ESTADÍSTICA II
Caracas, agosto 2006 1
República Bolivariana de Venezuela Ministerio Minister io de Educación Superior Ministerio Fundación Misión Sucre
Ministro Ministro de Educación Superior Samuel Moncada Acosta
Viceministra de Políticas Académicas Maruja Romero Yépez
Asesor de Contenido Prof. Susana Coves
Diseñadora Instruccional Instruccional Prof. Luisa Márquez Márquez
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UNIDADES CURRICULARES ESPECIALIZADAS
ESTADÍSTICA II
horas T ra b a jo A c o m p a ñ a d o
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T ra b a jo I n d e p e n d i e n t e
3
Ho ras p o r sem an a
6
Tota l ho r a s por tr tr ime str e
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Competencias a desarrollar
COMPETENCIAS
Conocimientos
o v i t a r t s i n i m d a o s e c o r p l e d . s e l a r G
UNIDAD TEMÁTICA
1. Probabilidad
s o t n e i m i d e c o r p o s a m r o n e d n ó i c a r o b a l E
a l a r a p l a c s i f y l a g e L o c r a M n ó i c a r t s i n i m d a
o e d a c r e m e d s o i p i c n i r p y s a c i n c é T
Habilidades y Destrezas l a i c o s y o c i m ó n o c e o l l o r r a s e D
s e l b a t n o c s o t n e i m i d e c o r p y s a c i n c é T
s e d a d i s e c e n o s a m e l b o r p r a c i f i t n e d I
t s i n i m d A . s e m r o f n i b a l E
. c n a n i f s o d e b a l E
r a l u m r o F s o t c e y o r p
Actitudes y valores s o t n e i m d e c o r p y s a m r o n r a r o b a l E
s . a v i t r e s a s e n o i c a l e R
l a i c o s o s i m o r p m o C
o n e g ó d n e o l l o r r a s e d n e n ó i c a p i c i t r a P
2. Estimación Puntual 3. Prueba de Hipótesis 4. Regresión y Correlación
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Tabla de Contenidos
Programa instruccional Introducción Contenidos de Repaso. Teoría de conjuntos
U N I D A D 1 PR OB AB I L I D A D • Experimento, Resultado y Evento • Distribuciones de probabilidad o o
Probabilidad binomial Probabilidad normal Aproximación de la distribución normal a la binomial
Pág. 4 6 7 13 16 18 19 23 29
Tabla de Contenidos
Programa instruccional Introducción Contenidos de Repaso. Teoría de conjuntos
U N I D A D 1 PR OB AB I L I D A D • Experimento, Resultado y Evento • Distribuciones de probabilidad o o o
Probabilidad binomial Probabilidad normal Aproximación de la distribución normal a la binomial
U N I D A D 2 E S T I M A C I Ó N PU NT U A L • Población y muestra • Métodos de muestreo • Teorema del límite central • Estimadores o o o o
Estimador puntual Intervalos de confianza Determinación de parámetros para la media y la proporción Características de un buen estimador
• Cálculo del tamaño de la muestra U N I D A D 3 PR U E B A DE HI P Ó T E S I S • ¿Qué es una hipótesis? • ¿Qué es una prueba de hipótesis? • Procedimiento para probar una hipótesis • Prueba para una o dos colas • Pruebas para media y proporción U N I D A D 4 RE GR E S IÓ N Y C O R RE L A CI Ó N • Variable dependiente e independiente • Diagrama de dispersión • Coeficiente de correlación • • Respuestas Bibliografía Anexos
Pág. 4 6 7 13 16 18 19 23 29 30 32 32 34 35 35 36 37 39 41 44 46 46 46 50 51 59 61 62 62
PROGRAMA INSTRUCCIONAL Objetivo General:
Analizar situaciones organizacionales a través de estadísticos idóneos que permitan considerar el efecto y la interacción entre los diferentes factores que intervienen en la toma de decisiones administrativas. Sinopsis de Contenidos:
UNIDAD 1. PROBABILIDAD Objetivo: Objetivo: Aplicar Aplicar los conceptos conceptos de probabilidad probabilidad que permitan reducir reducir los riesgos en la toma de decisiones Conceptos básicos: Probabilidad Experimento, resultado y evento Espacio muestral Punto muestral Sucesos y sus probabilidades Distribuciones de probabilidad Variable aleatoria Valor esperado Probabilidad binomial Probabilidad normal Concepto, propiedades e importancia Función de probabilidad Áreas bajo la curva Tablas Ajuste de la distribución normal a la distribución experimental y a la binomial
UNIDAD 2. ESTIMACIÓN PUNTUAL Objetivo: Calcular los intervalos de confianza de los estimadores para la toma de decisión Población y muestra Métodos de muestreo Muestro aleatorio simple Muestreo aleatorio sistemático Muestreo aleatorio estratificado Muestreo por conglomerados Estimadores Características de los estimadores Intervalos de confianza para la media y la proporción
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Determinación del tamaño de la muestra
UNIDAD 3. PRUEBA DE HIPÓTESIS HIPÓTESIS Objetivo: Aplicar con propiedad y de forma pertinente a situaciones administrativas la prueba de hipótesis Qué es una hipótesis Qué es una prueba de hipótesis Contraste de hipótesis Paramétricas (Media aritmética y proporción) Para una población Para dos poblaciones
UNIDAD 4. REGRESIÓN Y CORRELACIÒN Objetivo: Aplicar e interpretar el coeficiente de correlación y determinación con el propósito de obtener la relación o variación entre dos variables Variables dependiente e independientes Gráfico de dispersión Coeficiente de correlación Correlación lineal Coeficiente de determinación Modelo de análisis de regresión lineal Recta de mínimos cuadrados Error estándar de estimación
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INTRODUCCIÓN La Esta Estadí díst stic ica a es la cien cienci cia a que que se preo preocu cupa pa de la reco recole lecc cció ión n de dato datos, s, su organización y análisis, así como de las predicciones que, a partir de estos datos, pueden hacerse. Esas predicciones se realizan a través de la estadística inferencial cuyo objetivo es sacar conclusiones generales para toda la población a partir del estudio de una muestra. La Inferencia Inferencia Estadística Estadística es la parte de la estadística matemática que se encarga del estudio de los métodos para la obtención del modelo de probabilidad (forma funcional y parámetros parámetros que determinan determinan la función función de distribución) distribución) que sigue una variable aleatoria de una determinada población, a través de una muestra (parte de la población) obtenida de la misma. Los Los dos dos probl problem emas as funda fundame ment ntale aless que que estudi estudia a la inferencia inferencia estadística estadística son el "Problema de la estimación" y el "Problema del contraste de hipótesis" Cuando se conoce la forma funcional de la función de distribución que sigue la variable aleatoria objeto de estudio y sólo tenemos que estimar los parámetros que la determinan, estamos en un problema de inferencia estadística paramétrica , este tipo de problemas son las que abordaremos en este material, el cual está conformado por cuatro unidades sobre: Probabilidad, Probabilidad, estimación estimación puntual, puntual, prueba de hipótesis y por último correlación y regresión.
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Contenidos de Repaso Uniones, Intersecciones y Relaciones entre Eventos Un conjunto es toda reunión de objetos. Con frecuencia es de utilidad identificar cómo pueden relacionarse los conjuntos entre sí. Con frecuencia es de utilidad identificar cómo pueden relacionarse los conjuntos entre sí. Se asume que se han identificado dos conjuntos A y B. Cada uno contiene numerosos elementos. elementos. Es completamente posible que algunos elementos. Es completamente posible que algunos elementos estén en ambos conjuntos. Por ejemplo, se asume que el conjunto A consta de todos los estudiantes de la clase de estadística, y el conjunto B consta de todos los estudiantes de la univ univers ersid idad ad que que están están espec especia ialilizá zándo ndose se en econ econom omía ía.. Aquel Aquello loss elem element entos os (estudiantes) (estudiantes) que están están en ambos conjuntos conjuntos son los especialistas especialistas en economía economía de la clase de estadística. Tales estudiantes constituyen la intersección entre A y B, que se escribe A ∩ B y se lee como “A intersección B”, consta de los elementos que son comunes tanto a A como a B. Un diagrama de Venn es una herramienta útil para mostrar la relación entre conjuntos, observemos: A Todos los estudiantes la clase
B Todos los especialistas en economía
“A intersección de B” Especialistas en economía en la clase
Notación
Por lo regular se usan letras mayúsculas para representar a los conjuntos, y letras minúsculas para representar a los elementos de un conjunto dado. Si es un conjunto, y todos sus elementos, es común escribir:
para definir a tal conjunto . La notación empleada para definir al conjunto se llama notación por extensión . Para representar representar que un elemento elemento pertenece pertenece a un conjunto conjunto , escribimos (léase en ). La negación de se escribe . Si todos los elementos elementos de un conjunto conjunto satisfacen satisfacen alguna propiedad, propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición , con la indeterminada , usamos la notación por comprensión , y se puede definir
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donde donde el sím símbo bolo lo se lee lee "ta "tall que" que",, y pued puede e ser ser remp remplaz lazad ado o por por una una barra barra ejemplo, el conjunto puede definirse por
. Por Por
. El símbolo
representa al conjunto de los números naturales. naturales.
Complemento de un conjunto
Dado Dado un conju conjunt nto o , se repre represe sent nta a por por al comp comple leme ment nto o de , el cual cual es un conjunto que verifica la proposición para cualquiera que sea el elemento elemento . Así pues, está formado formado por todos los elementos elementos que no son del conjunto . Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos Igualdad de conjuntos
Dos conjunt conjuntos os y se dicen dicen iguales , lo que se escribe escribe si constan constan de los mismos mismos elementos. elementos. Es decir, decir, siempre que para para cualquier cualquiera a que sea el elemento elemento , se verifique
Subconjuntos y Superconjuntos Un conjunt conjunto o se dice dice subconjunto de otro otro
elemento de
, si todo todo elem elemen ento to de
es tamb tambié ién n
, es decir, cuando se verifique ,
sea cual sea el elemento . En tal caso, se escribe . Cabe Cabe señalar señalar que, por definic definición, ión, no se excluye excluye la posibil posibilida idad d de que si , se cumpla A = B. Si tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto , pero pero si todo todo elem elemen ento to de es elem element ento o de , ento entonce ncess deci decimo moss que que es un subconjunto propio de , lo que se representa por . Si es un subconjunto de , decimos también que es un superconjunto de , lo que se escribe . Así pues , y también , significando
que
es superconjunto propio de
. 10
Por el prin princi cipi pio o de ident identid idad ad,, es siem siempre pre ciert cierto o , para para todo todo elemento elemento , por lo que todo conjunto conjunto es subconjunto subconjunto (y también también supercon superconjunto) junto) de sí mismo. Vemos que es una relación de orden sobre un conjunto de conjuntos, pues para todo ,y es reflexiva . ,y es antisimétrica ,y es transitiva Operaciones con conjuntos: Unión, Intersección, Diferencia y Diferencia Simétrica. Sean y dos conjuntos. Unión Los elemen elementos tos que pertene pertenecen cen a oa o a ambos ambos y , forman forman otro otro conjun conjunto, to, llamado unión de y , escrito . Así pues, se tiene . Intersección
Los elementos elementos comunes entre y , representado por
y :
forman un conjunto conjunto denominado denominado intersección de
. Si dos conju njuntos conjuntos disjuntos .
y
son son tales que
, entonces ces
y
se dicen cen
Ejemplos: si tenemos los conjuntos Entonces:
Diferencia
Los elementos de un conjunto que no se encuentran en otro conjunto otro conjunto llamado diferencia de y , representado por, :
, forman
. Vemos que , de manera que
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. Pero también
, de modo que Diferencia simétrica
Se define la diferencia simétrica de dos conjuntos por
Cuantificadores
Los cuantificadores sirven para indicar cuantos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Tales cuantificadores son: El cuantificador cuantificador universal universal , repres represent entad ado o por . Este Este cuant cuantifific icado adorr se empl emplea ea para para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad. Se escribe . La proposición anterior suele usarse como la equivalente de El cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto cumple con una propiedad. Se escribe: La proposición del cuantificador existencial suele interpretarse como la equivalente de la proposición Se definen
Aplicaciones Sean y dos conjuntos. Un subconjunto , lo que se representa por siempre que se verifiquen
, se dice aplicación de
en
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Si
, el elemen elemento to se dice imagen de por por , y el elem elemen ento to se llam llama a antecedente de por . Sea una aplicación aplicación . Se emplea la notación notación para representar representar a la imagen de por , y por tanto . Sean las aplicaciones y . Se define , y se dice que Vemos que y
es el producto de composición de las aplicaciones
y
.
por lo que
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Unidad I
Probabilidad Objetivo: Conocer los conceptos de probabilidad a fin de establecer las posibles relaciones entre eventos que permitirán reducir riesgos en a toma de decisiones en a practica profesional
Contenidos: Probabilidad normal Conceptos Básicos Probabilidades Experimentos, resultados y evento Espacio muestral Punto muestral Sucesos y sus probabilidades Distribuciones de probabilidad Variable aleatoria Valor esperado Probabilidad binomial Probabilidad normal
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“No sé cuando podrá realizarse el sueño de Bolívar pero nosotros iremos poniendo las piedras” Augusto Sandino
Probabilidad Probabilidad es un concepto que en administración nos permite trabajar en función de nuestras expectativas con la ocurrencia algún resultado, esto significa que hacemos proyecciones sobre la posibilidad de éxito o fracaso de un suceso, lo que a su vez genera una reducción de riesgos y de incertidumbre en la toma de decisiones. Probabilidad es una palabra que empleamos de forma cotidiana, y, efectivamente cuando preguntamos ¿Qué probabilidad hay de que esté listo para hoy? Suponemos que que la pers person ona a que que va a cont contes esta tarr nos nos dará dará una una resp respue uest sta a que que nos nos perm permititir irá á proyectarnos y predecir eventos a futuro; si la respuesta es “no creo por que tienes varias personas por delante” eso nos va programando para dos acciones que impedirán que ese evento interrumpa nuestro accionar. Así mismo pasa en administración, pues un administrador debe considerar todos los escenarios posibles a la hora de decidir las acciones que debe emprender una organización, a fin de minimizar la incertidumbre y reducir riesgos. El propósito de esta unidad es ofrecer en una primera parte los conceptos básicos sobre probabilidad y luego la aplicación de dichos conceptos en la construcción de las distribuciones de probabilidad, que es una lista que contiene todos los resultados de un experimento y la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos.
