem possuir uma resistência adequada a rotura num modo com deslocamentos laterais. Nos casos em que a estrutura não possui deslocamentos laterais (seja suficientemente rígida), não é necessário proceder a outras verificações do modo com deslocamentos laterais. Para verificar a estabilidade de pórticos:

EC3

¾

Análise global elástica de pórticos com deslocamentos laterais;

¾

Análise global elástica de pórticos sem deslocamentos laterais;

¾

Análise global plástica de pórticos com deslocamentos laterais; Parte II / 57

Série Estruturas ¾

Estruturas Metálicas Análise global plástica de pórticos sem deslocamentos laterais.

Ou seja, em ambos os tipos de análise fundamentais, global elástica e global plástica, podemos efectuar a verificação para pórticos sem ou com deslocamentos laterais. Contudo, e como seria de esperar, conforme passamos do elástico para o plástico e de sem para com deslocamentos laterais a análise complica-se e fica mais gravosa quando se utilizam processos simplificados. 4.5.1 Analise global elástica de pórticos com e sem deslocamentos laterais Com deslocamentos laterais (nós móveis) Numa estrutura com deslocamentos laterais é sempre necessário verificar a estabilidade global, ou seja efeitos de segunda ordem ao nível global da estrutura (P-Δ) e, eventualmente, local (P-δ). Quando se usa uma análise global elástica devem incluir-se os efeitos de segunda ordem associados ao modo de translação: (i) directamente usando a análise elástica de segunda ordem ou (ii) indirectamente usando uma das seguintes alternativas: •

Análise elástica de primeira ordem, com amplificação dos momentos devidos aos deslocamentos laterais.

•

Análise elástica de primeira ordem, com comprimentos de encurvadura associados ao modo com deslocamentos laterais.

Quando se usa a análise global elástica de segunda ordem, ou análise elástica de primeira ordem com amplificação dos momentos (em pórticos com deslocamentos laterais), podem usar-se, no dimensionamento dos elementos, comprimentos de encurvadura no plano para o modo sem deslocamentos laterais. Deste modo não há penalização excessiva da encurvadura dos elementos estruturais. No método de amplificação dos momentos, os momentos devidos aos deslocamentos laterais (forças horizontais ou verticais assimétricas) obtidos na análise elástica de primeira ordem, devem ser amplificados, multiplicandoos por:

1 1 −

V V Sd

cr

Sendo: Vsd - valor de calculo da acção vertical total Vcr - valor de carga crítica elástica correspondente ao modo com deslocamentos laterais.

EC3

Parte II / 58

Série Estruturas


Este método de amplificação dos momentos, devidos aos deslocamentos laterais, só deve ser usado quando se verifique: Vcr / Vsd ≥ 3 Em pórticos regulares, constituídos por vigas e pilares, para determinar directamente o método de amplificação dos momentos devidos a deslocamentos laterais, podemos usar como alternativa: Vsd/Vcr = δ/h .V/H δ - deslocamento horizontal do topo do piso relativamente a base do mesmo h - altura do piso H - reacção horizontal total na base do piso V - reacção vertical total na base do piso No caso de se verificar: Vcr / Vsd ≥ 3 Imperfeições iniciais de curvatura equivalente Para estudar um pilar pela teoria de segunda ordem, é necessário eleger as imperfeições geométricas (sinusoidal inicial y excentricidade da carga) e as mecânicas (tensões residuais e variações da tensão de plastificação). O Eurocódigo 3 propõe valores de da imperfeição de curvatura, eo, cujo efeito equivale ao dos tipos de imperfeições anteriores combinadas, como vimos anteriormente. De notar: ¾

As secções de pilares robustos (com

λ

≤ 0.2) podem atingir a resistência plástica total sem que ocorra

encurvadura ou a tenhamos sequer que a verificar. ¾

Se

λ

> 0.2, deve-se considerar que a encurvadura reduza a resistência à carga. Os pilares de esbelteza

média tem colapso por encurvadura elasto-plástica e os esbeltos (elevada esbelteza) por encurvadura elástica. Sem deslocamentos laterais (nós fixos) Nas estruturas sem deslocamentos laterais (nós fixos), podem ser desprezados os efeitos P-Δ (efeitos de segunda ordem ao nível global da estrutura), apenas tendo que considerar os problemas de encurvadura local das barras comprimidas, efeitos P-δ (efeitos de segunda ordem ao nível local do elemento), se necessário.

EC3

Parte II / 59

Série Estruturas


4.5.2. Análise global plástica de pórticos com e sem deslocamentos laterais

Sem deslocamentos laterais (nós fixos) A análise global plástica de pórticos sem deslocamentos laterais (nós fixos) pode ser efectuada pelos seguintes métodos: - Elasto-plástica de primeira ordem; - Rígido-plástica de primeira ordem. Também aqui podem ser desprezados os efeitos P-Δ (efeitos de 2.ª ordem ao nível global da estrutura), apenas tendo que considerar os problemas de encurvadura local das barras comprimidas, efeitos P-δ (efeitos de 2.ª ordem ao nível local do elemento), se necessário. Com deslocamentos laterais (nós moveis) Na análise global plástica, de pórticos com deslocamentos laterais, deverão considerar-se sempre os efeitos de segunda ordem, para maior rigor e fiabilidade dos resultados a obter. É de frisar que este tipo de análise, não linear geométrica e material, exige uma ferramenta de cálculo especificamente habilitada à complexidade dos procedimentos que a mesma envolve, bem como vasta experiência e profundos conhecimentos por parte do utilizador projectista. De facto, todos os parâmetros em processamento devem ser acompanhados passo-a-passo até ao fim do procedimento, seja em termos da verificação das tensões, das deformações como outras grandezas tidas por pertinentes. Quando se usa a análise global plástica deverão considerar-se os efeitos de 2.ª ordem no modo com deslocamentos laterais. Em geral, a consideração desses efeitos deve ser feita directamente, usando a análise elásto-plástica de 2.ª ordem.

