ESTRUCTURAS DISCRETAS Manuel Luque Gallego
ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS DISCRETAS ESTRUCTURAS DISCRETAS ESTRUCTURAS Agradecimientos Agra decimientos Introducción Introducci ón 1 Sistema Siette Sistema Siette 2 Teoría Teoría de Conjuntos Resumen Resu men 2.1 Conjuntos Conjuntos y operaciones 2.1.1 Conceptos básicos de conjuntos 2.1.2 Operaciones sobre conjuntos 2.1.3 Partición 2.1.3 Partición de un conjunto 2.2 Representación gráfica grá fica de conjuntos 2.3 Propiedades básicas básica s y precedencia entre operadores oper adores 2.3.1 Propiedades básicas 2.3.2 Precedencia entre operadores: o peradores: Eliminación de paréntesis 2.4 Tuplas Tuplas y conjunto potencia 2.4.1 Tuplas y producto cartesiano car tesiano 2.4.2 Conjunto potencia 2.4.3 Tipos y signatura 2.5 Conjuntos notables 3 Relaciones Relaciones Resumen Resu men 3.1 Relaciones Relaciones y operaciones 3.1.1 Conceptos básicos de básicos de relaciones 3.1.2 Operaciones sobre relaciones 3.2 Relaciones binarias binarias 3.2.1 Dominio Dominio y rango 3.2.22 Operaciones especiales 3.2. 3.3 Representación Representación de relaciones 3.3.1 Matriz de una relación relación 3.3.2 Grafo de una relación 3.4 Propiedades de las relaciones 3.4.1 Propiedades más importantes de las relaciones 3.4.2 Cierres
3.4.3 Relaciones de equivalencia 3.5 Relaciones de orden 3.5.1 Conceptos asociados a orden parcial 3.5.2 Notación infija en el uso de algunas relaciones muy comunes 4 Funciones Resumen 4.1 Concepto de función 4.2 Funciones parciales y totales. Funciones especiales: identidad y constante 4.3 Representación formal y gráfica de funciones 4.3.1 Representación mediante tablas 4.3.2 Representación mediante curvas 4.3.3 Representación mediante grafos 4.4 Propiedades de funciones 4.5 Construcción de nuevas funciones 4.5.1 Clases especiales de funciones 4.6 Conceptos avanzados de cardinalidad de conjuntos 4.7 Homomorfismos 5 Combinatoria Resumen 5.1 Principios básicos de la Combinatoria 5.2 Funciones importantes en Combinatoria 5.3 Formas de agrupamiento 5.3.1 Variaciones 5.3.2 Permutaciones 5.3.3 Combinaciones 6 Teoría de grafos Resumen 6.1 Conceptos básicos de teoría de grafos 6.2 Representación gráfica de los grafos 6.3 Conceptos avanzados sobre grafos 6.4 Caminos y conectividad 6.4.1 Conceptos básicos de caminos 6.4.2 Tipos básicos de caminos 6.4.3 Relación de accesibilidad 6.4.4 Distancias en caminos 6.4.5 Conexión en grafos 6.5 Recorridos y tipos especiales de caminos 6.5.1 Recorridos 6.5.2 Tipos especiales de caminos
6.6 rboles
ESTRUCTURAS DISCRETAS Dr. Manuel Luque Gallego Copyright ©2013. Manuel Luque Gallego. Todos los derechos reservados.
Todos los derechos reservados. Este libro ha sido autopublicado por el autor Manuel Luque Gallego. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de Manuel Luque Gallego, titular del «Copyright», bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción o distribución, total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento electrónico o mecánico, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante venta, alquiler o préstamo públicos. Si desea realizar cualquiera de las acciones de arriba, por favor, pídame permiso contactando a través de la dirección de correo electrónico
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Agradecimientos Quiero mostrar mi agradecimiento a todas las personas que me han ayudado a la elaboración de este libro. Quiero agradecer al profesor José Ramón Álvarez Sánchez toda la ayuda que me ha brindado para solucionar multitud de problemas técnicos relacionados con la maquetación y escritura de este libro. Agradezco al profesor José Luis Fernández Vindel sus consejos acerca de cómo estructurar y presentar el contenido del libro para un aprendizaje más eficaz de los lectores. Quiero expresar mi agradecimiento al profesor Ricardo Conejo Muñoz, por el magnífico sistema Siette que ha desarrollado con su grupo de investigación, que tan útil es para los estudiantes y los profesores, y por el apoyo que me ha prestado para montar en Siette los tests que acompañan a este libro. También quiero mostrar mi gratitud a los usuarios de blogs y foros cuyas aportaciones me han servido para resolver cuestiones del formato del texto. Agradezco a todos los desarrolladores de software libre por el trabajo que realizan continuamente para construir un conjunto de herramientas informáticas de gran utilidad para la sociedad moderna y en particular para la edición de este libro. En el plano personal quiero mostrar todo mi agradecimiento a Mariela. A la felicidad que ha aportado a mi vida se le unen la paciencia y comprensión que me ha demostrado durante estos últimos meses mientras escribía el libro.
Introducción El objetivo de este libro es proporcionar los conocimientos básicos de Estructuras Discretas. El autor presenta los conceptos de una forma concisa, aportando ejemplos sencillos que ayuden a la asimilación de los conceptos. Este libro también incluye el acceso a tests informatizados autoevaluables y autodaptativos en el sistema Siette. Este sistema implementa la teoría clásica de los tests y la teoría de respuesta al ítem, de forma que los tests preparados a medida para este libro ayudarán al lector a aprender los conceptos de una forma eficaz, totalmente gradual y autónoma. Se va a proporcionar posteriormente una introducción a Siette junto con breves instrucciones acerca de cómo acceder a los tests. Se recomienda encarecidamente al lector que alterne la lectura del texto con la realización de los tests para que así pueda obtener una mejor realimentación de Siette acerca de su aprendizaje. Más adelante se explicará cómo se puede escoger realizar un test de una parte concreta del libro como un capítulo, sección o subsección. Los contenidos que el lector aprenderá son: Teoría de conjuntos. Relaciones. Funciones. Combinatoria. Teoría de grafos. Con el objetivo de facilitar la lectura, se han estructurado los contenidos de cada sección utilizando distintos bloques de texto: definiciones, ejemplos, teoremas, proposiciones y corolarios. Se
han omitido las demostraciones, pues se escapan a los objetivos básicos del libro. Espero que disfrute de la lectura del libro y que ésta le resulte provechosa. Manuel Luque Gallego Madrid, noviembre de 2013
1 Sistema Siette En la docencia actual es cada vez más importante que los estudiantes realicen la mayor cantidad de actividades posibles que le ayuden en el aprendizaje. Entre los distintos tipos de actividades destacan las que consisten en responder a tests, que suelen venir dados por un conjunto de preguntas, cada una con varias respuestas posibles, de las cuales una o varias pueden ser las correctas. Además, los tests son habituales en exámenes de Universidad con el objetivo de evaluar de forma objetiva el nivel de conocimiento del estudiante en una materia. Hace unos años surgió un sistema para la creación y mantenimiento de preguntas y realización de tests, denominado Siette. Siette es un sistema web que permite al estudiante realizar tests de autoevaluación que se adaptan automáticamente a su nivel de conocimiento con el objetivo de mejorar eficazmente el aprendizaje. Siette implementa la teoría clásica de los tests y la teoría de respuesta al ítem, por lo que su funcionamiento se sustenta en investigaciones psicopedagógicas muy sólidas. Adicionalmente a este libro se proporciona al lector un conjunto de tests autoevaluables en Siette que han sido elaborados a medida para los contenidos de este libro. El objetivo de estos tests es ayudar al lector a aprender de forma autónoma, eficaz y gradual los contenidos que aquí se explican. Antes de realizar su primer test, el lector deberá darse de alta en Siette. Para ello sólo tiene que acceder a la página http://www.siette.org, pulsar en “Nuevo usuario” y rellenar el formulario con sus datos. Los tests que se han preparado para el lector están disponibles en el enlace: Test. Tras pinchar en él, tendrá que introducir su usuario y contraseña de Siette, y a continuación le aparecerá una pantalla como la de la siguiente figura.
La estructura de temas y subtemas introducida en Siette se corresponde con la estructura de este libro. El lector puede elegir en todo momento el capítulo o la sección o subsección del libro sobre el que desea que traten las preguntas del test. Por ejemplo, en la figura aparece seleccionado el tema de “Teoría de Conjuntos”; sin embargo, haciendo click, se podría elegir otro tema o subtema o incluso seleccionar todo el contenido del libro (Estructuras Discretas). El test puede ser realizado tranquilamente dedicándole el tiempo que estime oportuno, cuántas veces desee y a cualquier hora del día; el único requisito técnico es tener conexión a Internet y utilizar un navegador moderno, preferiblemente Firefox. Dado que Siette incorpora cierta aleatoriedad al escoger las preguntas del test que presenta al usuario, es muy probable que en veces sucesivas que se realicen tests las preguntas que aparezcan sean distintas. Recomendamos que si tiene tiempo, tras realizar el test, trabaje viendo qué preguntas ha acertado, cuáles ha fallado, y trate de entender cuál es la respuesta correcta a cada pregunta. En ese caso, volver a releer algún punto concreto del libro puede resultarle de gran ayuda para afianzar los conceptos.
Espero que disfrute realizando los tests de Siette y que éstos le sean útiles para aprender Estructuras Discretas.
2 Teoría de Conjuntos Resumen Este capítulo trata los conceptos fundamentales de la Teoría de Conjuntos. Se presentan los conceptos básicos de conjuntos, las principales operaciones y las distintas formas de representación. Se explican las propiedades básicas de las operaciones de conjuntos y conceptos esenciales como las tuplas y el conjunto potencia. Finalmente se explican conjuntos notables, cuyo conocimiento es fundamental para cualquier estudiante de Informática.
2.1 Conjuntos y operaciones 2.1.1 Conceptos básicos de conjuntos Definición (Conjunto). Un conjunto es una colección de objetos distintos en la cual el orden no tiene importancia. Un conjunto se suele especificar utilizando las llaves { y }. Ejemplo. Un ejemplo de conjunto es A = {1, 2, 3, 4}. Otro ejemplo de conjunto es B = {c , d , e }. Definición (Elemento). Cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto se denomina elemento . Ejemplo. Dado el conjunto A = {1, 2}, tanto el 1 como el 2 son elementos de A. En cambio, el 3 y el 4 no son elementos de A. Podemos determinar un conjunto de dos formas: por extensión y por comprensión o intensión . Definición (Determinación por extensión). Se determina un conjunto S por extensión cuando se proporciona una lista que contiene a todos los elementos de S y sólo a ellos. Ejemplo. Los siguientes conjuntos A y B están determinados por extensión: A = {c , d , e }, B = {1, 3, 5, 7}.
Definición (Determinación por comprensión o intensión). Un conjunto S es determinado por comprensión o intensión —o de forma intensiva —, cuando se indica una propiedad que cumplen todos los elementos de S y sólo ellos. Cuando se define un conjunto por intensión es frecuente utilizar la barra |, que se lee como “tal que”.
Ejemplo. Los siguientes conjuntos A y B están determinados por comprensión: A = {x ∣ x es un número par} , B = {x ∣ x es un número primo de dos cifras}.
Definición (Pertenencia a un conjunto). Sea un conjunto S y un objeto x . Se dice que x pertenece a S si x es un elemento de S . Se denota por x ∈ S . Si un objeto x no pertenece a un conjunto S se denota por x ∉ S . Ejemplo. Sea el conjunto A = {1, 2}. Se cumple que 1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∉ A y 4 ∉ A. Definición (Subconjunto). Sean S y T dos conjuntos. S es subconjunto de T si todo elemento que pertenece a S pertenece a T . Se denota por S ⊂ T , ó S ⊆ T . Ejemplo. Sean los siguientes conjuntos: A = {2, 4}, B = {x ∣ x es un número par mayor que 1 y menor que 10}, C = {x ∣ x es un número primo mayor que 1 y menor que
10}.
Se cumple que A ⊂ B , ya que los dos elementos de A pertenecen a B . En cambio, A no es subconjunto de C , ya que no todo elemento de A pertenece a C ; en concreto, se tiene que 4 ∈ A, pero 4 ∉ C . También se verifica que ni B ni C son subconjuntos de A. Definición (Superconjunto). Sean S y T dos conjuntos. T es un superconjunto de S si S es subconjunto de T . Se denota por T ⊃ S , ó T ⊇ S . Ejemplo. Sean los conjuntos A y B del ejemplo anterior. Se cumple que B ⊃ A. En cambio, A no es superconjunto de B .
Proposición. Sean S y T dos conjuntos. Se cumple que S ⊂ T si y sólo si T ⊃ S . Definición (Conjuntos iguales y conjuntos distintos). Sean S y dos conjuntos. Entonces: S y T son iguales si se cumple que S ⊂ T y T ⊂ S . Se denota por S = T . S y T son distintos si S y T no son iguales. Se denota como S ≠ T .
De la definición anterior se deduce que si S = T entonces T = S . Además, si S ≠ T entonces T ≠ S . Ejemplo. Sean los conjuntos: A = {2, 4, 6, 8}, B = {8, 6, 4, 2}, C = {x ∣ x es un número par mayor que 1 y menor que 10}, D = {2, 4, 6}.
Se tiene que A = B , B = C , A = C , A ≠ D , C ≠ D y B ≠ D . Definición (Subconjunto propio). Se dice que un conjunto S es un subconjunto propio de un conjunto T si S ⊂ T y S ≠ T . Ejemplo. El conjunto S = {1, 2, 3} es un subconjunto propio del conjunto T = {1, 2, 3, 4}, ya que S es un subconjunto de T , pero S y T son distintos. Proposición. Sea S cualquier conjunto. Se cumple que S no es subconjunto propio de S . Definición (Conjunto finito y conjunto infinito). Un conjunto es finito si contiene un número finito de elementos. Un conjunto es infinito si no es finito.
Ejemplo. Sean los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {x ∣ x es una provincia de España que tiene playa}. Tanto A como B son conjuntos finitos. Ejemplo. El conjunto C = {x ∣ x es un número natural mayor que 7000} es un conjunto infinito. En cambio, el conjunto D = {x ∣ x es un número natural menor que 10 800} es un conjunto finito. Definición (Cardinalidad de un conjunto finito). Sea S un conjunto finito. La cardinalidad o cardinal de S es el número de elementos de S . Se denota por ∣S ∣. La cardinalidad de ciertos conjuntos infinitos se estudiará más adelante. Ejemplo. Sean los conjuntos finitos: A = {2, 4, 6, 8}, B = {3, 5, 7}, C = {x ∣ x es una provincia de España, exceptuando Ceuta y
Melilla}.
Se cumple que ∣A∣ = 4, ∣B ∣ = 3 y ∣C ∣ = 50. Definición (Conjunto universal). En un determinado contexto o teoría, que puede ser un ejemplo o un ejercicio, el conjunto universal está formado por todos los posibles elementos que pueden pertenecer a cualquier otro conjunto. Ejemplo. Considérese que estamos trabajando con un ejemplo donde tenemos los siguientes conjuntos: A = {2, 4, 6, 8} y B = {3, 5, 7}. Un conjunto universal para ese ejemplo sería U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, ya que se puede comprobar que los conjuntos A y B son subconjuntos de U . No obstante, no es el único conjunto universal posible para dicho ejemplo. Otro conjunto universal sería U = {x ∣ x es un número natural mayor que 1 y menor que 20}. En cambio, el conjunto S = {1, 2} no es un conjunto universal para dicho ejemplo, ya que uno de los dos conjuntos definidos arriba, el conjunto A, no es subconjunto de S .
Definición (Conjunto vacío). Conjunto vacío es un conjunto que no contiene ningún elemento. Se representa por ∅. Ejemplo. Sea el conjunto A = {x ∣ x es un equipo de fútbol de primera división de España cuya ciudad se encuentre ubicada geográficamente en el hemisferio Sur}. Se cumple que A = ∅, ya que no existe ninguna ciudad del hemisferio Sur con equipo de fútbol en primera división de España. Definición (Conjunto no vacío). Un conjunto es no vacío si es distinto de ∅. Ejemplo. El conjunto A = {3, 5, 7} es un conjunto no vacío. Proposición. Sea S un conjunto. Se cumple que sólo si S = ∅.
∣S ∣ =
0 si y
2.1.2 Operaciones sobre conjuntos Definición (Intersección, unión y diferencia de conjuntos). Sean S y T dos conjuntos. Entonces: La intersección de S y T es el conjunto de los elementos comunes a S y a T . Se denota por S ∩ T . La unión de S y T es el conjunto que contiene a los elementos de S y a los de T . Se denota por S ∪ T . La diferencia de S y T es el conjunto formado por los elementos de S que no pertenecen a T . Se denota como S \ T . Ejemplo. Sean los siguientes conjuntos: A = {1, 2, 3, 5, 7}, B = {2, 3, 4, 6}, C = {4, 6, 8}.
Se verifica que A ∩ B = {2, 3}, ya que tanto 2 como 3 pertenecen
a A y a B , y no hay ningún otro elemento que pertenezca a la vez a A y a B . Así, 5 ∉ A ∩ B , ya que 5 ∈ A pero 5 ∉ B . También se tiene que 6 ∉ A ∩ B , ya que 6 ∈ A pero 6 ∉ B . Además, se cumple que A ∩ C = ∅, ya que no hay ningún elemento que pertenezca a la vez a A y a C . Se tiene que: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B ∪ C = {2, 3, 4, 6, 8}.
Ejemplo. Sean S = {1, 2, 3, 4} y T = {2, 4, 6}. Se tiene que S \ T = {1, 3}, y T \ S = {6}. Definición (Complemento de un conjunto). Dado un conjunto universal U y sea S un subconjunto de U , se denomina el complemento de S , y se denota como ~ S , al conjunto formado por aquellos elementos de U que no pertenecen a S . Ejemplo. Sea el conjunto U = {1, 2, 3, 4, 5} y sea S = {2, 3, 5}. Tenemos que ~ S = {1, 4}.
2.1.3 Partición de un conjunto Definición (Conjuntos disjuntos). Dos conjuntos S y T son disjuntos si S ∩ T = ∅. Ejemplo. Sean los conjuntos S = {1, 2} y T = {3, 4, 5}. S y T son disjuntos, ya que S ∩ T = ∅. Definición (Partición de un conjunto). Partición de un conjunto S es una colección de conjuntos S 1, S 2, …, S n tales que: ninguno es vacío, la unión de ellos es S y
cada par de conjuntos S i y S j , con i ≠ j , son disjuntos. Ejemplo. Sea el conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Sean los conjuntos S 1 = {1, 2, 6}, S 2 = {3, 4} y S 3 = {5, 7}. Se tiene que: S 1, S 2 y S 3 son distintos de ∅. S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 = S . S 1 ∩ S 2 = ∅, S 1 ∩ S 3 = ∅ y S 2 ∩ S 3 = ∅.
Por tanto, S 1, S 2 y S 3 constituyen una partición de S .
2.2 Representación gráfica de conjuntos Definición (Diagrama de Venn). Un diagrama de Venn es una representación que sirve para visualizar varios conjuntos y sus interacciones relativas a inclusión e intersección. Cada conjunto S se representa mediante un recinto, que es una línea cerrada generalmente con forma de círculo. El recinto del conjunto universal se representar mediante un rectángulo. Cada región cerrada representa la intersección de los conjuntos cuyos recintos la delimitan. Ejemplo. Sea el conjunto universal U , y sean los conjuntos S y T . Un diagrama de Venn para U , S y T aparece en la siguiente figura. El recinto relleno con color violeta corresponde a S ∩ T , ya que corresponde a una región encerrada por el recinto de S y el de T .
Ejemplo. Sean los mismos conjuntos del ejemplo anterior. El
recinto coloreado del diagrama de Venn de la siguiente figura corresponde a S ∪ T , ya que abarca el recinto de S y el de T .
Ejemplo. Sea el conjunto universal U , y sea el conjunto S . El recinto coloreado de la siguiente figura corresponde a ~ S , ya que aparece coloreado todo el recinto de U excepto el recinto que abarca S .
En los ejemplos anteriores cada conjunto aparece indicado con su nombre (S , T , etc.). No obstante, también es muy frecuente representar los elementos de cada conjunto ubicándolos en la región correspondiente. Veamos un ejemplo sobre esto. Ejemplo. Sean los conjuntos S = {1, 2, 3, 4} y T = {2, 4, 6}. Sea el conjunto universal U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Un diagrama de Venn para representar S , T y U viene dado en la siguiente figura. Hemos representado con color violeta las letras de los conjuntos. Los elementos de cada conjunto aparecen en negro. Podemos comprobar en el diagrama de Venn que S ∩ T = {2, 4} y ~ (S ∪ T ) = {5, 7, 8, 9}. A la izquierda de S ∩ T tenemos un recinto con los elementos 1 y 3 que corresponde a S \ T . De la misma forma, a la derecha de S ∩ T tenemos el recinto de T \ S = {6}.
