Elementos de Astronomía de Posición - José Gregorio Portilla

Elementos de Astronom´ıa de Posici´ on José Gregorio Portilla Barbosa

• Jos´ e Gregorio Portilla B. El profesor Portilla actualmente es Profesor Asociado de Dedicaci´ on Exclusiva adscrito al Observatorio Astron´ omico Nacional de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia. Dicta regularmente las c´ atedras de Astronom´ıa General I, Mec´ anica Celeste e Introducci´ on a la Coheter´ıa y Astron´ autica que se ofrecen a los estudiantes de pregrado y posgrado en la mencionada instituci´ on. Su campo de investigaci´ on se dirige hacia la mec´ anica celeste, en particular sobre el movimiento de sat´ elites, estabilidad de orbitas, m´ ´ etodos de integraci´ on y mec´ anica celeste relativista.

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Elementos de astronom´ıa de ń posicio

José Gregorio Portilla B. Observatorio Astronómico Nacional Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Bogotá

Presente edici´ on: mayo de 2001

´ mico Nacional c °2001, Observatorio Astrono Internet: http://www.observatorio.unal.edu.co/miembros/docentes/grek/grek.html Correo-e: [email protected] No se permite la reproducci´ on total o parcial de esta obra, ni su incorporaci´ on a un sistema inform´ atico, ni su transmisi´ on en cualquier forma o por cualquier medio, sea éste electr´ onico, mec´ anico, por fotocopia, por grabaci´ on u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito del autor. Dise˜ no y diagramaci´ on en LATEX: José Gregorio Portilla B. Dise˜ no de car´ atula: Martha Chac´ on Chac´ on y M. Arturo Izquierdo Pe˜ na. Car´ atula: Concepci´ on art´ıstica del paso de la nave Viajero II por el planeta J´ upiter. ISSN: 0120-2758 Impreso en Colombia Universidad Nacional de Colombia, Bogot´ a

A mis padres: Mar´ıa Teresa y José Gregorio

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Prefacio Este libro constituye en su mayor´ıa las notas ordenadas, ampliadas y actualizadas de parte de los cursos de Astronom´ıa General I, Mecánica Celeste e Introducci´ on a la Coheter´ıa y Astron´ autica que el autor ha tenido la oportunidad de dictar en varias ocasiones en la sede académica del Observatorio Astron´ omico Nacional. Pretende ser una exposición sencilla, clara y no demasiado técnica de diversos t´ opicos de la astronom´ıa esférica y la mecánica celeste, pero procurando conservar cierto nivel de profundizaci´ on necesario para abordar una ciencia que, como la astronom´ıa, depende enteramente de la medida y del cálculo. Exceptuando tal vez los cap´ıtulos 12 al 15, el libro est´ a enteramente al alcance de una persona que haya completado un bachillerato a conciencia. En una época clave para el desarrollo de la astronom´ıa en nuestro pa´ıs, con la conformaci´ on de la RAC (Red Astronómica Colombiana), la aparici´ on y consolidación de grupos y asociaciones de aficionados a lo ancho y largo del territorio nacional y el surgimiento, en el segundo semestre de 1999, de la Especialización en Astronom´ıa en la Universidad Nacional de Colombia sede Bogotá, es de esperarse un avance significativo de la astronom´ıa criolla en los a˜ nos venideros. El autor estar´ıa plenamente satisfecho si esta obra contribuye en un infinitésimo a dicho desarrollo. El autor agradece el apoyo de cada uno de los profesores que conforman el personal docente del Observatorio Astron´ omico Nacional. En particular debo mencionar a tres de ellos: el profesor Eduardo Brieva, quien ley´ o la totalidad del texto y realiz´ o importantes y muy valiosas sugerencias; el profesor Fernando Otero, quien leyó algunos de los cap´ıtulos e hizo significativas recomendaciones y el profesor Arturo Izquierdo, quien no s´ olo me colaboró con su profundo dominio de muchos programas en Linux sino también ayud´ o en la elaboración de la car´ atula. Mi agradecimiento también se extiende a los monitores del Observatorio Germán Montoya y Daniel Izquierdo quienes estuvieron atentos a resolver las dudas que tuvo el autor con el manejo del sistema operativo Linux, el procesador de palabra cient´ıfico LATEX y varios programas graficadores; a Martha Chacón Chacón por su dise˜ no de car´ atula, y a los muchos estudiantes de pregrado de la Universidad y en particular de los de la Especializaci´ on en Astronom´ıa sin quienes mucho del contenido de este libro estar´ıa oscuro e impenetrable. A todos, mi agradecimiento más profundo.

´ Gregorio Portilla B. Jose ´ mico Nacional Profesor, Observatorio Astrono ´ , MMI Bogota

Índice General ´ 1 INTRODUCCION 1.1 La astronom´ıa . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Objeto de estudio . . . . . 1.2 La astronom´ıa esférica y din´ amica 1.3 La astronom´ıa y la astrolog´ıa . . .

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´ 2 TRIGONOMETR´ IA ESFERICA 21 2.1 Relaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 EL PLANETA TIERRA 3.1 Forma de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Coordenadas de un observador en la superficie de la Tierra . . . 3.2.1 Coordenadas geocéntricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Coordenadas geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Coordenadas geográficas (astronómicas) . . . . . . . . . . 3.3 Unidades de longitud y su relaci´ on con las dimensiones terrestres 3.4 Transformación entre latitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 LA 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

´ BOVEDA CELESTE Conceptos fundamentales . . . . . . . Observaci´ on del cielo seg´ un la latitud . La ecl´ıptica . . . . . . . . . . . . . . . Estaciones . . . . . . . . . . . . . . . . Constelaciones . . . . . . . . . . . . . Nombres de estrellas y designaciones . Catálogos de estrellas . . . . . . . . .

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5 COORDENADAS CELESTES 5.1 Coordenadas horizontales . . . . . . . . . . . . . 5.2 Coordenadas ecuatoriales horarias . . . . . . . . 5.3 Coordenadas ecuatoriales (ecuatoriales absolutas) 5.4 Coordenadas ecl´ıpticas . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Coordenadas gal´ acticas . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Transformación entre los sistemas de coordenadas

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5.6.1 5.6.2 5.6.3 5.6.4

De horizontales a ecuatoriales horarias y viceversa . . . . Ecuatoriales horarias a ecuatoriales absolutas y viceversa Ecuatoriales absolutas a ecl´ıpticas y viceversa . . . . . . . Ecuatoriales absolutas a gal´ acticas y viceversa . . . . . .

6 MOVIMIENTO APARENTE DE 6.1 Movimiento diurno . . . . . . . . 6.2 La Luna y el Sol . . . . . . . . . 6.3 Los planetas . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Per´ıodo sin´ odico . . . . .

LOS CUERPOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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CELESTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 EL TIEMPO EN ASTRONOM´ IA 7.1 El d´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 El d´ıa sideral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 El d´ıa solar verdadero . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 El d´ıa solar medio . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Conversi´ on entre tiempo sideral y tiempo solar medio 7.3 El tiempo sideral local . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 El tiempo solar verdadero . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 El tiempo solar medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 El tiempo universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Husos horarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8 La ecuación del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 El c´ alculo del tiempo sideral local . . . . . . . . . . . . 7.9.1 El c´ alculo de la fecha juliana . . . . . . . . . . 7.9.2 El c´ alculo del TSG0 . . . . . . . . . . . . . . . 7.10 Sistemas de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10.1 Variaciones en la tasa de rotación terrestre . . 7.10.2 El tiempo de las efemérides (TE) . . . . . . . . 7.10.3 El tiempo din´ amico . . . . . . . . . . . . . . . 7.11 El tiempo at´ omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.12 Tiempos universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ 8 CALCULO DE ALGUNOS FENOMENOS 8.1 Culminaci´ on de cuerpos celestes . . . . . . . 8.2 Salida y puesta de un astro . . . . . . . . . 8.2.1 Una primera aproximaci´ on . . . . . 8.2.2 Refinando el cálculo . . . . . . . . . 8.2.3 El c´ alculo especial del Sol y la Luna 8.3 Paso por el meridiano del observador . . . . 8.4 Paso por el cenit del observador . . . . . . . 8.5 Navegación astronómica . . . . . . . . . . .

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107 . 107 . 108 . 108 . 109 . 110 . 111 . 111 . 112 . 112 . 112 . 116 . 118 . 119 . 123 . 126 . 126 . 127 . 128 . 130 . 131

´ ASTRONOMICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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135 135 137 138 140 143 143 145 148

9 CALENDARIO 9.1 El calendario romano primitivo . . . . . 9.2 El calendario juliano . . . . . . . . . . . 9.3 Calendario y cristianismo . . . . . . . . 9.4 El calendario gregoriano . . . . . . . . . 9.5 Cronolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 La determinaci´ on de la fecha de Pascua 9.6.1 Letra dominical . . . . . . . . . . 9.6.2 N´ umero aúreo . . . . . . . . . . . 9.6.3 La Epacta . . . . . . . . . . . . . 9.6.4 Otros ciclos . . . . . . . . . . . . 9.6.5 C´ alculo de la fecha de Pascua . . 9.7 Calendario colombiano . . . . . . . . . .

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´ A LAS COORDENADAS 10 CORRECCION 10.1 Precesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Nutaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Aberraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Aberraci´ on estelar . . . . . . . . . . 10.3.2 Aberraci´ on planetaria . . . . . . . . 10.4 Movimiento en el espacio . . . . . . . . . . 10.5 Paralaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1 Paralaje diurno . . . . . . . . . . . . 10.5.2 Paralaje anual . . . . . . . . . . . . 10.6 Refracción astronómica . . . . . . . . . . . 10.7 Deflección gravitacional de la luz . . . . . .

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175 175 181 185 185 190 191 193 193 195 198 201

´ ´ 11 MECANICA CELESTE: UNA INTRODUCCION 11.1 Estado de las cosas en la antig¨ uedad . . . . . . . . . 11.2 Kepler y sus leyes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 La elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 11.2.2 Areas y ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Per´ıodos y distancias . . . . . . . . . . . . . . 11.3 El formalismo Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Ley de atracción newtoniana . . . . . . . . . 11.3.2 La funci´ on potencial . . . . . . . . . . . . . .

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12 EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS 12.1 Movimiento con respecto al centro de masas . . . . . . . . 12.2 El movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Elección de un sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . 12.4 El momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 12.4.1 Areas y tiempos: otra vez la segunda ley de Kepler 12.5 Momentum angular cero: la órbita rectil´ınea . . . . . . . . 12.6 Momentum angular diferente de cero: trayectorias cónicas

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12.6.1 Cónicas . . . . . . . . . . . . 12.7 La energ´ıa total . . . . . . . . . . . . 12.8 Cálculos de masa: otra vez la tercera 12.9 Velocidades . . . . . . . . . . . . . . 12.10El cálculo de la anomal´ıa verdadera . ´ 12.10.1 Orbita el´ıptica . . . . . . . . ´ 12.10.2 Orbita hiperb´ olica . . . . . . ´ 12.10.3 Orbita parab´ olica . . . . . . .

. . . . ley . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´ DE LA POSICION ´ 13 LA DETERMINACION 13.0.4 Elementos orbitales . . . . . . . . . . 13.0.5 Posición en el espacio . . . . . . . . . 13.1 Velocidad en el espacio . . . . . . . . . . . . . 13.2 La posición con respecto a la Tierra . . . . . 13.3 Las coordenadas topocéntricas . . . . . . . .

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ESPACIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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14 PERTURBACIONES 14.1 Modelo vs. realidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 El problema de los tres cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 El problema restringido circular de los tres cuerpos 14.3 El problema de los n cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Perturbaciones al problema de los dos cuerpos . . . . . . . 14.4.1 Presencia de un tercer cuerpo, o de más cuerpos . 14.4.2 No esfericidad del cuerpo central . . . . . . . . . . 14.4.3 Perturbaci´ on por rozamiento atmosférico . . . . . 14.4.4 Perturbaci´ on por presión de radiaci´ on . . . . . . . 14.4.5 Perturbaci´ on por eyección de masa . . . . . . . . . 14.4.6 Perturbaci´ on por curvatura del espacio-tiempo . . 14.4.7 El efecto Poynting-Robertson . . . . . . . . . . . . 14.4.8 El efecto Yarkovsky . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.9 Resistencia por part´ıculas cargadas . . . . . . . . . 14.5 Resolviendo las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5.1 La integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . 14.5.2 Teor´ıa de perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . .

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´ 15 SATELITES ARTIFICIALES Y COHETES 15.1 Una teor´ıa sencilla del satélite artificial . . . . 15.2 El satélite Tierra-sincr´ onico . . . . . . . . . . 15.3 El satélite Sol-sincr´ onico . . . . . . . . . . . . 15.4 El satélite geoestacionario . . . . . . . . . . . 15.5 El satélite Molniya . . . . . . . . . . . . . . . ´ 15.6 Orbitas de transferencia . . . . . . . . . . . . 15.6.1 Transferencia tipo Hohmann . . . . . 15.6.2 Cambio de inclinaci´ on . . . . . . . . . 15.7 Cohetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.8 La ecuación de Tsiolkovsky . . . . . . . . . .

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15.9 Las condiciones de inyección y la o´rbita inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 A Constantes astron´ omicas 353 A.1 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 A.2 Sistema de Constantes Astronómicas de la U.A.I. (1976) . . . . . . . . . . . . 354 B Posiciones geogr´ aficas de algunas ciudades colombianas C Cuerpos del sistema solar C.1 Datos f´ısicos de los planetas (I) . . . . . . . . . . . . . . . . C.2 Datos f´ısicos de los planetas (II) . . . . . . . . . . . . . . . C.3 Elementos orbitales osculatrices heliocéntricos referidos a la y equinoccio de J2000.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.4 Datos del Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.5 Datos de la Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.6 Algunos asteroides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.7 Algunos cometas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D Refracci´ on astron´ omica a nivel del mar

355

. . . . . . . . . . . . . . . . . . ecl´ıptica media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

359 . 359 . 360 . . . . .

360 361 361 362 362 363

E Estrellas 365 E.1 Las estrellas m´ as cercanas al Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 E.2 Las estrellas m´ as brillantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 F Fecha Juliana

367

G Calendario 369 G.1 Descansos remunerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 G.2 Fechas de Pascua para algunos a˜ nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 G.3 Calendario Perpetuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

14

Cap´ıtulo 1

´ INTRODUCCION 1.1

La astronom´ıa

La astronom´ıa es aquella rama del saber cient´ıfico que estudia el universo en su conjunto. El universo comprende cuerpos tan familiares como la Luna, el Sol, los planetas y las estrellas, hasta objetos exóticos tales como los agujeros negros, quasares, pulsares y enanas marrones. Entendemos aqu´ı por universo a todo el conjunto de cuerpos celestes que han existido, existen y existir´ an. Por lo que sabemos hoy en d´ıa, el universo es extraordinariamente antiguo e inconmensurablemente enorme. La astronom´ıa busca explicar el universo (su composición, estructura, origen, evoluci´ on, etc.) pero con un enfoque cient´ıfico, lo que significa que sus procedimientos y metodolog´ıas descansan en nuestros conocimientos de las leyes f´ısicas y qu´ımicas hasta ahora descubiertas y por lo tanto, de las bases matemáticas que las sustentan. Los resultados que se derivan de las teor´ıas propuestas son continuamente comparados con la observación; aquellas teor´ıas que no explican satisfactoriamente los fenómenos observados son reevaluadas e incluso desaparecen si una nueva teor´ıa surge con mayor poder explicatorio y predictivo. Nuestro conocimiento del universo es a´ un muy limitado. Es cierto que hemos avanzado mucho en su conocimiento, pero permanecen muchos interrogantes todav´ıa por esclarecer.

1.1.1

Objeto de estudio

Son objetos de estudio de la astronom´ıa aquellos cuerpos que observamos en el cielo —por lo que los llamamos “celestes”—. En la antig¨ uedad los astrónomos y filósofos contemplaron y estudiaron aquellos objetos que son visibles a simple vista: el Sol, la Luna, planetas, estrellas, cometas y estrellas fugaces. Con la aparición de instrumentos y herramientas tales 15

16

´ CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

como telescopios y cámaras fotográficas se logró obtener por un lado, una visi´ on más completa y extraordinaria de todos aquellos cuerpos conocidos hasta entonces y, por otro, se descubrieron objetos y estructuras que hab´ıan pasado desapercibidas hasta entonces sencillamente por la limitaci´ on de nuestros sentidos. La astronom´ıa busca dar respuestas a la curiosidad innata del hombre por comprender lo que lo rodea desde el punto de vista c´ osmico. Hombres curiosos, animados por motivos teol´ ogicos, filosóficos, o de otra clase, han dedicado sus vidas a la observación, medida y comprensi´ on de los cuerpos celestes. Muchos de ellos han legado sus observaciones, fruto de sus pacientes observaciones y medidas hechas en el transcurso de muchos a˜ nos, para que los que vienen detr´ as de ellos, más instruidos y con una experiencia ya heredada, intenten completar el panorama y contin´ uen con ese anhelo de exploración y entendimiento. El astr´ onomo estudia el cielo de una manera sistemática y formal. Sus preguntas son del siguiente tenor:¿Cu´ ando ser´ a el pr´ oximo eclipse de Sol? ¿A qué horas exactamente saldrá el Sol para un d´ıa y lugar determinado? ¿Por qué los planetas describen trayectorias aparentes tan complicadas? ¿Qué tan antiguo es el Sol? ¿Qué composición qu´ımica tiene la Luna? ¿A qué distancia est´ an las estrellas? ¿Por qué brillan éstas? ¿Qué tan antiguo es el universo? Las respuestas a algunas de estas preguntas han costado mucho trabajo y dedicación a hombres de ciencia en el transcurso de muchos siglos. Algunas de ellas todav´ıa no tienen una explicaci´ on que podamos llamar satisfactoria, pero en el mundo entero miles de astrónomos continuan desarrollando técnicas observacionales e instrumentales, creando y optimizando nuevos métodos anal´ıticos y computacionales con el fin de seguir desentra˜ nando los profundos misterios e interrogantes que a´ un encierra el universo. La astronom´ıa es actualmente una ciencia supremamente extensa que cubre tan vastos campos de interés que se ha hecho necesario dividirla en ramas o especializaciones. Para la persona de la calle el astr´ onomo es aquel sujeto que se dedica meramente a la observación del cielo. Pero en la realidad es mucho m´ as que eso. El astr´ onomo, para los cánones actuales, es un profesional altamente preparado con sólidos conocimientos en matemáticas, f´ısica, qu´ımica, biolog´ıa, geolog´ıa, computación, etc. Dependiendo de su area de interés tendr´ a mayor preparación en algunas de esas ciencias más que en otras. Aquellos que se dedican por ejemplo al estudio de las propiedades de los agujeros negros son profesionales con una formación muy sólida en matemáticas y f´ısica, pues sus herramienta de trabajo son la geometr´ıa diferencial, la teor´ıa de la relatividad general y la mec´ anica cu´ antica. Aquellos dedicados a la b´ usqueda del origen y formaci´ on de la Luna necesitan conocimientos muy profundos de geolog´ıa, qu´ımica y mecánica celeste. Y as´ı ocurre con todas las demás ramas en las que se ha subdividido la astronom´ıa.

1.2

La astronom´ıa esf´ erica y din´ amica

Este libro trata espec´ıficamente de dos ramas de la astronom´ıa que est´ an intimamente relacionadas entre s´ı. La astronom´ıa esférica estudia la manera de como es posible relacionar las direcciones cambiantes de los cuerpos celestes con sus posiciones sobre la superficie de la

1.3. LA ASTRONOMÍA Y LA ASTROLOGÍA

17

denominada esfera celeste. La astronom´ıa din´ amica estudia todas aquellas explicaciones de orden fisicomatemático que tratan de dar cuenta del movimiento de los cuerpos celestes bajo la influencia de sus mutuas atracciones gravitacionales, aunque no se descartan otro tipo de fuerzas. La astronom´ıa esférica requiere el dominio b´ asico de la trigonometr´ıa esférica; la astronom´ıa din´ amica requiere el manejo de la mecánica newtoniana, y en casos especiales y rigurosos, de la teor´ıa de la relatividad general. En un contexto m´ as amplio, la astronom´ıa esférica y la astronom´ıa din´ amica forman juntas lo que se conoce como astronom´ıa de posici´ on1 .

1.3

La astronom´ıa y la astrolog´ıa

Es muy raro el texto de astronom´ıa que se atreva a dedicar si quiera unas l´ıneas dirigidas a dejar en claro la diferencia que existe entre la astronom´ıa y la astrolog´ıa. Sin embargo, el auge que cobran cada vez más las pr´ acticas adivinatorias y ocultistas entre la poblaci´ on, aun entre personas que se precian de ser ilustradas, amerita, a modo de responsabilidad con la sociedad, hacer las siguientes apreciaciones. Son muchas las personas en nuestra sociedad que piensan que la astronom´ıa y la astrolog´ıa son una misma cosa. La realidad es que son dos actividades completa y radicalmente diferentes. La astrolog´ıa parte del supuesto de que los astros (el Sol, la Luna y los planetas) y la posici´ on aparente de éstos en relación con las estrellas, tienen una influencia marcada y directa en el destino y el car´ acter de las personas, grupos humanos e incluso naciones enteras. Sin embargo, hoy por hoy, con el avance portentoso de la ciencia y la tecnolog´ıa, la astrolog´ıa es vista, por lo medios intelectuales y cient´ıficos, como una simple pr´ actica adivinatoria, a la misma altura de la quiromancia y otras actividades similares. Los creyentes y adeptos de la astrolog´ıa insisten en que su destino, su suerte (o la carencia de ella), sus gustos e instintos dependen y est´ an determinados por la ubicaci´ on relativa de los cuerpos celestes en instantes cruciales de su existencia, particularmente en el momento de su nacimiento. La astrolog´ıa, a diferencia de la astronom´ıa, no busca explicar el universo. En su trabajo diario y para el desempe˜ no de su labor, al astr´ ologo lo tiene sin cuidado la constituci´ on de las estrellas; no pretende conocer el origen y la evoluci´ on del universo, le es indiferente el estudio formal y excitante de la naturaleza del cosmos. Sus conocimientos en matemáticas, f´ısica y qu´ımica son por lo tanto limitados, pues no es su intención desentra˜ nar los misterios del cosmos por lo que no requiere todas esas herramientas que son imprescindibles para el astr´ onomo. Eso s´ı, le interesa conocer las efemérides (las posiciones de los planetas con respecto a las estrellas) para alguna fecha dada, no con la exactitud y precisi´ on que requiere el astrónomo, despreocupándose por el hecho de que éstos utilizan en sus cálculos la teor´ıa de la relatividad general (el funcionamiento, la estabilidad y el poder determinista de las 1 No hay un consenso general sobre esta definici´ on. En algunas referencias la astronom´ıa de posici´ on se entiende como un sin´ onimo de astrometr´ıa, esto es, aquella rama de la astronom´ıa que se ocupa de las medidas de las posiciones de los cuerpos celestes en el cielo, en particular en lo que tiene que ver con los conceptos y métodos observacionales involucrados en la realizaci´ on de las medidas.

18


teor´ıas planetarias no son su problema), pues su intención es adivinar —no calcular— lo que puede ocurrir con el destino de las personas. La diferencia entre astronom´ıa y astrolog´ıa es equivalente, en sus justas proporciones, a la existente entre la hepatolog´ıa y la haruspimancia. La primera es el estudio cient´ıfico del higado, esto es, el estudio de éste órgano desde el punto de vista morfol´ ogico, fisiológico, etc.; la segunda es la pr´ actica adivinatoria que consiste en leer el futuro interpretando la forma y los ligeros cambios de posición del higado de animales que se sacrifican con tal fin. El astr´ ologo realiza predicciones sobre el destino de las personas basado no en las leyes de la naturaleza sino en recetas y formulaciones carentes por completo de fundamento. El origen de estas reglas puede trazarse hasta unos 2500 A.C. en la época de los antiguos caldeos, cuando la ciencia y la magia eran una misma cosa. Es justo decir, sin embargo, que hasta tiempos relativamente recientes los astrónomos fueron también practicantes de la astrolog´ıa, en particular cuando necesitaban la protecci´ on de pr´ıncipes y reyes a los cuales sólo les interesaba saber lo que los astros les deparaban en el futuro. Es el caso de Johannes Kepler, famoso astr´ onomo alemán, posiblemente el u ´ ltimo de los grandes astr´ onomos que cultiv´ o también la astrolog´ıa. Sin embargo, ya para finales del siglo XVII, ambas actividades se separaron radicalmente hasta hacerse casi irreconocibles. Es muy normal encontrar hoy en d´ıa en pr´ acticamente todos los peri´ odicos y publicaciones seriadas dirigidas al gran p´ ublico, secciones enteras sobre horóscopos y avisos publicitarios de astr´ ologos “profesionales”. Que la población vea a la astrolog´ıa como un pasatiempo o divertimento jocoso vaya y pase. Desdichadamente, son muchas las personas que creen firmemente lo que les indica su hor´ oscopo gastando para ello enormes sumas de dinero en la consulta peri´ odica de supuestos especialistas en astrolog´ıa. Esto lo que revela no es la eficiencia del astrólogo en sus predicciones, ni la aprobación de una pr´ actica adivinatoria como una ciencia “cierta” o “verdadera” sino m´ as bien la falta de cultura cient´ıfica, la inseguridad, y la crisis de identidad de muchos miembros de nuestra sociedad. LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS • Bakulin, P., Kononovich, E., Moroz, V. (1983) Curso de astronom´ıa general, Mir, Mosc´ u. Texto de astronom´ıa que ofrece, sin demasiada profundidad t´ ecnica, un amplio espectro de la tem´ atica astron´ omica. • Brieva-Bustillo, E. (1985) Introducci´ on a la astronom´ıa: El sistema solar, Empresa Editorial Universidad Nacional de Colombia, Bogot´ a. Un texto breve y descriptivo de la mayor´ıa de temas de la astronom´ıa moderna, con ´ enfasis en el sistema solar. • Culver, B., Ianna, P. (1994) El secreto de las estrellas, astrolog´ıa: ¿mito o realidad?, Tikal ediciones, Gerona. Excelente libro que expone con detalle las fallas conceptuales de la astrolog´ıa. Muy revelador para todos aquellos que no comprenden la diferencia entre la astronom´ıa y la astrolog´ıa. • Karttunen, H., et al. (1996) Fundamental Astronomy, Springer-Verlag, Heidelberg. Excelente texto de astronom´ıa a nivel universitario que cubre diversos aspectos de los modernas técnicas observacionales y te´ oricas.

1.3. LA ASTRONOMÍA Y LA ASTROLOGÍA

19

• Sagan C. (1994) Cosmos, Planeta, Bogot´ a. Inmejorable libro de divulgaci´ on astron´ omica, ampliamente ilustrado, con diversad de t´ opicos sobre la historia y proyecci´ on del pensamiento cient´ıfico. • Sagan, C. (1984) El cerebro de Broca, Grijalbo, México. Una descripci´ on autorizada sobre diversos t´ opicos astron´ omicos con algunos matices sobre la aplicaci´ on del método cient´ıfico. • Sagan, C. (1997), El mundo y sus demonios, Planeta, Bogot´ a. Un libro que llama la atenci´ on sobre la necesidad de cultivar una visi´ on escéptica del universo y de los peligros que entra˜ na la difusi´ on de pr´ acticas ocultistas y seudociencias en nuestro mundo civilizado. • Senior, J.E. (1996) Epistemolog´ıa y divulgaci´ on de la astronom´ıa, en Memorias del segundo encuentro nacional de astronom´ıa, Universidad Tecnol´ ogica de Pereira. Excelente ensayo epistemol´ ogico que plantea estrategias para la difusi´ on de la astronom´ıa y en general del pensamiento racional en nuestro pa´ıs. • http://www.wsanford.com/~wsanford/exo/zodiac.htm Se encuentran varios comentarios referentes a la diferencia entre astronom´ıa y astrolog´ıa. • http://www.voicenet.com/~eric/astrology.htm En esta hoja electr´ onica se encuentran multitud de consideraciones en contra de la astrolog´ıa con gran cantidad de enlaces y bibliograf´ıa.

20


Cap´ıtulo 2

TRIGONOMETRÍA ´ ESFERICA Puesto que muchos problemas astron´ omicos de interés se reducen al estudio de los tri´ angulos esféricos, nos vemos en la necesidad de ver algunos conceptos m´ınimos en esta materia que nos serán de gran ayuda m´ as adelante. La trigonometr´ıa esférica es aquella rama de las matem´ aticas que trata con las relaciones numéricas entre los lados y los ángulos de tri´ angulos esféricos. Definimos ańgulo diedro (ver figura 2.1) a aquel formado por dos planos que se cortan. Los planos reciben el nombre de caras del ángulo diedro, en tanto que la recta de intersecci´ on recibe el nombre de arista del ańgulo diedro.

ARISTA

Figura 2.1:

´ Angulo diedro

Definimos ańgulo triedro (ver figura 2.2) a aquel formado por la intersecci´ on en un sólo 21

´ CAPÍTULO 2. TRIGONOMETRÍA ESFERICA

22

punto de tres planos. El punto de intersecci´ on es denominado vértice del ángulo triedro. Los planos reciben el nombre de caras del ángulo triedro. Las caras, tomadas de dos en dos, forman tres ángulos diedros cuyas aristas OX, OY, OZ son las aristas del ángulo triedro. Z

O Y

X

Figura 2.2:

´ Angulo triedro

Ahora bien, cualquier intersecci´ on de un plano con una esfera es una circunferencia. Llamamos circunferencia máxima (ver figura 2.3) a aquella que resulta de la intersecci´ on de la superficie de una esfera y un plano que pasa por el centro de dicha esfera. En el caso en que el plano no pase por el centro de la esfera, dar´ a origen a una circunferencia menor. Definimos los polos (P y P’) de una circunferencia (m´ axima o menor) a aquellos puntos sobre la superficie de la esfera que resultan de la intersecci´ on de ella con una l´ınea perpendicular al plano que da origen a las circunferencias. P

CIRCUNFERENCIA MENOR

O CIRCUNFERENCIA MAXIMA

P’

Figura 2.3:

Circunferencia m´ axima y circunferencia menor

Miremos ahora la figura 2.4 en la que tenemos la circunferencia m´ axima que pasa por los puntos CAB y tiene por polos P y P’. Perpendicularmente a ella tenemos dos arcos

23 pertenecientes a circunferencias m´ aximas que pasan por A y B respectivamente. Se llama ángulo esférico a aquel ańgulo formado por dos arcos de circunferencias m´ aximas. En nuestro caso, el ángulo esférico es el ángulo APB. Los arcos conforman los denominados lados del ańgulo esférico, y el punto donde se interceptan los arcos es llamado el vértice, esto es, P (o P’). Importante en trigonometr´ıa esférica es definir la medida de un ańgulo esférico. Esta viene dada por el ańgulo diedro formado por los planos de las circunferencias m´ aximas cuyos arcos hacen parte de los lados del ángulo esférico. Debe ser claro para el lector que el ángulo diedro APOB corresponde a la medida del ańgulo plano AOB que a su turno tiene por medida la del arco AB. P

O

C

A

B

P’

Figura 2.4:

´ Angulo esférico

Un tri´ angulo esférico (ver figura 2.5) es aquella regi´ on sobre la superficie de una esfera que est´ a limitada por los arcos de tres circunferencias m´ aximas. Los arcos corresponden a los lados del tri´ angulo esférico; los vértices de los tres ańgulos esféricos son los vértices del tri´ angulo esférico. Siguiendo la notaci´ on usual en trigonometr´ıa plana, los ańgulos se denotan con letras may´ usculas (A, B, C) y los respectivos ángulos opuestos con letras min´ usculas (a, b, c). N´ otese que al unir los vértices A, B y C con el centro de la esfera se forma un ángulo triedro. Los lados a, b y c del tri´ angulo esférico se miden por los ángulos de las caras BOC, COA y AOB respectivamente del ángulo triedro.


24

C

O

a

b

B A

Figura 2.5:

c

Tri´ angulo esférico

Ahora bien, es f´ acil verificar que tres circunferencias m´ aximas que se cortan determinan 8 tri´ angulos esféricos. Por convención, consideraremos aqu´ı u ńicamente aquellos tri´ angulos esféricos en los que cualquier lado y cualquier ańgulo es menor que 180o . Para estos tri´ angulos: • La suma de dos lados cualquiera es mayor que el tercer lado. • La suma de los tres lados es menor que 360o . • Si dos lados son iguales, los ángulos opuestos son iguales. Rec´ıprocamente también es v´ alido. • La suma de los tres ángulos es mayor que 180o y menor que 540o .

2.1

Relaciones fundamentales

Procedemos ahora a derivar las ecuaciones fundamentales de la trigonomer´ıa esférica. Considérese un sistema de coordenadas rectangular (x, y, z) centrado en el origen de una esfera de centro O. Sea el plano xy el que forma un plano de referencia el cual tendr´ a por polos a las intersecciones del eje z con la superficie de la esfera.

2.1. RELACIONES FUNDAMENTALES

25

z P K

η

O

y ξ

x

Figura 2.6:

Suponiendo que la esfera tiene un radio unidad e introduciendo dos ańgulos, ξ, η, de la forma como se muestra en la figura 2.6, un punto K sobre la superficie de la esfera tiene por coordenadas rectangulares: x = cos ξ cos η, y = sen ξ cos η, z = sen η.

(2.1)

Con el fin de crear un tri´ angulo esférico en nuestra esfera procedemos a realizar una rotaci´ on un ańgulo ζ alrededor del eje x de tal forma que las posiciones de los nuevos ejes y 0 y z 0 son como se ilustran en la figura 2.7. Con la rotación estamos introduciendo un nuevo sistema de coordenadas (x0 , y 0 , z 0 ). N´ otese que ahora existe un nuevo plano de referencia conformado por los ejes x0 y 0 . Introduciendo ahora los ańgulos ξ 0 , η 0 con respecto al nuevo sistema de coordenadas tenemos, para el mismo punto K: x0 = cos ξ 0 cos η 0 , y 0 = sen ξ 0 cos η 0 , z 0 = sen η 0 .

(2.2)


26

z’ P’

z P K ζ η’ ξ’

y’ ζ y

x=x’

Figura 2.7:

Vemos que se forma un tri´ angulo esférico conformado por los vértices P, P’, K. Es f´ acil darse cuenta de los valores que adquieren los ańgulos internos y los lados de dicho tri´ angulo angulo con el tri´ angulo esférico esférico en términos de ξ, η, ξ 0 , η 0 y ζ 0 . Al comparar dicho tri´ de la derecha de la figura 2.8 obtenemos: A B a b c

= = = = =

90 + ξ, 90 − ξ 0 , 90 − η 0 , 90 − η, ζ.

(2.3)

Necesitamos encontrar la relación existente entre las coordenadas (x, y, z) y (x0 , y 0 , z 0 ). Puesto que la rotaci´ on se ha hecho con respecto al eje x, obtenemos la relaci´ on de equivalencia: (2.4) x0 = x. Para hallar las relaciones entre (y, z) y (y 0 , z 0 ) hacemos uso de la figura 2.9, la cual muestra la orientaci´ on de estos ejes con el eje x perpendicular al plano de la hoja. Un punto K cualquiera que dista del origen por un radio igual a la unidad tiene por coordenadas con respecto a y 0 y z 0 : y 0 = cos θ,

(2.5)


27

z 0 = sen θ.

(2.6)

El mismo punto K tiene por coordenadas con respecto a y y z: y = cos(θ + ζ), z = sen (θ + ζ),

(2.7)

y = cos θ cos ζ − sen θ sen ζ, z = sen θ cos ζ + cos θ sen ζ.

(2.8)

o, lo que es lo mismo:

Al reemplazar las ecuaciones (2.5) y (2.6) en estas u ´ ltimas obtenemos: y = y 0 cos ζ − z 0 sen ζ, z = z 0 cos ζ + y 0 sen ζ.

(2.9)

De la ecuaci´ on (2.4) y de las ecuaciones (2.1) y (2.2) podemos escribir: cos ξ cos η = cos ξ 0 cos η 0 , o, en términos de las relaciones (2.3): cos(A − 90) cos(90 − b) = cos(90 − B) cos(90 − a), y puesto que para cualquier ańgulo α se tiene cos(90 − α) = sen α, la ecuación anterior es equivalente a: sen B sen A = . (2.10) sen a sen b De idéntica forma, podemos utilizar la segunda de las ecuaciones (2.9) y reemplazar en ella la u ´ltima de las ecuaciones (2.1) y la segunda y tercera de (2.2) para obtener:

ζ 90−ξ’

c 90+ξ

90−η

90−η’

B

A a

Figura 2.8:

b C


28

z

z’

K

ζ

y’ θ ζ y

O Figura 2.9:

sen η = sen η 0 cos ζ + sen ξ 0 cos η 0 sen ζ. Al tener en cuenta las relaciones (2.3) obtenemos: sen (90 − b) = sen (90 − a) cos c + sen (90 − B) cos(90 − a) sen c, y puesto que para cualquier ańgulo α se tiene sen (90 − α) = cos α, la ecuación anterior es igual a: cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B. (2.11) Por u ´ltimo, al tomar la primera de las ecuaciones (2.9) y reemplazar en ella las ecuaciones (2.1) y (2.2) obtenemos: sen ξ cos η = sen ξ 0 cos η 0 cos ζ − sen η 0 sen ζ. Al tener en cuenta, como antes, las relaciones (2.3): sen (A − 90) cos(90 − b) = sen (90 − B) cos(90 − a) cos c − sen (90 − a) sen c, equivalente a: cos A sen b = − cos B sen a cos c + cos a sen c.

(2.12)

Las ecuaciones para los otros lados y ángulos pueden obtenerse simplemente al hacer permutaciones c´ıclicas de los lados (a, b, c) y los ańgulos (A, B, C), de tal forma que una generalización de (2.10), llamada teorema del seno de la trigonometr´ıa esférica, es: sen B sen C sen A = = . sen a sen b sen c

(2.13)

De forma an´ aloga, podemos encontrar las otras expresiones para (2.11), llamadas en conjunto el teorema del coseno de la trigonometr´ıa esférica: cos b

=

cos a cos c + sen a sen c cos B,

cos c cos a

= =

cos a cos b + sen a sen b cos C, cos c cos b + sen c sen b cos A.

(2.14)


29

Por u ´ltimo, las otras ecuaciones equivalentes a (2.12) son llamadas en conjunto el teorema del seno por el coseno: cos A sen b

=

− cos B sen a cos c + cos a sen c,

cos A sen c cos B sen a

= =

− cos C sen a cos b + cos a sen b, − cos A sen b cos c + cos b sen c,

cos B sen c = − cos C sen b cos a + cos b sen a, cos C sen a = − cos A sen c cos b + cos c sen b, cos C sen b

=

(2.15)

− cos B sen c cos a + cos c sen a.

Las ecuaciones (2.13), (2.14) y (2.15) son las expresiones básicas de la trigonometr´ıa esférica. Las mismas serán utilizadas frecuentemente en el transcurso del libro. LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS • Ayres, F. (1970) Lecturas y problemas de Trigonometr´ıa plana y esf´ erica, McGraw-Hill, México. Como todos los libros de la serie de Schaum, excelente. En los cap´ıtulos 19 a 24 se encuentra una buena descripci´ on de conceptos u ´tiles en la astronom´ıa esférica. • Vives, T. (1971), Astronom´ıa de posici´ on, Alhambra, Bilbao. Libro cl´ asico de astronom´ıa de posici´ on en espa˜ nol. El cap´ıtulo 1 contiene una extensa exposici´ on de las f´ ormulas de la trigonometr´ıa esférica incluyendo f´ ormulas diferenciales. • http://polaris.st-and.ac.uk/~fv/webnotes/chapter2.htm Conceptos y f´ ormulas fundamentales de la trigonometr´ıa esférica. • http://home.t-online.de/home/h.umland/chap9.htm Al igual que el anterior, conceptos b´ asicos de la trigonometr´ıa esférica.

30


Cap´ıtulo 3

EL PLANETA TIERRA La Tierra, el lugar de origen de los seres humanos y, por supuesto, el sitio desde donde contemplamos el universo, es un planeta que dista aproximadamente unos 150 millones de kil´ ometros de una estrella de mediano tama˜ no que llamamos el Sol. Posee un u ´ nico satélite natural llamado la Luna, el cual est´ a a unos 384 400 kilómetros de distancia. La Tierra es de forma aproximadamente esférica, con un radio aproximado de 6378 kil´ ometros. En orden de distancia al Sol la Tierra es el tercer planeta de dentro hacia fuera y realiza una revoluci´ on en torno del Sol (movimiento de traslación) en un per´ıodo de tiempo que llamamos a˜ no. La Tierra gira sobre s´ı misma (movimiento de rotación) en un per´ıodo que llamamos d´ıa. Técnicas modernas revelan que nuestro planeta es supremamente antiguo: posee, al igual que el sistema solar, una edad de 4600 millones de a˜ nos. La Tierra posee una tenue capa de gases que la rodean por completo denominada atmósfera. Dicha atm´ osfera está conformada en su mayor parte de nitr´ ogeno (78%) y ox´ıgeno (21%), y cantidades muy peque˜ nas (1%) de otros gases tales como agua, bióxido de carbono, argón, xen´ on, etc. El espesor de la atmósfera es ´ınfimo comparado con el radio del planeta, pues aunque los especialistas tengan algunas diferencias con respecto a la demarcación de sus l´ımites (algunos llegan a extenderla hasta los 2000 kil´ ometros), lo cierto es que ya a una altura de los 120 kil´ ometros está contenido el 99.9% del peso total de la misma. Hasta en el momento en que se escriben estas lineas la Tierra posee a´ un el honor de ser el u ´ nico planeta donde se ha gestado el fen´ omeno que llamamos vida. Pero es muy dudoso, a la luz de recientes investigaciones, que siga siendo exclusivamente la poseedora de tan significativo privilegio. Y no s´ olo ha generado vida: también ha dado origen a seres vivos autoconcientes que poseen una curiosidad sorprendente por tratar de entender lo que los rodea. Hasta hace unos cuantos a˜ nos las observaciones astronómicas se hac´ıan exclusivamente sobre la superficie de la Tierra lo que implicaba (y a´ un implica) multitud de inconvenientes y desventajas: el movimiento diurno es el más obvio: los astros aparentemente se mueven de oriente a occidente por lo que es necesario compensar dicho movimiento para poder rastrear y observar adecuadamente los astros. La atmósfera absorbe muchas longitudes de onda de 31

CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA

32 Masa Masa de la atm´ osfera Masa de los océanos Radio ecuatorial Radio polar Distancia media al Sol Densidad media Per´ıodo de rotaci´ on Per´ıodo de traslaci´ on Temperatura superficial Tabla 3.1:

5.9736×1024 kg 5.1×1018 kg 1.4×1021 kg 6 378 140 m 6 356 755 m 1.496×1011 m = 1 u.a. 5515 kg m−3 1 d´ıa = 23h 56m 4.09s 1 a˜ no = 365.2421897 d −35 a 50 o C

Algunos datos del planeta Tierra

interés tales como los rayos X, los rayos gamma y la radiación ultravioleta; aquella radiaci´ on que no es absorbida sufre de extinci´ on atmosférica, lo que significa que la luz se dispersa y se atenua al pasar por el aire. Además, el fenómeno de refracción atmosférica afecta la direcci´ on real de la luz que nos env´ıan los astros. Hoy en d´ıa se han colocado satélites artificiales y se han mandado sondas a otros planetas, lo que ha incrementado de forma espectacular el conocimiento que se ten´ıa previamente de cuerpos que s´ olo se observaban a través de telescopios sobre el terreno.

3.1

Forma de la Tierra

Al igual que los otros planetas del sistema solar y la mayor´ıa de sus satélites, la Tierra posee simetr´ıa esférica, esto es, su forma es casi la de una esfera. La rotación de los planetas es responsable de crear en el proceso de su formación una ligera acumulaci´ on de masa sobre el ecuador, por lo que el radio en las vecindades de ese lugar es un poco mayor que en los polos. En la Tierra la diferencia entre el radio en el ecuador y el radio en los polos es apenas de 21 385 metros. Aunque pueda parecernos un valor muy peque˜ no (0.3% del radio) el hecho es que esa diferencia ha de ser tenida en cuenta en la conformaci´ on de mapas, en el cálculo de eclipses, estimación de trayectorias de satélites, etc. La ciencia que se ocupa de estudiar la figura geométrica precisa de la Tierra, los métodos que emplea y su significado es llamada geodesia. Antes de 1957, esto es, antes del advenimiento de los satélites artificiales, el trabajo geodésico se realizaba por métodos de triangulaci´ on y de gravimetr´ıa hechos sobre el terreno. Con la utilizaci´ on de satélites artificiales ha sido posible incrementar mucho m´ as nuestro conocimiento sobre la forma verdadera de nuestro planeta. Nos consta que nuestro planeta posee una superficie continental de gran diversidad de formas y variaciones. Accidentes geográficos tales como monta˜ nas abruptas y escarpadas se ubican en ocasiones al lado de grandes llanos y praderas. Sin embargo, el planeta Tierra está cubierto, en m´ as de un 70%, por agua, una sustancia fluida que como tal tiende a ajustar

3.1. FORMA DE LA TIERRA

33

GEOIDE

ELIPSOIDE Figura 3.1:

TOPOGRAFIA

Geoide, elipsoide (esferoide) y forma verdadera de la Tierra

fácilmente su superficie normal a la direcci´ on de la gravedad. Ello quiere decir que en buena medida la superficie de nuestro planeta puede describirse en términos del nivel medio de los océanos que la cubren en un buen porcentaje. Se llama geoide a la figura geométrica que busca representar la verdadera forma del planeta Tierra haciendo que la figura coincida con el nivel medio de los océanos del mundo y contin´ ue sobre las a´reas continentales como una superficie imaginaria (a nivel promedio del mar). El geoide tiene por definici´ on la propiedad de que cualquier lugar de su superficie debe ser perpendicular a la direcci´ on de la fuerza de la gravedad.

Figura 3.2:

Una elipse rotando alrededor de su eje mayor da lugar al elipsoide de revoluci´ on

Rigurosamente hablando, el geoide es una superficie equipotencial dentro del campo gravitacional terrestre. Ahora bien, en la pr´ actica el geoide es imposible de identificar con una figura geométrica sencilla, pues resulta siendo completamente irregular (ver figura 3.1). Por ello se suele adoptar como figura geométrica apropiada —en muy buena aproximaci´ on— un elipsoide de revoluci´ on, llamado también esferoide, cuya forma tridimensional resulta de rotar por completo una elipse sobre su eje mayor, ver figura 3.2. El geoide puede estar por encima o por debajo del elipsoide de revoluci´ on tanto como unos 100 metros, diferencia llamada “ondulaci´ on del geoide”. Las ondulaciones más grandes se registran en una depresi´ on al sur de la India que alcanza los 105 metros y una elevación al norte de Australia que alcanza los 75 metros. Un elipsoide de revoluci´ on o esferoide queda determinado si se fija el radio ecuatorial a que juega el papel del semieje mayor del elipsoide, y una relaci´ on llamada achatamiento f . El achatamiento está relacionado con el semieje menor de dicho elipsoide que es el radio polar b (ver Tabla 3.1) a través de la relaci´ on: b = a(1 − f ).

(3.1)

34


Con el avance de la técnica y la puesta a punto de métodos más precisos para medir las dimensiones de la Tierra, se han establecido hist´ oricamente valores cada vez más refinados de estas cantidades. Actualmente se recomienda la utilización de los valores fijados por la Uni´ on Astronómica Internacional (UAI) en 19791 :

a = 6 378 140 metros, f = (a − b)/a = 1/298.257.

Ahora bien, todos los cuerpos celestes giran sobre s´ı mismos, incluyendo por supuesto la Tierra. El movimiento de rotaci´ on del planeta define instant´ aneamente una l´ınea imaginaria que pasa por el centro del planeta la cual es llamada eje de rotaci´ on. Dicho eje de rotaci´ on coincide en promedio con el eje del momento principal de inercia, llamado también eje de figura. El eje de rotaci´ on y el eje de figura no coinciden exactamente puesto que el eje de rotaci´ on se mueve lentamente alrededor del eje de figura en un movimiento cuasi-periódico con una amplitud que oscila entre los 0.05 y 0.25 segundos de arco, lo que equivale a un desplazamiento entre uno y ocho metros sobre la superficie de la Tierra. Dicho movimiento se conoce con el nombre de movimiento polar . El astr´ onomo norteamericano Seth Carlo Chandler encontr´ o, en 1892, que el movimiento del polo es la resultante de la superposición de dos componentes que poseen per´ıodos distintos: una componente, llamada ahora componente de Chandler, tiene una duraci´ on de 14 meses, y es una oscilación libre que surge de la forma compleja de la Tierra; la otra componente es de 12 meses y es una oscilaci´ on forzada originada por efectos meteorol´ ogicos tales como cambios estacionales2 . La posición del polo es la suma vectorial de estas dos componentes y describe una especie de espiral irregular alrededor de un polo medio o promedio durante un ciclo de seis a˜ nos. Puesto que las magnitudes de las componentes pueden cambiar, el movimiento durante los ciclos no es el mismo. Dado que este movimiento no puede ser predicho con precisi´ on, es necesario realizar observaciones regulares para ubicar la posición instantánea del eje de rotaci´ on. Definido el eje de rotaci´ on de la Tierra podemos definir un plano perpendicular al mismo de tal forma que pase por el centro de masa del planeta. La circunferencia que resulta de la intersecci´ on de dicho plano con la superficie del esferoide es llamada ecuador terrestre (ET), ver figura 3.3. Los puntos sobre la superficie del esferoide (i.e., sobre la superficie terrestre) por donde emerge el eje de rotación son llamados polos terrestres. Aquel situado sobre el hemisferio norte es llamado polo norte terrestre (PNT) en tanto que el otro es llamado polo sur terrestre (PST). N´ otese que al moverse el eje de rotaci´ on, también se están desplazando ligeramente los polos. Obviamente el ET es completamente equidistante de ambos polos. 1 Ello no significa que sea de utilizaci´ on obligatoria por parte de todos los profesionales. Por ejemplo, en navegaci´ on astron´ omica satelital las posiciones que da el GPS est´ an con referencia al elipsoide WGS84. 2 El movimiento polar hab´ ıa sido predicho por el matem´ atico suizo Leonhard Euler en 1765 utilizando la teor´ıa din´ amica y un modelo de la Tierra r´ıgida. Sus c´ alculos mostraron que la oscilaci´ on deb´ıa tener un per´ıodo de 10 meses. En realidad el per´ıodo es cuatro meses mayor a causa de la elasticidad del manto terrestre y del movimiento de los océanos, efectos que Euler no incluy´ o en su modelo.

3.2. COORDENADAS DE UN OBSERVADOR EN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA35 EJE DE ROTACION

PNT

ECUADOR TERRESTRE

PST

Figura 3.3:

3.2

Polos terrestres y ecuador terrestre

Coordenadas de un observador en la superficie de la Tierra

Para fijar la posici´ on de un observador sobre la superficie de la Tierra se utilizan tres tipos de coordenadas: - Coordenadas geocéntricas, - Coordenadas geodésicas, - Coordenadas geográficas (astronómicas). Una descripci´ on de cada uno de estos tipos de coordenadas se presenta a continuaci´ on.

3.2.1

Coordenadas geoc´ entricas

Este sistema de coordenadas tiene como origen el centro de masa de la Tierra. El plano fundamental es, para los tres sistemas, el ecuador terrestre (ET). Las coordenadas geocéntricas son: φ0 = latitud geocéntrica, λ0 = longitud geocéntrica, ρ = distancia radial. La latitud geocéntrica φ0 de un punto sobre la superficie terrestre es el ańgulo existente entre una l´ınea que pasa por el punto y el centro del planeta, y el ecuador terrestre. La latitud geocéntrica tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:


36

−90o (90o S) ≤ φ0 ≤ 90o (90o N). N´ otese que: φ0(P N T ) = 90o ,

φ0(P ST ) = −90o .

Para especificar en qué hemisferio de la superficie de la Tierra est´ a ubicado el punto es necesario adicionar un indicativo. Este consiste en agregar la letra N (norte) en el caso de que el punto considerado esté en el hemisferio norte, de lo contrario se escribe la letra S (sur). Sin embargo, en los c´ alculos trigonométricos que involucren la latitud es necesario expresar la latitud expl´ıcitamente con un signo negativo cuando el punto est´ a ubicado en el hemisferio sur.

PNT

ρ φ’ ET CENTRO DE LA TIERA

PST Figura 3.4:

Latitud geocéntrica φ0

La longitud geocéntrica λ0 de un punto sobre la superficie terrestre es el ańgulo medido sobre el ecuador terrestre, desde el meridiano cero (o de referencia) hasta el meridiano del punto correspondiente. La longitud puede medirse hacia ambos lados del meridiano cero, haciéndose necesario en este caso especificar si el ángulo es al oeste (occidente) o si es al este (oriente). Para tal fin utilizamos la notaci´ on siguiente: λ0E si el ángulo de longitud se mide hacia el este del meridiano de referencia; λ0W si el ángulo de longitud se mide hacia el oeste del meridiano de referencia. Se acostumbra a especificar la longitud geogr´ afica de tal forma que nunca exceda los 180. Esto significa que si un punto posee una longitud λ0E = 200o , aunque enteramente v´ alida, es conveniente escribir λ0W = 160o . También se suele utilizar un signo (+ o −) en frente de la longitud para especificar si un punto est´ a hacia el este o al oeste del meridiano de referencia. Se ha escogido el signo positivo (+) cuando la longitud se toma hacia el este del meridiano de referencia; el signo negativo (−) se usa en caso contrario.

3.2. COORDENADAS DE UN OBSERVADOR EN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA37

EF ER EN C

IA

PNT

*

AN

OD

ER

ρ

ME RI

DI

φ’ λE ECUADOR TERRESTRE

PST Figura 3.5:

Latitud geocéntrica, longitud geocéntrica y la distancia radial

El meridiano cero o meridiano de referencia puede definirse de tal forma que atraviese en principio cualquier lugar sobre la superficie de la Tierra. Sin embargo, desde el punto de vista hist´ orico, los meridianos de referencia definidos han pasado por los observatorios astron´ omicos más notables de cada imperio o pa´ıs. Fue as´ı como el imperio brit´ anico defini´ o el meridiano de referencia como aquel que atraviesa el Observatorio Real de Greenwich, siendo Greenwich un municipio de Londres, Inglaterra. De la misma forma, Francia estableci´ o como meridiano de referencia aquel que atraviesa el Observatorio de Par´ıs y Espa˜ na hizo lo propio con el Observatorio Real de San Fernando. Actualmente, el meridiano cero o de referencia de uso general es, por acuerdo en una reuni´ on internacional realizada en 1884, el meridiano de Greenwich. La distancia radial ρ de un punto sobre la superficie terrestre es la distancia en l´ınea recta existente entre dicho punto y el centro de masa de la Tierra.

3.2.2

Coordenadas geod´ esicas

Este sistema de coordenadas descansa enteramente en un esferoide (elipsoide de revoluci´ on) de referencia que hay que especificar de entrada. Un esferoide queda determinado, como ya se dijo antes, cuando se adoptan valores espec´ıficos del radio ecuatorial terrestre a y del achatamiento f (o un par´ ametro equivalente). La importancia de este sistema de coordenadas radica en que la latitud geodésica es la que se encuentra en los mapas, atlas y diccionarios geográficos.


38 Las coordenadas geodésicas son:

φ = latitud geodésica, λ = longitud geodésica, h = altura sobre el esferoide. La latitud geodésica φ de un punto sobre la superficie terrestre es el ańgulo existente entre la normal al esferoide en dicho punto y el ecuador terrestre, ver figura 3.6. La latitud geodésica tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo: −90o (90o S) ≤ φ ≤ 90o (90o N), con: φ(P ST ) = −90o .

φ(P N T ) = 90o ,

La latitud geodésica φ puede llegar a diferir de la latitud geocéntrica hasta unos 11.5 minutos de arco a una latitud de 45o . La longitud geodésica λ está definida de la misma forma que la longitud geocéntrica λ0 , de tal forma que λ = λ0 .

NORMAL AL ESFEROIDE

PNT h TANGENTE AL ESFEROIDE

CT

φ ET a

PST Figura 3.6:

Latitud geodésica φ

La altura h de un observador sobre el elipsoide es la distancia sobre el esferoide medida a lo largo de la normal a dicho esferoide. En primera aproximaci´ on se puede tomar h de un determinado sitio como su altura sobre el nivel de mar. En la tabla 3.2 se especifican varios esferoides de referencia de uso actual.

3.2. COORDENADAS DE UN OBSERVADOR EN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA39 Nombre y fecha WGS 84, 1984 MERIT, 1983 GRS 80, 1980 UAI, 1979

Radio ecuatorial a (metros) 6378137 6378137 6378137 6378140

Tabla 3.2:

3.2.3

Achatamiento 1/298.257223563 1/298.257 1/298.257222 1/298.257

Algunos esferoides de referencia actuales

Coordenadas geogr´ aficas (astron´ omicas)

Cuando se determinan la latitud y la longitud mediante observaciones astron´ omicas, esto es, con respecto al polo celeste y al meridiano local a través de la vertical local, a los valores obtenidos de estos ángulos se les adiciona el adjetivo de geográficos (o también astronómicos). La latitud geogr´ afica (φ00 ) de un punto sobre la superficie terrestre es el ańgulo existente entre la direcci´ on de la plomada (la vertical local) y el ecuador terrestre, ver figura 3.7. Puesto que la vertical local de un punto es afectada por las anomal´ıas gravitacionales locales (monta˜ nas prominentes, dep´ ositos subterr´ aneos muy densos, etc.) y los campos gravitacionales cambiantes de la Luna, el Sol y los océanos —lo que implica que la vertical extendida hasta el centro de la Tierra no pasa por el centro del esferoide— existir´ a una peque˜ na diferencia en direcci´ on entre la vertical de dicho punto y la normal al esferoide (la que define φ). La inclinaci´ on de la vertical local a la normal al esferoide de referencia se conoce con el nombre de desviación de la vertical. Por lo tanto, lo que diferencia la latitud geográfica de la latitud geodésica es la desviación de la vertical. DIRECCION DE LA PLOMADA NORMAL AL ESFEROIDE

PNT

CT

TANGENTE AL ESFEROIDE

φ

φ´´

ET

a

PST

Figura 3.7:

Latitud geogr´ afica o astron´ omica

40


La longitud geográfica (λ00 ) de un punto sobre la superficie terrestre es el ańgulo entre el plano del meridiano astron´ omico de dicho punto y el plano del primer meridiano que pasa por Greenwich. El meridiano astron´ omico es el plano que pasa por el observador y contiene la vertical y una paralela a la direcci´ on del eje de rotaci´ on. Como ya se dijo, la vertical de un punto no necesariamente pasa por el centro del esferoide, por lo que el meridiano astron´ omico no coincide por lo general con el meridiano geodésico (que s´ı pasa por el centro del esferoide). De ah´ı que las longitudes geogr´ afica y geodésica difieran entre s´ı por una peque˜ na diferencia. En este libro supondremos que las tres definiciones de longitud son iguales: λ0 = λ = λ00 .

NOTA: La desviación de la vertical es por lo general un valor muy peque˜ no, de unos cuantos segundos de arco, pero hay algunos lugares en los que se registra hasta un minuto de arco. En este libro, como en la mayor´ıa de los libros de astronom´ıa, no haremos diferencia entre las coordenadas geodésicas y geográficas.

3.3

Unidades de longitud y su relaci´ on con las dimensiones terrestres

La unidad fundamental de longitud en el sitema métrico se llama metro (m). En 1795 el gobierno francés decretó el uso de esta unidad para hacerlo lo m´ as popular que se pudiera pues entre las diferentes provincias se utilizaban distintas medidas. Para tal fin se nombr´ o una comisi´ on cient´ıfica que al cabo de un tiempo fij´ o el uso del sistema decimal y definió el metro como 1/10 000 de una cuarta parte del meridiano terrestre. Como quien dice, con base en esta unidad de medida la circunferencia de la Tierra se estimaba en aquella época en 40 000 metros exactamente. S´ olo en 1837 el sistema métrico decimal fue declarado obligatorio en Francia y paulatinamente fue adoptado por casi todos los paises salvo los anglosagones quienes sólo recientemente lo han estado introduciendo progresivamente. Después, en 1875, la Convención del Metro instituy´ o una Oficina Internacional de Pesos y Medidas cuya sede se fij´ o en Par´ıs donde, en el pabell´ on de Breteuil se guardan el metro internacional (de platino e iridio), como también el kilogramo internacional. Sin embargo, los avances incesantes de la técnica obligaron a una redefinici´ on del metro ya para comienzos de los a˜ nos sesenta. Desde el primero de enero de 1961 se define el metro como “la longitud igual a 1 650 763.73 veces la longitud de onda en el vac´ıo de la radiaci´ on correspondiente a la transici´ on entre los niveles on 86”. 2p10 y 5d5 del a´tomo de cript´ ´ Otra unidad de longitud, muy popular en los paises anglosajones, es la milla n´ autica. Esta se define como la distancia sobre un c´ırculo m´ aximo que subtiende un ańgulo de un minuto de arco en el centro de la Tierra. Por lo tanto, y de forma aproximada, podemos encontrar fácilmente a qué equivale una milla n´ autica. Puesto que una circunferencia comprende 360 grados, esto es, 360 × 60 = 21 600 minutos de arco, y estos deben dar alrededor de 40 000 000 m se desprende que una milla n´ autica debe equivaler a 1851 m. Ahora bien, como la Tierra no es completamente esférica resulta que la milla n´ autica es distinta si se mide en el ecuador

´ ENTRE LATITUDES 3.4. TRANSFORMACION

41

que si se mide en los polos. Se ha tomado un valor promedio equivalente a 1852 metros. Ha de tenerse cuidado con la posible confusi´ on que pueda surgir entre la milla n´ autica y la milla, donde ésta es una unidad de longitud utilizada en caminos y rutas, que equivale a 1609 metros.

3.4

Transformaci´ on entre latitudes

Aqu´ı supondremos que la latitud geogr´ afica (o astron´ omica) (φ00 ) se puede aproximar a la latitud geodésica (φ) por lo que s´ olo nos ocuparemos de la relaci´ on entre ésta y la latitud geocéntrica (φ0 ).

y

b y φ’

φ x

x a

Figura 3.8:

Relaci´ on entre latitud geocéntrica y geod´ esica

Observemos la figura 3.8 donde est´ an relacionadas las latitudes en cuesti´ on. Es evidente que: tan φ0 =

y . x

(3.2)

Por otro lado, la ecuaci´ on de una elipse con centro en el origen y cuyo eje mayor a está ubicado sobre el eje x y el eje menor sobre el eje y es: y2 x2 + = 1. a2 b2 De ésta se deduce que la tangente a cualquier punto de la elipse, denotada por x b2 dy = − 2. dx ya

(3.3) dy dx ,

es:


42

Ahora bien, aquella recta normal a la tangente del elipsoide tiene como pendiente − dx dy , pero a su vez dicha pendiente viene dada por tan φ. De ello resulta que tan φ =

y a2 , x b2

(3.4)

que al comparar con (3.2) da: tan φ =

a2 tan φ0 , b2

o, teniendo en cuenta la relaci´ on entre a y b (ver ecuación 3.1, pág. 33) se obtiene: 1 tan φ0 . (1 − f )2

tan φ =

(3.5)

Procedamos ahora a encontrar una relaci´ on entre la distancia radial ρ y la latitud geodésica φ. La excentricidad e de un elipsoide est´ a definida por la siguiente relaci´ on entre el semieje mayor y menor (ver sección 11.2.1, pág. 212): e2 = 1 −

µ ¶2 b . a

(3.6)

Puesto que el achatamiento f puede escribirse de la forma f = 1 − b/a, entonces al comparar con (3.6) se deduce: p

e=

f (2 − f ).

(3.7)

De la ecuaci´ on (3.3) obtenemos: x2 = a2 −

a2 2 y , b2

y de (3.4): y2 =

x2 b4 tan2 φ , a4

entonces: x 2 = a2 −

x2 b2 tan2 φ . a2

Al despejar x2 obtenemos: x2 =

a2 , 2 1 + ab 2 tan2 φ

o, teniendo en cuenta la ecuaci´ on (3.6): x2 =

a2 cos2 φ . 1 − e2 sen2 φ

(3.8)


43

Un procedimiento similar permite encontrar: y2 =

a2 (1 − e2 )2 sen2 φ . 1 − e2 sen2 φ

(3.9)

La distancia radial ρ está relacionada con x y y mediante: ρ2 = x2 + y 2 , que al tener en cuenta (3.8) y (3.9) nos da la relación buscada: s 1 − e2 (2 − e2 ) sen2 φ , ρ=a 1 − e2 sen2 φ

(3.10)

la cual representa la distancia desde el centro del planeta hasta la superficie del elipsoide. La distancia geocéntrica para un observador ubicado a una altura h con respecto al nivel del mar se halla, en muy buena aproximaci´ on, sumando h al valor de ρ con las unidades pertinentes. Ejemplo 1 Calcular la latitud geocéntrica φ0 y la distancia geocéntrica de un punto cerca de la poblaci´ on de Ciénaga (Magdalena) con las siguientes coordenadas geodésicas: φ = 11o 10 3400 , o λ = 74 150 3500 y h =122 metros sobre el nivel medio del mar. Soluci´ on Tomaremos como elipsoide de referencia el recomendado por la UAI en 1979: a = 6 378 140 m y f = 1/298.257 = 0.0033528. De la ecuación (3.5) obtenemos: tan φ0 = (1 − f )2 tan φ = (1 − 0.0033528)2 tan(11o 10 3400 ) = 0.1935489. Entonces:

φ0 = tan−1 (0.1935489) = 10o 570 1500 .

Procedemos ahora a calcular la excentricidad e del elipsoide. Utilizando la f´ ormula (3.7) tenemos: p e = 0.0033528 × (2 − 0.0033528) = 0.0818191. Encontramos para ρ de acuerdo con (3.10): s 1 − (0.0818191)2 × (2 − 0.08181912 ) × sen2 (11o 10 3400 ) , ρ=a× 1 − 0.08181912 × sen2 (11o 10 3400 ) ρ = 0.9998783 × a = 6 377 364 m. Sumando el valor de la altura h obtenemos por fin: ρ = 6377364 + 122 = 6 377 486 m.


44 Ejemplo 2

Calcular la latitud geodésica φ y la altura h a la que se encuentra un determinado observador con los siguientes valores: φ0 = 6o 540 4300 , ρ = 0.9999765. Soluci´ on Como en el ejemplo anterior, tomaremos como elipsoide de referencia el recomendado por la UAI en 1979: a = 6 378 140 m y f = 1/298.257 = 0.0033528, e = 0.0818191. De la ecuación (3.5): tan φ = Entonces:

tan φ0 tan(6o 540 4300 ) = = 0.1220418. (1 − f )2 (1 − 0.0033528)2 φ = tan−1 (0.1220418) = 6o 570 2900 .

Encontramos para ρ (la distancia a la superficie del elipsoide) de acuerdo con (3.10): s 1 − (0.0818191)2 × (2 − 0.08181912 ) × sen2 (6o 570 2900 ) ρ=a× , 1 − 0.08181912 × sen2 (6o 570 2900 ) ρ = 0.9999512 × a. Por lo tanto, la altura h sobre la superficie del mar, en unidades del radio terrestre a, es: h = 0.9999765 − 0.9999512 = 0.0000253, lo que en unidades de metros es h = 0.0000741 × 6 378 140 = 161 m. NOTA: En la gran mayor´ıa de los libros de astronom´ıa se acostumbra a presentar la on de relaci´ on entre la latitud geocéntrica φ0 y la geodésica φ y la distancia radial ρ en funci´ φ por medio de una serie trigonométrica. La deducción de tales f´ ormulas no es complicada pero s´ı algo elaborada. Damos las expresiones (a la centésima del segundo de arco) sólo a manera de referencia: φ0 = φ − 110 32.7400 sen 2φ + 1.1600 sen 4φ,

(3.11)

ρ = a(0.99832707 + 0.00167644 cos 2φ − 0.00000352 cos 4φ).

(3.12)

LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS • Seidelmann, P.K. (1992), Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, University Science Books, Mill Valley. La obra indispensable que expone sin entrar en la rigurosidad las modernas teor´ıas y métodos de la astronom´ıa de posici´ on actual. Aunque se supone que es un suplemento del Astronomical Almanac, es de todas formas un excelente libro para comprender con extensi´ on muchos t´ opicos de la astronom´ıa moderna. El cap´ıtulo 4 cotiene una completa descripci´ on acerca de las coordenadas terrestres.


45

• Long, S. A. (1974) Derivation of Transformation Formulas Between Geocentric and Geodetic Coordinates for Nonzero Altitudes, NASA TN-7522, Washington. Este art´ıculo técnico contiene desarrollos algebr´ aicos que permiten encontrar f´ ormulas u ´tiles entre la latitud geocéntrica y geod´ esica • Smart, W. M. (1965) Text-Book on Spherical Astronomy, Cambridge University Press, Cambridge. En su cap´ıtulo IX posee una excelente descripci´ on de la relaci´ on matem´ atica entre φ0 y φ. • The Astronomical Almanac, U.S. Goverment Printing Office, Washington. En sus reciente versiones describe algunos geoides de referencia as´ı como f´ ormulas para el c´ alculo de reducciones. • http://164.214.2.59/GandG/geolay/toc.htm En esta hoja electr´ onica se encuentran conceptos b´ asicos de geodesia. • http://www.globalserve.net/~nac/city.html Aqu´ı se encuentran las latitudes y longitudes de m´ as de dos mil ciudades en el mundo. • http://maia.usno.navy.mil/ Informaci´ on actualizada con emisi´ on de reportes peri´ odicos sobre el movimiento del polo as´ı como de la introducci´ on de segundos bisiestos.

46


Cap´ıtulo 4

´ LA BOVEDA CELESTE Imaginemos cómo es la visi´ on del cielo para un observador que flota en el espacio sideral ubicado entre las estrellas, lejos de la superficie de un planeta o de cualquier otro cuerpo celeste. Dado que las distancias entre las estrellas, e incluso entre los planetas, son tan extraordinariamente enormes, el observador se enfrenta a algo que con los objetos cotidianos de nuestra experiencia diaria es muy dif´ıcil de observar: al contemplar los cuerpos celestes el sentido de percepción de profundidad y de estimaci´ on de distancia desaparece. Y al carecer de sentido de profundidad y de perspectiva, todos los cuerpos celestes dan la ilusi´ on ´ optica de estar adheridos a una superficie, la cual, al extenderse a todas direcciones, crea el enga˜ no de conformar una esfera perfecta que rodea por completo al espectador, esto es, el observador siente que está ubicado en el centro de dicha esfera ilusoria, ver figura 4.1.

BOVEDA CELESTE

OBSERVADOR

Figura 4.1:

Observador flotando en el espacio

Para este observador, (y para cualquier otro observador en el universo) la visi´ on aparente del cielo es la de estar ubicado en el centro de una gran esfera de color negro salpicada con puntos o manchones luminosos distribuidos al azar. Para él, todas las estrellas, planetas, 47

´ CAPÍTULO 4. LA BOVEDA CELESTE

48

satélites, etc., parecen estar adheridos a la superficie de esa esfera negra. La esfera ilusoria en la que los cuerpos celestes aparecen adheridos como si estuvieran todos a la misma distancia del observador (éste ubicado exactamente en medio de ella) y sobre la cual es posible aplicar las propiedades de los tri´ angulos esféricos se conoce con el nombre de b´ oveda celeste. Pero ahora imaginemos que ese observador esté situado sobre la superficie de un planeta, digamos la Tierra (ver figura 4.2). Nuestro planeta, comparado con objetos corrientes, o con nosotros mismos, es un objeto de dimensiones colosales. Este simple hecho hace que cualquier persona que observe el cielo contemple (suponiendo que no existen nubes, ni otros objetos naturales o artificiales que estorben su visi´ on) el siguiente panorama: él, ubicado en el centro de un gran disco rodeado de forma simétrica por una enorme c´ upula semiesférica (media esfera) de color azul (en el d´ıa) o negra con puntos luminosos (en la noche).

SECTOR DE LA BOVEDA CELESTE VISIBLE AL OBSERVADOR

PLANETA

SECTOR DE LA BOVEDA CELESTE NO VISIBLE AL OBSERVADOR

Figura 4.2:

Observador situado en la superficie de un planeta

Lo importante aqu´ı es recalcar el hecho de que es el borde de ese disco aparente (el horizonte) lo que le demarca al observador qué es lo que puede observar de la b´ oveda celeste y qué no (ver figura 4.3). En otras palabras: el estar ubicado en la superficie de un planeta implica que un observador no puede contemplar sino apenas la mitad del cielo para un instante dado: el mismo planeta impide observar la otra mitad. Esto sigue siendo m´ as o menos válido para observadores que est´ an ligeramente alejados de la superficie de la Tierra, como un piloto ubicado en un avi´ on de reacción o un astronauta situado en una estaci´ on espacial a varios centenares de kil´ ometros de altura. Al observar la bóveda celeste de d´ıa, esto es, cuando el Sol es visible para el observador, notamos que el cielo es de un color azul. De d´ıa las estrellas y los planetas son imposibles de

49

ONTE

HORIZ

Figura 4.3:

Origen del concepto de horizonte

observar en condiciones ordinarias (en ciertas situaciones muy favorables es posible observar el planeta Venus, o pueden observarse las estrellas más brillantes en la breve duraci´ on de un eclipse total de Sol). En ausencia de la luz solar el cielo adopta una coloraci´ on negra y aquellos astros que pasan desapercibidos en el d´ıa comienzan a observarse, como los planetas y las estrellas. Un observador ubicado lejos de la superficie de un planeta no tiene ning´ un tipo de inconveniente en observar el 100% del cielo que lo rodea por completo. Estrellas, planetas, el Sol y la Luna est´ an al alcance de su visión de manera permanente. Sólo tiene que dirigir la mirada en la direcci´ on que le llame la atenci´ on. Pero la situaci´ on cambia dr´ asticamente cuando se está en la superficie de un planeta, un satélite o un asteroide. Como veremos más adelante, no es lo mismo observar el cielo si se está ubicado en los polos del planeta o en su ecuador. Existir´ an lugares en la superficie de la Tierra en donde para ciertas épocas del a˜ no no es posible observar el Sol durante el d´ıa, otros en los cuales se ve durante las 24 horas del d´ıa, etc. El precio que se ha de pagar por estar observando la b´ oveda celeste desde la superficie de un planeta, satélite, asteroide o cometa es que debido a la rotaci´ on de éstos alrededor de un eje, las estrellas y objetos conspicuos como una estrella cercana (por ejemplo el Sol), se moverán con respecto al horizonte. La magnitud de dicho movimiento y su dirección depender´ a del tipo de movimiento de rotaci´ on que tenga el objeto desde donde se hace la observación. La Tierra posee un movimiento de rotación en el sentido oeste-este de tal forma que describe una revoluci´ on completa en 24 horas. Este movimiento del planeta sobre su eje es visualizado por un observador ubicado sobre su superficie como un movimiento de la bóveda celeste en dirección este-oeste (la direccion contraria en la que rota el planeta) la cual describe una vuelta completa alrededor de la Tierra en 24 horas. En la secci´ on 6.1 se


50

PNT

M ER ID

IA

NO

CE L

ES

TE

PNC

TIERRA ET

EC

PST

PSC Figura 4.4:

Definiciones sobre la b´ oveda celeste

ampliar´ a este tema con más detalle. A menos que estemos en un viaje interplanetario o interestelar —circunstancia que desafortunadamente no es com´ un dado nuestro actual estado tecnol´ ogico— en adelante nos concentraremos en la forma como un observador, ubicado sobre la superficie de un planeta, contempla aparentemente el cielo. Para ello necesitamos introducir unos conceptos básicos para nuestro estudio.

4.1

Conceptos fundamentales

Como ya se dijo atr´ as, la b´ oveda celeste es aquella esfera ilusoria que resulta del hecho de que, aparentemente, los cuerpos celestes se hallan ubicados sobre un fondo de color negro, (o azul si es de d´ıa) dando la impresi´ on de que dicha superficie es de hecho real y que el observador es el centro de la misma. Por mucho tiempo los astr´ onomos antiguos creyeron que la b´ oveda celeste era real, y que sobre la misma estaban ubicadas las estrellas, de tal forma que todas estas estaban a la misma distancia de la Tierra. Bien puede uno estar tentado a asignar un determinado valor al radio de la b´ oveda ce-

4.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

51

C (CENIT)

MERIDIANO DEL OBSERVADOR

PNC φ E

S W

HORIZO

NTE

N

PSC

C’ (NADIR) Figura 4.5:

Meridiano del observador

leste. De hecho, es claro que si se le ha de asignar un radio éste debe ser muy grande, incluso infinito. Sin embargo, en astronom´ıa esférica dicho radio se adopta igual a la unidad con lo que se obtienen enormes ventajas a la hora de poder describir con detalle la posici´ on de los astros sobre ella. A continuaci´ on definimos sobre la b´ oveda celeste los siguientes conceptos: - El polo norte celeste (PNC) y el polo sur celeste (PSC) son puntos que resultan de la intersecci´ on del eje de rotaci´ on terrestre con la esfera celeste. Nótese que esto equivale a tomar los polos terrestres, ubicados en el eje de rotación, y proyectarlos sobre la b´ oveda celeste (ver figura 4.4). - El ecuador celeste (EC) es aquella circunferencia m´ axima que resulta de la intersecci´ on del plano que contiene al ecuador terrestre (ET) con la esfera celeste. La introducci´ on del ecuador celeste permite dividir la esfera celeste en dos hemisferios: el hemisferio norte celeste (que contiene el polo norte celeste) y el hemisferio sur celeste. - Los meridianos celestes son semicircunferencias máximas que pasan por los polos celestes PNC y PSC. Como el lector habrá notado, el concepto de meridiano celeste resulta de la proyecci´ on de los meridianos terrestres en la b´ oveda celeste.


52

Los anteriores conceptos son independientes de la posición del observador. Definimos ahora los siguientes conceptos: - El cenit (o zenit) (C) de un observador es el punto de la esfera celeste que est´ a situado directamente sobre el observador. En un sentido literal, decimos que el cenit es aquel punto imaginario en la b´ oveda celeste que está ubicado directamente encima de la cabeza del observador. - El nadir (C0 ) de un observador es el punto de la esfera celeste que es diametralmente opuesto a C. El nadir es entonces aquel punto imaginario en la b´ oveda celeste que está directamente debajo de los pies del observador.

C


PNC

*

CIRCULO DE DECLINACION

E N

S

HORIZ

ONTE

E

W

T ES

EL

C OR

AD

U EC

VERTICAL

PSC

C’ Figura 4.6:

Definiciones sobre la b´ oveda celeste

- El horizonte de un observador es el plano perpendicular a la l´ınea que existe entre el observador y su cenit (ver figura 4.7). La circunferencia m´ axima en la cual el horizonte del observador encuentra la esfera celeste es llamada horizonte matem´ atico. Y decimos que es matemático porque con esta definici´ on no estamos considerando lo que realmente sucede en la pr´ actica: la existencia de obst´ aculos naturales (´ arboles y monta˜ nas) y artificiales (tales como edificios) hacen que la demarcación no sea una “l´ınea perfecta” sino más bien tenga un perfil irregular. Sin embargo, los c´ alculos astron´ omicos usuales que deben tener en cuenta el horizonte, tales como la salida y puesta de los astros, se realizan con el concepto de horizonte matemático.

4.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

PNC

53

PNC CENIT φ

φ

Figura 4.7:

PLANO DEL HORIZONTE

Plano del horizonte

- El meridiano del observador es aquel meridiano celeste que pasa por el cenit C del observador. El meridiano del observador es entonces aquella semicircunferencia que va de polo a polo y pasa por el cenit del observador. Cuando un astro pasa por el meridiano del observador se dice entonces que dicho astro est´ a culminando. - Puntos cardinales. Definimos los puntos cardinales norte (N), sur (S), este (E) y oeste (W) como aquellos puntos ubicados en el horizonte de un observador cualquiera (salvo situado en los polos geográficos) con las siguientes caracter´ısticas: Los puntos cardinales norte y sur resultan de la intersecci´ on del meridiano del observador con el horizonte matemático. La ubicación del punto cardinal norte queda determinada por el grado de separación existente entre el PNC y el horizonte: dicho punto se ubica en aquella intersecci´ on para la cual la separaci´ on entre el PNC y el horizonte es inferior (tanto arriba como abajo del horizonte ) a 90 grados. Lo mismo es válido para el punto cardinal sur: éste se ubica en aquella intersecci´ on entre el horizonte y el meridiano del observador cuando la separación entre el PSC y el horizonte es menor de 90 grados. Los puntos cardinales este (oriente) y oeste (occidente) se originan en la intersección del ecuador celeste con el horizonte. Un observador que mira hacia el punto cardinal norte tendr´ a hacia su derecha el punto cardinal este; a su izquierda se ubica el punto cardinal oeste. Ll´ amese vertical de un astro a la semicircunferencia que va de cenit a nadir y pasa por el astro correspondiente. Es claro que la vertical de cualquier astro es perpendicular al horizonte del observador. Ll´ amese c´ırculo de declinaci´ on de un astro a la semicircunferencia que va de PNC a PSC y atraviesa el astro correspondiente. Obviamente, el c´ırculo de declinaci´ on de un astro cualquiera es perpendicular al ecuador celeste.


54

4.2

Observaci´ on del cielo seg´ un la latitud

Una de las consecuencias más notorias de estar observando el cielo desde un planeta es la dependencia directa de dicha observaci´ on con la posición geográfica del observador; no es lo mismo observar el cielo desde los polos terrestres que desde el ecuador terrestre.

PNC

PNC CENIT

PNT

EC

PSC Figura 4.8:

EC

ONTE

HORIZ

NADIR PSC Observaci´ on del cielo para un observador en el PNT

Consideremos el caso de un observador ubicado en el polo norte terrestre (PNT). Como es claro de la figura 4.8, dicho observador contempla siempre en su cenit al polo norte celeste (PNC). El ecuador celeste para dicho observador coincide con su horizonte. En consecuencia, este observador podr´ a contemplar siempre las estrellas del hemisferio norte celeste pero jamás podr´ a observar las estrellas del hemisferio sur. S´ olo podr´ a observar la mitad de la bóveda celeste. Nótese que el ángulo existente entre el horizonte y el PNC, ańgulo que llamaremos la altura del PNC, para este observador, es de exactamente 90o . ´ La situación es an´ aloga para un observador situado en el polo sur terrestre (PST). Este tendr´ a en su cenit al polo sur celeste (PSC), el ecuador celeste también coincide con su horizonte y s´ olo podr´ a observar las estrellas del hemisferio sur celeste. La altura del PNC para a por debajo del horizonte. este observador es de −90o donde el signo negativo indica que est´ En cambio, consideremos a un observador ubicado en el ecuador terrestre (ET). Dicho observador, ver figura 4.9, tendr´ a a los polos ubicados exactamente en el horizonte. En su cenit siempre tendr´ a un punto que hace parte del ecuador celeste (EC). Para un instante cualquiera podr´ a observar la mitad de cada hemisferio norte y sur, lo que significa que puede observar (anque no simult´ aneamente) toda la bóveda celeste. La altura del PNC es, en este caso, de 0o . Generalicemos. Existe una relaci´ on entre la latitud a la cual est´ a situado un observador

´ DEL CIELO SEGUN ´ LA LATITUD 4.2. OBSERVACION

55

PNC CENIT EC

PNT

EC

CENIT

PNC ONTE

PSC

HORIZ

NADIR PSC

Figura 4.9:

Observaci´ on del cielo para un observador en el ET

(φ) y la altura del PNC con respecto al horizonte. La regla fundamental es: La altura del polo norte celeste con respecto al horizonte es igual a la latitud del observador. En los casos extremos vistos anteriormente la relación es clara: un observador a latitud φ = +90 el PNC está a 90 grados de altura sobre el horizonte; un observador a una latitud de φ = 0 el PNC está a 0 grados sobre el horizonte. Nótese que la distancia angular existente entre el cenit del observador y el ecuador celeste equivale a su latitud en valor absoluto (ver figura 4.10). El PNC es un punto imaginario sobre la b´ oveda celeste que en la pr´ actica es dif´ıcil de ubicar. Por fortuna existe una estrella relativamente brillante a poca distancia de él. Dicha estrella se conoce con el nombre de Polaris, o estrella polar. La distancia entre Polaris y el PNC es, para esta época, cercana a los 45 minutos de arco, con lo que medir la altura de esta estrella con respecto al horizonte constituye una primera aproximaci´ on para la determinaci´ on de la latitud de un observador. En los almanaques n´ auticos existen tablas de correcciones que permiten obtener valores más precisos para obtener la latitud observando la estrella polar. En las bajas latitudes la determinaci´ on de la latitud por la altura de la estrella polar es impracticable. Puesto que Colombia est´ a situada entre latitudes que van desde 4◦ S hasta 12◦ N (con San Andrés y Providencia) es claro que el ecuador celeste desde nuestras ciudades es casi perpendicular al horizonte (ver figura 4.11).


56 CENIT

φ

PNC φ HORIZONTE

EC

EJE

DE

RO

TA

CIO

N

PSC

Figura 4.10:

4.3

Latitud y altura del PNC sobre el horizonte

La ecl´ıptica

La Tierra gira alrededor del Sol en una o´rbita casi circular. Describe una revoluci´ on completa de 360 grados en unos 365.25 d´ıas. Puesto que nosotros, como observadores del universo, estamos ubicados en la Tierra, el movimiento de traslación se ve reflejado por el movimiento del Sol con respecto a las estrellas “fijas”. Ahora bien, la Tierra se mueve en dirección contraria de las agujas del reloj vista desde el PNC; es evidente, de la figura 4.12, que el Sol describe también un movimiento en la direcci´ on contraria de las agujas del reloj visto desde el PNC. Como la órbita de la Tierra est´ a contenida en un plano (ver secci´ on 12.4, pág. 233) es evidente que la “trayectoria” que va describiendo el Sol en el cielo estar´ a contenida en un plano, el cual, en la intersecci´ on de éste con la esfera celeste resultará en una circunferencia máxima. La circunferencia máxima que resulta de la intersecci´ on del plano de la o´rbita de la Tierra en torno al Sol con la esfera celeste se llama ecl´ıptica. Otra forma de decirlo es: la ecl´ıptica es la trayectoria aparente que describe el Sol en la b´ oveda celeste. Por otro lado, y por razones que no se conocen bien, y que que se supone ocurrieron en las primeras fases de formación del sistema solar, nuestro planeta tiene su eje de rotaci´ on inclinado con respecto a la normal al plano orbital. En otros términos: existe un ańgulo diferente de cero entre el eje de rotaci´ on terrestre y la normal al plano de la o´rbita de la Tierra en torno del Sol (ver figura 4.13). Este ańgulo se conoce con el nombre de oblicuidad de la ecl´ıptica y se denota con la letra griega épsilon (²). Tiene un valor de unos 23.5 grados, pero a causa de las perturbaciones gravitacionales de la Luna, el Sol y los planetas, va cambiando ligeramente con el tiempo. Expresiones matemáticas para hallar el valor de ² al segundo de arco están dadas en la sección 10.2, pág. 184.

4.3. LA ECLÍPTICA

E

12.5N

4.5N

4.3S

57

HORIZONTE MATEMATICO

Figura 4.11:

Posici´ on del ecuador celeste con respecto a la normal al horizonte para Bogot´ a (4.5 N), San Andrés (12.5 N) y Leticia (4.3 S)

Si el valor de ² fuera cero, esto es, si el eje de rotación terrestre coincidiera con la normal al plano de la o´rbita terrestre, entonces ecuador celeste y ecl´ıptica ser´ıan una misma cosa. Pero como la realidad es distinta, resulta que el ecuador celeste y la ecl´ıptica forman un ángulo que resulta siendo la oblicuidad de la ecl´ıptica, ², ver figura 4.14. Los polos de la ecl´ıptica est´ an ubicados a 23.5o grados de los polos celestes. El polo norte ecl´ıptico y el polo sur ecl´ıptico se representan por los s´ımbolos Π y Π0 respectivamente. El hecho de que la Tierra esté inclinada con respecto a la normal al plano de su órbita quiere decir que entre la ecl´ıptica y el ecuador celeste existe un ańgulo igual a la oblicuidad de la ecl´ıptica, ². Como ecuador celeste y ecl´ıptica son circunferencias m´ aximas y éstas están mutuamente inclinadas un determinado ańgulo, es evidente que existir´ an dos puntos de corte entre ellas. Dichos puntos de corte entre la ecl´ıptica y el ecuador celeste son de una importancia capital en astronom´ıa. Se llama punto vernal o primer punto de Aries o también equinoccio vernal a uno de los dos puntos de corte entre el ecuador celeste y la ecl´ıptica, especificamente aquel que surge del paso del Sol cuando atraviesa el ecuador celeste desde el hemisferio sur hacia el hemisferio norte. El otro punto, situado a 180 grados, se llama punto antivernal. El punto vernal, representado por el s´ımbolo g, es un punto imaginario sobre la b´ oveda celeste que se comporta como una estrella situada exactamente en el ecuador celeste (ver figura 4.15). Su importancia radica en que es el origen de varios sistemas de coordenadas celestes (ver sección 5.3 y 5.4) como también el punto de referencia para la determinaci´ on del tiempo sideral (ver sección 7.1.1).


58

BOVEDA CELESTE

SOL

ORBITA DE LA TIERRA

Figura 4.12:

4.4

El plano de la Tierra en torno al Sol da origen al concepto de ecl´ıptica

Estaciones

Muchas personas creen que la explicaci´ on de las estaciones descansa en el hecho de que la órbita que describe la Tierra en torno del Sol es ovalada, pues piensan que en perihelio (la menor distancia entre ambos astros) ocurre el verano y en afelio (la mayor distancia) ocurre el invierno. Un r´ apido vistazo a la tabla 4.1 permite cotejar que el perihelio de la Tierra ocurre en los primeros d´ıas del a˜ no (cuando en el hemisferio norte ocurre el invierno, y en el hemisferio sur el verano). De igual forma, el afelio sucede en los primeros d´ıas de julio (cuando en el hemisferio norte ocurre el verano, y en el hemisferio sur el invierno). La raz´ on verdadera de la ocurrencia de las estaciones en la Tierra es la existencia de un ańgulo de inclinaci´ on ² diferente de cero. El Sol, en el transcurso del a˜ no, corta al ecuador celeste en dos puntos, que se llaman equinoccios. Esto ocurre dos d´ıas en el a˜ no: el 20 (o 21) de marzo y el 21 (o 22) de septiembre. En estos d´ıas la duraci´ on del n´ umero de horas de luz es igual al n´ umero de horas de

Perihelio 5 horas de enero 3 de 2000 9 horas de enero 4 de 2001 14 horas de enero 2 de 2002 5 horas de enero 4 de 2003 18 horas de enero 4 de 2004 1 hora de enero 2 de 2005 Tabla 4.1:

Afelio 23 horas de julio 3 de 2000 14 horas de julio 4 de 2001 4 horas de julio 6 de 2002 6 horas de julio 4 de 2003 11 horas de julio 5 de 2004 5 horas de julio 5 de 2005

Perihelio y afelios de la Tierra entre 2000 y 2005. Horas en TU

4.4. ESTACIONES

59 Π PNC ε

EJE DE ROTACION

ET

PLANO DE TRASLACION TERRESTRE

PSC

Figura 4.13:

La oblicuidad de la ecl´ıptica

oscuridad. Una vez que el Sol pasa por el equinoccio se va alejando lentamente del ecuador celeste hasta alcanzar la mayor separación con éste: la separación máxima entre el Sol y el ecuador celeste es un ángulo ², esto es, de 23.5 grados. Estos puntos que est´ an ubicados en la ecl´ıptica se llaman solsticios y ocuren el 21 (o 22) de junio y el 21 (o 22) de diciembre. Es en los solsticios cuando ocurre la mayor diferencia de duraci´ on entre los d´ıas y las noches. El verano se presenta en aquel hemisferio que est´ a recibiendo mayor cantidad de radiaci´ on solar en términos de mayor duraci´ on del d´ıa, esto es, los observadores en este hemisferio observar´ an el Sol sobre su horizonte un tiempo que es mayor de 12 horas (ver figura 4.16). Para observadores situados en o cerca del ecuador terrestre (como es el caso de observadores situados en el territorio nacional) el efecto de las estaciones es muy poco perceptible. La duraci´ on del d´ıa y de la noche var´ıan s´ olo unos pocos minutos en el transcurso del a˜ no. En Bogotá, por ejemplo, a finales del mes de mayo el Sol sale más temprano (5h 42m ) pero Π PNC

ECLIPTICA=ECUADOR CELESTE

Π

ECL

Figura 4.14:

ε

IPT

ICA

PNS

ε PNC

ε

EC

Π’

Ecuador celeste y ecl´ıptica. A la izquierda el caso hipotético ² = 0. A la derecha el caso real


60 Π PNC

PUNTO ANTIVERNAL

ε

A

ECLIPTIC

ε DOR

A ECU

STE PUNTO VERNAL

CELE

PSC Π’

Figura 4.15:

Punto vernal y punto antivernal

se oculta a eso de las 18h 3m ; otro m´ aximo lo vuelve a tener a finales de octubre (5h 41m ) h m as tarde a finales de enero y comienzos de ocult´ andose a eso de las (17 39 ). El Sol sale m´ febrero (6h 12m ) ocult´ andose para esos d´ıas cerca de las (18h 8m ). PNC

HS

PNC

HN

HS

HN

SOL

Figura 4.16:

Posici´ on del hemisferio norte (HN) y el hemisferio sur (HS) en los dos solsticios

Los solsticios y los equinoccios eran eventos que para los pueblos antiguos cobraban especial importancia. Muchos monumentos de la antig¨ uedad, as´ı como numerosos emplazamientos de carácter religioso estaban debidamente orientados en la dirección de la salida y puesta del Sol en los solsticios y los equinoccios1 . 1 La

Navidad y el San Juan (celebrada principalmente en Espa˜ na) son dos fiestas religiosas cuyo origen

4.4. ESTACIONES

61

h m 6 18

h

m

6 12

18 12

6 6

18 6

6 0

18 0

5 54

17 54

5 48

17 48

5 42

17 42

18 18

5 36

17 36 EN

FE

MAR

AB

MA

JUN

JUL

AG

SE

OC

NO

DI EN

Figura 4.17:

FE

MAR

AB

MA

JUN

JUL

AG

SE

OC

NO

DI

Tiempos de salida (izquierda) y puesta (derecha) del Sol para Bogot´ a en el transcurso del

a˜ no

A medida que la latitud del observador tienda hacia los polos, el efecto de la diferencia entre el d´ıa y la noche es m´ as notorio: por ejemplo, cerca del solsticio de verano (para un observador en el PNT) el Sol no se pondrá sobre el horizonte: permanecerá las 24 horas del d´ıa sobre el horizonte; es el llamado sol de media noche. El invierno es justamente lo opuesto: el otro hemisferio recibe menor cantidad de radiación solar en términos de mayor duraci´ on de la noche que del d´ıa. Cerca del solsticio de invierno (para un observador en el PST) el Sol no saldr´ a; existir´ an 24 horas de noche continua. La tabla 4.2 contiene los tiempos (en tiempo universal) de la ocurrencia de los solsticios y equinoccios de la Tierra para los a˜ nos 2000 a 2005.

A˜ no 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Equinoccio de marzo d´ıa 20, 7h 36m d´ıa 20, 13h 31m d´ıa 20, 19h 17m d´ıa 21, 1h 0m d´ıa 20, 6h 49m d´ıa 20, 12h 34m Tabla 4.2:

Solsticio de junio d´ıa 21, 1h 48m d´ıa 21, 7h 38m d´ıa 21, 13h 25m d´ıa 21, 19h 11m d´ıa 21, 0h 57m d´ıa 21, 6h 47m

Equinoccio de septiembre d´ıa 22, 17h 28m d´ıa 22, 23h 5m d´ıa 23, 4h 56m d´ıa 23, 10h 47m d´ıa 22, 16h 30m d´ıa 22, 22h 24m

Solsticio de diciembre d´ıa 21, 13h 38m d´ıa 21, 19h 22m d´ıa 22, 1h 15m d´ıa 22, 7h 4m d´ıa 21, 12h 42m d´ıa 21, 18h 36m

Equinoccios y solsticios de la Tierra entre el 2000 y 2005

real fue la celebraci´ on de los solsticios (de invierno y verano respectivamente) por parte de muchos pueblos paganos: la primera celebraba el fin de las noches largas y el inicio de los d´ıas de mayor duraci´ on, interpretada por los romanos como el renacimiento del dios solar Mitra y adoptada por la iglesia cat´ olica como fecha de nacimiento de Jesucristo tan s´ olo hasta el a˜ no 360 A.D.