4.6. Recomendações De referir, por último, que enquanto é do lado da segurança efectuar uma análise global material elástica em detrimento da plástica, já no caso da perspectiva da análise geométrica será sempre recomendável um estudo directo dos efeitos de 2º ordem (mais seguro e económico). Como forma de sistematização das opções de análise global de estruturas preconizadas pelo EC3, segue-se um algoritmo que racionaliza todas as abordagens possíveis, sendo que a complexidade da análise aumenta, em geral, da esquerda apara direita deste esquema.

EC3

Parte II / 60

Série Estruturas


= valor de deslocam ento desprezável

Nós fixos e contraventado

Nós fixos e não contraventado

1

1

2

= v a lo r d e d e s lo c a m e n to d e s p re z á v e l

Nós móveis mas contraventado

2

= v a lo r d e d e s lo c a m e n to s ig n ific a tiv o

Nós móveis e não contraventado

Figura 24 – Classificação de pórticos quanto à sua mobilidade lateral.

EC3

Parte II / 61

Série Estruturas


5. COMPORTAMENTO DAS LIGAÇÕES Embora este assunto venha a ser desenvolvido com maior profundidade em capítulo próprio (sexto), importa, desde já, definir alguns conceitos que nesta fase se tornam necessários apreender. Na fase de análise e dimensionamento de uma estrutura metálica é fundamental conhecer o comportamento das ligações entre os elementos estruturais. O cálculo da estrutura e dimensionamento dos elementos estruturais (vigas, pilares, etc.) deve ser efectuado com base num comportamento estimado para as ligações; depois de dimensionadas as ligações, se o seu comportamento não estiver de acordo com o estimado, a estrutura deve ser recalculada; trata-se de um processo iterativo, que só termina quando todos os cálculos estiverem em concordância. De facto o comportamento das ligações, nomeadamente a sua maior ou menor cedência, tanto em termos de deformações como de resistência, determina a resposta global da estrutura, quer no que respeita à sua mobilidade como à distribuição dos esforços ao longo das suas peças. Uma estrutura em que as ligações entre elementos seja mais rígida e resistente será mais monolítica e menos deformável que outra mais flexível e de parcial ou nula continuidade de momentos (para a mesma topologia, peças estruturais e condições de carga, obviamente). Em geral, nas estruturas reticuladas o comportamento das ligações é traduzido através da curva Momento Flector-Rotação (M-φ), como a que se representa na figura 25.

M

Dúctil

Não Dúctil

Resistência Total Rígida Resistência Parcial Semi-Rígida

Rotulada

Rotulada O

Figura 25 - Curva momento flector-rotação de uma ligação.

A rotação de uma ligação (exemplificando para uma ligação viga-pilar), é definida como sendo a variação do ângulo definido pela tangente ao eixo da viga e pela tangente ao eixo do pilar, após a deformação. Em geral a

EC3

Parte II / 62

Série Estruturas


rotação de uma ligação é a soma de duas parcelas: rotação devida aos elementos de ligação φM mais a rotação por corte horizontal na alma do pilar - φV (figura 26). OM

OV

M

M

Rotação

OM

M

e rotação

OV

Figura 26 – Ilustração da relação flexão-rotação de uma ligação

Figura 27 – Diagrama Momento-extensão de algumas secções

A partir da curva Momento Flector-Rotação, definem-se as três propriedades fundamentais de uma ligação:

EC3

•

Rigidez ( Sj );

•

Momento Resistente ( Mrd );

•

Capacidade de Rotação ( φcd ). Parte II / 63

Série Estruturas


Segundo o Eurocódigo 3, as ligações podem ser classificadas quanto à Rigidez ou quanto à Resistência 5.1. Classificação das ligações quanto à rigidez Quanto à rigidez as ligações classificam-se em: •

Ligações articuladas – são ligações que permitem a rotação livre ou de baixa continuidade: (Sj ≤ 0,5.E.Ib/Lb)

•

Ligações Rígidas – a sua rotação não influencia a distribuição de esforços na estrutura, nem as deformações; conseguem transmitir os esforços actuantes: Sj ≥ 25.E.Ib/Lb em pórticos não contraventados e Sj ≥ 8.E.Ib/Lb em pórticos contraventados

•

Ligações semi-rígidas – possuem um comportamento intermédio e a sua rotação influencia a distribuição de esforços na estrutura; conseguem transmitir os esforços actuantes: 0,5.E.Ib/Lb < Sj< 25.E.Ib/Lb em pórticos não contraventados e 0,5.E.Ib/Lb< Sj < 8.E.Ib/Lb em pórticos contraventados. Sendo: E – módulo de elasticidade do aço Ib – momento de inércia da secção transversal da viga Lb – comprimento da viga

5.2. Classificação das ligações quanto à resistência Quanto à resistência as ligações classificam-se em. •

Ligações articuladas – não transmitem momentos significativos que possam afectar desfavoravelmente os elementos da estrutura. Em ligações viga-pilar, o momento resistente da ligação deve ser inferior ou igual a 25% do momento resistente dos elementos a ligar;

•

Ligações com resistência total – o momento resistente da ligação é pelo menos igual ao dos elementos a ligar.