2.3 Propiedades básicas y precedencia entre operadores 2.3.1 Propiedades básicas Las principales propiedades básicas que se deducen a partir de las definiciones de las operaciones sobre conjuntos se muestran a continuación. Las letras A, B y C indican conjuntos cualesquiera, cualesquiera, y U representa representa el conjunto universal. 2.3.1.1 Asociativa (A ∪ B ) ∪ C = = A ∪ (B ∪ C ) (A ∩ B ) ∩ C = = A ∩ (B ∩ C ) 2.3.1.2 Conmutativa = B ∪ A A ∪ B = = B ∩ A A ∩ B = 2.3.1.3 Distributiva A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C )
2.3.1.4 Idempotencia A ∪ A = A A ∩ A = A
2.3.1.5 Absorción
A ∪ (A ∩ B ) = A A ∩ (A ∪ B ) = A
2.3.1.6 De De Morgan ~ (A ∪ B )
=
~ A ∩ ~ B
~ (A ∩ B )
=
~ A ∪ ~ B
2.3.1.7 Doble Complementación ~ ( ~ A)
=A
2.3.1.8 Identidad A ∪ ∅ = A
= A A ∩ U = 2.3.1.9 Complemento A ∪ ~ A = U
2.3.1.10 Exclusión A ∩ ~ A = ∅
2.3.1.11 Dominación = U A ∪ U = A ∩ ∅ = ∅
2.3.1.12 Complementación del conjunto universal y del conjunto vacío
~ U = ∅ ~ ∅ = U
Las anteriores propiedades se pueden aplicar en demostraciones para obtener otras igualdades que sean siempre verdaderas. Para ello, basta con sustituir A, B ó C en cualquier propiedad. Veamos esto con un ejemplo. Ejemplo. Sean S , T y V tres conjuntos. La propiedad conmutativa establece que A ∪ B = B ∪ A. Podemos sustituir A por S \ T y B por V en dicha igualdad con lo que obtenemos que ( S \ T ) ∪ V = V ∪ (S \ T ). Las sustituciones que se realicen en las propiedades anteriores se deben hacer de forma simultánea en todas las apariciones de las variables a sustituir. Veamos un ejemplo para entender qué sucede si no lo hacemos así. Ejemplo. Consideremos la propiedad conmutativa, que afirma que A ∪ B = B ∪ A. Supongamos que queremos sustituir en dicha igualdad la letra B por A ∩ C , y la letra A por D , para obtener otra igualdad que siempre sea verdadera. Si comenzamos sustituyendo la primera aparición de B en la igualdad tendríamos que: A ∪ (A ∩ C ) = B ∪ A . Si ahora pasáramos a sustituir A por D en todas las apariciones tendríamos que D ∪ (D ∩ C ) = B ∪ D . Podríamos terminar sustituyendo B por A ∩ C en la única aparición que queda, por lo que obtendríamos D ∪ (D ∩ C ) = (A ∩ C ) ∪ D , que podríamos simplificar aplicando la propiedad de absorción en el lado izquierdo de la igualdad y nos quedaría D = (A ∩ C ) ∪ D , que no es una fórmula que sea siempre verdadera para cualesquier conjuntos A, C y D . El motivo de haber llegado a este punto es que no hemos aplicado correctamente la sustitución, pues no la hemos realizado simultáneamente en la igualdad de partida. Si aplicamos correctamente la sustitución de partida entonces obtendríamos la siguiente igualdad:
D ∪ (A ∩ C ) = (A ∩ C ) ∪ D ,
que sí es una fórmula verdadera para cualesquier conjuntos A, C y D .
2.3.2 Precedencia entre operadores: Eliminación de paréntesis Como consecuencia de la propiedad asociativa, se tiene que (A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) para 3 conjuntos cualesquiera A, B y C . En ese caso es frecuente escribir A ∪ B ∪ C pues no hay ambigüedad acerca de qué operación de unión se aplica primero ya que por la propiedad asociativa el resultado sería el mismo en cualquier caso. El mismo razonamiento se podría hacer para el caso de que se tuvieran más de 3 conjuntos; por ejemplo, tampoco habría ambigüedad en la expresión A ∪ B ∪ C ∪ D . De igual manera podríamos razonar si todos los operadores que interviniesen fueran de intersección, pues aplicaríamos la propiedad asociativa (A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) y podríamos escribir simplemente A ∩ B ∩ C . Es frecuente suprimir paréntesis cuando se expresan operaciones entre conjuntos. Ello se puede hacer si no hay ambigüedad gracias a que: los dos paréntesis más exteriores de una fórmula se pueden suprimir siempre, por lo que si nuestra fórmula es ( A ∪ B ) basta con que la escribamos como A ∪ B ; en cuanto a los paréntesis interiores de la fórmula, podremos suprimirlos si: estamos aplicando la propiedad asociativa tal y como hemos explicado más arriba, y/o hacemos uso de la precedencia entre los 4 operadores de conjuntos (unión, intersección, diferencia y complemento), como vamos a ver a continuación. El convenio de precedencia entre operadores que vamos a seguir
establece que el operador con mayor orden de precedencia es el complemento ( ~ ), y le siguen los otros tres operadores ( ∩ , ∪ y \ ) con igual orden de precedencia. El operador de mayor precedencia se aplicará antes y por tanto colocará antes los paréntesis en presencia de otros operadores. Veamos un ejemplo sobre ello. Ejemplo. Sean A, B , C , D , E y F seis conjuntos. Supongamos que tenemos la expresión ((A ∪ (( ~ B ) ∩ (C \ D ))) ∪ E ) ∪ F . Podemos suprimir paréntesis, y escribirla como A ∪ ( ~ B ∩ (C \ D )) ∪ E ∪ F . A pesar de haber eliminado paréntesis, no presenta ambigüedad y es equivalente a ((A ∪ (( ~ B ) ∩ (C \ D ))) ∪ E ) ∪ F . En cambio, veamos ahora un ejemplo donde tenemos una expresión que, por falta de paréntesis, presenta ambigüedad. Ejemplo. Sean A, B y C tres conjuntos. Sea la expresión A ∪ B ∩ C . Los operadores ∪ y ∩ tienen igual orden de precedencia, por lo que no podemos determinar si se trata de la expresión A ∪ (B ∩ C ) o de (A ∪ B ) ∩ C . Dado que estas dos expresiones no son equivalentes para cualesquiera conjuntos A, B y C entonces decimos que la expresión de partida presenta ambigüedad. A partir de ahora siempre que escribamos expresiones sobre conjuntos han de carecer de ambigüedad.
2.4 Tuplas y conjunto potencia 2.4.1 Tuplas y producto cartesiano Definición (Secuencia). Una secuencia es una lista de objetos en la que el orden tiene importancia. Una secuencia se suele especificar utilizando paréntesis ( y ), ó [ y ]. Ejemplo. La secuencia (1, a ) es diferente de la secuencia ( a , 1). Definición (Tupla). Sea la secuencia de n conjuntos (S 1, S 2, …, S n ). Una tupla , o n-tupla , es una secuencia (s 1, s 2, …, s n ) donde cada s i ∈ S i , siendo 1 ≤ i ≤ n . Ejemplo. Sea la secuencia de conjuntos S = (S 1, S 2) donde: S 1 = {a , b , c }, S 2 = {1, 2}.
La secuencia (b , 1) es una 2-tupla de S. (a , 2) es otra 2-tupla de S. En cambio, (2, a ) no es una 2-tupla de S ya que 2 ∉ S 1 (y a ∉ S 2); se ve así cómo el orden de los conjuntos en S tiene importancia. Tampoco serían 2-tuplas de S las secuencias (a , b ) ó (a , 2, c ). Definición (Producto cartesiano). El producto cartesiano de los conjuntos de la secuencia S = (S 1, S 2, …, S n ), con n > 1, es el conjunto de todas las posibles n-tuplas de S. Se denota como S 1 × S 2 × … × S n . Ejemplo. Sea la secuencia de conjuntos del ejemplo anterior. El producto cartesiano de S 1 y S 2 es S 1 × S 2 = {(a , 1), (a , 2), (b , 1), (b , 2), (c , 1), (c , 2)} . El producto cartesiano de dos conjuntos se puede visualizar muy bien representando en una matriz todas las tuplas posibles. Así,
en la siguiente figura se ve como, dentro del rectángulo, cada fila corresponde a un elemento de S 1 y cada columna a un elemento de S 2.
Ejemplo. Sea la secuencia de conjuntos ( S 1, S 2, S 3) donde S 1 = 1, 2}, S 2 = {3, 4} y S 3 = {a , b }. El producto cartesiano de S 1, S 2 y S 3 es S 1 × S 2 × S 3 = {(1, 3, a ), (1, 3, b ), (1, 4, a ), (1, 4, b ), (2, 3, a ), (2, 3, b ), (2, 4, a ), (2, 4, b )} .
Definición (Sucesión finita). Sea S un conjunto. Una sucesión finita de elementos en S es una secuencia ( s 1, s 2, . . . , s n ) en la que cada s i pertenece a S . A n se le denomina longitud de la sucesión finita. Ejemplo. Sea el conjunto S = {1, 2, 3}. Un ejemplo de sucesión finita de elementos en S es (1, 3, 1, 2), y su longitud es 4. Definición (Sucesión infinita). Sea S un conjunto. Una sucesión infinita de elementos en S es una secuencia infinita (que no termina) en la que cada elemento pertenece a S . Ejemplo. Sea S = {1, 2, 3}. Un ejemplo de sucesión infinita de elementos en S es (1, 2, 3, 3, 2, 1, 1, …) en la que los puntos suspensivos indican que la secuencia no termina. Definición (Sucesión vacía). Una sucesión vacía es una sucesión de longitud 0. Se representa así: (), ó []. Definición (Alfabeto). Un alfabeto es un conjunto cuyos elementos son símbolos (generalmente letras). Ejemplo. Algunos ejemplos de alfabetos son S = {a , b , c , d }, T = α , β , γ , δ } y V = {0, 1}. Definición (Palabra). Sea un alfabeto S . Una palabra (o cadena ) es cualquier sucesión finita de elementos de S . Una palabra se puede representar eliminando los símbolos que la delimitan ((, ), [ y ]) y las comas que separan los elementos. Además, en el caso de que el alfabeto esté formado por letras, se pueden usar como delimitadores los símbolos de comillas dobles (“ y ”). Ejemplo. Sea el alfabeto S = {a , b , c , d }. Un ejemplo de palabra formada a partir de dicho alfabeto es acaba; o expresado con comillas dobles sería “ acaba” . Otra ejemplo de palabra es acabada.
Definición (Concatenación de palabras). Sean dos palabras w 1 y w 2 formadas a partir de un mismo alfabeto. La concatenación de
w 1 y w 2 es la palabra formada por todos los elementos de w 1 seguidos de todos los elementos de w 2. Se denota como w 1 w 2.
Ejemplo. Sean las palabras w 1 = abda y w 2 = cddbab . La concatenación de w 1 y w 2 es w 1 w 2 = abdacddbab . Esperamos que el lector sepa distinguir a partir del contexto cuál es el significado del símbolo , que aquí representa la concatenación de palabras, pero que también se puede usar para indicar el producto de números.
2.4.2 Conjunto potencia Definición (Conjunto potencia). Sea un conjunto S . El conjunto potencia o de las partes de S está formado por todos los subconjuntos de S . Se denota por P(S ) ó 2S . Ejemplo. Sea el conjunto S = {1, 2, 3}. El conjunto potencia de S es P(S ) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} . Proposición. Dado un conjunto S , se tiene que ∅ ∈ P(S ) y S ∈ P(S ). Teorema. Sea un conjunto finito S . El cardinal de P( S ) es 2∣S ∣. Ejemplo. Considérese el conjunto S del ejemplo anterior. El cardinal de P(S) es ∣P (S )∣ = 2∣S ∣ = 23 = 8.
2.4.3 Tipos y signatura Definición (Variable). Variable es un símbolo que puede tomar como valor cualquier elemento de un conjunto S . En este caso decimos que el tipo de la variable es S . Ejemplo. Algunos ejemplos de variables son x , y y temperatura . Los tipos de cada variable podrían ser los conjuntos {1, 2}, {3, 4} y {Alta , Baja } respectivamente.
Definición (Declaración). Sea una variable v y sea T su tipo. La cadena v : T es la declaración o signatura de v . Ejemplo. Sea x una variable y sea el conjunto {1, 2} el tipo de x . La declaración de x se expresa como x : {1, 2}. Las signaturas se suelen utilizar mucho en cursos de fundamentos de programación, pues sirven para indicar qué valores posibles puede tomar una variable. También es muy frecuente construir tipos a partir de otros mediante la utilización de operaciones entre conjuntos; así, por ejemplo, es habitual que las estructuras de datos complejas tengan como tipo el producto cartesiano de varios conjuntos.
2.5 Conjuntos notables Vamos a ver varios conjuntos que son muy importantes por ser muy utilizados en la declaración de variables en programación, y en la construcción de otros tipos a partir de ellos. Definición Definición (Conjunto booleano y valor booleano). El conjunto está formado por dos elementos: Verdadero y Falso. Se booleano está denota como B. Cada elemento de B es un valor booleano . Se pueden encontrar formas alternativas de nombrar los elementos del conjunto booleano. En inglés, lo habitual es que B = {True, False}. En un dominio donde se emplee terminología de la Lógica lo habitual es que los dos elementos B sean top , denotado por una letra similar a una ⊤, y bottom , denotado por el símbolo de top invertido; top corresponde corresponde a Verdadero, y bottom a Falso. Definición Definición (Conjunto de bits). Conjunto de bits es el conjunto formado por los elementos 0 y 1. Cada elemento de este conjunto es un bit . El conjunto de bits tiene una gran importancia en computación. Se suele confundir a veces con el conjunto booleano, hasta el punto de que se suele asociar el valor 1 con Verdadero y el 0 con Falso. No obstante, el conjunto de bits se suele emplear en el campo de la Electrónica Digital, mientras que el conjunto booleano se utiliza generalmente en el área de Fundamentos de Programación y Lógica Computacional. Definición (Conjunto Definición (Conjunto de caracteres). Un conjunto de caracteres o uego de caracteres está formado por símbolos que pueden ser reconocidos por un programa informático u ordenador. Cada elemento de este conjunto es un carácter . Ejemplo. Ejemplo. El lenguaje Java permite declarar variables cuyo tipo es un conjunto de caracteres que contiene símbolos utilizados en múltiples idiomas. Algunos de los elementos de ese conjunto son las letras del abecedario, los dígitos decimales y símbolos de puntuación.
Ejemplo. Ejemplo. Un conjunto de caracteres muy utilizado en Informática y aceptado como estándar a nivel mundial es el Unicode . Definición (Conjunto Definición (Conjunto de los números enteros). Un número entero es un elemento del conjunto infinito de números {…, − 3, − 2, − 1, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, …}. El conjunto de todos los números enteros se denota por Z. Ejemplo. Ejemplo. Los números 23478 y − 102934 son números enteros. En cambio, los números 1. 5 y − 2. 3 no son números enteros. Definición Definición (Conjunto de los números naturales). Un número natural es un número entero positivo (mayor que cero). El se denota por N. conjunto de todos los números naturales se A partir de la definición anterior es trivial ver que N es un subconjunto propio de Z. Ejemplo. Ejemplo. Los números 940567 y 12 son números naturales. En cambio 17. 4 y − 3 no son números naturales. No hay un acuerdo total en la comunidad matemática acerca de si el número 0 debe considerarse o no un número natural. Sin embargo, en la definición anterior hemos establecido el criterio que se considera en esta asignatura: que el número 0 no es un número natural. natural. Éste es el criterio más generalizado en la comunidad matemática hoy en día. Definición Definición (Conjunto de los números racionales). Número / q , racional es un número que puede expresarse de la forma p / donde p y q son números enteros y q ≠ ≠ 0. El conjunto de todos se denota por Q. los números racionales se Ejemplo. Ejemplo. Los números 0, − 2 / 3 y 128 son números racionales. racionales. En cambio, 5 / 0 y la raíz cuadrada de 2 no son números racionales. No obstante, la raíz cuadrada de 9 sí es racional y su valor es 3. Ejemplo. Ejemplo. Todos los números decimales periódicos (aquéllos cuya parte decimal se repite) son racionales. Por ejemplo, 4. 3333… es racional, ya que se puede expresar como 13 / 3.
Proposición. Proposición. El conjunto de los números enteros, Z, es un subconjunto del conjunto de los números racionales, Q. Definición Definición (Conjunto de los números reales). Número real es cualquier número que se puede representar en una recta en la que se ha establecido una escala y se ha marcado la posición del número 0. El conjunto de todos los números reales se denota por R. Ejemplo. Ejemplo. Los números 0, − 2 / 3, 128, la raíz cuadrada cuadrada de 2 y son números reales. En cambio, no son números reales 5 / 0 ni la raíz cuadrada de − 1. Los números reales son usados habitualmente para expresar cantidades de nuestra vida diaria como por ejemplo temperatura, distancias, dinero, etc. Definición Definición (Conjunto de los números irracionales). Número irracional es un número real que no es racional. El conjunto de se denota por I. todos los números irracionales se Ejemplo. Ejemplo. La raíz cuadrada de 2 y el número π son números irracionales. irracionales . En cambio, 0, − 2 / 3 y la raíz cuadrada de 9 no son números irracionales. Los números que no son reales se utilizan en áreas específicas de las Matemáticas y su estudio se escapa a los objetivos de este libro. Ejemplo. Ejemplo. Tanto N, Z, Q, I como R son conjuntos conjuntos infinitos y la cardinalidad de algunos de estos conjuntos se estudiará más adelante cuando se trate el tema de funciones.
3 Relaciones Resumen Este capítulo trata los conceptos esenciales de las relaciones. Se presentan los fundamentos básicos de las relaciones y sus operaciones. Se muestran las distintas formas de representación de relaciones. Se explican las propiedades más importantes que puede satisfacer una relación. Finalmente, se tratan las relaciones de orden.
3.1 Relaciones y operaciones 3.1.1 Conceptos básicos de relaciones Definición (Relación y aridad). Sea n un número natural. Una relación de—o definida en—los conjuntos S 1, S 2, …, S n − 1 y S n es un subconjunto de S 1 × S 2 × … × S n − 1 × S n . La aridad de la relación es n . Ejemplo. Sean los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {a , b , c , d }. El conjunto R = {(1, a ), (2, c ), (2, d )} es una relación de A y B ; su aridad es 2. En cambio, {( b , 1)} no es una relación de A y B , ya que (b , 1) ∉ A × B . Definición (Relación binaria). Sea R una relación de aridad 2 definida en la secuencia de conjuntos ( A, B ). Decimos que R es una relación binaria (de A en B), o simplemente R es una relación de A en B.
Ejemplo. La relación R del ejemplo anterior es una relación binaria. Definición (Relación ternaria). Una relación ternaria es una relación de aridad 3. Ejemplo. Sean los conjuntos A = {1, 2}, B = {a , b , c } y C = {x , y }. El conjunto R = {(2, a , x ), (2, b , x ), (1, a , y )} es una relación de A, B y C . Su aridad es 3; por tanto, R es una relación ternaria. En cambio {(2, a )} no es una relación de A, B y C , ya que se trata de un conjunto con una tupla de longitud 2. Tampoco lo es el conjunto {(b , a , x )}, ya que se tiene que el primer elemento de la tupla (b , a , x ) (el elemento b ) no pertenece a A. Definición (Relación universal y relación vacía). Sea la secuencia de conjuntos ( S 1, S 2, …, S n ). Entonces: la relación universal en S 1, S 2, …, S n − 1 y S n contiene todas las tuplas de S 1 × S 2 × … × S n .
la relación vacía en S 1, S 2, …, S n − 1 y S n no contiene ninguna tupla. Ejemplo. Considérense los siguientes conjuntos: A = {1, 2, 3} B = {a , b , c , d }
La relación universal en A y B es (1, a ), (1, b ), (1, c ), (1, d ), (2, a ), (2, b ), (2, c ), (2, d ), (3, a ), (3, b ), (3, c ), (3, d )} . La relación vacía de A y B es un conjunto que no contiene tuplas: el conjunto vacío (∅).
3.1.2 Operaciones sobre relaciones Definición (Unión, conjunción o intersección y diferencia de dos relaciones). Sean R 1 y R 2 dos relaciones definidas en los conjuntos S 1, S 2, …, S n − 1 y S n . Entonces: la relación unión de R 1 y R 2 es la unión de todas las tuplas de R 1 y de R 2. Se denota como R 1 ∪ R 2. la relación conjunción o intersección de R 1 y R 2 está formada por las tuplas comunes a R 1 y R 2. Se denota como R 1 ∩ R 2. la relación diferencia de R 1 y R 2 está formada por las tuplas de R 1 que no pertenecen a R 2. Se denota como R 1 \ R 2. Ejemplo. Sean los siguientes conjuntos: A = {1, 2, 3} B = {a , b , c , d }
Sean las siguientes relaciones en A y B :
R 1 = {(1, b ), (2, c )} R 2 = {(1, c ), (2, b ), (2, c ), (3, a ), (3, d )}
Se tiene que la relación unión de R 1 y R 2 es: R 1 ∪ R 2 = {(1, b ), (1, c ), (2, b ), (2, c ), (3, a ), (3, d )} . Se puede comprobar que, por tratarse de la unión de conjuntos, la tupla (2, c ), que pertenece a R 1 y a R 2, sólo aparece una vez en R 1 ∪ R 2. La relación conjunción o intersección de R 1 y R 2 es: R 1 ∩ R 2 = {(2, c )} . La relación diferencia de R 1 y R 2 es: R 1 \ R 2 = {(1, b )} . Definición (Complemento de una relación). Sea una relación R definida en los conjuntos S 1, S 2, …, S n − 1 y S n . La relación complemento o complementaria de R está formada por todas las tuplas de S 1 × S 2 × … × S n que no pertenecen a R . Se denota como ~ R . Ejemplo. Sean los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {a , b }. Sea la relación R de A en B dada por R = {(1, a ), (2, a ), (2, b )}. Se tiene que: A × B = {(1, a ), (1, b ), (2, a ), (2, b ), (3, a ), (3, b )} . Entonces, ~ R es el conjunto de las tuplas de A × B que no pertenecen a R , esto es, ~ R = {(1, b ), (3, a ), (3, b )}. Definición (Contener a una relación). Sean dos relaciones R y R ʹ definidas en los conjuntos S 1, S 2, …, S n − 1 y S n . R contiene a R ʹ si todas las tuplas de R ʹ pertenecen a R . Ejemplo. Sean los conjuntos A y B y la relación R del ejemplo anterior. Sea la relación R ʹ de A en B dada por R ʹ = {(1, a ), (2, b )}. Se puede comprobar que las dos tuplas de R ʹ pertenecen también a R . Por tanto, R contiene a R ʹ. Proposición. Sea R cualquier relación. Se cumple que:
R contiene a la relación vacía y
la relación universal contiene a R . Definición (Relaciones iguales). Sean R y S dos relaciones. R y S son iguales si R contiene a S y S contiene a R. Se denota po R = S.
Ejemplo. Sean R y S dos relaciones definidas en X = {1, 2} y a , b , c } dadas por R = {(1, a ), (2, b )} y S = {(2, b ), (1, a )}. R y S son iguales, denotado por R = S . Es trivial ver que, dadas dos relaciones R y S , si R = S entonces S = R .
