IVONETE MELO DE CARVALHO
Engenharia Econômica Anotações de Aula
Campo Grande/MS
Este texto tem por finalidade orientar os aca dêmicos no processo de aprendizagem de conteúdos referentes à Matemática Financeira e Análise de Invest imentos que compõem o tema Engenharia Econôm ica. ca. Trata-se de um texto que lhe servirá de base de estudos para buscar informações refinadas em ref erências bibliográficas tradicionais e atuais. Bom e s tudo para v oc ê.
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Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Conteúdo CAPÍTULO 1 - NOÇÕES FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA:
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COMPORTAMENTO DO DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO ................................................................................................ ...... 6 CONCEITOS FUNDAMENTAI S: ................................ ................................................................ .............................................. 6 NOMENCLATURAS UTILIZADAS EM MATEMÁTICA FINANCEIRA:................................ ........................................................ 7 EXERCÍCIOS: ................................ ........................................................................................................................................ 8 GABARITO ................................................................ ................................ ................................................................ ......... 10 11 CAPÍTULO 2 - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES: JUROS E MONTANTE A TAXA CONSTANTE: FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES E MONTANTE SIMPLES................................................................ ................................ .....11 ..... 11 RAZO COMERCIAL OU PRAZO EXATO P . ................................ ................................................................ .............................. 12 JUROS E MONTANTE A TAXA CONSTANTE : ........................................................................................................................ 12 EXERCÍCIOS: ................................ ...................................................................................................................................... 12 GABARITO: ................................................................................................ ................................ ........................................ 13 ROPORCIONALIDADE DE TAXAS : ................................ ................................................................ ................................ .....14 PROPORCIONALIDADE ..... 14 DESCONTO E VALOR ATUAL A TAXA CONSTANT E: ................................................................................................ ........... 14 ......................
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DESCONTO E VALOR ATUAL A DESCONTO POR FORA , A TAXA CONSTANTE : ................................................................ .... 14 DESCONTO E VALOR ATUAL A DESCONTO POR DENTRO D ENTRO , A TAXA CONSTANTE : ............................................................... 15 ...... 16 EXERCÍCIOS: ................................ ................................................................................................................................ ......16 GABARITO: ................................................................................................ ................................ ........................................ 17 RELAÇÃO ENTRE DESCONTO POR FORA (BANCÁRIO ) E TAXA DE JUROS :................................................................ ........... 17 RELAÇÃO ENTRE DESCONTO POR DENTRO (RACIONAL ) E TAXA DE JUROS : ...................................................................... 17 RELAÇÃO ENTRE DESCONTO POR FORA (BANCÁRIO ) E DESCONTO POR DENTRO DENTR O (RACIONAL ): ................................ ......... 18 EXERCÍCIOS: ................................ ...................................................................................................................................... 18 GABARITO: ................................................................................................ ................................ ........................................ 19 CONTAS GARANTIDAS E O MÉTODO HAMBURGUÊS ................................ ................................................................ ......... 20 EXERCÍCIOS: ................................ ...................................................................................................................................... 21 GABARITO ................................................................ ................................ ................................................................ ......... 22
CAPÍTULO 3 - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA: JUROS COMPOSTOS A TAXA CONSTATE . 23 CRESCIMENTO EXPONENCIAL: EXPONENCIAL: JUROS COMPOSTOS A TAXA CONSTATE CRESCIMENTO EXPONENCIAL : ................................................................ ......... 23 USO DO LOGARITMO PARA CALCULAR O PERÍODO NO SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA : ................................ .... 24 USO DO LOGARITMO PARA CALCULAR A TAXA NO SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA : ................................ ......... 24 EXERCÍCIOS: ................................ ...................................................................................................................................... 25 GABARITO: ................................................................................................ ................................ ........................................ 25 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA - DESCONTO POR DENTRO ............................................................................................... 26 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA DESCONTO POR FORA : ................................ ................................................................ .. 27 ...... 28 EXERCÍCIOS: ................................ ................................................................................................................................ ......28 GABARITO: ................................................................................................ ................................ ........................................ 29 TAXAS PROPORCIONAIS : ................................ ................................................................ ................................ ................... 29 TAXAS EQUIVALENTES : ................................................................ ................................ .................................................... 30 TAXA NOMINAL : ................................ ............................................................................................................................... 30 TAXA EFETIVA: ................................................................................................ ................................ ................................ . 30 TAXAS UNIFICADAS : ................................................................................................................................ ......................... 31 EXERCÍCIOS: ................................ ...................................................................................................................................... 32 ABARITO: ................................................................................................ ................................ ........................................ 33 GABARITO ................................................................................................................................
34 CAPÍTULO 4 - SÉRIES DE PAGAMENTOS RENDAS FLUXO DE CAIXA ................................ ............................................................................................................................... 34 EXERCÍCIOS: ................................ ...................................................................................................................................... 35 FORMAÇÃO DE CAPITAL E PAGAMENTO DE DÍVIDAS ................................................................ ....................................... 35 RENDAS ................................ ............................................................................................................................................. 36 CLASSIFICAÇÃO DE UMA RENDA ................................................................................................ ....................................... 36 EXERCÍCIOS: ................................ ...................................................................................................................................... 37 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA RENDA IMEDIATA - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL (FAC)......................... 38 FATOR DE FORMAÇÃO DE CAPITAL (FFC)................................................................................................ (FFC) ................................................................................................ ......................... 40 RENDA ANTECIPADA ................................................................................................................................ ......................... 41 FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL (FAC) E FATOR DE FORMAÇÃO DE CAPITAL (FFC)................................ .............. 41 ROBLEMAS:................................ ...................................................................................................................................... 42 PROBLEMAS GABARITO: ................................................................................................ ................................ ........................................ 42 AMORTIZAÇÃO COMPOSTA...................................................................................................................................... COMPOSTA ...................................................................................................................................... 43 RENDA IMEDIATA ................................ ................................ ................................................................ .............................. 43 FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL ................................ ................................ ............................................................. 45 RENDA ANTECIPADA - FATOR DE VALOR ATUAL ............................................................................................................. 45 FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL ................................ ................................ ............................................................. 46 RENDA DIFERIDA ................................ ................................ ................................................................ .............................. 46 EXERCÍCIOS: ................................ ...................................................................................................................................... 47 GABARITO: ................................................................................................ ................................ ........................................ 47 FORMULÁRIO DESTE CONTEÚDO : ...................................................................................................................................... 49 .........................................................................................
50 CAPÍTULO 5 - AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS: SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE - SAC ................................................................................................ .............. 52 EXERCÍCIOS: ................................ ...................................................................................................................................... 52 GABARITO ................................................................ ................................ ................................................................ ......... 53 SISTEMA FRANCÊS (OU SISTEMA PRICE)................................ ................................ ........................................................... 54 SIST EMA FRANCÊS ................................................................ ................................ .....56 CÁLCULO DO SALDO DEVEDOR NO SISTEMA ..... 56 .............................................................................................
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EXERCÍCIOS: ................................ ...................................................................................................................................... 56 GABARITO ................................................................ ................................ ................................................................ ......... 57 59 CAPÍTULO 6 SELEÇÃO DE ALTERNATIVAS PARA INVESTIMENTOS: CUSTO EFETIVO NOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ................................................................................................ ........... 59 EXERCÍCIOS: ................................ ...................................................................................................................................... 62 GABARITO: ................................................................................................ ................................ ........................................ 62 MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO : ................................................................................................ ......................... 64 MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO: ................................ ................................ ...................................................... 65 MÉTODO DO CUSTO BENEFÍCIO: ................................................................................................ ....................................... 65 TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE : ................................ ................................................................................................... 65 BIBLIOGRAFIA ................................ ................................ ................................................................................................... 67 .......................................................
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Capítulo 1 - Noções fundamentais da matemática finance ira:
Comportamento do dinheiro ao longo do tempo O comportamento do dinheiro considera duas posições na linha do tempo: pr efuturo. As situações (posições) (posições) para o valor transacional são: sen sente e futuro.
Tenho (no presente) e terei (no futuro): capitalização; Para ter (no futuro) devo ter (no presente): descapitalização. descapitalização. Para compreender essa movimentação do dinheiro, utilizaremos os termos a seguir, que são denominados elementos fundamentais da matemática finan ceira. É necessário conhecê-los e incorporar seus conceitos, uma vez que muito do que estudaremos ao longo deste curso basearbasear-s e -á no pleno domínio de tais noções fu ndamentais. Conceitos fundamentais: Capital (C): Chamamos de capital a qualquer valor monetário que uma pessoa
(física ou jurídica) empresta para outra durante um período de tempo. Juros (J): Chamamos de juros ao custo financeiro do empréstimo. Prazo (n): é a unidade de tempo pela qual se cede o capital. Montante (M): é a soma do principal (capital) com os juros. Desconto (D): É um abatimento concedido a um valor monetário em determ i-
nadas condições. Valor Atual (A): Diferença entre capital (ou valor nominal) e o desconto. Valor Nominal (N): é o valor do documento, na data de seu vencimento. É s inônimo de valor de face, valor de resgate e de capital. Taxa (i, d): Valor do juro (ou do desconto) numa unidade de tempo, expresso
em por porcentagem. (R):: É um conjunto de capitais, com vencimentos diferentes. Renda (R) 6
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Capitalização: É a variação do valor do capital, conforme varia o tempo. É i m-
portante observar que o processo de capitalização pode ser simples ou composto. Neste curso, estudaremos aos dois processos. Observação importante: Valores monetários (juros, desconto, capital, montante, valor atual, valor
nominal ): sem pre com duas casas decimais. (precisão). Taxas de juros (ou desconto): sempre com seis casas decimais (pre Nomenclaturas utilizadas em Matemática Financeira: i = do inglês Inte rest rest , representa os juros envolvidos em quaisquer operações financeiras. C = do inglês Capital , representa o Capital utilizado numa aplicação f inanceira. M = do inglês aMount , representa o Montante (soma do Capital com os juros). n = nesse caso é uma incógnita referente ao período de tempo (dias, se manas, meses, anos...) a.d. = abreviação usada para designar ao dia a.m. = abreviação abreviação usada para designar ao m ês
a.a. = abreviação usada para designar ao ano d = do inglês Discount , representa o desconto conseguido numa aplicação f inanceira.
N = do inglês Nominal, representa o valor Nominal ou de face de um docume nto financeiro.
A = do inglês Actual , representa o valor real ou atual de um documento fina nceiro em uma determinada data. V = incógnita usada para representar representar o Valor Atual em casos de renda certa ou anuidades T = incógnita usada para representar o Valor Nominal em casos de renda certa ou anuidades an¬i = expressão que representa o fator de valor atual de uma série de pag amentos. Sn¬i = expressão que representa o fator de acumulação de capital de uma s érie de pagamen pagame ntos. 7
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Para compreender a nomenclatura, veja os exemplos: 1) Ana faz um empréstimo junto ao banco, no valor de R$ 1.000,00, para p agamento daqui a dois meses, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Neste caso, temos: capital = pital = R$ 1.000,00; prazo: 2 meses; taxa de juros: juros: 2% ao mês. 2) Ana faz um empréstimo junto a uma amiga, no valor de R$ 1.000,00, para pagamento daqui a três meses, ficou combinado que devolveria à amiga R$ 1.10 0,00. Neste caso, temos: capital = capital = R$ 1.000,00; prazo = 3 meses; montante = R$ 1.100,00; juros = R$ 100,0 100,00 0 (im (im plícito plícito no texto, já que m ontan te = ca pital pital + juros juros = montante
capital).
Exercícios:
1. A matemática matemática financeira basicamente estuda o comportamento comportamento do dinheiro dinheiro no tempo. Esse valor monetário transacional chamachama -se: a. Moeda b. Nota c . Capital ou principal d. Risco e. e. Inflação 2. Podemos dizer que juro é basicamente a remuneração do capital empregado. Para o investidor é: a. Uma promessa do que receberá; b. A remuneração do investimento; c . O que ele pagará; d. O que receberá; 3. Considerando a afirmação anterior, para o tomador do capital é: a. A promessa do que irá pagar; b. O custo do capital obtido por empréstimo; c . O que ele receberá; d. O que será devolvido após o empréstimo. 4. Chamaremos de montante de uma aplicação que rendeu juros ao resultado do: a. Capital acrescido pelos juros produzidos; 8
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b. Capital subtraído pelos juros produzidos; c . Capital multiplicado pelos juros produzidos; d. Capital dividido pelos juros produzido s . 5. Numa operação financeira, a aplicação de um capital de R$ 1.000,00 rendeu juros de R$ 30,00. Os juros obtidos como porcentagem do capital serão de: a. 3% b. 10% c . 20% d. 30% e. 100% 6. A aplicação de um capital de R$ 1.000,00 durante 1 ano ano rendeu juros juros de R$ 230,00. O s juros obtidos obtidos como porcentagem porcentagem do capital para para o período de 1 ano foi de: a. 10% aa b. 20% aa c . 23% aa d. 27% aa e. 30% aa 7.
