Escaleras Ortopoligonales Presentacion

UNIVERSIDAD MAYOR REAL Y PONTIFICIA DE SAN FRANCISCO XAVIER DE CHUQUISACA

“ESCALERAS ORTOPOLIGONALES” UNIVERSITARIOS:

Aguirre Cisneros Max Daniel Saavedra Zabala Freddy Constancio MATERIA

: Estructuras Especiales : (CIV - !"#

SIGLA DOCENTE FECHA

Ing$ %alter &ieves Sandi

: :

'!  !)'!*" Sucre + ,olivia '!*"

ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

Ing. Civil-U.M.R.P.S.F.X.C.H

.

INDICE

INTRODUCCION Justificación del Estudio

1

Objetivos

1

CAPITULO 1 1.- Fundamentos de Diseño 1.1. Consideraciones Generales sobre Sistemas de Escaleras 1.1.1. Clasificación de Escaleras según su Configuración Estructural 1.2. Escaleras Ortopoligonales 1.2.1. !artes "ue componen un Sistema de Escalera Ortopoligonal

2 2  #

1.$. Consideraciones para el %imensionamiento de Escaleras

#

1.$.1. !roporción de las !endientes de las Escaleras

&

1.$.2. C'lculo de las %imensiones de una escalera recta

(

1.$.$. )nc*o de la Escalera

(

1.$.2. +ongitud del ,ramo

1-

1.$.. %escansos

1-

1.$.. )ltura de !aso +ibre

11

1.$.#. Cargas

11

1./. Clasificación de las Escaleras Ortopoligonales

12

CAPITULO 2 2.- Cargas Atuantes en !istemas de Esa"eras. 2.1. Cargas 0 su Clasificación 2.1.1. Carga uerta o !eso !ropio

1 1



.

2.1.2. Carga iva o de ocupación

1

1./.$. Cargas )mbientales

1#

2.2. Combinaciones de Carga

1#

CAPITULO # #.- Fundamento Te$rio %ara e" An&"isis Estrutura". $.1. Energ3a de %eformación

2-

$.2. Energ3a Complementaria de %eformación

21

$.$. Energ3a Especifica de %eformación

21

$./. Calculo de la Energ3a 4nterna de %eformación

22

$./.1. Energ3a de %eformación causada por el Esfuer5o 6ormal

22

$./.2. Energ3a de %eformación causada por el Esfuer5o de Corte

2$

$./.$. Energ3a de %eformación causada por el omento 7le8ionante

2/

$././. Energ3a de %eformación causada por el omento ,orsionante

2

$.. ,eor3a de 9ett0

2

$.. ,eoremas de Castigliano

2

$..1. !rimer ,eorema

2

$..2. Segundo ,eorema

2#

CAPITULO ' '.- (etodo"og)as %ara e" C&"u"o de Esa"eras Orto%o"igona"es. /.1. 4ntroducción

2(

/.2. %istribución de Cargas

2(

/.$. :todo de la Energ3a

$-

/.$.1. Caso ;)< Cuando el 6úmero de =uellas es 4mpar

$-

/.$.2. Caso ;9< Cuando el 6umero de =uellas es !ar

$/



.

/.$.$. Caso ;C< Escaleras con %escansos 4guales pero Sin )po0os

$

/.$./. Caso ;%< Escaleras con %escanso 4ntermedio> E8tremos Empotrados

$&

/.$.. Caso ;E< Escaleras con %escansos 4ntermedio> sin apo0o en los e8tremos ) 0 9 /./. :todo Simplificado /./.1. %educción General del omento de Empotramiento /.. )plicación 0 Comparación entre los :todos !ropuestos

$( ///$

/..1. Obtención de Esfuer5os por el :todo de la Energ3a

/

/..2. Obtención de Esfuer5os por el :todo Simplificado

/

/..$. Obtención de Esfuer5os )plicando el Soft?are S)!2---

/

/../. ,abulación de @esultados

1

/... Observaciones

2

CAPITULO * *.- An&"isis + Diseño de Esa"eras Orto%o"igona"es. .1. Ejemplo 6um:rico



.1.1. %atos !reliminares



.1.2. !reA%imensionamiento de la Escalera Ortopoligonal.



.1.$. )n'lisis de Cargas

(

.1./. Solución por :todo de la Energ3a

-

.1.. Solución por :todo Simplificado



.1.. %iseBo de la Escalera Ortopoligonal

#

.1..1. %isposición de )rmaduras de @efuer5o .2. %isposiciones @ecomendadas de )rmaduras en las Escaleras Ortopoligonales

##2



.2.1. 7ormas de @efor5ar las Escaleras Ortopoligonales .$. Encofrado para Escaleras Ortopoligonales

.

#$ ##

CO6C+S4O6ES

&-

@ECOE6%)C4O6ES

&1

949+4OG@)74)

&2

INDICE DE ,RAFICO!

Grafico 1.1 Clasificación de Escaleras

2



.

INDICE DE FI,URA! CAPITULO 1 7ig. 1.1 Escalera )uto portante

$

7ig. 1.2 Escaleras con )po0os 4ntermedios

/

7ig. 1.$. Sistema de Escaleras =elicoidales



7ig. 1./. Sistema de Escalera Ortopoligonal



7ig. 1. Eje Escalera Ortopoligonal



7ig. 1.. !artes "ue Componen una Escalera.

#

7ig. 1.#. Escaleras con anc*os ma0ores a 2.- m

(

7ig. 1.& %escanso de acuerdo a la dirección

11

CAPITULO 2 7ig. 2.1 Escalera e8terior> sometida a cargas ambientales

1#

CAPITULO # 7ig. $.1a. Energ3a de deformación

2-

7ig. $.1b. Energ3a de deformación

2-

7ig. $.2. Energ3a de deformación caso no lineal.

21

7ig. $.$. %iagrama de tensión de deformación del *ormigón.

21

CAPITULO ' 7ig. /.1 Eje Geom:trico 0 %istribución de Cargas

2(

7ig. /.2 Escalera ,ipo Da Caso Da *uellas 4mpar

$-

7ig. /.$ Escalera ,ipo Da Caso Db *uellas !ar nF

$/

7ig. /./ Escalera ,ipo Dc Caso Dc %escansos sin apo0os intermedios

$

7ig. /. Escalera ,ipo Dd Caso Dd %escanso 0 e8tremos empotrados

$&

7ig. /. Escalera ,ipo Dd Caso De %escanso 0 E8tremos Empotrados

$(



.

7ig. /.# odelado en S)!2---

/

7ig. /.& Es"uema general para 12 *uellas

/

7ig. /.( %efinición de los materiales 0 elementos

/#

7ig. /.1- Cargas para anc*o 1 m escalera

/&

7ig. /.11 Cargas para anc*o 1. m escalera

/&

7ig. /.12 Cargas para anc*o 2 m escalera

/&

7ig. /.1$ omentos para 2 *uellas> anc*o 1m> 1.m 0 2m

/(

7ig. /.1/ omentos para 11 *uellas> anc*o 1m> 1.m 0 2m

-

CAPITULO * 7ig. .1 Escalera OrtoApoligonal de un ,ramo.

&

7ig. .2 Es"uema de cargas. Escalera ,ipo Da

1

7igura .$ Es"uema de 7uer5as en el Empotramiento.

2

7igura ./ %iagrama de Cuerpo +ibre.

$

7igura . %iagrama de omentos DgHm

/

7igura .. %iagrama del Esfuer5o Cortante



7igura .#. %iagrama de Cuerpo +ibre$



7igura .& %iagrama de omentos DgHm

#

7ig. .( %isposición de )rmadura en Obra

#2

7ig. .1- Opción 1 de %isposición de )rmadura

#$

7ig. .11 Opción 2 de %isposición de )rmadura

#$

7ig. .12 Opción $ de %isposición de )rmadura

#/

7ig. .1$ Opción / de %isposición de )rmadura

#/

7ig. .1/ Opción Escogida para %isposición de )rmadura

#

7ig. .1 Encofrado para el !rimer ,ramo de Escalera.

#&



.

7ig. .1 Encofrado para el Segundo ,ramo de Escalera.

#(

INDICE DE TALA! ,abla 1.1 %imensiones @ecomendadas

&

,abla 1.2 @ecomendaciones Contra*uella

&

,abla 1.$ )nc*o útil

(

,abla 1./ )nc*o Escalera Según el ,ipo

(

,abla. 1. )ltura paso libre

11

,abla 1. Sobrecarga para las escaleras.

12

,abla 2.1 Combinaciones de Cargas 9'sicas

1&

,abla )1. alores de Coeficientes según número de *uellas.

/-

,)9+) )2. alores del coeficiente I en función del 6umero de *uellas

/2

,abla /.$ )n'lisis de !orcentaje de error bF1 m

1

,abla /./ )n'lisis de !orcentaje de error bF1.- m

1

,abla /. )n'lisis de !orcentaje de error bF2 m

2

,abla /. )n'lisis de Comparación entre Carga lineal 0 !untual

2

,abla .1 ,abulación de omentos. :todo de la Energ3a

/

,abla .1 ,abulación de omentos. :todo Simplificado

#



.

INTRODUCCION A LA! E!CALERA! U!TIFICACION DEL E!TUDIO +as Escaleras en general son estructuras mu0 importantes en el todo de una edificación> como ellas son visibles su construcción debe acercarse a la perfección pues su función no solo es de circulación si no tambi:n es de ornato. Comúnmente se puede apreciar en cual"uier edificación "ue los sistemas de escaleras est'n compuestos por losas "ue a su ve5 se les agregan escalones 0 dan srcen a un medio por el cual un usuario de una edificación puede despla5arse de un punto a otro de un edificio> sin embargo el sistema de escaleras denominado sistema ortopoligonal se considera un caso especial de los sistemas de escaleras> 0a "ue este no se compone de una losa plana la cual se le agregan escalones sino "ue en este tipo de sistemas la losa es la "ue presenta la forma de escalón. Este tipo de sistemas no son mu0 comúnmente empleados 0a "ue se consideran de un grado de dificultad alto para su ejecución> adem's de representar dificultades para su an'lisis 0 diseBo 0a "ue siendo un caso especial se re"uieren de m:todos de an'lisis 0 diseBo especiales para su c'lculo. El presente documento *ablar' particularmente acerca del comportamiento de escaleras ortopoligonales de =)> 0 dar' a conocer cu'l puede ser un m:todo de )n'lisis 0 posterior %iseBo para una escalera OrtoApoligonal considerando un ejemplo espec3fico para :ste fin.

OETI/O! O0etio ,enera". •

@eali5ar el )n'lisis Estructural de las Escaleras Ortopoligonales.

O0etios Es%e)3ios. •

)nali5ar 0 profundi5ar el estudio de las escaleras ortopoligonales> desde el punto de vista

•

estructural. %esarrollar el m:todo de la energ3a de deformación para el c'lculo de las escaleras

• •

• •

ortopoligonales. )plicar un m:todo simplificado para el c'lculo de las escaleras ortopoligonales. %iseBar las escaleras ortopoligonales en *ormigón armado recomendando el mejor armado para la sección> enfocado desde el punto de vista estructural. @epresentar es"uem'ticamente las formas de refor5ar las escaleras ortopoligonales. !roporcionar bibliograf3a confiable sobre el an'lisis> diseBo 0 ejecución de sistemas de escaleras.

1



.

O4E!I D E D ! OT NE (ADNUF 1 OL UTI P AC

2



.

1. FUNDA(ENTO! DE DI!E4O 1.1. CON!IDERACIONE! ,ENERALE! !ORE !I!TE(A! DE E!CALERA!. Según las bases ar"uitectónicas las escaleras son unK ;Elemento art3sticoAconstructivo> "ue une dos planos paralelos situados a distinto nivel<. %e dónde se puede deducir "ue para unir dic*os planos paralelos e8isten diferentes configuraciones a las "ue se puede recurrir> dando lugar a una infinidad de soluciones 0 la utili5ación de diferentes materiales como ser la madera> estructuras met'licas> 0 en nuestro caso el =ormigón )rmado. +os factores por medio de los cuales se clasifica un sistema de escaleras pueden ser factores f3sicos> estructurales 0 relacionados con el tipo de uso "ue tiene el sistema dentro de una edificación.

CLASIFICACION DE LAS ESCALERAS

Segun su Confguracio n Estructural

Segun el Ti! "e A!#! en $ue %u%&en&'n %u E%&(u)&u('

Segun %u I*!(&'n)i' "en&(! "e un' E"i+)')i!n

Segun l!% *'&e(i'le% $ue %e E*le'n

,ra3io 1.1 C"asi3iai$n de Esa"eras.

1.1.1. C"asi3iai$n de !istemas de Esa"eras de auerdo on su Con3igurai$n Estrutura". Cuando se *abla de configuración estructural se est' *ablando acerca de las estructurales "ue posee un sistema> es decir se detalla el sistema de apo0os "ue longitudinalmente como transversalmente> el tipo de estructural "ue conforma el escalones en voladi5o> losas o placas de concreto armado etc.

caracter3sticas este posee tanto sistema> es decir

!odemos distinguir los siguientes tiposK •

!istema de Esa"eras Auto-%ortantes. Sistema "ue se conforma por dos tramos de losas de concreto escalonadas 0 colocadas en sentido contrario una respecto de la otra con un descanso entre ambos tramos.

,



.

Fig. 1.1 Esa"era Auto %ortante !istemas de Esa"eras de Losa (ai5a. Sistemas de escaleras m's comúnmente empleados> 0a "ue su an'lisis como su diseBo no constitu0e un procedimiento "ue represente ma0or dificultad. Se sub dividen de acuerdo con el número de tramos o losas "ue lo componen.

!istemas de Esa"eras on A%o+os Intermedios. Sistema de escaleras cu0a caracter3stica fundamental es "ue posee m's de dos tramos de losa dispuestos en la misma dirección 0 "ue no poseen descansos inter medios sino "ue su estructura se apo0a m's comúnmente en sistemas de vigas intermedias.

Fig. 1.2 Esa"eras on A%o+os Intermedios •

!istema de Esa"eras 6e"ioida"es. Sistema de escaleras "ue emplea como punto de apo0o un elemento de concreto armado diseBado para resistir esfuer5os de fle8o comprensión.

-



.