•

Ligações com resistência parcial – possuem um comportamento intermédio, podendo o momento resistente da ligação ser inferior ao dos elementos a ligar, mas igual ou superior ao momento de cálculo actuante

EC3

Parte II / 64

Série Estruturas


O conhecimento da rigidez das ligações é importante para a utilização de métodos elásticos de análise; a mesma importância é atribuída à resistência e à capacidade de rotação quando se utilizam métodos plásticos de análise. O primeiro conceito está associado ao facto de que a ligação possa ter a resistência suficiente para absorver o momento plástico eo segundo tem em conta a cedência do material sem ameaça de instabilidade. A modelação de uma ligação semi-rígida pode ser efectuada simulando a ligação como uma mola, com uma rigidez rotacional Sj. Em geral, os programas de cálculo automático correntes não permitem a consideração de molas nas extremidades dos elementos estruturais. Nestes casos, uma ligação semi-rígida pode ser simulada, considerando um pequeno troço de viga com uma rigidez equivalente à rigidez da ligação (como se descreve na figura 28). Podemos obter, deste modo, a rigidez rotacional Sj = E. Ij / Lj. Lj

Lj S

EI=

j

=

O

j=

EIj

Mj O

Sj

do que:

Mj Sj

=

Mj EI j

j=

Mj EI j

Lj

L j , logo: E . I =j S .j L j

Figura 28 – Simulação de uma ligação semi-rígida

Figura 29 – Tipos de ligações

EC3

Parte II / 65

Série Estruturas


6. ESTABILIDADE GLOBAL, LOCAL E COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA

6.1. Estabilidade de pórticos O cálculo e dimensionamento de estruturas metálicas correntes, e no caso particular de estruturas porticadas, devido às elevadas tensões resistentes do aço, tende a ser condicionado pelos fenómenos de instabilidade global, ao nível do elemento pilar, ou mesmo da secção local. Contudo, a avaliação do comportamento de um pórtico, em termos de estabilidade global, é substancialmente diferente caso se trate de um pórtico com deslocamentos laterais, ou de um pórtico sem deslocamentos laterais. Num pórtico sem deslocamentos laterais, ao que se convencionou designar por pórtico de nós fixos, a verificação da segurança em termos de estabilidade (excepto na situação de fenómenos de instabilidade local), passa por verificar a encurvadura por flexão das barras comprimidas (normalmente os pilares) no plano do pórtico, no plano perpendicular e ainda a encurvadura lateral em barras submetidas a esforços de flexão (vulgarmente as vigas). Contudo, a verificação da segurança dos elementos, depende essencialmente de uma correcta definição dos comprimentos de encurvadura no caso de elementos à compressão e dos comprimentos entre secções contraventadas lateralmente, no caso de elementos submetidos à flexão. Num pórtico com deslocamentos laterais, designado vulgarmente por pórtico de nós móveis, ao contrário da noção anterior, depende incondicionalmente da estabilidade global para se apreciar a sua segurança estrutural. A avaliação da carga crítica global do pórtico, ou eventualmente do parâmetro de carga (λcr) no caso de carregamentos proporcionais, é a base para a verificação da estabilidade global da estrutura. Para tal, existem vários métodos para a sua determinação, com maior ou menor exactidão. Dos modelos simplificados refira-se o Método de Horne que, apesar de ser somente aplicável a pórticos regulares e ortogonais não contraventados, é o mais utilizado nos pórticos correntes

Com deslocamentos laterais (nós móveis)

Sem deslocamentos laterais (nós fixos)

Figura 30 – Tipos de modos de instabilidade de pórticos

EC3

Parte II / 66

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Sem contraventamento o modo crítico de instabilidade, ao qual corresponde o valor critico do parâmetro de carga λcr , envolve sempre deslocamentos laterais. P

P

1 Pc r

P

P

2 Pc r

<

P

<

P

3 Pc r

Figura 31 – Efeito comparativo do contraventamento de pórticos no valor carga crítica

6.1.1. Método de Horne A formulação do referido Método de Horne tem por base considerações de teor energético e conduz à determinação do referido parâmetro de carga (λcr) recorrendo unicamente aos resultados de uma análise elástica da estrutura, (ou seja, partindo do principio que “a relação tensão-deformação do material é linear, em qualquer ponto da estrutura, qualquer que seja o nível de tensão actuante”). O método envolve a aplicação dos seguintes passos: •

Considere-se o pórtico representado na figura seguinte submetido ao carregamento indicado, função de um parâmetro de carga λ. Designa-se por Vi, a soma das cargas verticais (a menos do parâmetro λ) actuantes ao nível i. O objectivo é calcular o valor critico do parâmetro λ ( λcr ) correspondente à carga critica do pórtico;

•

Considere-se o mesmo pórtico, mas submetido a um conjunto de forças horizontais, aplicadas ao nível de cada piso e com valores iguais a 0,01 vezes a soma das forças aplicadas a esse nível ( Hi = Vi/100 com Vi = Σ Fij);

•

A seguir efectua-se uma análise linear de esforços do pórtico;

O

i

hi

i

EC3

Parte II / 67

Série Estruturas

F 31


F 32

F 33

F 34

V 3/100

F 21

F 22

F 23

F 24

F 11

F 12

F 13

F 14

Vi =

•

j

3

V 2/100

2

V 1/100

1

Fij

i

=

i

i

1

Calculam-se os deslocamentos horizontais ao nível dos diversos pisos (∆i) e determinam-se os deslocamentos relativos que ocorrem em cada piso, através da seguinte expressão:

H = V/100;

•

δ

Δ

=

i

i

−

Δ

com (i = 1,2,...,n )

i −1

Admitindo que as energias de deformação associadas ao modo de instabilidade do pórtico com o carregamento real (cargas verticais) e a configuração deformada do pórtico com as cargas horizontais são iguais, prova-se que: n

n

∑ Hi.δ i 0,00833*

∑ Hi.δ i

i =1

n

∑ Hi.δ i =1

2 i

≤ λcr ≤ 0.01.

hi

i =1

n

∑ Hi.δ i =1

2 i

hi

Onde hi representa a altura do andar i. •

Em alternativa ao intervalo definido acima, pode obter-se uma estimativa conservativa de λcr (com um erro inferior a 20%), através da seguinte expressão:

λcr ≈

0,009 0,009 = máx(δ i hi ) φ ´máx i

Sendo øi inclinação em relação à vertical, da recta que une as secções extremas de cada pilar, como se ilustra na figura anterior.

EC3

Parte II / 68

Série Estruturas


6.1.2. Exemplo prático do Método de Horne

Dados: E = 2x108 kN/m2 (Módulo de elasticidade do aço) L (Vão) = 10,00 m I1 = 10-3 m4 (Mom. Inércia Pilar) I2 = 1,3 I1 (Mom. Inércia Viga) P0 = 2000 KN A aplicação do método de Horne leva aos seguintes resultados: V1 = V2 = 4. P0 = 8000 KN; H1 = H2 = V/100= 8000/100=80 KN; h1 = h2 = 10m; •

∆1 = 0,0308m

δ1 = 0,0308m

•

∆2 = 0,0566m

δ2 = 0,0258m

P o

2P o

P o

P o

2P o

P o

n

∑ Hi.δ i

=

i =1

n

∑ Hi.δ i =1

2 i

hi

(80

(80

× 0,0308 + 80 × 0,0258) = 350,60 × 0,03082 80 × 0,02582 + 10 10

2,92 ≤

EC3

)

λ

cr

(

)

≤ 3.506

Parte II / 69

Série Estruturas

Ou em alternativa


φ

máx i

⎛δ i

= máx ⎜ ⎜

⎝

⎞ = 0,0308/10, donde se obtém λcr= 2,922, o que corresponde a cargas de ⎟ hi ⎟⎠

5,840 KN e de 11,680 KN

6.2. Comprimentos de Encurvadura A avaliação e determinação do comprimento de encurvadura constitui uma das condicionantes mais importantes no dimensionamento de elementos à encurvadura. O comprimento de encurvadura de elementos isolados para diversas condições de apoio, são descritos na figura seguinte. No entanto, a definição de comprimento de encurvadura de elementos inseridos em pórticos é mais complexa. Em estruturas de nós fixos o comprimento de encurvadura é inferior ao comprimento real, enquanto que em estruturas de nós móveis é superior ao comprimento real. Na figura 32 apresentam-se alguns factores multiplicativos (K) ao comprimento real da barra para obter o seu comprimento de encurvadura. Na figura 33 ilustra-se o modo de deformação para pórticos sem mobilidade lateral e comprimentos de encurvadura associados. Na figura 34 ilustra-se o modo de deformação para pórticos com mobilidade lateral e comprimentos de encurvadura associados.

EC3

Parte II / 70

Série Estruturas


Figura 32 – Comprimento de encurvadura de elementos isolados (LE/L)

Figura 33 – Modo de deformação para pórticos sem mobilidade lateral e comprimentos de encurvadura associados.

Figura 34 – Modo de deformação para pórticos com mobilidade lateral e comprimentos de encurvadura associados.

O comprimento de encurvadura de um elemento uniforme, integrado num pórtico, pode ser definido como o comprimento de uma barra fictícia, bi-rotulada, que instabilizaria em simultâneo com o pórtico, para uma dada EC3

Parte II / 71

Série Estruturas


carga. A aplicação do teorema dos deslocamentos virtuais implica o cálculo dos deslocamentos nos pontos de aplicação das cargas e as rotações nas secções plastificadas. Este procedimento é relativamente simples em vigas, mas mais complexo em soluções porticadas. A configuração deformada correspondente aos vários mecanismos de rotura em pórticos pode ser determinada através do Método do Centro Instantâneo de Rotação, como se ilustra na fig. 35.

Figura 35 – Encurvadura lateral de um banzo comprimido de uma treliça e efeito elástico das barras verticais de diagonais, no plano desta (para fora do seu plano este efeito não existe: ver deslocamentos de encurvadura f).

I

L/2

C

B

D C`

D` 2

2 L/2

A

E L/2

L/2

Figura 36 – Centro instantâneo de rotação

Como se pode apreciar a sua utilização não é prática, sobretudo em situações de pórticos mais complexos. EC3

Parte II / 72

Série Estruturas


Figura 36A – Formas de encurvadura com modos de energia crescentes (de 1 para 3)

Finalmente, refira-se que o desenvolvimento do momento plástico numa secção pressupõe a inexistência de outros esforços. Sempre que uma secção seja submetida a flexão mais esforço axial, esforço transverso ou momento torsor, a resistência plástica da secção à flexão, deve ser convenientemente reduzida – Fórmulas de Interacção de Esforços. Admitindo conhecer o valor da carga crítica do pórtico, o comprimento de encurvadura de uma barra genérica i é dado pela seguinte expressão:

LE,i =

π⋅

(E ⋅ I ) N i

Ni - é o esforço axial da barra i correspondente à carga crítica do pórtico Deduz-se então que, em oposição a uma barra isolada, num pórtico o comprimento de encurvadura depende não só da geometria da barra, mas também da carga actuante (recordemos o conceito da carga crítica de Euler). Uma metodologia para avaliação do comprimento de encurvadura de elementos comprimidos, quando inseridos em estruturas, designa-se por Método de Wood. Este método, que surgia no Anexo E do EC3 inicial (1993), fundamenta a relação entre o comprimento de encurvadura (LE) e o comprimento real (L) na avaliação de dois coeficientes de distribuição (η1 e η2). Para os modelos teóricos representados nas fig. 38 e 39, a distribuição dos factores η1 e η2 são obtidos a partir de:

η1=

EC3

K

K C

+

c

K

11

+

K

12

Parte II / 73

Série Estruturas


η2=

K

K

c

K

+

c

K

+

21

22

KC é o coeficiente de rigidez do pilar, obtido através da relação I/L Kij são os coeficientes de rigidez das vigas adjacentes Estes modelos podem ser adaptados a situações de pilares contínuos, assumindo que cada troço do pilar é carregado do mesmo valor da relação N/Ncr. Nos casos gerais onde N/Ncr varia, leva à utilização de um valor conservador de l/L, para os comprimentos mais críticos de pilares. Para cada comprimento de pilares contínuos, as considerações anteriores podem ser introduzidas usando o modelo representado na fig. 37 e obtendo a distribuição dos factores η1 e η2, a partir de: η 1=

η2=

K K

C

c

+

K K

+

K K

c

1

2

c

+ + + +

K K

1

11

K K

+

K

12

+

K

22

2

21

K1 e K2 são os coeficientes de rigidez dos pilares adjacentes.

Figura 37 – Pórtico sem deslocamentos laterais

EC3

Parte II / 74

Série Estruturas


1.0

1.0

95 0.

N

0.9 1

1

0.9

x11

x12

5 0.8

0.8 0.8

0.7 0.6

xc

5 0.7

e

0.5

25

5 0 .5

75 0.5

0.2 2

0.0

25

0.5

0.0

0.5

0.1

N

0.7

0.6 0.6

0.3

x21

75 65 0.6 0.

0.4

x22

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

2

Figura 38 – Pórtico sem deslocamentos laterais

8 0 5. 0 4.

1.0

N 0.9 0.8 0.7 6 1.

0.6

0 2. 9 1. 8 1. .7 1

x12

5 1.

0.5 3 1.

4 1.

xc

.2 8 2. 2.6 .1 2 2

1

0 3.

1

k 11

0.4 1. 25

k21

0.3 2 1.

1. 15

05

0.0

1.0

N

0.1

1.

2

0.2

1 1.

x 22

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

2

Figura 39 – Pórtico com deslocamentos laterais

EC3

Parte II / 75

0.9

1.0

Série Estruturas


Os coeficientes Kij das vigas dependem das condições de apoio na extremidade oposta. No anexo E do EC3, são apresentados quadros que permitem calcular este coeficiente, para diversas situações. Como exemplo, apresentase no quadro seguinte o cálculo do coeficiente Kij , para vigas sem esforço axial, em regime elástico. Quadro 5 - Coeficientes de Rigidez Kij em vigas

Restrição à rotação na extremidade oposta

Coeficiente Kij

Encastrada

1,0 I/L

Rotulada

0,75 I/L

Igual rotação (Curvatura simples)

0,50 I/L

Igual rotação, mas em sentido contrario (Dupla Curvatura)

1,50 I/L

Caso Geral, rotação θa junto ao pilar e θb na extremidade oposta

(1+0,5(θb/ θa)) I/L

Depois de avaliados os coeficientes η1 e η2, a relação l /L pode ser obtida através dos ábacos apresentados na fig. 38 e 39 e quadro 5 (Anexo E do EC3), ou matematicamente através das expressões abaixo indicadas, consoante se trate de estruturas de nós fixos ou nós móveis, a saber; Estruturas de Nós Fixos:

L

E

L

=

⎡1 ⎢ ⎢2 ⎣

+

0 ,145

.

−

0 , 364

.

(η (η

1 1

+

η ) η ) 2

+

2

−

0 , 265

.

−

0 , 247

.

η η

1 1

η η

. .

⎤ ⎥ = K ⎥ 2 ⎦

2

Anexo E, (E.6) Estruturas de Nós Móveis:

l = L

⎡1 ⎣⎢1

− 0,200 . − 0,800 .

(η1 (η1

) )

+ η2 + η2

− 0,120 . η1 . η 2 ⎤ + 0,600 . η1 . η 2 ⎥ ⎦

0, 5

Anexo E, (E.7) Relativamente aos pilares, em que a extremidade inferior representa um ligação concreta ao exterior o coeficiente η2 é nulo no caso da ligação ser encastrada, sendo igual a 1,0 no caso da ligação em causa ser rotulada. 6.2.1. Exemplo de cálculo do comprimento de encurvadura de pilares inseridos em pórticos

EC3

Parte II / 76

Série Estruturas


Considere-se o pórtico plano constituído por dois pilares de comprimento L e uma viga com comprimento 2L, todos com inércia I.

1

1

2

2

Sem deslocamentos laterais

Com deslocamentos laterais

Pórticos Planos Comprimento de encurvadura dos pilares admitindo um pórtico sem deslocamentos laterais (Figura anterior, à esquerda).