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mês representam:
a. 3 meses e 3 dias b. 3 meses e 6 dias c . 3 meses e 10 dias d. 3,3 meses e. 3 meses e quinze dias 8. Uma aplicação aplicação teve inicio no dia 15/10/1997 15/10/1997 e término término em 24/02/1998. Conside rando o mês comercial, o período de duração da operação, em dias corridos, foi de: a. 135 b. 133 c . 131 d. 129 e. 127 9. Uma aplicação aplicação teve inicio no dia 15/10/1997 15/10/1997 e término término em 24/02/1998. Conside rando o mês civil, o período de duração da operação, em dias corridos, foi de: a. 129 9
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b. 130 c . 131 d. 132 e. 133 10. Uma empresa precisa tomar um empréstimo empréstimo de um ano a uma taxa de juro capitaliz ada anualmente. Neste caso: a. Para taxas iguais é melhor o sistema de capitalização simples b. Para taxas iguais é melhor o sistema de capitalização composta c . Para taxas iguais tanto faz qual seja o sistema de capitalização
d. Dependendo do valor é melhor o sistema de capitalização simples Gabarito
1. C 2. B
3. B 3. B 4. A
5. A 6. C
7. C 8. D 8. D
9. D 9. D 10. C
10 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Capítulo 2 - Capitalização simples: Juros e montante a taxa constante: No processo de capitalização simples,
a taxa de juros incide sobre
o capital, o valor dos juros dependente do prazo pelo qual se cede o capital. Exemplo: Beatriz faz um empréstimo junto ao banco, no valor de R$ 1.000,00, para p agamento daqui a dois meses, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês, no sistema de capitalização simples. Neste caso, Beatriz pagará ao banco 2% ao mês, que significa p agar R$ 20,00 de juros por mês (2% de R$ 1.000,00 são R$ 20,00), logo, em dois meses, Beatriz deverá pagar ao banco R$ 40,00, ou seja, R$ 20,00 de juros ao mês, por dois m eses. Por definição, o valor dos juros simples é dado pelo produto do capital multipl icad o pela taxa e pelo prazo, ou seja, J = C*i*n. C*i*n. Fórmulas de Juros Simples e Montante Simples
Da fórmula dos juros simples J = C*i*n, obteremos a fórmula do montante si mples: M C J
(fórmula do montante a juro simples, pela definição)
Portanto: M C J (fórmula do m ontante a juro sim M C C * i * n C * (1 i * n) (fórmula si mples) M C * (1 i * n) i
M 1 (fórmula da taxa de juros no período de tempo) C
Há situações onde a periodicidade do prazo de uma operação financeira difere da periodicidade da taxa, por exemplo: o prazo da operação é dado em meses, enquanto a taxa é indicada ao ano. Quando isto ocorrer, será necessário transformar uma das grandezas envolvidas no processo para que todas fiquem na me sma periodicidade. Exemplo: taxa ao mês prazo em anos. Nesse caso, multiplique o número de anos por 12 12 para transform transform a r a grandeza grandeza em meses. 11 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Prazo comercial ou prazo exato.
No prazo comercial, todos os meses são considerados com 30 dias (= mês comercial) e o ano com 360 dias (= ano comercial). Aqui, os juros são cham ados de juros comerciais ou de juros ordinários. ordinários. Quando consideramos EXATAMENTE os EXATAMENTE os dias transcorridos entre duas datas apresentadas, dizemos que apuramos um prazo exato. Note que nesta situação, cada mês poderá ter 30, 31 ou 28 (no caso do mês de fevereiro ou 29 no caso do ano ser bi ssexto ) e o ano terá 365 dias (se o ano for bissexto, 366). Os juros aqui calculados serão chamados de juros exatos. tos. Juros e montante a taxa constante:
Seja C = capital, M = montante, J = valor do juro, i = taxa de juros e n o período de tem po. Nestas Nestas condições , ter ter emos: Exemplo: Dados: Capital: R$ 12000,00; i = 1,2% am; n = 4 meses. Calcule o montante: 1,2 J 45.000 * 1,2% * 4 12.000 * * 4 576,00 100 log o, M C J 12.000 576 12.576,00 Exercícios:
1. (Bacen -98) Na capitalização simples, simples, calcule os juros correspondentes correspondentes à aplicação de R$ 2.000,00 por 2 meses, à taxa de 4% am. 2. (Banespa) Paulo empresta a Carlos R$ 1.000.000,00 à taxa de juros de 21,5% aa p elo prazo de um ano. Porém, três meses antes do encerramento do prazo, Carlos r esolve sal saldar a dívida. Qual o total de juros pagos por Carlos? 3. (Banco do Brasil) Que quantia, aplicada a 2,5% am, durante três meses e dez dias, rende R$ 28.000,00? 4. Emprestei R$ 55.000,00 55.000,00 durante durante 120 dias e recebi juros de R$ 550,00. Calcule Calcule a taxa mensal de juros simples da operação. 5. (TRT) Um capital de R$ 100.000,00, aplicado à taxa mensal de 1,5%, rendeu R$ 30.000,00 de juros simples. Por quanto tempo esse capital esteve aplicado? 12 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
6. Calcule o montante gerado pela aplicação de um capital de R$ 14.500,0 que foi apl icado durante 5 meses a uma taxa de juro simples de 1,5% ao mês. 7. (CEF-01) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19.050,00, qual deverá ser o prazo de s sa aplicação? 8. (OF. PROM. 01) Um capital de R$ 18.000,00 foi aplicado por um período de 6 meses a juros simples, produzindo um montante de R$ 21.780,00. A que taxa mensal foi apl icado esse capital? 9. Uma pessoa depositou depositou certa importância importância num banco à taxa taxa de2% am. Depois de 6 meses retirou montante de R$ 7.840,00. Qual foi o capital depositado? 10. Depositei em um banco certa importância a 2% ao mês e depois de 2 anos e 6 meses, recebi, no total, R$ 48.000,00. Qual o valor dos juros simples da opera ção? 11. (TRE-SP) Apliquei
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de um capital à taxa de 12% ao ano e o restante a 18% ao ano.
Se após 8 meses obtive juros num total de R$ 17.280,00, determine o capital empr egado. 12. (Banco do Brasil) Se aplicarmos determinada quantia durante 8 meses, seu monta nte será de R$ 63.000,00. Caso a aplicação durasse durasse 13 meses, o montante seria de R$ 74.250,00. Qual a taxa mensal aplicada? 13. Hoje 13. Hoje o valor da cota de um fundo de investimento é R$ 17,24 e há 65 dias foi de R$ período considerado? 16,74. Qual a taxa de rendi rend im ento do fundo, no período 14. Determinar 14. Determinar o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda recebida a partir da aplicação de um principal de R$ 10000,00, com uma taxa de juros de 1% ao mês, no regime de juros simples. 15. Determinar 15. Determinar o principal que deve ser aplicado a juros simples, com uma taxa de juros de 10% ao ano, para produzir um montante de R$ 10000,00, num prazo de 15 meses. 16. 16. Um investidor aplicou um principal de R$ 1000,00 para receber um montante de R$ 1300,00, no prazo de 36 meses. Determinar, no regime de juros simples, a taxa anual de juros. Gabarito:
1. R$ 160,00 2. R$ 161.250,00 3. R$ 336.000,00
9. R$ 7.000,00 10. R$ 18.000,00 11. R$ 180.000,00 13 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
4. 5. 6. 7. 8.
0,25% am 1 ano e 8 meses R$ 15.587,50 1 ano e 6 meses 3,5%
12. 5 % 13. 2,986 2,986858% 858% no períod o.
14. R$ 12.400,00 e R$ 2.400,00 15. R$ 8.888,89 16. 10 %
Proporcionalidade de taxas:
Duas taxas são ditas proporcionais quando os montantes sobre o mesmo c apital e no mesmo prazo, forem iguais. 36% Exemplo: 3% am (em um ano) é proporcional a 36% aa, pois 3% . 12 Desconto e Valor Atual a taxa constante: Desconto: É um abatimento concedido a um valor monetário em determi nada s
condições. Pode ser concedido de duas diferentes formas: Desconto por fora, comercial ou bancário: incide sobre o capital (pri ncipal). Desconto por dentro ou racional: incide sobre o valor atual. Desconto e Valor Atual a desconto por fora, a taxa constante:
Neste caso, o desconto é proporcional ao valor nominal, o prazo e à taxa de desconto, isto é: D N * d * n , onde D = valor do desconto, d = taxa de desconto, n = prazo na mesma unidade uni dade de tempo da taxa e N = valor nominal . O valor atual é a diferença entre o capital (principal) e o valor do desco nto, isto é: A N D N N * d * n N * (1 d * n) , ou seja, A N * (1 d * n) . Veja o exemplo: Para um valor nominal N = 15000,00, uma taxa de desconto d = 5% am, por um período n = 3 meses, calcular o valor do desconto simples por fora e o valor atual do capital. capital. D N* d*n D 15.000 * 0,05 * 3 D 2.250,00 14 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
e A A A ou A A A
N * (1 d * n) 15.000 * (1 0,05 * 3) 12.750,00 N D 15.000 2.250 12.750,00
Desconto e Valor Atual a desconto por dentro, a taxa constante:
Neste caso, o valor atual de um valor nominal N, em um prazo n, é outro cap ital A tal que, investido a uma taxa de juros i, no mesmo prazo n, produz o mon tante N, N isto é: N A(1 in) A 1 i*n O desconto, neste caso, é a diferença entre o capital (principal) e o valor atual, isto é: D N A N 1 i*n N * (1 i * n) N D 1 i*n N*i*n D 1 i*n D N
. Veja o exemplo: Para um capital C = 15000,00 (ou valor nominal N), uma taxa de desconto i = 5% am, por um período n = 3 meses, calcular o valor do desconto e o valor atual do cap ital. D
Cin 15000.0, 05.3 1 in 1 0, 05.3
2250 1,15
1956, 52
e A
C 15000 1 in 1 0, 05.3
15000 13043, 48 1,15
ou A 15000, 00 00 13043, 48 48 1956, 52
15 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Exercícios:
1. Um título com 123 dias a decorrer decorrer até seu vencimento vencimento esta sendo sendo negociado a juros simples, com uma taxa de rentabilidade de 1,3% ao mês. Determinar o valor da apl icação que proporciona um resgate de R$ 1. 000,00. 2. Um título com valor de de resgate de R$ 1.000,00, 1.000,00, com 80 dias dias a decorrer até seu venc imento, está sendo negociado negocia do a juros simples, simples, com com uma taxa de desconto por fora de 15% ao ano. Determinar: a. o valor do princip principal al desse título; b. o valor valor do desconto simples; c . a rentabilidade mensal desse título até seu vencimento. 3. Uma duplicata de valor valor nominal R$ 9000,00 9000,00 foi descontada descontada num banco dois dois me ses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial igual a 2% am. Obtenha: a. O desconto comercial; b. O valor descontado (ou valor atual comercial) do título; tí tulo; c . A taxa efetiva de de juros no período; período; d. A taxa mensal de juros simples no período; 4. Uma duplicata de de valor igual igual a R$ 12.000,00 foi descontada num banco, 48 dias antes de seu ven cimento, a um a taxa de desco nto com ercial simples de 2,1% 2,1% am . Obtenha: Obtenha:
a. O desconto b. O valor líquido recebido pela empresa; c . A taxa efetiva de juros no per íodo; efetiva me nsal de juros sim ples ples da operação; d. A taxa efetiva 5. Um fundo de investimento investimento adquiriu por R$ 48.800,00, 48.800,00, um título governamental governamental com valor de face de R$ 50.000,00. Sabendo-se que o prazo de vencimento do título era de 49 dias, calcule: rí o d o ; a. A taxa efetiva de ju ro s d o pe río efetiva me nsal de juros sim ples ples da operação. b. A taxa efetiva 6. Uma empresa descontou descontou uma duplicata duplicata de R$ 12.000,00, 12.000,00, 45 dias antes de seu venc imento. Sabendo-se que ela recebeu um valor líquido de R$ 11.720,00, calcule a taxa mensal de desconto comercial da operação. 7. Uma duplicata de R$ R$ 8.000,00 foi descontada descontada em um banco, banco, proporcionando proporcionando um valor descontado (valor líquido) de R$ 7.500,00. Sabendo-se que a taxa de desconto c omer mercial utilizada utilizada foi de 2,2% am . obtenha o prazo de vencime nto deste título. título. 16 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
8. Uma duplicata, Uma duplicata, cujo prazo até o vencimento era de 90 dias, foi descontada num banco à taxa de desconto comercial de 1,8% am. Calcule o valor de face do título, sabendose que a empresa recebeu um valor líquido de R$ 3 .500,00 e que o banco cobrou uma taxa de ser serviço igual a 1% do valor nominal do título. Gabarito:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
R$ 949,39 a) R$ 966,66 b) R$ 33,33 a) R$ 360,00 b) R$ 8.640,00 a) R$ 403,20 b) R$ 11.596,80 a) 2,459016% a) 2,459016% no período 1,5555556% ao mês.
c) 1,293371% ao mês. c) 4,166667% no período d) 2,083333% am. a m. c) 3,476821% no período d) 2,173013% am. b) 1,50552 1,505520% 0% ao m ês.