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UNIDAD I. PROBABILIDAD Probabilidad Es la posibilidad posibilidad de que algo va a ocurrir, es medida entre 1 y 0. Mientras mayor sea la probabilidad probabilidad de que el evento evento ocurra, la probabilid probabilidad ad asignada estará estará más cerca de uno, si hay certeza del que el evento va a ocurrir la probabilidad es de 1, y por el contrario la posibilidad de que no ocurra es de 0. Existen tres formas de enfocar la probabilidad: el modelo de frecuencia relativa, el modelo subjetivo y el modelo clásico. El modelo de frecuencia relativa utiliza datos que se han observado empíricamente, registra la frecuencia con que ha ocurrido algún evento en el pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con base en estos datos históricos. La probabilidad de un evento con base en el modelo de frecuencia relativa se determina mediante: P (E)=
Número de veces que ha ocurrido el evento en el pasado Número total de observaciones
Si por ejemplo durante el año pasado hubo 200 nacimientos en un hospital local, de los cuales 122 fueron fueron varones el modelo de frecuencia frecuencia relativa relativa revela que la probabilidad probabilidad de que el próximo nacimiento o un nacimiento seleccionado al azar sea una niña se obtiene dividiendo el número de niñas que nació el año anterior dividido entre le número total de nacimientos: P (niña ) =
78 200
= 0,39
Si consideramos en el concepto anterior de probabilidad, en el cual es establece que la si la probabilidad es cercana a uno es tiene mayores oportunidades de ocurrencia, en nacimiento de una niña en ese hospital es un evento poco probable. El modelo subjetivo se utiliza cuando se desea asignar probabilidad a un evento que nunca ha ocurrido, por ejemplo la probabilidad de que una mujer sea elegida como Presidente de Venezuela, como no hay datos confiables se analizan las opiniones y las tendencias para obtener una estimación subjetiva. El últi último mo y terc tercer er mode modelo lo de prob probab abililid idad ad es el clásico relaci relacionad onado o con mayor mayor frecuen frecuencia cia a las apuesta apuestass y juegos de azar. La probabili probabilidad dad clásica clásica se basa en la suposición suposición de que los resultados resultados de un experiment experimento o sean igualmente igualmente probables. probables. La probabilidad de un evento por medio de este modelo se determina mediante. P(E)=
Número de formas en las que puede ocurrir un evento Número total de resultados posibles
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Para ejemplificar observemos la aplicación de la ecuación P(cara)= Número de formas en las que el evento puede ocurrir / Número total de posibles resultados P (cara ) =
1 2
= 0,5
En este ejemplo sólo hay una posibilidad posibilidad de que salga cara, y dos posibles resultados, resultados, que salga cara o que salga sello. Según el resultado de la ecuación existen iguales posibilidades de que salga cara o sello, pues la probabilidad se halla en medio de 0 y 1. Aun sin conocer a fondo la probabilidad probabilidad clásica, clásica, se puede estar conscient consciente e de que la probabilidad de obtener una cara en el lanzamiento de una moneda es de la mitad. Tipos de Probabilidad
Probabilidad Objetiva
Modelo Clásico
Probabilidad
Modelo de Frecuencia Relativa
Modelo Subjetivo
Experimento
Segur Seguram amen ente te asoci asocias as la palab palabra ra exper experim iment ento o a las las cien cienci cias as físi físicas cas dond donde e nos nos imagin imaginamos amos a alguie alguien n mezclan mezclando do químic químicos os y manipul manipulando ando tubos tubos de ensayos ensayos,, sin emba embargo rgo,, en admin adminis istr trac ació ión n se reali realizan zan exper experim iment entos os para para conoc conocer er los los posi posibl bles es resultados de una acción. Se dice que experimento es toda acción definida que conlleva a un resultado único bien definido que tiene dos o más posibles resultados y no se sabe cuál va a ocurrir. Resultado
Una consecuencia particular de un experimento. Evento
Una colección de uno o más resultados. resultados. De acuerdo a como se relacionan relacionan los eventos de un experimento se pueden clasificar en: mutuamente excluyentes, colectivamente exhaustivos, independientes o complementarios. Mutuamente Mutuamente excluyente excluyente : la ocurre ocurrenc ncia ia de cual cualqu quie iera ra de los los even evento toss impl implic ica a que ninguno de los otros eventos puede ocurrir al mismo tiempo. Como ejemplo tenemos el lanzamiento de una moneda en la cual si sale cara garantiza que no puede salir sello.
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Colectivamente Colectivamente exhaustivo exhaustivo : por lo menos uno de los eventos tiene que ocurrir, un
ejemplo es el lanzamiento de un dado, los resultados posibles son 1,2,3,4,5 y 6 y existe la certeza que uno de ellos va a ocurrir. Independientes: son eventos en los que la ocurrencia de uno no tiene nada que ver con la ocurrencia del otro, por ejemplo lanzar un dado y una moneda a la vez, el resultado del lanzamiento del dado no afecta al de la moneda. Complementarios: son los eventos en los que si un evento no ocurre debe ocurrir el otro. Una buena representación de estos eventos la podemos apreciar al lanzar un dado podemos decir que un evento A es sacar un número par, pero si esto no ocurre, el complemento es sacar un número impar. En estos casos los eventos se denominan “A” y “no A”. Exis Existe te una una últim última a categ categorí oría a que que son son los los eventos compuestos compuestos cons consis iste te en la coocur ocurre renc ncia ia de dos dos o más más even evento toss aisl aislad ados os.. Las Las oper operac acio ione ness de conj conjun unto toss de intersección y unión implican eventos compuestos. De esta manera si se lanza una moneda y un dado a la vez el resultado es un evento compuesto compuesto y se puede calcular calcular la probabilidad de tal evento. Los eventos compuestos son más interesantes e incluso más útiles en la administración ya que por medio de ellos pueden estudiarse las relaciones entre dos sucesos que ocurren de forma paralela. Para que visualicemos mejor las definiciones de experimento, resultado y evento, observemos el siguiente cuadro: Tirar un dado
To Todos los posibles
Algunos posibles
Obtener un 1 Obtener un 2 Obtener un 3 Obtener un 4 Obtener un 5 Obtener un 6 Obtener un número par Obtener un número mayor que 4 Obtener el número 3 o uno menor
En el experimento del lanzamiento de un dado hay seis posibles resultados, pero hay muchos eventos posibles. Ejercicio 1:
Clasifica los siguientes eventos: El lanzamiento de dos monedas a la vez ___________________________________ Que un vuelo de avión salga retrasado ____________________________________ Que un bebé sea varón ________________________________________________ Que la comida de hoy no quede salada ____________________________________ Que en la próxima temporada de béisbol Magallanes sea el campeón____________
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Espacio de Muestras y Eventos
Los elementos de básicos de la teoría de probabilidades son los resultados del proceso o fenómenos bajo estudio. Cada tipo posible de ocurrencia se denomina un evento. Un evento simple puede describirse mediante una característic característica a sencilla. sencilla. La complicación complicación de todos los eventos posibles se llama espacio muestral. Un evento conjunto es un evento que tiene dos o más características. Para calcular la probabilidad de cualquier resultado es necesario primero determinar el número total de resultados posibles; en un dado, por ejemplo, los resultados posibles son 1,2,3,4,5,6. Llamemos a este conjunto U, ya que es el espacio muestral o universo de posibles resultados. El espacio muestral incluye todos los posibles resultados en un “experimento” que son de interés para el experimentador. Los elementos primarios de U son llamados elementos o puntos muéstrales. Se escribe, entonces, U = {1,2,3,4,5,6} Veámoslo representado en un diagrama de Venn:
Cada elemento dentro del conjunto es un punto muestral
El conjunto de los números del 1 al 6, es el espacio muestral
2 3 4 5
6
U = {1,2,3,4,5,6}
Aclarando la imagen anterior decimos que un evento es un subconjunto de U; cualquier elemen elemento to de un conjunto conjunto es también también un subconj subconjunt unto o del conjunt conjunto. o. Algunas Algunas veces puede ser complicado determinar un espacio muestral, sin embargo para ello nos apoyamos apoyamos en la teoría de conjuntos. conjuntos. Los conjuntos conjuntos pueden definirse listando todos los miembros de conjunto y estableciendo una regla de inclusión de los elementos en él. Distribuciones de Probabilidad Una distribución de probabilidad aporta el rango completo de valores susceptibles de ocurrir con base en un experimento. Una distribución de probabilidad es similar a una distribución de frecuencia, con la diferencia que no describe el pasado sino muestra que tan probable es que ocurra un evento. Dado que esta clase de distribuciones se ocupan de las expectativas son modelos de gran utilidad para hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. Variable Aleatoria.
Una variable aleatoria es aquella que asume diferentes valores, a consecuencia de los resultados resultados de un experimento experimento aleatorio, aleatorio, cada uno de los cuales tiene una determinada determinada probabilidad. Por ejemplo si contamos la cantidad de alumnos inasistentes a las clases de estadística II durante un mes, el número de ausencias es la variable aleatoria. Si esa variable toma sólo valores enteros, se dice que es de tipo discreto, tal es el caso del ejemplo anterior, sería imposible decir que faltaron 3,5 estudiantes. Pero si por el 19
contrario contrario la variable variable puede tomar valores fraccionarios fraccionarios se dice que es de tipo continuo. continuo. Un ejemplo de una variable aleatoria discreta es el peso de los perros que recibe un veterinario en su consulta, 50.5 Kg, 25.6 Kg, etc. Una variable aleatoria es una variable cuyo valor es el resultado de un evento
Supongamos que tenemos una variable aleatoria x , y que esta puede tomar los valores x1, x 2 , x3 ... x que pueden ser discretos o continuos; cada uno de estos valores tiene ciert cierta a prob probab abililida idad d que que en la práct práctic ica a se desco desconoc noce; e; sin sin embar embargo go,, a trav través és de plant planteam eamie ient ntos os teóri teóricos cos podem podemos os obte obtene nerr dich dichas as proba probabi bililida dades des,, a las las cual cuales es designamos por f(x); al desarrollo que toman estos valores de f(x), es lo que se llama distri distribuc bucione ioness de probabi probabilid lidad ad de la variable variable aleato aleatoria ria x. Estas Estas distri distribuci buciones ones de probabilidad probabilidad toman diferentes diferentes formas o tipos, tipos, sin embargo, embargo, las más importantes importantes son la distribución binomial y la distribución normal. n
Valor Esperado.
El valor esperado es un concepto fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. Desde hace muchos años este concepto ha sido aplicado ampliamente en el negoci negocio o de seguros seguros y en los último últimoss vein veinte te años ha sido sido aplica aplicado do por otro otross profesionales que casi siempre toman decisiones en condiciones de incertidumbre. Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, multiplicamos cada valor que ésta puede asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego sumamos los productos. Es un promedio ponderado de los resultados que se esperan en el futuro. Probabilidad Binomial
Es una distribución de probabilidad que emplea las variables aleatorias discretas, su princ princip ipal al carac caracte terí ríst stic ica a es que que sólo sólo exis existe ten n dos dos resu resultltad ados os posi posibl bles es para para cada cada exper experim iment ento, o, graci gracias as a ello ello su nomb nombre re bi nomia n omial;l; adem además ás posee posee las las sigui siguien ente tess propiedades: Sólo debe haber dos resultados posibles. Uno se identifica como éxito y el otro como fracaso, pero este resultado no trae una connotación de bueno o malo, es decir, un éxito no significa que el resultado sea deseable. 2. La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, p, es constante de observación a observación. Por tanto, la probabilidad de que una observación se clasifique como fracaso, q= 1-p, es constante sobre todas las observaciones. Cada observa observació ción n puede puede clasif clasificar icarse se en una o dos categor categorías ías mutuam mutuament ente e 3. Cada excluyentes excluyentes y colectivamen colectivamente te exhaustivas. exhaustivas. El resultado resultado de cualquier cualquier observación observación es independiente del resultado de cualquier observación. 4. El experimento puede repetirse muchas veces, pues un experimento no afecta al otro. 1.
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Como ya se mencionó el símbolo p representa la probabilidad de un éxito y el símbolo q ( 1- p ) representa la probabilidad de un fracaso. Para representar cierto número de éxitos éxitos,, utiliz utilizarem aremos os el símbol símbolo o r y para para simb simbol oliz izar ar el núme número ro tota totall de ensa ensayo yoss emplearemos el símbolo n. Entonces tenemos que:
P Q r n
Probabilidad de éxito. Probabilidad de fracaso. Número de éxitos deseados. Número de ensayos efectuados.
Calcular la probabilidad de r éxitos éxitos en n ensayos según la formula binomial se calcula así: P =
n! r !(n − r )!
r
p q
n −r
Recordemos que el símbolo factorial! Significa, por ejemplo que es 3! = 3*2*1 = 6 Los matemáticos definen 0! = 1.
Es necesario saber que las observaciones o experimentos pueden ser con con o sin sin reem reempl plaz azo o, para para comp compren rende derr mejo mejorr estas estas defin definici icion ones es leamos el siguiente ejemplo: Queremos conocer la probabilidad de que salga una esfera roja de una bolsa que contiene 4 esferas, 3 reemplazamiento iento,, al azules y 1 roja. Si el experimento es con reemplazam meter la mano en la bolsa y extraer la pelota se observa el color y se vuelve a depositar en la misma; por el contrario, si el experimento es sin reemplazamiento se extrae la bola, se observa el color y se
Cómo se construye una Distribución de Probabilidad Binomial
Para elaborar una distribución de probabilidad binomial es necesario conocer el número de ensayos y la probabilidad éxito de cada ensayo, por ejemplo si un estudiante presenta una prueba de selección conformada por 20 preguntas y cada una tiene 5 opciones opciones de respuestas, respuestas, se dice que habrán 20 ensayos (las preguntas); y si dentro de las 5 opciones de respuesta sólo una es la correcta, podemos decir que del 100% de posibilidades cada estudiante tiene 20% de posibilidad de responder sin saber, es decir, una persona sin conocimientos tiene una probabilidad de 0,20 de aprobar la prueba acertando las respuestas. Ejemplo: 21
La Línea área Conviasa tiene 5 vuelos diarios a Barquisimeto. Supongamos que la probabilidad de que alguno de los vuelos salga retrasado es de 0.20 ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos hoy salga retrasado? Utilicemos la fórmula
P =
n!
r
r ! (n − r )!
p q
n −r
, considerando que n=5 vuelos, y p=0,20
No olvides que P =
n! 5! 120 p r q n −r = 0,20 0 0,80 5 = 1(0,3277 ) =1(0,3277 ) = 0,3277 r ! (n − r )! 0!(5 − 0)! 1(120 )
La probabilidad de que ninguno de los vuelos salga retrasado es de 0,32; si retomamos que el concepto de probabilidad, probabilidad, el cual se mide dentro del rango 0-1 podemos afirmar afirmar que es baja la probabilidad de que ningún vuelo salga retrasado. Ahora bien si quere queremo moss tener tener una una estim estimaci ación ón de cuant cuantos os vuel vuelos os sald saldrá rán n retras retrasad ados os enton entonce cess construimos la distribución de probabilidad binomial, para ello sustituiremos r por los valores 1,2,3,4,y 5. Como ya sustituimos la ecuación con el valor r=0, a continuación se muestra el desarrollo del ejercicio con r=1 y r=5. P =
P =
n! 5! 120 p r q n −r = 0,20 10,80 4 = 0, 2(0, 4096 ) = 5(0,08 ) = 0, 4096 r !( n − r )! 1!(5 −1)! 1( 24 )
n! 5! 120 p r q n −r = 0, 20 5 0,80 0 = 0,0032 (1) =1(0,0032 ) = 0,0032 r !( n − r )! 5! (5 − 5)! 120 (1)
Ejercicio 2:
Ahora realiza tú la ecuación sustituyendo r por los valores 2, 3 y 4. En la tabla de la Distribución Binomial, que se te presenta a continuación, se muestran los resultados para que verifiques tu ejercicio: Distribución Binomial para n=5, p=0,20
Número de Vuelos con Retraso 0 1 2 3 4 5 Total
Probabilidad 0.3277 0.4096 0.2048 0.0512 0.0064 0.0003 1.0000
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La distribución binomial también se puede expresar de forma gráfica Distribución de Probabilidad Binomial
0,45
0,4096
0,4 0,35
Recuerdas los gráficos de barras estudiados en Estadística I, ahora también los puedes utilizar para graficar la Distribución de Probabilidad Binomial.
