C O N T E O
ESTR EST R U C T U R AS DI SC SCR R ET ETAS AS I
C O N T E O
Introducción
• El estudio sistemático del conteo (o de combinatoria) comenzó en el siglo XVII, cuanto se plantearon problemas combinatorios en el estudio de los juegos de azar • Las técnicas de conteo son importantes en matemáticas y en las ciencias de la computación • Hay que contar para determinar – la complejidad de un algoritmo – si hay suficiente números de teléfono o suficientes direcciones IP para satisfacer la demanda de los mismos – las contraseñas permitidas en un sistema informático – Etc.
C O N T E O
Combinatoria El arte de contar contar
“La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma.” Introducción a la combinatoria Ian Anderson
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El papiro Rhind (problema 79) C O N T E O
En 1858 el egiptólogo escocés A. Henry Rhind compró en Luxor (Egipto) el papiro que actualmente se conoce como papiro Rhind o de Ahmes, encontrado en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas. Fue escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en el año 1650 antes de nuestra era . Comienza con la frase: “Cálculo exacto para entrar
en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios.” El papiro mide unos 6 m de largo y 33 cm de ancho. Representa la mejor fuente de información sobre matemática egipcia antigua conocida. 4
El papiro Rhind (problema 79) C O N T E O
Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución . Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica. El problema 79 es de combinatoria. Veamos una versión “moderna”... 5
C O N T E O
Según iba a St. Ives me crucé con un hombre con 7 esposas. Cada esposa tenía 7 sacos, cada saco tenía 7 gatos, cada gato tenía 7 gatitos. Gatitos, gatos, sacos y esposas. ¿Cuántos iban a St. Ives? St. Ives Mother Goose (La mamá oca de San Ives)
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C O N T E O
¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras? Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol , las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado. Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio: •Aditivo (principio de la suma) •Multiplicativo (principio del producto)
Principios fundamentales
C O N T E O
Principio de la suma Una
actividad
puede
realizarse
de
distintas
maneras
que
son
mutuamente excluyentes , es decir, que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Si de una manera se puede hacer de n formas y de otra, de m formas, entonces hay m+n maneras distintas de realizar la actividad.
k formas Hay k + m + n posibilidades de ir desde A hasta B, de A
m formas
n formas
B
tres maneras distintas Se aplica en procesos de conteo susceptibles de ser divididos en casos
Principios fundamentales
C O N T E O
Principio de la multiplicación Si una actividad puede realizarse en dos pasos sucesivos (debe ocurrir uno y después el otro) de manera tal que el paso 1 se realiza de maneras y el paso 2 de
m
n
maneras, entonces la actividad puede
realizarse de m*n maneras distintas.
A
m formas
n formas
B
Hay m * n posibilidades de ir desde A hasta B
DIAGRAMAS EN ÁRBOL O ÁRBOLES (un tipo sencillo de grafos) Usted está comiendo en el restaurante de Emile y el camarero le informa de que tiene (a) dos opciones para los aperitivos: sopa o jugo (soup or juice); (b) tres para el plato principal: una carne, pescado, o vegetal plato (a meat, fish, or vegetable dish); y (c) dos de postre: helado o pastel (ice cream or cake).
C O N T E O
La solución es el número de ramas finales del árbol.
El total de posibilidades será: 2 . 3 . 2 = 12
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C O N T E O
a2
a1
b1 c1 c2
b2
b3
c1 c2 c1 c2
b1 c1 c2
b2
b3
c1 c2 c1 c2
El primer elemento puede escogerse de dos formas distintas: a1 y a2. El segundo de tres maneras distintas: b1, b2 y b3. El tercer elemento puede escogerse en dos modos distintos: c1 y c2.
El total de posibilidades será: 2 * 3 * 2 = 12
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Alfabeto Braille C O N T E O
¿Cuántos símbolos distintos pueden representarse?
2 2 2 2 2 2 64 63 1
2
3
4
5
6 12
C O N T E O
La regla del producto o principio multiplicativo Si una elección tiene m alternativas posibles y otra n, entonces la realización de ambas tiene m x n. Mozart compuso un vals con 11 posibilidades distintas para 14 de los 16 compases y 2 posibilidades para cada uno de los restantes. ¿Se habrán llegado a escuchar alguna vez todas las realizaciones posibles? 14
11 11 2 2 11 11
2
2
14
1.518.999. 334.332.96 4 1,5 10
15 13
C O N T E O
Si una elección tiene m alternativas posibles y otra n, entonces la realización de ambas tiene m x n. ¿De cuántas formas se pueden escoger dos fichas de dominó de las 28 que hay, teniendo en cuenta el orden, y de forma que se puedan aplicar una a la otra (es decir, de modo que se encuentre el mismo número de tantos en ambas fichas)? 14
C O N T E O
Escojamos la primera ficha. Esto se puede hacer de 28 maneras: En 7 casos la ficha elegida será un “ doble”, es decir, tendrá la forma 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66. Y en 21 casos será una ficha con distinto número de tantos. Por ejemplo 05, 13, 46, etc. En el primer caso ( ficha doble), la segunda ficha se puede elegir de 6 maneras. Por ejemplo, si en el primer paso fue elegida la ficha 11. En el segundo se puede tomar una de las fichas 10, 12, 13, 14, 15 o 16.