85 dias ou 2,84 meses. R$ 3.739,32
Relação entre desconto por fora (bancário) e taxa de juros:
Vimos anteriormen te que:
C A(1 in) A
(1)
C (1 d n ) ( 2 )
Substituindo a equação (1) na equação (2), obteremos: A A(1 in)(1 dn) 1 dn in 1 in
dn
1 1 in
1 (1 in)(1 dn) 1
1 dn 1 in
in d 1 in n
d
1 in 1 dn 1 in in 1 . 1 in n
d
i 1 in
Relação entre desconto por dentro (racional) e taxa de juros: C A(1 in) Vimos anteriormen te que:
A
C 1 dn
(1) ( 2)
Substituindo a equação (1) na equação (2), obteremos: 17 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
A(1 iinn) 1 iinn 1 1 dn 1 in d i 1 dn 1 dn Podemos concluir, então, que a taxa de desconto por dentro é igual à taxa de A
juros. Relação entre desconto por fora (bancário) e desconto por dentro (racional):
i
Como d = i e d
1 in
, poderemos escrever: dF
dD , sem perda de gene1 dDn
ralidades. Veja o exem plo: plo:
Para uma taxa de juros i = 5% am, por um período n = 3 meses, calcular a taxa de desconto bancário. d
0, 05 1 0, 05.3
0, 05 1 0,15
0, 05 1,15
4, 35%
Para uma taxa de desconto bancário d = 5% am, por um período n = 3 meses, cal calcular a taxa de desconto racional. 0, 05
dD 1 3dD 0,05 dD 0,85
0, 05 0,15dD dD
0, 85dD 0, 05
dD 0, 0588 5, 88%
Exercícios:
1. Se a taxa de desconto comercial for de 4% am e o prazo de vencimento de uma dupl icata for de 3 meses, qual a taxa t axa mensal de juros simples da operação? 2. Uma duplicata com prazo de vencimento de 2 meses foi descontada num banco, pr oporcionando-lhe porcionando-lhe uma taxa efetiva de juros simples igual a 3% am. Qual a taxa de de s conto utilizada? 3. Qual a taxa de desconto bancário que equivale a uma taxa de desconto racional de 15% ao mês, correspondente a um período de 3 meses? Comprovar exempl ificando. 4. Qual o valor dos juros de um capital de R$ 125.000,00, aplicado a 12% am. durante 6 meses? 5. Um capital de R$ 180.000,00 180.000,00 foi aplicado durante durante 12 meses e propiciou propiciou juros de R$ 216.000,00. Qual a taxa de aplicação? 18 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
6. Uma aplicação de R$ 160.000,00 a 8% ao mês rendeu juros de R$ 38.400,00. Qual o período ríodo de a plicação? plicação? 7. Qual o valor do capital que em 10 meses, a uma taxa de 13% ao mês propiciará juros de R$ 305.500,00? 8. Quanto terá Dona Gertrudes após 7 meses, se aplicar uma capital de R$ 500.000,00 a 6% ao mês? 9. A que taxa devo colocar um capital para que depois de 5 meses ele dobre? 10. Durante 10. Durante quanto tempo se deve aplicar certo capital para que a 10% ao mês ele tripl ique? 11. Qual um valor resultante de um capital de R$ 600.000,00,aplicado 600.000,00,aplicado durante um ano às seguintes taxas: 5% ao mês durante o primeiro trimestre; 7% ao mês durante o s egundo , 8% ao m ês durante o terceiro e 10% ao mês du rante o último último trimestre?
12. Qual 12. Qual o valor do desconto comercial de um capital de R$ 200.000,00 com venci mento para 3 meses a taxa de desco nto de 9% ao m ês? 13. Um título de R$ 120.000,00 foi descontado, por fora, 2 meses antes de seu vencime n102.000, 00,00. 00. Determ inar a tax a de des con to. to, obtendoobtendo-se R$ 102.0 14. Quais os valores de desconto comercial e racional, e respectivos valores atuais , de um capital de R$ 10.000,00, a uma taxa de 8% ao mês, descontado 3 meses antes de seu ve ncimento? 15. Se 15. Se um título de R$ 420.000,00 fosse descontado a uma taxa de desconto comer cial de 10% ao mês, considerando um período de 5 meses, qual deveria ser a taxa d e aplicação do valor recebido para que no final se receba o mesmo valor do título? Gabarito:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
4,545455% 2,830189% se o desconto for por fora; 3% se o desconto for por dentro. 6,617647% am R$ 90.000,00 10% am 3 meses R$ 235.000,00 R$ 710.000,00 20% am. 19 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
10. 20 meses 11. R$ 1.140.000,00 12. R$ 54.000,00 13. 7,5% am. 14. Desco 14. Descontos: ntos: R$ 7.600,00 e R$ 8.064,52 e Valores Atuais: R$ R $ 2.400,00 e R$ 1.935,48 15. 20% am. Contas Garantidas e o Método Hamburguês Contas garantidas são uma forma de crédito rotativo, com limite mínimo defin ido e encargos financeiros calculados por capitalização simples (na maioria dos bancos) este cálculo é denominado método hamburguês. O método consiste na contagem dos dias em que o saldo devedor permanece inalterado, inalterado, como dias corridos. A forma mais conhecida de conta garantida é o chamado cheque cheque especial especial . Veja o exemplo: Fulano de Tal mantém uma conta no Banco Bancário SA, com um limite de crédito de R$ 2.500,00. Ao final de setembro de 2005, retira um extrato daquele mês. Como o banco cobra 12% de juros simples ao mês, a título de encargos, o total de juros que Fulano pagará será de R$ 28,10. Observe o passo a passo do cálculo. Extrato de movimentação movimentação financeira Data
Histórico
01/09/05 03/09/05 08/09/05 10/09/05 24/09/05 24/09/05 29/09/ 05 05 30/09/05
Saldo anterior Cheque 960010 Débito automático Depósito on line Saque Saque Saldo
Débito (d) Crédito (c) -----1.000,00 d 525,00 d
1.400,00 c 150,00 d 250,00 d
mês de setembro/2005
Disponível $
Saldo (d/c)
2.725,00 1.725,00 1.200,00 2.600,00 2.450,00 2.20 2.200,00 2.200,00
225,00 c 775,00 d 1.300,00 d
100,00 c 50,00 d
300,00 d 300,00 d
Para solucionar o problema, devemos seguir o seguinte raciocínio: a) contar os dias corridos em que a conta ficou descoberta; b) multiplicar o saldo devedor pela quant idade de dias em que a conta ficou descoberta; c) somar os saldos devedores gerados; e, d) multiplicar pela taxa de juros do período. A tabela tabela a presentada a seguir, facili facilita ta a solução: 20 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Núm Núm ero de dias a
225,00 c
descoberto ---
Núm Núm ero de dias x
775,00 d
5
3.875,00 2.600,00
Saldo (d/c)
Data
01/09/05 03/09/05 08/09/05 10/09/05 24/09/05 29/09/05 total
1.300,00 d 100,00 c 50,00 d
2 --5
300,00 d
1
saldo ------------------250,00 300,00
7.025,00
Os juros a serem pagos são J 7025.
0,12
28,10 30 Muito importante: o valor dos juros debitados no primeiro dia do mês seguinte inclui o saldo devedor existente no último dia do mês. Exercícios:
1. O Senhor Paul MacMoney retirou o extrato apresentado logo abaixo de sua conta co rrente (limite de cheque especial de R$ 2.000,00). Sabendo que o Senhor MacMoney pagará R$ 27,75 de juros e que o banco usa o Método Hamburguês, determine a taxa mensal de juros simples cobrada pelo banco. Extrato de movimentação financeira Data
histórico
01/06/XX
Saldo anterior
05/06/XX
Aviso de débito
09/06/XX
Saque
15/06/XX
Débito Débito (d ) Crédito (c)
Disponível $
Saldo (d/c)
----------
2.000,00
0,00
400,00 d
1.600,00
400,00 d
80,00 d
1.520,00
480,00 d
Depósito on line
480,00 c
2.000,00
0,00
23/06/XX
Aviso de débito
320,00 d
1.680,00
320,00 d
26/06/XX
saque
105,00 d
1.575,00
425,00 d
2. (FTE-RS-93) Um banco cobra uma taxa de juros simples de 30% ao mês sobre os sa ldos negativos das contas de cheques especiais. Considerando-se o extrato mensal da conta corrente a seguir, calcule o valor dos juros que o banco cobrou no respectivo mês: 21 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Dia
Lançamento
Valor
Saldo
01/04/93
Saldo do mês anteri anter ior
0,00
1.000,00
05/04/93
Cheque descontado
1.500,00 (-) (-)
500,00 (-) (-)
10/04/93
Cheque descontado
2.000,00
2.500,00 ( -)
16/04/93
Depósito
1.500,00
1.000,00 ( -)
25/04/ 93 93
Depósito
2.000,00
1.000,00
30/04/93
Saldo depósito
0,00
1.000,00
Gabarito
1. i = 10%
2. R$ 265,00
22 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Capítulo 3 - Capitalização Composta: Juros compostos a taxa constante Crescimento Exponencial: No regime de juro compostos, os juros de cada período são adicionados ao principal principal (capital) para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Veja o exemplo: investi invest im ento de R$ 1.00 1.000, 0,00 00 por 4 anos a um a taxa de 8% ao ano.
Ano 1 2 3 4
Saldo no início do ano 1000,00 1080,00 1166,40 1259,71
Juros do ano
Saldo no final do ano
8%.1000,00 = 80,00 8%.1080,00 = 86,40 8%.1166,40 = 93,31 8%.1259,71 = 100,72
1080,00 1166,40 1259,71 1360,49
Nesse caso, juros também rendem juros, ou seja, os juros são capitalizados (os juros passam a compor o capital). Juros compostos a taxa constate
Crescimento Exponencial:
Podemos afirmar que no regime de juros compostos o capital cresce expone ncial cialme nte ou em progressão geom étrica, étrica, ao longo do tem po. Veja: M 1000 (1 it ) (1 it ) (1 it ) (1 it ) M 1000 (1 it ) 4 M 1000 (1 0,08.1) 4 M 1000.1,08 4 M 1360,48896 M 1360,49 Observe que o valor encontrado ao final da expressão é o mesmo encontrado na tabela de ca c apitalização. Consideradas as condições do exemplo acima, podemos dizer que, no sistema de capitalização de juros, ou juros compostos, o montante será obtido pela expressão: M C (1 i)n , onde M = montante, C = capital inicial, i = taxa de juros no período, n = p eríodo de aplicação. 23 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Mn 1 C
A taxa acumulada de juros no período é dada por: i AC
Uso do logaritmo para calcular o período no sistema de capitalização composta:
O cálculo de logaritmos é ferramenta poderosíssima na resolução de exercícios de capitalização composta, no que diz respeito ao cálculo do período ou ao cálculo da taxa de juros. Vamos, primeiramente, estudar uma fórmula para determinar o período: A partir de M C(1 i)n podemos fazer (1 i)n
M , aplicando logaritmo nos dois C
mem membros da expressão, expressão, teremo s: log(1 i)n log
M C
n log(1 i) log
M C n . log(1 i) log
M C
M C Em resumo: n log(1 i) log
Veja o exemplo: Por quanto tempo ficou aplicado um capital de R$ 1000,00, a uma taxa de juros de d e 2 % ao mês, para render um montante de R$ 1.126,16? Substituindo os dados do problema na fórmula de resolução, teremos: M C n log(1 i) log
1126,16 1000 log(1 0,02)
log n
n
log1,12616 log1,02
n 6 meses
Uso do logaritmo para calcular a taxa no sistema de capitalização composta:
Vamos, agora, estudar uma fórmula para determinar o taxa de juros através do uso do loga logaritmo: A partir de M C(1 i)n podemos fazer (1 i)n
M , aplicando logaritmo nos dois me mbros C
da expressão, teremos:
log(1 i)n log
1 i
M C
M log C n 10
n log(1 i) log
M C
M C n
log log(1 i)
(pela definição de log aritmo)
i
M log C n 10
. 1 24
Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
log
Em resumo: resumo: i 10
(
M C ) n
1 Veja o exemplo: Um capital de R$ 1000,00 foi aplicado por 12 meses ren dendo um montante de R$ 1.200,00. Determine a taxa mensal de juros dessa apli cação. Substituindo os dados do problema na fórmula de resolução, teremos: log
M C n
log
i 10 1 i 10 i 1,530947 %am
1200 1000 12
1
i
log1,2 10 12
1
Exercícios:
