Fizik 1 alıştırmaları
Aralık, 2014
1. Bir adam, zemini temizlenmek için, şekilde gösterdiği gibi, süpürgeyi F = 50.0 N kuvvetle, zemine göre 30.0° açı ile çeker. Elektrikli süpürge, temizlemek için sağa doğru 3.00 m çekilmişse, yapılan iş nedir?
Çözüm Süpürgeye etkileyen kuvvetler şekilde gösterildiği gibidir. Buna göre yapılan iş
W = F ∆r cos θ = (50.0 N) (3.00 m) (cos 30.0°) ≈ 129.90 Nm = 129.9 J olarak hesaplanır.
2. Kütlesi 7 kg olan motorsuz oyuncak bir araba, sürtünmesiz yatay bir düzlem üzerinde 4 m/s ilk hız ile gitmektedir. Araba daha sonra ilk hızı ile aynı yönde, büyüklüğü 10 N olan bir kuvvet tarafından 3 m itilmiştir. İş-enerji teoremini kullanarak arabanın son hızını bulunuz.
Çözüm
Wnet =
X
Wi = WF + Wf + Wn + Wg = ∆Ek = Ks − Ki
i
W f = Wn = Wg = 0 J WF = F~ · ∆~x = F ∆x cos θ = 10 · 3 · cos 0° J = 30 J Burada WF Wf Wn Wg Ek Ks , Ki
Kuvvet yüzünden yapılan iş Sürtünme kuvvetinde dolayı yapılan iş Normal (dik) kuvvetinden dolayı yapılan iş Yerçekim kuvvetinden dolayı yapılan iş Kinetik enerjisini son ve ilk kinetik enerji
ilk (başlangıç) kinetik enerji 1 1 Ki = mvi2 = · 7 · 42 J = 56 J 2 2 WF = Ks − Ki ⇒ Ks = WF + Ki = (30 + 56) J = 86 J r r 1 2 2Ks 2 · 86 Ks = mvs ⇒ vs = = m/s = 4.96 m/s 2 m 7
3. Kütlesi 15 kg olan bir blok, yatay pürüzlü bir yüzey üzerinde, yatayla 20° lik açıda etki eden 70 N ’luk sabit bir kuvvetle çekilmektedir. Blok 5 m yer değiştirmekte olup yüzeyle blok arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0.3’tür. (g = 9.8 m/s 2 ) 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
70 N’ luk kuvvetin yaptığı işi bulunuz, sürtünme kuvvetinin yaptığı işi bulunuz, dik kuvvetlerin yaptığı işi bulunuz, yerçekimi kuvvetinin yaptığı işi bulunuz. Blok üzerine yapılan net işi bulunuz.
Çözüm
Wnet =
X i
Wi = WF + Wf + Wn + Wg = ∆Ek = Ks − Ki
3.1 F~ = Fx ˆı + Fy ˆ = F cos 20°ˆı + F sin 20°ˆ WF = F~ · ∆~x = (Fx ˆı + Fy ˆ) · (∆xˆı) = Fx ∆x WF = 70 · cos 20° · 5 J ≈ 329 J 3.2 Wf = f~k · ∆~x = −fk ∆x = − (µn) ∆x X F~y = 0 , Fy = F sin 20° + n − mg = 0 ⇒ n = mg − F sin 20° = (15 · 9.8 − 70 sin 20°) N ≈ 123 N Wf = −0.3 · 123 · 5 J = −184.5 J 3.3 Wn = F~n · ∆~x = (Fy + n) ˆ · ∆xˆı = 0 J
3.4 Wg = (m~g ) · ∆~x = −mg ˆ · ∆xˆı = 0 J 3.5 Wnet = WF + Wf + Wn + Wg = (329 − 184.5 + 0 + 0) J = 144.5 J
4. Başlangıçta durgun olan 40 kg ’lık bir kutu, uygulanan sabit 130 N’luk yatay bir kuvvetle pürüzlü, yatay bir döşeme boyunca 5 m uzaklığa itilmektedir. Kutu ile döşeme arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0.3 ise, (g = 10 m/s 2 ) 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
uygulanan kuvvetin yaptığı işi, sürtünme yüzünden kaybolan enerjiyi, normal kuvvetin yaptığı işi, yerçekimi kuvvetinin yaptığı işi, kutunun kinetik enerjisindeki değişimi, kutunun son hızını bulunuz.
