TASACIONES DE MEDELLIN Y ANTIOQUIA
Material de Apoyo Econometría
ECONOMETRÍA Para Tasadores Ing. MSc. Luis Fernando Restrepo Gómez
Página
1
2009
B l o g : h t t p : / / t
[email protected] s a c i o n e s d e m e–
[email protected] dellinyantioquia.blo gspot.com
Material de Apoyo Econometría
Contenido ECONOMETRIA .............................................................................................................................. 4 1.
2.
Medición Económica. ........................................................................................................ 4 1.1.
Definición................................................................................................................... 4
1.2.
Correlación ................................................................................................................ 5
1.3.
Tipos de Correlación................................................................................................. 6
1.4.
Regresión .................................................................................................................. 7
Secuencia de Pasos en Econometría .............................................................................. 8 2.1.
Secuencia de Pasos ................................................................................................. 8
2.2.
Paso 1: Planteamiento del modelo econométrico ................................................... 8
2.3.
Paso 2: Supuestos del modelo y formulación de hipótesis .................................... 9
2.4.
Paso 3: Modelo Matemático e Identificación de Variables. .................................... 9
2.5.
Paso 4: Elaboración Funcional del Modelo Econométrico ................................... 10
2.6.
Paso 5: Identificar información para el modelo. .................................................... 10
2.7.
Paso 6: Recolección de Datos y Comparación Gráfica. ....................................... 11
2.8.
Paso 7: Estimación de los coeficientes del modelo. ............................................. 13
2.9.
Paso 8: Validez del modelo y Pruebas estadísticas. ............................................ 13
2.10.
Paso 9: Pronóstico.................................................................................................. 13
2.11.
Paso 10: Decisiones y de Acciones basadas en el modelo. ................................ 14
3.
Condiciones de los Modelos ........................................................................................... 14
4.
Supuestos ........................................................................................................................ 14
5.
Tipos de modelo .............................................................................................................. 17
6.
Mínimos Cuadrados Ordinarios ...................................................................................... 17
7.
Tipos de Funciones de Regresión.................................................................................. 18
8.
7.1.
Lineales ................................................................................................................... 18
7.2.
De Segundo Grado ................................................................................................. 18
7.3.
Exponenciales ......................................................................................................... 18
7.4.
Potencia .................................................................................................................. 18
FUNCIÓN LINEAL........................................................................................................... 19 8.1.
Desarrollo ................................................................................................................ 20
8.2.
Cálculo..................................................................................................................... 20
[email protected] –
[email protected]
Material de Apoyo Econometría
9.
FUNCIÓN CUADRÁTICA ............................................................................................... 22 9.1.
Desarrollo ................................................................................................................ 23
9.2.
Cálculo..................................................................................................................... 24
10. Función exponencial ....................................................................................................... 26 10.1.
Desarrollo ................................................................................................................ 28
10.2.
Cálculo..................................................................................................................... 29
11. Función de potencia. ....................................................................................................... 30 11.1.
Desarrollo ................................................................................................................ 31
11.2.
Cálculo..................................................................................................................... 32
12. Coeficiente de Correlación ............................................................................................. 33 12.1.
Interpretación Estadística ....................................................................................... 33
12.2.
Cálculo del Coeficiente de Correlación.................................................................. 35
13. Desviación Estándar ....................................................................................................... 36 13.1.
Cálculo de La Desviación Estándar ....................................................................... 37
14. Pruebas de Validez Econométricas ............................................................................... 37 14.1.
Significancia Estadística ......................................................................................... 37
15. Interpretación de Variables ............................................................................................. 39 16. Proyecciones ................................................................................................................... 39 17. Algunos Cálculos Mediante Excel .................................................................................. 42 18. Cuestionario .................................................................................................................... 45 18.1.
Introducción ............................................................................................................. 45
18.2.
Metodología ............................................................................................................ 45
18.3.
Consideraciones De Los Modelos ......................................................................... 45
18.4.
Mínimos Cuadrados Ordinarios ............................................................................. 45
[email protected] –
[email protected]
Material de Apoyo Econometría
ECONOMETRIA 1. Medición Económica. 1.1.
DEFINICIÓN.
Es la herramienta utilizada por economistas, sociólogos, mercadólogos e investigadores en general para respaldar o comprobar modelos matemáticos teóricos que relacionan una variable dependiente (o explicada) por una o mas variables independientes (o explicativas).
En un sentido más técnico es una rama de la Teoría Económica que mediante procedimientos estadísticos y matemáticos relaciona series temporales de información o datos numéricos, con el objeto de determinar vínculos presentes entre variables, de manera que se determina las relaciones directas o inversas de las mismas, siempre basado en un modelo conceptual de teoría económica, por ejemplo la relación inversa entre los precios y la demanda (a un mayor precio una menor demanda y viceversa).
[email protected] –
[email protected]
Página
Al aplicar métodos estadísticos, como correlación y regresión, a un modelo matemático de teoría económica, se esta efectuando un análisis econométrico y por tanto se busca dar validez a la teoría con la técnica inferencial probabilística y sus respectivas pruebas de hipótesis estadísticas, que den la aproximación numérica de la certeza del modelo.
4
En este contexto es necesario plantear el término de modelo económico, y se puede decir que son simplificaciones teóricas de abstracciones de la realidad, expresadas mediante una relación funcional de una variable dependiente y una o más independientes.
Material de Apoyo Econometría
La principal utilidad de esta técnica se encuentra por dos vías: A) Por un lado se comprueba los supuestos teóricos-matemáticos de un modelo basado en una realidad B) Y por otro se genera la posibilidad de realizar proyecciones para eventos futuros y por lo tanto se tiene información adecuada para la toma de decisiones y diseño de políticas o acciones preventivas o correctivas según sea el caso, siempre y cuando, el modelo posea validez estadística, probabilística y sobre todo teórica. La aplicación de esta técnica económica se originó a partir de la dificultad de asignar valores numéricos a las relaciones teóricas de las funciones matemáticas generadas para cada modelo económico, el cual además se basa en ciertos supuestos que restringen la influencia de variables exógenos. A continuación se muestran las herramientas estadísticas necesarias, su definición y utilidad, con el fin de determinar un estudio econométrico, en tal sentido se plantea la correlación, regresión, metodología, así como algunos casos de expresiones funcionales, los supuestos que debe cumplir un modelo econométrico y finalmente se presenta elementos de análisis de significancia estadística e interpretación de coeficientes. 1.2.
CORRELACIÓN
La correlación o coeficiente de correlación r2 mide la proporción de variación en la variable dependiente explicada por la variación en la o las variables independientes, es decir mide el grado de intensidad lineal de vinculación de las variables, a partir de las variaciones observadas de los valores proyectados y de los valores reales comparadas con la media aritmética. Este coeficiente es útil por cuanto permite establecer el grado de intensidad en que una variable dependiente se encuentra explicada por la o las variables independientes dentro de un modelo.
[email protected] –
[email protected]
Página
Esta herramienta estadística se mide por un coeficiente que puede tomar un valor que puede oscilar entre -1 y 1, si el valor es cercano a 1 se dice que existe una relación directa entre las variables estudiadas, una mayor cantidad en una implica que la otra aumentara también, en la medida que se acerca a 0 se dice que el nivel de correlación es mínimo o simplemente no existe correlación y por lo tanto la variación de una variable no explica el comportamiento de otra, finalmente si es
5
También facilita el estudio de variables cuantitativas en la medida que podemos explicar un fenómeno por el grado en que una variable influye en otra, es decir nos permite efectuar afirmaciones de carácter social, económico y físico.
Material de Apoyo Econometría
cercano a -1 la relación es inversa, si aumenta la variable independiente, disminuye el valor de la dependiente. La siguiente gráfica muestra las posibles formas de correlación, vinculando el valor del coeficiente con su expresión gráfica.