1. Qual o montante de uma aplicação de R$ 50.000,00 a juros compostos, pelo prazo de 6 meses, a taxa de 2% am?
2. Alberto aplicou R$ 6.000,00 a juros compostos, durante um ano, a taxa de 24% aa: a. Qual o montante? b. Qual a taxa mensal de juros da aplicação? c . Qual a taxa semestral de juros da aplicação? 3. Uma pessoa aplica hoje R$ 4.000,00 e aplicara R$ 12.000,00 daqui a 3 meses num fundo que rende juros compostos à taxa de 2,6% ao mês. Qual seu montante daqui a 6 meses? 4. Qual o capital que, aplicado a juros compostos, durante 9 anos, à taxa de 10% ao ano pro produz um montante de R$ 175.000,00? 5. Um capital de R$ 3.000,00 3.000,00 foi aplicado a juros juros compostos, durante durante 10 meses, gerando gerando um montante de R$ 3.500,00. Qual a taxa mensal? 6. Um capital foi aplicado aplicado a juros compostos, compostos, durante durante 10 meses, rendendo rendendo um juro igual igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal dessa aplicação? 7. Um fogão é vendido à vista por R$ 600,00, ou então a prazo, sendo 20% do preço a vista como entrada, mais uma parcela de R$ 550,00 dois meses após a compra. Qua l a taxa mensal de juros compostos do financiamento? 8. Durante quanto tempo tempo um capital deve ser aplicado aplicado a juros compostos compostos à taxa de 2,2% 2,2% am. am. para que duplique? Gabarito:
1. R$ 56.308,12 25 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
a. R$ 7.440,00 R$ 17.626,54 R$ 74.217,08 1,553449% 7,177346% 7,043604% 31,85 meses
b. 1,808758%
c. 11,355287% 11,355287%
Capitalização Composta - Desconto por dentro
A partir de M C * (1 i) n podemos escrever que C
M que fornece o va(1 i)n
lor do principal C a partir do montante M em função da taxa i e do prazo n . O valor do desconto por dentro ( D D ) ou racional (expresso em reais) é obtido pela aplicação da expressão geral para desconto, isto é: N D N A N (1 i)n Em resumo: resumo: D
N * (1 i)n N (1 i)n
N * [(1 i)n 1] D (1 i)n
N * [(1 i)n 1] (1 i)n
Exemplos:
1. Determinar o valor do investimento investimen to inicial que deve ser realizado no regime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 1% am. para produzir um montante acumulado de R$ 1.000,00 1.000,00 no final final de 12 meses. meses. Determinar Determinar o valor do desconto desconto por dentro , e x presso em reais. n = 12 meses ; i = 1% am; M = R$ 1000,00; C = ?: D=? 1000 1000 887,44 e (1 0,01)12 1,0112 D 1000 887,44 112,56 ou 1000[(1 0,01)12 1] 1000[1,0112 1] 112,56 D (1 0,01)12 1,0112 C
2. Um certificado de depósito depósito bancário (CDB) tem um valor valor de resgate de R$ 1.000,00 e um prazo de 90 dias a decorrer até seu vencimento. Determinar o valor a ser aplicado 26 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
nesse papel para que sua taxa de remuneração efetiva seja de 10% ao ano. Realizar os cálculos no regime de juros compostos, considerando o ano comercial com 360 d ias. Primeiro passo: cálculo da taxa equivalente: Supondo: C = 100; M = 110 e n = 360, teremos:
110 (1 i)360 1,1 (1 i) 360 100 log1,1 360 log(1 i) 0,041392685 360 log(1 i) 0,041392685 log(1 i) 0,000114979 log(1 i) 360 10 0,000114979 1 i 1,000264784 1 i i 0,000264784 %
110 100(1 i) 360
cálculo d o valor atua l: Segundo passo: cálculo
C
1000 (1 0,000264784 ) 90
C 976,45 Desco Descont nto o por por fora fora :
Capitalização Composta
A expressão expressão genérica genérica do valor do desconto por fora no regime regime de juros juros co mpostos é baseada no fluxo de caixa. No regime de juros compostos os descontos de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d por período, sobre o capital Assim temos: existente no início do perí odo de desconto. Assim a) no primeiro período de desconto (n = 1) capital no iníci o do período: período: C desco nto no período: período: C* d capital no final do período: A C D C C d C(1 d) b) no segundo período de desconto (n = 2) capital no início do período: C(1 d ) desco nto no período: período: C(1 d).d período: A C(1 d) C(1 d)d C(1 d)(1 d) C(1 d) 2 capital no final do período:
c) no enésimo período de desconto, o valor atual é dado por: A
C * (1 d)
n
Logo, o desconto por fora é dado por: DF
C A C C(1 d)n
DF
C[1 (1 d)n ] 27
Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Em resumo: resumo: DF
C[1 (1 d)n ]
Exemplo: Um título com valor de R$ 10.000,00, com 60 dias para seu venc i-
mento é descontado no regime de juros compostos, compostos, com uma taxa de desconto desconto por fora igual a 1,2%am.. Determine o valor presente (valor atual ou capital) do título e o valor do desconto composto, expresso em reais. Sendo: M = 10000 n = 2 d = 1,2% am Calcular: C e d A C(1 d)n C 10000(1 0,012) 2 C 9761,44 D 10000 9761,44 238,56 ou D 10000[1 (1 0,012) 2 ] 10000[1 0,976144 ] D 238,56 Exercícios:
1. Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 é negociado mediante uma operação de desconto composto por fora 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. Pede-se determinar o valor descontado, o desconto e a fetiva da operação. taxa de juros efetiva 2. Uma empresa deve R$ 80.000,00 a um banco cujo vencimento se dará daqui a 10 meses. No entanto, 4 meses antes do vencimento da dívida resolve quitar antecip adamente o empréstimo e solicita ao banco um desconto. O banco informa que opera de acordo com o conceito conceito de desconto composto composto por fora , sendo sua sua taxa de de s conto para este tipo de operação de 3,5% ao mês. Pede-se calcular o valor líquido que a empresa deve pagar ao banco quando da liquidação antec ipada do empréstimo. 3. Um título foi descontado a uma taxa de 3% ao mês 5 meses antes de seu venc imento. Sabe-se Sabe-se que a operação produziu um desconto de R$ 39.000,00. Admitindo-se o conceito de desconto composto por fora , calcular o valor nominal do título. 4. Uma pessoa deseja deseja descontar descontar uma nota promissória promissória 3 meses antes de de seu vencime vencime nto. O valor nominal deste título é de R$ 50.000,00. Sendo de 4,5% ao mês a taxa de desconto racional (por dentro), determine o valor líquido recebido (valor descontado) pela pessoa, na operação. 5. Determine o valor do desconto do exercício anterior.
28 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
6. Um título foi descontado 5 meses antes de seu vencimento. O valor nominal do título é de R$ 42.000,00 e a taxa de desconto de 3,5% ao mês. Calcular o valor líquido liber autilizado zado o descon to com posto por do nesta operação sabendosabendo -se que foi utili por dentro dentro . 7. Calcular o valor do desconto desconto racional de um título de valor valor nominal de R$ 12.000,00 12.000,00 des descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 2,5% ao mês. 8. Um banco libera a um cliente cliente R$ 6.800,00 provenientes provenientes do desconto desconto de um título de valor nominal R$ 9.000,00 descontado a taxa de 4% ao mês. Calcular o prazo de a ntecipação em que foi descontado este título. Gabarito:
1. Desconto: R$ 4.991,88 Valor descontado: descontado: R$ 30.008,12 am 2. Valor antecipado: R$ 69.374,40 3. R$ 276.074,92 4. R$ 43.814,83 5. R$ 6.185,17 6. R$ 35.362,87 7. R$ 1.128,59 ou 8. 7 meses e 4 dias 7,5 meses o u 214 dias
taxa efetiva: 5,263163%
Taxas Proporcionais:
DizDiz-se que duas dua s (ou mais) taxas são proporcionais quando a razão entre elas é a mesma que entre seus períodos. Exemplos: 1. 3% ao mês é proporcional a 36% ao ano, pois 3 36
1 12
36.1 3.12 36
2. 0,4% ao dia é proporcional a 12% ao mês, pois 0,4 12
1 30
12 * 1 0,4 * 30 12
29 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Taxas Equi valentes: Duas taxas expressas em períodos diferentes são equivalentes quando, apl icadas a um mesmo capital e num mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo mo ntante. Esse conceito está diretamente ligado ao regime de juros compostos. Le m brando que
M
C(1 i)
n
suponhamos:
Pela definição, M C(1 iC )nC ou M C(1 iP )nP C(1 iC )nC C(1 iP )nP (1 iC )nC (1
(1 iP )nP
1 nC n iC ) P
1 iC
nC nP
(1
1 iP
1 nP n iP ) P
iP
1 iC
nC nP
1
Exemplo:1. Qual a taxa mensal equivalente a 460% ao ano?
iP
(1
1 4,6) 12
1 1,124381 1 0,154381 15,4381%
2. Quais as taxas de juros compostos mensal mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano? iPm iPt
(1 (1
1 0,25) 12 3 0,25) 12
1 0,018769 1,87% 1 0,057371 5,7371%
Taxa Nominal: Taxa nominal é aquela referente a período que não coincide com o período de capitalização de juros não correspondendo ao ganho/custo financeiro do negócio. Gera lmente tem periodicidade anual e aparece em contrato s financeiros. Exemplo: 40% ao ano com periodicidade mensal. Taxa Efetiva:
É aquela que corresponde de fato, ao ganho ou custo financeiro do negócio. Toda taxa cuja unidade de tempo coincide com o período de capitalização dos juros é uma taxa efetiva. 30 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Exemplo: 40% ao ano, com periodicidade anual.
Obtenção da taxa efetiva: a) a a) a partir da taxa nominal: basta aplicar o conceito de taxas proporci onais (juros simples) sim ples)
ie
in k
onde
i e taxa efetiva in taxa nominal k número de capitalizações contidas no período da taxa nominal
40 3,3%am 12 b) a b) a partir de outra taxa efetiva: aplica-se, aqui, o conceito de taxas equivale n-
40% aa co m capitaliz capitalização ação me nsal: i e Exemplo: 40%
tes.
iP
1
nC iC nP
1 onde
iP taxa procurada ou taxa equivalent e iC taxa conhecida nC relação entre os períodos das taxas nP
equivalente à taxa taxa efetiva de 3% ao m ês. Exemplo: determinar a taxa anua l equivalente
ie
[(1 0,03)12 1] 0,425760 42,576% ao ano
Taxas Unificadas:
Primeiro e mais importante: unificar taxa s não significa significa som ar taxas. O problema é: tendo duas taxas, torná-las única de forma que provoque o mesmo ganho ou custo financeiro se aplicadas isoladamente uma sobre a outra. Exemplo: Caderneta de poupança Juros (0,5% ao mês) + TR (variável) Para obter a fórmula geral de unificação, partiremos da fórmula geral de juros compostos: I) M1 C(1 i1 ) II ) M2 M1(1 i2 ) Substituindo: I) em II), teremos: III II I) M2
C(1 i1 )(1 i2 )
Escrevendo a equação do montante para taxas unificadas, teremos: IV ) M2
C(1 iu ) onde iu taxa unificada 31 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Igualando : III) III) e IV), teremos C(1 iu ) C(1 i1 )(1 i 2 )
1 iu (1 i1 )(1 i 2 )
iu (1 i1 )(1 i2 ) 1
Exemplos:
1. Unificar as taxas i1 10%am e i 2 5%am iu (1 0,10)(1 0,05) 1 iu 0,155 15,5% 2. Suponha Suponha que em 1 de novembro, a tabela da caderneta de poupança ind ique: índice de atualização: 0,6099% 0,6099% e juros de 0,5% am. Cal cule taxa unificada. iu
(1 0,005)(1 0,006099 ) 1 0,011129485 1,1129%
3. Um 3. Um empregador resolve dar reajuste de 30% aos seus funcionários, sendo a primeira parcela de 10% novembro e o restante em dezembro. Calcular o percentual da segunda segunda parcela. iu (1 i1 )(1 i 2 ) 1 1,3 1 i2 1,1 18,18%
0,3 1 (1 0,1)(1 i 2 ) i 2 0,1818
i2
1,3 1 i2 1,1
Exercícios:
1. Calcule: a. A taxa sem estral equivalente equivalente a 5,3% 5,3% ao m ês. b. A taxa diária equivalente equivalente a 15% ao mês. c . A taxa bimestral equivalente a 40% no semestre. d. As taxas: diária, mensal, mensal, trimestral, semestral semestral e anual anual equivalentes equivalentes a 10,7% ao b imestre. e. A taxa mensal equivalente a 120% ao ano. 2. Determine a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa nominal de 7,5% ao mês com capitalização capitalização diária (calen (cale ndário comercial). 3. Obter a taxa anual anual equivalente equivalente a uma taxa taxa nominal de 78,01% ao ano com capitaliz ação semestral. 4. Foi aplicado R$ 10.000,00 a taxa de 60% ao mês , capitalizada diariamente. De D etermine o montante resgatado ao final de 4 dias. 5. Encontrar a taxa taxa unificada referente referente à atualização atualização monetária monetária de 15% e a taxa de juros juros de 1,3% incidentes sobre o mesmo capital. 6. Unificar as seguintes taxas: a. 30% e 2% 32 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
b. 115% e 10% c . 0,8426% e 0,5% d. 13%, 12%, 5% e 4% 7. Encontrar a taxa que que atinja um reajuste reajuste total de 80%, dado em em duas parcelas, parcelas, sendo a pri prime ira de 40%. 8. Qual o percentual de reajuste que falta para atingir o aumento salarial de 35% em d uas parcelas sendo que a pri pr im eira foi de 10%? 10%? Gabarito:
1. a) 36,32% b) 0,47% 0,47% c) 11,87% d) 0,17% 0,17% ad 5,21% am 16,47% 16,47% at 35,66% as 84,03% aa e) 6,79% am 2. 7,7783% 3. 93,2239% 4. R$ 10.824,32 5. 16,5% 6. a) 32,6% b) 136,5% c) 1,3468% d) 38,2% 7. 28,57% 8. 22,73%
33 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Capítulo 4 - Séries de Pagamentos Rendas
Fluxo de Caixa O fluxo de caixa pode ser entendido como uma sucessão de recebimentos ou de paga pagamentos, em dinheiro, previstos para determinado período de tempo. A representação gráfica do fluxo de caixa é feita por meio de um eixo ho horizontal orientado para direita, graduado positivamente, e por setas verticais. Sendo que: a) a escala horizontal representa o tempo, dividido em dias, meses, anos, e ntre outros. Os pontos 0, 1, 2, 3, 4,... 4,.. . n substituem as datas de calendário e são estipulados em função da necessidade de indicarem as posições relativas entre as diversas datas. Assim, o ponto 0 (zero) representa a data inicial (hoje); o ponto 1 (um) indica o final do diante. primeiro perío do e assim por diante. b) Saídas de Saídas de caixa, correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são representa representadas por setas apontadas para baixo. c) Entradas de Entradas de caixa, correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são represen representadas por setas apontadas para cima. Exemplo: um banco concede um empréstimo de R$ 40.000,00 a um cl iente, p ara pagamento em 6 prestações iguais de R$ 9.000,00. Representemos graficamente o fluxo de caixa. Do ponto de vista do banco, banco , a representação gráfica do fluxo de caixa é:
Observe: há uma saída inicial de caixa no valor de R$40.000,00 e a en trada de 6 parce parcelas de R$9.00 R$9.000, 0,00 00 cada um a no s m eses seguintes. Do ponto de vista do cliente, a orientação das setas é feita no sentido inve rso, v e ja:
34 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Exercícios:
1) Represente o fluxo de caixa das seguintes situações: Recebimentos Pre Pr evistos Dia Valor 05 10000 11 28000 17 9000 25 16000
Pagam entos Previsto Previsto s
Dia 09 14 17 28
Valor 12000 14000 7000 20000
2) Uma pessoa adquiriu adquiriu um bem de R$ 12.000,00 e efetuou o pagamento pagamento em 3 prest ações iguais de R$ 5.000,00, sendo a primeira no ato do empréstimo. 3) Uma pessoa adquiriu um bem de R$ 12.000,00 e pagou-o em 3 prestações iguais de R$ 5.000,00, sendo a primeira um mês após receber o bem. 4) Depositei em uma caderneta de poupança R$ 300,00 por mês, durante 1 ano, sendo o primeiro depósito realizado na data da abertura da conta. Obtive com isso, um mo ntante de R$ 4.300,00 no final de um ano. 5) Depositei em uma caderneta de poupança R$ 300,00 por mês, durante 1 ano, sendo o primeiro depósito realizado no final do primeiro mês. Obtive com isso, um montante de R$ 4.300,00 no final de um ano. Formação de Capital e Pagamento de Dívidas
Quando queremos fazer um investimento, podemos depositar todos os meses uma certa quantia em, por exemplo, uma caderneta de poupança, quando queremos comprar um bem qualquer, podemos fazê-lo em prestações, a serem pagas mensalme nte .