3.2 Relaciones binarias 3.2.1 Dominio y rango Definición (Dominio de una relación binaria). Sea R una relación binaria de X en Y . El dominio de R es el conjunto de todos los elementos x ∈ X tales que para algún y ∈ Y se cumple que (x , y ) ∈ R . Se denota como dom( R ). Ejemplo. Sean los conjuntos X = {1, 2, 3} e Y = {a , b , c , d }. Sea la relación R de X en Y dada por R = {(1, a ), (1, b ), (2, d )}. Para el elemento 1 ∈ X se cumple que hay al menos una tupla (1, y ) ∈ R , con y ∈ Y ; en concreto tenemos dos tuplas: (1, a ) y (1, b ). Para 2 ∈ X tenemos una tupla (2, y ) ∈ R ; concretamente aparece la tupla (2, d ). Por tanto, el dominio de la relación R es dom(R ) = {1, 2}. Definición (Espacio de dominio de una relación binaria). Sea R una relación binaria de X en Y . El espacio de dominio de R es el conjunto X . Es trivial ver que el dominio de una relación binaria es siempre un subconjunto de su espacio de dominio. Ejemplo. Consideremos la relación del ejemplo anterior. El espacio de dominio de R es el conjunto X = {1, 2, 3}. Se puede comprobar como dom(R ) = {1, 2} es un subconjunto del espacio de dominio. Definición (Rango de una relación binaria). Sea R una relación binaria de X en Y . Se denomina rango de R al conjunto de todos los elementos y ∈ Y tales que para algún x ∈ X se cumple que (x , y ) ∈ R . Se denota como ran( R ). Ejemplo. Sea la relación R del ejemplo visto al comienzo de esta sección. Para el elemento a ∈ Y se cumple que hay una tupla (x , a ) ∈ R , con x ∈ X ; en concreto tenemos (1, a ). Para el elemento b ∈ Y existe una tupla (x , b ); concretamente tenemos (1, b ). Igualmente, para d ∈ Y tenemos (2, d ). En cambio, para el elemento c no hay ninguna tupla ( x , c ). Por tanto, el rango de R
es ran(R ) = {a , b , d }. Definición (Espacio de rango de una relación binaria). Sea R una relación binaria de X en Y . El espacio de rango de R es el conjunto Y . Es trivial ver que el rango de una relación binaria es siempre un subconjunto de su espacio de rango. Ejemplo. Sea la relación R del ejemplo visto al comienzo de esta sección. El espacio de rango de R es Y = {a , b , c , d }.
3.2.2 Operaciones especiales Definición (Relación inversa). Sea una relación R de X en Y . La relación inversa de R , denotada por R − 1, es la relación de Y en que para todo x ∈ X e y ∈ Y se cumple que ( y , x ) ∈ R − 1 si y sólo si (x , y ) ∈ R . De manera muy informal podemos decir que la relación inversa básicamente toma cada tupla de la relación R y “da la vuelta” a sus dos elementos: el primer elemento de la tupla pasa a ser el segundo y viceversa. Veamos un ejemplo. Ejemplo. Sean los conjuntos X = {1, 2, 3} e Y = {a , b , c , d }. Sea la relación R de X en Y dada por R = {(1, a ), (1, b ), (2, d )}. La relación inversa de R es R − 1 = {(a , 1), (b , 1), (d , 2)}. Definición (Composición de dos relaciones). Sea R una relación de X en Y y sea S una relación de Y en Z . La composición de R y S es la relación de X en Z formada por el conjunto de pares ( x , z ), siendo x ∈ X y z ∈ Z , para los que existe algún y ∈ Y tal que (x , y ) ∈ R e (y , z ) ∈ S . Ejemplo. Sean los conjuntos X = {1, 2, 3}, Y = {a , b , c , d } y Z = t , u , v , w }. Sea la relación de X en Y dada por R = {(1, a ), (1, b ), (2, c ), (3, a )}. Sea la relación de Y en Z dada por S = {(b , t ), (b , w ), (c , v ), (d , u )}. La composición de R y S es la relación T = (1, t ), (1, w ), (2, v )}. Por ejemplo, dado que (1, b ) ∈ R y (b , t ) ∈ S , entonces se tiene que (1, t ) ∈ T . Además, como (2, c ) ∈ R
y (c , v ) ∈ S , entonces (2, v ) ∈ T . Igualmente, como (1, b ) ∈ R y (b , w ) ∈ S , entonces (1, w ) ∈ T . Definición (Relación en un conjunto). Sea X un conjunto. Una relación (definida ) en X es una relación de X en X . Ejemplo. Sea X = {1, 2, 3}. Se tiene que R = {(1, 2), (3, 1), (3, 2)} es una relación en X . Definición (Relación identidad). La relación de identidad sobre es la relación en X formada por todos los pares ( x , x ), siendo x ∈ X . Se denota I X . Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 2, 3}. La relación de identidad sobre X es I X = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}.
3.3 Representación de relaciones Las relaciones se describen por intensión o por extensión, al igual que cualquier conjunto. En el caso de que sean descritas por extensión, constan de una lista de pares. Sin embargo, la descripción de una relación mediante una lista de tuplas no es muy visual ya que no ayuda a apreciar con facilidad algunas propiedades de las relaciones. Es por ello que existen dos tipos principales de formas de representación de relaciones binarias que son muy utilizadas: las matrices y los grafos dirigidos. No obstante, sólo se utilizan si los espacios de dominio y de rango son finitos.
3.3.1 Matriz de una relación Definición (Matriz de una relación). Sean los conjuntos finitos X = {x 1, x 2, . . . , x m } e Y = {y 1, y 2, . . . , y n }. Sea R una relación de X en Y . La matriz de R tiene m filas y n columnas y cumple que el elemento de la fila i y columna j es 1 si (x i , y j ) ∈ R , y es 0 en otro caso. La matriz de R se denota por M R , Ejemplo. Sean los conjuntos X = {3, 7, 9} e Y = {b , c , d , e }, y la relación R = {(3, c ), (7, b ), (9, c ), (9, d )}. Siguiendo la notación de la definición anterior se tiene que: x 1 = 3, x 2 = 7, x 3 = 9, y 1 = b , y 2 = c , y 3 = d , y 4 = e .
La matriz M R de la relación R es la que aparece en la siguiente figura:
Cada fila de la matriz corresponde a un elemento de X , y cada columna corresponde a un elemento de Y . Considérese el elemento de la fila 3 y columna 2. Dado que x 3 = 9 e y 2 = c , dicha casilla corresponde al par (9, c ). Como (9, c ) ∈ R entonces el valor de dicha casilla en la matriz es 1. En cambio, el elemento de la fila 2 y columna 4 toma el valor 0, ya que ( x 2, y 4) = (7, e ) ∉ R .
3.3.2 Grafo de una relación Los grafos constituyen una forma muy visual de representar una relación binaria. El tema de “Teoría de grafos” se explicará más adelante en el libro, y en él se verá cómo representar una relación binaria en un conjunto X mediante un grafo. No obstante, también es frecuente tener una relación binaria R de un conjunto X en otro conjunto Y . En ese caso se suele utilizar una representación gráfica que consiste en: dibujar cada elemento de X rodeado con un círculo y ubicado a un lado en la figura, por ejemplo a la izquierda, dibujar los elementos de Y al otro lado, por ejemplo a la derecha, y trazar una flecha desde un elemento x ∈ X a un elemento y ∈ Y si y sólo si (x , y ) ∈ R .
Ejemplo. Sean X = {1, 2, 3, 4} e Y = {a , b , c , d }. La siguiente figura muestra la relación de X en Y dada por R = {(1, b ), (1, c ), (2, a ), (4, b )}.
Además, existen distintas modalidades de la anterior representación gráfica. Por ejemplo, se pueden rodear los elementos de cada conjunto con una línea curva cerrada, con lo que no sería necesario dibujar el círculo pequeño de cada nodo, sino simplemente el nombre del elemento. Cuando se vea la sección de conceptos avanzados de conjuntos se verá un
ejemplo de esta representación.
3.4 Propiedades de las relaciones 3.4.1 Propiedades más importantes de las relaciones Vamos a centrarnos ahora en las relaciones sobre un conjunto y vamos a estudiar las distintas propiedades que pueden verificar. Definición (Propiedad reflexiva). Sea R una relación en X . R cumple la propiedad (o es ) reflexiva , si para todo x ∈ X se cumple que (x , x ) ∈ R . Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 2, 3}. La relación R en X dada por R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 3)} es reflexiva, ya que se tiene que los pares (1, 1), (2, 2) y (3, 3) pertenecen a R . En cambio, la relación S = {(1, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 3)} no es reflexiva, ya que el par (1, 1) ∉ S . Definición (Propiedad simétrica). Sea R una relación en X . R cumple la propiedad (o es ) simétrica , si para todo par ( u , v ) ∈ R se cumple que (v , u ) ∈ R . Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 2, 3}. Sea la siguiente relación: R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} . R es simétrica. Así, por ejemplo, si tomamos el par (1, 2) ∈ R , entonces podemos comprobar que (2, 1) ∈ R ; de la misma forma podríamos realizar la comprobación para cualquier otro par de R . En cambio, la relación S = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3)} no es simétrica, ya que el par (2, 3) ∈ S , pero (3, 2) ∉ S . Definición (Propiedad transitiva). Sea R una relación en X . R cumple la propiedad (o es ) transitiva si siempre que ( u , v ) ∈ R y (v , w ) ∈ R se cumple que (u , w ) ∈ R . Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 2, 3, 4}. Sea la siguiente relación: R = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 4)} . R es transitiva. Se puede ver, por ejemplo, que (1, 2) ∈ R , (2, 4) ∈ R y (1, 4) ∈ R . En cambio, la relación S = {(3, 2), (2, 4)} no es transitiva, ya que (3, 2) ∈ S y (2, 4) ∈ S , pero (3, 4) ∉ S .
Definición (Propiedad antisimétrica). Sea R una relación en X . R cumple la propiedad (o es ) antisimétrica si siempre que ( u , v ) ∈ R y (v , u ) ∈ R se cumple que u = v . Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 2, 3, 4}. Sea la siguiente relación: R = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (2, 4), (4, 4)} . R es antisimétrica. En cambio, la relación S = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 4), (4, 4)} no es antisimétrica, pues se tiene que (1, 3) y (3, 1) pertenecen a R , pero 1 ≠ 3. Definición (Propiedad irreflexiva). Sea R una relación en X . R cumple la propiedad (o es ) irreflexiva si no existe ningún x ∈ tal que (x , x ) ∈ R . Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 2, 3, 4}. La relación R = {(1, 3), (1, 4), (2, 4)} es irreflexiva. En cambio, la relación S = R ∪ {(1, 1)} no es irreflexiva. Además, S tampoco es reflexiva.
3.4.2 Cierres Definición (Cierre de una relación respecto a una propiedad). Sea R una relación en X y sea P una propiedad de las relaciones binarias. El cierre de R respecto a P es una relación R ʹ tal que: 1. R ʹ contiene a R , 2. R ʹ satisface la propiedad P , 3. si otra relación R ʺ cumple los puntos 1 y 2 anteriores entonces R ʺ contiene a R ʹ. De una manera informal la definición anterior expresa el hecho de que el cierre de una relación R respecto a una propiedad P es la relación “más pequeña” que contiene a R y que satisface P . Teorema. Sea R una relación en X que satisface una propiedad P . Sea R ʹ el cierre de R respecto a P . Entonces R = R ʹ. Definición (Cierre reflexivo de una relación). Sea R una relación en X . El cierre reflexivo de R es el cierre de R respecto a la
propiedad reflexiva. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 2, 3} y sea R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 2)}. Se puede comprobar que R no es reflexiva. En cambio, la relación R ʹ = R ∪ {(2, 2), (3, 3)} sí es reflexiva. Además, para cualquier relación R ʺ que contenga a R y sea reflexiva se cumple que R ʺ contiene a R ʹ. Por tanto, R ʹ es el cierre reflexivo de R . Definición (Cierre simétrico de una relación). Sea R una relación en X . El cierre simétrico de R es el cierre de R respecto a la propiedad simétrica. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 2, 3} y sea R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3)}. Se puede comprobar que R no es simétrica. En cambio, la relación R ʹ = R ∪ {(2, 1), (3, 2)} sí es simétrica. Además, para cualquier relación R ʺ que contenga a R y sea simétrica se cumple que R ʺ contiene a R ʹ. Por tanto, R ʹes el cierre simétrico de R . Definición (Cierre transitivo de una relación). Sea R una relación en X . El cierre transitivo de R es el cierre de R respecto a la propiedad transitiva. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 2, 3} y sea R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3)}. Se puede comprobar que R no es transitiva. El cierre transitivo de R es R ʹ = R ∪ {(1, 3)}.
3.4.3 Relaciones de equivalencia Definición (Relación de equivalencia). Sea R una relación en X . R es una relación de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 2, 3, 4}. Sea la relación R en X dada por: R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (4, 2), (4, 4)} . R cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Por tanto, R es una relación de equivalencia. Ejemplo. Sea Y = {1, 2}. Sea la relación S definida en Y dada por S = {(1, 2)}. S no es relación de equivalencia ya que no es
reflexiva ni simétrica. Definición (Cierre de equivalencia de una relación). Sea R una relación en X . El cierre de equivalencia de R es el cierre de R respecto a la propiedad “ser relación de equivalencia”. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 2, 3}. Sea la relación R = {(1, 1), (2, 1), (3, 3)}. R no es una relación de equivalencia. Su cierre de equivalencia es R ʹ = R ∪ {(2, 2), (1, 2)}. Definición (Clase de equivalencia). Sea R una relación de equivalencia sobre X . Sea x ∈ X . La clase de equivalencia asociada a x en R es el conjunto de los elementos y ∈ X tales que (x , y ) ∈ R . Se denota por [x ]. Ejemplo. Sea el conjunto X y la relación R del primer ejemplo de esta subsección. Se vio que R es una relación de equivalencia. La clase de equivalencia asociada al elemento 1 en R es [1] = {1, 3}. Teorema. Sea R una relación de equivalencia en X. Sean y ∈ X y z ∈ X. Si (y, z) ∈ R entonces [y] = [z].
Ejemplo. Sea el conjunto X y la relación R del primer ejemplo de esta subsección. Se cumple que [1] = [3], y que [2] = [4]. Proposición. Sea R una relación de equivalencia sobre X . La colección formada por todas las clases de equivalencia en R constituye una partición de X . Ejemplo. En el ejemplo anterior se vio que [1] = [3] y [2] = [4]. Por tanto, hay dos clases de equivalencia en X , que son [1] = [3] = {1, 3} y [2] = [4] = {2, 4}. Se puede comprobar que dichos dos conjuntos, {1, 3} y {2, 4}, constituyen una partición de X . Definición (Conjunto cociente). Sea R una relación de
equivalencia sobre X . El conjunto cociente de X según R está formado por todas las clases de equivalencia en R . Ejemplo. Sean el conjunto X y la relación R del ejemplo anterior. El conjunto cociente de X según R es {{1, 3}, {2, 4}}.
3.5 Relaciones de orden Definición (Orden parcial u orden parcial débil). Sea R una relación sobre X . R es un orden parcial débil , o simplemente orden parcial , si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Definición (Conjunto parcialmente ordenado). Sea X un conjunto. X es un conjunto parcialmente ordenado si existe un orden parcial débil para X . Las siglas para denotarlo son cpo . Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 2, 3}. La relación sobre X dada por R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} es un orden parcial. Por tanto, X es un cpo. Ejemplo. Sea la relación R “ser menor o igual que” definida sobre el conjunto de los números enteros. Es decir, dados x e y dos números enteros, (x , y ) ∈ R si y sólo si x es menor o igual que y . Por ejemplo, (2, 5) ∈ R ya que 2 es menor o igual que 5. También se tiene que ( − 4, − 4) ∈ R . En cambio (3, − 2) ∉ R . Se puede comprobar que R reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por tanto, R es un orden parcial para el conjunto de los números enteros, y éste es un cpo. Definición (Orden estricto). Sea R una relación sobre X . R es un orden estricto si es irreflexiva y transitiva. Teorema. Todo orden estricto cumple la propiedad antisimétrica. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 2, 3}. La relación sobre X dada por R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} es un orden estricto, ya que es irreflexiva y transitiva (y antisimétrica). Ejemplo. Sea la relación R “ser menor que” definida sobre el conjunto de los números enteros. Es decir, dados x e y dos números enteros, (x , y ) ∈ R si y sólo si x es menor que y . Por ejemplo, (2, 5) ∈ R ya que 2 es menor 5. En cambio, ( − 4, − 4) ∉ R y (3, − 2) ∉ R . Se puede comprobar que R irreflexiva y transitiva (y también antisimétrica). Por tanto, R es un orden estricto para el conjunto de los números enteros.
Definición (Orden estricto inducido por un orden parcial). Sea el orden parcial R para el conjunto X . Orden estricto inducido por R sobre X es la relación Rʹ = R \ I X .
Se puede ver fácilmente la prueba de que, de acuerdo a la definición anterior, R ʹ = R \ I X es una relación de orden estricto. Así, si R es una relación de orden parcial sobre X entonces verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por tanto, al hacer la diferencia de R con la relación identidad sobre X , I X , la relación obtenida es irreflexiva, antisimétrica y transitiva, y por tanto cumple las propiedades de orden estricto. Ejemplo. Sea el conjunto de los números naturales con la relación de orden parcial R ”ser menor o igual que”. El orden estricto inducido por R es la relación R ʹ = R \ I X , que corresponde a la relación “ser menor que”. Se puede comprobar que cumple las propiedades de un orden estricto. Definición (Orden total o lineal). Sea R un orden parcial sobre X . R es un orden total u orden lineal si para cualesquiera dos elementos y y z de X se cumple que (y , z ) ∈ R ó (z , y ) ∈ R . Definición (Conjunto totalmente ordenado). Sea un orden total R para X . Entonces se dice que X es un conjunto totalmente ordenado o linealmente ordenado . Ejemplo. Anteriormente vimos que la relación R “ser menor o igual que” definida sobre el conjunto de los números enteros es un orden parcial. Dado que para cualesquiera x e y números enteros se cumple que x es menor o igual que y o viceversa, entonces R es un orden total. Por tanto, el conjunto de los números enteros es un conjunto totalmente ordenado. Ejemplo. Sea X = {1, 2, 3, 4}. La relación R sobre X dada por R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} es un orden parcial, pero no es un orden total, ya que, por ejemplo, ni (1, 3) ni (3, 1) pertenecen a R .
3.5.1 Conceptos asociados a orden parcial
Definición (Cota superior y cota inferior). Sea el orden parcial R para X . Sean y ∈ X y z ∈ X . Entonces: z es una cota superior de y si (y , z ) ∈ R . z es una cota inferior de y si (z , y ) ∈ R .
Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 2, 3}. Sea la relación de orden parcial sobre X dada por R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}. El elemento 1 es una cota inferior del elemento 3; el 2 y el 3 también son cotas inferiores de 3. El elemento 3 es una cota superior de 1; el 1 el 2 también son cotas superiores de 1. Definición (Elemento maximal y elemento minimal). Sea el orden parcial R para X . Sea R ʹ el orden estricto inducido por R sobre X . Sea z ∈ X . Entonces z es un elemento maximal si no existe ningún y ∈ X tal que (z , y ) ∈ R ʹ. z es un elemento minimal si no existe ningún y ∈ X tal que (y , z ) ∈ R ʹ.
Ejemplo. Sean el conjunto X y la relación R de orden parcial del ejercicio anterior. El 1 es un elemento minimal y el 3 es un elemento maximal. Ejemplo. Sea el conjunto de los números naturales con la relación de orden parcial R ”ser menor o igual que”. El orden estricto inducido por R es R ʹ = R \ I X , que es la relación “ser menor que”. El elemento 1 es un elemento minimal, ya que no hay ningún número natural que sea menor que 1. Definición (Conjunto parcialmente ordenado bien fundado). Sea R un orden parcial para X . X es un cpo bien fundado si todo subconjunto de X distinto de ∅ tiene un elemento minimal. Teorema. Sea el orden parcial R para el conjunto finito X . X tiene un elemento maximal y un elemento minimal. Proposición. Sea el orden parcial R para el conjunto finito X .
es un cpo bien fundado. Ejemplo. Cualquier orden parcial de los vistos en este tema que se hayan basado en un conjunto finito es un ejemplo de cpo bien fundado. Ejemplo. El conjunto de los números naturales con la relación de orden parcial ”ser menor o igual que” es un cpo bien fundado. Ejemplo. El conjunto de los números enteros con la relación de orden parcial “ser menor o igual que” no es un cpo bien fundado, ya que existe algún subconjunto de Z que no tiene elemento minimal. Por ejemplo, si tomamos el conjunto formado por los enteros pares (múltiplos de 2) con la relación de orden parcial “ser menor o igual que” podemos comprobar que dicho conjunto no tiene elemento minimal. Definición (Elemento máximo y elemento mínimo). Sea el orden parcial R para X . Sea z ∈ X . Entonces: z es un elemento máximo de X según R si para todo y ∈ X se cumple que (y , z ) ∈ R . z es un elemento mínimo de X según R si para todo y ∈ se cumple que (z , y ) ∈ R .
Es trivial comprobar que todo elemento máximo es maximal, y que todo elemento mínimo es minimal. Teorema. Sea el orden parcial R para el conjunto X . Entonces: Si existe un elemento máximo de X según R entonces es único. Si existe un elemento mínimo de X según R entonces es único. Ejemplo. El conjunto de los números naturales con la relación de orden parcial ”ser menor o igual que” es un orden parcial cuyo elemento mínimo es el 1.