1.3.
TIPOS DE CORRELACIÓN
La correlación puede clasificarse en dos tipos dependiendo de la cantidad de variables analizadas y por el tipo de relación lineal, en el primer caso estamos haciendo referencia a: CORRELACIÓN SIMPLE:
Se estudia la dependencia únicamente entre dos variables CORRELACIÓN MÚLTIPLE:
Se estudia la dependencia entre más de 2 variables
Dependiendo del tipo de relación lineal el coeficiente relaciona:
[email protected] –
[email protected]
exógenas
no
Página
Cuando se incluye la influencia de variables consideradas en el cálculo de los coeficientes.
6
CORRELACIÓN PARCIAL:
Material de Apoyo Econometría RELACIÓN DIRECTA ENTRE LAS VARIABLES:
Un aumento en la variable independiente implica un aumento en la variable dependiente. RELACIÓN INVERSA ENTRE LAS VARIABLES:
Un aumento en la variable independiente implica una disminución en la variable dependiente. A partir de ello la ecuación puede mejorar su correlación si se hace pruebas para determinar si se ajusta más a una recta, una curva exponencial o una parabólica. 1.4.
REGRESIÓN
Mientras que la correlación mide el grado de vinculación entre variables, la regresión se encarga de calcular, a partir de las observaciones, el valor real de los coeficientes que explican una relación funcional matemática. Si dicho valor es calculado a partir de la serie u observaciones de una población completa se esta hablando de una ecuación de regresión poblacional, y esa es una ecuación completamente confiable, sin embargo sabemos que en la mayoría de los casos es imposible realizar este tipo de estudios ya sea por la cantidad de unidades observacionales, o por la dispersión de la población o sobre todo por el valor económico asociado a un estudio de tal magnitud. Por tal motivo se utilizan mecanismos que facilitan estos estudios llegando a una aproximación de los datos poblacionales a partir de porciones o muestras representativas, utilizando para su selección métodos estadísticos de modo que se explique a cabalidad los fenómenos sociales con cierto margen de error tolerable. Partiendo de esa premisa es lógico pensar que podemos calcular una función de regresión a partir de una muestra y el valor encontrado se dice que estima los valores o coeficientes poblacionales y de esta forma se esta contando con una ecuación muestral que es confiable en la medida que la recolección de datos cumple con una metodología que garantice la representatividad de la información.
En el cálculo se estima los coeficiente a y b, donde “a” es el intercepto y “b” es una elasticidad. Para su cálculo se utiliza el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios, el cual se explicará más adelante.
[email protected] –
[email protected]
Página
𝑌(𝑋) = 𝑏 + 𝑎𝑋
7
La función de regresión se representa tal como una ecuación de la forma
Material de Apoyo Econometría
2. Secuencia de Pasos en Econometría Para la realización efectiva de un análisis econométrico es necesario efectuar una secuencia de pasos de manera que se construya un modelo adecuado de predicción, dicha secuencia esta ligada a la experiencia y a las preferencias de los investigadores, en ningún momento representa una receta que se tenga que seguir al pie de la letra, además es posible simultanear algunas actividades: 2.1.
SECUENCIA DE PASOS
1. Planteamiento teórico del modelo econométrico (formulación de hipótesis; o relaciones funcionales) 2. Supuestos del modelo y formulación de hipótesis. 3. Construcción de la forma matemática del modelo teórico e identificación de las principales variables y relaciones funcionales de las mismas. 4. Elaboración funcional del modelo econométrico. 5. Identificar la información necesaria para realizar el modelo econométrico. 6. Recolección de datos de la serie y comparación gráfica de las observaciones. 7. Estimación de los coeficientes del modelo econométrico. 8. Validez del modelo mediante la aplicación de pruebas estadísticas. 9. Pronóstico. 10. Toma de decisiones y diseño de políticas o acciones preventivas o correctivas, basadas en el modelo. 2.2.
PASO 1: PLANTEAMIENTO DEL MODELO ECONOMÉTRICO
La primera etapa consiste en seleccionar un modelo económico, para ello es necesario adoptar un enfoque de teoría económica, por ejemplo bajo los supuestos de la teoría clásica, neoclásica, keynesiana o estructuralista, etc., todo depende del modelo que se estudie, esto con el objeto de facilitar la identificación de las relaciones de las variables y el establecimiento de los supuestos, y de igual manera sirve como base para explicar las proyecciones y justificar la toma de decisiones y políticas derivadas de los resultados del modelo econométrico.
[email protected] –
[email protected]
Página
Ejemplo: “en la medida que se aumenta el precio de un bien y/o servicio determinado y manteniendo todo lo demás constante, las cantidades demandadas de las mismas serán menores”
8
Esta primera parte no es más que tomar una hipótesis (en este caso de teoría económica), que relacione una variable dependiente a una o más variables independientes.
Material de Apoyo Econometría
2.3.
PASO 2: SUPUESTOS DEL MODELO Y FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS
A partir de esa selección se procede a conocer todos los límites o alcances del modelo y por lo tanto se determinan los supuestos con los que el modelo adquiere validez teórica. Ejemplo:”se trata de un bien normal, en un mercado de competencia perfecta y no se tiene sustituto.” En cualquier caso se parte de una hipótesis de teoría económica, la cual se busca demostrar mediante procedimientos estadísticos, indistintamente que modelo se desee comprobar se parte de una afirmación de relación entre variables representada mediante una ecuación matemática. Este punto es importante por cuanto la hipótesis será la referencia con la que se busca demostrar la investigación, en caso que se encuentre información confiable que mediante la ecuación de regresión calculada se compruebe la relación de las variables, se está en posición de avalar o aceptar la hipótesis y por tanto el estudio se vuelve una herramienta de análisis que facilita la explicación de un fenómeno. 2.4.
PASO 3: MODELO MATEMÁTICO E IDENTIFICACIÓN DE VARIABLES.
Seguidamente se procede a la construcción de la forma matemática del modelo teórico e identificación de las principales variables y relaciones funcionales de las mismas. Conociendo con exactitud las relaciones funcionales de la teoría, los supuestos en los que el modelo tiene validez se pasa a determinar la forma matemática de dicho modelo Ejemplo: 𝐷 = 𝑎 − 𝑏𝑃
Cantidades demandas (variable dependiente) Demanda Autónoma ( Intercepto) Elasticidad precio de la demanda (Pendiente de la recta) Precio (variable independiente)
Es posible que el investigador determine que existen otras variables como gustos y preferencias, edad, etnia, etc. Sin embargo el modelo se puede ajustar a esas variables siempre y cuando se posea la información para determinar la relación y
[email protected] –
[email protected]
Página
D: a: b: P:
9
Donde:
Material de Apoyo Econometría
sobre todo de registros estadísticos numéricos que permitan el cálculo del modelo econométrico. 2.5.
PASO 4: ELABORACIÓN FUNCIONAL DEL MODELO ECONOMÉTRICO
A partir de ello se puede trabajar con esa ecuación para adecuarla a su forma “regresiva”, es decir a plantearlo de manera que los datos se adecuen de manera natural a un promedio y se “Ajusten” a una tendencia, para ello se requiere expresar el modelo en términos funcionales de Mínimos Cuadrados Ordenados, dicho método se planteará más adelante. 2.6.
PASO 5: IDENTIFICAR INFORMACIÓN PARA EL MODELO.