Fig. 1.#. !istema de Esa"eras 6e"ioida"es •

!istema de Esa"eras Orto%o"igona"es. Es un tipo de escalera "ue se caracteri5a por no poseer recubrimiento> sino tan solo *uella 0 contra*uella> al ser un tipo especial de escalera su procedimiento de an'lisis sigue m:todos "ue no se aplican a otros. El sistema anterior ser' estudiado a profundidad en este documento.

Fig. 1.'. !istema de Esa"era Orto%o"igona"

1.2.E!CALERA! ORTOPOLI,ONALE!. .



.

Es un tipo de escalera "ue no contiene recubrimiento aparente> sólo recubrimiento mec'nico> es decir> toda la masa de =ormigón )rmado est' involucrada en recibir 0 soportar toda la carga de la escalera> tanto el peso propio como las cargas vivas. Se puede decir "ue sólo tiene *uella 0 contra*uella.

Con :ste nombre se entiende e8presar una estructura de eje continuo 0 "uebrado situado en un plano> 0 cu0os elementos forman entre si 'ngulos rectos> en forma de barras 0 columnas. !or esto es necesario encontrar el centro geom:trico de la escalera para as3 poder representarlo de una forma simple 0 depurada para el an'lisis. Es debido a su sencille5 0 esbelte5 "ue se suele elegir :ste tipo de estructura.

Fig. 1.* Ee Esa"era Orto%o"igona"

1.2.1. Partes 7ue Com%onen un !istema de Esa"eras Orto%o"igona".

/



.

=uella

Contra*uella %esembarco

!aso libre

)ltura entre plantas )rran"ue

%escanso

Fig. 1.8. Partes 7ue Com%onen una Esa"era.

a

,rada9 Pe"daño o Esa"$n. Elemento principal de la escalera> compuesto por la unión de una

b c d

*uella 0 su contra*uella. 6ue""a o %aso :;<. !arte *ori5ontal de la grada donde se da el paso. Contra;ue""a o A"5ada :;<. !arte vertical de la grada "ue da lugar a la siguiente *uella Pestaña. !arte saliente del escalón "ue r ebasar' el plano de la al5ada.

e

L)nea de ;ue""a o ee. Es la l3nea imaginaria "ue pasa por centro geom:trico de cada tramo de

f

la escalera> sobre la cual se efectuar' e an'lisis estructural. Tramo :L<. En una escalera compuesta un tramo es una sucesión continua de escalones *asta

g *

el siguiente descanso. Desanso :!<. na sección dedicada a dar un cambio de dirección en una escalera compuesta. Arran7ue + Desem0aro. Es el inicio 0 el final de la escalera *asta el siguiente nivel o piso.

1.#. CON!IDERACIONE! PARA EL DI(EN!IONA(IENTO DE E!CALERA!. E8iste una relación entre la anc*ura de la *uella ;*< 0 la altura contra*uella ;c*<> un primer principio general es "ue cuanto m's anc*a es la *uella m's baja debe ser la contra*uella. +a e8periencia demuestra "ue resultan escaleras cómodas> si en sus peldaBos se cumple una de las siguientes relacionesK

Re"ai$n de !eguridad= L + h= 46 cm . 1.1

Re"ai$n de" Paso (edio=

0



.

L + 2 h=61 a 65 cm . 1.2

Re"ai$n de "a Reg"a de "a Comodidad= L−h =12 cm. 1.3 ,ambi:n se debe cuidar "ue la altura de todos los escalones no tenga variación en todo el sistema> debiendo ser iguales entre s3. +a longitud de los peldaBos o el anc*o de la escalera no est' sujeta a ninguna regla> pero es conveniente "ue el 'mbito sea suficiente para "ue puedan cru5arse las personas> lo "ue se logra con una anc*ura de 1.$ a 2.- metros. Sin embargo en los grandes edificios públicos las escaleras se ensanc*an de / a  metros. En las viviendas 0 edificios públicos las escaleras se dividen en tramos "ue no deben contener menos de $ ni m's de 2- peldaBos. +os tramos van separado s por las mesetas o descanso s> "ue son como unos peldaBos m's e8tensos 0 cu0a longitud se determinara posteriormente.

Dimensiones Reomendadas de "as Esa"eras. INTER/ALO RECO(ENDADO

(A,NITUD 4nclinación> L )ltura de la contra*uella> c* +ongituddela*uella>* )nc*o libre m3nimo> b )ltura!asamanos !aso libre verticalcontrapiso> =P )lturalibreinclinada

2- A / 1$ M 2- cm 2$M$2cm N (- cm (-cm 22- M 2$- cm 2--cm

Ta0"a 1.1 Dimensiones Reomendadas 1.#.1. Pro%ori$n de "as Pendientes en "as Esa"eras. El grado de facilida d con "ue se sube una escalera> depende de su inclinación> es decir de la relación entre *uella 0 contra*uella> indicadas en la tabla

/a"ores %ara "a Contra;ue""a Desri%i$n Escaleras al aire libre Salas de reunión> teatros> escuelas> 0 edificios públicos Escalerasprincipalesdecasasdeviviendas Escaleras de servicios Escalerasasótanos0desvanes

A"tura:m< 1/ 1 M 1 M 1# 1#M1& =asta 2=asta22

Ta0"a 1.2 Reomendaiones Contra;ue""a El paso normal *umano> al moverse despacio sobre terreno *ori5ontal> mide de 1 cm. de largo> cuando el terreno sube> el paso se acorta 0 la reducción es el doble del desnivel a vencer> en consecuencia la ecuación "ue relaciona las dimensiones de los peldaBos 0 el !aso edio son las





.

ecuaciones 1.1. 0 1.2. "ue nos da en general escaleras cómodas para subir. ,ambi:n se debe tener en cuenta la denominada ;@egla de la comodidad< "ue viene dada por la ecuación 1.$.

1.#.2. C&"u"o de "as Dimensiones de una Esa"era Reta. !ara el diseBo de una escalera generalmente se adopta un valor para la contra*uella de acuerdo al uso del edificio Dver tabla 1.1> el número total de contra*uellas DnQ se obtiene mediante la fórmulaK

n ´=

H ( 1.4 ) h R la longitud de cada *uella ;+< viene dada porK

( n ´ + 1 )∗L = LT . ( 1.5) L=

LT .

(n ´ +1 )

( 1.6 )

1.#.#. An;o de "a esa"era. %efinimos el anc*o útil de una escalera como la lu5 libre entre pasamanos o entre pasamano 0 muro. El anc*o debe guardar relación con el número de personas "ue utili5an simult'neamente la escaleraK

N>mero de

An;o O%timo

An;o ()nimo

%ersonas 1

:m< 1.1.$ 1.(

:m< -.# 1.11.&

2 $

Ta0"a 1.# An;o >ti" ,ambi:n se puede adoptar el anc*o de una escalera considerando el tipo de construcción.

Ti%odeConstrui$n

An;ode"aEsa"era :m<

Casas de vivienda un3 0 multifamiliares *asta 2 -.(plantas. Casa de vivienda multifamiliares de m's de 2 1.-plantas 0 un solo departamento por planta. ultifamiliares de m's de 2 plantas 0 m's de un 1.1departamento por planta. Sótanosencasas0*ospitales. 1.$,eatros. Grandesalmacenes. +ugaresdereunión.

1.2 1.&a 1.-a2.-1.2a2.-

Ta0"a 1.' An;o Esa"era !eg>n e" Ti%o





.

+as escaleras cu0o anc*o sea ma0or a 1.(-m. !ueden ser divididas por medio de una barandilla> lo cual es imprescindible para a"uellos cu0o anc*o sobrepase los 2.-m.

Fig. 1.?. Esa"eras on an;os ma+ores a 2.*@ m. 1.#.'. Longitud de" Tramo. Se denomina tramo a la sucesión de peldaBos entre dos descansos> se recomienda "ue el número m'8imo de peldaBos no pase de 2-> siendo el número m's conveniente de & a 12 peldaBos por tramo.

1.#.*. Desansos. +os descansos son trec*os *ori5ontales e8entos de peldaBos> colocados a diversas alturas de la escalera. +a longitud del descanso DS debe ser tal "ue una persona no se vea obligada a alterar su paso normal. El descanso deber' tener una longitud o profundidad igual al anc*o de la escalera> o bien incrementando la longitud de una *uella de acuerdo a la siguiente ecuaciónK

S = B + L ( 1.7 ) %óndeK S F longitud apropiada del descanso. 9 F anc*o de la escalera Dcm. + F longitud de una *uella Dcm. +os descansos de acuerdo a la dirección del tramo "ue los sigue> se clasifican enK

a< Desansos Retos.- cuando la dirección de la escalera no cambia. 0< Desansos de Cuarto de /ue"ta. A cuando la dirección de la escalera cambia en (- grados. la dirección de la escalera cambia en 1&- grados. < Desansos de (edia /ue"ta. A cuando a< Desanso reto.

13



.

0< Desanso de uarto de ue"ta.

< Desanso de media ue"ta.

Fig. 1. Desanso de auerdo a "a direi$n +a longitud de los descansos de cuarto de vuelta 0 de media vuelta se calcula tambi:n aplicando la fórmula 1.#. En escaleras de media vuelta es conveniente "ue el descanso tenga una separación adicional de 2cm para el armado del acero.

1.#.8. A"tura de Paso Li0re. Esta altura mide verticalmente desde el borde delsiguientes peldaBo terminado inferior del se tec*o terminado> debiendo tener como superior m3nimo las alturasK *asta el borde

A"tura de Paso Li0re :m<

Casos En viviendas pe"ueBas 0 casa para una sola familia En casas de varios pisos Enescalerasdeedificiospúblicos0comerciales

1.&2.-2.2-

Ta0"a. 1.* A"tura %aso "i0re 1.#.?. Cargas. Peso Pro%io.!eso de la estructura> dependiendo de sus caracter3sticas.

Aa0ados.Generalmente se estima un valor de 1-- gm 2> pero cuando e8iste n barandas al ladril lo o en general algo mu0 cargado es necesario encontrar el verdadero peso.

11



.

!o0reargas de Uso.Son cargas verticales por m2> de pro0ección *ori5ontal de escalera> el valor de la sobrecarga var3a de acuerdo al tipo de edificio> as3 tenemosK

!o0rearga :Bgm2<

Uso de" E"emento EscalerasSecundarias Escaleras en iviendas 0 Edificios de @esidencias. EscalerasenEdificios!úblicos. Escaleras en Edificios de Oficinas> 4glesias> @eunión Dtribunas

0

Espect'culo

2-$-/---

Ta0"a 1.8 !o0rearga %ara "as esa"eras. 1.'. CLA!IFICACION DE LA! E!CALERA! ORTOPOLI,ONALE!. !ara un estudio m's ordenado de las mismas las clasificaremos en # casos t3picosK

Ti%o a<. Esa"era sin Desanso + on Etremos Em%otrados.

Ti%o 0<. Esa"era on Desansos Igua"es + A%o+os Intermedios

12



.

Ti%o <. Esa"era on Desansos Igua"es %ero sin A%o+o Intermedio

Ti%o d<. Esa"era on desanso Intermedio + Etremos Em%otrados

Ti%o e<. Esa"era on Desanso Intermedio9 Etremos + A%o+os Intermedios.

1,



.

Ti%o 3<. Esa"era on Desanso Intermedio9 Etremos %ero sin A%o+os Intermedios.

Ti%o g<. Esa"era "an5ada Auto-%ortante en o"adi5o.

1-



.

AREL AC! E E D ! A (ET!I ! NE ! ET NAUT CA ! 2 OL UTI P AC

1.



.

2. CAR,A! ACTUANTE! EN !I!TE(A! DE E!CALERA!. 2.1. CAR,A!  !U CLA!IFICACION. Se define como carga a a"uellas fuer5as "ue se aplican sobre determinada estructura 0 producen esfuer5os variados en la misma> las cargas pueden clasificarse en tres grandes gruposK cargas muertas> cargas vivas 0 cargas ambientales.

2.1.1. Carga (uerta. Carga muerta se le denomina al conjunto de fuer5as "ue actúan de forma permanente> tanto en posición como en magnitud dentro de una estructura a lo largo de su per3odo de vida. Generalmente> la carga muerta est' constituida por el peso propio de una estructura> dic*a carga puede estimarse de manera mu0 cercana mediante un an'lisis correcto de la configuración de una edificación. Se consideran carga muertas los acabados finales de una residencia> los barandales> losas 0 apo0os de un sistema de escaleras as3 como todo recubrimiento "ue puede llegar a aplic'rsele.

2.1.2. Carga /ia o de Ou%ai$n. +a carga viva se le conoce tambi:n con el nombre de carga de ocupación> esta se basa principalmente en el concepto de su nombre> pues se puede definir como carga viva al conjunto de fuer5as "ue actúan en un momento dado en una estructu ra como producto de la ocupació n de muebles o usuarios de una edificación> para el caso espec3fico de sistemas de escaleras se definir' como elementos de carga viva a los usuarios "ue por ellas transitaranT adem's esta carga puede llegar a encontrarse de forma parcial o total en una estructura o simplemente no darse. Estas cargas se presentan uniformemente distribuidas> aun"ue cabe mencionar "ue a lo largo de la vida de una edificación estas cargas ser'n inciertas> sin embargo los valores presentados superan los promedios esperados> por lo "ue se *ace :nfasis en el incluir la carga de impacto en los casos recomendados> los sistemas de escaleras son uno de ellos> para los cuales se sugiere agregar a la carga viva entre un m3nimo de 1U 0 un m'8imo de $-U en concepto de carga por impacto.

Uso de" E"emento EscalerasSecundarias Escaleras en iviendas 0 Edificios de @esidencias. EscalerasenEdificios!úblicos. Escaleras en Edificios de Oficinas> 4glesias> @eunión 0 Espect'culo Dtribunas

!o0rearga :Bgm2< 2-$-/--

Ta0"a 1.8 !o0rearga %ara "as esa"eras. 1/

--



.

+a carga de impacto no es m's "ue una aplicación súbita de la carga viva> por ello se recomienda en estructuras "ue son susceptibles a ser sometidas a este tipo de esfuer5os contemplen en su diseBo un 2U m's de la carga para cubrir los esfuer5os "ue esta pudiera llegar a impartirle a un elemento> este porcentaje es recomendado cuando *ablamos de sistemas de escaleras de emergencia. En el caso de los sistemas de escaleras se puede apreciar con facilidad "ue estos elementos son totalmente e8puestos al impacto pues con el simple caminar de un usuario se impacta la estructura.

