“Año del Buen Servicio al Ciudadano”
UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES UPLA
FACULTA FACULTAD DE CIENCIAS C IENCIAS ADINISTRATIVA ADINISTRATIVAS S ! CONTABLES
ESPECIALIDAD" ADINISTRACION ! SISTEAS
ESTADISTICA CATEDRA
"
ESTADISTICA
CICLO
"
IV
CATEDRATICO
"
ECO. PA PATRICIA TRICIA MARIELA MARIEL A ARROYO ALFARO
ESTUDIANTE
" DE
LA CRUZ VARGAS, JESÙS
HUANCAVELICA, MAYO 2017
ESTADISTIC
ESTADISTIC La estadístia es !a ie"ia de !#s dat#s, !a $a! i%&!ia s$ 'e#!ei(", !asi)ai(", sí"tesis, #'*a"i+ai(", a"!isis e i"te'&'etai(", &a'a !a t#%a
CUANTITATIVA
VARIA-LES
REGULADO POR
S$s /a!# 'e s #''e s&#" de " a # " e & t# s , a t 'i . $ t# s # $a ! id a de s 4 $ e " # s #" %edi .!e s Ee %&!#3 s e 5# , & ' #6 e s i( " e s ta d #
S#" %e di.! es, s$s / a ! # 'e s # ' 'e s & # " d e " a "%e '#s 'e a!es E e% & ! #3 & e s #, e d ad , a!t$'a, et
DISCRET
E5&'esa" %edia"te "%e'#s e"te'#s Ee% &!#3 N 8 i # s , 8 e ' %a " #s , &*i" a de $"
CONTINU
N# se &$e de " e5&'esa' %edia"te "%e'#s e"te'#s E e %& !# 3 e da d, a!t$ 'a, &es #,
CUALITATIVA
ORDINALE
S$s /a!#'es se &$ede" #'de"a' Ee%&!#3 es#!a'idad, *'ad$ai(" %i!ita', et
NOMINALE
S$s /a!#'es "# se & $ e d e " # ' d e " a' E e %& !# 3 * '$ &# sa"*$í"e#, 'e !i *i (" , s e5# , #! #' de &e! #, et
Las Tablas de frecuencias.- Son herramientas de Estadística donde se colocan los datos en columnas representando los distintos valores recogidos en la muestra y las frecuencias (las veces) en que ocurren.
Elementos de las Tablas de frecuencias Datos Los datos son los valores de la muestra recogida en el estudio estadístico
Frecuencia absoluta La frecuencia absoluta (ni) es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Número de veces que se repite el ensimo valor de la variable. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos! que se representa por n
Frecuencia absoluta acumulada La "recuencia absoluta acumulada (Ni) es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. N# $ n# N% $ n# & n% $ N# & n% N' $ n# & n% & n' $ N% & n' N $ n. Se interpreta como el número de observaciones menores o iguales al íesimo valor de la variable. "recuencia relativa La frecuencia relativa (fi) es la proporci*n de veces que se repite un determinado dato. La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. fi $ ni+n La suma de las frecuencias relativas es igual a #. "recuencia relativa acumulada La frecuencia relativa acumulada ("i) es el número de observaciones menores o iguales al íesimo valor de la variable pero
Las Tablas de frecuencias.- Son herramientas de Estadística donde se colocan los datos en columnas representando los distintos valores recogidos en la muestra y las frecuencias (las veces) en que ocurren.
Elementos de las Tablas de frecuencias Datos Los datos son los valores de la muestra recogida en el estudio estadístico
Frecuencia absoluta La frecuencia absoluta (ni) es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Número de veces que se repite el ensimo valor de la variable. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos! que se representa por n
Frecuencia absoluta acumulada La "recuencia absoluta acumulada (Ni) es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. N# $ n# N% $ n# & n% $ N# & n% N' $ n# & n% & n' $ N% & n' N $ n. Se interpreta como el número de observaciones menores o iguales al íesimo valor de la variable. "recuencia relativa La frecuencia relativa (fi) es la proporci*n de veces que se repite un determinado dato. La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. fi $ ni+n La suma de las frecuencias relativas es igual a #. "recuencia relativa acumulada La frecuencia relativa acumulada ("i) es el número de observaciones menores o iguales al íesimo valor de la variable pero en forma relativa. "# $ fl "% $ f#& f% $ "# & f% "' $ f#& f% & f' $ "% & f' " $ #
Tabla de frecuencia de datos no agrupados Los datos no agrupados son las de observaciones reali,adas en un estudio estadistico que se presentan en su forma original tal y como fueron recolectados! para obtener informaci*n directamente de ellos. La -abla de frecuencia de datos no agrupados indica las frecuencias con que aparecen los datos estadísticos sin que se haya hecho ninguna modificaci*n al tamao de las unidades originales. En estas distribuciones cada dato mantiene su propia identidad despus que la distribuci*n de frecuencia se ha elaborado. En estas distribuciones los valores de cada variable han sido solamente reagrupados! siguiendo un orden l*gico con sus respectivas frecuencias. La tabla de frecuencias de datos no agrupados se emplea si las variables toman un número pequeos de valores o la variable es discreta.