Çözüm
X
Fy = n − mg = 0 ⇒ n = mg = 40 · 10 N = 400 N fk = −µn = 0.3 · 400 N = 120 N
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
WF = F~ · d~ = Fd cos θ = 130 · 5 cos 0 J = 650 J Wf = fk d cos 180° = 120 · 5 · (−1) J = −600 J Wn = nd cos 90° = 400 · 5 · 0 J = 0 J Wg = mgd cos 270° = 400 · 5 · 0 J = 0 J Wnet = WF + Wf + Wn + Wg = 50 J ⇒ ∆K = Wnet = 50 J ∆K = rKs − Ki ,rKi = 0 J 2Ks 2 · 50 = m/s = 1.58 m/s vs = m 40
5. Bir asansörün kütlesi boşken 600 kg ’dır. Asansörün 30 hp gücündeki motoru sabit hızla, yukarı doğru 20 m’yi 16s’de çıkabilmeyi sağlamaktadır. Ortalama yolcu kütlesinin 70 kg olduğunu varsayarak, asansörün taşıyabileceği maksimum yolcu sayısını hesaplayınız. Sürtünmeyi ihmal ediniz. (1 hp (beygirgücü) = 746 watt)
Çözüm ∆W P¯ = ∆t mgh P¯ = t m = ma + my
∆W = Wg = m~g ~y = mgh ¯ Pt 30 · 746 · 16 = kg = 1790.4 kg gh 10 · 20 my = m − ma = 1790.4 − 600 kg = 1190.4 kg my 1190.4 ny = = ≈ 17 yolcu taşıyabilir. m ¯ 70 m=
6. F~ = 4xˆı + 3y ˆ (N)’luk bir kuvvet, bir cisme etki ederek onu orijinden x = 5 m noktasına hareket ettiriyor. Kuvvetin cisim üzerine yaptığı işi bulunuz.
Çözüm
Z
xs
W = xi
F~ · d~s =
Z
5
(4xˆı + 3y ˆ) dxˆı =
0
5 4 2 5 2 = x = 2x = 2 · 52 J = 50 J 2 0 0
Z 0
5
4xdx
7. Yatayla 33° açı yapan bir yürüyen merdiven iki kat arasında çalışmaktadır. Hızı 1.5 m/s olan merdiven ortalama kütlesi 75 kg olan en fazla 60 kişi taşıyabilmektedir. Yürüyen merdivenin çalışması için motorun ne kadar güç üretmesi gerekir? (g = 9.8m/s 2 )
Çözüm
θ = 33° T − mgsinθ = 0 motorün üretildiği güç, P = Tv = mg sin θ · v kg m m = (60 kişi) 75 9.8 2 (sin 33°) 1.5 W kişi s s P ≈ 36028 W ≈ 36 kW
8. Şekilde gösterildiği gibi, 3 kg ’lık bir cisimle yüzey arasındaki sürtünme katsayısı 0.20 dir. Kütleler durgun halden harekete başladığında, 5 kg ’lık kütle 2 m’lik bir düşey uzaklığa indiğinde hızının büyüklüğü nedir? (g = 10 m/s 2 )
Çözüm Kütleler L = 2 m’lik yol aldığında sürtünme kuvvetinin yaptığı iş, Wf = −µk m1 gL’dir. Kütlerin ilk hızları sıfırdır (K1 + K2 = 0) ve L kadar yol alındıktan sonra ortak hızları vs olsun. Sistemin kinetik 1 (m1 + m2 ) vs2 ’dir. m2 kütlesi L kadar 2 yol aldığında potansiyel enerjideki değişim, ∆U = −m2 gL dir.