62

4.5

Constelaciones

Nuestro Sol es una de las miles de millones de estrellas que conforman la galaxia de la V´ıa Láctea. Podemos ver fácilmente y a simple vista que se trata de un objeto redondo que emite a cada instante enormes cantidades de luz y calor que sustenta pr´ acticamente toda la vida en nuestro planeta. Esta observaci´ on es com´ un a todos nosotros gracias al hecho de que vivimos en un sitio relativamente cercano a esa estrella que llamamos Sol. De estar observando el Sol desde Plut´ on, o más lejos, estar´ıamos tan alejados de él que pasar´ıa a convertirse en una simple estrella. De hecho, las estrellas m´ as cercanas al Sol son contempladas a simple vista desde la Tierra como puntos luminosos, algunos brillantes, otros no tanto. Ahora bien, notamos que las estrellas est´ an dispersadas de forma completamente desordenada: no existe un patr´ on regular de distribuci´ on de las mismas en el cielo. Hoy sabemos que no tiene porqué haberlo: las estrellas que vemos a simple vista, al igual que el Sol, se mueven alrededor del centro de la galaxia gracias a la atracción gravitacional que existe entre ellas; van desplazándose por el espacio a velocidades y direcciones ligeramente distintas las unas de las otras. Muchas de esas estrellas son jóvenes (recién formadas) y otras moribundas: en un proceso azaroso, por el espacio, a medida que transcurren los milenios surgen, evolucionan y desaparecen estrellas. Nosotros, como espectadores ef´ımeros de estos sucesos, tan sólo estamos contemplando un cuadro de esa pel´ıcula gal´ actica. Cuando los seres humanos observamos las estrellas, nos vemos con el impulso de encontrar alguna clase de ordenamiento, alg´ un tipo de forma geométrica entre las mismas. También es posible que, casualmente, una determinada distribuci´ on de estrellas nos recuerde inmediatamente alg´ un animal, objeto o cualquier otra cosa de nuestra experiencia diaria. Fue as´ı como, desde tiempos inmemoriales, los antiguos observadores del cielo comenzaron a establecer patrones dentro de esa distribuci´ on caótica de estrellas. Por ejemplo, un grupo de estrellas brillantes que aparentemente conforman una especie de tri´ angulo, recordaba a varios pueblos antiguos la cabeza de un “toro”. Pero, lo que para unos era la cabeza de un toro, para otros pod´ıa ser “la punta de la flecha” o el “tri´ angulo” o cualquier otra figura m´ as elaborada. Cada quien se vio con la libertad de interpretar y bautizar dicho grupo de estrellas conforme a sus creencias, vivencias y tradiciones. Otras agrupaciones de estrellas correr´ıan igual suerte. Lentamente surgieron caballos, leones, pescados, perros, serpientes, etc. También aparecer´ıan dioses y héroes mitol´ ogicos. Aunque en algunos casos el nombre de una constelación hac´ıa justicia con el nombre que se le adjudicaba (como en el caso de Escorpión o Leo, donde no hace falta ser muy imaginativo para darse cuenta que en efecto las estrellas conforman una figura tal que recuerda de inmediato a esos animales), por lo general los grupos de estrellas fueron bautizados con nombres que evocaban muy poco a lo que realmente se ve´ıa en el cielo: piénsese en la gran dificultad con que se encuentra uno al tratar de buscar la figura de una virgen en el grupo de estrellas de la constelaci´ on de Virgo, o de la reina Casiopea en la constelación del mismo nombre. Un n´ umero significativo de constelaciones utilizadas hoy en d´ıa nos vienen directamente de los antiguos griegos. Sin embargo, las investigaciones históricas que se han hecho al respecto apuntan a que éstos copiaron algunos de los patrones que astr´ onomos babilonios y sumerios usaban ya unos 2000 A.C. El origen de los nombres de algunas de las constelaciones

4.5. CONSTELACIONES

63

m´ as populares se pierde, pues, en las profundidades del tiempo. La descripción m´ as antigua de las constelaciones de que tengamos noticias, tal y como las conocemos modernamente, proviene de un trabajo titulado “fen´ omenos” (el cual no alcanzó a llegar hasta nosotros), escrito por el célebre matemático y astr´ onomo griego Eudoxo de Cnidos (408-355 A.C.). Pero sobrevivir´ıa la obra que cien a˜ nos después (alrededor del 270 A.C.) el poeta griego Arato compuso al hacer una versión poética de la obra de Eudoxo llamándola también “fenómenos”, muy popular en la antig¨ uedad. Posteriormente, Claudio Ptolomeo (100-170), uno de los astrónomos y geógrafos más famosos de la antig¨ uedad, en su obra el Almagesto, realizó, en los libros séptimo y octavo, un inventario del cielo que incluy´ o un cat´ alogo muy completo de estrellas. Ah´ı se describen los nombres y las figuras de 48 constelaciones, las cuales, con cambios muy sutiles, son prácticamente idénticas a las que se usan en astronom´ıa actualmente. Sin embargo, exist´ıa una que otra regi´ on del cielo que no era cubierta por alg´ un tipo de figura, esto es, exist´ıan parches en la b´ oveda celeste que no estaban rotulados con el nombre de alguna persona, animal o cosa, particularmente aquellos sectores del cielo que son imposibles de observar desde las latitudes en que vivieron babilonios, egipcios y griegos. Estos vac´ıos (sobre todo la regi´ on que rodea el polo sur celeste) fueron lentamente llenados por hombres de la talla de Gerhardus Mercator (1512-1594), Johannes Hevelius (1611-1687) y Nicolas-Louis de Lacaille (1713-1762), este u ´ ltimo llegando a introducir 14 nuevas constelaciones. Con el tiempo, cualquier sector de la bóveda celeste estuvo “dentro” de alguna constelaci´ on definida. En la primera reuni´ on de la Uni´ on Astronómica Internacional (UAI), en el a˜ no de 1922, oficialmente se adoptó la lista completa de 88 constelaciones que usamos hoy. De la misma manera que en cualquier terreno, isla, pueblo o ciudad existente en el continente americano pertenece a alguno de los 36 pa´ıses oficialmente all´ı reconocidos, as´ı, cualquier estrella, nebulosa, galaxia, etc., “pertenece” a alguna de las 88 constelaciones en que se ha dividido el cielo. Para evitar confusiones y malos entendidos los pa´ıses establecen fronteras lo más definidas posibles entre ellos. De igual forma, los astr´ onomos se vieron en la necesidad de establecer fronteras entre las mismas constelaciones, las cuales se definieron por medio de coordenadas ecuatoriales ya para el a˜ no de 1930. Por lo tanto, el concepto moderno de constelación es distinto del que le dieron los antiguos. Para nosotros ya no se trata de “un grupo de estrellas que nos recuerda determinado dios, persona, animal o cosa”, sino más bien una constelaci´ on es tan s´ olo una de las 88 partes en que arbitrariamente se ha dividido la b´ oveda celeste. En la figura 4.18 podemos observar una de las constelaciones más conocidas y fáciles de identificar: la constelaci´ on de Ori´ on, el cazador del cielo. Las fronteras entre las constelaciones son representadas como trazos segmentados. Son de uso com´ un, como ayuda para distinguir y ubicar r´ apidamente las estrellas principales, los trazos continuos entre las estrellas m´ as representativas y que permitan, si es posible, esbozar la figura que di´ o origen al nombre de la constelaci´ on. El concepto de constelaci´ on es u ´til porque nos permite ubicar r´ apidamente un cuerpo celeste en un sector definido del cielo. Para alguien que conoce la b´ oveda celeste, tendrá una


64

.. . .

.

ERIDANUS

TAURO

..

. . .

..

. .

..

RIGEL

.

BELLATRIX

.. ..

.

BETELGEUSE

.

LEPUS

ORION

MONOCEROS

GEMINIS

Figura 4.18:

Constelaci´ on de Ori´ on

buena idea de donde se encuentra digamos la Luna si se le dice que est´ a, para un instante dado, en la constelación de Cáncer. Las constelaciones que casi todo el mundo ha o´ıdo mencionar —aunque muy pocos tienen la habilidad de distinguir unas cuantas a simple vista— son sin duda las zodiacales: Aries (el carnero), Tauro (el toro), Géminis (los gemelos), Cáncer (el cangrejo), Leo (el león), Virgo (la virgen), Libra (la balanza), Escorpi´ on, Sagitario (el arquero), Capricornio (la cabra), Acuario y Piscis (los peces). La astrolog´ıa ha tenido mucho que ver en la fama de estas doce constelaciones. La difusión que tienen entre la mayor´ıa de la poblaci´ on se debe al hecho de que la ecl´ıptica (la trayectoria aparente que describe el Sol por entre las estrellas) pasa a través de estas constelaciones. Siendo estrictos el n´ umero de constelaciones zodiacales deber´ıa ser de 13 y no de 12, pues la ecl´ıptica atraviesa parte de la constelaci´ on de Ofiuco (el portador de serpientes). Debido a la peque˜ na inclinaci´ on que tienen los planetas (salvo el planeta Plut´ on) y la Luna con respecto al plano de la ecl´ıptica, es un hecho que estos cuerpos celestes se encuentren ubicados permanentemente entre las constelaciones zodiacales (ver pie de p´ agina de la p´ agina 100).

4.6

Nombres de estrellas y designaciones

Aproximadamente se pueden ver a simple vista unas cinco mil estrellas. Sin embargo, s´ olo unos pocos centenares poseen nombres propios y alrededor de unas sesenta son utilizadas

´ 4.7. CATALOGOS DE ESTRELLAS

65

por los navegantes, ingenieros geógrafos y otros profesionales. Los nombres propios de las estrellas poseen diversos or´ıgenes. Algunos de esos nombres provienen directamente del griego, tales como Procyon, Canopus y Antares. Estrellas como Sirius y Arcturus ya aparecen mencionadas en la obras de los célebres poetas griegos Homero y Hesiodo, alrededor del siglo VIII A.C. Es conocido que muchos de los nombres de las estrellas provienen del a´rabe. El prefijo Al (que en a´rabe significa el art´ıculo definido “el”) comienza el nombre de algunas estrellas: Aldebaran (el seguidor), Algenib (el costado) y Algol (el demonio). Tan sólo unas cuantas estrellas tienen nombres recientes como por ejemplo Cor Caroli, la estrella m´ as brillante de la constelaci´ on de Canes Venatici, cuyo nombre fue colocado por Edmond Halley. El astr´ onomo alemán Johann Bayer public´ o en 1603 un libro llamado Uranometria en el cual introdujo un sistema de letras griegas para designar las estrellas m´ as brillantes de una constelaci´ on. Basado en el trabajo de Tycho Brahe, quien determin´ o las posiciones estelares y magnitudes de un gran n´ umero de estrellas visibles a simple vista, Bayer asign´ o a cada estrella de una constelaci´ on una de las 24 letras del alfabeto griego. De esta manera la designaci´ on de una estrella est´ a dada por la letra griega seguida de la forma genitiva (la declinaci´ on que da la idea de pertenencia) del nombre de la constelaci´ on. As´ı por ejemplo la estrella Sirius, la estrella m´ as brillante de la constelaci´ on de Canis Major (el can mayor) queda, bajo la designaci´ on de Bayer, Alfa Canis Majoris. El primer astr´ onomo real de inglaterra, John Flamsteed, para comienzos del siglo XVIII, numeró las estrellas dentro de cada constelación de manera consecutiva de acuerdo con su ascensión recta. A´ un hoy se siguen utilizando los n´ umeros de Flamsteed para designar estrellas poco brillantes, como por ejemplo 61 Cygni. Con el tiempo se han elaborado catálogos que incluyen gran cantidad de estrellas, con lo que la designaci´ on de las mismas se complica. Por lo general estos catálogos ignoran la pertenencia de una estrella a una constelaci´ on dada y la numeración se basa en el sentido creciente de la ascensi´ on recta. Por ejemplo, la estrella Vega (Alfa Lyrae) es designada como BD+38o 3238 en el catálogo Bonner Durchmusterung; al mismo tiempo se llama HD 172167 en el catálogo de Henry Draper de clasificaciones espectrales; o también GC 25466 en el “Catálogo general de 33 342 estrellas” de Benjam´ın Rose; o ADS 11510 en el “Nuevo catálogo general de estrellas dobles” de Robert Aitken.

4.7

Cat´ alogos de estrellas

El primer cat´ alogo de estrellas propiamente dicho se atribuye a Ptolomeo en el siglo II A.D. Se ha sugerido que Ptolomeo lo que hizo fue copiar y actualizar ligeramente el trabajo hecho en el mismo sentido por el célebre astr´ onomo griego Hiparco en el siglo I A.C. Pero las evidencias hist´ oricas apuntan a que Ptolomeo obtuvo por s´ı mismo las posiciones de al menos 850 estrellas de las 1022 que aparecen en el Almagesto. Es de notar que el catálogo de Ptolomeo permaneció en uso por más de quince siglos, haciéndose obsoleto sólo hasta bien entrado el Renacimiento. Con la aparición de Tycho Brahe a finales del siglo XVI comenzó a aparecer el esp´ıritu de la b´ usqueda frenética de la exactitud en las observaciones

66


astron´ omicas. Con ayuda de cuadrantes y sextantes monumentales (el telescopio fue utilizado por primera vez con fines astron´ omicos por Galileo ocho a˜ nos después de la muerte de Brahe), el h´ abil astr´ onomo danés midi´ o las posiciones de 1000 estrellas. Puesto que el poder de resoluci´ on de un ojo normal humano alcanza los dos minutos de arco, es de suponer que las observaciones de Brahe alcanzaran una precisi´ on de dos a cuatro minutos de arco. Un catálogo equivalente al de Brahe pero para el hemisferio sur celeste tuvo que esperar hasta unos 90 a˜ nos después, cuando Edmond Halley public´ o las posiciones de unas 350 estrellas fruto de observaciones realizadas por una expedici´ on brit´ anica en una diminuta isla ubicada en el Atlántico Sur llamada Santa Helena2 . El primer astr´ onomo real de inglaterra, John Flamsteed, fue el primero en utilizar el telescopio para medir las posiciones de las estrellas. El cat´ alogo de sus observaciones, que contiene unas 3000 estrellas, llamado Historia Coelistis Britannica, fue publicado completo seis a˜ nos después de su muerte. El tercer astrónomo real de inglaterra, James Bradley, logr´ o, a los pocos a˜ nos, medir las posiciones de estrellas con la precisión de unos cuantos segundos de arco, por lo que no es de extra˜ nar que haya descubierto él mismo los fenómenos de nutaci´ on y aberraci´ on anual (ver secciones 10.2 y 10.3.1). Ya para comienzos del siglo XIX Friedrich Bessel lograr´ıa precisiones del segundo de arco o menores, lo que le permitir´ıa con el tiempo ser el primero en detectar la paralaje de una estrella (ver sección 10.5.2). En 1862 el astrónomo Friedrich Argelander public´ o un catálogo, llamado Bonner Durchmusterung o, m´ as sencillamente, catálogo BD, el cual contiene unas 324 000 estrellas (casi todas m´ as brillantes que la magnitud 9.5) ubicadas entre las declinaciones +90o y −2o , lo que se explica si se tiene en cuenta que las observaciones las realiz´ o en la ciudad alemana de Bonn (φ = 50.75o ). Con ayuda de un telescopio de apenas 8 cm de abertura Argelander hab´ıa superado ampliamente las cat´ alogos y cartas que exist´ıan hasta entonces. A´ un hoy el catálogo BD es de gran utilidad. Además sirvi´ o de base para la elaboración posterior de otros dos catálogos que cubr´ıan el cielo completamente. En total se estima que el n´ umero de estrellas que est´ an registradas al menos en uno de los catálogos existentes es cercano al mill´ on, un n´ umero bastante grande, pero que constituye tan s´ olo 1/400 000 de las estrellas que se estima existen en la galaxia de la V´ıa L´ actea. Hoy en d´ıa existen los denominados catálogos fundamentales. La idea es seleccionar algunas estrellas a las cuales, paciente y dedicadamente, se les determina su posición con extrema exactitud. Los cat´ alogos fundamentales se realizan con base en las llamadas observaciones fundamentales (c´ırculo meridiano). La fotograf´ıa sirve para determinar posiciones de las demás estrellas con base en las estrellas fundamentales. Con ayuda de las placas fotográficas tomadas a intervalos regulares es posible determinar movimientos propios y paralajes. Una lista de esas estrellas que contengan las posiciones y movimientos propios (preferiblemente también su velocidad radial y paralaje) con respecto a un equinoccio estándar y una época determinada (1950.0, 1975.0, 2000.0) que se distribuyan regularmente a través del cielo, es llamada un catálogo fundamental. Las posiciones de las demás estrellas se miden con respecto a las estrellas que constituyen el catálogo fundamental. De hecho, el sistema de 2 El mismo sitio que se har´ ıa c´ elebre unos 150 a˜ nos después por ser el lugar donde Napole´ on I pasar´ıa, como prisionero de los ingleses, sus u ´ ltimos d´ıas.

´ 4.7. CATALOGOS DE ESTRELLAS

67

coordenadas que define un cat´ alogo fundamental es una aproximaci´ on muy cercana a un marco fijo de referencia. Los catálogos fundamentales son revisados y actualizados cada pocas décadas. Son conocidos el Dritter Fundamentalkatalog des Berliner Astronomischen Jahrbuchs el cual se acostumbra a abreviar simplemente como FK3. Este catálogo fue publicado en 1937 y luego expandido el a˜ no siguiente hasta incluir unas 1600 estrellas referidas al equinoccio de 1950.0. Unos 25 a˜ nos después fue publicada una revisi´ on del FK3 conocida como FK4. En 1988 apareció una revisi´ on del FK4, con adopción de nuevas constantes (para la precesi´ on) y correcciones al equinoccio, conocida como FK5, la cual refiere las posiciones de las estrellas al equinoccio del 2000.0. Ahora bien, el cat´ alogo fundamental da las posiciones de las estrellas para un equinoccio determinado (el 2000 para el FK5). Pero, como se verá con más profundidad en la cap´ıtulo 10, sucede que, conforme pasa el tiempo, las posiciones de las estrellas están cambiando a causa de los fenómenos de precesión, nutaci´ on, aberraci´ on anual, movimiento propio, paralaje y deflecci´ on gravitacional de la luz. Existen f´ ormulas complejas (necesarias para los niveles de resoluci´ on que se manejan hoy en d´ıa) que permiten determinar la posici´ on aparente de una estrella para un tiempo dado cualquiera. Sin embargo, para facilitar la labor del astr´ onomo, existe una publicaci´ on anual denominada Apparent Places of Fundamental Stars la cual contiene las posiciones aparentes (corregidas ya por todos los fenómenos anteriormente citados) de las estrellas del catálogo fundamental en vigencia a intervalos de 10 d´ıas. Actualmente se disponen de catálogos de estrellas realizados por satélites artificiales. Es el caso del satélite europeo Hipparcos (acr´ onimo de HIgh Precision PARallax COllecting Satellite) cuya pronunciaci´ on es parecida al nombre del astr´ onomo griego Hiparco. Del an´ alisis de las placas tomadas por Hipparcos se ha realizado el cat´ alogo Hipparcos el cual es fundamentalmente un cat´ alogo astrométrico. Dicho cat´ alogo contiene 120 000 estrellas con precisiones a nivel astrométrico del milisegundo de arco. Un tratamiento posterior fue llevado a cabo de todos los datos básicos recogidos por Hipparcos y de ello result´ o el cat´ alogo Tycho (en honor a Tycho Brahe) el cual contiene más de un mill´ on de estrellas con datos astrométricos al nivel de 20 a 30 milisegundos de arco.

LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS • Anuario del Observatorio Astron´ omico Nacional, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ciencias, Bogot´ a. Con publicaci´ on anual, contiene posiciones del Sol, Luna, planetas, y 480 estrellas brillantes con fen´ omenos astron´ omicos para el Tiempo Oficial de la Rep´ ublica de Colombia. • Apparent Places of Fundamental Stars, Astronomisches Rechen-Institut, Heidelberg. Con publicaci´ on anual, contiene las posiciones aparentes con intervalos de 10 d´ıas de unas 1500 estrellas del FK5. • The Astronomical Almanac, U.S. Goverment Printing Office, Washington. Con publicaci´ on anual, contiene la m´ as completa documentaci´ on de las posiciones del Sol, Luna, planetas, sat´ elites, estrellas brillantes, radiofuentes, tiempos de salida y puesta del Sol y Luna, etc.

68

´ CAPÍTULO 4. LA BOVEDA CELESTE • Levy, D. H. (1998) Observar el cielo, Editorial Planeta S.A., Singapur. Escrito por un c´ elebre descubridor de cometas, este libro constituye una excelente gu´ıa para los iniciados en la astronom´ıa. La descripci´ on de cada una de las constelaciones es excelente. • Mart´ın-As´ın F. (1999) La cartograf´ıa del cielo: las constelaciones del zod´ıaco, Revista colombiana de astronom´ıa, astrof´ısica, cosmolog´ıa y ciencias afines, Vol. 1, p. 145. Breve descripci´ on de las constelaciones, en particular de aquellas que definen el zod´ıaco. • Mej´ıa, A. Efemérides astron´ omicas, Editorial Universidad Pontificia Bolivariana, Medell´ın. Con publicaci´ on anual, contiene posiciones del Sol, Luna, planetas con fen´ omenos astron´ omicos para el Tiempo Oficial de la Rep´ ublica de Colombia. • http://www.dibonsmith.com/stars.html En esta hoja electr´ onica se encuentran bastante informaci´ on sobre todo lo que se quiera saber sobre las constelaciones. • http://ad.usno.navy.mil/star/star_cats_rec.html En este sitio se encuentran varios cat´ alogos astrom´ etricos, incluido el FK5. • http://www.physics.csbsju.edu/astro/CS/CSintro.html Contiene conceptos b´ asicos sobre la esfera celeste y coordenadas astron´ omicas.

Cap´ıtulo 5

COORDENADAS CELESTES Para especificar con exactitud y de forma un´ıvoca la posici´ on de los astros en la bóveda celeste los astrónomos utilizan varios sistemas de coordenadas. De uso com´ un existen los siguientes sistemas: 1. 2. 3. 4. 5.

Coordenadas Coordenadas Coordenadas Coordenadas Coordenadas

horizontales, ecuatoriales horarias, ecuatoriales (o ecuatoriales absolutas), ecl´ıpticas, galácticas.

Pasaremos a continuación a examinar con detalle cada uno de estos sistemas.

5.1

Coordenadas horizontales

Las coordenadas horizontales tienen como plano de referencia el horizonte matemático del observador. Tales coordenadas permiten ubicar la posici´ on aparente de un astro para un observador cualquiera situado a una latitud y longitud dadas para un instante de tiempo especificado. Las coordenadas son (ver figura 5.1): A = azimut (o acimut), h = altura. El azimut A de un astro es el ańgulo contado sobre el horizonte que comienza a medirse desde el punto cardinal norte en direcci´ on hacia el este (oriente) hasta la vertical del astro correspondiente.

69

CAPÍTULO 5. COORDENADAS CELESTES

70

C

∗ h W S

O HORIZONTE

N A

E

VERTICAL

C’ Figura 5.1:

Coordenadas horizontales

El azimut tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo: 0o ≤ A < 360o . La altura h de un astro es el ańgulo contado sobre la vertical del astro que comienza a medirse desde el horizonte hasta el astro correspondiente. Tenemos que el signo de la altura h de un astro relativo a un observador constituye un criterio de visibilidad del mismo. Si el astro est´ a por encima del horizonte (visible para el observador) tendremos h > 0; pero si está por debajo del horizonte (invisible para el observador) obtenemos h < 0. La altura tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo: −90o ≤ h ≤ 90o . N´ otese que: h(cenit) = 90o ,

h(nadir) = −90o ,

h(horizonte) = 0o .

El complemento de la altura es llamado distancia cenital, denotado por z, de tal forma que:

5.2. COORDENADAS ECUATORIALES HORARIAS

z = 90 − h.

71

(5.1)

Es importante recalcar el hecho de que a causa del movimiento diurno las coordenadas horizontales de un astro están cambiando permanentemente por lo que es necesario especificar el tiempo de la observación con la mayor exactitud. De igual forma, para el mismo instante de tiempo, las coordenadas horizontales de dos observadores con distintas latitudes y/o longitudes difieren también. NOTA: El lector ha de tener presente que en muchos libros de astronom´ıa esférica definen el azimut de tal forma que comienza a medirse desde el punto cardinal sur en direcci´ on on: A0 = A + 180. hacia el oeste. Al llamar A0 al azimut as´ı definido tendremos la relaci´

5.2

Coordenadas ecuatoriales horarias

Las coordenadas ecuatoriales horarias tienen como plano de referencia el ecuador celeste. Las coordenadas son (ver figura 5.2): H = ángulo horario, δ = declinaci´ on. El ańgulo horario H de un astro es el ańgulo contado sobre el ecuador celeste que comienza a medirse desde el meridiano del observador en direcci´ on hacia el oeste (occidente) hasta el c´ırculo de declinaci´ on del astro correspondiente. Es de uso muy frecuente especificar el ángulo horario en unidades de tiempo. Puesto que la b´ oveda celeste describe una circunferencia completa (360 grados) en 24 horas, tendremos que: 15o = 1 hora. Por ejemplo, H = 35o 25’ 36” (en unidades de grados) equivale a 35o 25’ 36” = 35.4266666o /15 = 2.36177777h = 2h 21m 42.4s .

El ´ angulo horario tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo: 0o ≤ H < 360o ,

o

mejor :

0h ≤ H < 24h .

La declinación δ de un astro es el ańgulo medido sobre el c´ırculo de declinaci´ on de éste que comienza a contarse desde el ecuador celeste hasta el astro correspondiente. La declinación es positiva si la estrella está ubicada en el hemisferio norte celeste, de lo contrario es negativa. Nótese que:


72

C


PNC

*

δ H

E N

S

O HORIZONTE

W CIRCULO DE DECLINACION ECUADOR CELESTE

PSC

C’ Figura 5.2:

δ(P N C) = 90o ,

Coordenadas ecuatoriales horarias

δ(P SC) = −90o ,

δ(E. C.) = 0o .

Las coordenadas ecuatoriales horarias son parcialmente absolutas. Con ello queremos decir que aunque la declinaci´ on de un astro es la misma para un observador independientemente de su posición geográfica y de la hora de observación, el ańgulo horario no lo es.

5.3

Coordenadas ecuatoriales (ecuatoriales absolutas)

Al igual que las coordenadas ecuatoriales horarias, las coordenadas ecuatoriales absolutas tienen como plano de referencia el ecuador celeste. Las coordenadas son (ver figura 5.3): α = ascensión recta, δ = declinaci´ on. La declinación es el mismo ángulo que definimos al introducir las coordenadas ecuatoriales horarias.

5.4. COORDENADAS ECLÍPTICAS

73

C PNC


*

δ

E N

O HORIZONTE

α

S

W CIRCULO DE DECLINACION ECUADOR CELESTE

PSC C’

Figura 5.3:

Coordenadas ecuatoriales absolutas

La ascensión recta α de un astro es el ańgulo medido sobre el ecuador celeste contado desde el punto vernal en direcci´ on contraria a la de las agujas del reloj, visto desde el PNC, hasta el c´ırculo de declinaci´ on del astro. Al igual que el ángulo horario, la ascensi´ on recta de un astro se acostumbra expresar en unidades de tiempo. La ascensión recta tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo: 0o ≤ α < 360o ,

o

mejor :

0h ≤ α < 24h .

Las coordenadas ecuatoriales son absolutas, esto es, son válidas para cualquier observador independiente de su latitud y longitud geogr´ afica. Por tal razón, los almanaques astron´ omicos expresan la posición de las estrellas, planetas, Luna, Sol y otros cuerpos celestes en términos de las coordenadas ecuatoriales.

5.4

Coordenadas ecl´ıpticas

Las coordenadas ecl´ıpticas tienen como plano de referencia a la ecl´ıptica, esto es, a la trayectoria aparente del Sol en la b´ oveda celeste.


74 Las coordenadas son (ver figura 5.4):

λ = longitud ecl´ıptica, β = latitud ecl´ıptica.

ε

PNC

Π

∗ β ε λ

O

ε

ECUADOR CELESTE

ECLIPTICA

PSC Figura 5.4:

Π’

Coordenadas ecl´ıpticas

N´ otese que estamos utilizando el mismo s´ımbolo (λ) para designar tanto la longitud geogr´ afica como la longitud ecl´ıptica. El lector debe estar atento para evitar confusiones. La longitud ecl´ıptica λ de un astro es el ańgulo medido sobre la ecl´ıptica que se cuenta a partir del punto vernal en direcci´ on contraria de las agujas del reloj, visto desde el PNC, on. hasta la semicircunferencia que pasa por los polos ecl´ıpticos (Π y Π0 ) y el astro en cuesti´ La longitud ecl´ıptica tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo: 0o ≤ λ < 360o . La latitud ecl´ıptica β de un astro es el ańgulo medido sobre la semicircunferencia que pasa por los polos ecl´ıpticos y el astro en cuesti´ on que comienza a contarse desde la ecl´ıptica hasta el astro correspondiente. N´ otese que: β(Π) = 90o ,

β(Π0 ) = −90o ,

β(ecl.) = 0o .

´ 5.5. COORDENADAS GALACTICAS

5.5

75

Coordenadas gal´ acticas

Las coordenadas galácticas tienen como plano de referencia al plano de la galaxia en la que se encuentra el Sol, esto es, la V´ıa L´ actea. En una noche despejada, oscura y lejos de la luz de la ciudad, es posible observar un gran manch´ on neblinoso que se extiende por el cielo. Dicho manch´ on resulta de la acumulaci´ on de miles de millones de estrellas situadas en su mayor´ıa a cientos y miles de a˜ nos luz de distancia. Puesto que nuestra galaxia es de tipo espiral, su forma, para un observador exterior a ella, ser´ a similar a la de una lente muy delgada. Nosotros, por estar ubicados muy cerca al plano central de dicha lente e inmersos en ella, contemplamos la V´ıa L´ actea como un anillo luminoso que circunda la b´ oveda celeste. En estudios de la galaxia e incluso de objetos extragal´ acticos es frecuente designar las posiciones de ciertos objetos utilizando las coordenadas gal´ acticas.

PNC PG

∗

b

O

l

CO

ECUADOR CELESTE

PL A

NO

GA L

AC

TI

CG

P´G PSC

Figura 5.5:

Coordenadas gal´ acticas

Las coordenadas son (ver figura 5.5): l = longitud gal´ actica, b = latitud gal´ actica.


76

La longitud gal´ actica l de un astro es el ańgulo medido sobre el plano gal´ actico, que comienza a contarse desde un punto pr´ oximo al centro de la galaxia (CG), en la misma direcci´ on en que se cuentan la ascension recta y la longitud ecl´ıptica, hasta la semicircunferencia que pasa por el astro y los polos gal´ acticos. La longitud gal´ actica tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo: 0o ≤ l < 360o . La latitud gal´ actica b de un astro es el ańgulo medido sobre aquella semicircunferencia que pasa por los polos galácticos y el astro en cuestión que comienza a contarse desde el plano gal´ actico hasta el astro correspondiente. Designando como PG y PG0 a los polos galácticos norte y sur respectivamente tenemos: bPG = 90o ,

bPG0 = −90o ,

b(plano gal.) = 0o .

La posición del cero de la longitud galáctica (el centro galáctico nominal) fue acordado en 1959 por la Unión Astronómica Internacional y está situado en las siguientes coordenadas ecuatoriales (2000.0): α = 17h 45.6m ,

δ = −28o 56.30 .

Observaciones recientes han mostrado que el centro galáctico real coincide con una fuente de radio e infrarroja (Sagitario A) la cual est´ a situada unos pocos minutos de arco de su posición nominal; sin embargo, el centro nominal se sigue usando como punto cero para la longitud gal´ actica. De ello resulta que la posici´ on del verdadero centro galáctico esté situado a: l = −3.340 ,

5.6

b = −2.750 .

Transformaci´ on entre los sistemas de coordenadas

Para encontrar relaciones entre los distintos tipos de coordenadas necesitamos de los conceptos de trigonometr´ıa esférica vistos en la sección 2.1. El caso clásico de transformación entre coordenadas celestes es el paso entre las horizontales a ecuatoriales horarias o viceversa.

5.6.1

De horizontales a ecuatoriales horarias y viceversa

Considérese la figura 5.6 en donde est´ an representadas las coordenadas horizontales y las ecuatoriales horarias de un astro cualquiera. Concentremos nuestra atención en el triángulo esférico resaltado en la figura. Es evidente que tenemos los siguientes valores como lados y ángulos de dicho tri´ angulo:

´ ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS 5.6. TRANSFORMACION Lados

´ Angulos

90 − φ 90 − δ 90 − h

Ξ 360 − A H

77

C

PNC

Ξ ∗

φ

δ h

H

E N

S

O HORIZONTE

W

A

TE LES

E

RC

DO

A ECU

PSC C’ Figura 5.6:

Relaci´ on entre coordenadas horizontales y ecuatoriales horarias

Utilizando el teorema del seno (ecuación 2.13) obtenemos: sen (90 − δ) sen (90 − h) = , sen (360 − A) sen H puesto que sen (90 − x) = cos x, y sen (360 − x) = − sen x (siendo x cualquier ańgulo) se deduce: cos δ sen H = − cos h sen A. (5.2) De igual forma, al aplicar el teorema del coseno (ecuación 2.14) obtenemos: cos(90 − δ) = cos(90 − φ) cos(90 − h) + sen (90 − φ) sen (90 − h) cos(360 − A), y como cos(90 − x) = sen x, y cos(360 − x) = cos x, se obtiene:


78

sen δ = sen φ sen h + cos φ cos h cos A.

(5.3)

Aplicando el teorema del coseno con otro de los lados: cos(90 − h) = cos(90 − δ) cos(90 − φ) + sen (90 − δ) sen (90 − φ) cos H, que se covierte en: sen h = sen δ sen φ + cos δ cos φ cos H.

(5.4)

Las ecuaciones (5.2), (5.3) y (5.4) son suficientes para pasar del sistema horizontal al ecuatorial horario o viceversa. De horizontales a ecuatoriales horarias : Conocidos φ, h y A determinar δ y H. Mediante la ecuación (5.3) se halla inmediatamente la declinaci´ on δ : δ = sen −1 ( sen φ sen h + cos φ cos h cos A). Habiendo determinado δ y con la ecuación (5.2) calculamos H: ¶ µ − cos h sen A , H = sen −1 cos δ es evidente que de la ecuaci´ on (5.4) encontramos otra expresión para H: ¶ µ sen h − sen δ sen φ . H = cos−1 cos δ cos φ

(5.5)

(5.6)

(5.7)

NOTA: En el cálculo de H se ha de tener mucho cuidado con el verdadero cuadrante en el que est´ a situado el astro. Puesto que H va de 0 a 360 grados al tomar las funciones inversas de los valores entre paréntesis de la ecuaciones (5.6) y (5.7) las calculadoras y computadoras sólo muestran uno de los dos valores que satisfacen la ecuaci´ on. Una manera inmediata de determinar el correcto cuadrante de H es utilizando la siguiente regla, donde H es el valor calculado con la f´ ormula del coseno inverso (5.7): Si Si

A < 180 entonces H = 360 − H, A > 180 entonces H = H.

Ejemplo 1 Calcular H y δ de una estrella si sus cordenadas horizontales son: A = 210o 340 , h = 35 430 para un observador situado a φ = 3o 250 N. o

Soluci´ on Utilizamos la ecuación (5.5) para calcular la declinación:

´ ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS 5.6. TRANSFORMACION

79

δ = sen −1 [ sen (3o 250 ) sen (35o 430 ) + cos(3o 250 ) cos(35o 430 ) cos(210o 340 )] , δ = sen −1 (−0.6630548) = −41o 320 . Hacemos uso ahora de la ecuación (5.6) para determinar el ángulo horario: ³ ´ o 430 ) sen (210o 340 ) , H = sen −1 − cos(35 o 0 cos(−41 32 ) H = sen −1 (0.5515730) = 33o 28.50 = 2h 13.9m . Hagamos el mismo cálculo con la ecuación (5.7): ³ ´ o 430 )− sen (−41o 320 ) sen (3o 250 ) , H = cos−1 sen (35 cos(−41 o 320 ) cos(3o 250 ) H = cos−1 (0.8341279) = 33o 28.50 = 2h 13.9m . En este caso no existe problema con determinar el verdadero cuadrante de H. Con el valor del ángulo H hallado con (5.7) y puesto que en nuestro caso A > 180 es claro que el valor de H permanece inalterado. Ejemplo 2 Calcular H y δ de una estrella si sus cordenadas horizontales son: A = 47o 340 , h = 67o 450 para un observador situado a φ = 17o 360 S. Soluci´ on Antes de proceder con el cálculo hay que tener en cuenta que a φ debe anteponérsele el signo negativo a causa de que es una latitud sur. Calculamos la declinación: δ = sen −1 [ sen (−17o 360 ) sen (67o 450 ) + cos(−17o 360 ) cos(67o 450 ) cos(47o 340 )] , δ = sen −1 (−0.0363284) = −2o 50 . Calculamos el ángulo horario con (5.6): ³ ´ o 450 ) sen (47o 340 ) , H = sen −1 − cos(67cos(−2 o 50 ) H = sen −1 (−0.2796513) = −16o 14.30 = 343o 45.70 = 22h 55m . Hagamos el mismo cálculo con la ecuación (5.7):


80 H = cos−1

³

sen (67o 450 )− sen (−2o 50 ) sen (−17o 360 ) cos(−2o 50 ) cos(−17o 360 )

´ ,

H = cos−1 (0.9600947) = 16o 14.30 = 1h 5m . En este caso tenemos dos valores para H : 343o 45.70 y 16o 14.30 . ¿Cuál es el correcto? Con el valor del ángulo H hallado con el coseno inverso (16o 14.30 ) y dado que A < 180 entonces: H = 360 − H = 343o 45.70 = 22h 55m . De ecuatoriales horarias a horizontales: Conocidos φ, δ y H, determinar h y A. Antes de comenzar a reemplazar en las fórmulas se ha de tener cuidado en convertir el ángulo horario H (que usualmente viene en unidades de tiempo) en unidades de grados. Mediante la ecuación (5.4) se halla inmediatamente la altura h : h = sen −1 ( sen δ sen φ + cos δ cos φ cos H). Habiendo determinado h y con la ecuación (5.2) calculamos A: ¶ µ − cos δ sen H −1 A = sen . cos h De la ecuaci´ on (5.3) encontramos otra expresión para A: ¶ µ sen δ − sen φ sen h −1 A = cos . cos φ cos h

(5.8)

(5.9)

(5.10)

NOTA: Al igual que en el cálculo de H para determinar A se ha de tener cuidado con el verdadero cuadrante en el que est´ a situado el astro. Como antes, una manera segura de determinar el correcto cuadrante de A es utilizando la siguiente regla, donde A es el valor calculado con la f´ ormula del coseno inverso (5.10): Si

H < 180 (12h ) entonces A = 360 − A, A = A. Si H > 180 (12h ) entonces

Ejemplo 1 Calcular el azimut y la altura de una estrella para un observador ubicado en Mocoa (Putumayo) si las coordenadas ecuatoriales horarias de dicha estrella en ese instante son: δ = 34o 140 y H = 5h 35.3m . Soluci´ on En el apéndice B encontramos la latitud de Mocoa: 1o 90 . Convertimos el ángulo horario en unidades de grados: H = 5h 35.3m × 15 = 83o 49.50 . Reemplazando en la ecuación (5.8) hallamos la altura h:


81

h = sen −1 [ sen (34o 140 ) sen (1o 90 ) + cos(34o 140 ) cos(1o 90 ) cos(83o 49.50 )] , h = sen −1 (0.1002029) = 5o 450 . Calculado h determinamos ahora el azimut con ayuda de la ecuaci´ on (5.10): ³ ´ o 140 )− sen (1o 90 ) sen (5o 450 ) A = cos−1 sen (34 cos(1 , o 90 ) cos(5o 450 ) A = cos−1 (0.5635018) = 55o 420 , pero, puesto que H < 180, entonces el verdadero ángulo de A es: A = 360 − 55o 420 = 304o 180 . Ejemplo 2 Determinar la altura y el azimut de la estrella Rigel para un observador situado en Cartagena si su ángulo horario para ese instante es H = 20h 45.1m . Soluci´ on Del apéndice E extraemos la declinaci´ on aproximada al minuto de arco de la estrella Rigel (δ = −8o 120 ). As´ı mismo, del apéndice B encontramos la latitud de Cartagena: 10o 270 . El ángulo horario es, en unidades de grados: 311o 16.50 . Calculamos la altura: h = sen −1 [ sen (−8o 120 ) sen (10o 270 ) + cos(−8o 120 ) cos(10o 270 ) cos(311o 16.50 )] , h = sen −1 (0.6162300) = 38o 2.50 . Luego calculamos el azimut con (5.10): ³ ´ o 120 )− sen (10o 270 ) sen (38o 2.50 ) A = cos−1 sen (−8 cos(38 , o 2.50 ) cos(10o 270 ) A = cos−1 (−0.3284699) = 109o 10.50 , y dado que H > 180, entonces el ángulo A que acabamos de hallar es el valor buscado.

5.6.2

Ecuatoriales horarias a ecuatoriales absolutas y viceversa

Puesto que la declinaci´ on δ es com´ un a ambos sistemas lo u ´ nico que hay que considerar aqu´ı es la relaci´ on entre la ascensión recta α y el ángulo horario H. La conexi´ on se establece a través de algo que nos indique la posici´ on del punto vernal. Y este algo se llama tiempo sideral local , T SL. El tiempo sideral local de un observador en un instante dado se define como el ángulo horario del punto vernal: T SL = Hg .

(5.11)


82

C


PNC

* H TSL E N

α

O HORIZONTE

S

W

ECUADOR CELESTE

PSC C’

Figura 5.7:

Relaci´ on entre α, H y T SL (Hg )

En la figura 5.7 podemos apreciar la relaci´ on entre α, H y T SL y deducir una ecuaci´ on supremamente importante: T SL = Hg = α + H.

(5.12)

La obtenci´ on del T SL para cualquier observador y para cualquier instante de tiempo se ver´ a con detalle en la sección 7.9. Ejemplo 1 Determinar el ańgulo horario de la estrella Sirius para un observador cuyo tiempo sideral local en ese instante es de T SL = 3h 51.8m . Soluci´ on En el apéndice E encontramos la ascensión recta de Sirius: α = 6h 45m . Entonces: H = T SL − α = 3h 51.8m − 6h 45m = −2h 53.2m , como el ángulo es negativo sumamos en tal caso 24 horas: H = −2h 53.3m + 24h = 21h 6.8m .


83

Ejemplo 2 Calcular el ángulo horario del punto vernal para un observador cuyo ańgulo horario de la estrella Procyon es de 22h 7.4m . Soluci´ on Del apéndice E extraemos el valor de la ascensión recta para Procyon: 7h 39s . Por lo tanto: Hg = α + H = 7h 39s + 22h 7.4m = 29h 46.4m , y puesto que el valor excede las 24 horas sencillamente le restamos 24: Hg = T SL = 29h 46.4m − 24h = 5h 46.4m . Ejemplo 3 Se desea conocer la altura y el azimut de una estrella en el instante 4h 55m 36s de Tiempo Oficial de la Rep´ ublica de Colombia del 4 de marzo de 2000 para un observador situado en las siguientes coordenadas: φ = 4o 580 1700 N, λ = 75o 30 4500 W. Las coordenadas ecuatoriales de la estrella son: α = 23h 34m 34.5s y δ = 45o 230 4500 . Soluci´ on La resolución de este ejercicio implica el conocimiento de varios conceptos que a´ un no se han visto, pero que se estudiar´ an a su debido tiempo. El asunto clave es la determinaci´ on del T SL. El lector puede ver con detalle el cálculo de este valor en la sección 7.9. Supondremos en este ejemplo que el lector ya conoce el concepto de hora local, tiempo universal, fecha juliana y T SG0. El tiempo universal T U en el instante dado es, de acuerdo con la ecuación (7.8): T U = (T L)Colombia + 5, donde T L es la hora oficial en Colombia. Entonces: T U = 9h 55m 36s . Con ayuda del apéndice F o con la ecuación (7.15) determinamos la fecha juliana del 4 de marzo de 2000: 2 451 607.5. Con la fecha juliana calculamos el valor T dado en (7.17), el cual para nuestro caso da: T = 0.001711157. Con la fórmula (7.16) calculamos el T SG0, esto es, el tiempo sideral local para un observador en el meridiano de Greenwich a las cero horas de T U . Al hacer el cálculo da: T SG0 = 10h 48m 15.26s . Pero la ecuación (7.16) permite sólo calcular el T SG0 medio, sin correcci´ on por nutación. Hallar el valor verdadero del T SG0 implica una correcci´ on en el valor medio que puede llegar a ser tanto como un segundo de tiempo, lo cual ya representa un error de 15 segundos de arco en la determinación del ángulo horario del astro. El inconveniente es que calcular el T SG0 verdadero exige determinar, para el instante dado, la nutaci´ on en oblicuidad (∆²) y la nutaci´ on en longitud (∆ψ) (ver p´ agina 183) constituidas de numerosos términos trigonométricos que son funciones de ańgulos que ayudan a determinar la posici´ on de la Luna y el Sol. En este ejercicio nos conformaremos ´ se calcula con la ecuación con el T SG0 medio. El paso siguiente es calcular el T SGt . Este (7.12):


84

T SGt = 10h 48m 15.26s + (9h 55m 36s ) × 1.0027379 = 20h 45m 29.1s . Luego calculamos el tiempo sideral local para nuestro observador a una longitud λ al oeste de Greenwich (ecuación (7.13)): T SL = 20h 45m 29.1s − (75o 30 4500 )/15 = 15h 45m 14.1s . Con el T SL calculamos el ángulo horario H: H = T SL − α = 15h 45m 14.1s − 23h 34m 34.5s = −7h 49m 20.4s = 16h 10m 39.6s . En unidades de grados H es: 242o 390 5400 . Aplicando la ecuaci´ on (5.8) hallamos la altura: h = sen −1 [ sen (45o 230 4500 ) sen (4o 580 1700 ) + cos(45o 230 4500 ) cos(4o 580 1700 ) cos(242o 390 5400 )] , h = sen −1 (−0.2595355) = −15o 20 3300 . Luego calculamos el azimut con (5.10): ³ ´ o 0 4500 )− sen (−15o 20 3300 ) sen (4o 580 1700 ) A = cos−1 sen (45 23cos(−15 , o 20 3300 ) cos(4o 580 1700 ) A = cos−1 (0.7633982) = 40o 140 700 , y dado que H > 180, entonces el ángulo A que acabamos de hallar es el valor buscado.

5.6.3

Ecuatoriales absolutas a ecl´ıpticas y viceversa

Consideremos la figura 5.8 en la cual se muestran las coordenadas ecuatoriales (α, δ) y ecl´ıpticas (λ, β) de un astro cualquiera. El punto vernal g está ubicado exactamente a medio angulo esférico resaltado en la figura obtenemos como camino entre los puntos D y D0 . Del tri´ ángulos y lados correspondientes los siguientes: Lados

´ Angulos

90 − β 90 − δ ²

90 + α 90 − λ Ψ

Aplicando el teorema del seno: sen (90 − β) sen (90 − δ) = , sen (90 − λ) sen (90 + α) y puesto que sen (90 − x) = cos x, y sen (90 + x) = cos x, se deduce: cos δ cos α = cos λ cos β. Al aplicar el teorema del coseno: cos(90 − δ) = cos(90 − β) cos ² + sen (90 − β) sen ² cos(90 − λ),

(5.13)


Π

ε

85

PNC Ψ

∗

β δ ε

D

O ECUADOR

λ D’

α

ECLIPTICA

PSC

Figura 5.8:

Π’

Relaci´ on entre coordenadas ecuatoriales absolutas y ecl´ıpticas

y como cos(90 − x) = sen x se obtiene: sen δ = sen β cos ² + cos β sen ² sen λ.

(5.14)

Aplicando el teorema del coseno con otro de los lados: cos(90 − β) = cos(90 − δ) cos ² + sen (90 − δ) sen ² cos(90 + α), y como cos(90 + x) = − sen x se obtiene: sen β = sen δ cos ² − cos δ sen ² sen α.

(5.15)

Podemos encontrar otras dos relaciones utilizando el teorema del seno por el coseno, ecuaciones (2.15). No nos interesan expresiones en donde aparezca el ángulo ubicado en el astro (Ψ). Ello significa que tendremos s´ olo dos ecuaciones del seno por el coseno. Estas son: cos(90 − λ) sen (90 − β) = − cos(90 + α) sen (90 − δ) cos ² + cos(90 − δ) sen ², cos(90 + α) sen (90 − δ) = − cos(90 − λ) sen (90 − β) cos ² + cos(90 − β) sen ², o mejor: sen λ cos β = sen δ sen ² + cos δ cos ² sen α,

(5.16)

sen α cos δ = − sen β sen ² + cos β cos ² sen λ.

(5.17)


86

De ecl´ıpticas a ecuatoriales: Conocidos λ y β determinar α y δ. De la ecuaci´ on (5.14) se obtiene la declinaci´ on: δ = sen −1 ( sen β cos ² + cos β sen ² sen λ) .

(5.18)

Para evitar confusiones con la verdadera ubicaci´ on del cuadrante evitaremos utilizar ecuaciones simples que pueden dar el valor de α. En su lugar trabajaremos con una expresi´ on un poco más complicada y seguiremos unas reglas espec´ıficas que ayudar´ an a erradicar los dolores de cabeza que surgen con el cálculo de los cuadrantes verdaderos. Al dividir la ecuaci´ on (5.17) por (5.13) obtenemos una expresión para hallar α sin tener que haber calculado previamente δ: ¶ µ − sen β sen ² + cos β cos ² sen λ . (5.19) α = tan−1 cos λ cos β La ecuación (5.19) es de la forma: −1

α = tan

µ ¶ p , q

(5.20)

donde p y q representan los términos que conforman el numerador y el denominador respectivamente en la ecuación (5.19). El ángulo verdadero se encuentra sometiendo el ańgulo α hallado directamente en (5.20) a las siguientes reglas: Si

p·q<0

y

q<0

entonces

α = α + 180,

Si

p·q<0

y

q>0

entonces

α = α + 360,

Si

p+q<0

entonces

(5.21)

α = α + 180.

Si no se cumple alguna de las reglas anteriores entonces el ángulo verdadero es el que se hall´ o directamente de (5.19). Lo que sigue a continuaci´ on es dejar α en unidades de tiempo. Ejemplo 1 Las coordenadas ecl´ıpticas de la Luna en un instante dado son: λ = 221o 230 , β = 4o 540 . Calcular las coordenadas ecuatoriales. Soluci´ on Tomaremos ² = 23o 260 . De la ecuación (5.18): δ = sen −1 [ sen (4o 540 ) cos(23o 260 ) + cos(4o 540 ) sen (23o 260 ) sen (221o 230 )] , δ = sen −1 (−0.1835720) = −10o 34.70 . La ascensión recta se calcula con la ecuación (5.19):


87

p = − sen (4o 540 ) sen (23o 260 ) + cos(4o 540 ) cos(23o 260 ) sen (221o 230 ) = −0.6383208, q = cos(221o 230 ) cos(4o 540 ) = −0.7475613. Al tomar la tangente inversa (tan−1 (p/q)) obtenemos un valor del ángulo α = 40o 29.60 . Pero, al aplicar las reglas (5.21) se deduce que se cumple en este caso p + q < 0 por lo que es necesario sumar 180 grados al valor hallado. Por lo tanto: α = 40o 29.60 + 180 = 220o 29.60 , que al convertir en unidades de tiempo da finalmente: α = 14o 42m . Ejemplo 2 Las coordenadas ecl´ıpticas del Sol en un instante dado son: λ = 325o 360 , β = 0o 00 . Calcular las coordenadas ecuatoriales. Soluci´ on De nuevo: ² = 23o 260 . De la ecuación (5.18): δ = sen −1 [ sen (0o 00 ) cos(23o 260 ) + cos(0o 00 ) sen (23o 260 ) sen (325o 360 )] , δ = sen −1 (−0.2246770) = −12o 590 . La ascensión recta se calcula con la ecuación (5.19): p = − sen (0o 00 ) sen (23o 260 ) + cos(0o 00 ) cos(23o 260 ) sen (325o 360 ) = −0.5183705, q = cos(325o 360 ) cos(0o 00 ) = 0.8251135. Al tomar la tangente inversa (tan−1 (p/q)) obtenemos un valor del ángulo α = −32o 80 . Pero, al aplicar las reglas (5.21) se deduce que se cumple en este caso p · q < 0 y q > 0 por lo que es necesario sumar 360 grados al valor hallado. Por lo tanto: α = −32o 80 +360 = 327o 520 , que al convertir en unidades de tiempo da finalmente: α = 21o 51.5m . De ecuatoriales a ecl´ıpticas: Conocidos α y δ determinar λ y β. De la ecuaci´ on (5.15) obtenemos la latitud ecl´ıptica β: β = sen −1 ( sen δ cos ² − cos δ sen ² sen α) .

(5.22)

Dividimos entre s´ı las ecuaciones (5.16) y (5.13) para hallar la longitud ecl´ıptica λ en términos de la tangente: ¶ µ sen δ sen ² + cos δ cos ² sen α λ = tan−1 . (5.23) cos α cos δ El ´ angulo λ as´ı hallado es sometido a las mismas reglas establecidas en (5.21).


88 Ejemplo 1

Las coordenadas ecuatoriales de la Luna en un instante dado son: α = 5h 27.5m , δ = 19o 45m . Calcular sus correspondientes coordenadas ecl´ıpticas. Soluci´ on Tomaremos ² = 23o 260 . Convertimos la ascensión recta en unidades de grados: α = 5 27.5m = 81o 52.50 . De la ecuación (5.22): h

β = sen −1 [ sen (19o 450 ) cos(23o 260 ) − cos(19o 450 ) sen (23o 260 ) sen (81o 520 )] , β = sen −1 (−0.0604850) = −3o 280 . La longitud ecl´ıptica se calcula con la ecuaci´ on (5.23): p = sen (19o 450 ) sen (23o 260 ) + cos(19o 450 ) cos(23o 260 ) sen (81o 52.50 ) = 0.9892661, q = cos(81o 52.50 ) cos(19o 450 ) = 0.1330195. Al tomar la tangente inversa (tan−1 (p/q)) obtenemos un valor del ángulo λ = 82o 200 . Al aplicar las reglas (5.21) se deduce que el valor que acabamos de hallar es el ángulo buscado. Ejemplo 2 Las coordenadas ecuatoriales del Sol en un instante dado son: α = 12h 29m 49.21s , δ = −3 13m 9.600 . Calcular sus correspondientes coordenadas ecl´ıpticas. o

Soluci´ on Tomaremos ² = 23o 260 18.5000 . Convertimos la ascensión recta en unidades de grados: α = 12h 29m 49.21s = 187o 270 18.1500 . De la ecuación (5.22): β = sen −1 [ sen (−3o 130 9.600 ) cos(23o 260 18.5000 ) − cos(−3o 130 9.600 ) sen (23o 260 18.5000 ) sen (187o 270 18.1500 )] , β = sen −1 (0.00000307) = 0o 00 0.0100 .

Procedemos a calcular la longitud ecl´ıptica: p = sen (−3o 130 9.600 ) sen (23o 260 18.5000 ) + cos(−3o 130 9.600 ) cos(23o 260 18.5000 ) sen (187o 270 18.1500 ) = −0.1411923, q = cos(187o 270 18.1500 ) cos(−3o 130 9.600 ) = −0.9899822.

Al tomar la tangente inversa (tan−1 (p/q)) obtenemos un valor del ángulo λ = 8o 70 0.6500 . Al aplicar las reglas (5.21) se tiene que debemos sumar 180 al valor anterior. Por lo tanto: λ = 8o 70 0.6500 + 180 = 188o 70 0.6500 es el ángulo buscado.


5.6.4

89

Ecuatoriales absolutas a gal´ acticas y viceversa

La figura 5.9 muestra la relaci´ on entre las coordenadas ecuatoriales (α, δ) y las coordenadas galácticas (l, b). Llamaremos αP g y δP g la ascensión recta y la declinación del polo norte galáctico, el cual está situado en la constelaci´ on de la Cabellera de Berenice, con las siguientes coordenadas: αP g = 12h 51.4m ,

δP g = 27o 80 .

Igualmente necesitamos especificar la longitud galáctica del polo norte celeste (PNC), que designaremos lN . Puesto que el origen de coordenadas de l está muy cerca del verdadero centro galáctico (CG) y éste dista unos 33 grados con respecto al nodo, esto es, el punto donde el plano gal´ actico cruza de sur a norte el ecuador celeste, se tiene que de la figura 5.9, donde el nodo est´ a exactamente en la mitad de D y D’: lN = 33 + 90 = 123.

(5.24)

Del tri´ angulo esférico resaltado en la figura se deduce: Lados

´ Angulos

90 − b 90 − δ 90 − δP g

α − αP g lN − l Γ

Aplicando el teorema del seno: sen (α − αP g ) sen (lN − l) = , sen (90 − b) sen (90 − δ) y como sen (90 − x) = cos x obtenemos: cos δ sen (α − αP g ) = sen (lN − l) cos b.

(5.25)

Al aplicar el teorema del coseno: cos(90 − δ) = cos(90 − δP g ) cos(90 − b) + sen (90 − δP g ) sen (90 − b) cos(lN − l), o mejor: sen δ = sen δP g sen b + cos δP g cos b cos(lN − l).

(5.26)

Al aplicar el teorema del coseno con otro de los lados: cos(90 − b) = cos(90 − δP g ) cos(90 − δ) + sen (90 − δP g ) sen (90 − δ) cos(α − αP g ), o también: sen b = sen δP g sen δ + cos δP g cos δ cos(α − αP g ). Aplicando el teorema del seno por el coseno (el ángulo Γ no interesa) obtenemos:

(5.27)


90

PNC Γ

PG

∗

δP

G

b

lN

δ

αP

G

D

l

O

α

O

ECUADOR CELESTE

NODO

AN

O

GA

LA

CT IC

CG

D’

PL

P´G PSC

Figura 5.9:

Relaci´ on entre coordenadas ecuatoriales absolutas y gal´ acticas

cos(lN − l) sen (90 − b) = − cos(α − αP g ) sen (90 − δ) cos(90 − δP g ) + cos(90 − δ) sen (90 − δP g ), cos(α − αP g ) sen (90 − δ) = − cos(lN − l) sen (90 − b) cos(90 − δP g ) + cos(90 − b) sen (90 − δP g ),

o mejor: cos(lN − l) cos b = sen δ cos δP g − cos δ sen δP g cos(α − αP g ),

(5.28)

cos(α − αP g ) cos δ = sen b cos δP g − cos b sen δP g cos(lN − l).

(5.29)

De ecuatoriales a gal´ acticas: Conocidos α y δ determinar l y b. De la ecuaci´ on (5.27) se obtiene la latitud gal´ actica: b = sen −1 ( sen δP g sen δ + cos δP g cos δ cos(α − αP g )) .

(5.30)

Al dividir las ecuaciones (5.25) y (5.28) entre s´ı obtenemos la longitud gal´ actica a través de la tangente: ¶ µ cos δ sen (α − αP g ) −1 l = lN − tan . (5.31) sen δ cos δP g − cos δ sen δP g cos(α − αP g ) El ańgulo hallado por intermedio de la tangente en el segundo término del lado derecho de la anterior ecuaci´ on debe ser sometido a las reglas (5.21). Con el valor correcto se procede con el resto de la ecuación (5.31) con el fin de determinar el verdadero cuadrante.


91

Ejemplo 1 Las coordenadas ecuatoriales de un objeto dado son: α = 3h 18m , δ = 61o 130 . Calcular sus correspondientes coordenadas galácticas. Soluci´ on Convertimos la ascensiones rectas en unidades de grados: α = 3h 18m = 49o 300 ; αP g = 12 51.4m = 192o 510 . De la ecuación (5.30): h

b = sen −1 [ sen (27o 80 ) sen (61o 130 ) + cos(27o 80 ) cos(61o 130 ) cos(49o 300 − 192o 510 )] , b = sen −1 (0.0559235) = 3o 120 . La longitud gal´ actica se calcula con la ecuación (5.31). Primero calculamos el lado derecho: p = cos(61o 130 ) sen (49o 300 − 192o 510 ) = −0.2874187, q = sen (61o 130 ) cos(27o 80 ) − cos(61o 130 ) sen (27o 80 ) cos(49o 300 − 192o 510 ) = 0.9561710. Al tomar la tangente inversa (tan−1 (p/q)) obtenemos un valor del ángulo igual a −16o 440 . Al aplicar las reglas (5.21) se deduce que a éste valor se le debe sumar 360 grados. Por lo tanto actica queda: l = 123 − 343o 160 = −220o 160 , el ´ angulo es: 343o 160 . Entonces la longitud gal´ el cual, al sumarle 360 grados queda finalmente: l = 139o 440 . De gal´ acticas a ecuatoriales: Conocidos l y b determinar α y δ. De la ecuaci´ on (5.26) se obtiene la declinaci´ on: δ = sen −1 ( sen δP g sen b + cos δP g cos b cos(lN − l)) .

(5.32)

Al dividir las ecuaciones (5.25) y (5.29) entre s´ı obtenemos la ascensión recta a través de la tangente: ¶ µ cos b sen (lN − l) α = αP g + tan−1 . (5.33) sen b cos δP g − cos b sen δP g cos(lN − l) El ´ angulo hallado en el término de la tangente inversa deber ser sometido a las reglas (5.21) antes de proceder con el resto de la ecuación. En caso de exceder los 360 grados se resta este mismo valor al ángulo. Posteriormente se convierte a unidades de tiempo. Ejemplo 1 Las coordenadas galácticas de un objeto dado son: l = 171o 150 , b = −17o 150 . Calcular sus correspondientes coordenadas ecuatoriales. Soluci´ on De nuevo: αP g = 12h 51.4m = 192o 510 . De la ecuación (5.32):

92

CAPÍTULO 5. COORDENADAS CELESTES δ = sen −1 [ sen (27o 80 ) sen (−17o 150 ) + cos(27o 80 ) cos(−17o 150 ) cos(123 − 171o 150 )] , δ = sen −1 (0.4307031) = 25o 300 . La ascensión recta se calcula con la ecuación (5.33). Primero calculamos el lado derecho: p = cos(−17o 150 ) sen (123 − 171o 150 ) = −0.7124996,

q = sen (−17o 150 ) cos(27o 80 ) − cos(−17o 150 ) sen (27o 80 ) cos(123 − 171o 150 ) = −0.5539306. Al tomar la tangente inversa (tan−1 (p/q)) obtenemos un valor del ángulo igual a 52o 80 . Al aplicar las reglas (5.21) se deduce que a éste valor se le debe sumar 180 grados. Por lo tanto, el ángulo es: 232o 80 . Entonces la ascensión recta queda: α = 232o 80 + 192o 510 = 424o 590 , que por ser mayor de 360 le restamos este valor: α = 64o 590 , que al convertir en unidades de tiempo da: α = 4h 20m . LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS • Roy, A., Clarke, D. (1988), Astronomy: Principles and Practice, Adam Hilger, Bristol. Muy buen libro de astronom´ıa fundamental. El cap´ıtulo 7 es particularmente claro en exponer las coordenadas celestes. • Vorontsov-Veliam´ınov, B.A. (1979) Problemas y ejercicios pr´ acticos de astronom´ıa, Mir, Mosc´ u. Contiene un buen n´ umero de problemas propuestos en astronom´ıa esférica. • Vives, T. (1971), Astronom´ıa de posici´ on, Alhambra, Bilbao. Contiene varios cap´ıtulos que tratan extensivamente la relaci´ on entre los diferentes sistemas de coordenadas celestes. • http://www.btinternet.com/~kburnett/kepler/altaz.html Contiene explicaciones detalladas sobre transformaci´ on entre coordenadas horizontales y ecuatoriales absolutas.

Cap´ıtulo 6

MOVIMIENTO APARENTE DE LOS CUERPOS CELESTES Los cuerpos celestes están en movimiento unos con respecto a otros. Todos giran sobre s´ı mismos (la Tierra en 24 horas, la Luna en 27 d´ıas, el Sol en 25 d´ıas, la V´ıa L´ actea en 250 millones de a˜ nos, etc.). Cualquier observador ubicado en un lugar espec´ıfico del universo observar´ a a los otros cuerpos celestes desplazándose de cierta forma part´ıcular. No es lo mismo observar el movimiento de los planetas desde la Tierra que desde el Sol. El movimiento de cuerpos celestes observado desde la superficie de un planeta resulta siendo la combinación de varios movimientos. Debido a esto a la humanidad le tom´ o bastante tiempo encontrar cual era la ubicaci´ on real de la Tierra en el sistema solar, y a´ un m´ as tiempo descubrir la trayectoria verdadera que describen los planetas en torno al Sol.

6.1

Movimiento diurno

Lo que más llama la atención del cielo nocturno es que se mueve lentamente. El techo esférico de apariencia “s´ olida” que hemos llamado cielo o mejor, b´ oveda celeste, se mueve lentamente en dirección este-oeste (de oriente a occidente) dando una revoluci´ on completa alrededor de la Tierra en un d´ıa. Los fil´ osofos griegos elaboraron una visión del universo llamada geocentrista derivada de lo que sencillamente observaban: la Tierra es el centro del universo, inm´ ovil, y alrededor de ella giran los planetas, la Luna y el Sol y un poco m´ as all´ a la b´ oveda celeste, sitio en donde están ubicadas las estrellas. Por más de 2000 a˜ nos fue lo que se crey´ o la interpretaci´ on correcta del universo. Hoy en d´ıa sabemos que no existe una “b´ oveda celeste” en el sentido de que no es una superficie s´ olida, ni siquiera un techo. Es una ilusi´ on derivada del hecho de que las distancias en el universo son increiblemente enormes. Ahora bien, el movimiento de rotación aparente de la b´ oveda celeste alrededor de la Tierra se explica si suponemos que la Tierra rota sobre s´ı misma en dirección oeste-este (de occidente a oriente) en un per´ıodo de un d´ıa. Un astronauta ubicado en la superficie de la Luna observar´ a que la b´ oveda celeste gira mucho más lentamente que aqu´ı en la Tierra, 93

94

CAPÍTULO 6. MOVIMIENTO APARENTE DE LOS CUERPOS CELESTES

también en dirección este-oeste. Esto es debido a que la Luna gira sobre s´ı misma en 27 d´ıas terrestres en direcci´ on oeste-este. Los astrónomos llaman movimiento diurno al movimiento aparente de la bóveda celeste originado por la rotaci´ on del cuerpo desde donde se realiza la observación. Este movimiento es el que más facilmente percibimos, pues las estrellas, los planetas, la Luna y el Sol se mueven, vistos desde la superficie de la Tierra, de oriente a occidente. El movimiento diurno es el responsable de que el Sol salga en o muy cerca del punto cardinal este aproximadamente a las 6:00 a.m. (claro, para observadores ubicados cerca del ecuador terrestre), que alcance su máxima altura cerca del medio d´ıa, y que se oculte en o cerca del punto cardinal oeste aproximadamente a las 6:00 p.m. Aunque notemos que el Sol recorre 180 grados en 12 horas, en realidad estamos hablando de un movimiento aparente surgido del hecho de que nosotros, como observadores, estamos ubicados en un cuerpo en rotaci´ on que gira en el sentido oeste-este. Puesto que la Tierra tarda 24 horas en realizar una revoluci´ on completa, de 360 grados, se deduce que por cada hora transcurrida la b´ oveda celeste se mueve 15 grados en dirección este-oeste.

6.2

La Luna y el Sol

La Luna y el Sol, como todos los cuerpos celestes vistos desde nuestro planeta, son afectados por el movimiento diurno. En consecuencia, veremos siempre que se desplazan lentamente en dirección este-oeste. Ahora bien, esto no significa que están adheridos a la b´ oveda celeste, o mejor, que estén ubicados siempre en una determinada constelaci´ on o grupo estelar. La Luna y el Sol son cuerpos que están, comparados con las estrellas, mucho más cerca al planeta Tierra. Esto hace que la Luna y el Sol se muevan con respecto a las estrellas y por lo tanto queden fuera de sincronizaci´ on con respecto al movimiento diurno. Consideremos primero el Sol. Sabemos que los planetas (incluyendo la Tierra) se mueven en órbitas casi circulares alrededor del Sol. Todos los planetas, desde Mercurio hasta Plut´ on, se mueven en dirección contraria a la que tienen las agujas del reloj, si miramos el sistema solar desde el polo norte celeste. La Tierra tarda 365.25 d´ıas en realizar una traslaci´ on completa, esto es, tarda 1 a˜ no en describir 360 grados alrededor del Sol. Esto significa que la Tierra con respecto al Sol se desplaza diariamente unos 360/365.25=0.98 grados como promedio. Este movimiento que realiza la Tierra con respecto al Sol es visto por nosotros como un desplazamiento de éste con respecto a las estrellas de fondo, de 0.98 grados por d´ıa (véase la figura 4.12 de la p´ agina 58). Lentamente el Sol se está desplazando por las constelaciones a razón de casi un grado por d´ıa. Visto desde la Tierra, el Sol tardar´ a 365.25 d´ıas en volver a pasar por una determinada estrella, per´ıodo que llamamos a˜ no. Es f´ acil ver que la direcci´ on del movimiento del Sol visto desde la Tierra es también en la direcci´ on contraria a las agujas del reloj (antihoraria). Con esto estamos diciendo que para un observador ubicado en la Tierra, el Sol se desplaza a razón de 0.98 grados por d´ıa en la direcci´ on oeste-este (en el sentido opuesto al movimiento diurno). Ahora bien, imaginemos

6.2. LA LUNA Y EL SOL

95

brevemente que la Tierra est´ a exenta de rotación (eliminamos el movimiento diurno). En tal caso dejamos de observar que el Sol se desplaza a razón de 15 grados por hora en dirección este-oeste, para que ahora observemos al Sol con un movimiento supremamente lento, de casi un grado por d´ıa en la direcci´ on oeste-este. El movimiento aparente del Sol visto desde la Tierra es pues la combinaci´ on de dos movimientos que tienen direcciones contrarias: el movimiento diurno (rotaci´ on de la Tierra) y el desplazamiento del Sol con respecto a la bóveda celeste (traslación de la Tierra). La traslaci´ on de la Tierra alrededor del Sol, que es interpretada aqu´ı en la Tierra como un desplazamiento de 0.98 grados por d´ıa del Sol con respecto a las estrellas de fondo, crea el efecto, como es apenas obvio, de que las estrellas salgan por el oriente, por cada d´ıa transo = 0.0653 horas = 4 minutos más temprano. Este hecho hace que currido, unos 0.98 ×24horas 360o a medida que transcurran los d´ıas se aprecien “nuevas” constelaciones saliendo por el oriente a la misma hora de observaci´ on. Es como si, por cada d´ıa que pasa, la b´ oveda celeste se desplazara con respecto al Sol 0.98 grados de este a oeste. En promedio, la bóveda celeste realiza lentamente dicho movimiento unos 30 grados por mes por lo que apreciamos, a la misma hora, diferentes constelaciones a medida que transcurre un a˜ no. CUARTO CRECIENTE

LUZ PROVENIENTE DEL SOL TIERRA

LUNA NUEVA

LUNA LLENA

CUARTO MENGUANTE

Figura 6.1:

Fases de la Luna

Concentrémonos ahora en la Luna. Nuestro u ´ nico satélite natural posee un movimiento de traslaci´ on alrededor de la Tierra cuyo sentido es también antihorario. Tarda unos 27 d´ıas en completar una vuelta en torno a su planeta materno. Debido a esto, desde la Tierra contemplamos que la Luna se desplaza con respecto a las estrellas de fondo unos 360/27=13 grados por d´ıa en direcci´ on oeste-este (insistimos, en dirección contraria al movimiento diurno). Como en el caso del Sol, el movimiento aparente de la Luna visto desde la Tierra es una combinaci´ on del movimiento diurno (15 grados por hora en direcci´ on este-oeste) y del movimiento de traslación de la Luna (13 grados por d´ıa en direcci´ on oeste-este). La Luna, o = 0.866 horas =52 entonces, sale por el oriente, por cada d´ıa que transcurre, unos 13 ×24horas 360o minutos m´ as tarde. Los antiguos astrónomos conoc´ıan que la trayectoria aparente que traza la Luna en el cielo no se sobrepone a la trayectoria aparente que describe el Sol (la ecl´ıptica).

96


Sin embargo, ambas trayectorias están muy pr´ oximas la una de la otra, intersect´ andose en dos puntos llamados nodos de la Luna. La inclinaci´ on existente entre dichas trayectorias es de unos 5 grados. Al tener en cuenta la configuración geométrica del sistema Sol, Tierra y Luna quedan explicadas las fases de ésta u ´ltima (ver figura 6.1). En efecto, cuando la Luna se interpone entre la Tierra y el Sol, la Luna, que es un cuerpo opaco, no tiene forma de reflejar luz hacia la Tierra, pues ésta cae completamente en el lado de la Luna que no es posible ver desde la Tierra. Decimos entonces que la Luna está en fase de luna nueva. Es en esta fase cuando ocurren los eclipses de Sol. N´ otese que a causa de la inclinaci´ on entre los planos de la Luna y la ecl´ıptica no hay eclipse de Sol cada mes. Como se deduce de la figura 6.2, los eclipses ocurrir´ an cuando la l´ınea de los nodos lunar1 esté en la misma dirección Tierra-Sol.

ORBITA LUNAR LINEA DE LOS NODOS

TIERRA 5o PLANO DE LA ECLIPTICA

SOL

Figura 6.2:

Orientaci´ on de la ´ orbita lunar en el espacio

A medida que la Luna se desplaza alrededor de la Tierra comienza a reflejar luz del Sol hacia la Tierra. Puesto que la Luna se mueve en direcci´ on antihoraria, comenzará a ser observable f´ acilmente después de que se haya ocultado el Sol. Sup´ ongase que deseamos ver la Luna tres d´ıas después de luna nueva. Sabemos que la Luna se desplaza de occidente a oriente unos 13 grados por d´ıa, por lo tanto, al cabo de tres d´ıas, se habrá separado casi 40 grados del Sol en dirección hacia el este. Esto significa que si observamos el cielo a las 6 p.m., y si estamos muy cerca del ecuador terrestre, el Sol estará ocult´ andose en el horizonte occidental y la Luna, visible para nosotros, tendr´ a una altura aproximada sobre el horizonte de unos 40 grados. Teniendo en cuenta el movimiento diurno, podemos calcular que la Luna se ocultar´ a por el occidente entre las 8:30 y 9 p.m. ¿Que ocurrir´ a unos 7 d´ıas después de trancurrida la luna nueva? Para entonces la Luna se habr´ a separado del Sol unos 90 grados. En tal caso, la superficie de la Luna estar´ a 50% iluminada y decimos que existe cuarto creciente. Por lo tanto, en ésta fase a las 6 1 La l´ ınea de los nodos lunar es la l´ınea que surge de la intersecci´ on del plano de la ´ orbita lunar con el plano de la ecl´ıptica. Dicha l´ınea no est´ a fija en el espacio, de hecho realiza una revoluci´ on completa en 18.6 a˜ nos en direcci´ on horaria.

6.2. LA LUNA Y EL SOL

97

p.m. la Luna tendr´ a una altura m´ axima sobre el horizonte, ubicada en o cerca del cenit del observador. Es claro que la Luna se ocultar´ a por el occidente muy cerca de media noche. A medida que transcurren los d´ıas la Luna mostrar´ a más superficie iluminada hasta que se alcanza la configuración particular, unos 14 d´ıas después de la luna nueva, en donde la Tierra se interpone entre la Luna y el Sol. La Luna reflejar´ a hacia la Tierra toda la superficie que podemos ver de ella. Tenemos la luna llena. Es en esta fase que tienen ocurrencia los eclipses de Luna. En esta fase, próximo a las 6 p.m., un observador ver´ a el Sol ocultarse por el occidente en tanto que la Luna estar´ a saliendo por el oriente. Existe una separaci´ on entre ambos astros de 180 grados. Es por ello que en fase llena la Luna se observar´ a durante toda la noche, ocult´ andose por el occidente cerca de las siete de la ma˜ nana del d´ıa siguiente. D´ıas después de la fase llena, la Luna vuelve a mostrarnos s´ olo cierto sector de su superficie iluminada. ¿Qué ocurre unos tres d´ıas después de luna llena? La Luna se habr´ a desplazado otros 40 grados hacia el este por lo que a las 6 p.m. no es posible observarla. En tal caso habr´ıa que esperar hasta cerca las 9 p.m. a que salga por el horizonte oriental; culminar´ıa hacia las 3 a.m. del d´ıa siguiente y se ocultar´ıa en el horizonte occidental hacia las 10 a.m. Cuando de nuevo ocurre una conformaci´ on de 90 grados entre el ángulo Luna-Tierra-Sol, obtenemos 50% de iluminación de la cara visible de la Luna. En tal caso tenemos cuarto menguante y ocurre a unos 21 d´ıas después de la luna nueva. En cuarto creciente la Luna sale por el oriente a media noche y culmina a las 6 a.m. del d´ıa siguiente ocult´ andose a medio d´ıa. Al cabo de 29 d´ıas y medio la Luna vuelve a encontrarse entre la Tierra y el Sol, haciéndose invisible de nuevo para nosotros. El per´ıodo entre dos lunas nuevas (o lunas llenas) consecutivas es llamado un mes sin´ odico. El concepto de mes que manejamos en nuestra vida diaria se deriva directamente del mes sinódico. Sin embargo, existe otra definici´ on de mes2 . El mes sidéreo es el tiempo que le toma a la Luna pasar de forma consecutiva por el mismo lugar de la b´ oveda celeste (o sea, con respecto a las estrellas fijas). El mes sidéreo tiene una duraci´ on de 27.3 d´ıas. La pregunta obvia es: ¿Por qué la diferencia entre los per´ıodos sin´ odico y sideral? El asunto se resuelve cuando tenemos en cuenta el movimiento del Sol, pues éste se desplaza 0.98 grados por d´ıa de oeste a este con respecto a las estrellas fijas. En un mes sidéreo el Sol se habr´ a corrido 0.98 × 27.3 = 26.7 grados m´ as hacia el este, por lo que a la Luna (que también se mueve en la misma dirección), para alcanzar al Sol, le tomar´ a en primera aproximaci´ on 26.7/13=2 d´ıas m´ as para que se cumpla de nuevo la configuraci´ on Luna-Tierra-Sol (ver figura 6.3). A manera de referencia colocamos a continuación los valores exactos de la duración del mes sideral y el mes sinódico:

Mes sidéreo Mes sin´ odico

27.321662 d´ıas = 27 d 7h 43m 11.6s 29.530589 d´ıas = 29 d 12h 44m 2.9s

2 Realmente existen en total cinco definiciones de mes. Adicional al sideral y al sin´ odico est´ a el mes tropical (duraci´ on entre dos pasos consecutivos de la Luna por el punto vernal); el mes anomal´ıstico (duraci´ on entre dos pasos consecutivos de la Luna por el perigeo de su ´ orbita) y el mes dracon´ıtico (duraci´ on entre dos pasos consecutivos de la Luna por el nodo de su ´ orbita).

98


TIERRA

ORBITA LUNAR

TRAYECTORIA APARENTE DEL SOL

Figura 6.3:

6.3

Origen del mes sin´ odico

Los planetas

Los antiguos conocian “estrellas” brillantes que a diferencia de todas las dem´ as se desplazaban a través del cielo. A simple vista es posible identificar cinco: Mercurio, Venus, Marte, J´ upiter y Saturno. Si se tiene la paciencia de rastrear su movimiento con respecto a las estrellas “fijas” por per´ıodos extendidos de tiempo se encuentra algo al parecer desconcertante: todos sin excepción se desplazan en dirección oeste-este, movimiento que se conoce con el nombre de movimiento directo; pero en ocasiones, alguno de ellos se detiene (se convierte en un punto estacionario), y comienza a moverse en dirección este-oeste (movimiento retr´ ogrado), lo que hace en unos cuantos d´ıas, para detenerse de nuevo (otro punto estacionario) y recuperar su movimiento en la direcci´ on original. Con ello logra realizar un peque˜ no bucle o rizo. Dichas retrogradaciones se explican al tener en cuenta el movimiento de la Tierra alrededor del Sol. Los planetas poseen velocidades de traslación que son distintas entre ellos, pues dicha velocidad depende de su distancia promedio al Sol. Esta velocidad diferencial de los planetas origina que unos tomen m´ as tiempo que otros en dar una revoluci´ on en torno del Sol. Por ejemplo, por cada revolución de la Tierra el planeta Mercurio completa m´ as de cuatro; por cada revolución de J´ upiter la Tierra completa m´ as de once, etc. Por lo tanto, es apenas obvio que los planetas se estén atrasando o adelantando unos con respecto a los otros. Cuando se está observando el movimiento de los planetas desde uno de ellos se observar´ a con el tiempo que a causa de la diferencia de velocidad los planetas observados formar´ an peque˜ nos bucles sobre la bo´ veda celeste. En la figura 6.4 se aprecia una retrogradaci´ on de un planeta exterior visto desde la Tierra. N´ otese que la retrogradaci´ on se presenta para

6.3. LOS PLANETAS

99

ESTE

OESTE 5 4 8

9

8

7

6 3

1

2

7

6

5

9

4

3 2 1

ORBITA TERRESTRE

Figura 6.4:

Retrogradaci´ on de los planetas vistos desde la Tierra

aquellas épocas en que la Tierra est´ a más pr´ oxima al planeta, esto es, cerca de la oposición (ver ma´s adelante). Las estrellas errantes de la antig¨ uedad recibieron el nombre de planetas. Historias mitol´ ogicas llegadas hasta nuestros d´ıas nos permiten saber que les fueron asignadas identidades de deidades, y con ello, carácter y temperamento como si se tratara de entes vivos. Explicar lo enrevesado de su movimiento fue una tarea que demostr´ o no ser trivial. Fil´ osofos y geómetras griegos estaban de acuerdo en que los cuerpos celestes y sus movimientos a través del cielo tendr´ıan que explicarse en términos de circunferencias. Se cre´ıa que todo lo que estaba en la b´ oveda celeste era inmutable y perfecto por lo que all´ı ten´ıa que manifestarse la figura perfecta, la cual, cre´ıan ellos, era la circular. Por lo tanto, los astr´ onomos ten´ıan que explicar el complicado movimiento de los planetas en términos de movimiento y figuras circulares. Ello hizo que con el tiempo los matemáticos utilizaran la combinaci´ on de dos o más circulos por los que se desplazaba supuestamente el planeta. Desde la antig¨ uedad se hab´ıan identificado caracter´ısticas orbitales muy propias de los planetas. Todos sin excepción se desplazan muy cerca de la ecl´ıptica (la trayectoria aparente que describe el Sol en el cielo durante el a˜ no). El Sol pasa en un a˜ no por las cl´ asicas doce constelaciones del zod´ıaco, a saber: Aries, Tauro, Geminis, Cáncer, Leo, Virgo, Libra, Escorpi´ on, Sagitario, Capricornio, Acuario y Piscis (en realidad pasa por trece constelaciones, pues la ecl´ıptica alcanza a atravezar la constelaci´ on de Ofiuco). La razón de que todos se encuentran muy cerca de la ecl´ıptica descansa en el hecho de que las órbitas est´ an muy poco inclinadas las unas con respecto a las otras (salvo en el caso de Mercurio y Plutón). La consecuencia obvia es que los planetas estar´ an casi siempre ubicados en alguna de las trece

100


constelaciones referidas3 (ver figura 6.5). Π

SECTOR DE LAS CONSTELACIONES ZODIACALES

ECLIPTICA

SOL PLANOS ORBITALES DE LOS PLANETAS

Π’

Figura 6.5:

Los planetas de desplazan a través de las constelaciones zodiacales

Los planetas Mercurio y Venus exhiben además una curiosa predilecci´ on por permanecer cerca del Sol, pues son relativamente fáciles de observar o bien antes del amanecer o inmediatamente después de sucedido el ocaso del Sol. Nunca es posible observar a Mercurio o a Venus digamos a media noche (para observadores ubicados cerca del ecuador terrestre). En cambio, los restantes planetas (desde Marte en adelante) pueden ser vistos cerca del Sol, ó ubicados a 180 grados de separación (opuestos) del mismo. Ahora bien, ¿qué tan r´ apido se desplazan los planetas por la b´ oveda celeste? Desde la antig¨ uedad se descubri´ o que existen planetas que se mueven unos m´ as r´ apido que otros. En el caso del planeta Mercurio, el que m´ as r´ apido viaja por el cielo, se observa un desplazamiento que puede alcanzar hasta unos 2.5 grados por d´ıa en direcci´ on oeste-este. (Nota: en términos comparativos, el tama˜ no aparente del Sol y de la Luna en fase llena es de 0.5 grados). En ocasiones se aprecia que el planeta disminuye su velocidad aparente en el cielo y al final se detiene, luego, por espacio de unos veinte a veinticinco d´ıas, se mueve en dirección contraria (este-oeste). De nuevo se estaciona y continua con la dirección usual de oeste-este. Venus se desplaza por el cielo a una velocidad inferior a la de Mercurio, de 1 grado por d´ıa como máximo. Los demás planetas observados por los antiguos se desplazan más lentamente. Saturno por ejemplo, se desplaza a razón de unos 30 segundos de arco por d´ıa. Los planetas también presentan configuraciones parecidas a las que exhibe la Luna en un mes. En cuanto a la configuración que muestra un planeta visto desde la Tierra se ha 3 A causa de la relativa cercan´ ıa de la ecl´ıptica con otras constelaciones no zodiacales (de acuerdo con los l´ımites de las constelaciones fijados por la UAI) los planetas pueden atravesar, aunque sea sutilmente, incluso otras 29 constelaciones (ver Culver & Ianna, 1994).

6.3. LOS PLANETAS

101

de clasificar a los planetas en dos grupos: aquellos llamados interiores en razón a que se encuentran más cerca del Sol que la Tierra (Mercurio y Venus) y los planetas exteriores, que son todos aquellos que se encuentran m´ as lejos del Sol que la Tierra (Marte hasta Plut´ on).

CONJUNCION SUPERIOR

SOL

MAXIMA ELONGACION

MAXIMA ELONGACION

CONJUNCION INFERIOR

TIERRA

Figura 6.6:

Configuraci´ on de un planeta interior con respecto a la Tierra

Un planeta interior (ver figura 6.6) girando en torno del Sol presenta, en relaci´ on con nuestro planeta, dos puntos, llamados conjunciones, en los cuales es imposible observarlo desde la Tierra. Cuando el planeta se ubica exactamente entre el Sol y la Tierra se dice que esta en conjunci´ on inferior. Es en este instante cuando, en ocasiones, ocurre “eclipse” de Sol producido por el planeta. No es usual llamar a esto un “eclipse”, pues en realidad el tama˜ no aparente de los planetas vistos desde la Tierra es tan peque˜ no que en la pr´ actica se observa un punto atravesando el dico solar, lo que se conoce con el nombre de paso del planeta a través del disco solar. La razón por la cual no se presenta en cada conjunción inferior un paso por el disco del Sol es debido a que la ecl´ıptica est´ a ligeramente inclinada con respecto al plano de la o´rbita de los planetas interiores. En conjunci´ on superior el planeta est´ a en el punto de su o´rbita m´ as alejado de la Tierra. De la figura también es claro que los mejores momentos para observar el planeta son cuando están ubicados en máxima elongación (que puede ser este u oeste). Para el lector no debe ser dif´ıcil deducir que un planeta interior nunca mostrar´ a el 100% de iluminaci´ on de su superficie hacia la Tierra (nunca podremos ver “lleno” a un planeta interior). N´ otese también que aparentemente desde la Tierra un planeta interior est´ a siempre relativamente cerca del Sol.

102


Un planeta exterior es otro asunto (ver figura 6.7). Presenta una sola conjunci´ on: el planeta se ubica por detr´ as del Sol y por lo tanto es imposible observarlo desde la Tierra. Pero presenta la denominada oposici´ on, en donde la Tierra se ubica entre el Sol y el planeta, de manera an´ aloga a la fase llena de la Luna. La oposici´ on constituye el mejor momento de observar un planeta pues aparte de que est´ a en el punto en que la distancia entre la Tierra y el planeta es m´ınima, el planeta es observado durante toda la noche (sale por el oriente en, o muy cerca de, las 6 p.m. y se oculta por el occidente en, o muy cerca de, las 6 a.m. del d´ıa siguiente). CONJUNCION

SOL

CUADRATURA ESTE

TIERRA

CUADRATURA OESTE

OPOSICION

Figura 6.7:

Configuraci´ on de un planeta exterior con respecto a la Tierra

NOTA: En realidad la oposici´ on y la distancia m´ as cercana a la Tierra no ocurren simult´ aneamente debido a que las o´rbitas de los planetas son el´ıpticas, pero uno y otro fen´ omeno se presentan con una diferencia de unos pocos d´ıas. Ejemplo 1 Determinar la m´ axima distancia ańgular aparente, vista desde la Tierra, que existe entre el Sol y Mercurio, y el Sol y Venus. Soluci´ on La m´ axima distancia angular entre el Sol y alguno de los planetas interiores se presenta en las elongaciones (este u oeste), esto es, cuando el ángulo centrado en el planeta, entre las direcciones del Sol y la Tierra, es recto.

6.3. LOS PLANETAS

103

De la figura 6.8 se deriva que el ańgulo Γ aparente existente entre el planeta interior y el Sol, visto desde la Tierra, es: a , (6.1) d donde a es la distancia Sol-planeta y d es la distancia Sol-Tierra. Suponiendo en primera aproximaci´ on que los planetas se mueven en o´rbitas circulares (con lo que a y d son constantes) y adoptando, en unidades astron´ omicas, a = 0.387 para Mercurio, a = 0.723 para Venus y d = 1.0 entonces: sen Γ =

ΓM ercurio = 23o ,

ΓV enus = 46o . ORBITA DEL PLANETA INTERIOR

SOL a PLANETA EN MAXIMA ELONGACION

d

Γ

TIERRA

Figura 6.8:

Configuraci´ on planetaria en la m´ axima elongaci´ on

En la pr´ actica el ángulo Γ puede ser mayor o menor de estos valores, pues en realidad las o´rbitas de los tres planetas son excéntricas, particularmente la de Mercurio, por lo que en éste el ángulo de elongaci´ on va desde un valor m´ınimo de unos 17.9o hasta un valor máximo o de 27.5 . Ejemplo 2 Determinar la m´ axima distancia ańgular aparente existente entre la Tierra y el Sol que un astronauta observar´ıa si estuviera ubicado en el planeta Marte. Soluci´ on La f´ ormula (6.1) nos es de utilidad, pero en este caso la distancia a es la distancia Tierra-Sol y la distancia d es la distancia Sol-Marte. Puesto que d = 1.523 se deduce que: Γ = 41o .

104

6.3.1


Per´ıodo sin´ odico

El per´ıodo sin´ odico P de un planeta es el intervalo de tiempo existente entre dos conjunciones (u oposiciones en el caso de planetas exteriores) consecutivas. El per´ıodo sideral de un planeta es el intervalo de tiempo que gasta dicho planeta en dar una revoluci´ on completa en torno al Sol, con referencia a las estrellas. El per´ıodo sideral es de importancia fundamental en mecánica celeste, pues es el tiempo real de revolución de un cuerpo en torno de otro con respecto a cuerpos que en muy buena aproximaci´ on pueden considerse fijos (las estrellas). Pero como las observaciones del cielo se hacen desde la Tierra, y ésta, por ser un planeta, se mueve también en torno al Sol, resulta que en la pr´ actica es relativamente complicado medir de forma directa el per´ıodo sideral de un planeta (salvo la misma Tierra). Pero se puede calcular fácilmente en funci´ on del per´ıodo sin´ odico. En efecto, es una tarea de lo más sencilla hacer observaciones continuas de los planetas por un buen tiempo y con tales observaciones calcular el tiempo entre, digamos, dos oposiciones consecutivas o dos elongaciones oeste; en otras palabras: calcular a partir de las observaciones el per´ıodo sin´ odico. Con éste, es inmediato el cálculo del per´ıodo sideral. Consideremos la figura 6.9, donde se muestra el caso de un planeta exterior. Supondremos que las o´rbitas de ambos cuerpos son circulares, con el Sol en el centro de las mismas y que la velocidad de ambos cuerpos es uniforme en on. toda la trayectoria. En el momento t = t0 el planeta exterior se encuentra en oposici´ Al estar la Tierra más cercana al Sol, ésta se mueve más r´ apido (tercera ley de Kepler, ver sección 11.2.3) en tanto que el planeta exterior se mueve en su órbita m´ as despacio. Al cabo de un tiempo la Tierra habr´ a completado una revoluci´ on sideral (habr´ a completado 360 grados) en tanto que el planeta exterior se ubicará en el punto C. Poco tiempo después, al haber la Tierra recorrido un ańgulo θ, suceder´ a de nuevo la oposición.

C

θ SOL

OPOSICION EN t=t 0

ORBITA DE LA TIERRA

Figura 6.9:

Dos oposiciones sucesivas de un planeta

Una simple regla de tres nos permite inferir lo siguiente para el planeta exterior con per´ıodo sideral Tp : θTp . (6.2) P = 360

6.3. LOS PLANETAS

105

Igualmente, para el per´ıodo sideral de la Tierra tenemos que la relaci´ on con el per´ıodo sin´ odico es: P =

θTt (360 + θ)Tt = Tt + . 360 360

(6.3)

Reemplazando el valor de θ dado en (6.2) en la ecuación (6.3) tenemos:

P Tt , Tp

(6.4)

1 1 1 = . + Tt P Tp

(6.5)

P = Tt +

que al dividir por P Tt llegamos a

Esta ecuaci´ on es válida siempre y cuando el per´ıodo sideral Tp corresponda a un planeta exterior. Si queremos calcular el per´ıodo sin´ odico para un planeta interior hay que hacer la siguiente consideraci´ on: la figura 6.9 muestra a la Tierra como planeta interior. Sencillamente hagamos un cambio de órbitas en el sentido de que la o´rbita del planeta exterior sea ahora la de la Tierra y la que hab´ıa tomado la Tierra que sea ahora la de un planeta interior. En tal caso la ecuaci´ on pasa a ser:

P =

θTt , 360

P = Tp +

θTp , 360

(6.6)

de las cuales es f´ acil obtener: 1 1 1 + . = Tp P Tt

(6.7)

Ejemplo 1

Determinar el per´ıodo sideral del planeta J´ upiter si el per´ıodo sin´ odico de éste visto desde la Tierra es de 398.9 d´ıas terrestres.

106

CAPÍTULO 6. MOVIMIENTO APARENTE DE LOS CUERPOS CELESTES Soluci´ on

En este caso Tt = 365.25 d´ıas y P = 398.9 d´ıas. Utilizamos la ecuación (6.5) para despejar Tp , pues J´ upiter es un planeta exterior a la Tierra: 1 1 1 − = 2.3095 × 10−4 , = Tp 365.25 398.9 de la que se deduce que Tt = 4329 d´ıas, esto es, 11.85 a˜ nos terrestres. LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS • Bakulin, P., Kononovich, E., Moroz, V. (1983) Curso de astronom´ıa general, Mir, Mosc´ u. Excelente texto de astronom´ıa b´ asica. El cap´ıtulo 2 explica con sencillez algunos conceptos sobre el movimiento aparente de los astros. • Culver, B., Ianna, P. (1994) El secreto de las estrellas, astrolog´ıa: ¿mito o realidad?, Tikal ediciones, Gerona. Libro escrito por dos astr´ onomos que expone las contradicciones conceptuales de la astrolog´ıa. • Meeus, J. (1988) Astronomical Tables of the Sun, Moon and Planets, Willman-Bell, Inc., Richmond. Contiene multitud de datos u ´tiles para la observaci´ on de los planetas, la Luna y el Sol. Muy completo en lo que respecta a fechas de oposiciones, conjunciones, m´ aximas elongaciones, etc. • Roy, A.E., Clarke, D. (1988) Astronomy: Principles and Practice, Adam Hilger, Bristol. El cap´ıtulo 11 contiene una exposici´ on clara y detallada sobre fen´ omenos planetarios geoc´ entricos.

Cap´ıtulo 7

EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA El tiempo es un concepto de importancia fundamental en la vida moderna. El ritmo acelerado predominante en la sociedad actual est´ a en gran medida asociado a la necesidad que tenemos de medir la sucesi´ on de los eventos que acaecen en nuestra vida diaria con la mayor exactitud que sea posible. Vivir en sociedad, en las actuales circunstancias, ha hecho indispensable tener conciencia en especificar con detalle los sucesos que ya ocurrieron (lo que ya pasó) y lo que suceder´ a. Para la medida del tiempo es indispensable contar con la existencia de un fen´ omeno peri´ odico, esto es, algo que se presente o suceda a intervalos grandes o peque˜ nos de tiempo de forma repetitiva (esto es, con la mayor monoton´ıa posible) y completamente ininterrumpido. La observación h´ abil y paciente por parte de las culturas antiguas puso en evidencia la existencia de algunos fen´ omenos astronómicos que cumpl´ıan aproximadamente con estos requerimientos.

