Ensayo UC Septiembre 2

PREUNIVERSITARIO UC ENSAYO PSU

PRUEBA DE MATEMÁTICA INSTRUCCIONES

Forma Masivo 115

1.-

Esta prueba consta de 80 preguntas. Cada pregunta tiene 5 opciones, señaladas con las letras A; B; C; D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2.-

Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.

3.-

Las respuestas a las preguntas se marcan en la hoja de respuestas que se le ha entregado. Complete todos los datos pedidos, de acuerdo con las instrucciones contenidas en esa hoja. Se le dará tiempo para ello antes de comenzar la prueba.

4.-

Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz grafito N°2 o portaminas HB.

5.-

Lea atentamente las instrucciones específicas para responder las preguntas N°74 a N°80, que se encuentran a continuación de la pregunta N°73. ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS.

6.-

No se descontarán del puntaje las preguntas erróneas.

7.-

Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar oportunamente sus respuestas a la hoja, ya que NO habrá tiempo extra para ello. Tenga presente que se considerarán para la evaluación EXCLUSIVAMENTE las respuestas marcadas en dicha hoja.

8.-

Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba en ella solamente los datos pedidos y las respuestas.

9.-

Evite borrar para no deteriorar la hoja. Si lo hace, límpiela de los residuos de goma.

10.-

Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque ESTOS SON DE SU EXCLUSIVA RESPONSABILIDAD. Cualquier omisión o error en ellos impedirá que se entreguen los resultados.

11.-

A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.

12.- Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.

DECLARACIÓN: Estoy en conocimiento de que el presente material es propiedad exclusiva de la Pontificia Universidad Católica de Chile y que está prohibida su reproducción parcial o total.

.

MATEMÁTICA

.

–

FIRMA

ENSAYO

Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.

1

PREUNIVERSITARIO UC INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS

1. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios. 2. Las figuras que aparecen en la prueba son solo indicativas. 3. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares. 4. Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras son equiprobables de salir.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

< > ≤ ≥ ∢

es menor que es mayor que es menor o igual a es mayor o igual a ángulo recto ángulo

≅ ~ ⊥ ≠ // ∈

es congruente con es semejante con es perpendicular a es dist int o de es paralelo a pertenece a

log φ

log aritmo en base 10 conjunto vacío

AB x

trazo AB valor absoluto de x

∪ ∩

unión de conjuntos intersección de conjuntos

x! Ac

factorial de x complemento del conjunto A

u

vector u

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2

PREUNIVERSITARIO UC 1.

(0,5)−1 0, 9

A)

B) C) D) E)

2.

+

0, 99 = 5−1

26 50 7 93 18 7 − 10 2

¿Cuál de las siguientes aseveraciones es FALSA? A)

Todo número entero es racional.

B)

Todo número natural posee sucesor.

C)

Todo número entero posee antecesor.

D)

Todo número natural tiene antecesor.

E)

Los números reales corresponden a la unión de los números racionales e irracionales.

(n+ 1)

2

3.

Si n = 3 , entonces el valor de

A)

2,66

B)

1,33

C)

2,67

D)

1,34

E)

2,65

MATEMÁTICA

6

truncado a la centésima es

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3


Si a es un número real positivo, b es el opuesto de a y c es el recíproco de b, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)

c ( a − b) = 0

II)

(a + b)

3

=1

III) ac + 1 + a + b = 0 A) B) C) D) E)

5.

Solo Solo Solo Solo Solo

I II III I y III II y III

Al ordenar en forma creciente los números a = 4 7 , b = 3 y c = 3 5 se obtiene A) B) C) D) E)

6.

a, b, c a, c, b b, c, a c, a, b b, a, c

2 1 de ellos no hace deporte, juega 5 6 fútbol y los 26 restantes juegan tenis. ¿Cuál es el doble de estudiantes que tiene el grupo? En un grupo de estudiantes,

A) B) C) D) E)

520 260 240 120 60

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ENSAYO


4


Dada la expresión

( −1) (

n n +1) + 2n

con n un número natural. ¿Cuál(es) de

los siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Si n es par, entonces la expresión es positiva. II) Si n es impar, entonces la expresión es positiva. III) Si n es divisor de 12, entonces la expresión es cero. A) B) C) D) E)

8.

9.

Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III

Si el precio de un artículo es $ 800.000, el cual se aumenta en su cuarta parte y este nuevo precio se disminuye en su cuarta parte, entonces el precio final, en pesos, es 450 ⋅ 103

A) B)

60 ⋅ 104

C)

0,1 ⋅ 107

D)

0,75 ⋅ 105

E)

7,5 ⋅ 105

Dado un número natural n cualquiera, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) siempre divisible(s) por 2? I) n2 + n + 2 II) n + 4 III) n3 − n

A) B) C) D) E)

Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III.

