EJERCICIOS_SOBRE_VECTORES._TRABAJO_GRUPAL.docx

EJERCICIOS DE VECTORES VECTORES EN 2D 1. Si a=(x, 2x) b ∥ a ; a-b= (2x, -z) y la nora !" a-b "# 2$. %allar la nora nora !" !" b. Por dato b ∥ a : b =( P  P , Q )= B ( x , 2 x ) b =( P  P , Q )=( xB , 2 xB ) Por dato a-b=(2x, z):

 x , 2 x ) −( xB  xB , 2 xB ) =(2 x , − z ) ( x

( x  x , 2 x ) + (− xB ,− 2 xB )=(2 x ,− z )

( x  x − xB , 2 x −2 xB ) =(2 x , − z )  x − xB =2 x

− xB = x B =−1 2 x −2 xB =− z 2 x −2 x (−1)=− z

4 x =− z

−4 x = z

|a −b|=20

Por dato

|a −b|=√ (2 x ) +(− z ) 2

2

Reemplazamos Reemplazamos el valor de z:

√ (2 x ) +(−4 x ) 20= √ 4 x + 16 x 20= √ 20 20 x 2

20=

2

2

2

2

2

400 =20 x 20= x

2

20= x √ 20

Reemplazando Reemplazando los datos para hallar la norma de b:

b =( P  P , Q )=( xB , 2 xB )

|b|=√ [( √ 20 20 )(−1) ] + [ 2 ( √ 20 20 )(−1 )] 2

|b|= √ [ − √ 20 20 ] + [ − 2 √ 20 20 ] 2

|b|=√ 20 20 + 80

2

2

|b|=√ 100 100 |b|=10 2. Noralizar "l &"'or 'ya nora "# *, #i # #"+n!a 'oon"n" "# 

V =( x , 4 ) Por dato:

|V |=5

Entonces:

 x 2 + 4 2 |V |=√  x 5=

√  x x + 16 2

25= x

2

+16

2

9 = x 3= x

Nuestro vector será:

V =( 3, 4 ) Normalzando:

|V |=( 3, 4 ) 5

|V |=( 3 ,  4 ) 5 5

. S"an /=(a,-2), 0= (2,), C= (,-) y D=(x, y), y), al " y=2x31. Si Si /0=CD. %allar %allar "l &alor !" a-x Por dato !"=#$:

( a ,− 2 )−( 2,4 )=( 8,−3 )−( x , y ) ( a ,− 2 )−( 2,4 )=( 8,−3 )−( x , 2 x + 1 )  x , 2 x + 1 )=( 8, −3 ) + ( 2,4 ) ( a ,− 2 )+ ( x

( a + x ,− 2 + 2 x + 1 )= ( 8 + 2, − 3 + 4 ) ( a + x , 2 x −1 )= ( 10,1 ) 2 x −1=1 2 x =2

 x =1 a + x =10 a + 1 =10

a =9 Por lo tanto:

a − x =9 −1=8

(m m)

b=

a =( m2−3, m −1 )

. Si

&= 9 b −4 a Por dato: a ⊥ b

( m m )= m − )∗ ( m , m )=

( m −3, m−1 )∗

4

( m −3,

4

2

2

1

{[

( m − 3 )∗ 4

{[

 4 m

{ { {

2

m

2

2

4

, 2

4

2

][ +

0

0

( m− 1 )∗4 m

]}

][

]}=

−12 4 m − 4 + =0 m m2

4m

2

4m

2

}

−12 4 m−4 0 + = m m2

8m

2

}

−12 + 4 m2− 4 m = 0 m2

}

− 4 m−12 0 = m2

2

−4 m −12=0

2

−m −3= 0

8m 2m

( m + 1 )∗( 2 m− 3)= 0 %&ualamos:

m+ 1=0 m =−1 2 m −3 = 0

2 m =3

0

4

2

,

4

;

m > 0 ; 4a5 "# "r"n!i'lar a 4b5. 6allar V, #i

m=

3 2

'allaremos :

V = 9 b − 4 a V = 9 (

4

4

 ,

m m 2

)− 4 ( m2− 3, m−1 )

Reemplazando Reemplazando valor de m:

V =

[ ] 4

9(

 4

2

3

 , ) − 3

( )

[

9(

, )− 3

4

[[ (

V =

9

[]

 4  4 9

2

16 8

9 −12 , 4

9

4

2

2

3

4

3 2

2

2

V =

[ (( ) − ) , ( − )] 3

][

, )− 3

4

 9

4

4

−12 , 4

( − )]

−12 , 4

( − ) ]]

 9 4

3 2

3 2

1

]

1

1

( −) 3 2

1

(16,24 )−¿ )− ¿ V =¿

[

V = (16,24 )−(−3 , 4

( ))] 1 2

V =[ ( 16,24 )+( 3 , −2)] V = ( 1 6 + 3 , 24 − 2 )

V =( 19 , 22 ) *. Si a=(,*)3(,) a=(,*)3(,) y b=(-,-)-2(1,2) b=(-,-)-2(1,2) y a "# aral"lo a b. b. D""rinar D""rinar "l &alor &alor !"  a = ( m , 5 ) + ( 3,3 )

a =( m+ 3,5+ 3 ) a = ( m+ 3,8 )

b =4 (−m ,−3 ) −2 ( 1,2 ) b = (− 4 m ,− 12 ) + (− 2,− 4 )

b =(−4 m−2 , −12−4 ) b = (− 4 m− 2 , − 16 )

Por dato: a ∥ b

( m+ 3,8 )= R (−4 m −2 , −16 )

( m + 3,8 )= (− 4 m R − 2 R , − 16 R ) ( m + 3,8 )=(−4 m R −2 R , −16 R ) 8 =−16 R

−1  R = 2

Reemplazando el valor de R:

m+ 3=−4 mR −2 R m + 3=−4 m (

−1 2

)−2 (

−1 2

)

m + 3=2 m + 1 2 =m

7. Si a=(1,-1) b=(x,*) '=(-x, x

2

¿  , a!"8# 9=a3b. D""rinar I9I, #i #" 'l"

" : "# "r"n!i'lar a 4 ' 4. Por dato:  = (*, -*) + (x,)  = (*+x, -*+)  = (x+*,) Por propedad:

w⊥c

( x +1,4 )∗( − x , x 2 ) =0 ( x +1 )∗(− x ) + ( 4 )∗( x 2 )=0 (− x2− x + 4 x 2)=0 2

3 x

− x =0

Reemplazamos (*) en :  = ((*/0)+*,)  = (/0,) Entonces calculamos |w| :

|w|= √ ( 4 )2 + ( 3,4 )2 |w|= √ 16 +11.56 |w|= √ 27,56 |w|=5,2

2

3 x

= x

3 x =1

x=

1 3

. (*)

⃗u= (2, − 1 ) , !""rinar !o# &"'or"# "iol"n"# a

. Da!o "l &"'or

⃗u , AB yCD ,

#abi"n!o "  A ( 1,−3 )  y D ( 2,0 )

⃗u= AB

( 2,−1 )= ( x a−1, y a+ 3 ) 2= x a−1 x a=3

−1 = y a + 3 y a=−4

B =( 3,− 4 )

⃗u=CD

( 2,−1 )= ( 2− x c , 0 − y c ) 2=2 − x c

x c =0

C = ( 0,1 )

−1 =− y c y c =1 .
⃗ 12 ⃗

 AC = CB

( x −2, y + 1 )= 1 ( 8− x ,− 4 − y ) 2

1

 x −2= ( 8 − x ) x = 4 2

1

 y + 1= (−4 − y ) y =2 2

Entonces:

C ( 4, −2 )

>. ?n "rro " b#'a n 6"#o 'aina ,* "ro# 6a'ia "l #r, !"#@# ,2 "ro# "n n 8n+lo !" $A al Nor-"#" y Bnal"n" 1* "ro# al o"#". En'"nr" "l &"'or !" !"#lazai"no r"#lan" !"l "rro ilizan!o @'ni'a# +r8B'a# y anali'a.

sen 30 ° =

 B  y 8,2

B y =8,2∗sen 30 ° B y =8,2∗0,5 B y = 4,1 metros cos30 ° =

 B x 8,2

B x =8,2∗cos30 ° B x =8,2∗0,5866 B x =7,1 metros 15= D x + B x 15= D x + 7,1 15−7,1 = D x

 D x =7,9  A 0,6 tgβ =  y = =7,5949 ∗10−2  D x 7,9 tgβ =7,5949 ∗10−2  β =arctg 7,5949 ∗10−2  β =4,34 °

¿> ∅= 180− 4.34=175.66 ° !hora:  R= √  A y + D y 2

 R= √ ( 0,6 ) + ( 7,9 ) 2

2

 R= √ 0,36 + 62,41

2

 R= √ 62,77  R=7,92 metros 1$.