Ejemplo. Sea el conjunto de los números naturales. Sea la relación R tal que, dados dos números naturales x e y , (x , y ) ∈ R si y sólo si x es menor o igual que y e (y − x ) es múltiplo de 2. R es una relación de orden parcial. Existen dos elementos minimales: el 1 y el 2. Sin embargo, no existe ningún elemento mínimo, ya que (1, 2) ∉ R y (2, 1) ∉ R . Definición (Orden lexicográfico). Sea la secuencia de conjuntos (S 1, S 2, …, S n ), tal que cada S i es un cpo con relación de orden parcial R i . Orden lexicográfico es la relación de orden parcial R en S = S 1 × S 2 × … × S n tal que, dados cualesquiera dos elementos x = (x 1, . . . , x n ) e y = (y 1, . . . , y n ) de S, (x, y) ∈ R si y sólo si: ∃ i ∣ 1 ≤ i ≤ n , (∀ j ∣ 1 ≤ j < i , x j = y j ) ∧ (x i , y i ) ∈ R i . El orden lexicográfico es muy parecido al orden alfabético que se utiliza entre las palabras que aparecen en un diccionario de cualquier idioma, como vamos a ver con un ejemplo. Ejemplo. Sean los conjuntos S 1 = S 2 = S 3 = {a , b , c , d }. Sean las relaciones R 1, R 2 y R 3 tales que para todo x , y ∈ S i se cumple que (x , y ) ∈ R i si y sólo si x precede a y en el alfabeto del idioma español o castellano. Se puede comprobar que cada S i es un cpo con la relación R i . Veamos algún ejemplo de relación entre elementos según el orden lexicográfico R para S = S 1 × S 2 × S 3. Dados x = (a , c , c ) e y = (b , a , a ) se tiene que (x, y) ∈ R , ya que, según la notación de la definición de orden lexicográfico, x 1 = a , y 1 = b y (x 1, y 1) ∈ R 1. Además, dados x = (b , a , c ) y y = (b , c , a ) se tiene que (x, y) ∈ R , ya que: x 1 = b , y 1 = b , x 1 = y 1, x 2 = a , y 2 = c , y (x 2, y 2) ∈ R 1.
Definición (Relación de cobertura). Sea un cpo X con la relación R . Sea R ʹ el orden estricto inducido por R sobre X . La relación de cobertura de X es una relación R ʺ tal que para todo x ∈ X e y ∈ X , (x , y ) ∈ R ʺ si y sólo si
(x , y ) ∈ R ʹ, y no existe ningún z ∈ X que cumpla que (x , z ) ∈ R ʹ y (z , y ) ∈ R ʹ. Ejemplo. Sea el conjunto X = {a , b , c , d , e , f }. Sea la relación R en X dada por: R = {(a , a ), (a , b ), (a , c ), (a , d ), (a , e ), (a , f ), (b , b ), (b , f ), (c , c ), (c , d ), (c , e ), (c , f ), (d , d ), (d , f ), (e , e ), (e , f ), (f , f )} . La relación R es un orden parcial para X . El orden estricto inducido por R es la relación R ʹ dada por R ʹ = {(a , b ), (a , c ), (a , d ), (a , e ), (a , f ), (b , f ), (c , c ), (c , d ), (c , e ), (c , f ), (d , f ), (e , f )} . La relación de cobertura para X es: R ʺ = {(a , b ), (a , c ), (b , f ), (c , d ), (c , e ), (d , f ), (e , f )} . Teorema. Sea R una relación de orden parcial sobre X . Sea R ʹ la relación de cobertura sobre X . Sea R ʺ el cierre transitivo de R ʹ ∪ I X . Se cumple que R ʺ = R . De manera informal, según el teorema anterior, la relación de cobertura R ʺ es una “reducción” de la relación original R tal que si calculamos el cierre transitivo de R ʺ y le añadimos la relación de identidad entonces obtenemos la relación R . Se puede ver que en el ejemplo anterior la relación de cobertura R ʺ contenía 7 tuplas, mientras que la relación R contenía 16. Dicha reducción en el número de tuplas permite representar gráficamente R ʺ mediante un tipo especial de diagrama, como vamos a ver a continuación. Definición (Diagrama de Hasse). Sea R un orden parcial para X . Sea S la relación de cobertura para X . El diagrama de Hasse de X es un grafo en el que: cada x ∈ X aparece representado por un nodo, para cada x ∈ X e y ∈ X , si (x , y ) ∈ S entonces x aparece más abajo que y en el diagrama y los nodos de x e y están conectado por un segmento.
Ejemplo. Consideremos el conjunto X , la relación de orden parcial R y la relación de cobertura R ʺ del ejemplo anterior. Un diagrama de Hasse para X aparece en la figura siguiente. Se puede comprobar que el elemento mínimo es a , ya que es el que aparece más abajo; y el elemento máximo es f , que es el que aparece más arriba. A partir del diagrama de Hasse también es fácil ver relaciones entre elementos de la relación de partida R . Así, por ejemplo, dado que en el diagrama hay dos segmentos consecutivos, uno de c a e y otro de e a f , entonces, por la propiedad transitiva, sabemos que ( c , f ) ∈ R .
3.5.2 Notación infija en el uso de algunas relaciones muy comunes A partir de ahora vamos a suponer que el lector está familiarizado con los símbolos de relación = , ≤ , < , ≥ y > , que se utilizan para comparar la magnitud de los números naturales, enteros, racionales y reales. La relación correspondiente de algunos de esos símbolos se ha usado en varios ejemplos de este tema, como la relación “ser menor o igual que” ( ≤ ) o la relación “ser menor que” ( < ). Con dichos símbolos se suele utilizar notación infija , de forma que en lugar de escribir ( x , y ) ∈ R se suele escribir xRy . Así, por ejemplo, para indicar que la tupla (2, 5) pertenece a la relación < , en lugar de escribir la expresión (2, 5) ∈ < será más frecuente que escribamos 2 < 5.
4 Funciones Resumen Este capítulo trata los conceptos fundamentales de las funciones. Se presentan las definiciones básicas relacionadas con el concepto de función. Se diferencia entre funciones totales y parciales. Se muestran las distintas formas de representación de funciones. Se explican las operaciones más importantes, como son la composición y la función inversa. Se estudia la categorización de funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Se profundiza en el tema de la cardinalidad de conjuntos infinitos, un tema que no podía se tratado sin un conocimiento adecuado del concepto de función biyectiva. Finalmente, se estudia el concepto de homomorfismo y algunos tipos de homomorfismos.
4.1 Concepto de función Definición (Función y aridad). Sea n un número natural y sea la secuencia de conjuntos S = (X 1, X 2, …, X n , Y ). Una función es una relación R sobre S tal que para todo ( x 1, x 2, …, x n ) ∈ X 1 × X 2 × … × X n existe un único y ∈ Y tal que (x 1, x 2, …, x n , y ) ∈ R . La aridad de la función es n . Ejemplo. Sean los conjuntos X 1 = {1, 2}, X 2 = {5, 7} e Y = {3, 8, 9}. La relación R sobre X 1 × X 2 × Y dada por R = {(1, 5, 3), (1, 7, 8), (2, 5, 3), (2, 7, 9)} es una función. Su aridad es 2. Ejemplo. Sean los mismos conjuntos X 1, X 2 e Y del ejemplo anterior. La relación R sobre X 1 × X 2 × Y dada por: R = {(1, 5, 3), (1, 7, 8), (2, 5, 3), (2, 5, 9), (2, 7, 9)} no es una función, ya que para la tupla (2, 5) ∈ X 1 × X 2 hay dos elementos de Y , el 3 y el 9, tales que (2, 5, 3) y (2, 5, 9) pertenecen a R . Ejemplo. Sean los conjuntos X 1 = {1, 2}, X 2 = {5, 7} e Y = {3, 8, 9}. La relación R sobre X 1 × X 2 × Y dada por R = {(1, 5, 3), (1, 7, 8), (2, 7, 9)} no es una función, ya que para la tupla (2, 5) ∈ X 1 × X 2 no existe ningún y ∈ Y tal que (2, 5, y ) ∈ R . Como notación, para referirse a funciones se suelen emplear letras minúsculas comenzando a partir de la letra f y siguiendo el orden alfabético: f , g , h , etc. Si f es una relación definida en la secuencia de conjuntos ( X 1, X 2, …, X n , Y ) y f es una función, entonces se denota: f : X 1 × X 2 × … × X n → Y . Además, dados (x 1, x 2, …, x n ) ∈ X 1 × X 2 × … × X n e y ∈ Y , el hecho de que (x 1, x 2, …, x n , y ) estén relacionados mediante f se denota por f (x 1, x 2, …, x n ) = y . Finalmente, es habitual decir entonces que f es una función de X 1 × X 2 × … × X n en o a Y . Ejemplo. Considérense los conjuntos X 1, X 2 e Y y la relación R del ejemplo del comienzo de esta sección. Usando la notación
que acabamos de describir, la relación R , que es una función, se puede expresar usando la letra f y escribir como f : X 1 × X 2 → Y . Además, se tiene que f (1, 5) = 3, f (1, 7) = 8, f (2, 5) = 3 y f (2, 7) = 9. Definición (Dominio y codominio de una función). Sea la función f : X 1 × X 2 × …X n → Y . Entonces: El dominio de f es X 1 × X 2 × …X n . Se denota por Dom( f ). El codominio de f es Y . Se denota por Cod( f ). Ejemplo. Sean X 1 = {1, 2}, X 2 = {5, 7} e Y = {3, 8, 9}. Sea la función f : X 1 × X 2 → Y . Se tiene que Dom(f ) = X 1 × X 2 = {(1, 5), (1, 7), (2, 5), (2, 7)} y Cod(f ) = Y = {3, 8, 9}. Vamos a usar la notación de letras en minúscula y negrita, como x, para referirnos a tuplas como (x 1, x 2, …, x n ). Definición (Imagen de un elemento). Sean el conjunto Y y la función f : Dom(f) → Y . Dado un elemento x = (x 1, x 2, …, x n ) ∈ Dom(f ), se denomina imagen de x según f al elemento y ∈ Y tal que f (x) = y . Ejemplo. Vuelva al ejemplo del comienzo de esta sección y considere los conjuntos X 1, X 2 e Y , y la función f : X 1 × X 2 → que allí se vieron. Sea x = (1, 7) ∈ Dom(f ). La imagen de x según f es f (x) = 8. Definición (Imagen o rango de una función). Sea el conjunto Y y sea la función f : Dom(f ) → Y . La imagen o rango de f es el conjunto de elementos y ∈ Y para los que existe algún x = (x 1, …, x n ) ∈ Dom(f ) tal que f (x 1, …, x n ) = y . Se denota por Im(f ) ó Ran(f ). Por la definición anterior es fácil ver que Im( f ) ⊂ Cod(f). Ejemplo. Sean X = {1, 2, 3} e Y = {a , b , c , d }. Sea la función f : X → Y tal que f (1) = b , f (2) = d y f (3) = b . Se tiene que Im( f ) = {b , d }.
Definición (Preimagen de un elemento). Sea la función f : Dom(f ) → Y . Sea un elemento y ∈ Y . Preimagen de y según f es un elemento x ∈ Dom(f ) tal que f (x) = y . Ejemplo. Sean X = {1, 2, 3} e Y = {a , b , c , d }. Sea la función f : X → Y tal que f (1) = b , f (2) = d y f (3) = b . Se tiene que una preimagen de b es 1. Por su parte, una preimagen de d es 2. Ejemplo. Sea la función f dada por la relación R del ejemplo del comienzo de esta sección. Una preimagen de 8 es (1, 7), ya que f (1, 7) = 8. Ejemplo. Sean X = {1, 2, 3} e Y = {a , b }. Sea f : X → Y tal que f (1) = b , f (2) = a y f (3) = b . Una preimagen de b es 1, ya que f (1) = b . No obstante, el 1 no es la única preimagen de b , pues el 3 también lo es, ya que f (3) = b .
4.2 Funciones parciales y totales. Funciones especiales: identidad y constante Definición (Funciones parciales y totales). Sean dos conjuntos e Y , y sea X ʹ un subconjunto de X . Una función parcial de X en es una función f : X ʹ → Y . Una función total de X en Y es una función f : X → Y . En la definición anterior, por simplicidad en la notación hemos escrito un solo conjunto X , aunque X podría representar el producto cartesiano de otros conjuntos, tal y como hemos visto en ejemplos anteriores. Proposición. Toda función total es parcial. Ejemplo. Sean X = {1, 2, 3} e Y = {a , b , c , d }. Sea la función f : X → Y tal que f (1) = b , f (2) = d y f (3) = b . Dicha función es total. Ejemplo. Sean X = {1, 2, 3} e Y = {a , b , c , d }. Sea X ʹ = {2, 3}, y sea la función g : X ʹ → Y dada por g (2) = a y g (3) = c . Dado que X ʹ ⊂ X , g es una función parcial de X en Y ; además, g no es una función total de X en Y , ya que X ʹ ≠ X . Definición (Función identidad). Sea un conjunto X . Función identidad en X es la función f : X → X tal que para todo x ∈ X se cumple que f (x ) = x . Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 2, 3}. La función identidad para X es f : X → X tal que f (1) = 1, f (2) = 2 y f (3) = 3. Definición (Función constante). Sean dos conjuntos X e Y , siendo Y ≠ ∅. Sea y ∈ Y. Función constante es una función f : X → Y tal que para todo x ∈ X se cumple que f (x ) = y . Ejemplo. Sean los conjuntos X = {1, 2, 3} e Y = {a , b , c , d }. Una función constante para X es f : X → Y tal que f (1) = b , f (2) = b y f (3) = b .
4.3 Representación formal y gráfica de funciones Vamos a ver cómo representar las funciones mediante tres formas distintas: tablas, curvas y grafos.
4.3.1 Representación mediante tablas Las funciones que tienen dominio finito se pueden representar mediante una tabla. Así, sea un conjunto Y y sea una función f : Dom(f ) → Y de aridad n . La función f se puede representar mediante una tabla de n + 1 columnas y ∣Dom(f )∣ + 1 filas. La primera fila queda reservada para el encabezado de la tabla. Cada una de las demás filas contiene un elemento distinto x ∈ Dom(f ), que ocupa las celdas de las n primeras columnas, y en la celda de la n + 1-ésima columna aparece f (x). Ejemplo. Sean los conjuntos X 1, X 2 e Y y la función f del ejemplo del comienzo de este capítulo. La tabla de la siguiente figura representa la función f .
4.3.2 Representación mediante curvas Las funciones cuyo rango y dominio son los números reales suelen representarse mediante curvas. En el caso de funciones de R en R (aridad 1) se usa una representación en el plano euclídeo, como vamos a ver a continuación. Ejemplo. En la siguiente figura aparecen representadas varias funciones de R en R. Por definición, para cada función sólo puede haber un único valor f (x ) para cada x . La figura muestra dos ejes de coordenadas: uno para x y otro para f (x ). El origen de coordenadas, el punto (0, 0), aparece señalado con una cruz. Según el eje de la coordenada x (llamado eje de abscisas ), los valores de x crecen hacia la derecha, mientras que decrecen hacia la izquierda. En cuanto al eje de f (x ) (llamado eje de ordenadas ), los valores de f (x ) decrecen hacia abajo y crecen hacia arriba. Se ha dibujado una cuadrícula para ayudar a la visualización de las funciones. Se puede comprobar la forma de algunas funciones cuyo tipo ya se ha visto anteriormente: la función f (x ) = x , que es la función identidad, o la función f (x ) = 5 / 4, que es una función constante.
Para funciones de aridad mayor que 1 no basta con una representación como la de la figura. No obstante, para funciones de R × R en R (aridad 2) se utiliza el espacio euclídeo, por lo que en este caso se tiene una representación en 3 dimensiones.
4.3.3 Representación mediante grafos Dado que toda función es una relación, cualquier función de un conjunto X en sí mismo se puede representar mediante un grafo de relación, como se verá en el tema de grafos. De la misma forma, una función de un conjunto X en un conjunto Y , por ser una relación de X en Y , se puede representar mediante un grafo como vimos en el tema anterior. Veamos un ejemplo.
Ejemplo. Sean X = {1, 2, 3, 4} e Y = {a , b , c , d }. La siguiente figura muestra una función f de X en Y tal que f (1) = b , f (2) = a , f (3) = d , f (4) = b .
Además, con esta representación gráfica es muy fácil ver si una relación de X en Y es una función, ya que tiene que cumplirse que para cada nodo de X salga exactamente una flecha.
4.4 Propiedades de funciones Definición (Función inyectiva). Sean X e Y dos conjuntos, y sea la función f : X → Y . Se dice que f es inyectiva si para todo x 1 y x 2 pertenecientes a X tales que x 1 ≠ x 2 se cumple que f (x 1) ≠ f (x 2). Ejemplo. Sean X = {1, 2, 3} e Y = {a , b , c , d }. Sea la función f : X → Y tal que f (1) = c , f (2) = b y f (3) = a . Se cumple que f es inyectiva, ya que f (1) ≠ f (2), f (2) ≠ f (3) y f (1) ≠ f (3). Ejemplo. En cambio, sea la función g : X → Y dada por: g (1) = c , g (2) = b y g (3) = c . Se cumple que g no es inyectiva, ya que g (1) = g (3). Teorema. Sean X e Y dos conjuntos finitos. Existe una función inyectiva de X a Y si y sólo si ∣X ∣ ≤ ∣Y ∣. La representación gráfica vista en el último apartado de la sección anterior es muy útil para ayudarnos a ver si una función de X en Y es inyectiva, ya que para que sea inyectiva tiene que cumplirse que para cada nodo de Y llegue a lo sumo una flecha, o expresado de otra forma, que no haya ningún nodo en Y al que llegue más de una flecha. Definición (Función sobreyectiva o suprayectiva). Sean X e dos conjuntos, y sea la función f : X → Y . Se dice que f es sobreyectiva o suprayectiva si para todo y ∈ Y existe un x ∈ tal que f (x ) = y . Teorema. Sean X e Y dos conjuntos, y sea la función f : X → Y . Se cumple que f es sobreyectiva si y sólo si Im( f ) = Y . Ejemplo. Sean X = {1, 2, 3} e Y = {a , b }. Sea la función f : X → tal que f (1) = a , f (2) = b y f (3) = a . Para a ∈ Y se tiene que f (1) = a (también se tiene que f (3) = a ), y para b ∈ Y se tiene f (2) = b . Por tanto, f es sobreyectiva. Teorema. Sean X e Y dos conjuntos finitos. Existe una función sobreyectiva de X a Y si y sólo si ∣X ∣ ≥ ∣Y ∣.
Ejemplo. Sean X = {1, 2, 3} e Y = {a , b , c , d }. Sea la función f : X → Y tal que f (1) = c , f (2) = b y f (3) = a . f no es sobreyectiva, ya que no existe ningún x ∈ X tal que f (x ) = d . La representación gráfica vista en el último apartado de la sección anterior es muy útil para ayudarnos a ver si una función de X en Y es sobreyectiva, ya que para que sea sobreyectiva tiene que cumplirse que para cada nodo de Y debe llegar al menos una flecha. Definición (Función biyectiva o biyección). Sean X e Y dos conjuntos y sea la función f : X → Y . Se dice que f es biyectiva o una biyección si es inyectiva y sobreyectiva. Ejemplo. Sean X = {1, 2, 3} e Y = {a , b , c }. Sea la función f : X → Y tal que f (1) = b , f (2) = c y f (3) = a . Se cumple que f es inyectiva y sobreyectiva. Por tanto, f es biyectiva. Teorema. Sean X e Y dos conjuntos finitos. Existe una función biyectiva f de X a Y si y sólo si ∣X ∣ = ∣Y ∣. La representación gráfica vista en el último apartado de la sección anterior es muy útil para ayudarnos a ver si una función de X en Y es biyectiva, ya que para que sea biyectiva tiene que cumplirse que para cada nodo de Y llega exactamente una flecha.
4.5 Construcción de nuevas funciones Definición (Composición de funciones). Sean tres conjuntos X , Y y Z , y sean las funciones f : X → Y y g : Y → Z . La composición de f y g es la función h : X → Z tal que para todo x ∈ X se tiene que h (x ) = g (f (x )). Ejemplo. Sean X = {1, 2, 3}, Y = {a , b , c , d } y Z = {t , u , v , w }. Sea la función f : X → Y tal que f (1) = d , f (2) = c y f (3) = b . Sea g : Y → Z tal que g (a ) = u , g (b ) = v , g (c ) = w y g (d ) = u . La composición de f y g es h : X → Z tal que: para x = 1 se tiene que h (1) = g (f (1)) = g (d ) = u ; para x = 2 se tiene que h (2) = w ; y para x = 3 tenemos que h (3) = v . Definición (Función inversa). Sea una función f : X → Y que es biyectiva. La función inversa de f , que se denota f − 1, es la función f − 1: Y → X tal que la composición de f y f − 1 es la función identidad. Ejemplo. Sean X = {1, 2, 3} e Y = {a , b , c }. Sea la función f : X → Y tal que f (1) = b , f (2) = c y f (3) = a . Dado que f es biyectiva, se puede definir su inversa. La inversa de f es f − 1: Y → X y viene dada por: f − 1(b ) = 1, f − 1(c ) = 2 y f − 1(a ) = 3. Ejemplo. Sea la función f : R → R dada por f (x ) = 3x + 7. Dado que f es biyectiva, se puede definir su inversa. La inversa de f es f − 1: R → R y viene dada por f − 1(y ) = (1 / 3) ( y − 7). Ejemplo. Sea la función f : R → R dada por f (x ) = x 2. Dado que no es inyectiva, tampoco es biyectiva, y por tanto no se puede definir su inversa. Teorema. Sea una función biyectiva f . Entonces f − 1 es biyectiva y su función inversa es f .
4.5.1 Clases especiales de funciones Hay que destacar una clase especial de funciones, que son las funciones aritméticas: suma, resta, producto y división. Suelen definirse sobre los conjuntos de números naturales, enteros, reales, etc. También tenemos funciones como la potencia, la exponenciación, logaritmos, etc. Todas estas funciones se estudian en Bachillerato. Dichas funciones se suelen utilizar para construir funciones más complejas mediante la operación de composición. Es lo que se hizo en un ejemplo en el que la función f (x ) = 3x + 7 se compuso con otras funciones como la suma y el producto. Ahora vamos a definir aquí varias funciones especiales que son muy importantes en Informática. Definición (Función mínimo). Sea S un conjunto de números. La función mínimo es la función parcial de P( S ) en S , denotada por min, tal que para todo X ∈ P(S ), si existe un y ∈ X que es mínimo de X según la relación ≤ , entonces minX = y . Hay que resaltar dos aspectos acerca de la definición anterior: 1. Se ha utilizado el hecho que se vio cuando se estudiaron las relaciones de orden parcial acerca de que si el elemento mínimo existe entonces es único. 2. Se ha indicado que la función min es parcial, ya que pueden existir elementos de P(S ) para los que min no está definida, como vamos a ver ahora con un ejemplo. Ejemplo. Consideremos la función min y sea S el conjunto de los números reales. Supongamos que tomamos el elemento X = {1. 5, 2. 4, − 7. 3}, que es un subconjunto de S , es decir, X ∈ P(S ). En este caso la función min está definida y asignaría el valor − 7. 3. Para cualquier otro conjunto finito la función min también nos devuelve un valor. En cambio, si tomamos el conjunto X formado por los números reales negativos entonces la función min no nos puede devolver ningún número real, por lo que para este X la función no está definida.