Cuando se esta seguro del modelo y se tiene la forma econométrica, se pasa a considerar el lugar donde se puede obtener la información, cual es la más útil y la facilidad de recolección de la misma. Este paso consiste en verificar la existencia y registro de las variables, en muchos de los casos, no se cuenta con una variable del modelo como tal, por ejemplo para la ecuación de producción, el nivel de capital físico de la economía, que no en todas las economías se calcula, no obstante por tratarse de análisis de tendencia, se puede sustituir el nivel de capital, por una representativa de su variación, que en este caso, puede ser perfectamente el nivel de inversión, la idea central, reside en adecuar la variable del modelo a los datos más cercanos con que se cuentan. Es necesario considerar en ente punto cual es de toda la información de serie estadística, la que representa mejor a la (o a las) variables estudiadas.
[email protected] –
[email protected]
Página
No obstante se sabe que los registros obtenidos de una unidad observacional poblacional tienden a cumplir los supuestos de la curva normal es decir que se adecua a una curva de probabilidad de forma de campana que es simétrica alrededor de su valor medio, aproximadamente el 68% del área bajo la curva normal se posiciona entre los valores de su media (µ) y su varianza (σ), el 95% se ubica entre µ ± 2σ y alrededor del 99.7% se encuentra en µ±3σ, tal como muestra la gráfica.
10
A nivel general, se esperaría obtener al menos 31 observaciones de cada variable, debido principalmente a que a partir de ese número de observaciones una serie de registros se adecua al Teorema del Límite Central, lo que significa que es una serie con curva normal, el cual es un requisito dentro de la econometría para dar validez estadística al modelo.
Material de Apoyo Econometría
El supuesto que se trabaja con un modelo en que sus variables se comportan de manera normal permite garantizar: 1. Distribución Normal: Una distribución normal de las perturbaciones estocásticas. 2. Insesgadez: Que los estimadores son insesgados o que no están influenciados por variables externas. 3. Mínima Varianza: Tienen una varianza mínima lo que significa una media altamente representativa. 4. Consistencia: En la media que se aumenta el valor de la muestra o de observaciones para estimar, los valores proyectados se acercan o igualan los valores poblacionales reales. 5. Mejores Estimadores: Los coeficientes estimados tiene varianza mínima por lo que los parámetros encontrados por Mínimos cuadrados Ordinarios son los Mejores Estimadores Insesgados lineales
La Recolección de datos de la serie y la comparación gráfica de las observaciones, son el siguiente paso a realizar. Al tener la certeza de poseer las observaciones necesarias y se cuenta con respaldo y validez en la recolección de las mismas, se pasa a efectuar una comparación gráfica (en el caso que se plante una variable dependiente y una independiente), utilizando un plano cartesiano y se observa la existencia de alguna tendencia en el comportamiento de las observaciones tal como lo muestran las siguientes gráficas, los puntos reflejan las observaciones de
[email protected] –
[email protected]
11
PASO 6: RECOLECCIÓN DE DATOS Y COMPARACIÓN GRÁFICA.
Página
2.7.
Material de Apoyo Econometría
una serie de datos, mientras que la línea que se encuentra al centro es su tendencia.
que
no
existe
relación
lineal
Página
12
En la anterior imagen se aprecia Un coeficiente de correlación cercano a 0
[email protected] –
[email protected]
Material de Apoyo Econometría
2.8.
PASO 7: ESTIMACIÓN DE LOS COEFICIENTES DEL MODELO.
Habiendo establecido las relaciones de manera gráfica con una serie estadística suficiente y con la viabilidad matemática y teórica del modelo se procede a la estimación de los coeficientes para ello se utiliza el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios MCO por medio del cual se obtienen los mejores coeficientes que permiten determinar el comportamiento de una función de econométrica, para un rango determinado, estimando de esta manera los valores reales a partir de la muestra. El principal objetivo de una ecuación de regresión obtenida por Mínimos Cuadrados Ordinarios es que las desviaciones de los valores observados respecto a los estimados sea el mínimo posible, es decir, se espera que se encuentren los coeficientes que sean ∑ (F(x) observado –F(x) estimado)2 un mínimo, en otras palabras que la sumatoria de las diferencias del valor real menos el proyectado elevado al cuadrado tienda a cero, de ahí el nombre que el método se le denomine Mínimo Cuadrado Ordinario. 2.9.
PASO 8: VALIDEZ DEL MODELO Y PRUEBAS ESTADÍSTICAS.
Para determinar la validez del modelo se debe haber pasado una serie de pruebas de hipótesis que hacen que el modelo se comporte de cierta manera o que se encuentre en ciertos parámetros donde existe suficiente probabilidad de ser fiables o buenos estimadores de los valores reales (dichas pruebas se presentaran más adelante). 2.10.
PASO 9: PRONÓSTICO.
El pronóstico consiste en utilizar la ecuación para establecer con certeza el posible comportamiento de la variable el cual puede darse en dos tiempos: ► Dentro del domino o rango de información con la que se obtuvieron los
coeficientes
► Fuera del rango, para observaciones posteriores o anteriores a los del
[email protected] –
[email protected]
Página
En el primer caso, (dentro del dominio), no es necesario más que sustituir en la ecuación la o las variables independientes, por que los coeficientes explican el comportamiento dentro del rango con que se cuenta la información; en este caso se esta tratando de una ecuación que se puede llamar de Largo Plazo, para el segundo caso, (fuera del rango), es necesario transformar la ecuación en un modelo predictivo de corto plazo en el que se puede con alguna certeza aproximarse a los valores futuros y para ello se trabaja la serie estadística en diferencias para obtener de esas variables los nuevos coeficientes.
13
domino o rango de información.
Material de Apoyo Econometría
(Por ahora, para el alcance de este material de apoyo, solo se analizará la primera forma de predicción). 2.11.
PASO 10: DECISIONES Y DE ACCIONES BASADAS EN EL MODELO.
El siguiente paso es el que consiste en la Toma de decisiones y el diseño de políticas o acciones preventivas o correctivas, basadas en el modelo obtenido. Al haber establecido los coeficientes que dan validez al modelo se está en la posibilidad de efectuar toma de decisiones y diseño de políticas o acciones preventivas o correctivas, basadas en el modelo, lo que supone que es una herramienta que facilita la toma de actividades y acciones, pero a pesar de ese valor estadístico en ningún momento se esta en la posibilidad de sustituir la experiencia o el conocimiento del comportamiento humano que es en algunos casos más confiable que cualquier herramienta estadística.
3. Condiciones de los Modelos Los modelos econométricos suponen que la ecuación estimada se comporta bajo ciertas condiciones o requisitos y bajo ciertos parámetros, uno de los principales tiene que ver con que cada punto observacional utilizado se ajusta al teorema del límite central y por tanto se ajusta a la curva normal, de igual manera, la serie estadística necesaria para estimar los coeficientes debe estar apoyada en este supuesto y por tanto requiere un mínimo de 31 datos (este es un valor numérico aproximado en el que una variable comienza a ajustarse a la curva normal). Esa es una premisa, no obstante, se tiene que tomar en cuenta una serie de supuestos que son necesarios para estimar una ecuación econométrica con validez estadística, muchos de ellos se logran por el simple hecho de efectuar los cálculos mediante el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios, los supuestos se mencionan a continuación.
4. Supuestos
Esto significa en términos sencillos que la potencia de cada factor de la ecuación es igual a 1.
Los valores que toma la variable “X” en un ejercicio de muestreo se mantienen constantes, es un valor no estocástico o no aleatorio.
[email protected] –
[email protected]
Página
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝜐𝑖
14
El modelo econométrico es lineal en sus parámetros es decir en sus coeficientes y en sus variables incluyendo su valor de error estocástico:
Material de Apoyo Econometría
Por ejemplo, si consideramos lo niveles de educación en grados escolares de la Población Ocupada se tiene que el valor que puede tomar el nivel de educación de una persona puede variar desde 0 hasta el nivel máximo 13 o 14 para un año determinado manteniendo el valor de “X” que es un promedio inalterable, lo que importa es el valor medio que toma la variable “Y” a partir de la “X” pero el valor de esta última es independiente de ese promedio en “Y”. Lo que implica en términos concretos que los coeficientes estimados están condicionados al valor, de la(s) variable(s) dependiente(s).