Podemos, portanto, constituir um capital ou resgatar uma dívida depositando ou pagando certa quantia, em épocas distintas.
No primeiro caso temos uma capitalização e no segundo, uma amortização. Então: Capitalização é a ação de investimento periódica de uma quantia fixa, com
fixos, com vistas vistas a com por um de terminado ca pital. pital. taxa de ju juros fixos, Amortização é a ação de saldar uma dívida por meio de parcelas periód i-
cas, constantes ou não.
35 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
As séries de pagamentos podem ser definidas como uma sucessão de pag amentos ou recebimentos, e com vencimentos sucessivos t 1, t2, t3,... tn, ou seja, represenreprese ntam processos de capitalização capitalização ou de amortização. Rendas
Uma sucessão de depósitos ou de prestações destinados a formar um capital ou pagar uma dívida é denominada renda. renda. Os termos da sucessão de depósitos ou de prestações são denominados termos da renda. O intervalo de tempo que ocorre entre os vencimentos de dois termos consecutivos é chamado período de renda. Por exemplo: no caso da compra de uma TV em 7 prestações mensais de R$ 40,00, cada uma das prestações é um termo da renda e o período é mensal. Classificação Classificação de uma renda
As rendas são classificadas em: a) Rendas certas ou anuidades: ocorrem quando o número de termos, seus vencimentos e seus respectivos valores podem ser prefixados. Exemplo: compra de bens a pra praz o . b) Rendas aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos elementos não p ode ser previamente determinado. Exemplo: pagamento de um seguro de vida (o número de te rmos é indeterminado). indeterminado). E m relação ao período da renda: a) Periódica: o período da renda é sempre o mesmo b) Não Periódica: quando o período da renda não é sempre o mesmo. Observe que se o período é o mês a renda é mensal, se o período é o trimestre a renda é trimestral. Quanto aos termo s : a) Constante: se os termos são iguais. b) Variável: quando os termos não são iguais. Quanto à data do vencimento do primeiro termo. a) Imediata: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim do primeiro período a contar da data zero, isto é, da data da assinatura do contrato. Assim, o vencimento do último termo (T n) ocorre no fim do período n. Exemplo: compra de um bem 36 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação um mês após a assinat ura do contrato. b) Antecipada: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na data zero. O vencimento do último termo ocorre no início do período n. Exemplo: depósito mensal de uma mesma quantia em caderneta de poupança, durante um prazo determin ado. c) Diferida: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um determinado número de períodos, a contar da data zero. O vencimento do último termo ocorre no fim de m+n períodos. Exemplo: compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pa pagando a primeira prestação no fim de um determinado númer o de meses. Exercícios:
Represente a situação em forma de fluxo de caixa identificando que tipo de renda e sua subclassificação: 1) Uma pessoa depositou depositou R$ 1.000,00 por mês durante durante 5 meses, sendo o primeiro primeiro d epósito na data da abertura da conta, e recebeu R $ 14.000,00 após 5 meses. 2) Um terreno é colocado à venda por R$ 180.000,00 180.000,00 à vista ou em 10 prestações b imestrais, sendo a primeira prestação recebida no quarto bimestre. 3) Uma pessoa adquiriu adquiriu um bem de R$ 12.000,00 e pagou-o em três prestações prestações bime strais iguais, sendo a primeira 1 bimestre logo que recebeu o bem. 4) Uma pessoa depositou em um banco R$ 300,00 por mês, durante dois semes tres. Faça o fluxo em relação ao banco. 5) Um comerciante investiu investiu R$ 450,75 por mês em uma instituição financeira, financeira, durante 7 bimest res. 6) A propaganda de uma loja de roupas anuncia: Compre o que quiser e pague em 5 vezes. Leve o produto produto hoje e tenha dois dois meses de carência carência . O preço a vista é de R$ 1.200,00. 7) Carro financiado em 2 anos anos com prestações bimestrais bimestrais iguais de R$ 5.054,03, sabe sabe ndo que a primeira prestação do carro será paga no ato da assinatura do contrato. 8) Um comerciante pagou R$ 1.000,00 por mês por um empréstimo realizado reali zado em uma instituição financeira, financeira, durante 2 anos, sendo a primeira paga ao final do pr imeiro mês.
37 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Renda Imediata - Fator de acumulação de capital
(FAC)
Consideremos o seguinte problema: determinar o valor do montante, no final
do quinto mês, de uma série de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 100,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, ou seja, a trinta dias da data tomada como base (m omento zero), e que a última, no final do quinto mês, é coinci coinc idente com o momento em que é pedido o montante. O bs ervação: nos problemas que envolvem Rendas, usaremos R para o valor das prestações. VA para o valor atual, ou seja, o capital inicial e M para montante, ou vav alor final. Veja: foram dados: R=100,00; i = 4% am; n = 5 meses; M = ? Considerando Considerando o fluxo de caixa, o problema pode ser esquematizado: esquematizado:
Para calcular o montante pedido, vamos utilizar somente os conhecimentos que já temos sobre o cálculo do montante. Como apenas sabemos resolver pro blemas com um único pagamento, vamos calcular o montante de cada prestação no final do 5º mês, individualmente, através da fórmula M C * (1 i)n . Para ara simp implifi lifica carr noss osso raci aciocín ocínio io,, re-escreveremos re-escreveremos a fórmula do montante para cada prestação assim: M R * (1 i)n . Assim, o montante da primeira, obtido da fórmula já conhecida, será dado por: M1 100 *1 * 1, 04 4 116, 99 O expoente 4 da expressão (1,04) 4 representa o número de meses a de correr entre a data da primeira aplicação e a data fixada para o cálculo do seu mo ntante. Essa mesma consideração é válida para todas as demais prestações. Assim, o
montante da terceira parcela é obtido como segue: M2 100 *1 * 1, 043 108,16 Como a última parcela é aplicada exatamente no dia em que se pede o valor do montante, não terá rendimento algum. O montante desta prestação pode ser assim * 1, 040 100, 00 especifica especificado: M5 100 *1 Em resumo, os montantes de cada uma das 5 aplicações são calculados como segue: segue: 38 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
M1 = 100. (1,04)4 = 100. 1,16986 = 116,99 M2 = 100. (1,04)3 = 100. 1,12486 = 112,49 M3 = 100. (1,04)2 = 100. 1,08160 = 108,16 M4 = 100. (1,04)1 = 100. 1,04000 = 104,00 M5 = 100. (1,04)0 = 100. 1,00000 = 100,00 Mt =.............................................. = 541,63 Portanto, o montante de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, de R$ 100,00 cada uma, à taxa de 4% ao mês, dentro do conceito de renda imediata, é de R$ 541,63. Entretanto, esse cálculo, como foi feito, é muito trabalhoso. Com o objetivo de facilitar o trabalho, vamos tentar aplicar uma fórmula que permita chegar ao valor final através de um caminho mais curto e rápido. Sabemos que M t = M 1 + M2 + M3 + M4 + M 5. Substituindo cada M por seus respectivos valores, sem efetuarmos os cálculos, temos: Mt = 100. (1,04)4 + 100. (1,04) 3 + 100. (1,04) 2 + 100. (1,04)1 + 100. (1,04)0 Como o valor 100 é constante em todos os termos, pode ser colocado em ev idên dência: Mt = 100. [(1,04)4 + (1,04)3 + (1,04)2 + (1,04)1 + (1,04)0] ou Mt = 100. [(1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4] Como a série (1,04) 0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4 representa a soma de uma progressão geométrica de razão 1,04, podemos aplicar a fórmula: S
a1qn a1 q 1
que dá a soma dos termos de uma PG, em que a 1 representa o primeiro prime iro termo da série, n o número de termos e q a razão. Sabendo-se que a 1 = (1,04)0 = 1, q = 1,04 e n = 5, ter emos : VA t
100 * [1,04 5 1] 541,63 (1) 1,04 1
Como é fácil observar, encontramos o valor do montante correspondente à aindividuais. plicação de 5 par pa rcelas iguais sem c alcular os mon tantes individuais. No problema: R = 100, n = 5 e i = 0,04, substituindo na expressão (1) os val ores numéricos por seus símbolos correspondentes, obteremos a seguinte fórmula genér i-
39 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
[(1 i)n 1] R [(1 i)n 1] ca: M (2) onde é o fator de acumulação de capital i i (i,n). Para facilitar, podemos, também, escrever: M R.FAC FA C (i,n)
FAC
A utilização do FAC é realizada por meio de uma tabela que facilita os cálculos. (os interessados poderão reproduzir a tabela que se encontra no apêndice C, da 5ª ed ição de Ma temática de Samuel Hazzan e José Nicolau Pompeo, publicado pela temática Financeira de Editora Saraiva em 2001. Existem exemplares disponíveis na Biblioteca Central, Campus I, Bloco II) 100. FAC FAC (4%, 5). 5). No problema anteri anter ior, pode ríamo s ter e scrito M = 100. Comentário: com Comentário: com o advento das calculadoras eletrônicas científicas e da série HP12C o uso de tabelas tornou tor nou-se -se obsoleto. Os elementos que compõem as tabelas de cálculo também recebem o nome de cantoneiras.
IMPORTANTE: quando não se especificar que tipo de renda está sendo trabalhada em determinada situação, ou ainda, se não se evidenciar que o fato está ocorrendo hoje, ou com um perí odo odo de carência, estaremos diante de um problema de renda imediata.
