ESTADISTICA Concepto.
Es una metodología que nos provee de un conjunto de métodos y procedimientos, procedimientos, para la recolección, organización, análisis e interpretación interpretación de datos, para la toma decisiones decisiones en situaciones de incertidumbre. incertidumbre. Por ejemplo estudiar la venta de juguetes, para averiguar que meses del año será más avorable la producción de ellos.
Clases de estadística: - Estadística Descriptiva.
Es la que se ocupa de al recolección, organización, presentación, descripción descripción y simpli!cación de datos.
- Estadística Inferencial. Inferencial.
Es la parte de la Estadística que en base a los resultados del análisis de los datos y a teorías necesarias, pretende inerir las peculiaridades y las leyes que gobiernan la población de la cuál provienen los datos.
Población y Mestra. - Población.
Es el conjunto de todos los individuos "características comunes#, que se pretenden estudiar. estudiar. Ejemplo. $e desea averiguar la edad promedio promedio de los alumnos de las %cademias &P'E &P'E ( )*. del +usco. - Mestra.
Es un sub conjunto conjunto de la población población Ejemplo En el mismo ejemplo anterior, solo se considera esta %cademia para dic-o dic-o estudio. !ariables Estadísticas: - !ariable Calitativa.
+uando presenta una cualidad, característica o atributo de la población Ejemplo. a variable &conte/tura* con posibles posibles valores valores &gruesa*, &delgada*. - !ariable Cantitativa.
+uando los valores que toma son n0meros. • •
!ariable Cantitativa Discreta.
+uando toma valores enteros, como a cantidad de Enermos del $12%. !ariable Cantitativa Contina.
+uando toma valores raccionarios como 3iempo de vida de un oco. Etapas del Estdio Estadísticos.P lani!cación " ecolección de la inormación # rganización, +lasi!cación y presentación de los datos recolectados A nálisis e 1nterpretación de los datos. Presentación de los datos $ediante tablas o cadros.
$upongamos que de 45 amilias se saca los siguientes datos datos sobre la cantidad de -ijos que tienen 6 7 8 7 9 7 9 7 6 7 4 7 8 7 6 7 : 7 9. Ta$a%o de la $estra& n '.
+antidad total de datos 7
n ; 45
Alcance & A '.
Es el intervalo cerrado del menor y mayor datos %
;
< 4,:=
"an(o &"'.
> & recorrido de los datos &, es la dierencia del mayor dato con el menor dato. '; : ( 4 ; 6 )recencia Absolta & f i'.
a recuencia absoluta de un valor, es la cantidad de veces que éste se repite. 6 ; 9 " el 6 se repite 9 veces# 8 ; 8 " el 8 se repite 8 veces# 9 ; 9 " el 9 se repite 9 veces# : ; 4 " el : se repite 4 vez# Mediana.- &Med'.- Es el término central de varios valores ordenados.
+asos $i la cantidad de datos es impar los siguientes ? valores ordenados. 8 7 6 7 : 7 @ 7 A 7 44 7 4:. Bed ; @ $i la cantidad de datos es par Es la Ba de los dos datos centrales7 E*. de C valores siguientes siguientes 9 7 : 7 C 7 @ 7 A 7 48. Bed ; Ba " C y @ # ; " CD@ # 8 ; ? Mediana para datos a(rpados por intervalos de clase:
Bed
n Fm 8
ωm
m
m
4
m imit imite e ine ineri rior or de lacla laclas seme emedia diana. ωm %nc-odelaclasedelamediana. n 3otal 3otal dedatos dedatos.. Fm 4 rec recuenc uencia iaab abs soluta oluta acum acumula uladadelaclas dadelaclasequepr equeprec eced edea ealacla laclas semedian emediana a. m recu recuen enc ciaab ia abs solutadela olutadelacl clas aseme emedian diana. a. E*e$plo
Bed
1
/i
i
Fi
C4,: C6,: C?,: ?5,: ?9,:
8 C 6 C 8
8 @ 48 4@ 85
9 85 6 8
CC
@
$eg0n se observa e/isten 85 datos, la mitad de ellos serían 45 datos y deben corresponder al intervalo < CC, CA G que sería la clase mediana
C?, :
Moda &+ ó $od'.- Es aquel dato que tiene mayor recuencia, es decir es él que más veces se repite. E*.