2.1.#. Cargas Am0ienta"es. +as cargas ambientales son todas a"uellas fuer5as "ue actúan en una estructura las cuales proviene de la naturale5a> entre las cargas ambientales m's comunes se puede mencionar la succión 0 presión del viento> el empuje de suelos> las fuer5as inerciales inducidas por sismos> cargas por acumulación de agua de lluvia en superficies planas> grani5o> fuer5as causadas por los cambios de temperatura. Entre la carga viva 0 la carga ambiental comparten un factor común. En ambos casos es mu0 incierto el determinar su incidencia 0 su permanencia sin embargo conviene apo0arse en códigos "ue se basan espec3ficamente en el diseBo de estructuras sometidas a este tipo de fuer5as para desarrollar un sistema estructural acorde a la necesidad.

Fig. 2.1 Esa"era eterior9 sometida a argas am0ienta"es

2.2. CO(INACINE! DE CAR,A. +a funcionalidad de una estructura re"uiere "ue las defle8iones en un sistema sean m3nimas> "ue si e8isten fisuras sean controlables> "ue la vibración sea m3nima> etc. +a funcionalidad consisten tambi:n en "ue la

10



.

estructura sea capa5 de resistir todas las cargas "ue se distribuir'n sobre ella> sin embargo se especifico anteriormente "ue tanto la carga viva como la carga ambiental era un tanto incierta para la determinación de su permanencia 0 de su magnitud. !or lo "ue para "ue una estructura sea funcional se deber' contar con un m:todo "ue le permita al diseBador tener plena confian5a "ue la estructura "ue se est' elaborando este cubierta ante esta incertidumbre "ue rodea fundamentalmente estas dos clases de cargas. En el caso de la carga muerta si se reali5a una e8*austiva estimación se obtendr' un valor mu0 cercano a la realidad> sin embargo aún e8isten posibles fallos "ue podr3an permitir "ue las cargas "ue se estiman no sean las correctas sino "ue pudieran ser ma0ores> esto sin lugar a dudas pone en riesgo la integridad de la estructura 0 de los usuarios "ue la ocupar'n.

CO(INACIONE! DE CAR,A Combinaciones 9'sicasK  F 1./ %VVVVVVVVVV..Según código  F 1.2 % W 1. +VVVVVVV.Según código

Ta0"a 2.1 Com0inaiones de Cargas &sias

1



.

OCI R OET OT NE (ADNUF # OL UTI P AC

#. FUNDA(ENTO TEORICO (ETODO DE LA ENER,IA  (ETODO !I(PLIFICADO #.1. ENER,IA DE DEFOR(ACION. +os cuerpos se consideran constituidos por materia> la misma "ue est' formada por part3culas denominadas puntos materiales entre los cuales e8isten fuer5as de interacción D"ue se denominan interiores al sistema "ue pueden o no estar en e"uilibrio.

1



.

En el caso de cuerpos solido dic*o sistema se *alla en e"uilibrio con la cual la distancia relativa entre las part3culas permanece invariable. Si se aplica un sistema de fuer5as e8ternas a un cuerpo> este se deforma modific'ndose su configuración *asta "ue el sistema de fuer5as internas lo e"uilibra> se dice entonces "ue las fuer5as e8ternas reali5an un trabajo "ue se transforma 0 se acumula en el cuerpo. Este trabajo o energ3a de deformación es el utili5ado por el cuerpo para recuperar su forma primitiva cuando cesa la acción del agente e8terno. Si el cuerpo recupera e8actamente su forma inicial se dice "ue es un cuerpo perfectamente el'stico> e indica "ue el trabajo de las fuer5as e8ternas durante la deformación se transformó totalmente en energ3a de deformación> 0 el diagrama cargaAdeformación es una l3nea recta> como se ve en la figura $.1a.

Caso lineal

Caso no lineal

Fig. #.1a. Energ)a de de3ormai$n

Fig. #.10. Energ)a de de3ormai$n

El trabajo desarrollado en contra de las fuer5as internas del sistema esK

($*a#

W e=

∫ P∗dδ 1

!ara el caso lineal esK

W e = ∗P∗ δ

D$.1b

2

%ondeK

W e =¿

raba.o externo

δ =¿ %eformación en dirección de la carga +a ecuación $.1b corresponde al 'rea sombreada del tri'ngulo mostrado en la figura $.1a. Cuando se trata de sólidos el'sticos> el trabajo de las fuer5as e8teriores es igual a la energ3a interna de deformación> como se dijo anteriormente> es decir.

W e =U

($'#

23



.

En el caso de la elasticidad no lineal como es el del =ormigón> la energ3a de deformación es el 'rea bajo la curva sombreada en la figura $.2. En este caso la energ3a es variable de un punto a otro con una le0 de variación apro8imadamente parabólica ra5ón por la cual para facilitar su integración es necesario definir el módulo el'stico del =ormigón correspondiente a una deformación del -.2U como la recta paralela a la tangente en el srcen de la curva tensiónAdeformación Dfigura 2.$> con este justificativo se puede considerar "ue el =ormigón para la deformación indicada se comporta como un material el'stico> siendo posible considerar su curva de energ3a de deformación como una curva de variación lineal/ con lo cual la integraci0n 1ueda 2acilitad

Fig. #.2. Energ)a de de3ormai$n asono"inea".

Fig. #.#. Diagrama de tensi$n de de3ormai$nde";ormig$n.

#.2. ENER,IA CO(PLE(ENTARIA DE DEFOR(ACION. +a energ3a complementaria de deformación se representa con la denominación de energ3a complementaria resulta obvia por ser el complemento respecto al rect'ngulo !A& de la energ3a interna de deformación. !ara un cuerpo linealmente el'stico> la energ3a de deformación ;< 0 complementaria de deformación ;C< son iguales> como se observa en la figura $.1a.

#.#. ENER,IA E!PECGFICA DE DEFOR(ACION. !ara una barra con carga a8ial> se tiene "ue el esfuer5o normal esK

σ=

P A

($#

R la deformación unitaria

ε=

δ L

($)# %espejando valores de $.$ 0 $./ 0 sustitu0endo en $.1b.

21



.

1

U =W e = ∗ σ∗ε∗ A∗L

($3#

2

) 0 + representa un volumen "ue se puede considerar unitario> )s3 1

U H = ∗ σ∗ε 2

($4# +a ecuación $. es la energ3a espec3fica de deformación almacenada en la unidad de volumen debido al esfuer5o normal. !ara el caso de esfuer5o cortante se tieneK 1

U H = ∗ τ∗ γ 2

($"#

#.'. CALCULO DE LA ENER,IA INTERNA DE DEFOR(ACION. #.'.1. Energ)a de De3ormai$n ausada %or e" E!FUERHO NOR(AL. Consideremos una barra el'stica de sección transversal ) 0 longitud +. El esfuer5o normal esK

Nx ($5#

σ= A Según la le0 de =ooe tenemosK

ε=

σ Ec

($6#

@eempla5ando $.( en $. tenemosK

σ

1

U H = ∗ σ∗ ε = 2

@eempla5ando $.& en $.1- e integrandoK L

2

∫

N x 2 dL 2∗ E c∗ A

U N=

0

L

∬

2

dA =

∫ 2N∗Ex ∗∗AA 0

2

c

22

2

∗E c

2

($*!#


L


.

2

∫ 2∗NE x∗ A dL (3.11)

U N=

0

c

+a e8presión $.11 es la energ3a de deformación por fuer5a 6ormal.

#.'.2. Energ)a de de3ormai$n ausada %or e" E!FUERHO DE CORTE. Se considera la fuer5a corta nte

QY

0 por la

teor3a del esfuer5o cortante se produce el esfuer5oK

τY =

QY ∗S z I z∗b z

( 3.12)

Se tiene adem's "ueK

γ= τ 

%ondeK S F momento est'tico del 'rea limitada entre la fibra en estudio 0 la fibra m's alejada de la sección. b F anc*o de la fibra en estudio. 4 F momento de inercia de la sección. G F es el módulo de elasticidad al corte.

γ =¿

%eformación angular por cortante> distorsión.

,eniendo en cuenta la ecuación 2.#

τ

1

U H = ∗τ∗γ = 2

2

2

∗

( 3.13)

2,



.

Sustitu0endo la ecuación 2.12 en 2.1$ e integrando. L

L

2

2

∫ ∬ 2∗∗∗I ∗b Q! Sz

U Q! = dL 0

0

2

2

z

z

dA

2

I z= A∗" z

Si7

"z

%onde

es el radio de giro de la sección> se tiene entoncesK

∫ ∬ 2∗∗QA ∗" S∗I ∗b L

U Q! = dL 0

L

2

z

2

0

z

Q!

En donde L

2

!

z

2

2

0

z

dA

z

> G 0 ) son constantes en una sección> 0

2

Sz

∬ " ∗I ∗b

#" =

2

z

2

z

S!

∬ " ∗I ∗b

dA # z =

2

!

!

2

dA

!

 solo depende de la forma de la sección D"ue puede cambiar a lo largo d la barra 0 se denomina el coeficiente de forma > por lo tantoK L

2

∫

UQ = # ! !

$

L

∫#

UQ = z

$

Q! dL ( 3.14 ) 2∗ ∗ A 2

z

Qz dL ( 3.15) 2∗ ∗ A

+as e8presiones $.1/ 0 $.1 e8presan la energ3a de cortante

deformación por fuer5a

#.'.#. Energ)a de De3ormai$n ausada %or e" (O(ENTO FLECTOR. Si actúa el momento fle8ionante> se produce el esfuer5oK

2-


σ x=

%z Iz


.

∗ ! ( 3.16 )

%onde7

I z=¿

Es el momento de inercia con respecto al eje I.

R F es la distancia del punto en cuestión al eje neutro.

@eempla5ando la ecuación $.1 en 2.1- se tieneK L

L

0

$

2

% z∗Y

2

∫ dL∫ 2∗E ∗I

U %L=

!ero

∬Y

2

2

c

%z

>

dA

z

Ec

Iz

0

son constantes en una sección> 0

dA = I z

!or lo tantoK

L

2

%z

∫

U %z=

dL ( 3.17 )

∗E c∗I z

$ 2

L

%!

$

c

2

∫ 2∗ E ∗ I

U %! =

dL ( 3.18 ) !

+as ecuaciones $.1# 0 $.1& e8presan la energ3a de deformación por momento fle8ionante.

#.'.'. Energ)a de de3ormai$n ausada %or e" (O(ENTO TOR!IONANTE. +as tensiones tangenciales distancia

&

τ

en un punto arbitrario de la sección transv ersal> situado a una

del centro> se calculan por la fórmulaK

2.


τ=

%x I'


.

&

Donde7

al

I ' =¿

Mo8ento polar de inercia$

&=¿

Distancia del centro de la secci0n

punto en estudio$ Se cumple la ecuación 2.1$ 0 se tiene L

2

% x∗ &

2

∫ ∬ 2∗∗I

U %x = dL $

En donde

∬ & dA = I

%x

2

dA

'

I'

> G>

son constantes en una sección> 0

2

'

!or lo tantoK L

2

%x

∫ 2∗∗I

U %x =

$

dL ( 3.19 ) '

+a e8presión $.1( es la energ3a de deformación por momento torsionante. En el caso general de una barra sujeta a los seis posibles esfuer5os> se obtiene "ueK L

2

Nx

L

∫ 2∗E∗A dL +∫ #

UT=

0

0

2

!

L

2

L

Q! Qz dL + # z dL+ 2∗ ∗ A 2 ∗ ∗A 0 0

∫

L

2

%z

∫ 2∗E∗I

z

0

L

2

%!

∫ 2∗E∗I

dL +

!

0

+a e8presión $.2- es la energ3a de deformación total para un elemento sometido a  esfuer5os.

2/

2

%x

∫ 2∗∗I

dL +

dL ( 3.20 '



.

#.*. TEORE(A DE ETT. El teorema del trabajo reciproco de 9ett0 establece "ue el trabajo reali5ado por un sistema de fuer5as

Pm

durante la deformación ocasionada por otro sistema de fuer5as

trabajo reali5ado por las fuer5as

Pn

Pn

Dfigura $./ es igual al

durante la deformación ocasionada por las fuer5as

Pm

;es

decir> los trabajos mutuos o indirectos de dos sistemas de cargas 0 deformaciones son iguales<> 0 est' representada por la ecuación $.21.

∑ P ∗δ =∑ P ∗δ m

m

n

m

( 3.21)

#.8. TEORE(A! DE CA!TI,LIANO. #.8.1. Primer Teorema. Consideremos un cuerp o el'stico sujeto a la acción de un sistema de fuer5as. +a energ3a de deformación es función de las fuer5as> es decirK

U T =U ( P( ) Se esta función se supone diferenciable

) U = *U T ) P( + a ) P (( 3.22) * P(

En donde ;a< tiende a cero cuando

) P(

tiende a cero 0 rec3procamente.

20



.

Supóngase "ue se aplica primero el sistema 1

1

2

2

) P(

0 despu:s el sistema

P(

obteni:ndose.

U ) P +P = ) P(∗ ) δ 1 + P(∗δ ( + ) P (∗δ ( ( 3.23 ) (

(

En dondeK 1

U P = P (∗δ ( (

2

O sea "ueK 1

) U = U ) P +P −U P = ) P (∗) δ 1 + ) P(∗ δ ( ( 3.24 ) (

(

(

2

4gualando las ecuaciones 2.22 0 2.2/

*U T * P(

1

) P( + a ) P (= ) P(∗) δ1 + ) P(∗δ ( 2

%ividiendo ambos miembros entre tiende a cero>

*U T

) P(

0 tomando l3mites cuando

) P(

se obtiene finalmente "ueK

3.25

* P( =δ ( (

)

+a ecuación $.2 se conoce como el primer teorema de Castigliano.

Enuniado= la derivada parcial de la energ3a de deformación total con respecto a una fuer5a "ue obra en un cuerpo es igual al despla5amiento del punto de aplicación de la fuer5a 0 en la dirección de dic*a fuer5a.