Como os problemas de renda imediata envolvem o M, R, n, i, podemos trab alhar com a fórmula de diferentes maneiras, de acordo com os dados do exerc ício e do que se pede. Com isso, há a necessidade de conhecermos os outros fatores de capitalização existentes nas tabelas financeiras. Entre eles: Fator de acumulação de capital (FAC); F ator de formação de capital (FFC); Fator de valor atual (VAA); Fator de recuperação de c apital (FRC). Fator de formação de capital (FFC) O FFC é obtido facilmente a partir da fórmula do montante deduzida anterio rR [(1 i)n 1] mente M . Essa fórmula, como vimos, é utilizada para obter o valor do i montante, montante, quando são conhecidos o valor das prestações, a taxa e o número de prest aMi ções. Quando a incógnita é o valor das prestações, basta fazer: R ou R = (1 i)n 1 M.FFC (i, n). 40 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Renda Antecipada
Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos o correm no início de cada período unitário. Assim, a primeira prestação é sempre paga ou receb ida no momento "zero", ou seja, na data do contrato do empréstimo, do financiamento ou prestações. de qualquer outra operação que implique pagamentos ou receb imentos de prestações. Como veremos, todos os problemas de séries de pagamentos antecipados p oderão ser resolvidos a partir dos fatores definidos para série de pagamentos com termos vencidos (ou renda imediata), bastando multiplicá -los ou dividi- los por (1 + i). Fator de acumulação de capital (FAC) e e Fator de formação de capital (FFC)
Seja resolver o seguinte problema: Qual o montante, no final do 5º mês, resu ltante da aplicação de 5 prestações iguais, mensais e consecutivas de R$ 100,00, à taxa de 4% ao mês, sabendosabendo -se que a primeira aplicação é feita hoje (data do contrato). Em termos de fluxo de caixa, o problema pode ser esquematizado como segue:
Sabendo que o montante "FV" é o somatório dos montantes individuais de c ada prestação, e que a primeira aplicação feita no momento "zero" é capitalizada por 5 p eríodos, a segunda por 4, a terceira por 3, e assim sucessivamente, até a última, a qual é capitalizada capitalizada por 1 período, podemos escrever: M = 100. (1,04) 5 + 100. (1,04) 4 + 100. (1,04) 3 +100. (1,04) 2 +100. (1,04)1 M = 100. [(1,04) 5 + (1,04) 4 + (1,04)3 + (1,04)2 + (1,04)1] ou M = 100. [(1,04) 1 + (1,04) 2 + (1,04)3 + (1,04)4 + (1,04)5] 100 [1,04.1,04 5 1,04] Apli Aplicando cando a som a da PG, teremos: M 563,30 . 1,04 1 Substituindo na expressão anterior, os valores numéricos por respectivos sí mbolos, temos: M
R(1 i)[(1 i)n 1] (1 i)n 1 , ou ainda, M = R. (1 + i) , ou ainda, ou ainda, M = i i
R. (1 + i). FAC (i,n)
41 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Problemas:
1. Quanto terá, ao final de 4 anos, anos, uma pessoa que aplicar aplicar R$ 500,00 por mês, du rante esse prazo, prazo, em um Fundo de Renda Fixa Fixa , à taxa taxa de 3% 3% ao mês mês ? 2. Quanto uma pessoa terá de aplicar apl icar mensalmente num Fundo de Renda Fixa , durante durante 5 anos, sendo o primeiro depósito no final do primeiro período, para que possa resg atar R$ 200.000,00 no final de 60 meses, sabendo que o fundo proporciona um rend imento de 2% ao mês? 3. Quantas prestações prestações de R$ 4.000,00 devo aplicar aplicar trimestralmente, trimestralmente, à taxa de 7% ao trimestre, para acumular o montante de R$ 100.516,08 no final de certo prazo? Qual esse pra prazo ? 4. A que taxa devo aplicar R$ 15.036,28 por ano para que eu obtenha um montante de R$ 500.000,00 ao final de 10 anos? l 5. Quanto terei terei de aplicar mensalmente, mensalmente, a partir de hoje, para acumular no final de 36 meses, um montante de R$ 300.000,00, sabendo que o rendimento firmado é de 34,489% ao ano, e que as prestações são iguais e consecutivas, e em núm ero de 36? 6. Quantas aplicações aplicações mensais de R$ 1.000,00 são são necessárias para se obter obter um mo ntante de R$ 33.426,47, sabendo-se que a taxa é de 3% ao mês, e que a primeira aplicação é feita no ato da assinatura do contrato e a última 30 dias antes do resg ate daquele v alor? 7. Um "Fundo de Renda Fixa" assegura, a quem aplicar 60 parcelas iguais e mensais de R$ 500,00, o resgate de um montante de R$ 58.166,29 no final do 60º mês. Sabendose que a primeira aplicação é feita na data do contrato, calcular a taxa de rendirend iFundo . mento propo rcionada pelo Fundo 8. Calcular o montante, no final do 8º mês, resultante da aplicação de 8 parcelas mensais e consecutivas, à taxa de 2,25% ao mês, sendo as 4 primeiras de R$ 12.000,00 cada uma e as 4 restantes de R$ 18.000,00 cada uma, sabendo-se que se trata de uma s érie de paga pag amentos com termos antecipados. 9. Quanto um aplicador aplicador poderá resgatar, resgatar, no final de 2 anos, anos, se adquirir trimestral trimestral mente, no início dos 5 primeiros trimestres, R$ 10.000,00 sabendo-se que o rendimento é de 9% ao trimestre e que a primeira aplicação é feita "hoje" ? Gabarito:
1. R$ 52.204,19 42 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
R$ 1753,59 15 meses 25% ao ano. R$ 5107,77 23 parcelas. 2% am R$ 131628,63 R$ 84479,07
AMORTIZAÇÃO COMPOSTA Vamos, agora, aprender a calcular o valor de uma dívida (ou de um emprést imo, ou o valor à vista de uma mercadoria) que será paga em prestações periódicas de quantias cons con stantes, sobre sobre as quais incide incide a m esm a taxa. Destacamos que na capitalização composta, os fatores que a compre endiam eram os Fator de acumulação de capital (FAC) e Fator de formação de capital (FFC). Já na amortização composta serão os Fatores de valor atual (VAA) e Fator de recuperação de capital (FRC). Renda Imediata
Da mesma forma que deduzimos o Fator de Acumulação de Capital, vamos deduzir o Fator de Valor Atual para a série de pagamentos iguais ou uniformes. Partir emos do seguinte problema prático: Qual o valor que, financiado à taxa de 4% ao mês, p ode ser pago ou amortizado em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 100,00 cada uma? O que se quer é o valor presente dessa série de 5 parcelas iguais. Mais uma vez, utilizaremos as ferramentas que conhecemos para solucionar esses problemas. Com relação a valor presente ou atual, somente sabemos resolver os casos com pagamentos simples, ou seja, aqueles que apresentam um único pagamento. Assim, vamos resolver o problema por partes, admitindo-se que cada prestação corresponda a um financiamento isolado. Dad os : VA = ? R = 100,00 100,00 i = 4% n = 5
43 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
No problema, cada prestação R = 100 representa o montante (ou valor futuro) individual individual de um capital inicial que desconhecemos, aplicado à taxa de 4% ao mês, e por prazos que vão de 1 a 5 meses. O que queremos é determinar o capital inicial ou valor presente dessas prestaçõe prest açõess no momento momento zero . 100 96,15 1,041 100 Para a segunda prestação, tem tem os: VA 2 92,46 1,04 2 100 Para a terceira prestação, temos: VA 3 88,90 1,04 3 100 85,48 Para a quarta prestação, temos: VA 4 1,04 4 100 Para a quinta prestação, temos: VA 5 82,19 1,04 5 Resumindo, temos: VA t = 445,18 (soma dos cinco capitais ). Utilizaremos conhecimentos da matemática elementar, como no FAC, para simplificar esses cálculos. VA t = VA1 + VA 2 + VA 3 + VA 4 + VA 5, ou seja: 100 100 100 100 100 VA t = (1,04)1 (1,04) 2 (1,04 )3 (1,04) 4 (1,04) 5 Colocando o valor 100 em evidên cia, teremos: 1 1 1 1 1 VA t = 100. (1,04)1 (1,04) 2 (1,04) 3 (1,04) 4 (1,04) 5 Os termos que aparecem nos colchetes constituem a soma de PG de ra zão 1 . 1,04 Para a primeira prestação, prestação, temo s: VA 1
Como trabalhar com expressões fracionárias é um pouco mais complexo, v amos, com uma simples operação, transformar esta série numa soma de mais fácil visual ização e cálculo. Para tanto, aplicaremos o conceito de MMC, isto é, Mínimo Múltiplo C omum. MMC = (1,04)5, que é o número divisível por qualquer um dos denominadores da série. Efetuando os cálculos, teremos: 44 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
(1,04) 4 (1,04)3 (1,04) 2 (1,04)1 1 VA t = 100 (1,04) 5 O numerador da expressão entre colchetes constitui-se numa soma de PG, de razão 1,04, com número de termos igual a 5; esta série, sendo escrita em ordem inversa, tem como primeiro termo o número 1, que nada mais é do que (1,04) 0. (Lembre (Lembre-se: -se: todo número real diferente de zero elevado a zero é igual a 1) Apli Aplicando cando a fórmu fórmu la da som a de um a PG, teremo s:
1.(1,04) 5 1 (1,04) 5 1 04 1 , 1 VA t = 100. = 100. (1,04)5 (1,04) 5 .0,04
445,18
Substit Substituindo uindo na expressão num érica érica acim a os respectiv respectiv os símbolos, te temos:
(1 i)n 1 VA t = R. (1 i)n . i (1 i)n 1 o Fator de Valor Atual, represen tado por VAA (i,n). (i,n). Sendo (1 i)n . i Fator de Recuperação de Capital
É deduzido de: VA = R.
Em que
(1 i)n 1 PV isolandoisolando se R: R = (1 i)n . i (1 i)n 1 (1 i)n .i
(1 i)n .i é o Fator de Recuperação de Capital FRC (i,n) (1 i)n 1
Observação: o FFC é o inverso do FAC, e que o FRC é o inverso do VAA VAA:: 1 1 FFC = e FRC = FVA FAC FA C O FRC é o fator, sem dúvida, mais utilizado na prática. Renda Antecipada - Fator de Valor Atual
A fórmula para a resolução de problemas de valor atual (renda antecipada) p ode ser deduzida, utilizando-se o mesmo caminho seguido anteriormente para as ded uções já vistas. Entretanto, no atual estágio, já sabemos que para obter o v alor presente de uma série de pagamentos, podemos inicialmente calcular o seu montante e em seguida 45 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
multiplicá-lo multiplicá-lo por (1 + i), ou seja, utilizar o conceito de série de pagamentos para calcular o montante e, em seguida, o conceito de pagamento ún ico para co para determinar o valor atual. (1 i)n 1 Assim , tem os: VA = R. (1 + i). i). (1 i)n .i (1 i)n 1 é VAA, terem os : VA = R. (1 (1 + i). i). VAA (i, (i, n) Como n (1 i) .i Logo, para resolver um problema de valor atual de uma série de pagamentos com termos antecipados (renda antecipada), basta multiplicar por (1 + i) o valor obtido para termos postecipados (renda imediata). Para ilustrar, vejamos o seguinte exemplo: Determinar qual o valor de um telefone financiado em 24 prestações iguais de R$ 5.054,03, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 3,5% ao mês e que a primeira prestação é paga no ato da assinatura do contrato. Observação: Nos casos de valor atual (presente valor) de uma série de pag amentos com termos antecipados (renda antecipada), o número de prestações não coinc ide com o número de meses, visto que a última prestação é sempre paga, ou devida, no início do último mês (ou no final do penúltimo mês). No caso do exemplo, a última prest ação tem seu vencimento no final do 23º mês. Fator de Recuperação de Capital
Caso a incógnita do problema seja o valor da prestação (R), a fórmula para a 1 (1 i)n .i 1 solu solução pod e se rá: R = VA. . ou R = VA. . FRC (i,n). (1 i) (1 i)n 1 (1 i) Assim, para obter o valor da prestação num problema de série de pagamentos iguais com termos termos antecipados antecipados (renda antecipada amortização), basta dividir dividir por por 1 + i o valor obtido para termos vencidos ou postecipados (renda imediata amortização). amortizaçã o). Renda Diferida
Como já vimos, as rendas diferidas são aquelas em que o primeiro termo é exigível a partir de um certo período de carência. carência. O valor atual numa renda diferida é adquirido calculando -se o valor atual (renda período (m +n) menos o valor atual do período (m), ou seja: imedi imediata) do período
46 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
(1 i)m n 1 (1 i)m 1 Colocando o R em evidência, temos: VA = R. , simsim(1 i)m n .i (1 i)m .i R 1 in 1 plificandoplificando-se essa e xpressão, xpressão, obteremos: VA (1 i)n m .i Onde, m é o período de carência e n é o período que da renda. Exercícios:
1. Calcular o valor atual de uma série de 24 prestações prestaçõe s iguais, mensais e consecu tivas de R$ 3.500,00 cada uma, co nsiderando nsiderando um a taxa de 5% ao mês. 2. Um Um empréstimo de R$ 30.000,00 é concedido por uma instituição financeira para ser liqui liqu idado em 12 prestações iguais, mensais e consecutivas. SabendoSabendo -se que a taxa de juros é 3,5% ao ao mês, calcular o valor da prestação. prestação. 3. Calcule Calcule o número de prestações semestrais de R$ 15.000,00 cada uma, capaz de l iquidar um financiamento de R$ 49.882,65, à taxa de 20% ao semestre. 4. Determinar a que taxa anual foi firmada uma operação de empréstimo de R$ 100.000,00, para ser liquidada em 18 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 7.270,87 cada uma? 5. Um terreno é colocado à venda por R$ 180.000,00 a vista ou em 10 prestações bime s trais, sendo a primeira prestação paga na data do contrato. Determinar o valor de cada parcela bimestral, sabendosabendo -se que o proprietário está cobrando uma taxa de 34% ao ano pelo financiamento. fi nanciamento. 6. Qual o valor atual de uma renda de 15 termos mensais de R$ 700,00 com 3 meses de carência, à taxa de 1,5% ao mês? 7. Calcule o valor atual de uma dívida que pode ser amortizada com dez prestações prestações mensais de R$ 500,00, sendo de 2% ao mês a taxa de juros e devendo a primeira prestação ser pa p aga no 3º mês. 8. A propaganda de uma grande loja de eletrodoméstico eletrodomést ico anuncia: Compre o que quiser e pague em 10 vezes. vezes. Leve o produto hoje e só comece comece a pagar daqui a 3 meses meses . Se a taxa de financiamento é de 3% ao mês, qual é o valor da prestação de uma gelade ira cujo o preço a vista é de R$ 2.800,00? Gabarito:
1. R$ 48.295,24 47 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
R$ 3.104,51
6 parcelas. 3% R$ 23.298,75 R$ 8.932,25 R$ 4.316,89
R$ 348,23
48 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Formulário deste conteúdo:
Valor da parcela Valor atual: renda imediata:
R[(1 i)n 1] VA (1 i)n .i
Valor atual: renda anteci-
VA
R[(1 i)n 1] (1 i)n 1.i
VA
R[(1 i)n 1] (1 i)n m .i
pada:
Valor atual: renda diferida:
Montante : renda imediata:
Montante: renda antecipada:
R[(1 i)n 1] M i
R
R
R
VA[(1 i)n .i] (1 i)n 1 VA [(1 i)n 1.i]
(1 i)
n
1
log
(1 i)
1
Mi R [(1 i)n 1]
Mi R 1 i [(1 i)n 1] R M (1 i)[(1 i)n 1] i
R
R VA .i n log(1 i) R log R(1 i) VA .i n log(1 i)
VA [(1 i)n m .i] n
Taxa da ope operação
Número de parcelas
log n
R(1 i)m R VA .i.(1 i)m log(1 i)
Mi 1 R n log(1 i) Mi log 1 R(1 i) n log(1 i) log
Tentativa
e Erro
Tentativa
1
e Erro
Tentativa
m
e Erro
Tentativa
e Erro
Tentativa
e Erro
49 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Capítulo 5 - Amortização de empréstimos: Para este estudo, vamos, antes de tudo, defin ir saldo devedor ou estado do capital. Saldo devedor é a parte da dívida, devidamente atualizada, num momento qua lquer, do seu período de validade, desprovida dos juros remanescentes. No capítulo anterior, aprendemos que podemos adquirir algo através do pagamento de prestações. É comum avaliarmos nossas dívidas através do cálculo simplório: valor da prestação x número de prestações, porque sabemos que nossa dívida é formada também pelo valor dos juros ao longo do tempo previsto para p agamento. Porém, ao antecipar o pagamento de uma dívida, merecidamente devemos desconsiderar desconsiderar no cálculo do valor a pagar, os juros futuros, ou seja, todo o restante do capital é devido, porém, somente a parte dos juros devida até o momento da quitação é que deve ser paga. Chamaremos, Chamar emos, aqui, de estado da dívida aos valores referentes ao saldo de capital e ao valor de juros necessários para quitar uma dívida que foi contraída para ser paga em pres pre stações. Segundo HAZZAN e POMPEO (2001 : 137-9 37-9), frequentemente, frequentemente, nas operações de médio e longo prazo, por razões met o dológicas dológicas ou contábeis, as operações de empréstimos são analisadas p e ríodo por período, no que diz respeito ao pagamento dos juros e da dev o lução propri propriamente dita do principal: principal : Consideremos os instantes de tempo 0, 1, 2,..., n, na unidade expressa p e la taxa de juros (em tudo que segue, admitiremos o regime de capitaliz a ção composta). Seja P o valor do principal (ou capital inicial emprestado). O sal saldo devedor no instante zero (0) indicado por S 0 é o próprio principal P e o saldo devedor no instante t é igual ao saldo devedor no instante anter ior (t 1) acrescidos acrescidos dos dos juros juros produzidos produzidos por por ele, menos o pagamento pagamento fe ito no ins instante t. Vamos usar a seguinte notação: St: saldo devedor no instante t. St 1 saldo devedor no instante (t 1). I: taxa de juros. Rt: pagamento efetivado no instante t. Jt: juros que vai do período período que vai de (t(t 1) a t. Assim, teremos simbolicamente: simbolicamente: St St 1 J t R t Se os juros produzidos em cada período são pagos no final do me smo e se chamarmos de amor am ortização tização no instante t (indicada por A t) à diferença entre Rt e Jt, teremos: A t R t J t ou A t J t R t no qual J t i.Si 1 . Logo a 50 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
expressão
St
St
Jt
1
fica fica
Rt
St
St
1
Jt
J t ) ou
(A t Rt
St
St
At .