0,3277
d a 0,3 d i l i 0,25 b a 0,2 b o r 0,15 P
0,2048
0,1
0,0512
0,05
0,0064 0,0003
0 Vuelos retrasados
Ejercicio 3:
Imaginemos una escuela primaria donde los alumnos llegan tarde a menudo. Cinco alumnos alumnos están en el jardín de niños. La directora lleva tiempo estudiando el problema, habiendo llegado a la conclusión de que hay una probabilidad de 0.4 de que un alumno llegue tarde y de que los alumnos lleguen independientemente uno de otro ¿Cómo trazamos una distribución binomial de probabilidad que ilustre las probabilidades de que 0,1,2,3,4 ó 5 estudiantes lleguen tarde simultáneamente?
Medidas de tendencia central y de dispersión para la distribución binomial. La distribución binomial tiene un valor esperado o media ( µ ) y una desviación estándar que nos permite determinar que tan alejados están los datos de la media o promedi promedio o (σ ). Podem Podemos os repre represe sent ntar ar la medi media a de una una distr distrib ibuci ución ón bino binomi mial al de la siguiente forma:
µ =np donde : n= número de ensayos. p= probabilidad de éxitos. Y la desviación estándar de la siguiente forma: σ =
n. p.q
donde : n= número de ensayos. p= probabilidad de éxito. q= probabilidad de fracaso.
Recuerda que la Desviación Estandar se determina calculándole la raíz cuadrada de la Varianza( σ 2 ), por lo que 2
=
23
Ejemplo: Una máquina empaquetadora que produce 20% de paquetes defectuosos. Si se extrae una muestra aleatoria de 10 paquetes, podremos calcular la media y la desviación estándar de la distribución binomial de ese proceso en la forma que sigue: µ = np = 10*0.2 = 2 Media.
σ = √ npq = √ (10) (0.2) (0.8) = √ 1.6 = 1.265 Desviación estándar . Probabilidad normal
De todas las distribuciones de probabilidad la normal es la más importante. Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas; su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana". La distribución normal de probabilidad es una distribución distribución de probabilidad continua tanto simétrica como mesocúrtica . La curva de probabilidad de probabilidad que
representa a la distribución normal de probabilidad tiene forma de campana Leptocúrtica Ambas mitades de la campana son idénticas Mesocúrtica
Platicúrtica
Media, mediana y moda son iguales
La distribución normal de probabilidad es importante para la inferencia estadística porque: ▪ Se sab sabe que las las medi edidas obt obteni enidas en muchos proceso cesos s aleatorios siguen esta distribución. ▪ Las Las pro probabi babili lida dade des s norm normal ales es suel suelen en serv servir ir para ara apro aproxi xima marr otras distribuciones como la binomial. ▪ Las Las distr distrib ibuc ucio ione nes s estad estadís ísti tica cas s como como la medi media a mues muestr tral al y la proporción muestral tienen distribución normal cuando el tamaño 24
Propiedade Propi edadess de la Distribución istrib ución Normal No rmal La distribución normal tiene varias propiedades teóricas importantes, entre las cuales están: forma de campana, es simétrica simétrica en apariencia apariencia y posee un solo pico en el 1. Tiene forma centro de la distribución. 2. Sus mediciones de tendencia central (media, mediana, moda) son iguales y se ubican en el pico. dispersión ón media media es igual igual a 1.33 1.33 desviacio desviaciones nes estánda estándar. r. El valor de su 3. Su dispersi alcance intercuartil puede diferir ligeramente de 1.33 desviaciones estándar. 4. La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, lo que significa que la curva se acerca cada vez más al eje de las X pero jamás llega a tocarlo. Es decir, las colas de la curva se extienden de manera indefinida en ambas direcciones. Pero… ¿Qué es Simetría y Asimetría?
Para saber si una distribución es simétrica, hay que precisar con respecto a qué. Un buen candidato es la mediana, ya que para variables continuas, divide al histograma de frecuencias en dos partes de igual área. Podemos basarnos en ella para, de forma natural, decir que una distribución es simétrica si el lado derecho de la gráfica (a partir de la mediana) es la imagen por un espejo del lado izquierdo
Cuando la variable es discreta, decimos que es simétrica, si lo es con respecto a la media. Se podría pensar que definir la simetría con usando la mediana para variables continuas y usando la media para variables discretas es una elección arbitraria. En realidad realidad esto no es así, pues si una variable es continua, continua, coinciden coinciden los ambos criterios criterios de simetría (con respecto a la media y a la mediana). Es más, se tiene que media y mediana coinciden para distribuciones continuas simétricas. Por otro lado, en el caso de variables discretas, la distribución es simétrica si el lado derecho del diagrama se obtiene por imagen especular desde la media. En este caso coincide la media con la mediana si el número de observaciones es impar. 25
Si la variable es continua simétrica y unimodal, coinciden la media, la mediana y la moda. Dentro de los tipos de asimetría posible, vamos a destacar los dos fundamentales Asimetría positiva:
Si las frecuencias más altas se encuentran en el lado izquierdo de la media, mientras que en derecho hay frecuencias más pequeñas ( cola). Asimetría negativa:
Cuando la cola está en el lado izquierdo.
Simetría y Asimetría en la Curva Normal
La importancia de la distribución normal viene dada por tres razones: 1. Nume Numero roso soss fenó fenóme meno noss cont contin inuo uoss pare parece cen n segu seguir irla la o pued pueden en apro aproxi xima mars rse e mediante ésta. 2. podemo podemoss usarla usarla para aproximar aproximar diversas diversas distrib distribuci uciones ones de probabilid probabilidad ad discreta discreta y evitar así pesados cálculos 3. Proporciona Proporciona la base de la inferencia inferencia estadística estadística clásica debido a su relación con el teorema del límite central. 26
Cómo se construye una Distribución de Probabilidad Normal Construir una distribución de probabilidad, tal y como lo hicimos con la binomial sería imposible debido a que la probabilidad normal está determinada por la media ( µ ) y la desviación estándar ( σ ). Lo bueno es que podemos utilizar un solo dato de la familia de distribuciones normales para dar respuestas a todos los problemas que decidamos resolver con este tipo de distribución. La que tiene una media de 0 y una desviación estándar de 1 se le conoce como distribución normal estándar. Todas las distribuciones normales pueden convertirse a “distribución normal estándar” restando la media de cada observación y dividiendo por la desviación estándar, utilizando un valor z. Valor Z: La distancia entre un valor seleccionado, designado X, y la media µ , dividida por la desviación estándar. Z =
X − µ σ
Donde: X: es el valor de cualquier observación o medición específica. µ : es la media de la distribución. σ : es la desviación estándar de la distribución
Áreas bajo la curva normal. La primera aplicación de la distribución normal supone encontrar el área bajo la curva normal entre una media y un valor seleccionado designado designado como x. No importa cuáles µ sean los valores de y σ para una distribución de probabilidad normal, el área bajo la curva curva es 1,00; de manera manera que podemos podemos pensar pensar en áreas áreas bajo la curva como como si fueran probabilidades. Matemáticamente: Aproxi Aproxima madam damen ente te el 68% 68% de todos todos los los valor valores es de una una pobla poblaci ción ón norm normal alme ment nte e distribuida se encuentran dentro + 1 desviación estándar de la media. Apro Aproxi xima mada dame ment nte e 95,5 95,5% % de todo todoss los los valo valore ress de una una pobl poblac ació ión n norm normal alme ment nte e distribuida se encuentran dentro de + 2 desviaciones estándar de la media. Apro Aproxi xima mada dame ment nte e 99,7 99,7% % de todo todoss los los valo valore ress de una una pobl poblac ació ión n norm normal alme ment nte e distribuida se encuentran dentro de + 3 desviaciones estándar de la media. Las tablas estadísticas indican porciones del área bajo la curva normal que están contenidas dentro de cualquier número de desviaciones estándar (más, menos) a partir de la media. No es posible ni necesario tener una tabla distinta para cada curva normal posible. En lugar de ello, podemos utilizar una distribución de probabilidad normal estándar para encontrar áreas bajo cualquier curva normal. Con esta tabla podemos determinar el área o la probabilidad de que la variable aleatoria distribuida normalmente esté dentro de ciertas distancias a partir partir de la media. Estas distancias distancias están definidas en términos términos de desviaciones estándar. 27
Para cualquier distribución normal de probabilidad, todos los intervalos que contienen el mismo número de desviaciones estándar a partir de la media contendrán la misma fracción del área total bajo la curva para cualquier distribución de probabilidad normal. Ejemplo
(Tomado (Tomado continua.shtml)
de
http://w http://www.mo ww.monograf nografias.c ias.com/t om/trabajo rabajos26/di s26/distrib stribucionucion-conti continua/d nua/distrib istribucionucion-
El Instituto Especializado Materno Perinatal desea conocer la probabilidad de que al hacer hacer una una prueb prueba a de hemo hemogl globi obina na en gesta gestant ntes es adol adolesc escent entes es que que acude acuden n a la institución en el tercer trimestre del embarazo, se obtenga un resultado menor a 11 mg/dl; para lo cual toma una muestra al azar de 30 gestantes menores de 19 años, cuya edad gestacional este comprendida entre 28 – 40 semanas. Datos: n = 30 x =10.547
σ
= 0.718
Base de datos: Nivel de Hemoglobina en gestaciones de adolescentes en el 3er. Trimestre del embarazo. n = 30 10.9 11.2 9.8 11.6 9.9 10.0 11.2 10.2 10.8 9.5 10.0 10.9 11.5 10.4 10.9 10.3 11.7 11.2 9.8 10.4 11.4 11.3 10.5 10.2 11.1 10.6 9.9 8.9 10.8 9.5
Prueba estadística : Distribución Normal Estándar o Z Si sabemos que: Media: 10.55 Desviación Estándar: 0.71 Cálculo del estadístico z :
X - m 11- 10.55 0.45 = 3.75 z = Sx = 0,71/Ö 30 = 0.12 P(X<11) confirmado en la tabla de la función normalizada z =3.75 La Función de Normalización, z = 0.64 Tenemos los siguientes datos: Distribución
Distribución
Normal Es Estándar
Normal
X
11
Media
10.55
0
Desviacion Estandar
0.71
1
Z
0.64
De estos datos podemos hacer la siguiente tabla de distribuciones
28
X
f(X)
Z
f(Z)
8.42
0.0013
-3
0.0013
9.13
0.0227
-2
0.0227
9.84
0.1591
-1
0.1591
10.55
0.5019
0
0.5019
11.26
0.8432
1
0.8432
11.97
0.9778
2
0.9778
11.26
0.8432
1
0.8432
Curva de la distribución normal estándar en comparación con la Normal:
Interpretación: La probabilidad de que el valor de valor de hemoglobina en una gestante adolescente que curse el tercer trimestre del embarazo sea menor a 11 mg/dl es de 0.64. Es decir, el 64% de las gestantes adolescentes que acuden a maternidad de Lima sufren de anemia asociada a la gestación. Ejercicio 4:
El costo de una chupetas de diferentes marcas tiene una distribución aproximadamente normal con una media de 500 y una desviación estándar estándar de 10¿Cuál 10¿Cuál es el valor z para un valor x de 520 y otro de 490? Uso de la tabla de distribución de probabilidad normal estándar. En esta tabla, el valor z está derivado de la fórmula: z = (x - m ) / s en la que: 29
x = valor de la variable aleatoria que nos preocupa m = media de la distribución de la variable aleatoria s = desviación estándar de la distribución z = número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la distribución. ¿Por qué utilizamos z en lugar del número de desviaciones estándar? Las variables aleatorias distribuidas normalmente tienen unidades diferentes de medición: bolívares, dólar dólares, es, pulg pulgad adas as,, kilog kilogram ramos os,, segun segundo dos, s, etc. etc. Como Como vamos vamos a util utiliz izar ar una una tabl tabla, a, hablamos en términos de unidades estándar (que en realidad significa desviaciones estándar), y denotamos a éstas con el símbolo z. La tabla de distribución de probabilidad normal estándar da los valores de únicamente la mitad del área bajo la curva normal, empezando con 0,0 en la media. Como la distribución normal de probabilidad es simétrica, los valores verdaderos para una mitad de la curva son verdaderos para la otra. Defectos de la distribución normal de probabilidad. Los extremos de la distribución normal se acercan al eje horizontal, pero nunca llegan a tocarlo. tocarlo. Esto implica implica que existe algo de probabilidad probabilidad (aunque puede ser muy pequeña) de que la variable aleatoria pueda tomar valores demasiado grandes. No perderemos mucha precisión al ignorar valores tan alejados de la media. Pero a cambio de la conveniencia del uso de este modelo teórico, debemos aceptar el hecho de que puede asignar valores empíricos imposibles. La Distribución Normal como una Aproximación de la Distribución Binomial.