Definición (Función máximo). Sea S un conjunto de números. La función máximo es la función parcial de P( S ) en S , denota por max, tal que para todo X ∈ P(S ), si existe un y ∈ X que es máximo de X según la relación ≤ , entonces maxX = y . Al igual que cuando se definió la función mínimo, aquí se ha utilizado el hecho que se vio anteriormente de que si el elemento máximo existe entonces es único y se ha indicado que la función máximo es parcial. Ejemplo. Consideremos la función max y sea S el conjunto de los números reales. Supongamos que tomamos el elemento X = 1. 5, 2. 4, − 7. 3}, que es un subconjunto de S , es decir, X ∈ P(S ). En este caso la función max está definida y asignaría el valor 2. 4. Para cualquier otro conjunto finito la función max también nos devuelve un valor. En cambio, si tomamos el conjunto X formado por los números reales positivos entonces la función max no nos puede devolver ningún número real, por lo que para este valor de X la función no está definida. Definición (Función parte entera). La función parte entera es una función de R en Z, denotada con las barras ⌊ y ⌋, tal que a cada número real x le asigna el valor ⌊x ⌋ = max{y ∈ Z ∣ y ≤ x }. Ejemplo. Se tiene que ⌊2. 39⌋ = 2, ⌊π ⌋ = 3, ⌊ − 1. 03⌋ = − 2 y ⌊5⌋ = 5. Definición (Función signo). La función signo es una función de R en el conjunto { − 1, 0, 1}, denotada sign( x ) para indicar el signo de x ∈ R, y que a cada número real x le asigna el valor: − 1, si x < 0; 0, si x = 0; 1, si x > 0. Ejemplo. Se tiene que sign(0) = 0, sign( − 2. 15) = − 1 y sign(4. 78) = 1. Definición (Función división entera). La función división entera
es una función de R × (R \ {0}) en el conjunto R, denotada como div, que para todo x ∈ R e y ∈ R \ {0} se define con notación infija como x divy = ⌊x / y ⌋. Ejemplo. Se tiene que: 13div4 = ⌊13 / 4⌋ = 3, ( − 6. 3)div5 = ⌊( − 6. 3) / 5⌋ = − 2, 21. 7div( − 4) = ⌊21. 7 / ( − 4) ⌋ = − 6 y 7div0 no está definido. Definición (Función módulo). La función módulo es una función de R × (R \ {0}) en el conjunto Z, denotada con mod, que para todo x ∈ R e y ∈ R \ {0} se define como x mody = x − (x divy ) y . Ejemplo. Se tiene que: 13mod4 = 1, ( − 6. 3)mod5 = 3. 7, 21. 7mod( − 4) = − 2. 3 y 7mod0 no está definido.
4.6 Conceptos avanzados de cardinalidad de conjuntos En el tema de Teoría de Conjuntos se definió el concepto de cardinalidad de conjuntos finitos. En ese caso el cardinal de un conjunto es un número que indica cuántos elementos hay en el conjunto. Para un conjunto X finito, su cardinalidad se denotaba como ∣X ∣. Además, se vieron varios teoremas que, dados dos conjuntos finitos X e Y , relacionaban la existencia de función biyectiva, inyectiva y sobreyectiva con el hecho de que ∣X ∣ fuera igual, menor o igual, o mayor o igual que ∣Y ∣ respectivamente. En el caso de un conjunto infinito no es posible dar un número que indique cuántos elementos contiene. En su lugar, vamos a establecer distintas relaciones que nos permitan comparar la cardinalidad, entendida como tamaño, de los conjuntos, ya sean finitos o infinitos. Vamos a seguir utilizando los símbolos de cardinalidad (∣ ∣) y los símbolos de comparación = , ≤ , < , etc. Para estos símbolos, cuyo significado se va a definir aquí de forma más amplia, no va a haber ambigüedad en la notación ya que el resultado de la comparación de la cardinalidad de dos conjuntos finitos es idéntica si se hace a través de las subsiguientes definiciones o a través de la comparación de ∣X ∣ e ∣Y ∣ entendiendo éstos como el número de elementos de cada conjunto. Sin embargo, las siguientes definiciones son imprescindibles para poder comparar la cardinalidad de conjuntos cuando uno de ellos es infinito. Definición (Conjuntos equipotentes o tener la misma cardinalidad). Dados dos conjuntos X e Y , X e Y son equipotentes o tienen la misma cardinalidad si existe una biyección de X en Y . Se denota por ∣X ∣ = ∣Y ∣. Si no son equipotentes se denota por ∣X ∣ ≠ ∣Y ∣. Ejemplo. Sea X el conjunto de los números naturales pares y sea Y el conjunto de los números naturales impares. Sea la función f : X → Y dada por f (x ) = x − 1. Se puede probar que f es una biyección de X en Y . Por tanto, X e Y son equipotentes, es decir, ∣X ∣ = ∣Y ∣.
Definición (Tener menor o igual cardinalidad). Sean dos conjuntos X e Y . X tiene menor o igual cardinalidad que Y si existe una función inyectiva de X en Y . Se denota por ∣X ∣ ≤ ∣Y ∣. Ejemplo. Sea el conjunto X de los números naturales menores de 100 y sea el conjunto de los números naturales N. Sea la función f : X → N dada por f (n ) = n . Se puede probar que f es inyectiva. Por tanto, ∣X ∣ ≤ ∣N∣. Definición (Tener menor cardinalidad). Dados dos conjuntos X e Y . X tiene menor cardinalidad que Y si ∣X ∣ ≤ ∣Y ∣ pero ∣X ∣ ∣Y ∣. Se denota por ∣X ∣ < ∣Y ∣. Teorema. La relación “ser conjuntos equipotentes” es una relación de equivalencia. Teorema. La relación “tener menor o igual cardinalidad” es una relación de orden parcial. Teorema. La relación “tener menor cardinalidad” es una relación de orden estricto. Proposición. Sea X un conjunto finito y sea n = ∣X ∣. Sea el conjunto Y = {1, 2, . . . , n }. Se cumple que ∣X ∣ = ∣Y ∣. La demostración de la proposición anterior es trivial. Dado un conjunto finito X , ordenamos sus elementos en una lista, comenzando en la posición 1 y terminando en n = ∣X ∣, y a cada elemento de X hacemos que f le asigne la posición que ocupa en la lista. Se cumple que f es biyectiva. Proposición. Sea X un conjunto finito. Se tiene que ∣N∣.
∣X ∣ <
Teorema. No existe ningún conjunto infinito X que cumpla que ∣X ∣ < ∣N∣. Definición (Cardinalidad de N). La cardinalidad del conjunto ∣N∣ se denota por ℵ0.
Proposición (Cardinalidad de Z). Se cumple que
∣Z∣ =
.
ℵ0
Vamos a ver un ejemplo de función biyectiva de N a Z. Ejemplo. Sea la función f : N → Z tal que f (n ) se define así: Si n es impar entonces f (n ) = ⌊n / 2⌋. Si n es par entonces f (n ) = − ⌊n / 2⌋. Una definición alternativa y equivalente para f sería f (n ) = ( − 1)n + 1 ⌊n / 2⌋. La figura siguiente muestra una representación gráfica de la función f , en la que se han dibujado sólo los primeros valores de f (n ). En dicha figura se puede intuir que f es biyectiva, pues al 1 le asigna el valor a 0 y a partir del 2 va asignando de forma alternada números negativos y positivos en secuencia de valor absoluto: − 1, 1, − 2, 2, − 3, 3, etc.
Definición (Conjunto numerable). Sea X un conjunto. Se dice que X es numerable si ∣X ∣ ≤ ℵ0. Si un conjunto no es numerable se denomina no numerable . Ejemplo. Anteriormente hemos visto que los conjuntos N y Z tienen cardinalidad ℵ0. Por tanto, ambos son numerables. Teorema. Todo conjunto finito es numerable. Teorema. Sea X un conjunto infinito y numerable. Se tiene que
∣X ∣ =
.
ℵ0
Teorema (Teorema de Cantor). Sea X un conjunto, cuyo conjunto potencia es P(X ). Se cumple que ∣X ∣ < ∣P(X )∣. Teorema. ∣R∣ = ∣P(N)∣. Corolario. ∣N∣ < ∣R∣. Teorema. No existe ningún conjunto X que cumpla que ∣X ∣ y ∣X ∣ < ∣R∣.
∣N∣ <
Definición (Cardinalidad de R). La cardinalidad de R se denota por ℵ1. Hemos establecido un orden entre las cardinalidades de los conjuntos con los que trabajamos en este libro. Para cualquier conjunto finito X se tiene que ∣X ∣ < ℵ0. Finalmente, se tiene que ℵ0 < ℵ1. Además, hemos visto que ∣N∣ = ∣Z∣ = ℵ0, y ∣R∣ = ℵ1.
4.7 Homomorfismos Definición (Homomorfismo). Sean dos funciones f : X → X y g : Y → Y . Se dice que f y g son homomorfas si existe una función h : X → Y tal que g (h (x )) = h (f (x )), y entonces h es un homomorfismo.
Ejemplo. Sean las funciones f : R → R y g : R → R tales que, para todo x ∈ R se cumple que f (x ) = x − 3, y para todo y ∈ R se tiene que g (y ) = y − 1. Tomemos la función h : R → R tal que para todo x ∈ R se cumple que h (x ) = ⌊x / 3⌋. Se puede comprobar que para todo x se tiene que h (f (x )) = ⌊x / 3⌋ − 1 = g (h (x )). Por tanto, f y g son homomorfas y h es su homomorfismo. Definición (Isomorfismo). Sean dos funciones f : X → X y g : Y → Y que son homomorfas, y sea h su homomorfismo. Se dice que f y g son isomorfas si h es biyectiva, y entonces h es su isomorfismo . Ejemplo. Sean los conjuntos X = {1, 2, 3} e Y = {a , b , c }. Sean las funciones f : X → X y g : Y → Y tales que: f (1) = 2, f (2) = 2, f (3) = 1, g (a ) = a , g (b ) = c , g (c ) = a .
Tomemos la función h : X → Y tal que h (1) = c , h (2) = a y h (3) = b . Veamos para todo x ∈ X se tiene que h (f (x )) = g (h (x )): Para x = 1 tenemos que h (f (1)) = h (2) = a , y g (h (1)) = g (c ) = a . Para x = 2 se tiene que h (f (2)) = h (2) = a , y g (h (2)) = g (a ) = a . Para x = 3 se cumple que h (f (3)) = h (1) = c , y g (h (3)) = g (b ) = c . Dado que la función h es biyectiva, podemos afirmar que f y g son isomorfas y que h es un isomorfismo.
Ejemplo. Sean las funciones f , g y h del ejemplo de homomorfismo visto al comienzo de esta subsección. Se puede comprobar que h no es un isomorfismo, ya que no es una función biyectiva. Definición (Endomorfismo). Sean dos funciones f : X → X y g : Y → Y que son homomorfas, y sea h su homomorfismo. Si X = entonces se dice que f y g son endomorfas, y que h es un endomorfismo. Ejemplo. Sean las funciones f , g y h del ejemplo de homomorfismo visto al comienzo de esta subsección. Se vio que y g son homomorfas y que h es un homomorfismo. Dado que f y g están definidas sobre R, se puede afirmar que f y g son endomorfas, y que h es un endomorfismo. Definición (Automorfismo). Sean dos funciones f : X → X y g : Y → Y que son isomorfas, y sea h su isomorfismo. Si X = entonces se dice que f y g son automorfas , y que h es un automorfismo . Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 2, 3}. Sean las funciones f : X → X y g : X → X tales que: f (1) = 2, f (2) = 2, f (3) = 1, g (1) = 1, g (2) = 3, g (3) = 1.
Tomemos la función h : X → Y tal que h (1) = 3, h (2) = 1 y h (3) = 2. Veamos que para todo x ∈ X se tiene que h (f (x )) = g (h (x )): Para x = 1 tenemos que h (f (1)) = h (2) = 1, y g (h (1)) = g (3) = 1. Para x = 2 se tiene que h (f (2)) = h (2) = 1, y g (h (2)) = g (1) = 1. Para x = 3 se cumple que h (f (3)) = h (1) = 3, y g (h (3)) = g (2) = 3. Dado que la función h es biyectiva, podemos afirmar que f y g son isomorfas y que h es un isomorfismo. Además, como f y g
son funciones de X en X entonces decimos que f y g son automorfas, y que h es un automorfismo.
5 Combinatoria Resumen Este capítulo trata los fundamentos de la Combinatoria. Se presentan los principios básicos de la Combinatoria. Se estudian las funciones más importantes que se utilizan en Combinatoria. Finalmente se estudian las distintas formas de agrupamiento— variaciones, combinaciones y permutaciones— en dos modalidades—con repetición y sin repetición.
5.1 Principios básicos de la Combinatoria Definición (Combinatoria). La Combinatoria es la rama de las Matemáticas que se encarga de estudiar el recuento de elementos de los conjuntos y las propiedades que los relacionan. Ejemplo. Un ejemplo típico de problema que resuelve la Combinatoria consiste en contar el número de apuestas distintas que se puede realizar en un juego como la Lotería Primitiva, la Quiniela o la Bono Loto. Teorema (Principio o regla de la suma). Sea n ∈ N y sean S 1, S 2, …, S n una colección de conjuntos finitos tales que para cualesquiera i y j , siendo 1 ≤ i < j ≤ n , S i y S j son disjuntos. Se cumple que: ∣S 1 ∪ S 2 ∪ … ∪ S n ∣ = ∣S 1∣ + ∣S 2∣ + … + ∣S n ∣ . Ejemplo. Sean los conjuntos S 1 = {1, 2, 3}, S 2 = {a , b } y S 3 = {4, 6, 8, 10, 12, 14}. Se puede comprobar que S 1 y S 2 son disjuntos, S 2 y S 3 también lo son, al igual que S 1 y S 3. Por el principio de la suma se tiene que: ∣S 1 ∪ S 2 ∪ S 3∣ = ∣S 1∣ + ∣S 2∣ + ∣S 3∣ = 3 + 2 + 6 = 11 . Se puede comprobar que dicho valor coincide con el cardinal de S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 = {1, 2, 3, a , b , 4, 6, 8, 10, 12, 14} . Teorema (Principio o regla de inclusión-exclusión). Sea n ∈ N, y sean S 1, S 2, …, S n una colección de conjuntos finitos. Se cumple que: ∣S 1 ∪ S 2 ∪ … ∪ S n ∣ = ∑ i = 1n ∣S i ∣ − ∑ i , j : 1 ≤ i < j ≤ n n ∣S i n ∣S ∩ S ∩ S ∣ + … + ( − 1)n − ∩ S ∣ + ∑ j i , j , k : 1 ≤ i < j < k ≤ n i j k 1∣S ∩ … ∩ S ∣ . n 1
Corolario. Sean S 1 y S 2 dos conjuntos finitos. Se cumple que: ∣S 1 ∪ S 2∣ = ∣S 1∣ + ∣S 2∣ − ∣S 1 ∩ S 2∣ . Ejemplo. Sean los conjuntos S 1 = {1, 2, 3, 4, 5} y S 2 = {2, 4, 6, 8,
10, 12}. Se tiene que S 1 ∩ S 2 = {2, 4}. Entonces, ∣S 1 ∪ S 2∣ = ∣S 1∣ + ∣S 2∣ − ∣S 1 ∩ S 2∣ = 5 + 6 − 2 = 9. Se puede comprobar que coincide con el cardinal de S 1 ∪ S 2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12} . Corolario. Sean S 1, S 2 y S 3 tres conjuntos finitos. Se cumple que: ∣S 1 ∪ S 2 ∪ S 3∣ = ∣S 1∣ + ∣S 2∣ + ∣S 3∣ − ∣S 1 ∩ S 2∣ − ∣S 1 ∩ S 3∣ − ∣S 2 ∩ S 3∣ + ∣S 1 ∩ S 2 ∩ S 3∣ . Ejemplo. Sean los conjuntos S 1 = {1, 2, 3, 4}, S 2 = {2, 4, 6, 8} y S 3 = {2, 3, 5, 7, 11}. Se tiene que S 1 ∩ S 2 = {2, 4}, S 1 ∩ S 3 = {2, 3}, S 2 ∩ S 3 = {2} y S 1 ∩ S 2 ∩ S 3 = {2}. Entonces, siguiendo la fórmula del corolario anterior, ∣S 1 ∪ S 2 ∪ S 2∣ = 4 + 4 + 5 − 2 − 2 − 1 + 1 = 9. Se puede comprobar que coincide con el cardinal de S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11}. La regla de inclusión-exclusión generaliza la regla de la suma, ya que la regla de la suma sólo se aplica para el caso particular de que los conjuntos sean disjuntos dos a dos. Teorema (Principio o regla del producto). Sea n ∈ N, y sean S 1, S 2, …, S n una colección de conjuntos finitos. Se cumple que ∣S 1 × S 2 × … × S n ∣ = ∣S 1∣ ∣S 2∣ … ∣S n ∣. Ejemplo. Sean los conjuntos S 1 = {1, 2}, S 2 = {a , b , c } y S 3 = {4, 5}. Se tiene que ∣S 1∣ ∣S 2∣ ∣S 3∣ = 2 3 2 = 12 . Se puede comprobar que coincide con el cardinal de S 1 × S 2 × S 3 = {(1, a , 4), (1, a , 5), (1, b , 4), (1, b , 5), (1, c , 4), (1, c , 5), (2, a , 4), (2, a , 5), (2, b , 4), (2, b , 5), (2, c , 4), (2, c , 5)} . Ejemplo. Una persona abre su armario por la mañana y no sabe qué ropa ponerse. Se pregunta a sí misma de cuántas formas distintas podría vestirse. Resulta que tiene 7 camisas, 5 pantalones, 1 reloj, 2 corbatas, 3 chaquetas y 4 pares de zapatos. Dado que quiere vestirse con una camisa, un pantalón, un reloj, una corbata, una chaqueta y unos pares de zapatos, el número de formas distintas de vestirse es 7 5 1 2 3 4 = 840 .
5.2 Funciones importantes en Combinatoria Definición (Factorial de un número). La función factorial es una función de N ∪ {0} en N, que se denota por n ! para indicar el factorial de n , y que se define así: Si n = 0, 0! = 1 Si n ≥ 1, n ! = n ( n − 1) … 2 1 Ejemplo. Se ha visto que 0! = 1. Para el factorial de 5 tenemos que 5! = 5 4 3 2 1 = 120 . Una definición equivalente para el factorial de los números naturales consiste en utilizar la fórmula n ! = n ( n − 1)! si n ≥ 1. Ejemplo. Dado que hemos visto anteriormente que 5! = 120, el factorial de 6 se puede calcular como 6! = 6 5! = 6 120 = 720 . Definición (Número combinatorio). Sean dos números m y n tales que m ∈ N ∪ {0}, n ∈ N ∪ {0}, y n ≤ m . Se denomina número combinatorio de m sobre n , y se denota por Binom( m , n ), al valor: Binom(m , n ) = m ! / (n ! ( m − n )!) . El nombre de Binom viene del hecho de que Binom( m , n ) se conoce también como coeficiente binomial , y es igual al coeficiente de x n en el desarrollo polinómico que corresponde al binomio (x + 1) elevado a m : (x + 1)m . Ejemplo. Sean m = 9 y n = 4, entonces tenemos que Binom(m , n ) = 9! / (4! (9 − 4)!) = 9! / (4! 5!) = 126 . Coincide con el coeficiente de x 4 en el desarrollo polinómico de ( x + 1)9. Proposición. Sean m ∈ N ∪ {0} y n ∈ N ∪ {0}, tales que n ≤ m . Se cumple que: Binom(m , n ) = Binom(m , m − n ) . Ejemplo. Si tomamos m = 9 y n = 4, como en el ejercicio anterior,
tenemos que Binom( m , m − n ) = 9! / (5! (9 − 5)!) = 9! / (5! 4!) = 126, que coincide con el valor de Binom( m , n ) que obtuvimos en dicho ejercicio.
5.3 Formas de agrupamiento Vamos a ver distintas formas de agrupación. Si bien se mostrarán ejemplos de formas de agrupamiento, el lector no tiene que preocuparse de generar dichos conjuntos, cuyo tamaño puede ser enorme en algunos casos; pensemos por ejemplo en el número de combinaciones de la lotería primitiva. Lo esencial es que ante un problema real el lector aprenda a identificar el tipo de forma de agrupamiento que permite resolverlo y sepa aplicar la fórmula que calcula el cardinal.
5.3.1 Variaciones Definición (Variaciones sin repetición). Sea S un conjunto finito no vacío, sea n = ∣S ∣, y sea r ∈ N tal que 1 ≤ r ≤ n . Se denominan variaciones sin repetición o simplemente variaciones de n elementos (de S ) tomados de r en r , al conjunto formado por todas las r -tuplas distintas que se pueden formar con elementos de S tales que se cumplen las siguientes dos condiciones: en cada tupla no se repite ningún elemento de S , y dos tuplas (x 1, x 2, …x r ) e (y 1, y 2, …, y r ) se consideran distintas si existe algún i tal que 1 ≤ i ≤ r y x i ≠ y i . El cardinal del conjunto de variaciones sin repetición de n elementos tomados de r en r se denota por Vn , r . Una consecuencia de la segunda condición de la definición anterior es que dos tuplas que tengan los mismos elementos se consideran distintas si los elementos que aparecen en ellas son iguales pero en distinto orden. Ejemplo. Sea S = {a , b , c , d , e }, y sea r = 2. Se tiene que n = ∣S ∣ = 5. El conjunto de variaciones de 5 elementos de S tomados de 2 en 2 es: (a , b ), (a , c ), (a , d ), (a , e ), (b , a ), (b , c ), (b , d ), (b , e ), (c , a ), (c , b ), (c , d ), (c , e ), (d , a ), (d , b ), (d , c ), (d , e ), (e , a ), (e , b ), (e , c ), (e , d )} .