1
Como St S1
S0
St 1 A1
S2
S1
A2
S3
S2
A3
Sn
Sn
1
At
é válida para t = 1, 2, 3,..., n, teremos:
An
no qual n é o instante do último pagamento. Tendo em conta que S n = 0 e S0 = P, seguesegue-se, somandosomando-se membro a membro a relação an a nterior, que: S1
S2
S3
Sn
P
(A1
0
P
(A1
...
Sn
A2 A2
P A3
A3
S1
... ...
S2
...
Sn 1
(A1
A2
A3
...
An )
o
An ) An )
u seja, P A1 A 2 A3 ... A n , donde concluímos que, quando os j u ros são pagos nos instantes 1, 2, 3,..., n, a soma das amortizações é igual ao principal.
Assim, existem inúmeras sequências de amortizações que têm por soma o principal. Cumpre observar que o nome prestação é utilizado para representar o randopagamento, acrescido de impostos e outros encargos. Desconside randose im impostos e encargos, a prestação se reduz ao pagamento R que é igual à soma da amortização com os juros de cada período. Finalmente, damos o nome de planilha a um quadro demonstrativo no qual comparecem, em cada instante de tempo, o juro, a amortização, o saldo devedor, a prestação, os impostos e outros encargos. encargos .
Veja os exemplos:
1. Um empréstimo de 21.000 UR deve ser pago pago em 6 prestações semestrais semestrais à taxa de 8% ao semestre, pagos semestralmente. Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações são semestrais, de valores: A 1 = 1.000 UR; A2 = 2.000 UR; A3 = 3.000 UR; A4 = 4.000 UR; A 5 = 5.000 UR; A 6 = 6.000 UR; Semes Semestre 0 1 2 3 4 5 6 Total
Saldo deve devedor 21000 20000 18000 15000 11000
6000 0 0
Amortização 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 21000
Juros 0 1680 1600 1440 1200 880 480 7280
pagamento 0 2680 3600 4440 5200 5880 6480 28280 51
Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
2. Resolva o problema anterior considerando iguais as amortizações: Semes Semestre 0 1 2 3 4 5 6 Total
Saldo deve devedor 21000 17500 14000 10500
7000 3500 0 0
Amortização 0 3500 3500 3500 3500 3500 3500 21000
Juros 0 1680 1400 1120 840 560 280 5880
pagamento 0 5180 4900 4620 4340 4060 3780 26880
Sistema de Amortização Constante - SAC
A principal característica deste sistema é o fato de que a parcela de amortiz ação mantém-se sempre igual, a ela sendo acrescentada mensalmente a parcela devida a título título de juros e que variará para menos a cada parcela paga. Definimos: A
P , onde A = valor da amortização; P = valor do principal e n = n
número de prestações.
Veja o exemplo: Seja um empréstimo de R$ 60.000,00 a ser liquidado em 6
pres prestações mensais a uma taxa de juros de 2% ao mês. mês. Elabore a planilha: planilha: Número
0 1 2 3 4 5 6 Total
Saldo devedor 60000,00 50000,00 40000,00 30000,00 20000,00 10000,00 0,00 0,00
amortização 0,00 10000,00 10000,00 10000,00 10000,00 10000,00 10000,00 60000,00
Juros 0,00
1200,00 1000,00 800,00 600,00 600,00 400,00 200,00 4200,00
prestação
0,00 11200,00 11000,00 10800,00 10600,00 10400,00 10200,00 64200,00
Exercícios:
1. Um banco libera para um a empresa empresa um crédito de 120.000 UR para ser devolvi devolvi d o pelo SAC em 6 parcelas trimestrais. Sendo a taxa de juros de 5% ao trimestre, obt enha a plani plan ilha. 2. Resolva o problema anterior, supondo que haja 2 trimestres trimestre s de carência somente para as amortizações. 52 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
3. Um banco libera um crédito para uma empresa no valor de R$ 50.000.000,00. 50.000.000 ,00. Esse empréstimo deve ser devolvido pelo SAC em 40 parcelas mensais, só que os valores tem de ser convertidos numa unidade de referência tal que seu valor na data de lib eração do crédito seja 2.500 UR. Obtenha os quatro primeiros meses da planilha (em UR), consideran considera ndo um a taxa de 1% ao m ês. 4. Um empréstimo de US$ 250.000,00 250.000,00 deve ser devolvido pelo SAC SAC em 50 prestações mensais, mensais, sendo 2% ao mês a taxa de juros cobrada. Pede- s e : a) O valor da primeira prestação. b) O valor da Segunda prestação. c) O valor da 37ª prestação. d) A soma das 20 primeiras amortizações. e) A soma das 20 primeiras prestações. Lembrete: nos itens (d) e (e) utilize a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA: (a 1 a n ) * n Sn em que a1 é o primeiro termo e a n o último termo da sequ s equência. ência. 2 5. Um empréstimo de 40.000 40.000 UR deve ser devolvido pelo SAC em 40 prestações prestações me nsais. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% ao mês, obtenha a amortização, juros, prestação e saldo devedor correspondentes ao 21º mês. Gabarito EXERCÍCIO 1 N 0 1 2 3 4 5 6 TOTAL
EXERCÍCIO 2 N 0 1 2 3 4
SD
120000 100000 80000 60000 40000 20000 0 0 SD
120000 120000 120000 90000 60000
A 0 20000 20000 20000 20000 20000 20000 120000
J 0 6000 5000 4000 3000 2000 1000 21000
R 0 26000 25000 24000 23000 22000 21000 141000
A 0 0 0 30000 30000
J 0 6000 6000 6000 4500
R 0 6000 6000 36000 34500 53
Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
5 6 TOTAL
30000 0 0
30000 30000 120000
3000 1500 27000
33000 31500 147000
EXERCÍCIO 3 N
SD
A
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
2500,00 2437,50 2375,00 2312,50 2250,00
0,00
J 0,00 25,00 24,38 23,75 23,13
R 0,00 87,50 86,88 86,25 85,63
62,50 62,50 62,50 62,50
EXERCÍCIO 4 Por tratar-se do SAC, todas as amortizações são iguais, ou seja, todas no valor de US$ 5000,00 a. Nas condições condições acima, o valor valor da primeira primeira prestação será dado por: por: R = A + J = 0,02*250000 + 5000, ou seja, R = 10000 b. Nas condições condições acima, o valor valor da segunda segunda prestação prestação será dado dado por: R = A + J = 0,02*(250000 -5000) + 5000, ou seja, R = 9900 c. Nas condições acima, o valor da 37ª prestação será dado por: R = A + J = 0,02*(250000 - 36*5000) + 5000, ou seja, R = 6400 d. Como todas as amortizações amortizações são iguais, iguais, somar as 20 20 primeiras amortizações amortizações é o mesmo que fazer 5000*20 = 100000 e. Para determinar determinar a soma soma das 20 primeiras prestações, prestações, antes antes é necessário necessário saber saber o v alor da 20ª prestação que será dado por: R = 0,02*(25 0000-19*5000) 0000-19*5000) + 5000, i.é, R = 8100 Aplicando Aplicando a fórmula da soma da PA apresentada no texto do exercício, teremos que: S = (10000 + 8100)*20/2 Logo S = 181000 Portanto, a soma das 20 primeiras prestações é igual a US$ 181000,00 EXERCÍCIO 5 Por raciocínio idêntico ao do exercício anterior, ter emos: Amortização igual: A = 40000/40, logo, A = 1000 Juros: J = 0,02*(40000 - 20*1000), logo, J = 400 Prestação: R = A + J, logo, R = 1000 + 400 = 1400 Saldo devedor: SD = 40000 - 21*1000 = 19000 Sistema Francês (ou Sis tema Price) Segundo HAZZAN e POMPEO (2001:146(2001:146 -9): 54 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Tal sistema se desenvolveu na França do século XIX, porém foi concebido pelo matemático inglês Richard Price, no século XVIII (daí a denominação Sistema Price, ou Tabela Price, como é comumente chamado. Nesse sistema as prestações são iguais e consecutivas (a partir do insta n te em que começam a ser pagas as amortizações). Assim, considerando um principal P a ser amortizado nos instantes 1, 2, 3,... 3,... n, a uma taxa de juros i (no período), as prestações, sendo consta n tes, constituem uma sequência uniforme (na qual cada parcela é indicada por R). Lembrando que R
R
P (1 i)n 1 (1 i)n i
P (ou ainda): an / i P (1 i)n i R (1 i)n 1
,... J n formam uma sequência decrescente Por outro lado, os juros J 1, J 2, J3,... de crescente (pois o saldo devedor vai diminuindo) e as amortizações formam uma s e quência quência crescente, pois em qualquer instante tem -se R t J t A t . Devemos destacar ainda que: que: quando se utiliza a denominação Tabela Tabela Price e o período de pagamento dos juros não coincide com o período da taxa, é convenção a conversão desta para a taxa do período de capitaliz a ção, pelos cri critérios dos juros simples. Assim, uma taxa de 24% aa, com pagamentos mensais de juros, corre sponde a uma taxa men me nsal de 2% am
24% . 12
E xe mplo: Um e m préstimo préstimo de U$ 800.0 800.000, 00,00 00 deve ser de volvido pelo sistem a fra ncês em
5 prestações semestrais à taxa de 4% as. Obtenha a planilha. Resolução: 1º passo
R
cálculo da prestação:
P (1 i)n i (1 i)n 1
R
800000 (1 0,04)5 0,04 (1 0,04)5 1
R 179701,70
cálculo do valor do juro e valor da amortização: Prestação: 179.701,70 Juros: 800.000 (0,04) = 32.000 Amortização: 179.701,70 32.000 = 147.701,70 Saldo devedor: 800.000 147.701,70 = 652.298,30 Prestação: 179.701,70 Juros: 652.298,30 (0,04) = 26.091,93 Amortização: 179.701,70 269.091,93 = 153.609,77 2º passo
55 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Saldo devedor: 652.298,30 153.609,77 = 498.688,53 E assim sucessivamente até a última prestação. Veja a tabela. Semestre 0 1 2 3 4 5 total
Saldo Devedor 800. 800.000,00 652. 652.298,30 498.6 498.688,53 88,53 338. 338.934,37 172. 172.790,04 0 0
Amortização 0 147. 147.701,71 153. 153.609,77 159. 159.754,16 166. 166.144,33 172. 172.790,04 800. 800.000,00
Juros 0 32 .000,00 26 .091,93 19 .947,54 13 .557,37 6.911,60 98 .508,44
Prestação 0 179. 179.701,70 179. 179.701,70 179. 179.701,70 179. 179.701,70 179. 179.701,64 898. 898.508,44
Cálculo do Saldo devedor no sistema Francês
Quando Quando desejamos calcular o saldo devedor num determinado in stante, no sistema francês, o procedimento consiste no seguinte: ca lculamos o valor atual das prestações a vencer; com isso, eliminamos o valor dos juros contidos nas prestações. Assim esse valor atual atua l corresponde ao saldo a ser amortizado, ou seja, é o saldo devedor. (HAZ (HA ZZAN e POMPEO)
Veja o exemplo: Num empréstimo de R$ 10.000,00 a ser pago pelo sistema francês, em 40 m eses a taxa de 3% am. qual o saldo devedor no 25º mês (suponha que a 25ª par cela já foi paga). P (1 i)n i R (1 i)n 1
10000(1 0,03) 40 0,03 R (1 0,03) 40 1
R 432,62
e, em seguida, o valor atual para as 15 parcelas restantes: S 25
432,62 [(1 0,03)15 1] (1 0,03)15 0,03
S 25
5164,58
Exercícios:
1. Um banco libera um crédito de 60.000 60.000 UR para uma empresa, para pagamento pelo pelo Sistema Price em 20 trimestres, sendo a taxa de 6% ao trimestre. Obtenha a planilha até o terceiro trimestre.
2. Se no problema anterior anterior houvesse, somente para para as amortizações, uma carência carência de dois trimestres, como seria a planilha até o quinto trimestre?
