Equation de La Physique Mathématique

Equation de la physique la  physique mathématique (résumé) (résumé) 1. Equation Equation d ondes ondes monodimen monodimensionne sionnelle lle (équation (équation de corde corde vibrante) On s’intéresse à l’équation l’équation des ondes 1D posée posée sur R tout entier  L équation homogène avec conditions initiales homogène

∂ ²u ∂ t ²  -

c²

 ∂ ² u ∂x²

= 0

t !0 " # R

$t pour les conditions initiales

∂u  ( x , 0)= ψ ( x ) , ∂ t 

%&" 0'= ( &"'

&" t'

On utilise le changement de varia)les trans.orme en

∂²u ∂ξ∂η =

"#R

 &* +' ,= &" - ct "  ct' qui

↦

0

$n utilisant les conditions initiales on arrive a la /olution u du pro)lème de auch donnée par la .ormule de d’2lem)ert , 1

u&" t'=



2

1

 3( &"  ct'  ( &" - ct'4 

 x + ct 

∫ ψ ( y ) dy .

2 c  x − ct 

L équation non homogène avec conditions initiales homogène

∂ ²u ∂ t ²  -

c²

 ∂ ² u ∂x²

= .

t !0 " # R

$t pour les conditions initiales

%&" 0'= ( &"'

∂u  ( x , 0)= ψ ( x ) , ∂ t 

"#R

 On %tilisant les conditions initiales on arrive a la /olution u&" t' du pro)lème 5 1

u&" t'= 1

2

1

 3( &"  ct'  ( &" - ct'4 

 x + ct 

∫ ψ ( y) dy .

2 c  x − ct 



 x + c ( t + τ )

∫

2 c  x − c ( t + τ )

f  ( y , τ ) dydτ .

 6ro)lème mi"te avec /éparation des varia)les et séries de 7O%R8$R •

6ro)lème mi"te homogène

/oit l équation d ondes suivante

∂ ²u ∂ t ²  -

c²

 ∂ ² u ∂x²

= 0

t !0 " # R

pour les conditions initiales

∂u  ( x , 0)= ψ ( x ) , ∂ t 

%&" 0'= ( &"'

"#R

$t pour les conditions .rontières suivantes

%&0 t'= 0 

%&l t'= 0 

La séparation des varia)les consiste à rechercher la solution u&" t' prendraient la .orme

u&" t' = 9&t' :;&"'

t ! 0 " # &0 l ':

$n in
 9’’&t' :;&"'= ;’’&"':9&t' écessairement on a alors

T ’ ’ ( t )  X ’ ’ ( x ) = =− λ ² c ² T ( t )  X ( x ) 1

;&"'=  Acos λx + B sin λx

;&0'=0>2=0 ;&l'=  λ =

0>

nπ  l

 9n&t'= n  cnπ  x +¿ Dn l

cos

sin

 cnπ  x l

%n&" t'=

cnπ  x l  cnπ  C n cos x + D n sin ¿ . l

¿ ¿

∞

∑= ¿ n

1

2

n=

l

∫ l 0

 n π  φ ( x ) . sin   x . d x l

•

l

 n π  ψ ( x ) . sin   x . d x ∫ c n π  l 1

Dn=

0

6ro)lème mi"te non homogène

/oit le pro)lème mi"te suivant

∂ ²u ∂ t ²  -

 6remier cas ∂ ²u ∂ t ²  -

c²

c²

 ∂ ² u ∂x²

= .

t !0 " # R

.=.&"'  ∂ ² u ∂x²

= .&"'

t !0 " # R

6our les conditions initiales

∂u  ( x , 0)= ψ ( x ) , ∂ t 

%&" 0'= ( &"'

"#R

$t pour les conditions .rontières suivantes %&0 t'= 0 

%&l t'= 0 

On cherche la solution de cette équation sous .orme

u&" t' = ?&" t'@&"'

t ! 0 " # &0 l':

$n in
∂²ν ∂ t ²  On trouve la .onction   @&"' pour que conditions suivantes

c²

 ∂ ² ν ∂ x ²  = @A&"' .&"'

@A&"' .&"' =0 et qui satis.ait les

@ &0'= 0 

@ &l'= 0 

6uis on cherche la solution de l équation suivante

∂²ν ∂ t ²  -

c²

 ∂ ² ν ∂x²

=0

t !0 " #

R 6our les conditions initiales

ν  &" 0'= ( &"'- @ &"' $t pour les conditions .rontières suivantes

∂ν  ( x , 0 )=ψ ( x ) , ∂ t 

"#R

ν  &0 t'= 0 

ν  &l t'= 0 

 deu"ième cas .= .&"t' ∂ ²u ∂ t ²  -

c²

 ∂ ² u ∂x²

= .&"t'

t !0 " # R

6our les conditions initiales

∂u  ( x , 0)= ψ ( x ) , ∂ t 

%&" 0'= ( &"'

"#R

$t pour les conditions .rontières suivantes

%&0 t'= 0 

%&l t'= 0 

/oit le changement de varia)les ∞

%n&" t'=

 nπ  U n ( t ) . sin x ∑ l =

n

1

∞

7n&"t'=

 nπ   n ( t ) sin x ∑ l =

n

1

(  )

2

Un

On o)tient

 n ( t )

+ nπ  U n ( t )= n ( t )   avec l

l

 nπ  f  ( x , t ) . sin   x . d x ∫ l l

2

=

! ! ( t )

0

/i

 n ( t )

=a

 n ( t )

=   "cos#x 

%p&" t'= 2B:t : %p&" t' = 2

cos x

:  n ( t )

#x = $ 

 λx %p&" t' = A $ :

+ B sin x

2. L'équation de la chaleur: cas de la dimension 1. ous avons le pro)lème dC$D6 suivant,

∂ ²u ∂ t   -

c²

 ∂ ² u ∂ x ²  = 0 ou

t !0

u = u&" t'

"#R 6our lequel les conditions à la .rontière sont u & l t' = 0

u &0 t' = 0

pour tout t

%0

$t la condition initiale est u &" 0' = ( &"'

pour tout

0&x &

 l

/i nous su)stituons une telle solution u&" t' = ;&"'9&t' dans l’équation nous o)tenons

 9’&t' :;&"'= ;’’&"':9&t' écessairement on a alors

T ’ ( t )  X ’ ’ ( x )  = =− λ ² c ² T ( t )  X ( x ) 1

;&"'=  Acos λx + B sin λx

;&0'=0>2=0 ;&l'= 0 >

 λ =

nπ  l

 9n&t'= n −( nπc ) ² t 

$

l

∞

%n&" t'=

−( nπc ) ² t 

C n$ ∑ =

n

1

l

sin

 nπ  x : l

Ou

n=

l

 nπ  φ ( x ) . sin   x.dx ∫ l l

2

0