η

1

I

=

I

L

L + 0,50 . I

η

= 0,80 2L

2

= 0

Calculando a relação (LE/L) através das expressões aproximadas indicadas anteriormente (ou dos ábacos), vem:

L

E

L

= 0,650 ⇒

L

E

= 0,650 . L

Comprimento de encurvadura dos pilares admitindo um pórtico com deslocamentos laterais (figura anterior, à direita).

η

1

=

I

I

L + 1,50 . I

L

= 0,57 2L

η

2

= 0

Calculando a relação (LE /L) através das expressões aproximadas indicadas anteriormente (ou dos ábacos), vem:

L

E

L

= 1,280 ⇒

L

E

= 1,280 . L

Ou seja, para um mesmo pilar, inserido numa estrutura idêntica, mas com classificações desiguais quanto à sua mobilidade, temos que para a de nós fixos o seu comprimento de encurvadura foi de 0.65L e na de nós móveis foi de 1.28L, pelo que se regista um aumento de cerca de 100% no seu comprimento de encurvadura, neste caso (o que será irá repercutir no agravamento dos seus momentos de 1.ª ordem, obviamente). 6.2.2. Exemplo de cálculo do comprimento de encurvadura de pórticos sem deslocamentos laterais

EC3

Parte II / 77

Série Estruturas


Calcular os comprimentos de encurvadura de um pilar encastrado (sem deslocamento lateral), e contraventado, de acordo com a fig. 38 e o Quadro 5.

F

F

HEA 200

7,0m

HEA 200

IPE 400

Fe 360 F

F 9,0m

Figura 40 - Pórtico sem deslocamentos laterais

Características geométricas e coeficientes de rigidez dos perfis Perfis

Tipo

l

L

K'= l / L

HEA 200

Viga

3692cm4

7,00m

5,274cm3

IPE 400

Pilar

23130 cm4

9,00m

25,700cm3

Factores de distribuição: η1 = Kc / ( Kc + K11 + K12 ) η2 = Kc / ( Kc + K21 + K22 ) •

Kc - é o coeficiente de rigidez do pilar em questão;

•

Kij - é o coeficiente de rigidez do pilar efectivo, incluindo o de todas as vigas que ligam ao pilar em estudo

A viga não está submetida a esforços axiais. Está fixa nos extremos e a sua deformação é uma curva simples.

EC3

Parte II / 78

Série Estruturas


Assim o coeficiente de rigidez efectivo Kij = 0,5K'ij. Kc = K'c η1 =

5,274

=

0,291

5,274 + 0,5 x 25,7 η2 = 0, porque o pilar está fixo na base Comprimentos de encurvadura: Através do quadro da fig. 38 podemos verificar que o coeficiente para o comprimento de encurvadura é aproximadamente 0,54. Também se pode calcular através da fórmula: l / L = 0,5 + 0,14 (η1 + η2 ) + 0,055 (η1 + η2 ) 2 l / L = 0,5 + 0,14 (0,291 + 0 ) + 0,055 ( 0,291 + 0 )2 l / L = 0,545 Ou a fórmula: l / L = 1 + 0,145 (η1 + η2 ) – 0,265 η1 η2 2 – 0,364 (η1 + η2 ) – 0,247 η1 η2

l / L = 1 + 0,145 x 0,291 = 0,550 2 – 0,364 x 0,291 Conclui-se que o comprimento de encurvadura é: L = 0,545 x L = 0,545 x 7,0 = 3,82m Os contraventamentos estão articulados nos extremos. Se não se cruzassem no centro , l = L = √ ( 72 + 92 ) = 11,4m . Se estão articulados no centro ( para diminuir o comprimento de encurvadura ) , l = L/2 = 11,4/2 = 5,7m

EC3

Parte II / 79

Série Estruturas


6.2.3- Exemplo de cálculo do comprimento de encurvadura de pórticos com deslocamentos laterais

Calcular o comprimento de encurvadura dos pilares de um pórtico com deslocamentos laterais, de acordo com a fig. 39. Trata-se de um pórtico com vigas de secção IPE e pilares HEA. Pressupõe-se que as uniões são rígidas, excepto no nó A em que o pilar AB está articulado. Características geométricas das vigas e dos pilares e coeficientes de rigidez Elemento

Perfil

Tipo

l

L

K′ = l / L

AB

HEA 340

Pilar

27,690 cm4

5m

55,40 cm3

BC

HEA 340

Pilar

22,930 cm4

4m

57,32 cm3

DE

HEA 340

Pilar

18,260 cm4

5m

36,52 cm3

EF

HEA 340

Pilar

18,260 cm4

4m

45,65 cm3

GH

HEA 340

Pilar

18,260 cm4

5m

36,52 cm3

HI

HEA 340

Pilar

18,260 cm4

4m

45,65 cm3

BE

IPE 500

Viga

48,200 cm4

7m

68,86 cm3

CF

IPE 450

Viga

33,740 cm4

7m

48,20 cm3

EH

IPE 400

Viga

23,130 cm4

3m

77,10 cm3

FI

IPE 360

Viga

16,270 cm4

3m

54,23 cm3

EC3

Parte II / 80

Série Estruturas


F2

F1

IPE 450

IPE 360 I

F

F5

HEA 300

HEA 320

HEA 300

C

E

IPE 500

4,00 m

F4

F3

H

IPE 400

A

G

D 7,00 m

5,00 m

HEA 340

HEA 300

HEA 300

B

4,00 m

Fig. 41 -Pórtico com deslocamentos laterais

Os factores de distribuição η1 e η2: η1 = (Kc + K1)/(Kc + K11 + K12) η2 = (Kc + K2)/(Kc + K2 + K21 + K22) •

Kc – é o coeficiente de rigidez do pilar em estudo

•

K1 e K2 - são os coeficientes de rigidez do comprimento dos pilares contíguos

•

Kij - são os coeficientes de rigidez efectiva das vigas, incluindo o de todas as que estão unidas ao nó em estudo

As vigas não estão submetidas a esforços axiais. Estão fixas nos extremos e a sua deformação é uma curva dupla (fig. 41). Assim, o seu coeficiente de rigidez efectiva Kij = 1,5 Kij O resultado do cálculo de η1 e η2 vem no Quadro 6.