87976797879767978 Bod ; 9 " por que es el que más se repite#
Moda para datos a(rpados por intervalos de clase:
Bo
o
ωo
d4 d4 d8
o imite imite1n 1ne eriora rioralac lacla las semod emoda al. ω anc-odelaclasemodal. o d4 d42ierenc 2ierenciia entre la recuenc recuencia ia de la clase modal con la clase anterior. anterior. d8 2ierenc 2ierenciia entre entre la recuenc recuencia ia de la clase modal y la la recuenc recuenciia de la clase siguiente. E*e$plo
/
i
< 48, 4: G < 4:, 4@ G < 4@, 84 G < 84, 86 G < 86, 8? G
45 4: 8: 85 45
a clase modal es aquella que tiene la mayor recuencia absoluta, en este a caso es < 4@, 84G
Bo
d4 d4
I9 I9
8 6
4@ 9
45 45 :
85
8: 4: 45 8: 85 :
P"#,EMAS "ESET#S "ESET#S
Edades Proble$a /0
En una empresa, se -izo el estudio sobre las edades de los empleados y se obtuvo la siguiente tabla.
85 8: 95 9: 65
8: 8: 95 95 9: 9: 65 65 6:
12$ero de E$pleados
48 4: 89 44 A
3otal 3otal ?5 2onde % es el porcentaje de empleados con 95 años o más, H es el porcentaje de empleados con menos de 65 años.
$eñale % H
a#
b#
46@,CK
c# 4C5, @K
d#
4@5,CK
+on la inormación señalada se puede coneccionar la siguiente tabla. Pnta*e i Fi -i K J iK
45 4: 85 8: 95
e#
4@C, 6K Solción:
4C6, @K
El n0mero de empleados es la recuencia de cada intervalo, luego se puede señalar la tabla de recuencias respectiva.
+omo se necesitan porcentajes, se determinará la recuencia relativa "simple y acumulada# en orma porcentual, utilizando recuencia recuencia relativa 455K total de datos K $e tendrá la siguiente tabla Edades i Fi -i K
85 8: 95 9: 65
8: 95 9: 65 6:
48 4: 89 44 A
48 8? :5 C4 ?5
4?,4K 84, 6K 98, AK 4:,?K 48, AK
J iK 4?,4K 9@, :K ?4, :K @?,4K 455K
Jallamos %, empleados con 95 años seg0n la tabla serían los 9 ultimos intervalos % 98, AK AK 4:,?K 48, AK C4, :K :K 3ambién 3ambién se pudo encontrar, señalando los que tienen menos de 95 años es 9@,:K "rec. 'elativa acumulada# luego el resto será 455K 9@,:K ,:K
C4,:K ,:K
Jallamos H, seg0n la tabla, los que tienen menos de 65 años es @?,4K "rec. relativa acumulada#. Entonces % H C4, :K @?,4K % H 46@, CK
"pta.
4: 85 8: 95 9:
45 4: 8@ 85 4?
45 8: :9 ?9 A5
44,4K 4C,?K 94,4K 88, 8K 4@, AK
44,4K 8?, @K :@, AK @4,4K 455K
2e la tabla %
9 ,4K 888 , 86 K6 6 4@6, A9K 446 666
?8, 8K
$uma de las recuencias relativas de los intervalos donde el puntaje es mayor a 85
uego
H
44,4K
"de la tabla#
Entonces % H % H
?8,8K 44,4K ,4K "pta. C4,4K
Proble$a /4
2ado el tablero incompleto de la distribución de recuencias de las notas de :5 alumnos. +ompletar el tablero, con un anc-o de clase constante e igual a 8. $eñale Lcuántos alumnos sacaron un puntaje menor de 45M y Lqué porcentaje de alumnos obtuvieron 48 ó más de 48 pero menos de 4CM Ii 6i fi )i 7i 8
< < < < < <
, , , , , ,
A 88K 44
48 ? CK
a# 85 , 95K d# 85 , 8:K
b# 95 , 85K e# 95 , 8:K
c# 8:K , 8:K
Solción:
+onocido el anc-o de clase constante
Proble$a /3
a siguiente tabla muestra el n0mero de jóvenes que obtuvieron los puntajes señalados en una prueba de ingreso. 12$ero de Pnta*e 5 óve óvenes 45 4: 4:
45
4: 85 85
4:
85 8: 8:
8@
8: 95 95
85
95 9: 9:
4?