7.1

El d´ıa

La sucesión de los d´ıas es el fenómeno astronómico peri´ odico m´ as obvio: el ciclo incesante de los d´ıas y las noches influye decididamente sobre nuestro ritmo de vida de tal forma que el d´ıa, entendido de forma primitiva como el tiempo que tarda el Sol en salir por el oriente de forma consecutiva, es una medida del tiempo muy f´ acil de verificar. Desde el punto de vista astron´ omico, llamamos d´ıa al tiempo que tarda un cuerpo celeste en girar sobre s´ı mismo. Ahora bien, cuando se considera el concepto de rotaci´ on de un cuerpo lo primero que hay que especificar es con respecto a qué punto (o puntos) de referencia está rotando el objeto. Y aqu´ı se pone complicado el asunto, pues aparecen varias definiciones de d´ıa dependiendo de la elecci´ on de los puntos de referencia. En lo que sigue consideraremos que el cuerpo en rotación es el planeta Tierra. 107

CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA

108

7.1.1

El d´ıa sideral

Hablamos de d´ıa sideral cuando nos referimos al intervalo de tiempo que le toma a la Tierra dar una revoluci´ on completa sobre s´ı misma con respecto a las estrellas fijas. En la pr´ actica lo que se hace es escoger como referencia un punto en el cielo de caracter´ısticas especiales que se comporte como una estrella: el punto vernal (g). Para un observador ubicado en la superficie de la Tierra la siguiente definici´ on de d´ıa sideral es m´ as discernible: intervalo de tiempo existente entre dos culminaciones superiores (o inferiores) consecutivas del punto vernal. El d´ıa sideral se divide en veinticuatro segmentos a los que llamaremos horas siderales; cada hora sideral se divide en 60 partes llamadas minutos siderales y a su vez cada uno de estos se divide en 60 partes llamados segundos siderales. Un segundo sideral es entonces 1/(60 × 60 × 24) = 1/86 400 parte de un d´ıa sideral.

7.1.2

El d´ıa solar verdadero

Llamaremos d´ıa solar verdadero al intervalo de tiempo que le toma a la Tierra dar una revoluci´ on completa sobre s´ı misma con respecto al centro del Sol, o lo que es completamente equivalente: intervalo de tiempo existente entre dos culminaciones superiores (o inferiores) consecutivas del Sol. En lo que sigue, y aunque se corra el riesgo de ser redundantes, llamaremos al centro del Sol el “Sol verdadero”. El d´ıa solar verdadero y el d´ıa sideral no son iguales, pues, como se recordará, el Sol verdadero se desplaza a través de las estrellas a razón de casi un grado por d´ıa. Puesto que, independientemente del movimiento diurno, el Sol verdadero se va moviendo aparentemente en dirección hacia el este, al transcurrir un d´ıa sideral completo, el Sol no habr´ a completado su “revolución” alrededor de la Tierra, con lo que el d´ıa solar verdadero es un poco m´ as largo que el sidéreo (ver figura 7.1).

SOL SOL

W

E

(a)

Figura 7.1:

(a) Sol y equinoccio vernal coinciden.

W

E

(b)

(b) Situaci´ on del Sol y el punto vernal un d´ıa sideral

despu´ es

Pero el d´ıa solar verdadero adolece de un problema serio que lo hace poco u ´til a la hora de utilizarlo como medida de tiempo confiable. Lo que vemos como el movimiento del Sol a través del cielo no es otra cosa que el movimiento reflejo de la Tierra alrededor del Sol. Sin embargo, la o´rbita de la Tierra (y

7.1. EL DÍA

109

la de los otros planetas del sistema solar) no es circular sino el´ıptica. Además, los cuerpos celestes se mueven barriendo áreas iguales en tiempos iguales, lo que en términos cualitativos significa que el planeta se mueve m´ as r´ apido cuando est´ a cerca del Sol que cuando está lejos de él. Aunque la o´rbita de la Tierra posee una excentricidad muy peque˜ na, es lo suficientemente notable como para apreciarse que la Tierra, al estar más cerca del Sol (en los primeros d´ıas de enero) éste, visto desde la Tierra, se desplaza a través del cielo un poco más r´ apido de lo normal; as´ı mismo, cuando la distancia entre ellos es m´ axima (seis meses después), el Sol se desplaza un poco más despacio de lo corriente. Esto significa que, al medir el tiempo que le toma al Sol pasar de forma consecutiva por el meridiano a través del a˜ no, este tiempo no es constante; var´ıa conforme transcurren los meses. Este hecho se ve agravado a´ un m´ as por la inclinaci´ on del eje de la Tierra con respecto a la normal al plano de la ecl´ıptica, esto es, que la ecl´ıptica no coincida con el ecuador celeste. Vemos entonces que el d´ıa solar verdadero no es una unidad de medida de tiempo confiable, pues su duraci´ on var´ıa de d´ıa en d´ıa. Sin embargo, puesto que el Sol regula nuestras actividades diarias y el hecho de que las diferencias en duraci´ on son relativamente peque˜ nas, es necesario “obligar” al Sol a que sea un punto de referencia u ´til, esto es, que la duraci´ on de un d´ıa basado en el Sol sea constante para todos los d´ıas del a˜ no.

7.1.3

El d´ıa solar medio

Llamamos d´ıa solar medio al intervalo de tiempo que le toma a la Tierra dar una revoluci´ on completa sobre s´ı misma con respecto al centro del Sol medio, o lo que es lo mismo, el intervalo de tiempo existente entre dos culminaciones superiores (o inferiores) consecutivas del Sol medio. El Sol medio es un Sol ideal, llamado también fantasma o ficticio, el cual los astr´ onomos introdujeron con el fin de subsanar los problemas de variabilidad en la duraci´ on del d´ıa solar verdadero. Imaginemos el siguiente escenario: 1. La Tierra describe una órbita perfectamente circular en torno al Sol; 2. El eje de la Tierra es perpendicular al plano de la ecl´ıptica (ecuador celeste y ecl´ıptica coinciden). El Sol resultante de estas dos condiciones hipotéticas que ver´ıamos desde la Tierra en el transcurso de los d´ıas es el Sol medio. Es u ´til imaginarse al Sol medio como un Sol invisible que est´ a cerca del Sol verdadero, en ocasiones adelantándose a él, en otras, atrasándose, y en algunas pocas ocasiones coincidiendo con él. El d´ıa solar medio contempla el hecho de que el punto de referencia (el Sol medio) se desplace a razón de 0.98 grados por d´ıa en direcci´ on hacia el este. Esto implica que el d´ıa solar medio y el d´ıa sideral no poseen igual duración. El d´ıa solar medio se divide en veinticuatro segmentos que llamaremos horas solares medias; cada hora solar media se divide en 60 partes llamadas minutos solares medios y a su vez cada uno de éstos se divide en 60 partes llamados segundos solares medios. Un segundo solar medio es entonces 1/(60 × 60 × 24) = 1/86 400 parte de un d´ıa solar medio.


110

7.2

Conversi´ on entre tiempo sideral y tiempo solar medio

En astronom´ıa es igualmente necesario medir eventos en d´ıas siderales y en d´ıas solares medios, por lo que surgen los conceptos de tiempo sideral y tiempo solar medio respectivamente. De ah´ı que sea indispensable encontrar una conversi´ on que permita f´ acilmente pasar de una unidad de tiempo a otra. La diferencia entre las dos escalas de tiempo estriba en el hecho de que el Sol medio se va desplazando con respecto a las estrellas de fondo a razón de 360/365.2564 = 0.98561 grados/d´ıa, lo cual, en unidades de tiempo (24 horas corresponden a 360 grados) da un valor de 3m 56.55s . Es claro entonces que al completarse 24 horas de tiempo sideral, esto es, al cabo de un d´ıa sideral, todav´ıa no se han completado 24 horas de d´ıa solar medio, pues este, como dijimos atr´ as, resulta ser un poco más largo en duraci´ on. En el momento en que se completen las 24 horas de tiempo solar medio, ya se habrán acumulado casi 4 minutos más de tiempo sideral. De ah´ı que tengamos (con la precisi´ on que tenemos hoy en d´ıa): 24h de tiempo solar medio (1 d´ıa solar medio) = 24h 3m 56.5553678s de tiempo sideral. De forma equivalente, al completar 24 horas de d´ıa sideral, faltan algunos minutos para que se completen las 24 horas de d´ıa solar medio: 24h de tiempo sideral (1 d´ıa sideral) = 23h 56m 4.090524s de tiempo solar medio. Por lo tanto, si tenemos una lectura en tiempo solar medio y deseamos convertirla en tiempo sideral lo que debemos es multiplicar por el factor de conversi´ on siguiente: 24h 24h 3m 56.5553678s = h m = 1.00273790935079. (7.1) h 24 23 56 4.090524s De igual forma, al pasar de tiempo sideral a tiempo solar medio necesitamos multiplicar por: 24h 24h 3m 56.5553678s

=

23h 56m 4.090524s = 0.997269566329. 24h

Ejemplo 1 Un reloj marca 3h 56m 34.6s de tiempo solar medio. Calcular el tiempo sideral. Soluci´ on De acuerdo con la cuaci´ on (7.1) tenemos:

(7.2)

7.3. EL TIEMPO SIDERAL LOCAL

111

3h 56m 34.6s × 1.002737909 = 3h 57m 13.4s .

Ejemplo 2 Un reloj marca 14h 5m 17.8s de tiempo sideral. Calcular el tiempo solar medio. Soluci´ on De acuerdo con la f´ ormula (7.2) tenemos: 14h 5m 17.8s × 0.997206957 = 14h 2m 56.1s .

Las siguientes definiciones de tiempo son locales, esto es, están definidas para un determinado observador ubicado sobre la superficie de la Tierra:

7.3

El tiempo sideral local

El tiempo sideral local (T SL) para un observador dado es el ańgulo horario del punto vernal que aprecia dicho observador: (7.3) T SL = Hg . Por lo tanto, el tiempo sideral local es cero para un observador cuando éste nota que el punto vernal est´ a culminando superiormente. N´ otese entonces que el tiempo sideral local comienza a contarse una vez que el punto vernal pasa por el meridiano del observador, esto es, el d´ıa sideral tiene su origen en el instante de la culminaci´ on superior del punto vernal.

7.4

El tiempo solar verdadero

El tiempo solar verdadero (T SOLV ) para un observador dado es el ańgulo horario del Sol verdadero que aprecia dicho observador, m´ as doce horas : T SOLV = H¯ + 12h ,

(7.4)

donde H¯ representa el ángulo horario del Sol1 verdadero. Como sabemos, esta escala de tiempo no es uniforme y, por lo tanto, de escasa utilidad al momento de medir la duraci´ on de los eventos. 1 El s´ ımbolo ¯ se utiliza extensivamente en astronom´ıa para representar al Sol. Era un gerogl´ıfico utilizado por los antiguos egipcios para representar el astro Sol (ra) como también para designar el concepto de d´ıa.


112

7.5

El tiempo solar medio

El tiempo solar medio (T SOLM ) para un observador dado es el ańgulo horario del Sol medio que aprecia dicho observador, m´ as doce horas : T SOLM = H¯ + 12h ,

(7.5)

donde H¯ denota el ańgulo horario del Sol medio. Esto significa que el d´ıa solar medio comienza a contarse a partir de la culminaci´ on inferior del Sol medio, esto es, cerca de lo que llamamos en nuestra vida diaria la media noche. Vemos inmediatamente la conexi´ on existente entre el concepto de tiempo solar medio y el tiempo que estamos acostumbrados a utilizar. En efecto, cuando el Sol est´ a en, o muy cerca de su culminaci´ on (Hsol v 0), sabemos que son cerca de las 12 meridiano; si el Sol está pr´ oximo a ocultarse cerca del occidente (Hsol v 6h ) son cerca de las 6 p.m. o las 18 horas, y as´ı sucesivamente.

7.6

El tiempo universal

Ll´ amese tiempo universal (T U ) al tiempo solar medio para un observador situado exactamente en el meridiano de Greenwich. Conociendo el tiempo universal, un observador ubicado en cualquier otra longitud puede calcular su tiempo solar medio sin que recurra a la observaci´ on del ángulo horario del Sol medio. Basta tener presente que a causa de la rotación de la Tierra en direcci´ on de oeste a este, por cada 15 grados que un observador esté desplazado hacia el oeste del meridiano de Greenwich, el Sol medio, para dicho observador, est´ a ubicado unos 15 grados al este de su meridiano, por lo que para él, el tiempo solar medio está una hora retrasado con respecto al meridiano de Greenwich. De igual forma, por cada 15 grados que un observador est´ a desplazado al este del meridiano de Greenwich, el Sol medio está ubicado al oeste de su meridiano de tal forma que para él, el tiempo solar medio está una hora adelantado con respecto al meridiano de Greenwich. Entonces, el tiempo solar medio de un observador situado a una longitud λ del meridiano de Greenwich, en funci´ on del tiempo universal, está dado por: T SOLMλ = T U ± (λo /15),

(7.6)

donde λo representa la longitud en grados. El signo se toma positivo si la longitud del observador es hacia el este, negativo hacia el oeste.

7.7

Husos horarios

La ecuación (7.6) tiene una gran desventaja, pues significa que, rigurosamente, dos observadores separados por unos cuantos segundos de arco en longitud han de poseer una diferencia de tiempo solar medio también de unos cuantos segundos en tiempo. Desde el punto de vista operativo en cuanto a la administraci´ on de un pa´ıs o una regi´ on no conviene que ciudades pr´ oximas unas con respecto a las otras posean relojes que indiquen tiempos

7.7. HUSOS HORARIOS

113

distintos. Por ello se decidi´ o dividir al planeta en 24 segmentos o franjas que van de polo a polo (llamados husos horarios o zonas de tiempo), cada uno con un ancho de 15 grados, de tal forma que existiera entre cada huso y su vecino inmediato una diferencia de una hora. Con ello se pretende que los observadores ubicados dentro de un huso horario posean todos el mismo tiempo solar medio con respecto al tiempo universal. La zona de tiempo que contiene al meridiano cero o de referencia es llamada zona de tiempo cero. La zona de tiempo 12 (aquella que es dividida por el meridiano 180) es llamada l´ınea internacional de cambio de fecha. Esta l´ınea separa las fechas consecutivas entre dos d´ıas. Los primeros hombres en experimentar un cambio de fecha fueron aquellos marineros que acompa˜ naron a Fernando Magallanes y Sebasti´ an Elcano en el primer viaje que circunnaveg´ o el mundo entre 1519 y 1522 habiendo sido los primeros europeos en cruzar por vez primera el Océano Pac´ıfico de América hacia Asia. Los pocos marineros que sobrevieron a tan penosa traves´ıa fueron, al regresar a Europa, fuertemente sorprendidos al enterarse de que su calendario de a bordo andaba retardado un d´ıa con respecto al calendario en Tierra. La l´ınea internacional de la fecha se desv´ıa frecuentemente del meridiando 180 a causa de las decisiones locales adoptadas por los territorios afectados. La l´ınea se deflecta hacia el este a través del estrecho de Bering y hacia el oeste de las islas Aleutianas para prevenir la separaci´ on de estas áreas por una fecha. Por la misma razón la l´ınea se deflecta otra vez hacia el este de Tonga y algunas islas de Nueva Zelandia en el Pac´ıfico Sur. Recientemente la l´ınea se ha desviado notoriamente hacia el este para incluir todo Kiribati. Estos cambios son variables y arbitrarios: no existe autoridad internacional que defina un curso de la l´ınea de cambio de fecha. Se llama “tiempo local” (T L) o “tiempo legal” —en algunos paises se llama tiempo estándar— de un pa´ıs o de una regi´ on determinada al tiempo solar medio correspondiente a su huso horario (HH) de acuerdo con (la versi´ on pr´ actica de la ecuación (7.6)): T L = T U + HH,

(7.7)

donde HH viene en unidades de horas y es un n´ umero (casi siempre entero) positivo o negativo. En el caso de la Rep´ ublica de Colombia se ha escogido un huso horario HH = −5, puesto que el meridiano 75 oeste (m´ ultiplo exacto de 15) atraviesa aproximadamente el centro-occidente del pa´ıs2 . Dicha zona de tiempo, que va de longitud 67o 300 oeste hasta 82o 300 oeste cubre toda la plataforma continental del territorio nacional, inclusive los territorios insulares de San Andrés, Providencia y Santa Catalina en el Océano Atl´ antico y Malpelo en el Océano Pac´ıfico. El tiempo local para Colombia se conoce con el nombre de Tiempo Oficial de la Rep´ ublica de Colombia, el cual está dado por: (T L)Colombia = T U − 5h

(7.8)

2 Poblaciones casi situadas sobre el meridiano 75 est´ an, entre otras: Pil´ on (Atl´ antico), Jes´ us del Monte (Bol´ıvar), San Andrés de Palomo (Sucre), San Carlos, San Luis y Aquitania (Antioquia), Saman´ a (Caldas), Chicoral y Chenche (Tolima), y Lusitania (Caquet´ a).


114

Figura 7.2:

Mapa de Colombia

Pa´ıses que se ubican aproximadamente dentro de este sector han adoptado también este valor de huso horario, tales como Ecuador, Per´ u, y algunos estados de la costa este de los Estados Unidos. Venezuela tiene por huso horario HH = −4, valor que ha sido también adoptado por Bolivia, Chile, Paraguay y la parte occidental de Brasil. Ejemplo 1 Un reloj marca el Tiempo Oficial para la Rep´ ublica de Colombia en los siguientes tres casos. Determinar para cada uno de ellos el tiempo universal T U : a) 2h 35m 15s p.m. del 4 de abril de 2003. b) 5h 14m 6s a.m. del 17 de septiembre del 2010.

7.7. HUSOS HORARIOS

115

c) 9h 55m 16s p.m. del d´ıa 10 de mayo de 2015. Soluci´ on a) Las 2h 35m 15s de la tarde (pasado el meridiano, p.m.) equivalen a un tiempo de 14h 35 15s transcurrido desde el inicio del d´ıa. Por lo tanto: m

T U = 14h 35m 15s + 5h = 19h 35m 15s del d´ıa 4 de abril de 2003. b) Las 5h 14m 6s equivalen a un tiempo de 5h 14m 6s transcurrido desde el inicio del d´ıa. De ah´ı que: T U = 5h 14m 6s + 5h = 10h 14m 6s del d´ıa 17 de septiembre del 2010. c) Las 9h 55m 16s p.m. equivalen a un tiempo de 21h 55m 16s transcurrido desde el inicio del d´ıa. Por lo tanto: T U = 21h 55m 16s + 5h = 26h 55m 16s . Un tiempo superior a 24 horas significa que estamos en el d´ıa siguiente, por lo que al valor anterior le restamos 24h : T U = 2h 55m 16s del d´ıa 11 de mayo de 2015. Pero fue claro desde el principio que la intenci´ on de dividir el globo terrestre en 24 segmentos, en donde a cada uno de ellos se le ha de asignar una hora dada con respecto a T U , no iba a ser adoptada un´ animemente. La razón es clara: la forma irregular y los tama˜ nos dis´ımiles de los pa´ıses como también razones pol´ıticas, de conveniencia y de otra clase, han hecho que muchas naciones hayan adoptado como valor de huso horario otro distinto del que deber´ıa corresponderles por estar situadas en determinada posición geográfica con respecto al meridiano de Greenwich. Es obvio que paises con extensiones territoriales muy notorias tales como Rusia, Canadá, Estados Unidos y Brasil se ven cubiertas por dos o más zonas de tiempo. El territorio de Rusia es atravesado por once zonas de tiempo; Estados Unidos, teniendo en cuenta sus posesiones de ultramar, es cubierto por diez zonas de tiempo, en tanto que Canad´ a registra seis y China cinco. Pero no necesariamente significa que cada pa´ıs se vea en la necesidad de definir horas locales correspondientes a cada zona de tiempo. Un ejemplo notorio es China, que, aunque cubierto su territorio por cinco zonas de tiempo, ha escogido un tiempo fijo para todo el paıs con HH = 8. Una complicación adicional a la conversi´ on entre los tiempos locales y el tiempo universal es la costumbre, entre algunos pa´ıses ubicados con latitudes altas (φ > 25 N y S), de adelantar en una hora la hora local en los meses de verano (aunque se incluye también parte de la primavera y el oto˜ no). La razón es que en verano el Sol está por encima del horizonte unas 14 a 15 horas (la duraci´ on cambia con la latitud y la época del a˜ no). En solsticio de verano el Sol sale aproximadamente a las 4 a.m., una hora en la que buena parte de la poblaci´ on a´ un est´ a durmiendo. La puesta del Sol se verifica a eso de las 8 p.m. Por ello, y para ajustar

116


el tiempo de una forma m´ as adecuada al huso civil, algunos pa´ıses, usualmente por decreto gubernamental, adelantan los relojes 1 hora. Entonces, la hora local en este per´ıodo del a˜ no, llamada “hora de verano”, es igual a: (T L)verano = T U + HH + 1.

(7.9)

Con este adelanto de la hora se logra además disminuir el consumo de energ´ıa eléctrica por parte de la poblaci´ on civil, pues con la medida se pretende que la mayor´ıa de la gente se vaya a la cama una hora más temprano. Como ilustración considérese la región de la costa este de los Estados Unidos. La hora local de estados tales como Florida, Virginia, Pensilvania, ambas Carolinas, Georgia, New York, etc., llamada hora estándar del este, está determinada por un huso horario de HH = −5, por lo que la hora de ciudades como Miami, New York, Washington, etc., es idéntica a la hora en la Rep´ ublica de Colombia. Sin embargo, desde el primer domingo de abril hasta el u ´ltimo domingo de octubre, la hora para dichos estados es aumentada en uno, por lo que, si en Colombia son las 10 a.m., en estos estados serán las 11 a.m. Pero pa´ıses como China y Japón, aunque situados en latitudes altas, no adelantan su hora en verano. Pa´ıses situados en el hemisferio sur adelantan sus relojes una hora en los meses de octubre hasta marzo. En los pa´ıses situados en o muy cerca del ecuador terrestre no se justifica adelantar la hora con el mismo prop´ osito que se hace en otros paises tal y como el de ahorrar energ´ıa eléctrica. Ya se vio que en cercanias del ecuador terrestre la diferencia de duraci´ on entre el d´ıa y la noche es escasa y relativamente poco perceptible. Por tal raz´ on en dichos pa´ıses no se realizan modificaciones a la hora legal. Sin embargo, ello no impidi´ o que en 1992, en nuestro pa´ıs, durante el gobierno de César Gaviria, se adelantara temporalmente la hora (de HH = −5 se paso a HH = −4) como medida de u ´ ltimo recurso ante la grave sequ´ıa que afect´ o el normal funcionamiento de las hidroeléctricas. La idea, con muy poco respaldo astron´ omico, era la de forzar el ahorro de energ´ıa eléctrica.

7.8

La ecuaci´ on del tiempo

La ecuación del tiempo (ET ) es la diferencia existente entre el tiempo solar verdadero y el tiempo solar medio: ET = T SOLV − T SOLM. (7.10) De las definiciones de estos tiempos en función de los ańgulos horarios del Sol verdadero y medio (ecuaciones (7.4) y (7.5)) obtenemos : E.T. = H¯ − H¯ .

(7.11)

Esta es una simple diferencia en tiempo sideral que en ocasiones puede ser positiva, negativa o nula, ver figura 7.3. La ecuación del tiempo es cero aproximadamente los d´ıas 16 de abril, 18 de junio, agosto 30 y diciembre 16. Por lo tanto, en dichos d´ıas el Sol medio y el Sol verdadero coinciden, lo que significa que a mediod´ıa de tiempo solar medio, esto es, cuando

´ DEL TIEMPO 7.8. LA ECUACION

Figura 7.3:

117

Ecuaci´ on del tiempo

un reloj marca las 12h 0m 0s para un observador situado exactamente en el meridiano de Greenwich el Sol medio pasa por el meridiano en el mismo momento en que el Sol verdadero lo hace. La ecuación del tiempo es máxima positiva aproximadamente en noviembre 3 (+ 16m 26 ). Una diferencia positiva significa que H¯ > H¯ , por lo que al pasar el Sol verdadero por el meridiano del observador el Sol medio todav´ıa no ha culminado; en otras palabras, a mediod´ıa de tiempo solar medio para un observador exactamente ubicado en el meridiano de Greenwich (H¯ = 0) el Sol verdadero hace ya unos momentos que ha pasado por el meridiano del observador (ver figura 7.4). El 3 de noviembre a las 12 m. de T U el Sol verdadero est´ a ubicado ya a un ángulo horario de 0h 16m 26s , obviamente hacia el oeste. s

La ecuación del tiempo es máxima negativa aproximadamente en febrero 11 (- 14m 16s ). Una diferencia negativa significa que H¯ > H¯ , por lo que al pasar el Sol verdadero por el meridiano de un observador situado en el meridiano de Greenwich el Sol medio ya hace un tiempo que ha culminado; en otras palabras, a mediod´ıa de tiempo solar medio (H¯ = 0) el Sol verdadero todav´ıa no ha pasado por el meridiano del observador. El 11 de febrero a las 12 m. de T U el Sol verdadero está ubicado a un ańgulo horario de 24h - 0h 14m 16s = 23h 45m 44s .


118

SOL MEDIO CULMINANDO (12 HORAS TU) SOL VERDADERO H > H

.

.

SOL VERDADERO H < H

.

.

S

E

W N

Figura 7.4:

7.9

Posici´ on del Sol verdadero a las 12h de T U dependiendo del signo de la ecuaci´ on del tiempo

El c´ alculo del tiempo sideral local

En la secci´ on 5.6.2 introdujimos el concepto del tiempo sideral local (T SL) sin mayores complicaciones, para poder convertir el ángulo horario H de un astro en su correspondiente ascensión recta o viceversa. En los ejemplos vistos all´ı el T SL se supon´ıa conocido. En las siguientes l´ıneas veremos cómo puede calcularse para cualquier fecha y hora local. Primero que todo supongamos que conocemos el T SL para un observador situado en el meridiano de Greenwich a las 0h de T U . Abreviaremos el tiempo sideral para un observador en Greenwich a las cero horas de tiempo local (T U ) como T SG0, que es el ángulo horario del punto vernal para un observador situado en el meridiano de Greenwich exactamente a las 0h de T U . Por lo tanto, el ´ angulo horario del punto vernal para un observador en Greenwich es, para un tiempo t cualquiera de T U (que llamaremos T SGt ): T SGt = T SG0 + T U × 1.0027379,

(7.12)

pues es claro que, a medida que avanza el tiempo, el punto vernal se va desplazando hacia el oeste (por el movimiento diurno), en la direcci´ on en que se incrementa el ángulo horario. Vemos que es necesario el factor de conversión para pasar de tiempo solar medio (las unidades en que viene el T U ) a unidades de tiempo sideral. El c´ alculo del tiempo sideral local para cualquier otro observador que est´ a situado al oeste del meridiano de Greenwich es, para el mismo instante t (ver figura 7.5):

´ 7.9. EL CALCULO DEL TIEMPO SIDERAL LOCAL

119

TSG t TSL

m

er

λ

id

.a

lo

mer. Greenwich

TSL W

es

OESTE

Figura 7.5:

te

de

Gr

ee

λ

E

n.

ee

e ed

Gr

st

le

.a

d eri

n. m

ESTE

Tiempo sideral en Greenwich y tiempos siderales locales

T SL = T SGt − (λoW /15),

(7.13)

donde λoW denota la longitud hacia el oeste en grados, por lo que es necesario dividir por 15 para obtener este término de longitud en las unidades apropiadas de tiempo. Si el observador está al este del meridiano de Greenwich su tiempo sideral local en el instante t es: T SL = T SGt + (λoE /15), donde

7.9.1

λoE

(7.14)

denota la longitud hacia el este en grados.

El c´ alculo de la fecha juliana

En algunos c´ alculos astron´ omicos es imperativo determinar con exactitud el n´ umero de d´ıas transcurrido entre dos eventos. Sup´ ongase que se desea conocer el n´ umero de d´ıas existentes entre el d´ıa en que aconteció la Batalla de Boyacá (7 de agosto de 1819) y el d´ıa en que ocurri´ o la muerte del l´ıder pol´ıtico Jorge Eliécer Gaitán (9 de abril de 1948). Podemos hacer este cálculo comenzando por determinar el n´ umero de d´ıas restantes de 1819 (agosto tiene 31 d´ıas, septiembre 30, octubre 31, noviembre 30 y diciembre 31) y luego sumando el n´ umero de d´ıas que hay entre los ambos a˜ nos, no olvidando que cada cuatro a˜ nos es bisiesto (tiene 366 d´ıas), etc., etc., etc. Vemos que la manera m´ as obvia de hacer este cálculo tiene


120

la desventaja de ser tediosa y se presta para caer fácilmente en errores. Si queremos determinar el n´ umero de d´ıas entre eventos hist´ oricos anteriores a la fecha del nacimiento de Jesucristo el cálculo se complica a´ un m´ as, pues hay que considerar que, por deficiencias en conocimientos matemáticos, los cronistas no incluyeron en la historia el a˜ no cero (ver sección 9.5); y que para complicaci´ on adicional, en 1582, por orden papal, no sólo se perdieron diez d´ıas de la historia sino que se instaur´ o una regla mediante la cual ciertos a˜ nos que deber´ıan ser bisiestos no lo son (ver sección 9.4). Por tal razón los astrónomos recurren al concepto de fecha juliana, F J. La idea fue buscar un d´ıa lo suficientemente atr´ as en el tiempo como para cubrir el per´ıodo hist´ orico (los eventos registrados mediante escritura). Dicho d´ıa de referencia es el primero de enero del a˜ no 4713 antes de Jesucristo a mediod´ıa de Greenwich (12h de T U ). La razón de haber escogido este a˜ no como fecha de referencia se verá en la sección 9.6.4. Se llama “n´ umero de d´ıa juliano” al n´ umero de d´ıas que han pasado (a mediod´ıa de Greenwich) desde la fecha de referencia. Entonces, el d´ıa 3 de enero del 4713 A.C. a mediod´ıa de Greenwich le correspondi´ o un n´ umero de d´ıa juliano igual a 2. Por supuesto que a finales del siglo XX y comienzos del XXI, habiendo transcurrido más de 6700 a˜ nos desde la fecha de referencia, el n´ umero de d´ıas juliano se ha incrementado a un valor cercano a los dos millones cuatrocientos cincuenta mil. El d´ıa 31 de diciembre del a˜ no 2000 (a mediod´ıa de Greenwich) le corresponde el n´ umero de d´ıa juliano de 2 451 910. Ll´ amese fecha juliana, F J, de un instante dado a su correspondiente n´ umero de d´ıa juliano m´ as la fracci´ on de d´ıa transcurrido. Ejemplo 1 Calcular la fecha juliana del instante 17h 34m 57s , hora oficial de la Rep´ ublica de Colombia, del d´ıa 1 de enero del 2001. Soluci´ on Comentábamos unas cuantas l´ıneas atr´ as que el n´ umero de d´ıa juliano de la fecha diciembre 31 del 2000 (a las 12h de T U ) es de 2 451 910. Por lo tanto, el d´ıa siguiente (el umero de d´ıa juliano 2 451 911. Pero 1 de enero del 2001 a las 12h de T.U.) tiene por n´ nuestro T U es 17h 34m 57s + 5h = 22h 34m 57s , por lo tanto, debemos considerar el tiempo que ha transcurrido desde el mediod´ıa: 22h 34m 57s − 12h = 10h 34m 57s = 10.5825h que en fracci´ on de d´ıa equivale a 10.5825h /24h = 0.4409375, por lo que la fecha juliana del instante requerido es: 2 451 911 + 0.4409375 = 2 451 911.4409375. La fecha juliana fue introducida por Joseph Justus Scaliger en 1582. La fecha del 1 de enero del 4713 A.C. fue escogida como el origen de un gran per´ıodo de 7980 a˜ nos (ver sección 9.6.4), que llam´ o per´ıodo juliano, en honor de su padre (Julius Scaliger), por lo que el per´ıodo juliano no tiene nada que ver con el calendario juliano —el nombre de juliano en éste u ´ltimo viene de Julio César— que miraremos con detalle en la sección 9.2.


121

En el apéndice F est´ an contenidas unas tablas cuya r´ apida consulta permite hallar fácilmente la fecha juliana de cualquier fecha comprendida entre los a˜ nos −1990 hasta 2999 A.D. Ejemplo 2 Calcular la fecha juliana del d´ıa 19 de septiembre del a˜ no 2710. Soluci´ on Nos remitimos al apéndice F. En la tabla F.1 se busca la fecha juliana correspondiente a la centena del a˜ no en cuesti´ on (2700): 2 707 213.5. Luego se halla en la tabla F.2 el n´ umero que corresponde a la parte adicional del a˜ no sin tener en cuenta la centena, en nuestro caso 10: 3652. Luego se busca en la tabla F.3 el n´ umero que corresponde al mes, que en nuestro caso es: 243. A la suma de los tres n´ umeros anteriores adicionamos el d´ıa: 2 707 213.5 + 3652 + 243 + 19 = 2 711 127.5.

Existen en la literatura astron´ omica varias rutinas matemáticas creadas para calcular la fecha juliana. Describiremos aqu´ı la f´ ormula dada por Meeus (Meeus, 1991): Sea A el a˜ no, M el n´ umero de mes (1 para enero, 12 para diciembre) y D el d´ıa del mes (incluidos los decimales si los tiene). Entonces: Si M = 1 o 2, entonces: A = A − 1, M = M + 12, Si M > 2 entonces A = A, M = M. La fecha juliana se calcula mediante: FJ

=

EN T (365.25 × (A + 4716)) + EN T (30.6001 × (M + 1))

(7.15)

−EN T (A/100) + EN T (EN T (A/100)/4) + D − 1522.5, donde EN T () significa la parte entera de lo que est´ a dentro de los paréntesis: EN T ( 4.234) = 4,

EN T (3.99999) = 3.

Ejemplo 3 Calcular la fecha juliana del d´ıa 4 de febrero del 2002. Soluci´ on Mientras no haya m´ as información, su supone que estamos hablando de las 0 horas de T U del d´ıa en cuesti´ on.


122

Aqu´ı A = 2002, M = 2, D = 4. Entonces: A = 2001, M = 14. As´ı mismo: EN T (365.25 × (A + 4716)) = 2 453 384, EN T (30.6001 × (M + 1)) = 459, EN T (A/100) = 20, EN T (EN T (A/100)/4) = 5. Finalmente: F J = 2 453 384 + 459 − 20 + 5 + 4 − 1522.5 = 2 452 309.5. Ejemplo 4 Calcular la fecha juliana del instante 3h 54m 15s del 23 de septiembre de 2126. La hora está dada en Tiempo Oficial de la Rep´ ublica de Colombia. Soluci´ on Calculamos el T U : 3h 54m 15s + 5h = 8h 54m 15s . En fracci´ on de d´ıas es: (8h 54m h 15 )/24 =0.371007. s

Aqu´ı: A = 2126, M = 9, D = 23.371007. As´ı mismo: EN T (365.25 × (A + 4716)) = 2 499 040, EN T (30.6001 × (M + 1)) = 306, EN T (A/100) = 21, EN T (EN T (A/100)/4) = 5. Finalmente: F J = 2 499 040 + 306 − 21 + 5 + 23.371007 − 1522.5 = 2 497 830.871007. Ya estamos en condiciones de responder al reto que nos hab´ıamos planteado al inicio de esta sección, esto es, hallar el n´ umero de d´ıas existentes entre el 7 de agosto de 1819 y el 9 de abril de 1948. Sencillamente calculamos las fechas julianas de ambos eventos: 7 de agosto de 1819 =⇒ 9 de abril de 1948 =⇒

2 385 653.5, 2 432 650.5,

y la diferencia entre ambos n´ umeros nos da el dato buscado: 46 997 d´ıas.


7.9.2

123

El c´ alculo del TSG0

El T SG0 (el tiempo sideral en Greenwich a las 0h de T U , o el ángulo horario que tiene el punto vernal a las 0h de T U para un observador situado exactamente en el meridiano de Greenwich) para un d´ıa determinado, se puede calcular por medio de la siguiente f´ ormula: T SG0 = 6h 41m 50.54841s + 2400h 3m 4.81286s T + 0.09310s T 2 ,

(7.16)

donde T está dado por: F J − 2 451 545.0 , (7.17) 36 525 siendo F J la fecha juliana del d´ıa en cuesti´ on. El n´ umero 2 451 545.0 es la fecha juliana del no 2000. instante enero 1 a las 12h de T U del a˜ T =

Ejemplo 1 Calcular el T SG0 del d´ıa 5 de julio de 2003. Soluci´ on Calculamos la fecha juliana del 5 de julio de 2003. El c´ alculo da: 2 452 825.5. A continuación determinamos T el cual da T = 0.0350582. Entonces: 2400h 3m 4.81s × 0.0350582 = 84.141479h . Reemplazando en la f´ ormula (7.16) obtenemos, sin considerar el termino cuadr´ atico que es muy peque˜ no: T SG0 = 6h 41m 50.55s + 84.141479h = 90.838854h . Este resultado tiene que ser llevado a un valor de tiempo comprendido entre 0 y 24 horas, lo que llamaremos llevar al primer reloj. Por ejemplo, 26 horas es equivalente a tener 2 horas. Esto se hace sencillamente utilizando la ecuaci´ on: ¶ µ T SG0∗ ∗ × 24h , (7.18) T SG0 = T SG0 − EN T 24 donde T SG0∗ representa el valor del T SG0 cuando es mayor de 24 horas. Por lo tanto: T SG0 = 90.838850h − 3 × 24h = 18.83885h = 18h 50m 19.87s . NOTA: El T SG0 se designa de dos formas, dependiendo del grado de exactitud con que se calcula. Uno, definido por la f´ ormula sencilla (7.16), se llama tiempo sideral medio en


124

a hablanGreenwich a las 0 horas de T U (T SG0m ). La palabra medio quiere decir que se est´ do del ańgulo horario del punto vernal medio, esto es, aquel que resulta de la intersecci´ on del ecuador celeste medio con la ecl´ıptica de la fecha. En otras palabras, el punto vernal as´ı calculado no est´ a siendo corregido por nutaci´ on (ver la sección 10.2). El otro T SG0, m´ as exacto, es llamado tiempo sideral aparente en Greenwich a las 0 horas de T U (T SG0a ). Indica el ańgulo horario del punto vernal aparente o verdadero, esto es, ya corregido por nutaci´ on. La relación entre estos dos tiempos es la ecuaci´ on de los equinoccios, EE. La ecuación de los equinoccios se define as´ı: EE = T SG0a − T SG0m = ∆ψ cos ²v ,

(7.19)

donde ∆ψ representa la nutaci´ on en longitud (en unidades de tiempo) definida por la on (10.17). Sin emecuación (10.11) y ²v es la oblicuidad verdadera de la fecha, ecuaci´ bargo, EE es un valor peque˜ no, del orden de un segundo de tiempo. Por lo tanto, en cálculos donde no se requiera demasiada precisi´ on se puede hacer EE = 0 y trabajar con el T SG0 medio. Ya estamos en capacidad, por fin, de calcular el tiempo sideral local, esto es, el ángulo horario del punto vernal para un instante y observador cualesquiera. Ejemplo 2 Calcular el tiempo sideral local de un observador situado en Miami el d´ıa 8 de agosto del 2003 para la hora local 6h 30m 0s . La longitud de Miami es 80o 120 2500 W. Soluci´ on Primero calculamos el tiempo universal T U . Puesto que se trata de la hora local, esto es, tiempo estándar del este y como la fecha indica que es verano, la hora está adelantada con respecto al huso horario que le corresponde (H = −5). En otras palabras, utilizamos la ecuación (7.9). Entonces: T U = (T L)verano − HH − 1, por lo que T U = 6 30 0 − (−5h ) − 1h = 10h 30m 0s . La fecha juliana del 8 de agosto del 2003 es: 2 452 859.5. Por lo tanto T =0.0359890. Entonces el T SG0 es igual a: 93h 4m 22.16s que llevado al primer reloj da: 21h 4m 22.16s . h

m s

on (7.12): A continuaci´ on calculamos el T SGt con ayuda de la ecuaci´ T SGt = 21h 4m 22.16s + 10h 30m 0s × 1.0027379 = 31h 36m 5.65s ; al excederse este valor de 24h le restamos sencillamente 24h para dar: T SGt = 7h 36m 5.65s .


125

Por u ´ltimo calculamos el T SL con ayuda de la ecuaci´ on (7.13): T SL = Hg = 7h 36m 5.65s − 80o 120 2500 /15 = 2h 15m 15.99s . Ejemplo 3 Calcular el ángulo horario del punto vernal el d´ıa 28 de noviembre de 2015 a una hora local de 8h 15m 30s de la noche, para un observador situado en el municipio colombiano de Momp´ os (Bol´ıvar). La longitud de Momp´ os es: 74o 250 800 W. Soluci´ on Calculamos el tiempo universal T U . Las 8h 15m 30s de la noche hora local, esto es, Tiempo Oficial de la Rep´ ublica de Colombia, representan las 20h 15m 30s . Puesto que para Colombia HH = −5 tenemos que, de acuerdo con la ecuación (7.8): T U = 20h 15m 30s + 5h = 25h 15m 30s . El hecho de habernos excedido en 24h quiere decir que en Greenwich, para el mismo instante, son la 1h 15m 30s pero del d´ıa siguiente. Y aqu´ı se ha de andar con cuidado porque este hecho puede dar lugar a confusiones y errores en el c´ alculo. Para determinar el T SGt podemos hacerlo de dos formas. Bien con la fecha del 28 de noviembre o con la del 29 de noviembre. Haremos el cálculo de ambas maneras. Con la fecha del 28 de noviembre de 2015: La fecha juliana es: 2 457 354.5. Por lo tanto T = 0.1590554. Entonces el T SG0 es igual a: 388h 26m 18.60s que llevado al primer reloj da: 4h 26m 18.60s . A continuaci´ on calculamos el T SGt : T SGt = 4h 26m 18.60s + 25h 15m 30s × 1.0027379 = 29h 45m 57.56s ; al excederse este valor de 24h le restamos sencillamente 24h para dar: T SGt = 5h 45m 57.66s . Con la fecha del 29 de noviembre de 2015: La fecha juliana es obviamente: 2 457 355.5. Por lo tanto: T = 0.1590828. Entonces el T SG0 es igual a: 388h 30m 15.34s que llevado al primer reloj da: 4h 30m 15.34s . A continuaci´ on calculamos el T SGt : T SGt = 4h 30m 15.34s + 1h 15m 30s × 1.0027379 = 5h 45m 57.66s . Por u ´ltimo, calculamos el T SL con ayuda de la ecuaci´ on (7.13): T SL = Hg = 5h 45m 57.66s − 74o 250 800 /15 = 0h 48m 17.13s .

126

7.10


Sistemas de tiempo

El mundo moderno exige medir el tiempo lo m´ as exacto que sea posible, bien sea por prop´ ositos cient´ıficos, militares, religiosos, industriales o civiles. De todas las cantidades f´ısicas medibles el tiempo es aquella que se puede medir con mayor exactitud. Se deben definir dos cantidades con el fin de establecer un sistema de tiempo: la primera es la unidad de duraci´ on, como por ejemplo el segundo o el d´ıa; la segunda es el cero (o la época) de dicho tiempo. Ya hemos visto dos sistemas de tiempo: el tiempo universal, T U , y el tiempo sideral. Es nuestro prop´ osito en las siguientes secciones complementar algunos conceptos con respecto a los sistemas de tiempo ya vistos e introducir varios más, todos necesarios y de uso extensivo en astronom´ıa.

7.10.1

Variaciones en la tasa de rotaci´ on terrestre

Conviene recordar que el tiempo solar medio (del que se deduce el tiempo universal T U ) y el tiempo sideral descansan en un fenómeno peri´ odico “regular”, el cual es la rotación de la Tierra sobre su eje. Hasta tiempos relativamente recientes se pensaba que el d´ıa era uniforme. Con ello en mente se defini´ o el segundo como una fracci´ on especificada del d´ıa solar medio: 1 segundo= 1/86 400 del d´ıa solar medio. Para mediados del siglo XIX se dispon´ıa de teor´ıas muy elaboradas sobre el movimiento de la Luna, cosa que no es f´ acil a causa de las enormes dificultades con que se encuentran los astr´ onomos teóricos al tratar de resolver por aproximaciones las complicadas ecuaciones diferenciales del movimiento lunar. Con todo, los esfuerzos heróicos de estos astrónomos se ve´ıan frustrados pues la Luna se resist´ıa a seguir por el camino que los astr´ onomos predec´ıan; en otras palabras, no se pod´ıa explicar de forma satisfactoria el movimiento lunar. Era cierto que las diferencias entre las posiciones calculadas y observadas eran peque˜ nas, pero no lo suficiente como para ignorarlas. Una de tales desigualdades era llamada “aceleración secular del movimiento medio” que se pensaba era debida a la acci´ on perturbadora de los campos gravitacionales de los planetas del sistema solar sobre nuestra Luna. Sin embargo, Adams, en 1853, demostró m´ as all´ a de toda duda razonable que dicha desigualdad no pod´ıa deberse a la perturbaci´ on gravitacional producida por los planetas del sistema solar. ¿De d´ onde entonces se produc´ıa la aceleraci´ on secular del movimiento medio lunar? Ferrel y Delaunay demostraron, en 1865, con base a principios enteramente dinámicos, que las fuerzas de marea existentes entre la Luna y la Tierra ejercen una acci´ on cuya consecuencia directa es on de la Tierra. Como contraprestación, la velocidad orbital un frenado secular3 en la rotaci´ de la Luna aumenta. Esto representaba una evidencia basada en las teor´ıas newtonianas de que la duraci´ on del d´ıa era variable. Algunos astr´ onomos, como Simon Newcomb, a finales del siglo XIX y comienzos del XX, al elaborar sofisticadas efemérides planetarias, descubrieron que a´ un exist´ıan algunas discrepancias en el movimiento lunar y sugirieron 3 En mec´ anica celeste la palabra secular indica un cambio lento y continuo de la cantidad conforme transcurre el tiempo.

7.10. SISTEMAS DE TIEMPO

127

que el responsable era la existencia de cambios completamente irregulares en la rotaci´ on terrestre. Con la aparici´ on de relojes m´ as precisos en la década de 1930 fue posible descubrir que la tasa de rotaci´ on de la Tierra adolec´ıa también de variaciones peri´ odicas ligadas con las estaciones. Todas estas investigaciones demostraron que nuestro planeta no rota con perfecta uniformidad. Las variaciones hoy en d´ıa se clasifican como: (1) seculares, que, como ya vimos, son debidas a la acción de mareas; (2) irregulares, atribu´ıdas a movimientos del n´ ucleo terrestre y (3) peri´ odicas, originadas por fenómenos meteorológicos ligados a la sucesión de las estaciones. En general, estas variaciones son impredecibles y la u ´ nica manera de cuantificarlas es comparando la duraci´ on de un d´ıa sideral (o un d´ıa solar medio) con una escala de tiempo completamente uniforme como la que pueden dar los relojes atómicos.

7.10.2

El tiempo de las efem´ erides (TE)

No es conveniente trabajar con una escala de tiempo que no es uniforme pues ello implica el uso de una unidad como el segundo, que, habiendo sido definido como una fracci´ on del d´ıa solar medio, tiene como consecuencia una duración también variable. Algunos astr´ onomos sugirieron la adopci´ on, ya para 1929, de un sistema de tiempo, éste s´ı uniforme, que fuera la variable independiente de las ecuaciones de Newton para el movimiento de los planetas. Esto u ´ltimo exige un breve comentario. En mecánica celeste cl´ asica las ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento de los planetas tienen la forma (ver por ejemplo las ecuaciones (12.26) y (14.18)): → d2 − ri → = fi ( − ri ), dt2 → cuya soluci´ on numérica o anal´ıtica permite hallar los vectores − ri para un tiempo t que se supone uniforme. Ahora bien, los astr´ onomos calculan las posiciones de los astros para el futuro o el pasado. Por lo tanto t se extiende hacia adelante o atr´ as en el tiempo tanto como el astrónomo desee. Esta escala de tiempo, no sobra decirlo, debe ser perfecta y uniforme. Pero es una escala teórica que ha de tener una conexi´ on directa con una escala de tiempo que puedan leer los usuarios. Y aqu´ı es donde surge toda la complicaci´ on, pues si el astrónomo elige como variable independiente al d´ıa solar medio y éste, como vimos, no es uniforme (unas veces es más grande, otras más peque˜ no) surgir´ a una discrepancia entre lo que se calcula (utilizando un tiempo que se supone es uniforme) con lo que se mide, la rotaci´ on de la Tierra. Un tiempo t en las ecuaciones de movimiento no será igual al tiempo t que se registra en un reloj con una escala no uniforme. La escala de tiempo uniforme que fue adoptada en 1952 por la Uni´ on Astronómica Internacional fue llamada tiempo de las efemérides, T E, entendida como la variable independiente en las teor´ıas gravitacionales del Sol, la Luna y los planetas, pero que en los detalles se basaba estrictamente en el movimiento del Sol dado por las tablas del mismo hechas por Simon Newcomb a finales del siglo XIX. Pero no fue sino hasta 1958 que se acordó definir plenamente la unidad del tiempo de las efemérides, ya no en términos de una fracci´ on de d´ıa solar medio sino en fracción del a˜ no tr´ opico (ver p´ agina 156), pero no de cualquier a˜ no sino de uno espec´ıfico. Se defini´ o el segundo de las efemérides a 1/31 556 925.9747 de la duraci´ on del a˜ no tr´ opico en el instante enero 0 de 1900 a las 12h de T E. Para determinar el tiempo de las efemérides en cualquier instante lo que se hace es observar las posiciones aparentes de la Luna, el Sol y los planetas (particularmente la primera debido a su r´ apido movimiento


128

A˜ no 1650 1660 1670 1680 1690 1700 1710 1720 1730

∆T (s) +48 +46 +26 +16 +10 +9 +10 +11 +11

A˜ no 1740 1750 1760 1770 1780 1790 1800 1810 1820

Tabla 7.1:

∆T (s) +12 +13 +15 +16 +17 +17 +13.7 +12.5 +12.0

A˜ no 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910

∆T (s) +7.5 +5.7 +7.1 +7.9 +1.6 -5.4 -5.9 -2.7 +10.5

A˜ no 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

∆T (s) +21.2 +24.0 +24.3 +29.1 +33.1 +40.2 +50.5 +56.9 +63.9

Algunos valores de ∆T en el tiempo

a través de las estrellas) y se comparan con las posiciones resgistradas en los almanaques. → Para la posici´ on − r observada se deduce el tiempo t. Esto es, a las posiciones que se han calculado previamente a través de una teor´ıa din´ amica, las cuales en la práctica se tabulan en un almanaque en funci´ on del tiempo (supuesto éste completamente uniforme) se comparan en la vida real con las observaciones que se hacen de los astros y se invierte el asunto: a la → posición − r le debe corresponder el tiempo t. Si la Tierra rotara uniformemente el tiempo universal y el tiempo de las efemérides ser´ıan uno s´ olo. Sin embargo la no uniformidad de la rotaci´ on de la Tierra hace que entre las dos escalas de tiempo exista una discrepancia que aumenta o disminuye de forma imprevista. Para cuantificar esta discrepancia se introdujo el concepto de ∆T el cual se definió como: ∆T = T E − T U.

(7.20)

La forma usual de determinar el valor de ∆T es mediante la observación sistemática de cuerpos tales como la Luna. Como es de esperarse, las observaciones astronómicas antiguas no son tan exactas como las modernas por lo que un registro más o menos fiable sobre el valor de ∆T sólo es posible darlo en los u ´ltimos cuatro siglos. La tabla 7.1 contiene algunos valores que ha tomado ∆T desde 1650 hasta nuestros d´ıas. En la pr´ actica, el tiempo de las efemérides se usó por más de treinta a˜ nos, hasta que en 1984, debido a las m´ ultiples dificultades con su uso, se decidi´ o cambiarlo de nombre y de definici´ on.

7.10.3

El tiempo din´ amico

Con el fin de subsanar las deficiencias en el uso del tiempo de las efemérides la Uni´ on Astron´ omica Internacional definió un nuevo conjunto de escalas de tiempo que comenz´ oa operar formalmente en 1984. La idea era seguir con el concepto de una escala de tiempo ideal como variable independiente de las ecuaciones de movimiento de los cuerpos en el sistema solar, pero adoptar, con todas sus consecuencias, el formalismo de la teor´ıa de la relatividad general elaborada por Albert Einstein en 1916. Y esto complica las cosas, porque dicha

7.10. SISTEMAS DE TIEMPO

129

teor´ıa mantiene que el tiempo, esto es, nuestra variable independiente, depende del sistema de coordenadas que se use como sistema de referencia: no es lo mismo medir el tiempo en el centro del Sol que en el centro de la Tierra. Cada observador ubicado en alguno de estos dos sitios puede medir el tiempo y notar´ a que este “fluye” de manera normal. El problema surge cuando comparan entre ellos las lecturas de sus respectivos relojes: detectarán que no coinciden. La necesidad de describir el movimiento del sistema solar con respecto a estrellas o cuerpos muy lejanos ha hecho que los astr´ onomos elijan al baricentro del sistema solar como origen de un sistema de referencia sobre el cual describir el movimiento de los cuerpos principales del sistema solar. Sin embargo, los astrónomos, al menos por ahora, están ubicados en la superficie de la Tierra (no en el baricentro del sistema solar, el cual est´ a situado cerca del centro del Sol en la dirección de J´ upiter). Ello significa que un sistema de tiempo utilizado en la superficie de la Tierra no coincide con un sistema de tiempo utilizado en el baricentro del sistema solar (ver Hellings, 1986). De ah´ı la necesidad de la definici´ on de los dos siguientes sistemas de tiempo. El tiempo din´ amico baric´ entrico (TDB) El tiempo din´ amico baricéntrico, T DB, es el argumento independiente de las ecuaciones de movimiento de los cuerpos principales del sistema solar (y por lo tanto de las las efemérides) referido al baricentro del sistema solar. El tiempo din´ amico terrestre (TDT) El tiempo din´ amico terrestre, T DT , es el argumento independiente de las efemérides aparentes geocéntricas (con referencia a la superficie de la Tierra) de los cuerpos del sistema solar. Desde 1984 el argumento tiempo para establecer las posiciones de los cuerpos en el sistema solar (Sol, Luna, planetas, etc.) es el T DT . Las posiciones de los astros más utilizadas a nivel mundial est´ an contenidas en el Astronomical Almanac el cual es publicado conjuntamente por el Observatorio Naval de los Estados Unidos y el Observatorio Real de Greenwich, y da a conocer, a˜ no a a˜ no, las efemérides de los cuerpos celestes tal y como fueron calculadas por el Laboratorio de Propulsi´ on a Chorro, dependencia adscrita a la NASA (Administraci´ on Nacional de la Aeronáutica y el Espacio). Dicho c´ alculo involucr´ o la integración numérica simult´ anea de los cuerpos principales del sistema solar, llamada DE200/LE200 comprendiendo el intervalo 1800-2050. El Anuario del Observatorio Astron´ omico Nacional utiliza como argumento independiente de las efemérides de los cuerpos del sistema solar el T DT . Las posiciones aparentes de los cuerpos celestes son también el resultado de la integraci´ on DE200/LE200. La definici´ on del T DT y del T DB hace que la diferencia entre ambas escalas sea puramente peri´ odica, con una amplitud que nunca excede los 0.002 segundos. Por lo tanto, en cálculos que no requieran una exactitud exagerada se puede hacer : T DT = T DB. Para complicaci´ on adicional, en 1991 la Unión Astronómica Internacional renombró el T DT el cual pasó a llamarse sencillamente tiempo terrestre, T T . El lector debe tener presente que donde quiera que aparezca T DT también se quiere decir T T .


130

7.11

El tiempo at´ omico

El tiempo at´ omico está basado en el conteo de los ciclos de una se˜ nal eléctrica de alta frecuencia que se mantiene en resonancia con una transici´ on atómica. La unidad fundamental del tiempo at´ omico es el segundo del sistema internacional (SI), el cual se define como la duraci´ on de 9192 631 770 per´ıodos de la radiaci´ on que corresponde a la transici´ on entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del a´tomo de cesio 133. Las ventajas del reloj de cesio, con respecto a otros relojes atómicos (como de hidr´ ogeno o rubidio), son: la invariancia de la frecuencia fundamental que gobierna su operaci´ on; error fraccional muy peque˜ no y su uso conveniente. Se han construido, a nivel comercial, varios miles de relojes de la versi´ on de baja exactitud, los cuales pesan unos 30 kg y poseen un error de una parte en 1012 . Unos pocos laboratorios han construidos grandes y sofisticados relojes que sirven como estándares primarios de frecuencia que poseen errores de 5 partes en 1014 . La escala de tiempo conocida con el nombre de tiempo at´ omico internacional (T AI) es un tiempo est´ andar pr´ actico que trata de llevar hasta donde sea posible la definici´ on del segundo del sistema internacional SI. Pero un s´ olo relojito de cesio no basta. Alrededor de seis relojes estándares primarios (operados continua o peri´ odicamente) junto con otros 175 relojes comerciales de cesio están distribuidos por el mundo en unos 30 laboratorios y observatorios. Las medidas de tiempo de cada uno de estos relojes son reunidas por la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, localizada en Sévres, Francia. Después de un exhaustivo an´ alisis de esas lecturas se reajusta la escala y se publica como T AI. Con reajustar la escala se quiere decir que se envian boletines a cada uno de los relojes que contribuyen al conteo para que hagan sus respectivas correcciones. Se estima que el segundo de T AI reproduce el segundo SI (tal y como está definido) en una parte en 1013 . Importante es tener en cuenta que el T AI es una escala de tiempo completamente independiente de la observaci´ on astronómica. Descansa en un fenómeno f´ısico distinto al de la rotaci´ on o traslación del planeta o cualquier otro movimiento de cuerpos celestes. La definici´ on del T AI permite darle una consistencia definida al T DT . De hecho, el T DT se define, en términos medibles, con base en el T AI, mediante la ecuación: T DT = T AI + 32.184 segundos.

(7.21)

Esta es una igualdad con la que hay que tener un serio cuidado conceptual. T AI es una escala estad´ıstica que descansa en un n´ umero de relojes atómicos sobre la Tierra la cual está sujeta a errores sistem´ aticos en la duraci´ on del segundo T AI y en la misma manera de derivar el T AI, en tanto que el T DT es una escala de tiempo uniforme e idealizada. La ecuación (7.21) indica que la unidad de tiempo del T DT , al igual que la del tiempo at´ omico, es el segundo SI. La diferencia constante entre ambas escalas (de 32.184 segundos) fue necesaria con el fin de hacer continuo el T DT con el T E para per´ıodos anteriores a la introducci´ on del T AI. La pregunta ahora es: ¿Cuál es la relación entre estos tiempos, llenos de tecnicismos, y el tiempo de uso corriente en el plano civil, esto es, con el tiempo universal T U ?

7.12. TIEMPOS UNIVERSALES

7.12

131

Tiempos universales

En la secci´ on (7.6) se introdujo el concepto del tiempo universal. Sabemos que es el tiempo solar medio para un observador situado en el meridiano de Greenwich. Esto es, el T U descansa en nuestra definici´ on de d´ıa solar medio. Pero, ¿cómo se hace para medirlo? Puesto que el punto de referencia que define el d´ıa solar medio es el Sol medio y este, por obvias razones, no es posible observarlo directamente, es necesario recurrir a otra manera de medirlo. Existe una forma que permite ligar la duraci´ on entre un d´ıa solar medio y el d´ıa sideral y es por medio de la ecuaci´ on (7.16) con T definido por la ecuaci´ on (7.17) donde ahora F J es la fecha juliana medida en términos del n´ umero de d´ıas en tiempo universal. Entonces se soluciona el problema midiendo el tiempo sideral y obteniendo estad´ısticamente la variable T U contenida en F J. Aunque la definici´ on del d´ıa sidéreo se hizo con respecto al punto vernal, en la pr´ actica se hace con respecto a radiofuentes extragalácticas. De esta forma la medici´ on de la duraci´ on del d´ıa sideral queda relacionada con la hora de uso corriente (el T U ). Pero la rotaci´ on de la Tierra no es uniforme. Aparte de eso las mediciones que haga cualquier observatorio de la duraci´ on del d´ıa sideral van a sufrir un ligero error originado en el movimiento incesante e irregular del polo (ver página 34). En efecto, en los cálculos para determinar la duraci´ on de un d´ıa sideral, con respecto a radiofuentes, está involucrada la latitud y la longitud, los cuales cambian ligeramente si se desplaza el polo. Todas estas anomal´ıas son responsables de que el d´ıa solar medio no sea uniforme. Por lo tanto, la escala de tiempo que define el tiempo universal tampoco lo es. De uso corriente son los siguientes conceptos: • TU0 Es el tiempo rotacional terrestre en unidades de d´ıa solar medio que se mide en un lugar particular de observaci´ on. Las mediciones se hacen observando la duración de una revoluci´ on terrestre con respecto a radiofuentes extragalácticas. • TU1 Es aquella escala de tiempo que resulta de corregir el T U 0 del sitio que ha realizado la observación por el movimiento del polo. Pero al igual que el T U 0 el T U 1 es una escala de tiempo no uniforme a causa de la rotaci´ on variable del planeta. Si tanto el T U 0 como el T U 1 son escalas de tiempo no uniformes, ¿Cómo relacionar estas mismas con escalas de tiempo que s´ı son uniformes tales como el T AI y el T DT ? La conexi´ on se realiza a través del tiempo universal coordinado, T U C. • TUC El tiempo universal coordinado es una escala de tiempo que se define uniforme de tal forma que pueda relacionar directamente el T U 1 con el T AI y el T DT . El T U C es, en realidad, el tiempo que muestran nuestros relojes corregidos por huso horario por supuesto, si están apropiadamente sincronizados. Por lo tanto, la fórmula (7.7) ha de escribirse con T U C en lugar de T U . Es un tiempo que se distribuye al mundo a través de se˜ nales de radio como por ejemplo la se˜ nal que emite la emisora de Fort Collins en Colorado, Estados Unidos. La relación entre el T AI, el T U C y el T U 1 está dada por las siguientes ecuaciones: T AI |T U 1 − T U C|

= <

T U C + N, 0.9 segundos,

(7.22) (7.23)

132


donde N es un n´ umero entero de segundos. ¿C´ omo se procede? Tenemos dos escalas de tiempo uniformes que difieren en un n´ umero entero de segundos, N . Este n´ umero posee un valor constante sólo por un intervalo de tiempo dado. Cuando se estima necesario este n´ umero N aumenta (o disminuye) en uno. Lo que obliga a cambiar el n´ umero N es la desigualdad en (7.23). Puesto que el T U 1 no es uniforme (recordar la variabilidad de la rotaci´ on de la Tierra) la diferencia entre éste y el T U C aumentará conforme transcurre el tiempo. Cuando la diferencia entre ellos se haya acumulado de tal forma que se corra el riesgo de no cumplir con la ecuaci´ on (7.23), lo que se hace es aumentar (o dimininuir) en uno el valor de N en la ecuación (7.22) para as´ı conservar la desigualdad. El organimo encargado de tomar estas decisiones es el Service International de la Rotation Terrestre (IERS, por sus siglas en inglés). Ahora bien, en los u ´ltimos cien a˜ nos se ha notado que a nuestro planeta le est´ a tomando más tiempo dar una revoluci´ on completa con respecto a las estrellas y radiofuentes extragalácticas, esto es, se está desacelerando. Los valores de ∆T en la tabla 7.1 indican la manera caprichosa como nuestro planeta se ha acelerado y desacelerado en los u ´ ltimos 350 a˜ nos. Al estar la Tierra desacelerando completar´ a una revoluci´ on ya no en 86 400 segundos SI (medida en una escala uniforme tal como el T AI) sino en un poquito m´ as. De seguir la desaceleración, al ir transcurriendo los meses, se van acumulando más diferencias hasta que es posible que se esté acercando el d´ıa solar medio a 86 401 segundos. Los astrónomos se ven abocados a eliminar ese segundo extra que se ha acumulado. La manera como se hace es aumentando en uno el n´ umero N : tanto el T AI como el T U C deben tener un d´ıa de 86 400 segundos SI. Esto explica la ecuaci´ on (7.22). El segundo extra que se va acumulando en N de tanto en tanto se llama segundo bisiesto. Actualmente nuestro planeta se está desacelerando a una rata de 0.002 segundos por d´ıa, lo que significa que por término medio cada 1/0.002= 500 d´ıas ≈ 1.3 a˜ nos es necesario introducir un segundo bisiesto. Estos segundos se insertan cuando se estima necesario o bien el 30 de junio o el 31 de diciembre. En el momento que se escriben estas lineas (principios del 2001) el valor de N es igual a 32. Los segundos bisiestos se comenzaron a introducir en 1972. Hasta ahora todos han sido positivos, esto es, en todos los caso N > 0. Con la introducci´ on del T DT fue claro que la definici´ on del ∆T también deb´ıa cambiar. El ∆T se define ahora como: ∆T = T DT − T U 1.

(7.24)

Por supuesto que N está relacionado con ∆T . Al reemplazar (7.21) en (7.24) obtenemos: ∆T = T AI + 32.184 − T U 1,

(7.25)

y puesto que T U 1 = T U C + δt se tiene (al tener en cuenta (7.23), donde δt en una peque˜ na diferencia en segundos inferior a 0.9 segundos): ∆T = N + 32.184 + δt.

(7.26)

De ello resulta que el ∆T actualmente es superior al minuto de tiempo. Predecir el comportamiento de este valor en el futuro resulta complicado por su naturaleza err´ atica. Sin embargo, se presentan en la tabla 7.2 las predicciones del Observatorio Naval de los Estados Unidos en 1999 acerca del valor que adoptará ∆T para la pr´ oxima década.

7.12. TIEMPOS UNIVERSALES

A˜ no 2000.0 2000.5 2001.0 2001.5 2002.0 2002.5

∆T (s) 63.86 64.8 65.2 65.7 66.2 67

Tabla 7.2:

A˜ no 2003.0 2003.5 2004.0 2004.5 2005.0 2005.5

133

∆T (s) 67 68 68 69 69 70

A˜ no 2006.0 2006.5 2007.0 2007.5 2008.0 2008.5

∆T (s) 70 71 71 72 72 73

A˜ no 2009.0 2009.5 2010.0 2010.5 2011.0 2011.5

∆T (s) 73 74 74 75 75 76

Algunos valores de ∆T pronosticados para los pr´ oximos a˜ nos

Ejemplo 1 El anuario del Observatorio Astron´ omico Nacional contiene las posiciones de la Luna, el Sol y los planetas para las 0h de T DT (o T T ). ¿A qué horas de Tiempo Oficial de la Rep´ ublica de Colombia corresponde el siguiente instante de tiempo: 0 horas de T T del 4 de marzo de 2000? Soluci´ on Para el primer semestre de 2000 el valor de N es igual, de acuerdo con el Boletin C19 del 12 de enero de 2000 emitido por el IERS, a 32 segundos. Colocando δt igual a cero y utilizando la ecuaci´ on (7.26) obtenemos el valor de ∆T para el primer semestre de 2000: ∆T = 32 + 32.184 = +64.184s = 1m 4.184s . Por lo tanto, con la ecuación (7.24) haciendo T U 1 = T U C (δt = 0) obtenemos: T U C = T DT − ∆T = 0h 0m 0s − 1m 4.184s = −1m 4.184s . Esto equivale a 24h − 1m 4.184s = 23h 58m 55.816s del d´ıa inmediatamente anterior. De la ecuación (7.8) con T U reemplazándolo como T U C, calculamos finalmente el Tiempo Oficial de la Rep´ ublica de Colombia: (T L)Colombia = T U C − 5h = 23h 58m 55.816s − 5h = 18h 58m 55.816s , del d´ıa 3 de marzo de 2000. LECTURAS Y SITIOS DE INTERNET RECOMENDADOS • Cepeda, W. (1992), Sobre el adelanto de la hora en Colombia, Revista Colombiana de Estad´ıstica, No. 25 y 26, p. 83-91. Art´ıculo de divulgaci´ on en el que se analiza los tiempos de la salida del Sol en el transcurso del a˜ no para latitudes colombianas.

134

CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA • Hellings R.W. (1986) Relativistic Effects in Astronomical Timing Measurements, Astronomical Journal, Vol. 91, p. 650. Art´ıculo de car´ acter técnico que describe las diferentes transformaciones necesarias para reducir las medidas de tiempo que se toman en la Tierra teniendo en cuenta la teor´ıa de la relatividad general. • Meeus, J. (1991), Astronomical Algorithms, Willman-Bell, Inc., Richmond. El cap´ıtulo 9 contiene una descripci´ on ilustrativa de la relaci´ on entre el tiempo din´ amico y el tiempo universal. • Seidelmann, K. (1992), Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, University Science Books, Mill Valley, CA. En su cap´ıtulo 2 contiene lo que a juicio del autor es la mejor descripci´ on técnica y autorizada de los modernos conceptos que existen sobre el tiempo en astronom´ıa. • http://physics.nist.gov/GenInt/Time/time.html Se encuentra un breve resumen sobre la evoluci´ on de las medidas del tiempo a trav´ es de la historia. • http://quasar.as.utexas.edu/Billinfo/JulianDateCalc.html En esta hoja electr´ onica se puede calcular directamente la fecha juliana para cualquier d´ıa. • http://maia.usno.navy.mil Aqu´ı existe bastante informaci´ on relacionada con el Servicio Internacional de Rotaci´ on Terrestre, al igual que se anuncian los pr´ oximos segundos bisiestos. • http://tycho.us.navy.mil/sideral.html Esta hoja calcula para tiempo real el tiempo sideral local. • http://www.ubr.com/clocks Gran cantidad de informaci´ on sobre el tiempo y los diferentes tipos de relojes para medirlo.

Cap´ıtulo 8

´ CALCULO DE ALGUNOS ´ FENOMENOS ´ ASTRONOMICOS 8.1

Culminaci´ on de cuerpos celestes

La culminación de un cuerpo celeste ocurre cuando dicho astro pasa por el meridiano del observador. Dependiendo de la ubicaci´ on de éste, esto es, de su latitud, podr´ a observar si un astro en alg´ un momento deja de ser visible (h < 0), o sea, se ubica por debajo del horizonte, o lo contrario: nunca atraviesa el horizonte para todo tiempo (h > 0). CULMINACION SUPERIOR


PNC

CULMINACION INFERIOR HORIZONTE

EJE DE ROTACION

TE

S LE

R DO

CE

UA

EC

PSC

Figura 8.1:

Culminaci´ on superior e inferior

135

136

´ ´ ´ CAPÍTULO 8. CALCULO DE ALGUNOS FENOMENOS ASTRONOMICOS

Si un astro, para un observador situado a la latitud φ, es siempre visible para el observador se dice que es circumpolar, pues parece estar describiendo una trayectoria circular alrededor de la estrella polar, o m´ as exactamente, alrededor del PNC (ver figura 8.1). Si un astro es circumpolar para un observador dado, éste podr´ a advertir que el astro atraviesa su meridiano en dos ocasiones. Ello da lugar a dos definiciones de culminaci´ on. La que se verifica a mayor altura se denomina culminaci´ on superior , que es aquella que intersecta el meridiano del observador. La otra es llamada culminaci´ on inferior . La forma inequ´ıvoca de diferenciar las dos culminaciones es através del ángulo horario. En la culminaci´ on superior on inferior H = 12h . H = 0h ; en la culminaci´

PNC CENIT

φ

δ

PSC Figura 8.2:

Condici´ on de circumpolaridad

Para que un observador ubicado a la latitud φ pueda contemplar una culminaci´ on inferior de una estrella con declinaci´ on δ la relaci´ on que se tiene que cumplir es (ver figura 8.2): δ > 90 − φ,

(8.1)

donde, si el observador est´ a situado en el hemisferio norte (φ > 0) la declinaci´ on es positiva; si, por el contrario, el observador está situado en el hemisferio sur, (φ < 0) el signo de la declinaci´ on es negativo. Por ejemplo, examinemos el caso extremo de un observador ubicado en el PNT; éste observar´ a que todas las estrellas del hemisferio norte son circumpolares (δ ≥ 0); m´ as a´ un, aqu´ı todas las estrellas culminan “superior e inferiormente” a la

8.2. SALIDA Y PUESTA DE UN ASTRO

137

misma altura. Pero seamos más pr´ acticos. Un observador situado en San Andrés (φ = 12.5 N) podr´ a observar aquellas estrellas circumpolares cuya declinaci´ on sea mayor o igual que 90 − 12.5 = +77.5. Por lo tanto, desde San Andrés sólo es posible ver estrellas circumpolares como γ Cephei (Errai), ζ Ursae Minor, δ Ursae Minoris (Yildun) y ² Ursae Minoris. Desde Bogotá (φ = 4.5 N) el asunto de observar estrellas circumpolares es m´ as complicado. S´ olo es posible observar estrellas circumpolares con declinaciones mayores o iguales que 90 − 4.5 = +85.5. Dadas las malas condiciones observacionales de la capital de la Rep´ ublica en la pr´ actica es poco menos que imposible observar all´ı estrellas circumpolares. Para el caso de Leticia (φ = 4.3 S), la u ńica capital de departamento que est´ a situada por debajo del ecuador terrestre, es evidente que s´ olo son visibles estrellas cincumpolares cuya declinaci´ on sea mayor o igual que 90 − 4.3 = 85.7 en el hemisferio sur, esto es δ = −85.7. Ejemplo 1 Determinar desde qué latitud es posible observar las siguientes estrellas como estrellas circumpolares: a) Aldebar´ an (δ = +16o 310 ). b) Rigil Kentarus (δ = −60o 500 ). Soluci´ on a) Puesto que la estrella queda en el hemisferio norte (δ > 0) es claro que el valor de la latitud estar´ a en el hemisferio norte terrestre. De la ecuaci´ on 8.1 se deduce: φ ≥ 90 − δ. Por an como estrella lo tanto, a partir de una latitud de 73o 290 ya es posible observar a Aldebar´ circumpolar alrededor del PNC. b) Puesto que la estrella queda en el hemisferio sur (δ < 0) es claro que el valor de la latitud estar´ a en el hemisferio sur terrestre. De la ecuación 8.1 se deduce: φ ≥ 90 − δ = 90 − 60o 500 = 29o 100 S. Por lo tanto, a partir de una latitud de 29o 100 S (y dirigiéndose a partir de ah´ı hacia el PST) ya es posible observar a Rigil Kentarus como estrella circumpolar pero alrededor del PSC.

8.2

Salida y puesta de un astro

Un problema interesante en astronom´ıa esférica es la determinaci´ on del tiempo de la salida (orto) y la puesta (ocaso) de un astro para un observador dado. El c´ alculo es relativamente sencillo e involucra el dominio de conceptos que ya hemos visto anteriormente.

138

8.2.1


Una primera aproximaci´ on

La condici´ on de salida o puesta de un astro para un observador dado es: h = 0,

(8.2)

esto es, cuando el astro se encuentra en el horizonte.

As N

E

SALIDA

*

E S

N

W

PUESTA

Figura 8.3:

*

S W

Ap

Salida y puesta de un astro

En el cálculo de los tiempos de salida y puesta se suponen conocidas las coordenadas del observador (φ y λ), las coordenadas del astro en cuesti´ on (usualmente α y δ) y el T SG0 del d´ıa en cuesti´ on. La ecuación (5.4) con h = 0 permite obtener los ańgulos horarios para los cuales se cumplen las condiciones de salida y puesta, que designaremos por Hsp : sen φ sen δ + cos φ cos δ cos Hsp = 0,

(8.3)

de la cual se obtiene inmediatamente: Hsp = cos−1 (− tan φ tan δ) ,

(8.4)

donde se supone que el astro no cambia significativamente de posici´ on (entre el tiempo que se verifican ambos fenómenos) por lo que los ángulos δ y α se consideran constantes en el intervalo en que se verifica la salida y la puesta. Esta ecuaci´ on permite calcular las dos condiciones con base en el valor que se deduce de Hsp . Si se obtiene que Hsp está en el primero o segundo cuadrante entonces el valor corresponde a la puesta Hp . El valor del ángulo horario a la salida Hs se obtiene con Hs = 360 − Hp . El valor del azimut para ambos casos está dado por la ecuación (5.3) con h = 0 : Asp = cos−1

µ

sen δ cos φ

¶ .

(8.5)


139

El valor de Asp comprendido entre el primer y segundo cuadrante corresponde al azimut de salida As . El valor de Asp entre el tercero y cuarto cuadrante corresponde al azimut de la puesta Ap que se calcula con Ap = 360 − As . Veamos cómo se calculan los tiempos de salida y de puesta. Habiendo hallado los valores de Hs y Hp procedemos a encontrar los tiempos siderales locales en que se suceden ambos eventos. Como sabemos, el T SL está dado por la ecuación (5.12): T SLsp = α + Hsp .

(8.6)

La conexión con el tiempo local del observador se ve al relacionar los instantes de salida y puesta con el tiempo sideral en Greenwich en los instantes correspondientes (ver ecuaciones (7.13) y (7.14)): µ o ¶ λW E (T SGt )sp = T SLsp ± , (8.7) 15 donde el signo positivo corresponde a una longitud al oeste (λoW ) y el negativo al este acil calcular el T SG0 para cualquier d´ıa que se desee, o más f´ acil (λoE ). Puesto que es f´ a´ un, hallarlo en un almanaque astron´ omico, entonces, de la ecuación (7.12) se deducen los tiempos universales: T Usp =

(T SGt )sp − T SG0 . 1.0027379

(8.8)

La hora local se calcula mediante (ecuación (7.7)): T Lsp = T Usp + HH.

(8.9)

Ejemplo 1 Calcular los tiempos de salida y puesta en Tiempo Oficial de la Rep´ ublica de Colombia de la estrella Betelgeuse el d´ıa 22 de noviembre de 1997 para un observador situado en la ciudad de Cali. Determinar también los azimuts correspondientes. Soluci´ on En los apéndices (B) y (E) extraemos los datos necesarios: Para Betelgeuse: α = 5h 55.0m , δ = 7o 240 . Para Cali: φ = 3o 270 , λ = 76o 310 W. Necesitamos también el T SG0 para el d´ıa en cuesti´ on. La fecha juliana es: F J = 2 450 774.5, luego T = −0.02109514. Al reemplazar en (7.16), pág. 123, obtenemos: T SG0 = 4h 4.0m . Procedemos a calcular los ángulos horarios de salida y puesta de acuerdo con (8.4): Hsp = cos−1 [− tan(3o 270 ) × tan(7o 240 )] = cos−1 (−0.007830).


140

Los ańgulos que satisfacen esta ecuación son: 90o 26.90 y 269o 33.10 . Teniendo en cuenta la definici´ on del ángulo horario (contado desde el meridiano hacia el oeste) es evidente que: Hp = 90o 26.90 = 6h 1.8m ,

Hs = 269o 33.10 = 17h 58.2m .

Calculamos con ayuda de la ascensión recta los tiempos siderales locales en que ocurren estos eventos (ver ecuación (8.6)): T SLp = 5h 55.0m + 6h 1.8m = 11h 56.8m ,

T SLs = 5h 55.0m + 17h 58.2m = 23h 53.2m .

Luego procedemos a determinar, por medio de (8.7), los T SGt de los instantes correspondientes : µ o 0¶ 76 31 h m = 17h 2.9m , (T SGt )p = 11 56.8 + 15 µ o 0¶ 76 31 h m = 28h 59.3m = 4h 59.3m . (T SGt )s = 23 53.3 + 15 Los tiempos universales de la salida y puesta se hallan aplicando la f´ ormula (8.8):

T Up =

17h 2.9m − 4h 4.0m = 12h 56.8m , 1.0027379

T Us =

4h 59.3m − 4h 4.0m = 0h 55.1m . 1.0027379

La hora local se calcula con (8.9) donde HH = −5. T Lp = 12h 56.8m − 5 = 7h 56.8m ,

T Ls = 0h 55.1m − 5 = −4h 4.9m = 19h 55.1m .

Los azimuts correspondientes se pueden calcular con ayuda de (8.5): µ ¶ sen 7o 240 = cos−1 (0.129029). Asp = cos−1 cos 3o 270 Los ´ angulos que satisfacen esta ecuación son: 82o 35.20 y 277o 24.80 . Teniendo en cuenta la definici´ on del azimut es claro que se tiene: Ap = 277o 24.80 ,

8.2.2

As = 82o 35.20 .

Refinando el c´ alculo

La descripción anterior ignora el fenómeno de la refracción astronómica, ver sección 10.6. ´ Esta aumenta la altura aparente de los astros y es m´ as pronunciada cuando el astro est´ a ubicado en el horizonte.


141

ATMOSFERA

POSICION APARENTE DEL ASTRO

* *

34’ POSICION REAL DEL ASTRO

Figura 8.4:

Correcci´ on por refracci´ on en la salida y puesta de un astro

De manera est´ andar se considera que la refracci´ on en el horizonte aumenta la altura de los astros unos 34 minutos de arco. Por lo tanto, la condici´ on realista de la salida o puesta de un astro es cuando la altura geométrica posee un valor de: h = −0o 340 .

(8.10)

El no tener en cuenta la refracci´ on para un cuerpo celeste “puntual” y cuyo movimiento con respecto a las estrellas sea muy lento (de un d´ıa para otro) tal y como es el caso de las mismas estrellas o un planeta con movimiento medio muy peque˜ no, da un error en los tiempos de salida y puesta de varios minutos. La variación que hay que tener en cuenta en esta correcci´ on es colocar el valor de h dado en (8.10) y reemplazarlo en la ecuación (5.4): ¶ µ −9.89 × 10−3 − sen φ sen δ . (8.11) Hsp = cos−1 cos φ cos δ La depresi´ on del horizonte Hasta ahora se ha supuesto que el observador est´ a ubicado a nivel medio del mar de tal forma que el horizonte del observador es tangente a la superficie de la Tierra en la posici´ on del observador. Pero obviamente este no es siempre el caso. Al estar ubicado un observador a una altura a sobre el nivel medio del mar su horizonte cambia ligeramente. Es claro de la figura 8.5 que un observador situado a una altura a observar´ a un ligero aumento de porcentaje de b´ oveda celeste. Este efecto, tanto mayor cuanto mayor es la altura a, es denominado depresi´ on del horizonte. Estamos interesados en calcular el ángulo θ que da cuenta del grado de depresi´ on de una estrella con respecto al horizonte para un observador ubicado a una altura a sobre el nivel medio del mar. De la figura 8.5 tenemos que: sen (90 − θ) = cos θ =

R , R+a

142


θ

a

HORIZONTE A NIVEL DEL MAR

HO

E

T ON

R

Z RI

HO

RI

ZO

C

Figura 8.5:

NT

E

Depresi´ on del horizonte

donde R es el radio terrestre. R es muy peque˜ na por lo que podemos utilizar los dos En la pr´ actica la relación R+a primeros términos en que se expande la funci´ on coseno en serie de potencias:

1−

θ2 R = , 2 R+a r

de la cual es inmediato obtener: θ=

2a . R+a

De nuevo, puesto que R + a ≈ R y al multiplicar por 180/π para obtener el ańgulo en grados: ¶r µ 180 2a . θ= π R Al tomar R = 6 378 140 metros y multiplicar por 60 para que el resultado se obtenga en minutos obtenemos: √ θ = 1.93 a,

(8.12)

donde θ está en minutos de arco y a debe darse en metros. Teniendo en cuenta la refracci´ on en el cálculo anterior la f´ ormula (8.12) se modifica ahora por la expresi´ on: √ θ = 1.78 a.

(8.13)

El c´ alculo de la depresi´ on del horizonte sólo tiene sentido hacerlo para observadores ubicados en altamar o situados en terrenos costeros donde sea posible observar la l´ınea del océano como horizonte. El cálculo se har´ a colocando el valor de h en (5.4) igual a h = −θ y despejar para Hsp .

8.3. PASO POR EL MERIDIANO DEL OBSERVADOR

8.2.3

143

El c´ alculo especial del Sol y la Luna

Con el Sol y la Luna el cálculo es un poco m´ as complicado. Comenzando por el hecho de que el Sol y la Luna no son cuerpos “puntuales”, esto es, tienen una dimensi´ on aparente. Por una afortunada coincidencia, ambos cuerpos presentan, vistos desde la Tierra, un radio angular aparente casi idéntico de unos 16 minutos de arco. Pero las coordenadas (α y δ) de estos cuerpos se refieren al centro de sus discos y puesto que se suele referir al borde superior del disco como el punto a tener en cuenta en la salida y la puesta resulta que la altura geométrica de dicho punto viene siendo (teniendo en cuenta la refracci´ on), para ambos casos, igual a: h = −(0o 340 + 0o 160 ) = −0o 500 .

(8.14) −3

Ello significa que en la ecuaci´ on (8.11) se ha de reemplazar el valor de −9.89 × 10 el de −1.45 × 10−2 .

por

La verdadera complicación en el cálculo de la salida y puesta de estos objetos es que poseen un movimiento a través de las estrellas bastante pronunciado. El Sol en doce horas puede moverse unos 30 minutos de arco, que de no tenerse en cuenta puede representar un error de cerca de cinco minutos. Con la Luna el movimiento es a´ un m´ as acentuado, pues en término de doce horas puede barrer unos seis grados. Todo esto quiere decir que en los cálculos anteriores ya no es v´ alido asumir que las coordenadas α y δ que se leen, por ejemplo en los almanaques astronómicos (que vienen dadas para las 0 horas de Tiempo Terrestre con un intervalo de un d´ıa) son constantes, sino que, para el fenómeno del orto y el ocaso de ambos astros, las coordenadas serán ligeramente distintas.

8.3

Paso por el meridiano del observador

An´ alogo a la determinación de los tiempos de salida y puesta est´ a el determinar los tiempos del paso por el meridiano. Aqu´ı no consideraremos el caso de objetos circumpolares por no ser de com´ un observaci´ on desde las latitudes de las ciudades colombianas. El paso por el meridiano corresponde al momento en el cual la altura del astro es un máximo. Matemáticamente, el instante corresponde al momento en el cual el ángulo horario del astro es cero: Hm = 0.

(8.15)

La altura del astro en el paso por el meridiano, hm , (no corregida por refracci´ on) es, de acuerdo con (5.4): hm = sen −1 ( sen φ sen δ + cos φ cos δ),

(8.16)

donde se supone que el valor de δ es muy cercano (si no igual) al valor que debe tener en el tiempo que se está buscando. El azimut en el que se verifica el paso es, como es obvio, 0 o 180 grados.

144

´ ´ ´ CAPÍTULO 8. CALCULO DE ALGUNOS FENOMENOS ASTRONOMICOS ASTRO EN EL MERIDIANO

CENIT

hm PNC

PSC

Figura 8.6:

Paso por el meridiano del observador

El c´ alculo del tiempo del paso por el meridiano es completamente equivalente al descrito en la sección 8.2. Como es claro, el tiempo sideral local en el instante en que se verifica la culminaci´ on es: T SLm = α,

(8.17)

donde se supone que α es el valor de la coordenada del astro muy cercano (si no igual) al valor que debe tener en el tiempo que se est´ a buscando. El c´ alculo del instante del tiempo del paso por el meridiano sigue, como antes, la siguiente secuencia: µ (T SGt )m = T SLm ±

T Um =

λoW E 15

¶

(T SGt )m − T SG0 , 1.0027379

T Lm = T Um + HH.

,

(8.18)

(8.19) (8.20)

Ejemplo 1 Calcular el tiempo del paso por el meridiano en Tiempo Oficial de la Rep´ ublica de Colombia de la estrella Betelgeuse el d´ıa 22 de noviembre de 1997 para un observador situado en la ciudad de Cali. Determinar la altura del astro en ese instante.

8.4. PASO POR EL CENIT DEL OBSERVADOR

145

Soluci´ on Los datos de partida son los mismos del ejemplo 1 de la pág. 139. El T SL en el que ocurre el paso por el meridiano es igual a la ascensión recta del astro: T SLm = 5h 55.0m . El c´ alculo del T SGt se realiza con ayuda de (8.18): µ o 0¶ 76 31 = 11h 1.10 . (T SGt )m = 5h 55.0m + 15 Luego se calcula el tiempo universal: 11h 1.10 − 4h 4.0m = 6h 55.90 , 1.0027379 que en Tiempo Oficial de la Rep´ ublica de Colombia es: T Um =

T Om = 1h 55.90 . La altura del paso por el meridiano se calcula con (8.16): hm = sen −1 [ sen (3o 270 ) sen (7o 240 ) + cos(3o 270 ) cos(7o 240 )] = sen −1 (0.99762) = 86o 30 .

8.4

Paso por el cenit del observador

La condici´ on de paso por el cenit del observador se establece fácilmente a partir de la figura 8.7. Un astro con declinación δ está en el cenit de un observador con latitud φ cuando se verifica: 90 − φ + δ = 90, de la que se desprende inmediatamente: φ = δ.

(8.21)

Las condiciones de observabilidad del Sol en el transcurso del a˜ no para un observador sobre la superficie terrestre da lugar a unas zonas geogr´ aficas claramente definidas sobre la superficie del planeta. Puesto que la declinaci´ on del Sol está comprendida entre el intervalo: −² ≤ δ¯ ≤ ²,

(8.22)

146


PNC

90−φ

CENIT

δ

φ

TE

HORIZONTE

ELES DOR C

ECUA

PSC Figura 8.7:

Condici´ on de paso por el cenit

donde ² es la oblicuidad de la ecl´ıptica, es claro que, de la ecuación (8.21), el Sol sólo podr´ a estar en el cenit para observadores comprendidos entre latitudes 23o 270 sur y 23o 270 norte. La zona terrestre que est´ a demarcada por estas latitudes se denomina zona torrida. Los paralelos de latitud con valores φ = ±² se conocen con el nombre de trópicos. El que est´ a opico de C´ ancer ; el del hemisferio sur en el hemisferio norte (φ = + 23o 270 ) se denomina tr´ opico de Capricornio. La razón de que tengan estos nombres (φ = − 23o 270 ) se llama tr´ es aquella misma por la cual al punto vernal todav´ıa se le llame primer punto de Aries, cuando en realidad en nuestra época está situado en Piscis. Unos dos mil a˜ nos atr´ as el Sol se ubicaba en la constelaci´ on de Cáncer cuando alcanzaba el máximo valor positivo de declinaci´ on; seis meses después (cuando ten´ıa el valor m´ aximo negativo de la declinaci´ on) se hallaba en Capricornio. Pero a causa del fenómeno de precesión de los equinoccios el Sol ya no se ubica en tales constelaciones cuando llega el momento de los solsticios. Actualmente el Sol alcanza los valores máximo y m´ınimo de la declinaci´ on en las constelaciones de Geminis y Sagitario respectivamente. Observadores ubicados dentro de la zona torrida pueden observar el Sol en su cenit en dos d´ıas del a˜ no. Puesto que los asentamientos humanos de importancia en Colombia se extienden desde una latitud φ = +12o 280 hasta φ = − 4o 270 es claro que todo el territorio continental e

8.4. PASO POR EL CENIT DEL OBSERVADOR

147

insular est´ a ubicado dentro de la zona torrida.

Ciudad Bogotá Medell´ın Cali Barranquilla Bucaramanga Riohacha Popay´ an San Andrés Leticia Tabla 8.1:

Fechas del a˜ no abril 2 y septiembre 11 abril 6 y septiembre 7 marzo 30 y septiembre 15 abril 19 y agosto 25 abril 9 y septiembre 5 abril 21 y agosto 23 marzo 27 y septiembre 17 abril 23 y agosto 21 marzo 10 y octubre 5

D´ıas en que el Sol est´ a en o muy cerca del cenit para algunas ciudades colombianas

La tabla 8.1 contiene las fechas aproximadas en el transcurso del a˜ no en que el Sol se encuentra en el cenit1 para varias ciudades colombianas. Observadores situados a latitudes mayores que φ > 23o 270 N y φ > 23o 270 S nunca tendr´ an el Sol en su cenit. La situación es más cr´ıtica cuando la latitud se va aproximando a latitudes cercanas a los polos. Estamos acostumbrados aqu´ı en el trópico a que todos los d´ıas del a˜ no el Sol salga por el oriente y se oculte por el occidente. Pero a partir de cierta latitud comenzar´ a a observarse algo sorprendente: el Sol, en solsticio de verano (si está el observador situado en el hemisferio norte), se torna un astro circumpolar, esto es, es posible observar el Sol durante las 24 horas del d´ıa: tenemos el Sol de media noche. El mismo observador, seis meses después (en solsticio de invierno), notar´ a que el Sol nunca sale durante el transcurso del d´ıa. Es f´ acil ver que el valor m´ınimo de latitud para que comience a observarse esta clase de fen´ omeno debe cumplir: φ = ± (90 − |δM ¯ |) = ± (90 − ²) = ±66o 330 ,

(8.23)

on del Sol. donde δM ¯ representa el valor máximo de la declinaci´ Los paralelos que corresponden a estos valores de latitud son llamados c´ırculo polar ´rtico y c´ırculo polar ant´ a artico para el hemisferio norte y sur respectivamente. Es claro que el fen´ omeno es más acentuado en los polos. En éstos la situaci´ on es tan extrema que el Sol está siempre visible por seis meses del a˜ no; los restantes seis meses son de permanente noche. 1 Rigurosamente, el Sol no pasa por el cenit de dichos observadores a causa de que casi siempre en el momento de la culminaci´ on superior la declinaci´ on del Sol en ese instante no coincide (por varios minutos de arco) con la latitud del observador en dichas ciudades.


148

CIRCULO POLAR ARTICO

φ=23o 27’ Ν

ZONA TORRIDA

φ= 66o 33’ N

TROPICO DE CANCER

SOL CON δ=23o 27’

ET

o

φ= 23 27’ S

o

CIRCULO POLAR ANTARTICO

Figura 8.8:

SOL CON δ=− 23 27’

TROPICO DE CAPRICORNIO

o

φ= 66 33’ S

Zonas geogr´ aficas definidas por la declinaci´ on del Sol

Ejemplo 1 Determinar en qué d´ıas del a˜ no observadores situados en la ciudad de M´ urmansk (Rusia) observan el fenómeno del Sol de medianoche. ¿Qué d´ıas dejan de ver el Sol por completo? Soluci´ on La latitud de M´ urmansk es de 68o 580 N. Por lo tanto, de la ecuación (8.1) es evidente que el Sol no se pone siempre y cuando la latitud del Sol sea: δ¯ ≥ 90 − φ.

(8.24)

omico nos permite En nuestro caso, δ¯ ≥ 21o 20 . La consulta a un almanaque astron´ verificar (mirando las coordenadas ecuatoriales absolutas del Sol, particularmente su declinaci´ on) que esto sucede aproximadamente entre el 26 de mayo y el 18 de julio. El Sol no es visible para dicho observador cuando la declinaci´ on del Sol es: δ¯ ≥ − (90 − φ) ,

(8.25)

donde el valor de la declinaci´ on al lado izquierdo ha de tomar valores de la declinaci´ on “mayores” (en el sentido de desplazarse hacia el PSC) que −21o 20 . Esto ocurre entre el 27 de noviembre y enero 15.

8.5

Navegaci´ on astron´ omica

En la era de la navegaci´ on satelital con GPS (Global Positioning System, sistema de posicionamiento global), en la que se ha hecho rutinario manejar aparatos similares a calculadoras de bolsillo cuyo costo es inferior a los 200 d´ olares y que registran, en unos cuantos

´ ASTRONOMICA ´ 8.5. NAVEGACION

149

segundos y con oprimir dos o tres teclas, la posición de un observador sobre la superficie terrestre, con una exactitud del orden de 50 metros o menos, es dif´ıcil imaginar que ésta tarea, en los cuatro siglos anteriores, era una labor observacional, astronómica y matemática muy lejos de ser sencilla. En la época de los grandes descubrimientos geográficos y la posterior conquista y colonizaci´ on de territorios como América, Asia y Australia, llevada a cabo en su mayor parte en los siglos XVI y XVII, se desarrollaron técnicas muy fecundas para tratar de satisfacer el anhelo de los marineros que cruzaban los océanos y deseaban a toda costa conocer su posici´ on en altamar con una exactitud razonable. La astronom´ıa de posici´ on muy rápidamente llen´ o ese anhelo por lo que no es de extra˜ nar que se sucediera la revoluci´ on astronómica de Copérnico, Brahe, Kepler y Galileo más o menos por los mismos tiempos, dada la necesidad imperiosa de marineros y cart´ ografos de pulir y mejorar cada vez más las técnicas observacionales y el cálculo de las posiciones de los cuerpos celestes para poder hallar con mayor exactitud su posici´ on geográfica. En principio, es f´ acil conocer aproximadamente la latitud de un observador midiendo la altura aparente de la estrella polar con respecto al horizonte. Pero esto no siempre es posible, bien sea por condiciones climatológicas adversas o porque sencillamente el observador se halla en el hemisferio sur. La observación de la estrella Polaris (que dista menos de un grado del PNC) es dif´ıcil aun desde sitios donde es te´ oricamente posible observarla. El autor recuerda sólo en una ocasi´ on haber visto la estrella Polaris desde Bogot´ a aun cuando se supone que con 4.5o de altura sobre el horizonte deber´ıa observarse con mayor frecuencia. La observación de la altura de la culminaci´ on de una estrella o del Sol puede arrojar datos importantes. δ

hm

ESTRELLA CULMINANDO

PNC

φ

PSC

ECU

ADO

RC

ELE

STE

HORIZONTE

Figura 8.9:

Relaci´ on entre la latitud, altura de culminaci´ on y declinaci´ on de un astro

150


De la figura 8.9 vemos que para un astro con declinaci´ on δ y altura hm sobre el horizonte, en el momento de su culminación o paso por el meridiano, la relación con la latitud φ de dicho observador es: hm − φ + δ = 90,

(8.26)

φ = hm + δ − 90.