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5


Si 9 amigos se dividen en partes iguales 67 kg de azúcar, pero aproximan el valor obtenido a la décima por truncamiento y llaman M a este número, ¿cuál es la diferencia entre la cantidad inicial a repartir y 9·M, en gramos? A) B) C) D) E)

11.

Sea z el complejo 1 + i , donde i es la unidad imaginaria. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a un número imaginario puro? A)

z i

B)

z2 ⋅ i

C)

z

D) E)

12.

0,4 400 40 0 0,04

z z

(z ⋅ z) i

Si a es un número racional distinto de cero, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones siempre representa(n) un número racional? I) II) III) A) B) C) D) E)


MATEMÁTICA

a3 1

a 2a

I III I y II I y III II y III

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6


14.

De acuerdo a los estudios científicos, la masa de un electrón es aproximadamente 0, 000091083 ⋅ 10−23 gramos. Este valor, en kilogramos, expresado en notación científica es A)

9,1083 ⋅ 10−31

B)

9,1083 ⋅ 10−30

C)

9,1083 ⋅ 10−29

D)

9,1083 ⋅ 10−28

E)

9,1083 ⋅ 10−27

Sea n un número entero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

A) B) C) D) E)

15.

I)

(5

II) III)

5−n es siempre positivo. 5n es siempre divisible por 5.


n

)(

)

+ 1 5n − 1 es siempre un número par.

I II III I y II II y III

El valor de

(

)

13 − 4 3 ⋅ 1 + 2 3 es

A) –11 B) 11 C) 12 D)

5 3

E)

22 3 − 11

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7


17.

¿Cuál de las siguientes expresiones NO representa la unidad? A)

log (5 ) + log (2 )

B)

log ( 40 ) − 2 log (2 )

C)

 1  − log    10 

D)

log (100 ) − 1

E)

log (10 ) ⋅ log (1)

Se planea construir un edificio de una cierta cantidad de pisos. Para ello se dispone de 80.000 gramos de mezcla para concreto. En el primer piso del edificio se usan P veces Q kilos de tal mezcla. ¿Cuánto de la mezcla restante, en kilos, se debe usar para que, luego de terminado el segundo piso del edificio, queden solo 10 kilos del total de la mezcla guardada? A) B) C) D) E)

18.

70PQ 70 − PQ PQ − 70 PQ − 70.000 PQ 70 − 1.000

Se compraron A artículos en $ B. Si de los artículos comprados, se B−C pagó $ C al contado en la primera cuota, entonces, la expresión A puede ser interpretada como A) B) C) D) E)

el dinero que se queda debiendo. lo pagado por cada artículo. lo que se queda debiendo por cada artículo. lo que se paga en total. ninguna de las afirmaciones anteriores.

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8


−1

x 1  x  + − 1 : 2 Para x ≠ ±1 , el resultado de  es igual a x +1 x +1 x −1  A)

B)

C)

20.

x2 − 1 x2 − 1

(x

2

+1

)

(x

2

+1

2

)

2

x2 − 1

D)

x +1 x −1

E)

x2 + 1

Dado que 4x + 8 = 2y + 8 , ¿en cuál(es) de las siguientes opciones se presenta una afirmación que es siempre verdadera? I)

Si

x =2 a

e

y = 4 , entonces a = b . b

II)

Si

x 1 = c 2

e

y = 1 , entonces c ≠ d . d

III) Si

x =2 e

e

y e 1 = 1 , entonces = . f f 2

A)

Solo en I

B)

Solo en II

C)

Solo en I y en III

D)

Solo en II y en III

E)

En ninguna de ellas.

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9


¿Cuál de las siguientes alternativas presenta una situación que se resuelve mediante un sistema de ecuaciones lineales? A)

La suma de dos números es 20 y la suma de sus cuadrados es 15.

B)

El perímetro de un rectángulo es igual a 100 cm y su área es igual a 50 cm2 . 1 5 La suma de dos números es y la suma de sus recíprocos es . 2 8 Dos números están en la razón 2 : 3 y el número mayor menos el número menor es igual a 30.

C) D)

E)

22.

Los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 5 : 3 y su superficie mide 120 cm2 .