#.8.2. !egundo Teorema. El segundo teorema de Castigliano puede obtenerse de la misma manera> obteni:ndoseK

*U T * δ(

= P( ( 3.26)

+os dos teoremas son aplicables a los sistemas el'sticos lineales o no lineales siempre "ue la temperatura sea constante u los apo0os sean firmes.

2



.

I L OP OT R O ! AREL AC! E E D OL UCL C LE ARAP

P AC

2



.

'. (ETODOLO,IA! PARA EL CLCULO DE E!CALERA! ORTOPOLI,ONALE! '.1. INTRODUCCION En este cap3tulo se ofrecer' dos m:todos para el c'lculo de las escaleras ortoApoligonales> primero se seBalar' el (Jtodo de "a Energ)a9 deduciendo las fórmulas para los momentos. Como segundo m:todo es un (Jtodo !im%"i3iado. Estos m:todos consideran a la escalera como una estructura compuesta por elementos de barras> orientadas por el eje geom:trico Dfigura /.1. +os elementos est'n definidos por las *uellas 0 contra*uellas> de base igual al anc*o de la escalera 0 conectados por sus e8tremidades> el eje geom:trico nos sirve de marco de referencia en base al cual efectuaremos todo el c'lculo> sobre :l se aplicaran las cargas 0 se determinar'n los momentos.

Fig. '.1 Ee ,eomJtrio + Distri0ui$n de Cargas '.2. DI!TRIUCION DE CAR,A!. En las escaleras calculadas como losas inclinadas se asumen "ue la carga es uniformemente distribuida> para el an'lisis de las escaleras ortopoligonales por los dos m:todos de la Energ3a 0 Simplificado> por ra5ones de simplificación 0 facilidad en los c'lculos> adoptaremos la distribución de cargas de la figura /.1. Es decir> consideraremos una carga P concentrada actuando en el plano medio de cada *uella. )l *acer esta sustitución> estamos dentro de lo ra5onable> 0a "ue si bien es cierto "ue la carga muerta se asemeja m's a una carga uniformemente distribuida> con la *ipótesis adoptada el error es insignificante 0a "ue la longitud de la *uella es pe"ueBa. En lo "ue se refiere a la carga viva> :sta se apro8ima m's a la acción de una carga concentrada actuando en el plano medio de la *uella> pues si observamos detenidamente como una persona sube o baja una escalera> vemos "ue :sta tiende a pisar en la pro8imidad del plano medio de la *uella siendo la misma el principal sost:n de la carga viva.

,3



.

+a carga concentrada P est' constituida por la carga muerta 0 la carga viva "ue es el peso impuesto por el tr'nsito sobre la escalera. En esta situación> encontraremos las e8presiones para los momentos en el centro de la estructura como tambi:n en los empotramientos.

'.#. (KTODO DE LA ENER,GA. Se anali5ar' escaleras OrtoApoligonales de un Sólo ,ramo sin cambios de dirección.

'.#.1

Caso a<. Cuando e" N>mero de 6ue""as es Im%ar.

En el siguiente an'lisis se designar' aK + F longitud de la *uella. * F altura de la contra*uella. n F número de *uellas en la mitad de la lu5 de la Escalera.

? 9 9 9 n:

9'

9 (a# >

9

Mo n;

; 'n:

:

9

;'

(b# 9

;a<;('n=*#

Fig. '.2 Esa"era Ti%o :a< Caso :a< ;ue""as Im%ar )nali5ando la estructura superior seccionada por el plano de simetr3a de carga Dfigura /.2b> 0 de acuerdo al primer teorema de Castigliano ecuación $.2 tenemosK

∂@  =φ ∂M i i !ara el plano de simetr3a de carga resultaK

* UT *%0

=0 ( 4.1 )

,1



.

%esarrollando la ecuación /.1 e integrando se tieneK

%x E c∗I L

%!

∫ E ∗I

dx +¿

c

d! = ϕ0 =0 ( 4.2) h

*U T = * %0

∫¿

%óndeK 4+ F 4nercia de la *uella. 4* F 4nercia de la contra*uella. @esolviendo en forma separada los t:rminos de la ecuación /.2> 0 con los ejes coordenados de la figura /.2b> encontraremos la e8presión para el momento en el centro de la estructura.

a< (omento en e" Centro de "a Estrutura. Mx

∫ E HI c

dx = I1 ;

!ara el primer t:rmino tenemosK )plicando el principio de superposición> la ecuación anterior se resume enK ( 2 n +1)

I1

=

; n+ 2

n+

∫ M∫ dx+∫ o

(2

1)

; 2

− +

-

-

9x − 2

n +( 2

1)

; 2

n

+

− ∫ + + 9 ( )x− ;− −dx ∫ ....+ ;

(2

1)

; 2

(2

−() − 9 ( x

1)

; 2

n 1 ; ) dx

n; − ;

9 ( x n; ) dx n;

4ntegrando la anterior ecuación en sus l3mites 0 operando se tieneK

I1 = M - ( + 2n) −1

2 ; 9;2 9;2 2222 9; ( + )− 2(n −)1− ( −) −2n ( 1 )− − 2 n− $ 2 1 & &

I1 = M - ( 2)+n −1

; 9;2 ( ) + − 2n ( 1) 2 1

I1 = M - ( 2+n) −1

; 9;2 9;2 2 ( )+ − 2n 1+ + ( − 1)+(2 −$) ( 2 +)...−2n  2 1 &

9ero K1

$+ + + + #

2222

2

9; − ( + )−( +2n) − 1+2 +2n &

2

$

2

2

+..... − +2 (− n ) +( −2 2 ) =(n$ ) 2 +2 ( n1(−) 2)

9;2 9 $2 ;2 2n  ... & & 2n .

2n $

n H 2 $

2

..$2 12



2

2n 1

n1 2

 

2

n1 (a#

P!( l! &'n&!:

,2

912 ;2 &


I1

=


.

2  ( 2n)+ 1 ( )2  2n + 1 9;+ + − M - ; − EC H I ;  2  1 

n

1

2/

 

( 2n ( ) 1 2) n 1

()$#

Ll'*'n"!: 2

( 2n)+ 1n(n ( n)+)− 2 +

C=

II

( 1 n+)

1 2

1

A=

0

2/

2

1 2

1 ( M - H ; H A − 9 H ;2 H C ) EC H I ;

=

()$)#

P'(' el %egun"! &4(*in! &ene*!%:

∫E

My

C

-≤≤ y

:

=−

:y≤≤:

2

MyM=−

2:y≤:

H I:

dy = I 2

9 ; H 2 2 9 $; 9H 2 2 9 ; 9−H- 92 2H

My

M-

−

MyM= −

H

; 2 $; 2H

;

2 − eneraliBando K (n − 1): ≤y n≤ :H ( 9 )2(n −  ;) ( 9 2n) − $ ; 9 9; $9; 9; My = M−- − − − ........... − − $

2

n:

I2

n:

= ∫ M−∫- dy−∫ -

:

9;

:

− ∫ −∫dy -

2

/

2

n:

:

2

n:

n:

9; $9; − dy −+ dy 2 : 2 :2

∫

:

$9;

∫− dy / ∫ :

2

:

− ::

9;

∫

$

 9; dy + / 2

−

$:

2 n

∫

−

dy .... : n(

$

# 9; :

/n

9 ( 2n: n − ) ;

−2)

2

( −1)

9; ( 2n − 1) dy /

/ n:

−dy ∫

2n − 1 ;

/

.........

2

9 ( 2n − $ ) ;

dy ( −1)

2

dy

4ntegrando 0 operando tenemosK

I2

= M - n:−

9;: − { ( +n −) 1( 2

+$)

n ( 2− +)....2 ( − 2) −n 

!or inducción se demuestra "ueK

,,

++2+n+ $+ }−

9;: ( 1 $ # /

....

( 2 n 1) )


1( n −) 1(+n) $−( n) + 2


.

− + (+ n $ ) ( n−.....)+ 2 −2 =

1++ $+ +  # .................. + − = ( 2n 1)



2

(n 2n( ) − 1) n − 1

$



n2 (b#

@eempla5ando estas en la anterior ecuación 0 agrupandoK

I2

= M×-×−n×:××

 n ( 2n −)( 1 ×) n −1 +  12 

9 ; :

n 2  / ()$3#

D= +lamando 9 F n

n (−n ( )1 −2+) n 1 12

n2 /

0

@eempla5ando 9 0 % en la ecuación /.K

I2

=

1 ( M×- ×:−,× ×9× ; : D ) EC H I : ()$4#

7inalmenteK

41 W 42F -

Sumando /./ 0 /.



=

I ; ×: I : ×;

Si

M-

=

9 ×;×( C+ × D )

( A +  ×, )

Tenemos=

()$"#

+a e8presión D/.# es para el momento en el centro de la estructura.

0< (omento en e" Etremo de "a Estrutura. %e la figura /.$b se tiene la siguiente e8presiónK

M ab

; 2

$;

= M−- −9 − 9 + − 2

9

; 2

−........ −

9; + ( 2) (n) 1 2

9; 2n 1 /

!ero 1W$WW#WVVWD2nA1Fn2

M ab

= −M - − 9; n+2 2

9; ( 2n 1) /

Dc

=−

ab

++ M

,-

M-

9;2 ( n22 /

n1

)


E=


.

2n 2 + 2 n + 1 /

+lamando

M ab

= M -− ×9 ×;

E

Tenemos=

D/.&

+a ecuación D/.& es el momento en el e8tremo de la estructura. Si la escalera esta simplemente apo0ada> el momento en el centro valeK

% 0= P , L , E

'.#.2

Caso 0< Cuando E" Numero De 6ue""as Es Par. ? 9

9

9

9 ('n-*#: '

9

9

(a#

Mo

9

('n-*#:

> 9 n;

n; (b#

9

'n;

Fig '.# Esa"era Ti%o :a< Caso :0< ;ue""as Par n8

,.



.

)nali5ando la estructura superior seccionada se tieneK

a<

(omento en e" Centro de "a Estrutura.

∂@  =∂M )plicando la condición

para el plano de simetr3a se tieneK

M Mx ∂@  = +dx ∫ y==dy ∂M - ∫ Ec H; I E HI c :

Mx

∫ E HI c

-

-

dx = I1 ;

!ara el primer t:rminoK Según la figura /./b se tieneK n;

I1 =

n;

n;

n;

∫ M∫ −dx − ∫9− x÷ 2− ∫dx− ÷ 9− x +2−÷∫dx ;

$;

9− x

o

-

; O2

$ ; O2

; O 2

; 2

n;

dx .......

 

9x ( 2 n −( )1 ) ; O2

( 2n − 1) ;

4ntegrando la anterior ecuación en sus l3mites 0 operando tenemosK

I1 = M - n; −

9;2 − ( −21n) &

−

9;2 2 n &

I1 = M - n; −

9; + 1+2 $+2 ........ − + −( 2n+ ) (−2 &

) 2( n $)

2

9;2 2$ n( − +) &

−( − )

2

2

9;2 &

.....

2

{

2

2n 1

2

}

tili5ando la ecuación Da se tieneK

9;2 n +H −( 2n ( ) 1 2) n 1 & $

I1 = M − - n;

C= +lamando )Fn

n 2/

( 2n +( ) 1 2) n − 1

0

I1 =

1 ( M - A; − 9;2 C ) Ec H I ; ()$6#

@eempla5ando ) 0 C en 41

My

∫ E HI c

dy = I 2 :

!ara el segundo t:rminoK

,/

2

÷ dx 



.

Según la figura /./b tenemosK ( 2 n −1)

I2

=

: : n− 2

: n −( 2 1)

∫−

∫ ∫

M − - dy

2

9; 2

:O 2

-

:

n−

dy− + :

(2

∫

1)

= M - ( 2−n) −1 ( −) −

I2

= M - ( 2) −n −1

n−

$9;

− −dy

2:

$ O2

: 9;: 9;: $ (n )−1− ( ) 2 22

I2

2

n

:

(2

∫

.....

1)

2

9;

− (:2 −n)

O2

9;: 

2

(2

( 2n

( 2 −$)

9; .....

− +n − 2( ) − −( n ) $− 2

1)

2

 ) dy

2

: 9;: ( −) +({ n−) (+1 ) −$+ n 2 +(  n)(− +$ ) −.............2 2 2

O2

9; 2n  2:

2n 

9; 2

( 2n

2n $ :

2

2n $

}

tili5ando la ecuación Db se tieneK

I2

=

( 2n − 1) 1   M - : −2 Ec H I :  ,=

1

−( 2n)

2

−9;:

1

0

n 12

 

( 2n ( )1 ) n 1

= −−( ( )D)

n 2 1n 12

1n

+lamando

I2

=

1

Ec H I :

( M -:, − 9;:D ) ()$*!#

7inalmente



=

41 W 42

F-

Sumando $.( 0 $.1- 0>

I ; ×:

M-

I : ×;

9 ×;×( C+ × D ) ( A +  ×, )

tenemos

Si

+a e8presión D/.11 es para el

0<

=

()$**#

momento en e" entro de "a estrutura

(omento en e" Etremo de "a Estrutura.

%e la figura $./b se tiene la siguiente e8presión para el momentoK

M ab

; 2

= M− - − 9 − +9

$; 2

9

; 2

−....................... −

9 ( 2n 1)

)grupando t:rminos 0 reempla5ando la ecuación DcK

M ab

= M- −

9;n 2 2

lla8ando E

,0

=

n2 2

; 2

$ ) dy


M ab


.

= M -− ×9 ×;

E

,enemos

D/.12

+a ecu ación D/.12 es el momento en e" etremo simplemente apo0ada> el momento en el centro baleK

de "a estrutura . Si la escalera est a

% 0= P , L , E

'.#.#

Caso < Esa"eras on Desansos Igua"es %ero !in A%o+os en "os Puntos A + 

@esolvemos por el :todo de la Energ3a> por la simetr3a de la estructura 0 cargas> la fuer5a de corte 0 la fuer5a a8ial ser' igual a cero> solamente actúa un momento  -. 9

1

9

A

A*

9 9 A; < ('n-*#: '

S

9

1

S

,

;a<;('n=*#

Fig. '.' Esa"era Ti%o :< Caso :< Desansos sin a%o+os intermedios El giro en el plano de simetr3a ser' igual a cero> por la ecuación $.2 podemos escribirK

∂@  A; M x = +dx ∂M - ∫- E;c I

n:

A; + S

My

∫ E+Idy

:c -

Sc

Mx

∫= EdxI

-

-

A;

()$*6# +os dos primeros t:rminos de $.1( fueron determinados en el apartado $.$.1 0 est' dada porK A;

I1 += I 2

Mx

∫ +E I -

c;

n:

dx=

My

∫EI

:c-

dy − ; c

; EI

+

)( { −( M - A 9;C

) M - , 9;D

} ()$'!#

a< (omento en e" Centro.

