ESTIGMATISMO APROXIMADO
Ya hemos visto al estudiar la condición de astigmatism ast igmatismo o general que una superficie puede representar estigmáticamente un punto del espacio objeto (O) en un punto del espacio imagen (O’). (O’). Nos preguntamos ahora si es posible que un sistema óptico represente estigmáticamente todo to do el espacio objeto en todo el espacio imagen. En nuestra vida cotidiana nos encontramos con que ningún sistema óptico es capaz de tal representación. Vamos a ver que efectivamente esto no es posible. Trataremos de estudiar si un sistema óptico es capaz de representar estigmáticamente un elemento infinitesimal de volumen del espacio objeto en un elemento infinitesimal de volumen del espacio imagen. Sea un sistema óptico para el que los puntos O y O’ son estigmáticos. estigm áticos. Tomamos otro punto (A) del espacio objeto muy próximo a O, cuyo vector de posición es O . Suponemos que este punto también es representado estigmáticamente por el siste ma óptico en el punto (B) cuyo vector de posición es O ' . y
n’
n
y’
A
O
B
s’
s z -s
O
O’
-s’
z’
O’
Cuando vimos vimos el teorema teo rema de Malus-Dupin obtuvimos la expresión para la diferencia de camino óptico: ( L)OO '
n ' TO ' O ' - n TO O cte ˆ
(1)
ˆ
donde teníamos medios homogéneos (de índice constante) y tr ayectorias reales de luz. T O es el vector unitario tangente a la trayectoria en O y T O ' el vector unitario tangen t angente te a la trayectoria en O’. Las coordenadas coo rdenadas de los vectores tangentes en O y O’ y los vecto res res de posición de los puntos (A) y (B) tomando origen en Oy O’ respectivamente son, asumiendo que trabajar en el plano no resta generalidad al problema al entender que trabajamos con sistemas ópticos con simetría de revolución: ˆ
ˆ
O ( y, z ) O ' ( y ', z ') T (sen s , cos s ) T ' (sen s ', cos s ')') ˆ
ˆ
Sustituyendo en la expresión (1),
Estigmatismo aproximado
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n ' ( y ' sen s ' z 'cos s ') - n ( y sen s z cos s ) cte
O bien, (n ' y ' sen s '- n y sen s ) ( n ' z ' cos s ' - n z cos s ) cte
Como el sistema es estigmático para O y O’, todos los rayos que salen de O llegarán a O’, incluido el eje óptico, lo que nos permitirá calcular el valor de la constante tomando el caso particular de s=s’=0. Entonces, n ' z '- n z cte
Sustituyendo, (n ' y ' sen s '- n y sen s ) ( n ' z ' cos s ' - n z cos s) n' z' - n z De donde,
(n ' y ' sen s '- n y sen s ) - n ' z '(1 - cos s ') - n z (1 - cos s ) 0 Teniendo en cuenta que 1 - cos 2 sen2
, nos queda definitivamente la 2 condición para que el sistema sea estigmático para un elemento de volumen:
(n ' y ' sen s '- n y sen s ) - 2 n ' z ' sen 2
s
2
'
- n z sen 2
s
0
(2)
2
Esta expresión debe cumplirse para cualquier ra yo, es decir, para cualquier valor de s, con lo que también para - s y -s’. Entonces, s' s -(n ' y ' sen s '- n y sen s ) - 2 n ' z ' sen 2 - n z sen 2 0 2 2
(3)
Como el segundo sumando de las expresiones (2) y (3) no varía, los primeros sumandos de ambas expresiones deben ser iguales por lo que necesaria mente se debe cumplir: (n ' y ' sen s '- n y sen s ) 0
n ' y ' sen s ' n y sen s
Expresión conocida como Condici ón de Abbe , o condición del seno de Abbe ,o condición de aplan atismo. Si se cumple esta condición, entonces el segundo sumando de la ecuación (2) [ó (3)] debe ser también nulo. Quedando,
2 n ' z ' sen 2
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Estigmatismo aproximado
s
2
'
- n z sen 2
s
0 2
n ' z ' sen 2
s
2
'
n z sen 2
s
2
Expresión conocida como Condi ción de H erschel . Veamos lo que implica cada una de las condiciones que hemos encontrado. Empezando por la condición de Abbe. n ' y ' sen s ' n y sen s
ny n' y '
sen s ' sen s
Como debe cumplirse para cualquier ángulo s (y por lo tanto s’, porque impusimos que O y O’ son estigmáticos), nos queda, sen s ' sen s
cte
(4)
Lo que nos lleva, dados n y n’, a una relación de constancia entre y’ e y. Y como debe ser así girando alrededor del eje óptico, esta condición nos lleva a que se cumpla que la imagen de un plano en el espacio objeto sea ot ro plano en el plano imagen. De ahí el nombre de condición de aplanatismo. Normalmente se trabaja con imágenes “planas” por lo que ésta es la condición más impor tante que podemos exigirle a cualquier sistema óptico. Ejemplos de sistemas que cumplen la condición de aplanat ismo son el espejo plano, los puntos de Young-Weierstrass para un dioptrio esférico y el centro de dicho dioptrio para consigo mismo. Siguiendo por la condición de Herschel, por razones análogas a las anter iores llegamos a que sen2 sen
2
s '
2 cte
s
(5)
2
Que significaría que la imagen de un segmento en e l eje es otro segmento en el eje. Un ejemplo de sistema óptico que verifica la condición de Herschel es e l espejo plano. Veamos ahora que en general no es posible que se cumplan ambas condiciones, la de Abbe y la de Herschel, a la vez, por lo que no existe sistema óptico alguno que pueda representar estigmáticamente un elemento de volumen del espacio objeto en el espacio imagen, punto a punto.
s
(°)
(°)
s’
sen s ' sen s
sen
2
s ' 2
sen
2
s 2
5
3
0,67
0,44
15
10
0,67
0,44
30
19
0,67
0,43
Supongamos que se cumple la condición de Abbe y 45 28 0,67 0,40 que, por tanto, hay una constancia en la relación (4) de por 60 35 0,67 0,37 ejemplo 2/3. Para distintos valores de s hayamos los valores 75 40 0,67 0,32 de s’ correspondientes. Calculando la relación (5) para esos 90 42 0,67 0,25 valores vemos que no es constante. Por lo que podemos concluir que las condiciones de Abbe y Herschel son incompatibles por lo general.
Estigmatismo aproximado
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Hemos comentado que el único sistema óptico para e l que se cumplen ambas condiciones simultáneamente es el espejo plano. Pero exist en dos casos particulares en los que se cumplen a la vez las condiciones (3) y (4). Uno sería el caso en que s = ±s’. Si s = s’ diremos que son los puntos nodales del sistema óptico. Y si s = - s’, los antinodales. En cualquier caso, estamos hablando de cumplirse ambas condiciones para una pareja de puntos. Desarrollaremos más ampliamente estos conceptos en el tema siguiente. Otra posible situación en que se pueden cumplir ambas condiciones al t iempo es el caso en que tanto s como s’ tomen valores muy pequeños. Si podemos aproximar el sens s (y coss 1) es inmediato comprobar que se cumplen simultáneamente las condiciones de Abbe y de Herschel. Se trabajará co n estos ángulos cuando la distancia a la que están los objetos con respecto a las aberturas con las que opera el sistema óptico son muy grandes. En estas condicones diremos que trabajamos en aproximación paraxial u ópti ca par axi al u ópti ca de Gauss o gaussiana .
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Estigmatismo aproximado