C O N T E O
En el segundo caso, la segunda ficha se puede escoger de 12 maneras. Por ejemplo para la ficha 35 servirán las 03, 13, 23, 33, 43, 63, 50, 51, 52, 54, 55, 56. Según la regla del producto, en el primer caso obtenemos 7 x 6 = 42 elecciones, y en el segundo, 21 x 12 = 252. Así que en total tendremos: 42 + 252 = 294 formas .
Alg unos pr oblemas
C O N T E O
Ejemplo 1 En una campaña electoral hay 8 candidatos de centro-derecha (CD) y 6 candidatos de centro-izquierda (CI), nominados para el cargo de Presidente del Concejo municipal. (a) Si el presidente es alguno de ellos, ¿Cuántas opciones de ganador hay?
8
6
CD
CI
CD P
o
CI P
8+ 6 = 14 opciones
Proceso mutuamente excluyente. No puede ser al mismo tiempo de CD y de CI
Alg unos pr oblemas
C O N T E O
Ejemplo 1 En una campaña electoral hay 8 candidatos de dentro-derecha (CD) y 6 candidatos de centro-izquierda (CI), nominados para Presidente del Concejo municipal. (b) Si en la contienda final hay dos finalistas, ¿Cuántas posibilidades existen de que sean una pareja de candidatos opositores?
8
6
CD
CI
CD P1
y
CI P2
8 * 6 = 48 opciones
Proceso que ocurre en pasos sucesivos e independientes. Seleccionamos un candidato CD y después otro CI independientemente de cual haya sido el candidato de CD
C O N T E O
•
Muchos problemas de conteo no se puede resolver utilizando solo el principio de la suma o del producto. Es necesario utilización simultanea de ambos
Principios fundamentales
C O N T E O
Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras distintas se puede ir de A hasta B?
Pri mer cas o: Hay 3 caminos distintos para ir S in pas ar por C desde A hasta B sin pasar por C A
C
B
S eg undo caso: P as ando por C
A
Hay 12 + 3 = 15 caminos distintos para ir desde A hasta B
Hay 4*3 = 12 caminos distintos para ir desde A hasta B, pasando por C
C
B
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Ejemplo 3:
•
En una versión del lenguaje BASIC, el nombre de una variable es una cadena de uno o dos caracteres alfanuméricos, y las letras mayúsculas y minúsculas no se distinguen. Además, un nombre de variable debe empezar con una letra y debe ser diferente de las cinco cadenas de dos caracteres que están reservados por el lenguaje. ¿Cuántos nombres de variables distintos hay en dicha versión del lenguaje BASIC?
V V1 V2
El numero de nombres de variables disponibles El numero de variables compuestas por un solo carácter El numero de variables compuestas por dos caracteres
V1 = 26
V2 = 26 * (26 + 10) – 5 = 931
Variables de un solo carácter (solo letra)
Combinaciones reservadas por lenguaje Variables de un solo carácter (letra + numero)
V = V1+v2 = 26 + 931 = 957
Alg unos pr oblemas
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Ejemplo 3 Las placas de los vehículos hasta hace 6 años, estaban conformadas por 3 letras y 3 dígitos (a) ¿Cuántas placas distintas se podían formar?
26
26
26
10
10
10
L
L
L
D
D
D
26 * 26 * 26 * 10 * 10 * 10 = 26 3 * 103
ABD102
≠
BDA012,
AAA888 es una placa Proceso que ocurre en pasos sucesivos.
(b) Ahora se forman con 3 letras, 2 dígitos y 1 letra, ¿Cuántas placas distintas se pueden formar?
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Ejemplo 4:
•
Cada usuario de una computadora tiene una contraseña, con una longitud de entre 6 y 8 caracteres, cada uno de los cuales es bien un digito o bien una letra. Cada contraseña debe contener al menos un digito. ¿Cuántas contraseñas distintas admita el sistema?
P
El numero total de contraseñas
P6, P7 y P8
El numero total de contraseñas de longitud 6, 7 y 8 P = 2 684 483 063 360
P = P6 +P7 + P8 P6 = 366 – 266 = 1 867 866 560
Numero de cadenas de longitud 6, incluyendo que no contienen ningún digito
Numero de cadenas de longitud 6 que no contienen un digito
P7 = 367 – 267 = 70 332 353 920 P8 = 368 – 268 = 2 612 282 842 880
Alg unos pr oblemas
C O N T E O
Ejemplo 5 Tomemos a 6 estudiantes, digamos A, B, C, D, E, F, para conformar una plancha estudiantil cuyos cargos son Presidente (P), Tesorero (T) y Secretario (S) (a) ¿Cuántas planchas pueden conformarse?