2onde % es el porcentaje de jóvenes con puntaje mayor a 85. H es el porcentaje de jóvenes con puntaje menor a 4:. Jalle . % H a# 4C,CK b# C4,4K c# 6C,6K d# C6,CK e# ?4,?K Solción:
y una de ω
las marcas de clase
8
se puede indicar /9
44
4# as demás marcas de cl clase, ya ya que se dierencian en el anc-o de clase, así , , , /4
? /8
/:
4: /C
A /9
44 /6
49
, 4?
8# os lím límit ite es de de cca ada cla clase se,, ya ya que que la ma marrca de de clase es la semisuma de los límites superior e inerior y la dierencia de los mismos es el anc-o de clase así
$ 1 8 $ 1
44 8
$ 48, 1
+onocido
45
, se determina las demás conocidas <45,48
las propiedades
a#
4 F4 A
b#
2el grá!co ω
F
ω
:5 "t "tamaño de de la pobla oblacción# ión# 2e donde 88K CK
I4
8
8
:5 88 88K
C
I9
:5 CK
I:
6
$e completa la tabla Ii 6i fi )i
? A 44 49 4: 4?
A 44 48 @ ? 9
C
9
6
@
-4
@,?:K
-:
4@,?:K
66 8C
4
@5 @, @,?:K
:
?
F4
@5 4@,?:K
4:
3ambién 3ambién
4@K 88K 86K 4CK 46K CK
F8
F4 I8
I4
8
85 ? 49
8
... :
@5
6
8:
$e tendrá la siguiente tabla Ii 6i fi )i 7i 8
<8C,95 <95,96 <96,9@ <9@,68 <68,6C
2e ella se puede indicar que N
Jay 85 al alumnos con pu puntaje me menor a 45
N 4C
Jay 95K que sacó más de 48 pero menos de "pta.
85 y 95K
8@ 98 9C 65 66
? 49 85 8: 4:
? @,?:K 85 4C, 8:K 65 8:K C: 94, 8:K @5 4@,?:K
$e observa N ? empleados tienen menos de 95 años, entonces tendrán más de 95 años.
Proble$a /9
2ada la siguiente tabla incompleta, de las recuencias de las edades de @5 empleados Ii 6i fi )i 7i 8
@,?:K
@5 ?
N
Poseen menos de 68 años J 6K
85 ?9 7 @4, 8:K
4@,?:K
Proble$a /
b# LOué LOué porcen rcenttaje aje del tota otal de em emp plea leados dos poseen menos de 68 añosM a#
b# 9? 7 4@,?:K
9? 7 @4, @4, 8:K
c#
d# 9? 7 94, 8:K
?9 7 @4, 8:K
e# ?9 7 4@,?:K
66
Solción:
@4,8: ,8: K
"pta.
85 66
?9
@,?:K 4C,8: ,8:K 8:K 94,8: ,8:K
$iendo el anc-o de clase constante, encontrar a# L+uá L+uánt ntos os em empl ple eados ados tie tienen nen más de 95 años añosMM
8C
8
$eg0n la tabla
7i 8
A 85 98 65 6? :5
ω
+on el cual se conocerá los límites de clase y las marcas de clase respectivas.
44
:5
ω
6
ω
%demás c# -8 d# -C e#
<8C, < , < , < , < ,
ω
a tabla muestra la distribución de pesos correspondientes correspondientes a 65 estudiantes, con un anc-o de clase constante. Pesos ;( 6i fi 7i
< < < < < <
, , , , , ,
G G G G G G
:C,:
5,45 :
C:,: ? 5,4:
$eñale la cantidad de estudiantes que pesan menos de C? g y el porcentaje de estudiantes que pesan C4 g o más pero menos de ?5 g. a# 8? y C5K b# 49 y C5,:K c# 8? y C4K d# 49 49 y C8K e# 8? 8? y C8,:K
+alcul +al culamo amoss el ancanc-o o de clase clase cons constan tante, te, "
#, ω colocando los intervalos sobre una recta numérica
ωω ω Solción: 8
ω
ω
Qótese que las marcas de clase, están igualmente distanciadas, grá!camente ωω
$e obtiene /6 /4 9ω
:C,: C:,:
/9 /6/8
/4
ω
'esolviendo C:,: :C, :
9ω
9
ω
2e donde , /8
:A, :
/:
C@, :
/9
C8,:
/C
?4,:
y os intervalos de clase se obtienen seg0n las marcas de clase y el anc-o de clase 9
ω
:C,:
14
1 8 <:@, C4
ugo, conocidos
-4 5,45
, etc.
y -C
5,4:
$e -alla 4
5,45
65
6
C
5,4:
65
C
:
a
b
?
