Universidad del Norte de Nicaragua UNN, Estelí ESTADISTICA DESCRIPTIVA Y SUS APLICACIONES
La estadística es una colección de métodos para planificar y realizar experimentos, obtener datos y luego analizar, interpretar, y formular una conclusión basada en esos datos. Es la ciencia encargada de recopilar, organizar, analizar e interpretar información numérica o cualitativa, de manera que pueda llevar a conclusiones válidas. Ramas de la Estadística La estadística se puede definir como la ciencia que recopila, organiza, analiza e interpreta la información numérica o cualitativa, mejor conocida como datos, de manera que pueda llevar a conclusiones válidas. La estadística descriptiva es la ciencia que recopila, organiza e interpreta la información numérica o cualitativa. Los periódicos, revistas, radio y televisión usan la estadística descriptiva para informar y persuadirnos acerca de ciertas acciones a tomar y en la formación de opiniones. La estadística inferencial es la ciencia que interpreta información de manera que pueda llevar a conclusiones válidas. Los gobiernos y las organizaciones utilizan la estadística para tomar decisiones que afectan directamente nuestras vidas.
Una muestra es un subconjunto de una población. Las muestras representativas de una población son útiles ya que facilitan el manejo de los datos. Una muestra es representativa de la población si al escogerla cada elemento tiene la misma probabilidad de salir o de ser escogido. Por qué estudiar Estadística?
La primera razón es que la información numérica está en todas partes. Por ejemplo en los periódicos, revistas de noticias, revistas de negocios, revistas de interés general, revistas del hogar, revistas deportivas, revistas de coches, noticias de televisión, radio, etc., se encuentra gran información numérica. Para ser consumidores educados en esta información, es necesario poder leer las tablas y gráficas, así como entender el análisis de la información numérica Una segunda razón para tomar un curso de estadística es que las técnicas estadísticas se utilizan para tomar decisiones que afectan nuestra vida diaria, que afectan nuestro bienestar personal. Una tercera razón es que el conocimiento de los métodos estadísticos ayudará a entender cómo se toman las decisiones y a comprender de qué manera nos afectan.
En cualquier línea de trabajo habrá que tomar decisiones en las que el entendimiento del análisis de datos será muy útil.
Tipos de variables Variables cualitativas
Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser dicotómicas cuando sólo pueden tomar dos valores posibles como sí y no, hombre y mujer o son politómicas cuando pueden adquirir tres o más valores. Dentro de ellas podemos distinguir:
Variable cualitativa ordinal o variable cuasi cuantitativa : La variable puede tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es necesario que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve, moderado, fuerte .
Variable cualitativa nominal : En esta variable los valores no pueden ser sometidos a un criterio de orden como por ejemplo los colores. Variables cuantitativas
Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. Las variables cuantitativas además pueden ser:
Variable discreta: Es la variable que presenta separaciones o interrupciones en la escala de valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre los distintos valores específicos que la variable pueda asumir. Ejemplo: El número de hijos (1, 2, 3, 4, 5). Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. Por ejemplo la masa (2,3 kg, 2,4 kg, 2,5 kg,...) o la altura (1,64 m, 1,65 m, 1,66 m,...), o el salario. Solamente se está limitado por la precisión del aparato medidor, en teoría permiten que siempre exista un valor entre dos variables.
Niveles de Medición Medir significa “asignar números a objetos y eventos de acuerdo a reglas” (Stevens, 1951), esta definición es adecuada para el área de ciencias naturales, en el campo de las ciencias sociales medir es “el proceso de vincular conceptos abstractos con indica dores empíricos”
La medición de las variables puede realizarse por medio de cuatro escalas de medición. Una característica esencial de la medición es la dependencia que tiene de la posibilidad de variación. La validez y la confiabilidad de la medición de una variable depende de las decisiones que se tomen para operacionalizarla y lograr una adecuada comprensión del concepto evitando imprecisiones y ambigüedad, por en caso contrario, la variable corre el riesgo inherente de ser invalidada debido a que no produce información confiable. a) Medición Nominal.