Tabla de frecuencia de datos agrupados La -abla de frecuencia de datos agrupados aquella distribuci*n en la que los datos estadísticos se encuentran ordenados en clases y con la frecuencia de cada clase/ es decir! los datos originales de varios valores adyacentes del con0unto se combinan para formar un intervalo de clase. 1E0emplo de -abla de "recuencia de datos agrupados1 La tabla de frecuencias agrupadas se emplea generalmente si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua.
En este caso se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. 2 cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente. Las clases deben ser e3cluyentes y e3haustivas! es decir que cada elemento de la muestra debe pertenecer a una sola clase y a su ve,! todo elemento debe pertenecer a alguna clase. 4ada clase est5 delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase. Los intervalos se forman teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo! pero el límite superior no pertenece intervalo! se cuenta en el siguiente intervalo. No e3iste una regla fi0a de cuantos son los intervalos que se deben hacer/ hay diferentes criterios! la literatura especiali,ada recomienda considerar entre 6 y %7 intervalos. El número de intervalos se representa por la letra 181. El 9ecorrido es el límite dentro del cual est5n comprendidos todos los valores de la serie de datos!. Es la diferencia entre el valor m53imo de una variable y el valor mínimo que sta toma en una investigaci*n cualquiera. 9 $ :ma3. :min. La 2mplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase y se representar5n por 14i1 4i $ 9+8 Se considerar5 la misma amplitud para todos los intervalos. La ;arcas de clases (:i) representa a la variable a travs de un valor. Se calcula como el punto medio de cada clase! o bien la semi suma de la clase La tabla de frecuencias puede representarse gr5ficamente en un histograma. Normalmente en el e0e vertical se coloca las frecuencias y en el hori,ontal los intervalos de valores
DE
DATOS NO AGR!ADOS
>dentificar el ;enor ?alor y el ;ayor ?alor de las variables.
%.
2notar ordenadamente de ;enor a ;ayor los distintos @valores de la variableA! en la columna del mismo nombre! sin repetici*n.
'.
4ontar el número de veces que se repite cada dato y anotar la cantidad en la columna @"recuencia 2bsolutaA (f i)
B.
2notar la frecuencia total (n)
Ejemplo 1:
4onstruir una tabla de distribuci*n de frecuencias con las notas obtenidas por el BC ao E de un colegio! en una prueba de biología. Las notas fueron=
4
7
6
7
6
5
4
6
7
1
6
2
4
6
5
4
4
6
5
4
2
2
7
3
5
7
4
6
5
7
6
7
3
5
7
5
6
5
6
7
#.
Se identifica que la menor nota obtenida es un uno (#) y la mayor nota un siete (D)! adem5s estamos hablando de variables cuantitativas discretas.
%.
Se construye la tabla! anotando los distintos valores de la variable! sin repetici*n.
Notas !. "iolog#a $%E & ' ( $ ) * +
'.
4ontar la cantidad de veces que se repite cada nota en la columna de "recuencia 9elativa (fi).
Notas !. "iolog#a $%E
Frecuencia Absoluta f i
B.
&
&
'
(
(
'
$
+
)
,
*
&
+
"inalmente se debe anotar la "recuencia -otal (n)! que se obtiene sumando todas las frecuencias absolutas! este número debe coincidir con el número de la poblaci*n o muestra a estudiar.
Notas !. "iolog#a $%E
Frecuencia Absoluta f i &
&
'
(
(
'
$
+
)
,
*
&
+
Frecuencia Frecuencia Total /n0
$
Ejercicios…
1.
4on los siguientes datos! que se obtuvieron al consultar las edades de los alumnos de un curso de B7 alumnos! construye una tabla de distribuci*n de frecuencias absolutas! de datos no agrupados.
&*
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&+
&+
&,
&*
Edades de Alumnos
Frecuencia Absoluta f i &) &* &+ &,
Frecuencia Total /n0
2.
4antidad de personas que componen el grupo familiar en una encuesta reali,ada a 67 hogares.
3.
*
$
$
(
'
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+
*
$
*
*
(
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+
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9endimiento (en il*metros por litro de bencina) de #%7 vehículos controlados por una compaía.