El valor promedio de las variaciones estocásticas "𝝊𝒊" es cero, que significa que la variación del valor observado con el estimado a partir de la ecuación de regresión es cercano a cero para cada punto utilizado en la proyección. En términos sencillos lo que pretende este supuesto es que el valor de las variaciones estocásticas es cero y por lo tanto la ecuación econométrica se puede representar así: 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝜐𝑖 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 0 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖
𝝊𝒊 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜
Las varianzas de cada error estocástico "𝝊𝒊" deben ser idénticas o en términos estadísticas cumplir con el criterio de Homocedasticidad (homo o igual y cedastico o dispersión), es decir que la varianza de 𝝊𝒊 es igual para cada punto en todas las observaciones. Si este supuesto se cumple se esta asegurando que el nivel de varianza de las observaciones es el mismo.
Página
15
No existe correlación entre los errores estocásticos, lo que significa que al aplicar un modelo de regresión para perturbaciones 𝝊𝒊 de distintos puntos observados, se obtiene un r2 cercano a cero, lo que se busca es que la estimación de “𝑌” no dependa de la variación sistemática de los errores estándar la siguiente grafica muestran la condición descrita de los errores estocásticos:
[email protected] –
[email protected]
Material de Apoyo Econometría
Correlación serial Negativa, el valor de " − 𝝊𝒊" es correspondido con un valor " + 𝝊𝒊" y viceversa
Correlación serial Positiva, el valor de “ + 𝝊𝒊” es correspondido con un valor “ + 𝝊𝒊” y viceversa
[email protected] –
[email protected]
Página
1. No existe correlación entre los valores estocásticos y la variable independiente, en otras palabras que no existe Covarianza entre “υi” y “X” o que su covarianza es cero, al correr la variable independiente y el valor de la perturbación se debería esperar que es cero, principalmente por que el valor de X es no aleatorio y se asume fijo para muestras repetidas. 2. El número de observaciones debe ser mayor al número de parámetros a estimar, no obstante no se debe olvidar que debemos contar con una serie de al menos 31 datos para ajustarse al teorema de límite central, no obstante este criterio varia de investigador a investigador, muchos economistas apuntan que más de 20 valores estadísticos son suficientes, también es necesario considerar el tipo de variables que se desean estimar. 3. Debe existir variabilidad en las variables independientes, es lógico pensar este supuesto ya que la función de regresión estimada se logra a partir de las desviaciones entre el valor de X y el de Y, determinando de esta manera un estimado de los parámetros, de no encontrar variabilidad, se estaría esperando una no relación lineal entre las variables. 4. El modelo debe estar especificado correctamente, es decir que lo que se plante matemáticamente debe estar respaldado por supuestos del modelo económico y que la forma funcional sea la que más se ajusta, finalmente se deben incluir todas las variables involucradas que inciden en la explicación de un fenómeno, para ello se pueden correr muchos modelos y
16
Correlación cero de perturbaciones
Material de Apoyo Econometría
aquellos que demuestren un mejor nivel de correlación y de pruebas estadísticas son los que clasifican para hacer estimaciones o demostraciones de relaciones funcionales. El grado de cumplimiento de cada una de los supuestos anteriores puede variar según el criterio del investigador, algunas pruebas que se mencionan son determinadas automáticamente por programas computacionales, además para hacer proyecciones a futuro se analiza la estacionalidad de la serie, el sentido de estas pruebas esta vinculado con la variabilidad de las perturbaciones.
5. Tipos de modelo Los modelos econométricos pueden incluir híbridos o combinaciones, generalmente se trata con modelos lineales, en la mayoría de los casos encontraremos que con dificultad se logra una serie con tendencia lineal debido a la variabilidad de las observaciones y por tanto no siguen una tendencia visible en primera impresión. Por tal motivo el uso de los logaritmos es una herramienta que facilita ajustar una serie a una tendencia, en la medida que se tiene una serie con mucha dispersión, se aplica a todas las variables o a una parte de ellas los logaritmos con el objetivo de suavizar el efecto distorsionador. Por tato tenemos los siguientes tipos de modelos
1. Lineales en sus variables (lineales en sus variables y parámetros) 2. Modelos log-lineales, se ajusta una o todas las variables que no tiene compartimiento lineal Log-log Log-lineales o semilogarítmicos En los modelos lineales al graficar podemos apreciar su tendencia y estimar sin mayor cambio utilizando el método de MCO. Para los modelos doble log (o log-log), se aplica a ambos lados de la ecuación los logaritmos, este es el caso de las funciones exponenciales y de potencia.
Uno de los puntos determinantes en la econometría se basa en el procesamiento estadístico y para ello el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios MCO permite encontrar los Mejores Estimadores Lineales Insesgados, este método presenta muchas ventajas en cuanto a lo fácil de su uso y por lo adecuado del
[email protected] –
[email protected]
Página
6. Mínimos Cuadrados Ordinarios
17
En los semilogarítmicos aplicamos a la variable dependiente un valor en logaritmo para suavizar la tendencia y de esta manera obtener un mejor estimador.
Material de Apoyo Econometría
planteamiento estadístico matemático que permite adecuarse a los supuestos para los modelos econométricos. El término de MCO esta vinculado con la regresión y la correlación, ambas determinan la existencia de relación entre dos o mas variables (siempre una dependiente y una o varias independientes), la diferencia radica en que la regresión se expresa en una función o relación funcional mediante una ecuación con su uso predictivo, y la correlación es un valor que mide la intensidad con que están relacionadas linealmente las variables, se esta hablado de una regresión o correlación simple cuando se relacionan 2 variables, si existen mas se habla de una correlación múltiple (este texto se refiere solamente a la simple).
7. Tipos de Funciones de Regresión Las funciones regresivas principalmente pueden ser de cuatro tipos: LINEALES
Forma matemática 𝒀(𝒙) = 𝒂 + 𝒃𝑿𝒊 DE SEGUNDO GRADO
Forma matemática 𝒀(𝒙) = 𝒂 + 𝒃𝑿𝒊 + 𝒄𝑿𝒊𝟐 7.3.
EXPONENCIALES
Forma matemática 𝒀 𝒙 = 𝒂𝒃𝒙 7.4.
Expresión Regresiva 𝒀𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝑿𝒊 + 𝜷𝟑𝑿𝒊𝟐 + 𝝊𝒊 Expresión Regresiva 𝑳𝒐𝒈 𝑭(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 + 𝒙 𝒍𝒐𝒈 𝒃 + 𝝊𝒊
POTENCIA
Forma matemática 𝒀(𝒙) = 𝒂𝑿 𝒃
Expresión Regresiva 𝒍𝒐𝒈 𝒀𝒊 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 + 𝒃 𝒍𝒐𝒈 𝑿 + 𝝊𝒊
Nota: la variable 𝝊𝒊 se refiere al término de perturbación o de error, se le conoce como una variable aleatoria estocástica y se utiliza para recoger todos aquellos elementos que afectan a las variables del modelo de manera externa, es decir mejora la predicción del modelo en la medida que captura los efectos de variables no relacionadas con el modelo, en la mayoría de casos y cuando se cuenta con la suficiente información el valor que toma esta variable es aproximadamente igual a cero y por lo tanto es un valor descartable, siempre y cuando sea un valor cercano a cero. Para trabajar con una ecuación no importando el tipo (exponencial, logarítmica o de potencia), es necesario en primer lugar linealizar la ecuación, que no es más
[email protected] –
[email protected]
18
7.2.
Expresión Regresiva 𝒀𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝑿𝒊 + 𝝊𝒊
Página
7.1.