Proposición. Sea S un conjunto finito no vacío, sea n = ∣S ∣, y sea r ∈ N tal que 1 ≤ r ≤ n . Se cumple que: Vn , r = n ! / (n − r )! . Ejemplo. Para el ejemplo anterior, dado que n = 5 y r = 2, se tiene que V5, 2 = 5! / (5 − 2)! = 5! / 3! = 20. Ejemplo. En un deporte olímpico compiten 10 participantes en la prueba final. Queremos saber de cuántas maneras puede estar formado el podio, que consta de 3 medallas: oro, plata y bronce. Se trata de encontrar todas las 3-tuplas distintas, escogidas del conjunto de 10 elementos; además, en cada tupla el orden es importante. Se trata entonces de calcular el número de variaciones sin repetición. En este caso tenemos que el número variaciones sin repetición de 10 elementos tomados de 3 en 3 es V10, 3 = 10! / (10 − 3)! = 10! / 7! = 10 9 8 = 720 . Definición (Variaciones con repetición). Sea S un conjunto finito no vacío, sea n = ∣S ∣, y sea r ∈ N. Se denominan variaciones con repetición de n elementos tomados de r en r al conjunto formado por todas las r -tuplas distintas que se pueden formar con elementos de S tales que: en cada tupla se permite que se repitan elementos de S , y dos tuplas (x 1, x 2, …x r ) e (y 1, y 2, …, y r ) se consideran distintas si existe algún i tal que 1 ≤ i ≤ r y x i ≠ y i . El cardinal del conjunto de variaciones con repetición de n elementos tomados de r en r se denota VRn , r . Ejemplo. Sea S = {a , b , c , d , e }, y sea r = 2. Se tiene que n = ∣S ∣ = 5. El conjunto de variaciones con repetición de 5 elementos de S tomados de 2 en 2 es: (a , a ), (a , b ), (a , c ), (a , d ), (a , e ), (b , a ), (b , b ), (b , c ), (b , d ), (b , e ), (c , a ), (c , b ), (c , c ), (c , d ), (c , e ), (d , a ), (d , b ), (d , c ), (d , d ), (d , e ), (e , a ), (e , b ), (e , c ), (e , d ), (e , e )} . Proposición. Sea S un conjunto finito no vacío, sea n = ∣S ∣, y sea r ∈ N. Se cumple que:
VRn , r = n r . Ejemplo. Para el ejemplo anterior, dado que n = 5 y r = 2, se tiene que VR5, 2 = 52 = 25. Ejemplo. Supongamos que el alfabeto de un idioma estuviera formado por las letras del conjunto X = {a , b , c , d , e }, y queremos saber cuántas palabras distintas de longitud 4 se pueden construir con letras de ese alfabeto. Una misma letra puede aparecer repetida cualquier número de veces en cada palabra. Se trata de un problema de contar el número de variaciones con repetición. En este caso, el número de variaciones con repetición de 5 elementos tomados de 4 en 4 es VR 5, 4 = 54 = 625.
5.3.2 Permutaciones Definición (Permutaciones). Sea S un conjunto finito no vacío y sea n = ∣S ∣. Se denominan permutaciones sin repetición (o simplemente permutaciones ) de n elementos , denotado Pn , a las variaciones sin repetición de n elementos tomados de n en n . Ejemplo. Supongamos que se acerca el final del campeonato nacional de fútbol en España, y sólo hay 3 equipos en cabeza de la clasificación, sin que ningún otro equipo pueda alcanzarles en puntos. Estos equipos son Barcelona, Real Madrid y Atlético. Queremos conocer todas las formas en que pueden aparecer dichos equipos ordenados en la clasificación final. Si representamos los equipos respectivamente con las letras b , r y a , el problema consiste en encontrar el conjunto de permutaciones de 3 elementos, que es: (b , r , a ), (b , a , r ), (r , b , a ), (r , a , b ), (a , b , r ), (a , r , b )} . Proposición. El número de permutaciones de n elementos es Pn = n !. Ejemplo. Podemos comprobar en el ejemplo anterior que el cardinal del conjunto de permutaciones de 3 elementos es P 3 = 3! = 6.
Ejemplo. Supongamos que tenemos 7 bolas de distinto color, y queremos saber de cuántas maneras podemos ordenarlas. Se trata de un problema de cálculo de permutaciones. El número de permutaciones de 7 elementos es P 7 = 7! = 5040. Definición (Permutaciones con repetición). Sea S = {s 1, …, s n } un conjunto finito no vacío, siendo n = ∣S ∣. Sea p ∈ N, tal que p ≥ n y sean r 1, r 2, …, r n tales que cada r i ∈ N ∪ {0}, y r 1 + r 2 + … + r n = p . Las permutaciones con repetición de p elementos en la s que el primer elemento se repite r 1 veces, el segundo se repite r 2 veces, … y el último (elemento n-ésimo) se repite r n veces , son el conjunto formado por todas las p -tuplas distintas que se pueden formar con elementos de S tales que:
en cada tupla cada elemento s j de S aparece r j veces, y dos tuplas (x 1, x 2, …x p ) e (y 1, y 2, …, y p ) se consideran distintas si existe algún i tal que 1 ≤ i ≤ p y x i ≠ y i . El cardinal de dicho conjunto se denota por PR p r 1, r 2, …, r n . Ejemplo. Supongamos que tenemos el alfabeto S = {a , b , c }, y queremos construir el conjunto de todas las palabras de longitud 4 en las que la a aparezca 2 veces, la b aparece una vez y la c aparece una vez. Se trata de construir el conjunto de permutaciones con repetición de 4 elementos en las que el primer elemento se repite 2 veces, el segundo 1 vez y el tercero 1 vez. El conjunto de permutaciones con repetición buscado es: (a , a , b , c ), (a , a , c , b ), (a , b , a , c ), (a , b , c , a ), (a , c , b , a ), (a , c , a , b ), (b , a , a , c ), (b , a , c , a ), (b , c , a , a ), (c , a , a , b ), (c , a , b , a ), (c , b , a , a )} Proposición. Sea p ∈ N y sean r 1, r 2, …, r n tales que cada r i ∈ N ∪ {0}, y r 1 + r 2 + … + r n = p . Se cumple que: PRp r 1, r 2, …, r n = p ! / (r 1! r 2! … r n !) . Ejemplo. Podemos comprobar en el ejemplo anterior que el cardinal del conjunto de permutaciones con repetición de 4 elementos en las que el primer elemento se repite 2 veces, el
segundo 1 vez y el tercero 1 vez es PR 42, 1, 1 = 4! / (2! 1! 1!) = 12. Ejemplo. Supongamos ahora que tenemos el alfabeto S = a , b , c } y queremos calcular el cardinal del conjunto de palabras de longitud 6 en las que la a se repite 3 veces, la b aparece 2 veces y la c aparece una vez. El cardinal buscado es PR63, 1, 2 = 6! / (3! 1! 2!) = 60 .
5.3.3 Combinaciones Definición (Combinaciones). Sea S un conjunto finito, sea n = ∣S ∣ su cardinalidad, y sea r ∈ N tal que 1 ≤ r ≤ n . Se denominan combinaciones sin repetición o simplemente combinaciones de n elementos tomados de r en r al conjunto formado por todos los subconjuntos de S que tienen cardinalidad r . El cardinal del conjunto de combinaciones de n elementos tomados de r en r se denota por Cn , r . De acuerdo con la definición anterior, al tratarse de conjuntos, el orden de los elementos no importa, a diferencia de las variaciones, en las que el orden de los elementos sí importa. Ejemplo. Consideremos que tenemos el conjunto S = a , b , c , d , e } y queremos construir el conjunto formado por todos los subconjuntos de S que tienen tamaño 3. Se trata de encontrar el conjunto combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3. Dicho conjunto es: {a , b , c }, {a , b , d }, {a , b , e }, {a , c , d }, {a , c , e }, {a , d , e }, {b , c , d }, b , c , e }, {b , d , e }, {c , d , e }}. Proposición. Sea n ∈ N, y sea r ∈ N tal que 1 ≤ r ≤ n . Se cumple que: Cn , r = Binom(n , r ) . De la proposición anterior se puede intuir que no es casualidad que a la cantidad Binom( n , r ) se le denomine número combinatorio , ya que su valor es el número de combinaciones de n elementos tomados de r en r .
El número de combinaciones C n , r también se puede expresar como: Cn , r = Vn , r / Pr . Ejemplo. Podemos comprobar en el ejemplo anterior que el cardinal del conjunto de combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3 es C5, 3 = 5! / (3! (5 − 3)!) = 10 . Ejemplo. Supongamos que queremos saber cuántas apuestas distintas se pueden realizar en el juego de la Lotería Primitiva. En dicho juego, cada apuesta consta de 6 números elegidos del conjunto de números naturales comprendidos entre el 1 y el 49 (ambos inclusive). Por ejemplo, en la figura siguiente aparece un ejemplo de boleto de la lotería primitiva, en el que el apostante ha marcado los números 6, 10, 19, 30, 34 y 45. Se trata de un problema de contar el número de combinaciones. En este caso, el número de combinaciones de 49 elementos tomados de 6 en 6 es: C49, 6 = Binom(49, 6) = 49! / (43! 6!) = 13983816 .
Definición (Combinaciones con repetición). Sea S un conjunto finito, sea n = ∣S ∣ su cardinalidad, y sea r ∈ N. Se denomina combinaciones con repetición de n elementos tomados de r en al conjunto formado por todas las r -tuplas distintas que se pueden formar con elementos de S tales que: en cada tupla se permite que se repitan elementos de S , y dos tuplas (x 1, x 2, …x r ) e (y 1, y 2, …, y r ) se consideran iguales si y sólo si se pueden reordenar los elementos de una de ellas de forma que sea idéntica a la otra, y se consideran
distintas en caso contrario. El cardinal del conjunto de combinaciones con repetición de n elementos tomados de r en en r se se denota por CRn , r . Ejemplo. Ejemplo. Tenemos una urna con bolas azules, rojas y verdes. Queremos saber cuántos conjuntos diferentes podemos hacer con bolas de la urna en los que haya 5 bolas. Tomemos S = = representa el azul, r el el azul y v el el verde. Se trata a , r , v } donde a representa de encontrar el conjunto de combinaciones con repetición de los 3 elementos de S tomados tomados de 5 en 5. Dicho conjunto es: {v , v , v , v , v }, }, {r , v , v , v , v }, }, {r , r , v , v , v }, }, {r , r , r , v , v }, }, {r , r , r , r , v }, }, }, {a , v , v , v , v }, }, {a , r , v , v , v }, }, {a , r , r , v , v }, }, {a , r , r , r , v }, }, r , r , r , r , r }, }, {a , a , v , v , v }, }, {a , a , r , v , v }, }, {a , a , r , r , v }, }, {a , a , r , r , r }, }, a , r , r , r , r }, }, {a , a , a , r , v }, }, {a , a , a , r , r }, }, {a , a , a , a , v }, }, a , a , a , v , v }, }, {a , a , a , a , a }} }} . a , a , a , a , r }, Proposición. Proposición. Sea n ∈ N, y sea r ∈ N. Se cumple que: CRn , r = Binom(n + + r − − 1, r ) . Ejemplo. Ejemplo. Podemos comprobar en el ejemplo anterior que el cardinal del conjunto de combinaciones con repetición de 3 elementos tomados de 5 en 5 es CR 3, 5 = Binom(3 + 5 − 1, 5) = 7! / (5! (7 − 5)!) = 21 . Ejemplo. Ejemplo. Supongamos que queremos saber de cuántas fichas se compone el juego del dominó cubano, sabiendo que cada ficha tiene 2 recuadros, y en cada recuadro puede aparecer un número entero comprendido entre el 0 y el 9. Se trata de un problema de encontrar el cardinal del conjunto de combinaciones con repetición. En este caso, el número de combinaciones con repetición de 10 elementos (los números enteros del 0 al 9) tomados de 2 en 2 es: CR10, 2 = Binom(10 + 2 − 1, 2) = Binom(11, 2) = 11! / (2! (11 − 2)!) = 55.
6 Teoría de grafos Resumen Este capítulo trata los conceptos fundamentales de la Teoría de Grafos, un tema de enorme importancia en Informática. Se presentan los conceptos básicos de grafos y su representación. Se explican conceptos más avanzados como el de subgrafo y grafo bipartito. Se tratan los conceptos relacionados con caminos y conectividad en grafos. Se explican diferentes tipos de recorridos en grafos. Finalmente se explican de forma breve los conceptos básicos de un tipo especial de grafo: los árboles.
6.1 Conceptos básicos de teoría de grafos Definición (Arista). Sea un conjunto finito no vacío V . Se denomina arista a: cualquier elemento de V × V , en cuyo caso la arista se denomina dirigida ; y a cualquier conjunto { x , y }, siendo x e y cualesquiera elementos de V , y en este caso a la arista se le llama no dirigida . Definición. Un grafo G = (V , E ) consta de un conjunto finito no vacío V , y un conjunto finito E de aristas formadas a partir de V . A los elementos de V se les denomina nodos . Ejemplo. Sea el grafo G = (V , E ) donde V = {a , b , c , d } y E = (a , b ), (a , c ), (d , b ), (c , b ), (d , d )}. Se trata de un grafo con 4 nodos y 5 aristas. Además, todas las aristas de G son dirigidas, ya que son tuplas de V × V . Ejemplo. El grafo G = (V , E ) donde V = {a , b , c } y E = {{a , b }, a , c }} consta de 3 nodos y 2 aristas. Además, todas las aristas de G son no dirigidas. Definición (Aristas dirigidas y no dirigidas). A las aristas dirigidas también se les llama arcos. A las aristas no dirigidas también se les denomina enlaces . Ejemplo. En el primer ejemplo que se vio en esta sección todas las aristas son arcos. En el segundo ejemplo todas las aristas son enlaces. Definición (Nodos incidentes). Sea un grafo G = (V , E ). Sea una arista e de E . El conjunto de nodos incidentes de e es un conjunto formado por dos elementos que se define así: Si e es dirigida de la forma ( x , y ) o si e es no dirigida de la forma {x , y }, entonces el conjunto de nodos incidentes es { x } ∪ {y }.
A partir de este momento, en el caso de cualquier arista no dirigida e = {x , y }, no debería haber ambigüedad aunque se usen los símbolos { y } tanto para indicar el enlace como para hacer referencia al conjunto de nodos incidentes de e ; a partir del contexto sabremos a qué nos estamos refiriendo. Ejemplo. Sea la arista e 1 = (a , b ). Sus nodos incidentes son a , b }. Sea la arista e 2 = (b , a ). Sus nodos incidentes son también a , b }. Si en lugar de aristas dirigidas tuviéramos dos aristas no dirigidas {b , a } y {a , b } sus nodos incidentes serían también { a , b }. Ejemplo. Sea la arista dirigida ( a , a ). Su conjunto de nodos incidentes es {a } ∪ {a } = {a }. Ejemplo. Sea la arista no dirigida { a , a }. Su conjunto de nodos incidentes es {a } ∪ {a } = {a }. Definición (Nodos adyacentes). Sea un grafo G cuyo conjunto de nodos es V . Sean x e y dos nodos de V . Se dice que x e y son adyacentes si existe alguna arista en G cuyos nodos incidentes son {x } ∪ {y }. Si x e y son adyacentes, se dice también que x es adyacente a y e y es adyacente a x . Ejemplo. Considérese el grafo del primer ejemplo de esta sección. Los nodos b y d son adyacentes, ya que existe el arco (d , b ); el conjunto de nodos incidentes de este arco es { d } ∪ {b } = {d , b }. Definición (Grafo dirigido o digrafo). Se dice que un grafo es dirigido o que es un digrafo si todas sus aristas son dirigidas. Ejemplo. El grafo del primer ejemplo de esta sección es dirigido. Definición (Grafo no dirigido). Se dice que un grafo es no dirigido si todas sus aristas son no dirigidas. Ejemplo. Sea el grafo G = (V , E ) donde V = {1, 2, 3, 4, 5} y E = {1, 2}, {1, 4}, {2, 3}, {3, 4}, {1, 5}, {4, 5}}. Se trata de un grafo no dirigido con 5 nodos y 6 aristas. Definición (Grafo mixto). Un grafo es mixto si contiene aristas
dirigidas y no dirigidas. En este texto no vamos a trabajar con grafos mixtos. Por tanto, sólo vamos a considerar dos tipos de grafos: dirigidos y no dirigidos. Definición (Nodos inicial y final). Sea una arista dirigida e = (x , y ). A x se le denomina nodo inicial de e, y a y se le llama nodo final de e . Ejemplo. Sea la arista (a , b ) del primer ejemplo de esta sección. Su nodo inicial es a y el nodo final es b . Definición (Aristas iguales). Dos aristas dirigidas e 1 = (x 1, y 1) y e 2 = (x 2, y 2) son iguales si x 1 = x 2 e y 1 = y 2. Dos aristas no dirigidas son iguales si sus conjuntos de nodos incidentes son iguales. Ejemplo. Las aristas dirigidas ( a , b ) y (a , b ) son iguales. En cambio, las aristas dirigidas ( a , b ) y (b , a ) no son iguales. Ejemplo. Las aristas no dirigidas {a , b } y {b , a } son iguales. Teorema. La relación “ser aristas iguales” es una relación de equivalencia entre aristas.
6.2 Representación gráfica de los grafos Cualquier grafo se puede representar gráficamente para poder visualizar gráficamente los nodos y las aristas y así poder estudiar más fácilmente sus propiedades. En la representación gráfica de un grafo tenemos que: Los nodos se representan mediante figuras geométricas como círculos, óvalos, cuadrados, triángulos, y en su interior aparece el elemento correspondiente. Es habitual usar distintos tipos de figuras, cada una de ellas con un significado distinto en el dominio o marco de representación del grafo. Las aristas se representan mediante líneas—generalmente continuas, aunque pueden ser discontinuas—que conectan dos nodos x e y si y sólo si existe una arista cuyo conjunto de nodos incidentes es { x } ∪ {y }. Además, en el caso de las aristas dirigidas, el segundo elemento del par se suele representar haciendo que la línea de la arista termine en una punta de flecha. Ejemplo. Considérese el grafo dirigido G = (V , E ) donde V = y Su a , b , c , d } E = {(a , b ), (a , c ), (d , b ), (c , b ), (d , d )}. representación gráfica aparece en la siguiente figura.
Ejemplo. Sea el grafo no dirigido G = (V , E ) donde V = {1, 2, 3, 4, 5} y Su E = {{1, 2}, {1, 4}, {2, 3}, {3, 4}, {1, 5}, {4, 5}}. representación gráfica aparece en la siguiente figura.
A partir de ahora llamaremos indistintamente grafo tanto a su definición matemática en términos de V y E como a su representación gráfica. Los grafos de las dos figuras anteriores, uno dirigido y otro no dirigido, serán referenciados en varias ocasiones en ejemplos a lo largo del tema para así evitar tener que incluir dichas figuras constantemente en el texto. Recomendamos al lector que copie dichos grafos, por ejemplo en un papel aparte, para que así no tenga que volver a este punto del texto en multitud de ocasiones.
6.3 Conceptos avanzados sobre grafos Definición (Multigrafo. Multiplicidad de una arista. Aristas múltiples o paralelas). Se dice que un grafo G = (V , E ) es un multigrafo si: G tiene asociada una función f : E → N que asigna a cada arista un número natural denominado mutiplicidad ,
y además existe alguna arista e tal que f (e ) ≠ 1. La multiplicidad de e se indica en la representación gráfica dibujando la arista tantas veces como indique f (e ). A las aristas cuya multiplicidad es mayor que 1 se les denomina aristas múltiples o paralelas . Ejemplo. En el grafo dirigido G de la siguiente figura aparecen las siguientes tres aristas: e 1 = (c , d ), e 2 = (d , c ) y e 3 = (c , d ). Las aristas e 1 y e 3 son iguales. En cambio, e 1 y e 3 no son iguales a e 2, ya que en e 2 el orden de los nodos aparece cambiado. Por tanto, la arista (c , d ) tiene multiplicidad 2, por lo que se dice que (c , d ) es una arista múltiple y que el grafo G es un multigrafo.
Ejemplo. En el grafo no dirigido G de la siguiente figura aparecen dos aristas no dirigidas e 1 y e 2 cuyos nodos incidentes son 2 y 3. Por tanto, e 1 y e 2 son iguales. Podemos decir entonces que la arista {2, 3} tiene multiplicidad 2 y que es una arista múltiple o paralela. Por tanto, G es un multigrafo.
Definición (Grafo sencillo). Se dice que un grafo es sencillo si no es un multigrafo. Ejemplo. Los grafos de las dos primeras figuras de este tema son sencillos. Definición (Bucle o lazo). Una arista dirigida se denomina bucle o lazo si los nodos inicial y final coinciden. Una arista no dirigida se denomina bucle o lazo si es de la forma {x , x }, siendo x un nodo del grafo. Ejemplo. Considérese el grafo dirigido de la primera figura de este tema. Sea la arista dirigida ( d , d ). Dado que los nodos inicial y final coinciden, se dice que dicha arista es un bucle. Ejemplo. Considérese el grafo no dirigido de la última figura. La arista no dirigida {1, 1} es un bucle o lazo. Definición (Grafo ponderado o etiquetado). Un grafo G = (V , E ) es un grafo ponderado o etiquetado si:
tiene asociada una función f que asigna a cada arista una etiqueta numérica que es un número real y se denomina peso , y existe alguna arista e ∈ E tal que f (e ) ≠ 1. Los pesos se indican en la representación gráfica mostrando su valor junto a la línea de la arista. Cuando el peso de una arista no aparece en la representación gráfica de G se asume que su valor es 1. Ejemplo. En la siguiente figura aparece un grafo ponderado dirigido. Las aristas del grafo son: e 1 = (a , b ), e 2 = (a , c ), e 3 = (c , b ), e 4 = (c , d ), e 5 = (c , e ), e 6 = (d , b ), e 7 = (d , e ), e 8 = (e , f ), e 9 = (f , d ), e 10 = (f , f ). Se puede comprobar en la figura que la función de peso f es tal que f (e 1) = 8, f (e 2) = 4, f (e 3) = 2, f (e 4) = 3, f (e 5) = 7, f (e 6) = 5, f (e 7) = 9, f (e 8) = 6, f (e 9) = 2 y f (e 10) = 8. Así, por ejemplo, la arista e 2 (la (a , c )) tiene peso 4.