C
485 4:?
85
L+uántas amilias tienen un ingreso comprendido comprendido entre 895 y 955 solesM a# 455 b# 485 c# 48: d# 495 e# 4:8
865 a ω b 865 ω .. ..."α# c b ω ..."β# <8@5,dG c 8@5
i 4
c 865 8@5 865 8ω ω 85
$e obtiene
18
<885, 865
19
<865, 8C5
16
C i 4
:
65
$e pide, K de estudiantes comprendidos entre esto será
a b ? 455K 65 K C8, :K
9: F8 F4 F9
8: 455K 65
Pes Pesan menos de C? 3ot 3otal Pes Pesan más de C? Pesan menos de C? 65 ? C Pesan Pes an menos nos de C? 8? "pta.
1 : <8@5, 955 1 C <955, 985
i
F8 485 6: 6: ?: 8 ?: 9: 9: 65 6 4:? 485 9?
855 9: 65 6: 9? : 85 89
$e tendrá In(reso
6 : a b ? C 65 a b 4@
<8C5, 8@5
%demás
n
K
,
,
4 F4 F9 9 F8 8 F6 6
i
β
,
+omo C
α
14 <855, 885
Podemos señalar la siguiente tabla Pesos ;( f i <:@,C4G
6:
$umando
$e puede indicar
6
9:
1 8
<::, :@
<::,:@G
< , G < , 865G < , G < , G <8@5, G < , G
)i
$i la distribución de recuencias se -a realizado con un anc-o de clase constante, se tendrá
< 4, , 8
4 8 :C,: 4 :: 8 :@ 8 8 4 9 14
fi
Solción
%sí /4
In(reso
fi
<855,885G
9:
<885, 865G
65
<865,8C5G
6:
<8C5,8@5G
9?
<8@5,955G
89
< 955,985G
85
$e desea conocer cuantas amilias tienen un ingreso entre 895 y 955 soles. 2e 18
<885, 865
$e considera
8? y C8,:K
885
Proble$a /<
2ada la siguiente distribución de recuencias en base al ingreso amiliar de 855 amilias
895
Finalmente Q0mero de Familias
65 amilias
85 6: 9? 89
865
uego
"pta. Q0mero de Familias
m 46, 8?, 65, et etc.
48:
Proble$a /=
2ada la siguiente distribución de recuencias, en base a las edades de 485 personas. $e conoce que los que tienen 68 o más años, son menos de 85, de los cuales 9 son casados. Ii 6i fi )i
< , < , < , <9@ , < ,
G G G G G
8@
6n @n :n 8m m
96Solción: 8@
8 ω
9@
8
2el grá!co se plantea , luego ω
8
ω
9@
ω ω
6
Primer intervalo
14 <8@
ω
8
ω
, 8@
8
<8C, 95
18
<95, 96
, 19
<96,9@
1:
<68, 6C
, 16
86
<96,9@G
95
<9@,68G
8@
<68,6CG
46
"pta.
48 48 86 ω Proble$a /> ω $e conoce la siguiente distribución en base a los pesos de @5 niños.
Pesos
fi
<4? , 85
?
<85 , 89
4@
<89 , 8C
:a
<8C , 8A
48
<8A , 98
8a
<98 , 9:
@
L+uántos niños tienen pesos comprendidos entre 84 y 8@gM a# :: b# :8 c# :5 d# 6: e# 8:
ueg uego o de de ree reemp mpla laza zarr & * ω 14
<95,96G
$e tendrá
8C
ω
8@
86
8 486 86
a' Jallando los intervalos de clase
8@
<8C,95G
Qos piden -allar
L+uántos tienen entre 8@ y 98 añosM a# 85 b# 88 c# 86 d# 4@ e# 4C
99 85
Pero el enunciado &R los que tienen 68 años o más son menos de 85 de los cuales 9 son casadosR* se identi!ca sólo se admite y luego 9 m 85 m 46 . n C Ii f i
Solción:
+onocido
P
<9@,68
i
3ot 3otal de datos
i 4
C
b' +ompletando las recuencias absolutas
$e conoce
del cuadro se tendrá
F8
@n 8
I 8
4
'esolviendo a : Qos piden la cantidad de niños entre 84 y 8@g.