Si  A y B  #on !" la #i+i"n" ora  A = (1,2,3 ) y B =( 4,5,6 ) . %allar  A x B

1u producto vectoral se determna as:

⃗ i⃗  j⃗ k 

 A x ⃗B= 1 ⃗

4

2 5

3 6

 A x B= ( 2 x 6 − 5 x 3 ⃗) i − ( 1 x 6 − 4 x 3 ⃗)  j + ( 1 x 5− 4 x 2 ) k⃗ 

 A x B=( 12 −15 ⃗) i− ( 6−12 ⃗)  j + ( 5 −8 ) ⃗k   A x B=−3 i + 6 j −3 K  11.

Si

⃗a =( x + 1,3 x −2 ) y ⃗b=( 1− x , x )

%allar

x ara

"

⃗a + 5 b

#"a aral"lo

⃗c =( 1,−7 ) 1oluc3n:

⃗a + 5 b⃗ =( x + 1,3 x − 2 )+ 5 ( 1− x , x ) ⃗a + 5 b⃗ =( x + 1,3 x − 2 )+( 5 −5 x , 5 x ) ⃗a + 5 b =( x + 1 +5 −5 x  3 x −2 +5 x ) ⃗a + 5 b =( 6− 4 x  8 x −2 )

por dato

⃗a + 5 b  // ⃗c

=4

 ! x ∈ R

⃗a + 5 b = " c⃗

( 6 −4 x  8 x −2 )= " (1,−7 )

( 6 −4 x  8 x −2 )=( " −7 " ) 6 −4 x = "

1  x =2 1e cumple 5ue:

8 x − 2=− 7 ( 6− 4 x ) 8 x −2=− 42+ 28 x

8 x −2=−7 "

a

 " = 6− 4 ( 2 )

−2 + 42=28 x −8 x

 " =6− 8

40 =20 x

40

 " =−2

20

= x

 x =2

=4

6 −4 x  8 x −2= "  −7 "

 

12.

(-26*)=(-26*)

# 

D""rinar ara " &alor"# !"

"r"n!i'lar"# "nr" #, #abi"n!o "

lo# &"'or"#

|a⃗|= 3

⃗a + # b

|b⃗|=5

;

1oluc3n:

⃗a + # b ⊥ ⃗a−# b

( ⃗a + # ⃗b ) ( ⃗a− # ⃗b ) = 0 a⃗ 2− # 2 ⃗b2= 0 a⃗ 2= # 2 ⃗b2 ⃗a2 2 =#  ⃗b2

# 2= 7os valores son:

1.

# =

Cal'lar

|a⃗ −⃗b|

 #abi"n!o "

1oluc3n:

|a⃗ + ⃗b|= 24 |a⃗ + ⃗b|2=24 2

3 5

9

=4

25

# =

∧

|a⃗|=13

 ;

=4

# = $

√

9 25

3

2

5

2

= # 2

=4

−3 5

|b⃗|=19

 y

|a⃗ + ⃗b|= 24

# =$

3 5

;

⃗a −# b

#on

|a⃗|2+ 2 a⃗ b⃗ +|⃗b|2=576 2

13

+ 2 ⃗a ⃗b + 192=576

a b + 361=576 169 + 2 ⃗ 2⃗ a b=576 −361−169

a b= 46 2⃗

|a⃗ −⃗b|2=|a⃗|2+|⃗b|2 −2 ⃗a ⃗b

1:

|a⃗ −⃗b|2=132 + 192− 46 |a⃗ −⃗b|2=169 +361− 46 |a⃗ −⃗b|2=484 |a⃗ −⃗b|=22 b  oran "nr" #i n 8n+lo !" 45∘  y "l !lo !" ⃗a ⃗ "# . %allar "l !lo !" b  !" o!o " ( ⃗a − b )  #"a "r"n!i'lar a ⃗a .