Definición (Grado de entrada de un nodo). Sea un grafo dirigido G = (V , E ) y sea un nodo v ∈ V . El grado de entrada de v es el número de aristas en E que tienen a v como nodo final.
Ejemplo. En el grafo de la figura anterior, el grado de entrada del nodo c es 1 y el del nodo f es 2. Como no hay ningún arco que tenga al nodo a como final, entonces el grado de entrada de a es 0. Definición (Grado de salida de un nodo). Sea un grafo dirigido G = (V , E ) y sea un nodo v ∈ V . El grado de salida de v es el número de aristas en E que tienen a v como nodo inicial. Ejemplo. En el grafo de la figura anterior, el grado de salida del nodo c es 3 y el del nodo f es 2. Como no hay ningún arco que tenga al nodo b como inicial, entonces el grado de salida de b es 0. Definición (Grado total o grado de un nodo). Sea un nodo v de un grafo G . El grado total (o grado ) de v se define así: Si G es dirigido, entonces el grado total de v es la suma de su grado de entrada y su grado de salida. Si G es no dirigido, entonces, de las aristas en que v es incidente sea m el número de aquéllas que son bucles y sea n el número de las que no lo son; el grado total de v es 2m + n . Ejemplo. Considérese el grafo dirigido de la primera figura del tema. El grado de entrada del nodo a es 0, y el de salida es 2, por lo que su grado total es 0 + 2 = 2. Para el nodo d su grado de entrada es 1 y su grado de salida es 2, de ahí que su grado total sea 1 + 2 = 3. Ejemplo. Sea el grafo no dirigido de la siguiente figura. El nodo 3 es incidente en 2 aristas, de las cuales ninguna es un bucle, por lo que su grado total es 2. El nodo 1 es incidente en 3 aristas, de las cuales una es un bucle y las otras 2 no lo son, por lo que su grado total es 2 1 + 2 = 4 . El nodo 5 no es incidente de ninguna arista, por lo que su grado total es 0.
Teorema. Sea un grafo G = (V , E ). La suma del grado total de todos los nodos de V es igual a 2 ∣E ∣. Ejemplo. Para el grafo dirigido de la primera figura del tema, que contiene 5 aristas, de acuerdo al teorema anterior la suma de los grados totales de los nodos es 2 5 = 10 . Para el grafo no dirigido de la última figura el número de aristas es 6, por lo que la suma de los grados totales es 2 6 = 12 . En cada uno de estos dos grafos podemos comprobar que el valor que obtendríamos sería idéntico a los anteriores (10 y 12) si calculamos el grado total de cada nodo y hacemos la suma. Definición (Nodo aislado). En un grafo se denomina nodo aislado a un nodo cuyo grado total es 0. Ejemplo. En la última figura el grado total del nodo 5 es 0. Por tanto, el 5 es un nodo aislado. Definición (Grafo nulo). Un grafo se denomina nulo si todos sus
nodos son aislados. Ejemplo. Cualquier grafo que no tenga aristas es un grafo nulo. Definición (Subgrafo). Sea un grafo G = (V , E ) y sea un grafo G ʹ = (V ʹ, E ʹ). Se dice que G ʹ es un subgrafo de G si se cumple que: V ʹ ⊂ V , y E ʹ es subconjunto del conjunto de aristas de E cuyos dos nodos incidentes están en V ʹ.
Ejemplo. Sea G = (V , E ) el grafo de la primera figura del tema. Sea G ʹ = (V ʹ, E ʹ) el grafo de la siguiente figura. Se puede comprobar que V ʹ = {b , c , d } es un subconjunto de V = {a , b , c , d }. Además, se cumple que E ʹ = {(c , b ), (d , d )} es un subconjunto del conjunto de aristas de E cuyos nodos incidentes están en V ʹ, que es {(c , b ), (d , b ), (d , d )}. Por tanto, G ʹ es un subgrafo de G .
Visualmente se puede apreciar cuando un grafo G ʹ es un subgrafo de otro grafo G ya que el conjunto de nodos de G ʹ es un subconjunto del de G , y los arcos de G ʹ aparecen también en G . Definición (Supergrafo). Sean G y G ʹ dos grafos. Decimos que G es un supergrafo de G ʹ si G ʹ es un subgrafo de G . Ejemplo. En el ejemplo anterior hemos visto que el grafo G ʹ de la última figura es un subgrafo del grafo dirigido G de la primera figura del tema. Por tanto, G es un supergrafo de G ʹ. Definición (Subgrafo propio y supergrafo propio). Sean G y G ʹ dos grafos tales que G ʹ es subgrafo de G y G ≠ G ʹ. Entonces se dice que G ʹ es un subgrafo propio de G y que G es un supergrafo
propio de G ʹ. Ejemplo. Sea G el grafo dirigido de la primera figura del tema y sea G ʹ el grafo de la última figura. Se tiene que G ʹ es subgrafo propio de G y G es supergrafo propio de G ʹ. Definición (Grafo bipartito). Un grafo G = (V , E ) se dice que es bipartito si existe una partición de V en dos conjuntos V 1 y V 2 tales que toda arista e ∈ E verifica que: si e es dirigida, siendo e = (x , y ), entonces x ∈ V 1 e y ∈ V 2; si e es no dirigida entonces un nodo de e pertenece a V 1 y el otro a V 2. Ejemplo. Sea el grafo dirigido G = (V , E ) de la siguiente figura, en el que V = {a , b , c , d , e , f } y E = {(a , d ), (a , f ), (b , d ), (b , e ), (b , f ), (c , f )}. Los conjuntos V 1 = {a , b , c } y V 2 = {d , e , f } constituyen una partición de V . Además, para toda arista de E se cumple que el nodo inicial pertenece a V 1 y el nodo final pertenece a V 2. Por tanto, G es un grafo bipartito.
Definición (Relación de adyacencia de un grafo dirigido). Sea G = (V , E ) un grafo dirigido. El conjunto de aristas de E constituye una relación binaria en V a la que se denomina relación de adyacencia de G , y se denota como R G . Ejemplo. En el ejemplo anterior, tenemos la relación de adyacencia definida sobre V = {a , b , c , d , e , f } dada por R G = {(a , d ), (a , f ), (b , d ), (b , e ), (b , f ), (c , f )} . Dado que la relación de adyacencia de un grafo dirigido G es una
relación (binaria) en un conjunto, ello hace que los grafos y las relaciones en un conjunto compartan formas de representación. Así tenemos que: 1. la representación gráfica que hemos visto para grafos en este tema se puede utilizar para representar una relación en un conjunto simplemente considerando que ésta es la relación de adyacencia del grafo; y 2. la representación matricial de una relación en un conjunto se puede emplear para representar la relación de adyacencia del grafo, como vamos a ver en la siguiente definición y en un ejemplo. Definición (Matriz de adyacencia). Sea un grafo G . A la matriz correspondiente a la relación de adyacencia de G se le denomina matriz de adyacencia , y se denota M R G ó simplemente M G . Ejemplo. Sea el grafo dirigido de la primera figura del tema. Tomamos como ordenación de los nodos la que viene en la definición del conjunto, es decir v 1 = a , v 2 = b , v 3 = c y v 4 = d , de forma que la filas y columna i -ésimas corresponden a v i . Tenemos que la matriz de adyacencia para G es M G , que viene dada por la siguiente figura.
Es importante tener cuidado con la definición de nodos
adyacentes que se dio anteriormente y la definición de relación de adyacencia R G de un grafo G dada en esta sección. Por ejemplo, siendo E el conjunto de aristas de G , si se tiene que la arista (x , y ) ∈ E pero (y , x ) ∉ E , entonces: Se puede decir que x es adyacente a y , e y es adyacente a x . Sin embargo, en la relación R G sólo aparecería el par ( x , y ), pero no el par ( y , x ). Por tanto, en la matriz de adyacencia tendríamos un 1 en la celda de la fila de x y columna de y , pero habría un 0 en la celda de la fila de y y columna de x . Todas las propiedades que se estudiaron para las relaciones en un conjunto X se aplican de nuevo a los grafos, sin más que considerar como relación de estudio la relación de adyacencia. Así, por ejemplo, un grafo se dice que es reflexivo si su relación de adyacencia es reflexiva. Lo mismo se puede decir para el resto de propiedades antes estudiadas. Tan sólo hay que añadir que los grafos ofrecen una información visual que ayuda a entender mejor las distintas propiedades y facilita la comprensión de la relación objeto de estudio. Ejemplo. Vamos a estudiar qué propiedades cumple la relación del grafo dirigido de la primera figura del tema: No es reflexiva, ya que no se cumple que para cada nodo x haya una arista hacia x ; por ejemplo, no se tiene la arista (a , a ). No es simétrica, ya que, por ejemplo, se tiene el arco ( a , c ) pero no el ( c , a ). Es transitiva, ya que se tienen los arcos ( a , c ) y (c , b ), y, como exige dicha propiedad, se tiene el arco ( a , b ). Es antisimétrica, ya que no se tienen arcos ( x , y ) e (y , x ) siendo x e y nodos distintos. No es irreflexiva, ya que contiene un arco de un nodo hacia sí mismo: el arco (d , d ).
6.4 Caminos y conectividad En esta sección vamos a suponer que trabajamos con grafos sencillos no mixtos.
6.4.1 Conceptos básicos de caminos En esta sección se recomienda al lector que además de estudiar las definiciones, intente entender los conceptos a través de la representación gráfica del grafo, la cual no siempre la proporcionaremos aquí. Definición (Aristas consecutivas). Sea un grafo G . Sean e 1 y e 2 dos aristas distintas de G . Se dice que e 2 es consecutiva de e 1 si: G es dirigido y el nodo final de e 1 es igual al nodo inicial de e 2, ó G es no dirigido y la intersección de los nodos incidentes de e 1 y e 2 es distinta de ∅.
De manera informal, gráficamente es fácil ver cuándo una arista e 2 es consecutiva de otra arista e 1. En el caso de grafos dirigidos, ha de cumplirse que la punta de flecha de e 1 debe coincidir con el extremo sin punta de e 2. En el caso de grafo no dirigidos es suficiente con que e 1 y e 2 tengan un nodo incidente en común. Ejemplo. En el grafo dirigido de la primera figura del tema, sean las aristas e 1 = (a , c ) y e 2 = (c , b ). Se cumple que e 2 es consecutiva de e 1, ya que el nodo final de e 1 es igual al nodo inicial de e 2. En cambio, la arista ( d , b ) no es consecutiva de (c , b ). No obstante, si tuviésemos un grafo no dirigido cualquiera entonces la arista {d , b } sería consecutiva de {c , b } (y {c , b } sería consecutiva de {d , b }). Definición (Nexo de dos aristas consecutivas). Sea un grafo G . Sean e 1 y e 2 dos aristas de G tales que e 2 es consecutiva de e 1. El nexo de e 1 con e 2 se define así:
Si G es dirigido entonces el nexo de e 1 con e 2 es el nodo final de e 1 (que es igual al nodo inicial de e 2); Si G es no dirigido entonces el nexo de e 1 con e 2 es el único elemento de la intersección de los conjuntos de nodos incidentes de e 1 y e 2. Ejemplo. Sea el grafo dirigido de la primera figura del tema. La arista e 2 = (c , b ) es consecutiva de la arista e 1 = (a , c ), por lo que el nexo de e 1 con e 2 es el nodo c . En un grafo no dirigido cualquiera la arista { d , b } es consecutiva de la arista { c , d } y el nexo es d . Definición (Camino). Sea un grafo G = (V , E ). Se denomina camino a una secuencia e de aristas de E tal que: e = (), ó e = (e 1, e 2, …, e k ), tal que para todo i , siendo 1 ≤ i < k , la arista e i + 1 es consecutiva de e i . Ejemplo. Sea el grafo G de la siguiente figura. Sea la secuencia de aristas e 1 = (a , c ), e 2 = (c , e ), e 3 = (e , f ), e 4 = (f , d ). Se cumple que: e 2 es consecutiva de e 1, e 3 es consecutiva de e 2, y e 4 es consecutiva de e 3.
Por tanto, la secuencia constituye un camino en G .
Dado que las aristas suelen utilizar paréntesis, para evitar la repetición de dicho símbolo, en la secuencia de aristas dada por un camino utilizaremos preferentemente los símbolos delimitadores [ y ]. Así, el camino del ejemplo anterior lo podemos escribir como [(a , c ), (c , e ), (e , f ), (f , d )] . Ejemplo. Sea un grafo no dirigido en el que tenemos la siguiente secuencia de aristas: e 1 = {a , b }, e 2 = {c , a }, e 3 = {f , c }. Se cumple que: e 2 es consecutiva de e 1, con nexo a , y e 3 es consecutiva de e 2, con nexo c .
Por tanto, la secuencia constituye un camino. Definición (Nodo inicial de un camino). Sea un grafo con conjunto de aristas E . Sea k el número de aristas de un camino e = [e 1, e 2, …, e k ], donde k ≥ 1 y cada e i ∈ E , siendo 1 ≤ i ≤ k . Sea inc(e 1) el conjunto de nodos incidentes de e 1 y sea y el nexo de e 1 con e 2. El nodo inicial de e se define así:
si e 1 es un bucle entonces el nodo inicial de e es y ; en otro caso, el nodo inicial de inc(e 1) \ {y }.
e
es el único elemento de
Ejemplo. En un grafo dirigido se tiene el camino [( a , c ), (c , e ), (e , f ), (f , d )]. El nexo de la primera arista ( a , c ) con la segunda (c , e ) es c . Por tanto, el nodo inicial del camino es a . Ejemplo. En un grafo dirigido se tiene el camino [( b , b ), (b , a ), (a , d )]. Dado que la primera arista ( b , b ) es un bucle entonces el nodo inicial del camino es el único nodo incidente de dicha arista: b . Ejemplo. Anteriormente hemos visto que en un grafo no dirigido la secuencia {a , b }, {c , a }, {f , c } constituye un camino. La primera arista es {a , b } y la segunda es { c , a }, y el nexo de la primera con la segunda es a . Por tanto, el nodo inicial del camino es el nodo a , b } \ {a } = b . Definición (Nodo final de un camino). Sea un grafo con conjunto de aristas E . Sea k el número de aristas de un camino e = [e 1, e 2, …, e k ], donde k ≥ 1 y cada e i ∈ E , 1 ≤ i ≤ k . Sea inc(e k ) el conjunto de nodos incidentes de e k . El nodo final del camino e se define así: si e k es un bucle entonces el nodo final de e es y ; en otro caso, el nodo final de inc(e k ) \ {y }.
e
es el único elemento de
Ejemplo. Anteriormente hemos visto el ejemplo de camino [(a , c ), (c , e ), (e , f ), (f , d )] en un grafo dirigido. El nexo de la penúltima arista ( e , f ) con la última (f , d ) es f . Por tanto, el nodo final del camino es d . Ejemplo. En un grafo dirigido tenemos el camino [( b , a ), (a , e ), (e , d ), (d , d )]. La última arista ( d , d ) es un bucle, por lo que el nodo final del camino es el único nodo incidente de dicha arista: d .
Ejemplo. Anteriormente hemos visto un ejemplo de camino [{a , b }, {c , a }, {f , c }] en un grafo no dirigido. El nexo de la penúltima arista { c , a } con la última {f , c } es c . Por tanto, el nodo final del camino es f . Definición (Recorrido de un camino). Sea k el número de aristas de un camino e = [e 1, e 2, …, e k ], siendo k ≥ 1. Sea y i el nexo de la arista e i con la arista e i + 1, para 1 ≤ i < k . Sea y 0 el nodo inicial de e, y sea y k el nodo final de e. A la secuencia de nodos (y 0, y 1, y 2, . . . , y k − 1, y k ) se le denomina recorrido de e. Para indicar un recorrido también usaremos como delimitadores los símbolos [ y ], por lo que el recorrido ( x 1, x 2, . . . , x k ) se puede escribir también como [ x 1, x 2, . . . , x k ]. Ejemplo. Sea el camino [(a , c ), (c , e ), (e , f ), (f , d )] en un grafo dirigido que hemos visto en esta sección. Su recorrido es (a , c , e , f , d ). También se puede escribir como [ a , c , e , f , d ]. Ejemplo. Sea el camino [{a , b }, {c , a }, {f , c }] en un grafo no dirigido que hemos visto en esta sección. Su recorrido es [b , a , c , f ]. Definición (Pasar por un nodo). Sea un camino e cuyo número de aristas es mayor que 0. Sea el camino e' obtenido a partir de e eliminando la primera arista y sea S el conjunto de nodos que aparecen en el recorrido de e'. Se dice que e pasa por un nodo si v ∈ S . Ejemplo. Sea el camino e = [(a , c ), (c , e ), (e , f ), (f , d )]. Si a e le eliminamos la primera arista nos queda el camino e' = [(c , e ), (e , f ), (f , d )]. El conjunto de nodos del recorrido de e' es S = c , e , f , d }. Por tanto, el camino pasa por los nodos c , e , f y d . En cambio, no pasa ni por el nodo a ni por el nodo b . Definición (Pasar por una arista). Se dice que un camino e pasa por una arista si ésta aparece en la secuencia de e. Ejemplo. Sea el camino [( a , c ), (c , e ), (e , f ), (f , d )]. Se puede
comprobar que, por ejemplo, pasa por las aristas ( a , c ) y (e , f ).
6.4.2 Tipos básicos de caminos Definición (Camino nulo). Se dice que un camino es nulo si no contiene ninguna arista. Es trivial ver que el número de aristas de un camino nulo es 0. Ejemplo. El camino e = () es nulo. Definición (Camino sencillo o simple). Se dice que un camino es sencillo o simple si todas sus aristas son distintas. Ejemplo. El camino [(a , c ), (c , e ), (e , f ), (f , d )] es sencillo, ya que todas las aristas son distintas. En cambio, el camino [( e , f ), (f , d ), (d , e ), (e , f )] no es sencillo, ya que la arista ( e , f ) aparece repetida. Definición (Camino elemental). Sea un camino e con nodo inicial a . Sea r el recorrido de e. Se dice que e es elemental si no aparece ningún nodo repetido en r, excepto a lo sumo el nodo a , el cual puede aparecer en la última posición de r (además de en la primera posición). Ejemplo. Sea el camino e = [(a , c ), (c , e ), (e , f ), (f , d )]. Su recorrido r es [a , c , e , f , d ]. Todos los nodos en r son distintos. Por tanto, e es un camino elemental. Ejemplo. Sea el camino e = [(d , e ), (e , f ), (f , d )]. Su recorrido r es [d , e , f , d ]. No aparece ningún nodo repetido, excepto el nodo inicial d , que aparece en la última posición. Por tanto, e es un camino elemental. Proposición. Todo camino elemental es sencillo. Por la proposición anterior también tenemos que si un camino no es sencillo entonces no es elemental. Ejemplo. Considérese la secuencia de enlaces dada por: (e , f ), (f , f ), (f , f ), (f , d ), (d , e ), (e , f ) .
Se trata de un camino. Sin embargo, en él aparecen enlaces repetidos, como por ejemplo ( f , f ) ó (e , f ). Por tanto, no es un camino sencillo y, por tanto, tampoco es un camino elemental. Ejemplo. Considérese la secuencia de enlaces: (c , d ), (d , e ), (e , f ), (f , d ), (d , b ) . Es un camino sencillo. Sin embargo, no es un camino elemental, ya que su recorrido, (c , d , e , f , d , b ), contiene el nodo d repetido. Definición (Camino de un nodo a otro). Sea un camino e de un grafo G y sean a y b dos nodos de G . Se dice que e es un camino de a a b si se cumple una de estas dos condiciones: 1. e es un camino nulo y a = b ; 2. el número de aristas de e es mayor que 0, el nodo inicial de e es a y el nodo final es b . Ejemplo. Sea un grafo cuyo conjunto de nodos es V = {1, 2, 3, 4, 5}. Sea e un camino nulo. Entonces e es un camino del nodo 1 al nodo 1. De la misma forma e es un camino del nodo 2 al nodo 2, y así igualmente para cualquier otro nodo de V . Ejemplo. Sea el camino [( a , c ), (c , e ), (e , f ), (f , d )]. Su longitud es 4, que es mayor que 0. El nodo inicial es a y el nodo final es d . Por tanto, se trata de un camino de a a d . Definición (Ciclo). Sea un camino e. Se dice que e es un ciclo si los nodos inicial y final de e coinciden. Ejemplo. Considérese el camino e = [(c , e ), (e , d ), (d , c )]. El nodo inicial es c y el nodo final es c . Dado que el nodo inicial y el nodo final son iguales, entonces e es un ciclo. Ejemplo. Considérese el grafo no dirigido de la segunda figura del tema. Sea el camino e = [{2, 1}, {3, 2}, {4, 3}, {4, 1}]. Su recorrido es [1, 2, 3, 4, 1]. Dado que tanto su nodo inicial como el final son el mismo nodo—el nodo 1—entonces e es un ciclo. Definición (Ciclo sencillo). Sea un ciclo c. Si c es un camino sencillo entonces se dice que c es un ciclo sencillo .
Ejemplo. Considérese el grafo no dirigido de la segunda figura del tema. El camino e = [(2, 3), (3, 2)] es un ciclo; además, en él no se repite ninguna arista, por lo que es un camino sencillo y por tanto es un ciclo sencillo. Ejemplo. El camino e = [(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 4), (4, 2)] es un ciclo; sin embargo, en él se repite la arista (3, 4), por lo que e no es un camino sencillo. Por tanto, e no es un ciclo sencillo. Definición (Ciclo elemental). Sea un ciclo c. Si c es un camino elemental entonces se dice que c es es un ciclo elemental. Ejemplo. El camino e = [(d , e ), (e , f ), (f , d )] es un ciclo. El recorrido de e es [d , e , f , d ] y en él no se repite ningún nodo excepto el nodo inicial d , que aparece como nodo final, por lo que e es un camino elemental. Por tanto, e es un ciclo elemental. Definición (Grafo dirigido acíclico). Un grafo dirigido G se denomina acíclico si no contiene ningún ciclo. Ejemplo. Sea el grafo dirigido de la siguiente figura. No contiene ningún ciclo, por lo que es un grafo dirigido acíclico.