Aunque la distribución distribución normal es continua, continua, resulta interesante interesante hacer notar que algunas algunas veces puede utilizarse para aproximar a distribuciones discretas, debido a que generar una distribución distribución binomial binomial para muestras muestras grandes puede llevar llevar mucho tiempo tiempo es más eficiente hacer una aproximación de la distribución normal a la binomial Una distribución distribución binomial binomial B(n,p) se puede puede aproxim aproximar ar por una distri distribuc bución ión normal, normal, siempre que n sea grande y p no esté muy próxima a 0 o a 1. La aproximación consiste en utilizar una distribución normal con la misma media y desviación típica que la distribución binomial. En la práctica se utiliza la aproximación cuando: En cuyo caso: Y tipificando se obtiene la normal estándar correspondiente:
30
Unidad II
Estimación Puntual
Objetivo: Calcular los intervalos de confianza de los estimadores para la toma de decisión. Contenidos: Población y muestra Métodos de muestreo Muestro aleatorio simple Muestreo aleatorio sistemático Muestreo aleatorio estratificado Muestreo por conglomerados Estimadores Intervalos de confianza para la media y la proporción Determinación del tamaño de la muestra
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“Vive como si fueras a morir mañana. Aprende como si fueras a vivir siempre.” Mohandas Gandhi
Estimación Puntual En admi admini nist stra raci ción ón es usua usuall real realiz izar ar estu estudi dios os en los los que que se abor aborde den n dive divers rsas as poblaciones, sin embargo acceder a cada miembro de esas poblaciones es un trabajo imposible de realizar, por ello se seleccionan muestras que nos den una evidencia de lo que gusta, opina, etc. una población, no obstante el hecho de no poseer los datos reales nos obliga a estimarlos, para ello existen los estimadores. En esta unidad encontr encontrarás arás algunos algunos aspect aspectos os relaci relacionad onados os con los estima estimadore doress puntual puntuales es y sus intervalos de confianza.
32
UNIDAD II. ESTIMACIÓN PUNTUAL Población y Muestra
La población población es el grupo total de individuos individuos u objetos objetos que se consideran, consideran, y la muestra es una parte o subconjunto de dicha población. Métodos de Muestreo
El muestreo es una herramienta herramienta para inferir algo respecto a una población población mediante la selección de una muestra de esa población. En muchas oportunidades el muestreo es la única herramienta para determinar algo con respecto a la población por: 1. Es costoso costoso abordar abordar a todos todos los integrantes integrantes de de la població población n 2. La idoneidad idoneidad de los los resultados resultados de la muestra, muestra, es es decir, para para muchos estudio estudioss no es esencial indagar sobre la totalidad de la población pues con una muestra se obtiene los datos necesarios sin sin afectar significativamente significativamente los resultados 3. Es dificulto dificultoso so poner se en en contacto contacto con todos todos los miembros miembros de una población. población. 4. La naturaleza destructivas de ciertas pruebas, como lo es el caso de las pruebas de control de calidad, si se toma un objeto para determinar su punto máximo de flexión, el cual al pasarlo se rompe, si tomamos a toda una población (producción e un día, por ejemplo) eliminaríamos por completo todos los elementos de la población. En repetidas ocasiones se ha enfatizado la necesidad de seleccionar una muestra representativa de la población. Una muestra que tergiverse la población representará un error de muestreo y producirá estimados imprecisos de loa parámetros de la población. Hay dos fuentes básicas de muestreo. La primera es sencillamente mala suerte. Debido a la cuestión de suerte, la muestra puede contener elementos que no sean característicos de la población. El destino puede que dictar ciertas selecciones en la muestra sea atípicamente más grandes que la mayoría de los de la población y en tal caso caso resu resultltarí arían an una una sobre sobreest estim imac ació ión n del del pará paráme metr tro. o. O quiz quizás ás much muchos os de los los elementos elementos muestrales muestrales tienden a ser más pequeños pequeños de lo que típicamente típicamente se encuentra en la población y en tal caso resultaría una subestimación. Un asegunda fuente de error de muestreo es el sesgo muestral. El sesgo resulta de la tendencia a favorecer la selección de ciertas muestras sobre otras en la recolección de los datos de la muestra. La selección de la muestra puede terminar en error. Por tanto, es sabio garantizar que la recolección de los datos de la muestra siga un método que haya comprobado su capacidad para minimizar dicho error. Métodos de Muestreo Probabilística
Existen dos tipos de muestras: Las probabilísticas y las no probabilísticas. Qué es una muestra probabilística: Muestra seleccionada de tal forma que cada artículo o persona de la población tienen la misma probabilidad de ser incluida en la muestra. Si por el contrario se utilizan métodos no probabilísticas no todos los artículos tienen la 33
misma probabilidad de ser incluidos por lo tanto se corre el riesgo de que los resultados estén sesgados, lo que significa que los resultados no sean representativos a la población. Muestreo Aleatorio Simple Una Una mues muestr tra a alea aleato tori ria a simp simple le pued puede e obte obtene ners rse e simp simple leme ment nte e enum enumer eran ando do las las observaciones sobre pedazos idénticos de papel, colocándolos en un sombrero y sacando el número deseado de modo que cada uno de los elementos o personas en la población tenga las mismas probabilidades de ser incluidos. Además, también puede hablarse de la tabla de números aleatorios. Muestreo Sistemático Una muestra sistemática se forma seleccionando cada i-ésimo ítem de la población. población. Si se determina que i es igual a 10, una muestra sistemática consta de cada décima observación en la población. La población debe ordenarse o enumerarse en forma aleatoria. aleatoria. La primera selección selección debe determinarse determinarse aleatoriament aleatoriamente, e, y si i = 10, entonces estará en alguna de las primeras 10 observaciones. El punto inicial exacto puede identificarse bien sea seleccionando un número entre 1 y 10 sacado de un sombrero, o utilizando una tabla de números aleatorios. En cualquiera de los casos se selecciona de allí en adelante cada décima observación. Este muestreo es ventajoso porque no requiere de un experto altamente calificado para contar hasta 10 y registrar el resultado. Además el método permite flexibilidad ya que puede establecerse que i sea 10, 100, 1000 o cualquier otro número deseado. La determinación del valor apropiado para i también también es muy fácil. Si se desea seleccionar seleccionar una muestra de tamaño 100 de una población de 1000. El peligro principal que debe evitarse evitarse es la ocurrencia de un patrón en el ordenamiento de la población. Por ejemplo enumerar a la población alfabéticamente. Muestreo Estratificado Una muestra estratificada se divide una población en subgrupos llamados estratos, y se selecciona una muestra para cada uno de ellos, forzando las proporciones de la muestra de cada estrato para que esté conforme al patrón poblacional. Se emplea comúnmente cuando la población es heterogénea, o disímil, aunque ciertos grupos homogéneos puedan aislarse. De esta forma el investigador puede incrementar la precisión más allá del obtenido por una muestra aleatoria simple de tamaño similar. Muestreo por Conglomerados El muestreo por conglomerados conglomerados ofrece ciertas ventajas sobre otros métodos. Consiste en dividir toda la población en conglomerados o grupos y luego seleccionar una muestra de estos conglomerados. Todas las observaciones en estos conglomerados seleccionados seleccionados están están incluidas incluidas en la muestra. Este procedimient procedimiento o con frecuencia frecuencia es 34
más fácil y rápido que el muestreo muestreo aleatorio simple o estratifica estratificado. do. También es posible posible combinar el muestreo estratificado con el muestreo por conglomerados. Error en el muestreo: Es la diferencia de un estadístico de la muestra y un parámetro de la población. Teorema del Límite Central
El Teorema del Límite Central dice que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye distribuye según una distribución normal. Por ejemplo: la variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Binomial. Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una independiente entre si) se distribuye según una distribución normal. Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables continuas. Los parámetros de la distribución normal son: Media: n * m (media de la variable individual multiplicada por el número de variables independientes) Varianza: n * s2 (varianza de la variable individual multiplicada por el número de variables individuales) Teorema del Límite Central: No importa el tipo de distribución de la población. Si las muestras son suficientemente grandes (n ≥30), la distribución en el muestreo se puede aproximar a la distribución normal. Aplicando las propiedades de la distribución normal ase puede obtener la probabilidad de que la media muestral esté entre ciertos valores o el intervalo centro del cual caería una proporción fija de la muestra. Para esto se procede de igual manera que una distribución normal utilizando la fórmula de Z para la distribución muestral: Z =
X − µ x σ
x
=
X − µ x σ
Veamos ahora dos ejemplos: Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale cruz el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente, con media 0,5 y varianza 0,25. Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salga más de 60 caras. La variable suma de estas 100 variables independientes se distribuye, por tanto, según una distribución normal. Media = 100 * 0,5 = 50 Varianza = 100 * 0,25 = 25 Para ver la probabilidad de que salgan más de 60 caras calculamos la variable normal tipificada equivalente: 35
Z =
X − µ x σ
x
=
60 − 50 5
=2
(*) 5 es la raíz cuadrada de 25, o sea la desviación típica de esta distribución Por lo tanto: P (X > 60) = P (Y > 2,0) = 1- P (Y < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228 Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salga más de 60 caras es tan sólo del 2,28%. La renta media de los habitantes de un país se distribuye uniformemente entre 4,0 millones de bolívares. y 10,0 millones bolívares. Calcular la probabilidad de que al seleccionar seleccionar al azar a 100 personas la suma de sus rentas supere los 725 millones millones Bs.. Cada renta personal es una variable independiente que se distribuye según una función uniforme. Por ello, a la suma de las rentas de 100 personas se le puede aplicar el Teorema del Límite Central. La media y varianza de cada variable individual es: m = (4 + 10 ) / 2 = 7 s2 = (10 - 4) 2 / 12 = 3
Por tanto, la suma de las 100 variables se distribuye según una normal cuya media y varianza son: Media: n * m = 100 * 7 = 700 Varianza : n * s2 = 100 * 3 = 300 Para calcular la probabilidad de que qu e la suma de las rentas sea superior a 725 millones ptas, comenzamos por calcular el valor equivalente de la variable normal tipificada: Z =
X − µ x σ
x
=
725 − 700 17 ,3
= 1,44
Luego: P (X > 725) = P (Y > 1,44) = 1 - P (Y < 1,44) = 1 - 0,9251 = 0,0749 Es decir, la probabilidad de que la suma de las rentas de 100 personas seleccionadas al azar supere los 725 millones de bolívares es tan sólo del 7,49% Ejercicio 5
En una asignatura del colegio la probabilidad de que te saquen a la pizarra en cada clase es del 10%. A lo largo del año tienes 100 clases de esa asignatura. ¿Cuál es la probabilidad de tener que salir a la pizarra más de 15 veces? Estimadores Estimador puntual:
Es un valor que se calcula a partir de la información de la muestra, y que se usa para estimar el parámetro de la población. Cuando no poseemos los datos de una población es necesario estimar la media de la población, para ello utilizamos utilizamos un número único. A ese número se le conoce como estimador puntual. No obstante un estimador puntual sólo se refiere a una parte de la historia. Si bien no se espera que es estimador puntual
36
esté próximo al parámetro de la población, se desearía expresar que tan cerca está, para ello sirve el intervalo de confianza. Un estimador puntual es el valor numérico de una estadística muestral empleado para estimar el valor de un parámetro de la población o proceso. Una de las características más importante importante de un estimador estimador es que sea insesgado. insesgado. Un estimad estimador or insesgado insesgado es una estadística muestral cuyo valor esperado es igual al parámetro por estimar. A continuación se presentan algunos de los estimadores puntales de uso más frecuente: Parámetro de la Población
Media, µ Diferencia entre las medias de dos poblaciones, µ 1 − µ 2
Proporción, π Diferencia ent entre las las poblaciones, π 1 − π 2 Varianza, σ 2 Desviación estándar, σ
Estimador X X 1 ˆ p
pobla blaciones
de
dos
-
X 2
ˆ1 − p ˆ2 p s
2
s
El estimador puntual utiliza un valor de la muestra para estimar el parámetro de la población. Este valor variará de una muestra a otra porque en cada muestra sólo se selecciona una parte de la población. La utilidad del estimador puntual está condicionada a la
Estimación por Intervalos, un intervalo es un rango de valores dentro del cual se estima está el parámetro de la población. Intervalo de Confianza:
EL intervalo de confianza es un rango de valores que se construyen a partir de datos de la mues muestr tra a de modo modo que que el pará paráme metr tro o ocur ocurre re dent dentro ro de dich dicho o rang rango o con con una una probabilidad específica. La probabilidad específica se conoce como nivel de confianza. La media de la muestra es un estimador puntual de la media de la población, por lo que si una tienda desean estimar estimar la edad promedio promedio de las personas que compran equipos equipos de comp comput utac ació ión, n, con con tan tan solo solo toma tomarr una muest muestra ra aleat aleatori oria a de los los comp compra rador dores es recientes pueden determinar la edad de la población, por lo tanto la media de la muestra estima la media de la población. Cuando el tamaño de la muestra, n, es por lo menos de 30, generalmente se acepta que el teorema del límite central asegurará una distribución normal de las medias de las muestras. muestras. Esta consideración es importante. importante. Si las medias de las muestras muestras tienen una distribución normal, es posible usar la distribución normal estándar, es decir, z, en nuestros cálculos. Los intervalos de confianza de 95 y 99 por ciento se calculan de la siguiente forma cuando n es igual o mayor que 30. 37
Intervalo de confianza de 95 % para una media Intervalo de confieanza de 99 % para una media
x ±1,96 x ± 2,58
s n s n
1,96 1,96 y 2,58 2,58 son son valo valore ress z que que corr corres espo pond nden en al 95 y 99% 99% de las las obse observ rvac acio ione ness respectivamente, pero si lo que se desea es calcular un intervalo de confianza para una media la fórmula es: x ± z
s n
Intervalo de Confianza para una Proporción de la Población La determinación determinación de un estimador estimador puntual y de un de intervalo intervalo para una proporción proporción de la población es similar a los métodos que se describieron en la sección anterior. Un estimador puntual para la proporción de la población se encuentra al dividir el número de éxitos en la muestra entre el número que se muestreo. Por ejemplo, supongamos que 100 personas de las 400 que se muestrearon dijeron que les gustaba más un nuevo refresco que otro, la mejor estimación de la proporción de la población que favorece el nuevo refresco es 0.25 o 25% que resulta de dividir 100/400. La proporción es la fracción del número de “éxitos” con relación al número muestreado. Veamos su fórmula: P (X
éxitos)=
X n
, donde:
X= número de éxitos N= tamaño de la muestra Cómo se calcula el intervalo de confianza para proporción de la población P ± z σ p
Donde
p
es el error estándar estimado de la proporción
Estudios para determinar parámetros
Con estos estudios pretendemos hacer inferencias a valores poblacionales (proporciones, medias) a partir de una muestra. Estimar una proporción: Si deseamos estimar una proporción, debemos saber: a) El nivel de confianza confianza o seguridad (1-a ). El nivel de confianza prefijado da lugar a un coeficiente (Za ). Para una seguridad del 95% = 1.96, para una seguridad del 99% = 2.58. b) La precisión que deseamos para nuestro estudio. 38
c) Una idea del valor aproximado del parámetro que queremos medir (en este caso una proporción). Esta idea se puede obtener revisando la literatura, por estudio pilotos previos. En caso de no tener dicha información utilizaremos el valor p = 0.5 (50%). Ejemplo: ¿A cuantas personas tendríamos que estudiar para conocer la prevalencia de diabetes? Seguridad = 95%; Precisión = 3%: Proporción esperada = asumamos que puede ser próxima al 5%; si no tuviésemos ninguna idea de dicha proporción utilizaríamos el valor p = 0,5 (50%) que maximiza el tamaño muestral: donde: Za 2 = 1.962 (ya que la seguridad es del 95%) p = proporción esperada (en este caso 5% = 0.05) q = 1 – p (en este caso 1 – 0.05 = 0.95) d = precisión (en este caso deseamos un 3%) Si la población es finita, es decir conocemos el total de la población y deseásemos saber cuántos del total tendremos que estudiar la respuesta seria:
donde: N = Total de la población Za2 = 1.962 (si la seguridad es del 95%) p = proporción esperada (en este caso 5% = 0.05) q = 1 – p (en este caso 1-0.05 = 0.95) d = precisión (en este caso deseamos un 3%). ¿A cuántas personas tendría que estudiar de una población de 15.000 habitantes para conocer la prevalencia de diabetes? Seguridad = 95%; Precisión = 3%; proporción esperada = asumamos que puede ser próxima al 5% ; si no tuviese ninguna idea de dicha proporción utilizaríamos el valor p = 0.5 (50%) que maximiza el tamaño muestral.