1.


⃗a  y

1oluc3n: 1

|a⃗|=3

  6 además

!demás el án&ulo #omo

⃗a −b ⊥ ⃗a

( ⃗a % ⃗b )= 45

∘

⃗a −b ⊥ ⃗a

|a⃗|2=⃗a % ⃗b |a⃗|2=|a⃗||⃗b|cos 45∘ |a⃗|=|b⃗|cos45 ∘



( ⃗a − ⃗b ) % ⃗a= 0



|a⃗|2− ⃗a % ⃗b = 0

3=

√ 2 |b⃗| 2

|b⃗|= 3.2 = 6 % √ 2 = 6 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 2

|b⃗|= 6 √ 2 2

|b⃗|=3 √ 2

1*.

b   oran "nr" #i n 8n+lo !" 45∘   y "l !lo !"  . %allar "l !lo !" b  ara " ⃗a + b   or" 'on ⃗a  n 8n+lo !" ⃗a


|a⃗|=3 30

y

∘

1oluc3n:

( ⃗a , ⃗b ) = 45  8 |a⃗|=3 ∘ ⃗ 7ue&o el án&ulo ( ⃗a  ⃗a + b )=30 Por hp3tess el án&ulo

∘

⃗a % ⃗b=|⃗a||b⃗|cos45∘

#omo

2 ⃗a % ⃗b= 3 = √  |⃗b| 2

⃗a % ( ⃗a + b⃗ )=|a⃗||⃗a + b⃗| cos30∘

1:

|a⃗| + ⃗a % b⃗ =|⃗a| √ 3 |⃗a + b⃗| 2

2

2

3

3 2 3 3 + √  |b⃗|= √  |a⃗ + ⃗b|

9+

3+

[

2

2

3 √ 2

|⃗b|= 3 √ 3 |⃗a + b⃗|

2

2

√ 2 |⃗b|= √ 3 |⃗a + b⃗|e&e'an(oa&cua(ra(o 2

2

][ 2

]

√ 2 |⃗b| =  √ 3 |⃗a + b⃗| 3+ 2

2

2

2

√ 2 |⃗b| +2.3 √ 2 |⃗b|= √ 3 (|⃗a| +|b⃗| + 2 ⃗a b⃗ ) 9+ 2

2

9+

2

2

2

|b⃗|2

|b⃗|2

2

2

2

2

+ 3 √ 2|⃗b|= 3 |⃗a|2 + 3 |b⃗|2 + 3 2 a⃗ b⃗ 4

4

4

3 2 3 3 − |b⃗| + 3 √ 2|⃗b|+ 9 − ( 3 )2 + .2.3 % ⃗b= 0 4

4

4

|b⃗|2−3 √ 2|⃗b|− 9=0 −(−3 √ 2 ) $ √ (−3 √ 2 ) − 4 ( 1 ) (−9 ) |b⃗|= 2 ( 1) 2

|b⃗|= 3 √ 2 $ √ 3

2

√ 2 + 36 2

2

|b⃗|= 3 √ 2 $ √ 36 + 36 2

2 2 3 √ 2 $ √ 6 + 6 ⃗ |b|=

2

|b⃗|= 3 √ 2 $ √ 2.6

2

2

|b⃗|= 3 √ 2 $ 6 √ 2 2

|b⃗|= 3 √ 2 + 6 √ 2

Entonces:

17.