,
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&$ &) &(
,
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& &' &) &+ && &, &( &) && && &*
&+ &( &+ &' & &* &( & ' &' & && &'
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&) & &( && &( &(
,
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,
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,
1ONSTR1123N DE TA"LAS DE D2STR2"123N DE FRE1EN12AS DE DATOS AGR!ADOS
4uando los valores de la variable de un con0unto de datos son muy numerosos y sus frecuencias tambin lo son (4uantitativo 4ontinuo)! es conveniente agrupar los valores de la variable en 2nter4alos de 1lases . n 2nter4alo de 1lases es es un par de valores de la variable variable (e3tremos) (e3tremos) que agrupa a todos los valores que est5n entre ellos. Los valores e3tremos de un intervalo de clase! se conocen como Límite >nferior y Límite Superior.
&& --
'
Límite
Límite
1. Geterminar la Longitud de 4lase (9ango)/ se refiere a la diferencia entre el mayor y el menor de la variable. 2. Geterminar el número de intervalos. Se refiere a la cantidad de intervalos de clases en los cuales se agrupar5n los datos. La cantidad es arbitraria! aunque generalmente se usan #7 o un número cercano a #7. 2l elegir muchos intervalos (m5s de %6)! es poco lo que se gana con la agrupaci*n y al elegir pocos intervalos (menos de de 6) 6) se pierde parte de la informaci*n o se distorsiona. 3. Geterminar el -amao de los >ntervalos! se refiere al cuociente entre la Longitud de 4lase y el Número de >ntervalos. 4. "i0ar el Límite >nferior y Superior de cada intervalo. 5. Geterminar la ;arca de 4lase y 4ompletar 4ompletar la -abla -abla de de "recuencias "recuencias 9elativas 9elativas y 2cumuladas! 2cumuladas! con sus sus
Ejemplo…
4onstruir una tabla de Gistribuci*n de "recuencia en intervalos de clase con las estaturas! en centímetros! de H7 alumnos de un colegio.
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&*'
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&)+
&)*
&*&
&**
&))
&)'
&*)
1° Paso: Determinar Longitud de lase !"ango#:
9 $ ;ayor ?alor ;enor ?alor 9 $ #DB #67 $ %B
2° Paso: Determinar el $%mero de &nter'alos:
4onsideremos el ?alor H (2dem5s es "actor de %B)
3° Paso: Determinemos el (ama)o de los &nter'alos !c#:
c
=
R
%B
N ° de Intervalos
H
= '
N#ta3 Si e! ta%a9# de! i"te'/a!# "# 'es$!ta se' $" "%e'# e"te'#, a veces, si !a /a'ia.!e es $a"titati/a dis'eta, #"/ie"e a&'#5i%a'!# a!
4° Paso: *ijar el L+mite &n,erior - el L+mite .uperior de cada &nter'alo/
2nter4alo de 1lases &) - &)( &)( - &)* &)* - &) &) - &*' &*' - &*) &*) - &*, &*, - &+& &+& - &+$
Límite >nferior de la ?ariable.
Lí%ite S$&e'i#' de ada i"te'/a!# es i*$a! a! Lí%ite I"6e'i#' de! I"te'/a!# si*$ie"te
Luego se va sumando el tamao de los intervalos ( ' )
4on esto se obtienen intervalos @cerrados I abiertosA! es decir! un dato igual al Límite superior de un intervalo corresponder5 al intervalo siguiente.
5° Paso: Determinar la 0arca de lase - completar las ,recuencias/
xi
=
Límite Inferior + Límite Superior %
2nter4alo de 1lases
5i
f i
f acac
6f i
&) - &)(
&)&7)
,
,
&6
&)( - &)*
&)$7)
&)* - &)
&)+7)
&) - &*'
&*7)
&*' - &*)
&*(7)
&*) - &*,
&**7)
&*, - &+&
&*7)
&+& - &+$
&+'7)
Totales
(
6f acac
(+7)6
&' &&7')6
*(7+)6
+
&'7)6
, n 8 ,
&6
Ejercicios…
1.
4ompleta la tabla de distribuci*n de frecuencias que muestra el número de veces que sali* cada puntuaci*n en el lan,amiento de un dado y luego contesta las preguntas.
N% en los Dados
f i a. ¿Cuál fue el númerof acactotal de lanzamientos?
&
((' b. ¿Cuántas veces salió una puntuación
'
((*
(
('(
$
($
)
((&
*
((,
menor que 3? c. ¿Cuántas veces salió una puntuación menor que 5? d. ¿Cuántas veces salió una puntuación
n8
2.
4ompleta la tabla y luego contesta las preguntas. Notas obtenidas por B6 alumnos en una
2nter4alo de
f i
1lases
n
&
&
'
$
(
)
$
*
)
*
&'
+
,
fac
a. ¿Cuántos alumnos ac ac obtuvieron6f nota igual o inferior a 5? b. ¿Cuántos alumnos obtuvieron nota inferior a 4? c. ¿Cuántos alumnos obtuvieron nota ? d. ¿!u" # de alumnos obtuvo nota 3? e. ¿!u" # de alumnos obtuvo nota $? f. ¿!u" # de alumnos obtuvo nota igual o inferior a 5?