56 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
3. O senhor Pardini adquiriu adquiriu uma fazenda de R$ 3.000.000,00 3.000.000,00 dando 30% de entrada e financiando o restante em 180 meses pelo sistema francês, à taxa de 1% ao mês. Na ocasião da compra, uma UR correspondia a R$ 1.050,00. Obtenha a planilha em UR até o quarto mês. 4. No problema anterior, anterior, se o Sr. Pardini quisesse quisesse quitar a dívida após ter pago pago a 51ª prestação, qual seria o adicional a ser desembolsado? 5. O Sr. Benedito Mineiro Mineiro recebeu um financiamento financiamento de 5.000 5.000 UR para a compra de uma casa, sendo adotado o sistema Price à Price à taxa de 1,5% ao mês para pagamento em 180 meses. Qual o estado da dívida no 64º mês? (Estado da dívida = Valor dos juros, da amortização, da prestação e do saldo devedor). Gabarito EXERCÍCIO 1 N SD 0 60000,00 1 58368,93 2 56639,99 3 54807,31
A 0,00 1631,07 1728,94 1832,67
J 0,00 3600,00 3502,14 3398,40
A 0,00 0,00 0,00 1941,39 2057,88 2181,35
J 0,00 3600,00 3600,00 3600,00 3483,52 3360,04
R 0,00 5231,07
5231,07 5231,07
EXERCÍCIO 2 N 0 1 2 3 4 5
SD
60000,00 60000,00 60000,00 58058,61 56000,73 53819,38
R 0,00 3600,00 3600,00 5541,39 5541,39 5541,39
EXERCÍCIO 3 30% DE 3.000.000,00 = 2.100.000,00 2.100.000,00
Saldo devedor = 2.100.000,00 Transformando Transformando o saldo devedor em UR, teremos: teremos : 2.100.000,00 / 1050,00 = 2000 UR Executando a planilha até o quarto mês, teremos: N
SD
A
J
R 57
Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
0 1 2 3 4
2000 1996,00 1991,96 1987,88 1983,75
0 4,00 4,04 4,08 4,12
0 20,00 19,96 19,92 19,88
0 24,00 24,00 24,00 24,00
EXERCÍCIO 4 S(129) = 24*(1,01^12924*(1,01^129 -1) / ((1,01^129)*0,01) = 1735,10 Valor da prestação: R = 5000*(1,015^180)*,015 5000*(1,015^180)*,015 / (1,015^180 - 1), portanto , R = 80,52 Saldo devedor no 64º mês: S(116) = 80,52 * (1,015^116 - 1) / (1,015^116 * 0,015) = 4413,55 Juros no 64º mês: Para esse cálculo é necessári o saber o saldo dev edor no 63º mês: S(117) = 80,52 * (1,015^116 - 1) / (1,015^116 * 0,015) = 4427,65 logo , o va lor d o juro se rá: 0,015 0,015 * 4427,65 4427,65 = 66,41 66,41
Amortização: 80,52 - 66,41 = 14,11
58 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Capítulo 6 Seleção de Alternativas para Investimentos: Sobre investimentos ou financiamentos incidem vários custos adicionais (além dos juros contratados na operação), entre eles: IOF, taxas de contratação, comissões, avais, entre outros. Considerando tais encargos, o lucro almejado com o investimento e/ou o custo do financiamento pleiteado acabam tornando-se maiores do que aqueles d eterminados pela taxa contratada pelas operações, tornado-se, assim, indispensável, co ntabilizar tais despesas na planilha das operações. Observe o exemplo a seguir: Num empréstimo de R$ 2.000,00, para pagamento em quatro parcelas, me nsais, iguais e consecutivas, amortizadas através do sistema Price, a uma taxa efetiva de juros mensais de 10%, observou-se observou-se encargos de 2% sobre o valor das prestações. prestações. Elab oremos a planilha de amortização e, em seguida, calculemos o custo efetivo do financi amento: N
SD
A
J
R
Encargos
0 1 2 3 4 Total
2.000,00
0,00 430,94 474,04 521,44 573,59
0,00 200,00 156,90 109,50 57,35 523,76
0,00
0,00
630,94 630,94 630,94 630,94 2523,76
12,62 12,62 12,62 12,62 50,48
1.569,06 1.095,03
573,59 0,00 0,00
2.000,00
Fluxo de caixa 2.000,00 643,56 643,56 643,56 643,56 2574,24
Custo efetivo nos sistemas de amortização
Definimos custo efetivo do financiamento como a taxa interna de retorno custo efetivo do financiamento é a taxa que anula o Va(TIR) do fluxo de caixa, ou seja, custo efetivo lor Presente Liquido (VPL), na seguinte expressão: R R R R VPL VP L P 0 TI R ) (1 TIR (1 TIR TI R )2 (1 TIR TI R )3 (1 TIR TI R )n que, no nosso e xem plo, plo, seria: 59 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
VPL VP L
2000
643,56 643,56 (1 TIR ) (1 TIR) 2
643,56 (1 TIR )3
643,56 (1 TIR ) 4
0
São vários os métodos para estimar o valor da TIR, o mais utilizado é a interpolação linear. Infelizmente, não temos ferramentas matemáticas suficientes suficientes (neste mome nto) para tanto. Utilizaremos, então, o já conhecido método de Tentativa e Erro para o cá lculo de taxas. Lembremo-nos Lembremo-nos que o Sistema Price se vale da definição de Valor atual a renda imediata para o cálculo do valor de suas parcelas, fato que nos remete às seguintes fo ráticas: mula mulações matem áticas: Valor da parcela a valor atual, a renda imediata: R
A * (1 i)n * i (1 i)n 1
R * [(1 i)n 1] (1 i)n * i (1 i)n 1 A Dessa última podemos escrever que: (1 i)n * i R Valor atual, a renda imediata: A
(1 i)n 1 A (1 i)n i R Retornando ao nosso exemplo, podemos, então, dizer que: (1 i)n 1 2000 643,56 (1 i)n i (1 i) 4 1 3,107713 (1 i) 4 i Partindo da taxa inicial que era de 10% na contratação, encontraríamos o s eguinte coeficiente: (1 0,10) 4 1 3,169865 bem maior que os 3,107713 encontrados anterio r(1 0,10) 4 0,10 men mente trocando a taxa para 11%, obteremos: (1 0,10) 4 1 3,102445 menor que os 3,107713 encontrados anterio rmente (1 0,10) 4 0,10 trocando a taxa para 10,9%, obteremos: (1 0,109) 4 1 (1 0,109) 4 0,109
anterio rmente 3,109081 maior que os 3,107713 encontrados anterior 60
Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
trocando a taxa para 10,95%, obteremos: (1 0,1095 ) 4 1 (1 0,1095 ) 4 0,1095
3,105760 menor que os 3,107713 encontrados anterio r-
men mente trocando a taxa para 10,92%, obteremos: (1 0,1092) 4 1 3,107752 igual ao número procurado (3,107713) até a (1 0,1092 ) 4 0,1092 quarta quarta casa decimal, ou seja, uma boa aproximação, erro < |0,00001|. È óbvio, que para esse cálculo usaremos o recurso da planilha Excel!
Observação: Para obtermos a taxa com 6 casas decimais, basta utilizar o r ecurso aumentar casas decimais, na barra de comandos da planilha (em destaque, na figura acima)
61 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Exercícios:
1. Num empréstimo de R$ 12.000,00, para pagamento pagamento em seis seis parcelas, mensais, mensais, iguais e consecutivas, amortizadas através do sistema Price, a uma taxa efetiva de juros mensais mensais de 5%, observou-se encargos encargos de 1,2% sobre o valor das prestações. Elabore a planilha de amortização e calcule o custo efetivo do financi amento. 2. Num empréstimo de R$ 12.000,00, para pagamento pagamento em seis seis parcelas, mensais, mensais, iguais e consecutivas, amortizadas através do sistema SAC, a uma taxa efetiva de juros mensais de 5%, observou-se encargos de 1,2% sobre o valor das prestações. Elabore a planilha de amortização e calcule o custo efetivo do financi amento. 3. Num empréstimo de R$ 3.600,00, 3.600,00, para pagamento em quatro quatro parcelas, mensais, iguais e consecutivas, amortizadas através do sistema Price, a uma taxa efetiva de j uros mensais de 3,5%, observou-se encargos de 2,3% sobre o valor das prestações. Elabore a planilha de amortização e calcule o custo efetivo do fin anciamento. 4. Num empréstimo de R$ 3.600,00, 3.600,00, para pagamento em quatro quatro parcelas, mensais, iguais e consecutivas, amortizadas através do sistema Price, a uma taxa efetiva de juros anuais de 12%, observou-se encargos de 2,3% sobre o valor das prestações. E labore labore a planilha de amortização e calcule o custo efetivo do financia mento. Gabarito: Questão 1:
Prest = 2.364,21
n
SD
A
J
R
Rcorr
0
12.000,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1
10.235,79 1.764,21 600,00 2.364,21
2.392,58
2
8.383,37
1.852,42 511,79 2.364,21
2.392,58
3
6.438,33
1.945,04 419,17 2.364,21
2.392,58
4
4.396,04
2.042,29 321,92 2.364,21
2.392,58
5
2.251,63
2.144,41 219,80 2.364,21
2.392,58
6
0,00
2.251,63 112,58 2.364,21
2.392,58 62
Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
total
0,00
e x cel
excel
12000 inserir
2185,26 14185,26 14.355,48 função
financeira
taxa =
nper = pgto =
vp = vf = tipo = estimativa = TIR =
5,000000% 6 2.392,58 (12.000,00) 0 0 2
5,374239%
Questão 2:
Amort = 2.000,00
n 0 1 2 3 4 5 6 total
excel
SD 12.000,00 10.000,00 8.000,00 6.000,00 4.000,00 2.000,00 0,00 0,00
excel
A
J
R
Rcorr
0,00
0,00
0,00
2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 12.000,00
600,00 500,00 400,00 300,00 200,00 100,00 2100,00
2.600,00 2.500,00 2.400,00 2.300,00 2.200,00 2.100,00 14100,00
0,00 2.631,20 2.530,00 2.428,80 2.327,60 2.226,40 2.125,20 14.269,20
inserir
função
financeira
taxa =
5,000000%
nper = pgto =
6 2.631,20 (12.000,00)
vp = vf =
tipo = estimativa = TIR =
0
0 2 5,388514%
Questão 3:
Prest = 980,10
n 0 1 2 3
SD 3.600,00 2.745,90 1.861,90 946,96
A
J
R
Rcorr
0,00
0,00
0,00
854,10 884,00 914,94
126,00 96,11 65,17
980,10 980,10 980,10
0,00 1.002,65 1.002,65 1.002,65 63
Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
4 total excel
0,00 0,00
excel
946,96 3600 inserir
33,14 980,10 320,42 3920,42 função
financeira
1.002,65 4.010,59 taxa =
nper = pgto = vp = vf =
3,500000% 4 1.002,65 (3.600,00) 0
tipo =
0
estimativa = TIR =
2
4,464765%
Questão 4:
Prest = 921,45
n 0 1 2 3 4 total
excel
SD 3.600,00 2.712,71 1.817,00 912,79 0,00 0,00
excel
A
J
R
Rcorr
0,00
0,00
0,00
887,29 895,71 904,21 912,79 3600
34,16 25,74 17,24 85,80
921,45 921,45 921,45 921,45 ,4 5 3685,80
0,00 942,64 942,64 942,64 942,64 3.770,58
função
financeira
inserir
8,66
taxa =
nper = pgto = vp = vf =
0,948879% 4 942,64 (3.600,00) 0
tipo =
0
estimativa = TIR =
2
1,877648%
Discutidos Discutidos os custos envolvidos nos financiamentos e investimento, pas semos a analisar alguns dos diferentes métodos disponíveis para esse fim. Método do Valor Presente Líquido: Este método compara na data em que o projeto terá seu inicio, todas as entr adas e saídas existentes projetadas no fluxo de caixa, trazendo esses valores futuros para a data inicial, como se cada entrada ou saída do fluxo fosse um montante e quiséssemos 64 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
calcular o respectivo valor atual, utilizando para tanto a taxa mínima de atratividade d e finida. Método da Taxa Interna de Retorno: Este método calcula a taxa que iguala o valor atual de todas as entradas de caixa ao valor atual de todas as saídas de recursos, calculados como se cada entrada ou saída fosse trazida para a data inicial do fluxo de caixa representativo de uma determin ada alternativa de inversão de valores. Método do Custo Benefício:
Consiste em comparar todos os custos de cada investimento com os benefícios recebidos. Logo, podemos considerar que um investimento pode ser considerado recome nbenefício dado se os benefícios benefícios forem m aiores que os cu stos, isto isto é, 1. custo Há duas maneiras maneira s de realizar tal análise: método inexato e método exato: O Método Inexato consistem em somar todos os custos e somar todos os benef ícios (mesmo que ocorram em épocas distintas). O investimento com maior quo ciente benefício ) seria o mais recomendado, porém, devemos agir com cautela porque ao de s custo considerar considerar diferentes datas desconsideramos diferentes taxas de juros. Já o Método Exato se utiliza da taxa mínima de atratividade para encontrar o valor presente dos custos e dos benefícios. Valerá a premissa: o investimento que po ssuir o maior benefício quo quociente será o mais recomendado. custo (
Taxa Mínima de Atratividade:
É o custo de oportunidade de capital, expresso sob a forma de taxa de juros. A taxa mínima é utilizada no cálculo e nos processos comparativos dos fluxos de caixa ger ados pelas alternativas de investimento existentes, permitindo com base na sua utilização, a determinação determinação da melhor alternativa de investimento.
65 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Para pessoas físicas, no Brasil, a TMA é tomada como a taxa de rendimento das Cadernetas de Poupança. Para pessoas jurídicas, a determinação é mais complexa e leva em conta, entre outros: taxa de juros de bancos comerciais; taxa de juros de bancos de investimentos; valorização de alguns índices de correção monetária; rentabilidade rentabilidade da empresa; rentabilidade rentabilidade das Cadernetas de Poupança;
66 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
Bibliografia
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67 Engenharia Econômica, anotações de aula Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.