2

8

|b⃗|= 3 √ 2 − 6 √ 2 2

Son+ao# " "l &i"no #ola 'on na "rza !" * $$$N #obr" la &"la !" n

bar'o "n la !ir"''in *$ 6a'ia "l nor". 1oluc3n:

∘

60

 NO. %all" "l rabaFo r"aliza!o al !"#lazar "l bar'o

1:

) = * %+ Q

$onde:

 * =(−5000 sen 60 ∘ , 5000 cos 60∘) ⃗

 √ 3  5000. − 1 )

 * =(− 5000 ⃗

 * =(− 5000 ⃗

) =

[

2

2

√ 3  2500 ) 2

]

−5000 √ 3  2500 % ( 0,50 ) 2

) = 125000 ou&es

1. S" BFa "l i&o" !" na alan'a "n "l ori+"n !" al an"ra " +ir" "n "l lano yz, 'oo "#ra "l !ibFo. S" ali'a na "rza &"ri'al !" 2$$N al "xr"o !" la alan'a. %all" "l o"no !" la alan'a r"#"'o a # i&o" 'an!o ora n 8n+lo !" 1oluc3n:

∘

30

 'on "l lano xy.

- =QQ x * , (on(e - es e&momento res.ecto a& .unto+

⃗ +Q =(0,1cos30 , 1 sen 30 ) ∘

∘

3 1 ⃗ +Q =( 0, √  , ) 2 2

 * =( 0,0,−200 ) ⃗

(

⃗- =

|

0,

2

i

2

j

⃗- = 0 √ 3 0

)

√ 3 , 1  x ( 0,0,−200 )

2 0

k  1

|(

2 −200

)

= −200 √  , 0,0 3

2

⃗- =(−100 √ 3 , 0,0 )

1.

%allar 8r"a !"l ri8n+lo 'yo# &@ri'"# #on lo# no#  A (−3,2) ;

C ( 4.5 ) .

⃗

⃗a = AC =C − A =( 4,5 ) −(−3,2 ) =( 4 + 3,5−2 ) =(7,3 ) ⃗b = AB =B − A =( 3,−2 )− (−3,2 )=( 3 + 3  −2 −2 )=( 6,−4 )

⃗

⃗b1=( 4,6 )

B (3,−2 )

y

1

 / rea= |a⃗ b⃗ 1| 2

 / rea=

1 2

[ ( 7,3 ) ( 4,6) ]

1

 / rea= [ 28 + 18 ] 2 1

 / rea= ( 46 ) 2

 / rea =23 m2 1>.

Gorar lo# &"'or"#  A ,

B  y C   " #" "#ran "n la B+ra.

1oluc3n:

1:  A =( 3,0 )

B =( 0,4 )

4

tg# = =1.73 3

# = 53

[

C = 12cos ( 180− 53 )  12 sen 53 ⃗

∘

∘

]

C = (−7,22  9,58 ) ⃗

 R= A + B + C   R= ( 3,0 )+ ( 0,4 ) + (− 7,22  9,58 )

 R=(−4,22  13,58 )

| R|=√ (−4,22 )2+( 13,58 )2 ⃗

| R|=14.22 ⃗

2$. ?n #li!o !" 1$$N !""n!" !"l '"nro !" na '"r!a ('oo #" ob#"r&a "n la B+ra).

1oluc3n:

|a⃗|=|b⃗|=7 |w|=|−w|=100 0  ⃗

⃗

⃗a + b =−w ⃗

|a⃗ + ⃗b|2=|−w|2 ⃗

|a⃗|2+|⃗b|2 + 2|a⃗||⃗b|cos120∘=100 2 - 2 + - 2+ 2 - 2

(  ) −1 2

=1002

- 2 =1002 - =100 0  21. -
X X r = 5,5

X = 5,5 cos 240

 sen 240 =

X

0

Θ = 240

X = 5,5 * (-0,5) X = - 2,75 metros

r = 5,5

Y Y r = 5,5

Y = 5,5 sen 240 Y = 5,5 * (-0,866)  Y = - 4,76 metros

22. Si la# 'oor!"na!a# r"'an+lar"# y olar"# !" n no #on (2,K) y (r,$$) r"#"'i&a"n". D""rin" K y r. Coor!"na!a# 'ar"#iana# (2, K) Coor!"na!a# olar"# (r, $$) Y tg 30 =

Y X

(2 , Y)

Y =2

r  Θ = 300

Y = 2 * tg 30 Y = 2 * (0,5773)

X=2

 Y = 1,15 metros Cos 30 =

X

2 r = r 

2

2

r = cos 30 = 0,866

=2,3

metros

r =2,3metros

a

2.