,

,*



.

A; + S

∫

A;

Mx dx = I $ Ec I S

Evaluación deK

A; ≤ x ≤ A; + S Ecuación general del momentoK

Mx

1

2

= M−- −( x) −A;( − ) 9− x −( n;−) −9  x(− n; −) ;+ −(9 −x) ( −n; ) −2;− 2

...... 9 x 2;

9 x ;

9 2

x

)grupando e integrando se tieneK A; + S

I$

=

+

∫ M∫ −dx -

A;

1 2

A; +S

+

− ∫ ( x∫ ) −A;

+A;

A; S 2

dx +9n

A;

+ −+−+9; xdx ( )( ) A;

nn +n( −)( n+1 )( −)

∫+

S

A; S

{ −n

n 1

n 2

......2 1} dx

A;

+ 2− +

A;

=) + $+n+(........$2

1

n 2

1

!ero @eempla5ando en la e8presión anterior> integrando 0 operando se tiene 4$.

I$

=

S  1S 2 −-+ − M  Ec I S  

E9;

 

9Z÷ ()$'*#

%óndeK

n E = + ( n =1) 2

Z

( 2 A; + S ) 

+

2

= , 

1

÷

2

,

n

@eempla5ando las ecuaciones /.2- 0 /.21 en la ecuación $.1( tenemosK

M-

=

9; ( C + D +  2 F ) A + , +  2 ()$''#

F

=

1S 2 +−9;

E

Z ;

2

=

SI ; IS ;

%óndeK +a ecuación /.22. Es el momento en el centro de la estructura.

,

9 xdx 2



.

0< Ca"u"o de" (omento en e" Punto MA. ,omando momento de las fuer5as a la derec*a del punto ;)< se tieneK

MA

= M - − 9;E ()$'#

( 2n + 2n + 1) 2

E

=

/ %óndeK

< C&"u"o de" (omento en e" em%otramiento MA1. ,omando momento de las fuer5as a la derec*a de ;)1< se tieneK

M A1

'.#.'

1S 2 9S + ( 2n 1) 2 2

= M−A −

Caso d< Esa"eras on Desanso Intermedio + Etremos Em%otrados. 9 9

A

: 1

'n:

: 9 : 9 : ,

n;

S

n;

Fig. '.* Esa"era Ti%o :d< Caso :d< Desanso + etremos em%otrados !ara este caso se empleó el m:todo de la energ3a> 0 las soluciones obtenidas por un an'lisis id:ntico al del caso anterior son los siguientesK

a< (omento en e" Centro de "a Estrutura.

-3



.

M-

=

1S 2> +;? +9;Z %

%óndeK

>

=

 2 + +n ( 1 ) 

+ −

=

2/

n 2 ( n ) n − 1 (−( ) )

=

?

2

+

Z

−( n(−) n)

=)+1S 9

=

=



2

n n 1 n 2



SI ; % = + 2n+ 2 ( 1

1 2n 1

I:

IS ;

$

;

I:;

0< (omento de Em%otramiento.

M A = M- −

 S +n; +9;n ÷ / 

1S 

2

2 ()$')#

2n F número total de contra*uella.

'.#.*

Caso e< Esa"eras on Desansos Intermedio9 sin a%o+o en "os etremos A +  ? 9

1

9

A

A*

1 'n:

9

>

S' 9

1 ,

S

n;

S

n;

,* S

Fig. '.8 Esa"era Ti%o :d< Caso :e< Desanso + Etremos Em%otrados Este tipo se resolvió por el :todo de la Energ3a> 0 las e8presiones de los momentos encontrados son las "ue se dan a continuación en forma resumida.

-1



.

a< (omento en e" Centro de "a Esa"era. M-

=

+9;? +1;SZ +9;E

1S 2>

%

D0nde7

>

=

Z

=

2

n ( 1+)+  2#

2 n  n ( n $+ )− n( (2)−) )+2  1 ?=

2

2/

n2  + n n(

=

− 1) +n2

+=+

2

2

SI ; IS ;

:I ............. =

;

= 2 2 1

% $

2n

I: ;

n(

1 2

1 1



)

E

n 2

nu8ero total de contra:uella

0< (omento en e" Punto A.

MA

= M- −

 

1S n;

S − ÷ −9;n /

2

2

< (omento en e" Punto A1. M A1

= M A − S ( 1S + 9n )

+os par'metros )> 9> C> %> E para el c'lculo de los momentos por el m:todo de la energ3a son tabulados en la tabla ).1.

Numero 6ue""as

A



C

D

E

2 $ / 

1.--1.-2.--2.--

-.-1.--1.-2.---

-.12 -.-1.22.--

-.---.12 -.-1.2-

-.-1.12 2.--$.12

 # & ( 1-

$.--$.-/.--/.-.---

2.-$.--$.-/.--/.--

/.$# #.--1-.-1.--2-.2

2.-/.$# #.--1-.-1.---

/.-.12 &.--1-.12 12.--

-2



.

11

.--

.---

2#.--

2-.2

1.12

12

.---

.--

$.#-

2#.--

1&.---

Ta0"a A1. /a"ores de Coe3iientes seg>n numero de ;ue""as

'.'. (KTODO !I(PLIFICADO. '.'.1. Dedui$n ,enera" de" (omento de Em%otramiento. !ara el c'lculo de los momentos por este m:todo se considerara "ue las cargas puntuales ;!< est'n aplicadas en el plano de la contra*uella Dfigu ra /.11> 0 "ue los e8tremos del tramo est'n empotrados. +a e8presión general del momento para un elemento doblemente empotrado 0 de lu5 ;+< esK

Ma =

9ab2

( ;′ )

2

= −Mb ()$'3# 9

a a

b ;<';

b ;

;

)plicando la ecuación /.2 para luces iguales aK

;′ = 2 ;>$ ; >/ ;>.......................n;

!ara n F 2

se tiene K

+Q F 2+ en la ecuación $.$$

Ma

=

9;;2

( 2; )

2

=

9;;2 ( 1)( ) 1

aF+

2

/ ;2

-,

=

0

9; ( )( ) 1 1 n2

b F +. 2



.

b

a ; !ara

nF$

;

+Q F $+

2222

9; ( 2 ; ) Ma =

;

( $+; )

!ara n F /

9 ( 2 ;)( ) ;

9;$ ( 1) ( 2)

= ( $; ) +

=( $; )

2

2

9;$ ( 2) ( )1

+

2

( $; )

9; 2 ( ) 2 ( )( )2 1 n 2 ( )1

{

2

}

+QF /+

9

9

9 b

a ;

Ma =

2

9 ( 1;)( $) ;

2

9 ( 2 ;)( 2) ;

+2

+

( /;)

!ara n F n

;

( /;)

2

;

2

9 ( $;)( 1) ;

=

;

2

9; 2 2 ( )1( ) $ ( )( )2 (2 )( ) n2

{

+ +2

( /; )

$ 1

2

}

+QF n+

9

9

9

9 b

a n;

Ma =

Ma

9; ( n; − ; )

+

( n; ) 9;

=−

n

Ma =

2

( n+)

2

9 (−2( ); n;) 2$ −;

++

2

n; (

1

2

n

2

9; 2

( )

−

2

n

2

)

2

2

2

9 ( (−); n;) $;− n;

2

9; $ 2 n

( n)2− + +$−

9; 2 2 2 1( −n ) +1( − ) 2+( n − ) 2 + $ n +( $−) n2

{

(

+

) 2

....... n;

2

(n .......... ) +− ( )

2

2

9 ( n; 2( );) 2 ;

) n;

D5n"e: --

n 2 22

n 1 12

( 2

11

n

n

+ )− (.............

9 ( n; ()1 ) 1;

2

(

9; 2 2

2

}

9;

n

)

2

2

2


2

1( n )− 1+ ( n)−n2 ( + ) −2

2

+

$


.

2

( $)n −n( ............... ) + − (=n ) i 2− 2 2

1 12

n =1

∑

1

2

i =1

Si K n −1

Z

= ∑i ( n − i) 2

tene8os K

i =1

% a=

P, L n

2

,-

()$'4#

L' e)u')i5n -62/ e% l' e7(e%i5n '(' el *!*en&! "e e*!&('*ien&! en l' e%)'le('8 # e% 9li"' '(' n ;2 L!% 9'l!(e% "e < '(' "i=e(en&e% n>*e(!% "e ?uell'% %e *ue%&('n en l' &'@l' A626

Numero Z M emp huellas 2 1 1/60,3 , / --6/1, 23 ,6/.3 . .3 1,,6-3 / 13. 1.61, 0 1/ 2/06/3  ,,/ ,.16,,3  .-3 --/61,, 13 2. ..2633 TABLA A26 V'l!(e% "el )!e+)ien&e < en =un)i5n "el Nu*e(! "e ?uell'%

❑❑

-.



.

'.*. APLICACIN  CO(PARACION ENTRE LO!(ETODO! PROPUE!TO!. Con el objetivo de aplicar 0 comparar lo m:todos e8puestos> se calcular'n los momentos de empotramiento para una escalera de un solo tramo 0 con e8tremos empotrados como se muestra en la figura /.2->

mediante

"os dos mJtodos e8plicados> 0 respaldando los resultados con un pa"uete

inform'tico como el S)!2---. !ara *acer un an'lisis completo del problema se tabularan los resultados *aciendo variar el número de *uellas desde 2 *asta n> esto con el objeto de observar la variación de los resultados "ue e8iste entre los m:todos propuestos a medida "ue se implementan m's *uellas> 0a "ue el

n sea igual a 12 como m'8imo.

incremento de una *uella implica una carga m's> se recomienda "ue

,ambi:n se observar' el comportamiento de las escaleras a diferentes anc*os de escalera 0 llegar a m's conclusiones.

E8potra8iento

m 2 1 . 0 = L e

L = 0.28 m

m 8 1 . 0 = h

eh = 0.13 m

E8potra8iento

Fig. '.? Eem%"o de a%"iai$n. (edidas geomJtrias. +as medidas necesarias para reali5ar el c'lculo se muestran en la fig. /.#> las cuales se indican a continuaciónK Espesor de la *uellaVVVVVVVVVVVVVV... e + F -.12 m Espesor de la contra*uellaVVVVVVVVVVVV e* F -.1$ m +ongitud de la *uellaVVVVVVVVVVVVVV...+ F -.2& m

-/



.

)ltura de la contra*uellaVVVVVVVVVVV.VV.* F -.1& m El anc*o de la escalera 0 se *ar' variar desde 1 metro *asta 2 metros> por lo tanto las cargas ser'n en función del anc*o de la escalera.

An&"isis de Carga.  Carga (uerta. !eso propio de una *uella !eso propio de una una *uella contra*uella Contra piso en Contra piso en una contra*uella !eso del piso en una *uella !eso del piso en una contra*uella

-.2&H-.12HbH2/--

&-./Hb g

-.1&H-.1$HbH2/--.-2H-.2&HbH2---.-2H-.1&HbH2--$-HbH-.2& $-HbH-.1&

.1Hb g. g 11.2-Hb #.2-Hb g &./-Hb g. ./-Hb g.

18.@@0 Qg. Carga /ia. 2- gm2 2-HbH-.2&

SC Carga viva en una *uella

F

?@.@@0 Qg P  2#.@@ Qg

Carga total

+a carga total ; P< es el valor de la carga "ue actúa en cada *uella> 0 es utili5ada en los c'lculos del m:todo de la energ3a 0 en el del simplificado> *aciendo variar el anc*o desde 1 m *asta 2 m tenemos las siguientes cargasK !ara un anc*o de escalera de 1.-- metro !ara un anc*o de escalera de 1.- metros !ara un anc*o de escalera de 2.-- metros

! F 2$(.-- g. ! F $&.- g. ! F /#&.-- g.

+a carga para el m:todo de los elementos finitos debe ser uniformemente distribuida sobre cada *uella> lo cual se logra distribu0endo la carga P en todo el 'rea de la *uella> lo cual deK Carga en cada *uella

2#@.2

7  *#.* Qgm2

%e esta manera sólo "ueda calcular los momentos de empotramiento en los e8tremos *aciendo por los tres m:todos 0 el porcentaje de diferencia "ue e8iste por el :todo de la Energ3a 0 del :todo Simplificado. n c'lculo m's detallado de los valores obtenidos en las tablas> se lo *ar' en un ejemplo num:rico presentado m's adelante. ,ambi:n en las tablas se *an incorporado para los diferentes números de *uellas los momentos de empotramiento Dcolumna $> esta ve5 aplicando una carga linealmente distribuida sobre las *uellas> esta carga resulta del producto de la carga 7 por el anc*o de la escalera> as3 las cargas resultantes sonK

701  *#.*? Qgm

!ara en anc*o de escalera de 1.-- metro

-0



.

!ara un anc*o de escalera de 1.- metros

701.* 12@.#* Qgm

!ara un anc*o de escalera de 2.-- metros

702  1?@?.1' Qgm

'.*.1. OTENCIN DE E!FUERHO! POR EL (KTODO DE LA ENER,GA.

Numer o Huella s

Base Escal. (m)

P carga (g)

!

BC

2,

1633 3 16.3 3 2633 3 26.3 3 ,633 3 ,6.3 3 -633 3 -6.3 3 .633 3 .6.3 3 /633 3

36.3 3 1633 3 16.3 3 2633 3 26.3 3 ,633 3 ,6.3 3 -633 3 -6.3 3 .633 3 .6.3 3

2 , . / 0   13 11 12

1

M emp. (g#m)

E

3612.

36333

36.33

/6/

2/60

36.33

3612.

1612.

160

./6-

162.3

36.33

26333

,/6-/

06,

26.33

162.3

,612.

.6/ 1-6-,

-6,0.