Según diferentes seguridades el coeficiente de Z a varía, así: Si la seguridad Za fuese del 90% el coeficiente sería 1.645 Si la seguridad Za fuese del 95% el coeficiente sería 1.96 Si la seguridad Za fuese del 97.5% el coeficiente sería 2.24 Si la seguridad Za fuese del 99% el coeficiente sería 2.576 Estimar una media: Si deseamos estimar una media: debemos saber: El nivel de confianza o seguridad (1-a ). El nivel de confianza prefijado da lugar a un coeficiente coeficiente (Za ). Para una seguridad del 95% = 1.96; para una seguridad del 99% = 2.58. 39
La precisión con que se desea estimar el parámetro (2 * d es la amplitud del intervalo de confianza). Una idea de la varianza S 2 de la distribución de la variable cuantitativa que se supone existe en la población. Ejemplo: Si deseamos conocer la media de la glucemia basal de una población, con una seguridad del 95 % y una precisión de ± 3 mg/dl y tenemos información por un estudio piloto o revisión bibliográfica que la varianza es de 250 mg/dl Si la población es finita, como previamente se señaló, es decir conocemos el total de la población y desearíamos saber cuantos del total tendíamos que estudiar la respuesta sería:
(Tomado de http://www.fisterra.com/m http://www.fisterra.com/material/investiga/8m aterial/investiga/8muestras/8muestras uestras/8muestras.htm .htm))
Error estándar la proporción de la muestra Es una medición de la variabilidad de la distribución muestral de las medias muestras. Se calcula por: Error estándar de la media con desviación estándar de la población conocida σ x =
σ
n
Donde: σ = es el error de la media llamado también desviación estándar de la distribución muestra de medias σ = es la desviación estándar de la población n= es el tamaño de la muestra x
En la mayoría de los casos se desconoce la desviación estándar de la población, por lo que se le estima por la desviación estándar de la muestra, ello implica que en la fórmula presentada anteriormente se reemplaza σ (desviación estándar de la muestra) por s (desviación estándar de la muestra). Vale la pena acotar que mientras más mayor sea el valor de n el error en el muestreo es menor Características de un buen estimador
Cuando se tiene una fórmula para estimar y se aplica a una muestra aleatoria, el resultado es aleatorio, es decir los estimadores son variables aleatorias. Por ejemplo si se recibe un embarque de objetos que pueden:
•
estar listos para usarse ó 40
•
defectuosos.
Podemos seleccionar al azar algunos de ellos para darnos una idea de la proporción de defectuosos en el embarque. El parámetro de interés es la proporción de defectuosos en toda la población, pero lo que observamos es la proporción de defectuosos en la mues muestr tra. a. El valo valorr de la propor proporci ción ón en la muest muestra ra es una una variab variable le aleat aleatori oria a cuya cuya distribución está emparentada directamente con la binomial (si se tratara del número de defectuosos, sería binomial). Como cualquier variable aleatoria, el estimador tiene
•
Distribución de probabilidad. probabilidad.
•
Valor esperado.
•
Desviación estándar / varianza.
Valor esperado de un estimador y sesgo
El valor esperado de un estimador nos da un valor alrededor del cual es muy probable que se encuentre el valor del estimador. Para poner un ejemplo, si supiéramos que el valor esperado de una estadística es 4, esto significaría que al tomar una muestra:
•
No creemos que el valor de la estadística vaya a ser 4.
•
Pero tampoco creemos que el valor de la estadística vaya a estar lejos de 4.
Ya que es muy probable que el valor del estimador esté cerca de su valor esperado, una propiedad muy deseable es que ese valor esperado del estimador coincida con el del parámetro que se pretende estimar. Al menos, quisiéramos que el valor esperado no difiera mucho del parámetro estimado. Por esa razón es importante la cantidad que, técnicamente llamamos sesgo. El sesgo es la diferencia entre el valor esperado del estimador y el parámetro que estima. Si el sesgo 0, se dice que el estimador estimador es instigado instigado y ésta es una característi característica ca buena para un estimador. estimador. Un estimador estimador que es instigado tiene una alta probabilidad probabilidad de tomar un valor cercano al valor del parámetro. Varianza de un estimador
Otra propiedad importante de un estimador es su varianza (o su raíz cuadrada, la desviación desviación estándar). estándar). La importancia importancia de la desviación desviación estándar estándar es que nos permite darle un sentido numérico a la cercanía del valor del estimador a su valor esperado. Entre menor sea la desviación estándar (o la varianza) de un estimador, será más probable que su valor en una muestra específica se encuentre mas cerca del valor 41
esperado. Para aclarar esto, considere dos estimadores T1 y T2, suponga que ambos son instigados y suponga que la varianza de T1 es menor que la de T2 ¿Qué quiere decir esto? Simplemente Simplemente que en un entorno entorno fijo del valor del parámetro, parámetro, los valores de T1 son más probables que los de T2. O sea que vamos a encontrar a T1 más cerca del valor del parámetro que a T2. Esto hace que nuestras preferencias estén con T1. Cuando un estimador tiene una varianza menor que otro decimos que el estimador es más eficiente.
El mejor estimador es el que se acerca al parámetro poblacional, sus características características son:
No debe debe tener tener sesgo sesgo:: cuan cuando do el valor valor espera esperado do del del estadí estadísti stico co usado como estimador es igual al parámetro de la población que se desea estimar, se dice que ese estimador es insesgado. Eficiencia: la eficiencia tiene relación directa con el dato obtenido del error, a menor error mayor es la eficiencia del estimador. Si las distrib distribucio uciones nes de muestreo muestreo de dos estadísti estadísticos cos tienen la misma media(o esperanza), el de menor varianza se llama un estimador eficiente de la media, mientras que el otro se llama un estimador ineficiente, ineficiente, respectivamente. respectivamente. De tal forma forma que si podemos podemos hallar un estimador estimador con una varianza varianza que que resulte menor menor que la varianza varianza de cualquier otro estimador, tomaremos tomaremos aquel como base para una medida de eficiencia y diremos que ese es un estimador eficiente. Consistencia: Un estimador tiene consistencia en la medida en que el tamaño de la muestra aumenta, ello nos acerca al parámetro de
Cálculo del tamaño de la muestra
A la hora de determinar el tamaño que debe alcanzar una muestra hay que tomar en cuenta varios factores: el tipo de muestreo, el parámetro a estimar, el error muestral admisible, la varianza poblacional y el nivel de confianza. Por ello antes de presentar un caso sencillo de cálculo del tamaño muestral delimitemos estos factores. Para la Media La diferencia entre la media de la muestra y la media de la población es un error muestral. Por lo tanto, ( X − µ ) = e ⇒ error _ muestral
z =
( X − µ ) σ
donde ( X − µ ) =
Z σ n
n
Por lo tanto,
e
=
Z σ n
de allí se despeja n para calcular el tamaño de la muestra
Para una población infinita n
=
z 2σ 2 e2
42
2
Para una población finita
n0
=
Z σ e
2
2
Para determinar el tamaño de la muestra a partir de la distribución muestral de la media se requiere conocer: El nivel de confianza deseado, z El error muestral permitido, e La desviación estándar, σ Para la Proporción Para población infinita, partiendo de la fórmula z z ≈
p s
−
p
=
e
pq
pq
n
n
. Se llega a: n =
z 2 pq e2
Para población finita hay que tomar en cuenta el factor de corrección, n0
=
Z 2 pq e2
En resumen: Parámetro. Son las medidas o datos que se obtienen sobre la población. Estadístico . Los datos o medidas que se obtienen sobre una muestra y por lo tanto una
estimación de los parámetros. Error Muestral, de Estimación o Standard . Es la diferencia entre un estadístico y su
parámetro correspondiente. Es una medida de la variabilidad de las estimaciones de muestras repetidas en torno al valor de la población, nos da una noción clara de hasta dónde y con qué probabilidad una estimación basada en una muestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por medio de un censo completo. Siempre se comete un error, pero pero la naturaleza de la inves investitiga gaci ción ón nos indic indicará ará hast hasta a qué medi medida da podem podemos os cometerlo (los resultados se someten a error muestral e intervalos de confianza que varían muestra a muestra). Varía según se calcule calcule al principio principio o al final. Un estadístico estadístico será más preciso en cuanto y tanto su error es más pequeño. Podríamos decir que es la desviación de la distribución muestral de un estadístico y su fiabilidad. Nivel Nivel de Confia Confianza nza. Probabilidad de que la estimación efectuada se ajuste a la
realidad. Cualquier información que queremos recoger está distribuida según una ley de probabilidad (Gauss o t de Student), así llamamos nivel de confianza a la probabilidad de que el intervalo construido en torno a un estadístico capte el verdadero valor del parámetro. Varianza Poblacional. Cuando una población es más homogénea la varianza es
menor y el número de entrevistas necesarias para construir un modelo reducido del 43
universo, universo, o de la población, será más pequeño. Generalmente es un valor desconocido y hay que estimarlo a partir de datos de estudios previos.
44
Unidad III
Prueba de Hipótesis
Objetivo: Aplicar con propiedad y de forma pertinente a situaciones administrativas la prueba de hipótesis Contenidos: Qué es una hipótesis Qué es una prueba de hipótesis Contraste de hipótesis Paramétricas (Media aritmética y proporción) Para una población Para dos poblaciones
45
“El que aprende y aprende y no practica lo que aprende es como el que ara y ara y nunca siembra.”
Platón
Prueba de Hipótesis Siempre las personas, en diversas oportunidades y circunstancias, hemos realizado afirmaciones considerando experiencias previas, conocimientos superficiales de algo, etc. Esas afirmaciones las llamamos hipótesis , y esas hipótesis pueden ser aceptadas o rechazadas; sin embargo en estadística para poder aceptar o rechazar una hipótesis se deben realizar una serie de cálculos que sustenten la veracidad o no de ese supuesto, para ello existe la prueba de hipótesis . La prue rueba de hip hipótesis es un proce ocedimiento medi ediant ante el cual se prueb ueba estadísticamente si una hipótesis es verdadera o no. En esta unidad encontrarás los pasos para realizar una prueba de hipótesis en función de la media aritmética y la proporción para una y dos poblaciones
46
UNIDAD III. PRUEBA DE HIPÓTESIS ¿Qué es una hipótesis?
Una hipótesis es una afirmación acerca de un parámetro de la población. Luego, se utilizan los datos para verificar que tan razonable es una afirmación, en otras palabras, la hipótesis es el establecimiento de una tesis a la que con elementos estadísticos se le prueba la veracidad veracidad Las hipótesis estadísticas estadísticas se pueden contrastar contrastar con la información información extraída de las muestras y tanto si se aceptan como si se rechazan se puede cometer un error. Hipótesis estadística Asunción relativa a una o varias poblaciones, que puede ser cierta o no. Enunciado acerca de un parámetro de la población que se
¿Qué es una Prueba de Hipótesis?