Sean x e y números enteros positivos. De acuerdo a ello, ¿cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones tiene solución? A)

B)

C)

D)

E)

2x + y = x−y

9

= 15

2x + y = 9 x−y = 3 2x + y = 1 x−y

= 0

2x + y = −1 x−y = 1 2x + y = 0 x−y

MATEMÁTICA

= 0

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10


Si una ecuación cuadrática, de incógnita x, tiene por raíces a los números x1 y x2 , ¿qué alternativa relaciona correctamente las raíces de ella y la incógnita?

24.

A)

x2 + ( x1 − x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0

B)

x2 − ( x1 − x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0

C)

x2 + ( x1 + x2 ) x − x1 ⋅ x2 = 0

D)

x2 − ( x1 − x2 ) x − x1 ⋅ x2 = 0

E)

x2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0

Si x1 , x2 y x3 son las soluciones de la ecuación cúbica x3 − 1 = 0 , donde x1 es un número real, entonces es incorrecto el afirmar que A)

x2 = x3

B)

x22 + x2 + 1 = x32 + x3 + 1 = 0

C)

x13 = ( −1)

D) E)

25.

2n + 2

, donde n es un número entero positivo.

x2 = x1 x3 x1 + x2 + x3 = 0 −

La inecuación (1 − x ) ( x + 3) ≥ − ( x − 2 ) es equivalente a 2

A)

6 ≤ 7x

B)

6x ≤ 7

C)

6 ≥ 7x

D)

6x ≥ 7

E)

−6 ≤ 7x

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11


Si el doble del cuadrado de la diferencia entre un número real positivo y tres es igual al triple del cuadrado del mismo número aumentado en 1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a tal número? I)

Si x es el número, entonces la ecuación que permite resolver el problema es x2 + 12x − 19 = 0 .

II)

El número es irracional.

III) El número es menor que 1.

A) B) C) D) E)

27.

Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III Ninguna de ellas es verdadera.

Un adivino plantea el siguiente desafío: “el triple de las ovejas de mi rebaño menos una es mayor al número de ovejas que tengo, más dos, pero la mitad de ellas es a lo más la cuarta parte de la ovejas, más tres”. Si una persona aceptó el desafío del adivino y respondió correctamente la pregunta, entonces tal persona afirmó que el adivino tiene A)

más de una oveja, pero menos de 12.

B)

más de dos ovejas, pero menos de 14.

C)

entre dos y 13 ovejas.

D)

más de una oveja pero no más de 12.

E)

más de dos ovejas pero siempre menos de 10 ovejas.

MATEMÁTICA

ENSAYO


12


Siendo a y b números reales cualquiera. ¿Cuál(es) de las siguientes desigualdades es (son) siempre verdadera(s)?

29.

A)

Solo I

B)

Solo I y II

C)

Solo I y III

D)

Solo II y III

E)

I, II y III

I)

a2 + b2 ≥ ab 2

II)

a2 ≥ 2a − 1

III)

(1 + a)

2

≥ 1 + 2a

En una empresa, se sabe que si se producen 10 barriles de petróleo, entonces ganarán US$ 1.100, pero si producen 5 barriles, la ganancia es de US$ 1.000. Si se sabe que esta situación la modela una función afín, ¿cuántos barriles se deberán producir exactamente para obtener una ganancia de US$ 3.600?

A)

135 barriles.

B)

262 barriles.

C)

354 barriles.

D)

412 barriles.

E)

500 barriles.

MATEMÁTICA

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13


x ≥ 1 se define la función

Para

f (x) =

4 + 5 x − 1 . ¿Cuál es la

preimagen de 3 bajo f?

4+5 2

A)

B) C) D) E)

31.

3 2 1 0

La siguiente figura corresponde a la gráfica de una cierta función f. Entontes, de acuerdo a ella, es correcto que y 5 3 2 –2

I) II)

3 4

x

f (3) = f ( −2 ) + 5 f ( 4 ) ⋅ f (0) = 0

III) En el intervalo  − 2, 4  la función es creciente. A) B) C) D) E)

Solo I Solo II Solo III Solo II y III Ninguna de las afirmaciones es correcta.

MATEMÁTICA

ENSAYO


14


Dadas las funciones f ( x ) = x + 3 con dominio en los números reales y g (x) =

33.

x , para x ≥ 0 . ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A)

La función f ( g ( x ) ) está definida para los números no negativos.

B)

La función g ( f ( x ) ) está definida para todos los números reales.

C)

Ambas funciones, f y g, son crecientes en todo su dominio.