EC3

Parte II / 81

Série Estruturas

Estruturas Metálicas Quadro 6 - Coeficientes de rigidez

Elemento

Kc

( nó) AB (B)

55,40 cm3

K1

K1

K1

η1

K2

K2

K2

η2

57,32 cm3

0,52

57,32 cm3

AB (A)

1,00

BC (C)

57,32 cm3

BC (B)

57,32 cm3

55,40 cm3

DE (E)

36,52 cm3

45,65 cm3

103,3 cm3

72,30 cm3

0,44

103,30 cm3

0,52

115,6 cm3

0,27

DE (D)

0,00

EF (F)

45,65 cm3

EF (E)

45,65 cm3

GH (H)

36,52 cm3

72,30 cm3

81,34 cm3

0,23

36,52 cm3

103,30 cm3

115,6 cm3

0,27

45,65 cm3

115,6 cm3

GH (G)

0,42 0,00

HI (I)

45,65 cm3

HI (H)

45,65 cm3

36,52 cm3

81,34 cm3

0,36

115,60 cm3

0,42

A partir dos resultados de η1 e η2 , pode-se obter a relação l / L. Os resultados dos cálculos encontram-se na Quadro 7. Também se pode calcular através da fórmula: l/L = [(1–0,2(η1 + η2 )- 0,12 η1 η2 )/(1 – 0,8 (η1 + η2 )+ 0,6 η1 η2 )] 0,5 Os resultados obtidos encontram-se na Quadro7.

EC3

Parte II / 82

Série Estruturas

Estruturas Metálicas Quadro 7 - Comprimentos de encurvadura

Elemento

η1

η2

l/L

l/ L

( E.2.2)

( calculado)

l

AB

0,52

1,00

2,50

2,57

12,9m

BC

0,44

0,52

1,42

1,45

5,80 m

DE

0,27

0,00

1,09

1,10

5,50 m

EF

0,23

0,27

1,16

1,18

4,72 m

GH

0,42

0,00

1,17

1,17

5,85 m

HI

0,36

0,42

1,30

1,33

5,32 m

EC3

Parte II / 83

Série Estruturas


BIBLIOGRAFIA (1)

EC3 “Projecto de Estruturas de Aço – Parte 1-1: Regras Gerais para Edifícios”; EN-1993-1-1 (2010).

(2)

ITEA - Versão espanhola do ESDEP.

(3)

Sebentas de Estruturas Metálicas, FCTUC, Coimbra.

(4)

Comunicações dos Congressos de Construções Metálicas e Mistas.

(5)

Publicações do CMM (Associação Portuguesa de Construção Metálica e Mista).

(6)

Simões, Rui A. D – Manual de dimensionamento de estruturas metálicas, CMM – Associação Portuguesa de Construção Metálica e Mista, Coimbra, 2005.

(7)

Rules for Member Stability in EN 1993-1-1: Background documentation and design guidelines, ECCS, 2006.

EC3

Parte II / 84

Série Estruturas


ANEXO - Anexo E do EC3 1993 (incluído noutra parte, na nova versão)

EC3

Parte II / 85

Série Estruturas


Anexo E (EC3 – 1993) Comprimento de encurvadura de uma peça sujeita a compressão E.1 - Bases (1) O comprimento de encurvadura l de uma peça à compressão é o comprimento de uma outra peça idêntica com “extremidades rotuladas” (extremidades impedidas de movimento lateral mas podendo sofrer rotação no plano de encurvadura) que tenha a mesma resistência à encurvadura. (2) Na ausência de melhor informação, poderá ser adoptado com alguma prudência o comprimento teórico de encurvadura para deformação elástica crítica. (3) Poderá ser utilizado um comprimento de encurvadura equivalente para relacionar a resistência à encurvadura de uma peça sujeita a uma carga não uniforme com a de uma peça idêntica submetida a uma carga uniforme. (4) Poderá igualmente ser utilizado um comprimento de encurvadura equivalente para relacionar a resistência à encurvadura de uma peça não uniforme com a de uma peça uniforme sujeita a idênticas condições de carregamento e ligações. E.2 - Pilares da estrutura de edifícios. (1)

O comprimento de encurvadura l de um pilar de nós fixos pode ser obtido da figura E.2.1.

(2)

O comprimento de encurvadura l de um pilar de nós móveisη pode ser obtido da figura E.2.2.

(3)

Para os modelos teóricos representados na figura E.2.3 os factores de distribuição η1 e η2 obtêm-se de: η1 = Kc/(Kc + K11 + K12) η2 = Kc/(Kc + K21 + K22)

Em que Kc é o coeficiente de rigidez do pilar I/L e Kij é o coeficiente de rigidez efectivo da viga (4) Estes modelos podem ser utilizados no cálculo de pilares contínuos, desde que se admita que cada troço de pilar suporta a mesma carga de valor dado pela razão (N/Ncr). No caso geral em que (N/Ncr) varia, será prudente considerar o valor de l/L do troço de pilar mais desfarorável. (5) Para cada troço de um pilar contínuo, a suposição feita em (4) pode ser aplicada de acordo com o esquema da figura E.2.4 e obtendo os factores de distribuição η1 e η2 a partir de:

η1 =

EC3

K

C

+

K K

c

1

+ +

K K

1

11

+

K

12

Parte II / 86

Série Estruturas


η2 =

K

c

+

K K

+

c

+

2

K K

2

K

+

21

22

Em que K1 e K2 são os coeficientes de rigidez dos troços dos pilares adjacentes.