enerjisindeki değişim, ∆K =
Wf = ∆E = ∆K + ∆U 1 −µk m1 gL = (m1 + m2 ) vs2 − m2 gL 2 s r 2gL (m2 − µk m1 ) 2 · 10 · 2 (5 − 0.20 · 3) vs = = m/s m1 + m2 3+5 r √ 176 vs = m/s = 22 m/s ≈ 4.7 m/s 8
9. Şekilde gösterildiği gibi 0.5 kg kütleli bir parçacık yatay bileşeni 30 m/s olan vi ilk hızıyla P noktasından atılır. Parçacık, P noktasının 20 m üzerinde bir maksimum yüksekliğe çıkar. Enerjinin korunumunu kullanarak,
9.1 vi ’nin düşey bileşenini, 9.2 parçacığın P’den B’ye hareketi esnasında üzerine etki eden kütle-çekim kuvvetinin yaptığı işi, 9.3 parçacık B’ye ulaştığında hız vektörünün yatay ve düşey bileşenlerini bulunuz. (g = 10m/s 2 )
Çözüm
~vi = vix ˆı + viy ˆ ~vi · ~vi = vi vi cos 0 = vi2 q vi = |~vi | = vix2 + viy2 vi2 = vix2 + viy2 vix = 30 m/s 9.1 Tepe notasına C diyelim.P–C arasına enerji korunumu uygulanırsa, yerçekimi kuvveti korunumlu bir kuvvettir, bu nedenle P–C : ∆E = 0 ⇒EC − EP = 0 ⇒ EP = EC KP + UP = KC + EC
1 1 2 mvi + 0 = mvi2 + mgh 2 2 1 1 2 2 2 2 m vix + viy = m vCx + vCy + mgh 2 2 1 2 mv = mgh 2 iy p viy = 2gh çünkü tepe noktasında hızın dik bileşeninin değeri sıfırdır. ~vC = vCx ˆı + vCy ˆ = vCx ˆı ~vi = vCx , hızın sabit bileşeni viy =
p √ 2gh = 2 · 10 · 20 m/s = 20 m/s
9.2 WP→B = mgyP −mgyB = mg (yP − yB ) = 0.5·10·60 J = 300 J 9.3 ∆KP→B = KB − KP = WP→B (iş-enerji teoremi) 1 2 1 2 mv − mv = WP→B 2 B 2 P 1 1 2 2 m vBx + vBy − m vix2 + viy2 = WP→B 2 2 1 2 m vBy − viy2 = WP→B 2 2WP→B 2 vBy = + viy2 m r r 2WP→B 2 · 300 2 vBy = + viy = + 202 m/s m 0.5 √ vBy = 1600 m/s = 40m/s ~vy = vBx ˆı + vBy ˆ = (20ˆı + 40ˆ ) m/s
10. m kütleli bir blok, kütlesi M olan sürtünmesiz eğik düzlemin üzerine konulmuştur (yandaki şekil). Eğik düzleme yatay doğrultuda bir F kuvveti uygulanmaya başlıyor. Bloğun eğik düzleme göre hareket etmemesi için kuvvetin değeri ne olmalıdır?
Çözüm
Blok için: X
Fx = N sin α = mamx
X
Fy = N cos α − mg = mamy
Eğik düzlem için: X Fx = F − N sin α = MaMx X Fy = 0, aMy = 0m/s 2 , amx = aMx = a
ay = 0 m/s 2 , bloğun aynı yerde kalması gerekir N cos α − mg = 0 ⇔ N cos α = mg N sin α = ma a tan α = ⇔ a = g tan α g F − N sin α = Ma F = ma + Ma F = (m + M) g tan α
11. 40 kg kütleli bir çocuk, iki zincirle asılı, 3 m uzunluklu bir salıncakta sallanıyor. Salıncak en alt noktada iken her bir zincirdeki gerilme 400 N ise, 11.1 çocuğun en alt noktadaki hızını bulunuz. 11.2 En alt noktada salıncağın çocuğa uyguladığı kuvveti bulunuz.
(Salıncağın kütlesini ihmal ediniz.) g = 10 m/s 2
Çözüm 11.1 M = 40 kg R=3m T = 400 N X
v2 F = 2T − Mg = M R r r R 3 v = (2T − Mg ) = (2 · 400 − 40 · 10) m/s M 40 √ v = 30 m/s = 5.48 m/s
11.2 v2 n − Mg = F = M R 2 v n=M g+ R 30 n = 40 10 + N = 40 · 20 N = 800 N 3
12. Şekilde görüldüğü gibi 2 kg kütleli bir cisim, xy -düzleminde F1 = 5 N ve F2 = 4 N büyüklüğündeki sabit iki kuvvetin etkisi altında hareket etmektedir. t = 0 anında cisim 0 noktasında olup hızı vilk = 2ˆı + ˆ (m/s)’dir. 12.1 Parçacığın ivmesini ve 2 s sonraki konumunu birim vektörler cinsinden bulunuz. 12.2 2 s sonra parçacığın konum vektörü ile hız vektörü
arasındaki açıyı hesaplayınız.