(8.27)

o mejor:

La altura que entra en este c´ alculo ha de pasar previamente por varias correcciones. Independiente de la correcci´ on hecha al instrumento con el que se realiza la observación (usualmente un sextante) se ha de corregir también por la refracción astronómica (ver sección 10.6) y la altura a la que se encuentra el observador con respecto al nivel medio del mar (depresi´ on del horizonte). En el caso de que el cuerpo observado sea el Sol se ha de corregir adicionalmente por semidi´ ametro (pues la lectura se realiza casi siempre midiendo la altura de la parte baja del disco solar) y por paralaje (ver secci´ on 10.5), pues la declinación del Sol viene dada para un observador hipotético ubicado en el centro de la Tierra. Hay que tener en cuenta que, en la pr´ actica, el usuario que recurre a la navegaci´ on por estrellas siempre tiene previamente una idea muy aproximada de cual es su posici´ on real puesto que un marino o piloto experto navega o pilotea por el método llamado de estima, esto es, el cálculo de la posici´ on teniendo en cuenta par´ ametros tales como la velocidad de la nave, tiempo transcurrido desde la u ´ltima medici´ on, velocidad y direcci´ on del viento, etc. Crist´ obal Colón2 , por ejemplo, se mov´ıa con toda confianza y libremente a través del Atl´ antico y el mar Caribe casi exclusivamente a base de navegación por estima. Por lo tanto, las medidas que se hacen frecuentemente de la altura del paso de los astros en la culminaci´ on para hallar la latitud se hace con el fin de pulir y llevar a exactitud el c´ alculo de la posici´ on. Ejemplo 1 Determinar la latitud de un observador si al momento del paso del Sol por el meridiano se registr´ o una altura de 75o 130 . La declinación del Sol para el momento de la observación es de −14o 100 . Soluci´ on En vista de que no nos suministran m´ as información se hará el cálculo despreciando la contribuci´ on de la refracci´ on, de la depresi´ on del horizonte, del paralaje y del semidiámetro. De la ecuacion (8.27) se obtiene: φ = 75o 130 − 14o 100 − 90o = −28o 570 = 28o 570 S. 2 Los conocimientos astron´ omicos de Col´ on eran muy pobres. De hecho, en una medici´ on realizada en su primer viaje a América lleg´ o a confundir la estrella Polaris con Alfirk (β Cephei) lo que le llev´ o a concluir que el sitio donde se encontraba (costa noreste de Cuba) ten´ıa una latitud de 42o N cuando en realidad se encontraba a 21o N (ver Morison, 1970, p. 258.)


151

Ejemplo 2 Un marinero zarp´ o de la isla Malpelo y desea al cabo de un tiempo determinar su posición en altamar. Para ello realiza una observaci´ on del Sol en el momento del paso por el meridiano midiendo con su sextante una altura de 83o 34.10 teniendo como referencia el borde inferior del disco solar. De acuerdo con el almanaque náutico del barco la declinación del Sol para ametro es el momento de la observación (25 de agosto de 1999) fue de 10o 44.50 y el semidi´ de 15.80 . La altura del sextante con respecto al agua fue estimada, en el momento de la medici´ on, en 5 metros. Determinar la latitud del marinero. Soluci´ on Supondremos que los errores instrumentales ya han sido tenidos en cuenta. El valor de la altura ha de ser corregido por los fen´ omenos de semidiámetro, (pues la declinaci´ on viene dada para el centro del Sol), depresi´ on del horizonte, refracción y paralaje. Si el objeto de observación es el Sol la corrección por semidiámetro es del orden de 15 minutos de arco; la correccion por paralaje es peque˜ na, cuyo valor maximo es del orden de 0.15 minutos de arco (para alturas cercanas a los cero grados) y tendiendo a cero a medida que la altura del astro tiende a los 90 grados. Puesto que su valor es tan peque˜ no no ser´ a tenido en cuenta en la corrección. La f´ ormula para hallar la altura real del Sol es: hreal = hmedida + SD − Re − θ − p, donde SD es el semidiámetro del Sol el d´ıa de la observaci´ on, Re es el valor de la refracción, el cual se puede leer en la tabla principal del apéndice D para condiciones normales de temperatura de 20o C. (no hay datos espec´ıficos de temperatura) y al nivel del mar; θ es el valor de la depresi´ on del horizonte y p el valor del paralaje. La refracción a la décima del minuto de arco es (ver tabla principal en el apéndice D) de on del horizonte es, de acuerdo con la fórmula (8.13): 0.10 . La depresi´ θ = 1.78 ×

√

5 = 4.00 .

Puesto que la altura del Sol es bastante alta, tomaremos p = 0.00 . Entonces, la altura real del Sol es: hreal = 83o 34.10 + 15.80 − 0.10 − 4.00 − 0.00 = 83o 45.80 . Por lo tanto, al reemplazar en la fórmula (8.27) encontramos que la latitud del observador es: 83o 45.80 + 10o 44.50 − 90o = 4o 30.30 . En los almanaques n´ auticos se encuentran tablas muy u ´ tiles que permiten, por ejemplo, determinar en una sola tabla la correcci´ on por semidiámetro, refracción y paralaje dados en funci´ on de la altura medida solamente. N´ otese que los c´ alculos se llevan a una precisi´ on

152


de la décima del minuto de arco. Recuérdese (ver p´ agina 40) que un error de 1 minuto de arco representa un error de casi 2 kil´ ometros en posición para un observador ubicado en el ecuador terrestre. El c´ alculo de la longitud es m´ as complicado. En la época del descubrimiento de América el cálculo de la longitud se hac´ıa exclusivamente por estima. Con el tiempo se vió que era muy necesario que los tripulantes de los barcos pudieran no s´ olo conocer su latitud sino también su longitud con exactitudes del orden del medio grado o menos. El naufragio de cuatro nav´ıos de guerra al mando del almirante Sir Clowdisley Shovell que ocasion´ o la muerte de dos mil marinos en las cercan´ıas de las islas Scilly (suroeste de Inglaterra) en 1704, debido a un error fatal en la estimación de la posici´ on, origin´ o un clima de necesidad imperiosa por resolver el denominado “problema de la longitud”. Este problema fue de tan ardua soluci´ on que lleg´ o a compararse con problemas legendarios como el del movimiento perpetuo o la transmutaci´ on del plomo en oro. Con el transcurso de los a˜ nos se propusieron varias soluciones realistas, todas de carácter astron´ omico, pero a la larga triunf´ o el método de preservar la hora (con la mayor exactitud) de un meridiano de referencia dado. El problema de la longitud qued´ o entonces reducido a la b´ usqueda de un reloj que conservara la hora con la mayor exactitud posible con independencia del movimiento del barco y los bruscos cambios de temperatura y presi´ on en el transcurso del viaje. Con el descubrimiento del péndulo como regulador de los relojes hecho por el cient´ıfico holandés Christian Huygens en 1658, y con la invención del verdadero cron´ ometro marino realizada por el mecánico inglés John Harrison un siglo m´ as tarde3 , se logró un método confiable y seguro de poder medir la longitud a base de conservar la medida del tiempo con la mayor precisi´ on posible. Sup´ ongase que un observador está en el meridiano de Greenwich y dispone de un reloj que registra el tiempo en unidades de tiempo sideral, esto es, se está midiendo el tiempo sideral en Greenwich para un tiempo cualquiera t, lo que se llam´ o en la sección 7.9 el T SGt . Ahora bien, un avi´ on o un barco parte hacia cualquier otro lugar del mundo, pero preservando intacto el registro y la hora que est´ a dando este reloj. Sup´ ongase entonces que el piloto o marino hace una observaci´ on del paso por el meridiano de un astro y anota para ese instante de tiempo la lectura del reloj que mide (y conserva) el T SGt . Con esto, la longitud puede calcularse fácilmente. En efecto, en el momento del paso por el meridiano se cumple H = 0, por lo que el tiempo sideral local (el ángulo horario del punto vernal del observador en ese instante) es igual a: T SL = α,

(8.28)

y puesto que en ese instante se conoce el T SGt con leer el reloj que preserva el tiempo sideral 3 Harrison gan´ o en 1773 (después de no pocos problemas e inconvenientes) el premio propuesto por el parlamento inglés establecido en el Acta de 1714 consistente en 20 000 libras para aquel que pudiera resolver el problema de la longitud (ver Sobel, 1995).


Figura 8.10:

153

John Harrison (1693-1776)

en Greenwich, y de las ecuaciones (7.13 y 7.14) se obtiene: λoW λoE

= =

15 × (T SGt − α), 15 × (α − T SGt ).

(8.29) (8.30)

LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS • Dixon, C. (1985) Navegaci´ on astron´ omica b´ asica, Paraninfo S.A., Madrid. Libro ilustrativo que ense˜ na, con base en pocos conocimientos astron´ omicos, a determinar la posici´ on de un observador vali´ endose del uso del sextante. • Morison, S.E. (1970) Admiral of the Ocean Sea: A Life of Christopher Columbus, MJF Books, New York. Excelente biograf´ıa de Crist´ obal Col´ on con muchos detalles n´ auticos y astron´ omicos por parte de su autor, un marino consumado. • Roy, A. E., Clarke, D. (1988) Astronomy: Principles and Practice, Adam Hilger, Bristol. El cap´ıtulo 7 contiene detallada informaci´ on sobre estrellas circumpolares, medida de la declinaci´ on y c´ alculo de amanecer y atardecer. • Sobel, D., (1995) Longitude: The True Story of a Lone Genius Who Solved the Greatest Scientific Problem of His Time, Penguin Books, New York. Notable descripci´ on de la historia de John Harrison y su b´ usqueda para obtener el reloj perfecto.

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´ ´ ´ CAPÍTULO 8. CALCULO DE ALGUNOS FENOMENOS ASTRONOMICOS • http://aa.usno.navy.mil/AA/ Este sitio contiene bastante informacion relacionada con salidas y puestas del Sol y de la Luna, asi como fases de la Luna, determinacion de la Pascua, solsticios, equinoccios, etc.

Cap´ıtulo 9

CALENDARIO Ll´ amese calendario a un sistema destinado a agrupar de forma coherente los intervalos de tiempo fundamentado en la periodicidad de ciertos fen´ omenos astronómicos. Los calendarios son u ´tiles porque permiten el conteo de los d´ıas durante per´ıodos extensivos de tiempo y de esta forma reunirlos en una disposici´ on conveniente para satisfacer los requerimientos de las actividades civiles y religiosas. La unidad fundamental de computo en un calendario es el d´ıa, el fen´ omeno astronómico consecuencia de la rotación de nuestro planeta sobre su eje. Modernamente medimos los d´ıas de medianoche a medianoche, pero esto no siempre fue as´ı. Las primeras civilizaciones y los pueblos primitivos comenzaban a medir el d´ıa en el instante de la salida del Sol. As´ı lo hac´ıan por ejemplo los hind´ ues y los egipcios. Posteriormente, babilonios, jud´ıos y griegos contaban el d´ıa desde la puesta del Sol. Nuestra forma actual de medir los d´ıas tiene su origen en los romanos quienes consideraban el inicio del d´ıa a partir de la medianoche. Pero para las primitivas culturas se hac´ıa necesario establecer una unidad conformada por grupos de d´ıas. La forma más inmediata de hacerlo descansa en otro fen´ omeno peri´ odico: el tiempo que tarda la Luna en presentar consecutivamente una determinada fase, esto es, una lunaci´ on, la cual es de un per´ıodo de unos 29 d´ıas y medio. Sin embargo, pronto se vio que era muy conveniente introducir un per´ıodo de d´ıas inferior al de una lunaci´ on. Culturas antiguas adoptaron grupos de 4 d´ıas; los asirios utilizaron grupos de 5 y los egipcios de 10. El mundo occidental adopt´ o el grupo de 7 d´ıas, que llamamos semana, el cual probablemente fue introducido por los babilonios bien sea porque este n´ umero es aproximadamente el tiempo que transcurre entre dos cuartos de Luna consecutivos (29.5/4 ≈ 7.3) o por el culto que guardaban sus sacerdotes al n´ umero 7 a causa de la existencia de los siete planetas (incluidos el Sol y la Luna) hasta entonces conocidos. El mes que utilizamos actualmente est´ a basado en la lunaci´ on, entendida ésta, como ya se dijo, como el per´ıodo en el cual la Luna completa un ciclo de sus fases, o de otra forma, como el tiempo existente entre dos fases llenas (o nuevas) consecutivas de la Luna. Este per´ıodo es conocido por los astr´ onomos como mes sinódico y es igual a: 29d 12h 44m 2.9s . 155

156

CAPÍTULO 9. CALENDARIO

Este per´ıodo de tiempo tuvo gran importancia en muchas culturas de la antig¨ uedad, no sólo por su conexión astronómica sino también por su muy cercana igualdad con el per´ıodo menstrual de la mujer y el comportamiento c´ıclico de algunas criaturas marinas. No es de extra˜ nar entonces que muchos de los calendarios de civilizaciones antiguas adoptaran como unidad b´ asica la lunaci´ on y midieran per´ıodos prolongados de tiempo con base en el n´ umero de lunaciones transcurridas. Ahora bien, el hecho de que la lunaci´ on no sea exactamente equivalente a un n´ umero entero de d´ıas comienza, como es obvio, a crear cierto tipo de dificultades. Es por ello que los babilonios se vieron obligados a utilizar meses que consist´ıan de 29 y 30 d´ıas de forma alternativa. Como veremos más adelante, algunos siglos después, los romanos se vieron en circunstancias similares estableciendo meses conformados por un n´ umero de d´ıas que oscila entre 30 y 31, y que en u ´ltimas termin´ o siendo el calendario que actualmente utilizamos. Sin embargo, ciertas culturas antiguas cuyo h´ abitat estaba localizado en zonas geográficas donde el ciclo de las estaciones es bastante pronunciado y que por razones de supervivencia necesitaban correlacionarse y hasta predecirse, pronto encontraron una estrecha relación entre éstas y el tiempo que tarda el Sol en pasar aparentemente y de forma consecutiva por el mismo grupo de estrellas, esto es, un a˜ no. Los egipcios lograron medir que dicho per´ıodo de tiempo comprend´ıa aproximadamente 365 d´ıas. Tratar de relacionar este per´ıodo con la lunaci´ on prob´ o ser una empresa que contradec´ıa toda estética numérica pues 365 no es m´ ultiplo de 29.5. Correlacionar ambos per´ıodos de tiempo fue una tarea que muchos astr´ onomos y sacerdotes antiguos trataron de buscar no siempre con éxito. Los egipcios, por ejemplo, solucionaron fácilmente el problema: establecieron 12 meses constituidos por 30 d´ıas cada uno; esto da apenas 360 d´ıas. Los cinco restantes se adicionaban al final del u ´ ltimo mes. Como sabemos, el a˜ no es el per´ıodo de tiempo que tarda nuestro planeta en dar una revoluci´ on completa en torno al Sol con respecto a un punto de referencia dado. Pero el punto de referencia puede ser una estrella o puede ser el punto vernal. En el primer caso se habla del a˜ no sideral; en el segundo, del a˜ no tr´ opico. Estos tiempos no son iguales, pues el punto vernal se mueve lentamente a través de las estrellas fijas a causa del fenómeno de la precesión de los equinoccios (ver seccion 10.1). Estos periodos, en términos de d´ıas solares medios, son los siguientes: 1 a˜ no sideral = 365.2564 d´ıas = 365d 6h 9m 10s , 1 a˜ no tr´ opico = 365.2422 d´ıas = 365d 5h 48m 45s . La definici´ on de a˜ no que cuenta para correlacionarlo con el paso de las estaciones es por supuesto el a˜ no tr´ opico, pues es el paso del Sol por el punto vernal el que fija los equinoccios. El a˜ no que utilizamos actualmente en nuestros asuntos diarios y que es de uso com´ un en casi todo el mundo es el denominado a˜ no civil , el cual es un per´ıodo convencional compuesto de un n´ umero entero de d´ıas, dise˜ nado de tal forma que coincida lo m´ as posible con el a˜ no tr´ opico.

9.1. EL CALENDARIO ROMANO PRIMITIVO

No. 1 2 3 4 5 Tabla 9.1:

Nombre Martius Aprilis Maius Junius Quintilis

D´ıas 31 30 31 30 31

No. 6 7 8 9 10

157

Nombre Sextilis September October November December

D´ıas 30 30 31 30 30

Los meses y su duraci´ on en Roma antes de Numa Pompilio

Y aqu´ı es donde se torna interesante el asunto: la relaci´ on entre la duraci´ on del a˜ no trópico y del mes sinódico es inconmensurable. Doce meses sinódicos apenas dan cuenta de 12×29.5306 d´ıas = 354.3672 d´ıas, esto es, casi 11 d´ıas m´ as corto que el a˜ no tr´ opico. Además, está el problema de que ninguno de los dos per´ıodos est´ a compuesto de un n´ umero entero de d´ıas. Por lo tanto, para tratar de conformar un calendario que esté en concordancia con las fases de la Luna o con las estaciones, esto es, con el Sol (que es el caso de nuestro actual calendario gregoriano), es necesario insertar d´ıas en intervalos apropiados. Como veremos, esto ha ocasionado serios trastornos en el conteo de eventos cronológicos y ha dado lugar a que ocurran m´ ultiples correcciones, algunas de ellas muy singulares.

9.1

El calendario romano primitivo

Este calendario fue adoptado en Roma poco después de su fundaci´ on, supuestamente realizada por Remo unos siete u ocho siglos antes del nacimiento de Jesucristo. Este calendario constaba de diez meses, 4 de ellos de 31 d´ıas y los restantes 6 de 30, lo cual daba un total de 304 d´ıas, (ver tabla 9.1). El primer mes del a˜ no era Martius (nuestro actual marzo) y estaba dedicado al dios de la guerra, Marte; el segundo a Apolo (de sobrenombre Aperta), el tercero a J´ upiter (de sobrenombre Maius) el cuarto a Juno (principal diosa latina, esposa de J´ upiter); de ah´ı en adelante los meses recib´ıan el nombre equivalente al n´ umero de meses transcurrido desde el inicio del a˜ no. Puesto que a´ un faltaban cerca de 60 d´ıas para cuadrar el calendario con las estaciones, al parecer las autoridades decretaban un per´ıodo pobremente definido de d´ıas para conformar la estación invernal. Pero pronto, Numa Pompilio (715-673 A.C.), una figura que, al igual que Remo, pertenece m´ as a la m´ıtica que a la realidad, y que se constituy´ o, de acuerdo con la tradici´ on, en el segundo rey de Roma, modificó el anterior calendario, adicionando dos meses más a los diez existentes: Januarios (dedicado al dios Jano) y Februarius. También se cambió la duraci´ on de los d´ıas de los meses pues los romanos de aquellos tiempos hab´ıan adquirido la superstici´ on negativa hacia los n´ umeros pares de tal forma que se estableció que los meses estuvieran constituidos por un n´ umero impar de d´ıas, a excepción de uno de ellos. Con ello, el orden quedo como se registra en la tabla 9.2.


158

No. 1 2 3 4 5 6 Tabla 9.2:

Nombre Martius Aprilis Maius Junius Quintilis Sextilis

D´ıas 31 29 31 29 31 29

No. 7 8 9 10 11 12

Nombre September October November December Januarius Februarius

D´ıas 29 31 29 29 29 28

Los meses y su duraci´ on en tiempos de Numa Pompilio

Esto da un a˜ no de 355 d´ıas, el cual resultaba todav´ıa corto, del orden de 10 d´ıas, comparado con el a˜ no tr´ opico. Para subsanar este defecto los romanos tuvieron la idea, un tanto extra˜ na pero l´ ogica, de introducir un mes de 27 o´ 28 d´ıas, alternativamente, cada dos a˜ nos. Con esto se lograba más o menos acoplar el a˜ no civil con el tr´ opico. Este mes adicional se llamó Merkedinus y resulta curioso el hecho de que se iniciaba el d´ıa 23 de febrero, elimin´ andose los u ´ ltimos cinco d´ıas (esto es, del 24 al 28). Valga la pena aclarar el hecho de que el equinoccio de primavera para el hemisferio norte ca´ıa, en los tiempos de Numa, el d´ıa 25 (o 24) de marzo, lo que significa que el solsticio de invierno para el mismo hemisferio se presentaba el 25 (o 24) de diciembre.

9.2

El calendario juliano

El calendario establecido por Numa daba como promedio un a˜ no constituido de 366.25 d´ıas, que lentamente, con el transcurrir de los a˜ nos, se desacoplaba con el a˜ no propiamente astron´ omico. Además, el ente encargado, dentro de la sociedad romana, de mantener el curso correcto de las reglas del calendario y con el atributo de adicionar meses si as´ı lo consideraba necesario, era una casta de pont´ıfices, asesores religiosos de los que ostentaban el poder pol´ıtico, que en ocasiones no segu´ıa al pie de la letra las normas establecidas, adicionando arbitrariamente distintos per´ıodos, que obviamente conven´ıan para sus propios intereses. Esto llev´ o a que en el transcurso de varios siglos el desacople entre el calendario civil y el astron´ omico fuera bastante notorio. Ya en los tiempos del primer triunvirato (Pompeyo, Lépido y Julio César), cerca del 60 A.C., la diferencia entre los calendarios era de cerca de tres meses, pues cuando se presentaba la estación invernal el almanaque indicaba los meses de primavera (Martius, Aprilis y Maius). Julio César, habiéndose hecho con el poder en Roma decretó, entre otras cosas, una modificación del calendario tendiente a acoplar de nuevo el calendario civil con el astronómico de tal forma que el equinoccio de primavera coincidiera de nuevo con el 25 de marzo, como hab´ıa sido en tiempos de Numa, y además, siguiendo el consejo del astrónomo alejandrino Sos´ıgenes, asegurar que en el futuro no se volviese a presentar un desfase entre los calendarios. Para lograr lo primero se decidió convertir el a˜ no

9.2. EL CALENDARIO JULIANO

159

47 A.C. en el a˜ no m´ as largo de la historia pues se convino introducir un mes Merkedinus de 28 d´ıas después del 23 de febrero, y dos meses más entre noviembre y diciembre, uno de 33 y el otro de 34 d´ıas. Con ello, el a˜ no 47 A.C. qued´ o de 445 d´ıas y pasar´ıa a la historia, con justa razón, como el “a˜ no de la confusi´ on”. De ello result´ o también la pr´ actica de que el comienzo del a˜ no no fuera el d´ıa primero de Martius sino el primero de Januarius. Con el fin de evitar futuros desacoples, Sos´ıgenes, quien sab´ıa que el a˜ no tr´ opico duraba aproximadamente 365.25 d´ıas, recomendó a Julio César que el a˜ no fuera fijado en 365 d´ıas y que un d´ıa extra fuera a˜ nadido (entre el 23 y 24 de febrero) cada cuatro a˜ nos, siendo estos a˜ nos exactamente divisibles por cuatro, esto es, sin generar decimal. El a˜ no de 366 d´ıas fue llamado con el tiempo a˜ no bisiesto. El calendario, instituido de esa manera se conoce con el nombre de calendario juliano.

Figura 9.1:

Julio C´ esar (100 A.C.-44 A.C.)

La duraci´ on de los meses también cambió lentamente en este per´ıodo, haciéndose más fácil de recordar, pues con excepción de febrero, se fij´ o una secuencia de duraci´ on de los meses que tuvieran de forma alternante 30 y 31 d´ıas, ver tabla 9.3. Con la muerte de Julio César, en el 44 A.C., Marco Antonio quiso honrar la memoria de su ilustre antecesor rebautizando el mes en el que hab´ıa nacido éste, Quintilis, por el de Julio. Varios a˜ nos después, Octavio, llamado Augusto (el “aumentador”) por el senado romano, el primer emperador de Roma, decretó que el mes Sextilis fuera de ahora en adelante llamado por el nombre con el que habr´ıa de pasar a la historia. Pero, puesto que Sextilis ten´ıa 30 d´ıas (y dado que, seg´ un el emperador, Augusto no pod´ıa ser menos que Julio), se estableció que este mes tuviera de ahora en adelante 31 d´ıas; el d´ıa extra fue extra´ıdo del pobre Februarius, el cual ahora tendr´ıa 28 d´ıas en a˜ nos normales y 29 cada cuatro. Pero esto creaba una secuencia de tres meses seguidos de 31 d´ıas: Julio, Augusto y September. Con


160 No. 1 2 3 4 5 6

Nombre Januarius Februarius Martius Aprilis Maius Junius

Tabla 9.3:

D´ıas 31 29-30 31 30 31 30

No. 7 8 9 10 11 12

Nombre Quintilis Sixtilis September October November December

D´ıas 31 30 31 30 31 30

Los meses y su duraci´ on en la ´ epoca de Julio César

el fin de evitar esta monoton´ıa se decidi´ o cambiar la duraci´ on de September y November que pasar´ıan de 31 a 30 d´ıas para fijar ahora a October y December como meses de 31 d´ıas. Los nombres de estos meses (con muy ligeras modificaciones) y sus duraciones son los que usamos actualmente, ver tabla 9.4. El d´ıa adicional caracter´ıstico de los a˜ nos bisiestos se agregaba al u ´ ltimo d´ıa de febrero.

9.3

Calendario y cristianismo

Como ya dijimos anteriormente, el a˜ no tr´ opico no consta de 365.25 d´ıas sino de 365.2422, con lo que resulta que el calendario juliano (que origina el a˜ no civil) lentamente se va adelantando con respecto al a˜ no tr´ opico a razón de 365.25 − 365.2422 = 0.0078 d´ıas por cada a˜ no que transcurre, que es equivalente a 0.0078 × 24 × 60 = 11 minutos y 14 segundos. En otras palabras, a medida que transcurren las centurias, el equinoccio de primavera, un evento astron´ omico de importancia para muchas culturas antiguas, se presentar´ a cada vez más temprano (se ir´ a adelantando) con respecto a la fecha dada por el almanaque. De acuerdo con el cálculo anterior, se necesitar´ an alrededor de 1/0.0078 = 128 a˜ nos para que el a˜ no civil adelante en un d´ıa al a˜ no tr´ opico. Por lo tanto, al cabo de unos 360 a˜ nos de estar instaurado el calendario juliano el solsticio de primavera ya no ocurr´ıa el 25 (o 24) de marzo sino el 22 (o 21) de marzo.

No. 1 2 3 4 5 6

Nombre Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Tabla 9.4:

D´ıas 31 28-29 31 30 31 30

No. 7 8 9 10 11 12

Nombre Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

D´ıas 31 31 30 31 30 31

Los meses y su duraci´ on actualmente

9.3. CALENDARIO Y CRISTIANISMO

161

Para ese entonces, el imperio romano hab´ıa cambiado mucho. El emperador Constantino abraz´ o la religi´ on cristiana, cuyos practicantes hab´ıan sido cruelmente perseguidos por algunos de sus antecesores, decidiendo además instaurar dicha religi´ on como la oficial del imperio. A pesar de haber transcurrido casi tres siglos desde la muerte de Jesucristo, los adeptos de la fe cristiana no lograban ponerse de acuerdo en muchos aspectos internos y fundamentales del culto. Pululaban en ese entonces muchas interpretaciones sobre la naturaleza verdadera de Jesucristo que amenazaban seriamente con resquebrajar la unidad de la iglesia. Constantino, quien se hab´ıa hecho cristiano m´ as por interés pol´ıtico que por otra cosa, no le conven´ıa para nada esa situaci´ on que amenazaba seriamente la estructura doctrinal de la mayor´ıa de la poblaci´ on, decidi´ o convocar un concilio ecuménico (asamblea universal) con el fin expreso de que los obispos de las distintas ciudades se pusieran enteramente de acuerdo con respecto a los preceptos de su credo. El concilio fue llevado a cabo en la población de Nicea, muy cerca de lo que ahora se conoce como la ciudad de Izmir al noroeste de Turqu´ıa, en el a˜ no 325 A.D. All´ı se definieron aspectos fundamentales del catolicismo, como el de seleccionar como u ´ nicos exponentes de la verdad revelada por Dios a los evangelios escritos por Marcos, Mateo, Lucas y Juan —que constituyen gran parte de lo que conocemos ahora como Nuevo Testamento— de cerca de 60 evangelios, redactados por muy diversos personajes, y que circulaban libre y desordenadamente por las manos de los fieles de ese entonces. Pero para lo que nos interesa aqu´ı, que es la historia del calendario, debemos concentrarnos en lo que resolvi´ o el concilio de Nicea1 con respecto a la celebración de la Pascua. La Pascua, para el pueblo hebreo, es una celebraci´ on que conmemora la salida de los jud´ıos de su cautiverio ´ en Egipto tal y como se relata en la Biblia, particularmente en el Exodo (12, 1-20). All´ı se establece en qué d´ıa y en qué mes ha de celebrarse la “cena pascual”. Pero los jud´ıos se rigen por un calendario lunar el cual crearon con una serie de reglas para ajustarlo a sus necesidades civiles y religiosas. La complicación es que los cristianos llaman Pascua a otro evento: el d´ıa de la resurrecci´ on de Jesucristo. Tal y como se relata en el nuevo testamento, Jesucristo, como buen practicante de la religi´ on jud´ıa, celebr´ o el rito de la “cena pascual” y al d´ıa siguiente fue asesinado, resucitando luego al tercer d´ıa. Necesitando los cristianos celebrar la Pascua, llamada ahora de resurrección, se vieron en la necesidad de ajustarse parcialmente al calendario lunar jud´ıo. Como los evangelios no eran muy expl´ıcitos con respecto a las fechas de tan trascendentales eventos, distintas facciones de cristianos celebraban la Pascua con normas y preceptos que cambiaban de región en región, cosa que también pod´ıa ocasionar a la larga un cisma. Se decidió, en el Concilio de Nicea, establecer unas normas fijas y universales para fijar esta fiesta. Primero se estableci´ o por decreto que el equinoccio vernal deb´ıa caer siempre el 21 de marzo (como en efecto ca´ıa ya para aquella época). Con ello se acord´ o que el d´ıa en que cae la Pascua cristiana debe: a) celebrarse en domingo; b) que dicho domingo sea el siguiente en que la luna llena eclesi´ astica cae en o después del equinoccio vernal. 1 Este concilio es considerado por los especialistas como el verdadero origen de la iglesia cat´ olica, siendo su principal m´ ovil erradicar de una vez por todas el arrianismo, esto es, aquella doctrina debida a un presb´ıtero alejandrino llamado Arrio quien sosten´ıa que Jesucristo era tan s´ olo un hombre de excepcionales cualidades pero en ning´ un caso pod´ıa ser identificado como hijo de Dios, esto es, Jesucristo no era consustancial con Dios.


162

Antes de seguir hay que aclarar que la luna llena eclesi´ astica no siempre coincide con la luna llena verdadera, pero por fortuna las diferencias entre ambas se presentan muy rara vez. Como se verá en la sección 9.6.5, la Pascua rige la ocurrencia de otras fiestas religiosas por lo que es fundamental su c´ alculo acertado. Por ello se desprende que sea de trascendental importancia para la iglesia cat´ olica que el equinoccio vernal se verifique siempre el 21 (o 20) de marzo. Por desgracia, los obispos que asistieron al concilio de Nicea no cayeron en cuenta del peque˜ no desfase que comentamos atrás: el lento incremento, a˜ no tras a˜ no, del a˜ no juliano (civil) con respecto al a˜ no tr´ opico.

9.4

El calendario gregoriano

En efecto, el tiempo transcurri´ o y las centurias se fueron acumulando, con lo que el a˜ no civil se fue adelantando varios d´ıas con respecto al a˜ no tr´ opico. Para finales del siglo XVI la diferencia era muy notoria. Ya hab´ıan pasado cerca de 1300 a˜ nos desde el concilio de Nicea, esto es, el a˜ no civil se adelantaba por: 1300/128 ≈ 10 d´ıas; o en otras palabras, cuando el almanaque indicaba el 21 de marzo, el equinoccio de primavera realmente hab´ıa ocurrido 10 d´ıas antes, esto es, el 11 de marzo (recuérdese que el a˜ no tr´ opico —lo que sucede astron´ omicamente— se está rezagando con respecto al a˜ no civil). Es l´ ogico suponer que las autoridades eclesi´ asticas ten´ıan un serio problema entre manos, pues se estaba dejando de cumplir lo que sus antecesores hab´ıan fijado con tanto celo.

Figura 9.2:

Papa Gregorio XIII (Ugo Boncompagni) (1502-1585) y Crist´ obal Clavius (1537-1612)

Por ello, el papa Gregorio XIII, en 1582, decidi´ o poner fin a este enojoso asunto y aconsejado por el astrónomo Cristóbal Clavius, mand´ o corregir el calendario con el fin expreso de cumplir lo establecido casi 1300 a˜ nos atr´ as. Al igual que se hab´ıa hecho antes con la reforma juliana, lo primero era colocar las aguas de nuevo en su cauce. Puesto que el problema era que el equinoccio vernal se estaba rezagando con respecto al a˜ no civil, se decidi´ o eliminar de cuajo 10 d´ıas del calendario civil. Por decreto, el d´ıa siguiente al 4 de octubre de 1582 no fue

9.5. CRONOLOGÍA

163

el 5 sino el 15 de octubre. Con tan arbitraria y extra˜ na soluci´ on se sincronizaban de nuevo el a˜ no civil con el tr´ opico. Ahora bien, ¿Cómo evitar que en el transcurso de los a˜ nos siguiera ocurriendo el desfase? Se trataba de eliminar la ligera ventaja que le toma el a˜ no civil al a˜ no tr´ opico, que al cabo de 128 a˜ nos alcanza a ser de 1 d´ıa. Los asesores de Gregorio XIII pensaron: al transcurrir casi 400 a˜ nos se acumulan 3 d´ıas de exceso (128 × 3 = 384 ∼ 400); luego hay que buscar una manera de que cada 400 a˜ nos se eliminen 3 d´ıas del calendario civil (que era el juliano). La soluci´ on fue ingeniosa. Se seguir´ıa conservando la norma fijada por el calendario juliano, salvo en un ligero detalle. Consideremos la siguiente secuencia de a˜ nos bisiestos: 1600, 1700, 1800, 1900, 2000, 2100, 2200, 2300, 2400 De 1600 a 2000 hay 400 a˜ nos, al igual que entre 2000 y 2400. De esta secuencia, los u ´ nicos n´ umeros que son exactamente divisibles por 400 sin dejar resto son 1600, 2000 y 2400, esto es, entre 1600 y 2000 hay tres centurias que no son divisibles por 400 exactamente, al igual que entre 2000 y 2400. El ligero detalle, como lo habr´ a intuido el atento lector, y que constituye el fundamento del denominado calendario gregoriano (el calendario que se utiliza actualmente en casi todo el orbe) consiste en fijar aquellos a˜ nos que conforman centurias que no son divisibles por 400 sin generar decimal (1700, 1800 y 1900) como a˜ nos comunes de 365 d´ıas. Tres a˜ nos (que deber´ıan ser bisiestos) pasan a ser a˜ nos comunes, con lo que se eliminan tres d´ıas cada 400 a˜ nos. La ausencia de un sistema eficiente de comunicaciones y la desavenencia en asuntos teol´ ogicos que hab´ıa entre el Papa y varios estados europeos ocasionó que no todos adoptaran las reglas que el papado recomendaba. El calendario gregoriano fue inmediatamente adoptado por Portugal, Espa˜ na y parte de Italia. Sin embargo, con el correr del tiempo, muchas otras regiones de Europa y América terminar´ıan adopt´ andolo y eventualmente casi todo el planeta.

9.5

Cronolog´ıa

Se llama cronolog´ıa a cualquier método usado con el fin de ordenar y colocar los eventos en la secuencia en que ellos ocurrieron. Los sistemas de cronolog´ıa que han sido usados para registrar la historia humana est´ an ´ıntimamente relacionados con los calendarios y por lo tanto var´ıan en alcance, exactitud, grado de refinamiento, etc. La cronolog´ıa cient´ıfica pretende colocar todos los eventos de forma lo más correcta posible a intervalos proporcionales sobre una escala fija en el orden en que dichos eventos ocurrieron. La astronom´ıa, la geolog´ıa y la paleontolog´ıa requieren, pues, de este tipo de cronolog´ıa. La cronolog´ıa hist´ orica, por otro lado, var´ıa con las diferentes habilidades y prop´ ositos de las civilizaciones que las empleaban. Ello significa que es dif´ıcil hacer concordar las cronolog´ıas hist´ oricas con las cronolog´ıas cient´ıficas debido, por un lado, a la falta de refinamiento de las antiguas civilizaciones, y por otro, a la pérdida de documentaci´ on y de registros que han sido inevitable en el transcurso hist´ orico convulsionado y violento de casi todos los pueblos.


164

El primer requisito de un sistema hist´ orico cronol´ ogico es la era, esto es, un punto fijo de tiempo —de importancia trascendental para la civilizaci´ on o pueblo que la crea—, desde el cual se indicará la posición de todos los demás eventos acaecidos antes o después. Los musulmanes, por ejemplo, fijan el inicio de su cronolog´ıa el a˜ no que el profeta Mahoma y sus seguidores huyeron de la Meca y que corresponde al a˜ no 622; los jud´ıos fijaron como era el a˜ no que, seg´ un ellos, occurri´ o la creación del mundo, el a˜ no 3761 A.C. La era cristiana fue introducida alrededor del a˜ no 527 por Dionisio el Exiguo llamado as´ı a causa de su corta estatura. Dionisio fue un monje que residi´ o en Roma y que calcul´ o como fecha del nacimiento de Cristo el a˜ no 753 de la fundaci´ on de Roma. Dionisio designó a este a˜ no el n´ umero uno de dicha era, contando los a˜ nos que siguieron en un curso regular a partir de él llamándolos a˜ nos del Se˜ nor designación que a´ un usamos cuando colocamos A.D. (Anno Domini ). El a˜ no anterior a 1 A.D. es el a˜ no uno A.C. (Ante Christium). En la escala no hay un a˜ no cero entre A.C. y A.D. Las investigaciones hist´ oricas han permitido revelar que Dionisio cometi´ o una serie de errores en sus c´ alculos por lo que Jesucristo en realidad no naci´ o en al a˜ no 1 de nuestra era sino unos 3 a 5 (y algunos autores llegan a on de calcular hasta 9) a˜ nos antes2 . La incertidumbre existente en cuanto a la determinaci´ la fecha real del nacimiento de Jesucristo es completamente irrelevante para los prop´ ositos de la cronolog´ıa: hay un a˜ no fijo, as´ı Dionisio haya tenido o no raz´ on. El hecho de que la era cristiana sea una escala sin cero genera un ligero inconveniente y es que al medir el tiempo de forma continua a partir del comienzo de la era el intervalo de a˜ nos realmente transcurrido es una unidad menos que el n´ umero ordinal del a˜ no del calendario. Debido a esto, el primer siglo, esto es, el primer intervalo de cien a˜ nos de la era cristiana termin´ o con el d´ıa 31 de diciembre del a˜ no 100 A.D. El siglo II comenzó el 1 de enero del a˜ no 101 A.D. De ello resulta que el siglo XX comience con el 1 de enero de 1900 y termine con el d´ıa 31 de diciembre de 2000. Luego, el siglo XXI comienza el 1 de enero del 2001 y as´ı sucesivamente. Esta forma de contar los a˜ nos trae el inconveniente de complicar el cálculo de fechas anteriores al a˜ no 1 A.D. Por ejemplo, el n´ umero de a˜ nos existentes entre el a˜ no 20 A.C. y 20 A.D. no es de 40 sino de 39. Para evitar confusiones, los astr´ onomos, siempre tan cuidadosos en sus cálculos, han introducido el a˜ no cero en sus c´ omputos. Y para hacer esto, llaman al a˜ no 1 A.C. como a˜ no cero. Entonces especifican los a˜ nos con un signo negativo para designar los a˜ nos anteriores al a˜ no cero. Ello hace que el a˜ no contado por los historiadores difiera en uno en comparación con el que cuentan los astrónomos:

C´ omputo hist´ orico C´ omputo astron´ omico

... ...

3 A.C. -2

2 A.C. -1

1 A.C. 0

1 A.D. +1

2 A.D. +2

... ...

Los dos cómputos coinciden cuando los a˜ nos son mayores o iguales que el a˜ no 1 A.D. As´ı por ejemplo, el a˜ no 465 A.C. equivale al a˜ no −464. 2 Semejante incertidumbre en la fecha de nacimiento, trat´ andose de un hombre que tal vez sin proponérselo termin´ o fundando una de las religiones m´ as importantes del mundo, s´ olo es explicable si consideramos que Jesucristo termin´ o convirtiéndose en un personaje digno de atenci´ on s´ olo hasta mucho tiempo después de su muerte.

´ DE LA FECHA DE PASCUA 9.6. LA DETERMINACION

9.6

165

La determinaci´ on de la fecha de Pascua

Como ya se dijo, la fecha de Pascua está ´ıntimamente relacionada con el suceso de dos fen´ omenos astronómicos, a saber, la fase de luna llena y el equinoccio vernal. La importancia de la fecha de Pascua es que ella determina todas las fechas m´ oviles religiosas que celebran los pa´ıses con marcada población practicante del culto cat´ olico. En épocas antiguas, cuando no se dispon´ıan de teor´ıas complejas que permitieran calcular la posici´ on de la Luna con una exactitud acorde a las circunstancias, los astr´ onomos y calculistas hicieron uso de los curiosos ciclos que presentan las fases lunares. El más conocido de ellos es el ciclo de Met´ on. Este ciclo es un per´ıodo de 19 a˜ nos solares (de 235 meses sinódicos), que, una vez transcurrido, las fases de la Luna tienen lugar aproximadamente en los mismos d´ıas del a˜ no, lo que constituye una técnica de predicci´ on m´ as o menos exacta. Considérese como ejemplo la siguiente secuencia de lunas llenas: Luna Luna Luna Luna

llena llena llena llena

enero enero enero enero

22 21 22 22

de de de de

1970 1989 2008 2027

Para facilitar los c´ alculos de la fecha de Pascua con base en el ciclo de Metón, y dado que éste no es rigurosamente exacto, los calculistas se vieron en la necesidad de definir algunos conceptos intermedios tendientes a hallar de forma expedita la fecha de la Pascua. Pasaremos brevemente a dar revista a algunos de ellos.

9.6.1

Letra dominical

Designemos a los siete primeros d´ıas del a˜ no por las letras A, B, C, D, E, F y G. Por lo tanto el primero de enero queda como A, el dos de enero como B, y as´ı sucesivamente hasta enero siete que le corresponde la G; el ciclo continua entonces con el ocho de enero de nuevo como A, enero nueve como B y as´ı sucesivamente. La letra dominical de un a˜ no es la letra que le corresponde al primer domingo del a˜ no, y que caracteriza por lo tanto a todos los domingos del a˜ no. As´ı, por ejemplo, si un a˜ no empieza el d´ıa viernes la letra dominical es C. La complicación aparece en los a˜ nos bisiestos. En estos a˜ nos al d´ıa 29 de febrero no se le asigna una letra, pero, puesto que es contado como un d´ıa de la semana, la serie de letras se cambiar´ a (a partir del primero de marzo) en favor de la letra precedente. Esto obliga a que un a˜ no bisiesto tenga dos letras dominicales: la primera funcionar´ a en los meses de enero y febrero; la segunda, que es su precedente, regirá a partir del primero de marzo en adelante. Considérese como ejemplo el a˜ no 2000. Por ser bisiesto tendrá dos letras dominicales. El primer domingo del a˜ no ocurri´ o el dos de enero, lo que significa que la primera letra es B. La segunda letra es su precedente en la serie, esto es, la letra A. Por lo tanto las letras dominicales del a˜ no 2000 son BA. Un a˜ no como 1998 (no bisiesto) tiene una sola letra dominical, la cual fue D, lo que significa que el primer domingo del a˜ no tuvo lugar el d´ıa cuatro de enero. Una f´ ormula que permite hallar la letra dominical L (entre 1 y 7) de un a˜ no Y cualquiera es la siguiente: # " 2T + 1 − EN T ( T4 ) − U − EN T ( U4 ) , (9.1) L= 7 r


166

donde T son los dos primeros digitos del a˜ no y U los dos u ´ltimos; el sub´ındice r en (9.1) significa el resto de la divisi´ on. Se ha de tener cuidado además con lo siguiente: Si L ≤ 0 entonces L = L + 7. Además, si el a˜ no es bisiesto, esto es, si Y es divisible por cuatro sin generar resto (salvo a˜ nos como 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300, etc.) entonces con (9.1) se obtiene la segunda letra dominical. Ejemplo 1 Calcular la letra dominical del a˜ no 2002. Soluci´ on Entonces Y = 2002. Por lo tanto T = 20, U = 02 = 2. Puesto que EN T (20/4) = 5, EN T (2/4) = 0, entonces: 34 28 6 40 + 1 − 5 − 2 − 0 = = + , 7 7 7 7 por lo tanto el resto es L = 6. Esto significa que la letra dominical es F. Ejemplo 2 Calcular la letra dominical del a˜ no 2008. Soluci´ on Este es un a˜ no bisiesto. Entonces Y = 2008. Por lo tanto T = 20, U = 08 = 8. Puesto que EN T (20/4) = 5, EN T (8/4) = 2, entonces: 26 21 5 40 + 1 − 5 − 8 − 2 = = + , 7 7 7 7 por lo tanto el resto es L = 5. Esto significa que la segunda letra dominical de este a˜ no bisiesto es E. Pero como la segunda letra dominical de un a˜ no bisiesto es la precedente de la primera se deduce que la primera letra es F. Por lo tanto, la letra dominical del 2008 es FE.

9.6.2

N´ umero ´ aureo

El n´ umero aúreo está relacionado directamente con el ciclo de Met´ on. En la antig¨ uedad este ciclo era considerado como una de las verdades m´ as sólidamente establecidas; se cre´ıa que bastaba con conocer las lunaciones de 19 a˜ nos, para predecir de ah´ı en adelante las que vinieran. El n´ umero que ocupa un a˜ no en este ciclo es llamado n´ umero a úreo, llamado as´ı porque los calendarios sol´ıan encabezar con este n´ umero pintado en oro o rojo. Se ha dispuesto que el primer ciclo de Met´ on empezó el a˜ no en que el novilunio acaeci´ o el primero de enero del a˜ no 1 A.C. Por lo tanto, el a˜ no 1 A.C. tuvo por n´ umero aúreo 1. Puesto que en cronolog´ıa el a˜ no cero no existe, el a˜ no 1 A.D. tuvo por n´ umero aúreo 2 y as´ı sucesivamente hasta el a˜ no 18 A.D. al que le correspondi´ o por n´ umero aúreo 19; el a˜ no 19 A.D. continua con el n´ umero aúreo 1 y as´ı sucesivamente. La importancia del n´ umero aúreo resid´ıa en que


167

era un valor indispensable en el cálculo de la Pascua antes de la reforma gregoriana, la cual reemplazó el n´ umero aúreo por el concepto de Epacta. El n´ umero aúreo G de un a˜ no cualquiera Y puede calcularse con la siguiente f´ ormula: µ ¶ Y , (9.2) G=1+ 19 r donde el sub´ındice r significa el resto de la divisi´ on. Ejemplo 1 Calcular el n´ umero aúreo del a˜ no 1999. Soluci´ on Aqu´ı Y = 1999. Entonces: 1995 4 1999 = + . 19 19 19 Entonces: G = 1 + 4 = 5.

9.6.3

La Epacta

La epacta es un vocablo de origen griego que se utiliza para indicar la edad de la Luna al empezar el a˜ no. La edad de la Luna es un n´ umero (entre 1 y 29) que indica el n´ umero de d´ıas transcurridos desde la u ´ltima luna nueva. El concepto de Epacta para calcular la Pascua fue sugerido por Luis Lilio Guiraldi y se adopt´ o como otra corrección que introdujo la reforma ordenada por el papa Gregorio XIII. La epacta se puede calcular con ayuda de las siguientes f´ ormulas. Para un a˜ no dado Y se comienza por calcular el valor de C dado por: C = 1 + EN T (Y /100), luego calculamos los valores de X y Z definidos por: ¶ µ ¶ µ 8C + 5 3C − 12, Z = EN T − 5, X = EN T 4 25 entonces la epacta está dada por: µ E=

11G + 20 + Z − X 30

¶ ,

(9.3)

r

donde G es el n´ umero aúreo calculado con ayuda de (9.2), y el sub´ındice r significa el resto de la divisi´ on.


168 Ejemplo 1 Calcular la epacta del a˜ no 1966. Soluci´ on Aqu´ı Y = 1966. Entonces: 1957 9 1966 = + . 19 19 19 Entonces: G = 1 + 9 = 10.

As´ı mismo: C = 1+EN T (1966/100) = 1+19 = 20. X = EN T ( 3×20 4 )−12 = 15−12 = 3, ) − 5 = 6 − 5 = 1. Al reemplazar en (9.3): Z = EN T ( 8×20+5 25 11 × 10 + 20 + 1 − 3 128 120 8 = = + , 30 30 30 30 por lo tanto E = 8. Ejemplo 2 Calcular la epacta del a˜ no 2011. Soluci´ on Aqu´ı Y = 2011. Entonces: 1995 16 2011 = + , 19 19 19 esto es: G = 1 + 16 = 17. As´ı mismo: C = 1+EN T (2011/100) = 1+20 = 21. X = EN T ( 3×21 4 )−12 = 15−12 = 3. Z = EN T ( 8×21+5 ) − 5 = 6 − 5 = 1. Al reemplazar en (9.3): 25 11 × 17 + 20 + 1 − 3 205 180 25 = = + , 30 30 30 30 por lo tanto E = 25.

9.6.4

Otros ciclos

En los almanaques astron´ omicos se acostumbra a rese˜ nar los valores que adopta el a˜ no con respecto a otros ciclos no tan conocidos. La indicci´ on romana es uno de ellos. Este ciclo posee una duraci´ on de 15 a˜ nos y fue introducido por el emperador romano Constantino en el a˜ no 312 A.D., el cual originalmente fue concebido como un plazo fiscal pero termin´ o siendo un modo de contar regularmente los a˜ nos. La indicción romana se ha fijado de tal forma que el a˜ no uno de nuestra era (1 A.D.) corresponde al a˜ no cuatro del ciclo de indicci´ on correspondiente. Para el a˜ no 2000 ya hab´ıan transcurrido 133 de tales ciclos


169

correspondiéndole una indicci´ on de 8. La fórmula que permite hallar la indicci´ on romana IR para un a˜ no cualquiera Y es f´ acil de deducir y es: ¶ µ Y +3 . IR = 15 r Otro ciclo es el denominado ciclo solar el cual posee una duración de 28 a˜ nos. Se ha dispuesto que el a˜ no uno de nuestra era (1 A.D.) corresponde al a˜ no diez de dicho ciclo solar. La f´ ormula que permite hallar el ciclo solar CS para un a˜ no cualquiera Y es: µ ¶ Y +9 CS = . 28 r La importancia del ciclo solar estribaba en que en el calendario juliano dos a˜ nos que tengan el mismo ciclo solar tienen las mismas letras dominicales, lo que significa que los d´ıas de la semana (y en particular los domingos) tienen lugar en la misma fecha del a˜ no. Esto explica el origen de la denominaci´ on ciclo solar (el domingo es el d´ıa del Sol). La introducci´ on del calendario gregoriano desbarat´ o este esquema. Otro ciclo es el denominado per´ıodo juliano. Este resulta de la multiplicaci´ on del ciclo de Met´ on, la indicci´ on romana y el ciclo solar. Por lo tanto, el ciclo posee una duración de 19×15×28 = 7980 a˜ nos. Este per´ıodo fue propuesto por Joseph Justus Scaliger a finales del siglo XVI. Se fij´ o al mismo tiempo el d´ıa y el a˜ no en que deber´ıa comenzar dicho per´ıodo. Se eligi´ o aquel a˜ no para el cual el n´ umero aúreo, la indicci´ on romana y el ciclo solar coinciden en uno. Es relativamente sencillo calcular que esto sucede en el a˜ no 4713 A.C. (−4712). Como ya para finales del siglo XVI era costumbre comenzar el a˜ no desde el primero de enero se eligi´ o como fecha origen de la fecha juliana (ver secci´ on 7.9.1) el primero de enero de dicho a˜ no. Por lo tanto, el a˜ no del per´ıodo juliano AP J para un a˜ no dado cualquiera Y puede calcularse con la f´ ormula: AP J = 4713 + Y.

9.6.5

C´ alculo de la fecha de Pascua

La fecha de Pascua F P de un a˜ no Y cualquiera se puede calcular por intermedio de la siguiente f´ ormula: F P = 21 + P + (L − l),

(9.4)

donde F P representa el d´ıa en que se verifica la fecha de Pascua en d´ıas del mes de marzo; L es la letra dominical del a˜ no Y (en caso de a˜ no bisiesto se toma la segunda) y P y l toman los siguientes valores: Si E < 24 entonces P = 24 − E, l = 27 − E, pero si: 27 − E > 7 entonces: l = ( 27−E )r , 7 Si E > 23 entonces P = 54 − E, l = 57 − E, pero si: 57 − E > 7 entonces: l = ( 57−E )r , 7 donde E es la Epacta del a˜ no Y . Adem´ as: Si (L − l) < 0 entonces (L − l) = (L − l) + 7.


170 Ejemplo 1 Calcular la fecha de Pascua para el a˜ no 2011. Soluci´ on

La letra dominical L del a˜ no 2011 se calcula con ayuda de (9.1): Y = 2011; por lo tanto T = 20, U = 11. Puesto que EN T (20/4) = 5, EN T (11/4) = 2, entonces: 23 21 2 40 + 1 − 5 − 11 − 2 = = + , 7 7 7 7 por lo tanto el resto es L = 2. Esto significa que la letra dominical es B. Ya hab´ıamos calculado la epacta E del a˜ no 2011 la cual di´ o un valor de E = 25. Puesto que 25 > 23 entonces: P = 54 − 25 = 29 y l = ((57 − 25)/7)r = 4. Por lo tanto: (L − l) = (2 − 4) = −2, esto es −2 + 7 = 5, por lo que: F P = 21 + 29 + 5 = 55 d´ıas de marzo = 24 de abril. Entonces la fecha de Pascua para el a˜ no 2011 cae el domingo 24 de abril. Ejemplo 2 Calcular la fecha de Pascua para el a˜ no 2027. Soluci´ on La letra dominical L del a˜ no 2027 se calcula con ayuda de (9.1): Y = 2027; por lo tanto T = 20, U = 27. Puesto que EN T (20/4) = 5, EN T (27/4) = 6, entonces: 3 0 3 40 + 1 − 5 − 27 − 6 = = + , 7 7 7 7 por lo tanto el resto es L = 3. Esto significa que la letra dominical es C. Calculamos ahora el valor de la epacta para el a˜ no 2027. Comenzamos por calcular el n´ umero aúreo: 2014 13 2027 = + . 19 19 19 Entonces: G = 1 + 13 = 14. As´ı mismo: C = 1+EN T (2027/100) = 1+20 = 21. X = EN T ( 3×21 4 )−12 = 15−12 = 3. Z = EN T ( 8×21+5 ) − 5 = 6 − 5 = 1. Al reemplazar en (9.3): 25 172 150 22 11 × 14 + 20 + 1 − 3 = = + , 30 30 30 30 por lo tanto E = 22. Puesto que 22 < 24 entonces: P = 24 − 22 = 2 y l = ((27 − 22)/7)r = 5. Por lo tanto: (L + l) = (3 − 5) = −2, esto es: −2 + 7 = 5 por lo que: F P = 21 + 2 + 5 = 28 d´ıas de marzo. La fecha de Pascua para el a˜ no 2027 cae el domingo 28 de marzo.

9.7. CALENDARIO COLOMBIANO Fiesta Domingo de septuagésima Miércoles de ceniza Domingo de ramos Jueves santo Viernes santo La Ascensión del Se˜ nor Pascua de Pentecostés Corpus Christi Sagrado Corazón de Jes´ us Tabla 9.5:

9.7

171 D´ıa de celebraci´ on 63 d´ıas antes 46 d´ıas antes 7 d´ıas antes 3 d´ıas antes 2 d´ıas antes 39 d´ıas después 49 d´ıas después 60 d´ıas después 68 d´ıas después

Ocurrencia de varias fiestas cat´ olicas con relaci´ on a la Pascua

Calendario colombiano

La fecha de Pascua, como se dijo atrás, determina todas las fiestas religiosas movibles. Colombia, por ser un pa´ıs mayoritariamente cat´ olico, celebra varias fechas de importancia de éste culto. La fecha en que ocurren estas fiestas, en relación con la Fecha Pascual, viene dada por la tabla 9.5. Las fiestas que están en la tabla 9.5 (a excepción del Sagrado Corazón de Jes´ us, que es considerada una fiesta civil) junto con la Pascua constituyen los d´ıas de fiesta movibles del calendario eclesi´ astico. De estas fiestas movibles la Rep´ ublica de Colombia reconoce, a los trabajadores del sector p´ ublico y privado, como descansos remunerados los siguientes d´ıas: jueves y viernes santos, la Ascensión del Se˜ nor, el Corpus Christi y el Sagrado Coraz´ on. Existen otras fiestas eclesiásticas que no dependen de la fecha de Pascua que se denominan fiestas fijas eclesiásticas por ocurrir siempre en los mismos d´ıas del a˜ no y son: la circuncisi´ on del Se˜ nor (1 de enero), la Epifan´ıa o fiesta de los reyes magos (6 de enero), d´ıa de San José (19 de marzo), d´ıa de San Pedro y San Pablo (29 de junio), Asunci´ on (15 de agosto), d´ıa de todos los santos (1 de noviembre), la Inmaculada Concepci´ on (8 de diciembre) y la Natividad o nacimiento del Se˜ nor (25 de diciembre). Todas estas fiestas son consideradas por la Rep´ ublica de Colombia como descansos remunerados. Las fiestas de orden civil se suceden todas en los mismos d´ıas del a˜ no (a excepci´ on del Sagrado Corazón de Jes´ us) y son: d´ıa del trabajo (1 de mayo), Independencia Nacional (20 de julio), Batalla de Boyac´ a (7 de agosto), d´ıa de la raza (12 de octubre) e Independencia de Cartagena (11 de noviembre). Todas estas fiestas son consideradas por la Rep´ ublica de Colombia como descansos remunerados. Hay que tener presente, sin embargo, que en la actualidad est´ a vigente una ley de la Rep´ ublica que modifica parcialmente las fechas en que se deben celebrar algunas fiestas. La ley 51 de 1983 traslada el descanso remunerado de algunos d´ıas festivos. Espec´ıficamente, el art´ıculo 2 de la mencionada ley decreta que los d´ıas 6 de enero, 19 de marzo, 29 de


172

junio, 15 de agosto, 12 de octubre, 1 de noviembre, 11 de noviembre, Ascensi´ on del Se˜ nor, Corpus Christi, y Sagrado Coraz´ on de Jes´ us, cuando no caigan en d´ıa lunes se trasladar´ an al lunes siguiente a dicho d´ıa. Pero cuando las mencionadas festividades caigan en domingo, el descanso remunerado igualmente se trasladará al lunes. La tabla G.1 del apéndice G contiene los dencansos remunerados reconocidos por la Rep´ ublica de Colombia e indica aquellas fiestas cuyos d´ıas son trasladados en virtud de la ley 51 de 1983. Ejemplo 1 Calcular en qué d´ıas y en qué d´ıa de la semana cayeron los descansos remunerados en la Rep´ ublica de Colombia en el a˜ no de 1995. Soluci´ on Comenzamos por calcular la fecha de Pascua del a˜ no 1995. Realizando el calculo vemos que la Pascua cay´ o en aquel a˜ no el domingo 16 de abril. Ello significa que el jueves y el viernes santo cayeron los d´ıas 13 y 14 de abril. En lo que sigue se supone que para cada fecha se determina en las tablas G.3, G.4 y G.5 del apéndice G el d´ıa correspondiante de la semana. La ascensión deber´ıa ocurrir 39 d´ıas después de la Pascua, esto es, el 25 de mayo (jueves), pero por la ley 51 cae el lunes 29 de mayo. El Corpus Christi deber´ıa ocurrir 60 d´ıas después de la Pascua, esto es, el 15 de junio (jueves), pero por la ley 51 cae el lunes 19 de junio. El Sagrado Corazón deber´ıa ocurrir 68 d´ıas después de la Pascua, o sea, el 23 de junio (viernes), pero por ley 51 cae el lunes 26 de junio. Otras fiestas modificadas por la ley 51 son: la Epifan´ıa, que del 6 de enero (viernes) pasa a celebrarse el lunes 9 de enero; San José, que del 19 de marzo (domingo) se celebra el lunes 20 del mismo mes; San Pedro y San Pablo, que del 29 de junio (jueves) pasa a celebrarse el lunes 3 de julio; la Asunci´ on que del 15 de agosto (martes) pasa a celebrarse el lunes 21 de agosto; el d´ıa de la raza que del 12 de octubre (jueves) pasa al lunes 16 de octubre; el d´ıa de todos los santos que del 1 de noviembre (miércoles) pasa a celebrarse el lunes 6 de noviembre y la Independencia de Cartagena que del 11 de noviembre (s´ abado) pasa al lunes 13 de noviembre. Las fiestas restantes no son modificadas por la ley 51 y son: la cirncuncisión del Se˜ nor el 1 de enero que cay´ o en domingo; el d´ıa del trabajo (1 de mayo) que cay´ o en lunes; la Independencia Nacional (20 de julio) que cay´ o en jueves; la Batalla de Boyacá (7 de agosto) que cay´ o en lunes; la Inmaculada Concepción (8 de diciembre) que cay´ o en viernes y la Natividad (25 de diciembre) que cay´ o en lunes.

LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS • Meeus, Jean (1991) Astronomical Algorithms, Willmann-Bell, Richmond. En el cap´ıtulo 8 se encuentra una rutina que permite determinar la fecha de pascua. • Meeus, Jean (1995) Astronomical Tables of the Sun, Moon and Planets, Willmann-Bell, Richmond. En su cap´ıtulo 7 se encuentran multitud de tablas para calcular la fecha juliana, fechas de pascua, calendario jud´ıo y calendario musulm´ an.

9.7. CALENDARIO COLOMBIANO

173

• Explanatory Supplement to the Astronomical Ephemeris and the American Ephemeris and Nautical Almanac, (1961) Her Majesty’s Stationery Office, Londres. Excelente referencia para algunos t´ opicos de astronom´ıa esf´ erica. La secci´ on de calendario es altamente ilustrativa y rebosante en referencias • Enciclopedia universal ilustrada europeo-americana, Espasa-Calpe, S.A., Madrid. Tal vez la mejor enciclopedia que se haya hecho en idioma castellano. Bajo la palabra calendario se encuentra la descripci´ on m´ as completa y detallada de la historia de m´ ultiples calendarios. • http://www.personal.ecu.edu/MCCARTYR/calendar-reform.html Contiene bastante informaci´ on sobre reforma e historia del calendario. • http://www.calendarzone.com/ Todo lo que Usted desee saber sobre calendarios se encuentra aqu´ı.

174


Cap´ıtulo 10

´ A LAS CORRECCION COORDENADAS Existen varios fen´ omenos de distinta naturaleza que afectan en mayor o en menor grado las coordenadas de los cuerpos celestes. Estos fen´ omenos son los siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Precesión Nutación Aberración Movimiento en el espacio Paralaje Refracción astronómica Deflección gravitacional de la luz

Pasaremos a dar un rápida exposici´ on de cada uno de ellos.

10.1

Precesi´ on

Técnicamente y de forma general el fenómeno de precesión consiste en el movimiento del eje de rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo, que es originado por la presencia de una fuerza externa (torque). El ejemplo m´ as sencillo para visualizar la precesi´ on es observando un trompo en rotaci´ on (figura 10.1). El trompo corriente es un cuerpo que tiene una acumulaci´ on de masa sobresaliente en su parte superior. Al poner a girar el trompo sobre una superficie dura perfectamente horizontal, el eje de rotaci´ on (que tiene la misma direcci´ on de la pua) no permanece perpendicular al suelo, pues cualquier perturbaci´ on, o la pérdida de energ´ıa generada por el rozamiento con la superficie y con el aire, hace que 175

176

´ A LAS COORDENADAS CAPÍTULO 10. CORRECCION

el eje forme un ángulo de inclinaci´ on con respecto a un eje normal (y fijo) a la superfice. La inclinaci´ on es causada por la atracción gravitacional terrestre sobre el exceso de masa existente en la parte superior del trompo, lo cual origina un torque.

EJE NORMAL A LA SUPERFICIE EJE DE ROTACION

Figura 10.1:

Trompo precesando

El efecto resultante es curioso: el eje de rotación del trompo comienza a girar lentamente alrededor del eje normal a la superficie, esto es, el eje de rotación describe una circunferencia en el espacio con un determinado radio. Como sabemos, la fricción causa que el trompo termine perdiendo toda su momentum angular (su velocidad de rotaci´ on se hace cero) con lo que el trompo termina acost´ andose sobre la superficie horizontal. Obtenemos inmediatamente el mismo efecto si colocamos un trompo estático —no rotante— sobre su pua (con su eje de rotación perpendicular a la superficie), esto es, en una alta configuraci´ on de equilibrio inestable, y lo soltamos. Ahora bien, el planeta Tierra en su movimiento de rotaci´ on también adolece de precesión. Esto se debe a que la Tierra tiene un ligero exceso de masa ubicado alrededor del sector ecuatorial (recuérdese que el radio terrestre es m´ as grande en el ecuador que en los polos) y el campo gravitacional de cuerpos como la Luna, el Sol y los planetas son los encargados de generar el torque externo (ver figura 10.2). Si la Tierra dejara de rotar el efecto de la atracci´ on gravitacional sobre el exceso de masa har´ıa que con el tiempo la oblicuidad de la ecl´ıptica pasar´ a de un valor de 23o 270 a un valor cercano a cero, esto es, que el ecuador celeste se alinie con un plano intermedio entre la ecl´ıptica y el plano de la o´rbita lunar. Pero, el caso real es que no existen fuerzas de rozamiento lo suficientemente fuertes como para que se detenga el movimiento de rotación de la Tierra. El efecto de la precesi´ on sobre el eje de rotación terrestre es que éste describe en el espacio una circunferencia de radio constante alrededor del polo de la ecl´ıptica. Esto significa que la Tierra responde al torque externo no cambiando su eje de inclinaci´ on sino haciendo rotar el eje muy lentamente alrededor de la normal al plano de la ecl´ıptica. El movimiento de precesión para nuestro planeta es muy lento, de unos 50 segundos de arco por a˜ no, que equivale a una rotaci´ on completa al cabo de unos 25 800 a˜ nos. Astronómicamente

´ 10.1. PRECESION

177 Π PNC ε LUNA SOL

TIERRA

Figura 10.2:

ECLIPTICA

ORBIT

5o

A DE L

A LUN

A

Precesi´ on del eje de rotaci´ on terrestre

¿cual es el efecto? Uno que se aprecia inmediatamente es que el polo norte celeste no está fijo con respecto a la bóveda celeste: se mueve lentamente realizando una vuelta completa alrededor del polo ecl´ıptico cada 25 800 a˜ nos. Conociendo que el c´ırculo que describe el PNC alrededor de Π (el polo ecl´ıptico) tiene un radio constante de 23o 270 podemos conocer cual es la posición del PNC para cualquier tiempo en el pasado o en el futuro. Actualmente el PNC está a unos 3/4 de grado (45 minutos) de la estrella Polaris (α Ursae Minor). Unos 4600 a˜ nos atr´ as el PNC estaba muy cerca de la estrella Thuban (α Draconis). Hace tres mil a˜ nos, el PNC se hab´ıa desplazado hasta pasar cerca de la estrella Kochab (β Ursae Minor). En el futuro, dentro de diez mil a˜ nos, el PNC se ubicará cerca de la estrella Vega (α Lyrae). Pero el movimiento del polo tiene una consecuencia importante en lo que se refiere a la observación de la b´ oveda celeste para un observador ubicado siempre a una latitud determinada. Es claro de la figura 10.4 que al desplazarse lentamente el polo celeste alrededor del polo ecl´ıptico, el punto vernal (uno de los dos puntos de de corte de la ecl´ıptica con el ecuador celeste) se va desplazando en la misma dirección (y con la misma velocidad). Esto es, los puntos equinocciales se van desplazando a lo largo de la ecl´ıptica con una velocidad no. El punto vernal atraviesa las trece constelaciones por las del orden de 5000 de arco por a˜ que pasa la ecl´ıptica en un término de 25 800 a˜ nos. Esto explica porqué el fenómeno es conocido también como precesión de los equinoccios. También explica porqué el punto vernal es llamado “punto de Aries”. Actualmente, el punto vernal est´ a ubicado en la constelaci´ on de Piscis. Pero hace 2500 a˜ nos, en la época en que se consolid´ o la astrolog´ıa griega, el punto vernal estaba ubicado en la constelaci´ on de Aries. El nombre ha perdurado hasta nuestra época pero se ha de estar atento para evitar confusiones. Dentro de unos 600 a˜ nos el punto vernal dejar´ a de estar en Piscis para entrar a la constelación de Acuario (teniendo en cuenta la actual definici´ on de las fronteras entre las constelaciones). Pero este desplazamiento de los puntos equinocciales es el responsable de que dentro de 12 000 a˜ nos, cuando el PNC se encuentre en alg´ un punto entre las constelaciones de Hércules y la Lira, constelaciones que actualmente están en el hemisferio norte celeste, tales como Aries, Tauro, Geminis, Cáncer, Leo y el Can Menor, se ubiquen en el hemisferio sur celeste. De igual forma, constelaciones como El Cuervo, Libra, Escorpi´ on, Sagitario, Capricornio y Acuario (ahora ubicadas en el hemisferio sur celeste) se encontrarán, para ese per´ıodo de tiempo, en el hemisferio norte.


178

8000

CISNE 10000

. .

.

LIRA α

δ 14000 γ

.. .. β

.

. . DRAGON ..

. CEFEO . .. γ . . 4000 β .χ

ζ

α.2000 . . .. .. β OSA MENOR γ χ . .λ . α

-6000 Figura 10.3:

−4000

Movimiento del PNC en varios miles de a˜ nos

Un observador para una latitud fija de, digamos, unos 40o norte observar´ a, suponiendo que pueda vivir centenares e incluso miles de a˜ nos, que, con el transcurso de lo siglos, estrellas que eran f´ acilmente visibles para él pasarán a ser imposibles de observar (insistimos, para una latitud fija); y a la inversa, aparecer´ an “nuevas” estrellas sobre su horizonte, que anteriormente eran imposibles de observar. Tal parece que fue de esta manera como el astr´ onomo Hiparco de Nicea descubrió el fen´ omeno de precesión alrededor del a˜ no 150 A.C., comparando sus observaciones de estrellas con las de astrónomos babilonios realizadas unos 1000 a 2000 a˜ nos antes. Hiparco evalu´ o el corrimento del punto vernal en una magnitud de 36 segundos de arco por a˜ no. Se suele denominar a la contribuci´ on de los torques producidos por el Sol y la Luna como “precesión lunisolar”. La contribuci´ on de los planetas se llama “precesión planetaria”. La suma de la precesi´ on lunisolar y planetaria es llamada “precesi´ on general”. La precesión hace desplazar lentamente el punto vernal a lo largo de la ecl´ıptica y, puesto que es desde éste punto que comienza a contarse la ascensión recta, se deduce que las coordenadas ecuatoriales de cualquier astro ir´ an cambiando con el tiempo. Ello quiere decir que las coordenadas de las estrellas deben ir acompa˜ nadas por el instante de tiempo que indique con respecto a qué equinoccio se est´ a haciendo referencia (ver figura 10.5). Un estudio riguroso de la precesi´ on (y la nutaci´ on) requiere el manejo de perturbaciones

´ 10.1. PRECESION

179

ε

P

Π

1

P

2

A

IC

T IP

L

EC 1

LESTE

ECUADOR CE

2

Π´ Figura 10.4:

Desplazamiento del punto vernal a través de la ecl´ıptica

en mecánica celeste. Una descripción relativamente técnica del procedimiento puede encontrarse en Smart (1960), Plummer (1960) y Chandrasekhar (1995). Aun más descriptivo es el cálculo del movimiento del punto vernal expuesto en Kaula (1968). El fen´ omeno de precesión obliga a que se establezca una fecha arbitraria y fija que se usa como un datum de referencia a la cual se le denomina “época”. Las coordenadas de las estrellas se especifican con respecto a dicha época. La época puede ser el inicio de un a˜ no o el comienzo (o mitad) del siglo, etc. Una “época estándar” especifica el sistema de referencia al cual se refieren las coordenadas de las estrellas. Desde el a˜ no 1984 la época estándar utilizada se designa como J2000.0, donde la J significa a˜ no Juliano1 . Cuando se escribe J2000 lo que se quiere decir es el instante 1 de enero a las 12 meridiano hora de Greenwich del a˜ no 2000. Antes de 1984 la época estándar utilizada se designaba como B1950.0, donde la B significa a˜ no Beseliano2 . Para calcular el efecto de la precesi´ on sobre las coordenadas α y δ se pueden utilizar varios métodos alternativos de los cuales existen unos m´ as exactos que otros. Fórmulas rigurosas para la determinaci´ on de la precesi´ on pueden consultarse en Simon et al., 1994. 1 El

a˜ no Juliano es un per´ıodo de tiempo conformado exactamente por 365.25 d´ıas. a˜ no Beseliano es un per´ıodo de tiempo que completa una revoluci´ on en ascensi´ on recta del Sol medio tal y como fue definido por Simon Newcomb. 2 El


180

Damos a continuación las fórmulas que permiten reducir las coordenadas ecuatoriales absolutas al equinoccio medio y ecuador medio de una fecha t. Llamaremos: (α0 , δ0 ) las coordenadas de un astro referido a la época fundamental (J2000.0); (α, δ) las coordenadas de un astro referido al equinoccio y ecuador medio de una fecha t. Las f´ ormulas son:

M = 1◦ .2812323T + 3◦ .879 × 10−4 T 2 + 1◦ .101 × 10−5 T 3 , N = 0◦ .5567530T − 1◦ .185 × 10−4 T 2 − 1◦ .16 × 10−5 T 3 ,

(10.1) (10.2)

donde T es la variable definida por la ecuacion (7.17). Paso del J2000.0 a la fecha (t) El c´ alculo se hace con ayuda de las siguientes expresiones: α

=

δ

=

α0 + M + N sen αm tan δm , δ0 + N cos αm ,

(10.3) (10.4)

donde (αm , δm ) llamados valores medios se utilizan como cantidades auxiliares: αm

=

δm

=

1 α0 + (M + N sen α0 tan δ0 ), 2 1 δ0 + N cos αm . 2

(10.5) (10.6)

Paso de la fecha (t) al J2000.0 Las ecuaciones son ahora: α0 δ0

= =

α − M − N sen αm tan δm , δ − N cos αm ,

(10.7) (10.8)

donde: αm

=

δm

=

1 α − (M + N sen α tan δ), 2 1 δ − N cos αm . 2

(10.9) (10.10)

Ejemplo 1 La ascensión recta y declinación de la estrella Canopus para el instante J2000.0 son: α0 = 6h 23m 57.119s y δ0 = −52o 410 44.500 . Calcular los valores correspondientes de α y δ corregidos por precesión el d´ıa 8 de mayo del a˜ no 2010.

´ 10.2. NUTACION

181

*

ECLIPTICA

δ0 δ

0

α0

ECUADOR MEDIO EN to

ECUADOR MEDIO EN t

1

α

Figura 10.5:

Coordenadas ecuatoriales en la época de referencia y en la fecha t

Soluci´ on Este es el caso de pasar de la epoca del catálogo (J2000.0) al equinoccio medio de una fecha dada. Calculamos la fecha juliana del d´ıa en cuesti´ on (8 de mayo de 2000): FJ=2 455 324.5. Luego determinamos el valor de T = 0.103477071. Con ello reemplazamos en las ecuaciones (10.1) y (10.2) para el cálculo de M y N : M = 0.1325823312,

N = 0.057609889.

Luego calculamos los valores de αm y δm dados por las ecuaciones (10.5) y (10.6), con la precauci´ on de haber pasado la ascensión recta a unidades de grados antes de proceder a reemplazar: αm = 96.01668728,

δm = −52.69871372.

Estos valores son reemplazados en las ecuaciones (10.3) y (10.4) para hallar las coordenadas ecuatoriales referidas al equinoccio medio del 8 de mayo del 2010: α = 96o 20 43.3500 = 6h 24m 10.89s ,

10.2

δ = −52o 420 6.2400 .

Nutaci´ on

La nutación es un peque˜ no efecto que se origina también del torque generado por la atracción gravitacional del Sol, la Luna y los planetas sobre la figura din´ amica de la Tierra. La principal contribuci´ on de la nutaci´ on proviene de la Luna. Desde el punto de vista pr´ actico y matemático la precesión y la nutaci´ on surgen como un mismo fenómeno en el estudio de la teor´ıa de la rotaci´ on de la Tierra perturbada gravitacionalmente por la Luna y el Sol (y en


182

algunos casos muy rigurosos, de los planetas). Los términos que dan cuenta de la evoluci´ on de las variables (por ejemplo longitud ecl´ıptica y oblicuidad) que son seculares en el tiempo se denominan conjuntamente precesi´ on. Los términos peri´ odicos se llaman conjuntamente nutaci´ on. El fen´ omeno de nutación fue descubierto por el astr´ onomo inglés James Bradley. Este astr´ onomo hab´ıa notado, ya para el a˜ no 1727, que las declinaciones de ciertas estrellas parec´ıan mostrar un movimiento sutilmente err´ atico. Cinco a˜ nos después encontró la explicaci´ on: el eje de la Tierra estaba dotado de un movimiento de cabeceo originado por la atracción de la Luna sobre el ligero exceso de masa que la Tierra posee en el ecuador. El cabeceo del eje terrestre origina un desplazamiento aparente de las estrellas de tal forma que parecen describir elipses min´ usculas alrededor de sus posiciones “promedio” o medias. La nutación, como se entiende hoy, es la combinación de numerosas oscilaciones de corto per´ıodo del eje de rotaci´ on terrestre cuyo efecto es cambiar muy ligeramente la posici´ on del polo norte celeste y por consiguiente del punto vernal tanto en la direcci´ on de longitud ecl´ıptica como en la latitud ecl´ıptica. El término m´ as conocido y de mayor amplitud (el que descubri´ o Bradley) es aquel que est´ a ´ıntimamente ligado con la longitud de los nodos de la órbita lunar. La l´ınea de los nodos lunar, en su o´rbita en torno a la Tierra, describe una revoluci´ on completa en unos 6800 d´ıas (18.6 a˜ nos). El efecto de nutaci´ on es el responsable de que el PNC verdadero difiera del PNC medio (el que describe la precesi´ on) tanto en longitud como en latitud ecl´ıptica. Para el término principal de la nutaci´ on, la amplitud de la longitud es de 17.2 segundos y la amplitud en latitud de 9.2 segundos.

Π

Figura 10.6:

PNC (MEDIO) PNC (VERDADERO)

Polo norte celeste medio y el polo norte celeste verdadero

Las componentes que conforman en su totalidad el fenómeno de la nutación (teniendo en cuenta la contribuci´ on de la Luna y el Sol solamente) son del orden, en las teor´ıas actuales, de unos ciento cincuenta términos peri´ odicos (ver Kinoshita, 1975). NOTA: Cuando se especifica el equinoccio para una fecha dada, al referir la posicion

´ 10.2. NUTACION

183

de un astro con respecto al punto vernal (y por lo tanto del ecuador celeste) en un instante dado s´ olo teniendo en cuenta la precesi´ on se está hablando del equinoccio medio. Cuando al equinoccio medio se le han hecho las correcciones peque˜ nas de la nutaci´ on entonces, al equinoccio que resulta, se le denomina equinoccio verdadero. Si el usuario no necesita demasiada precisi´ on para hallar la corrección por nutación (digamos del orden de 1 segundo de arco) es posible utilizar las siguientes fórmulas aproximadas que tienen la ventaja de evitar c´ alculos muy largos (recuérdese la secuencia de 150 términos algebr´ aicos) que s´ı son necesarios cuando se buscan precisiones del orden de la milésima de segundo de arco. Se comienza por calcular la contribuci´ on por longitud ∆ψ y la contribuci´ on por oblicuidad ∆²: ∆ψ = −17.200 sen Ω + + 0.200 sen 2Ω − − 1.300 sen (2Ω + 2F − 2D) + − 0.200 sen (2Ω + 2F ),

(10.11)

∆² = 9.200 cos Ω − − 0.100 cos Ω + + 0.600 cos(2Ω + 2F − 2D) + + 0.100 cos(2Ω + 2F ),

(10.12)

donde: Ω es la longitud media del nodo ascendente de la o´rbita lunar sobre la ecl´ıptica medida desde el equinoccio medio de la fecha; D es la longitud media de la Luna menos la longitud media del Sol y F es la longitud media de la Luna menos la longitud media del nodo lunar. Estos ańgulos cambian notablemente con el tiempo y sus correspondientes valores son: Ω D

= 125.04 − 1934.13T, = 297.85 + 445267.11T,

F

=

(10.13)

93.27 + 483202.0175T,

donde T es la variable tiempo definida en la ecuacion (7.17). Las coordenadas ecuatoriales verdaderas αv y δv (con respecto al equinoccio verdadero de la fecha t) son calculadas en primera aproximaci´ on a partir de las coordenadas ecuatoriales α y δ referidas al equinoccio medio de la fecha (esto es, sólo corregidas por precesión) mediante: αv = α + ∆α, δv = δ + ∆δ,

(10.14)

∆α = (cos ² + sen ² sen α tan δ)∆ψ − cos α tan δ∆², ∆δ = sen ² cos α∆ψ + sen α∆²,

(10.15)

donde:


184

siendo ² la oblicuidad media de la ecl´ıptica dada por: ² = 23◦ 260 21.400 − 46.8100 T.

(10.16)

El valor verdadero de la oblicuidad en la fecha t se calcula con: ²v = ² + ∆².

(10.17)

Ejemplo 1 En el ejemplo 1 de la p´ ag. 180 corregir las coordenadas de la estrella Canopus por nutaci´ on, esto es, pasar del equinoccio medio de la fecha al equinoccio verdadero de la fecha. Soluci´ on En el ejemplo 1 de la p´ ag. 180 se paso de coordenadas dadas por el catálogo al equinoccio medio de la fecha (8 de mayo de 2010). Comenzamos calculando los valores Ω, D y F dados en la ecuaciones (10.13):

Ω D F

= = =

−75.098 = 284.902, 46372.79 = 292.79, 50093.62 = 53.62,

en donde se ha tenido la precauci´ on de pasar todos los ángulos a la primera circunferencia. Estos valores se reemplazan en las ecuaciones (10.11) y (10.12): ∆ψ = 0.004266,

∆² = 0.000666.

As´ı mismo, calculamos el valor de la oblicuidad media de la ecl´ıptica por intermedio de (10.16): ² = 23o 260 16.5600 . Con estos valores procedemos a calcular ∆α y ∆δ dados por (10.15): ∆α = 0.001607,

∆δ = 0.000484.

Finalmente calculamos los valores de α y δ para el equinoccio verdadero de la fecha con ayuda de (10.14): α = 6h 24m 11.28s ,

δ = −52o 420 4.500 .

´ 10.3. ABERRACION

10.3

185

Aberraci´ on

La aberración es el desplazamiento angular aparente de la posición de un cuerpo celeste de su posición geométrica que es originada o bien por el movimiento del observador (o del objeto observado), o por la velocidad finita de la luz, o la combinaci´ on de ambos efectos. La luz, o más exactamente, la radiación electromagnética, se desplaza en el vac´ıo a una velocidad de casi 300 000 km/s (299 792.458 km/s, para ser exactos). Aunque se trate de una velocidad muy grande las enormes distancias que existen entre los cuerpos celestes son de tal magnitud que la luz de los planetas tardan minutos e incluso horas en atravesar las distancias entre ellos y nosotros. Las estrellas cercanas están situadas a distancias aun m´ as grandes; su luz tarda decenas y hasta centenas de a˜ nos en llegar a la Tierra. Ahora bien, los observadores en la superficie de la Tierra no est´ an estáticos con respecto a la luz que está llegando del universo. Est´ a el movimiento de traslaci´ on alrededor del Sol que hace que la Tierra se desplace a una velocidad promedio de unos 30 km/s. Adem´ as, está el movimiento de rotaci´ on alrededor de su eje. En la pr´ actica existen varias definiciones de aberraci´ on dependiendo de la clase de movimiento del observador y de la clase de objetos que se están observando.

10.3.1

Aberraci´ on estelar

La aberración estelar es el desplazamiento angular aparente de la posición observada de un cuerpo celeste que resulta del movimiento del observador. La aberración estelar anual (ver más adelante) fue explicada correctamente por el astrónomo James Bradley, quien, como se recordará, descubri´ o también la nutaci´ on. Desde los tiempos de John Flamsteed se hab´ıa observado que las estrellas mostraban un desplazamiento alrededor de sus posiciones medias que sin lugar a dudas depend´ıa del desplazamiento de la Tierra alrededor del Sol, esto es, mostraban un ciclo anual, el cual Flamsteed al igual que Robert Hooke atribuyeron al paralaje anual. Sin embargo, el astr´ onomo italiano Jean Dominique Cassini hab´ıa demostrado que dichos desplazamientos no se pod´ıan atribuir al paralaje anual pues lo que se observaba era que las estrellas se desplazaban de sus posiciones medias en la misma dirección en que se mov´ıa la Tierra, lo cual es justo lo opuesto si el fen´ omeno es originado por paralaje anual. As´ı estaban las cosas, sin una explicación l´ ogica, cuando Bradley abord´ o el problema en 1725. Inicialmente estaba interesado en poder medir la paralaje de una estrella. Por ello concentr´ o sus esfuerzos en una estrella relativamente brillante (¿cercana a la Tierra?) llamada γ Draconis la cual posee una declinaci´ on de 51o , casi idéntica a la latitud de Londres (donde hac´ıa sus observaciones astron´ omicas) significando que dicha estrella pasa muy cerca del cenit de Londres reduciendo con ello el efecto de la refracci´ on. Bien pronto pudo constatar que, en efecto, γ Draconis mostraba una variaci´ on anual en su declinación pero Cassini ten´ıa raz´ on: no pod´ıa ser atribuida a paralaje. Después extendi´ o sus observaciones a otras estrellas observando también el mismo fenómeno. El misterio para Bradley se acentuaba. Se afirma que Bradley encontr´ o la explicaci´ on correcta del fenómeno cuando navegaba

186


Figura 10.7:

James Bradley (1693-1762)

por el r´ıo T´ amesis en un viaje de recreo. Al observar la bandera del m´ astil llam´ o su atenci´ on el hecho de que la direcci´ on en que ondeaba la bandera en el viento se corr´ıa con cada ocasión que el bote cambiaba de curso. Habiendo comentado a los navegantes que era curioso que el viento cambiase justo en el momento en que el barco modificaba su curso, ellos le replicaron que de ning´ un modo hab´ıa cambio en la direcci´ on del viento y que el movimiento aparente de la bandera era debido simplemente al cambio de direcci´ on del movimiento del barco. Bradley entendi´ o entonces que la direcci´ on de la bandera, en cada instante de tiempo, estaba determinada por la combinación de la velocidad del viento y la velocidad del bote y cay´ o en cuenta que esto era lo que pasaba con la direcci´ on aparente de las estrellas. Lo que Bradley hab´ıa observado como un corrimiento de las estrellas en la misma dirección en que se desplaza la Tierra alrededor del Sol era debido a la combinaci´ on de dos efectos: el movimiento de traslación de la Tierra y la velocidad finita de la luz (de la que ten´ıa un valor aproximado debido al trabajo del astr´ onomo danés Ola¨ us R¨ omer quien en 1676 midió la velocidad de la luz merced a las variaciones en los tiempos de las ocultaciones de los satélites de J´ upiter). Bradley present´ o su descubrimiento a la Royal Society en 1729. El anuncio fue importante por varias razones: no s´ olo explicaba el misterio del cambio de la posici´ on aparente de las estrellas sino que por primera vez en la historia de la ciencia se dispon´ıa de una demostraci´ on real y concluyente de que la Tierra giraba alrededor del Sol. Además Bradley, con sus finas observaciones, conclu´ıa que el paralaje anual de las estrellas, de haberlo, ser´ıa muy peque˜ no, inferior al segundo de arco, con lo que los astr´ onomos se daban una idea de lo realmente enorme que eran las distancias existentes entre ellas y el Sol. Finalmente, con la medici´ on de los desplazamientos de las estrellas de sus posiciones medias,

´ 10.3. ABERRACION

187

Bradley pudo realizar un nuevo estimativo de velocidad de la luz (ver m´ as adelante) y calcul´ o que era de unos 301 000 km, un error de 0.3 % con respecto al valor aceptado hoy en d´ıa. La aberración estelar se aplica, como su nombre indica, a estrellas y en general a objetos ubicados a distancias estelares y extragal´ acticas. El efecto notable de que la luz haya tardado centenares, miles, e incluso millones de a˜ nos en llegar hasta nosotros (las posiciones reales de esos objetos deben ser distintas de las que observamos ahora) no es tenido en cuenta en la aberración estelar, ni en ninguno de los tipos de aberraci´ on salvo el de la aberración planetaria. La aberración estelar está conformada por tres componentes: secular, anual y diurna. Aberraci´ on secular Aquella componente de la aberraci´ on estelar que resulta del movimiento uniforme y rectil´ıneo del sistema solar con respecto al vecindario estelar. Por lo general esta contribución es considerada despreciable y no se tiene en cuenta en las correcciones. Aberraci´ on anual Esta es la aberraci´ on “clásica” y de la que tratan extensivamente la gran mayor´ıa de los libros de astronom´ıa. Es aquella componente de la aberraci´ on estelar que resulta del movimiento de la Tierra alrededor del Sol. Dicho de una manera pr´ actica: la direcci´ on aparente de un astro es distinta si se observa desde el Sol que si se observa desde un objeto alrededor de él dotado de cierta velocidad v en torno a él. Observemos la figura 10.8. La Tierra gira en una o´rbita aproximadamente el´ıptica alrededor del Sol. Al estar observando una estrella E desde el Sol la direcci´ on geométrica de la misma está dada por el vector velocidad p~. Pero un observador en la Tierra T, a causa de la velocidad ~v alrededor del Sol, observar´ a a la estrella E en la direcci´ on del vector velocidad p~1 , esto es, en el punto E0 . Sea ~c el vector velocidad de la luz que tiene una direcci´ on y magnitud opuesta a la del vector p~. Vectorialmente se deduce la siguiente suma de velocidades: p~1 = p~ + ~v , puesto que de ésta u ´ltima se deduce que: p~1 = −~c +~v , un vector unitario (ˆ p1 ) en la direcci´ on de p~1 está dado por: pˆ1 =

~v − ~c . |~v − ~c|

Ahora bien, ~c = cˆ c, entonces cˆ = −ˆ p. Por lo tanto, al dividir por c en el numerador como en el denominador de la u ´ ltima ecuaci´ on obtenemos: pˆ1 =

~ v c | ~vc

+ pˆ + pˆ|

,

(10.18)

188


E’

E *

POSICION * APARENTE

POSICION GEOMETRICA

∆θ

p

p

1

v

θ T

c

SOL

Figura 10.8:

Aberraci´ on anual

o, puesto que el vector pˆ es unitario: ~ v + pˆ . pˆ1 = p c v 1 + 2 c + ( vc )2

(10.19)

Llamando ∆θ a la diferencia entre la direcci´ on geométrica y aparente de la estrella y θ al ´ angulo entre el vector velocidad de la Tierra y la posici´ on geométrica de la estrella, p × pˆ| = 0, entonces, al multiplicar por pˆ× a ambos lados y puesto que |ˆ p × pˆ1 | = sen ∆θ, |ˆ |ˆ p × ~v | = v sen θ, se tiene: v sen θ , sen ∆θ = p c v 1 + 2 c + ( vc )2

y, como v/c es peque˜ no (la velocidad de la Tierra alrededor del Sol es diez mil veces m´ as peque˜ na que la velocidad de la luz) podemos expandir en serie de Taylor el término del denominador, con lo que: 1 ³ v ´2 v sen θ − sen 2θ + · · · . c 2 c Es claro que el orden de la desviaci´ on existente entre la direcci´ on geométrica y aparente, esto es, la magnitud del fen´ omeno de aberración, tiene un valor m´ aximo de 29.8/299 792.46 = 0.0000994 radianes, lo que significa que en unidades de grados (al multiplicar por 180/π) es de 0.00569 grados = 20.5”. Este valor es conocido como constante de aberración. El sen ∆θ =

´ 10.3. ABERRACION

189

desplazamiento aparente de la estrella ocurre en la misma direcci´ on en que se mueve la Tierra, por lo que una estrella observada a través del a˜ no describe una elipse aparente en el cielo. Al aparecer la teor´ıa especial de la relatividad fue necesario modificar ligeramente la ecuación (10.18), pues ella exige que la velocidad de la luz sea la misma en marcos de referencia tanto estacionarios como en movimiento uniforme y obliga a utilizar las f´ ormulas de Lorentz. La corrección que se introduce aqu´ı es tan peque˜ na que s´ olo en casos de cálculo de rigurosa precisi´ on (milésima del segundo de arco) es necesario utilizarla.

Aberraci´ on diurna La aberración diurna es aquella componente de la aberraci´ on estelar que resulta del movimiento diurno del observador alrededor del centro de la Tierra (ver figura 10.9). En otras palabras, un observador, por estar ubicado en la superficie de la Tierra, posee cierta velocidad con respecto al centro de la Tierra, y ello origina un peque˜ n´ısimo desplazamiento de la posici´ on aparente ya corregida por aberraci´ on anual. POSICION APARENTE

*

* POSICION GEOMETRICA

.

PNT

TIERRA EN ROTACION Figura 10.9:

Aberraci´ on diurna

El tratamiento para hallar la magnitud de esta clase de aberraci´ on es análogo al realizado para la aberraci´ on anual. Pero aqu´ı hay que tener en cuenta que la velocidad de un observador sobre la superficie de un planeta depende de su latitud geocéntrica. La velocidad es máxima en el ecuador del planeta y nula cuando el observador est´ a ubicado en sus polos.

190


En otros términos, la velocidad de un observador, vo a una latitud geocéntrica φ0 es: vo = ve cos φ0 , donde ve es la velocidad de un observador situado en el ecuador terrestre. La magnitud ve /c es hallada facilmente. Si la circunferencia terrestre es del orden de 40 040 km y ésta distancia se cubre en 86 164 segundos es claro que la velocidad para un observador a latitud cero es: 0.46 km/s. Ello quiere decir que la magnitud de la aberraci´ on es, en radianes, de on es necesario 1.56×10−6 , o del orden de 0.32”. Por supuesto que en cálculos de gran precisi´ tener en cuenta esta contribuci´ on.

10.3.2

Aberraci´ on planetaria

La aberración planetaria es llamada as´ı debido a que se aplica a los miembros del sistema solar. Es debida al desplazamiento de los cuerpos celestes junto con el tiempo que le toma a la luz que reflejan (o emiten el el caso del Sol) estos objetos en llegar hasta la Tierra.

P (t)

LUZ QUE SALE DE P´ EN EL TIEMPO τ

LUZ QUE SALE DEL PLANETA EN EL TIEMPO t

P’(t- τ)

cτ

LUZ QUE LLEGA A LA TIERRA EN EL TIEMPO t

T(t) Figura 10.10: Aberración Sea un objeto P en órbita alrededor del Sol en un tiempo t (ver figura 10.10). Para el mismo instante t la Tierra se ubica en el punto T. Pero, debido a la finitud de la velocidad de la luz, en el tiempo t se está recibiendo, en la Tierra, la luz del cuerpo P cuando éste se encontraba en la posición P’, en un tiempo t − τ , donde τ es el tiempo-luz, esto es, el tiempo que tarda la luz en ir desde P’ hasta T. Luego, aunque en el instante de tiempo t el cuerpo de interés se encuentre localizado en P, lo que ve el observador en T no es el cuerpo ubicado en P (a menos que la velocidad de la luz fuera infinita) sino la luz que emiti´ o el cuerpo cuando se ubicaba en el punto P’. Este efecto es necesario tenerlo en cuenta cuando se est´ a calculando con precisi´ on la posición de un planeta, cometa o asteroide en el cielo. Como se ver´ a en la sección 13.2, la distancia de un cuerpo celeste a la Tierra puede calcularse resolviendo las ecuaciones diferenciales que se estudian en la mecánica celeste. Para corregir por este efecto en muy buena aproximaci´ on se determina el tiempo que tarda la luz en cubrir la distancia que separa T de P. Ello exige primero conocer la distancia TP y dividir por la

10.4. MOVIMIENTO EN EL ESPACIO

191

velocidad de la luz para hallar el tiempo. Luego se repite el c´ alculo de la posici´ on del objeto pero para el tiempo t − τ . Esta es tan sólo una primera aproximaci´ on. En algunos casos, donde es necesario una alta precisi´ on, se requiere un c´ alculo iterativo.