A B C D E F
P
B C D E F
B C E F
T
S
6 * 5 * 4 = 120 planchas
B C D E F
A B C D E F
6 •
5
•
B C E F
4
Alg unos pr oblemas
C O N T E O
Ejemplo 5 (b) Si A y B sólo se postulan para Presidente y no pueden ser tesorero ni secretario, ¿Cuántas planchas pueden conformarse? Estudiamos casos separados
Primer cas o
A B
P
S eg undo cas o
C D E F
C E F
T
S
2 * 4 * 3 = 24
C D E F
P +
C D F
C F
T
S
4 * 3 * 2 = 24
►►►► 24+24= 48
Alg unos pr oblemas
C O N T E O
Ejemplo 5 (c) Del número de planchas conformadas en la parte (a), ¿Cuántas tienen en algún puesto a A? Parece mas fácil resolverlo por el complemento: El número total de planchas menos las que no tiene A en ningún puesto
B C D E F
P
B C E F
B C E
T
S
120 planchas en total
5 * 4 * 3 = 60 planchas que no tiene A en ningún puesto 120 - 60 = 60 planchas que tienen A en algún puesto
Alg unos pr oblemas
C O N T E O
Ejemplo 5 (d) Del número de planchas conformadas en la parte (a), ¿Cuántas tienen A ó B en algún puesto? Estudiamos casos separados 60 planchas tienen A en algún puesto (por (c))
Pri mer cas o
Ambos casos contienen a las que tienen A y B al mismo tiempo
60 planchas tienen B en algún puesto (por (c))
S eg undo caso
¿Cuántas tienen A y B al mismo tiempo?
A
B
P T 4
C D E F
B
S
P T +
A
4
C D E F
C D E F
S
P T +
A
4
B
C D E F
S
P T +
B
4
C D E F
A
A
S
P T +
C D E F
B
B
S
P T
4
60 + 60 - 24 = 96 planchas que tienen A ó B en algún puesto
+
4
A
S = 24
Complemento
C O N T E O
Alg unos pr oblemas
Problema 1
El consejo directivo de una empresa farmacéutica tiene 10 miembros. De estos, serán elegidos 4 para conformar una plancha cuyos cargos son Presidente (P), Vicepresidente (VP), Tesorero (T) y Secretario (S). (a) ¿Cuántas listas o arreglos distintos pueden conformarse? (b) Si 3 miembros son médicos, ¿Cuántas listas tienen un médico en la presidencia? (c) ¿Cuántas listas tienen exactamente un médico? (d) ¿Cuántas listas tienen al menos un médico?
Alg unos pr oblemas
C O N T E O
Solución 10
9
8
7
P
VP
T
S
3
9
8
7
P
VP
T
S
(a)
(b)
(c)
3
7
6
5
P
VP
T
S
10 * 9* 8*7 = 5.040 listas
3 * 9* 8*7 = 1.512 listas
3*7*6*5 = 630 listas tienen un médico en la presidencia
El médico puede estar en P, VP, T y S. 4*630=2.520 listas con un médico exacto
(d)
El complemento de los que no tienen ningún médico
7
6
5
4
P
VP
T
S
5.040 - 7 * 6* 5*4 = 5.040 - 840 = 4.200 listas
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Ejemplo 6:
•
Supongamos que un modelo de camiseta se fabrica en 5 tallas diferentes: S, M, L, XL, XXL, además, cada talla se fabrica en los colores blanco(B), negro (N), rojo (R) y verde (V), excepto talla XXL, que solo se fabrica en verde y negro. ¿Cuántas camisetas diferentes debe haber en el almacén de una tienda se quiere tener disponible una de cada modelo ?
M
S
B
R
V
N
B
R
V
N
B
XXL
XL
L
R
V
N
B
R
V
N
V
N
Diag rama en ár bol
C O N T E O
•
Algunos problemas de conteo se puede resolver utilizando diagramas en árbol
Ejemplo 7:
•
Una eliminatoria entre 2 equipos consiste en, a lo mas, 5 partidos. El primer equipo que gane tres partidos resulta vencedor. ¿Cuántos posibles desarrollos de la eliminatoria puede darse? Eq. 1
Eq. 2
Partido 1 Eq. 2
Eq. 2
Eq. 1
Eq. 1 Partido 2
Eq. 2
Eq. 1
Eq. 2
Eq. 2
Eq. 1
Eq. 1
Eq. 2
Eq. 1 Partido 3
Eq. 1
Eq. 2
Eq. 1
Eq. 2
Eq. 1 Eq. 2
Eq. 2
Eq. 1Eq. 2
Eq. 1
Eq. 2
Eq. 2
Eq. 1 Partido 4
Eq. 1
Eq. 2
Eq. 2 Eq. 2
Eq. 1
Eq. 1
Eq. 1Eq. 2
Eq. 1 Eq. 2
Eq. 1
Partido 5