La prueba de hipótesis es un procedimiento en el cual se dan evidencias para afirmar o nega negarr una una hipó hipóte tesi sis. s. El prim primer er paso paso para para real realiz izar ar una una prue prueba ba de hipó hipóte tesi siss es estableciendo la afirmación o suposición sobre un parámetro de una población, como por ejemplo la media. Una hipótesis podría ser que los estudiantes de una aldea de Misión Sucre invierten en promedio Bs. 2000 diarios en pasaje. Para comprobar la validez de la hipótesis µ = Bs 2.000 , es preciso elegir una muestra de la población (algunos estudiantes de la aldea planteada en la hipótesis) y preguntarles cuanto dinero invierten invierten diariamente diariamente en pasaje, calcularle calcularle la media y aceptar o rechazar la hipótesis; hipótesis; supongamos supongamos que la media resulta resulta ser de Bs. 1990, al ser una cifra tan cercana a2.000 se considera como válida la hipótesis, ya que la diferencia de Bs. 10 puede deverse a un error de muestreo. Prueba de Hipótesis: Procedimiento que se basa en la evidencia de las muestras y en la
Procedimiento para probar una hipótesis
Existen cinco pasos que sistematiza una prueba de hipótesis, y cuando se llega al paso 5 se está listo para rechazar o aceptar la hipótesis. Veamos los pasos representados en el siguiente diagrama: 47
Paso 1 Establecer las hipótesis nula y alternativa
Paso 2 Seleccionar un nivel de significancia
Paso 3 Identificar la estadística de prueba
Paso 4 Formular la regla de decisión
No rechazar H0
Rechazar H0 y Aceptar H1
Paso 5 Tomar una muestra, llegar a una decisión
Paso 1: Plantear la hipótesis nula (H 0) y la hipótesis alternativa (H 1) El primer paso consiste en plantear la hipótesis que se prueba, a la cual llamamos hipótesis nula, y se denomina H 0, la letra mayúscula H significa hipótesis, y el subíndice cero supone “sin diferencia”. Por lo general, la hipótesis nula incluye un termino “no” que significa que no hay cambio. La hipótesis nula se rechaza o acepta, pero la hipótesis nula no se rechaza a menos que los datos de prueba proporcionen evidencias convincentes que es falsa. Se debe recalcar además que si no se rechaza la hipótesis hipótesis nula, con base en los datos de la muestra, no es posible decir que la hipótesis nula sea cierta. En otras palabras, la impos imposib ibililid idad ad de recha rechazar zar la hipót hipótesi esiss nula nula no demu demues estr tra a que H 0 sea verdader verdadera; a; significa que no fue posible de rechazar H 0. Para demostrar la hipótesis nula sería necesario conocer el parámetro de la población y recabar los datos con la población en pleno; como eso es prácticamente imposible, la única alternativa es tomar una muestra de la población. Hipótesis nula
La hipótesis alternativa describe una conclusión a la que se llegará si se rechaza la hipótesis nula. Se escribe H1, el H sub1 también se le conoce como hipótesis de investigación. La hipótesis alternativa se acepta si los datos de la muestra proporcionan suficiente evidencia estadística de que la hipótesis nula es falsa. Hipótesis alternativa Una afirmación que se acepta si los datos de la muestra evidenci evidencian an suficien suficienteme temente nte ue la hi ótesis ótesis nula nula es
48
Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia El nivel de significancia es designado con la letra alfa ( α ) del alfabeto griego, también se le conoce como nivel de riesgo, y éste quizás sea un termina más apropiado, pues es este nivel es el riesgo que se asume al rechazar la hipótesis nula cuando de hecho es verdadera. No hay un nivel de significancia que se aplique a todas las pruebas, el investigador toma la decisión de utilizar cualquier valor entre 1 y 0, es decir, entre 0 y 10 por ciento. Por que se comentó al inicio que el nivel de significancia se podía llamar también de riesgo, porque de acuerdo al nivel de significancia que se establezca se puede cometer el error de rechazar una hipótesis verdadera, observemos este ejemplo planteado por Lind, Mason y Marchal (2003): Suponga que una firma que fabrica computadoras personales utiliza una gran cantidad de tarjetas de circuitos impresos. Los proveedores concursan para abastecer las tarjetas y, a quien presenta la cotización más baja, se le otorga un contrato considerable. Suponga también que el contrato especifica que el departamento de control de calidad del fabricante de las computadoras hará un muestreo de todos los embarques de tarjetas de circuitos que reciba. Si más del 6 por ciento de las tarjetas de la muestra están por debajo de la norma, el embarque será rechazado. La hipótesis nula es que los embarques de las tarjetas que se reciben contienen 6 por ciento o menos de tarjetas por debajo de la norma. La hipótesis alternativa es que está defectuoso más del 6% de las tarjetas. El embarque de 50 tarjetas del lote que se recibió rebeló que cuatro de ellas, es decir, un 8%, estaban por debajo de la norma, entonces la decisión de regresar las tarjetas al proveedor es correcta. Suponga que las 4 tarjetas seleccionadas en la muestra de 50 eran las únicas defectuosas en todo el embarque de 4.000 tarjetas. Entonces, sólo 1/10 de 1 por ciento estaban defe defect ctuo uosa sas s (4/4 (4/400 000= 0=0, 0,00 001) 1).. En ese ese caso caso,, meno menos s del 6% de todo todo el embarque estaba por debajo de la norma y el rechazo del mismo fue un error.
En la prueba de hipótesis anterior se rechazó la hipótesis nula cuando debió haberse aceptado, este error se denomina de tipo I y se le designa por la letra alfa ( α ). La probabilidad de cometer otro de error llamado llamado tipo II es designado con con la letra beta ( ). Acción Acepto H0 Rechazo H0
H0 Es verdadera Decisión correcta
Error tipo I α
H0 Es falsa
Error tipo II Decisión correcta
49
Error tipo I: Rechazar una hipótesis verdadera. Error tipo II: No rechazar una hipótesis nula que es falsa Paso 3: Calcular el estadístico de prueba Para la prueba de hipótesis se utiliza Z como estadística de prueba, a pesar de que existen muchas otras pruebas estadísticas. En la prueba de hipótesis para la media ( µ ) ,
la estadística de prueba z se calcula por:
Z =
X − µ x σ
n
El valor z se basa en la distribución de muestreo de X , que tiene una distribución normal cuando la muestra es razonablemente grande con una media µ igual a X
µ
y una desviación estándar σ , que es igual a
σ
X
. Así es
n
posible determinar la diferencia entre X y µ es importante desde el punto de vista estadístico, al encontrar cuantas desviaciones estándar separan a X de µ , utilizando la formula de z. Paso 4: Formular la regla de decisión Una regla de decisión es una afirmación de las condiciones bajos las que se rechaza la hipótesis la y bajo las que no se rechaza. El área de rechazo define la ubicación de todos aquellos valores que son tan grandes o tan pequeños que la probabilidad de que ocurran bajo una hipótesis nula verdadera es bastante remota. En el gráfico que se mues muestr tra a a cont contin inuac uació ión n el valor valor crít crític ico o es 1,65 es divide divide la zona zona de recha rechazo zo o aceptación de la hipótesis
Región de rechazo
Probabilidad de 0,95
Probabilidad de 0,05 Valor Crítico
Valor Crítico Punto de división entre la región en que se rechaza la hi ótes ótesis is nula nula la re ión ión en la ue no se rech rechaz aza a 50
Los valores críticos críticos determinan determinan la zona de rechazo. Para Para hallarlos se divide divide entre dos el 95%. En la tabla z (revisar anexos), el área de 0,95/2=0,4750 lo que indica un valor de 1.96. El 5% restante está distribuido entre las dos colas, son 2,5% en cada zona de rechazo. Es posible encontrar los valores críticos al otro lado de la cola:
Paso 5: Tomar una decisión Este último paso consiste en decidir si rechazar rech azar o no la hipótesis nula. La regla re gla de ± decisión es: No se rechaza la hipótesis nula si los valores z están entre 1,96 . Se rechaza si el valor z es menor que -1,96 o mayor que +1,96. Prueba de una o dos colas Una prueba es de una cola cuando la hipótesis hipótesis alterna, H1, establece establece una dirección,
como: H0 : el ingreso medio de las mujeres es menor o igual al ingreso medio de los hombres. H1 : el ingreso medio de las mujeres es mayor que el de los hombres. Distribución de muestreo para el valor estadístico z, prueba de una cola, nivel de significancia de .05
51
Una prueba es de dos colas cuando no se establece una dirección específica de la
hipótesis alterna H1, como: H0: el ingre ingreso so medi medio o de las las muje mujeres res es igual igual al ingre ingreso so medi medio o de los los homb hombres res.. H1: el ingreso medio de las mujeres no es igual al ingreso medio de los hombres. Distribución de muestreo para el valor estadístico z, prueba de dos colas, nivel de significancia de 0.05
Prueba para la media poblacional: muestra grande, desviación desviación estándar poblacional conocida
Cuando se hace una prueba para la media poblacional de una muestra grande y se conoce la desviación estándar, el estadístico de prueba está dado por: Z =
X − µ σ
n
Ejemplo: Una cooperativa cooperativa fabricante de salsa de tomate tomate indican en su etiqueta que el contenido contenido de la botella es de 16 onzas. Cada hora se toma una muestra de 36 botellas y se pesa el contenido. La muestra de la última hora tiene un peso medio de 16.12 onzas con una desviación estándar de .5 onzas. ¿Está el proceso fuera de control para un nivel de significancia de .05? Paso 1: establezca la hipótesis nula y alterna Paso 2: establezca la regla de decisión: Paso 3: calcule el valor del estadístico de prueba: H 0 se rechaza si z <- 1.96 o z > 1.96 Paso 4: decisión sobre H 0: no se rechaza H0 porque 1.44 es menor que el valor crítico
1.96
52
Si se desconoce la desviación estándar de la población y el tamaño de la muestra muestra es n ≥ 30
Z =
X − µ σ
n
Ejemplo en la cual se indica el procedimiento para la prueba de hipótesis
(Tomado de
monografías.com)
El jefe de la Biblioteca Especializada de la Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la UNAC manifiesta que el número promedio de lectores por día es de 350. Para confirmar o no este supuesto se controla la cantidad de lectores que utilizaron la biblioteca durante 30 días. Se considera el nivel de significancia de 0.05 Datos: Día Usuarios
Día Usuarios Día
Usuario
1
356
11
305
21
429
2
427
12
413
22
376
3
387
13
391
23
328
4
510
14
380
24
411
5
288
15
382
25
397
6
290
16
389
26
365
7
320
17
405
27
405
8
350
18
293
28
369
9
403
19
276
29
429
Se trata de un problema con una media poblacional: muestra grande y desviación estándar poblacional desconocida. Paso 01: Seleccionamos la hipótesis nula y la hipótesis alternativa Ho: μ═350 Ha: μ≠ 350 Paso 02: Nivel de confianza o significancia 95% α═0.05 Paso 03: Calculamos o determinamos el valor estadístico de prueba De los datos determinamos determinamos:: que el estadístico estadístico de prueba es t, debido a que el numero de muestras es igual a 30, conocemos la media de la población, pero la desviación estándar de la población es desconocida, en este caso determinamos la desviación estándar de la muestra y la utilizamos en la formula reemplazando a la desviación estándar de la población. 53
Z =
x − µ s n
Calculamos la desviación estándar muestral y la media de la muestra empleando x
=372
,8
σ = 52 ,414
Es importante que sepas que en el programa Excel de Microsoft Office puedes calcular diversos estadísticos como la media, la desviación estándar entre otros, de forma muy fácil y rápida.
Paso 04: Formulación de la regla de decisión. La regla de decisión la formulamos teniendo teniendo en cuenta que esta es una prueba de dos colas, la mitad de 0.05, es decir 0.025, esta en cada cola. el área en la que no se rechaza Ho esta entre las dos colas, es por consiguiente 0.95. El valor critico para 0.05 da un valor de Zc = 1.96. Por consiguiente la regla de decisión: es rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa, si el valor Z calculado no queda en la región comprendida entre -1.96 y +1.96. En caso contrario no se rechaza la hipótesis nula si Z queda entre -1.96 y +1.96. Paso 05: Toma de decisión. En este ultimo paso comparamos el estadístico de prueba calculado Z = 2.38 y lo comparamos con el valor critico de Zc = 1.96. Como el estadístico de prueba calculado cae a la derecha del valor critico de Z, se rechaza Ho. Por tanto no se confirma el supuesto del Jefe de la Biblioteca. Si el tamaño de la muestra es n ≤ 30 se utiliza la distribución t de Student: t n −1 =
x − µ σ
x
=
x − µ s
n
Prueba para dos medias de población
En este caso se trabaja con las medias de poblaciones. El objetivo es probar si es razonable llegar a la conclusión de que las dos medias de la población son iguales (y por lo tanto que las dos poblaciones tienen una media común), o que la diferencia entre ambas medias de muestra es tan grande que se debería concluir que las medias de la población no son iguales. Esto tiene muchas utilidades, por ejemplo sirve para un jefe de planta conocer el rendimiento rendimiento promedio de los trabajadores trabajadores del turno de la mañana difiere al del los trabajadores del turno de la noche. En estos casos es necesario seleccionar muestras aleatorias de las dos poblaciones, calcular las medias de cada muestra y determinar si es razonable que ambas sean 54
iguales. Para este caso se siguen igualmente los cinco pasos planteados pero habrá una diferencia en la fórmula para la estadística z: Z =
X 1 − X 2 s12
+
n1
s 22 n2
Ejemplo Prueba de hipótesis con dos poblaciones (tomado de www.monografías.com) www.monografías.com)
En el HMI Ramos Larrea, se realizó un estudio para comparar la efectividad de dos tratamientos diferentes para la diarrea aguda, se seleccionaron 15 niños de 1 a 2 años de edad con diarrea aguda, fueron divididos en dos subgrupos, al subgrupo A se le dio como tratamiento SRO y al subgrupo B se le dio como tratamiento SRO+Cocimiento de arroz. Después de tres días de tratamiento, se registró la frecuencia de evacuaciones de los niños. Los resultados fueron los siguientes: GRUPO A 3
4
3
4
4
4
5
GRUPO B 4
1
2
3
1
3
2
3
¿Proporcionan los datos evidencias suficientes que indique que la efectividad de los dos tratamientos no es la misma? Utilice un nivel de significación de 0.05. Solución: 1. Planteamiento de hipótesis: Ho: μ1 = μ2 H1: μ1 ≠ μ2 2. Nivel de significancia de: α = 0.05 3. Prueba estadística: Z =
X 1 2 1
s
n1
− X 2 +
s
2 2
n2
=
3,85 − 2,71 2,85 7
2
+
7,42
= 2
1,14 1,16 + 7,86
=
1,14 9,02
=
1,14 3
=
0,38
7
El valor 0,38 se busca en la tabla de valores z dentro de la columna de valor de significación de 0.05, ello nos da 0,6736, valor muy por encima de α . Ahora con este dato revisamos la zona de rechazo para tomar la decisión. Con los supuestos: Las poblaciones se distribuyen normalmente Las muestras han sido seleccionadas al azar. Criterios de decisión: 55
Se rechaza la hipótesis nula (H o), se acepta la hipótesis alterna (H 1) a un nivel de significancia de α = 0.05. La prueba resulto ser significativa. La evidencia estadística no permite aceptar la hipótesis nula. La evidencia estadística disponible permite concluir que probablemente existe diferencia entre los dos tratamientos empleados en casos de diarrea aguda. Pruebas respecto de las proporciones
Como lo hemos venido trabajando para probar una hipótesis hipótesis calculamos calculamos un valor z y lo comparamos con un valor crítico de Z con base al nivel de significancia seleccionado. El valor p para probar hipótesis es un método alternativo en caso de variables discretas. El valor p también es aplicado a hipótesis de una cola o de dos colas. Un ejemplo de las hipótesis que podemos manejar con la prueba de proporción son:
Los Los miem miembr bros os de la Comi Comisi sión ón Acad Académ émic ica a Naci Nacion onal al del del plan plan defo deform rmac ació ión n Administraci Administración ón informa informa que el 80% de los estudiantes certificados certificados como Asistentes Asistentes Administrativos entran al mercado laboral desempeñándose en actividades afines con su acreditación. El representante de una importante cadena de farmacias afirma que la mitad de sus ventas se realizan por los autoservicios.