26.33

-6.33

06333 136.3 3 1.633 3 236/2 . 206.3 3 ,.60. 3

-6,0.

/612.

06333 136.3 3 1.633 3 236/2 . 206.3 3

6333 13612 . 126.3 3 1.612 . 1633 3

6.3 1226  1/26 236, 0 2.6 ,1/61 / ,062

'.*.2. OTENCIN DE E!FUERHO! POR EL (KTODO !I(PLIFICADO.

-

Mo (g# m)

"

2126/20633 ,026.2 -/623 .00632 //633 2/61-


Numero huellas 2 , . / 0 

B (m)

1


.

P (g)

$ (m)

2,

362

 13

1 / 23 .3 13. 1/ ,,/

M emp. (g#m) 1/60,3 --6/1, ,6/.3 1,,6-3 1.61, 2/06/3 ,.16,,3

.-3 2.

--/61,, ..2633

Z

'.*.#. ANALI!I! EN PRO,RA(A INFOR(ATICO :!AP2@@@< Se procede a introducir los datos al programa inform'tico como el S)!2--- 0 se tomar' :stos valores como resultados m's precisos 0 por ende de comparación.

Fig. '.? (ode"ado en !AP2@@@

-



.

Fig. '. Es7uema genera" %ara 12 ;ue""as DEFINICION DE LO! (ATERIALE!  LA! !ECCIONE! .3



.

!ara un ejemplo pr'ctico se define el peso espec3fico del *ormigón como nulo por"ue los pesos de materiales se calcularon manualmente.

Fig. '. De3inii$n de "os materia"es + e"ementos

En :stas condiciones se proceder' al an'lisis *aciendo variar el número de *uellas desde 2 *asta 12 0 el anc*o 1 m> 1. m 0 2 m para posteriormente brindar algunas conclusiones.

CAR,A! APLICADA! A LA E!TRUCTURA !E,N EL ANC6O DE E!CALERA .1



.

Fig. '.1@ Cargas %ara an;o 1 m esa"era

Fig. '.11 Cargas %ara an;o 1.* m esa"era

Fig. '.12 Cargas %ara an;o 2 m esa"era RE!ULTADO! OTENIDO! POR EL !AP2@@@

.2



.

Se mostrar' los resultados obtenidos por el programa inform'tico para 2 *uellas 0 diferentes anc*os de escalera.

Fig. '.1# (omentos %ara 2 ;ue""as9 an;o 1m9 1.*m + 2m %e manera an'loga se mostrar' los resultados obtenidos para 11 *uellas 0 diferentes anc*os de escalera. +os dem's resultados ser'n tabulados para su posterior an'lisis.

.,



.

.-



.

Fig. '.1' (omentos %ara 11 ;ue""as9 an;o 1m9 1.*m + 2m '.8. TAULACION DE RE!ULTADO! Se procede a*ora a resumir los resultados m's importantes del an'lisis de la escalera con diferentes par'metros como el número de *uellas de 2 a 12 *uellas> 0 el anc*o de escalera de 1 m a 2 m.

Ta0u"ai$n de "os (omentos de Em%otramiento on 01.@@ m NU(ERO 6UELLA!

(O(ENTO! SQgm ENER,I !AP2@@@ !I(PLIFICADO A

DEERROR :!AP :!AP ENE.<  !AP !I(.<  !AP

2 $ /   # & ( 111

A2.-2 A.21 A(./& A1/&.&& A212./2 A2&#.1A$#2.($ A/(.&( A##.(( A(#.21

A2.#& A./( A(#.$& A1/(./$ A212./ A2&#.-A$#2.2 A/(.2A##.-2 A(.--

A1.#$ A//.1 A&$. A1$$.&/ A1(.1& A2#.& A$1.$$ A//.1$ A2.-( A(.2-

A#.- A2.$2 A-.($ A-.$# A-.1-.-$ -.11 -.1 -.1# -.1#

$$.1$ 1(.1( 1$.$1-.1&.11 .# .#( .- /./& /.-2

12

A&2#.

A&2.1/

A#(#./

-.1#

$./

Ta0"a '.# An&"isis de Porentae de error 01 m

Ta0u"ai$n de "os (omentos de Em%otramiento on 01.* m (O(ENTO! SQgm ENER,I !I(PLIFICADO A

NU(ERO 6UELLA!

!AP2@@@

2 $ /   # & ( 111

A$.&/ A&1.1 A1/$.-/ A221.1# A$1.-2 A/2#.A.&& A#--.(1 A&-2. A1-/1.1-

12

A12$(.21

Ta0"a

DEERROR :!AP :!AP ENE.<  !AP !I(.<  !AP

A/-.1# A&/.#/ A1/.-# A22/.1 A$1&.( A/$-.1 A&.#( A#-$.#( A&./ A1-//.-1

A2.1A.(2 A12./& A2--.# A2(2.#& A/-1.2 A2#.-A(.2A&2&.1/ A1--$.&-

A(.- A$.&$ A2.12 A1.$ A-.($ A-.#A-.2 A-./1 A#.&$ A-.2&

$1.&& 1&.-12.2& (.2$ #.$ .-& .2/.2 A$.1# $.&

A12$(.21

A11(.2-

-.--

$./#

'.' An&"isis de Porentae de error 01.*@ m

..



.

Ta0u"ai$n de "os (omentos de Em%otramiento on 02.@ m NU(ERO 6UELLA!

(O(ENTO! Qgm ENER,I !AP2@@@ !I(PLIFICADO A

DEERROR :!AP:!APENE.<!AP !I(.<!AP

2 $ / 

A/(.11 A1-&.&2 A1(-.#2 A2(/.&(

A$.# A112.(( A1(/.# A2(&.&

A$$./ A&(.2$ A1#.$A2#.&

A(.-# A$.&$ A2.12 A1.$

$1.&# 1&.-1 12.2& (.2$

 # & ( 111

A/21.$ A#-.12 A#/1.1& A($/./ A11-.2A1$&&.2-

A/2.2& A#/.-1 A#/.- A($&.$( A11/.- A1$(2.-1

A$(-.$# A$.$ A#-2. A&(2.2# A11-/.1& A1$$&./-

A-.($ A-.& A-.2 A-./1 A-.$$ A-.2#

#.$ .1.2/.2 /.-$.(

12

A1/&.-

A12.2&

A1(/.($

A-.2$

$.2

Ta0"a '.* An&"isis de Porentae de error 02 m

En la tabla /. se tabula el error "ue se obtiene al *acer uso de una carga puntual en lugar de una carga uniformemente distribuida> estos valores se e8tractaron de las columnas $ 0 / de las tablas /.$ 0 /./ para un anc*o de la escalera de 1.- 0 2.- metros.

Porentae de error en "os (omentos usando arga "inea" + %untua". NU(ERO 6UELLA!

(O(ENTO! Qgm :0 1 mt.< !AP2@@@ ENER,IA  ERROR

(O(ENTO! Qgm :0 2 mt.< !AP2@@@ ENER,IA  ERROR

2

A2.-2

A2.#&

A#.-

A/(.11

A$.#

A(.-#

$

A.21

A./(

A2.$2

A1-&.&2

A112.((

A$.&$

/

A(./&

A(#.$&

A-.($

A1(-.#2

A1(/.#

A2.12



A1/&.&&

A1/(./$

A-.$#

A2(/.&(

A2(&.&

A1.$



A212./2

A212./

A-.1-

A/21.$

A/2.2&

A-.($

#

A2&#.1

A2&#.--

-.-$

A#-.12

A#/.-1

A-.&

&

A$#2.($

A$#2.2

-.11

A#/1.1&

A#/.-

A-.2

(

A/(.&(

A/(.2-

-.1

A($/./

A($&.$(

A-./1

1-

A##.((

A##.-2

-.1#

A11-.2-

A11/.-

A-.$$

11

A(#.21

A(.--

-.1#

A1$&&.2-

A1$(2.-1

A-.2#

12

A&2#.

A&2.1/

-.1#

A1/&.-

A12.2&

A-.2$

Ta0"a '.8 An&"isis de Com%arai$n entre Carga "inea" + Puntua" '.?. O!ER/ACIONE!.

./



.

El m:todo simplificado no puede sustituir al de los elementos finitos debido a "ue sus valores para cual"uier número de *uellas son inferiores a los "ue produce el m:todo de los elementos finitos Dtabla /.$ con lo cual pueden provocar la falla de la estructura. !ara un anc*o de la escalera ma0or o igual a 1.mt. la diferencia de los esfuer5os calculados por el m:todo de los elementos finitos 0 el de la energ3a son relativamente grandes esto se observa en las tablas /./ 0 /.> lo "ue provocar3a un sobredimensionamiento de la estructura> por lo "ue se sugiere usar el E7 el cual nos proporciona seguridad 0 econom3a. +a adopción "ue se utili5a para la distribución de carga Dcarga puntual> proporciona resultados apro8imados a las "ue producir3a una carga distribuida en cada *uella> cu0a diferencia o error /.> por lo "ue se sugiere un entre ambas es despreciable> esto se puede observar en la tabla c'lculo practico 0 útil usar el m:todo de la energ3a con dic*a distribución de cargas considerando los puntos anteriores.

.0



.

,I L OP OT R O ! AREL AC! E E D

I P AC

.

O4E



.

*. ANALI!I!  DI!E4O DE E!CALERA! ORTOPOLI,ONALE! na ve5 efectuado en los cap3tulos precedentes el establecimiento del es"uema estructural> la determinación de las cargas 0 los m:todos de c'lculo de esfuer5os internos para las escaleras ortoA poligonales> nos resta tan solo efectuar un ejemplo de aplicación con el objetivo de mostrar el mecanismo del c'lculo de secciones.

*.1. EE(PLO NU(KRICO. En :ste ejemplo se pretende reali5ar el c'lculo mediante los dos m:todos> adem's> posteriormente se mostrar' el diseBo de =) "ue deba tener la estructura.

*.1.1. Datos Pre"iminares. %iseBar una escalera ortopoligonal de =ormigón )rmado> de dos tramos para una tienda comercial> con los siguientes datosK

.


• • • • • •


.

+aalturadelentrepisoesigualaK $.2-m +a longitud del tramo de la Escalera no deber' ser ma0or aK /.-- m !ara el acabado del piso se utili5ara mosaico X m F $- gm$ +a escalera ser' de uso secundario. +a escalera deber' estar empotrada en sus e8tremos. Se sugiere utili5ar la configuración de dos tramos 0 cuarto de vuelta.

*.1.2. Pre-Dimensionamiento de "a Esa"era Orto%o"igona". Pre-Dimensionamiento de "a Contra;ue""a= %e acuerdo a la tabla 1.2. para escaleras de viviendas> la altura de la contra*uella deber ' encontrarse entre 1# a 1& cm> por lo cual adoptaremos un valor igual aK )ltura de Contra*uellaK * F 1& cm %e acuerdo a la fórmula 1./. presentada en el primer cap3t ulo> obtendremos el número de contra*uellasK 

n=

H 162 cm = /9 h 18 cm Entonces adoptaremos un número de contra*uellas igual a ( para cada tramo.

Pre-Dimensionamiento de "a 6ue""a= %e acuerdo a la fórmula 1.> presentada en el primer cap3tulo> la longitud de la *uella ser' igualK

L=

250 cm

( n + 1 )

=

250 cm

(9 +1 )

= 25 cm

!ero tomando en cuenta "ue e8istir' un descanso en el e8tremo de cada tramo "ue reste la longitud del mismo> adoptaremos un valor para la longitud de la *uella igual aK

L=25 cm !ero verificando las relaciones entre peldaBosK - elaci0n de Seguridad7 L + h= 46 cm En nuestro caso tenemosK A

elaci0n del 9aso Medio7

En nuestro caso tenemosK A

25 cm

+ 18 cm=43 cm < 46 cm

6o O

L +2 h=61 a 65 cm 25 cm

+ ( 2∗18 cm )=61 cm

O

elaci0n de la egla de la Co8odidad7 L− h =12 cm 25 cm

/3

−18 cm=7 cm

6o O



.

Como no se cumplen la relación de la seguridad 0 de la comodidad> es necesario aumentar la longitud de la *uella> para satisfacer las relaciones en su totalidadK !riori5ando el punto de vista de la seguridadK

L= 46 cm −h L= 46 cm −18 cm=28 cm

Dimensionamiento de" An;o de "a Esa"era= %e la tabla 1.. para almacenes se tiene un anc*o de escalera igual aK b < *$3! 8

/eri3iai$n de "a Longitud de" Tramo= Se recomienda "ue el número m'8imo de peldaBos no pase de 2-> en nuestro caso para cada tramo se adoptaran & peldaBos 0 un descanso intermedio> por lo "ue nos encontramos dentro de lo establecido.

Dimensionamiento de" Desanso= +a longitud o profundidad del descanso ser' igual al anc*o de la escalera> por el cuarto de vuelta de giro "ue presenta la escaleraK

S =b =150 cm

Entonces se pro0ectar' una escalera ortoApoligonal de las siguientes dimensionesK

/1



.

Entonces se pro0ectar' una escalera ortoApoligonal de la siguiente forma. E8potra8iento

m 2 1 . 0 = L e

L = 0.28 m

m 8 1 . 0 = h

eh = 0.13 m

Fig. *.1 Esa"era Orto-%o"igona" de un Tramo. ) continuación se muestra un resumen de las dimensiones 0 caracter3sticas calculadasK Espesor de la =uella Espesor de la Contra*uella +ongitud de la =uella

e+ e* +

/2

F -.12 m F -.1$ m F -.2& m



.

)ltura de la Contra*uella )nc*o de la Escalera 6umero de =uellas !eso espec3fico del =ormigón !eso espec3fico del ortero del contraApiso !eso del piso Espesor del contraApiso

* b 2n X=) X= Xm ep

*.1.#. An&"isis de Cargas.  Carga (uerta. !eso propio de una *uellaK

P ' h= L∗ e L∗b∗ γ HA

P ' h=0.28 m∗0.12 m∗1.50 m∗2400 #0 / m

3

P ' h=120.96 #0

!eso propio de una contra*uellaK

P ' c =h∗ eh∗b∗γ HA

P ' c =0.18 m∗0.13 m∗1.50 m∗2400 #0 / m

3

P ' c =84.24 #0

!eso Contra piso en una *uellaK

P c h=e '∗ L∗b∗γ H

P c h=0.02 m∗0.28 m∗1.50 m∗2000 #0 / m P c h=16.80 #0

!eso Contra piso en una contra*uellaK

/,

3

F -.1& m F 1.- m F 1F 2/-- gm$ F 2--- gm$ F $- gm2 F -.-2 m



.