Material de Apoyo Econometría
que llevar a potencia 1 la variable explicativa o independiente y para ello se puede valer de distintos métodos algebraicos que permiten llevar efectuar este procedimiento.
8. FUNCIÓN LINEAL Cuando se han recolectado los datos y si estos cumplen con el teorema de límite central (información que se ajusta a una curva normal) se procede a presentar la información bajo un esquema bidimensional que no es más que plantearla en términos del plano cartesiano.
Que bien puede representar la función de oferta, donde “Y” seria la cantidad de productos ofertados, “a” el intercepto y “b” la elasticidad precio de la oferta; ahora la siguiente tabla muestra que la cantidad de kilos de carne de cerdo ofrecidas a los precios de mercado Cantidades Y Precio X
2 3.3
2,5 4.4
3 3.3
4 5.5
3.5 4.4
3.5 5.5
4.5 6.6
5 6.6
5.5 7.2
5.5 7.7
6 7.7
7 8.8
7.5 8.8
9 11
8.5 9.9
[email protected] –
[email protected]
Página
El grafico anterior muestra una relación directa, como la función de oferta se supone, es lineal, su forma funcional así se expresa, no obstante esta puede ser una curva semejante a una parábola o a una exponencial (todo depende el caso) y por lo tanto se puede optar por la mejor forma, en este caso para efectos de simplificación se muestra una lineal.
19
La forma gráfica queda entonces
Material de Apoyo Econometría
8.1.
DESARROLLO
La ecuación de la línea recta es 𝑌(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑋𝑖 Donde: “𝑎” Es el intercepto o el valor que adquiere “𝑌” cuando “𝑋” es igual a cero,
CÁLCULO
Para obtener los valores de los coeficientes se tiene en primer lugar efectuar los productos encontrar sus sumatorias y luego simultanear la ecuación y despejando en cada caso el valor que se requiera:
[email protected] –
[email protected]
Página
8.2.
20
“𝑏” Representa la pendiente o elasticidad de la ecuación (por el cambio en una unidad adicional de 𝑥 el valor total de 𝑌 cambia en la proporción de 𝑏).
Material de Apoyo Econometría Cantidades Y 2.0000 2.5000 3.0000 4.0000 3.5000 3.5000 4.5000 5.0000 5.5000 5.5000 6.0000 7.0000 7.5000 9.0000 8.5000 77.0000
(X)(Y) 6.6000 11.0000 9.9000 22.0000 15.4000 19.2500 29.7000 33.0000 39.3250 42.3500 46.2000 61.6000 66.0000 99.0000 84.1500 585.4750
X2 10.8900 19.3600 10.8900 30.2500 19.3600 30.2500 43.5600 43.5600 51.1225 59.2900 59.2900 77.4400 77.4400 121.0000 98.0100 751.7125
Con el coeficiente encontrado se procede a sustituir en cualquiera de las dos funciones originales para despejar el valor de a por lo que se obtiene
[email protected] –
[email protected]
Página
21
TOTAL
Precio X 3.3000 4.4000 3.3000 5.5000 4.4000 5.5000 6.6000 6.6000 7.1500 7.7000 7.7000 8.8000 8.8000 11.0000 9.9000 100.6500
Material de Apoyo Econometría
585.475 = 585.475 = 585.475 − 667.7418482 = −91.94348195/100.65 = 𝑎 =
(𝑎) 100.65 + (𝑏) 751.7125 (𝑎) 100.65 + 0.901166978) 751.7125 (𝑎) 100.65 𝑎 − 0.913497088
De manera tal que la ecuación queda: 𝑌(𝑋)
=
0.9012 𝑋 − 0.9135
A un precio de “0”, según esa ecuación, la producción seria -0.9135 unidades, la elasticidad precio de la oferta como es de esperarse es positiva, en la medida que cambie el precio de la producción, este tendrá un impacto en el cambio de oferta a un mayor precio se ofrecerá una mayor cantidad de producto. Para efectos simplificadores se puede usar de manera general 𝑎=
𝑏=
𝑋∗ 𝑌 − 𝑛 ∗ 𝑋2 −
𝑋∗𝑌 𝑋 2
𝑛 ∗ 𝑋𝑌) − ( 𝑋 ∗ 𝑌 𝑛 ∗ 𝑋2 − 𝑋 2
9. FUNCIÓN CUADRÁTICA
Para el caso tomaremos un ejemplo hipotético en el que se toma el esquema de una función de costos totales, donde se sabe que hasta cierto punto en el que la producción aumenta los costos caen dado un nivel de tecnología llegando a un mínimo y a partir de ahí existe un incremento progresivo por cada unidad adicional por tanto se espera una forma parabólica.
22
La siguiente tabla muestra el valor del costo total 𝑌 que se obtiene con un nivel de producción específico 𝑋.
Página
La forma funcional de cada modelo econométrico depende en alguna parte por su forma gráfica, es decir que al reflejar en un esquema bidimensional se puede apreciar la forma y hacerse una idea de la ecuación que se ajusta de mejor manera al modelo que se busca.
[email protected] –
[email protected]
Material de Apoyo Econometría
x y
200
240
300
400
500
540
600 640
3910 3680 2990 2070
2070
1380 1610
700
800
900
1000 1040
1380 1725
1495
2070
1840
1100
1200
2530 2990 4025
Y su forma gráfica es: 4500 4000 3500 Costo Total
3000 2500
x
2000
y
1500
Lineal (x)
1000
Lineal (y)
500 0 0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Nivel de Producción
El gráfico anterior muestra claramente que la tendencia no se ajusta a una recta, esta se plantea como una curva en forma de “u”, siendo una parábola, la ecuación que más se ajusta es cuadrática. En este caso estamos tratando con una ecuación de la forma 𝑌(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑋𝑖 + 𝑐𝑋𝑖2 Lo que indica que tiene un valor máximo o en su defecto un mínimo.
Para el caso de la función cuadrática es necesario aclarar que es un caso espacial que se ve en muchos ejemplos económicos, su aplicación es útil para determinar máximos y mínimos. El procedimiento es el mismo que en el anterior, Se encuentra
[email protected] –
[email protected]
23
DESARROLLO
Página
9.1.
Material de Apoyo Econometría
𝐹𝑥 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜 − 𝐹𝑥 𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
2
Mínimo, y se deriva respecto a los coeficientes a, b y c y luego se igualan a cero, para posteriormente combinarlas, las ecuaciones quedan entonces:
9.2.