Ejemplo. Sea el grafo de la siguiente figura. Contiene el ciclo [(f , d ), (d , e ), (e , f )] . Por tanto, dicho grafo dirigido no es acíclico.
6.4.3 Relación de accesibilidad Definición (Nodo accesible o alcanzable). Sea un grafo G = (V , E ). Sean dos nodos x e y de V . Si existe un camino de x a en G entonces se dice que y es accesible o alcanzable desde x ; en caso contrario se dice que y no es accesible o alcanzable desde x . Ejemplo. Sea el grafo G de la última figura. Dados los nodos e y b , se tiene que existe un camino de e a b cuyo recorrido es [e , f , d , b ]. Por tanto, el nodo b es accesible o alcanzable desde el nodo e . Ejemplo. En el mismo grafo del ejemplo anterior no hay ningún camino del nodo b al nodo c . Por tanto, c no es accesible o alcanzable desde b . Corolario. Sea x un nodo de un grafo. Entonces x es alcanzable desde x . Demostrar el corolario anterior es muy fácil, ya que, de acuerdo a la definición de camino, se vio que e = () es un camino de x a x .
Definición (Relación de accesibilidad o de alcanzabilidad). Sea un grafo G = (V , E ). Se denomina relación de accesibilidad o de alcanzabilidad en G , y se denota por R G A, a una relación (binaria) en V tal que, dados cualesquiera dos nodos a y b de V , se cumple que (a , b ) ∈ R G A si y sólo b es alcanzable desde a . Ejemplo. Según lo visto en ejemplos anteriores, tenemos que el nodo b es accesible desde el nodo e , pero el nodo c no es accesible desde el nodo b . Por tanto, tenemos que (e , b ) ∈ R G A, pero (b , c ) ∉ R G A. Definición (Matriz de accesibilidad o de alcanzabilidad). Sea un grafo G . A la matriz de la relación de accesibilidad o alcanzabilidad de G , R G A, se le denomina matriz de accesibilida o de alcanzabilidad de G , y se denota por M R G A o simplemente M G A. Ejemplo. Sea el grafo G = (V , E ) de la última figura. Tomemos el siguiente orden de los nodos de V : v 1 = a , v 2 = b , v 3 = c , v 4 = d , v 5 = e , v 6 = f . La matriz de accesibilidad de G , M G A, es:
6.4.4 Distancias en caminos En esta sección vamos a suponer que un grafo no ponderado es un caso particular de grafo ponderado en el que todos los pesos son 1. Definición (Longitud de un camino). Sea un grafo ponderado G = (V , E ) y sea k el número de aristas del camino e = (e 1, e 2, …, e k ), donde cada e i ∈ E y el peso de cada arista e i es w i . Se denomina longitud del camino , y se denota length(e), al valor ∑ i k w . Si el número de aristas en e es 0, e = (), se define = 1 i length(e) = 0. Corolario. En un grafo no ponderado G la longitud de un camino e es igual al número de aristas de e. Definición (Camino mínimo o de longitud mínima). Sea un grafo G = (V , E ) y sean x , y ∈ V . Sea un camino c en G de x a y . Se dice que c es un camino mínimo o de longitud mínima de x a y si
no existe ningún camino c' de x a y tal que length(c') < length(c). Proposición. Sea un grafo G = (V , E ) y sean dos nodos x e y de V . Sean c y c' dos caminos mínimos de x a y . Entonces se tiene que length(c') = length(c). Ejemplo. Sea el grafo G de la siguiente figura. El camino [( a , c ), (c , e )] es un camino de longitud mínima de a a e , con longitud 2; sin embargo, no es el único camino de longitud mínima de a a e , ya que también lo es el camino [( a , d ), (d , e )]. El camino [(a , b )] es un camino de longitud mínima de a a b , con longitud 1; y cualquier otro camino de a a b distinto del anterior tiene longitud mayor que 1.
Ejemplo. Sea el grafo G de la siguiente figura. El camino [( a , c ), (c , d )] es un camino de longitud mínima de a a d . Su longitud es
4 + 3 = 7, ya que el peso de ( a , c ) es 4 y el de (c , d ) es 3. Se puede comprobar que no hay ningún camino de a a d que que tenga una longitud menor. Por ejemplo, el camino [( a , c ), ), (c , e ), ), (e , f ), ), (f , d )] )] tiene una longitud igual a 4 + 7 + 6 + 2 = 19, que no es menor que 7.
Teorema. Teorema. Sea un grafo ponderado G tal tal que todos los pesos de las aristas son no negativos. Sean x e y dos nodos de G tales que y es es alcanzable desde x . Entonces existe un camino mínimo de x a a y . Proposición. Proposición. Sea x un nodo de un grafo cuyos pesos son no negativos. La longitud del camino mínimo de x a a x es es 0. La demostración de la proposición anterior es trivial dado que e = () es un camino de x a x cuya longitud es 0, y cualquier cualquier otro camino de x a x que contenga aristas, por ser sus pesos no negativos, tendrá una longitud mayor o igual que 0. Definición Definición (Distancia de un nodo a otro). Sea un grafo ponderado G = = (V , E ) con pesos no negativos. Sean dos nodos e y de V . Se denomina distancia de x a y , y se denota por distance(x , y ), ), a la función distance: V × × V → R tal que:
si y es es alcanzable desde x : sea c un camino mínimo de x a y , entonces distance(x , y ) = length(c length(c) ; en otro caso: distance( x , y ) = ∞. Cuando estemos trabajando con varios grafos y pueda haber ambigüedad acerca de a qué grafo se refiere la función distancia (distance), la distancia de x a y en el grafo G se denotará por distanceG (x , y ). ). Ejemplo. Ejemplo. Sea el grafo G del ejemplo anterior. Tenemos que distance(a , d ) = 7 y distance( c , f ) = 13. Además, dado que ningún nodo es alcanzable desde b , se tiene que para cualquier nodo x distinto de b se se cumple que distance( b , x ) = ∞. Proposición. Proposición. Sea x un nodo de un grafo. Se tiene que distance(x , x ) = 0. Ejemplo. Ejemplo. Para cualquier nodo x del del grafo G del del ejemplo anterior se tiene que distance( x , x ) = 0; dicha distancia se obtiene tomando el camino nulo e = (). Así, para el nodo f hay otros caminos de f a f que no son mínimos, como por ejemplo el camino [(f , f )], )], cuya longitud es 8, o el camino [( f , d ), ), (d , e ), ), (e , f )], )], cuya longitud es 17.
6.4.5 Conexión en grafos Definición (Grafo Definición (Grafo fuertemente conexo). Sea un grafo G . Se dice que G es fuertemente conexo si si para todo par de nodos x e y de se cumple que x es es alcanzable desde y . G se Definición Definición (Grafo unilateralmente conexo). Un grafo G se dice que es unilateralmente conexo si si para todo par de nodos x e e y de se cumple que x es es alcanzable desde y ó ó que y es es alcanzable G se desde x . Definición (Grafo Definición (Grafo conexo o débilmente conexo). Sea un grafo G , y sea G ʹ un grafo no dirigido que se obtiene a partir de G reemplazando cada arista dirigida ( x , y ) por la arista no dirigida
}. Se dice que G es conexo o débilmente conexo si G ʹ es x , y }.
fuertemente conexo.
Proposición. Proposición. Si un grafo G es es fuertemente conexo entonces se cumple que G es es unilateralmente conexo. Proposición. Proposición. Si un grafo G es unilateralmente conexo entonces se cumple que G es es débilmente conexo. Proposición. Proposición. Sea G un grafo no dirigido. Entonces se cumple que: G es débilmente conexo si y sólo si es unilateralmente
conexo.
G es unilateralmente conexo si y sólo si es fuertemente
conexo.
Ejemplo. Ejemplo. El grafo de la siguiente figura es débilmente conexo. Sin embargo no es unilateralmente conexo, ya que a no es alcanzable desde d , y d no no es alcanzable desde a .
Ejemplo. El grafo de la siguiente figura es fuertemente conexo.
Definición (Subgrafo inducido por un conjunto de nodos). Sea un grafo G = (V , E ) y sea un conjunto de nodos V ʹ ⊂ V . Se denomina subgrafo de G inducido por V ʹ a un subgrafo G ʹ = (V ʹ, E ʹ) tal que para toda arista e ∈ E se cumple que si el conjunto de nodos incidentes de e es subconjunto de V ʹ entonces e ∈ E ʹ. Ejemplo. Considérese el grafo G = (V , E ) que se vio inicialmente como ejemplo de grafo ponderado. Sea el conjunto V ʹ = a , b , c , f }. Se tiene que V ʹ ⊂ V . El grafo inducido de G a partir de V ʹ es el grafo G ʹ que aparece mostrado en la siguiente figura. Se puede ver, además, cómo a pesar de que G es conexo, el grafo inducido G ʹ no lo es.
Definición (Subgrafo maximal). Sea un grafo G y sea G ʹ un subgrafo de G . Se dice que G ʹ es un subgrafo maximal de G respecto a una propiedad P si: G ʹ satisface P , y
no hay ningún subgrafo de G que sea supergrafo propio de G ʹ y que satisfaga P . Definición (Componente fuerte). Se denomina componente fuerte de un grafo G a un subgrafo maximal de G respecto a la propiedad “ser fuertemente conexo”. Ejemplo. Considérese el grafo G = (V , E ) que se vio inicialmente como ejemplo de grafo ponderado. El grafo G ʹ de la siguiente
figura es un subgrafo de G . G ʹ es fuertemente conexo. Además, no existe ningún grafo de G que sea supergrafo propio de G ʹ y que además sea fuertemente conexo. Por tanto, G ʹ es una componente fuerte de G .
Definición (Componente débil). Se denomina componente débi de un grafo G a un subgrafo maximal de G respecto a la propiedad “ser débilmente conexo”. Definición (Componente unilateral). Se denomina componente unilateral de un grafo G a un subgrafo maximal de G respecto a
la propiedad “ser unilateralmente conexo”.
6.5 Recorridos y tipos especiales de caminos 6.5.1 Recorridos Definición (Sucesores de un nodo). Sea un grafo G = (V , E ) y sean dos nodos x , y ∈ V . Se dice que un nodo y es sucesor de x si se cumple que (x , y ) ∈ E ó {x , y } ∈ E . El conjunto de todos los sucesores de x se denota succ(x ). Ejemplo. Sea el grafo G de la siguiente figura. Se tiene que succ(c ) = {b , d , e }, y succ(f ) = {d , f }.
Definición (Raíz de un grafo). Sea G = (V , E ) un grafo dirigido. Se denomina raíz de G a un nodo r ∈ V tal que todo nodo x ∈ V \ {r } es alcanzable desde r . Ejemplo. Sea el grafo G del ejemplo anterior. Se tiene que el nodo a es una raíz de G . Además, es la única raíz en G . Definición (Ordenación de los nodos de un grafo). Sea un grafo dirigido G = (V , E ). Se denomina ordenación de los nodos de V a
una secuencia de nodos de V donde aparecen todos los nodos de V y ninguno se repite. Definición (Predecesores en una ordenación). Sea un grafo dirigido G = (V , E ), sea n = ∣V ∣, y sea o = (o 1, o 2, …, o n ) una ordenación de los nodos de V . Sea un número natural i tal que 1 ≤ i ≤ n , y sea v = o i . Se denominan predecesores de v en o, y se denota predo(v ), al conjunto pred o(v ) = {o 1, o 2, . . . , o i − 1}. Si v = o 1 entonces predo(v ) = ∅. Ejemplo. Sea el grafo G de la figura anterior. Sea la secuencia ordenada de nodos o = (a , f , b , e , c , d ). Se tiene que pred o(e ) = a , f , b }. Definición (Recorrido en un grafo). Sea un grafo dirigido conexo G = (V , E ) y sea r una raíz de G . Se denomina recorrido en G desde r a una ordenación o = (o 1, o 2, …, o n ) de los nodos de V tal que o 1 = r y para todo v ∈ V \ {r } se cumple que ∃ x ∈ predo(v ) tal que v es sucesor de x . A cualquier recorrido en G desde cualquier raíz de G se le denomina recorrido en G. De manera informal, la idea intuitiva de recorrido es que la ordenación o indica la secuencia en que se van visitando o recorriendo nodos del grafo desde una raíz, siguiendo los enlaces del grafo, de forma que cuando se visita un nodo ha de existir un enlace desde un nodo ya visitado. Así, primero se visita o 1, luego o 2, luego o 3, y así sucesivamente. Ejemplo. Sea el grafo conexo G de la figura anterior. La única raíz de G es el nodo a . Un recorrido en G desde a es (a , c , e , b , d , f ). Definición (Recorrido en profundidad). Sea un grafo conexo G = (V , E ) que tiene al menos una raíz. Se denomina recorrido en profundidad de G a un recorrido o = (o 1, o 2, …, o n ) en G tal que ∀ i , 1 < i ≤ n , ∃ j , tal que = max {k ∣ 1 ≤ k < i ∧ (succ(o k ) \ predo(o i )) ≠ ∅} y (o j , o i ) ∈ E .
De una manera informal, la idea intuitiva del recorrido en profundidad es que siempre se visita un sucesor del último nodo que se ha visitado que aún tenga sucesores sin visitar. De esta forma, el recorrido en profundidad tiende a llegar rápidamente a los nodos que están más alejados en número de aristas del nodo raíz. Ejemplo. Sea el grafo conexo G de la figura anterior. Un recorrido en profundidad de G es (a , b , c , e , f , d ). Definición (Recorrido en anchura o amplitud). Sea un grafo conexo G = (V , E ) que tiene al menos una raíz. Se denomina recorrido en anchura o amplitud de G a un recorrido o = (o 1, o 2, …, o n ) en G tal que ∀ i , 1 < i ≤ n , ∃ j , tal que = min {k ∣ 1 ≤ k < i ∧ (succ(o k ) \ predo(o i )) ≠ ∅} y (o j , o i ) ∈ E . Ejemplo. Sea el grafo conexo G de la figura anterior. Un recorrido en anchura de G es (a , b , c , e , d , f ). De una manera informal, la idea intuitiva del recorrido en anchura es que siempre se visita un sucesor del primer nodo que se ha visitado que aún tenga sucesores sin visitar. De esa forma, el recorrido en anchura tiende a recorrer el grafo visitando nodos a lo “ancho” a partir de la raíz, en lugar de intentar “profundizar” como hacen los recorridos en profundidad. Definición (Recorrido por niveles). Sea un grafo conexo G = (V , E ) que tiene al menos una raíz, y sea G ʹ el grafo idéntico a G excepto que todos los pesos de los arcos toman el valor 1. Se denomina recorrido por niveles de G a un recorrido o = (o 1, o 2, …, o n ) en G tal que ∀ x ∈ V , ∀ y ∈ predo(x ), distanceG ʹ(o 1, y ) ≤ distanceG ʹ(o 1, x ). De una manera informal, la idea intuitiva del recorrido por niveles es que en la ordenación o primero aparece la raíz r , luego los nodos que están a una arista de distancia de r , luego los que están a 2 aristas de distancia, y así sucesivamente. Ejemplo. Sea el grafo conexo G de la figura anterior. Un
recorrido por niveles de G es (a , b , c , e , d , f ). Teorema. Sea un grafo conexo G . Todo recorrido en anchura en G es también un recorrido por niveles en G . De una manera informal, se puede decir que los recorridos en profundidad, en anchura y en niveles comparten un esquema muy parecido para determinar qué nodo es el siguiente a visitar. En cada momento seleccionan un nodo x de entre el conjunto S formado por los nodos que ya se han visitado pero que tienen sucesores aún por visitar; y de entre los sucesores de x se escoge el nodo a visitar. La diferencia entre los tres algoritmos está en cómo se selecciona el nodo x a partir del conjunto S : en el recorrido en profundidad se escoge el nodo de S “más nuevo”, es decir, el que se haya sido visitado más recientemente en la ordenación; en el recorrido en anchura se escoge el nodo de S “más antiguo”, es decir, el que se haya sido visitado antes en la ordenación; en el recorrido en niveles se elige un nodo de S que minimice la distancia en número de aristas desde el nodo raíz. Definición (Orden topológico en un grafo). Sea un grafo dirigido acíclico G = (V , E ). Se denomina orden topológico en G a un recorrido o tal que para toda arista ( x , y ) ∈ E se tiene que x ∈ predo(y ). De una manera informal, la idea intuitiva del orden topológico es garantizar que un nodo siempre se visita antes que cualquiera de sus sucesores. Teorema. Sea un grafo conexo G . Todo recorrido por niveles en G es también un orden topológico en G . Ejemplo. Sea el grafo dirigido acíclico G de la siguiente figura. Un orden topológico para G es (a , t , s , b , l , e , x , d ). En G no es posible encontrar ningún recorrido por niveles ya que no existe
ninguna raíz.
6.5.2 Tipos especiales de caminos Definición (Camino hamiltoniano). Sea un grafo no dirigido G cuyo conjunto de nodos es V . Sea un camino e en G , y sea r el nodo inicial de e. Se dice que e es un camino hamiltoniano en G si es un camino elemental en G y pasa por todo nodo de V \ {r }. Ejemplo. Sea el grafo G de la siguiente figura. El camino
[{a , c }, {c , e }, {e , f }, {f , d }, {d , b }] es un camino hamiltoniano en G .
Definición (Ciclo hamiltoniano). Sea un grafo no dirigido G cuyo conjunto de nodos es V . Se denomina ciclo hamiltoniano en G a un ciclo elemental en G que pasa por todo nodo de V . Ejemplo. Sea el grafo G de la figura anterior. Sea el camino siguiente: [{a , c }, {c , e }, {e , f }, {f , d }, {d , b }, {b , a }] . Es un ciclo hamiltoniano. Definición (Grafo hamiltoniano). Sea un grafo no dirigido G . Se dice que G es hamiltoniano si contiene un ciclo hamiltoniano.
Ejemplo. En el ejemplo anterior hemos visto que el grafo G de lafigura anterior contiene un ciclo hamiltoniano. Por tanto, G es un grafo hamiltoniano. Definición (Camino euleriano). Sea un grafo no dirigido G cuyo conjunto de aristas es E . Un camino euleriano en G es un camino sencillo que pasa por todas las aristas de E . Teorema. Un grafo no dirigido tiene un camino euleriano si y sólo si tiene a lo sumo dos vértices de grado total impar. Ejemplo. El grafo de la figura anterior verifica que sólo tiene dos vértices de grado total impar: b y e . Por tanto, dicho grafo contiene un camino euleriano. Se puede comprobar que el camino [{e , c }, {c , a }, {a , b }, {b , e }, {e , f }, {f , d }, {d , b }] es un camino euleriano. Definición (Ciclo euleriano). Sea un grafo no dirigido conexo G cuyo conjunto de aristas es E . Se denomina ciclo euleriano en G a un ciclo simple que pasa por todas las aristas de E . Definición (Grafo euleriano). Se denomina grafo euleriano a un grafo no dirigido que contiene un ciclo euleriano. Teorema. Un grafo no dirigido conexo es un grafo euleriano si y sólo si todos los vértices tienen grado total par. Ejemplo. El grafo de la figura anterior tiene dos vértices de grado total impar. Por tanto, no contiene ningún ciclo euleriano. Ejemplo. El grafo de la figura siguiente cumple que todos sus vértices tienen grado total par. Por tanto, contiene un ciclo euleriano. Finalmente, se puede afirmar que se trata de un grafo euleriano.
6.6 rboles Definición (Árbol o árbol libre). Sea un grafo no dirigido G . Se dice que G es un árbol o árbol libre si es conexo y acíclico. Teorema. Sea T un árbol y sean a y b dos nodos cualesquiera de T . Entonces existe un único camino de a a b en T . Teorema. Sea T un árbol con n nodos. Se cumple que el número de aristas de T es igual a n − 1. Ejemplo. La siguiente figura contiene un grafo que es árbol o árbol libre. En él se puede comprobar como entre dos nodos cualesquiera hay un único camino que los conecta. Además, se puede comprobar que el número de nodos es n = 5, y el número de aristas es n − 1 = 4.
Definición (Árbol de expansión de un grafo). Sean los grafos no dirigidos conexos G = (V , E ) y G ʹ = (V ʹ, E ʹ). Se dice que G ʹ es un árbol de expansión de G si V = V ʹ, E ʹ ⊂ E y G ʹ es un árbol.
Ejemplo. El grafo de la figura anterior es un árbol de expansión del grafo no dirigido de la siguiente figura.
Definición (Peso de un árbol). Sea un grafo ponderado T que es un árbol. Se denomina peso de T , y se denota weight(T), a la suma de los pesos de las aristas de T . Ejemplo. El grafo ponderado de la figura siguiente es un árbol de peso 17.
Definición (Árbol de expansión mínimo). Sea un grafo no dirigido ponderado G . Se dice que T es un árbol de expansión mínimo para G si T es un árbol de expansión para G y no hay ningún otro árbol de expansión T ʹ para G tal que weight(T')
Teorema. Sea un árbol T . Se cumple que todo nodo de T es raíz de T . Definición (Árbol con raíz). Sea un árbol T y sea r una raíz de T . Se denomina árbol con raíz al par (T , r ). Definición (Padre de un nodo en un árbol con raíz). Sea un árbol con raíz (T , r ). Sea v un nodo de T tal que v ≠ r . Se denomina padre de v a un nodo u tal que: la arista {u , v } pertenece a T , y u pertenece al recorrido del camino de r a v en T .
Teorema. Sea un árbol con raíz ( T , r ). Sea v un nodo de T tal que v ≠ r . Se cumple que hay un único padre de v . Definición (Hijo de un nodo en un árbol con raíz). Sea un árbol con raíz (T , r ). Sea u un nodo de T . Se denomina hijo de u a cualquier nodo v de T tal que u sea padre de v . Ejemplo. Sea el árbol T de la primera figura de esta subsección.