Estas preguntas abarcan los datos de una escala nominal de mediación, si recordamos Estadística I esta escala se caracteriza por tener categorías sin un orden valor de jerarquización, por ejemplo la raza, la religión, etc. Proporción (p) Una fracción, relación o porcentaje que indica la parte de la población o muestra que tiene una característica de interés particular. p
N ú m _ de _eré ox _i t eo _nsl a_ m u e =
N ú m me ru oe s t r e a
56
Un ejemplo de proporción es que 87 personas de 100 afirmaron tener mascotas en su casa. La proporción de la muestra es 87/100=0,87 o 87%. Para probar una hipótesis sobre una proporción de una población se elige una muestra aleatoria de la población que cumpla con las suposiciones binomiales explicadas. Esta prueba es apropiada cuando cuando tanto tanto np como n(1-p) son son al menos enos de 5.n (n=ta (n=tama maño ño de la mues muestr tra, a, p=proporción de la población) Se establece el nivel de significancia y se procede a calcular el valor z Prueba de hipótesis para una proporción poblacional z =
p − P σ
, donde:
P es la proporción de la población p es la proporción de la muestra n tamaño de la muestra σ es el error estándar de la proporción de la población. Se calcula por p
Prueba de hipótesis para una proporción
p (1 − p ) / n
p − P
z =
p (1 − P ) n
Por último se toma la decisión. Ejemplo: Una encuesta aplicada aplicada en Caracas a 2.000 personas reveló que 1550 de ellas realizas realizas compra comprass en los los megam megamerc ercado adoss reali realizad zados os quince quincena nalm lmen ente te a la Av. Av. Bolí Bolíva var. r. La proporción de 0,775 (1550/2000=0.775) está bastante cerca de 0,80 para llegar a la conclusión de la mayoría de la población de Caracas compra sus alimentos en los megamercados con regularidad. Z es una estadística de prueba normalmente distribuida cuando la hipótesis es verdad y las demás suposiciones también son verdaderas. P es 0,775, la proporción de la muestra N es 2000, el número de encuestados P es 0,80, la proporción hipotética de la población 1550
z =
p − P p (1 − P ) n
=
− 0,80 2000 = −2,80 0,80(1 − 0,80 )
2000
El valor z -2,80 está en la zona de rechazo, de modo que la hipótesis nula queda rechazada en el nivel 0,05.
Ejercicio:
Se dan las siguientes hipótesis 57
H0= p ≤ 0.70 H1=p>0.70 Una muestra de 100 observaciones reveló que p=0.75. En el nivel de significancia de 0,05¿Es posible rechazar la hipótesis nula? Prueba para la Diferencia entre dos Proporciones Poblacionales Poblacionales
En este tipo de pruebas interesa saber si dos proporciones de la población son iguales. A continuación se presentan algunos ejemplos: Una Una coop cooper erat ativ iva a de ropa ropa casu casual al elab elabor oró ó un nuev nuevo o dise diseño ño de cami camisa sass para para caballeros, el nuevo modelo se le mostró a un grupo de posibles compradores menores de 30 años y a otros mayores de 60 años. La cooperativa desea saber si existe diferencia en la proporción de personas de ambos grupos a quienes les gusta el nuevo diseño. Una aerolínea está investigando sobre el miedo a volar entre adultos, de forma específica específica quieren saber si existe existe alguna diferencia diferencia significativ significativa a entre la proporción proporción de hombres y de mujeres.
Prueba de proporciones de dos muestras
z =
p1 p c (1 − p c n1
−
p 2
+
p c (1 − p c ) n2
Donde: n1 es el número en la primera muestra n2 es el número en la segunda muestra p1 es la proporción en la primera muestra que posee la característica p2 es la proporción en la segunda muestra que posee la característica pc es la proporción conjunta que posee la característica en la muestra combinada, se calcula con la siguiente fórmula: Proporción conjunta pc =
N ú m _ e tr oo t _ a l d _ e é x i t o s X 1 + X 2 =
N ú m _ e troo t _ a l d _ e l a _ s m u e s t r an1s+ n2
Donde: X1 es el número que posee la característica en la primera muestra X2 es el número que posee la característica en la segunda muestra Ejemplo Una fábrica de perfumes desarrollo una nueva fragancia llamada Rojo. Varias pruebas indican que tiene una muy buena aceptación en el mercado, sin embargo interesa saber si el perfume lo prefieren mujeres jóvenes o maduras. Se tomará una muestra aleatoria de mujeres jóvenes y maduras y se les realizará una prueba dándoles a oler varios perfumes entre ellos Rojo y se les piden que indiquen el que más les guste. H0 no hay diferencia entre la proporción de mujeres jóvenes y maduras que prefieren Rojo. La hipótesis alterna es que ambas proporciones no son iguales. Ho: p1 = p 2 H1: p1 ≠ p 2 58
Seleccionemos el nivel de significancia, utilizaremos el 0.05 n1: mujeres jóvenes=100 X1: las que prefirieron Rojo=20 n2: mujeres maduras=200 X2: las que prefirieron rojo=100 p1
=
X 1
20
=
n1
100 100
p 2
= 0.20
X 2
=
=
100 100
n2
=
200 200
0.50
La proporción conjunta o ponderada p c
=
X 1 + X 2 n1 + n2
=
200 200 + 100 100
=
100 100 + 200 200
120 120
=
300 300
0.40
Observemos que la proporción conjunta de 0.40 está más cerca de 0.50 que de 0.20. Esto se debe a que el muestreo incluyó más mujeres maduras. z =
p1 − p 2 p c (1 − p c n1
+
=
0.20 − 0.50
p c (1 − p c )
0.4(1 − 0.4)
n2
100 100
+
=
0.40(1 − 0.4)
− 0.3
0.06
= −5.0
200 200
El valor z calculado calculado de -5 está en el área de rechazo, es decir, que la hipótesis de que es igual la proporción de mujeres jóvenes y maduras que prefieren Rojo se rechaza, por lo que se acepta la hipótesis alternativa. Ejercicios: Realízalos y compártelos con tu grupo de estudio y tu profesor asesor.
1. De 150 adultos adultos que probaro probaron n unos caramel caramelos os nuevos nuevos de sabor sabor a durazno durazno,, 87 les parecieron parecieron muy buenos. De 200 niños a 123 les gustaron gustaron muchísimo. Utilizando Utilizando un nive nivell de sign signifific ican anci cia a de 0.10 0.10 se pued puede e conc conclu luir ir que que exis existe te una una dife difere renc ncia ia significati significativa va en la proporción de adultos contra la de niños que consideran el nuevo sabor como excelente. a. Cuál Cuál es la hipót hipótesi esiss nula y la la alterna alternativ tiva a b. Cual Cual es la prob probabi abilid lidad ad de un un error error tipo tipo I c. Es una una prueba prueba de de una o dos colas, colas, por por qué qué d. Cual Cual es es el valo valorr crít crític ico o e. Deberí Debería a rechazar rechazarse se la hipó hipótes tesis is nula nula 2.
Las hipótesis son: H 0: p1 = p 2 y H 1: p1 ≠ p 2 . Una muestra de 200 observaciones observaciones de la primera población indicó que X 1 es 170. Una muestra de 150 observaciones de la segunda población reveló que X2 es de 110. Use el nivel de significancia de 0.05 para probar la hipótesis.
59
Unidad IV
Regresión y Correlación Objetivo: Inte Interp rpre reta tarr el coef coefic icie ient nte e de corr correl elac ació ión n y dete determ rmin inac ació ión n con con el propósito de obtener la relación o variación entre dos variables. Contenidos: Variables dependiente e independientes Gráfico de dispersión Coeficiente de correlación Correlación lineal Coeficiente de determinación Modelo de análisis de regresión lineal Recta de mínimos cuadrados maravilloso de Error estándar Lo de estimación
“
aprender algo es que nadie puede
arrebatárnoslo.”
B.B.King 60
Regresión y Correlación La regresión y la correlación son las dos herramientas estadísticas más eficaces que se pueden utilizar para solucionar problemas comunes en la administración por el hecho de que se emplean para identificar y cuantificar la relación entre dos o más variables. El análisis de regresión consiste en estimar el valor de la variable dependiente a partir independiente a través de la de un valor conocido, el cual denominamos variable independiente ecuación de regresión. Existen dos tipos de análisis de regresión el simple y el múltiple. El análisis de regresión simple indica el valor de una variable dependiente estimado a partir de una variable independiente. Mientras que el análisis de regresión múltiple se ocupa de la estimación del valor de una variable dependiente con base a dos o más variables independientes. El análisis de correlación mide la magnitud de la relación entre las variables . Así podemos precisar precisar que la regresión establece establece la relación relación y la correlación correlación la amplitud amplitud de esa relación.
61
UNIDAD IV. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN Variable Dependiente e Independiente
La palabra variable la asociamos con cambio, cambio, en estadística estadística denominamos denominamos variable variable a un dato que puede asumir cualquier valor, es decir, cambiante. Si seguimos utilizando la semántica, el significado de las palabra dependiente es algo que sucede como consecuencia consecuencia de otro evento, e independiente independiente por su parte es el antónimo, antónimo, lo contrario a dependiente. Considerando la exposición previa, la variable independiente es aquella que ocurre dependiente te es un resul sin sin cont contro roll y la dependien resulta tado do de la indep indepen endie dient nte, e, la varia variabl ble e depen dependi dien ente te se mide, mide, la inde indepe pend ndie ient nte e se mani manipu pula la o cont control rola. a. En regre regresi sión ón y correlación como lo que se desea es conocer la relación entre variables, la variable dependiente es la que se desea explicar mientras que la independiente es la variable explicativa. Se dice que una variable depende de la otra. Se puede decir que Y depende de X en donde Y y X son dos variables cualquiera. Esto se puede escribir así: Y es una función de X
=> Y = f ( X )
Debi Debido do a que Y depe depend nde e de X, Y es la varia ariabl ble e dep dependi endien entte y X la vari variab able le independiente. Es importante identificar cual es la variable dependiente y cuál es la variable independiente en el modelo de regresión. Esto depende de la lógica y de lo que el estadístico intente medir. Por ejemplo, si el coordinador de una aldea de Misión Sucre Sucre decid decide e anal analiz izar ar la rela relaci ción ón entre entre las las cali califificac cacion iones es de los los estud estudia iant ntes es de estadística II y el tiempo que pasan estudiando para dicha materia, al recolectar la información se puede presumir que las notas dependen de la cantidad y calidad del tiempo que los participantes dedican a estudiar; por lo tanto las notas son la variable dependiente y el tiempo de estudio la variable independiente.
Ejercicio: A continuación escribe cuatro casos en los cuales reflejes las variables dependiente e independiente: Caso
Variable dependiente
Variable independiente
Cuando hayas hecho la actividad compártela con tu grupo de estudio
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La variable dependiente o también llamada variable de respuesta es aquella que se va a predecir. La variable independiente o de predicción es la que da la base de estimación.
Diagrama de Dispersión
Para recordar… Las medi edidas das de ten tendenc denciia cent centra rall (est estudi udiadas adas en Estadística I) carecen de significado si a la par no se realiza el cálculo de las medidas de dispersión para poder observar cuanto difieren unos valores de otros.
Un diagrama de dispersión es una gráfica en la que cada punto trazado representa un par de valores observados de las variables independiente y dependiente. El valor de la variable independiente X se identifica respecto del eje horizontal, mientras que el valor de la variable dependiente Y se identifica respecto del eje vertical.
Un diagrama de dispersión refleja la relación entre dos variables.
Correlación Lineal
En ocasiones nos puede interesar estudiar si existe o no algún tipo de relación entre dos variables aleatorias. Por ejemplo, podemos preguntarnos si hay alguna relación entre las notas de la asignatura Estadística I y las de Matemáticas I. Una primera aproximación aproximación al problema problema consistiría consistiría en dibujar dibujar en el plano un punto por cada alumno: alumno: la primera coordenada de cada punto sería su nota en estadística, mientras que la segunda sería su nota en matemáticas. Así, obtendríamos una nube de puntos la cual podría indicarnos visualmente la existencia o no de algún tipo de relación (lineal, parabólica, exponencial, etc.) entre ambas notas. Otro ejemplo, consistiría en analizar la facturación de una empresa en un periodo de tiempo dado y de cómo influyen los gastos de promoción y publicidad en dicha fact factur urac ació ión. n. Si cons consid ider eram amos os un peri period odo o de tiem tiempo po de 10 años años,, una una posi posibl ble e representación sería situar un punto por cada año de forma que la primera coordenada de cada punto sería la cantidad en euros invertidos en publicidad, mientras que la segunda sería la cantidad en euros obtenidos de su facturación. De esta manera, 63
obtendríamos una nube de puntos que nos indicaría el tipo de relación existente entre ambas variables. En particular, nos interesa cuantificar la intensidad de la relación lineal entre dos variables. El parámetro que nos da tal cuantificación es el coeficiente de correlación lineal de Pearson r, cuyo valor oscila entre –1 y +1 : Correlación de Pearson
Definición. Definición. Creado por Kart Kart Pearson en el siglo siglo XIX, es una técnica técnica estadístic estadística a que permite evaluar el grado o nivel de relación entre dos variables, en otras palabras, es una herramienta que permite evaluar en que medida el comportamiento de una variable dependiente se ve afectada por la acción directa de una variable independiente. Por ejemplo, si queremos establecer la razón del incremento de las ventas al detal en el mes de diciem diciembre bre (variab (variable le depend dependient iente), e), es muy probabl probable e que encontr encontremo emoss una correlación elevada si la cruzamos con la variable independiente ingreso familiar. La correlación lineal adquiere valores entre -1 y 1. 0= correlación nula. +1= Correlación directamente proporcional perfecta -1= Correlación inversamente proporcional perfecta
Correlación directamente proporcional. La CDP se traduce en afirmar que a medida que aumenta la magnitud de la variable independiente, lo hace igualmente la magnitud de la variable dependiente, un ejemplo sencillo de ello lo encontramos si revisamos la correlación entre las variables ingreso familiar y gasto en alimentación, así, a medida que aumente el ingreso familiar, se espera un incremento en los gastos de alimentación de una familia promedio. Se habla de una correlación directamente proporcional perfecta cuando la formula de producto momento de Pearson da un resultado de 1, esto en la realidad nunca ocurre, (ver corr correl elac acio ione ness espu espuri rias as y vari variab able less extr extrañ añas as), ), ya que que es muy difí difíci cill que que el comportamiento de una variable se vea únicamente afectada por el comportamiento de otra, de allí el auge que actualmente tiene la estadística multivariada que estudia la correlación entre una Vd y varias Vi. Grafico. Diagrama de Dispersión. r= +1
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Var Varia iabl bles es extr extrañ añas as o corr correl elac acio ione nes s espu espuri rias as . Cuando se estudi estudia a la correl correlaci ación ón entre entre dos variab variables les hay que tener tener presente la influencia de muchas otras variables conocidas y desc descon onoc ocid idas as y cont contro rola lable bles s o no cont contro rola lable bles, s, llama llamada das s variab variables les extraña extrañas; s; por ejempl ejemplo, o, una variab variable le dependi dependient ente e como como las reserv reservas as intern internacio acional nales es de un país país puede puede verse verse afectada en gran parte por el control de las divisas que un esta estado do ejec ejecut uta; a; sin embar embargo go hay hay otra otras s vari variab able les s como como el gasto público ico, las trage agedias natura urales, el niv nivel de inflación, etc., que también pueden incidir en mayor o menor medida sobre dicha variable dependiente.