10.4

Movimiento en el espacio

Como hemos dicho anteriormente, las estrellas se van desplazando en el espacio. Nuestro Sol, como es obvio, también lo hace. Es claro que con el tiempo las estrellas iran cambiando de posici´ on las unas con respecto a las otras. Sin embargo, este movimiento es tan lento que, comparado con el tiempo de vida de una persona, es muy poco perceptible por lo que resulta apreciable s´ olo a escalas grandes de tiempo. El movimiento en el espacio de una estrella se puede dividir en dos movimientos: el movimiento propio denotado por µ, y la velocidad radial, denotada por vr , (ver figura 10.12).

Figura 10.11:

Edmond Halley (1656-1742)

El primero en reportar movimientos propios de estrellas fue el célebre astr´ onomo inglés Edmond Halley en 1718. Halley hab´ıa medido las posiciones de varias estrellas y las hab´ıa comparado con las posiciones del catálogo de Ptolomeo (siglo II A.D.) encontrando importantes diferencias. Concluy´ o que ni la precesi´ on ni los errores de observaci´ on eran suficientes como para explicar la diferencia. Entre las estrellas a las que se les hab´ıa detectado movimiento propio estaban Sirius, Aldebar´ an y Arcturus. Veinte a˜ nos después Cassini confirm´ o las observaciones de Halley. Ya para 1760 Tobias Mayer reportaba el movimiento


192

propio de 80 estrellas. Dos décadas después William Herschel calculaba correctamente la direcci´ on en que se mov´ıa el sistema solar con respecto a las estrellas cercanas, esto es, el ápex solar.

µ(Vt)

Vt

µ

δ

TIERRA ESTRELLA

*

µα

Vr

BOVEDA CELESTE

Figura 10.12:

Movimiento en el espacio

El movimiento propio es aquel que ocurre perpendicularmente en la l´ınea de visi´ on del observador, por lo que da cuenta de la velocidad tangencial (vt ) de la estrella. Se suele on (µδ ). Es neceexpresar en componentes de la ascensión recta (µα cos δ) y de la declinaci´ sario multiplicar por cos δ la componente del movimiento propio en ascensión recta con el fin de corregir la escala de ésta y as´ı obtener la verdadera distancia angular pues los c´ırculos horarios (por donde se va midiendo la ascensi´ on recta) se van aproximando a medida que la declinaci´ on aumenta y eventualmente se encuentran en los polos. Las estrellas del vecindario solar se mueven aparentemente a velocidades tangenciales del orden de unos 0.5 a 4 segundos de arco por a˜ no, aunque hay estrellas que pueden barrer 7 y hasta 9 segundos de arco anuales. El récord lo tiene la estrella de Barnard, una peque˜ na estrella, s´ olo visible por telescopio, que alcanza la sorprendente cifra de 10.3 segundos de arco anuales. Ello significa que puede barrer el di´ ametro aparente de la luna llena (30 minutos de arco) en unos 175 a˜ nos. Para determinar estas velocidades es necesario realizar fotograf´ıas de una misma regi´ on del cielo y compararlas con una realizada 40 y hasta 80 a˜ nos antes. Con ello es posible determinar el desplazamiento angular de las estrellas que aparecen en dicha placa fotográfica. El movimiento propio µ a partir de sus componentes es: q µ = (µα cos δ)2 + µ2δ . Se ha de tener mucho cuidado al consultar los cat´ alogos pues algunos tienen los movimien-

10.5. PARALAJE

193

tos propios en segundos de arco por siglo, y otros lo tienen en segundos de arco por a˜ no. Mientras que para cuantificar el movimiento propio de una estrella se tiene que esperar varias decenas de a˜ nos, la velocidad radial se puede obtener a partir de la simple observaci´ on contando con un espectrómetro. Con el espectro de una estrella es posible medir el denominado efecto Doppler, el cual consiste en el cambio de la longitud de onda (o frecuencia) debido a la velocidad radial (que puede ser de acercamiento o alejamiento) de la fuente de luz, i.e., la estrella.

10.5

Paralaje

Se llama paralaje a la diferencia en la direcci´ on aparente de un objeto cuando es visto desde dos lugares diferentes. La magnitud del corrimiento observado depende de la distancia: a menor distancia del objeto mayor corrimiento y viceversa. Por lo tanto, sabiendo la magnitud del desplazamiento de la posici´ on del objeto con respecto a los objetos del fondo estelar y sabiendo la distancia entre los puntos desde donde se realizan las observaciones, es posible, por simple trigonometr´ıa, conocer la distancia al cuerpo observado. Existen varios tipos de paralaje bien definidos en astronom´ıa: el paralaje diurno y el paralaje anual.

10.5.1

Paralaje diurno

El paralaje diurno es el cambio de direcci´ on aparente de un cuerpo celeste visto desde dos puntos distintos del planeta Tierra (ver figura 10.13). El paralaje diurno es perceptible cuando la distancia entre el astro y la Tierra no puede considerarse excesivamente grande comparada con el radio de la Tierra. Es necesario corregir por paralaje diurno las coordenadas de los cuerpos cercanos a la Tierra como el Sol, la Luna y los planetas. Puesto que las estrellas, aun las más cercanas a la Tierra, est´ an a distancias miles de veces más lejanas que la distancia existente entre el planeta Plut´ on y la Tierra, el paralaje diurno es pr´ acticamente nulo para estrellas. Por lo general las coodenadas de los cuerpos que integran el sistema solar dadas en los almanaques astron´ omicos y náuticos están referidas a un observador hipotético ubicado en el centro de la Tierra por lo que se dice que son geocéntricas. Para observaciones de alta precisi´ on es necesario ubicar la posición del observador en la superficie de la Tierra. Ello requiere entonces establecer, para el instante de la observación, el vector posición del observador en la superficie terrestre (ver secci´ on 13.3, pág. 276). Un tipo especial de paralaje diurno es el denominado paralaje horizontal. Este se define como el cambio de dirección que existe de un cuerpo celeste cuando uno de los observadores tiene el astro en el cenit y el otro observador lo tiene en su horizonte (ver figura 10.14). Otra manera más apropiada de definir el paralaje horizontal es como aquel ańgulo, medido en el astro, que subtiende el ecuador terrestre de la Tierra. La Luna es el cuerpo natural que m´ as


194

*

* *

*

* ET

* * *

PNT

ASTRO

TIERRA

*

* *

*

*

ECUADOR CELESTE

*

BOVEDA CELESTE

Figura 10.13:

Paralaje diurno

registra paralaje horizontal, del orden de los 57 minutos de arco. El del Sol llega a ser del orden de los 8.7 segundos de arco. OBSERVADOR CON EL ASTRO EN EL HORIZONTE

d

R

ASTRO P.H.

TIERRA OBSERVADOR CON EL ASTRO EN EL CENIT

Figura 10.14:

Paralaje horizontal

De la figura 10.14 es claro que: sen P.H. =

R , d

(10.20)

donde R es el radio ecuatorial de la Tierra y d es la distancia Tierra-astro. En muchos almanaques astron´ omicos la distancia de los cuerpos celestes del sistema solar se da en paralaje horizontal.

10.5. PARALAJE

195

Ejemplo 1 En un instante dado la Luna est´ a situada a 385 699.65 km de distancia del centro de la Tierra. Determinar su paralaje horizontal. Soluci´ on Lo usual es colocar las distancias en términos del radio terrestre (1 R.T. = 6378.14 km), de tal forma que en (10.20) R = 1. Entonces: d = 385 699.65/6378.14 = 60.4721 R.T. Este valor se reemplaza en la ecuación (10.20): P.H. = sen−1

1 = 0.9475178 = 0o 560 5100 . 60.4721

Ejemplo 2 El paralaje horizontal del Sol en una fecha dada es 8.6700 . Determinar su distancia a la Tierra. Soluci´ on Al despejar d de la ecuaci´ on (10.20) encontramos la distancia en términos de radios terrestres: 1 = 23 790.63 R.T. sen 0o 00 8.6700 En unidades astron´ omicas la distancia es igual a: d=

d=

10.5.2

23 790.63 × 6378.14 = 1.014 u.a. 149 597 870

Paralaje anual

El paralaje anual es el cambio de direcci´ on aparente de un cuerpo celeste visto desde dos puntos distintos de la o´rbita que realiza la Tierra en torno al Sol (ver figura 10.16). El paralaje anual es perceptible cuando la distancia entre el astro y el sistema solar no puede considerarse excesivamente grande comparada con la distancia que hay entre la Tierra y el Sol. El paralaje anual fue extensivamente buscado por los astr´ onomos como medio de hallar las distancias entre las estrellas y el Sol y sobre todo como prueba irrefutable del movimiento de la Tierra en torno del Sol. Ya hab´ıamos comentado que Flamsteed, Hooke, Halley, Cassini y Bradley realizaron en su momento observaciones y mediciones muy detalladas y en su

196


Figura 10.15:

Friedrich Bessel (1784-1848)

b´ usqueda terminaron por hallar otros fen´ omenos. Quien primero tuvo éxito en reportar con validez el paralaje anual de una estrella fue el astr´ onomo alemán Friedrich Bessel en 1838. Para aquel entonces era claro que algunas estrellas débiles mostraban movimientos propios apreciables, indicando que estrellas poco luminosas no eran siempre garant´ıa de que estuvieran muy alejadas del Sol3 . Por tal razón Bessel escogió a la estrella 61 Cygni (una estrella doble con magnitudes visuales aparentes de 5.2 y 6.0 respectivamente), que para la época era no). La l´ ogica indicaba que si una la estrella que presentaba mayor movimiento propio (500 /a˜ estrella mostraba un movimiento propio notable era a causa de su “gran” cercan´ıa al Sol. En efecto, a Bessel le tomó 18 meses de observaciones para detectar un paralaje anual de esta estrella del orden de 0.3 segundos de arco. A los pocos meses se anunció el descubrimiento de paralaje en Vega debido a Wilhem Struve y de α Centauri debido a Thomas Henderson. El paralaje anual se aplica a las estrellas. Puesto que las distancias que hay entre ellas y nosotros son tan enormes el paralaje anual es muy peque˜ no, del orden de menos de un segundo de arco. Obtener el paralaje de una estrella constituye un logro de mucha importancia, pues es la forma más confiable de conocer la distancia de una estrella a nosotros. De hecho la u ńica manera de poder afirmar cual de las estrellas es la más cercana a nuestro sistema solar es medir el paralaje de todas ellas; aquella que presente un mayor paralaje anual es la más cercana. Hasta ahora, de todas las estrellas a las que se les ha medido el paralaje, la que tiene el valor m´ as grande (0.762”) se llama Próxima del Centauro, una peque˜ na estrella s´ olo visible por telescopio. El paralaje anual π se relaciona con la distancia 3 Ahora

sabemos que de las primeras 50 estrellas m´ as cercanas al Sol 41 son s´ olo visibles con telescopio.

10.5. PARALAJE

197

* *

*

* *

SOL

*

π

*

d

*

TIERRA

*

*

BOVEDA CELESTE

Figura 10.16:

* *

Paralaje anual

por medio de la siguiente ecuaci´ on (ver figura 10.16): 1 , (10.21) d donde d es la distancia en unidades astron´ omicas que existe entre la Tierra y la estrella en cuesti´ on. sen π =

Como las distancias interestelares son muy grandes es impráctico expresarlas en unidades astron´ omicas. La unidad que se utiliza es el a˜ no-luz, entendida como aquella distancia que cubre la radiaci´ on electromagnética en un a˜ no. Puesto que la luz viaja a 300 000 km por segundo y en un a˜ no de 365.25 d´ıas hay 31 557 600 segundos, se deduce que en kilómetros un a˜ no-luz es: 300 000 × 31 557 600 = 9.46 × 1012 km. De igual forma se deduce que: 1 a˜ no-luz = 63 235 u.a. El concepto de paralaje anual da lugar a una escala de distancia muy utilizada en astrof´ısica. Imaginemos un cuerpo situado a una distancia tal de la Tierra cuyo paralaje anual sea exactamente el de un segundo de arco. Dicha distancia se conoce con el nombre de parsec (de las palabras inglesas “parallax” y “second”). A finales de la d´ ecada de los a˜ nos ochenta la Agencia Espacial Europea colocó en o´rbita alrededor de la Tierra un satélite de nombre “Hipparcos” cuya tarea fue medir con una precisi´ on sin precedentes los movimientos estelares de unas 120 000 estrellas. El Hipparcos logró medir paralajes del orden de los 0.001 segundos de arco. Esto significa que puede medir con precisi´ on razonable las distancias de estrellas ubicadas hasta los 3200 a˜ nos luz (1000 parsecs). Es una distancia notable, pero es tan s´ olo el 6 por ciento del radio estimado de la V´ıa L´ actea.


198 El parsec equivale a:

1 = 206 265 u.a. = 3.26 a˜ nos-luz. sen 0o 00 100 Ejemplo 1 Calcular la distancia (en unidades astron´ omicas, a˜ nos-luz y parsecs) entre el Sol y la estrella Sirius. Soluci´ on El paralaje anual de varias estrellas se encuentra en el apéndice E, p´ ag. 365. El de Sirius (A o B) es 0.37700 . Al despejar d de la ecuaci´ on (10.21) encontramos la distancia en términos de unidades astron´ omicas: d=

1 sen

0o 00 0.37700

= 547 120 u.a.

En a˜ nos luz la distancia es: 547 120 = 8.65 a˜ nos-luz, 63 235 y en parsecs la distancia es: 8.65 = 2.65 parsecs. 3.26

10.6

Refracci´ on astron´ omica

La refracción es el fenómeno de cambio de la direcci´ on de un rayo de luz cuando pasa oblicuamente de un medio a otro en los cuales la velocidad de la luz es distinta (ver figura 10.17). Cuando la luz que proviene de los cuerpos celestes, y que viene viajando a través del vac´ıo, comienza a penetrar la atmósfera terrestre experimenta ligeros y sucesivos cambios de direcci´ on debidos a las propiedades f´ısicas sutilmente distintas entre las capas de aire. El grado de cambio de direcci´ on depende de las condiciones atmosféricas a lo largo de la l´ınea de visi´ on y de la altura del astro en cuesti´ on. Esto lo que significa es que la refracci´ on depende, no s´ olo de la altura (o distancia cenital) del astro sino también de las condiciones de temperatura y presi´ on existentes en el momento de la observación. Como resultado de la refracci´ on la altura observada de un cuerpo celeste es m´ as grande que su altura geométrica. O dicho de otra manera: la refracci´ on tiende a aumentar la altura real de los astros por lo que un observador termina viendo el astro un poco m´ as alto sobre su horizonte de lo que realmente está.

´ ASTRONOMICA ´ 10.6. REFRACCION

199

POSICION APARENTE * DE LA ESTRELLA

* POSICION GEOMETRICA DE LA ESTRELLA

Re

AT

M

OS

TIERRA

Figura 10.17:

FE

RA

Refraccci´ on astron´ omica

Para un astro ubicado en el cenit la refracci´ on es nula. En cambio, la refracción es máxima para un astro ubicado en el horizonte. En el horizonte un astro sufre una refracci´ on de 34 minutos de arco (mayor que el di´ ametro aparente del Sol y la Luna vistos desde la Tierra), por lo que en c´ alculos de tiempos de salida y puesta de astros es necesario tener en cuenta esa diferencia (ver sección 8.2.2). Existen en la literatura diversas ecuaciones propuestas para calcular la magnitud de la refracci´ on. También existen tablas, que permiten calcularla r´ apidamente. Un ejemplo de una de tales tablas se encuentra en el apéndice D. A manera de ejemplo presentamos aqu´ı una f´ ormula que permite hallar la refracci´ on, on de la altura aparente (u observada) ha (no corregida por denotada por Re , en funci´ refracci´ on), la temperatura T en grados cent´ıgrados y la presi´ on P en milibares: µ Re =

0.28P T + 273

¶

0.0167o . tan(ha + ha7.31 +4.4 )

(10.22)

La altura geométrica o verdadera hg está dada entonces por: hg = ha − Re .

(10.23)

Recuérdese que 1 atm´ osfera = 76 cm de mercurio = 1.013×105 pascales = 1013 milibares. Ejemplo 1 La altura que se mide de una estrella a nivel del mar (altura aparente) es h = 56o 450 3000 . Determinar la altura real (geométrica) de la estrella si en el momento de la observación la temperatura era de T = 20o C.


200 Soluci´ on

Primero utilicemos la f´ ormula (10.22). Al nivel del mar la presi´ on es de una atmósfera por lo que P = 1013 milibares. También T = 20o . Entonces: ¶ µ 0.0167o 0.28 × 1013 Re = = 0.0105o = 3800 . o 0 20 + 273 tan(56 45 3000 + 56o 457.31 ) 0 3000 +4.4 Una consulta a la tabla principal del apéndice D permite obtener para una altura de 57o a 20o cent´ıgrados un valor de 3700 , lo que da un error de un segundo con respecto al valor anterior. Por lo tanto, la altura geométrica correspondiente a la altura en cuesti´ on es, de acuerdo con (10.23): hg = 56o 450 3000 − 3800 = 56o 440 5200 . Ejemplo 2 Se hace un c´ alculo para determinar la altura te´ orica de una estrella para un observador ubicado en Bogotá. Dicha altura geométrica en cuesti´ on es 41o 270 3200 . Determinar la distancia cenital que se observar´ıa de dicha estrella teniendo en cuenta la refracci´ on atmosférica si al momento de la observación la temperatura es de T = 10o C. Soluci´ on Necesitamos saber la presión atmosférica de Bogotá. Tomando como base la atmósfera estándar norteamericana de 1976 es posible para la troposfera (alturas inferiores a los 11 000 metros) expresar la presión de la atm´ osfera P en términos de la altura sobre en nivel del mar H mediante la ecuación (ver Lide, 1991, pág. 14-12): H = 44331.5 − 11880.5P 0.19026 , donde H está dada en metros y P en milibares. De esta ecuación es fácil expresar H en términos de P como: P = e[

ln(44331.5−H) −49.31 0.19026

].

(10.24)

Conocemos el valor de la altura de Bogotá sobre el nivel del mar que se halla en el apéndice B, (p´ ag. 355) y es: H = 2620 metros. Reemplazando este valor en (10.24) obtenemos P = 735 milibares. Utilizando la f´ ormula (10.22) tomando ha = hg obtenemos: µ ¶ 0.28 × 735 0o .0167 Re = = 0.0137o = 4900 . 5 + 273 tan(41o 270 3200 + 41o 277.31 0 3200 +4.4 )

´ GRAVITACIONAL DE LA LUZ 10.7. DEFLECCION

201

Una consulta a la tabla principal del apéndice D permite obtener para una altura de 42o 300 a 10o cent´ıgrados un valor de 1o 600 . Multiplicando este valor por el factor de corrección por altura (tabla peque˜ na de la p´ agina 364) obtenemos: 10 600 × 0.73 = 4800 , lo que da un error de un segundo con respecto al valor anterior. La altura aparente del astro es, de acuerdo con (10.23): ha = 41o 270 3200 + 4900 = 41o 280 2100 . La distancia cenital se calcula con ayuda de la f´ ormula (5.1), p´ ag. 71: z = 48o 310 3900 .

10.7

Deflecci´ on gravitacional de la luz

La deflección gravitacional de la radiaci´ on electromagnética es un fen´ omeno que consiste en el cambio de la direcci´ on de un rayo de luz a causa del campo gravitacional originado por un cuerpo de masa de magnitud considerable (ver figura 10.18). En el caso de la observaci´ on de las estrellas desde la Tierra, el Sol, por ser el objeto de mayor masa, genera un campo gravitacional que cambia la trayectoria de un rayo de luz (una l´ınea recta) y lo curva ligeramente en dirección hacia el Sol. El fenómeno fue predicho por Albert Einstein en 1916 en su célebre teor´ıa de la relatividad general y fue por primera vez medido tres a˜ nos m´ as on completa del fenómeno requiere el tarde con ocasión de un eclipse de Sol4 . Una descripci´ dominio del c´ alculo tensorial, lo cual est´ a más all´ a del prop´ osito de esta obra. POSICION GEOMETRICA DE LA ESTRELLA

*

* ∆Φ

POSICION APARENTE DE LA ESTRELLA

Φ

SOL

r

TIERRA

Figura 10.18:

Deflecci´ on gravitacional de la luz

4 Utilizando la teor´ ıa newtoniana es posible mostrar que los rayos de luz también son curvados por una gran masa. En particular, el valor que se calcula de la desviaci´ on de un rayo de luz proveniente de un astro que pasa por todo el borde del Sol es exactamente la mitad del valor predicho por la teor´ıa de la relatividad general.


202

La magnitud ∆Φ de la deflección gravitacional puede calcularse con la siguiente fórmula5 : r 2GMJ 1 + cos Φ , (10.25) ∆Φ = c2 r 1 − cos Φ donde G es la constante de Cavendish, MJ la masa del Sol, c la velocidad de la luz en el vac´ıo, r la distancia del observador al Sol y Φ el ańgulo existente entre la estrella y el centro del Sol. Puesto que las observaciones se hacen desde la Tierra (al menos por ahora), el valor de r es la unidad astron´ omica. Reemplazando los valores de las constantes (en unidades MKS) en el coeficiente obtenemos: 2GMJ 2 × 6.67 × 10−11 × 1.998 × 1030 = = 1.97×10−8 rad = 1.134×10−6 grad = 0.0040800 . c2 r (300 000 0002 × 1.49 × 1011 ) De la f´ ormula (10.25) y utilizando el mismo procedimiento descrito en la p´ agina 256 obtenemos la f´ ormula de deflecci´ on gravitacional de una estrella situada a una distancia ángular Φ del centro del Sol para un observador ubicado en la Tierra: ∆Φ =

0.0040800 . tan(Φ/2)

Valores de ∆Φ se encuentran en la tabla 10.1 para varios valores de Φ.

Φ 0.25o 0.5o 1o 5o 10o 20o 50o 90o Tabla 10.1:

∆Φ 1.866” 0.933” 0.466” 0.093” 0.047” 0.023” 0.009” 0.004”

Deflecci´ on gravitacional de la luz. Algunos valores de ∆Φ

Un comentario adicional Como se ha visto, las coordenadas de los astros son alteradas sensiblemente por la precesión, llegando a un valor máximo de variaci´ on de unos 50 segundos de arco por a˜ no. El siguiente fen´ omeno a tener en cuenta, sobre todo para ubicar el ecuador verdadero, es la 5 Ver

Misner et al., 1973, p´ ag. 1103.

´ GRAVITACIONAL DE LA LUZ 10.7. DEFLECCION

203

nutaci´ on, que puede tener un efecto de hasta unos 17 segundos de arco. La aberración anual no se le queda atr´ as: puede tener un efecto m´ aximo en las coordenadas de hasta 20 segundos de arco. Los demás efectos son de magnitud muy peque˜ na. El movimiento propio, salvo casos excepcionales, cambia las coordenadas de las estrellas unas pocos segundos de arco por a˜ no. El efecto de la aberraci´ on diurna posee una magnitud m´ axima de 0.32 segundos de arco para un observador ubicado en el ecuador terrestre y es nulo para un observador en los polos. El efecto de paralaje anual es inferior al segundo de arco para absolutamente todas las estrellas. La deflección gravitacional posee un valor máximo de 1.87 segundos de arco (para una estrella situada en todo el borde del disco del Sol) pero en la pr´ actica para estrellas separadas del Sol más de noventa grados el efecto est´ a en la milésima de segundo. La refracción astronómica es tenida en cuenta principalmente en las observaciones de las culminaciones de los astros para efectos de navegación (ver sección 8.5). LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS • Chandrasekhar, S. (1995), Newton’s Principia for the Common Reader, Clarendon Press, Oxford. Fabuloso libro que coloca en un lenguaje moderno las principales ideas y descubrimientos que Newton public´ o en sus Principia. El cap´ıtulo 23 contiene una exposici´ on detallada y en un lenguaje relativamente sencillo sobre la precesi´ on de los equinoccios. • Green, R. (1985) Spherical Astronomy, Cambridge University Press, Cambridge. Excelente libro de astronom´ıa esférica. A parte de describir claramente algunos t´ opicos de interés actual contiene adem´ as las correcciones relativ´ısticas sin entrar de lleno a exponer el formalismo. • Kaula, W.M. (1968) An Introduction to Planetary Physics, John Wiley & Sons, New York. Excelente libro de f´ısica planetaria. En su cap´ıtulo 4 se encuentra una descripci´ on sencilla del efecto de la Luna sobre la din´ amica rotacional de la Tierra y con un c´ alculo sencillo se determina el per´ıodo de precesi´ on para la Tierra. • Kinoshita, H. (1975) Theory of the Rotation of the Rigid Earth, Celestial Mechanics, Vol. 15 p. 277. Art´ıculo técnico que describe claramente el proceso para la conformaci´ on y desarrollo de una teor´ıa del movimiento de rotaci´ on de la Tierra r´ıgida. Incluye el desarrollo de la funci´ on perturbadora (de la Luna y el Sol) y el m´ etodo de Hori para la soluci´ on de las ecuaciones can´ onicas. • Lide, D.R. (1991) Handbook of Chemistry and Physics, 72 edici´ on, C.R.C. Press, Boca Raton. Tablas de datos de inter´ es fis´ıco, matem´ atico, astron´ omico y qu´ımico se encuentran consignadas en este voluminoso libro. • Meeus, J. (1991) Astronomical Algorithms, Willmann-Bell, Richmond, Virginia. Referencia obligada para todos aquellos que deseen elaborar sus propios programas para la determinaci´ on de posiciones de astros con las correcciones a las que halla lugar. • Misner, C., Thorne, K., Wheeler, J.A. (1973) Gravitation, W.H. Freeman and Co., New York. Un compendio magistral de todo lo que se hab´ıa hecho en relatividad general hasta comienzos de los a˜ nos setenta. La deflecci´ on gravitacional de la luz se trata de varias maneras en el transcurso del texto.

204

´ A LAS COORDENADAS CAPÍTULO 10. CORRECCION • North, J. (1995) The Norton History of Astronomy and Cosmology, W. W. Norton & Company, New York. Una narraci´ on bastante completa y f´ acil de leer sobre la historia de la astronom´ıa. • Plummer, H.C. (1960), An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, Inc., New York. El cap´ıtulo 22 de este excelente libro aborda el problema de la precesi´ on y nutaci´ on. • Seidelmann, P.K. (1992), Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, University Science Books, Mill Valley. En su cap´ıtulo 3 contiene una exposici´ on muy detallada y actualizada sobre todos los fen´ omenos que perturban las coordenadas. • Simon, J.L. et al. (1994), Numerical Expressions for Precession Formulae and Mean Elements for the Moon and Planets, Astronomy and Astrophysics, Vol. 282, p. 663. En este art´ıculo se pueden encontrar ecuaciones rigurosas para el c´ alculo de la precesi´ on as´ı como ecuaciones para hallar los elementos orbitales medios de los planetas. • Smart, W.M. (1960) Celestial Mechanics, Longmans, Londres. Se encuentra en su cap´ıtulo 20 un tratamiento parcialmente riguroso de la precesi´ on y nutaci´ on. • The Astronomical Almanac, U.S. Goverment Printing Office, Washington. Las versiones recientes contienen, en términos facilmente entendibles, algunas f´ ormulas rigurosas y aproximadas para el c´ alculo de la precesi´ on, nutaci´ on, aberraci´ on, etc.

Cap´ıtulo 11

´ MECANICA CELESTE: UNA ´ INTRODUCCION Tradicionalmente se entiende por mecánica celeste a aquella rama de la ciencia que estudia el movimiento de los cuerpos celestes utilizando las leyes clásicas de la mecánica newtoniana. Las tres leyes de movimiento de Newton as´ı como la ley de atracción gravitacional son utilizadas para dar cuenta de las propiedades del movimiento de los planetas alrededor del Sol, la Luna alrededor de la Tierra, el de un par binario alrededor de su centro de masas, etc. La teor´ıa newtoniana explica con mucha exactitud la posici´ on aparente de los cuerpos celestes en el cielo. Se anotó éxitos espectaculares tales como el de predecir la existencia del planeta Neptuno (debida a John Adams y Urbano Leverrier a mediados del siglo XIX) con base en el extra˜ no movimiento observado en la o´rbita de Urano. De hecho, Julio Garavito (ver página 281) consideraba a la mecánica celeste newtoniana como una ciencia “verdadera” en el sentido de ser una teor´ıa pura e incontrovertible1 . Pero lo anterior no significa que todo fuera color de rosa con la mec´ anica newtoniana. Hay que tener presente que la teor´ıa newtoniana no explica porqué los cuerpos materiales se sienten atraidos unos con respecto a los otros. Esto es, aunque se diga que la gravedad es aquella fuerza responsable de que la Luna gire alrededor de nuestro planeta hay muy poco que decir sobre qué es en s´ı misma la gravedad. El formalismo newtoniano es cuantitativo: una ley de atracci´ on que se propone a priori explica satisfactoriamente las trayectorias que describen los cuerpos celestes. La adopción de dicha ley queda justificada porque funciona. Detalles significativos como la existencia de un espacio y tiempo absolutos y la acci´ on a distancia de dicha fuerza, inc´ omodos para ciertos estudiosos inquietos, permanecer´ıan eclipsados y olvidados por siglos. Ya desde la misma época de Leverrier se hab´ıa encontrado una pequena anomal´ıa con la órbita de Mercurio no explicada por la teor´ıa newtoniana. La explicaci´ on en términos de 1 Algunas de las ideas de Garavito nos pueden parecer hoy en d´ ıa ingenuas. Pero hay que considerar que Garavito vivi´ o un tanto aislado de la comunidad cient´ıfica internacional y vivi´ o en un per´ıodo sociocultural caracterizado por la indiferencia a la cultura y a la ciencia (ver Mart´ınez, 1986 y Arias de Greiff, 1993).

205

206

´ ´ CAPÍTULO 11. MECANICA CELESTE: UNA INTRODUCCION

perturbaciones producidas por posibles cuerpos a´ un no descubiertos result´ o muy poco convincente. El planeta predicho existente entre Mercurio y el Sol, por m´ as esfuerzos heroicos de los astr´ onomos, nunca fue encontrado. Con la aparici´ on de la teor´ıa de la relatividad general debida a Albert Einstein en 1916 se ha ido reformulando el concepto que se ten´ıa previamente de la mec´ anica celeste. La forma de considerar la gravedad no es en términos de una fuerza. Einstein explica la gravedad en términos de geometr´ıa. La gravedad no es otra cosa que la curvatura del espacio-tiempo generada por la materia. Pero la geometr´ıa que se introduce aqu´ı no es la geometr´ıa tradicional que se aprende en el colegio. Esta geometr´ıa, llamada euclidiana, estudia, entre otras cosas, las propiedades del espacio de dos o tres dimensiones. Pero de lo que se trata aqu´ı es de estudiar la curvatura del ente denominado espacio-tiempo. Y ello exige elaborar una geometr´ıa para espacios con más de tres dimensiones. Geometr´ıas para espacios de ndimensiones fueron estudiadas por matemáticos de la talla de Berhard Riemann a mediados del siglo XIX. Resulta que con esta nueva geometr´ıa la menor distancia entre dos puntos deja de ser una l´ınea recta; en espacios curvos, las distancias m´ınimas existentes entre dos puntos pueden ser trayectorias curvas, que reciben el nombre de geodésicas. La materia que conforma al Sol genera una curvatura del espacio-tiempo (un campo que se extiende en principio hasta el infinito) que obliga a los cuerpos a su alrededor a describir trayectorias geodésicas. Los planetas no son atra´ıdos por el Sol debido a una fuerza de atracci´ on (como pensaba Newton) sino que, al estar cerca del campo gravitacional del Sol, esto es, un sector del espacio-tiempo fuertemente curvado, se ven obligados a desplazarse a través de una trayectoria geodésica cuasi-cerrada (ver figura 11.1).

Figura 11.1:

Curvatura del espacio-tiempo como explicaci´ on de la gravedad

Vemos que lo que ocurre aqu´ı es algo como: la materia le dice al espacio cómo curvarse, y el espacio curvado le dice a la materia c´ omo moverse. Ahora bien, cuantitativamente hablando, la relatividad general explic´ o el extra˜ no comportamiento en la o´rbita de Mercurio, el cual si bien era de magnitud muy peque˜ na, no era del todo despreciable. Hasta mediados del siglo XX la relatividad general fue vista, por los mecánicos celestes, como una teor´ıa que s´ olo era necesario tener en consideraci´ on cuando se hablaba de ligeras correcciones con respecto a la mecánica newtoniana, tal y como el liger´ısimo corrimiento del perihelio de los planetas. Para prop´ ositos pr´ acticos, la mecánica newtoniana continuaba siendo adecuada para describir el movimiento de los planetas y otros cuerpos del sistema solar.

207

Los cambios dramáticos sucedidos con el advenimiento de la era de la exploraci´ on del espacio y la invenci´ on de relojes muy exactos oblig´ o a los especialistas a introducir con todas sus consecuencias el formalismo de la relatividad general para explicar el movimiento de los cuerpos a través del sistema solar y de la Luna y los satélites artificiales alrededor de la Tierra.

Figura 11.2:

Albert Einstein (1879-1955)

Por ello, actualmente podemos definir mecánica celeste como aquella rama del saber cient´ıfico que estudia el movimiento de los cuerpos celestes aplicando para ello lo que se conoce de las propiedades del espacio-tiempo y la materia a través de la teor´ıa de la relatividad general. La astrodin´ amica, a diferencia de la mec´ anica celeste que se ocupa de estudiar el movimiento de cuerpos naturales, estudia el movimiento de los cuerpos construidos por el hombre con diversidad de prop´ ositos, que giran alrededor del Sol, planetas, satélites y otros cuerpos naturales, utilizando para ello la teor´ıa de la relatividad general. Conviene advertir, sin embargo, que son muchos los textos de astrodin´ amica y mecánica celeste que omiten por completo dentro de su temática la teor´ıa de la relatividad general, aun en sus aspectos más b´ asicos. Hay dos razones para ello. La primera es que una exposici´ on de la teor´ıa de la relatividad general, aun sin profundizar en los detalles, requiere el uso de la geometr´ıa diferencial o del c´ alculo tensorial, ramas de la matem´ atica relativamente complejas accequibles a lectores con una sólida formaci´ on matemática. La otra razón ya se hab´ıa mencionado anteriormente: la teor´ıa cl´ asica newtoniana es, para casi todos los sis-

208


temas de interés, una descripci´ on lo suficientemente precisa para satisfacer las necesidades de la gran mayor´ıa de los usuarios. S´ olo cuando se requieren medidas muy precisas de cuerpos que se desplazan dentro del sistema solar, o se quiere estudiar el comportamiento din´ amico de cuerpos con intensos campos gravitacionales, como los que se estudian en los pulsares binarios, es necesaria la descripci´ on relativista. La teor´ıa de la relatividad general, cuando se utiliza en la descripci´ on del movimiento de cuerpos materiales, es susceptible de “linealizarse”, lo que significa que se utilizan una serie de aproximaciones tendientes a simplificar las ecuaciones. De acuerdo con la teor´ıa de la relatividad general la gravedad se transmite como ondas a través del espacio-tiempo a una velocidad igual a la de la luz, esto es, una velocidad finita (a diferencia de Newton, quien pensaba que era una fuerza de acci´ on instantánea). Por lo tanto, una forma de tratar de linealizar las ecuaciones es suponer que muy lejos de las masas el campo gravitacional es tan débil que en la pr´ actica no es curvo, esto es, la geometr´ıa es plana, o también que, si la velocidad de la luz fuera infinita, la gravitaci´ on einsteniana se reduce a la newtoniana. Una linealizaci´ on conduce, sin pérdida razonable de exactitud, a una expansi´ on simult´ anea en peque˜ nos par´ ametros (por ejemplo se consideran peque˜ nas las velocidades de los cuerpos comparadas con la velocidad de la luz as´ı como la intensidad de campo gravitacional). Tal expansi´ on del campo débil y movimiento lento da lugar a los siguientes términos de una serie: 1) un espacio-tiempo vac´ıo al “orden cero”; 2) el tratamiento newtoniano del sistema solar al “primer orden”; 3) correcciones pos-newtonianas del tratamiento newtoniano al “segundo orden” y as´ı sucesivamente. Por lo tanto, el “primer orden” corresponde a la teor´ıa cl´ asica newtoniana, por lo que ésta teor´ıa est´ a contenida en las ecuaciones de la teor´ıa de la relatividad general de Einstein.

11.1

Estado de las cosas en la antig¨ uedad

Las observaciones del cielo realizadas por hábiles astr´ onomos antiguos hab´ıan logrado descubrir que exist´ıan cuerpos celestes que, a diferencia de las estrellas fijas, se desplazaban por el cielo formando extra˜ nas trayectorias (ver figura 6.4, pag. 99). Tenemos el registro hist´ orico de que fil´ osofos y geómetras griegos intentaron describir el movimiento de los planetas, la Luna y el Sol en términos de trayectorias circulares con movimiento uniforme. La labor prob´ o no ser sencilla: se necesitó en algunos casos de la introducci´ on de combinaciones de circunferencias para explicar las retrogradaciones. El asunto se complicaba por la hip´ otesis fundamental del modelo: la Tierra era el centro del universo con todos los demás cuerpos, incluyendo el Sol, girando alrededor de ella. El modelo de Ptolomeo reun´ıa todas estas caracter´ısticas; fue el paradigma de la astronom´ıa por casi mil quinientos a˜ nos. Lo grandes navegantes del Renacimiento calculaban sus posiciones sobre la Tierra con base en las posiciones de los astros calculadas con el modelo ptolemáico. Nicolás Copérnico fue un monje polaco que public´ o un libro de astronom´ıa en 1542 (unos cinco a˜ nos después de la fundaci´ on de Bogotá). Esta obra, llamada “Sobre las revoluciones de los cuerpos celestes”, volv´ıa a poner sobre el tapete una idea que ya hab´ıa sido propuesta por un astr´ onomo griego de nombre Aristarco en el siglo IV A.C. La idea era ni más ni menos el helicentrismo, esto es, todos los planetas (incluyendo la Tierra) giran en torno al

11.2. KEPLER Y SUS LEYES

Figura 11.3:

209

Nicol´ as Cop´ ernico (1473-1543)

Sol en ´ orbitas circulares. La Luna es el u ´ nico cuerpo que gira alrededor de la Tierra, pero el movimiento diurno se explica en términos de la rotación de nuestro planeta. La idea no cuaj´ o en el esp´ıritu griego y permaneci´ o cuasi olvidada y referenciada como una de las tantas ideas extravagantes propuestas por los filósofos antiguos. A Copérnico no le son´ o tan extravagante y la puli´ o y adorn´ o de tal forma que le di´ o coherencia. Sin embargo, esta idea encontr´ o oposición (más bien indiferencia) por parte de la iglesia cat´ olica, que afirmaba que tan rid´ıcula idea no encajaba con lo que se afirmaba en las santas escrituras. A´ un sesenta a˜ nos después de la muerte de Copérnico el astr´ onomo italiano Galileo Galilei ten´ıa serios confictos con los dignatarios eclesiásticos por defender el modelo Copérnicano. No ayud´ o tampoco que el libro escrito por Copérnico fuera de ardua lectura, pero esto fue compensado por la excelente divulgaci´ on de un resoluto disc´ıpulo de Copérnico llamado Georg Rético. Pero la idea copérnicana s´ olo vendr´ıa a tornarse tema com´ un de la actividad astron´ omica en los tiempos de Johannes Kepler, casi cien a˜ nos después de la muerte de Copérnico.

11.2

Kepler y sus leyes

Johannes Kepler fue un astr´ onomo y matemático alemán que estaba convencido de la validez de la teor´ıa de Copérnico. Interesado en encontrar una relación geométrica entre las distancias de los planetas al Sol que le permitiera calcular con suma precisi´ on la posición de

210


los astros en el cielo comenzó a buscar el modelo correcto del sistema solar2 . Kepler era consciente de que para emprender dicha tarea necesitaba de los mejores y m´ as voluminosos datos de los que pudiera disponer.

Figura 11.4:

Tycho Brahe (1546-1601) y Johannes Kepler (1571-1630)

Para fortuna de Kepler exist´ıa un astr´ onomo danés llamado Tycho Brahe, cuyo ojo de a´guila (los observatorios astron´ omicos en aquella época no contaban con telescopios, pues éstos fueron utilizados por los astrónomos a partir del a˜ no 1609), dedicación, disciplina y solvencia económica le hab´ıan permitido a él reunir, en el transcurso de muchos a˜ nos, el mejor c´ umulo de observaciones de los planetas con una precisi´ on nunca antes alcanzada. Aunque ambos astrónomos trabajaron juntos por un per´ıodo muy breve a causa de la sorpresiva muerte de Brahe, Kepler dispuso, tras algunos inconvenientes, del enorme tesoro que constitu´ıan las observaciones. Y comenzó a trabajar con ah´ınco. Transcurrieron varios a˜ nos en los cuales se vio obligado a rechazar uno tras otro los modelos que él cre´ıa eran, en cada caso, la forma correcta del sistema solar. Tras una tarea matemática monumental, logró descubrir tres relaciones matemáticas que cumpl´ıan todos los planetas sin excepción y cuya aplicaci´ on permiti´ o por primera vez a los astrónomos explicar con asombrosa precisión el aparentemente complicado movimiento planetario. Estas relaciones matemáticas, que con el tiempo llegaron a convertirse en las “tres leyes de Kepler”, constituyen el mejor exponente de la genialidad y persistencia de los hombres de ciencia a principios del siglo XVII. Las tres leyes de Kepler son las siguientes: Primera ley: Los planetas se mueven alrededor del Sol describiendo o´rbitas el´ıpticas (no circulares). El Sol ocupa uno de los focos de dicha elipse. 2 Kepler no s´ olo descoll´ o como astr´ onomo. Tambi´ en fue un matem´ atico notable. Fue el primero en adoptar los logaritmos (recién descubiertos por Neper y Briggs) para el c´ omputo astron´ omico, pr´ actica que se tornar´ıa en costumbre en los siguientes 350 a˜ nos. Sus trabajos sobre las c´ onicas fueron sobresalientes, de hecho, la palabra “foco” fue introducida por Kepler.


211

Segunda ley: Los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales. Tercera ley: Los cuadrados de los per´ıodos de traslaci´ on (tiempo que le toma a un planeta en dar una vuelta completa alrededor del Sol) son proporcionales al cubo de las distancias medias existentes entre los planetas y el Sol. Dada la importancia que tienen estas leyes en el estudio de la astronom´ıa profundizaremos un poco más en cada una de ellas.

11.2.1

La elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos que cumplen la siguiente relaci´ on: P F + P F 0 = constante, donde P es cualquier punto de la elipse y F y F 0 son los llamados focos de la elipse.

E

D

P

. C. .F

D´

F’

2b

E´ 2a Figura 11.5:

La elipse

La distancia DD0 es llamada eje mayor de la elipse con lo que CD = CD0 = DD0 /2 es llamado el semieje mayor de la elipse denotado con la letra a. De idéntica forma llamamos EE 0 eje menor de la elipse; CE = CE 0 = EE 0 /2 es llamado el semieje menor de la elipse denotado con la letra b. De la definici´ on de la elipse se deduce entonces que: P F + P F 0 = 2a, y obviamente

212


EF 0 = EF = E 0 F 0 = E 0 F = a. Ll´ amese e a la excentricidad de la elipse definida como: e=

CF CF 0 CF = . = 0 CD CD a

Es claro que cuando e = 0 (los focos se confunden con el centro C) la elipse se convierte en una circunferencia. Es f´ acil deducir, utilizando el teorema de Pit´ agoras, que: b=a

p

(1 − e2 ).

(11.1)

Ahora bien, estamos interesados en encontrar una expresión matemática que nos permita describir una elipse en el plano. La ecuaci´ on de una circunferencia en coordenadas cartesianas con centro en el origen y de radio r es: y2 x2 + 2 = 1. 2 r r An´ alogamente, se puede demostrar que la ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas con centro en el origen y eje mayor ubicado sobre el eje de las x es: y2 x2 + 2 = 1. 2 a b Tradicionalmente, el estudio del movimiento de los planetas se hace teniendo como punto de referencia el centro del Sol. Puesto que la primera ley de Kepler nos dice que el Sol no está ubicado en el centro de la elipse C sino en F (o F 0 ), entonces lo adecuado es expresar la ecuaci´ on anterior con respecto a uno de los focos, digamos F . Esto se hace sencillamente realizando una traslaci´ on de coordenadas de C a F sobre el eje x. Puesto que CF = ae, se tendr´ a que la ecuaci´ on de una elipse con origen en F tiene la forma: y2 (x + ae)2 + 2 = 1. 2 a b

(11.2)

Sin embargo, este tipo de ecuación en coordenadas cartesianas no es muy utilizada en astronom´ıa, pero s´ı lo es representar las ecuaciones en coordenadas esféricas o polares. Para encontrar la ecuación de la elipse en coordenadas polares con origen en uno de los focos, multiplicamos la u ´ltima ecuaci´ on por a2 (1 − e2 ), esto es, por b2 , y desarrollando algunos términos se obtiene: (x2 + 2aex + a2 e2 )(1 − e2 ) + y 2 = a2 − a2 e2 , esto es, x2 + 2aex − x2 e2 − 2ae3 x + y 2 = a2 − 2a2 e2 + a2 e4 ,


213

que al reunir términos semejantes y ordenar da x2 + y 2 = a2 (1 − e2 )2 − 2aex(1 − e2 ) + x2 e2 . Teniendo en cuenta la transformaci´ on entre las coordenadas polares (r, θ) y las coordenadas cartesianas (x, y): y

r

Figura 11.6:

x

Relaci´ on entre las coordenadas cartesianas y las polares

x = r cos θ, tenemos:

θ

F

LINEA DE LAS APSIDES

y = r sen θ,

(11.3)

£ ¤2 r2 = a(1 − e2 ) − re cos θ ,

que al tomar la ra´ız cuadrada y factorar r se llega a: a(1 − e2 ) . (11.4) 1 + e cos θ En el movimiento planetario r es llamado radio vector (distancia entre el centro del Sol y el centro del planeta) y θ es llamada anomal´ıa verdadera. La ecuación (11.4) es la ecuación de una elipse en coordenadas polares con origen en el foco F . r=

N´ otese que cuando e = 0 el radio vector es igual a la constante a y en tal caso tenemos una circunferencia. De igual forma, se puede deducir que: θ = 0o =⇒ r = a(1 − e), planeta en perihelio, θ = 180o =⇒ r = a(1 + e), planeta en afelio, siendo el perihelio y el afelio la menor y mayor distancia respectivamente entre el planeta y el Sol. La l´ınea que une el centro de la elipse con ambos focos y sobre la cual est´ an ubicados los puntos extremos (perihelio y afelio) se conoce con el nombre de l´ınea de las a ´psides. De lo anterior se deduce que la distancia promedio existente entre el planeta y el Sol, que llamaremos distancia media, rmed , es igual al semieje mayor a:


214

rmed =

a(1 − e) + a(1 + e) = a. 2

En el sistema solar las distancias medias de los planetas al Sol se expresan en términos de la llamada Unidad Astron´ omica (u.a.) que es la distancia media existente entre la Tierra y el Sol cuyo valor es: 1 u.a. = 149 597 870 km. NOTA: Es frecuente encontrar en la literatura la ecuaci´ on (11.4) escrita como: r=

p , 1 + e cos θ

donde p = a(1 − e2 ) se llama el semi-latus rectum y es el valor que adopta el radio vector cuando la anomal´ıa verdadera es igual a los valores θ = 90o y 270o .

b

p

θ=90

a Figura 11.7:

El semi-latus rectum p, el semieje menor b, y el semieje mayor a

Ejercicio 1 Calcular la distancia existente entre J´ upiter y el Sol en el instante para el cual θ = 30o .

Soluci´ on De la tabla C.3 del apéndice C extraemos los valores de a y e para J´ upiter: a =5.20442 y e = 0.04887. Entonces: r=

5.20442 × (1 − 0.048872 ) = 4.98117 u.a. 1 + 0.04887 × cos(30)


11.2.2

215

´ Areas y´ angulos

Es claro que la segunda ley de Kepler es superflua y obvia en el caso de que los planetas se desplazaran en órbitas circulares con movimiento uniforme. La segunda ley de Kepler pone de manifiesto que aun cuando la o´rbita de los planetas no es circular, los planetas insisten en desplazarse barriendo a´reas iguales en tiempos iguales. La forma matemática de expresar la segunda ley de Kepler es: A ∝ t, donde A es el área que barre un planeta en su o´rbita y t es el tiempo. Al introducir una constante de proporcionalidad K, tenemos: A = Kt.

(11.5)

Esta ecuaci´ on implica que si t2 − t1 = t4 − t3 entonces se ha de cumplir A1 = A2 (ver figura 11.8). Como vemos, la relación entre el área A y el tiempo t es supremamente sencilla. Sin embargo, en la práctica los astrónomos no miden áreas sino ángulos. Y aqu´ı el asunto se pone complicado, pues la consecuencia de la segunda ley es que el planeta no se desplaza uniformemente en su trayectoria, puesto que para cubrir a´reas iguales en tiempos iguales el planeta debe acelerar su movimiento cerca del perihelio y desacelerar cerca del afelio. Por lo tanto, la anomal´ıa verdadera θ no es funci´ on lineal del tiempo, con lo que encontrar el valor de θ para cualquier tiempo t no es tarea sencilla.

t2

t3 A1

A2

t4

t1 Figura 11.8:

11.2.3

La segunda ley de Kepler

Per´ıodos y distancias

La forma matemática de expresar la tercera ley de Kepler es: T 2 ∝ a3 , o introduciendo una constante de proporcionalidad K1 :


216

T 2 = K1 a 3 . Una forma cualitativa y burda de expresar la tercera ley de Kepler es que entre m´ as cerca del Sol se encuentre el planeta, más r´ apido se desplaza y por lo tanto invierte menor tiempo en dar una revoluci´ on completa. Como ejemplos considérese a Mercurio y Plut´ on. El primero est´ a situado a 0.387 u.a. del Sol gastando sólo 88 d´ıas terrestres en dar una revoluci´ on completa, mientras que Plut´ on, ubicado a una distancia media del Sol de 39.5 u.a., invierte 248.2 a˜ nos terrestres (90 680 d´ıas) en dar una vuelta completa. Es claro que: K1 =

(88)2 (90680)2 dias2 = ' 133 500 . (0.387)3 (39.5)3 u.a.3

Tenemos pues a nuestra disposici´ on una valiosa relaci´ on matemática que nos permite calcular a qué distancia se encuentra un objeto del Sol si conocemos de alg´ un modo el per´ıodo de traslaci´ on de un planeta alrededor del Sol.

11.3

El formalismo Newtoniano

Isaac Newton es considerado el padre de la ciencia moderna. Y no es para menos. Descubrió las leyes del movimiento de los cuerpos materiales, base de la mecánica y la din´ amica; descubri´ o la ley de atracción gravitacional explicando el movimiento de los cuerpos celestes en términos de f´ısica; descubri´ o el cálculo diferencial e integral (junto con Leibnitz); introdujo la teor´ıa corpuscular de la luz; invent´ o el telescopio reflector, etcétera. Como cabe suponer, aqu´ı hablaremos sólo de los descubrimientos de Newton relacionados con el movimiento de los cuerpos celestes. En un libro llamado Los principios matem´ aticos de la filosof´ıa natural publicado en 1687, Newton reveló al mundo muchos de sus descubrimientos, particularmente aquellos relacionados con el movimiento de los planetas alrededor del Sol y de la Luna alrededor de la Tierra. Las leyes de movimiento de Newton son: 1) Ley de la inercia: todo cuerpo tiende a permanecer en su estado de reposo o de movimiento rectil´ıneo uniforme a menos que una fuerza externa actue sobre él. En nuestra vida diaria, viviendo en la superficie de un planeta dotado de atm´ osfera y por lo tanto rebosante de todo tipo de fuerzas resistivas, la ley de la inercia nos parece contradictoria, pues observamos que un objeto al que animamos de una fuerza determinada —digamos un bal´ on de f´ utbol al que le damos un puntapie—, al poco tiempo termina por detenerse, conduciéndonos a pensar que para mantener un objeto en movimiento es preciso estarle comunicando una fuerza de forma continua. Al tener en cuenta las fuerzas que crean fricci´ on explicamos la aparente contradicción. Impl´ıcitamente en la primera ley está la definici´ on de que es necesario introducir un sistema de coordenadas al cual referir el movimiento del cuerpo (o cuerpos) que estamos

11.3. EL FORMALISMO NEWTONIANO

Figura 11.9:

217

Isaac Newton (1642-1727)

interesados en estudiar. Dichos sistemas de coordenadas deben ser precisamente aquellos en donde al no existir fuerzas los objetos est´ an en su estado natural: en reposo o en movimiento rectil´ıneo uniforme. Por tal razón estos sistemas se llaman inerciales. En la práctica es dif´ıcil encontrar en la naturaleza sistemas perfectamente inerciales, pues lo usual es definir un sistema ubicado en un determinado cuerpo, digamos el centro de un planeta, o su superficie, y ocurre que éstos se desplazan en el espacio de manera no uniforme. Sin embargo, en primera aproximaci´ on, es conveniente suponer que estos sistemas son inerciales para as´ı poder aplicar sin restricciones las leyes de Newton. El sistema inercial más adecuado para estudiar el movimiento de los cuerpos celestes es aquel que toma como referencia a las estrellas “fijas”. 2) Ley de la fuerza: La fuerza F~1x que actua sobre un cuerpo de masa m1 debido a la presencia de la interacción x (que origina dicha fuerza) es igual a la derivada temporal del momentum lineal p~: d d~ p = (m1~v ), (11.6) F~1x = dt dt siendo el momentum lineal igual al producto de la masa m1 por la velocidad ~v medida con respecto a un sistema de referencia inercial dado. Existen varios tipos de “interacciones” que suelen aparecer en mecánica celeste: la presencia de otro o m´ as cuerpos materiales (con lo que la interacci´ on es la fuerza de gravedad), presencia de un fluido (que origina la fuerza de resistencia y sustentaci´ on, com´ un en los satélites de muy baja altura), etc.


218

En casi todos los sistemas de interés (descartando el caso del movimiento de un cohete) la masa del cuerpo m1 permanece constante. Por ello, es frecuente encontrar como expresión matemática de la segunda ley de Newton a: d~v d2~r = m1 2 , (11.7) F~1x = m1 dt dt donde ~r es el vector posición del cuerpo m1 con respecto al origen de un sistema de referencia inercial. 3) Ley de la acción y reacción: para toda fuerza F~1x que se ejerce sobre un cuerpo de masa m1 , existe una fuerza F~x1 que ejerce el cuerpo de masa m1 sobre el responsable de la interacci´ on x que es de igual magnitud pero de sentido opuesto a la de F~1x . Es claro que: F~1x = −F~x1 .

11.3.1

Ley de atracci´ on newtoniana

La interacción existente entre dos part´ıculas materiales (o que poseen masa) origina una fuerza de atracci´ on entre ambas que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. De acuerdo con lo anterior, la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo de masa m2 debido a la presencia del cuerpo de masa m1 , representada por F~21 , está dada por: Gm1 m2 u ˆr , (11.8) F~21 = − r2 on del vector posición ~r que va desde el cuerpo donde u ˆr es un vector unitario en la direcci´ de masa m1 al cuerpo de masa m2 , cuya magnitud es la distancia r, (ver figura 11.10). El signo negativo es necesario para indicar que la fuerza que actua sobre m2 (debido a m1 ) está on). en la direcci´ on contraria a la del vector u ˆr (esto es, la fuerza es de atracci´

m r r ur

2

F 21

m1 Figura 11.10:

Dos masas sometidas a la atracci´ on de tipo newtoniano

La constante G es llamada constante universal de la gravitaci´ on, llamada también constante de Cavendish, en honor del f´ısico y qu´ımico Henry Cavendish, de nacionalidad inglesa (aunque en realidad naci´ o en Niza, Francia), de quien se dice que fue el primer cient´ıfico


219

en realizar experimentos para determinar el valor de G. De acuerdo con las más recientes medidas, el valor de la constante de Cavendish, en unidades MKS, es el siguiente: G=6.67259 × 10−11 m3 s−2 kg−1 . De la misma manera, la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo de masa m1 debido a la presencia del cuerpo de masa m2 , representada por F~12 , está dada por: Gm1 m2 u ˆr , F~12 = r2

(11.9)

nótese que F~21 = −F~12 como cabe esperar de la tercera ley de Newton. La ecuación (11.8) se suele escribir corrientemente en términos del radio vector ~r. Puesto que ~r = rˆ ur , se deduce inmediatamente que: Gm1 m2 ~r. F~21 = − r3

11.3.2

(11.10)

La funci´ on potencial

La ley de atracción gravitacional, tal y como se acabó de describir, es aplicable a aquellos cuerpos materiales que son considerados “part´ıculas”, esto es, cuerpos cuya masa está concentrada en un punto. Pero los objetos reales y, con mayor razón, los cuerpos celestes están muy lejos de considerarse como objetos puntuales. Sin embargo, el mismo Newton demostr´ o que cuerpos materiales de dimensiones gigantescas producen una fuerza gravitacional equivalente a la que producir´ıan si toda su masa estuviese concentrada en su centro, siempre y cuando cumplieran con dos requisitos: que fueran completamente esféricos (por completamente queremos decir rigurosamente) y que la distribuci´ on de masa en su interior fuera completamente uniforme (exentos de concentraciones de masa en algunos sitios) o cuanto menos, que la densidad del cuerpo sea sólo funci´ on de la distancia al centro. En principio el Sol, los planetas y un gran n´ umero de satélites naturales pueden considerarse como cuerpos que cumplen con estos requisitos pero no completamente. La mayor´ıa de los planetas poseen radios ligeramente mayores en el ecuador que en los polos. La Luna posee en su interior sectores cuya densidad es anormalmente mayor que en el resto del satélite. Por ello es que, para explicar el movimiento de un satélite artificial alrededor de la Tierra (cuyo achatamiento en los polos destruye la esfericidad del planeta), no basta con aplicar la simple ley de atracci´ on gravitacional. El astr´ onomo se ve obligado a utilizar “correcciones” a dicha ley de atracci´ on. on potencial gravitacional Para un cuerpo esférico perfecto de masa m1 definimos la funci´ V ejercido sobre un cuerpo de masa m2 como (nótese que no interesa en esta descripción la forma del cuerpo de masa m2 , pues como se verá más adelante, haremos m1 >> m2 ): V =−

Gm1 m2 , r

(11.11)


220

donde es claro que V sólo depende de la distancia radial r existente entre ambos cuerpos. Definido el potencial de esta forma es claro que la fuerza de atracci´ on gravitacional ejercida sobre el cuerpo de masa m2 debido al cuerpo m1 puede escribirse como: ∂V u ˆr . (11.12) F~21 = − ∂r Cuando el cuerpo de masa m1 es un cuerpo real, esto es, un objeto achatado en los polos (como la Tierra y los planetas del sistema solar) o con una forma bastante apartada a la de una esfera, tal y como la que presenta un t´ıpico asteroide o un cometa (ver figura 11.11), el potencial gravitacional deja de ser una funci´ on que sólo depende de r; se convierte en una funci´ on extraordinariamente complicada y se hace necesario la dependencia de V en variables angulares. Se puede demostrar que la funci´ on potencial gravitacional puede escribirse de la siguiente forma: # " n µ ¶n ∞ X X R Gm1 m2 Pnm( sen φ) (Cnm cos mλ + Snm sen mλ) , 1+ V =− r r n=1 m=0

(11.13)

donde R es el radio ecuatorial del cuerpo de masa m1 , φ y λ los ańgulos de latitud y longitud con respecto a un ecuador y meridiano de referencia dados, Pnm( sen φ) son las funciones asociadas de Legendre de primera especie y Cnm y Snm coeficientes adimensionales exclusivos de cada cuerpo (que hay que medir experimentalmente) llamados coeficientes arm´ onicos.

A Figura 11.11:

B

C

A: cuerpo esférico perfecto, B: planeta achatado, C: forma de un asteroide o cometa

El potencial (11.13) se ve reducido al potencial sencillo (11.11), por más amorfo que sea el objeto de masa m1 , cuando la distancia r a la que est´ a situado el objeto de masa m2 es umeros que, en el caso de r >> R, esto es, Rr h 0. Además, los coeficientes armónicos son n´ los cuerpos con algo de simetria esférica, poseen valores muy bajos, del orden de un milésimo o centésimo a lo sumo. Es por ello que al estudiar el movimiento de los planetas alrededor del Sol el potencial que se adopta es la expresi´ on (11.11), pues los planetas ocupan órbitas cuya distancia r es muchas veces el valor del radio del Sol (en el caso de Mercurio, el planeta más cercano al Sol, se tiene Rr h 0.01). Pero en el caso de satélites artificiales alrededor de la Tierra, espec´ıficamente aquellos que est´ an colocados en orbitas bajas (de 300 a 1000 km de altura sobre la superficie terrestre) la relaci´ on Rr es cercana a uno (0.95 a 0.86), por lo que es necesario utilizar los términos m´ as significativos del potencial (11.13). Se discutir´ a más acerca de este tópico en la sección 14.4.2.


221

LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS • Arias de Greiff, J. (1993) La astronom´ıa en Colombia, Academia colombiana de ciencias exactas, f´ısicas y naturales, colecci´ on Enrique Pérez-Arbel´ aez No.8, Santafé de Bogot´ a. Este libro contiene una exposici´ on erudita del desarrollo hist´ orico de la astronom´ıa en nuestro pa´ıs desde los tiempos precolombinos hasta comienzos de la d´ ecada de los 1990s. • Karttunen, H., et al. (1996) Fundamental Astronomy, Springer-Verlag, Heidelberg. En su cap´ıtulo 7 contiene una excelente y concisa exposici´ on de mec´ anica celeste con aplicaciones elementales a algunos sistemas astrof´ısicos. • Koestler, A. (1963) Los son´ ambulos, Editorial Universitaria de Buenos Aires, Buenos Aires. Libro de obligada lectura si uno est´ a determinado a conocer la historia de la astronom´ıa con énsafisis en las vidas de Cop´ ernico, Brahe, Kepler, Galilei y Newton. • Mart´ınez, R. (1986) El pensamiento f´ısico y epistemol´ ogico de Garavito, Naturaleza, educaci´ on y ciencia, No. 4, p. 15. El autor realiza una entrevista imaginaria a Julio Garavito con base en multitud de escritos sobre epistemolog´ıa y otras a ´reas del pensamiento que dej´ o este célebre hombre de ciencia criollo. • Peterson, I. (1993), Chaos in the Solar System, W. H. Freeman and Co., New York. Excelente narraci´ on de la historia de la mec´ anica celeste con énfasis en las actuales investigaciones sobre estabilidad y caos. • Roy, A., Clarke, D. (1988), Astronomy: Principles and Practice, Adam Hilger, Bristol. Este excelente libro de astronom´ıa fundamental contiene, en su cap´ıtulo 12, una descripci´ on bien lograda de los fundamentos de la mec´ anica celeste. • Verontsov-Veliam´ınov, B.A. (1979) Problemas y ejercicios pr´ acticos de astronom´ıa, Mir, Mosc´ u. El cap´ıtulo 2 expone no s´ olo una descripci´ on hist´ orica de los modelos geocentristas y heliocentristas sino tambi´ en los fundamentos de la mec´ anica newtoniana. • http://www.astronomynotes.com/gravappl/gravappla.htm#A1 Contiene una descripci´ on muy pedag´ ogica sobre las leyes de movimiento de Newton y ley de atracci´ on gravitacional.

222


Cap´ıtulo 12

EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS El problema de los dos cuerpos es el t´ opico fundamental en el estudio de la mec´ anica celeste. El problema es: dadas dos part´ıculas (o cuerpos perfectamente esféricos con distribuci´ on de densidad uniforme en su interior o también cuya densidad sea sólo funci´ on de la distancia) de masas m1 y m2 completamente aisladas de las demás masas que conforman el universo, encontrar el estado din´ amico de ambos cuerpos con respecto a un sistema inercial dado cuando la u ńica fuerza que actua entre ellas es la de la atracci´ on gravitacional. Por “aisladas de las demás masas que conforman el universo” entendemos que las otras masas del universo están a distancias tan extraordinariamente grandes (comparadas con la actica es como si se encontraran en el distancia r que existe entre m1 y m2 ) que en la pr´ infinito, o que, de existir algunos cuerpos cerca de m1 y m2 , dichos cuerpos poseen masas tan peque˜ nitas, comparadas con m1 y m2 , que la fuerza gravitacional que ejercen sobre éstas es completamente despreciable. En el problema de los dos cuerpos s´ olo se considera la fuerza de atracci´ on newtoniana, lo que significa que no existen fuerzas externas o, si existen, son de magnitud tan peque˜ na que se consideran insignificantes. Las fuerzas externas pueden ser de distintos tipos: fuerzas electromagnéticas (campos eléctricos y magnéticos), de resistencia o sustentación (cuando on (cuando uno de los cuerpos o ambos est´ an m1 y m2 están en un medio fluido), de propulsi´ eyectando masa), de repulsión (como presión de radiaci´ on originada por uno de los cuerpos o ambos), etc. Por u ´ltimo, ¿qué queremos decir con encontrar el estado dinámico de un sistema integrado por dos o más part´ıculas materiales? Ello significa: 1. Hallar las ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento de las part´ıculas con respecto a un sistema inercial dado. Esto, en mecánica celeste cl´ asica, es supremamente sencillo de realizar, incluso si se tienen tres o m´ as part´ıculas materiales. Es tan sencillo que 223

CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS

224

en muchas referencias se da por descontado que ello no constituye un problema. 2. Habiendo hallado las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento del sistema, dar respuesta, si es posible, a las siguientes preguntas: ¿Qué cantidades se conservan (o no se conservan)? ¿Qué tipo de trayectorias describen las part´ıculas en el espacio?, ¿Bajo qué situaciones se preservan las simetr´ıas que pudieran existir? Las respuestas a estas preguntas exigen resolver una o m´ as de las ecuaciones diferenciales. Lo ideal, por supuesto, es resolverlas todas, pues entre más ecuaciones diferenciales se resuelvan más propiedades del movimiento se descubren. Pero esto, como veremos, no siempre es posible. 3. Con las cantidades conservadas, esto es, con las constantes que resultan de integrar las ecuaciones diferenciales (cuyo valor se determina si se conocen los vectores posición y velocidad de todas las part´ıculas en un instante cualquiera) hallar el vector posici´ on y velocidad para cualquier tiempo que se desee. En un caso as´ı se dice que el problema es completamente integrable. Sean dos part´ıculas materiales de masas m1 y m2 cuyos vectores de posición con respecto a un sistema de coordenadas inercial con origen en cualquier punto arbitrario del espacio O son ~r1 y r~2 respectivamente, separadas entre s´ı por una distancia r (r = |~r| = |r~2 − ~r1 |), donde ~r es el vector de posición de m2 con respecto a m1 .

m1 r m2

r

1

r2 O

SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL

Figura 12.1:

Configuraci´ on de dos masas en un sistema inercial

La fuerza que se ejerce sobre la part´ıcula de masa m2 debido a la existencia de m1 es (ver ecuación 11.10): Gm1 m2 (r~2 − ~r1 ) . (12.1) F~21 = − r3 Igualmente, la fuerza que se ejerce sobre la part´ıcula de masa m1 debido a la existencia

225 de m2 es: Gm1 m2 F~12 = (r~2 − ~r1 ) . r3

(12.2)

Teniendo en cuenta la segunda ley de Newton (ecuaci´ on (11.7)) las dos expresiones anteriores se convierten en las siguientes ecuaciones diferenciales vectoriales: m2

Gm1 m2 d2 r~2 =− (r~2 − ~r1 ) , 2 dt r3

m1

Gm1 m2 d2 r~1 = (r~2 − ~r1 ) . 2 dt r3

(12.3)

En el espacio, los vectores r~1 y r~2 poseen tres componentes, lo que significa que cada una de las ecuaciones diferenciales vectoriales representan tres ecuaciones diferenciales en términos de componentes. Por lo tanto, tenemos seis ecuaciones diferenciales de segundo orden que hay que resolver. Ello implica a su vez que debemos hallar 12 constantes de movimiento para resolver completamente el problema. Podemos encontrar rápidamente seis constantes de movimiento. En efecto, al sumar ambas ecuaciones (12.3) obtenemos: d2 r~2 d2 r~1 ~ + m = 0, 1 dt2 dt2 que al integrar una vez con respecto al tiempo da: m2

m2

dr~2 dr~1 + m1 = c~1 , dt dt

(12.4)

(12.5)

siendo c~1 un vector constante, que en el espacio representa la existencia de tres constantes de movimiento. Esta ecuación respresenta la conservación del momentum lineal: la suma del momentum lineal de ambos cuerpos es una constante. Una nueva integraci´ on de la ecuaci´ on (12.5) permite obtener: m2 r~2 + m1 r~1 = c~1 t + c~2 ,

(12.6)

siendo c~2 , como antes, un vector constante, que adiciona otras tres constantes a las ya obtenidas. ¿Qué informaci´ on está suministrando la existencia de estas seis constantes de movimiento? Veamos. Se define el centro de masas de un sistema de part´ıculas como aquel punto que representa la posici´ on del sistema como si se tratara de un sólo cuerpo. Trat´ andose de ~ (con respecto al origen O del sistema de coordenadas dos cuerpos el vector de posición R inercial) del centro de masas queda definido por: ~ = m2 r~2 + m1 r~1 , R m1 + m2

(12.7)

que no es otra cosa que la definici´ on de un promedio ponderado de los vectores de posici´ on de las respectivas part´ıculas. Con esto podemos escribir la ecuación (12.6) como:


226

~ = R

c~2 c~1 t + . m1 + m2 m1 + m2

(12.8)

~ representa el vector posición del centro de masas, y puesto que la ecuación Dado que R (12.8) es lineal con respecto al tiempo, es claro que esto representa el desplazamiento en l´ınea recta del centro de masas con el transcurrir del tiempo. Esto es, el centro de masas del sistema se mueve en el espacio en una l´ınea recta (ver figura 12.2). Esto se ve a´ un m´ as claramente al derivar (12.8) con respecto al tiempo: ~ 1 dR c~1 , = dt m1 + m2

(12.9)

de la que se deduce, inmediatamente: ~ d2 R = ~0, 2 dt

(12.10)

esto es, el centro de masas, con respecto al origen en O, no está acelerado (o está estático o se mueve en una l´ınea recta). Sin embargo, a pesar de tener seis constantes éstas no nos han dicho mayor cosa con respecto a las propiedades del movimiento de m1 y m2 , salvo que el momentum lineal se conserva y que el centro de masas se mueve en l´ınea recta con respecto al origen en O. A´ un nada de trayectorias.

CENTRO DE MASAS

m

1

m

2

Figura 12.2: El centro de masa y su movimiento en el espacio

12.1. MOVIMIENTO CON RESPECTO AL CENTRO DE MASAS

12.1

227

Movimiento con respecto al centro de masas

Deseamos ahora hacer lo siguiente: encontrar el movimiento de las part´ıculas de masa m1 y m2 ya no con respecto al punto arbitrario O sino con respecto al centro de masas del sistema. En otras palabras, hay que escribir las ecuaciones (12.3) en términos de los vectores ~1 y∆ ~ 2 de ambas part´ıculas con respecto al centro de masas. De la figura 12.3 de posici´ on ∆ es claro que: ~ +∆ ~ 2 = r~2 , R

~ +∆ ~ 1 = r~1 , R

(12.11)

de las que se deduce, al derivar dos veces con respecto al tiempo y de la ecuación (12.10): ~1 d2 r~1 d2 ∆ = , dt2 dt2

~2 d2 ∆ d2~r2 = . dt2 dt2 ~2−∆ ~ 1. Ahora bien, es obvio que: r~2 − r~1 = ~r = ∆ m1

CENTRO DE MASAS

∆

r 1

∆2

r1

(12.12)

m2

R r2

O

Figura 12.3:

Movimiento con respecto al centro de masas

~ = 0) entonces los vectores de Como el origen de coordenadas es el centro de masas (R ~ 1 = r~1 y ∆ ~ 2 = r~2 . Esto posición de las part´ıculas son ahora, de acuerdo con (12.11): ∆ implica, de acuerdo con la definici´ on del centro de masas (12.7), que se cumple: ~ 1 + m2 ∆ ~ 2 = 0. m1 ∆

(12.13)

Esta ecuaci´ on es muy importante, pues nos permite hallar cualquiera de los dos vectores posición en funci´ on del otro, esto es: ~ 1 = − m2 ∆ ~ 2, ∆ m1

~ 2 = − m1 ∆ ~ 1. ∆ m2

(12.14)

228


~ 1 en términos ~2−∆ Con estas ecuaciones podemos representar el vector relativo ~r = ∆ de uno de los dos vectores posici´ on con respecto al centro de masas. En efecto, de (12.13): ~ 2 = −m1 ∆ ~ 1, m2 ∆

(12.15)

~ 1: restando a ambos lados el término m2 ∆ ~ 2 − m2 ∆ ~ 1 = −m1 ∆ ~ 1 − m2 ∆ ~ 1, m2 ∆

(12.16)

~2−∆ ~ 1 ) = −(m1 + m2 )∆ ~ 1, m2 ( ∆

(12.17)

~ 1 ) = r~2 − r~1 = ~r = −(m1 + m2 ) ∆ ~ 1. ~2−∆ (∆ m2

(12.18)

o sea:

o también:

De idéntica forma podemos obtener de la ecuación (12.15), al sumar a ambos lados ~2 : m1 ∆ ~ 1 ) = r~2 − r~1 = ~r = (m1 + m2 ) ∆ ~ 2. ~2−∆ (∆ m1

(12.19)

Con éstas, se deduce la magnitud del vector relativo en funci´ on de las magnitudes de los ~ 2 , denotadas por ∆1 y ∆2 respectivamente, que al elevar al cubo resulta: ~ 1 o de ∆ vectores ∆ ¯ ¯3 (m1 + m2 )3 3 ¯~ ¯ 3 ~ − ∆ ∆1 , r3 = |~r| = ¯∆ 2 1¯ = m32

(12.20)

¯ ¯3 (m1 + m2 )3 3 ¯~ 3 ~ ¯ ∆2 . r3 = |~r| = ¯∆ 2 − ∆1 ¯ = m31

(12.21)

Reemplazando las ecuaciones (12.12), (12.18), (12.19), (12.20) y (12.21) en las ecuaciones (12.3), obtenemos las ecuaciones de movimiento de m1 y m2 con respecto al centro de masas ~1 y ∆ ~ 2 y sus magnitudes: en funci´ on de sólo los vectores ∆ ~2 ~2 ∆ Gm31 d2 ∆ = − , dt2 (m1 + m2 )2 ∆32

~1 ~1 ∆ d2 ∆ Gm32 = − . dt2 (m1 + m2 )2 ∆31

(12.22)

Tenemos acá en total dos ecuaciones diferenciales vectoriales de segundo orden, que representan seis ecuaciones diferenciales en términos de sus componentes. Pero, si podemos ~ 1 queda determinada inmedia~ 2 , la soluci´ on para ∆ resolver alguna de las dos, digamos para ∆ tamente, merced a las ecuaciones (12.14). En otras palabras, al haber elegido como origen de coordenadas al centro de masas ya no es necesario resolver seis ecuaciones diferenciales de segundo orden, sino tres. Basta con encontrar la soluci´ on para alguna de las ecuaciones vectoriales (12.22) para que el movimiento de ambas part´ıculas quede completamente especificado con respecto al centro de masas.

12.2. EL MOVIMIENTO RELATIVO

229

Por u ´ltimo, notemos que la ecuaci´ on diferencial de movimiento para ambas part´ıculas puede representarse de la forma: ~i ~i ∆ d2 ∆ = −Ki 3 , 2 dt ∆i

(12.23)

donde Ki es una constante, que depende s´ olo de la constante de Cavendish y de las masas. Como se verá a continuaci´ on, nos encontraremos con una ecuación diferencial que tiene la forma dada por la ecuacion 12.23 que será a la postre la que resolveremos. Por lo tanto, las propiedades de movimiento que encontremos en ese caso serán análogas para las part´ıculas que se desplazan con respecto al centro de masa.

12.2

El movimiento relativo

Existe otra manera de resolver el problema de los dos cuerpos con sólo tres ecuaciones diferenciales y no seis. Y esto es estudiando el movimiento de una part´ıcula con respecto a la otra: adoptar como origen de coordenadas a cualesquiera de las dos part´ıculas. El movimiento relativo de m2 con respecto a m1 (o viceversa) es el más ampliamente estudiado en los libros de astrodin´ amica y mecánica celeste. No debe extra˜ narnos, pues al fin y al cabo el astrónomo desea encontrar el movimiento de un planeta con respecto al Sol, o el de un satélite con respecto a su planeta, y no con respecto a un punto arbitrario cualesquiera ubicado en el espacio. De las ecuaciones (12.3) tenemos que: d2 r~2 Gm1 = − 3 ~r, dt2 r que al restar la segunda de la primera queda:

d2 r~1 Gm2 = 3 ~r, dt2 r

G(m1 + m2 ) d2 (r~2 − r~1 ) = − ~r, dt2 r3

(12.24)

(12.25)

o también: G(m1 + m2 ) d2~r =− ~r. (12.26) dt2 r3 Esta es la ecuaci´ on diferencial que describe el movimiento de m2 con respecto a un oriotese que es una expresi´ on que tiene la misma forma funcional de la gen centrado en m1 . N´ expresi´ on (12.23). Es la u ńica ecuaci´ on de la mecánica celeste cl´ asica que tiene una soluci´ on anal´ıtica completamente cerrada, esto es, las tres ecuaciones que representa, en términos de sus componentes, se pueden resolver, o lo que es lo mismo, es posible hallar las seis constantes de movimiento (recuérdese que son tres ecuaciones diferenciales de segundo orden). ¿Qué es lo que se persigue con todo esto? Al fin y al cabo la incógnita de la ecuaci´ on (12.26) es el vector de posición relativo ~r. Solucionar la ecuación ( 12.26) es encontrar la manera de hallar ~r en funci´ on del tiempo. Se consigue integrando dos veces la ecuación con


230

respecto al tiempo. Si se logra integrarla una vez obtenemos el vector velocidad d~r/dt para todo tiempo. Si se desea, una vez encontrado ~r, hallar las componentes de los vectores posición de ~1 y ∆ ~ 2 ) no es más sino utilizar las ecuaciones m1 y m2 con respecto al centro de masas (∆ (12.18) y (12.19).

12.2.1

Aceleraciones

Hagamos un peque˜ no paréntesis con el fin de comentar sobre la magnitud de las aceleraciones en el problema de los dos cuerpos. Lo que tenemos al lado izquierdo de la ecuación (12.26) es, al fin y al cabo, una aceleración. Es claro que dicha aceleraci´ on es funci´ on de la distancia. Muy lejos del cuerpo de masa m1 la aceleración que experimenta el cuerpo de masa m2 va tendiendo a cero; igualmente, la aceleración se va haciendo muy grande (y en principio va tendiendo a infinito) si la distancia entre los cuerpos cada vez es m´ as peque˜ na. Podemos escribir la ecuaci´ on (12.26) de la siguiente forma (omitiendo el signo negativo y la notación vectorial): a=

G(m1 + m2 ) , (R + h)2

(12.27)

donde a representa la magnitud de la aceleraci´ on del cuerpo de masa m2 con respecto al de masa m1 , R es el radio del cuerpo de masa m1 y h es la altura del cuerpo de masa m2 (con respecto a la superficie del primero) considerado de dimensiones despreciables frente al de masa m1 , (ver figura 12.4).

m2 r

h

R m1

Figura 12.4:

Dos cuerpos interactuando

Existe un caso particular consistente en aproximar la aceleraci´ on entre dos masas m1 y m2 , dado por la ecuación (12.27), que es el estudio de la aceleraci´ on a de un objeto de masa m2 en las vecindades de la superficie del objeto de masa m1 de tal forma que la distancia

12.2. EL MOVIMIENTO RELATIVO

231

entre los mismos es del orden r ∼ R. Supongamos además que m1 À m2 . Entonces la aceleración de la gravedad ejercida por m1 sobre m2 adopta la forma: Gm1 , (12.28) R2 lo que significa que la aceleraci´ on de la gravedad es, en este caso, no sólo una constante sino que también es independiente de la masa de m2 . a=

Ejemplo 1 Calcular la aceleración de la gravedad ejercida por el planeta Tierra sobre los siguientes cuerpos: a) Uno de masa de 100 toneladas en la superficie terrestre. b) Un satélite geoestacionario de 10 toneladas a una altura h sobre la superficie terrestre de 35 770 kil´ ometros. c) La Luna.

Soluci´ on a) El radio terrestre es RT = 6378.14 km = 6 378 140 m. Puesto que en este caso la masa de la Tierra (m1 ) es 5.97 × 1024 kg y que nuestro objeto m2 = 100 toneladas = 100 000 kg, on (12.28): es claro que m1 À m2 por lo que podemos utilizar la ecuaci´ a=

6.67 × 10−11 × 5.97 × 1024 = 9.78 ms−2 , (6 378 140)2

valor muy importante en f´ısica pues representa la aceleración que experimenta cualquier objeto cuando cae libremente cerca de la superficie de la Tierra. b) El caso del satélite geoestacionario (ver sección 15.4, pág. 327) es otro en donde m1 À m2 . Sin embargo, la altura h a la cual se encuentra el satélite es varias veces más grande que el radio terrestre por lo que debemos utilizar la ecuaci´ on (12.27) con r = RT +h = 42 148 140 m y m2 = 0. Entonces: a=

6.67 × 10−11 × 5.97 × 1024 = 0.22 ms−2 (42 148 140)2

c) En el caso de la Luna, cuya masa es 7.4 × 1022 kg y cuya distancia promedio a la Tierra es de 384 400 km = 384 400 000 m, ya es claro que su masa no es tan despreciable frente a la de la Tierra, por lo que: a=

6.67 × 10−11 × (5.97 × 1024 + 7.4 × 1022 ) = 0.0027 ms−2 (384 400 000)2


232

Es bueno aclarar aqu´ı que en los cursos elementales de f´ısica, cuando se estudia el movimiento de una part´ıcula en tiro parab´ olico (como la que describe una bala de ca˜ noń), es costumbre colocar la aceleración de la gravedad como constante pues se supone que el movimiento de m2 está restringido a moverse cerca de la superficie terrestre. Esto se hace con el fin de que, en primera aproximaci´ on, se resuelvan fácilmente las ecuaciones de movimiento de una part´ıcula sometida a un campo gravitacional pero, insistimos, con aceleración constante. Las ecuaciones que se obtienen de esta manera expresan el movimiento de la part´ıcula de modo que la trayectoria descrita resulta siendo la de una par´ abola. Veremos m´ as adelante que, al ser más rigurosos en nuestros cálculos y al considerar el caso real de que la aceleraci´ on de la gravedad depende de la distancia (y no es constante), la trayectoria de una part´ıcula sometida a la atracci´ on gravitacional puede ser otro tipo de curva.

12.3

Elecci´ on de un sistema de coordenadas

Sea el centro del Sol (cuya masa designaremos m1 ) el origen de un sistema de coordenadas cartesiano apropiado para estudiar el movimiento de cualquier objeto (de masa m2 ). El eje x se escoge de tal forma que su dirección se proyecta hacia el punto vernal. El plano xy está conformado por el plano de la ecl´ıptica (el plano que contiene la o´rbita de la Tierra en torno al Sol) y el eje z es perpendicular a dicho plano. Por lo tanto, a las coordenadas de un cuerpo as´ı definidas se les llama coordenadas rect´ angulares ecl´ıpticas heliocéntricas (ver figura 12.5).

z m2 r k m

1

y i

j PLANO DE LA ECLIPTICA

x

Figura 12.5:

Las coordenadas ecl´ıpticas helioc´ entricas

12.4. EL MOMENTUM ANGULAR

233

Las coordenadas de m2 con respecto a dicho sistema de coordenadas se pueden escribir como: ˆ ~r = xî + yˆj + z k, (12.29) donde î, ˆj y kˆ son vectores unitarios en las direcciones de los ejes x, y, z respectivamente. La distancia entre los cuerpos es la magnitud de ~r: r=

p x2 + y 2 + z 2 .

(12.30)

Los vectores velocidad y aceleración (representando la primera y segunda derivada temporal por uno o dos puntos respectivamente sobre la letra) son también: ˆ ~r˙ = ~v = x˙ î + y˙ ˆj + z˙ k,

(12.31)

ˆ ~r¨ = x ¨î + y¨ˆj + z¨k.

(12.32)

Al reemplazar las ecuaciones (12.29) y (12.32) en (12.26) obtenemos: µ ˆ x ¨î + y¨ˆj + z¨kˆ = − 3 (xî + yˆj + z k), r

(12.33)

µ = G(m1 + m2 ).

(12.34)

donde De la ecuaci´ on (12.33) se obtiene, al factorizar los vectores unitarios: µ µ µ x, y¨ = − 3 y, z¨ = − 3 z. (12.35) r3 r r Desafortunadamente, la forma de estas ecuaciones diferenciales — tal y como están escritas — impide que se puedan resolver directamente en forma anal´ıtica. x ¨=−

12.4

El momentum angular

Antes de proceder a solucionar las ecuaciones (12.35) encontraremos una primera integral de movimiento que ayudar´ a a simplificar el tratamiento subsiguiente. Multipliquemos vectorialmente a ambos lados de la ecuaci´ on (12.26) por ×~r, y recordando ~ A ~×A ~ = 0, se tiene: que para cualquier vector A, ~r¨ × ~r = ~0, sumando a ambos lados de la anterior expresi´ on un cero en la forma ~r˙ × ~r˙ (~r˙ = ~v ): ~r˙ × ~r˙ + ~r¨ × ~r = ~0, que puede escribirse, con ayuda de la regla de Leibnitz, de la siguiente forma:

(12.36)


234

d (~r × ~r) ˙ = ~0. dt Al integrar resulta: ~r × ~r˙ = ~h,

(12.37)

donde ~h es un vector constante, esto es, es una cantidad cuya magnitud y sentido es constante. Puesto que ~h es un vector perpendicular a un plano formado por ~r y ~r, ˙ la u ńica manera de que ~h sea un invariante, para todo tiempo, es que el movimiento se verifique en un plano. En otras palabras, el movimiento de m2 con respecto a m1 está contenido en un plano formado por el vector posición ~r y el vector velocidad ~r, ˙ (ver figura 12.6).

m1

TRAYECTORIA

h r

. r = v m2

Figura 12.6:

Momentum angular constante: el movimiento est´ a contenido en un plano

El vector ~h es llamado momentum angular, o más rigurosamente, momentum angular por unidad de masa. En términos de sus componentes el vector ~h representa tres constantes de movimiento (h1 , h2 , h3 ), con lo cual : ˆ ~h = h1î + h2 ˆj + h3 k.

(12.38)

De la definici´ on del producto cruz: ¯ ¯ ¯ ~h = ~r × ~r˙ = ¯ ¯ ¯

î x x˙

ˆj y y˙

kˆ z z˙

¯ ¯ ¯ ¯, ¯ ¯

(12.39)

esto es, h1 h2 h3

= = =

y z˙ − z y, ˙ z x˙ − xz, ˙ xy˙ − y x. ˙

(12.40) (12.41) (12.42)


235

También podemos hallar la magnitud del vector ~h en funci´ on del ángulo ϑ existente entre ~r y ~r˙ : h = rv sen ϑ,

(12.43)

donde v es la magnitud de la velocidad. En astrodin´ amica el ángulo ϑ es llamado ángulo de vuelo.

Un cambio de coordenadas Hemos visto que el movimiento de m2 con respecto a m1 , sea cual sea, está contenido en un plano. Esto en la pr´ actica significa que en lugar de usar tres coordenadas podemos estudiar el movimiento utilizando s´ olo dos. Es una ventaja significativa, consecuencia directa de haber hallado tres constantes (h1 , h2 , h3 ) de movimiento. Procedamos a resolver las ecuaciones diferenciales (12.35). Ya se dijo que tal y como están escritas no se pueden resolver. Lo propio es cierto a´ un con dos variables, digamos x y y. Una manera de intentar resolver el problema es utilizar otro sistema de coordenadas. Como veremos a continuación, pasar a un sistema de coordenadas polares (r, θ) permite encontrar más constantes de movimiento y as´ı resolver el problema.

y

m2 r

j u

ur

θ

m1

Figura 12.7:

θ i

x

Relaci´ on entre coordenadas cartesianas y polares

Debemos partir de la ecuacion (12.26), que por simplicidad aqu´ı escribimos de otra manera: ~r¨ = − µ u ˆr . r2

(12.44)

236


El primer paso es reemplazar en esta ecuación el valor de la aceleración en coordenadas polares. Procedamos brevemente a encontrar esta expresión. Puesto que ~r = rˆ ur , al derivar on de ~r), aunque con respecto al tiempo y no olvidando que uˆr (el vector unitario en la direcci´ tiene magnitud igual a la unidad, est´ a cambiando con el tiempo (pues está cambiando de direcci´ on), tenemos: ~r˙ = rˆ ˆ˙ r , ˙ ur + ru

(12.45)

al tomar de nuevo la derivada con respecto al tiempo: ˆ˙ r + ru ˆ¨r . ~r¨ = rü ˆr + 2r˙ u

(12.46)

ˆ˙ r y u ˆ¨r en funci´ Debemos ahora calcular los valores de u on de u ˆr y u ˆθ , siendo este u ´ltimo un vector unitario ortogonal a uˆr . De la figura 12.7 vemos la relación de estos vectores en funci´ on de los î y ˆj definidos sobre los ejes cartesianos x y y. Es evidente que: u ˆr = cos θî + sen θˆj,

u ˆθ = − sen θî + cos θˆj.

(12.47)

Al derivar la primera con respecto al tiempo (î y ˆj son constantes en dirección y en magnitud): ˙uθ . ˆ˙ r = − sen θθ˙î + cos θθ˙ˆj = θˆ u

(12.48)

Al derivar otra vez con respecto al tiempo: üθ , ˆ¨r = θ˙u ˆ˙ θ + θˆ u

(12.49)

˙ur se obtiene: ˆ˙ θ = −θˆ y puesto que de la segunda ecuaci´ on (12.47) se desprende que u üθ . ˆ¨r = −θ˙2 u u ˆr + θˆ

(12.50)

Por lo tanto, los vectores velocidad (12.31) y aceleración (12.32) en coordenadas polares quedan: ˙ uθ , ~r˙ = rˆ ˙ ur + rθˆ

˙ uθ . ~r¨ = (¨ r − rθ˙2 )ˆ ur + (rθ¨ + 2r˙ θ)ˆ

(12.51)

Finalmente, reemplazamos la segunda ecuación (12.51) en (12.44): ˙ uθ = − µ u (¨ r − rθ˙2 )ˆ ur + (rθ¨ + 2r˙ θ)ˆ ˆr . (12.52) r2 Igualando los términos con coeficientes iguales a ambos lados tenemos, haciendo expl´ıcita la notaci´ on de las derivadas: µ ¶2 dθ µ d2 r −r = − 2, 2 dt dt r d2 θ dr dθ r 2 +2 = 0. dt dt dt

(12.53) (12.54)


237

Estas dos ecuaciones diferenciales son relativamente fáciles de resolver, como se verá a continuaci´ on. Comencemos por la ecuación (12.54). Llamando u = dθ/dt, o sea, du/dt = d2 θ/dt2 , la ecuación queda: du dr + 2u = 0, dt dt que al multiplicar a ambos lados por dt/ru se convierte en: r

dr du +2 = 0, u r cuya soluci´ on es inmediata: ln u + 2 ln r = ln C1 , on. Al utilizar algunas propiedades de los logaritmos donde C1 es una constante de integraci´ (2 ln r = ln r2 , ln u + ln r2 = ln(ur2 )), aplicar la exponencial a ambos lados y recuperando la definici´ on de u se llega finalmente a: C1 dθ = 2. dt r

(12.55)

Antes de seguir es necesario identificar a la constante C1 .

12.4.1

´ Areas y tiempos: otra vez la segunda ley de Kepler

Ya sabemos que el movimiento de m2 con respecto a m1 está contenido en un plano. Ahora concentremos nuestra atención en el área descrita por m2 en dicho plano. Pero lo haremos de dos formas. Una en funci´ on del tiempo y otra en funci´ on del ángulo barrido. Relaci´ on ´ area-tiempo En la figura 12.8 sea, para un instante de tiempo dado, el vector de posici´ on ~r. Un instante de tiempo después ∆t el vector ~r se ha incrementado un valor ~r + ∆~r. ~ cubierto por ~r y ~r + ∆~r es, de acuerdo con la interpretaci´ El diferencial de a´rea ∆A on geométrica del producto cruz (la mitad del paralelogramo comprendida por los dos vectores): ~r × (~r + ∆~r) , 2 o, al dividir por la diferencial de tiempo ∆t, ~= ∆A

~ ~r ∆~r ∆A = × . ∆t 2 ∆t Al tomar el limite cuando ∆t tiende a cero tenemos:


238

m2 r+ ∆ r ∆A m1

r Figura 12.8:

Relaci´ on ´ area-tiempo

¸ · ~ ~ dA ∆~r ~r ~r ∆A ∆~r = = lim × = × lim , ∆t→0 ∆t ∆t→0 2 dt ∆t 2 ∆t→0 ∆t lim

y puesto que lim

∆t→0

∆~r d~r ~ = = r, ˙ ∆t dt

esto es, el vector velocidad, tenemos: ~ 1 dA = ~r × ~r, ˙ dt 2 y recordando la definici´ on del momentum angular, ecuación (12.37) ~h ~ dA = , dt 2 o, eliminando la notaci´ on vectorial y reordenando: h dt. (12.56) 2 Esta expresi´ on es la forma matemática de la segunda ley de Kepler: el cuerpo de masa m2 barre una diferencial de a´rea que es proporcional a la diferencial de tiempo, esto es, el cuerpo barre a´reas iguales en tiempo iguales (ver ecuación (11.5), página 215). dA =

Relaci´ on ´ area-´ angulo En la figura 12.9, se quiere calcular el a´rea generada por el movimiento del cuerpo m2 al barrer un cierto ańgulo ∆θ. Dicha a´rea puede aproximarse a la del tri´ angulo is´ osceles mostrado en dicha figura. El tri´ angulo tiene por base 2r sen (∆θ/2) y por altura r cos(∆θ/2). Entonces el área ∆A de dicho tri´ angulo es:


239

∆θ/2

∆θ m1

r

Figura 12.9:

m2

Relaci´ on ´ area-´ angulo

µ 2

∆A = r sen

∆θ 2

¶

µ cos

∆θ 2

¶ ,

aplicando la identidad trigonométrica: 2 sen x cos x = sen 2x se deduce ∆A =

r2 sen ∆θ, 2

que al dividir por ∆θ se obtiene: ∆A r2 sen ∆θ = . ∆θ 2 ∆θ El a´rea del tri´ angulo se va haciendo igual al a´rea de nuestro interés siempre y cuando ∆θ tienda a cero. Por lo tanto ¸ · 2 r sen ∆θ ∆A sen ∆θ dA r2 lim = = lim = lim . ∆θ→0 ∆θ ∆θ→0 2 dθ ∆θ 2 ∆θ→0 ∆θ Siendo el limite de la derecha uno de los m´ as conocidos del cálculo elemental (cuyo valor es igual a la unidad) tenemos r2 dA = , dθ 2 o también: dA =

r2 dθ. 2

(12.57)

Ya estamos en posición de identificar C1 . Al igualar las ecuaciones (12.56) y (12.57) se deduce:


240

h r2 dt = dθ, 2 2 o escrita de otra forma: dθ h = 2, dt r que al comparar con la ecuación (12.55) da el notable resultado: C1 = h.