1.0

1.0

5 0.9

N

0.9 1

1

0.9

x11

x12

5 0.8

0.8 0.8

0.7 0.6

5 0.7

xc

e

0.5

0.6

0.3

x21

5 0 .5

75 0.5

0.2 2

0.5

25 0.5

0.1

N

0.7

75 5 0.6 0.6 25 0.6

0.4

x22

0.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

2

Figura E.2.1 - Razão l/L do comprimento de encurvadura para um pilar de nós fixos.

8 0 5. 0 4.

1.0

N 0.9 0.8 0.7 6 1.

0.6

0 2. 9 1. 8 1. .7 1

x12

5 1.

0.5 3 1.

4 1.

xc

.2 8 2. 2.6 .1 2 2

1

0 3.

1

k 11

0.4 25 1.

k21

0.3

0.0

2 1.

1.1

0.1 1.0

N

0.2

0.0

05 1.

2

15 1.

x 22

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

2

Figura E.2.2 - Razão l/L do comprimento de encurvadura para um pilar de nós móveis.

(6) Quando as vigas não estão sujeitas a esforços axiais, os seus coeficientes de rigidez efectivos podem ser determinados a partir da tabela E.1, desde que permaneçam em regime elástico sob a acção dos momentos de cálculo.

EC3

Parte II / 87

Série Estruturas


Tabela E.1 Coeficiente de rigidez efectivo de uma viga Condições de restrição de rotação na no extrem Coeficientes K de rigidez efectivos de uma viga viga (desd mais afastada da viga

permaneça em regime elástico)

Encastrada na extremidade mais afastada

1,0 I/L

Rotulada na extremidade mais afastada

0,75 I/L

Rotação

igual

à

da

extremidade

mais

1,5 I/L

próxima(dupla curvatura) Rotação igual e oposta à da extremidade mais

0,5 I/L

próxima curvatura simples) Caso geral: rotação θa na extremidade mais próxi

(1+ 0,5 θb/θa) I/L

θb na mais afastada

(7) Para estruturas de edifícios com lajes de piso em betão, desde que a laje seja de geometria regular e a carga uniforme, é em geral suficiente tomar para coeficientes de rigidez efectivos das vigas os valores da tabela E.2. Tabela E.2 Coeficiente de rigidez efectivo de uma viga em estruturas de edifícios com lajes de em betão Condições de carga da viga

Nós fixos

Nós móveis

Vigas suportando directamente lajes de betão

1,0 I/L

1,0 I/L

Outras vigas com cargas concentradas

0,75 I/L

1,0 I/L

Vigas sujeitas apenas a momentos nas extremidades

0,5 I/L

1,5 I/L

(8) Nos casos em que, para as mesmas condições de carga, o momento de cálculo em qualquer viga exceder Welfy / YMO, a viga deverá ser considerada como encastrada no ponto ou pontos em questão. (9) Nos casos em que uma viga tiver ligações de encastramento, deverá ser considerada encastrada no ponto ou pontos em questão. (10) Nos casos em que uma viga tiver ligações semi-rígidas, o seu coeficiente de rigidez efectivo deverá ser convenientemente reduzido. (11) Nos casos em que as vigas estão sujeitas a esforços axiais, o seu coeficiente de rigidez efectivo deverá ser convenientemente reduzido. Deverão ser usadas as equações de equilíbrio. Uma alternativa será desprezar o aumento do coeficiente de rigidez devido às tensões axiais podendo considerar-se os efeitos da compressão axial usando valores aproximados dados pela tabela E.3

Tabela E.3 Fórmulas aproximadas para coeficientes reduzidos de rigidez de uma viga, devida compressão axi Condições de restrição de rotação na no extrem Coeficientes K de rigidez efectivos de uma viga viga (desd mais afastada da viga

permaneça em regime elástico)

Encastrada

1,0 I/L (1 – 0,4 N/NE)

Rotulada

0,75 I/L (1 – 1,0 N/NE)

Rotação

EC3

igual

à

da

extremidade

mais

1,5 I/L(1 – 0,2 N/NE)

Parte II / 88

Série Estruturas


próxima(dupla curvatura) Rotação igual e oposta à da extremidade mais

0,5 I/L(1 –1,0 N/NE)

próxima (curvatura simples) Nesta tabela NE = π2 EI/L2 (12) As seguintes expressões empíricas podem ser usadas como boa aproximação, em vez de retirar os valores das figuras E.2.1 e E.2.2: (a) Nós fixos (figura E.2.1) l/L = 0,5 + 0,14 (η1 + η2) + 0,055 (η1 + η2) 2

l/L =

, ou:

1 + 0,145(η1 + η 2) − 0,265η1η 2 2 − 0,364(η1 + η 2) − 0,247η1η 2

(b) Nós móveis (figura E.2.2)

⎡1 − 0,2(η1 + η 2) − 0,12η1η 2 ⎤ l/L = ⎢ ⎥ ⎣ 1 − 0,8(η1 + η 2) + 0,6η1η 2 ⎦

EC3

0,5

Parte II / 89

Estrutura Metalicas EC3 Volume 2

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