En este nivel de medición se establecen categorías distintivas que no implican un orden específico. Por ejemplo, si la unidad de análisis es un grupo de personas, para clasificarlas se puede establecer la categoría sexo con dos niveles, masculino (M) y femenino (F), los respondientes solo tienen que señalar su género, no se requiere de un orden real. Así, si se asignan números a estos niveles solo sirven para identificación y puede ser indistinto: 1=M, 2=F o bien, se pueden invertir los números sin que afecte la medición: 1=F y 2=M. En resumen en la escala nominal se asignan números a eventos con el propósito de identificarlos. No existe ningún referente cuantitativo. Sirve para nombrar las unidades de análisis en una investigación y es utilizada en cárceles, escuelas, deportes, etc. La relación lógica que se expresa es: A B (A es diferente de B). b) Medición Ordinal.
Se establecen categorías con dos o más niveles que implican un orden inherente entre sí. La escala de medición ordinal es cuantitativa porque permite ordenar a los eventos en función de la mayor o menor posesión de un atributo o característica. Por ejemplo, en las instituciones escolares de nivel básico suelen formar por estatura a los estudiantes, se desarrolla un orden cuantitativo pero no suministra medidas de los sujetos. La relación lógica que expresa esta escala es A B (A es mayor que B). Clasificar a un grupo de personas por la clase social a la que pertenecen implica un orden prescrito que va de lo más alto a lo más bajo. Estas escalas admiten la asignación de números en función de un orden prescrito. Las formas más comunes de variables ordinales son ítems (reactivos) actitudinales estableciendo una serie de niveles que expresan una actitud de acuerdo o desacuerdo con respecto a algún referente. Por ejemplo, ante el ítem: c) Medición de Intervalo. La medición de intervalo posee las características de la medición nominal y ordinal. Establece la distancia entre una medida y otra. La escala de intervalo se
aplica a variables continuas pero carece de un punto cero absoluto. El ejemplo más representativo de este tipo de medición es un termómetro, cuando registra cero grados centígrados de temperatura indica el nivel de congelación del agua y cuando registra 100 grados centígrados indica el nivel de ebullición, el punto cero es arbitrario no real, lo que significa que en este punto no hay ausencia de temperatura. Una persona que en un examen de matemáticas que obtiene una puntuación de cero no significa que carezca de conocimientos, el punto cero es arbitrario porque sigue existiendo la característica medida. d) Medición de Razón. Una escala de medición de razón incluye las características de los tres anteriores niveles de medición anteriores (nominal, ordinal e intervalo). Determina la distancia exacta entre los intervalos de una categoría. Adicionalmente tiene un punto cero absoluto, es decir, en el punto cero no existe la característica o atributo que se mide. Las variables de ingreso, edad, número de hijos, etc. son ejemplos de este tipo de escala. El nivel de medición de razón se aplica tanto a variables continuas como discretas. Tablas de frecuencia para datos agrupados Distribución de frecuencia para datos agrupados
Cuando la muestra es grande es frecuente encontrar muchos valores de la variable y resulta poco práctico numerarlas todos, en estos casos resulta conveniente agrupar los valores en intervalos consecutivos llamados clases. Estos intervalos son de la forma [Li, Ls], cuyo extremo Li es el límite inferior de la clase y el extremo Ls es el límite superior de la clase.
No existe alguna ley que defina cómo obtener el número de clases; pero la experiencia recomienda que sean entre 5 y 20 clases. Para construir una distribución de frecuencias en clases seguimos el siguiente procedimiento aplicado al ejemplo: Los puntajes de un examen de ingreso a la universidad realizado por 40 alumnos son los siguientes: 110, 102, 108, 115, 120, 130, 93, 124, 112, 102, 110, 108, 108, 109, 110, 90, 95, 98, 104, 124, 130, 97, 125, 136, 140, 104, 108, 96, 106, 107, 103, 92, 122, 93, 99, 107, 105, 103, 115, 110.
Paso 1. Determinamos el rango (R) de variación de los datos que se define como R = Xmax – Xmin, donde Xmax es el dato máximo y Xmin es el dato mínimo.
Para el ejemplo Xmax = 140 y Xmin = 90 entonces R = 140 – 90 = 50
Determinamos el Paso 2. número de intervalos o clases k. Una forma de hacerlo es con la Regla de Sturges, donde: k = 1 + 3.3 log (n) ; donde n es el número de datos (se recomienda que sean más de 10). Para el ejemplo se tiene n = 40 datos, sustituyendo k = 1 + 3.3 log (40) = 1 + 3.3 (1.602) = 1 + 5.28 = 6.28, la cual se redondea al entero siguiente, en este caso k = 7.
