Curso: 3er semestre “A”
Nombre: Génesis Loor Hidalgo
Introducción
La ecuación diferencial diferencial de Bernoulli Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden,, formulad orden formuladaa por Jacob Berno Bernoulli ulli.. Esta Esta ecuació ecuación n fue transform transformada ada,, por Gottfried Leibniz en Leibniz en 1693 y por Joann Bernoulli en Bernoulli en 169!, en una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución y1"# $ %, %,1 &ue se caracteriza por adoptar la forma'
(onde
y
son funciones continuas en un inter%alo abierto
y
# es un n)mero real cual&uiera.
Ecuación diferencial de ernoulli
!étodo de resolución Caso general *i se descuentan los casos particulares en &ue #$+ y #$1 y se di%ide la ecuación por y# se obtiene'
1(efiniendo'
"ocente:Ing# !anuel $iallos
!atem%ticas III
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, e&ui%alentemente, / $ y
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1"#
Lle%a inmediatamente a las i0ualdades'
Gracias a esta )ltima relación se puede reescribir 1 1- como'
Ecua Ecuació ción n a la cual cual se pued puedee aplic aplicar ar el mto mtodo do de reso resolu lució ción n de una una ecuación diferencial lineal obteniendo lineal obteniendo como resultado'
(onde
es una constante arbitraria. 2ero como / $ y1"# se tiene &ue'
inalmente, las funciones &ue satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la e4presión'
5on
. (onde el factor inte0rante se define en, por eemplo, + 7 4 7 8
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Caso &articular: ' ( )Cancel
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En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución %iene dada por'
-
Caso &articular: ' ( * :enemos una ecuación diferencial lineal Ecuación de %ariables separables-. En este caso la solución %iene dada por'
;-
E+em&los 2ara resol%er la ecuación'
<-
*e ace el cambio de %ariable
, &ue introducido en < <- da simplemente'
<< <<--
=ultiplicando la ecuación anterior por el factor'
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se lle0a a'
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*i se sustituye << <<-- en la )ltima e4presión y operando' Cancel Download And Print
>ue >ue es una una ecua ecuaci ción ón dife difere renc ncia iall line lineal al &ue &ue pued puedee reso resol% l%er erse se f?ci f?cilm lmen ente te.. 2rimeramente se calcula el factor inte0rante t@pico inte0rante t@pico de la ecuación de Bernoulli'
A se resuel%e aora la ecuación'
(esaciendo aora el cambio de %ariable'
:eniendo en cuenta &ue el cambio &ue icimos fue
'
,esolución
2ara poder resol%er una Ecuación (iferencial de cual&uier tipo, debido a la 0ran %ariedad de formas en las &ue se pueden presentar, es importante poder identificar si sta es una Ecuación (iferencial Lineal y el orden de la misma.
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Este paso permite poder aplicar los mtodos conocidos para resol%er la E(s.
En el caso de una EcuaciónCancel (iferencialDownload ordinaria And E(lineal de primer orden, basta Print con redistribuir los trminos de la E( estudiada para comprobar si tiene la forma de un E( linealC recordando &ue esta forma implica las si0uientes condiciones de linealidad de un E(.
Condiciones &ara establecer la linealidad de una Ecuación "iferencial de &rimer orden:
La %ariable dependiente yo cual&uier otra- y su deri%ada y - son de primer 0rado, ′ es decir est?n ele%adas a la potencia 1.
El coef coefici icien ente te
, como como la notac notació ión n lo indi indica, ca, debe debe de depe depend nder er solo solo de la P( x)
%ariable independiente para este caso es x -.
Conclusión 2ara resol%er estas ecuaciones debemos tener en cuenta &ue sean lineal y de primer orde orden n y que su coefciente es decir el P(x) va a depender de la variable
independiente.
Bibliografía Spiegel, M. R., & Abellanas, . M.!". (#$$%). Fórmulas y tablas de matemática aplicada. btenido de 'ttpses.*i+ipedia.org* 'ttpses.*i+ipedia.org*i+icuaci i+icuaci -/-0/n1di2erencial1de10ernoulli
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