= − 2 i ˆ + 3  j ˆ + k ˆ

Da!o# lo# #i+i"n"# &"'or"#

b

 ;

= 4 i ˆ − 3  j ˆ + 3 k ˆ

c  =

−  j ˆ + 4 k ˆ

y

Determinar a −b

a) !) c) ")

a − 3 b + 2 c 

( a − 2 b ) • 3 c 

− ( 4 b − 3 c  ) × 2 b

e) #$ %ng&$o '&e orma e$ ector ) #$ %ng&$o entre $os ectores

a

3b

 con ca"a &no "e $os ees coor"ena"os+  

− 2c 

o$&ci.n a)

a −b a

!)

= ( −2 − 4) i ˆ + [ 3 − ( −3)]  j ˆ + (1 − 3) k ˆ = − 6 i ˆ + 6  j ˆ − 2 k ˆ

−b =

a − 3b

+

( −6) 2 + 6 2 + ( −2) 2

=

76

= 8,7

2 c  = ( −2 i ˆ + 3 j ˆ + k ˆ ) − 3 ( 4 i ˆ − 3 j ˆ + 3 k ˆ + 2 ( − j ˆ + 4 k ˆ ) = ( −2 − 12) i ˆ + (3 + 9 − 2) j ˆ + (1 − 9 + 8) k ˆ

a − 3 b + 2 c 

= − 14 i ˆ +10  j ˆ

.

c)

")

( a − 2 b ) • 3 c 

ˆ − 8 i ˆ + 6  j ˆ − 6 k  ˆ ) • ( − 3  j ˆ + 12 k  ˆ ) = ( −10 i ˆ + 9  j ˆ − 5 k  ˆ ) • ( − 3 i ˆ + 12 ˆj ) ( −2 i ˆ + 3  j ˆ + k 

=

= (−10)(0) + (9)( −3) + ( −5)(12) = − 87

( 4 b − 3 c  ) 2b

= ⃗

8 i ˆ

=

ˆ) 4( 4 i ˆ − 3  j ˆ + 3 k 

=

16 i ˆ

−

9  j ˆ

⇒

ˆ − ( 4 b − 3 c ) = − 16 i ˆ + 9  j 

− 6  j ˆ + 6 k ˆ i ˆ

⃗

⃗

 j ˆ

ˆ k 

9

0

−6

6

− ( 4 b − 3 c ) × 2 b = − 16 8

e) /ng&$os '&e orma

a

on e$ ee X  cos β  =

on e$ ee Y  cos γ   =

on e$ ee  

a x  a

a y  a a z  a

) ng&$o entre $os ectores

• ( −2 c ) =

3b

=

54 i ˆ

+ 96  j ˆ + 24 k ˆ

 con $os ees coor"ena"os

cos α  =

3b

ˆ) 3( − j ˆ + 4 k 

−

=

−2 14 3

=

14 1

=

14

3b

+ − 2 c  cos ϕ 

y 

⇒

α  = 122,31

⇒

β  =

36,7 1

⇒

γ   =

74,51

− 2 c 

⇒ − 90 =

306

68

cos ϕ 

⇒

ϕ  = 128,61

2. %allar la# 'oon"n"# r"'an+lar"# !"l &"'or a = *, "n la !ir"''in $L r"#"'o al #"i"F" o#ii&o !" la# x.

o$&ci.n igamos e$ ector a, a &n sistema "e coor"ena"as cartesianas  $o roectamos en ca"a &no "e $os semiee

cos 30 0

sen 30 0

2*.

= =

a x  a

"e "on"e

a x  = a cos 30 0

a y  a

"e "on"e

a y 

= 5 cos 30

0

⇒

a x 

=

4+33

= asen 30° = 5+sen 30° ⇒ a y  = 2,5

Sar lo# &"'or"# a y b !" la #i+i"n" B+ra

o$&ci.n e a$ica e$ teorema "e it%goras S

=

32

+

42

=

25

=

5⇒S

=

25

VECTORES EN D 1. Da!o# lo# &"'or"#

1 = (1,2,3 ) , ⃗

V =( 2,1,0 ) ⃗

y

) = (−1,− 1,0 ) , !"o#rar " ⃗

!i'6o# &"'or"# oran na ba#" y 'al'lar la# 'oor!"na!a# !"l &"'or

( 1,− 1,0 )  r"#"'o a !i'6a ba#". a 1 + b V + c) =0 a ( 1,2,3 ) + b ( 2,1,0 ) + c (−1, − 1,0 )= ( 0,0,0 )