Çözüm 12.1 P~ F m X X X F~ = Fx ˆı + Fy ˆ X Fx = F1x + F2x ~a =
= 5 cos 37° + 0 ≈ 4 N X
Fy = F1y + F2y = −5 sin 37° + 4 ≈ 1 N
X
F~ = 4ˆı + ˆ (N) ~a =
4ˆı + ˆ (N) 2 (kg )
1 ~a = 2ˆı + ˆ m/s 2 2
1 ~rson (t) − ~rilk (t) = ~vilk t + ~at 2 , 2
~rilk (t) = 0 1 1 ~rson (2) = (2ˆı + ˆ) · 2 + 2ˆı + ˆ · 22 2 2 ~rson (2) = 8ˆı + 3ˆ (m)
12.2 1 ~vson (t) = ~vilk (t) + ~at = (2ˆı + ˆ) + 2ˆı + ˆ t 2 1 ~vson (2) = (2ˆı + ˆ) + 2ˆı + ˆ 2 = 6ˆı + 2ˆ (m/s) 2 ~r · ~v ~r · ~v = rv cos θ ⇒ θ = arccos rv (8ˆı + 3ˆ ) · (6ˆı + 2ˆ ) √ θ = arccos √ 82 + 32 62 + 22 54 54 ≈ arccos = 0° θ = arccos √ √ 54 73 40
13. Şekil 10’da görülen sistemde m1 ve m3 kütlelerinin bulundukları yüzey ile aralarındaki kinetik sürtünme katsayısı 0.5’dir. Makara ağırlıklarını ve iplerdeki sürtünmeleri ihmal ederek;
bulunuz.
13.1 İpteki gerilme kuvvetini, 13.2 Her bir cismin ivmesini
(m1 = 2 kg , m2 = 8 kg , m3 = 4 kg ; g = 10 m/s2)
Çözüm 13.1
X
Fx = T − fk1 = m1 a1
X
Fy = n1 − m1 g = 0 n1 = m1 g fk1 = µk n1 = 0.5 · 2 · 10 N fk1 = 10 N
X
Fx = 0
X
Fy = m2 g − 2T = m2 a2
X
Fx = T − fk3 = m3 a3
X
Fy = n3 − m3 g = 0 n3 = m3 g fk3 = µk n3 = 0.5 · 4 · 10 N fk3 = 20 N
T − fk1 T − 10 = m1 2 m2 g − 2T 80 − 2T a2 = = m2 8 T − fk3 T − 20 a3 = = m3 4 a1 =
m1 ve m3 aldığı toplam yol x1 + x3 ise, m2 kütlesinin aldığı yol x1 + x3 1 a1 + a3 ’dir. x = at 2 olduğundan a2 = olur. 2 2 2 80 − 2T 1 T − 10 T − 20 2 = + 8 2 2 4 T ’ye göre çözülürse: T = 24 N olarak bulunur.
13.2 T − 10 24 − 10 = = 7 m/s 2 2 2 80 − 2T 80 − 2 · 28 a2 = = = 4 m/s 2 8 8 T − 20 24 − 20 a3 = = = 1 m/s 2 4 4 a1 =
olarak bulunur.
14. Şekilde görülen A, B ve C bloklarının ağırlıkları 20 N, 10 N ve 30 N dur. A ve B blokları arasındaki statik sürtünme katsayısı µs ve yatay düzlemle A bloğu arasıdaki kinetik sürtünme katsayısı µk ’dır. C blokla eğik düzlem arasında sürtünme yoktur ve makara sürtünmesiz kabul edilmektedir. Sistem
durgun haldeyken serbest bırakıldığında A ve B bloklarının birlikte hareket ettiği gözleniyor.
14.1 Sistem serbest bırakıldığı andan itibaren her bir bloğun serbest cisim diyagramını çiziniz. 14.2 B bloğunun kaymaması için maksimum ivmeyi g ve µs cinsinden ifade ediniz. 14.3 Eğer µk = 0, 4 olursa, B bloğunun kaymaması ve A ile B’nin birlikte hareket etmesi için A ile B arasındaki minimum µs ne olmalıdır.
Çözüm 14.1 Şekile bakarak
serbest cisim diyagramı olarak çizebilir.
14.2 B bloğu için; X
F~ = m~a
fs,max = mB amax µs n = mB amax µs mB g = mB amax amax = µs g
14.3 aA = aB = aC = a, g = 10 m/s 2 T − fs − fk = mA a fs = mB a mC g sin 37° − T = mC a Son iki denklemi taraf tarafa toplarsak mC g sin 37° − fk = (mA + mB + mC ) a fk = µk n = µk (mA + mB ) g = 0.4 (30 N) = 12 N 30 sin 37° − 12 = (20/10 + 10/10 + 30/10) a ⇒ a = 1 m/s 2 mB a a fs = µs n = mB a ⇒ µs,min = = = 0.1 mB g g eğer µs ≥ 0.1 ise A ili B beraber hareket eder.