CÁLCULO
El siguiente paso a realizar consiste en obtener los productos y sumatorias indicadas en las tres ecuaciones
2 3 4 5 6
Y
XY
X2Y
X2
X3
X4
200 240 300 400
3,910 3,680 2,990 2,070
782,000 883,200 897,000 828,000
156,400,000 211,968,000 269,100,000 331,200,000
40,000 57,600 90,000 160,000
8,000,000 13,824,000 27,000,000 64,000,000
1,600,000,000 3,317,760,000 8,100,000,000 25,600,000,000
500
2,070
1,035,000
517,500,000
250,000
125,000,000
62,500,000,000
540
1,380
745,200
402,408,000
291,600
157,464,000
85,030,560,000
7 8 9 10 11
600 640 700 800 900
1,610 1,380 1,725 1,495 2,070
966,000 883,200 1,207,500 1,196,000 1,863,000
579,600,000 565,248,000 845,250,000 956,800,000 1,676,700,000
360,000 409,600 490,000 640,000 810,000
216,000,000 262,144,000 343,000,000 512,000,000 729,000,000
129,600,000,000 167,772,160,000 240,100,000,000 409,600,000,000 656,100,000,000
12 13 14
1,000
1,840
1,840,000
1,840,000,000
1,000,000
1,000,000,000
1,000,000,000,000
15
1,040 1,100 1,200
2,530 2,990 4,025
2,631,200 3,289,000 4,830,000
2,736,448,000 3,617,900,000 5,796,000,000
1,081,600 1,210,000 1,440,000
1,124,864,000 1,331,000,000 1,728,000,000
1,169,858,560,000 1,464,100,000,000 2,073,600,000,000
∑
10,160
35,765
23,876,300
20,502,522,000
8,330,400
7,641,296,000
7,496,879,040,000
Con 15 observaciones se tiene un n de 15
[email protected] –
[email protected]
24
1
X
Página
n
Material de Apoyo Econometría
Siguiendo el esquema anterior se procede a comenzaremos con (1) y (2)
combinar
las ecuaciones,
Combinando (1) y (3)
Página
25
Multiplicando por -8.330.400 la ecuación (1) y multiplicando por 15 la (3)
Combinando 4 y 5
[email protected] –
[email protected]
Material de Apoyo Econometría
Sustituyendo este valor en 4 y despejando b tenemos 𝑏 = (−5,227,900 – 29,982,576,000(0.009954675))/ 21,730,400 𝑏 = −13.97556819 Para encontrar el coeficiente c hay que sustituir en cualquiera de (1), (2) ó (3), tomando la ecuación primera se tiene: 35,765 35,765 35,765 𝑎 𝑎
= 15 𝑎 + 10,160 𝑏 + 8,330,400 𝑐 = 15 𝑎 + 10,160 (−13.97556819) + 8,330,400 (0.009954675) = 15 𝑎 − 141991.7728 + 82926.42106 = (35,765 + 141991.7728 − 82926.42106)/15 = 6322.023448
En consecuencia la ecuación queda 𝑌 𝑥
=
0.009954675 ∗ 𝑋 2 − 13.97556819 ∗ 𝑋 + 6322.023448
[email protected] –
[email protected]
Página
El caso de una ecuación exponencial requiere de un tratamiento especial, el crecimiento exponencial se le aplica en la mayoría de variables poblacionales, la explicación se debe entre otras, además de la relación gráfica, a que el crecimiento en un tramo es lento y a partir de cierto punto, este se incrementa en mayor cantidad, tal como muestra la siguiente gráfica.
26
10. Función exponencial
Material de Apoyo Econometría
La forma de la función estimada es 𝐹𝑥 = 𝑎 ∗ 𝑏 𝑥 Los coeficientes “a” y “b” se calculan a partir de un sistema de ecuaciones que a continuación se explicara, el primer paso a realizar es linealizar la función para ello se aplican logaritmos base 10. Teniendo el siguiente cuadro que relaciona tiempo y niveles Población ocupada, se puede observar una tendencia no lineal, una curvatura en la secuencia de datos, la forma gráfica muestra que el modelo de regresión mas adecuado es la exponencial.
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
3.230
3.400
3.123
3.365
3.563
3.735
3.960
3.560
3.573
3.662
3.842
3.523
3.760
3.990
4.126
4.356
4.653
5.236
5.136
5.313
5.459
5.609
5.763
27
1980 2.740
Página
1979 2.890
Nivel Ocupacion
Año
Es necesario aclarar que cuando se relaciona el tiempo y otra variable, se considera al tiempo como la variable independiente.
[email protected] –
[email protected]
Nivel Ocupacional
Material de Apoyo Econometría 7.000 6.000 5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 1975
1980
1985
1990
1995
2000
2005
Año
10.1.
DESARROLLO
El procedimiento para determinar los coeficientes entonces es:
Página
Para el caso se debe sustituir la función exponencial linealizada en la expresión sumatoria a minimizar por lo que:
28
Al igual que en los casos anteriores se busca que la desviaciones de los valores observados respecto a los estimados sea el mínimo posible, por lo que se debe derivar respecto a los coeficientes “a” y “b” para luego igualar los resultados a cero.
[email protected] –
[email protected]
Material de Apoyo Econometría
10.2.
CÁLCULO
Tomando como base la tabla presentada anteriormente y para simplificar los cálculos, se sustituyen los valores de años por un equivalente numérico que no afecta el resultado (este método se utiliza principalmente en años o en variables de tiempo que poseen un incremento unitario).
∑
X -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Y 2.89 2.74 3.23 3.4 3.123 3.365 3.468 3.684 3.86 3.56 3.573 3.662 3.842 3.9 3.76 3.99 4.126 4.356 4.653 5.236 5.018 5.19 5.333 5.479 5.63
Log Y 0.46089784 0.43775056 0.50920252 0.53147892 0.49457198 0.52698507 0.54007909 0.56631962 0.5865873 0.55149767 0.55301164 0.56367494 0.58450797 0.59106461 0.57518784 0.6009729 0.61548712 0.63908787 0.66773305 0.71899964 0.70049474 0.715185 0.72695922 0.73873907 0.7505158
X*log Y -5.53077411 -4.81525619 -5.09202522 -4.78331025 -3.95657587 -3.68889548 -3.24047453 -2.83159811 -2.34634922 -1.654493 -1.10602328 -0.56367494 0 0.59106461 1.15037569 1.80291869 2.46194847 3.19543936 4.00639832 5.03299747 5.6039579 6.43666501 7.26959218 8.12612979 9.00618959
X2 144 121 100 81 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
0
101.067229
14.946992
15.0742268
1300
[email protected] –
[email protected]
Página
Años 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
29
En consecuencia tenemos la siguiente gráfica que relaciona el tiempo y la cantidad de población ocupada en millones de personas:
Material de Apoyo Econometría
En este caso no habrá necesidad de combinar debido a que la sumatoria de 𝑋 es igual a cero y por lo tanto el valor de “𝑎” y “𝑏” se obtienen de manera más rápida.
11. Función de potencia. A esta función se le conoce como curva geométrica de la forma 𝑌(𝑥) = 𝑎𝑋 𝑏 , al igual que los casos anteriores es necesario linealizar la ecuación, como se puede esperar, basta aplicar logaritmo a la ecuación de igual manera que el en caso
[email protected] –
[email protected]
Página
Para este caso se debe sustituir valores comprendidos entre -12 y 12, para que de como resultado el valor en su equivalente en años.
30
En consecuencia el valor de “𝑎” se obtiene:
Material de Apoyo Econometría
exponencial para obtener una ecuación de la tendencia buscada y se procede a derivar respecto a “𝑎” y “𝑏”.
4.69
4.93
5.30
5.21
5.36
4.72799
5.32763
5.17918
4.93410
4.56 4.15691
3.95702
4.36 3.86039
4.27
4.20 3.62945
3.72691
3.89 3.19813
3.65 2.88434
4.02
3.98 3.32113
3.07448
3.69
3.26 2.38940
2.93138
3.01 1.90424
consumo Ingreso
En este caso utilizamos la relación ingreso y consumo
De la Tabla anterior se desprende que 𝑛 = 16
6.00000
Consumo
5.00000 4.00000 3.00000 2.00000 1.00000 -
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
Ingreso
11.1.
DESARROLLO
Página
31
La secuencia de pasos es similar a la exponencial se tiene que minimizar la expresión, sustituir el valor equivalente de 𝑌 estimado y derivar.
Aplicando propiedades de logaritmos
[email protected] –
[email protected]
Material de Apoyo Econometría
Igualando a cero y derivando respecto a los coeficientes “𝑎” y “𝑏” se llega a las siguientes expresiones
11.2.