12.5

(12.58)

(12.59)

Momentum angular cero: la ´ orbita rectil´ınea

A continuaci´ on discutiremos brevemente el caso del momentum angular cero. Hasta donde se sabe este es un caso que en el sistema solar —y en general en el universo— es raro de encontrar, y es el estudio del movimiento de la part´ıcula m2 cuando, estando a una distancia a en la r de m1 para un instante dado, posee un vector velocidad que, o bien es nulo, o est´ misma dirección (o completamente opuesto) a la dirección del radio vector, esto es, no existe componente tangencial de la velocidad.

r v=0 r

v ϑ=0

r v Figura 12.10:

ϑ=180 ´ Orbita rectil´ınea

De la ecuaci´ on (12.43) vemos que ello implica que ϑ = 0 (o ϑ = 180) por lo que se dice que en tal caso el momentum angular es cero. Puesto que h = 0 se tendr´ a, de acuerdo con (12.58), que dθ = 0, dt

´ 12.5. MOMENTUM ANGULAR CERO: LA ORBITA RECTILÍNEA

241

lo que significa que θ = constante: el movimiento es posible expresarlo con una sola variable, o, en otras palabras, el movimiento se da en una l´ınea recta (ver figura 12.10). Dado que ´ nica ecuaci´ on d2 θ/dt2 = 0, al reemplazar estos términos en (12.53) y (12.54) vemos que la u que determina el movimiento es: µ d2 r = − 2. 2 dt r Puesto que: dr d dr d2 r dt d2 r = = 2 dt dt dt2 dr dt dr

µ

dr dt

¶ = r˙

dr˙ , dr

entonces: r˙

dr˙ µ = − 2, dr r

que al multiplicar por dr e integrar da: r˙ 2 µ = + C, (12.60) 2 r donde C es una constante de integraci´ on. Puesto que la u ńica componente de velocidad en este caso es la componente radial tenemos que v = r. ˙ El siguiente paso es hallar cómo cambia r en funci´ on del tiempo. Se pueden estudiar diversos casos dependiendo de las condiciones iniciales. S´ olo como ilustración estudiaremos el caso en que, para t = t0 a una distancia r = r0 = 2a0 , la velocidad es cero. Con esto u ´ltimo en mente tenemos que C es igual a: µ . 2a0 Para este caso en particular, la velocidad v adopta la forma: r 2µ µ − 0. v= r a C=−

(12.61)

(12.62)

Hay que tener en cuenta que al ser la velocidad inicial nula el objeto ser´ a, conforme transcurre el tiempo, atraido hacia el origen, o sea, r ir´ a disminuyendo. En otras palabras: a medida que t aumenta r disminuye. Por lo tanto es necesario asegurar que dr y dt tengan signos contrarios. Al reemplazar en (12.62) expl´ıcitamente el valor de v (v = dr dt )), obtenemos, después de algunos arreglos: s µ ¶ ¶ ¸ √ sµ √ s· µ µ 1 r2 2 1 dr = − µ − 0 dt = − 2r − 0 dt = − a0 − 0 (a02 − 2ra0 + r2 ) dt, r a r a r a o también: q £ a0 1 −

r 1 0 a02 (a

−

r)2

√ ¤ dr = − µdt,


242 que es equivalente a:

q£

r 1−(

a0 −r a0

)2

¤ dr = −

p

µa0 dt.

(12.63)

Al introducir la variable de integraci´ on φ definida como: cos φ =

a0 − r , a0

de la que se deduce: r = a0 (1 − cos φ),

dr = a0 sen φdφ.

Al reemplazar esto u ´ ltimo en el término de la izquierda de (12.63) obtenemos: p a02 (1 − cos φ)dφ = − µa0 dt, que al integrar da: #φ φ − sen φ

p = φ − 1 − cos2 φ

#φ

φ0

r =−

φ0

µ t a03

#t . t0

Recuperando la variable original:

cos

−1

µ

0

a −r a0

s

¶ −

µ 1−

a0 − r a0

¶2 # r

r =−

2a0

µ t a03

#t . t0

Por lo tanto: s

µ 1−

a0 − r a0

¶2 − cos

−1

µ

a0 − r a0

r

¶ +π =

µ (t − t0 ). a03

(12.64)

Esta ecuaci´ on nos permite hallar r en funci´ on de t. Sin embargo, a causa de la trascendencia de la expresi´ on de la izquierda (es imposible aislar r directamente) la forma usual es resolverla por aproximaciones o tanteos. M´ as obvio y lógico es invertir el asunto: dado un r cualquiera hallar directamente el tiempo que ha transcurrido para que se llegue a ese valor.

12.6

Momentum angular diferente de cero: trayectorias c´ onicas

Resolvamos ahora la ecuación (12.53). Al multiplicar a ambos lados por 2dr/dt: 2

dr dr d2 r − 2r dt dt2 dt

µ

dθ dt

¶2 =−

2µ dr , r2 dt

´ 12.6. MOMENTUM ANGULAR DIFERENTE DE CERO: TRAYECTORIAS CONICAS 243 y reemplazando el valor de dθ/dt dado por (12.58) tenemos: dr h2 2µ dr dr d2 r − 2 =− 2 , 2 3 dt dt dt r r dt que al integrar con respecto al tiempo da: 2

µ

dr dt

¶2 +

h2 2µ + 2C2 , = r2 r

(12.65)

on. Ahora bien, esta ecuaci´ on la integraremos donde C2 es una nueva constante de integraci´ de dos formas. Primero cambiaremos de variable independiente. Renunciemos por ahora a integrar esta ecuación en términos del tiempo (r = r(t)) y m´ as bien hagámoslo en términos de la variable angular θ, de tal forma que podamos hallar una soluci´ on del tipo r = r(θ). Con esto en mente es claro que: dr dr dθ = , dt dθ dt y puesto que dθ/dt se elimina a través de (12.58): µ ¶ h dr d h dr = 2 = − , dt r dθ dθ r

(12.66)

reemplazando este valor en (12.65) y rearreglando: µ ¶ r 2 d h h 2µ − = − 2 + + 2C2 , dθ r r r sumando y restando dentro del radical a µ2 /h2 : µ ¶ s µ 2 ¶ d h µ2 µ 2µ h2 − = 2C2 + 2 − + 2 , − dθ r h h2 r r llamando al término constante: Q2 = 2C2 +

µ2 , h2

(12.67)

y factorizando obtenemos: d dθ

µ

h − r

s

¶ =

µ

Q2

µ h − − + h r

¶2 .

Cambiemos ahora de variable. Designemos a Φ igual a: Φ=−

µ h + , h r

de la cual es evidente que: d dθ

µ −

h r

¶ =

´ d ³ µ dΦ − −Φ =− , dθ h dθ

(12.68)

244


y por lo tanto: −

dΦ p 2 = Q − Φ2 , dθ

o mejor: dΦ −p = dθ. Q 2 − Φ2 La integral de la izquierda se resuelve con las funciones trigonométricas inversas. Resolviendo: µ ¶ Φ = θ + γ, cos−1 Q donde γ es una constante de integraci´ on. De esta u ´ ltima ecuaci´ on se deduce: Φ = Q cos(θ + γ). Recuperando los valores de Q y Φ en las ecuaciones (12.67) y (12.68): r µ2 µ h − + = 2C2 + 2 cos(θ + γ), h r h de esta ecuación es evidente que lo que hemos logrado es obtener r en funci´ on de θ. Escrib´ amosla en otra forma, dividiendo por h a ambos lados y aislando el término de r a la izquierda: r µ 1 µ2 1 = 2+ 2C2 + 2 cos(θ + γ), r h h h invirtiendo a ambos lados: r= µ h2

1 q + 2C2 + 1 h

µ2 h2

, cos(θ + γ)

que al dividir por µ/h2 en el numerador y el nominador del lado derecho queda: h2 /µ

q

r= 1+

1+

2C2 h2 µ2

.

(12.69)

cos(θ + γ)

Esta ecuaci´ on, aparentemente tan complicada, es la denominada ecuaci´ on de la trayectoria, y representa la ecuaci´ on generalizada en coordenas polares de una cónica (elipse, par´ abola, hipérbola) con origen en uno de los focos. En otras palabras, dependiendo de los valores de las constantes h, C2 y γ podemos obtener alguna de los tres tipos de trayectorias que acabamos de mencionar. Con ello estamos generalizando la primera ley de Kepler pues no s´ olo m2 se mueve con respecto a m1 en una o´rbita el´ıptica con éste (el origen) en uno de los focos, sino que también puede ser parab´ olica o hiperb´ olica.

´ 12.6. MOMENTUM ANGULAR DIFERENTE DE CERO: TRAYECTORIAS CONICAS 245 Como ya se dijo, pero conviene recordarlo, en mecánica celeste la distancia entre m1 y m2 , (r), digamos entre el Sol y un planeta, es llamada radio vector y la variable ańgular (θ) se llama anomal´ıa verdadera.

12.6.1

C´ onicas

Discutiremos a continuaci´ on algunas propiedades b´ asicas de las cónicas. Elipse Detalles sobre las propiedades geométricas de la elipse ya se hab´ıan tratado en la secci´ on 11.2.1, pág. 211. Al comparar la ecuación (11.4), página 213, con (12.69) vemos que: s 2C2 h2 h2 2 = a(1 − e ), e= 1+ , γ = 0. µ µ2

(12.70)

De la segunda ecuaci´ on se deduce: 1 − e2 = −

2C2 h2 , µ2

que al reemplazar en la primera de las (12.70) obtenemos el valor de la constante C2 : C2 = −

µ . 2a

(12.71)

Par´ abola La par´ abola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado foco y una l´ınea recta fija llamada directriz. En otras palabras, en una par´ abola (ver figura 12.11) se cumple P F = P R. Llamamos q a la distancia pericéntrica, esto es, la menor distancia existente entre el foco y la trayectoria. Puesto que el punto S hace parte de la par´ abola se tendr´ a que F S = ST . Entonces es claro que F T = 2q. Habiendo colocado el foco de la par´ abola en el origen de coordenadas se deduce que la ecuaci´ on de la directriz es x = 2q. Designemos como (x, y) a las coordenadas del punto P . Las coordenadas del punto R son (x = 2q, y). La distancia P R es (2q − x). De la definici´ on de par´ abola se desprende entonces que F P 2 = P R2 , esto es: x2 + y 2 = (2q − x)2 ,

246


y P

R

r θ F

T

q

S

x DIRECTRIZ

´ Orbita parab´ olica

Figura 12.11:

que al utilizar las ecuaciones de transformaci´ on entre coordenadas cartesianas y polares (x = r cos θ, y = r sen θ) queda: r2 = (2q − r cos θ)2 , que al extrarer la ra´ız cuadrada y reordenar da: r=

2q . 1 + cos θ

(12.72)

En este caso, el coeficiente del coseno en el denominador, que es la excentricidad, es igual a la unidad. Al comparar la ecuación (12.69) con (12.72) vemos que: h2 = 2q, µ

s 1=

1+

2C2 h2 , µ2

γ = 0.

(12.73)

La u ńica manera de que se pueda cumplir la identidad de la segunda ecuaci´ on es (el momentum angular h es distinto de cero cuando la trayectoria es una c´ onica): C2 = 0.

(12.74)

´ 12.6. MOMENTUM ANGULAR DIFERENTE DE CERO: TRAYECTORIAS CONICAS 247 Hip´ erbola La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que la diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante. Esto es, en la hipérbola se cumple la relaci´ on: P F − P F 0 = constante.

y

P r θ F

C F´

ae

x

a

Figura 12.12:

´ Orbita hiperb´ olica

La ecuación que describe una hipérbola en coordenadas polares con origen en alguno de los focos es: r=

a(e2 − 1) , 1 + e cos θ

(12.75)

donde a es el semieje mayor y e es la excentricidad (1 < e < ∞) definida como e = CF/a. Al comparar la ecuación (12.75) con (12.69) vemos que: s 2C2 h2 h2 e= 1+ , = a(e2 − 1), µ µ2

γ = 0.

De la segunda ecuaci´ on se deduce: e2 − 1 =

2C2 h2 , µ2

que al reemplazar en la primera obtenemos el valor de la constante C2 :

(12.76)


248

µ . 2a

C2 =

12.7

(12.77)

La energ´ıa total

Antes de seguir con el estudio de las cónicas necesitamos identificar f´ısicamente a la constante C2 . La ecuación (12.65), con h reemplazado por la ecuación (12.58), es: µ

dr dt

¶2

µ + r2

dθ dt

¶2 =

2µ + 2C2 . r

(12.78)

Pero, de la ecuación de la velocidad en (12.51) se deduce que: ³ ´2 ˙uθ ) · (rˆ ˙uθ ), ~r˙ = v 2 = (rˆ ˙ ur + rθˆ ˙ ur + rθˆ esto es, v 2 = r˙ 2 + r2 θ˙2 , que al comparar con (12.78) resulta: v2 µ − = C2 . 2 r Multiplicando a ambos lados por m1 m2 /(m1 + m2 ) y recordando que µ = G(m1 + m2 ), ecuación (12.34), tenemos: m1 m2 v 2 Gm1 m2 m1 m2 C2 . (12.79) − = m1 + m2 2 r m1 + m2 Esta es una ecuaci´ on muy importante, pues el primer término del lado izquierdo es llamado energ´ıa cinética; el segundo, energ´ıa potencial . La suma de ambos tipos de energ´ıas es una constante. Llamaremos energ´ıa total del sistema H a: H=

m1 m2 C2 , m1 + m2

(12.80)

de tal forma que: Gm1 m2 m1 m2 v 2 − = H. (12.81) m1 + m2 2 r Los valores de H para las tres c´ onicas se hallan al reemplazar los valores de C2 en (12.71), (12.74) y (12.77): Gm1 m2 , 2a

Elip.

H

=

−

Par.

H

=

Hip.

H

=

0, Gm1 m2 . 2a

(12.82) (12.83) (12.84)

´ 12.8. CALCULOS DE MASA: OTRA VEZ LA TERCERA LEY DE KEPLER

249

El hecho de que la energ´ıa total H sea negativa en la órbita el´ıptica quiere decir, de acuerdo con (12.81), que el término de la energ´ıa potencial, siempre negativo, excede al término de la energ´ıa cinética (rigurosamente positivo). Puede decirse que a causa del bajo valor de la velocidad v el cuerpo m2 está condenado a moverse para siempre alrededor de m1 en una o´rbita cerrada, esto es, en una elipse. Claro, a menos que se pueda incrementar de alg´ un modo la velocidad. Si el término de velocidad aumenta de alguna forma es posible que el valor de la energ´ıa cinética llegue a equipararse en valor absoluto al de la energ´ıa potencial (H = 0). Si ese es el caso, el cuerpo deja de moverse en una órbita el´ıptica y ahora describe una par´ abola. De aqu´ı en adelante un ligero exceso de velocidad har´ a que la energ´ıa cinética sea mayor que la energ´ıa potencial y el cuerpo comienza a moverse en una trayectoria hiperb´ olica.

12.8

C´ alculos de masa: otra vez la tercera ley de Kepler

Como ya hab´ıamos mencionado anteriormente en la sección 11.2.3 existe, en el caso de la órbita el´ıptica, una notable relaci´ on entre el semieje mayor a y el tiempo que tarda el cuerpo on completa alrededor de m1 , esto es, el per´ıodo T . m2 en dar una revoluci´ La expresión matemática de la segunda ley de Kepler es la ecuación (12.56) que aqu´ı reproduc´ımos por comodidad: dA =

h dt. 2

Integrando desde un a´rea cero (para el tiempo t = 0) hasta que el móvil cubra toda el área de la elipse At lo cual se consigue al completar un per´ıodo T , tenemos: h T, 2 pero el a´rea At de una elipse es igual a At = πab, donde b es el semieje menor, cuya relación con a es a p través de la ecuaci´ on (11.1), página 212. Ahora bien, puesto que para la elipse se tiene h = aµ(1 − e2 ) (primera de las ecuaciones (12.70)), obtenemos: At =

√

aµ T, 2 que al elevar al cuadrado, haciendo expl´ıcito µ y reordenar da: 2

πa =

T2 =

4π 2 a3 , G(m1 + m2 )

(12.85)

que dice que el cuadrado del per´ıodo de revoluci´ on es proporcional al cubo del semieje mayor (tercera ley de Kepler). La ecuación (12.85) se puede escribir de varias maneras. Una de ellas es:


250

2πa3/2 T =q Gm1 (1 +

m2 m1 )

.

(12.86)

Llamemos k a la siguiente relaci´ on: k=

p

Gm1 .

(12.87)

Si m1 (el cuerpo central) es el Sol cuya masa es de 1.998×1030 kg, al utilizar como unidad de longitud a la unidad astron´ omica (149 597 870) km, la unidad de tiempo el d´ıa solar medio de 86 400 segundos, obtenemos un valor de k igual a: u.a.3/2 . (12.88) d La constante k calculada para cuerpos que estén sometidos al campo gravitacional del Sol, esto es, con el valor que acabamos de hallar, se llama constante de Gauss en honor del gran matemático, astrónomo y f´ısico alemán Carl Friedrich Gauss. k = 0.01720209895

Se ha de tener cuidado con el valor numérico de dicha constante al aplicarla a otros sistemas diferentes al de un cuerpo sometido a la atracción del Sol. Por ejemplo, si se desea estudiar el movimiento de un satélite alrededor de la Tierra el valor de k es distinto al dado por (12.88) pues en este caso m1 es la masa de la Tierra. En tales casos se ha de escoger unas unidades de longitud y tiempo lo m´ as apropiadas posible. Por lo tanto, la ecuación (12.86), queda: 2πa3/2 . T = q 2 k (1 + m ) m1

(12.89)

En el sistema solar las relaciones de masa del planeta a la masa del Sol (m2 /m1 ) son cuanto mucho de un milésimo. Las masas de los asteroides y cometas que existen en nuestro sistema solar son tan min´ usculas que para todos los prop´ ositos pr´ acticos la relación m2 /m1 es cero. Otra forma de escribir la tercera ley de Kepler es mediante el concepto de movimiento medio. Se llama movimiento medio a la siguiente relaci´ on: n=

2π , T

(12.90)

en unidades de radianes por d´ıa. Con el movimiento medio la ecuación (12.85) puede escribirse as´ı: µ = n2 a3 .

(12.91)

´ 12.8. CALCULOS DE MASA: OTRA VEZ LA TERCERA LEY DE KEPLER

251

Si n está en unidades de grados por d´ıa (lo cual se logra multiplicando por 180/π) es fácil ver que: q 2 k(180/π) (1 + m m1 ) . (12.92) n= a3/2 ¿C´ omo hallar la masa de un determinado planeta, digamos J´ upiter? Basta con observar por varias noches una de sus lunas, medir la distancia media entre el satélite y el centro de J´ upiter y el per´ıodo de traslaci´ on del satélite alrededor del planeta (ambas medidas son relativamente f´ aciles de realizar con un buen telescopio). Al suponer que la masa del satélite es, en primera aproximaci´ on, despreciable frente a la de J´ upiter (suposici´ on enteramente razonable) el valor de la masa de J´ upiter se halla de forma inmediata.

Ejemplo 1 Calcular la masa del planeta Marte si se sabe que su satélite Fobos posee un per´ıodo orbital de 0.3189 d´ıas a una distancia media al planeta de 9378 km.

Soluci´ on Sea m1 la masa del planeta Marte. Asumiremos que m2 (la masa de Fobos) es completamente despreciable comparada con la de Marte. Entonces: T = 0.3189 d = on 0.3189 × 86 400 = 27 553 s; a = 9378 km = 9 378 000 m. As´ı, al despejar m1 de la ecuaci´ (12.85) y al hacer m2 = 0 tenemos: m1 =

4π 2 a3 4 × (3.14)2 × (9 378 000)3 = = 6.4 × 1023 kg. GT 2 6.67 × 10−11 × (27 553)2

Ejemplo 2 Calcular la altura sobre la superficie terrestre necesaria para que un satélite artificial ubicado directamente sobre el ecuador terrestre y en una o´rbita circular, posea un per´ıodo exactamente igual al tiempo que le toma a la Tierra en dar una revoluci´ on completa alrededor de su eje (1 d´ıa sideral). Nota: Un satélite de esta naturaleza se llama geoestacionario (ver sección 15.4, p´ ag. 327) pues un observador en la Tierra (que también gasta 1 d´ıa sideral en dar una revoluci´ on completa) lo contemplará aparentemente estático en el cielo. Soluci´ on De nuevo, suponemos que la masa del cuerpo central, en este caso la Tierra, es mucho mayor que la masa del satélite (m2 = 0). Llamando h la altura sobre la superficie terrestre y RT el radio de la Tierra, entonces a = RT + h. Puesto que T = 23h 56m 4s = 86 164 s (ver


252

sección 7.2, pág. 110) ; m1 = 5.97 × 1024 kg y RT = 6378.14 km= 6 378 140 m. Despejando a de la ecuaci´ on (12.85) tenemos: r 2 3 Gm1 T , a = RT + h = 4π 2 de la que se deduce: · h

= =

12.9

6.67 × 10−11 × 5.97 × 1024 × (86 164)2 4 × (3.14)2

¸1/3 − 6 378 140,

3.577 × 107 m = 35 770 km.

Velocidades

Podemos calcular la velocidad que lleva m2 con respecto a m1 en los tres tipos de o´rbitas. Basta con reemplazar los valores de la energ´ıa total (ecuaciones 12.82, 12.83 y 12.84) en la ecuación (12.81) y despejar para v: sµ Elip.

v

=

m2 1+ m1

k sµ

Par.

v

=

k

m2 1+ m1

sµ Hip.

v

=

k

m2 1+ m1

¶r ¶r ¶r

2 1 − , r a

(12.93)

2 , r

(12.94)

2 1 + . r a

(12.95)

Ejemplo Calcular: a) La energ´ıa total que posee el planeta Tierra en su movimiento alrededor del Sol. b) La velocidad del planeta Tierra con respecto al Sol en el perihelio y en el afelio. c) La m´ınima energ´ıa necesaria para colocar a la Tierra en una trayectoria de escape con respecto al Sol.

Soluci´ on a) Necesitamos ciertos valores numéricos: masa del Sol, m1 = 1.998×1030 kg; masa de la Tierra, m2 = 5.97×1024 kg; semieje mayor de la o´rbita de la Tierra, a = 1 u.a. = 1.496×1011 m, G = 6.67 × 10−11 m3 kg−1 s−2 . Habiendo colocado todos los valores en unidades MKS reemplazamos en la ecuación (12.82):

12.9. VELOCIDADES

H

= =

253

−6.67 × 10−11 × 1.998 × 1030 × 5.97 × 1024 , 2 × 1.496 × 1011 −2.67 × 1033 Julios,

siendo 1 Julio=1 kgm2 s−2 . Este valor de energ´ıa es increiblemente enorme. Para dar una idea al lector basta con decir lo siguiente: la bomba de hidr´ ogeno más potente que ha hecho explotar el hombre fue de 58 megatones. 1 Megatón es la energ´ıa que libera un mill´ on de toneladas de alto explosivo qu´ımico lo que equivale a 4.18 × 1015 Julios. Por lo tanto, la bomba liber´ o 2.4 × 1017 Julios. Luego, la energ´ıa total que posee la Tierra alrededor del Sol ogeno de 58 megatones. equivale a la liberaci´ on de energ´ıa de unas 1.11×1016 bombas de hidr´ Nótese que el signo negativo indica la preponderancia de la energ´ıa potencial gravitacional sobre la energ´ıa cinética que posee la Tierra, lo que obliga a la Tierra a estar atrapada gravitacionalmente con respecto al Sol. b) En el perihelio r = a(1 − e), siendo e = 0.016 para la Tierra. Aplicando la ecuaci´ on (12.93) con m2 = 0 (pues la masa del Sol es trescientos mil veces mas grande que la de la Tierra) se tiene: s 1 k 2 − =√ a(1 − e) a a

v=k

r

1+e , 1−e

reemplazando los valores numéricos: 0.01720209895 √ v= 1

r

1 + 0.016 = 0.017479 u.a./d´ıa, 1 − 0.016

que en unidades de km/s da 30.26 km/s. En el afelio r = a(1 + e). Por lo tanto: s v=k

1 k 2 − =√ a(1 + e) a a

r

1−e , 1+e

reemplazando los valores numéricos: 0.01720209895 √ v= 1

r

1 − 0.016 = 0.016929 u.a./d´ıa, 1 + 0.016

que en unidades de km/s da 29.31 km/s. c) Para colocar a la Tierra en una trayectoria de escape con respecto al Sol se necesita que pase de una o´rbita el´ıptica a una trayectoria que m´ınimo sea parab´ olica. Por lo tanto, el resultado encontrado en el punto 1 es el valor que buscamos pues se necesita aumentar el valor de la energ´ıa cinética en 2.67 × 1033 Julios para que la energ´ıa total sea cero.


254

12.10

El c´ alculo de la anomal´ıa verdadera

La expresión que puede utilizarse para hallar a θ en funci´ on del tiempo es la ecuación (12.58): dθ h (12.96) = 2, dt r puesto que h y r tienen valores distintos para la elipse, la par´ abola y la hipérbola se ha de considerar por aparte cada uno de ellos. Reemplazando la ecuacion (11.4) y la primera de las (12.70) válidas para la elipse tenemos: p aµ(1 − e2 )(1 + e cos θ)2 dθ = , (12.97) dt a2 (1 − e2 )2 que puede escribirse como: √ µdt dθ = 3/2 . 2 (1 + e cos θ) a (1 − e2 )3/2

(12.98)

Se obtiene una ecuaci´ on similar en el caso de la órbita hiperb´ olica salvo que el término del denominador en el lado derecho es e2 −1 es vez de 1−e2 . Desafortunadamente, la integral de la izquierda, con e 6= 1, es imposible de resolver con funciones sencillas conocidas. Esta es la raz´ on principal del porqué el cálculo de θ, para la o´rbita el´ıptica e hiperb´ olica, en funci´ on del tiempo, sea un poco laborioso, como veremos a continuación.

12.10.1

´ Orbita el´ıptica

La ecuación (11.4) permite calcular r en funci´ on de θ. O también θ en funci´ on de r. Si podemos encontrar una ecuación que permita hallar r en funci´ on del tiempo, entonces podemos disponer de una conexi´ on entre θ y t via el radio vector r. Hallemos pues la relación entre on (12.71): r y t. De la ecuación (12.65) con C2 definido para la elipse, esto es, con la ecuaci´ r h2 2µ µ dr = − 2 + − . dt r r a Sigamos reemplazando valores espec´ıficos para la o´rbita el´ıptica. De la ecuaci´ on para h (primera de las ecuaciones (12.70) y puesto que µ está relacionado con n via ecuaci´ on (12.91) se obtiene, una vez multiplicado por r a ambos lados: dr p 2 2 = n a [−a2 (1 − e2 ) + 2ar − r2 ]. dt Al reordenar obtenemos: r

p

rdr a2 e 2

− (r2 − 2ar + a2 )

= nadt,

´ 12.10. EL CALCULO DE LA ANOMALÍA VERDADERA

255

o factorizando: rdr

p

a2 e2

− (r − a)2

= nadt.

Para integrar la expresi´ on de la izquierda introducimos la variable E, llamada anomal´ıa excéntrica, definida por: r = a(1 − e cos E),

(12.99)

de la que se deduce: r − a = −ae cos E, dr = ae sen EdE, por lo tanto: a2 e(1 − e cos E) sen EdE √ = nadt, a2 e2 − a2 e2 cos2 E quedando simplemente: (1 − e cos E)dE = ndt. Al hacer para el paso por el pericentro t0 un valor de E = 0 y para t un valor dado de E obtenemos, después de integrar: E − e sen E = n(t − t0 ).

(12.100)

Esta ecuaci´ on es una de las m´ as famosas expresiones de la astronom´ıa din´ amica. Se conoce con el nombre de ecuaci´ on de Kepler y como se aprecia, es trascendente en E. La variable M definida lineal en el tiempo se denomina anomal´ıa media: M = n(t − t0 ).

(12.101)

La ecuación (12.99) era lo que estabamos buscando, pues siempre es posible determinar E en funci´ on del tiempo resolviendo de alguna forma la ecuaci´ on de Kepler. Por lo tanto, al igualar las dos expresiones que nos permiten determinar el radio vector (11.4) y (12.99): a(1 − e2 ) = a(1 − e cos E), 1 + e cos θ de la que es f´ acil llegar a: cos θ =

cos E − e . 1 − e cos E

(12.102)

Con esta ecuación hacemos lo siguiente: sumamos 1 a ambos lados para obtener una expresi´ on que contenga términos a ambos lados de la forma 1 + cos x. A la misma ecuación (12.102) la multiplicamos por −1 luego adicionamos 1 para obtener a ambos lados términos


256

de la forma 1 − cos x. Al dividir entre s´ı las dos expresiones y teniendo presente a las identidades: 1 − cos x = 2 sen 2 x2 ; 1 + cos x = 2 cos2 x2 , llegamos por fin a: µ ¶ µ ¶ r 1+e E θ = tan . tan 2 1−e 2

(12.103)

La soluci´ on de la ecuaci´ on de Kepler Existen numerosas propuestas en la literatura para resolver la ecuaci´ on (12.100). Aqu´ı explicaremos someramente una forma sencilla y fácil de aplicar en una rutina computacional. Escribamos la ecuación (12.100) en la forma (no sin antes haber multiplicado el término e sen E por 180/π suponiendo que M y E están en unidades de grados y haber tenido en cuenta la ecuacion (12.101)): ¶ µ 180 e sen E. (12.104) E=M+ π Puesto que en la mayor´ıa de los casos de interés en el sistema solar la excentricidad suele ser peque˜ na (las o´rbitas son casi circulares para casi todos los planetas exceptuando Mercurio y Plut´ on) el término ( 180 usculo, lo suficiente como para obtener un π )e sen E es min´ primer valor aproximado de E, que llamaremos E0 : E0 = M. Un valor mejorado de E, que llamaremos E1 , es: ¶ µ 180 e sen E0 . E1 = M + π Obtenemos una mejor aproximaci´ on de E, llamada E2 , con: ¶ µ 180 e sen E1 , E2 = M + π y as´ı sucesivamente. Se observará que En converge hacia un valor determinado después del cual es completamente irrelevante continuar con el proceso. Dependiendo de qué tan grande sea el valor de la excentricidad la convergencia será rápida o lenta, dentro de la precisi´ on establecida. Por lo tanto el valor correcto de E será aquel que cumpla: En − En−1 = 0.

Ejemplo 1 Calcular la anomal´ıa verdadera y el radio vector del planeta Marte el d´ıa 3 de junio de 1999 a las 0h de TT si se conoce que el planeta pasó por su perihelio (t0 ) en la fecha 7.94371 TT de enero de 1998 y que posee un per´ıodo de traslaci´ on alrededor del Sol de 687.02 d´ıas.


257

Soluci´ on Primero debemos hallar el n´ umero de d´ıas transcurridos entre el 7.94371 de enero de 1998 y el 3 de junio de 1999. Calculamos las fechas julianas respectivas: 2 450 821.44371 y 2 451 332.5. Por lo tanto la diferencia de tiempo (t − t0 ) es: 511.05629 d´ıas. El movimiento medio n se calcula mediante la ecuación (12.92) haciendo m2 = 0 y tomando a = 1.5235726: n=

0.01720209895 × 180 = 0.5240942 o /d´ıa. 3.1416 × (1.5235726)3/2

Entonces calculamos la anomal´ıa media M para la fecha en cuesti´ on con ayuda de (12.101): M = 0.5240942 × 511.05629 = 267.84164. Procedemos luego a resolver la ecuación de Kepler (el valor de e está dado en la tabla C.3 del apéndice C). La primera aproximaci´ on es: 180 × 0.093479 × sen (267.84164) = 262.48948. π La segunda aproximaci´ on es: E1 = 267.84164 +

E2 = 267.84164 +

180 × 0.093479 × sen (262.48948) = 262.53164. π

La tercera aproximaci´ on es: E3 = 267.84164 +

180 × 0.093479 × sen (262.53164) = 262.53112. π

La cuarta aproximaci´ on es: 180 × 0.093479 × sen (262.53112) = 262.53113. π Una quinta aproximaci´ on reproduce el u ´ltimo valor. Vemos que en este ejemplo basta con calcular la quinta aproximaci´ on para que el valor de E converja a la quinta cifra decimal. Por lo tanto E = 262.53113 es nuestro valor de anomal´ıa excéntrica buscado. E4 = 267.84164 +

Calculamos ahora el valor de la anomal´ıa verdadera con ayuda de (12.103): "r −1

θ = 2 × tan

1 + 0.093479 tan 1 − 0.093479

µ

262.53113 2

¶# = −102.75507 = 257.24493.

El c´ alculo del radio vector se puede hacer de dos formas. En funci´ on de la anomal´ıa excéntrica es (ver ecuación (12.99)):


258

r = 1.52357 × (1 − 0.093479 × cos(262.53113)) = 1.54208 u.a. o, en funci´ on de la anomal´ıa verdadera (ver ecuaci´ on (11.4)): r=

1.52357 × (1 − 0.0934792 ) = 1.54208 u.a. 1 + 0.093479 × cos(257.24493)

Relaci´ on geom´ etrica entre las anomal´ıas La anomal´ıa excéntrica se introdujo como una variable auxiliar de integraci´ on en la ecuación (12.99). Sin embargo, es más conocida en la literatura como el ańgulo que se define a continuaci´ on. Sea una elipse de semieje mayor a inscrita en una circunferencia de radio a, ver figura 12.13. Elipse y circunferencia poseen el mismo centro C. La anomal´ıa excéntrica E es el ángulo HCG. N´ otese que la l´ınea HG pasa por el punto donde est´ a el cuerpo de masa m2 (que se mueve sobre la elipse) y cae perpendicularmente a la l´ınea D0 D. Resulta interesante observar cómo un ángulo que est´ a centrado en C permite determinar el radio vector r (distancia F P ) con una expresi´ on tan sencilla como la ecuación (12.99). Demostremos que el ángulo E es la misma variable auxiliar definida en (12.99). La distancia F G es igual a r cos θ; as´ı mismo, la distancia JC = P G es igual a rsen θ. Pero, puesto que: F G = a cos E − ae,

CJ = b sen E,

H I J

P r

D’

Figura 12.13:

C

E F θ G ae

D

Relaci´ on geom´ etrica entre la anomal´ıa exc´ entrica y la verdadera

y como F G2 + CJ 2 = (r cos θ)2 + (r sen θ)2 = (a cos E − ae)2 + (b sen E)2 ,


259

al tener en cuenta que b está definido por (11.1) tenemos: r2 = a2 cos2 E − 2a2 e cos E + a2 e2 + a2 (1 − e2 ) sen2 E. Al dejar el seno cuadrado de la derecha en términos del coseno cuadrado obtenemos: r2 = a2 − 2ae cos E + a2 e2 cos2 E = (a − ae cos E)2 . que es la expresi´ on elevada al cuadrado de la ecuaci´ on (12.99).

12.10.2

´ Orbita hiperb´ olica

El procedimiento es enteramente similar al de la o´rbita el´ıptica. De la ecuaci´ on (12.65) y reemplazando los valores de h y C2 para la o´rbita hiperb´ olica (primera de las ecuaciones (12.76) y ecuación (12.77)) se obtiene: µ

dr dt

¶2 =−

µa(e2 − 1) 2µ µ + , + r2 r a

de la cual es f´ acil llegar a: r

rdr

p = (r + a)2 − a2 e2

µ dt. a

Llamando r = a(e cosh F − 1),

(12.105)

donde F es una variable de integraci´ on que juega el mismo papel de E en la o´rbita el´ıptica. De (12.105) se deduce: r + a = ae cosh F,

dr = ae senh F dF.

Al realizar la integración se tiene: r e senh F − F =

µ (t − t0 ), a3

(12.106)

que es el equivalente de la ecuaci´ on de Kepler pero para la o´rbita hiperb´ olica. Una comparación de las ecuaciones (12.75) y (12.105) permite encontrar la relación entre la anomalia verdadera θ y F . Se encuentra finalmente: µ ¶ r µ ¶ θ F e+1 tan = tanh . 2 e−1 2

(12.107)


260 Ejemplo 1

Un cometa se desplaza en órbita hiperb´ olica alrededor del Sol. Determinar la anomal´ıa verdadera y el radio vector de dicho cometa el d´ıa 5 de junio de 1998 a las 0h de TT sabiendo que: a = 4.787629 u.a., e = 1.569247 y t0 = 2.476123 TT de abril de 1998. Soluci´ on Calculamos las fechas julianas de ambos instantes: 5 de junio de 1998 = 2 450 969.5, 2.476123 abril de 1998 = 2 450 905.976123, por lo tanto, t − t0 = 63.52388. Puesto que la masa de un cometa es despreciable frente a la del Sol tenemos: µ = k 2 por lo que: r k 0.01720209895 µ (t − t0 ) = √ (t − t0 ) = × 63.52388 = 0.104313. a3 (4.787629)3/2 a3 De la ecuaci´ on (12.106) podemos obtener F en términos del seno hiperb´ olico inverso1 de tal forma que: · ¸ F k(t − t0 ) + . F = senh −1 e ea3/2 Esta ecuaci´ on permite ir obteniendo valores aproximados de F . En efecto, tomando 0) como un primer valor de F a k(t−t , una primera aproximaci´ on de F llamada F1 queda: a3/2 · ¸ 2k(t − t0 ) . F1 = senh −1 ea3/2 Un segundo valor de F llamado F2 es de la forma: · ¸ k(t − t0 ) −1 F1 + , F2 = senh e ea3/2 y as´ı sucesivamente hasta que los valores de Fn converjan hacia un valor definido. En nuestro ejemplo: F1 = senh −1 (0.132946) = 0.132557. Realizando sucesivas aproximaciones llegamos, después de haber alcanzado casi veinticinco de ellas (hasta la sexta cifra decimal), a F = 0.180538. 1 La raz´ on de despejar F de esta manera y no de forma directa radica en la convergencia que se logra utilizando la funci´ on hiperb´ olica inversa. De haber despejado F con el t´ ermino aislado se hubiese tenido que trabajar con el seno hiperb´ olico lo cual puede generar que la convergencia no siempre se alcance.


261

El valor de la anomal´ıa verdadera se halla con (12.107): "r µ ¶# 0.180538 1.569247 + 1 tanh = 21.654753. θ = 2 × tan−1 1.569247 − 1 2 El valor de r se puede hallar de dos formas. Con la ecuación (12.105): r = 4.787629 × [1.569247 × cosh(0.1805389) − 1] = 2.848115, o con la ecuación (12.75): r=

12.10.3

4.787629 × (1.5692472 − 1) = 2.848115. 1 + 1.569247 × cos(21.6548578)

´ Orbita parab´ olica

A diferencia de los dos casos anteriores, la obtenci´ on de θ se realiza sin vernos obligados a resolver ecuaciones trascendentes. Reemplazando la primera de las ecuaciones (12.73) y la ecuación (12.72) en (12.58) obtenemos, después de reordenar: µ

2 1 + cos θ

r

¶2 dθ =

2µ dt, q3

con ayuda de la identidad: 2 cos2 (θ/2) = 1 + cos θ, obtenemos: 4

£

2

2

¤

sec (θ/2)dθ = sec (θ/2)(1 + tan (θ/2) dθ =

r

2µ dt; q3

puesto que d [tan(θ/2)] /dt =(1/2) sec2 (θ/2), es f´ acil verificar, después de integrar con los siguientes limites : para t = t0 , θ = 0, donde t0 es el tiempo en que ocurre el m´ınimo acercamiento de m2 con respecto a m1 (llamado pericentro) y para cualquier tiempo t tenemos un valor correspondiente de θ. Finalmente llegamos a: r 2µ (t − t0 ) = 0. (12.108) tan3 (θ/2) + 3 tan(θ/2) − 3 q3 Como se ve, esta es una ecuación c´ ubica en θ/2. Ahora bien, por el teorema fundamental del a´lgebra toda ecuaci´ on c´ ubica ha de tener tres raices. Se presentan dos casos: o las tres raices son reales o existe una ra´ız real y dos son imaginarias. Nos veriamos en serios problemas si resulta siendo el primer caso pues implicar´ıa que para un valor dado de t existen tres valores distintos de θ.


262

De la teor´ıa de la resoluci´ on de ecuaciones c´ ubicas se demuestra que para una ecuaci´ on de la forma: x3 + αx + β = 0,

(12.109)

se cumple el siguiente discriminante:

Si Si

α3 β2 + 4 27 β2 α3 + 4 27

>

0

entonces hay una ra´ız real y dos imaginarias.

<

0

entonces hay tres raices reales. q

En nuestro caso α = 3 y β = −3

− t0 ). Llamando: r 2µ (t − t0 ), C= q3 2µ q 3 (t

(12.110)

y reemplazando en el discriminante tenemos: 9C 2 /4 + 1, cantidad esencialmente positiva por lo que siempre hemos de tener una sola ra´ız real como solución. La solución de la ecuaci´ on (12.109) es (ver Spiegel & Abellanas, 1988, p. 37): s s r r 3 3 β2 β2 β β α3 α3 + + − − + . (12.111) x= − + 2 4 27 2 4 27 Entonces, para nuestra ecuaci´ on (12.108) la solución es: v v sµ sµ u u ¶2 ¶2 u u 3 3C 3 3C 3C 3C t t +1+ + 1. + − tan(θ/2) = 2 2 2 2

(12.112)

Llamando: cot S =

3C , 2

(12.113)

y dado que csc2 S = 1 + cot2 S tendremos: tan(θ/2) =

√ 3

cot S + csc S +

√ 3

cot S − csc S.

(12.114)

Ejemplo 1 Un cometa se desplaza en órbita parab´ olica alrededor del Sol con los siguientes parámetros: q = 0.474317, t0 = 4.14781 TT mayo de 1978. Determinar su distancia al Sol y el valor de la anomal´ıa verdadera para el tiempo 4h 13m 18.3s TT del 8 de junio de 1978. Soluci´ on Puesto que 4h 13m 18.3s = 4.055h = 0.168958 de d´ıa, entonces las fechas julianas correspondientes son:


263

8.168958 de junio de 1978 = 2 443 667.668958, 4.14781 marzo de 1978 = 2 443 571.64781, por lo tanto, t − t0 = 96.02114. Puesto que la masa de un cometa es despreciable frente a la del Sol se tendr´ a que µ = k 2 . Hallando C con ayuda de (12.110): r 2 × 0.017202098952 (96.02114) = 7.150893. C= 0.4743173 Luego calculamos S con ayuda de la ecuaci´ on (12.113): ¶ µ 2 = 5.326201, S = tan−1 3 × 7.150893 de la que se deduce: cot S = 10.726339,

csc S = 10.772853.

Por lo tanto, el valor de la anomal´ıa verdadera se halla con la ecuaci´ on (12.114): θ = 2 × tan−1

¡√ 3

10.726339 + 10.772853 +

√ 3

¢ 10.726339 − 10.772853 = 135.113280.

El radio vector se calcula con ayuda de (12.72): r=

2 × 0.474317 = 3.254357. 1 + cos(135.113280)

LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS • Brouwer, D., Clemence, G. (1961) Methods of Celestial Mechanics, Academic Press, New York. Aunque un poco desactualizado, constituye una descripci´ on técnica y altamente autorizada de los métodos de la mec´ anica celeste utilizados a mediados del siglo XX. • McCuskey, S.W. (1963), Introduction to Celestial Mechanics, Addison-Wesley Pu. Co., Massachusetts. Si se quiere comenzar a entender las técnicas de la mec´ anica celeste sin sacrificar el desarrollo matem´ atico este libro es el indicado. Altamente le´ıble y descriptivo. • Moulton, F. R. (1970), An Introduction to Celestial Mechanics, Dover Pu., New York. Excelente libro escrito hace ya casi cien a˜ nos. Muy descriptivo aunque se a˜ nora la descripci´ on vectorial. • Spiegel, M.R., Abellanas, L. (1988), F´ ormulas y tablas de matem´ atica aplicada, McGraw-Hill, Madrid. Compendio de tablas de integrales y f´ ormulas u ´tiles del ´ algebra y trigonometr´ıa.

264

CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS • Szebehely, V., Mark, H. (1998), Adventures in Celestial Mechanics, John Wiley & Sons, New York. Como introducci´ on hacia los fundamentos es excelente. No espere s´ olidos desarrollos algebr´ aicos. Contiene una descripci´ on actualizada sobre din´ amica ca´ otica y movimiento de satélites. • http://www.physics.csbsju.edu/orbit/orbit.2d.html En este sitio se encuentra una explicaci´ on breve sobre ´ orbitas el´ıpticas as´ı como c´ odigos sencillos para graficar ´ orbitas para usuarios del programa Matematica. • http://www.btinternet.com/~kburnett/kepler/kepler.html Contiene varios m´ etodos num´ ericos para resolver la ecuaci´ on de Kepler.

Cap´ıtulo 13

´ DE LA LA DETERMINACION ´ EN EL ESPACIO POSICION Ya sabemos cómo calcular la anomal´ıa verdadera θ y el radio vector r en los tres tipos de órbitas. Pero este movimiento se verifica en un plano que ha de tener una determinada orientación con respecto a un sistema de tres ejes cartesiano centrado en m1 tal y como en el que se definen las coordenadas ecl´ıpticas heliocéntricas. Imaginemos un plano en el que se desplaza el móvil de interés que corta al plano fundamental xy (la ecl´ıptica en el caso de un objeto alrededor del Sol o el ecuador celeste en el caso de un satélite que gira alrededor de la Tierra) en un cierto ańgulo Ω con respecto al eje x y con un ángulo de inclinaci´ on i, ver figura 13.1. La l´ınea que resulta del corte entre los dos planos (el de la o´rbita y el fundamental) es llamada l´ınea de los nodos. Aquel punto por donde el planeta cruza el plano xy de abajo hacia arriba (z pasa de ser negativo a positivo) se llama nodo ascendente. El punto diametralmente opuesto se llama nodo descendente. Es igualmente necesario especificar en qué punto del plano orbital est´ a situada la l´ınea de las a´psides, esto es, la l´ınea que contiene la direcci´ on foco-pericentro, que es desde donde comienza a contarse la anomal´ıa verdadera. Esto se logra introduciendo un ańgulo ω llamado argumento de latitud del pericentro el cual se mide desde el nodo ascendente hasta la l´ınea de las ápsides que especifica el pericentro.

13.0.4

Elementos orbitales

Los elementos orbitales son seis parámetros que en el problema de los dos cuerpos son constantes (v´ alidos para todo tiempo) que est´ an directamente relacionados con las constantes de integraci´ on obtenidas al resolver el problema de los dos cuerpos. Los elementos son: 265

266

´ DE LA POSICION ´ EN EL ESPACIO CAPÍTULO 13. LA DETERMINACION

z LINEA DE LAS APSIDES (AL PERICENTRO)

r

θ ω y

m1

i Ω LINEA DE LOS NODOS

x Figura 13.1:

Orientaci´ on de la ´ orbita en el espacio

a, el semieje mayor (o distancia media en la o´rbita el´ıptica). e, la excentricidad. i, la inclinaci´ on de la o´rbita con respecto al plano de referencia. Ω, la longitud del nodo ascendente. ω, el argumento de latitud del pericentro. t0 , un instante de paso por el pericentro En el caso de la o´rbita parab´ olica existen dos modificaciones: por un lado el semieje mayor es reemplazado por q llamada distancia pericéntrica; por otro, la excentricidad tiene un valor fijo (e = 1). Sin embargo, no siempre es posible encontrar los elementos en la forma como los acabamos de rese˜ nar. De uso corriente también se suele utilizar: a) Mr en vez de t0 (para la o´rbita el´ıptica) donde Mr es la anomal´ıa media para un tiempo dado cualquiera tr que llamaremos “de referencia”. En efecto, la anomal´ıa media se define como (ver fórmula (12.101)): M = n(t − t0 ). Sumando y restando el término ntr tenemos: M = nt − nt0 + ntr − ntr , o reordenando: M = n(tr − t0 ) + n(t − tr ), pero n(tr − t0 ) es la anomal´ıa media en el tiempo de referencia, que llamaremos Mr por lo que:

267

M = Mr + n(t − tr ).

(13.1)

b) $ en vez de ω, donde $ es llamado la longitud del pericentro, un ańgulo que resulta de la suma de ańgulos definidos en planos diferentes: $ = Ω + ω.

(13.2)

c) Lr en vez de t0 o de Mr (para la o´rbita el´ıptica) donde Lr es la longitud media para a relacionada con Mr mediante : el tiempo de referencia tr . La longitud media est´ Lr = Mr + $.

13.0.5

(13.3)

Posici´ on en el espacio

Ahora nos planteamos lo siguiente: sabiendo para un instante dado t los valores de θ y r al igual que Ω, i y ω (que son constantes), hallar las componentes del vector posición ~r (x, y, z) para dicho tiempo t. Sean ˆl y m ˆ dos vectores unitarios, (ver figura 13.2) el primero ubicado en el plano xy y dirigido en la direcci´ on del nodo ascendente, el segundo, ortogonal a ˆl pero definido en el plano de la o´rbita en que se mueve m2 .

z

m

90-i k

y

j

i

Ω

i l

x Figura 13.2:

Definici´ on de los vectores ˆ lym ˆ

Es claro que: ˆl = m ˆ

=

ˆ cos Ωî + sen Ωˆj + 0k, ˆ − sen Ω cos iî + cos Ω cos iˆj + sen ik.

(13.4)

268


Al observar la figura 13.3 donde los vectores ˆl y m ˆ están relacionados con los vectores u ˆr yu ˆθ notamos que podemos escribir: u ˆr = ˆl cos(ω + θ) + m ˆ sen (ω + θ),

(13.5)

y puesto que ~r = rˆ ur tendremos: ~r = xî + yˆj + z kˆ

=

ˆ + r cos(ω + θ)(cos Ωî + sen Ωˆj + 0k) ˆ r sen (ω + θ)(− sen Ω cos iî + cos Ω cos iˆj + sen ik).

Factorizando los términos que acompa˜ nan los vectores unitarios a ambos lados obtenemos:

x = y = z =

r [cos(ω + θ) cos Ω − sen (ω + θ) sen Ω cos i] , r [cos(ω + θ) sen Ω + sen (ω + θ) cos Ω cos i] , r sen (ω + θ) sen i,

(13.6)

ecuaciones válidas para cualquier tipo de o´rbita. Es inmediatamente verificable que r2 = x2 + y 2 + z 2 .

ES

ID PS

SA

m

r ur

uθ l

Figura 13.3:

θ

A NE

DE

LA

LI

ω LINEA DE LOS NODOS

Relaci´ on de u ˆr y u ˆθ con los vectores ˆ lym ˆ

13.1. VELOCIDAD EN EL ESPACIO

13.1

269

Velocidad en el espacio

En muchos casos de interés en mecánica celeste se hace necesario saber las componentes del vector velocidad con respecto a un determinado sistema de coordenadas. Nuestro vector velocidad est´ a dado por la primera de las ecuaciones (12.51), que por comodidad reproducimos nuevamente: ˙ uθ . ~r˙ = rˆ (13.7) ˙ ur + rθˆ Necesitamos hallar en esta ecuación los valores de r, ˙ θ˙ y u ˆθ . De la figura 13.3 se deduce on de ˆl y m ˆ está dado por: que u ˆθ en funci´ ˆ cos(ω + θ). u ˆθ = −ˆl sen (ω + θ) + m

(13.8)

En lo que sigue, la determinaci´ on de r˙ y θ˙ se har´ an para la o´rbita el´ıptica por ser la de mayor aplicación. Dichos valores para la o´rbita hiperb´ olica y parab´ olica se hallan de forma an´ aloga a como se describe a continuación. El valor de r˙ es posible hallarlo a partir de la relaci´ on de r con la anomal´ıa excéntrica E, dada por (12.99). Al derivar con respecto al tiempo: ˙ r˙ = ae sen E E, pero, a la vez, la relaci´ on entre el tiempo y la anomal´ıa excéntrica permite encontrar, a partir de (12.100) que n , E˙ = (1 − e cos E) de las que se deduce: nae sen E a2 ne sen E r˙ = = . (13.9) 1 − e cos E r As´ı mismo, la relación para θ˙ es a través de la ecuaci´ on (12.58), y para la o´rbita el´ıptica h viene dado por la primera de las ecuaciones (12.70). Entonces la expresi´ on para θ˙ en términos de la constante de Gauss es: p 2 p ˙θ = k 1 + (m2 /m1 ) a(1 − e ) . (13.10) r2 Con esto, la ecuación (13.7) se convierte en:

p 2 2 p ~r˙ = a ne sen E ~r + k 1 + (m2 /m1 ) a(1 − e ) uˆθ . (13.11) r2 r ˆ ~r = xî + yˆj + z kˆ y uˆθ dado por (13.8), que a su vez Puesto que ~r˙ = x˙ î + y˙ ˆj + z˙ k; viene expresado por las ecuaciones (13.4), se tendr´ an las componentes del vector velocidad al factorizar a ambos lados los vectores unitarios: p p a(1 − e2 ) a2 ne sen E x + k 1 + (m /m ) [− cos Ω sen (ω + θ) − sen Ω cos i cos(ω + θ)], 2 1 r2 r p 2 2 p a(1 − e ) a ne sen E y + k 1 + (m2 /m1 ) [− sen Ω sen (ω + θ) + cos Ω cos i cos(ω + θ)], (13.12) y˙ = r2 r p p a(1 − e2 ) a2 ne sen E z + k 1 + (m2 /m1 ) [ sen i cos(ω + θ)], z˙ = 2 r r

x˙ =

270


donde n está en unidades de radianes por unidad de tiempo.

13.2

La posici´ on con respecto a la Tierra

El procedimiento visto hasta ahora permite calcular las componentes de los vectores posición y velocidad con respecto al plano fundamental del cuerpo de masa m2 para un observador hipotético situado en m1 . Esto ser´ıa suficiente para un satélite moviéndose alrededor de la Tierra si el plano fundamental es el ecuador celeste, o para un planeta alrededor del Sol cuyo plano fundamental es la ecl´ıptica. Si estamos calculando la posici´ on de un planeta visto desde la Tierra se hacen necesarios varios pasos más. Los astrónomos por lo general buscan expresar las coordenadas de los astros con referencia al ecuador celeste. Por lo tanto nos vemos en la necesidad de pasar de las coordenadas x, y, z (ecl´ıpticas heliocéntricas) a unas coordenadas x0 , y 0 , z 0 (ecuatoriales heliocéntricas). Puesto que el ecuador y la ecl´ıptica se cruzan en el punto vernal y que además el eje de las x está en la misma dirección del punto vernal la transformaci´ on entre ambas equivale a una rotaci´ on de las coordenadas un ańgulo ² (la oblicuidad de la ecl´ıptica), ver figura 13.4. Por lo tanto, la relación entre el vector heliocéntrico-ecl´ıptico ~r y el vector heliocéntrico-ecuatorial ~r 0 es:

z

ε

z´

ε

y y´

x=x´

ECLIPTICA

ε

ECU

ADO

RC

Figura 13.4:

ELE

STE

Rotaci´ on alrededor del eje x

~r 0 = Rx(−²)~r.

(13.13)

´ CON RESPECTO A LA TIERRA 13.2. LA POSICION

271

on cuyo efecto al multiplicar el vector ~r es rotarlo La matriz Rx(−²) es una matriz de rotaci´ sobre el eje x un ańgulo −². La matriz est´ a definida por:   1 0 0 Rx(−²) =  0 cos ² − sen ²  . 0 sen ² cos ² Por lo tanto, la transformación en componentes es: x0 y0 z0

= = =

x, y cos ² − z sen ², y sen ² + z cos ².

(13.14)

Si se desea hallar las componentes del vector velocidad con respecto al ecuador celeste la ecuaci´ on b´ asica es análoga a la ecuación (13.13) (² se supone constante): ˙ r~˙ 0 = Rx(−²)~r.

(13.15)

El siguiente paso es hallar el vector posición del objeto pero con respecto a la Tierra. Este se halla sencillamente conociendo, para el mismo tiempo t, el vector posición de la Tierra con respecto al Sol. De la figura 13.5 es claro que: ρ ~ = ~r 0 − ~rT0 .

(13.16)

PLANETA

r´ ρ

SOL r´T TIERRA

Figura 13.5:

Traslaci´ on para observaci´ on desde la Tierra

Al definir un sistema de coordenadas cartesiano que llamaremos conjuntamente coordenadas ecuatoriales geocéntricas (ξ, η, ζ) para expresar el vector ρ se deduce: ξ η ζ

= x0 − x0T , = y 0 − yT0 , = z 0 − zT0 .

(13.17)

272


Este sistema geocéntrico está relacionado, como es de esperarse, con las coordenadas ecuatoriales (o coordenadas ecuatoriales absolutas), ver figura 13.6, de la cual se desprende: ξ η

= =

ρ cos α cos δ, ρ sen α cos δ,

ζ

=

ρ sen δ,

(13.18)

donde ρ representa la distancia entre el cuerpo de masa m2 y la Tierra. De estas ecuaciones se obtienen las coordenadas ecuatoriales del objeto para un observador ubicado en la Tierra: tan α

=

tan δ

=

ρ

=

η , ξ ζ p , ξ2 + η2 p ξ2 + η2 + ζ 2 .

(13.19)

El c´ alculo de la ascensi´ on recta adolece también del inconveniente para determinar el verdadero cuadrante en que est´ a ubicado el ańgulo. Esto se resuelve aplicando las reglas vistas en la sección 5.6.3, relaciones (5.21). La posición del Sol puede saberse de inmediato conociendo el vector ~rT0 . En efecto, el vector posición del Sol con respecto al ecuador celeste y con origen en la Tierra, que PNC ζ

ρ δ

TIERRA

η α

ξ

Figura 13.6:

Relaci´ on entre ξ, η y ζ y las coordenadas ecuatoriales absolutas

´ CON RESPECTO A LA TIERRA 13.2. LA POSICION llamaremos ~r¯0 , está dado por:

~r¯0 = −~rT0 .

273

(13.20)

Las coordenadas rectángulares geocéntricas del Sol, que designaremos como X, Y, Z serán entonces: X = −x0T , Y = −yT0 , Z = −zT0 .

(13.21)

De acuerdo con lo anterior, las coordenadas esféricas del Sol α¯ , δ¯ y ρ¯ estarán dadas por:

tan α¯

=

tan δ¯

=

ρ¯

=

Y , X Z √ , 2 X +Y2 p X 2 + Y 2 + Z 2.

(13.22)

NOTA: Las coordenadas ecuatoriales, tal y como se han hallado hasta ahora, son válidas para un observador hipotético situado en el centro del planeta Tierra. Puesto que la mayor´ıa de los cuerpos del sistema solar están a una distancia de la Tierra much´ısimo mayor comparada con el radio terrestre, la corrección que es necesario hacer para un observador situado aproximadamente a 6400 kil´ ometros del centro de la Tierra es usualmente muy peque˜ na, por lo que no se tiene en cuenta. Pero en el caso de la Luna o de satélites artificiales que est´ an cerca de la Tierra, es necesario tener en cuenta la posición del observador (situado en un punto sobre la superficie de la Tierra) con respecto al centro del planeta, para luego hallar las coordenadas reales del objeto con respecto al observador. Por otro lado, se debe tener en cuenta que en cálculos m´ as precisos es necesario corregir las coordenadas por algunos de los fenómenos vistos en el cap´ıtulo 10. En la mayor´ıa de los casos las coordenadas de un planeta halladas por el procedimiento que se describe en este cap´ıtulo est´ an referidas al ecuador medio del a˜ no 2000.0. Si se quieren obtener las coordenadas aparentes del planeta (para el ecuador instantáneo de la fecha) habr´ a que corregir primero por aberración planetaria (ver sección 10.3.2), luego por precesión (sección 10.1) y nutación (sección 10.2). Aun habiendo realizado todas estas correcciones no se debe esperar que coincidan completamente las coordenadas as´ı calculadas con las que se observan en el cielo. La razón es sencilla: hasta ahora hemos aplicado un modelo de dos cuerpos que interact´ uan gravitacionalmente con el formalismo newtoniano. En la vida real ocurre que existen muchos cuerpos y est´ an presentes otro tipo de interacciones. Si al lector que ha llegado a esta altura del desarrollo le parece un tanto largo el c´ alculo tendiente a hallar la posición de un cuerpo con precisi´ on razonable, el cálculo de las correcciones que se deben hacer por la presencia de los demás cuerpos gravitacionales (ver el siguiente cap´ıtulo) s´ı que es en verdad dispendioso.

274


Ejemplo 1 Calcular las coordenadas ecuatoriales (α, δ, ρ) del planeta Marte y del Sol para el instante 0h TT del 20 de noviembre de 2000. Soluci´ on Para hallar las coordenadas de los cuerpos en cuestión es necesario poseer los elementos orbitales tanto del planeta Marte como los de la Tierra. Se aplicar´ an los resultados del problema de los dos cuerpos a cada planeta por aparte de modo que en primera aproximaci´ on la interacci´ on gravitacional entre Marte y la Tierra es considerada nula. Hasta ahora hemos visto que en el problema de los dos cuerpos los elementos son constantes para todo tiempo. Pero, en sistemas con tres o más cuerpos celestes, los elementos comienzan a ser variables con el tiempo (ver cap´ıtulo 14). Es preciso, para obtener posiciones con exactitudes adecuadas, contar con elementos orbitales “frescos”, esto es, que en la época en que se quiere calcular las posiciones, se tengan valores de elementos que sean relativamente cercanos a dicha época. En nuestro ejemplo, utilizaremos los valores consignados en el apéndice C.3, página 360, los cuales son estrictamente válidos para el instante de tiempo 0h TT del 13 de septiembre de 2000. Nuestra fecha de referencia es entonces el 13 de septiembre de 2000 a las 0h TT. Comenzamos por calcular los valores de la anomal´ıa media de referencia (ver ecuaci´ on (13.3)), escribiendo los valores de Marte a la izquierda y, a la derecha, con sub´ındice T los de la Tierra: Mr = −206.67685 = 153.32315,

(Mr )T = 249.29326.

Se calcula la diferencia de tiempo existente entre el tiempo en cuesti´ on (0h 20 de noviemh bre de 2000) y el tiempo de referencia (0 13 de septiembre de 2000). Determinamos las fechas julianas de estos instantes, que son 2 451 868.5 y 2 451 800.5 respectivamente. El intervalo de tiempo entre las dos fechas es entonces: t − tr = +68.0. El movimiento medio en unidades de grados por d´ıa aparece, por comodidad, en el mismo apéndice C.3. De no haber sido as´ı, el movimiento medio se puede calcular a partir de la ecuaci´ on (12.92). Calculamos luego el producto n(t − tr ): n(t − tr ) = 35.6384056,

nT (t − tr )T = 67.0227516.

La anomal´ıa media en el d´ıa en cuesti´ on es, de acuerdo con (13.1): M = 188.961556,

MT = 316.31601.

La anomal´ıa excéntrica se puede calcular con el procedimiento iterativo visto en la p´ agina 256. Realizando los c´ alculos correspondientes obtenemos: E = 188.19784,

ET = 315.64570.

´ CON RESPECTO A LA TIERRA 13.2. LA POSICION

275

Con E podemos calcular el radio vector (distancia entre los planetas y el Sol) mediante (12.99): rT = 0.98802.

r = 1.66454,

También podemos determinar la anomal´ıa verdadera mediante (12.103): θ = −172.53363 = 187.46637,

θT = −45.02870 = 314.97130.

A manera de control, al reemplazar el valor de θ en (11.4) se ha de obtener el mismo valor que se hall´ o de r con ayuda de (12.99). Calculamos ahora las coordenadas rectángulares ecl´ıpticas heliocéntricas de ambos planetas, con ayuda del sistema de ecuaciones (13.6): x = −1.59523, y = 0.472790, z = 0.049110,

xT = 0.52408, yT = 0.83757, zT = 0.00000.

Como control, se ha de cumplir: r2 = x2 + y 2 + z 2 . Luego se calculan las coordenadas rectángulares ecuatoriales heliocéntricas de ambos planetas, tomando como valor de la oblicuidad a ² = 23o 260 21.800 . De acuerdo con (13.14) se tiene: x0 = −1.59523, y 0 = 0.41424, z 0 = 0.23312,

x0T = 0.52408, yT0 = 0.76845, zT0 = 0.33317.

De nuevo, como control, se ha de cumplir: r2 = x0 + y 0 + z 0 . 2

2

2

A continuaci´ on se determinan las coordenadas rectángulares ecuatoriales geocéntricas del planeta Marte con ayuda de (13.17) ξ = −2.11931,

η = −0.35421,

ζ = −0.10005.

Las coordenadas ecuatoriales del planeta Marte se calculan utilizando las ecuaciones (13.19), no olvidando el criterio para determinar el cuadrante verdadero de la ascensi´ on recta y utilizando unidades de tiempo: α = 12h 37m 57s ,

δ = −2o 390 5700 ,

ρ = 2.15103.

Las coordenadas rectángulares ecuatoriales geocéntricas del Sol son, de acuerdo con (13.21): X = −0.52408,

Y = −0.76845,

Z = −0.33317.

Las coordenadas ecuatoriales del Sol se hallan fácilmente con ayuda de (13.22):

276


δ¯ = −19o 420 2500 ,

α¯ = 15h 42m 50s ,

ρ¯ = 0.98802.

Tanto las coordenadas de Marte como del Sol no deben tomarse como exactas. Es necesario corregir por aberración planetaria, y si se desean obtener las coordenadas con respecto al ecuador de la fecha es preciso corregir por precesión, nutaci´ on y aberraci´ on anual.

13.3

Las coordenadas topoc´ entricas

Ya mencionamos que las coordenadas de los cuerpos celestes en el sistema solar con respecto a la Tierra son geocéntricas, esto es, tienen como origen el centro de nuestro planeta. Visto de otra forma: son v´ alidas para un observador hipotético situado en el centro de la Tierra. Esto no tiene mayor inconveniente para aquellos cuerpos cuya distancia a la Tierra es muy grande (centenares o miles de veces el radio terrestre). En tal caso estar en la superficie de la Tierra o en su centro no representa ning´ un cambio en la posici´ on aparente de los astros. Pero, si se trata de cuerpos celestes como la Luna, los planetas más cercanos a la Tierra y, sobre todo, los satélites artificiales que circundan la Tierra apenas unos cuantos centenares de kil´ ometros sobre su superficie, se hace necesario tener en cuenta la posición de un observador (situado en la superficie) con respecto al centro del planeta. PNC C

ρg

ρ

t

ρo TIERRA

Figura 13.7:

Determinaci´ on del vector topocéntrico ρ~t

Para hallar las coordenadas de un astro cercano con respecto a un observador situado en la superficie del planeta con coordenadas geodésicas (φ, λ y ρ) se debe tener en cuenta cómo es el vector de posición del observador con respecto al centro de la Tierra. Sea, para un determinado cuerpo C, ρ~g su vector geocéntrico; ρ~o el vector geocéntrico del observador y ρ~t el vector topocéntrico del objeto con respecto al observador (ver figura 13.7). Entonces:

´ 13.3. LAS COORDENADAS TOPOCENTRICAS

277

ζο

ρo φ´

ηο

TSL ξο

Figura 13.8:

Relaci´ on entre las componentes del vector geocéntrico del observador ρ~o con las coordenadas geod´ esicas de éste

ρ~t = ρ~g − ρ~o .

(13.23)

Tenemos las componentes del vector ρ~g . Falta determinar las componentes del vector geocéntrico del observador ρ~o . En la figura 13.8 vemos la relaci´ on existente entre el tiempo sidéreo local T SL (ver sección 7.3) en el momento de la observación, la latitud geocéntrica φ0 , la distancia radial ρ y el vector topocéntrico del observador con coordenadas rectangulares ξo , ηo y ζo . Se deduce inmediatamente que: ξo = ρ cos T SL cos φ0 , ηo = ρ sen T SL cos φ0 , ζo = ρ sen φ0 .

(13.24)

Las coordenadas rectángulares topocéntricas (ξt , ηt , ζt ) vienen dadas por (13.23): ξ t = ξg − ξ o , η t = ηg − ηo , ζt = ζ g − ζ o . Las coordenadas ecuatoriales absolutas topocéntricas del astro son entonces:

(13.25)

278


tan αt

=

ηt , ξt

tan δt

=

p

ρt

=

q ξt2 + ηt2 + ζt2 .

ηt ξt2

+ ηt2

,

(13.26)

LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS • Escobal, P.R. (1965), Methods of Orbit Determination, Krieger Pu. Co., Malabar. Un libro claro y preciso sobre los fundamentos de la mec´ anica celeste con énfasis en la determinaci´ on de o ´rbitas. El ap´ endice 1 contiene un compendio de 36 transformaciones de coordenadas b´ asicas. • McCuskey, S.W. (1963), Introduction to Celestial Mechanics, Addison-Wesley Pu. Co., Massachusetts. Si se quiere comenzar a entender las técnicas de la mec´ anica celeste sin sacrificar el desarrollo matem´ atico este libro es el indicado. Altamente le´ıble y descriptivo. • Montembruck, O. (1989), Practical Ephemeris Calculations, Springer-Verlag, New York. Un libro claro y muy u ´til para aquellos que deseen hallar las ecuaciones b´ asicas de transformaci´ on de coordenadas en diversas aplicaciones de la astronom´ıa de posici´ on. • Moulton, F. R. (1970), An Introduction to Celestial Mechanics, Dover Pu., New York. Excelente libro escrito hace ya casi cien a˜ nos. Muy descriptivo aunque se a˜ nora la descripci´ on vectorial. • http://www.bdl.fr/ Aqu´ı se encuentra en excelente servidor de efemérides. • http://ssd.jpl.nasa.gov/ Se puede conseguir gran informaci´ on sobre din´ amica del sistema solar y tambi´ en instrucciones para entrar a un servidor de efem´ erides.

Cap´ıtulo 14

PERTURBACIONES 14.1

Modelo vs. realidad

El lector debe tener muy claro lo siguiente: el problema de los dos cuerpos es un modelo que describe el movimiento de dos cuerpos puntuales aislados completamente del universo (esto es, de otras masas). Por otra parte, no tiene en cuenta otro tipo de interacciones; sólo considera la fuerza gravitacional newtoniana entre las part´ıculas dejando completamente de lado otras posibles interacciones tales como fuerzas electromagnéticas, fuerzas aerodinámicas (resistencia y sustentación), fuerzas de repulsi´ on (presi´ on de radiaci´ on), etc. Pero, a pesar del grado de idealizaci´ on del problema, que puede conducir a pensar que los resultados encontrados en la aplicaci´ on del problema de los dos cuerpos son muy aproximativos y alejados de la realidad, el hecho es que los astr´ onomos utilizan frecuentemente la soluci´ on del problema de los dos cuerpos para estudiar el movimiento de un planeta alrededor del Sol, de un satélite alrededor de la Tierra, o el de estrellas binarias que giran mutuamente, etc. Esto se debe a dos cosas: primero, que el problema de los dos cuerpos genera unas ecuaciones diferenciales que son completamente integrables, esto es, todas las ecuaciones tienen una soluci´ on anal´ıtica, lo cual es important´ısimo considerando que problemas de tres o más cuerpos no tienen soluciones completas. Segundo: el problema de los dos cuerpos constituye en s´ı una excelente aproximaci´ on para la descripci´ on del movimiento de la mayor´ıa de los cuerpos celestes. En el caso del sistema solar por ejemplo, al estudiar el movimiento de un cometa alrededor del Sol, se pueden aplicar los resultados del problema de los dos cuerpos (suponer que entre el cometa y el Sol sólo hay vac´ıo y que la u ńica fuerza existente es la gravedad, que los restantes planetas no existen, que ambos objetos son perfectamente esféricos con distribuci´ on uniforme de masa y que la teor´ıa de gravitaci´ on es la newtoniana y no la einsteniana) lo cual da una excelente teor´ıa para la predicci´ on de la posici´ on del cometa en el tiempo. O al menos al principio, pues el hecho real es que la teor´ıa, conforme va transcurriendo el tiempo, comienza a apartarse de lo que se observa en realidad del movimiento del cometa. El modelo lentamente comienza a arrojar resultados que no corresponden a lo que se observa. La raz´ on es clara: los planetas s´ı existen, e influyen gravitacionalmente sobre el cometa; la curvatura del espacio originada por el Sol ocasiona 279

280

CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES

muy ligeras perturbaciones en el movimiento del cometa; además, al pasar cerca del Sol, los cometas experimentan bruscas eyecciones de masa, convirtiéndose en esos instantes en objetos semi-autopropulsados, experimentando fuerzas ajenas a las de la gravedad parecidas a las que se generan en un cohete. De esto se deduce que, estrictamente hablando, las trayectorias de los planetas alrededor del Sol no son el´ıpticas, pero que en primera aproximaci´ on s´ı lo son. Ahora bien, en el caso de los planetas del sistema solar ocurre algo que es afortunado: casi toda la masa del sistema solar está concentrada en el Sol. El planeta de mayor masa es J´ upiter, teniendo tan s´ olo 1/1000 de la masa del Sol. Al sumar la masa de los demás planetas encontramos que no alcanzamos a llegar a la masa de J´ upiter. Esto en términos pr´ acticos significa que en el estudio del movimiento de un planeta cualquiera Y (con masa m2 ) alrededor del Sol (de masa m1 ), podemos utilizar como primera y excelente aproximación los resultados del problema de los dos cuerpos, con lo que estar´ıamos suponiendo que los restantes planetas “casi” no influyen en el movimiento del planeta en consideración por poseer masas mx que son supremamente peque˜ nas con respecto a m1 . Pero en per´ıodos extendidos de tiempo los planetas de masas mx hacen sentir su presencia sobre el movimiento del planeta Y, y decimos que dichos planetas “perturban” a Y. La elipse que describe la trayectoria en el espacio de dicho planeta ser´ a ligeramente diferente en tama˜ no y orientaci´ on espacial a medida que transcurre el tiempo. Pero consideremos el caso de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra. En este sistema hay que considerar la presencia del Sol, pues la atracci´ on gravitacional de éste es significativa sobre nuestro satélite. Este es un problema de tres cuerpos (si suponemos que la atracci´ on gravitacional de los planetas vecinos es despreciable). El problema de los tres cuerpos puede ser expresado en términos de ecuaciones diferenciales bien con origen de coordenadas en el espacio o en el centro de uno de dichos cuerpos. Lo tr´ agico es que desde los tiempos de Newton, que fue el primero en tratar de hallar la soluci´ on a dichas ecuaciones, nadie ha podido encontrar una soluci´ on anal´ıtica completamente general y cerrada del problema. Los matemáticos y astr´ onomos recurren entonces a todo tipo de soluciones aproximadas. Una manera de atacar el problema, en el caso del estudio del movimiento de la Luna, es tratar el problema en primera aproximaci´ on como de dos cuerpos (Tierra y Luna) anulando la presencia del Sol. El modelo resultante es u ´til s´ olo para unos cuantos d´ıas pues a medida que transcurre el tiempo es aparente que la teor´ıa no coincide con la observaci´ on. Obvio: el Sol s´ı influye gravitacionalmente sobre la Luna, por lo que la orientaci´ on y la forma de la elipse cambia relativamente r´ apido en el tiempo. Las técnicas aproximativas tratan de tener en cuenta cómo es la perturbaci´ on del Sol sobre la Luna para todo tiempo. Baste con decir aqu´ı que este es un proceso que involucra una cantidad enorme de c´ alculos matemáticos. A manera de informaci´ on mencionemos que el célebre ingeniero civil y astr´ onomo bogotano Julio Garavito Armero, quien fue director del Observatorio Astron´ omico Nacional, estudió y contribuy´ o de forma significativa al estudio del movimiento de la Luna1 . 1 El trabajo m´ as sobresaliente de Garavito fue publicado m´ as de 25 a˜ nos después de su muerte. Se titula “F´ ormulas definitivas para el c´ alculo del movimiento de la Luna por el m´ etodo de Hill-Brown y con la notaci´ on usada por Henri Poincar´ e en el tomo III de su curso de mec´ anica celeste” y se encuentra en la Revista de la academia colombiana de ciencias exactas, f´ısicas y naturales, 1946, Vol. VI, No. 24, p. 560.

14.1. MODELO VS. REALIDAD

Figura 14.1:

281

Julio Garavito Armero (1865-1920)

Si el problema de los tres cuerpos no tiene soluci´ on anal´ıtica completa, el problema de los n cuerpos (n > 3) la tendr´ a a´ un menos. Estudiar el movimiento del sistema solar con 9 planetas y el Sol, (un problema de 10 cuerpos) implica la realizaci´ on de cálculos aproximativos altamente complicados. Si se desea explicar satisfactoriamente el movimiento de un cuerpo sometido a diversas fuerzas, con un grado de predicción razonable, nos vemos avocados a complicar las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento. Con complicar queremos decir incluir todos aquellos términos que representan las fuerzas que de una u otra manera afectan el movimiento. Al contemplar la presencia de una tercera part´ıcula material (u otras m´ as), o si entra en consideración la verdadera forma de los cuerpos materiales (potenciales gravitacionales que dejan de depender de la distancia solamente) o entran en juego fuerzas distintas a las gravitacionales (presi´ on de radiaci´ on, resistencia del medio, etc.), o introducimos la relatividad general y linealizamos las ecuaciones al orden 1/c2 (donde c es la velocidad de la luz en el vac´ıo) para incluir la curvatura del espacio originada por los cuerpos materiales, las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento de m2 respecto a m1 son ahora de la forma: ~r¨ = − µ ~r + ²~ap , r3

(14.1)

donde ² es un par´ ametro que indica el grado de magnitud de la aceleraci´ on ~ap , que en el contexto cl´ asico es llamada “aceleración perturbativa”. Obtener las ecuaciones diferenciales es la parte menos complicada del asunto. Lo espinoso es resolverlas. La realidad es que sólo


282

es posible obtener todas las constantes de movimiento en el problema de dos cuerpos (cuando ² en (14.1) es cero), o, en otros términos, y como se ha dicho incansablemente, las ecuaciones del problema de dos cuerpos son completamente integrables de forma anal´ıtica. S´ olo en tal caso es posible obtener una soluci´ on de la forma (sin hacer concesiones ni aproximaciones de alg´ un tipo): ~r˙ = ~r(c ˙ k , t),

~r = ~r(ck , t),

(14.2)

donde los ck representan las constantes de movimiento. A pesar de la simplicidad de la aceleración perturbativa ~ap en algunos casos, la ecuación (14.1) no posee solución anal´ıtica general exacta.

14.2

El problema de los tres cuerpos

La adici´ on de un cuerpo de masa m3 a un sistema que consist´ıa de dos cuerpos de masas m1 y m2 da lugar al estudio del movimiento de tres cuerpos. El problema de los tres cuerpos es: calcular el movimiento de tres masas puntuales que se atraen las unas a las otras bajo la ley de atracci´ on newtoniana para cualquier valor de las masas y cualquier condici´ on inicial. Es un problema cuya soluci´ on ya fue buscada desde los tiempos de Newton para explicar el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra teniendo en cuenta la presencia del Sol. El mismo Newton se quejó de que la complicaci´ on del problema era de tal magnitud que, de todos los problemas matemáticos con que se hab´ıa enfrentado, el del movimiento de la Luna era el que m´ as le hab´ıa producido dolor de cabeza. Sean tres cuerpos puntuales con masas m1 , m2 y m3 con sus respectivos vectores posi~2 y R ~ 3 referidos a un punto O cualquiera de un sistema de coordenadas inercial. ~ 1, R ci´ on R ~ 12 el vector relativo del cuerpo de masa m2 con respecto a m1 , D ~ 13 el vector Sean también D ~ 23 el vector relativo del cuerpo de relativo del cuerpo de masa m3 con respecto a m1 y D masa m3 con respecto a m2 .

m

m2

D12 1

R2

R

1

D 23

D13 m R

3

O

Figura 14.2:

Problema de los tres cuerpos

3

14.2. EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS

283

De acuerdo con la ley de atracci´ on gravitacional deducimos que la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo de masa m1 debido a la presencia de m2 y m3 es: F~1 = F~12 + F~13 , o, con la ley de atracción gravitacional: ¨~1 = Gm1 m2 D ~ 12 + Gm1 m3 D ~ 13 . m1 R 3 3 D12 D13

(14.3)

La fuerza que se ejerce sobre el cuerpo de masa m2 debido a la presencia de m1 y m3 es: F~2 = F~21 + F~23 , esto es, ¨~2 = − Gm1 m2 D ~ 12 + Gm2 m3 D ~ 23 . m2 R 3 3 D12 D23

(14.4)

Igualmente, la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo de masa m3 debido a la presencia de m1 y m2 es: F~3 = F~31 + F~32 , o sea: ¨~3 = − Gm1 m3 D ~ 13 − Gm2 m3 D ~ 23 . m3 R 3 3 D13 D23

(14.5)

Sumando las ecuaciones (14.3), (14.4) y (14.5) obtenemos: ¨~1 + m2 R ¨~2 + m3 R ¨~3 = ~0. m1 R Al integrar una vez con respecto al tiempo: ~ 1, m1 R~˙ 1 + m2 R~˙ 2 + m3 R~˙ 3 = K

(14.6)

~ 1 es un vector constante que representa, en el espacio, tres constantes escalares. La donde K ecuación (14.6) significa que la suma de los momentos lineales de los cuerpos involucrados es una constante. Una nueva integraci´ on de (14.6) permite llegar a: ~ 1t + K ~ 2. m1 R~1 + m2 R~2 + m3 R~3 = K ~ cm como: Al definir el vector centro de masa de nuestro sistema R ~ ~ ~ ~ cm = m1 R1 + m2 R2 + m3 R3 , R m1 + m2 + m3 la ecuaci´ on (14.7) queda:

(14.7)


284

~ cm = R

~ 1t ~2 K K + , m1 + m2 + m3 m1 + m2 + m3

que significa que el centro de masas del sistema se desplaza en el espacio en l´ınea recta y con movimiento uniforme. Ya llevamos seis integrales de movimiento. Podemos encontrar otras tres. Reescribiendo las ecuaciones (14.3), (14.4) y (14.5) en terminos de la velocidad: µ

m1~v˙ 1

=

m2~v˙ 2

=

m3~v˙ 3

=

¶ m1 m3 ~ m1 m2 ~ + D D 12 13 , 3 3 D12 D13 ¶ µ m1 m2 ~ m2 m3 ~ G − 3 D + D 12 23 , 3 D12 D23 µ ¶ m1 m3 ~ m2 m3 ~ G − 3 D − D 13 23 . 3 D13 D23 G

(14.8) (14.9) (14.10)

~ 2 × y (14.10) por R ~ 3 ×, sumando, teniendo ~ 1 ×, (14.9) por R Multiplicando (14.8) por R ~2 = R ~1 + D ~ 12 , R ~3 = R ~1 + D ~ 13 , R ~3 = R ~2 + D ~ 23 , R ~i × R ~ i = 0 y (R ~i × R ~ j) = en cuenta que: R ~ ~ −(Rj × Ri ), obtenemos: ~ 1 × ~v˙ 1 + m2 R ~ 2 × ~v˙ 2 + m3 R ~ 3 × ~v˙ 3 = ~0. m1 R ~˙ × R ~˙ ~˙ ~˙ + m R ~˙ ~˙ Sumando cero a esta expresi´ on en la forma: m1 R 1 1 2 2 × R2 + m3 R3 × R3 y utilizando la regla de Leibnitz: m1

d ~ d ~ d ~ (R1 × ~v1 ) + m2 (R v 2 ) + m3 ( R v3 ) = ~0. 2 ×~ 3 ×~ dt dt dt

Compactando y reordenando los términos: " 3 # d X~ Ri × mi~vi = ~0, dt i=1 que al integrar resulta en: " ~ = H

3 X

# ~ Ri × mi~vi ,

(14.11)

i=1

~ representa la conservación del momentum angular. Tenemos donde el vector constante H tres nuevas constantes escalares en el espacio. A medida que los tres cuerpos se desplazan en ~ conserva una magnitud el espacio, sus vectores posición y velocidad son tales que el vector H ~ se llama constante y una direcci´ on fija en el espacio. La l´ınea a lo largo de la cual se dirige H l´ınea invariable. Asociada a esta l´ınea esta un plano perpendicular a ella y que contiene el centro de masas que es llamado plano invariable.


285

Podemos hallar otra constante de movimiento. Multiplicando escalarmente (14.8) por ~ ~˙ y (14.10) por R ~˙ , colocando los vectores D ˙ ~ 12 = D12 ~u12 , D ~ 13 = D13 ~u13 y R1 , (14.9) por R 2 3 ~ D23 = D23 ~u23 , sumando todos los términos y reordenando tenemos: ~˙ · ~v˙ + m R ~˙ ~ ~˙ ~ m1 R 1 1 2 2 · v˙ 2 + m3 R3 · v˙ 3

= +

Gm1 m2 ~˙ − R ~˙ ) + Gm1 m3 ~u · (R ~˙ − R ~˙ ) ~u12 · (R 1 2 13 1 3 3 3 D12 D13 Gm2 m3 ~˙ − R ~˙ ). ~u23 · (R (14.12) 2 3 3 D23

~˙ = R ~˙ − R ~˙ , D ~˙ = R ~˙ − R ~˙ y D ~˙ = R ~˙ − R ~˙ se deduce que: Ahora bien, como D 12 2 1 13 3 1 23 3 2 ~˙ − R ~˙ ) = ~u · (−D ~˙ ) = ~u · (D˙ ~u + D ~u˙ ) = −D˙ , ~u12 · (R 1 2 12 12 12 12 12 12 12 12 en donde se ha hecho uso de que ~u12 · ~u12 = 1 y ~u12 · ~u˙ 12 = 0. ~˙ − R ~˙ ) = −D˙ y ~u · (R ~˙ − R ~˙ ) = −D˙ . De igual forma es posible obtener: ~u13 · (R 1 3 13 23 2 3 23 ~˙ = ~v , la ecuacion (14.12) queda: Con esto, y como R i i ¸ · m1 m2 ˙ m1 m3 ˙ m2 m3 ˙ m1~v1 · ~v˙ 1 + m2~v2 · ~v˙ 2 + m3~v3 · ~v˙ 3 = −G + + D D D 12 13 23 . 3 3 3 D12 D13 D23 Pero:

−1 dDik 1 dDik =− 2 , dt Dik dt

1 d (~vi )2 = ~vi · ~v˙ i , 2 dt

por lo que la anterior ecuacion se puede escribir como: " 3 # · ¸ d 1X m1 m3 m2 m3 d m1 m2 2 . mi vi = G + + dt 2 i=1 dt D12 D13 D23 Llamando T energ´ıa cinética y V energ´ıa potencial dados por: 1X mi vi2 , T = 2 i=1 3

·

¸ m1 m2 m1 m3 m2 m3 V = −G + + , D12 D13 D23

podemos integrar a ambos lados y obtener: T − V = E,

(14.13)

donde E es una constante llamada energ´ıa total del sistema. Puesto que no es posible obtener m´ as constantes de movimiento, no es posible llegar a una soluci´ on anal´ıtica general del problema. Un comentario generalizado al respecto puede verse en la sección 14.3. Es posible estudiar el movimiento de las masas m2 y m3 con respecto a m1 , tal y como se hizo en el problema de los dos cuerpos donde se redujo el asunto a estudiar el movimiento


286 de una de las masas con respecto a la otra.

~¨ = R ~¨ − R ~¨ , la cual, al introducir las masas de ~2 − R ~ 1 se desprende: D ~ 12 = R Como D 12 2 1 la siguiente forma: m2 ~¨ = m R ~¨ ~¨ . m1 R m2 D 12 2 2− 1 m1 Al reemplazar en ésta u ´ltima las ecuaciones (14.3) y (14.4) se obtiene: " # ~ 13 ~ 23 G(m1 + m2 ) ~ D D ~ ¨ D12 = − . D12 + Gm3 3 3 − D3 D12 D23 13 ~ 13 , ρ ~ 23 , la anterior ~ 12 , r~0 = D ~ = D Haciendo el siguiente cambio de notacion: ~r = D ecuacion queda (ver figura 14.3): ( ) ~0 r + m ) G(m ρ ~ 1 2 ~r¨ = − ~r + Gm3 − 03 . (14.14) r3 ρ3 r

m

2

ρ m3

r r’

m

Figura 14.3:

1

Movimiento relativo de dos cuerpos con respecto a un tercero

En forma an´ aloga, la ecuación vectorial que gobierna el movimiento relativo de la part´ıcula de masa m3 , sometida al campo gravitacional de las part´ıculas con masas m1 (ubicada en el origen de coordenadas) y m2 es: ½ ¾ G(m1 + m3 ) ~0 ~r ρ ~ r¨~0 = − r . (14.15) + Gm − 2 r03 ρ3 r3


287

N´ otese que, en términos de componentes espaciales, son seis ecuaciones diferenciales de segundo orden, o, para resolver completamente el problema, es necesario obtener ahora doce constantes de movimiento. El grado de complicaci´ on de estas ecuaciones es tal que a pesar de los enormes esfuerzos de muchos matemáticos notables nunca ha sido posible hallar una soluci´ on anal´ıtica completamente general. Sin embargo, a la hora de hallar el movimiento de un planeta como la Tierra alrededor del Sol perturbado digamos por Marte, el término Gm3 (siendo m3 la masa de Marte, o en general la masa de cualquier planeta) es de magnitud muy peque˜ na, lo que significa que la perturbaci´ on también lo es. Ello permite, en un buen grado de aproximaci´ on, estudiar el movimiento de la Tierra u ńicamente y suponer que el movimiento del planeta perturbador se describe mediante una elipse perfecta, lo que en términos pr´ acticos quiere decir que reolo nos ocupamos de nunciamos, por ahora, a encontrar el movimiento exacto de m3 y s´ resolver la ecuación (14.14). NOTA: es claro que en la teor´ıa lunar el término Gm3 (siendo m3 la masa del Sol) es mucho m´ as grande que en la teor´ıa del movimiento de los planetas en torno al Sol. Ello hace que las expansiones en serie sean fabulosamente enormes, haciendo el problema bastante complicado de resolver. Coloquemos un sistema de coordenadas cartesiano con origen en el centro de m1 . En2 2 2 2 tonces: r2 = x2 + y 2 + z 2 , r0 = x0 + y 0 + z 0 y ρ2 = (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 . Las ecuación diferencial (14.14) en términos de sus componentes se convierte en el sistema:

x ¨

=

y¨ = z¨ =

· 0 ¸ x0 x −x µ x + Gm − , 3 r3 ρ3 r0 3 · 0 ¸ y −y y0 µ − , − 3 y + Gm3 r ρ3 r0 3 · 0 ¸ z −z z0 µ . − − 3 z + Gm3 r ρ3 r0 3 −

(14.16)

Pero, considerando las siguientes derivadas con respecto a x (por poner un ejemplo): · ¸ ∂ρ−1 (x0 − x) x0 ∂ xx0 + yy 0 + zz 0 = = , , 3 3 ∂x ρ ∂x r0 r0 3 y derivadas similares para y y para z y puesto que ~r · r~0 = xx0 + yy 0 + zz 0 , podemos definir una funci´ on, llamada funci´ on perturbadora, as´ı: ( ) 1 ~r · r~0 − 03 . (14.17) R = Gm3 ρ r


288 La ecuación para x se puede escribir entonces: x ¨=−

∂R µ x+ , r3 ∂x

con expresiones análogas para y y z. La ecuación (14.14) puede escribirse de la forma (siendo ∇ el operador nabla 2 ): ~r¨ = − µ ~r + ∇R. (14.18) r3 N´ otese que al hacer m3 = 0 esta ecuación se reduce a la de los dos cuerpos (ecuación (12.26)).

14.2.1

El problema restringido circular de los tres cuerpos

Existe un caso interesante del problema de los tres cuerpos que consiste en suponer que uno de ellos es de masa infinitesimal (digamos m3 ) y que los otros dos (de masas m1 y m2 ) se mueven en órbita circular (dos cuerpos sin perturbaci´ on externa separados por una distancia constante d) con respecto a su centro de masa. El reto es encontrar, para todo tiempo, el movimiento de la part´ıcula de masa despreciable sometida al campo gravitacional de m1 y m2 . El problema as´ı descrito se conoce con el nombre del problema “restringido” circular de los tres cuerpos. Lagrange encontró que las ecuaciones de movimiento de la part´ıcula en cuestión, mediante una ingeniosa transformaci´ on de coordenadas, posee una integral de movimiento que relaciona la velocidad de la part´ıcula con las zonas donde le es permitido moverse.

m2 CENTRO DE MASA

m1 EJE ROTANTE

Figura 14.4:

Dos cuerpos en ´ orbita circular alrededor de su centro de masas

La transformación de coordenadas consiste en introducir las denominadas coordenadas rotantes, esto es, el sistema de referencia cuyo origen es el centro de masas, es puesto a rotar ya que se exige que uno de los ejes contenga siempre a los dos cuerpos de masas m1 y m2 2∇

³ ´ ∂ ∂ ˆ ∂ = î ∂x +ˆ j ∂y +k ∂z


289

que giran con movimiento uniforme una alrededor de la otra, ver figura 14.4. Aunque las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de la part´ıcula de masa infinitesimal no se pueden resolver de forma anal´ıtica cerrada, es posible demostrar que existen cinco puntos de velocidad cero (con respecto a los ejes en rotación) donde, en cada uno de ellos, al ubicar la part´ıcula de masa infinitesimal, ésta permanecerá fija en ese mismo punto. En otras palabras, si sabemos que una part´ıcula est´ a ubicada en alguno de estos puntos, dotada de velocidad cero con respecto a los cuerpos de masa m1 y m2 , entonces dicha part´ıcula permanecerá ubicada para siempre en dicho punto. Los puntos en cuesti´ on son llamados puntos de Lagrange (ver figura 14.5). Tres de esos, llamados colineales (L1, L2 y L3), se ubican en la misma l´ınea que une los dos cuerpos principales. Las distancias a que se encuentran de los cuerpos de masa m1 y m2 dependen enteramente de las masas de éstos. Los otros dos puntos, llamados triangulares (L4, L5), se situan a una distancia d tanto de m1 como de m2 , esto es, m1 , m2 y L4 (o L5) conforman un tri´ angulo equilatero. ∗ L4

L2 ∗

L1 ∗ m1

m2

L3 ∗

CENTRO DE MASA

L5 ∗

Figura 14.5:

Los puntos de Lagrange

Es relativamente sencillo demostrar que los punto colineales son inestables, esto es, cualquier m´ınima perturbaci´ on ejercida sobre el cuerpo de masa m3 que lo obligue a desplazarse una peque˜ na distancia de su punto de velocidad cero, abandonar´ a de forma irremediable el punto en cuesti´ on. Los puntos triangulares son otro asunto: bajo ciertas condiciones, al perturbar y por lo tanto desalojar ligeramente a m3 de L4 o L5, el cuerpo retornará a su posición original, por lo que se dice que estos puntos triangulares son estables. Y de hecho, la naturaleza muestra la solidez de estas consideraciones teóricas. En 1907 se descubri´ o un asteroide, llamado Aquiles, en la misma órbita de J´ upiter pero a unos 60 grados al frente de éste. En otras palabras: Aquiles está ubicado cerca del punto L4 de la o´rbita SolJ´ upiter. Desde entonces se han descubierto numerosos asteroides no sólo en L4 sino también en L5. Puesto que a la mayor´ıa se les han dado nombre de personajes de la Iliada, se les conoce con el nombre de asteroides troyanos. Recientemente se han encontrado asteroides


290

“troyanos marcianos”, esto es, muy cerca de los puntos L4 y L5 de de la órbita Sol-Marte. Debe quedar claro, sin embargo, que los asteroides troyanos no est´ an exactamente en los puntos L4 y L5, pues a causa de las perturbaciones gravitacionales generadas por los otros planetas y la excentricidad inherente de los planetas hacen que en realidad estos objetos esten “librando” alrededor del punto en cuesti´ on.

14.3

El problema de los n cuerpos

El problema de los n cuerpos es: dadas en cualquier tiempo las posiciones y velocidades de n cuerpos moviéndose bajo sus mutuas atracciones gravitacionales, calcular sus posiciones y velocidades para cualquier otro tiempo. Las ecuaciones de movimiento de n masas puntuales mi , i = 1, 2, . . . , n cuyo radio vector Ri está dado con respecto a un sistema inercial con origen en O, son: ¨~ mi R =G

n X mi mj j=1

3 rij

r~ij ,

j 6= i,

i = 1, 2, . . . , n,

(14.19)

~i. donde r~ij = R~j − R Como ya se dijo, si el problema de los tres cuerpos no tiene soluci´ on anal´ıtica, el de cuatro o m´ as cuerpos la tendr´ a a´ un menos. La razón de esto es como sigue. Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales es necesario encontrar tantas integrales independientes como el orden de dicho sistema. Supóngase que se tienen n cuerpos interactuando gravitacionalmente. Ello significa que tenemos, con respecto a un sistema de coordenadas inercial dado, 3n ecuaciones diferenciales de segundo orden que se reducen a 6n ecuaciones diferenciales de primer orden, esto es, tenemos un sistema cuyo orden es 6n por lo que se han de obtener, para resolver el problema, 6n constantes de movimiento. Es posible obtener, a partir de la ecuaci´ on (14.19), por un procedimiento similar al que se realiz´ o en el problema de los tres cuerpos, diez integrales, llamadas integrales clásicas eulerianas, que son: seis integrales para el centro de masas (que indican que el centro de masas de un sistema de n part´ıculas se desplaza en el espacio en una l´ınea recta); tres integrales para el momemtun angular (que quiere decir que la suma de cada uno de los momentos angulares de las n part´ıculas es una constante y que ésta define un plano llamado plano invariable de Laplace) y por u ´ltimo la integral de la energ´ıa: la suma de las energ´ıas cinéticas de las part´ıculas con la energ´ıa potencial gravitacional mutua entre ellas es una constante. Por dos transformaciones adicionales es posible obtener dos constantes más: una de ellas consiste en eliminar el tiempo, haciendo que una de las otras variables sea la variable independiente; la otra es llamada “eliminaci´ on del nodo” y fue encontrada por el matemático alemán Karl Gustav Jacobi. En total, haciendo lo que, hasta ahora, es humanamente posible, obtenemos 6n − 12 integrales independientes. En el caso de tener tres cuerpos (n = 3) nos quedan haciendo falta 18 − 12 = 6 integrales independientes, por lo que no es posible resolver anal´ıticamente el problema. Puesto que han resultado estériles los esfuerzos de los matemáticos para encontrar más integrales independientes, los investigadores terminan por abordar el asunto en el sentido contrario: intentar probar la no existencia de más integrales independientes.

14.4. PERTURBACIONES AL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS

291

Poincaré demostró, por ejemplo, la no existencia de integrales adicionales que sean uniformes a los elementos orbitales.