Correlación inversamente proporcional. La CIP indica, que a medida que el valor de una variable aumente, el valor de la otra disminuye, un ejemplo de esto lo encontramos si correlacionamos las variables altitud y concentración de oxigeno, vemos así como a medida que aumenta la altitud, disminuye la concentración de oxigeno en el aire, de allí por ejemplo la dificultad con la que se respira en el pico Bolívar. Se habla de una correlación inversamente proporcional perfecta cuando la formula de producto momento de Pearson da un resultado de -1, esto en la realidad nunca ocurre, (ver correlaciones espurias y variables extrañas), ya que como en el caso de la correlación directamente proporcional perfecta es muy difícil que una variable se vea únicamente influenciada por otra. Grafico. Diagrama de dispersión. r= -1
Interpretación Interpretación de la Correlación
El coef coefic icie ient nte e de corre correla laci ción ón como como previ previam ament ente e se indic indicó ó oscil oscila a entr entre e –1 y +1 encontrándose en medio el valor 0 que indica que no existe asociación lineal entre las dos variables a estudio. Un coeficiente de valor reducido no indica necesariamente que 65
no exista correlación ya que las variables pueden presentar una relación no lineal como puede ser el peso del recién nacido y el tiempo de gestación. En este caso el r infraestima infraestima la asociación asociación al medirse medirse linealmente. linealmente. Los métodos métodos no paramétrico paramétrico estarían mejo mejorr util utiliz izad ados os en este este caso caso para para most mostrar rar si las las varia variabl bles es tien tienden den a eleva elevarse rse conjuntamente o a moverse en direcciones diferentes. La significancia estadística de un coeficiente debe tenerse en cuenta conjuntamente con la relevancia clínica del fenómeno que estudiamos ya que coeficientes de 0.5 a 0.7 tienden ya a ser significativos como muestras pequeñas. Es por ello muy útil calcular el intervalo de confianza del r ya que en muestras pequeñas tenderá a ser amplio. La estima estimació ción n del coefici coeficient ente e de determ determina inació ción n (r 2) nos nos mues muestr tra a el porc porcen enta taje je de la variabilidad de los datos que se explica por la asociación entre las dos variables. La corre correlac lació ión n eleva elevada da y estadí estadíst stic icam amen ente te sign signifific icat ativ iva a no tien tiene e que que asoc asociar iarse se a causali causalidad. dad. Cuando Cuando objeti objetivam vamos os que dos variable variabless están están correlac correlaciona ionadas das divers diversas as razones pueden ser la causa de dicha correlación: a) pude que X influencie influencie o cause Y, b) puede que influencie o cause X, c) X e Y pueden estar influenciadas por terceras variables variables que hace que se modifiquen modifiquen ambas a la vez. El coeficiente coeficiente de correlación correlación no debe utilizarse utilizarse para comparar comparar dos métodos métodos que intentan intentan medir el mismo evento, evento, como por ejemplo dos instrumentos que miden la tensión arterial. El coeficiente de correlación mide el grado de asociación entre dos cantidades pero no mira el nivel de acuerdo o concorda concordanci ncia. a. Si los instru instrumen mentos tos de medida medida miden miden sistem sistemáti áticam cament ente e cantid cantidade adess diferentes uno del otro, la correlación puede ser 1 y su concordancia ser nula. Valores que asume y como interpretarlos. 0= correlación nula, no existe relación entre A y B +1= Correlación directamente proporcional perfecta, a medida que aumenta A, aumenta B -1= Correlación inversamente proporcional perfecta, a medida que aumenta A, disminuye B
Coeficiente de Correlación
El coeficie coeficiente nte de correla correlació ción n es un grupo grupo de técnic técnicas as para medir la magnitud magnitud de la relación relación entre dos variables, variables, para ello se suele graficar graficar todos los datos en un diagrama diagrama de dispersión Un coeficiente de Correlación es una medida de la magnitud de la relación lineal entre dos
66
Para determinar el valor numérico del coeficiente de correlación usamos la fórmula siguiente n(∑ XY XY ) − ( ∑ X )( ∑Y )
r =
[n(∑ X
2
) − (∑ X ) 2 ] [n(∑Y 2 ) − (∑Y ) 2 ]
Donde: n: es el número de pares de observaciones ∑ X : es la suma de las variables X ∑Y : es la suma de las variables Y ( ∑ X ): es la suma de los cuadrados de la variable X ( ∑ X )2 : es la suma de las variables X elevadas al cuadrado ( ∑Y ) : es la suma de los cuadrados de la variable Y ( ∑Y )2: es la suma de las variables Y elevada al cuadrado ∑ XY : es la suma de los productos de X y Y 2
2
Sin embargo la correlación que se halle entre dos variables puede deberse a una casualidad o un error de muestreo para verificar que esto no sea así se aplica una prueba de significancía del coeficiente de correlación, esto se realiza calculando un valor t y aplicando la prueba de hipótesis, sólo que en esta oportunidad utilizaremos la tabla de valores t (ver anexos) para verificar si la hipótesis plantead queda dentro o fuera del área de rechazo. Prueba t para el coeficiente de correlación t =
r n − 2 1 − r 2
con n-2 grados de libertad
La regla de decisión para la prueba de hipótesis con un nivel de significancia de 0,05:
Región de rechazo
-2,306
Región de rechazo
0
+2,306
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El Coeficiente de Determinación Determinación
El coeficiente coeficiente de determinaci determinación ón es una medida más precisa, precisa, se obtiene obtiene elevando elevando al cuadrado el coeficiente de correlación. Es una proporción de la variación total de la variable dependiente Y que se explica por, o se debe a, la variación en la variable independiente X. Modelo de Análisis de Regresión Lineal
Análisis de Regresión Es un modelo matemático para expresar la relación entre dos variables y estima el valor de la variable dependiente Y basándonos en el valor de la variable independiente X. Análisis de Regresión Es una ecuación que define la relación entre dos
Principio de los mínimos cuadrados
Este método proporciona un mejor ajuste y consiste en determinar la ubicación de la línea de regresión. Este principio es el mejor porque la suma de los cuadrados de las desviaciones verticales respecto de ella es la mínima. La forma general de la ecuación de regresión es: Y ' = a + bX
Donde: Y’: se lee Y prima, es el valor predictorio de la variable Y para un valor de X seleccionado. a: es la intersección con el eje Y. Es el valor estimado de Y cuando X=0. Otra manera de expresar este es: a es valor estimado de Y donde la línea de regresión cruza el eje Y cuando X es cero. b: es la pendiente de la línea, o el cambio de la línea de regresión en Y’ por cada cam cambio bio en una unida nidad d (ya (ya sea sea aum aument entand ando o dism dismiinuye nuyend ndo) o) de la var variab iable independiente X. X: es el valor que se escoge para la variable independiente. A los valores a y b de la ecuación de regresión se les conoce como coeficientes estimados de regresión o coeficientes de regresión.
Pendiente de la línea de regresión
b=
n ( ∑ XY XY ) − (∑ X )(∑Y ) n( ∑ X 2 ) − (∑ X ) 2
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Intersección con el eje Y
a=
∑Y − b ∑ X n
n
Donde: X: es un valor de la variable independiente Y: es un valor de la variable dependiente n: es el número de elementos de la muestra Error estándar de Estimación
Es una medida medida que describe que que tan precisa es la predicció predicción n de Y con la base en X o, inve invers rsam amen ente te,, que que tan tan inex inexac acta ta pued puede e ser ser la esti estima maci ción ón.. El erro errorr está estánd ndar ar de estimación se denota con la letra s x.y . La desvia desviació ción n estánd estándar ar mide mide la dispers dispersión ión alrededor alrededor de la media; el error estándar de estimación mide dispersión dispersión alrededor alrededor de la línea de regresión. Error Estándar de Estimación Una medida de dispersión de los valores observados alrededor de la línea línea de re resió resión. n.
El error estándar se calcula mediante la ecuación que presentaremos a continuación. Sin embargo observemos que la ecuación es muy parecida a la de desviación estándar de la muestra, con la diferencia que Y es sustituida por Y’ Error estándar de estimación
S x . y =
∑(Y − Y ' )
2
n −2
O también podemos emplear la siguiente fórmula: S x. y =
∑Y
2
XY − a (∑Y ) − b(∑ XY n −2
Suposiciones la emplear el Análisis de Regresión Lineal a. Para cada cada valor X hay un grupo de valores valores Y, y estos valores valores Y están están distribuido distribuidoss normalmente. b. Todas las las medias medias de estas distrib distribuciones uciones normales normales de Y están sobre sobre la línea línea de regresión. c. Las desviacio desviaciones nes estándar estándar de estas distri distribucione bucioness normales normales son iguales. iguales. d. Los Los valo valores res de Y son estad estadís ístiticam cament ente e inde indepen pendi dien ente tes. s. Este Este signi signififica ca que que al sele selecc ccio iona narr una una mues muestr tra, a, el valo valorr Y esco escogi gido do para para una una X dete determ rmin inad ada a no depende del valor de Y para ningún otra X. 69
Respuestas Ejercicio 1:
Clasifica los siguientes eventos: a. b. c. d. e.
El lanzamiento de dos monedas a la vez ________Independiente______________ Que un vuel vuelo o de avió avión n sal salga retr retras asad ado o __ Mutua utuame ment nte e excl excluy uyen entte y Complementario Que un bebé sea varón __Mutuamente excluyente y colectivamente exhaustivo Que la comid omida a de hoy hoy no que quede sala salada da __Mu __Muttuame uament nte e exc excluye luyent nte e y Complementario Que en la próx próxim ima a tempo empora rada da de béis béisbo boll Maga Magallllan anes es sea sea el cam campeón peón Colectivamente exhaustivo
Ejercicio 2 P =
5! 120 n! 0, 20 2 0,80 3 = 0,04 (0,512 ) =10 (0,0204 ) = 0,2048 p r q n −r = 2! (5 − 2)! 2(6 ) r !( n − r )!
P =
5! 120 n! p r q n −r = 0,20 3 0,80 2 = 0,008 (0,64 ) =10 (0,0051 ) = 0,0512 3!(5 − 3)! 6 ( 2) r ! ( n − r )!
P =
n! 5! 120 p r q n −r = 0,20 4 0,80 1 = 0,0016 (080 ) = 5(0,0012 ) = 0,0064 r !( n − r )! 4!(5 − 4)! 24 (1)
Ejercicio 3
P= 0.4 Q= 0.6 N= 5 Realicemos el cálculo de cada valor de R: Para R= 0 obtenemos que: P(0) = 5!/ 0!(5-0)! (0.4 ) 0 (0.6)5, P(0) = 0.07776 Para R= 1 obtenemos que: P(1) = 5!/ 1!(5-1)! (0.4 ) 1 (0.6)4, P(1) = 0.2592 Para R=2 obtenemos que: P(2) = 5!/ 2!(5-2)! (0.4 ) 2 (0.6)3, P(2) = 0.3456 Para R= 3 obtenemos que: P(3) = 5!/ 3!(5-3)! (0.4 ) 3 (0.6)2 P(3) = 0.2304 Para R= 4 obtenemos que: P(4) = 5!/ 4!(5-4)! (0.4 ) 4 (0.6)1 P(4) = 0.0768 Para R= 5 obtenemos que: P(5) = 5!/ 5!(5-5)! (0.4 ) 5 (0.6)0, P(5) = 0.01024
Ejercicio 4: 70
Z =
X − µ
=
10
σ
Z =
X − µ σ
510 510 − 500 500
=
490 490
500 − 500
10
=1
= −1
Ejercicio 5 "Salir a la pizarra" , le damos el valor 1 y tiene una probabilidad del 0,10 "No salir a la pizarra" , le damos el valor 0 y tiene una probabilidad del 0,9 La media y la varianza de cada variable independiente es: m = 0,10 s2 = 0,10 * 0,90 = 0,09
Por tanto, la suma de las 100 variables se distribuye según una normal cuya media y varianza son: Media : n * m = 100 * 0,10 = 10 Varianza : n * s2 = 100 * 0,09 = 9 Para calcular la probabilidad de salir a la pizarra más de 15 veces, calculamos el valor equivalente de la variable normal tipificada: Luego: P (X > 15) = P (Y > 1,67) = 1 - P (Y < 1,67) = 1 - 0,9525 = 0,0475 Es decir, la probabilidad de tener que salir más de 15 veces a la pizarra a lo largo del curso es tan sólo del 4,75%.
71
Bibliografía Berens Berenson, on, M. y Levin Levine, e, D (1996) (1996) Estadí Estadíst stica ica Básic Básica a en Admi Adminis nistr traci ación. ón. Preti Pretinc nce e Hall:México. México DF. Gonzalez, E. (2000) Estadística General. Ediciones de la biblioteca UCV: Carcas, Venezuela. Kazmier, L. (1998) Estadística aplicada a la Administración y a la Economía . Mc Graw Hill: México DF, México. Lind, D., Mason, R. y Marchal, Marchal, W. (2001) Estadística Estadística para Administraci Administración ón y Economía. Economía. Mc Graw Hill Interamericana: México D.F. México Salama, D. (2002) Estadística. Metodología y aplicaciones. Editorial Torino: Caracas, Venezuela. Webster, A. (2000) Estadística Aplicada a los Negocios y a la Economía. Irwin-Mc Graw Hill: Santa fé de Bogotá, Colombia.
72
ANEXOS
73
TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA N(0,1)
74
Manejo de Tablas. Casos Más Frecuentes (Zonas de aceptación o rechazo)
75
Distribución t de Student
76