CÁLCULO
Con la información anterior se construye los cuadros respectivos que permitirán determinar los valores de los coeficientes: Log X 0.479 0.513 0.567 0.600 0.563 0.605 0.590 0.623 0.639 0.659 0.630 0.671 0.693 0.724 0.717 0.729 8.842
Log Y 0.280 0.378 0.467 0.521 0.460 0.488 0.505 0.560 0.587 0.619 0.571 0.597 0.675 0.727 0.714 0.693 5.661
Log X* Log Y 0.134 0.194 0.265 0.313 0.259 0.295 0.298 0.349 0.375 0.408 0.360 0.401 0.467 0.526 0.512 0.505 6.333
(Log X) 0.229 0.263 0.322 0.360 0.317 0.366 0.348 0.388 0.409 0.434 0.397 0.450 0.480 0.525 0.514 0.532
2
32
X (Ingreso) 3.010 3.260 3.690 3.980 3.654 4.024 3.890 4.200 4.360 4.560 4.268 4.689 4.930 5.300 5.210 5.360 10.002
Página
Y (Consumo) 1.904 2.389 2.931 3.321 2.884 3.074 3.198 3.629 3.860 4.157 3.727 3.957 4.728 5.328 5.179 4.934 n=16 ∑
[email protected] –
[email protected]
Material de Apoyo Econometría
En consecuencia la ecuación queda
12.1.
INTERPRETACIÓN ESTADÍSTICA
Como ya se ha planteado el grado de correlación mide la intensidad de relación lineal, ya sea directa, inversa o inexistente entre dos variables, se dice que es
[email protected] –
[email protected]
Página
12. Coeficiente de Correlación
33
𝑌(𝑋) = 𝑎𝑋 𝑏 𝑌(𝑋) = 3.57 𝑋 70.32
Material de Apoyo Econometría
directa si tiene signo positivo, inversa de signo negativo y nula cuando el valor sea aproximadamente igual a cero. Existen diferentes métodos para calcular el grado de correlación en este caso explicaremos el método en términos de variaciones y simplificado de Kart Pearson. El método de variaciones consiste en comparar el grado de desviación que se presenta entre los valores observados, los proyectados y la media aritmética; el de Kart Pearson lo resume en una ecuación determinada. La idea central radica en que si existe relación entre los valores de “𝑌” observados con los valores de 𝑋, el grado de variación de la media aritmética respecto a los “𝑌” estimados y los observados es mínima. En términos concretos se compara el porcentaje de la variación explicada (que se origina entre los valores proyectados y la media), y la variación total (la variación observada y la variación explicada) en cuyo caso refleja un coeficiente que se encuentra entre el valor de -1 y 1. De manera funcional se mide: 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 + 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 (𝑌 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑎 − 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑌) = (𝑌 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑎 − 𝑌 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎) + (𝑌 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎 − 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑌)
La siguiente gráfica muestra las desviaciones a las que se hace referencia, el valor de la media se representa por la variable “𝛹” y se obtiene de la suma del valor observado dividido entre el total de observaciones, 𝛹 = 𝑌/𝑛.
Página
Como el coeficiente de correlación es un porcentaje que explica el comportamiento de la relación entre lo variación explicada y la variación total se calcula mediante
34
Para evitar valores negativos se debe llevar al cuadrado cada expresión, para totalizar ese cálculo se realiza para cada uno de los puntos y luego se procede a la suma en consecuencia
[email protected] –
[email protected]
Material de Apoyo Econometría
Con esta ecuación se puede apreciar que en la medida que el valor de observado sea igual al valor proyectado, el nivel de variación con la media será el mismo, es decir que 𝑌 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜 = 𝑌 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜, si eso se cumple para cada uno de los puntos las variaciones son inexistentes y por lo tanto
El método de Pearson no es más que aplicar la siguiente ecuación
X*x
y*y
Y (X) estimadas
(Y- Y(X))2
(Y(X ) - Ψ)2
(Y - Ψ)2
2.0 2.5 3.0 4.0 3.5 3.5 4.5 5.0 5.5
6.600 11.000 9.900 22.000 15.400 19.250 29.700 33.000 39.325
10.890 19.360 10.890 30.250 19.360 30.250 43.560 43.560 51.123
4.000 6.250 9.000 16.000 12.250 12.250 20.250 25.000 30.250
2.06 3.05 2.06 4.04 3.05 4.04 5.03 5.03 5.53
0.004 0.304 0.883 0.002 0.201 0.295 0.285 0.001 0.001
9.443 4.333 9.443 1.189 4.333 1.189 0.010 0.010 0.157
9.818 6.934 4.551 1.284 2.668 2.668 0.401 0.018 0.134
[email protected] –
[email protected]
35
(X)(Y)
3.30 4.40 3.30 5.50 4.40 5.50 6.60 6.60 7.15
Página
Cantidades Y observadas
CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
Precio X
12.2.
Precio X
Cantidades Y observadas
(X)(Y)
X*x
y*y
Y (X) estimadas
(Y- Y(X))2
(Y(X ) - Ψ)2
(Y - Ψ)2
Material de Apoyo Econometría
7.70 7.70 8.80 8.80 11.00 9.90 100.65
5.5 6.0 7.0 7.5 9.0 8.5 77.0
42.350 46.200 61.600 66.000 99.000 84.150 585.475
59.290 59.290 77.440 77.440 121.000 98.010 751.713
30.250 36.000 49.000 56.250 81.000 72.250 460.000
6.03 6.03 7.02 7.02 9.00 8.01 77.00
0.276 0.001 0.234 0.242 2.729
0.796 0.796 3.547 3.547 14.946 8.264 62.005
0.134 0.751 3.484 5.601 14.951 11.334 64.733
De la tabla anterior se deduce que 𝑛 = 15 La media entonces es 𝛹 = 𝑌/𝑛 𝑟 2 = ( (𝑌 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎 − 𝛹)2 )/( (𝑌 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑎 − 𝛹)2 ) 𝑟 2 = 62/64.73
r2 = 0.9578 Mediante el segundo método se tiene: 𝑟 =
(𝑛 ∗ 𝑥𝑦 – ( 𝑥) ∗ ( 𝑦) )
La desviación estándar de la función de regresión indica el grado de dispersión entre las variaciones de los valores observados “Y” respecto a los estimados con ese valor se puede determinar con cierta certeza si un modelo es confiable, en la
[email protected] –
[email protected]
Página
13. Desviación Estándar
36
√ ((𝑛 ∗ ( 𝑥 2 ) ∗ −( 𝑥)2 ) ∗ (𝑛 ∗ ( 𝑦 2 ) − ( 𝑦)2 ) Como se puede apreciar indistintamente de método que se decida utilizar se llega al mismo valor, entre más cercano se encuentre el valor de 1 se puede asegurar que es más estrecha la relación lineal entre la variable dependiente y la independiente.
Material de Apoyo Econometría
medida que dicho coeficiente sea mayor se puede apreciar que la estimación de los coeficientes no es lo suficientemente confiables. Y(X) , la fórmula queda:
13.1.
CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
De acuerdo con los datos recopilados se puede decir que la desviación es
Por el segundo método
La diferencia se debe a los decimales utilizados
14. Pruebas de Validez Econométricas
Para determinar la significancia estadística es necesario calcular la variable “𝑡 𝑠𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡”, la cual es una distribución que tiene una fuerte vinculación con la curva o distribución normal, puesto que en la medida que se tengan mayor cantidad de observaciones en el cálculo de la “𝑡 𝑠𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡” la curva se va ajustando a la normal.
[email protected] –
[email protected]
37
SIGNIFICANCIA ESTADÍSTICA
Página
14.1.
Material de Apoyo Econometría
Para iniciar este tipo de evaluación hay que considerar los grados de libertad de la serie los cuales no son más que el número de observaciones “𝑛” menos el número de variables utilizadas para la proyección. La formula entonces queda:
Donde la variable ß es un parámetro encontrado en la ecuación, el gorrito o el ^ significa que el valor encontrado mediante los MCO y el valor ß por si solo es el real o el poblacional no estimado y
es el error estándar del parámetro.