%demás 3otal 3ot al ? de6 dato da C6 @ toss I4
T
T8
@5
? 4@ :a 48 8a @ @5
8 6n 6n
y
i 4
i
485
C
i
6 489niño 8: s niñi o4s : 6 T T T
I9
8 4@ niños
6n 6n :n 8m 8 485 49n 9m 485
/
2espejando n
84 +antidad de niños
485 9m 9m 9 n A 49 49 +omo &n* &n* es entero,
9 m 4 49
también es entero.
Seamos por partes
89
8C
8A 8@
i#
2el segundo intervalo
se sabe que 85 , 89
-ay 4@ niños
, pero se desea a partir de 84. 8 4@
85
89
/
89 85 4@ 89 84 / / 48
89
84
ii# ii# El terc ercer inte interv rval alo o es cons consider iderad ado o en su totalidad, 8: niños. iii#
J 4 4:m 4 4 m 4: %demás
4 m 4:
J4 -4 4
4 4: 4 C5 4:
, o sea J4
-4
6
-ay 48 niños, pero se desea -asta 8C , 8A
3ambién 3ambién
8@, luego. 8C
8A
y
8C
como J6
48
8@
2e "i#, "ii# y "iii# 3otal 3otal 48 8: @
8A 8C 48 8@ 8C y y @
-: J: J:
"pta.
6:
i
Ji
, 4: 4: 45
, ,
44m
,
A
9: , 3ot 3otal
4:m 4:m
b# 95 e# 9:
c# 65
? C5
C
?
Finalmente
1i <45,4: <4:,85 <85,8: <8:, 95 <95,9: <9:,65
i 6 45 9 6 A ? y 9
6
que están en
es decir
6
/
2e la tabla 6 45
1 C < 9: , G 45
I4
I3
9: ω
:
Entonces 14 <45,4: 1 8 <4:, 85 1 9 <85, 8: B $on conocidos todos los intervalos. es la recuencia relativa acumulada, luego b'
A ?
/
85
3otal 3otal es I0 C5 46 / 4C Proble$a 0/
$e observa 4: ω ω ω ω
pero se desea conocer aquellos
<85,95
uego
Ji
-C
I9
Solción: anc-oa' $e conoce y de clase 14 < , 4: G
I9
Qo se conoce
C5
a# 85 d# 8:
A
-C J C - C J : 4
85 , 95
,
:
-: J 6 :9 C5
Encontramos
2ada la siguiente distribución de recuencias, de anc-o constante. $eñale cuantos valores se encuentran comprendidos en el intervalo 1i
44 4:
44m
, entonces
A C5
Proble$a /?
II<:
, pero
95 U
65 "pta. 99 5: 4:
$e tiene la siguiente tabla de recuencias relativas de 855 personas, seg0n el tiempo de años de servicio en una ábrica
3iem 3iempo <8 : <: @ <@ 44 <44 46 <46 4?
-i 5,4:5 5,4@: 5, 8:: 5, 84:
y L+uántos empleados -an / trabajado entre 45 y 4: añosM Vg LOué porcentaje tiene @ ó más años de servicio, pero menos de 46M Empleados entre 4: plea a# 45 ?9yem empl ead dos, os, ?6K b# 9? em empl plea ead dos, os, 6?K 45 c# 9? em empl plea ead dos, os, ?6K d# ?945em empl plea ead dos, os, 6?K e# 69 empl emplead eados, os, ??K ??K
a' empleamos entre 45 y 4: años 9A empleados 69 empleados :4 empleados
@
i#
2e
$e conoce -i
44 @ 44 45
:4 /
/ 4?
1 : 4? 46
9A y
y 49
19
Solción:
i
i
3ota 3otal de de dat datos
855 -i
ii#
2e
4: 46
se orma la tabla
3iem 3iempo <8 : <: @ <@ 44 <44 46 <46 4?
i 95 9? :4 69
3otal 3otal buscado
4? 69 49 ?9
b' empleados en
, esto es considerar <@,46
, 19
no se conoce
44
, pero :
<44,46 A6
A6 455K 3ota 3otal
3ot 3otal de datos
Porcentaje
855 855
$e tendrá !nalmente
i 4
95 9? :4 69 : :
16
W de empleados :4 69
: i
<@,44
"pta.
?9 empleados y 6?K
A6 455K 6?K 855
46