D)

f ( g ( 4 ) ) = f (2 )

E)

g ( f (1) ) = 1 + g (1) + f ( −3)

Para la función cuadrática f ( x ) = x2 − 5x + q , se afirma que I)

si q = −6 , entonces la gráfica de f corta al eje x en un valor positivo y en otro negativo.

II)

si q = 0 , entonces la gráfica de f pasa por el origen del sistema coordenado.

III) si q > 0 , entonces la gráfica de f corta en dos valores positivos al eje x. De tales afirmaciones, es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)

solo I. solo I y II. solo I y III. solo II y III. todas ellas son verdaderas.

MATEMÁTICA

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15


Si el máximo valor de la función f ( x ) = −2x2 + px − 1 se alcanza cuando x toma el valor

A)

2 2

B)

1 4

2

, entonces, p es igual a

2 2

C)

35.

1

D)

−2 2

E)

2

¿Cuál de las siguientes gráficas es la que mejor representa a la función x

1 f (x) =   ? 2

D)

MATEMÁTICA

C)

B)

A)

E)

ENSAYO


16


En el cuadrilátero convexo ABCD, AD ⊥ DC , con ángulos DAB y ABC congruentes, DE y CF son alturas, se traza CG paralelamente a AB , intersectando al lado AD en su punto medio G y a la altura DE en H, como en la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I)

∆GHD ≅ ∆BFC

II)

∆AED ~ ∆GDC

III) El trapecio AFCG es semejante al trapecio DEFC.

A)

Solo I

B)

Solo II

C)

Solo I y II

D)

Solo I y III

E)

Solo II y III

D

G

A

37.

H

E

C

F

B

Si al punto (–3, 4) se le aplica una simetría con respecto a una recta M se obtiene el punto (–3, –2), y si a este último se le aplica una simetría con respecto a otra recta P se obtiene el punto (1, –2). Entonces el punto que está en la intersección de las rectas M y P es A)

(–1, 1)

B)

(1, –1)

C)

(4, 6)

D)

(2, –3)

E)

(0, 0)

MATEMÁTICA

ENSAYO


17


Dados los puntos P ( −7,1) y R ( −1,1) , para que el segmento PR corresponda a una de las diagonales del rombo PQRS, de perímetro 20, las coordenadas de Q y S deben ser

39.

A)

( −4,5 )

y

( −4, −5 )

B)

( −4,5 )

y

( −4, −3 )

C)

( −4, 3)

y

( −4, −5 )

D)

( −3, −4 )

E)

( −3, 4 )

y y

(5, −4 ) (5, 4 )

En la figura se tiene el rectángulo AEFJ, en que JI = t, IH = HG = 3t y GF = 2t, y en cuyo interior se han dibujado triángulos de modo que B, C y D son las intersecciones de las simetrales de IH, HG y GF, respectivamente, con el lado AE . ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A)

DF ≅ DG

B)

∆BCH ≅ ∆GHC

C)

∆CDG ≅ ∆FGD

D)

∆DEF ≅ ∆IJA

E)

∆ABI ≅ ∆DCG

J

I

A

MATEMÁTICA

H

B

G

C

F

D

E

ENSAYO


18


Si se tienen los vectores OA = (3, 0 ) , AB = (1,1) y BC = ( 0, 4 ) , entonces el vector OC y su módulo son, respectivamente,

41.

A)

(5, 4)

y

41

B)

(4, 5)

y

41

C)

(4, 5)

y

3

D)

(–3, 4)

y

5

E)

(–2, –3)

y

5

Dado un cuadrilátero ABCD, con A(1, 1), B(7, –1) , C(8, 2) y D(2, 4), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I)

AB // CD y BC // AD

II)

AB = 2BC

III) El área de ABCD es 20.

A)

Solo I

B)

Solo II

C)

Solo I y II

D)

Solo I y III

E)

I, II y III

MATEMÁTICA

ENSAYO


19


Según las medidas dadas en los triángulos de la figura siguiente, el valor de x es 35 b A) B) C) D) E)

43.

p

x

40º

4 p 5 4c p 5b

28 c

20 b 16 c

40º

4b 5c p 5 p 4 Falta información para determinarlo.

El trapecio isósceles ABDE, de base mayor AB , está dividido por CF , paralelo a AB , de modo que los dos trapecios ABCF y FCDE son semejantes. Si AB = 32 cm, ED = 8 cm, AE = 24 cm, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)

CF = 16 cm.

II)

CD = 12 cm.