El valor “t” debe evaluarse para un nivel de significancia o probabilidad que no debe ser mayor al 15% y se puede evaluar para una o para dos colas, esto se estima el valor mediante una tabla que se encuentra en la mayoría de libros de estadística para estudios superiores. Para establecer si los coeficientes son significativos en términos estadísticos, se observa si el valor de t, se encuentra fuera de la zona crítica y en este caso se dice que los coeficientes son estadísticamente significativos. De caer dentro de los intervalos de las colas, es decir entre ellas, se dice que no son estadísticamente significativos, dependiendo del tipo de modelo también se puede elegir la prueba utilizando un lado de la cola.
Página
38
En primer lugar se debe determinar el valor crítico y para ello se analiza los grados de libertad y la probabilidad con la que se desea trabajar, utilizando los valores de la función lineal tenemos:
[email protected] –
[email protected]
Material de Apoyo Econometría
Como el valor de 𝑏 es 0.90 y para una probabilidad del 5% con 15-2 grados de libertad se tiene un valor de 2.160, como el valor 𝑡 es 60.92 podemos asegurar que la t student queda fuera del rango en que no existe significancia estadística.
15. Interpretación de Variables Los valores obtenidos como “𝑎” y “𝑏” son estimadores de los parámetros reales, porque se dicen estimadores por que son encontrados a partir de una muestra, su representación en econometría son los valores ß, el caso de “𝑎” se esta tratando con el intercepto y con “𝑏” con la elasticidad, si “𝑏” esta siendo afectado por un logaritmo ese coeficiente es una tasa de crecimiento. En la medida que el valor de 𝑟 o 𝑟 2 tienda a uno (1) o a menos uno (-1) se esta tratando de una fuerte correlación, los investigadores prefieren trabajar con un coeficiente de correlación cercano a 0.90 y 0.95, si es 0.99 nos encontramos en la posibilidad de presentar auto correlación entre las variables y por tanto no aproximarnos a los valores reales.
[email protected] –
[email protected]
Página
Las proyecciones de los modelos como se ha planteado son en dos momentos el Corto Plazo CP y el Largo Plazo LP, este último se utiliza solamente la ecuación calculada por mínimos cuadrados ordinarios, en el caso de CP sea hace una regresión utilizando las desviaciones típicas de cada valor u observación para estimar su relación de variabilidad con la función econométrica a partir de ello se aplica a las observaciones un método de diferencias para determinar su variación para cada año y a partir de los coeficientes que refleje se puede hacer
39
16. Proyecciones
Material de Apoyo Econometría
estimaciones para no mas de 5 o 6 observaciones a futuro, con la condición de proyectar las variables independientes. El método de proyecciones de CP no será presentado por tratarse de un método que requiere otros elementos de análisis como la estacionalidad de la serie y su cointegración, así como métodos de proyección y utilización de paquetes computacionales; por tal motivo estamos en la posición de hacer proyecciones a LP, para ello se toma la ecuación calculada y se procede a sustituir valores de la variable independiente que se encuentren dentro del rango o dominio de la variable X. Finalmente para efectuar una proyección de CP, el modelo debe poseer un coeficiente de correlación cercano a 1 o a -1, una mínima desviación estándar y poseer significancia estadística, solo de esta manera una proyección es confiable, en la medida que los el r2 sea cercano a cero o inferior a 0.75, una desviación grande y con coeficientes no representativos la estimación se dice no confiable o espuria. Para el ejercicio de la función lineal tenemos una ecuación construida para un domino que va desde 3.3 a 11, el cual representa el precio. Con esa información podemos decir que si el mercado espera en ese periodo un precio de 5 unidades monetarias el valor de la cantidad ofertada será de: 𝑌(𝑋) = 0.9012 (5) − 0.9135, 𝑌(𝑋) = 3.59 En consecuencia los productores ofrecerían unos 3.6 kilos de carne aproximadamente, la misma mecánica se aplica para las demás ecuaciones calculadas, la interpretación variará dependiendo de las variables utilizadas.
Página
40
En el caso de utilizar el Excel solo es necesario aplicar la formula tal como se presenta en la siguiente grafica, el valor variable es la columna de los precios esperados 𝐵 y por tanto se deja la ecuación idéntica excepto ese valor que nos sirve para estimar, para encontrar los valores posteriores simplemente es necesario copiar y hacia abajo
[email protected] –
[email protected]
Página
41
Material de Apoyo Econometría
[email protected] –
[email protected]
Material de Apoyo Econometría
Nótese que el valor de 15 no fue estimado por no encontrarse dentro del rango, lo mismo se aplica para casos que están por debajo de 3.3.
17. Algunos Cálculos Mediante Excel Como es de esperarse existen diferentes programas que facilitan el análisis econométrico, dentro de ellos se puede mencionar SPSS y Econometrics Views, son programas especializados para ello, no obstante, office de Windows mediante Excel ofrece herramientas que facilitan ciertos cálculos como la estimación de la educación y el valor de r2. En primer lugar debemos introducir los datos de manera vertical tal como se muestra
Página
42
Luego marcamos las dos columnas para graficar las relaciones
[email protected] –
[email protected]
Material de Apoyo Econometría
Nótese que se señalo el gráfico de dispersión, se aplica siguiente hasta el punto en que se solicita la ubicación, se recomienda que se envíe a una hoja aparte, no en la misma hoja.
Como se puede apreciar existen diferentes tendencias, uno mismo puede hacer las pruebas en que el coeficiente de correlación y la forma funcional se ajuste más.
[email protected] –
[email protected]
Página
43
Se da clic derecho en la línea de dispersión para seleccionar línea de tendencia
Material de Apoyo Econometría
Además en la viñeta de opciones de la misma venta se puede seleccionar que muestre la ecuación y el valor de r2.
Nótese que son los mismos valores calculados para el ejemplo 1 de línea de regresión lineal
[email protected] –
[email protected]
Página
44
Quedando de esta manera
Material de Apoyo Econometría
18. Cuestionario 18.1.
INTRODUCCIÓN 1. Que es la econometría? 2. Cuáles son las diferencias entre la correlación y regresión? 3. Cómo puede vincular los conceptos econometría, correlación y regresión?
18.2.
METODOLOGÍA 4. Explique brevemente los pasos para la construcción de un modelo econométrico a partir de los niveles de desempleo e inflación utilizando la curva de Phillips y su teoría.
18.3.
CONSIDERACIONES DE LOS MODELOS 5. Qué condición ó condiciones indispensable debe contener una serie estadística para considerarla apta para aplicar la herramienta de econometría. 6. Cuál es la razón de utilizar logaritmos aplicados a una serie estadística y que implicaciones tienen en el modelo en cuanto a la interpretación de los parámetros o coeficientes.
18.4.
MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS
Nota: utilice Excel para verificar sus resultados Ejercicio de aplicación caso hipotético
[email protected] –
[email protected]
Página
7. Coeficiente de correlación. 8. Desviación estándar. 9. Ecuación de regresión 10. Cual de las formas de ecuación se ajusta más para explicar el comportamiento de esta serie. 11. Será que existe una relación entre el tiempo y la cantidad de Población Ocupada, comente? 12. Cómo se pueden interpretar los coeficientes encontrados.
45
A continuación se presenta un caso hipotético en el que se relaciona el tiempo y la variable Población Ocupada, se pide:
Material de Apoyo Econometría Año
Página
46
1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Población ocupada 1,236,400 1,269,783 1,304,067 1,336,525 1,440,242 1,437,598 1,392,730 1,307,429 1,484,303 1,393,370 1,371,884 1,484,961 1,532,991 1,740,448 1,633,763 1,854,882 1,781,582 1,753,147 1,802,586 1,950,998 1,973,017 2,056,450 2,066,523 2,227,471 2,274,728 2,322,697 2,451,317 2,412,785 2,520,060 2,526,363 2,607,100
[email protected] –
[email protected]