Otra alternativa es usando la raíz cuadrada del total de datos n para este ejemplo nos queda así: k = raíz (n) = raíz (40) = 6.32 que también se redondea al entero siguiente quedando k= 7. Paso 3. Calculamos la amplitud de clase (A), que corresponde a la cantidad de datos que van en casa clase, dividiendo el rango R entre el número de clases k:
sustituyendo
se redondea a 8.
Paso 4. Construimos los intervalos o clases, como la variable es cuantitativa discreta los intervalos o clases son cerrados, es decir de la forma [Li, Ls].
Para formar las clases comenzaremos con los limites inferiores: · En la primer clase tomamos Li1 = Xmin (el dato más pequeño) · Para las demás clases el límite inferior se obtiene sumando la Xmin con la amplitud, es decir
Li n = Li n –1 + A. Para nuestro ejemplo Xmin = 90 y A = 8, entonces las 7 clases quedan:
Para obtener los limites superiores se toma el valor anterior al límite inferior de la clase siguiente, y se va sumando la amplitud A = 8
Finalmente ya podemos elaborar las clases con sus respectivas frecuencias, recordando que cada clase abarca todos los valores que van desde el límite inferior hasta el superior. Los puntajes de los 40 alumnos son: 110, 102, 108, 115, 120, 130, 93, 124, 112, 102, 110, 108, 108, 109, 110, 90, 95, 98, 104, 124, 130, 97, 125, 136, 140, 104, 108, 96, 106, 107, 103, 92, 122, 93, 99, 107, 105, 103, 115, 110.
Marca de clase (Mi): corresponde al punto medio del intervalo, es una característica importante de cada clase ya que no cambia sin importar si la variable es discreta o continua, se calcula usando la fórmula:
, se suman los límites de clase y el resultado se divide entre dos. Para nuestro ejemplo obtendríamos las siguientes marcas de clase:
Clases para Variables Continuas
Si analizamos la tabla anterior veremos que de una clase a la siguiente hay un salto por ejemplo la primer clase acaba en 97 y la segunda comienza en 98, esto se debe a que como la variable es discreta no existen ningún dato entre estos valores, pero si la variable fuera continua y tomara valores decimales como 97.6 tendríamos una pérdida de información, para evitar esto en el caso continuo se fijan otros limites en cada clase.
Limites reales de clase : se usan cuando la variable es del tipo cuantitativa continua, se fijan tomando media unidad antes y después de cada uno de los límites de clase.
Para nuestro ejemplo los límites reales quedarían así:
Si observamos ya no hay saltos entre las clases, pero el valor 97.5 aparece en la primera y segunda clase, para no contarlo dos veces se toman los limites reales
como semiabiertos es decir de la forma [ Li, Ls ), esto significa que el valor superior Ls 97.5, no se considera dentro de la primer clase, sino solo en la segunda. Análogamente con los demás limites superiores. Actividad: construye una distribución de frecuencia para datos agrupados que incluya clases, límites reales, marca de clase, frecuencia absoluta, frecuencia relativa, frecuencia porcentual y las acumuladas.
1. El gerente de una compañía de ventas al mayoreo de diferentes tipos de mercancías desea conocer el comportamiento de las llamadas telefónicas durante los meses de marzo y abril del año en curso; por lo que le encomienda a su secretaria que realice esa investigación. La secretaria obtuvo los siguientes datos, en número de llamadas por día: 30, 38, 36, 35, 29, 28, 30, 35, 40, 48, 50, 20, 25, 56, 30, 27, 29, 46, 41, 31, 31, 31, 39, 28, 36, 37, 52, 44, 49, 52, 56, 58, 40, 39, 38, 40, 27, 24, 30, 32, 35, 38, 26, 25, 24, 60, 55, 48, 37, 31, 30, 22, 20, 24, 26, 23, 22, 28, 27, 48.
2. Preguntando el peso a 50 estudiantes de primer año de Contaduría Pública de la UNN se obtuvieron los siguientes datos: 44; 47.2; 45.5; 40; 41.8; 38; 47.6; 40.4; 51; 49.5; 43.5; 54; 39.4; 44.2; 39; 53.6, 40.2; 41.3; 40.2; 55; 40.7; 53; 43.5; 44; 49; 46.4; 41.2; 45; 44.8; 47.1; 49.5; 50.8; 52.3; 39.7; 49; 36; 42.4; 43; 46; 41.5; 40; 48.5; 45.1; 47.2; 49.8; 43; 41.5; 44.9; 40.2; 47.