III) La razón de las áreas de los trapecios ABCF y FCDE es 1 : 4 . A)

Solo I

B)

Solo II

C)

Solo III

D)

Solo I y III

E)

Solo II y III

E

F

A

MATEMÁTICA

D

C

B

ENSAYO


20


Si Q es un punto en la prolongación de AB , entonces ¿en cuál(es) de las siguientes opciones se puede afirmar que la razón AQ : BQ =5 : 2? I) 5k 2k

α

B

A II)

α

12 cm

30 cm A

Q

Q

B 0,63 m

III) A

Q

B

1,05 m

45.

A)

Solo en I

B)

Solo en I y en II

C)

Solo en I y en III

D)

Solo en II y en III

E)

En I, en II y en III

Si las rectas L1 y L 2 son paralelas, y las rectas L 3 y L 4 se intersectan en O, con las medidas indicadas en la figura, si OQ – OR = 4 cm, entonces la medida del segmento OS es A)

32 cm 3

B)

16 cm

C)

28 cm

D)

36 cm

E)

48 cm

MATEMÁTICA

Q

R 4x O

L3

S

L2

6x 12x L1

P L4

ENSAYO


21


Si se trazan desde P dos rectas secantes a la circunferencia en A, B C y D, como en la figura, con BA = AP = 6 cm y PC = 4 cm, entonces CD mide B

47.

A)

4 cm

B)

9cm

C)

56 cm

D)

18 cm

E)

14 cm

A P C D

En el octógono regular ABCDEFGH de la figura, inscrito en la circunferencia de centro O, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s)?

I)

3 ⋅ ∢ECD = ∢BCG

II)

∢GFE = 2 ⋅ ∢BCG

III)

2 ⋅ ∢ EOG = ∢ECG

A)

Solo I

B)

Solo II

C)

Solo I y II

D)

Solo I y III

E)

Solo I, II y III

F G

D O

H

C A

MATEMÁTICA

E

B

ENSAYO


22


7 x + 7 se le aplica una simetría con 5 respecto al origen O del sistema coordenado, se obtiene otra recta de ecuación

Si a la recta de ecuación y =

A) B) C) D) E)

49.

x y + =1 7 −5 x y + =1 −5 7 x y + =1 − 5 −7 x y + =1 5 −7 x y + =1 5 7

Dada la recta de ecuación 3 kx − 2y + 1 = 0 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

1 . 3 II) Para que la recta sea perpendicular a otra de ecuación 5 2x + 5y = 0 , k debe valer . 3 III) Para que la recta contenga al punto (3, −4 ) , k debe valer 1.

I)

Para que la recta tenga pendiente 1, k debe valer

A)

Solo I

B)

Solo II

C)

Solo I y II

D)

Solo I y III

E)

Solo II y III

MATEMÁTICA

ENSAYO


23


Si los rectángulos ABCG y CDEG son semejantes, AB : BC = 3 : 1, y F está en la intersección de BG y DE , como en la figura, entonces ¿cuál es la razón entre las áreas de los triángulos BDF y GEF? F A)

3:1

B)

9:1

C)

10 : 9

D)

100 : 81

E)

100 : 1

A

B

51.

52.

G

E

C

D

En el triángulo ABC rectángulo en C, su hipotenusa mide 13 cm. ¿Cuánto deben medir, en centímetros, el mayor de los catetos (z) y su proyección sobre la hipotenusa (x), respectivamente, para que su altura desde C sea 6 cm? C A) B)

6 2 10

y y

6 8

C)

3 13

y

9

D)

2 34 y

10

E)

6 5

y

12

z

A

B x

El triángulo OAB está determinado por la intersección de la recta de ecuación 2x + y − 8 = 0 y los ejes coordenados, como en la figura. ¿Cuál es la ecuación de la recta que contiene a la altura correspondiente al lado AB ? y A) y = −2x B 1 B) y = − x 2 1 C) y = x 2 O A x D) y = 2x E) y = x

MATEMÁTICA

ENSAYO


24


Siendo a y b números reales positivos, ¿en cuál(es) de los siguientes casos la gráfica corresponde con la afirmación?

I)

y

El sistema de ecuaciones correspondiente a las rectas graficadas tiene solución vacía.

a –a

x

b –b

II)

La recta de la gráfica es coincidente con la recta de ecuación 4ax + 2y − 4a = 0 .

y 2a

a III) El sistema que corresponde con las y=x rectas graficadas es y = −x + 2a

x

y

a A)

Solo I

B)

Solo II

C)

Solo III

D)

Solo I y II

E)

Solo I y III

MATEMÁTICA

a

2a

ENSAYO


x

25


La siguiente gráfica muestra una homotecia que transforma el triángulo ABC en el triángulo RST. De acuerdo a esta gráfica, ¿cuál de las siguientes alternativas es FALSA? S R C O T

A

55.