14.4

Perturbaciones al problema de los dos cuerpos

En muchos problemas de interés el movimiento de una part´ıcula alrededor de otra puede describirse en primera aproximaci´ on por el problema de los dos cuerpos. Ello significa que de todas las posibles interacciones que puedan influir en el movimiento de esos dos cuerpos, la fuerza dominante es la de la atracción gravitacional con un potencial de la forma as), asimetr´ıa del V = − Gmr1 m2 . Las otras interacciones (una tercera part´ıcula u otras m´ cuerpo central, etc., influyen en menor grado. Dichas interacciones se conocen como fuerzas de perturbaci´ on. Las fuerzas de perturbaci´ on pueden ser de muy diversa naturaleza. Por mucho tiempo la principal fuerza de perturbaci´ on que estudiaron los astr´ onomos fue la fuerza de atracción gravitacional originada por la presencia de una tercera masa (o m´ as). El estudio del movimiento de la Tierra alrededor del Sol, pero perturbado por la presencia de todos los demás planetas es uno de tales ejemplos. Con la aparici´ on de la teor´ıa de la relatividad general fue necesario incluir las perturbaciones originadas por curvatura del espacio-tiempo. El advenimiento de la edad espacial a finales de los a˜ nos cincuentas oblig´ o a los astrónomos a considerar otros tipos de fuerzas perturbadoras, tales como no esfericidad del cuerpo central, presi´ on de radiaci´ on, resistencia atmosférica, etc. Las fuerzas de perturbaci´ on que estudiaremos son las siguientes:

- Presencia de un tercer cuerpo, o de más cuerpos - No esfericidad del cuerpo central - Rozamiento atmosférico - Presi´ on de radiaci´ on - Eyección de masa - Curvatura del espacio - Efecto Poynting-Robertson - Efecto Yarkovsky - Resistencia por part´ıculas cargadas

Pasaremos a dar un breve comentario a cada una de ellas.


292

14.4.1

Presencia de un tercer cuerpo, o de m´ as cuerpos

La presencia de un tercer cuerpo, llamado perturbador, se estudia por medio de la ecuaci´ on (14.18). No es posible resolver esta ecuación diferencial de una forma anal´ıtica cerrada. Un intento de soluci´ on anal´ıtica, como se verá en la sección 14.5.2, es por aproximaciones, utilizando el método de constantes arbitrarias. Puesto que en el sistema solar las masas de los planetas son al menos mil veces más peque˜ nas que la del Sol, el valor de R (que est´ a siendo multipicado por la masa de un planeta perturbador) también es peque˜ no. La presencia de varios cuerpos perturbadores se aborda utilizando una generalizaci´ on de la ecuaci´ on (14.14). Es posible mostrar que la presencia de n cuerpos perturbadores que afectan al cuerpo de interés se puede describir mediante una ecuaci´ on de la forma: ( ) n X ρ~i r~0 ~r¨ = − µ ~r + Gmi − 03i , 3 3 r ρi ri i=3 donde ρ~i es el vector existente entre nuestro cuerpo de interés m2 y el cuerpo de masa mi y r~i0 es el vector entre el cuerpo de masa principal (m1 ) y el cuerpo de masa mi . Entonces, la ecuación que rige el movimiento de m2 pertuurbado por la presencia de n cuerpos se puede escribir de la forma: ~r¨ = − µ ~r + r3

n X

∇Ri .

(14.20)

i

En el caso de un satélite artificial en torno a la Tierra las masas perturbadoras son el Sol y la Luna. Ahora bien, las masas de estos cuerpos son notables, particularmente la del primero, pero ha de tenerse en cuenta que la funci´ on perturbadora, adem´ as de depender de la masa del cuerpo perturbador, depende también de la relaci´ on del cuadrado inverso de las distancias que separan a la Tierra (y al satélite) de los cuerpos perturbados. Como las distancias son muy grandes, sus cuadrados inversos son peque˜ nos, por lo que el efecto perturbador s´ olo será apreciable para satélites cuyas distancias a la Tierra sean muy grandes, de varias veces el di´ ametro del planeta.

14.4.2

No esfericidad del cuerpo central

En la secci´ on 11.3.2 hab´ıamos mencionado que la forma real de los cuerpos celestes genera una desviaci´ on con respecto a la simple ley newtoniana. La aceleración que experimenta un cuerpo de masa m2 (considerado como una part´ıcula) alrededor de un cuerpo real de masa m1 está dada por: ~r¨ = −∇V,

(14.21)

donde V es llamada funci´ on potencial. La funci´ on potencial V se asume que cumple la siguiente ecuación: ∇2 V = 0, (14.22)


293

llamada ecuación de Laplace. En coordenadas esféricas (r, φ, λ) la anterior ecuación adopta la forma: 1 ∂V 1 ∂ ∂2V 1 ∂ 2 ∂V (r ) + (cos φ ) + = 0. r2 ∂r ∂r r2 cos φ ∂φ ∂φ r2 cos2 φ ∂λ2

(14.23)

La solución de ésta u ´ ltima puede escribirse como la multiplicaci´ on de tres funciones que sólo depender´ an por separado de una variable, as´ı: V = R(r) Φ(φ) Λ(λ) . Después de un proceso, un tanto arduo, es posible demostrar que la anterior ecuaci´ on, en términos de los armónicos esféricos, puede escribirse como: Gm1 V =− r

(

¸) n ·µ ¶n ∞ X X R 1+ Pnm( sen φ) (Cnm cos mλ + Snm sen mλ) , r n=1 m=0

(14.24)

donde R, como antes, es el radio ecuatorial del cuerpo central, Cnm y Snm son constantes adimensionales propias para cada cuerpo llamadas coeficientes armónicos y Pnm( sen φ) son las funciones asociadas de Legendre de primera especie definidas por: Pnm( sen φ) = (1 − sen 2 φ)m/2

dm Pn( sen φ) , d( sen φ)m

siendo Pn( sen φ) = Pn0( sen φ) los llamados polinomios de Legendre, de los cuales damos a continuaci´ on algunos ejemplos: P0( sen φ) = 1, P1( sen φ) = sen φ, 1 P2( sen φ) = (3 sen 2 φ − 1), 2 y se pueden obtener los demás mediante la fórmula de Rodrigues: Pn( sen φ) =

1 dn ( sen 2 φ − 1)n . 2n n! d( sen φ)n

Cuando el centro de masas del cuerpo planetario se toma como el origen de cooramica de satélites escribir denadas se obtiene C10 = C11 = S11 = 0. Es usual en din´ Jn = −Cn0 , Jnm = −Cnm , Knm = −Snm . Los armónicos del tipo Jn son llamados zonales, los del tipo Jnn (n 6= 0) sectoriales y los del tipo Jnm (m 6= n 6= 0) teselares. Todos estos armónicos son constantes propias de cada cuerpo central que en la pr´ actica se hallan comparando el movimiento real del satélite con la teor´ıa. Por supuesto que la ecuaci´ on (14.24) representa una expresión matemática extraordinariamente larga y complicada. En c´ alculos de alt´ısima precisi´ on de satélites que giran alrededor de la Tierra se hace necesario encontrar bastantes valores de los Cs y Ss;


294 Coeficiente J2 J3 J4 J5 Tabla 14.1:

Valor 1.0827 × 10−3 −2.56 × 10−6 −1.58 × 10−6 −0.15 × 10−6

Coeficiente J22 K22 J31 K31

Valor −1.57 × 10−6 0.90 × 10−6 −2.10 × 10−6 −0.16 × 10−6

Algunos valores de coeficientes arm´ onicos para la Tierra

ver por ejemplo The Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac donde llegan a encontrarse valores que llegan a n = m = 36 (Seidelmann, 1992, p. 228-232). En el caso en que no se estén buscando predicciones milimétricas se puede hacer uso de un hecho afortunado que se puede ver analizando la tabla 14.1. Como se aprecia en esta tabla, el valor de la constante J2 = −C20 para la Tierra es al menos mil veces más grande que todos los restantes, por lo que una buena aproximaci´ on del potencial terrestre es incluir s´ olo el término que acompa˜ na a esta constante y descartar todos los demás. En tal caso, la ecuación (14.24) adopta la forma (al hacer n = 2 y m = 0): " # µ ¶2 R Gm1 1+ P20( sen φ) C20 , V =− r r y puesto que C20 = −J2 y P20( sen φ) = P2( sen φ) se tiene: " # µ ¶2 ¢ Gm1 J2 R ¡ 2 V =− 1+ 1 − 3 sen φ . r 2 r

(14.25)

Al reemplazar (14.25) en (14.21) obtenemos un conjunto de ecuaciones diferenciales que pese a su simplicidad, no ha sido posible resolver de forma completamente anal´ıtica3 . El problema de calcular la trayectoria de un cuerpo con un potencial de la forma (14.25) es conocido con el nombre del problema principal del satélite artificial. Su soluci´ on, usualmente por aproximaciones que conducen en algunos casos a métodos muy ingeniosos, ha ocupado la atenci´ on de varios astr´ onomos desde finales de los a˜ nos cincuenta. Se destacan al respecto las teor´ıas propuestas por Brouwer y Kozai. Las expresiones matemáticas en estas teor´ıas que permiten calcular la posici´ on de un satélite con buena exactitud contienen gran cantidad de términos algebr´ aicos lo que, para el no iniciado, hace su utilizaci´ on un poco tediosa. Si se tiene la intenci´ on de hacer predicciones con muy buena exactitud se ha de estar preparado para manejar numerosas expresiones algebráicas. Como veremos más adelante, soluciones muy aproximadas de estas ecuaciones serán consideradas en nuestros cálculos para hallar la posición del satélite. 3 Es posible, sin embargo, solucionar anal´ ıticamente el problema si el segundo cuerpo (esféricamente sim´ etrico) est´ a ubicado permanentemente en el ecuador, esto es, con φ = 0.


14.4.3

295

Perturbaci´ on por rozamiento atmosf´ erico

Los satélites artificiales de baja altura (aquellos que tienen alturas sobre la superficie terrestre comprendidas entre los 180 y 1000 kil´ ometros) experimentan una fuerza de rozamiento FD originada por las capas más altas de la atm´ osfera. El efecto neto de la resistencia atmosférica es disminuir progresivamente el semieje mayor de la órbita de tal forma que la trayectoria se asemeja a una espiral por lo que el satélite experimenta a´ un mayor rozamiento (se desplaza en zonas cada vez más densas). Eventualmente, los satélites colocados en órbitas inferiores a los 1000 kilómetros de altura terminar´ an sus d´ıas estrell´ andose contra la atmósfera.

.. .. .. ..................................................................... .. . . . . . .. ................................. ........ ............................ ........... .. . . .................. . .. . .. . . .. ............................. . ..................... . .................. . . . . . . . . . . . . .. ............... . .... ... . . . . . . . . ................................. .. ................. .. ... . . ... ... . ........................ . ... ..... . ....................... ......... ........ . . ........................ TIERRA .............. . ............. . .................. ................... ........... .. .............................. .............................. ................ . ... .......... .. .......................... . ............................. .. . .. . . ..... .... . ..................... . ......................................... .. .. .......................... . .... .. .... ................................................... . .......................... ............... ............................ . .......................... ..... .. .... . ..... . . ............................ .. ... . . . Figura 14.6:

P´ erdida de altura de un satélite por rozamiento atmosférico

A menos que sus dimensiones sean muy grandes (o que este recubierto de materiales resistentes al calor) el satélite se vaporizar´ a por completo, pues su velocidad de impacto es de casi 8 kil´ ometros por segundo. Aparte de la fuerza de rozamiento el satélite tambien experimenta una fuerza de sustentaon cion FL por estar desplazándose dentro de un fluido. La fuerzas de resistencia y sustentaci´ que experimenta un satélite (o un avi´ on) son de la forma: 1 ρSCD v 2 , 2 1 FL = ρSCL v 2 , 2

FD =

donde ρ es la densidad de la atm´ osfera, v la velocidad del satélite con respecto a la atmósfera, S el área transversal del satélite y CD y CL son respectivamente los coeficientes de resistencia y sustentación del satélite (valores que dependen de la forma de éste).

296


En la gran mayor´ıa de los satélites, el efecto de la fuerza de sustentación es muy peque˜ no comparado con el valor de la resistencia, por lo que, a menos que se deseen cálculos de alta precisi´ on, la fuerza de sustentaci´ on se considera despreciable. A diferencia de lo que se estudia en la aerodin´ amica clásica, el flujo de las part´ıculas de aire que conforman la atm´ osfera superior no es un flujo continuo a causa de las condiciones de cuasi-vac´ıo existentes all´ı lo que hace que existan grandes valores para la trayectoria libre media de dichas part´ıculas. Las teor´ıas predicen un valor cercano de CD de alrededor de 2.5. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales que tienen en cuenta estas fuerzas son también bastante complicadas. Existen trabajos cl´ asicos para resolver en principio el problema, pero la dificultad intr´ınseca de modelar la densidad de la atm´ osfera (en principio funci´ on de la altura) ya depende de imponderables tales como cambios en la actividad solar que hacen muy dif´ıcil predecir con exactitud el instante de ca´ıda de un satélite no controlado reentrando a la atm´ osfera.

14.4.4

Perturbaci´ on por presi´ on de radiaci´ on

La radiación solar (y en menor grado, la radiación del Sol reflejada por la Tierra) afecta también el movimiento de un satélite, pues origina una aceleraci´ on que es particularmente notoria en satélites que poseen una raz´ on A/m (´ area sobre masa) grande, esto es, para satélites cuya a´rea transversal sea notoria comparada con su masa. Esta perturbación tiene el agravante de que no es continua para satélites de baja altura pues la fuerza perturbadora disminuye o se anula cuando el satélite es eclipsado por la Tierra. La magnitud de esta perturbaci´ on es también varios órdenes de magnitud m´ as peque˜ na que la perturbaci´ on por no esfericidad de la Tierra.

14.4.5

Perturbaci´ on por eyecci´ on de masa

En la naturaleza se observa un fe´ nomeno caracter´ıstico de pérdida de masa: los cometas cerca de su perihelio pierden grandes cantidades de material a causa de la incidencia de la radiaci´ on solar sobre la superficie de estos peque˜ nos cuerpos (ver figura 14.7). En algunos casos se han de adoptar modelos que tengan en cuenta este sutil flujo de material el cual es dif´ıcil de modelar dada la manera expont´ anea y completamente aleatoria con que aparecen los “chorros” de material expulsado. Se ha estudiado intensivamente la perturbaci´ on por eyección de masa con el advenimiento de los satélites artificiales. En el caso más general dicha perturbaci´ on es producida a voluntad por los operadores en tierra de un satélite autopropulsado (esto es, con propelente en su interior) con variados prop´ ositos. En el caso de los satélites geoestacionarios, donde es conveniente asegurar continuamente que el satélite esté en un sitio fijo sobre la superficie terrestre (las perturbaciones por asimetr´ıa de la Tierra, la Luna y el Sol afectan la trayectoria del satélite cuyo efecto es desplazarlo progresivamente del sitio hacia donde apuntan las antenas de enlace), es preciso de cuando en cuando, activar los peque˜ nos motores cohete del satélite para corregir de nuevo la posici´ on. Si se trata de estaciones espaciales (como la MIR) o de satélites esp´ıas (que se desplazan a muy bajas o´rbitas con el fin de obtener mejor resoluci´ on de las fotograf´ıas) es imperioso, para evitar que en cuestión de d´ıas se quemen en las capas más densas de la atmósfera, estar periódicamente prendiendo los motores cohete con el fin de recuperar la altura perdida y asegurar as´ı su supervivencia por alg´ un tiempo


Figura 14.7:

297

Bruscas eyecciones de masa emanan del n´ ucleo del cometa Halley fotografiadas por la sonda

espacial Giotto

m´ as. En el caso de algunos satélites secretos, cuando la situaci´ on lo amerita, se activan los motores con el expreso fin de alterar la trayectoria y despistar as´ı a enemigos potenciales que puedan rastrear y predecir la ubicaci´ on del satélite en el futuro.

14.4.6

Perturbaci´ on por curvatura del espacio-tiempo

Al inicio del cap´ıtulo 11 se comentó que hoy en d´ıa la teor´ıa de gravitaci´ on que utilizan los especialistas es la teor´ıa de la relatividad general de Einstein. Por razones de simplicidad, en muchos libros se introduce la relatividad general en mecánica celeste no como la teor´ıa que sirve como el fundamento de ésta, sino más bien como una perturbaci´ on peque˜ na que hay que introducir a la teor´ıa cl´ asica newtoniana. Encontrar las ecuaciones diferenciales de movimiento de part´ıculas autogravitantes a partir de las ecuaciones de campo de Einstein no es una labor sencilla. De hecho, esto requiere introducir una serie de aproximaciones, algunas sustentadas en argumentos de dudosa validez. Todas estas dificultades pueden de alg´ un modo ser sobrellevadas si se recurre a procedimientos de aproximaci´ on convenientes. La técnica usual consiste en restringir el movimiento de las part´ıculas bajo las siguientes consideraciones: - El campo gravitacional por estudiar debe ser “débil”, i.e., V /c2 . 10−6 , siendo V el potencial newtoniano y c la velocidad de la luz. - El movimiento de la part´ıculas que generan el campo es “lento”, i.e., ( vc )2 . 10−7 , v es la velocidad con respecto al centro de masas del sistema solar.


298

- Las part´ıculas que generan el campo se ven sometidas a “peque˜ nas” tensiones y energ´ıas internas. Estas aproximaciones, conocidas en su conjunto como el l´ımite post-newtoniano, son lo suficientemente exactas como para contemplar en el sistema solar todas las pruebas de validez que se puedan dise˜ nar en un futuro previsible. Con ello, el an´ alisis de los experimentos llevados a cabo en el sistema solar usando una teor´ıa métrica de la gravedad (como lo es la relatividad general) puede ser bastante simplificado, sin pérdida razonable de exactitud, por una expansi´ on simult´ anea en los peque˜ nos par´ ametros, digamos V y ( vc )2 . Tal expansi´ on del campo débil y movimiento lento da lugar a los siguientes términos de una serie: 1) un espacio-tiempo vac´ıo al “orden cero”; 2) el tratamiento newtoniano del sistema solar al “primer orden”; 3) correcciones post-newtonianas del tratamiento newtoniano al “segundo orden” y as´ı sucesivamente. El formalismo de la teor´ıa newtoniana m´ as las correcciones post-newtonianas es llamado la “aproximaci´ on post-newtoniana”. La aproximaci´ on post-newtoniana cubre el sistema por analizar con coordenadas (t, xj ) ≡ as globalmente lorentzianas que sea posible: (t, xj ) que son lo m´ gµν = ηµν + hµν ,

(14.26)

donde gµν es el denominado tensor métrico, ηµν la métrica de Minkowski y hµν es la métrica que expresa la desviaci´ on del espacio vac´ıo con las propiedades: lim hµν = 0,

r→∞

lim hµν = 0.

c→∞

(14.27)

La expresión hace ver que la aproximaci´ on post-newtoniana no es otra cosa que una teor´ıa linealizada de la gravedad. Las coordenadas constituyen una separaci´ on natural del espacio-tiempo en espacio más tiempo. Esta separación se trata de manera conveniente usando la notaci´ on del an´ alisis vectorial tridimensional del espacio plano —aun cuando el espacio-tiempo es curvo—. No hace falta ser muy perspicaz para darse cuenta que al final el formalismo de la aproximaci´ on post-newtoniana se parece más a la teor´ıa newtoniana que a la teor´ıa de la relatividad general. Con todo, y después de una labor monumental de álgebra, es posible llegar a la ecuación vectorial relativa del problema de los dos cuerpos post-newtoniano: ~r¨ = − µ ~r r3 ½· ¸ ¾ 3σ µ µ(4 + 2σ) ˙ 2 ~r + (4 − 2σ)(~r.~r) − (~r) ˙ 2 (3σ + 1) + 2 (~r.~r) ˙ ~r˙ , (14.28) + 2 3 c r r 2r con σ = m1 m2 /(m1 + m2 )2 . De la misma manera la aproximaci´ on post-newtoniana permite obtener las ecuaciones del problema de los n cuerpos conocidas con el nombre de ecuaciones EIH, en honor de los


299

cient´ıficos que ayudaron a su obtenci´ on: Einstein, Infeld y Hoffman. Estas ecuaciones EIH son las que se integraron numéricamente para obtener las efemérides del sistema solar por medio de la integraci´ on numérica DE200/LE200. En la vasta bibliograf´ıa que existe con relaci´ on a las “correcciones que ejerce la relatividad general a la mecánica newtoniana” y espec´ıficamente, en el caso del problema de “un cuerpo”, esto es, una part´ıcula de masa infinitesimal (que no genera curvatura espacio temporal) alrededor de una masa de dimensiones apreciables, es casi exclusivamente expuesto el célebre corrimiento de la l´ınea de las a´psides, o, lo que es lo mismo, el incremento secular del argumento de latitud del pericentro (ver figura 14.8). Este extra˜ no corrimiento hab´ıa sido detectado a mediados del siglo XIX en el planeta Mercurio (descontando las perturbaciones planetarias que contribuyen en algo a este movimiento), pero quedaba un ligero residuo sin explicaci´ on satisfactoria aun cuando se propusieron toda clase de hip´ otesis imaginables, como la existencia de un planeta a´ un no descubierto m´ as cercano al Sol que Mercurio (ver Hagihara, 1971, p. 234). El residuo fue explicado por Einstein en 1915, utilizando la teor´ıa de la relatividad general. De acuerdo con esta teor´ıa, por cada revolución, el corrimiento de la l´ınea de las ápsides tiene por magnitud: ∆ω =

24π 3 a2 , − e2 )

T 2 c2 (1

(14.29)

donde a es el semieje mayor, T el per´ıodo orbital, e la excentricidad y c la velocidad de la luz.

Figura 14.8:

Corrimiento de la l´ınea de las ´ apsides

Ejemplo 1 Calcular la magnitud del corrimiento de la l´ınea de las ápsides en el caso del planeta Mercurio. Calcular el efecto acumulado en un siglo. Soluci´ on En el caso de Mercurio: a = 0.38 u.a.= 56 850 000 km, e = 0.2, T = 88 d´ıas = 7 603 200 segundos. Entonces:


300

∆ω =

24 × 3.14163 × 56 850 0002 = 4.82 × 10−7 , 7 603 2002 × 300 0002 × (1 − 0.22 )

por lo tanto, por cada revolución hay un desplazamiento de 4.82 × 10−7 radianes, o, al multiplicar por 180/π: 2.76 × 10−5 grados, que equivalen a 0.10200 . Mercurio realiza una revoluci´ on en torno al Sol cada 88 d´ıas, esto es, en un a˜ no terrestre alcanza a realizar 4.15 revoluciones, por lo que en un siglo completa 415. Entonces en un siglo la l´ınea de las ápsides alcanza a desplazarse unos 0.10200 × 415 = 42.300 . Menos conocida es la presencia de dos perturbaciones adicionales en el semieje mayor a y la excentricidad e, estrictamente peri´ odicas (con per´ıodo T ). En el caso de Mercurio se calcula una perturbaci´ on al semieje mayor con una una amplitud que alcanza 9.4 km. Para la Tierra es del orden de 690 metros. La amplitud en la excentricidad es igualmente peque˜ na. En el caso de Mercurio alcanza 1.8 × 10−7 (ver Richardson & Kelly, 1988). Los efectos por curvatura espacial son, en el sistema solar, muy peque˜ nos aunque detectables y medibles. Ello se debe a la relativamente poca masa del Sol (y a´ un m´ as de los objetos que giran en torno a él) y a las distancias bastante grandes entre estos mismos objetos. Pero las modernas técnicas astronómicas han permitido detectar los efectos amplificados por curvatura del espacio de cuerpos celestes que generan fuertes campos gravitacionales, tales como los que hay en torno a las estrellas de neutrones. El más famoso de tales objetos, que ha sido estudiado por m´ as de 25 a˜ nos, es el pulsar binario PSR 1913+16 (ver Taylor & Weisberg, 1989). Captando las se˜ nales que genera el pulsar (estrella neutr´ onica) con un radiotelescopio adecuado se obtiene un patr´ on anómalo cuya u ńica explicaci´ on es suponer que éste pulsar gira en torno de otro objeto compacto, probablemente otra estrella neutr´ onica, integrando entonces un pulsar binario. Ambos objetos poseen masas de 2.8M¯ y 1.4M¯ y están separados por tan sólo 700 000 km lo que hace que completen un per´ıodo orbital alrededor de su centro de masas en casi ocho horas. Las caracter´ısticas particulares de este objeto han constituido un sorprendente respaldo a la teor´ıa de la relatividad general, pues el movimiento del pulsar que se ha registrado desde su descubrimiento es imposible de reconciliar con sólo aplicar la simple teor´ıa newtoniana. Se ha medido un corrimiento de la l´ınea de las ápsides (no predicho por la mec´ anica cl´ asica) tan notable que llega a alcanzar no. Incluso, se ha logrado medir el decaimiento del semieje mayor por emisión los 4.2o por a˜ de radiaci´ on gravitacional, un fen´ omeno predicho por la teor´ıa de la relatividad general, indetectable en el sistema solar con los actuales métodos de medici´ on pero relativamente fácil de medir en objetos compactos.

14.4.7

El efecto Poynting-Robertson

Este efecto se debe a la reemisión de ondas electromagnéticas sobre la superficie de un cuerpo opaco, como por ejemplo un satélite artificial. Parte de la luz que incide sobre la superficie del satélite es absorbida pero luego es reemitida isotr´ opicamente en su propio marco de referencia. Puesto que el satélite est´ a en movimiento con respecto a un observador (ubicado en otro marco de referencia), entonces éste observa un corrimiento Doppler en la luz reemitida. La luz que se emite en la direcci´ on del movimiento se corre hacia el azul,


301

mientras que la luz emitida en la direcci´ on opuesta se corre hacia el rojo. Pero, puesto que m´ as energ´ıa y momentum está siendo extraidos del satélite por la luz que est´ a siendo desplazada hacia el azul que hacia el rojo, el satélite siente una fuerza de reacci´ on opuesta a la direcci´ on de su movimiento. Es esta fuerza la que produce una especie de fuerza de resistencia. Esta fuerza para los satélites artificiales terrestres es muy peque˜ na, pero puede ser significativa para cuerpos muy cercanos a la fuente de radiación y con áreas bastante grandes.

14.4.8

El efecto Yarkovsky

La radiación que proviene de un cuerpo radiante (una estrella) calienta la superficie de un cuerpo opaco en rotación. Las ´ areas sobre la superficie del cuerpo opaco son continuamente llevadas desde el lado sombreado a la luz que llega de la estrella y por lo tanto dichas a´reas se calientan. Pero, a causa de la inercia térmica, existe un retardo en el calentamiento; as´ı que la parte m´ as caliente es el lado de la “tarde” y no el sitio donde es mediod´ıa. Esto ocurre en la Tierra, donde la tarde es la parte m´ as caliente del d´ıa en lugar de ser el mediod´ıa. Este calentamiento asimétrico hace que los fotones que se reflejan de la parte m´ as caliente del cuerpo lleven m´ as momentum que de aquellas zonas fr´ıas. Esta diferencia de momentum produce una fuerza cuya direcci´ on forma un ángulo con la direcci´ on estrella-objeto. Esta fuerza extra perturba la trayectoria. El efecto Yarkovsky es de peque˜ na intensidad, pero puede llegar a ser de alguna importancia para objetos ubicados cerca del cuerpo radiante, esto es, donde las temperaturas son notorias. Recientemente se ha estudiado la importancia del efecto Yarkovsky en la evoluci´ on de trayectorias de asteroides del cintur´ on principal entre Marte y J´ upiter para explicar la presencia de asteroides cercanos a la Tierra, ver por ejemplo Farinella & Vokrouhlick´ y (1999).

14.4.9

Resistencia por part´ıculas cargadas

Un satélite, al desplazarse a través de las capas altas de la atmósfera, choca con part´ıculas cargadas que hacen que de la superficie del satélite salgan eyectados electrones y esto, con el tiempo, hará que el mismo satélite adquiera carga. Por lo tanto, el satélite interactua electromagnéticamente con las part´ıculas cargadas en su vecindad y por lo tanto pierde momentum, de ah´ı el origen de una fuerza de resistencia. Como antes, esta fuerza es de magnitud peque˜ na pero al parecer es la responsable del decaimiento en semieje mayor de algunos satélites geodésicos. NOTA: Recientemente (Anderson et al., 1998) se ha reportado una anomal´ıa en las aceleraciones medidas de algunas naves exploradoras de los planetas exteriores (Pionero 10 y 11, Galileo y Ulises) con las cuales todav´ıa se mantiene contacto. Teniendo en cuenta diversos tipos de perturbaciones no se logra explicar una aceleraci´ on anómala con una magnitud de un no tiene explicaci´ on. 8.5 × 10−8 cm/s2 dirigida hacia el Sol. Es un problema abierto que a´ ¿Manifestaci´ on de una nueva f´ısica? Es posible.


302

14.5

Resolviendo las ecuaciones

Existen dos “filosof´ıas”, o mejor dos acercamientos al problema de resolver las ecuaciones diferenciales. Ellas son: la integración numérica y los métodos “anal´ıticos” que descansan en la teor´ıa de perturbaciones.

14.5.1

La integraci´ on num´ erica

En la era de las computadoras superveloces y software sofisticado al alcance de cualquiera, el enfrentarse con ecuaciones diferenciales complicadas no encierra ya ning´ un problema: simplemente se integran a lo burdo, o mejor, ulilizando el término técnico: se integran numéricamente. Se utilizan técnicas numéricas y aproximativas que consisten en realizar millones de sumas y multiplicaciones sencillas y encadenadas cuyo resultado final puede ser una secuencia de componentes de vectores posición o velocidad para el tiempo requerido. Es una “soluci´ on” que satisface a aquellos que tengan esp´ıritu pr´ actico y deseen resultados “inmediatos” y precisos. Algunas ecuaciones diferenciales o sistemas de ecuaciones son tan complicadas que usar la integraci´ on numérica es la u ńica salida. La gran ventaja de la integración numérica es que no importa qué tan complicadas sean las ecuaciones diferenciales, siempre es posible, teniendo cuidado con los detalles propios de esta clase de c´ alculos, en principio, obtener la soluci´ on para una secuencia de tiempos dados. Ello en la pr´ actica significa que se puede incluir, tanto como se desee, cualquier fuerza perturbativa, siempre y cuando sea representada como una funci´ on de las variables utilizadas (generalmente las componentes de los vectores posición y velocidad). La integración numérica tiene, sin embargo, varias desventajas: con su uso se renuncia a conocer los rasgos, aun los más generales, del movimiento de dicho sistema; caracter´ısticas propias que permitan generalizar el comportamiento din´ amico del sistema son dif´ıciles de determinar viendo s´ olo secuencias de n´ umeros. Su puesta a punto tampoco deja de generar dificultades: no es raro que aparezcan problemas de convergencia y de elecci´ on del paso de integraci´ on. El problema del manejo de cifras significativas y el crecimiento de error por redondeo de las mismas son un dolor de cabeza. En ecuaciones diferenciales altamente no lineales (como en las de la mecánica celeste) y bajo determinadas situaciones, aparecen fenómenos caóticos cuya consecuencia inmediata es la pérdida de informaci´ on din´ amica confiable a causa de la dependencia del resultado final de infinitesimales cambios en las condiciones iniciales, etc. Pese a esto, los astrónomos han optado por utilizar poderosas computadoras para resolver numéricamente las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento de los planetas en el sistema solar. Actualmente, y como hab´ıamos comentado en la sección 7.10.3, las efemérides de los planetas, la Luna y el Sol son el resultado de una integraci´ on numérica conocida como DE200/LE200 realizada por el Laboratorio de Propulsión a Chorro de la NASA.

14.5. RESOLVIENDO LAS ECUACIONES

303

Por otro lado, los estudios de estabilidad del sistema solar, migración planetaria, origen de meteoritos, etc., suelen descansar en heroicas sesiones de integraciones numéricas que suelen durar d´ıas y hasta meses en algunos casos, a pesar de contar con computadoras muy veloces. En los libros cl´ asicos de mecánica celeste se acostumbra designar a los métodos de integración numérica como “perturbaciones especiales”. Son conocidos los métodos de integración de Cowell y de Encke y fueron usados, aunque no extensivamente, por algunos investigadores, aun antes de la aparici´ on de las computadoras. Un código especialmente dise˜ nado para abordar problemas de mecánica celeste se encuentra en Everhart (1985). Otro c´ odigo eficiente basado en el método de B¨ urlish-Stoer puede encontrarse en Press, et al., (1995), p. 718.

14.5.2

Teor´ıa de perturbaciones

En la época anterior a los grandes avances computacionales al astrónomo no le quedaba m´ as remedio que intentar resolver las ecuaciones diferenciales de movimiento como mejor se pudiese. A´ un hoy existen muchos investigadores que, valiéndose de las mismas computadoras, utilizan métodos aproximativos con el fin de resolverlas de forma “analitica”. Ello encierra varios atractivos: por un lado se busca hallar, si es posible, rasgos generales del movimiento de dicho sistema, tipos o familias de trayectorias que puedan ser descritas a través de alguna propiedad. La necesidad de encontrar estos rasgos es, fundamentalmente, de orden académico: el investigador busca ir de lo particular a lo general. Encontrar propiedades inherentes de cierto tipo de ecuaciones diferenciales puede dar luz sobre t´ opicos tan complejos como estabilidad de sistemas gravitacionales. Otra gran ventaja de tener a la mano una soluci´ on anal´ıtica es que la obtenci´ on del vector posición, para un tiempo t cualquiera, est´ a rápidamente al alcance de la mano. Con computadoras la soluci´ on es inmediata bien sea para t al cabo de un d´ıa, o para centenares de a˜ nos en el futuro; el c´ alculo demora igual. Problemas de redondeo, elección de paso de integraci´ on no aparecen ni de pasada. Ahora la gran desventaja: los intentos de solución anal´ıticos de las ecuaciones diferenciales por métodos perturbativos conllevan el uso de expansiones en series de potencias. Ello obliga al astr´ onomo a utilizar técnicas algebráicas y trigonométricas para ir obteniendo las soluciones que usualmente son enormes polinomios. Al final, el astrónomo está conminado a trabajar con secuencias de centenares e incluso miles de términos numéricos con el fin de hacer un uso apropiado de ellos para el c´ alculo del movimiento de los planetas, la Luna y el Sol. No es de extra˜ nar que este proceso, antes de la aparici´ on de las computadoras electr´ onicas, tomara a˜ nos enteros en realizarse. Como caso clásico considérese el trabajo del astr´ onomo francés Charles-Eugene Delaunay, quien a mediados del siglo XIX intentó resolver el problema del movimiento de la Luna mediante una técnica aproximativa —muy ingeniosa, por cierto—. Trabajando sólo, Delaunay tard´ o aproximadamente 20 a˜ nos en resolver y verificar los gigantescos términos que son necesarios para obtener la posición de la

304


Luna con una exactitud razonable. Lo sorprendente de este logro es aun m´ as memorable cuando se pudo, m´ as de cien a˜ nos después de la muerte de Delaunay, utilizando programas computacionales llamados “manipuladores de términos algebr´ aicos”, repetir su trabajo en 1970 y comprobar que Delaunay s´ olo cometió tres ligeros errores en términos con contribuciones pr´ acticamente despreciables. La computadora tardó sólo 20 horas en reproducir el trabajo entero. Teor´ıas anal´ıticas del movimiento de los planetas y de la Luna han sido desarrolladas recientemente por astrónomos franceses. Sobresalen, para el movimiento de los planetas, la teor´ıa VSOP 82 (ver Bretagnon, 1982). Para el movimiento de la Luna están las teor´ıas de la serie ELP2000 desarrolladas por Chapront-Touzé y Chapront, sobre las cuales se han desarrollado tablas y programas de f´ acil adquisici´ on (ver Chapront-Touzé & Chapront, 1991). La teor´ıa de perturbaciones es una técnica muy ingeniosa que descansa en la soluci´ on del problema de los dos cuerpos. La idea básica es describir el movimiento de un cuerpo (que se mueve en una trayectoria que no es una elipse) mediante una ecuaci´ on del tipo (14.1) y obligarlo a cada momento, en cada punto de su trayectoria, a que describa una elipse, ver figura 14.10. Por supuesto, ello resultar´ a en que cada punto de la trayectoria la elipse estar´ a cambiando. Si de alguna manera se logra describir c´ omo están cambiando en el tiempo los par´ ametros que definen la geometr´ıa y la orientaci´ on de la o´rbita en el espacio (los elementos orbitales) estonces el problema se resuelve hallando, para cada tiempo, los valores de dichos par´ ametros. Habiendo hallado la dependencia temporal de cada elemento, se aplican los resultados del problema de los dos cuerpos para hallar el vector posición. El matemático suizo Leonhard Euler, desarroll´ o, junto con el matemático francés JosephLouis Lagrange, el método de variaci´ on de par´ ametros, el cual consiste en expresar una perturbaci´ on al problema de los dos cuerpos como un sistema en donde hay que resolver seis ecuaciones diferenciales de primer orden, esto es, en lugar de encontrar cómo resolver tres ecuaciones diferenciales de segundo orden que nos permitir´ıan encontrar en el tiempo los vectores posición y velocidad de acuerdo con (14.1), más bien encontrar la variación temporal de los elementos orbitales, esto es, resolver un sistema de seis ecuaciones diferenciales de primer orden. Conocidos en un instante dado los valores de los elementos orbitales se procede a utilizar la soluci´ on de los dos cuerpos para determinar la posición del cuerpo de nuestro interés. on ~r y velocidad ~r˙ de una La elipse kepleriana {a, e, i, Ω, ω, t0 } que corresponde a la posici´ part´ıcula en un tiempo dado se conoce con el nombre de o´rbita instant´ anea u osculatriz. Si a cambiando continuamente. Pero, si la la funci´ on ~ap no es nula, la elipse kepleriana estar´ magnitud de la aceleraci´ on perturbativa es peque˜ na, como es el caso de muchos sistemas de interés en astronom´ıa, es de esperarse que los elementos orbitales de la elipse cambien muy poco, por lo que la elipse constituye un “sistema de coordenadas” conveniente para representar la posición y la velocidad de la part´ıcula. El asunto es convertir las ecuaciones de movimiento de coordenadas rect´ angulares a “coordenadas” el´ıpticas keplerianas, esto es, los elementos. El conjunto de seis ecuaciones diferenciales que dan cuenta de la variaci´ on de los elementos orbitales en el tiempo puede encontrarse de la siguiente forma.


Figura 14.9:

305

Leonhard Euler (1707-1783) y Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

El vector posición ~r es funci´ on del tiempo t y de cada uno de los elementos orbitales (a, e, i, Ω, ω Mr ). Entonces la derivada total con respecto al tiempo del vector posición es: d~r ∂~r dt ∂~r da ∂~r de ∂~r di ∂~r dΩ ∂~r dω ∂~r dMr = + + + + + + . dt ∂t dt ∂a dt ∂e dt ∂i dt ∂Ω dt ∂ω dt ∂Mr dt Por comodidad, representaremos en su conjunto a los elementos orbitales como ck donde k = 1, · · · , 6. Entonces la anterior ecuación se convierte en: ∂~r X ∂~r dck d~r = + . dt ∂t ∂ck dt 6

k=1

En cada punto de la trayectoria se exige que exista una elipse instant´ anea (la elipse osculadora) por lo que: d~r ∂~r = , (14.30) dt ∂t entonces en la anterior ecuación se ha de cumplir: 6 X ∂~r dck = 0, ∂ck dt

k=1

que llamaremos la primera condici´ on de osculación.

(14.31)


306

P

Figura 14.10:

ELIPSE INSTANTANEA

Elipse instant´ anea (osculadora) en un punto P

Al tomar una nueva derivada total con respecto al tiempo de (14.30) se obtiene (el vector velocidad es de nuevo funci´ on del tiempo y de los elementos orbitales): d dt

µ

d~r dt

¶

r X ∂( d~r ) dck ∂( ∂~ ∂t ) dt dt + , ∂t dt ∂ck dt 6

=

k=1

o, lo que es lo mismo: 6 d2~r ∂ 2~r X ∂~r˙ dck . = + dt2 ∂t2 ∂ck dt k=1

Pero la perturbaci´ on al problema de los dos cuerpos puede estar dada por la ecuación (14.18) por lo que: −

6 µ ∂ 2~r X ∂~r˙ dck , ~ r + ∇R = + r3 ∂t2 ∂ck dt k=1

donde µ = G(m1 + m2 ). En la ´ orbita osculadora en cada punto de la trayectoria se ha de cumplir: ∂ 2~r µ + 3 ~r = 0, ∂t2 r esto es, la ecuación del problema de los dos cuerpos (ver ecuación (12.26)). Entonces tenemos nuestra segunda condici´ on de osculación: 6 X ∂~r˙ dck = ∇R. ∂ck dt

(14.32)

k=1

Las ecuaciones (14.31) y (14.32) contienen lo que estamos buscando, esto es, las primeras derivadas de los elementos en funci´ on del tiempo. Pero conviene relacionar ambas y condensarlas en una s´ ola ecuación. Para ello multiplicamos primero la ecuaci´ on (14.31) por


307

~

∂ r˙ ∂~ r (donde cj = 1, · · · , 6) y la ecuación (14.32) por · ∂c y restar una de la otra. Con ello · ∂c j j tenemos: " # 6 X ∂~r ∂~r ∂~r˙ dck ∂~r ∂~r˙ = ∇R · · − · , cj = 1, · · · , 6. ∂cj ∂ck ∂ck ∂cj dt ∂cj k=1

Pero, puesto que ∇R ·

∂R ∂x ∂R ∂y ∂R ∂z ∂R ∂~r = + + = , ∂cj ∂x ∂cj ∂y ∂cj ∂z ∂cj ∂cj

entonces: 6 X k=1

"

∂~r ∂~r˙ ∂~r ∂~r˙ · − · ∂cj ∂ck ∂ck ∂cj

#

∂R dck = , dt ∂cj

cj = 1, · · · , 6,

o de una forma m´ as compacta: 6 X

[cj , ck ]

k=1

∂R dck = , dt ∂cj

cj = 1, · · · , 6,

donde el s´ımbolo [cj , ck ] representa los paréntesis de Lagrange definidos por: # " ∂~r ∂~r˙ ∂~r ∂~r˙ . · − · [cj , ck ] = ∂cj ∂ck ∂ck ∂cj

(14.33)

(14.34)

Expl´ıcitamente los paréntesis de Lagrange tienen como expresión: "

∂~r ∂~r˙ ∂~r ∂~r˙ · − · ∂cj ∂ck ∂ck ∂cj

# =

∂x ∂ x˙ ∂y ∂ y˙ ∂y ∂ y˙ ∂z ∂ z˙ ∂z ∂ z˙ ∂x ∂ x˙ − + − + − . ∂cj ∂ck ∂ck ∂cj ∂cj ∂ck ∂ck ∂cj ∂cj ∂ck ∂ck ∂cj

Se puede demostrar que los paréntesis de Lagrange son independientes expl´ıcitamente del tiempo por lo que las derivadas anteriores se pueden realizar en cualquier punto de la trayectoria. Por lo general su evaluación se hace en el pericentro. Las ecuaciones de movimiento son, de acuerdo con (14.33): [c1 , c1 ]

∂R dc1 dc2 dc6 + [c1 , c2 ] + · · · + [c1 , c6 ] = , dt dt dt ∂c1

[c2 , c1 ]

∂R dc1 dc2 dc6 + [c2 , c2 ] + · · · + [c2 , c6 ] = , dt dt dt ∂c2 .. .

[c6 , c1 ]

∂R dc1 dc2 dc6 + [c6 , c2 ] + · · · + [c6 , c6 ] = . dt dt dt ∂c6

(14.35)


308

N´ otese que se necesita calcular 36 paréntesis, pero, por su definición y simetr´ıa algunos son o bien nulos ([ci , ci ] = 0) o trivialmente calculables ([ci , ck ] = −[ck , ci ]). La descripción del desarrollo de cómo evaluar los paréntesis de Lagrange está m´ as all´ a del prop´ osito de este libro. Los detalles pueden encontrarse en los libros de Brouwer & Clemence (1961), Taff (1985) y Smart (1960). Se encuentra que sólo doce de ellos son distintos de cero: p [Ω, i] = −[i, Ω] = −na2 1 − e2 sen i, √ 1 − e2 cos ina , [Ω, a] = − [a, Ω] = 2 na2 e cos i [Ω, e] = −[e, Ω] = − √ , 1 − e2 √ 1 − e2 na , [ω, a] = −[a, ω] = 2 na2 e [ω, e] = −[e, ω] = − √ , 1 − e2 na [a, Mr ] = −[Mr , a] = − . 2

(14.36)

Estos paréntesis son reemplazados en las ecuaciones (14.35) por lo que se tienen seis ecuaciones con seis incognitas donde estas u ´ ltimas son las derivades temporales de cada elemento. Realizando el despeje correspondiente obtenemos las llamadas ecuaciones de Lagrange de la mec´ anica celeste, que son: da dt de dt di dt dΩ dt

= = = =

dω = dt dMr = dt

2 ∂R , na ∂Mr √ 1 − e2 ∂R 1 − e2 ∂R , − 2 na e ∂Mr na2 e ∂ω cot i csc i ∂R ∂R √ √ − , na2 1 − e2 ∂ω na2 1 − e2 ∂Ω csc i ∂R √ , na2 1 − e2 ∂i √ cot i ∂R 1 − e2 ∂R √ − + , na2 e ∂e na2 1 − e2 ∂i 1 − e2 ∂R 2 ∂R − − . na2 e ∂e na ∂a

(14.37)

El lado derecho de las anteriores ecuaciones que contiene derivadas parciales de la funci´ on R con respecto a los elementos, es hallado expandiendo dicha funci´ on en series de potencias no solamente de las masas de los planetas perturbadores (en el caso de estar trabajando la teor´ıa planetaria) sino también en potencias de las excentricidades y de las inclinaciones, lo


309

que es adecuado en el sistema solar si se tiene en cuenta las peque˜ nas masas de los planetas comparadas con el Sol y los exiguos valores de excentricidad e inclinación de los mismos. En general, siempre es posible escribir a R como una suma (en principio infinita) de términos trigonométricos que contienen a los elementos orbitales angulares (Ω, ω, Mr ) como argumentos. Designemos a cualquiera de los elementos orbitales con c. Al haber expandido en términos de los elementos orbitales la funci´ on R podemos representar cada una de las ecuaciones (14.37) de la forma: X dc =ν ak1 k2 cos(k1 L1 + k2 L2 + g), dt

(14.38)

k1 k2

donde L1 = n1 t + ²1 ,

L2 = n2 t + ²2 ,

son las longitudes medias. La constante ν es del orden de la masa perturbadora, k1 y k2 son enteros positivos o negativos (incluyendo el cero) y la sumatoria se extiende sobre todas las combinaciones de k1 y k2 , desde −∞ a +∞. Las cantidades ak1 k2 , g, n1 , n2 , ²1 , ²2 son funciones de los elementos y n1 , n2 son los movimientos medios. Obviamente, los elementos cuya variaci´ on buscamos están contenidos en el miembro del lado derecho de (14.38). Pero, puesto que la variaci´ on es peque˜ na (debido al coeficiente ν) consideramos los elementos en la lado derecho como constantes y procedemos a integrar las ecuaciones con respecto a t, las cuales dan, genéricamente: X a k1 k2 sen (k1 L1 + k2 L2 + g) + constante. (14.39) c= k 1 n1 + k 2 n 2 k1 k2

Este procedimiento, llevado hasta ac´ a, se conoce con el nombre de perturbación al primer orden. Obsérvese que el método de integración falla cuando alguno de los términos cumple otese que esto sólo k1 n1 + k2 n2 = 0. En tal caso se dice que el término es cr´ıtico. Pero n´ ultiplos enteros. aparece cuando la divisi´ on nn12 es igual o muy cercana a la relación de dos m´ Aquellos términos para los cuales k1 = k2 = 0 son llamados seculares. Como puede verificarse f´ acilmente, estos términos aparecen teniendo t como coeficiente. Ahora bien, la na como queramos (recuérdese que los k1 y k2 son suma k1 n1 + k2 n2 puede hacerse tan peque˜ n´ umeros positivos o negativos) si hacemos k1 y k2 lo suficientemente grandes. Esto conlleva a que algunos términos de (14.39) que tienen a k1 n1 + k2 n2 en el denominador se harán grandes. El per´ıodo de de este término trigonométrico es entonces: 2π . k 1 n 1 + k 2 n2 Estos términos se llaman entonces de largo per´ıodo. Aquellos términos para los cuales k1 n1 + k2 n2 son grandes, se llaman consecuentemente, de corto per´ıodo.


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Figura 14.11:

Henri Poincaré (1854-1912)

Este método, aplicado al movimiento de los planetas, implica un desarrollo algebr´ aico increiblemente extenuante. Sin embargo, fue pr´ acticamente el u ´ nico que se us´ o para el cálculo de las perturbaciones planetarias hasta mediados del siglo XIX. Desde un punto de vista formal, es deseable que las series que se obtienen aplicando éste método sean convergentes. Sin embargo, Henri Poincaré logró probar que dichas series no son uniformemente convergentes, por lo que no pueden representar una soluci´ on real al problema, aunque pueden representar una soluci´ on aproximada y dar cuenta de las observaciones que han de usarse sólo dentro de un per´ıodo de tiempo limitado.

LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS • Anderson, J. D. et al. (1998) Indication, from Pioneer 10/11, Galileo, and Ulyses Data, of an Apparent Anomalous, Weak, Long-Range Acceleration, Physical Review Letters, Vol. 81, No. 14, p. 2858. Art´ıculo técnico que pone de manifiesto el problema de la aceleraci´ on min´ uscula de varias naves espaciales no explicada a´ un apelando a toda clase de perturbaciones conocidas. • Bretagnon, P. (1982) Theorie du mouvement de l’ensemble des planetes. Solution VSOP82, Astronomy & Astrophysics, Vol. 144, p. 278. Art´ıculo técnico que describe una técnica aproximativa de integracion anal´ıtica basada en las ecuaciones planetarias de Lagrange para obtener expresiones que permiten calcular las posiciones de los planetas del sistema solar salvo Plut´ on.


311

• Brouwer D. (1959) Solution of the Problem of Artificial Satellite Theory without Drag, Astronomical Journal, Vol. 64, p. 378. Célebre art´ıculo que describe la soluci´ on aproximada de las ecuaciones diferenciales de movimiento de un sat´ elite artificial perturbado por varios arm´ onicos zonales. • Brouwer, D., Clemence, G. (1961) Methods of Celestial Mechanics, Academic Press, New York. Referencia obligada para aquellos que deseen conocer las t´ ecnicas de perturbaci´ on m´ as ampliamente utilizadas en mec´ anica celeste hasta mediados del siglo XX. • Brown, E. (1960) An Introductory Treatise On the Lunar Theory, Dover Pu. Inc., New York. Referencia cl´ asica sobre las teor´ıas del movimiento lunar. Escrito a finales del siglo XIX, es una descripci´ on muy técnica y altamente autorizada, en part´ıcular del m´ etodo de Hill-Brown, que fue la base de las efem´ erides lunares por una buena porci´ on del siglo XX. • Brumberg, V. A. (1991) Essential Relativistic Celestial Mechanics, Adam Hilger, Bristol. Libro clave para comprender lo fundamental de la mec´ anica celeste sustentada en la teor´ıa de la relatividad general. Lamentablemente es oscuro y muy técnico en algunos pasajes. • Chapront-Touzé, M., Chapront, J. (1991) Lunar Tables and Programs from 4000 B.C. to A.D. 8000, Willman-Bell, Inc., Richmond. Este libro contiene programas y ecuaciones que permiten determinar con un grado alto de precisi´ on la posici´ on de nuestro sat´ elite natural. • Cook, A. (1988) The Motion of the Moon, Adam Hilger, Bristol. Sencillamente un gran libro. Sin necesidad de entrar en los desarrollos algebr´ aicos monstruosos este libro ofrece una descripci´ on concisa y clara de las diferentes teor´ıas que se han propuesto para explicar el movimiento de la Luna. A pesar de los tecnicismos inevitables es f´ acilmente leible. • Everhart, E. (1985) An Efficient Integrator that Uses Gauss-Radau Spacings, en Dynamics of Comets: Their Origin and Evolution, Reidel Publishing Co., p´ ag. 185. Contiene la descripci´ on del integrador Radau el cual ha sido extensivamente utilizado por diversos investigadores en mec´ anica celeste. • Farinella, P., Vokrouhlick´ y, D. (1999) Semimajor Axis Mobility of Asteroidal Fragments, Science, Vol. 283, p. 1507. En este art´ıculo se estudia el corrimiento del semieje mayor de o ´rbitas de asteroides por efecto Yarkovsky. • Geyling, F. T., Westerman, H. R. (1971) Introduction to Orbital Mechanics, Addison-Wesley Pu. Co., Reading, Massachusetts. Otro buen libro de mec´ anica celeste. Contiene un excelente cap´ıtulo sobre fuerzas perturbativas y los métodos cl´ asicos de perturbaci´ on son vistos con detalle. • Hagihara, Y. (1970) Celestial Mechanics. Vol I: Dynamical Principles and Transformation Theory, The MIT Press, Cambridge. Obra supremamente técnica, que estudia con rigurosidad los fundamentos din´ amicos de la mec´ anica celeste cl´ asica. • Hagihara, Y. (1971) Celestial Mechanics. Vol II, Part 1: Perturbation Theory, The MIT Press, Cambridge. Constituye un magn´ıfico compendio de todos los m´ etodos para resolver problemas de perturbaci´ on en mec´ anica celeste propuestos hasta finales de los a˜ nos sesentas. Como es de esperarse es una obra muy técnica, pero la notaci´ on y la lectura lo hacen relativamente f´ acil de leer. Rebosante de referencias.

312

CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES • Kozai, Y. (1959) The Motion of a Close Earth Satellite, The Astronomical Journal, Vol. 64, p. 367. Otro art´ıculo cl´ asico sobre el movimiento de un sat´ elite artificial. • Misner, C., Thorne, K., Wheeler, J.A. (1973) Gravitation, W.H. Freeman and Co., New York. Obra monumental acerca de la gravedad vista desde la ´ optica de la relatividad general. Constituye una recopilaci´ on exhaustiva, intensa y en algunos casos did´ actica de todo lo que se public´ o de relatividad general hasta comienzos de los a˜ nos setenta. El cap´ıtulo 39 expone con lujo de detalle la aproximaci´ on post-newtoniana. • Plummer, H. C. (1960), An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, Inc., New York. Muy buen libro de mec´ anica celeste escrito en el viejo estilo. Los cap´ıtulos de perturbaci´ on son concisos y claros; contiene un cap´ıtulo sobre precesi´ on y nutaci´ on y otro sobre libraci´ on lunar. • Press, W. H. et al (1995), Numerical Recipes in Fortran, Cambridge University Press, New York. Esta referencia es muy u ´til a la hora de obtener programas y subrutinas en Fortran espec´ıficas para realizar diversos tipos de c´ alculos. • Richardson, D.L., Kelly, T.J. (1988), Two-Body Motion in the Post-newtonian Approximation, Celestial Mechanics, Vol. 43, p. 193. Referencia de car´ acter técnico que describe una transformaci´ on can´ onica para resolver el problema de los dos cuerpos post-newtoniano. • Rubincam, D.P. (1982), On the Secular Decrease in the Semimajor Axis of Lageo’s Orbit, Celestial Mechanics, Vol. 26, p. 383. En este art´ıculo se encuentra una descripci´ on detallada y cr´ıtica de varios tipos de perturbaciones no muy conocidas que pueden afectar el movimiento de un sat´ elite artificial. • Seidelmann, P.K. (1992), Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, University Science Books, Mill Valley. Contiene un excelente cap´ıtulo sobre la descripci´ on del potencial de los cuerpos reales junto con los valores de los coeficientes arm´ onicos hasta n = m = 36. • Smart, W.M. (1960) Celestial Mechanics, Longmans, Londres. Excelente libro de mec´ anica celeste escrito en el viejo estilo. Contiene una buena descripci´ on hamiltoniana y cap´ıtulos interesantes, dif´ıciles de encontrar en otros libros, tales como el descubrimiento de Neptuno y un tratamiento parcialmente riguroso de la precesi´ on y nutaci´ on. • Soffel, H. S. (1989) Relativity in Astrometry, Celestial Mechanics and Geodesy, SpringerVerlag, Berl´ın. Contiene informaci´ on actualizada relacionada con la aplicaci´ on de la relatividad general en varios campos de la astronom´ıa. Se supone que el lector domina el c´ alculo tensorial y est´ a familiarizado con la relatividad general. Demasiado conciso en algunos t´ opicos, pero expone con claridad los fundamentos. • Taff, L. G. (1985) Celestial Mechanics: A Computational Guide for the Practicioner, John Wiley & Sons, New York. Buen libro de mec´ anica celeste. Expone el formalismo incluyendo los conceptos b´ asicos y modernos de la astronom´ıa de posici´ on. Expone una cr´ıtica pertinente a ciertos m´ etodos de perturbaci´ on.


313

• Taylor, J. H., Weisberg, J. M. (1989) Further Experimental Test of Relativistic Gravity Using the Binary Pulsar PSR 1913+16, The Astrophysical Journal, Vol. 345, p. 434. Referencia de car´ acter técnico que expone varios resultados de la observaci´ on continua del pulsar PSR 1913+16 y la comparaci´ on entre varias teor´ıas para explicar su comportamiento. • http://copernico.dm.unipi.it/~milani/dinsis/ Este sitio contiene un curso sobre sistemas din´ amicos escrito por un investigador sobresaliente en mec´ anica celeste: Andrea Milani. Est´ a en italiano.

314


Cap´ıtulo 15

´ SATELITES ARTIFICIALES Y COHETES Un satélite artificial es un objeto de construcci´ on humana que al suministr´ arsele suficiente velocidad (y con el debido ańgulo y altura sobre la superficie terrestre) puede quedar en órbita alrededor de la Tierra (u otro cuerpo celeste). Isaac Newton fue la primera persona en sugerir que un cuerpo, al que se la han dado condiciones iniciales determinadas, puede describir, mientras cae con respecto a la Tierra, una trayectoria cerrada cuya caracter´ıstica importante es que no intersecta la superficie del planeta: se comporta como una luna artificial moviéndose por su propia inercia.

TIERRA

Figura 15.1:

Colocaci´ on de un satélite artificial

En el caso de la Tierra no es posible colocar un satélite artificial a una altura inferior a 315

316

´ CAPÍTULO 15. SATELITES ARTIFICIALES Y COHETES

los 200 km, a´ un cuando las monta˜ nas terrestres m´ as altas sobre el nivel medio del mar llegan a los 9 km de altura. Esto es debido a la existencia de la atm´ osfera, que har´ıa volatilizar, por simple fricci´ on, un objeto que se mueve a las enormes velocidades a las que se desplaza un satélite. Ejemplo 1 Determinar la velocidad necesaria para colocar un satélite artificial alrededor de la Tierra con una o´rbita circular a una altura de 350 km sobre la superficie terrestre. Soluci´ on Llamemos m1 y m2 las masas de la Tierra y del satélite respectivamente. Puesto que la masa de un satélite artificial es completamente despreciable comparada con la masa de la Tierra (m2 /m1 = 0) y puesto que la o´rbita p es circular (r = R + h = a) se tiene, a partir de la ecuaci´ on (12.93) recordando que k = G(m1 + m2 ): r r Gm1 6.67 × 10−11 × 5.97 × 1024 v= = = 7.8 km/s. R+h 6 378 140 + 350 000 Por lo tanto, para colocar un satélite artificial alrededor de la Tierra, en una o´rbita baja, se necesitan casi 8 km/s. Esta es en verdad una velocidad enorme. Un carro de f´ ormula 1 puede desarrollar velocidades de 300 km en una hora, lo que equivale a tan s´ olo 0.083 km/s. El avi´ on más veloz del mundo, el SR-71, de construcción estadounidense, alcanza velocidades de hasta 0.98 km/s. Se han desarrollado ca˜ nones con prop´ ositos militares que pueden lanzar granadas a velocidades entre 2 a 3 km/s, claramente insuficiente para lo que deseamos. Alcanzar velocidades mayores con estos medios es muy dif´ıcil y exije una condici´ on tecnológica más all´ a de nuestro estado actual de desarrollo. Cierto es que podemos acelerar part´ıculas subat´ omicas hasta casi la velocidad de la luz (300 000 km/s) pero estamos hablando de objetos cuyas masas son del orden de los 10−31 kg, en tanto que lo que se busca es dotar de velocidades del orden de los 10 km/s a objetos de masas apreciables, desde unos cuantos gramos hasta centenares de toneladas o más. Un mecanismo que permite alcanzar velocidades de las decenas de kil´ ometros por segundo es el cohete, del cual se hablará con más detalle en la sección 15.7. La forma que tendr´ a la o´rbita de un satélite est´ a determinada por las condiciones que le imprime la u ´ltima étapa del cohete a dicho satélite. En el instante de tiempo en el que salen los u ´ltimos gases de la tobera del cohete, llamado tiempo de inyección o tiempo de “cutoff” o “burnout”, el satélite deja de llevar una trayectoria propulsada hasta ese momento, debido al funcionamiento de un cohete, para comenzar a describir una trayectoria determinada por la fuerza de la gravedad terrestre y, en menor grado, por otro tipo de fuerzas de menor intensidad. Para lograr que un satélite describa determinada trayectoria hay que hacer que el medio propulsor – el cohete – alcance, en la inyección o “cutoff”, determinados valores de velocidad, altura y ańgulo de vuelo (el ańgulo entre los vectores posición y velocidad).

317 As´ı mismo, se busca que el ángulo entre el vector posición y velocidad (que hab´ıamos llamado ϑ) sea igual o muy pr´ oximo a los noventa grados; con el fin de que el objeto quede con el máximo momentum angular posible. Pero lo que realmente determina que un objeto quede como un satélite artificial es el valor de la velocidad. Colocar en órbita un satélite artificial es un logro tecnol´ ogico admirable y portentoso, pero si lo que buscamos es mandar un objeto a otros planetas necesitamos otro tipo de trayectoria, pues hemos visto que velocidades de los 8 km/s colocan a nuestro objeto en una trayectoria el´ıptica (una y otra vez alrededor de la Tierra) que puede resultar de lo m´ as aburrido y tedioso si lo que se quiere es recorrer el universo. Ya hemos visto que para salir de esa trampa gravitacional (originada por el hecho de que la energ´ıa potencial gravitacional es mayor que la energ´ıa cinética del objeto) lo que se necesita es dotar de velocidad a nuestro objeto, la suficiente como para que la energ´ıa cinética crezca hasta el punto en que la energ´ıa total se anule. En tal caso el objeto describe una trayectoria de escape gravitacional: una par´ abola. Un poco más de velocidad y la trayectoria se convierte en una hipérbola. En ambos casos, el objeto, aunque sometido a´ un por la atracci´ on gravitacional terrestre, queda en trayectorias que lo conducir´ an al infinito con respecto a la Tierra. Calculemos la velocidad necesaria para colocar en órbita parab´ olica (la velocidad m´ınima de no retorno) si arrojamos un objeto desde el Monte Everest (que tiene una altura de 8848 m sobre el nivel del mar). Aplicando la ecuaci´ on (12.94) tenemos: r v=

2 × 6.67 × 10−11 × 5.97 × 1024 = 11 166 m/s ≈ 11.2 km/s. 6378140 + 8848

Los satélites artificiales no se mueven, estrictamente hablando, en o´rbitas el´ıpticas por lo que explicar su movimiento con sólo la teor´ıa del problema de los dos cuerpos es insuficiente. La razón es clara: son afectados gravitacionalmente por el Sol y la Luna, experimentan presi´ on de radiaci´ on proveniente del Sol y la que refleja la misma Tierra, son frenados por la atmósfera terrestre y sobre todo su movimiento es alterado por el hecho de que la Tierra no es un objeto perfectamente esférico sino que posee sutiles depresiones y abultamientos en la superficie como también asimetrias en la distribuci´ on de masa en su interior. Esto hace que en la pr´ actica sea un tanto laborioso explicar con exactitud la trayectoria de un satélite artificial. Los satélites de baja altura (aquellos que est´ an entre los 200 y 800 kilómetros de altura sobre la superficie terrestre) no permanecen en o´rbita por tiempo indefinido; la fricci´ on generada por la atmósfera terrestre es tal que el satélite pierde energ´ıa cinética lentamente disminuyendo su altura y por lo tanto acercándose cada vez más a las zonas densas de la atm´ osfera. Puesto que el satélite se mueve a velocidades del orden de 8 km/s, el material con que está hecho se ve sometido a las alt´ısimas temperaturas generadas por la fricci´ on (los aviones m´ as veloces, que alcanzan 0.98 km/s, se construyen con aleaciones especiales de titanio, pues las temperaturas generadas por la fricción con el aire son tales que pueden acercarse a la temperatura de fusi´ on de dicho material). Como ya se dijo, la fricci´ on generada por la atmósfera es la responsable de que no sea posible colocar satélites con alturas inferiores a los 180 kil´ ometros, pues su duración ser´ıa muy breve.


318

ositos. Entre ellos Los satélites que se colocan en órbita baja1 tienen multitud de prop´ están la comunicación civil (Globalstar, Iridium, Orbcomm), observaci´ on terrestre (SPOT, Landsat, Oceansat, Terra), cient´ıfica (Observatorio de rayos X Chandra, Telescopio Espacial Hubble, IRAS, COBE), clim´ aticos (Meteor 3-6, NOAA-12,-14,-15), reconocimiento y vigilancia (KH-11, Cosmos 2358, 2359 y 2366, Helios 1, Lacrosse), sistemas tripulados (Estación Espacial Internacional, Estación Espacial Mir, transbordador espacial y Soyuz TM). Los satélites de o´rbita baja son f´ aciles de observar a simple vista en noches claras y despejadas como “estrellitas” que se van moviendo r´ apidamente a través de las estrellas. Pero no se ven durante toda la noche, pues los momentos adecuados de observación son una o dos horas después de que se ha ocultado el Sol, o una o dos horas antes de la salida del mismo, pues en tales instantes el Sol está ubicado en la posici´ on o´ptima para que su luz sea reflejada por el satélite hacia la Tierra. Satélites con alturas superiores a los 1000 kil´ ometros, donde ya no existe atm´ osfera (o su efecto es despreciable), permanecen en órbita por tiempo indefinido. De este tipo son los satélites geoestacionarios, meteorológicos y de navegación satelital. Estos satélites no son observados a simple vista, necesit´ andose un telescopio relativamente potente para observarlos.

15.1

Una teor´ıa sencilla del sat´ elite artificial

Los satélites artificiales son perturbados por una gran diversidad de fuerzas externas. De hecho, todas las fuerzas de perturbaci´ on vistas en la sección 14.4 afectan el movimiento de un satélite. Sin embargo, estas fuerzas afectan en mayor o menor grado el movimiento del satélite dependiendo de la clase de o´rbita que describe. Por ejemplo, un satélite desplazándose a muy baja altura experimenta fuertes perturbaciones por resistencia del aire y por achatamiento terrestre, pero las perturbaciones por presencia de la Luna y el Sol son muy peque˜ nas. Satélites con órbitas muy altas (geoestacionarios y otros tipos) no sufren rozamiento atmosférico, los efectos de la falta de esfericidad terrestre son casi despreciables, pero est´ an sometidos a notables perturbaciones por el Sol y la Luna as´ı como a la presión de radiaci´ on. La perturbaci´ on que más efecta el movimiento de un satélite artificial de baja altura es, como ya se dijo, la debida al achatamiento terrestre, del cual da cuenta el armónico zonal a J2 . Por lo tanto, el potencial terrestre que adoptaremos para nuestro estudio es el que est´ dado por la ecuaci´ on (14.25). Entonces, las ecuaciones diferenciales en componentes cartesianas que rigen el movimiento de un satélite artificial teniendo en cuenta solamente la perturbaci´ on por achatamiento terrestre, es, conforme a la ecuación (14.21): µ x ¨î + y¨ˆj + z¨ˆj = − 1 En

∂ ˆ ∂ ˆ ∂ˆ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

¶"

Gm1 Gm1 J2 − − r r

µ

R r

¶2 µ

1 3 − sen 2 φ 2 2

la literatura anglosajona la ´ orbita baja se designa como LEO (Low Earth Orbit).

¶# , (15.1)

´ 15.1. UNA TEORÍA SENCILLA DEL SATELITE ARTIFICIAL

319

p donde m1 es la masa de la Tierra. Puesto que r = x2 + y 2 + z 2 y sen φ = z/r, al realizar las derivadas parciales y factorizar los vectores unitarios obtenemos: ( µ ¶2 · ¸) Gm1 z2 3J2 R x ¨ = − 3 x 1+ 1−5 2 , r 2 r r ( µ ¶2 · ¸) 3J2 R z2 Gm1 1−5 2 , y¨ = − 3 y 1 + r 2 r r ( µ ¶2 · ¸) 3J2 R z2 Gm1 3−5 2 . z¨ = − 3 z 1 + r 2 r r

(15.2)

Estas ecuaciones se reducen, tal y como es de esperarse, a las de los dos cuerpos (ecuaciones (12.35)) si J2 = 0 o si r >> R. Este conjunto de ecuaciones puede integrarse facilmente de forma numérica. Sin embargo, resolveremos el problema de forma aproximada utilizando el método de variaci´ on de par´ ametros visto en la sección 14.5.2. La ecuación (14.25) puede escribirse as´ı: · V =−

¸ Gm1 +R , r

donde R es: Gm1 J2 R= r

µ

R r

¶2 µ

¶ 1 3 2 − sen φ . 2 2

(15.3)

no, R también lo será. Por lo tanto, R será visto como Puesto que el valor de J2 es peque˜ un peque˜ no término de perturbaci´ on a las ecuaciones del problema de los dos cuerpos. Como nuestra intenci´ on es utilizar aqu´ı el método de variaci´ on de par´ ametros, necesitaremos, para aplicar adecuadamente las ecuaciones (14.37), convertir R en funci´ on de los elementos. Esto se logra fácilmente analizando la figura 15.2. Del tri´ angulo esférico se deduce, aplicando el teorema del seno (ecuación (2.13), pág. 28): sen (ω + θ) sen φ = , sen 90 sen i al despejar de esta u ´ ltima sen φ y reemplazarla en (15.3) obtenemos: R=

Gm1 r

µ

R r

¶2

J2 (1 − 3 sen 2 i sen 2 (ω + θ)). 2

Desarrollando el cuadrado del u ´ltimo término en funci´ on del ángulo doble, obtenemos:


320

z θ

PERIGEO

φ ω i NODO ASCENDENTE

Figura 15.2:

Gm1 J2 R= r

µ

R r

¶2 ·

Relaci´ on entre φ, ω, θ e i

¸ 3 3 1 3 2 2 2 − sen i − sen i cos 2ω cos 2θ − sen i sen 2ω sen 2θ) . 2 4 4 4

Por razones que se verán a continuación (que tienen que ver con la eliminaci´ on de r) multiplicamos y dividimos por el cubo del semieje mayor a y reordenamos de tal forma que: Gm1 R2 J2 R= a3

µ

a3 r3

¶·

¸ 3 3 1 3 2 2 2 − sen i − sen i cos 2ω cos 2θ − sen i sen 2ω sen 2θ) . 2 4 4 4

Aqu´ı tenemos un gran problema. Puesto que R ha quedado en términos de r y θ, los cuales a su vez son funciones de los elementos, es necesario eliminar estos valores de alguna manera. Esto se logra, más o menos exitosamente, a través de una técnica conocida como “promediación”, la cual se sustenta en lo siguiente: cuando se desea examinar las perturbaciones a la trayectoria de un satélite bien vale la pena tener en cuenta sólo aquellas que son significativas y se hacen expl´ıcitas cuando se han acumulado lo suficiente como para hacerse notar; en otras palabras, no nos van a interesar las perturbaciones que se suceden dentro de un per´ıodo (las cuales son peri´ odicas y de magnitud peque˜ na) sino la acumulaci´ on de todas ellas en un tiempo razonable. Queremos entonces hacer una gran suma sobre lo que se va acumulando por cada per´ıodo que va trazando el satélite, de tal forma que las peque˜ nas perturbaciones que se suceden en un per´ıodo queden promediadas y al final s´ olo se tenga el efecto acumulado de todas ellas. La funci´ on perturbatriz promediada, que designaremos on completa: como R, es entonces un promedio en una revoluci´ Z 2π 1 R= RdM. 2π 0


321

Por lo tanto, el valor de R queda ahora (r y θ son funciones de la anomal´ıa media M ): Gm1 R2 J2 R= a3

·µ

¶ µ ¶ µ ¶ ¸ 1 3 3 3 2 2 2 − sen i I1 − sen i cos 2ω I2 − sen i sen 2ω I3 , (15.4) 2 4 4 4

donde los valores de I1 , I2 e I3 vienen dados por las siguientes integrales:

I1 = I2 =

1 2π 1 2π

1 I3 = 2π

Z Z

2π

³ a ´3 r

0

dM,

2π

cos 2θ Z

0 2π 0

(15.5)

³ a ´3

dM, r ³ a ´3 sen 2θ dM. r

(15.6) (15.7)

Para resolver estas integrales es necesario expresar M en términos de θ. De la ecuaci´ on (12.58), que permite relacionar el momentum angular h con la variaci´ on temporal de la anomal´ıa verdadera, y de la primera de las ecuaciones (12.70) se deduce: p De (12.91) se tiene µ encontramos:

1/2

= na

3/2

µa(1 − e2 )dt = r2 dθ.

(15.8)

y de la definici´ on de anomal´ıa media, ecuación (12.101)

dM =

µ1/2 dt. a3/2

(15.9)

Despejando dt de esta u ´ltima y reemplazando en (15.8) obtenemos: a2 (1 − e2 )1/2 dM = r2 dθ.

(15.10)

Al reemplazar (15.10) en (15.5) se llega a: I1 =

1 a 2π (1 − e2 )1/2

Z

2π 0

dθ . r

Pero, puesto que r está dado por (11.4) llegamos a: I1 =

1 1 2π (1 − e2 )3/2

Z

2π

(1 + e cos θ)dθ. 0

La integral de la derecha es igual a 2π por lo que se obtiene finalmente: I1 =

a

1 . (1 − e2 )3/2

En las integrales I2 e I3 aparece de nuevo el término ( ar )3 el cual ya vimos que es igual por lo que apareceran integrales de la forma:

1+e cos θ (1−e2 )3/2


322 Z

Z

2π

2π

(1 + e cos θ) cos 2θdθ,

(1 + e cos θ) sen 2θdθ,

0

0

las cuales (y es f´ acil verificarlo) son iguales a cero, por lo que I2 = I3 = 0. La ecuación (15.4) se reduce a: Gm1 R2 J2 R= 3 a (1 − e2 )3/2

µ

¶ 1 3 2 − sen i . 2 4

(15.11)

olo en funci´ on de a, e e i las derivadas parciales necesarias para obtener Dado que R está s´ las ecuaciones (14.37) son: ∂R ∂Mr ∂R ∂Ω ∂R ∂ω ∂R ∂i

= 0, = 0, = 0,

3Gm1 R2 J2 sen i cos i, 2a3 (1 − e2 )3/2 ¶ µ 3Gm1 eR2 J2 1 3 ∂R 2 = 3 − sen i , ∂e a (1 − e2 )5/2 2 4 ¶ µ ∂R 3Gm1 eR2 J2 1 3 2 = − 4 − sen i . ∂a a (1 − e2 )3/2 2 4 = −

(15.12)

Reemplazando estas derivadas parciales en las ecuaciones (14.37) obtenemos: da dt de dt di dt dΩ dt dω dt dM dt

= 0,

(15.13)

= 0,

(15.14)

= 0,

(15.15)

3Gm1 R2 J2 cos i , 2na5 (1 − e2 )2 ¶ µ 3Gm1 R2 J2 5 2 i , = sen 2 − 2na5 (1 − e2 )2 2 ¶ µ 3Gm1 R2 J2 1 3 2 = n+ 5 − sen i . na (1 − e2 )3/2 2 4 = −

(15.16) (15.17) (15.18)

Puesto que Gm1 = n2 a3 , suponiendo que los elementos orbitales al lado derecho de las anteriores ecuaciones son, en primera aproximaci´ on, constantes, e integrando desde un


323

tiempo t0 (no confundir con el tiempo del paso por el pericentro) en el cual se tienen los elementos (a0 , e0 , e0 , Ω0 , ω0 , (Mr )0 ) hasta un tiempo t cualquiera, obtenemos: a = a0 , e = e0 , i = i0 , 3 Ω = Ω0 − n 2

µ

(15.19) (15.20) (15.21)

¶2

J2 cos i(t − t0 ), (1 − e2 )2 µ ¶2 ¸ · R 3 5 J2 2 sen i (t − t0 ), 2 − ω = ω0 + n 2 a (1 − e2 )2 2 " µ ¶2 µ ¶# 3 3 R J2 2 1 − sen i (t − t0 ). M = M0 + n 1 + 2 a 2 (1 − e2 )3/2 R a

(15.22) (15.23) (15.24)

Las anteriores ecuaciones nos dicen que al considerar como perturbación el armónico J2 que da cuenta del achatamiento terrestre y al tomar s´ olo la acumulaci´ on significativa de las perturbaciones por per´ıodo (y no los efectos de corto per´ıodo) tendremos que el semieje mayor a, la inclinaci´ on i y la excentricidad e no se ven afectadas de forma notoria, y que en promedio se mantienen constantes. Pero son significativos los cambios en la longitud del nodo ascendente Ω y en el argumento de latitud del pericentro ω. Cambiemos las unidades para facilitar los cálculos. √ Puesto que k = Gm1 donde m1 es la masa de la Tierra, calculamos, en unidades de MKS, una constante que bien podr´ıa llamarse la constante de Gauss terrestre: p k = 6.6726 × 10−11 × 5.9736 × 1024 = 1.9965 × 107 m3/2 s−1 . Adoptando como unidades el radio terrestre (6 378 140 m) y el d´ıa solar medio (86 400 s) tenemos que: k = 107.0883 RT3/2 d−1 .

(15.25)

Si adoptamos el valor de k dado por (15.25) entonces a debe estar en unidades de radios terrestres y en nuestras anteriores fórmulas R = 1. Dado que n en unidades de grados está definido por (12.92), al considerar los cambios instantáneos de la longitud del nodo ascendente y del argumento de latitud del pericentro (en unidades de grados por d´ıa), se obtiene: ∆Ω = − ∆ω =

3k(180/π)J2 cos i, 2a7/2 (1 − e2 )2

3k(180/π)J2 5 (2 − sen 2 i). 7/2 2 2 2 2a (1 − e )

(15.26) (15.27)

Las ecuaciones (15.26) y (15.27) son muy importantes para satélites artificiales de baja y media altura. La primera describe el fen´ omeno conocido con el nombre de “regresión de la


324

l´ınea de los nodos”. Nótese que la l´ınea nodal, para o´rbitas directas (i < 90) se dirige en la direcci´ on de las agujas del reloj, esto es, en dirección hacia el oeste. Viendo la dependencia cosenoidal de la inclinaci´ on se deduce que la u ńica forma de evitar dicha regresi´ on es colocar el satélite en o´rbita polar (i = 90).

z

y

x Figura 15.3:

Corrimiento de la l´ınea de los nodos

La ecuación (15.27) describe la precesión de la l´ınea de las ápsides, con la cual el lector ya está familiarizado cuando se vio en la secci´ on 14.4.6 un comportamiento similar generado por un efecto completamente distinto (la curvatura del espacio-tiempo). Como es claro, la precesión se puede anular para órbitas con una inclinaci´ on que cumpla sen 2 i = 4/5, esto o es, i = 63.4 . Ejemplo 1 Un satélite artificial describe una o´rbita con los siguientes elementos: a = 1.13546, e = 0.0178, i = 27o 34.40 . Determinar los cambios instantáneos de la longitud del nodo y del argumento de latitud del pericentro. Soluci´ on Al reemplazar en la ecuación (15.26) y adoptando la constante dada en (15.25) obtenemos: ∆Ω = −

3 × 107.0883 × (180/3.14) × 1.083 × 10−3 cos 27o 34.40 = −5o 400 /d´ıa. 2 × (1.13546)7/2 (1 − 0.01782 )2

De forma an´ aloga, al reemplazar en (15.27):

∆ω =

5 3 × 107.0883 × (180/3.14) × 1.083 × 10−3 (2 − sen 2 (27o 34.40 )) = 9o 210 /d´ıa. 2 2 × (1.13546)7/2 (1 − 0.01782 )2

´ ´ 15.2. EL SATELITE TIERRA-SINCRONICO

325

Del anterior ejemplo es claro que para satélites de baja altura, esto es, aquellos cuya relaci´ on R/a es cercana a uno, los ángulo Ω y ω van cambiando r´ apidamente con el tiempo. A medida que la altura del satélite va en progresivo aumento la relacion R/a va tendiendo a cero al igual que los cambios instantáneos de estos ángulos.

15.2

El sat´ elite Tierra-sincr´ onico

En muchas aplicaciones de orden militar, meteorol´ ogico, b´ usqueda de recursos naturales, etc., es necesario que un satélite “sobrevuele” todas las partes de la Tierra. Ello se logra colocando el satélite en una o´rbita con inclinaci´ on cercana a los 90o y a una altura baja. Pero hay un peque˜ no inconveniente generado por el hecho de que la o´rbita del satélite est´ a fija en el espacio mientras que la Tierra est´ a girando. De ello resulta que las trazos sobre el terreno del satélite (los puntos sobre la superficie de la Tierra por donde est´ a pasando el satélite) cruzan el ecuador en puntos distintos, los cuales se van desplazando hacia el oeste (ver figura 15.4).

Figura 15.4:

Movimiento de la ´ orbita del sat´ elite con respecto a la Tierra

Una o´rbita Tierra-sincr´ onica es aquella que permite a un satélite describir trazos sobre el terreno idénticos a los generados en una órbita previa después de un determinado per´ıodo de tiempo. La Tierra realiza, con respecto a las estrellas de fondo, una revolución en un d´ıa sideral (el cual posee un n´ umero de segundos SI igual a 86 164.09 (ver sección 7.1.1)) cuyo per´ıodo designaremos por TT ; a su vez, la órbita del satélite, por cada revolución Ts , se va desplazanon, es obvio do hacia el oeste un ańgulo que llamaremos ∆χ1 . De esta simple consideraci´

326


que el desplazamiento por cada revolución debido a la rotaci´ on de la Tierra de oeste a este es: ∆χ1 = −360

Ts grados/órbita, TT

(15.28)

donde el signo negativo indica que el desplazamiento de la o´rbita con respecto al terreno es en la direcci´ on de las agujas del reloj visto desde el norte, esto es, en la dirección contraria en que se cuenta la ascensión recta y la longitud del nodo ascendente. Pero hay que recordar que la l´ınea de los nodos se desplaza también (debido al achatamiento terrestre) un valor que está dado por la ecuación (15.26). El desplazamiento por revolución, que llamaremos ∆χ2 , se logra multiplicando (15.26) por el tiempo que demora el satélite en dar una revoluci´ on 2πa3/2 completa, esto es Ts = k : ∆χ2 = −

3J2 (180) cos i grados/órbita. a2 (1 − e2 )2

(15.29)

Puesto que Ts es el per´ıodo orbital del satélite, entonces, de las ecuaciones (15.28) y (15.29) se deduce que el incremento total del desplazamiento en longitud en el ecuador es: ¸ · 3J2 (180) cos i 2πa3/2 grados/órbita, (15.30) + 2 ∆χ = − 360 kTT a (1 − e2 )2 donde TT tiene el valor de 0.997269 d´ıas solares medios. Si se desea tener una o´rbita Tierra-sincr´ onica se requiere que después de un n´ umero entero de o´rbitas n realizadas por el satélite el incremento total ∆χ sea igual a 360o y en ese mismo tiempo se ha de cumplir un n´ umero entero m de revoluciones (en d´ıas) de la Tierra para que tenga un paso exacto por el mismo sitio de la Tierra. Por lo tanto, la condici´ on de órbita Tierra-sincr´ onica es: n | ∆χ |= 360o m,

(15.31)

donde n y m deben ser n´ umeros enteros. Dependiendo del tipo de misi´ on, se ha de escoger un conjunto de valores de a, e e i con el fin de cumplir las condiciones dadas en (15.30).

15.3

El sat´ elite Sol-sincr´ onico

En muchos casos de interés se busca que el satélite, en el transcurso de su misi´ on, pase por determinadas regiones del planeta pero siempre bajo las mismas condiciones de iluminaci´ on solar. Ello acarrea un problema pues el Sol se está moviendo un grado por d´ıa en direcci´ on oeste-este, en tanto que el plano de la o´rbita del satélite, con inclinaci´ on i < 90, debido al corrimiento de la l´ınea de los nodos, se mueve en la dirección contraria. Esto quiere decir que si un satélite pasa por una determinada regi´ on, digamos a mediod´ıa, con el transcurso del tiempo pasará a horas distintas. Si se está buscando que el satélite pase por una determinada regi´ on bajo las mismas condiciones de iluminaci´ on es preciso que el cambio instantáneo de

´ 15.4. EL SATELITE GEOESTACIONARIO

327

la longitud del nodo sea igual a la velocidad del movimiento aparente del Sol visto desde la Tierra. El Sol, visto desde la Tierra, se mueve aparentemente a una velocidad promedio2 de +0.9856o /d´ıa, donde el signo positivo indica que se mueve aparentemente en direcci´ on oeste-este . Por lo tanto se ha de cumplir: +0.9856 = −

3k(180/π)J2 cos i. 2a7/2 (1 − e2 )2

(15.32)

De esta ecuación se deriva que el valor de la inclinaci´ on de un satélite Sol-sincr´ onico debe ser mayor de 90 grados. Ejemplo 1 Se desea colocar un satélite Sol-sincr´ onico en una o´rbita circular cuya altura es de 500 km sobre la superficie de la Tierra. ¿Cual debe ser la inclinaci´ on del satélite? Soluci´ on Puesto que la o´rbita es circular se tiene e = 0. Entonces: a=1+

500 = 1.0784 RT. 6378.14

Despejando la inlinaci´ on de (15.32): · i = cos−1 −

15.4

¸ 2 × 0.9856 × (1.0784)7/2 = 97o 240 . 3 × 107.0883 × (180/3.14) × 1.083 × 10−3

El sat´ elite geoestacionario

En los primeros a˜ nos de la exploraci´ on del espacio, y con el fin expreso de remediar el inconveniente de que las ondas de radio son absorbidas por el mismo terreno, algunos satélites artificiales fueron utilizados como simples espejos (satélites pasivos) que reflejaban las ondas de radio provenientes de un emisor y as´ı mandar se˜ nales de radio o de televisi´ on a lugares remotos del sitio de emisi´ on. Pero los satélites de baja altura utilizados ten´ıan un ligero inconveniente: y es que se desplazaban a una velocidad tal que tardaban cerca de dos horas en dar una revoluci´ on completa en torno a la Tierra3 . Que estuviesen colocados en órbitas bajas significaba que el movimiento del satélite en el cielo era bastante perceptible: el satélite permanecer´ıa visible (por encima de los horizontes locales del emisor y el receptor) por sólo unos cuantos minutos, y además exigir´ıa un mecanismo de rastreo acoplado para ambas antenas. Se necesitaba la puesta en o´rbita de un objeto que girara alrededor del planeta a una velocidad tal que igualara la velocidad de rotaci´ on 2 Esto

no es otra cosa que el movimiento medio n de la Tierra. m´ as conocido de dichos satélites fue el Echo I, un “globo” de 30 metros de di´ ametro que fue colocado a unos 1600 km de altura en agosto de 1960. Sin embargo, el primer satélite pasivo, para reflejar ondas electromagnéticas, fue la Luna, labor que realiz´ o la marina estadounidénse a comienzos de los a˜ nos cincuenta. 3 El


328 PNC

42150 km 35770 km ET TIERRA

SATELITE

PSC

Figura 15.5:

Ubicaci´ on de un satélite geoestacionario

de la Tierra (para que tanto el emisor como el receptor estén en contacto permanente con el satélite) y no s´ olo eso, sino también que permanezca estático para cualquier observador situado en la superficie de la Tierra (para evitar las molestias inherentes al proceso de rastreo). Esto requiere de cuatro condiciones. La primera es que la altura sobre la superficie terrestre debe ser de 35 770 kilómetros (a esta distancia, de acuerdo con la tercera ley de Kepler, el satélite tendr´ a un per´ıodo de rotaci´ on de 24 horas, ver ejemplo 2 de la página 251); la segunda condici´ on es que ha de girar en la misma direcci´ on de la rotaci´ on de la Tierra, esto es, de oeste a este; la tercera es que debe estar situado exactamente sobre el ecuador terrestre, o en otras palabras que su inclinaci´ on sea cero (i ≈ 0) ; y la tercera condici´ on es que su órbita sea lo más circular que sea posible, esto es, que su excentricidad sea nula (e ≈ 0). Si s´ olo se cumplen las dos primeras condiciones el satélite se dice que es geosincr´ onico. Un satélite que cumpla las cuatro condiciones es llamado geoestacionario4 . Aunque la idea ya hab´ıa sido sugerida en 1948 por el célebre escritor de ciencia ficci´ on Arthur C. Clark, la puesta en pr´ actica no se logró sino hasta 1963. Desde ese entonces observar por televisión eventos que ocurren simult´ aneamente en la parte opuesta del globo, de manera continua y clara, se ha vuelto tan rutinario que incluso no nos detenemos a pensar que hace casi cuarenta a˜ nos era tecnológicamente imposible. Hoy en d´ıa pululan sobre las azoteas de casas y edificios antenas parabólicas (simples radiotelescopios) que son instrumentos de recolección de las se˜ nales que provienen de dichos satélites. En un inicio eran muy abultadas, alcanzando las decenas de metros de di´ ametro. Hoy en d´ıa existen antenas parab´ olicas con diámetros de 50 cm o menos, todas ellas apuntando eficazmente hacia un satélite geoestacionario. El n´ umero de satélites de comunicaciones en órbita geoestacionaria ha estado aumentando de manera cada vez más creciente. A principios de la década de los noventa exist´ıan m´ as de 200. Hay que anotar sin embargo que existen otros tipos de satélites geoestacionarios diferentes a los de comunicaciones tales como satélites de alerta temprana (detectores de lanzamiento de misiles y explosiones de armas nucleares) y los satélites meteorológicos. A medida que el n´ umero de satélites aumenta existe el riesgo creciente de choque entre ellos, pues en realidad la o´rbita geoestacionaria constituye una regi´ on muy limitada del espacio. La historia de la 4 La

orbita geoestacionaria se conoce en la literatura anglosajona con el acr´ ´ onimo de GEO.

´ 15.4. EL SATELITE GEOESTACIONARIO

329

utilizaci´ on de posiciones para la colocación de satélites geoestacionarios ha seguido la misma evoluci´ on de la explotaci´ on de otras fuentes naturales. Los primeros usuarios tomaban lo que deseaban y cierta coordinaci´ on de su uso fue introducida s´ olo cuando se encontr´ o que ya era necesario. En 1971 la Unión Internacional de Telecomunicaciones (UIT), una agencia especializada de la ONU, reconoció la órbita geoestacionaria como “fuente natural limitada”. En 1977 la UIT comenzó la tarea de asignar espacios para la ubicación de los satélites en ciertos lugares espec´ıficos sobre la l´ınea del ecuador terrestre. Muchas naciones, incluyendo aquellas que no han desarrollado tecnolog´ıa espacial, solicitaron también su espacio para su uso futuro por temor a perder el acceso a esta importante fuente. Una solicitud hecha en el a˜ no de 1976 por un grupo de naciones ecuatoriales (pa´ıses que son atravesados en su territorio por la l´ınea del ecuador terrestre tales como Ecuador, Colombia, Brasil, Gabón, Zaire, Uganda, Kenia, Somalia e Indonesia), reclamando soberan´ıa sobre el espacio geoestacionario situado directamente sobre su territorio, fue desde˜ nada por los pa´ıses dominantes de este tipo de tecnolog´ıa. En Colombia, el ecuador terrestre atraviesa parte de los departamentos de Putumayo, Caquet´ a, Amazonas y Vaupés cubriendo una l´ınea de unos 610 kil´ ometros de franja ecuatorial. Esto se traduce en un “l´ınea aérea” soberana a la distancia geoestacionaria de una longitud de unos 4100 kil´ ometros. Hasta ahora este espacio no ha sido explotado por nuestro pa´ıs. Sin embargo, s´ı está siendo utilizado por otros pa´ıses tecnol´ ogicamente más avanzados que nosotros. En el momento en que se escriben estas l´ıneas ocupan nuestro sector geoestacionario varios satélites, algunos de los cuales son: Brasilsat B1 (71.28 W), Nahuel 1A (71.88 W), SBS-6 (74.06) y GOES I (75.59). Aunque el espacio de 4100 kil´ ometros nos puede parecer muy amplio como para pensar que no importa que otros vengan con sus satélites a ocuparlo, la verdad es que por razones técnicas es necesario que exista una separaci´ on mensurable entre satélites. A modo de ejemplo, debe existir una separación m´ınima de 2 grados en longitud entre satélites que tengan la misma frecuencia (esto corresponde a una separación entre satélites de 1500 kil´ ometros). Hoy en d´ıa las naciones y consorcios que deseen colocar satélites geoestacionarios deben aprobar una serie de par´ ametros que est´ an sujetos a regulación internacional, tales como las bandas de frecuencia disponibles, el espacio espec´ıfico por ocupar y el flujo m´ aximo permitido sobre la superficie. Un satélite geoestacionario alcanza a cubrir cerca del 42% de la superficie terrestre. Bastan tres satélites ubicados de forma conveniente para que exista una cobertura de comunicaci´ on a nivel global. Sólo aquellos sitios que est´ an en o muy cerca de los polos tienen problemas en recibir la se˜ nal de estos satélites por ubicarse éstos, para dichas regiones, muy cerca del horizonte. En la actualidad se est´ an colocando como promedio unos 130 satélites por a˜ no, de los cuales unos 30 se ubican en la órbita geoestacionaria. Por lo general transcurren entre dos y tres a˜ nos desde el momento en que se ordena la construcción de un satélite geoestacionario hasta su puesta en órbita. Entre los constructores de satélites geoestacionarios se cuentan: Hughes Space and Communications Co., ahora perteneciente a Boeing, que ha desarrollado buses existosos del tipo HS376 y HS601, Lockheed Martin Missiles & Space, Loral Space & Communications, Orbital Science Corporations, etc. Los modernos satélites geoestacionarios tienen un costo que oscila entre los 100 y 120 millones de dólares, una duraci´ on máxima de unos 15 a˜ nos limitada por el contenido de propelente necesario para el “mantenimiento” de la órbita y un peso en el momento en que quedan en órbita de transferencia geoestacionaria


330 alrededor de los 4000 kg.

Figura 15.6:

Sat´ elite giro estabilizado HS376 y satélite tri-axial estabilizado HS601

Pero un asunto es el costo del satélite y otro es el proceso de colocarlo en la o´rbita geoestacionaria. Para ello es necesario contratar los servicios de un proveedor que ofrezca colocarlo en dicha o´rbita (ver tabla 15.1). Por fortuna hoy existe una amplia gama de oferentes quienes se disputan el mercado en una guerra sin cuartel. Entre ellos sobresalen: Boeing Co. con la familia Delta; el Delta III por ejemplo, cuesta unos 60 millones de d´ olares. China Great Wall Industry Corp. ofrece la familia de cohetes Long March. Por ejemplo el Long March CZ-3B puede costar unos 60 millones de dólares. Un costo parecido lo tiene también el cohete Proton K perteneciente a Khrunichev State Research and Production Space Center. Un poco costosa es la oferta de la firma japonesa Rocket System Corporation con su cohete H-2 que cuesta del orden de 180 millones de dólares. En raz´ on de su alta confiabilidad y precio competitivo la firma europea Arianespace posee actualmente más del 80 % del mercado para colocar satélites geoestacionarios de orden civil. Los de la familia Ariane 4 tienen costos que oscilan entre los 60 y 100 millones de d´ olares en tanto que el más voluminoso Ariane 5 alcanza los 120 millones de dólares. Los satélites en o´rbita geoestacionaria prestan los siguientes prop´ ositos: comunicación civil (Asiasat, Arabsat, Astra, Brazilsat, DBS, Eutelsat, Galaxy, Gorizont, Telstar, etc.), comunicación militar (DSCS, Leosat 5, MILSTAR 1, Raduga, Skynet), climáticos (GOES, Meteosat), de alerta temprana (DSP, Prognoz) y reconocimiento y vigilancia (Orion). Los satélites geoestacionarios, en el transcurso de su vida u ´ til, deben estar continuamente corrigiendo su o´rbita pues, si no lo hicieran, lentamente se saldr´ıan del lugar al cual apuntan las antenas en tierra. Esto se debe a las perturbaciones que ejercen sobre dicho satélite: la atracci´ on gravitacional del Sol y de la Luna, la presión de radiaci´ on y la triaxialidad de la Tierra (la sutil diferencia de radio terrestre en distintos puntos del ecuador terrestre). Estas perturbaciones tienden a cambiar el semieje mayor, la excentricidad y la inclinaci´ on del satélite, lo cual, de no corregirse a tiempo, terminar´ a por no estar dentro del intervalo en que los usuarios en tierra lo consideren geoestacionario. Por ello se necesita que el satélite posea una masa no despreciable de propelente para estar corrigiendo de tanto en tanto la órbita del mismo.