P c c =e '∗h∗b∗γ H

3

P c c =0.02 m∗0.18 m∗1.50 m∗2000 #0 / m P c c =10.80 #0

!eso del piso en una *uellaK

P mh = L∗b∗ γ m 2

P mh =0.28 m∗1.50 m∗30 #0 / m P mh =12.60 #0

!eso del piso en una contra*uellaK

P mc = h∗ b∗ γ m

2

P mc = 0.18 m∗1.50 m∗30 #0 / m P mc = 8.10 #0

!eso ,otal de Carga uertaK

P1% = P 'h + P ' c + P c h + P c c + P m h + P m c P1% = 253.50 #0

Carga /ia.

%e acuerdo a la tabla 1.#. +a S.C.> para escaleras secundarias en viviendas 0 edificios de residencia> tenemosK

/-



.

S.C.. F

250

#0 m

2

Carga viva en una *uellaK

P12 = S .1 .U . ∗b∗L=250

#0 2

m

∗1.50 m∗0.28 m

P12 = 105 #0

Carga Tota"K P= P1% + P 12 =253.50 #0 + 105 #0 P=358.50 #0

*.1.'. !o"ui$n %or e" (Jtodo de "a Energ)a. El número de *uellas en la mitad de la escalera se muestra en la figura .2> 0 es igual a la siguiente e8presiónK

n=

12

=

P P P P

Numero de huellas en la mitad de la luz de la escalera

P

P Ma P

P

Mitad de la luz del vano P

P

P

P P

P

P

Ma

Fig. *.2 Es7uema de argas. Esa"era Ti%o :a< Paso 1< C&"u"o de "os %ar&metros. !ara el caso 9 apartado /.$.2 los par'metros sonK

/.


A== n ,= C=

1


.

n

= −=−D −=− 2 (



12

(−2=n ) −1=(

2 n

2/

1

)

2

1- 1

== =

/. 

( 2+n ( ) 1 − =)2n (1 + ( ) −)=12/

E

11 - 1

n2 2

n1( ) 2 2

) n1 (



( ) 1-) 12

1  1

1

12.

2-.2

!ara ma0or facilidad los par'metros )> 9> C> % 0 E pueden e8traerse de la tabla )1 de acuerdo al número de *uellas. El momento en el centro de la escalera se la calcula por medio de la ecuación /.11 as3K

M-



=

=

9; ( C + D )

( A + , )

I ;: I: ;

I;

%óndeK

=

be;$ 12

y

I:

=

be:$ 12

ConK

@eempla5ando en  nuestros datos> 0 simplificando tenemosK



=

e;$ : e:$ ;

=

-.12$ H-.1& $

-.1$ H-.2&

= -.-

+a carga P "ue actúa en las *uellas para un anc*o de escalera de 1. m fue calculada anteriormente para las mismas caracter3sticas de :ste ejemplo> 0 valeK

9:=1.

= $&. g .

Paso 2< C&"u"o de" momento en e" entro. Entonces el momento en el centro de la escalera valeK

M-

= $&.H -.2&

( 2-.2 + -.-H 1) = $&(.21g H 8 (  + -.-H/ . )

Paso #< C&"u"o de" (omento de Em%otramiento. El momento de empotramiento en los e8tremos se calcula mediante la ecuación /.12> as3K

M ab M ab

= M - − 9;E = $&(.21 − $&.H-.2&H12. −= //

&.$ g H 8



.

El momento ab para este ejemplo> esta tabulado en la tabla /./ para el numero de *uellas igual a 1- "ue coincide con el "ue se obtuvo anteriormente> as3> esta es la manera general para obtener los momentos en una escalera con cual"uier número de *uellas. +as cortantes en los apo0os se obtienen isostati5ando la estructura De"uilibrio> entoncesK

=

1-H p 2

=

$& 2

= 1#(2. g

+os momentos de empotramiento no contribu0en al esfuer5o de cortante 0a "ue estos son de sentido contrario 0 tienen el mismo valor> por lo "ue se contrarrestan. En la figura. $. se muestran las fuer5as de empotramiento> 0 se observa "ue es sim:trica por lo tanto el diagrama de esfuer5os tambi:n ser' sim:trica. M=865.53 k!m

"=1#$2.5 k

M=865.53 k!m

"=1#$2.5 k

Figura *.# Es7uema de Fuer5as en e" Em%otramiento. na ve5 obtenidos los esfuer5os en los apo0os> es necesario representar es"uem'ticamente la variación de los esfuer5os en los diferentes elementos> para este propósito usaremos el diagrama de cuerpo libre de la figura $.2 "ue resulta de *aber seleccionado por el plano de simetr3a de la escalera.

/0



.

&

a rit e m i s e d o n la %

P

M=865.53 k!m

P P P P

' Mo=38$.21 k!m

Figura *.' Diagrama de Cuer%o Li0re. El momento en cual"uier sección de la estructura según los ejes coordenados de la figura $.11 0 para el tipo de carga adoptada esK

Mx

; $; = M−- −9 −x÷  − −9÷x−  + ÷   2   2

9 x−

;

−

2

 

................ 9  x

( 2n − 1) ; 2

÷ 

Se observa "ue para el tipo de carga utili5ada la ecuación del momento es de primer grado lo "ue implica "ue el diagrama debe ser una recta en las *uellas 0 constante en las contra*uellas> esto por no e8istir carga. !ara nuestro caso ejemplo n F  la anterior ecuación se resume enK

Mx

= M−- 9− x÷−  ;2− − 9÷x − −$#( ; ÷ 9−  x−÷ ;− ÷9 22

x

; 2

9 x

; 2

+a variable Y toma los valores desde cero *asta nL9 nótese "ue los t:rminos "ue est'n en par:ntesis representan el bra5o de la fuer5a "ue producir3a un momento en un punto espec3fico> por consiguiente si dic*o termino es negativo debe obviarse de la ecuación del momento> por ejemplo si 8F-> todos los t:rminos entre par:ntesis son negativos por lo tantoK

M x =-

= M - = $&(.21g H 8

Si 8F+> la ecuación del momento "ueda de la siguiente maneraK

Mx

= M−-

M x=;

 

9− ;=

;

÷−

2

M-

9; 2

= $$(.-2 g H 8

/



.

En la tabla .1 se tabulan los momentos internos para diferentes valores de 8 para luego usarlas en el diagrama de momentos.

V

(V :Qg-m<

-

$&(.21

+2

$&(.21

+

$$(.21

1.+

2&&.&$

2+

1&&./

2.+

&&.-#

$+

A2.

$.+

A21$.-#

/+

A/1$.&$

/.+

A1/.(

+

A&./

Ta0"a *.1 Ta0u"ai$n de (omentos.

. representa el %iagrama de omentos en la escalera para el tipo de carga adoptada> +a figura se aclara "ue este diagrama se sim:trico.

)865.5( )(13.83

)62.5

)(13.83

188.(5 )62.5

33$.02 188.(5

38$.21

33$.02

Figura *.* Diagrama de (omentos :Qgm< /



.

+a figura . es el %iagrama de la 7uer5a Cortante.

1(3(.00 1#$2.50 10#5.50 1(3(.00 #1#.00 10#5.50

#1#.00

358.50

Figura *.8. Diagrama de" Es3uer5o Cortante Se observa "ue en las contra*uellas no e8iste ninguna fuer5a de corte> por lo consiguiente> en las *uellas no se transmite ninguna fuer5a a8ial> 0 la fuer5a a8ial en las contra*uellas es igual al valor de la cortante en la *uella "ue es transmitida por medio de un nudo común para ambos elementos 0 es constante a lo largo del elemento. En el elemento de simetr3a solo e8iste momento flector cu0o valor es de $&(.21 Dfigura .> las fuer5as de corte 0 a8ial son nulas Dfigura ..

*.1.*

!OLUCION POR EL (ETODO !I(PLIFICADO.

Paso 1< C&"u"o de" %ar&metro H. El valor de I para un número de *uellas igual a 1- se calcula de la siguiente maneraK n −1

Z

= ∑ i −( n=) i =1

i

2

(

∑

( − ) i 1- i

2

i =1

(

Z

2 = ∑ i ( 1− ) =i (2 − 1) +1-1 −) +( 2 2222 ( −) +( 2 1)− $(+1- ) −$( + /) −1( + /) −

i =1

+& ( 1− ) +& ( 2 −()

1- (

2

Operando la anterior ecuación> resultaK

03

 1- 

 1- 

2

# 1- #

2



.

Z < 5'3 El valor de I puede e8traerse de la tabla )2 de acuerdo al número de *uellas.

Ca"u"o de" (omento de Em%otramiento.

El momento de empotramiento se obtiene usando la ecuación /.$/> entoncesK

M ab

=

9; Z n2

=

$&.H-.2&H&2 1- 2

= &2&.1$ g H 8

Este momento tambi:n esta tabulado en la tabla /./ para el número de *uellas igual a 1-.

ia tr e

%lano de simetria P

im s e d o n la %

Mo

;

P

; P

; P

; ;

'

Mo=828.13 k!m

"=1613.25 k

Figura 5.7. Diagrama de Cuerpo Libre.

El momento en cual"uier sección de la estructura según los ejes coordenados de la figura .# 0 para el tipo de carga adoptada esK

− − −x 9− ( x ) ; −( 9 )x( − 2 ;) ( 9 x) $; 9 x / ; M x −= +M ab 11$.2

01



.

En la tabla .2 se tabulan los momentos para diferentes valores de 8.

Ta0"a *.2 Ta0u"ai$n de (omentos V

(V :Qg-m<

-. + 1.+ 1. + 2.+ 2. + $.+ $. + /.+ /. + .+

A&2&.1$ A-2.2& A$#./2 A$2(.&2 A2.11--.$& 22.& $-1.1/ $#./2 /-1. /2.1

+a figura .& representa el diagrama de momentos en la escalera para el tipo de carga adoptada.

%lano de simetria

1#$2.50

1(3(.00

10#5.50

#1#.00 828.13 3#6.(2

Figura 5.8 Diagrama de ome!"o# $%g&m' Con el ejemplo e8puesto> se trato de enfocar el uso de las ecuaciones desarrolladas para ambos m:todos> 0 como se vio es de f'cil utili5ación pudiendo programarse en calculadoras de bolsillo. )dem's la adopción de carga "ue se utili5o para desarrollar el m:todo de la energ3a proporciona

02



.

resultados apro8imados a los "ue producir3a una carga distribuida> cu0os errores son despreciables.

*.1.8. Diseño de "a Esa"era Orto-%o"igona". Se diseBar' la escalera ortoApoligonal> cu0o an'lisis se reali5ó en el anteriormente> su diseBo

debe cumplir los siguientes re"uisitosK omento en el Centro

(@ F

$&(.21 gAm.

omento en el )po0o

(a0 F

&.$ gAm.

Cortante en el )po0o

W

1#(2. g.

@esistencia a Compresión del =ormigón

3X  F

21- gcm 2.

Esfuer5o de 7luencia del )cero

3+

F

/2-- gcm 2.

@ecubrimiento del )cero

r

F

2.-cm

F

Pera"te de "a sei$n. d =13 cm− 2 cm d =11 cm

Ca"u"o de "a Cuant)a m)nima de Aero. +a cuant3a m3nima de acero para placas de *ormigón esK

&m(n =

14

3!

D!n"e:

&m(n

 )u'n&' *ni*' "e ')e(!

3!

2

 e%=ue(! "e uen)i' "el ')e(!  -233 g)* .

3c

 (e%i%&en)i' ' )!*(e%i5n "el ?!(*ig5n  213 g)*2

0,



.

Ree*l''n"! 9'l!(e% &ene*!%:

&m(n =0.0033 P'(' el e%e%!( "e l' e%)'le(' # &!*'n"! un' @'%e "e ='' uni&'(i' "e 'nli%i% igu'l ' 133 )*6 El (e' "e ')e(! *ni*' %e(:

A m(n =( 100 cm )∗ e ¿ &m(n A m(n =( 100 cm )∗( 13 cm )∗(0.033 )=3.667 c m 2

Calculo %e la Cuant&a m'ima %e !cero. L' )u'n&' @'l'n)e'"' "e ')e(! e%& "'"' !(:

&b= 0.85 4 1

3 1 3

!

6000 6000

+3 !

D!n"e:

41

 36.

'('

3 c < 280 #0 2 cm

Ree*l''n"! 9'l!(e% &ene*!%:

&b= 0.0213 En&!n)e% l' )u'n&' *7i*' %e(:

& max =0.5 &b= 0.0106 Y el (e' "e ')e(! *7i*' '(' l' %e))i5n %e(:

A max =100∗e∗& max =11.668c m

2

Den&(! "e e%&!% l*i&e% "e@en en)!n&('(%e l'% '(*'"u('% "e l'% l')'%6

Ca"u"o de "a Armadura en e" Centro.

0-



.

P'(' el )l)ul! "e '(*'"u(' %e &!*'(' el *!*en&! *'#!( en 9'l!( '@%!lu&!8 el *!*en&! *'#!( (e$uie(e un (e' "e ')e(! "e:

% 0= 389.21 #0 −m

Calculo del par'metro

5=

5 K #0

210

3 c 1.18 3 !

cm

=

2

=0.0424

#0

1.18 4200

2

cm Calculo de la cuant3aK

√ (

%6

2

&= 5 − 5 −

∅

25

2 bd 3

!

) &= 0.00086

+uego el 'rea de acero esK

A 7 =b d & A =( 100 cm ) ( 11 cm ) ( 0.00086 ) 7

A 7 =0.946 cm

Ca"u"o de "a Armadura en e" Em%otramiento. % ab= 865.53 #0 −m

5=

#0

210

3 c 1.18 3 !

cm

=

1.18 4200

√ (

%6

2

&= 5 − 5 −

∅

25

2 bd 3

!

2

#0 2 cm

=0.0424

) 0.

2



.