6f i
3.
Las edades de #K6 alumnos de un colegio son las siguientesF
13
15
1
14
15
17
17
1
16
14
17
14
1
14
15
15
13
16
17
1
1
17
13
17
13
2
16
17
16
15
16
1
17
2
16
14
1
14
17
1
16
16
13
14
15
16
1
17
15
1
16
17
1
1
14
14
13
16
15
17
15
16
15
1
16
14
15
13
1
16
15
14
15
17
16
15
2
17
16
17
13
1
17
13
15
14
1
17
14
14
16
17
16
15
15
1
14
17
15
1
17
13
15
1
1
14
17
16
1
16
16
13
1
1
1
16
17
1
13
17
14
17
13
17
14
15
15
1
17
17
14
15
15
17
14
15
1
13
16
15
16
1
17
15
16
17
16
16
17
1
16
15
13
17
17
16
16
17
14
15
17
15
15
1
17
14
16
15
13
1
16
1
15
1
16
2
17
1
16
16
14
1
1
14
1
13
16
17
14
15
1
17
1
16
15
4onstruye una tabla de distribuci*n de frecuencias y contesta las siguientes preguntas (apro3ima a tres decimales) a.
4u5ntos alumnos tienen #D aosM
b.
4u5ntos alumnos tienen #J aos o menos de #JM
c.
4uantos alumnos tienen menos de #6 aosM
d.
u O de alumnos tiene #B aosM
e.
u O de alumnos tiene %7 aosM
f.
u O de alumnos tienen menos de #K aosM
g.
u O de alumnos tienen #D aos o menosM
4.
9ecoge los datos correspondientes a las estaturas (en cm) de tus compaeros de curso y luego construye una tabla de distribuci*n de frecuencia de datos agrupados en intervalos de clases.
5.
En un 4on0unto Pabitacional! se pretende hacer un estudio acerca del número de personas que habita cada bloque. 2 travs de una encuesta a las familias que habitan los departamentos de los H7 bloques del con0unto! se obtuvieron los siguientes datos=
a.
J'
JK
H'
H6
K'
D'
H7
KB
#7B
#%6
##B
#6%
##6
#%7
#%D
#'K
#76
##B
#%'
#%#
#%H
K7
D6
#'D
#'#
D'
J%
#77
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#7'
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KD
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##'
J'
JK
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##J
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#7%
#7D
#7J
###
##K
#7D
#77
#7K
H'
H6
K'
##H
##J
##D
#''
#67
#B'
K'
9eali,a una tabla de frecuencia dividiendo los datos en clases de longitud H y otra dividiendo en clases de longitud #%.
.
En una clase en un colegio espaol hay 67 alumnos. (la escala de notas es de # a #7). Las notas obtenidas por los alumnos en la asignatura de matem5tica es=
a.
B
D
6
'
6
#7
6
#
B
K
%
6
6
J
J
6
6
D
6
#
B
'
J
D
B
#7
J
J
B
D
H
%
6
D
J
H
6
'
H
6
B
#7
6
J
D
%
B
K
H
B
9eali,a una tabla de frecuencia! sealando la frecuencia de cada nota. 4ompleta la tabla de frecuencia! sealando las marcas de clases! y luego responde las siguientes preguntas= i. ii. iii. iv. v. vi. vii.
!.
4u5ntos alumnos obtuvieron nota 6 * JM En qu clase se concentr* el mayor número de alumnosM u porcenta0e de alumnos obtuvo nota inferior a 6M u porcenta0e de alumnos obtuvo nota superior a 6M u porcenta0e de alumnos obtuvo nota superior a HM 4u5ntos alumnos obtuvieron notas inferiores a JM 4u5ntos alumnos obtuvieron notas superiores a HM
La tabla tabla siguiente siguiente muestra longitudes longitudes en en cm. de B% tornillos. 4onstruir una distribuci*n distribuci*n (tabla) de frecuencia! utili,ando intervalos de clases adecuados. Seala tambin la marca de clase en cada casoM.
D!'J
D!%K
D!B'
D!B7
D!'J
D!B#
D!'6
D!'#
D!%J
D!'D
D!%H
D!'D
D!'J
D!'6
D!%B
D!''
D!B%
D!'J
D!'K
D!'6
D!B6
D!'J
D!B%
D!B7
D!%H
D!'H
D!%6
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D!'B
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D!''
D!'7
D!'%
D!'7
D!'K
D!'B
D!'H
D!'K
D!%D
D!'6
D!'6
D!'%