B

A) B) C)

La homotecia tiene una razón de valor negativo. Si AB = 12 cm y RS = 4 cm, entonces CO : CT = 3 : 4 . El centro de la homotecia es O.

D) E)

AC // RT Si BC = 15 cm, entonces RT = 5 cm.

En el romboide de la figura siguiente, la diagonal AC es perpendicular al lado CD . Según las medidas indicadas, el volumen generado al hacer girar indefinidamente el romboide en torno a su lado AB , es equivalente al volumen de A) B) C) D) E)

D

un cilindro de radio basal 8 cm y altura 6 cm. un cono de generatriz 10 cm y radio basal 8 cm. un cilindro de radio basal 10 cm y altura 6 cm. una pirámide de arista 10 cm y altura 8 cm. un cono de radio basal 8 cm y altura 12 cm. A

6 cm

C

10 cm

B

MATEMÁTICA

ENSAYO


26


¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación vectorial p ( t ) = (3, 4,1) + t ( −1,2,1) ?

A) B) C) D) E)

57.

(0, 0, 0 ) (5, 0, 0 ) (0, 3, 4 ) (0,10, 4 ) (2, 0,2 )

Siendo x ( t ) = (1, −1,2 ) t + ( 0,7, 9 ) e y ( t ) = ( −1,1, −2 ) t + (1,2,3) dos rectas paralelas en el espacio, para t variando en los números reales. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa la ecuación del plano que las contiene completamente? A) B) C) D) E)

58.

4x + 2y − z = 5 4x + y − 2z = 5 4x + 2y − z = 0 x − y + 2z = 9 x + y − 4z = 1

Si la región achurada de la figura siguiente está formada por un cuadrante de círculo con centro en O y radio OA = r, al que se le ha quitado un cuadrado cuyo lado mide la mitad del radio del círculo. ¿Cuál es el volumen, en términos de r, que se genera al hacer girar indefinidamente la figura en torno a OA ? A) B) C) D) E)

13 3 πr 24 1 πr 3 24 3 πr 3 24 1 πr 3 12 5 πr 3 12

MATEMÁTICA

A

O

ENSAYO


27


60.

En un grupo de 50 jóvenes el promedio de peso es 56 kg. Si el peso promedio de los 30 hombres es de 64 kg, entonces el promedio de peso de las mujeres es de A)

40 kg

B)

56 kg

C)

36 kg

D)

25 kg

E)

44 kg

En una encuesta realizada a un grupo de estudiantes de arte se les preguntó en qué les gustaría especializarse, ante lo cual respondieron lo reflejado en la tabla siguiente.

Pintura

Número de estudiantes 13

Grabado

2

Escultura

12

Diseño Gráfico

10

Educación Artística

13

Especialidad

Entonces, es falso afirmar que I)

el 20% de estos estudiantes prefiere Diseño Gráfico.

II)

la moda es tanto Pintura como Educación Artística..

III) la mediana es Escultura. A) B) C) D) E)


MATEMÁTICA

II III I y II I y III II y III

ENSAYO


28


En una sala de espera de un hospital se registró las edades de las personas presentes, llenándose la siguiente tabla Intervalo de edad [0, 18[ [18, 36[ [36, 54[ [54, 72[ [72, 90]

Frecuencia Acumulada 10 25 45 55 60

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas? I) El total de datos es 60. II) El promedio de edades de la tabla es menor a 45. III) Los mayores de 54 años constituyen el 25% del total de personas. A) B) C) D) E)

62.

Solo I Solo I y II Solo II y III Solo I y III I, II y III

Se le preguntó a 30 personas por el número de verdaderos amigos con los que contaban en su vida actual, obteniéndose las siguientes respuestas: 1, 3, 3, 5, 3, 3, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 3, 2, 1, 5, 5, 5, 4, 2, 1, 1, 4, 3, 2, 3, 5, 5. Según tales datos, la mediana corresponde a A)

1 amigo

B)

3 amigos

C)

2 amigos

D)

5 amigos

E)

4 amigos

MATEMÁTICA

ENSAYO


29


Si un profesor otorgó 5 décimas en la última prueba a los 10 alumnos que entregaron la tarea, entonces ahora la media aritmética de la nota de la prueba de ese grupo de alumnos

64.

A)

aumentó en 5 décimas.

B)

aumentó en 50 décimas.