& = 0.00194 +uego el 'rea de acero esK

A 7 =b d & A 7 =( 100 cm ) ( 11 cm ) ( 0.00194) A 7 =2.13 cm

2

Dis%osii$n de "a Armadura. !ara la disposición de armadura se usaran estribos *ori5ontales 0 verticales> esto para facilitar su construcción 0 colocación> por tal motivo se distribuir' con la ma0or 'rea re"ueridaK !eroK 2

A 7 = 2.13 cm < A 7m(n = 3.667 cm

2

Como el 'rea calculada es menor> se tomara el 'rea m3nimaK 2

A 7 = 3.667 cm / m Separaci0n7 sando estribos deK ∅ 10

nba""a7=

nba""a7=

S=

2

mm8A b= 0.79 cm A7 Ab 3.667 cm 0.79 cm

2

2

/ 5 ba""a7

b −(2∗" )−nba""a7 ( ∅b ) n ba""a7− 1

S=

100 cm

−( 2∗2 cm ) −(5∗1.0 cm ) 5−1 0/



.

S =22.75 cm Se recomienda "ue la separación m'8ima entre barras de la armadura principal no sea ma0or a 2 veces el espesor de la escalera o ma0or a 2- cm. ∅ 10

!or lo anterior recomendación se recalculara para  barras

S=

100 cm

mm

K

−( 2∗2 cm ) −(6∗1.0 cm) 6 −1

S =18 cm Entonces la distribución de acero principal ser'K 3.667 cm

2

/m

∅ 10

/eri3iai$n a" Corte. +a contribución del *ormigón al corte esK

∅

2 c =∅

[ ] √3 .c 6

bd

210 ∅

2 c =0.90

[

√

#0 c m2

6

]

( 100 cm ) ( 11 cm ) =1992.56 #0

+a cortante de c'lculo esK

2 U =1.6∗Q 2 U =1.6∗1792.50 #0 2 U =2125.2 #0 !ara el siguiente casoK ∅

2 c =996.282 #0 <2 U =2125.20 #0 2

00

mm c / 18 cm



.

+a sección no necesita refuer5o para corte. El plano de las armaduras de refuer5o se encuentra en la sección de )ne8os.

*.2. DI!PO!ICIN DE AR(ADURA! EN LA! E!CALERA! ORTOPOLI,ONALE! Como se dijo anteriormente> las armaduras se dispuso en forma constante a lo largo de cada tramo 0 fueron obtenidas de la sección critica m's desfavorable de estos> cierto "ue los esfuer5os producidos en la escalera var3an de un punto a otro> lo "ue induce a reali5ar un c'lculo de secciones m's estrec*o> dando como resultado diferentes armaduras en diferentes secciones pero esto provocar3a dificultarle la construcción al armador 0 aumentar la mano de obra por tener diferentes lugares> por consiguiente en la pr'ctica no es aconsejable reali5ar un diseBo acad:mico.

*.2.1. Formas de Re3or5ar "as Esa"eras Orto%o"igona"es.

ig. *.+ "isposici,n %e !rma%ura en -ra

L' '(*'"u(' )!n&inu' J'(*'"u(' (in)i'lK "e@e "i*en%i!n'(%e '(' '@%!(@e( el *!*en&! e)&!( )'l)ul'"!6 En l'% !n'% )!*(i*i"'% %e "e@e )!l!)'( un @'! !()en&'e "e (e=ue(! '(' e9i&'( l'% &('))i!ne% $ue e%&' ue"' (!"u)i( en el ?!(*ig5n8 !)'%i!n'n"! un "e%)'%)'('*ien&! "el *i%*! )u'n"! l'% "el &('))i!ne% ?!(*ig5n6 (!"u)i"'% !( "i)?' '(*'"u(' %!@(e'%'n l' (e%i%&en)i' ' l' &('))i5n P'(' e9i&'( )!*li)')i!ne% en el )l)ul!8 %e (e)!*ien"' &!*'( el e%e%!( "e l!% el"'!% igu'l 'l "e l'% )!n&('?uell'%6

0



.

*.2.1. Formas de Re3or5ar "as Esa"eras Orto%o"igona"es Armado No 1

ig. *./0 -pci,n / %e "isposici,n %e !rma%ura El armado 1 permite a la escalera comportarse como una membrana fle8ible 0 segura> puesto "ue cada *ierro corrido atraviesa por lo menos $ elementos de la escalera> 0 se ubican de forma tal "ue en los nudos no se provocan articulaciones> sin embargo> e8iste muc*o corte de *ierro> lo cual produce muc*o desperdicio.

Armado No 2

0



.

ig. *.// -pci,n 1 %e "isposici,n %e !rma%ura El armado 2 al igual "ue el armado 1 proporciona a la escalera orto polig onal fle8ibilidad 0> puesto "ue son *ierros corridos el desperdicio del mismo es menor> en comparación al armado anterior> la forma en "ue se coloca el *ierro corrido permi te "ue en los nudos no se formen articulaciones.

Armado No #

ig. *./1 -pci,n 2 %e "isposici,n %e !rma%ura El '(*'"! - %e (e%en&' )!n ?ie((!% )!((i"!% e(!8 )!l!)'"!% "e *'ne(' &'l $ue en l!% nu"!% %e 9'n =!(*'n"! '(&i)ul')i!ne%8 !( l! &'n&! n! %e (e)!*ien"' e%&e '(*'"!6

!rma%o No 3

3



.

ig. *./2 -pci,n 3 %e "isposici,n %e !rma%ura El '(*'"! , %e (e%en&' )!*! un' e%&(u)&u(' *u# (gi"'8 ue%&! $ue )'"' ele*en&! %e '(*' in"i9i"u'l*en&e )!*! %i =ue(' un' 9ig'8 %in e*@'(g!8 ue"e u&ili'(%e8 'un$ue n! (e(e%en&' l! (e'li'"! en el 'nli%i% e%&(u)&u('l6

1



.

2



.

Fig. *.1' O%i$n Esogida %ara Dis%osii$n de Armadura +a disposición de la armadura es las escaleras orto poligonales> pueden ser de variadas formas según el criterio del ingeniero> pero una forma de disponer la armadura en la estructura es usar estribos *ori5ontales en las *uellas 0 verticales en las contra*uellas como se muestra en la figura del armado 6o $> esto por ser pe"ueBos los elementos 0 as3 facilitar su construcción al armador.

*.#. ENCOFRADO PARA E!CALERA! ORTOPOLI,ONALE! El encofrado de una escalera ortopoligonal no re"uiere de una t:cnica complicada ni ofrece ma0ores inconvenientes. )po0ado en dos tableros laterales se constru0en el fondo 0 sobre los mismos tableros se marcan las *uellas. +as tablas deben tener las alturas 0 los anc*os adecuados para evitar juntas intermedias> las aristas c*aflanadas o redondeadas para evitar la rotura de los cantos> se consiguen colocando elementos como los indicados en la figura siguienteK +as armaduras se preparan para la *uella 0 una contra*uella o en forma continua> en el primer caso se unir'n entre si por medio de soldadura o amarres.

,



.

El molde se debe mojar totalmente> como es usual> antes de verter el *ormigón> los escalones se van llenando progresivamente sin alcan5ar el l3mite superior de la *uella para dejar espacio para la siembra del terra5o adicional "ue se *ace posteriormente.

,odo el *ormigón se debe apisionar con cuidado para evitar "ue "ueden cavidades 0 se debe mantener cubierto 0 *úmedo cinco d3as por lo menos. ) los 1/ d3as se puede desencofrar> no debe *aber manifestación de grietas> ni de flec*as e8cesivas. %espu:s de los 2& d3as se puede comen5ar el pulimento de la escalera.

Según las recomendaciones anteriores 0 aplicando a nuestro ejercicio propuesto el encofrado para el primer tramo de la escalera ser' como se muestra en la siguiente figuraK

-



.

Fig. *.1* Eno3rado %ara e" Primer Tramo de Esa"era.

.



.

R la disposición del encofrado para el segundo tramo ser'> como se muestra en la siguiente figuraK

Fig. *.18 Eno3rado %ara e" !egundo Tramo de Esa"era.

/



.

CONCLU!IONE! •

+os valores de los esfuer5os proporcionados por el m:todo de la Energ3a de %eformación son apro8imadamente iguales a los "ue arroja el de los elementos finitos para un anc*o de la escalera *asta un metro. !or lo tanto para un c'lculo practico 0 útil se puede emplear las ecuaciones deducidas para el m:todo de la Energ3a para escaleras "ue tengan un anc*o no ma0or a un metro.

•

Como las formulas dependen de variables perfectamente definidas> es f'cil la aplicación mediante un sistema de computación.

•

!ara las Escaleras Ortopoligonales con un anc*o ma0or a un metro su an'lisis debe ser reali5ado en su forma continua> es decir> un estudio real de su comportamiento lo "ue se logra aplicando el m:todo de los elementos finitos formulado por elementos rectangulares> esto implica un c'lculo riguroso debido a "ue precisa la integración de las ecuaciones diferenciales "ue e8presan e"uilibrio de un elemento diferencial gen:rico de las mismas conteniendo un alto grado matem'tico> sin emba rgo *o0 en d3a con la a0uda de las comp utadoras esto no es ningún problema> pudiendo reali5arse programas "ue faciliten el c'lculo o la aplicación de soft?are certificados como S)!2---.

•

En lo posible los espesores deben ser constantes> 0a "ue una variación de la inercia complica el proceso de c'lculo.

•

%ada la vistosidad de su forma 0 las facilidades est:ticas de la estructura> se recomienda su aplicación en edificaciones modernas.

•

+a disposición de armadura "ue se recomienda es la del tipo de la figura .1$> DOpción /> 0a "ue corresponde a estribos *ori5ontales 0 verticales> por ser un tipo de f'cil colocación> 0 no dificulta al constructor en construirlas.

•

El recubrimiento ser' como m3nimo 2 cm. lo cual permite cubrir el acero cu0o di'metro no debe ser ma0or a 12mm> un di'metro ma0or a este> es mu0 grueso 0 complicado de doblar> lo "ue re"uiere m's esfuer5o 0 ma0or tiempo de ejecución.

•

Se recomienda usar un revestimiento de pe"ueBo espesor como> para "ue la estructura sea menos pesada 0 por consiguiente menos gruesa.

0



.

RECO(ENDACIONE! •

!or ra5ones de econom3a 0 seguridad no es pr'ctico calcular los momen tos por el m:todo simplificado.

•

=o0 en d3a con la tecnolog3a avan5ada 0a no es necesario desarrollar> ni de usar los m:todos energ:ticos para anali5ar una determinada estructura> ni de *acerse problema en la resolución de la ecuación de la el'stica> pero si *a0 "ue tener conocimiento de los conceptos para poder comprender la formulación de los elementos finitos "ue est' 3ntimamente ligada con el principio del trabajo virtual . +o mencionado anteriormente es necesario> 0a "ue todos los programas estructurales conocidos utili5an dic*o m:todo 0 es importante para definir los datos 0 obtener mediante ellos buenos resultados. +a interpretación de resultados es mu0 importante para la evaluación de la capacidad resistente de la estructura> 0 por ende lograr un diseBo eficiente.

•

Se recomienda disponer las armaduras en forma constante a lo largo de cada tramo obteni:ndolas de la sección critica m's desfavorable de estos> es cierto "ue los esfuer5os producidos en la escalera var3an de un punto a otro> lo "ue induce a reali5ar un c'lculo de secciones m's estrec*o> dando como resultado diferentes armaduras en diferentes secciones pero esto provocar3a dificultarle la construcción al armador 0 aumentar la mano de obra por tener diferentes lugares> por consiguiente en la pr'ctica no es aconsejable reali5ar un diseBo acad:mico.

•

Se recomienda no utili5ar elementos triangulares Dtres nodos para la discreti5ación> aun"ue la formulación de rigide5 del elemento de tres nodos es sencillo 0 ra5onableT sin embargo> la recuperación de tensión es pobre> es decir> es un elemento de precisión limitada lo "ue obliga a la utili5ación de mallas mu0 tupidas. El elemento triangular solo se recomienda para las transiciones.





.

ILIO,RAFIA 1.

7ern'nde5 C*ea Carlos )ntonio> ANALI!I!  DI!E4O DE E!CALERA!> +ima !erú.

2.

Orias Grass arco )ntonio> ANALI!I! DE E!CALERA! ORTOPOLI,ONALE!> !ro0ecto de Grado ..@.!.S.7.Y.C*> SucreA9olivia> 2--2.

$.

+eón C*avarr3a Julio )lejandro>

ANALI!I! DE E!CALERA! ORTOPOLI,ONALE! PRE!ENTANDO UN !I(PLIFICACION AL (ETODO DE RI,IDEH > ,esis de Gra do> Guatemala>

/.

1((.

)C4 $1 &S@A-.

:ACI #1!-1'<

REWUI!ITO! DE RE,LA(ENTO PARA CONCRETO E!TRUCTURAL + omentario :ACI #1!R-1'<. In3ormado %or e" omitJ ACI#1 .

Estados nidos de )m:ricaK

4nternational !ublication Series> 2-1/.

.

Calavera> Jo s:. PROECTO EspaBaK 46,E)C> 1(((.

 CLCULO DE E!TRUCTURA! DE 6OR(I,N-TO(O I .

.

6ilson> )rt*ur. DI!E4O DE E!TRUCTURA! DE CONCRETO. 12aEd. ColombiaK cgra?A=ill 4nteramericana.

#.

orales Calderón Estuardo @e n:>

&.

=arr0 !arer> :8ico 1(#/.

(.

cCormac Elling> ANALI!I! DE E!TRUCTURA!9 )lfaomega> 1ra edición> e8ico.

CRITERIO DE ANLI!I!9 DI!E4O9 EECUCIN  EE(PLO! DE APLICACIN !ORE !I!TE(A! DE E!CALERA! DE CONCRETO AR(ADO9 ,rabajo de Graduación> Guatemala> 2-1-. DI!E4O !I(PLIFICADO DE CONCRETO REFORHADO9 Editorial +imusa>

1-. .R.=. 9angas* Z ,. 9angas*> !TAIRCA!E!9 9alema@otterdam9roofield> 1(((.



!trutura" Ana"+sis and Design9 ).).

Escaleras Ortopoligonales Presentacion

Recommend Documents