´ 15.5. EL SATELITE MOLNIYA

15.5

331

El sat´ elite Molniya

Como se verá m´ as adelante, la inclinación de una o´rbita en el momento de la colocación de un satélite nunca puede ser menor que la latitud del sitio de lanzamiento. Por supuesto que se puede cambiar después el plano de inclinaci´ on, pero esto exige un gasto desproporsionado en términos de combustible. La ex-Union Sovietica también se vio en la necesidad de utilizar una red de comunicaciones tanto para el campo militar como el civil. Lo lógico era colocar satélites en o´rbita geoestacionaria, pero a causa de que sus sitios de lanzamiento est´ an ubicados en latitudes altas resulta altamente costoso pasar de órbitas con inclinaciones del on 0o (ver parte b del ejemplo 1 de la p´ agina orden de 45o a orbitas ecuatoriales con inclinaci´ 340). De todas formas los rusos colocan satélites geoestacionarios (como la serie Ekran y Gorizont) con diversidad de prop´ ositos. La razón m´ as poderosa para buscar otras opciones distintas a la de los satélites geoestacionarios por parte de Rusia es que son muchos los asentamientos humanos de este enorme pa´ıs que est´ an a tan altas latitudes que los satélites geoestacionarios son observados a bajas alturas, apenas unos cuantos grados sobre el horizonte, lo que origina serias interferencias en la comunicación.

Figura 15.7:

Precesi´ on de la l´ınea de las ´ apsides para un satélite con gran excentricidad

La solución fue colocar satélites cuyo apogeo alcanza los 46 000 km de altura y su perigeo tan s´ olo 1000 kil´ ometros de altura. Esto permite que el satélite, cerca del apogeo, permanezca casi estacionario con respecto a los observadores en Tierra. Pero también implica que al cabo de cierto tiempo, cuando se dirige hacia su perigeo, su movimiento comienza a ser notable. Esto se solucion´ o colocando varios satélites en distintos planos de tal forma que para todo tiempo siempre habr´ a alguno de ellos en o cerca del apogeo. Pero hay un ligero inconveniente.


332

Y es que si los usuarios van a ser rusos el apogeo de la órbita debe siempre permanecer sobre el hemisferio norte. Como se recordará, el efecto del achatamiento terrestre genera la precesión de la l´ınea de las a´psides lo que hace que la l´ınea que contiene el apogeo y el perigeo se vaya desplazando en el tiempo. De no tomar las medidas correctivas, ocurrirá, al cabo de ciertos d´ıas, que el apogeo se encontrará en el hemisferio sur lo que implica que para los usuarios del hemisferio norte el satélite deja de cumplir su cometido, ver figura 15.7. A todas luces es imperativo anular dicha precesi´ on. Y esto se logra, como ya comentamos atrás, haciendo que la inclinaci´ on del satélite tenga un valor igual a o muy cercano a i = 63.4o . Estos satélites, con inclinaciones cercanas a i = 63.4o , semiejes mayores de a = 4.15 RT y excentricidades del orden de e = 0.7, se conocen como satélites de tipo Molniya, extensivamente utilizados por Rusia para su red de comunicaciones. NOTA: Algunos satélites se colocan en órbitas intermedias entre los 1000 y 36 000 km de altura, esto es, entre las o´rbitas LEO y GEO. Estas o´rbitas se llaman o´rbitas terrestres medias (MEO). Se utilizan extensivamente para prop´ ositos de navegación. La red NAVSTAR de satélites de GPS se ubica a alturas de unos 20 000 km sobre la superficie terrestre. Un sistema equivalente fue montado por los rusos y se conoce con el nombre de Glonass.

15.6

´ Orbitas de transferencia

En muchos casos es deseable cambiar la órbita de un satélite. Un usuario bien puede desear aumentar o disminuir la altura, cambiar el plano de inclinaci´ on o pasar de una órbita circular a una fuertemente el´ıptica, etc. Por supuesto que ello requiere que el satélite contenga los medios necesarios para permitir que su velocidad cambie en varios kil´ ometros por segundo, esto es, debe poseer un motor cohete con combustible en su interior.

15.6.1

Transferencia tipo Hohmann

La transferencia de tipo Hohmann5 es el medio más conocido, simple y que consume menor energ´ıa para lograr la transferencia entre dos o´rbitas circulares coplanares. Sup´ ongase que se está inicialmente en una o´rbita circular con radio a1 y se quiere pasar ahora a una o´rbita circular con radio a2 . La transferencia requiere dos impulsos. El primero, realizado en el punto 1, coloca el satélite en una o´rbita el´ıptica, llamada o´rbita de transferencia, cuyo apogeo es la distancia a2 y perigeo la distancia a1 . Luego, en el punto 2, se realiza el segundo impulso, que permite “circularizar” la o´rbita de transferencia y convertirla en la órbita circular con radio a2 , ver figura 15.8. Es f´ acil calcular el semieje mayor a y la excentricidad e de la o´rbita de transferencia: a=

a 1 + a2 , 2

e=1−

a1 . a

(15.33)

La velocidad que tiene el satélite en cualquier punto de la o´rbita circular (incluyendo el punto 1) con radio a1 es, de acuerdo con la ecuación (12.93), donde hemos hecho m2 = 0 y r = a: 5 Llamada

as´ı en honor del ingeniero alem´ an Walter Hohmann quien la propuso originalmente en 1925.

´ 15.6. ORBITAS DE TRANSFERENCIA

333

a1 2

a2

Figura 15.8:

1

´ Orbita de transferencia de tipo Hohmann

k v=√ . a1

(15.34)

De igual forma, la velocidad que tiene el cuerpo cuando se desplaza en la o´rbita de transferencia en el mismo punto 1 es: r 1 2 (15.35) − , v=k a1 a pero, puesto que a está dada por la primera de las ecuaciones (15.33) se tiene que: r r 2 k 2 2a2 − =√ , v=k a1 a1 + a2 a1 a1 + a2 o mejor:

s k v=√ a1

2(a2 /a1 ) . 1 + (a2 /a1 )

(15.36)

Por lo tanto, el exceso de velocidad que debe tener el satélite para pasar de la o´rbita circular con radio a1 a la ´ orbita de transferencia y que ha de aplicarse en el punto 1 de la trayectoria es la diferencia entre las velocidades dadas por (15.36) y (15.34): # "s k 2(a2 /a1 ) −1 . (15.37) ∆v = √ a1 1 + (a2 /a1 )

334


De forma completamente análoga, podemos calcular la velocidad que tiene el satélite en cualquier punto de la o´rbita circular (incluyendo el punto 2) con radio a2 es: k v=√ . a2

(15.38)

La velocidad que tiene el cuerpo cuando se desplaza en la o´rbita de transferencia en el mismo punto 2 es: r 1 2 v=k (15.39) − , a2 a que al colocar a en termino de las ecuaciones (15.33) se tiene: r r 2 k 2 2a1 v=k − =√ , a2 a1 + a2 a2 a1 + a2 o mejor:

s k v=√ a2

2(a1 /a2 ) . 1 + (a1 /a2 )

(15.40)

Por lo tanto, el exceso de velocidad que debe tener el satélite para pasar de la o´rbita de transferencia a la o´rbita circular con radio a2 y que ha de aplicarse en el punto 2 de la trayectoria, es la diferencia entre las velocidades dadas por (15.38) y (15.40): s # " k 2(a1 /a2 ) . (15.41) ∆v = √ 1− a2 1 + (a1 /a2 ) Ejemplo 1 Un satélite describe una o´rbita circular con inclinaci´ on cero a una altura de 300 km sobre la superficie de la Tierra. Calcular los incrementos de velocidad necesarios para transferir dicho satélite a una o´rbita geoestacionaria. Soluci´ on Pasamos las distancias a radios terrestres.

a1 = 6378.14+300 = 6678.14 = 1.047 RT,

a2 = 6378.14+35 770 = 42 148.14 = 6.608 RT.

Reemplazamos en la ecuacion (15.37) para obtener el incremento necesario en velocidad en el punto 1: # "s 2 × (6.608/1.047) 107.0883 − 1 = 32.86 RT/d´ıa = 2.43 km/s. ∆v = √ 1 + (6.608/1.047) 1.047

´ 15.6. ORBITAS DE TRANSFERENCIA

335

Luego utilizamos la ecuacion (15.41) para obtener el incremento necesario en velocidad en el punto 2 necesario para circularizar la orbita: s # " 107.0883 2 × (1.047/6.608) = 19.86 RT/d´ıa = 1.47 km/s. 1− ∆v = √ 1 + (1.047/6.613) 6.608 Estos incrementos de velocidad se logran en la práctica mediante un motor cohete, lo que implica un gasto no despreciable en la masa inicial del cohete.

15.6.2

Cambio de inclinaci´ on

En ocasiones es necesario cambiar el plano de inclinaci´ on de un satélite. Esto es particularmente cierto en aquellos casos en que es necesario colocar un satélite geoestacionario pero el sitio de lanzamiento se ubica a latitudes moderadas. Como se ver´ a en la sección 15.9, la inclinaci´ on inicial de un satélite nunca puede ser menor que la latitud del sitio de lanzamiento. Sup´ ongase que se desea pasar de una órbita 1 a una o´rbita 2, ambas o´rbitas idénticas, salvo en su inclinación. Por lo tanto, deseamos un cambio de inclinación igual a ∆i. 1

2

∆v v

∆i

1

Figura 15.9:

v2

Cambio de inclinaci´ on

Recurriremos al teorema del coseno de la trigonometr´ıa plana. Considerando el tri´ angulo conformado por velocidades en la figura 15.9 se desprende que: ∆v 2 = v12 + v22 − 2v1 v2 cos ∆i,


336

donde v1 es la velocidad de la o´rbita inicial, v2 la velocidad de la o´rbita final y ∆v la velocidad necesaria para el cambio de inclinaci´ on. Puesto que las o´rbitas son idénticas, salvo en su inclinaci´ on, se tendr´ a que v1 = v2 , y la anterior ecuación se puede escribir como: µ ¶ ∆i 2 2 2 2 2 2 , ∆v = 2v1 − 2v1 cos ∆i = 2v1 (1 − cos ∆i) = 4v1 sen 2 donde se hizo uso de la identidad trigonométrica: 2 sen 2 ( α2 ) = 1 − cos α. Al tomar la ra´ız cuadrada a ambos lados: µ ¶ ∆i ∆v = 2v1 sen . 2

(15.42)

Dada la dependencia directa con la velocidad v1 se deduce que para que ∆v sea un m´ınimo se ha de buscar, en aquellas o´rbitas no circulares, que la maniobra de cambio de inclinaci´ on se haga en el apocentro, esto es, cuando la velocidad de una órbita el´ıptica sea un m´ınimo. Ejemplo 1 Un satélite describe una o´rbita circular con una altura de 32 785.13 km sobre la superficie terrestre y con inclinaci´ on de 28.5o . Determinar el incremento de velocidad para que la o´rbita resultante posea inclinaci´ on cero. Soluci´ on En este caso: ∆i = 28.5o − 0o = 28.5o . El radio de la o´rbita en unidades de radio terrestre es: a = 32 785.13 + 6378.14 = 39 163.27 km = 6.1402 RT. Por lo tanto, la velocidad que posee en cualquier punto de su trayectoria es: k 107.0883 v=√ = √ = 43.216 RT/d´ıa = 3.19 km/s. a 6.1402 Entonces, al aplicar la formula (15.42) obtenemos: ∆v = 2 × 3.19 sen

15.7

28.5o = 1.57 km/s. 2

Cohetes

Los cohetes son dispositivos autopropulsados que pueden moverse en el vac´ıo alcanzando velocidades muy grandes. Los que se utilizan en la exploraci´ on espacial pueden alcanzar velocidades del orden de las decenas de kil´ ometros por segundo. Su funcionamiento es muy sencillo: descansa en el principio de la acci´ on y reacción. El cohete expele gases a muy alta velocidad por uno de sus extremos por lo que termina desplaz´ andose en la dirección opuesta.

´ DE TSIOLKOVSKY 15.8. LA ECUACION

Figura 15.10:

337

Cohete de varias etapas

Aunque los cohetes eran conocidos por los antiguos chinos, quienes los utilizaron como arma de guerra o en artilugios de diversi´ on como fuegos artificiales (voladores), no fue sino a comienzos del siglo veinte cuando se propuso como herramienta para colocar objetos a muy grandes distancias y velocidades. Investigadores en Alemania, Rusia y Estados Unidos experimentaron con cohetes en las primeras tres décadas del siglo XX, pero no recibieron la debida atenci´ on por parte de sus respectivos gobiernos. Sin embargo, a finales de la década de los treinta y comienzos de los cuarenta, en la Segunda Guerra Mundial, el ejército alemán, un organismo que en aquella época estaba dispuesto a ensayar todo tipo de variantes e innovaciones en el arte de hacer guerra, comenzó una serie de investigaciones tendientes a utilizar cohetes que pudieran colocar como carga u ´ til una bomba a varios centenares de kil´ ometros de distancia. Con el tiempo desarrollaron el cohete A4 (que la propaganda nazi renombr´ o como V2) con el que atacaron varias ciudades aliadas.

Figura 15.11:

Cohete alem´ an A4 rebautizado por la propaganda nazi como V2

Al finalizar la guerra los cient´ıficos e ingenieros alemanes que dise˜ naron la V2 fueron reclutados por los Estados Unidos y la Uni´ on Soviética para impulsar sus respectivos programas de investigación en cohetes. El hecho de que con ayuda de cohetes se pudiera colocar una bomba at´ omica al otro lado del mundo con muy poco riesgo de ser interceptada (lo que s´ı puede ocurrir si se utiliza un avi´ on) origin´ o un gran interés en la investigación de cohetes por parte de las potencias involucradas en la guerra fr´ıa. Cuando se desarrollaron cohetes lo suficientemente potentes como para alcanzar velocidades de 8 km/s se vió que ya era factible, en lugar de atacar un blanco en tierra, colocar objetos en órbita alrededor de la Tierra. Esto se logró por primera vez en la Uni´ on Soviética el d´ıa 4 de octubre de 1957. Desde entonces se han colocado miles de satélites artificiales en o´rbita alrededor de la Tierra.

15.8

La ecuaci´ on de Tsiolkovsky

Se puede deducir la ecuaci´ on de movimiento de un cohete en términos de la variaci´ on del momentum lineal.


338

Sea en un tiempo dado t un cohete con masa m y velocidad ~v . En el instante de tiempo t + ∆t el cohete ha arrojado una masa ∆m al espacio, por lo que la masa del cohete es ahora m − ∆m; as´ı mismo, su velocidad es ahora ~v + ∆~v .

v m

v + ∆v m - ∆m

∆m ve

t +∆ t

t Figura 15.12:

El cohete en dos tiempos distintos

Llamemos ~ve la velocidad de salida del material eyectado con respecto al cohete. Por lo tanto, la masa ∆m que fue eyectada al espacio en la direcci´ on contraria a la del desplazamiento del cohete posee una velocidad ~v − ~ve . Es evidente que el momentum lineal que se tiene en el tiempo t es igual a m~v . No tan evidente es que en el tiempo t + ∆t hay que considerar el momentum lineal de dos sistemas: el cohete y la fracción de material eyectado: el momemtun lineal en el instante t + ∆t será entonces la suma del momentum lineal de los dos sistemas: el cohete (m − ∆m)(~v + ∆~v ) y la fracci´ on expulsada (~v − ~ve )∆m. De la ecuaci´ on (11.6) es claro que la fuerza que experimenta el cohete es igual al cambio instant´ aneo del momentum lineal: ∆~ p . F~ = lim ∆t→0 ∆t

(15.43)

Ahora bien, el cambio, en el intervalo ∆t, del momentum lineal está dado por: ∆~ p = p~t+∆t − p~t .

(15.44)

De acuerdo con lo dicho anteriormente, esta u ´ltima se convierte en: ∆~ p = (m − ∆m)(~v + ∆~v ) + (~v − ~ve )∆m − m~v .

(15.45)

Desarrollando las multiplicaciones, eliminando términos semejantes y haciendo el término ∆m∆v igual a cero por ser el producto de dos infinitésimos, se tiene: ∆~ p = m∆~v − ~ve ∆m.

(15.46)

Reemplazando este valor de ∆~ p en (15.43) y tomando los limites de las tasas de cambio hacia cero obtenemos, eliminando la notaci´ on vectorial: mdv − ve dm = F dt.

(15.47)


339

En la ecuaci´ on (15.47) F representa todo el conjunto de fuerzas que act´ ua sobre el movimiento del cohete, tales como las fuerzas gravitacionales, fuerzas aerodinámicas, etc. Suponiendo que el cohete se desplaza a través del vac´ıo y bien lejos de un campo gravitacional, o cuanto menos, que éste sea muy peque˜ no como para considerarse despreciable, podemos hacer F = 0 en (15.47) y obtener: dv = −ve

dm , m

(15.48)

donde el signo negativo es necesario colocarlo para indicar que conforme aumenta una de las variables (la velocidad) la otra variable disminuye (la masa). Integramos la anterior ecuación con los l´ımites siguientes: para una velocidad inicial v0 el cohete posee una masa inicial que llamaremos M0 ; para una velocidad posterior v1 obtenemos una masa m1 : Z

v1 v0

Z dv = −ve

m1 M0

dm . m

Después de rearreglar y aplicar ciertas propiedades de los logaritmos obtenemos: v1 = v0 + ve ln

M0 , m1

(15.49)

la cual se conoce con el nombre de ecuación ideal del cohete o ecuación de Tsiolkovsky, en honor al pionero de la coheter´ıa de nacionalidad rusa Konstantin Tsiolkovsky, quien la di´ o a conocer en 1903. Se llama ideal porque no tiene en cuenta la fuerza de la gravedad, la fricci´ on atmosférica y otros tipos de fuerzas. A pesar de esto, la ecuación es muy u ´til a la hora de hacer determinados c´ alculos preliminares.

Figura 15.13:

Konstantin Tsiolkovsky (1857-1935)


340 Ejemplo 1

Determinar tanto en el ejemplo 1 de la página 334 como en el ejemplo 1 de la página 336 la masa necesaria para lograr los cambios de velocidad requeridos en las respectivas transferencias, si se dispone en ambos casos de un satélite cuya masa original es de 4800 kg y los propelentes son hidrazina y tetr´ oxido de nitr´ ogeno (ve = 2850 m/s). Soluci´ on En el caso de transferencias de órbitas la ecuaci´ on de Tsiolkovsky puede utilizarse sin pérdida sensible de exactitud debido a la ausencia de fuerzas resistivas apreciables y a la anulación de las “pérdidas por gravedad” a causa de la perpendicularidad entre el vector velocidad y el vector posición (ver el u ´ltimo término de la segunda de las ecuaciones (15.52)). a) En el ejemplo 1 de la página 334 se estudió el caso de una transferencia de tipo Hohmann. Vimos que son necesarios dos cambios de velocidad. Llamando ∆v = v1 − v0 y despejando el valor de m1 es la ecuación (15.49) obtenemos: m1 = M0 e−∆v/ve . Puesto que el cambio de velocidad necesario para pasar a la o´rbita de transferencia es de 2.43 km/s tendremos que: m1 = 4800 × e−2430/2850 = 4800 × 0.426 = 2044 kg. Por lo tanto, la masa del satélite se ve reducida a 4800 − 2044 = 2756 kg. Para circularizar la o´rbita es necesario un cambio de velocidad de 1.46 km/s. Nuestra masa inicial ahora es 2756 kg. Por lo tanto: m1 = 2756 × e−1460/2850 = 2756 × 0.6 = 1654 kg, de la que se deduce que la masa se redujo ahora en 2756 − 1654 = 1100 kg. De todo esto se desprende que la masa necesaria para hacer las dos maniobras constituye un 77% de la masa original del satélite. Lo que se hace en la pr´ actica, en el caso de satélites geoestacionarios, es dise˜ nar la u ´ltima etapa del cohete de tal forma que la inyección coloque el satélite en o´rbita de transferencia geoestacionaria (GTO, por sus siglas en inglés), por lo que el satélite debe llevar el propelente necesario para circularizar la o´rbita y realizar los peque˜ nos ajustes necesarios en el transcurso de su vida u ´til. b) En el ejemplo 1 de la p´ agina 336 se hizo el cálculo para una transferencia orbital donde s´ olo se realizaba un cambio de inclinaci´ on. Dicha transferencia requiere un cambio de velocidad de 1570 m/s. Entonces, suponiendo que la masa inicial es de 4800 kg: m1 = 4800 × e−1570/2850 = 4800 × 0.576 = 2765 kg.


341

De aqu´ı es claro que la masa final del satélite es de 2035 kg, i.e., para realizar la transferencia se consume cerca del 57% de la masa inicial del satélite. Lo que persiguen los dise˜ nadores de cohetes es tratar de hacer que v alcance un valor lo má grande posible (con el fin de lograr la velocidad orbital o la velocidad parab´ olica), por lo que al tener cuenta la ecuaci´ on (15.49) resulta claro que se busque la estrategia de hacer on ve grande (los gases expulsados deben salir con una gran velocidad) y hacer que la relaci´ M0 /m también sea elevada. Ahora bien, podemos escribir la masa inicial como: M0 = mp + me + mu , donde mp es la masa del propelente que se va a expulsar (combustible y oxidante), me la masa de la estructura del cohete (armazón, bombas impulsoras, computadoras, etc.) y mu es la masa de la carga u ´ til (ojiva, satélite, nave espacial). La velocidad final del cohete vf al agotarse el propelente es: mp + me + mu . (15.50) me + mu De esta u ´ltima ecuaci´ on se deduce que para hacer grande la velocidad final, la masa del nos. Esto se cohete debe ser casi la masa del propelente, esto es, me y mu deben ser peque˜ consigue, por una parte, construyendo el armazón del cohete con un material lo más ligero posible, obviamente sin sacrificar las tensiones y las cargas que el viaje implica. Por tal razón, las paredes de los cohetes son muy delgadas y conformadas por aleaciones de aluna, por lo que nos topamos con el enorme minio y litio. De igual forma, mu debe ser peque˜ inconveniente de que se necesita construir cohetes bastante grandes para colocar cargas u ´ tiles con masas peque˜ nas. Esta es la razón principal de que sea tan extraordinariamente costoso colocar un objeto en órbita terrestre o rumbo hacia otro planeta. vf = v0 + vs ln

Con el fin de hacer que ve sea grande, el material que se utiliza para ser arrojado por el cohete constituye, en la mayor´ıa de los casos, una mezcla de gases muy calientes que son el producto de una reacci´ on qu´ımica generada en una cavidad espec´ıfica del cohete. En este aspecto hay que diferenciar dos tipos de cohetes: los de propelente sólido y los de propelente l´ıquido. Los primeros se caracterizan por el hecho de que el propelente es una mezcla ´ıntima sólida de varias sustancias que ocupa la mayor parte del mismo cohete. En el caso de los cohetes de propelente l´ıquido, para que exista combusti´ on, se requiere una sustancia que sea combustible (que esté dispuesta a liberar energ´ıa f´ acilmente) y otra que permita el inicio y el mantenimiento de la reacción, que es el oxidante. Un ejemplo es la combinación alcohol et´ılico-ox´ıgeno. El primero act´ ua como combustible y el segundo obviamente como oxidante. La reacción se hace dentro de una cavidad con dos entradas (una por cada sustancia) y una salida por donde escapar´ an los gases calientes productos de la reacción de combusti´ on (H2 O, CO2 , CO). La elección de los qu´ımicos apropiados depende más que todo de la eficiencia energética de la mezcla, pero puede influir la facilidad en el manejo y en su almacenamiento y por supuesto que en su costo. Entre los propelentes l´ıquidos m´ as utilizados se encuentra la combinación de tetr´ oxido de nitr´ ogeno (N2 O4 ) con dimetil hidrazina asimétrica (UDMH)6 . 6 Esta combinaci´ on tiene la ventaja, a diferencia de otras, que ambos compuestos son l´ıquidos a temperatura ambiente por lo que se dice que son propelentes “almacenables”, lo que los hace atractivos desde un punto de vista militar.

342


Dicha combinaci´ on la emplean casi todas las etapas de la familia de cohetes chinos Long March, las primeras tres etapas de los cohetes Prot´ on K y Rockot, la u ´ltima etapa de los cohetes Athena 1 y 2 y todas las etapas de los cohetes rusos Cyclone 2 y 3. Conservando el tetr´ oxido de nitr´ ogeno pero utilizando combustibles que son mezclas de la UDMH con alguno de sus derivados se encuentran: el Ariane 4 que en su primera etapa utiliza UH25 (75% de UDMH y 25% de hidrazina); el Ariane 5 en la misma etapa utiliza MMH (monometil hidrazina); la segunda etapa de los cohetes Delta 2 y las primeras y segundas etapas del los cohetes Titan 2 y 4 emplean Aerozina-50 (una mezcla 50%-50% de UDMH e hidrazina). La combinación ox´ıgeno l´ıquido con hidr´ ogeno l´ıquido (LOX/LH2 ) la utilizan la primera etapa del transbordador espacial, la u ´ ltima etapa de los cohetes de la familia Ariane 4 y la primera del Ariane 5, la primera y segunda etapa de la familia de cohetes Delta 4, la u ´ltima etapa de los cohetes Long March CZ-3A y CZ-3B, las u ´ ltimas etapas de los cohetes Atlas 2A y 3A y la primera y segunda etapa del cohete japonés H-2. La combinación ox´ıgeno l´ıquido con RP-1 (un tipo especial de queroseno) es utilizada por la primera etapa de los cohetes Delta 2 y 3, todas las etapas del cohete Molniya M y Soyuz U, la u ´ltima etapa del cohete Prot´ on K y la primera etapa de todos los cohetes de la familia Atlas. Por otro lado, los motores de combustible s´ olido deben emplear una variedad de sustancias. Los ingredientes t´ıpicos son una mezcla ´ıntima de perclorato de amonio (el oxidante granulado), aluminio en polvo (combustible) y un pol´ımero (otro combustible) tal como el tripolimero polibutadieno-´ acido acr´ılico-acrilonitrilo (PBAN o uno de sus derivados), que no es otra cosa que una especie de caucho que actua como aglomerante de la mezcla. Muchos de los actuales cohetes utilizan en su primera etapa dos o m´ as cohetes de combustible sólido cuya duraci´ on es breve. Por ejemplo, el transbordador espacial es asistido en su primera etapa por dos motores de combustible sólido que contienen PBAN. El Ariane 5 es asistido en su primera etapa por dos motores que contienen como pol´ımero HTPB (polibutadieno hidroxilterminado). El mismo pol´ımero es utilizado en los cohetes sólidos que asisten a las primeras etapas de los cohetes de la familia Delta 2, 3 y 4, algunos cohetes de la familia Atlas y en el cohete H-2. Algunos cohetes peque˜ nos poseen todas sus etapas con motores de combustible s´ olido que utilizan especificamente el HTPB. Ejemplos de ellos son: el Pegasus XL y el Taurus estadounidenses, los japoneses J-1 y M-5, el Shavit israel´ı y el brasile˜ no VLS-1. Por lo general, los valores más grandes que se pueden tener de ve son del orden de 3.6 km/seg. Hagamos en (15.50) M0 /(me + mu ) = n. Por lo tanto, ser´ıa adecuado hacer n del orden de 12 o 15, pues en tal caso ve ln n está entre los 8.9 a 9.7 km/seg. Por razones tecnol´ ogicas, prácticas y económicas no es usual hacer n igual a esos valores tan elevados. Recordemos además que la ecuaci´ on no tiene en cuenta las pérdidas de velocidad por gravedad y resistencia del aire. En la práctica lo que se hace es construir cohetes en etapas, esto es, dos o más cohetes escalonados. Con ello es posible lograr velocidades muy altas, del orden de los 10 a 15 km/seg. Los cohetes utilizados para colocar satélites de baja altura poseen tiempos de funcionamiento muy breves, del orden de cinco a diez minutos. El cohete se dispara al comienzo en una trayectoria vertical con el prop´ osito de hacer que en las partes m´ as densas de


343 INYECCION

3

2 IMPACTO DE LA 1ERA ETAPA IMPACTO DE LA 2DA ETAPA

1 TIERRA

Figura 15.14:

Vuelo propulsado de un cohete de tres etapas

la atm´ osfera ocurra la fase por donde se desplaza con menor velocidad. A medida que va aumentando la velocidad y que la atm´ osfera es cada vez más enrarecida se obliga al cohete a que se incline hasta que el ańgulo entre los vectores posición y velocidad sea cercano a los 90 grados. Como es usual que los cohetes consten de dos o tres etapas, a medida que el vuelo del cohete continua se va agotando el combustible de las mismas, por lo que se hace necesario que en los instantes posteriores al agotamiento de una etapa ésta sea desprendida del cuerpo principal del cohete, no sólo para que deje limpio el camino de los gases de la etapa siguiente, sino también porque resulta un desperdicio de energ´ıa seguir cargando con una estructura que ya no presta ninguna utilidad. Las estructuras desprendidas no alcanzan la velocidad orbital por lo que terminan chocando en alg´ un lugar de la superficie terrestre (ver figura 15.14). Se deduce de esto que en el lanzamiento de un cohete sea necesario estudiar con detenimiento su trayectoria sobre la superficie de la Tierra procurando que sobrevuele por sitios inh´ ospitos o de muy escasa población. Por lo general se busca que la trayectoria de los cohetes, mientras estén funcionando, pasen por encima del océano. Esto explica que muchos de los sitios de lanzamiento estén ubicados en zonas costeras (Cabo Kennedy en la Florida, Kourou en Guyana francesa y Vandenberg en California). Con muy pocas excepciones (como en los motores de combustible sólido del trasbordador espacial norteamericano), las fases intermedias de los cohetes no son recuperables, convirtiéndose entonces en chatarra que pasa a engrosar la multitud de basura que reposa en el fondo del océano. La u ´ltima etapa, dise˜ nada para lograr la velocidad orbital de la masa u ´til, queda también en órbita, lo cual es un inconveniente pues en la pr´ actica representa un pedazo de basura orbitando la Tierra. La parte del vuelo de un satélite mientras est´ a sometido al brusco empuje de las diversas etapas del cohete se conoce con el nombre de fase propulsada. Como la cantidad de propelente est´ a limitada por el tama˜ no del cohete puesto que se agota en cuesti´ on de minutos, llega un instante, llamado “inyección”, en que el cohete, sin más propelente por


344 Nombre

Fabricante

Ariane 44L Ariane 5 Athena 2 Atlas 2AS Cyclone 3 Delta 3 GSLV H-2 Long March CZ-3B M-5 Proton K Shavit Soyuz U Taurus Titan 4 Zenit 3SL

Arianspace (Europa) Arianspace (Europa) Lockheed-Martin (E.U.) Lockheed-Martin (E.U.) NPO Yuzhnoye Sta. De. (Ucrania) Boeing (E.U.) Vikram Sarabhai Sp. C. (India) Rocket Systems Co. (Japón) China Great Wall Ind. (China) Nissan Motor Co. (Japón) Khrunichev Sta. Res. (Rusia) Israel Aircraft Ind. (Israel) TsSKB-Progress (Rusia) Orbital (E.U.) Lockheed-Martin (E.U.) Sea Launch Co. (E.U.)

´ LEO=Orbita baja

´ GTO=Orbita de transferencia geoestacionaria

Tabla 15.1:

Capacidad (kg) LEO GTO 7700 4400 18000 6800 2400 8600 3800 5370 8400 3800 5000 2500 10500 4000 13600 4500 2000 800 4600 1000 7000 1300 515 18000 15750

GEO

1550

2200 2300 2600

5770 5850

´ GEO=Orbita geoestacionaria

Algunos cohetes modernos y su capacidad de lanzamiento

expulsar, se ve sometido casi exclusivamente a la fuerza de gravitaci´ on terrestre, y por lo tanto el movimiento del cohete se rige exclusivamente por lo que sabemos del movimiento de una part´ıcula dentro de un campo gravitacional. El cohete se desplaza ahora describiendo una trayectoria c´ onica y no necesita para ello de un impulso exterior continuo. Finalmente, habiendo la u ´ltima etapa conseguido su prop´ osito de colocar en órbita el satélite, éste se desprende suavemente de la primera mediante el accionar de unos resortes o unos peque˜ nos cohetes de corta duraci´ on. Nuestra carga u ´ til se mueve a partir de entonces bajo la fuerza de gravitaci´ on terrestre. La descripción matemática de c´ omo calcular la trayectoria de un cohete es un asunto técnico que no es motivo de un comentario detallado en este libro. Bastar´ a con anotar lo siguiente. El balance de fuerzas que actuan sobre un cohete desplaz´ andose a través de una atmósfera es, de acuerdo con la segunda ley de Newton: ~ +D ~ + L, ~ m~a = P~ + W

(15.51)

donde m es la masa del cohete, ~a la aceleración del mismo, P~ la fuerza de empuje (thrust, ~ la fuerza de gravitaci´ ~ en inglés) del cohete debido a la eyección de masa, W on terrestre, D ~ la fuerza de sustentaci´ la fuerza de resistencia del aire y L on (ver figura 15.15). Las ecuaciones diferenciales aproximadas de un cohete desplazándose a través de una atmósfera en una Tierra no rotante son las siguientes:


dr dt dv dt dϑ dt dΨ dt

345

= v cos ϑ, mv ˙ e ACD ρv 2 Gm1 cos α − − 2 cos ϑ, m 2m r mv ˙ e ACL ρv 2 Gm1 sen ϑ dΨ = sen α + + − , mv 2mv r2 mv dt v sen ϑ = , r

=

(15.52)

donde m1 es la masa del cuerpo central (la Tierra), ve la velocidad de salida de los gases con respecto al cohete, r es la distancia entre el centro de la Tierra y el cohete, v su velocidad, m la masa del cohete, m ˙ la cantidad de masa que arroja el cohete en la unidad de tiempo, ϑ el ańgulo de vuelo, Ψ el ańgulo de alcance, A el área transversal del veh´ıculo, CD y CL los coeficientes de resistencia y sustentación, ρ la densidad atmosférica, α el ángulo de ataque, esto es, el ángulo existente entre el vector velocidad y el vector empuje y que puede servir como variable de control de gu´ıa. r ϑ

v α

D

P W

L

Ψ

Figura 15.15:

Fuerzas involucradas en el movimiento de un cohete

Los valores de CD y CL son funciones complicadas de la velocidad, o m´ as exactamente, del n´ umero Mach (la velocidad del sonido en el aire) y el ángulo de ataque. Los valores pueden calcularse teóricamente si se ha definido la forma del cohete, pero lo usual es construir un peque˜ no modelo del cohete e introducirlo en un tunel de viento y obtener de forma experimental los diversos valores numéricos que adoptan estos coeficientes para una gran gama de condiciones. La densidad del aire ρ es una funci´ on exponencial de la altura, esto es, de r. La complejidad del sistema de ecuaciones diferenciales obliga a resolverlas mediante la integraci´ on numérica. Las ecuaciones (15.52) son tan sólo aproximadas. En tres dimensiones har´ a falta introducir dos ańgulos m´ as, e introducir algunos términos tales como el ángulo de deslizamiento lateral y las componentes de velocidad del viento. Ecuaciones más completas

346


en tres dimensiones para un cohete multietapas pueden encontrarse en Calise y Leung (1995). Podemos, sin embargo, realizar un análisis de las ecuaciones diferenciales (15.52) y extraer algunas consideraciones preliminares. Examinemos la velocidad, que se busca que n din´ amica” y como se sea un valor máximo. La multiplicaci´ on 0.5ρv 2 es llamada “presi´ ve, acompa˜ na los términos aerodin´ amicos. Al inicio del despegue del cohete la velocidad v es peque˜ na, pero la densidad ρ es muy grande. Conforme avanza el tiempo el cohete va ganando velocidad de forma logaritmica mientras que la densidad atmosférica va decreciendo exponencialmente. Una curva de la presi´ on din´ amica en función del tiempo tiene la forma de una campana de Gauss. Por lo tanto, existir´ a un punto de m´ axima presi´ on din´ amica, que ocurre (en el caso de un cohete t´ıpico) al cabo de uno o dos minutos después del despegue, dependiendo del perfil de vuelo. A los pocos segundos de suceder el máximo la presi´ on din´ amica tiende hacia cero r´ apidamente, con lo que el término de resistencia se hace despreciable. Por lo tanto, las pérdidas de velocidad por resistencia atmosférica son sólo apreciables en las primeros dos o tres minutos del vuelo del cohete. Consideremos el término A/m. Si llamamos d la densidad promedio del cohete y V el volumen del mismo es evidente que: A/m = A/V d. Sup´ ongase que el cohete posee una forma que se pueda asimilar a un cilindro, de tal forma que se volumen sea igual a V = Al donde l es el largo del cohete. Por lo tanto: A/m ≈ 1/dl. De ello se deduce, independientemente del valor de la densidad total del cohete, que para minimizar el término de resistencia, esto es, hacer que al menos el término A/m sea peque˜ no, es preciso que tenga una forma similar a la de un lapiz, esto es, con un área transversal peque˜ na y una longitud pronunciada. Con el fin de que la pérdida de velocidad por gravitaci´ on sea peque˜ na, y con el propósito de hacer que un satélite quede en o´rbita el´ıptica, (recuérdese el concepto de momentum angular) es preciso que el ańgulo ϑ tienda lo m´ as r´ apido posible hacia 90o . Esto ha de hacerse con cuidado, procurando que la inclinaci´ on del cohete se haga totalmente efectiva cuando la densidad atmosférica sea despreciable para evitar que el cohete acelere en sectores densos y con ello exista el riesgo de destrucción originada por la fricci´ on. El ańgulo ϑ en el momento de un despegue cl´ asico posee un valor nulo. A medida que transcurre el tiempo este ángulo va naturalmente tendiendo a 90o debido a la gravedad, aunque muchas veces, dependiendo de la aceleraci´ on del cohete, no llega a este valor en el momento de la inyección. Por ello es necesario incluir el ańgulo de ataque α que sirve como variable de control. Este ángulo adopta valores peque˜ nos, cercanos a cero, que van cambiando en el transcurso de la fase propulsada y ha de ser maniobrado de forma cuidadosa. El ańgulo de ataque se puede controlar con una tobera movible (gimbal) o con superficies de control aerodin´ amicas. Nótese que valores distintos de cero para α implican pérdidas de velocidad pues se disminuye la eficiencia en el término que suministra el empuje.

15.9

Las condiciones de inyecci´ on y la ´ orbita inicial

Como ya se mencionó, el tipo de trayectoria que el satélite comienza a describir depende de los valores de velocidad, altura y el ańgulo de vuelo que se tienen en el momento de la inyecci´ on, esto es, en el instante en que finaliza la fase propulsada. Si se desean ciertas condiciones adicionales, es preciso fijar otros parámetros. Por lo tanto, los valores de posi-

´ Y LA ORBITA ´ 15.9. LAS CONDICIONES DE INYECCION INICIAL

347

ci´ on y velocidad sirven para determinar los elementos orbitales del satélite. Es importante anotar que los elementos orbitales se refieren al centro de la Tierra, tomado en primera aproximaci´ on como un sistema inercial de coordenadas. Ello significa que si se tiene el vector posición del cohete con respecto a un observador sobre la superficie terrestre, es necesario adicionar los vectores de posición y/o velocidad del observador con respecto al centro de la Tierra. Sup´ ongase que, en el momento de la inyección, se tienen los siguientes valores para el satélite, referidos al centro de la Tierra: magnitud del vector posici´ on ri , magnitud del vector angulo de vuelo ϑi . Sea además φ0 la latitud geocéntrica del sitio de lanzavelocidad vi y ´ miento del cohete. En coheter´ıa se llama azimut de la trayectoria de un cohete A al ángulo existente entre la direcci´ on norte y el vector velocidad que posee el cohete. Suponemos, entonces, que la fase propulsada est´ a contenida en un plano que pasa por el centro de la Tierra. Ya en la sección 10.3.1 se hab´ıa comentado que la velocidad de rotaci´ on de un observador con respecto al centro de la Tierra depende de la latitud; es mayor en el ecuador y nula en los polos. Si el lanzamiento se hace en la dirección oeste-este, esto es, en la direcci´ on de la rotaci´ on de la Tierra, se conseguir´ a una velocidad inercial adicional cuya magnitud depender´ a de la latitud del sitio de lanzamiento y del ańgulo de azimut en que se lanza el cohete. Es claro que dicha velocidad (que alcanza los 0.46 km/s) es un m´ aximo si el sitio de lanzamiento es realizado desde el ecuador terrestre y se lanza el cohete con A = 90. Hallemos el semieje mayor a, la excentricidad e, y la inclinaci´ on orbital i si se conocen las condiciones de inyección ri , vi y ϑi . Para estos, los resultados que se obtuvieron del problema de los dos cuerpos son de gran ayuda. El semieje mayor puede encontrarse a partir de (12.93) donde haremos m2 /m1 = 0: 1 v2 2 − i2 , = a ri k de la cual es inmediato obtener: a=

ri ri k 2 = . 2 2 r v2 2k − ri vi 2 − ki 2i

Llamando Q a la expresión adimensional: Q=

ri vi2 ; k2

(15.53)

con ello tenemos como expresión para el semieje mayor: a=

ri . 2−Q

(15.54)

La ecuación para la excentricidad es como sigue. Combinando las ecuaciones (12.43) y la primera de las (12.70) es posible obtener:


348

ri2 vi2 sen 2 ϑi = µa(1 − e2 ). Puesto que a está definida por (15.54) y µ = k 2 al despejar para e llegamos a: e=

p

1 − Q sen 2 ϑi (2 − Q).

(15.55)

Por otro lado, consideremos la figura 15.16. Sea φ0 la latitud geocéntrica del sitio de lanzamiento y A el azimut de lanzamiento del cohete. Suponiendo que en el tiempo breve de la propulsi´ on el cohete no altera fuertemente su curso hacia sus lados, esto es, su movimiento está contenido en un plano, entonces del tri´ angulo esférico resaltado en la figura se deduce, aplicando el teorema del seno por el coseno, ecuaciones (2.15), pág. 29:

A

i

Figura 15.16:

A

φ’

Relaci´ on entre azimut, latitud de lanzamiento e inclinaci´ on

cos i = − cos A cos 90 + sen A sen 90 cos φ0 , de la que se deduce: cos i = sen A cos φ0 .

(15.56)

Esta ecuaci´ on implica un hecho interesante. El azimut puede adquirir cualquier valor de 0o a 360o . Si los valores de azimut son iguales a 0 o 180 grados es evidente que la inclinación resultante (independiente de la latitud) es 90 grados, esto es, o´rbita polar. El valor m´ aximo de cos i se logra cuando el azimut es 90 o 270. En tal caso sen A será igual a la unidad. De ello se deduce que la inclinaci´ on de una ´ orbita nunca puede ser menor que la latitud del sitio de lanzamiento. Por ejemplo, si un cohete es lanzado desde Tyuratam (Kazakstán) con una latitud de 45.6 grados, es imposible lograr, en el lanzamiento, inclinaciones inferiores a los 45.6 grados. Para o´rbitas de oeste a este es s´ olo posible lograr inclinaciones en el intervalo 45.6o ≤ i < 90o . El sitio ideal de lanzamiento, aquel que permite toda la gama de inclinaciones posibles, es, por supuesto, el ecuador terrestre7 . Hay que tener en cuenta también que el valor de A tampoco ha de ser cualquiera. De hecho, los intervalos de azimut registrados 7 No olvidar adem´ as que se obtiene una ventaja extra lanzando cohetes desde el ecuador terrestre a causa de la velocidad de rotaci´ on del planeta que es m´ axima en tal sitio.

´ Y LA ORBITA ´ 15.9. LAS CONDICIONES DE INYECCION INICIAL Sitio Cabo Kennedy (E.U.) Kagoshima (Jap´ on) Kapustin Yar (Rusia) Kourou (Guyana Francesa) Plesetsk (Rusia) Sriharikota (India) Shuang-Ch’Eng-Tzu (China) Taiyuan (China) Tyuratam (Kazakhst´ an) Vandenberg (E.U.) Wallops (E.U.) Woomera (Australia) Yavne (Israel) Tabla 15.2:

Latitud 28.5 31.2 48.4 5.2 62.8 13.7 40.4 37.8 45.6 34.6 37.8 -30.9 31.5

Longitud 80.55 W 131.1 E 45.8 E 52.8 W 40.6 E 80.2 E 99.8 E 112.5 E 63.4 E 120.6 W 75.5 W 136.5 E 34.5 E

349

Intervalo de azimut 37 < A < 112 20 < A < 150 350 < A < 90 340 < A < 100 330 < A < 90 100 < A < 290 350 < A < 120 90 < A < 190 340 < A < 90 147 < A < 201 30 < A < 125 350 < A < 15 350 < A < 120

Algunos de los sitios de lanzamientos de cohetes m´ as activos del mundo

en la tabla 15.2 se escogen de tal forma que la trayectoria de los cohetes multietapas pasen por regiones deshabitadas o al menos muy poco pobladas. Ello explica porqué la Agencia Espacial Europea lanza sus cohetes desde Kourou, Guyana Francesa, cuya latitud es de 5o , al igual que Brasil que ha dispuesto como sitio de lanzamiento de sus cohetes un sitio cerca de la ciudad de Alcantara, con latitud de −2.5o . La ventaja de un lanzamiento desde el ecuador es tal que recientemente un consorcio internacional integrado por Estados Unidos, Rusia, Ucrania, Inglaterra y Noruega ha realizado lanzamientos de cohetes con propósitos comerciales desde una plataforma marina ubicada en el ecuador a una longitud 154o oeste. Ejemplo 1 Un cohete despega de Cabo Kennedy y a los pocos minutos logra la inyección con los siguientes valores referidos al centro del planeta: ri = 6 510 686.5 m, vi = 7934.45 m/s y on de la o´rbita del ϑ = 86o 34.60 . Determinar el semieje mayor, la excentricidad y la inclinaci´ satélite. El cohete fue lanzado con un azimut constante de A = 121o 9.30 . Cabo Kennedy está situado a una latitud geodésica de 28.5o . Soluci´ on Colocamos ri y vi en unidades de radio terrestre y radio terrestre por d´ıa, respectivamente: 6 510 686.5 7934.45 × 86 400 = 1.0208 RT, vi = = 107.4822 RT/d. 6 378 140 6 378 140 Luego calculamos Q con ayuda de (15.53) y utilizando el valor de k dado por (15.25): ri =

Q=

1.0208 × 107.48222 = 1.0283. 107.08832


350

Reemplazando en (15.54) tenemos: a=

1.0208 = 1.0505 RT = 6700.2 km. 2 − 1.0283

Al reemplazar en (15.55) se tiene igualmente: e=

p 1 − 1.0283 sen 2 (86o 34.60 )(2 − 1.0283) = 0.0661.

Tomando como primera aproximaci´ on el valor de la latitud geodésica igual a la geocéntrica y reemplazando en (15.56): i = cos−1 ( sen (121o 9.30 ) cos(28.5o )) = cos−1 (0.7521) = 41o 130 . Los cohetes nos han permitido incrementar nuestros conocimientos astronómicos pues con ayuda de ellos hemos podido lanzar robots y naves inteligentes a aquellos cuerpos celestes que est´ an más pr´ oximos a la Tierra, tales como la Luna y los planetas del sistema solar, exceptuando Plut´ on. Dada su cercan´ıa a la Tierra (tres d´ıas de distancia), y nuestro primitivo estado de desarrollo tecnol´ ogico, la Luna permanece como el u ´ nico cuerpo celeste que ha sido visitado por seres humanos, proeza alcanzada entre los a˜ nos 1969 y 1972. Debido a la existencia de m´ ultiples problemas (tales como respuestas anómalas del cuerpo humano en condiciones de gravedad cero8 , inconvenientes en la optimización del reciclaje de agua, aire y desechos orgánicos, peligrosidad de la radiación solar, agudos trastornos en el comportamiento de personas sometidas a condiciones similares a las que experimentar´ıan astronautas en viajes de larga duraci´ on, alt´ısimos costos que implica construir una nave espacial, y problemas económicos que enfrentan las naciones con la capacidad industrial de ejecutarlo) no se tienen planes serios y de ejecuci´ on a corto o mediano plazo para mandar hombres a un planeta como Marte, lo que implicar´ıa un viaje de unos diez meses en la sola ida. Un viaje a otro planeta implica primero salir de la atracci´ on gravitacional de la Tierra. Si eso se logra, se ha de tener en cuenta ahora que la nave queda a merced de la atracci´ on gravitacional del Sol, por lo que tenemos un objeto que en la pr´ actica es un planeta artificial. En tal caso la velocidad que tiene el objeto se especifica con respecto al centro del Sol y ésta viene siendo la suma vectorial de la velocidad que tiene la Tierra con respecto al Sol (en promedio 30 km/s) y la velocidad del objeto con respecto al centro de la Tierra (m´ınimo 11.2 km/s). Si queremos visitar las estrellas necesitaremos de algo más veloz que los cohetes existentes, pues las distancias entre ellas son tan enormes que con nuestra actual tecnolog´ıa tardariamos algo más de 25 000 a˜ nos en llegar a la estrella más cercana al Sol (Próxima del Centauro). Aun si pudieramos viajar a la velocidad de la luz, m´ axima velocidad a la que se puede viajar en el universo, seg´ un la f´ısica moderna, (no se ha descubierto algo que viaje m´ as 8 Esta es una terminolog´ ıa que puede dar lugar a equivocaciones: en realidad un astronauta, y en general un cuerpo cualquiera en ´ orbita, digamos alrededor de la Tierra, est´ a sometido siempre a la fuerza de la gravitaci´ on, pero la sensaci´ on de ingravidez resulta del hecho de que dichos cuerpos est´ an en un estado de ca´ıda libre permanente, esto es, est´ an cayendo con respecto a la Tierra pero su trayectoria no intersecta la superficie terrestre.

´ Y LA ORBITA ´ 15.9. LAS CONDICIONES DE INYECCION INICIAL

351

rápido), tardar´ıamos 4.3 a˜ nos en llegar a Pr´ oxima del Centauro, o unos 180 000 a˜ nos en llegar a las galaxias más pr´ oximas. O tenemos la mala suerte de estar viviendo en un universo tan grande que es imposible visitar sus constituyentes o existen propiedades del espacio y del tiempo desconocidas para nosotros que permiten, para el que las comprenda y domine, viajar en tiempos realistas para los seres humanos a los extremos más recónditos del universo. Algunos autores han propuesto ideas que, al menos en teor´ıa, podr´ıan permitir velocidades superiores a la de la luz. Una de tales teor´ıas ha sido propuesta por Calvo-Mozo, 1999.

LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS • Ball, K.J., Osborne, G.F. (1967) Space Vehicle Dynamics, Oxford University Press, Oxford. Sin entrar en agudos tecnisismos ni en notaciones gerogl´ıficas este libro constituye una excelente referencia para el estudio de trayectorias de cohetes, estabilidad, an´ alisis de errores y transferencia y optimizaci´ on de o ´rbitas. • Brooks, D. (1977) An Introduction to Orbit Dynamics and its Application to Satellite-Based Earth Monitoring Systems, NASA Reference Publication 1009, Washington. Excelente descripci´ on técnica que aparte de describir con detalle el movimiento de sat´ elites a baja altura tambi´ en se ocupa de estudiar algunas caracter´ısticas orbitales para misiones de monitoreo y reconocimiento. • Brouwer D. (1959) Solution of the Problem of Artificial Satellite Theory without Drag, Astronomical Journal, Vol. 64, p. 378. Famoso art´ıculo que describe la soluci´ on aproximada de las ecuaciones diferenciales de movimiento de un sat´ elite artificial perturbado por varios arm´ onicos zonales. La soluci´ on, muy elegante, descansa en el método de Von Zeipel de eliminaci´ on de variables can´ onicas. • Calise, A., Leung, M. (1995) Optimal Guidance Law Development for an Advanced Launch System, NASA Contractor Report-4667, Washington. Este art´ıculo contiene varios acercamientos al problema de la optimizaci´ on de la trayectoria de un cohete desde su despegue hasta la inyecci´ on. Las ecuaciones diferenciales del cohete est´ an escritas considerando multitud de fuerzas en acci´ on. • Calvo-Mozo B. (1999) ¿Es f´ısicamente posible superar la velocidad de la luz en el vac´ıo?, Revista colombiana de astronom´ıa, astrof´ısica, cosmolog´ıa y ciencias afines, Vol. 1, p. 97. Mediante una teor´ıa sustancial de la materia el autor expone la posibilidad de superar la luz en el vac´ıo en una forma discreta. • Chetty, P. R. K. (1991) Satellite Technology and its Applications, TAB professional and reference books, Blue Ridge Summit. Este libro esta m´ as dedicado al dise˜ no y construcci´ on de satélites. Tan s´ olo en sus primeros cap´ıtulos trata, aunque brevemente, algunos t´ opicos fundamentales sobre las o ´rbitas de sat´ elites y movimiento de cohetes. • Fortescue, P., Stark J. (1992), Spacecraft Systems Engineering, John Wiley & Sons, Wiltshire. Como su nombre indica, est´ a dedicado m´ as a la parte de la ingenier´ıa y dise˜ no de satélites que a otros t´ opicos. Sin embargo, las partes dedicadas a la mec´ anica celeste, an´ alisis de misi´ on y sistemas de propulsi´ on, aunque breves, est´ an muy bien expuestas.

352

´ CAPÍTULO 15. SATELITES ARTIFICIALES Y COHETES • Hale, F. (1994) Introduction to Space Flight, Prentice-Hall, New Jersey. Excelente libro introductorio para todos aquellos que deseen conocer las bases din´ amicas del movimiento de sat´ elites y cohetes. El desarrollo no es muy técnico y contiene bastantes ejemplos num´ ericos. • Shute, B. (1964) Prelaunch Analysis of High Eccentricity Orbits, NASA TN-2530, Washington. Este art´ıculo técnico contiene algunos resultados importantes sobre las perturbaciones de distintos tipos que pueden afectar la o ´rbita de un sat´ elite con gran excentricidad. • Soop, E. M. (1994) Handbook of Geoestacionary Orbits, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. Este libro contiene multitud de informaci´ on relacionada con las fuerzas que afectan el movimiento de un sat´ elite geoestacionario y los ajustes necesarios que hay que realizar para conservarlo realmente “estacionario”. • Strack, W., Huff, V. (1963) The N-Body Code - A General Fortran Code for the Numerical Solution of Space Mechanics Problems on an IBM 7090 Computer, NASA TN-1730, Washington. En este art´ıculo se puede encontrar un c´ odigo en fortran que permite calcular el movimiento de un cohete multietapas teniendo en cuenta multitud de fuerzas. Contiene una buena descripci´ on de las ecuaciones involucradas y del m´ etodo numérico de integraci´ on. • Thomson, W. T. (1986) Introduction to Space Dynamics, Dover Publications, Inc., New York. Un libro de din´ amica espacial excelente con ´ enfasis en el movimiento del cuerpo r´ıgido. • Vallado, D. A. (1997) Fundamentals of Astrodynamics and Applications, McGraw-Hill, New York. ´ Este es el libro fundamental para estudiar astrodin´ amica. Completo en todos los aspectos. La descripci´ on en perturbaciones, transferencias de o ´rbitas, determinaci´ on de o ´rbitas, etc., es inmejorable y actualizada. • Wiesel, W. E. (1997) Spaceflight Dynamics, McGraw-Hill, Singapur. Muy buen libro para abordar los conceptos con un lenguaje sencillo y claro. Aunque el desarrollo es técnico la exposici´ on es descriptiva. No hay m´ as ecuaciones que las necesarias. • http://celestrak.com/NORAD/elements/index.html Este sitio contiene elementos orbitales, actualizados d´ıa a d´ıa, de multitud de sat´ elites en distintos tipos de o ´rbitas. • http://www.spacer.com/index.html Contiene informaci´ on actualizada sobre lo que est´ a ocurriendo en el mundo de la astron´ autica. Numerosos enlaces a otros sitios. • http://dept.physics.upenn.edu/courses/gladney/mathphys/subsubsection3_1_3_3.html En este sitio se encuentra una descripci´ on muy pedag´ ogica de la ecuaci´ on b´ asica del movimiento del cohete. • http://www.ksc.nasa.gov/history/rocket-history.txt En este sitio se encuentra un breve resumen de la historia del desarrollo de los cohetes. • http://www.jpl.nasa.gov/basics/bsf-toc.htm Este sitio contiene informaci´ on de numerosos t´ opicos relacionados con el vuelo espacial. El tratamiento no es técnico, y es altamente recomendable para estudiantes de primaria y bachillerato.

Ap´ endice A

Constantes astron´ omicas A.1

Unidades

Las unidades metro (m), kilogramos (kg), y segundo (s) son las unidades de longitud, masa y tiempo respectivamente, del Sistema Internacional (SI) de unidades. La unidad astronómica de tiempo es un d´ıa (D) de 86 400 segundos. Un intervalo de tiempo de 36 525 d´ıas es un siglo (o centuria) Juliano(a). La unidad astron´ omica de masa es la masa del Sol (S). La unidad astron´ omica de longitud es aquella longitud (A) para la cual la constante gravitacional Gaussiana (k) toma el valor 0.01720209895, cuando las unidades de medida son las unidades astron´ omicas de longitud, masa y tiempo. Las dimensiones de k 2 son aquellas de la constante de gravitaci´ on (G). En la preparaci´ on de las efemérides y el ajuste de todos los datos observacionales disponibles, fué necesario modificar algunas constantes y masas planetarias; dichos datos modificados se presentan en paréntesis cuadrados, siguiendo los valores del sistema de 1976.

Constantes de definici´ on: 1. 2.

Constante gravitacional de Gauss Velocidad de la luz en el vac´ıo

k = 0.01720209895 c=299 792 458 m/s

Constantes primarias: 3.

Tiempo-luz para la unidad de distancia

4.

Radio ecuatorial de la Tierra valor IUGG Factor de forma din´ amico terrestre

5.

353

τA = 499.004782 s [499.0047837...] ae = 6 378 140 m ae = [6 378 137 m] J2 = 0.00108263

´ ´ APENDICE A. CONSTANTES ASTRONOMICAS

354 6.

Constante gravitacional terrestre

7. 8.

Constante de gravitaci´ on Raz´ on masa de la Luna a la de la Tierra

9.

Precesión general en longitud por centuria juliana para la época estándar 2000 Oblicuidad de la ecl´ıptica para la época estándar 2000

10.

GE = 3.986005 × 1014 m3 s−2 [3.98600448... × 1014 ] G = 6.6725 × 10−11 m3 kg −1 s−2 µ = 0.01230002 [0.012300034] ρ = 502900 .0966 ε = 23◦ 260 2100 .448 [23◦ 260 2100 .4149]

Constantes derivadas: 11. 12. 13. 14.

A.2

Constante de nutación para la época estándar 2000 Unidad de distancia Paralaje solar Constante de aberración para la época estándar 2000

N = 900 .2025 cτA = A = 1.49597870 × 1011 m [1.4959787066 × 1011 ] arcsin(ae/A) = π¯ = 800 .794148 κ = 20”.49552

Sistema de Constantes Astron´ omicas de la U.A.I. (1976)

15. 16.

Factor de achatamiento de la Tierra Constante gravitacional heliocéntrica

17.

Razón de la masa del Sol a la de la Tierra

18.

Raz´ on de la masa del Sol a la del sistema Tierra + Luna

19.

Masa del Sol

20.

Razones de la masa del Sol a la de los planetas (excluyendo Tierra + Luna):

Mercurio Venus Marte J´ upiter

6 023 600 408 523.5 3 098 710 1047.355 [1047.350]

f = 0.00335281 = 1/298.257 A3 k 2 /D2 = GS = 1.32712438 × 1020 m3 s−2 [1.32712440... × 102 0] (GS)/(GE) = S/E = 332 946.0 [332 946.038] (S/E)/(1 + µ) = 328 900.5 [328 900.55] (GS)/G = S = 1.9891 × 1030 kg

Saturno Urano Neptuno Plutón

3498.5 [3498.0] 22 869 [22 960] 19 314 3 000 000 [30 000 000]

Ap´ endice B

Posiciones geogr´ aficas de algunas ciudades colombianas Ciudad

Latitud

Abejorral Acand´ı Aguachica Anapoima Anserma Arauca Arjona Armenia Armero Barbosa Barrancabermeja Barranquilla Bello Bogotá Buenaventura Bucaramanga Buga Cajamarca Cali Cartagena Cartago Caucasia

◦ 5 8 8 4 5 7 9 4 4 5 7 10 6 4 3 7 3 4 3 10 4 8

’ 47 32 19 33 13 5 32 31 58 57 3 58 20 39 53 7 54 26 27 27 45 6

355

Longitud (Oeste) ◦ ’ 75 25 77 14 73 38 74 32 75 48 70 45 73 55 75 40 74 54 73 36 73 52 74 47 75 33 74 5 77 4 73 8 76 17 75 23 76 31 75 29 75 55 75 12

Altura mts∗ 2186 4 162 805 1837 124 106 1475 421 1500 111 14 1520 2620 12 959 1010 1827 995 2 942 450

´ ´ 356APENDICE B. POSICIONES GEOGRAFICAS DE ALGUNAS CIUDADES COLOMBIANAS Ciudad

Latitud

Cereté Chaparral Chigorod´ o Chiquinquir´ a Chocontá Ciénaga Cocorná Corozal C´ ucuta Dabeiba Duitama El Banco Envigado Espinal Facatativ´ a Florencia Fundaci´ on Garz´ on Gigante Girardot Granada Guaduas Honda Ibagué Ipiales Itagu´ı Jamund´ı La Dorada La Mesa La Vega Leticia L´ıbano Lorica Madrid Magangué Maicao Malambo Manizales

◦ 8 3 7 5 5 11 6 9 7 6 5 9 6 4 4 1 10 2 2 4 3 5 5 4 0 6 3 5 4 5 -4 4 9 4 9 11 10 5

’ 53 43 41 37 8 1 20 19 54 59 50 0 10 9 49 37 31 23 12 18 34 4 12 27 50 10 16 27 38 0 17 55 14 44 14 23 52 4

Longitud (Oeste) ◦ ’ 75 48 75 28 76 42 73 50 73 40 74 15 75 8 75 18 72 29 76 8 73 2 73 58 75 35 74 53 74 22 75 37 74 11 75 38 75 32 74 48 73 45 74 35 74 45 75 1 77 37 75 36 76 31 74 40 74 27 74 21 69 55 75 3 75 49 74 16 74 44 72 13 74 47 75 30

Altura mts∗ 15 880 34 2570 2684 122 1400 118 320 1350 2590 49 1607 438 2614 242 62 888 858 326 332 1007 229 1285 2890 1625 985 195 1320 1215 96 1585 5 2585 27 45 8 2126

357 Ciudad

Latitud

Marinilla Medell´ın Mit´ u Mocoa Momp´ os Monter´ıa Neiva Oca˜ na Orocué Pacho Palmira Pamplona Pasto Paz de R´ıo Pereira Pitalito Plato Popay´ an Pto. Berr´ıo Pto. Carre˜ no Pto. In´ırida Pto. Tejada Quibd´ o R´ aquira R´ıohacha Roldanillo Sabanalarga Sahag´ un Salamina San Andrés San Gil San Jacinto San José del Guaviare San Mart´ın Santa Marta Sevilla Sincelejo Socorro

◦ 6 6 1 1 9 8 2 8 4 5 3 7 1 5 4 1 9 2 6 6 3 3 5 5 11 4 10 8 5 12 6 9 2 3 11 4 9 6

’ 10 15 7 9 14 45 55 15 48 8 32 23 13 24 46 51 47 27 29 11 54 14 40 33 33 24 38 57 25 28 33 50 34 42 15 16 19 29

Longitud (Oeste) ◦ ’ 75 19 75 36 70 3 76 37 74 26 75 53 75 18 73 20 71 19 74 8 76 16 72 39 77 16 73 5 75 44 76 2 74 47 76 37 74 24 67 28 67 52 76 24 76 39 73 38 72 54 76 9 74 55 75 27 75 29 81 42 73 8 75 8 72 38 73 42 74 13 75 57 75 17 73 16

Altura mts∗ 2122 1479 180 579 33 49 442 1200 143 1859 1085 2340 2527 2720 1342 1318 16 1738 123 51 100 1000 43 2221 73 966 53 109 1822 2 1095 239 200 405 2 1598 66 1230

´ ´ 358APENDICE B. POSICIONES GEOGRAFICAS DE ALGUNAS CIUDADES COLOMBIANAS Ciudad

Latitud

Sogamoso Sons´ on Tulu´ a Tumaco Tunja Turbaco Turbo Uribia Urrao Valledupar Villa de Leiva Villavicencio Yarumal Yopal Zipaquir´ a

◦ 5 5 4 1 5 10 8 11 6 10 5 4 6 5 5

’ 43 42 6 49 31 20 6 40 20 27 38 9 58 21 2

Longitud (Oeste) ◦ ’ 72 56 75 18 76 11 78 46 73 21 75 25 76 43 72 14 76 5 73 14 73 31 73 39 75 24 72 24 74 0

* Metros sobre el nivel del mar.

Altura mts∗ 2570 2550 1025 6 2820 200 2 22 1885 280 2220 467 2300 350 2650

Ap´ endice C

Cuerpos del sistema solar

C.1

Datos f´ısicos de los planetas (I)

Planeta

Mercurio Venus Tierra Marte J´ upiter Saturno Urano Neptuno Plut´ on

Radio ecuatorial R (km) 2439 6052 6378 3397 71398 60000 26320 24300 1120

Masa

Densidad

M (kg) 3.30 × 1023 4.87 × 1024 5.97 × 1024 6.42 × 1023 1.90 × 1027 5.69 × 1026 8.70 × 1025 1.03 × 1026 1.00 × 1022

ρ (g/cm3 ) 5.4 5.2 5.5 3.9 1.3 0.7 1.1 1.7 2.1

359

Temperatura (superficie) Kelvin 615;130 750 300 220 140 100 65 55 45

Achatamiento f 0 0 0.003353 0.005186 0.06481 0.10762 0.023 0.017 0

Inclinaci´ on al ecuador (◦ ) 0.0 177.3 23.44 25.19 3.12 26.73 97.9 29.6 118?

´ APENDICE C. CUERPOS DEL SISTEMA SOLAR

360

C.2

Datos f´ısicos de los planetas (II)

Planeta

Mercurio Venus Tierra Marte J´ upiter Saturno Urano Neptuno Plut´ on

1

Per´ıodo de traslaci´ on (d´ıas) 87.97 224.70 365.26 687.02 4333 10744 30810 60440 91750

Per´ıodo de rotaci´ on 58.6 d 243.0 d 23 h 56 m 4 s 24 h 37 m 23 s 9 h 55 m 30 s 10 h 30 m 17 h 14 m 16 h 7 m 6d9h

Per´ıodo sin´ odico (d´ıas) 115.9 583.9 779.9 398.9 378.1 369.6 367.5 366.7

Velocidad orbital (km/s) 3.0 7.3 7.9 3.5 42.1 25.1 14.8 16.8 0.8

Velocidad parab´ olica (km/s) 4.2 10.3 11.1 5.0 59.6 35.5 20.1 23.8 1.1

Aceleración de la gravedad (m/s2 ) 3.7 8.8 9.8 3.7 24.9 10.5 8.3 11.6 0.53

En la superficie

C.3

Elementos orbitales osculatrices helioc´ entricos referidos a la ecl´ıptica media y equinoccio de J2000.0 ´ Epoca = 13.0 de septiembre 2000 (FJ 2 451 800.5)

Planeta

Mercurio Venus Tierra∗ Marte J´ upiter Saturno Urano Neptuno Plut´ on

Inclinaci´ on Longitud Longitud del nodo del ascendente perihelio

i

Ω

$

◦

◦

◦

7.00498 3.39460 0.00014 1.84967 1.30437 2.48544 0.77227 1.76856 17.16051

48.3301 76.6781 163.4000 49.5600 100.5042 113.6340 73.9476 131.7921 110.2600

77.4564 131.8530 102.9937 336.0139 15.4305 90.6429 169.4404 46.9810 223.7791

Semieje mayor a

Movimiento medio n

Excentricidad

e

◦

0.3871009 0.7233309 0.9999868 1.5235726 5.2044210 9.5825510 19.2012300 30.0476200 39.2362300

4.092304000 1.602135000 0.985628700 0.524094200 0.083052500 0.033231080 0.011714390 0.005984119 0.004010265

Longitud media Lr ◦

0.2056291 0.0067470 0.0167348 0.0934789 0.0488689 0.0564861 0.0456617 0.0112593 0.2444214

* Los valores presentados para la Tierra corresponden al baricentro del sistema Tierra-Luna.

217.84199 231.32466 352.28696 129.33705 55.58083 58.63199 316.48002 306.71426 240.00032

1

C.4. DATOS DEL SOL

C.4

Datos del Sol Propiedad Masa Radio Gravedad en la superficie Temperatura efectiva Temperatura en el n´ ucleo Luminosidad Densidad media Dendidad en el n´ ucleo Magnitud visual absoluta Magnitud visual aparente Inclinaci´ on del ecuador a la ecl´ıptica Paralaje ecuatorial horizontal Tipo espectral Distancia del centro gal´ actico Velocidad de escape en la superficie Movimiento relativo a las estrellas cercanas

C.5

361

Valor numérico 1.989 × 1030 kg 6.96 × 108 m 274 ms−2 = 27.9 g 5785 K 15 × 106 K 3.9 × 1026 W 1.41 gcm−3 140-180 gcm−3 4.79 −26.78 7o 150 8.79400 G2 V 8.5 kiloparsec 617.7 kms−1 apex: α = 271o , δ = +30o ´ velocidad: 19.4 kms−1

Datos de la Luna Propiedad Masa Radio Gravedad en la superficie Densidad media Inclinaci´ on media de la ´ orbita a la ecl´ıptica Paralaje ecuatorial horizontal medio Distancia promedio a la Tierra Excentricidad media de la ´ orbita Menor distancia a la Tierra Mayor distancia a la Tierra Per´ıodo de revoluci´ on del nodo Per´ıodo de revoluci´ on del perigeo Velocidad orbital media Per´ıodo de rotaci´ on sideral Albedo Magnitud visual aparente Velocidad de un satélite en ´ orbita baja Velocidad de escape desde la superficie Factor din´ amico (J2 )

Valor numérico 7.3483 × 1022 kg 1738 km 1.62 ms−2 = 0.17 g 3.34 gcm−3 5o 90 570 200 384 400 km 0.0549 356 400 km 406 700 km 6798 d´ıas 3232 d´ıas 1023 ms−1 27d 7h 43m 0.12 −12.74 1.68 kms−1 2.37 kms−1 2.027 × 10−4

´ APENDICE C. CUERPOS DEL SISTEMA SOLAR

362

C.6

Algunos asteroides Asteroide

Ceres Palas Juno Vesta Astraea Eros Hidalgo Amor Ícaro Apolo

C.7

Di´ ametro (km) 946 583 250 555 116 20 30 5? 2 2.5

Semieje mayor a (u.a.) 2.77 2.77 2.67 2.36 2.58 1.46 5.85 1.92 1.08 1.47

Excentricidad

Inclinaci´ on

Descubridor

0.08 0.23 0.26 0.09 0.19 0.22 0.66 0.43 0.83 0.56

(◦ ) 10.6 34.8 13.0 7.1 5.3 10.8 42.4 11.9 22.9 6.4

Piazzi (1801) Olbers (1802) Harding (1804) Olbers (1807) Hencke (1847) Witt (1898) Baade (1920) Delporte (1932) Baade (1949) Reinmuth (1932)

Algunos cometas Cometa

Encke Tempel 2 Kohoutek Harrington Borrelly Brooks 2 Wolf Whipple Comas Sol´ a Tuttle Quir´ on Halley Hale-Bopp Hyakutake

Per´ıodo (a˜ nos) 3.28 5.48 6.68 6.77 6.86 6.89 8.25 8.53 8.78 13.50 50.85 76.0 2535 20940

Semieje mayor a (u.a.) 2.21 3.10 3.55 3.57 3.61 3.62 4.08 4.17 7.19 5.67 13.71 17.78 186 760

Excentricidad

0.850 0.522 0.496 0.561 0.624 0.491 0.406 0.259 0.570 0.824 0.383 0.967 0.9951 0.9997

Distancia perihélica (u.a.) 0.331 1.484 1.787 1.568 1.357 1.843 2.428 3.094 3.094 0.998 8.459 0.587 0.914 0.230

Inclinaci´ on (◦ ) 11.9 12.0 5.9 8.6 30.3 5.5 27.5 9.9 13.0 54.7 6.9 162.2 89.4 124.9

Ap´ endice D

Refracci´ on astron´ omica a nivel del mar Altura ◦

0

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0◦

00

0

44 40 35 31 28 25 22 19 16 13 11 09 07 04 02 00 58 56 55 53 51 49 46 45 43 41 40 39 37 36 34

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5◦

00

42 38 33 30 27 24 21 18 15 12 10 08 06 03 01 59 57 55 54 52 50 48 46 44 42 41 39 38 37 36 34

Temperatura, grados cent´ıgrados 10 ◦ 15 ◦ 20 ◦ 25 ◦

30

◦

35

◦

40

◦

0

00

0

00

0

00

0

00

0

00

0

00

0

00

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

41 37 32 29 26 23 20 17 14 11 09 07 05 02 00 58 56 54 53 51 49 47 45 43 42 40 39 38 36 35 33

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

40 36 31 27 24 21 19 16 13 10 08 06 04 01 59 57 55 54 52 50 48 46 44 43 41 39 38 37 36 35 32

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

38 34 29 25 23 20 17 15 12 09 07 05 03 00 58 56 54 53 51 49 47 46 43 42 40 39 38 37 35 34 32

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

36 32 27 24 21 19 16 14 11 08 06 04 02 59 57 55 53 52 50 48 46 45 43 41 39 38 37 36 35 34 32

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

34 31 26 23 20 17 15 13 10 07 05 03 01 58 56 54 52 51 49 48 46 44 42 40 39 37 36 35 34 33 31

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

33 29 25 21 19 16 13 11 09 06 04 02 00 57 55 53 52 50 48 47 46 44 41 39 38 35 35 34 33 32 30

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

31 28 23 20 18 15 12 09 07 05 03 01 59 56 54 52 51 50 48 46 45 43 40 39 37 35 34 33 32 31 29

363

´ ´ ASTRONOMICA ´ APENDICE D. REFRACCION A NIVEL DEL MAR

364

Altura ◦

0

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0◦

00

0

33 32 30 29 28 27 25 24 23 22 21 20 19 17 16 15 14 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 00

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5◦

00

32 31 30 29 28 26 25 24 23 22 21 20 18 16 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 00

Temperatura, grados cent´ıgrados 10 ◦ 15 ◦ 20 ◦ 25 ◦

◦

30

35

◦

40

◦

0

00

0

00

0

00

0

00

0

00

0

00

0

00

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

32 31 29 28 27 26 24 23 22 21 20 19 18 16 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 00

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

31 30 29 28 26 25 24 23 22 21 20 19 18 16 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 00

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

31 30 28 27 26 25 23 22 21 20 19 18 17 15 14 13 12 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 00

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

30 29 28 27 26 24 23 22 21 20 19 18 17 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 01 00

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

30 29 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 01 00

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

29 28 27 26 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 01 00

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 14 13 12 11 10 10 09 08 07 06 05 44 03 02 01 01 00

Tabla D.1: Correcci´ on por temperatura

Altura (m) 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400

Factor 0.98 0.95 0.93 0.91 0.89 0.87 0.85 0.83 0.81 0.79 0.77 0.75

Altura (m) 2600 2800 3000 3200 3400 3600 3800 4000 4200 4400 4600 4800

Factor 0.73 0.71 0.70 0.68 0.66 0.65 0.63 0.62 0.60 0.59 0.58 0.56

Tabla D.2: Correcci´ on por presión atmosférica

Ap´ endice E

Estrellas E.1

Las estrellas m´ as cercanas al Sol

Estrella α Cen C (Pr´ oxima) α Cen A α Cen B Estrella de Barnard Wolf 359 BD+36o 2147 α CMa (Sirius A) α CMa (Sirius B) Luyten 726-8 A Luyten 726-8 B Ross 154 Ross 248 ² Eridani Luyten 789-6 Ross 128 61 Cygni A 61 Cygni B ² indi α CMe (Procyon A) α CMe (Procyon B)

α h 14 14 14 17 10 11 06 06 01 01 18 23 03 22 11 21 21 22 07 07

δ m 30 40 40 58 56 03 45 45 39 39 50 42 33 39 48 07 07 03 39 39

o

−62 −60 −60 04 07 35 −16 −16 −17 −17 −23 44 −09 −15 00 38 38 −56 05 05

’ 41 50 50 34 01 48 43 43 57 57 50 10 28 19 48 45 45 47 13 13

Magnitud absoluta 15.45 4.35 5.69 13.25 16.68 10.49 1.42 11.56 15.27 15.8 13.3 14.80 6.13 14.60 13.50 7.58 8.39 7.00 2.64 13.0

Espectro M5eV G2V K5V M5V M6eV M2V A1V eb A M6eV M6eV M4eV M6eV K2V M6eV M5V K5V K7V K5V F5V ebF

Tabla E.1: Estrellas cercanas

365

Paralaje (”) 0.762 0.745 0.745 0.552 0.429 0.401 0.377 0.377 0.367 0.367 0.345 0.317 0.303 0.303 0.301 0.294 0.294 0.291 0.286 0.286

Mov. propio ”/a˜ no 3.85 3.68 3.68 10.31 4.71 4.78 1.33 1.33 3.36 3.36 0.72 1.59 0.98 3.26 1.37 5.21 5.21 4.69 1.25 1.25

´ APENDICE E. ESTRELLAS

366

E.2

Las estrellas m´ as brillantes

Estrella α α α α α α β α α α β α α α α α β α α β α

CMa Car Cen Boo Lyr Aur Ori CMi Eri Ori Cen Aql Cru Tau Vir Sco Gem PsA Cyg Cru Leo

α Sirius Canopus Rigil Kentarus Arcturus Vega Capella Rigel Procyon Achernar Betelgeuse Hadar Altair Acrux Aldébaran Spica Antares Pollux Fomalhaut Deneb Mimosa Regulus

h 06 06 14 14 18 05 05 07 01 05 14 19 12 04 13 16 07 22 20 12 10

m 45.1 24.0 39.6 15.7 36.9 16.7 14.5 39.3 37.7 55.0 03.8 50.8 26.6 35.9 25.2 29.4 45.3 57.6 41.4 47.7 08.4

δ o

−16 −52 −60 19 38 46 −08 05 −57 07 −60 08 −63 16 −11 −26 28 −29 45 −59 11

’ 43 42 50 11 47 00 12 13 14 24 22 52 06 31 10 26 01 37 17 41 58

Magnitud absoluta 1.4 -4.6 4.1 -0.3 0.5 -0.6 -7.0 2.6 -2.5 -6.0 -5.0 2.2 -4.7 -0.8 -3.6 -4.6 1.0 1.9 -7.2 -4.6 -0.7

Tabla E.2: Estrellas m´ as brillantes

Espectro A1V, ebA F0Ib-II G2V, K5V K2IIIp A0V G5III,G0III B8Ia F5V, ebF B3Vp M2I B1 II A7V B0.5IV,B1V K5III B1V M1 Ib,B2.5V K0III A3V A2Ia B0III B7V

r (parsecs) 2.7 60 1.3 11 8.1 14 250 3.5 38 200 120 5.1 120 21 80 130 11 7 500 150 26

Mov. propio ”/a˜ no 1.33 0.02 3.68 2.28 0.34 0.44 0.00 1.25 0.10 0.03 0.04 0.66 0.04 0.20 0.05 0.03 0.62 0.37 0.00 0.05 0.25

Ap´ endice F

Fecha Juliana A˜ no -1900 -1800 -1700 -1600 -1500 -1400 -1300 -1200 -1100 -1000 -900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

FJ 1027082.5 1063607.5 1100132.5 1136657.5 1173182.5 1209707.5 1246232.5 1282757.5 1319282.5 1355807.5 1392332.5 1428857.5 1465382.5 1501907.5 1538432.5 1574957.5 1611482.5 1648007.5 1684532.5 1721057.5 1757582.5 1794107.5 1830632.5 1867157.5 1903682.5

A˜ no 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500J 1500G 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900

FJ 1940207.5 1976732.5 2013257.5 2049782.5 2086307.5 2122832.5 2159357.5 2195882.5 2232407.5 2268932.5 2268922.5 2305447.5 2341971.5 2378495.5 2415019.5 2451544.5 2488068.5 2524592.5 2561116.5 2597641.5 2634165.5 2670689.5 2707213.5 2743738.5 2780262.5

Tabla F.1: A˜ nos centuria J Calendario juliano

G Calendario gregoriano

367

´ APENDICE F. FECHA JULIANA

368

A˜ no 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

FJ 0 365 730 1095 1461 1826 2191 2556 2922 3287 3652 4017 4383 4748 5113 5478 5844 6209 6574 6939 7305 7670 8035 8400 8766

A˜ no 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

FJ 9131 9496 9861 10227 10592 10957 11322 11688 12053 12418 12783 13149 13514 13879 14244 14610 14975 15340 15705 16071 16436 16801 17166 17532 17897

A˜ no 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74

FJ 18262 18627 18993 19358 19723 20088 20454 20819 21184 21549 21915 22280 22645 23010 23376 23741 24106 24471 24837 25202 25567 25932 26298 26663 27028

A˜ no 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

FJ 27393 27759 28124 28489 28854 29220 29585 29950 30315 30681 31046 31411 31776 32142 32507 32872 33237 33603 33968 34333 34698 35064 35429 35794 36159

Mes Nov Dic

FJ 304 334

Tabla F.2: A˜ no adicional

Mes Ene Ene (B) Feb Feb (B)

FJ 0 -1 31 30

Mes Mar Abr May Jun

FJ 59 90 120 151

Mes Jul Ago Sep Oct

FJ 181 212 243 273

Tabla F.3: Mes adicional (B) Para a˜ nos bisiestos.

Ap´ endice G

Calendario G.1

Descansos remunerados Nombre de la fiesta Circuncisi´ on del Se˜ nor La epifan´ıa San José D´ıa del trabajo San Pedro y San Pablo Independencia Nacional Batalla de Boyacá Asunci´ on D´ıa de la raza Todos los santos Independencia de Cartagena La Inmaculada Concepción La Natividad Jueves santo Viernes santo Ascensión del Se˜ nor Corpus Christi Sagrado Corazón

D´ıa a celebrar 1 de enero 6 de enero ∗ 19 de marzo ∗ 1 de mayo 29 de junio ∗ 20 de julio 7 de agosto 15 de agosto ∗ 12 de octubre ∗ 1 de noviembre ∗ 11 de noviembre ∗ 8 de diciembre 25 de diciembre 3 d´ıas antes de la Pascua 2 d´ıas antes de la Pascua 39 d´ıas después de la Pascua 60 d´ıas después de la Pascua 68 d´ıas después de la Pascua

∗ ∗ ∗

Tabla G.1: Descansos remunerados en la Rep´ ublica de Colombia * Modificados por la ley 51 de 1983.

369

´ APENDICE G. CALENDARIO

370

G.2

Fechas de Pascua para algunos a˜ nos A˜ no 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030

Letra dominical BA G F E DC B A G FE D C B AG F E D CB A G F ED C B A GF E D C BA G F

N´ umero aúreo 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Epacta 24 5 16 27 8 19 0 11 22 3 14 25 6 17 29 10 21 2 13 24 5 16 27 8 19 0 11 22 3 14 25

Fecha de Pascua 23 de abril 15 de abril 31 de marzo 20 de abril 11 de abril 27 de marzo 16 de abril 8 de abril 23 de marzo 12 de abril 4 de abril 24 de abril 8 de abril 31 de marzo 20 de abril 5 de abril 27 de marzo 16 de abril 1 de abril 21 de abril 12 de abril 4 de abril 17 de abril 9 de abril 31 de marzo 20 de abril 5 de abril 28 de marzo 16 de abril 1 de abril 21 de abril

Tabla G.2: Letra dominical, N´ umero aúreo, Epacta y fecha de Pascua 2000-2030

G.3. CALENDARIO PERPETUO

G.3

371

Calendario Perpetuo

00 06 17 23 28 34 45 51 56 62 73 79 84 90 0 1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13

14 15J

15G 16

17

21

18

22

19 20

23 24

6 5 4 3 2 1 0

01 07 12 18 29 35 40 46 57 63 68 74 85 91 96 0 6 5 4 3 2 1

02 13 19 24 30 41 47 52 58 69 75 80 86 97 1 0 6 5 4 3 2

03 08 14 25 31 36 42 53 59 64 70 81 87 92 98 2 1 0 6 5 4 3

09 15 20 26 37 43 48 54 65 71 76 82 93 99 3 2 1 0 6 5 4

04 10 21 27 32 38 49 55 60 66 77 83 88 94 4 3 2 1 0 6 5

05 11 16 22 33 39 44 50 61 67 72 78 89 95 5 4 3 2 1 0 6

Tabla G.3: N´ umero para el a˜ no J Hasta el 4 de octubre de 1582 (calendario juliano). G Desde el 15 de octubre de 1582 en adelante (calendario gregoriano).

´ APENDICE G. CALENDARIO

372 Feb. (B) May. 1 2 3 4 5 6 0

2 3 4 5 6 0 1

Ago. 3 4 5 6 0 1 2

Feb. Mar. Nov. 4 5 6 0 1 2 3

Sep. Jun. 5 6 0 1 2 3 4

Dic. 6 0 1 2 3 4 5

Ene. (B) Abr. Jul. 0 1 2 3 4 5 6

Ene. Oct. 1 2 3 4 5 6 0

Tabla G.4: N´ umero para el mes (B) Para a˜ nos bisiestos.

1 2 3 4 5 6 0

1 8 15 22 29 Dom. Lun. Mar. Mie. Jue. Vie. Sab.

2 9 16 23 30 Lun. Mar. Mie. Jue. Vie. Sab. Dom.

3 10 17 24 31 Mar. Mie. Jue. Vie. Sab. Dom. Lun.

4 11 18 25

5 12 19 26

6 13 20 27

7 14 21 28

Mie. Jue. Vie. Sab. Dom. Lun. Mar.

Jue. Vie. Sab. Dom. Lun. Mar. Mie.

Vie. Sab. Dom. Lun. Mar. Mie. Jue.

Sab. Dom. Lun. Mar. Mie. Jue. Vie.

Tabla G.5: N´ umero para la semana

Ejemplo Determinar el d´ıa de la semana del 5 de agosto de 2045. Del a˜ no dado se toma la centena y el n´ umero restante como dos n´ umeros independientes. Para el a˜ no 2045 la centena corresponde a 20 y el n´ umero restante 45. En la tabla G.3, en la peque˜ na subtabla inferior izquierda, se halla la centena. En la parte superior se halla el n´ umero restante. La intersecci´ on de la l´ınea de las centenas con la columna del n´ umero restante permite determinar un n´ umero que en nuestro ejemplo es 1. Con el n´ umero hallado pasamos a la tabla G.4. La intersecci´ on del n´ umero 1 (columna de la izquierda) con el mes de agosto permite determinar, en nuestro ejemplo, el n´ umero 3. Dicho n´ umero corresponde a la columna de la izquierda de la tabla G.5. La intersecci´ on de dicha l´ınea con el d´ıa en cuesti´ on (dado en la parte superior de dicha tabla) permite, en nuestro ejemplo, hallar que el d´ıa referido cay´ o en s´ abado.

Índice de Materias B´ oveda celeste, 50, 51, 93 Bradley, James, 66, 182, 185 Brahe, Tycho, 65, 210

Aberraci´ on, 175, 185, 187–190, 203 anual, 187 diurna, 189, 203 estelar, 185, 187 planetaria, 187, 190 secular, 187 Aceleraci´ on de la gravedad, 231 Achatamiento, 33, 219 Adams, John, 205 Afelio, 213 Altura, 70 ´ Angulo esférico, 23 horario, 71, 73 Anomal´ıa excéntrica, 255, 258 media, 255 verdadera, 213, 245, 254 A˜ no, 94, 156 beseliano, 179 bisiesto, 159 civil, 156 juliano, 162, 179 sideral, 156 tr´ opico, 156, 159, 160 Arato, 63 Argelander, Friedrich, 66 Argumento de latitud del pericentro, 265, 266 Aristarco, 208 Ascensi´ on recta, 73 Asteroides troyanos, 289 Astrodin´ amica, 207 Astrolog´ıa, 17 Astronom´ıa, 15, 17 Atm´ osfera, 31 Augusto, 159 Azimut, 69

Calendario, 155 gregoriano, 157, 163 juliano, 158–160 romano primitivo, 157 Calendario colombiano, 171 Cassini, Jean Dominique, 185 Cavendish, Henry, 218 Cenit, 52, 53 Centro de masas, 225, 226 Ciclo solar, 169 C´ırculo de declinaci´ on, 53 polar ant´ artico, 147 polar a ´rtico, 147 Circunferencia m´ axima, 22 Clark, Arthur C., 328 Clavius, Crist´ obal, 162 Coeficientes arm´ onicos, 220 Cohete, 316, 336, 342 Col´ on, Crist´ obal, 150 Concilio de Nicea, 161, 162 C´ onica, 244 Conjunci´ on inferior, 101 superior, 101 Constante de Cavendish, 218, 229 de Gauss, 250 Constantino, 161, 168 Constelaci´ on, 62, 63 Coordenadas ecl´ıpticas, 69, 73 ecuatoriales absolutas, 69, 72 ecuatoriales horarias, 69, 71 gal´ acticas, 69, 75 geocéntricas, 35

Bayer, Johann, 65 Bessel, Friedrich, 66

373

374 geodésicas, 35, 37 geogr´ aficas, 35 horizontales, 69 topocéntricas, 276 Copérnico, Nicol´ as, 208 Cronolog´ıa, 163 Culminaci´ on inferior, 136 superior, 136 Declinaci´ on, 71 Deflecci´ on gravitacional de la luz, 175, 201 Delaunay, Charles, 126, 303 Depresi´ on del horizonte, 141 Desviaci´ on de la vertical, 39, 40 D´ıa, 107, 126, 155 sideral, 108 solar medio, 109, 127, 131 solar verdadero, 108 Dionisio el Exiguo, 164 Distancia cenital, 70 media, 213, 266 radial, 43 Ecl´ıptica, 56, 99, 109 Ecuaci´ on de Kepler, 255, 256 de los equinoccios, 124 del tiempo, 116 Ecuador celeste, 51, 53, 54 terrestre, 34, 35, 38, 54 Efecto Doppler, 193 Einstein, Albert, 128, 201, 206, 297, 299 Eje de rotaci´ on, 34, 51, 56, 175, 176 Elementos orbitales, 265 Elipse, 33, 41, 210, 211, 244, 245, 249 Elongaci´ on, 101 Energ´ıa cinética, 248, 249 potencial, 248 total, 248 Epacta, 167, 169 Equinoccio vernal, 57, 58, 158, 161 Esferoide, 33, 37 Estrella polar, 149 Eudoxo de Cnidos, 63 Euler, Leonhard, 34, 304 Excentricidad, 42, 211, 266

ÍNDICE DE MATERIAS Fases lunares, 96, 157 Fecha juliana, 120, 121, 123, 367 Flamsteed, John, 65, 66, 185 Funci´ on potencial gravitacional, 219 Funciones asociadas de Legendre, 220 Galilei, Galileo, 209 Garavito, Julio, 205, 280 Gauss, Carl Friedrich, 250 Geodesia, 32 Geodésicas, 206 Geoide, 33 Gregorio XIII, 162, 163, 167 Guiraldi, Luis Lilio, 167 Halley, Edmond, 65, 66, 191 Harrison, John, 152 Hemisferios celestes, 51 Hevelius, Johannes, 63 Hiparco de Nicea, 65, 178 Hipérbola, 244, 247, 259 Hooke, Robert, 185 Hora de verano, 116 Horizonte, 48, 53 Horizonte matem´ atico, 52, 69 Huso horario, 113 Huygens, Cristian, 152 Inclinaci´ on, 266 Indicci´ on romana, 168 Jacobi, Karl, 290 Jesucristo, 161 Julio César, 120, 158, 159 Kepler, Johannes, 18, 209 Lagrange, Joseph-Louis, 288, 304 Latitud ecl´ıptica, 74 gal´ actica, 76 geocéntrica, 35 geodésica, 38 Letra dominical, 165 Leverrier, Urbano, 205 Ley de atracci´ on gravitacional, 216, 218, 223 Leyes de Kepler, 210 de Newton, 216, 217

ÍNDICE DE MATERIAS L´ınea de las a ´psides, 265 de los nodos, 265 internacional de cambio de fecha, 113 Longitud del nodo ascendente, 266 del pericentro, 267 ecl´ıptica, 74 gal´ actica, 76 geocéntrica, 35 geodésica, 38 Mayer, Tobias, 191 Mec´ anica celeste, 127, 205–207 Mercator, Gerhardus, 63 Meridiano de Greenwich, 37, 112, 115 de referencia, 37 del observador, 53, 135 Mes sidéreo, 97 sin´ odico, 97, 157 Met´ on, 165 Momentum angular, 233, 234 lineal, 217, 225 Movimiento del polo, 34, 131 diurno, 31, 71, 94 en el espacio, 175, 191 medio, 250 propio, 191, 192, 203 Nadir, 52, 53 Newcomb, Simon, 126, 127, 179 Newton, Isaac, 206, 216, 219, 280, 282, 315 Nodos lunares, 96 Numa Pompilio, 157, 158 N´ umero ´ aureo, 166 Nutaci´ on, 124, 175, 181–183, 203 Oblicuidad de la ecl´ıptica, 56, 176 media de la ecl´ıptica, 184 verdadera de la ecl´ıptica, 124, 184 Ocaso, 137 Oposici´ on, 102 Orto, 137 Paralaje, 150, 175, 193, 196, 197

375 anual, 193, 195, 196, 203 diurno, 193 horizontal, 193 Parsec, 197 Par´ abola, 244, 245, 261 Paréntesis de Lagrange, 307 Pascua, 161, 165, 167 Perihelio, 213 Per´ıodo juliano, 120 Planeta exterior, 102 interior, 101 Planetas, 99 Poincaré, Henri, 291, 310 Polo norte celeste, 51 norte terrestre, 34, 54 sur celeste, 51 sur terrestre, 34, 54 Polos terrestres, 34, 51, 54 Precesi´ on, 146, 156, 175–179, 182, 183, 202 general, 178 lunisolar, 178 planetaria, 178 Problema de los dos cuerpos, 223 de los n cuerpos, 281, 290 de los tres cuerpos, 280, 282 restringido de los tres cuerpos, 288 Ptolomeo, Claudio, 63, 65, 208 Puntos cardinales, 53 de Lagrange, 289 Radio vector, 213, 245 Refracci´ on, 140, 150, 175, 198, 199, 203 Rético, Georg, 209 Riemann, Berhard, 206 Rotaci´ on, 32, 34 Satélite geoestacionario, 231, 251, 327 Molniya, 331 Sol-sincr´ onico, 326 Tierra-sincr´ onico, 325 Satélites artificiales, 32, 219, 220, 315 Scaliger, Justus, 120, 169 Segundo bisiesto, 132

376 SI, 130 Semana, 155 Semieje mayor, 42, 211, 266 Semieje menor, 249 Sistema inercial, 217, 223 Solsticio, 59, 115, 147, 158 Sos´ıgenes, 158 Teor´ıa de la relatividad general, 128, 201, 206, 207 The Astronomical Almanac, 129 Tiempo at´ omico, 130 at´ omico internacional, 130 de las efemérides, 127, 128 din´ amico, 128 din´ amico baricéntrico, 129 din´ amico terrestre, 129 local, 113 sideral, 126 sideral local, 81, 111, 118 solar medio, 112 solar verdadero, 111 terrestre, 129 universal, 112, 126, 131 universal coordinado, 131 Tierra, 31, 32, 48 rotaci´ on, 126, 127 Transferencia de Hohmann, 332 Transformaci´ on de coordenadas ecu. absolutas a ecu. horarias, 81 ecu. absolutas a ecl´ıpticas, 87 ecu. absolutas a gal´ acticas, 89 ecu. ecl´ıpticas a ecu. absolutas, 86 ecu. horarias a ecu. absolutas, 81 ecu. horarias a horizontales, 80 gal´ acticas a ecu. absolutas, 91 horizontales a ecu. horarias, 78 Trayectoria rectil´ınea, 240 Tri´ angulo esférico, 23 Trigonometr´ıa esférica, 21 Tr´ opico de Capricornio, 146 de C´ ancer, 146 Tsiolkovsky, Konstantin, 339 Universo, 15 Velocidad radial, 191, 193

ÍNDICE DE MATERIAS Vernal, punto, 57, 108, 156, 232 Vertical de un astro, 53 local, 39 V´ıa L´ actea, 75 Zod´ıaco, 64, 99 Zona torrida, 146

Elementos de Astronomía de Posición - José Gregorio Portilla

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