C)

disminuyó en 5 décimas.

D)

disminuyó en 50 décimas.

E)

aumentó 5 veces.

La siguiente tabla muestra las notas de una evaluación de los alumnos de un curso. Si el promedio es 5,55, ¿cuál es el valor de x?

A)

3

Número de

B)

4

alumnos

C)

5

4

7

D)

6

x

6

E)

7

7

5

3

4

MATEMÁTICA

Nota

ENSAYO


30


Si dos distribuciones de datos, P y Q, tienen un rango de 9 unidades cada una y ambas una mediana igual a 20, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)

Si P y Q tienen iguales valores mínimo y máximo, entonces la media aritmética será igual en ambas.

II)

En P y en Q la desviación estándar no puede ser cero.

III) Puede ser que la media aritmética de P sea menor que 20 y la media aritmética de Q sea mayor que 20. A) B) C) D) E)

66.

Solo I Solo I y II Solo II y III I, II y III Ninguna de ellas es verdadera.

Al adentrarse hacia la cordillera, la probabilidad de encontrar un 2 camino cordillerano C, tapado de nieve en invierno, es de . 5 Entonces, la probabilidad de que en 5 excursiones ningún día esté el camino C tapado es

A)

35 55

B)

5⋅

C)

25 55

D)

5⋅

E)

0

25 55

35 55

MATEMÁTICA

ENSAYO


31


Si se lanza al aire dos dados normales de seis caras, enumeradas del 1 al 6, ¿cuál es la probabilidad de obtener ambas veces una cara en la que aparezca un número primo?

68.

A)

1

B)

2 12

C)

1 4

D)

2 3

E)

2 4

La siguiente tabla muestra la probabilidad de que un cliente tenga desde 1 a 5 observaciones financieras a lo largo de un año. Con respecto a ella, es correcto afirmar que I) II) III)

El número esperado de observaciones financieras es de 3,2 documentos anuales aproximadamente. La probabilidad de que un cliente tenga menos de 3 observaciones anuales es igual a 0,2. La desviación estándar de la variable aleatoria es 1,96 .

A)

Solo I

B)

Solo I y II

C)

Solo I y III

D)

Solo II y II

E)

I, II y III

MATEMÁTICA

X

1

2

3

4

5

P ( X = x ) 0,2 0,1 0,2 0,3 0,2

ENSAYO


32


70.

A Julia le regalan una caja que contiene diez bombones de chocolate, de los cuales tres son rellenos de menta. Si Julia saca al azar dos bombones consecutivamente, ¿cuál es la probabilidad de que no sean de menta?

A)

7 15

B)

28 45

C)

2 7

D)

2⋅

E)

14 90

7 10

Se realiza un concurso en que José debe lanzar al aire una moneda normal 4 veces. En cada lanzamiento solo es posible obtener Cara o Sello. En base a ello se define X como la variable aleatoria “número de veces que obtiene Cara”. ¿Cuál de las siguientes alternativas es INCORRECTA? A)

El recorrido de la variable aleatoria tiene 5 elementos.

B)

1 La probabilidad de que X valga cero es   . 2

C)

Es igualmente probable que X tome el valor 1 que el valor 3.

D)

La probabilidad de que X tome el valor 1 es

E)

El conjunto de posibles valores de la variable aleatoria X es

4

1 . 5

{0,1,2,3, 4} . MATEMÁTICA

ENSAYO


33


Se tiene una bolsa con fichas idénticas, pero de distintos colores: 3 verdes, 5 blancas y 7 amarillas. Si el experimento de extraer de la bolsa una ficha, registrar el color que sale y devolverla a la bolsa, se realiza 3 veces y se define la variable aleatoria X como el número de veces que la ficha salió verde o amarilla, ¿cuál es la probabilidad de que X tome el valor 3? 3

A) B) C) D) E)

72.

 10   15    3 15 3 7 ⋅ 15 15 10 15 10 ⋅3 15

Luego de la gran hazaña del atleta olímpico Usain Bolt en los cien metros planos, un grupo de estadísticos hizo un estudio de los tiempos de llegada de los atletas. Se determinó que los tiempos de llegada X de los atletas siguen una distribución normal de media aritmética 15 segundos y de desviación estándar 3 segundos. Si se considera que Z es una variable aleatoria de distribución normal estándar, ¿cuál es la probabilidad de que un atleta demore más de 13 segundos y menos de 17 segundos en llegar a la meta? 2  A) P  Z ≤  9  B) C) D) E)

13   P Z ≥ 17   13   2 ⋅ P Z ≤ 17   2  P Z ≤  3  2  2 ⋅ P Z ≤  3 

MATEMÁTICA

ENSAYO


34


En una tómbola se tienen 5 bolitas enumeradas del 1 al 5. Si 200.000 veces se saca una de ellas, se mira el número y se devuelve a la tómbola, según la Ley de los Grandes Números, aproximadamente, ¿qué porcentaje de las veces saldría un número impar?

A)

20%

B)

30%

C)

40%

D)

60%

E)

80%

MATEMÁTICA

ENSAYO


35

PREUNIVERSITARIO UC EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N°74 A LA N°80 En las siguientes preguntas no se pide la solución al problema, sino que se decida si con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) se pueda llegar a la solución del problema. Es así, que se deberá marcar la opción: A)

(1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es, B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es, C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente, D) Cada una por sí sola, (1) o (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder la pregunta, E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. Ejemplo: Se puede determinar el monto total de una deuda, en términos de P y Q, si se sabe que (1) (2) A) B) C) D) E)

La cuota mínima a pagar es del P% de la deuda. La cuota mínima a pagar es de $ Q.

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) o (2) Se requiere información adicional

En la información (1) se tiene que la cuota mínima a pagar es del P% de la deuda. Si x representa el monto total de dicha deuda, entonces este porcentaje queda expresado por Px , el cual no permite determinar el monto total de la deuda. 100 Con la afirmación (2) se conoce la cuota mínima a pagar, que es de $ Q, pero esta información por sí sola es insuficiente para determinar el monto total de la deuda. Px = Q , luego 100 esta ecuación permite determinar el monto total de la deuda. Por lo tanto, se debe marcar la opción C), Ambas juntas, (1) y (2).

Ahora, si se juntan los datos entregados en (1) y en (2) se tiene que

MATEMÁTICA

ENSAYO


36


75.

La expresión xy − 1 es siempre negativa si:

(1)

x<0

(2)

y≠0

A)

(1) por sí sola

B)

(2) por sí sola

C)

Ambas juntas, (1) y (2)

D)

Cada una por sí sola, (1) o (2)

E)

Se requiere información adicional

La ecuación a ( x + 1) = a ( a + 1) − x tiene por solución, para x, un número real positivo si: (1) a ≥ 0 (2) a ≠ −1 A)

(1) por sí sola

B)

(2) por sí sola

C)


D)


E)


MATEMÁTICA

ENSAYO


37


Sean las funciones

f:A →B

y

g : C → D , es posible realizar la

composición g ( f ( x ) ) si se sabe que: (1) C es subconjunto de B. (2) Los conjuntos B y C tienen los mismos elementos.

77.

A)

(1) por sí sola

B)

(2) por sí sola

C)


D)


E)


Se puede conocer las coordenadas de la imagen del punto P ( − 4, 6 ) , en el plano cartesiano luego de una transformación T, si se sabe que: (1) T es una transformación que traslada el punto S (2, 8 ) al punto ( −1, 3 ) .

(2)

T ( T ( x, y ) ) = ( x − 6, y − 10 ) .

A)

(1) por sí sola

B)

(2) por sí sola

C)


D)


E)


MATEMÁTICA

ENSAYO


38


Se puede determinar el número de lados n de un polígono regular que se dividió en n triángulos al trazar las uniones entre su centro O y sus vértices, si se sabe que: (1) Los triángulos son congruentes y n es múltiplo de 3. (2) Al rotar alguno de los triángulos en k·120º en torno a O, con k un número natural, su imagen siempre coincide con otro de los triángulos del polígono.

79.

A)

(1) por sí sola

B)

(2) por sí sola

C)


D)


E)


El gráfico circular de la figura adjunta representa las 4 marcas de estufa más elegidas este año. Se puede determinar el número de personas que prefirió la marca C, si se sabe que: (1)

La frecuencia de D es 4.000 y C es el 25% del total.

(2)

A y B obtuvieron cada una el 30% de las preferencias.

A)

(1) por sí sola

B)

(2) por sí sola

C)


D)


E)


MATEMÁTICA

D

A

C B

ENSAYO


39


Se puede calcular la probabilidad de elegir de un curso, dos alumnos que tengan solo un hermano menor si se sabe que: (1)

El 50% de los alumnos tiene hermanos menores.

(2)

El 50% de los alumnos tiene solo un hermano.

A)

(1) por sí sola

B)

(2) por sí sola

C)


D)


E)


MATEMÁTICA

ENSAYO


40

Ensayo UC Septiembre 2

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