( a +2 b −c , 2 a + b− c , 3 a )= ( 0,0,0 )

{

a + 2 b− c =0 2 a + b− c =0 3 a= 0

1 2 3

2 1 0

−1 −1

20

0

El sstema homo&9neo solo admte la soluc3n trval: a=0

b=0

c=0

Por tanto, los tres vectores son lnealmente ndependentes 8 orman una base;

( 1,− 1,0 ) = x ( 1,2,3 ) + y ( 2,1,0 ) + z (− 1,− 1,0 ) ( 1,−1,0 ) =( x +2 y − z , 2 x + y − z , 3 x )

{

x + 2 y − z =1 2 x + y − z =−1 3 x =0

 x =0 y =2 z =3

( 1,−1,0 )  respecto a la base son: ( 0,2,3 )

7as coordenadas del vector 2. D""rinar

"l

&alor

!"l

ar8"ro

M

ara

"

lo#

&"'or"#

 x⃗ =k 1 −2 V + 3 w ,3 =−1 + k V + )   #"an ⃗


 x⃗ ∗ ⃗y = 0  x⃗ ∗ ⃗y = ( k 1 −2 V + 3 ) ) (−1 + k V + ) )=−k −2 k +3 ⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

−3 k + 3=0

⃗

 K =1

P!R!7E7<1 Para 5ue dos vectores sean paralelos sus componentes tenes 5ue ser proporconales: •

{

k  −2 3 = = −1 k  1

k  = 2 k =− 3 2

. %allar !o# &"'or"# !" o!lo la ni!a! y oro+onal"# a

⃗  j⃗ k  −2 3 −3 2

i⃗

) = 2 ⃗

3

−2 −3

=

3⃗ 2 i− 2 3

3⃗ 2  j + 2 3

( 2,−2,3 ) y ( 3,−3,2 ) .

−2 ⃗k =5 i⃗ + 5 j⃗ −3

|) |=√ 52+ 52+ 0=5 √ 2 ⃗

( √  √  ) ( √  √  , )  − − − − V =( , , )=( , , √  √  √  √  ) 1 =

5

,

⃗

5

5 2 5 2 5

5

⃗

5 2 5 2

1

,0 =

,

2

0

1

0

2

1

1

2

2

0

. %allar n &"'or "r"n!i'lar a

1 x V = ⃗

⃗

i⃗

 j⃗

2 −1

3 3

⃗ k 

| || 3 3

4  = −5

4 ⃗  2 i− −5 −1

1 = (2,3,4 )  y V  = (−1,3, − 5 ) , y " #"a niario. ⃗

⃗

|| |

4 ⃗  2  j+ −5 −1

3⃗ k =−27 i⃗ + 6  j⃗ + 9 ⃗k  3

|1 x V |=√ (−27 )2+ 6 2+ 92= √ 846 ⃗

) = ⃗

⃗

( √ 

 − 27 , 846

6

,

9

√ 846 √ 846

)

*. Da!o# lo# &"'or"# •

'allar los vectores

1  ( 3,3,2 ) , V  ( 5,− 2,1 ) , )  ( 1, − 1,0 ) : ⃗

⃗

⃗

1 −2 V + 3 ) ,− 2 1 + V −4 ) 

1 −2 V + 3 ) =( 3,3,2)−2 (5, −2,1 ) + 3 ( 1,−1,0 )= (−4,4,0 ) ⃗

⃗

⃗

−2 1 + V  − 4 ) =− 2 ( 3,3,2 ) + ( 5,− 2,1 )− 4 ( 1,− 1,0 )= (− 5,− 4,− 3 ) ⃗

•

⃗

⃗

#alcula a 8 b tales 5ue

1 = aV  + b ) 

( 3,3,2 )= a ( 5,− 2,1 )+ b (1, − 1,0 )= ( 5 a + b ,− 2 a − b % a )

{

{

3 =5 a + b 3 =−2 a−b 2= a

b=−7 b=−7 a=2

Solución: a=2, b=-7, es decir:

7. %alla "n 'a!a 'a#o lo# &alor"# !" , n y  al"# "

1 =2 V −7 ) 

m1 + nV  + . ) =+

1  ( 3,0,1 ) , V  ( 1,− 1,0 ) , )  (1,0,1 )

a)

⃗

b)

⃗

⃗

⃗

1  ( 1,−1,0 ) , V  ( 1,1,1 ) , )  ( 2,0,1 ) ⃗

⃗

m ( 3,0,1 ) + n ( 1,− 1,0 )+ . ( 1,0,1 )= ( 0,0,0 )

a)

{

3 m + n + . =0 −n =0 m + .=0

#omo !? 7ue&o

 A =

| A|=−2 2 0

(

3 0 1

1 −1 0

1 0 1

)

, la @nca solucon del sstema es:

m=0. n =0, . =0

1 ,V y )   son lnealmente ndependentes

m ( 1, − 1,0 ) + n ( 1,1,1 )+ . ( 2,0,1 )= ( 0,0,0 )

b)

{

m+ n+ 2 . =0 −m+ n=0 n + .= 0

 A =

(

1 −1 0

1 1 1

2 0 1

)

| |

| A|=0 y −1 0

1 =−1 2 0  1

Resolvemos el sstema:

¿ −m + n =0 n + . =¿ ¿

. Da!o# lo# &"'or"# &"'or"#

{ . m=−=nn ⃗a =i + m j + k 

⃗a y b  #"an

a) Paralelos ⃗a ( 1, m, 1 ) b⃗ (− 2,4, m )

−2 1

 4 m = = 4 m=−2 m 1

1olucones:

y

m= " , n = " , . =− "

b =−2 i + 4  j + m k  , 6alla  ara " lo#

a⃗ ∗⃗b =( 1, m , 1 )∗(−2,4, m )=−2 + 4 m+ m=5 m −2= 0 4 m=

b)

. Cal'la la# 'oor!"na!a# !" n &"'or

[ 1 , V , ) ] =19

)  ( 1,− 1,1 )  y al " ⃗

⃗ ⃗

⃗

1  ⃗

2 5

" #"a oro+onal a

V  ( 1,2,3 ) ⃗

y

.

V x ) =( 5,2,−3 ) ⃗

⃗

V ya)   es de la orma ( 5 k , 2 k , − 3 k )

An vector orto&onal a

|

|1 , V , ) |= ⃗

⃗

⃗

Por tanto:

| |

5 k 

2 k 

−3 k 

1 1

2 −1

3 1

(

1  ⃗

5 2

, 1,

5

= k  1 1

|

2

−3

2 −1

3 1

1

 = k ∗38=19 ⟶ k = 2

 )

−3 2

1 1 ⃗),⃗  A i  j B ( ( √ 3 i⃗ − j⃗ )  y C = K   #on lo# !" na = + = 3 √  ⃗ >. Cor"ba " lo# &"'or"# 2 2 ⃗

ba#" oronoral !"  R

3

, #i"n!o

⃗i= ( 1,0,0 )  y  K = ( 0,0,1 ) ⃗

| A|= 1 √ 12 + ( √ 3 )2 = 1 √ 4 = 2 =1 ⃗

2

2

2

|⃗B|= 1 √ ( √ 3 )2 +(−1 )2= 1 √ 4 =1 2

2

|C |=1 ⃗

1

 A∗⃗ B = ( √ 3−√ 3 )= 0 ⃗

4

 A∗C = 0 B∗C =0 Por tanto

1$.

| A , B , C | ⃗

⃗

⃗

 es una base ortonormal;

|a⃗|=3,|⃗b|=1,|⃗c|= 4

Da!o# lo# &"'or"#

ro!'o# "#'alar"#

y

⃗a + b + ⃗c =0 , 'al'la la #a !" lo#

⃗a % b + b% ⃗c + ⃗a % ⃗c

( ⃗a + b⃗ + ⃗c ) % ( a⃗ + ⃗b + c⃗ )= 0 ⃗a % ⃗a + b % b + ⃗c % ⃗c + 2 ⃗a %b + 2 b % c⃗ + 2 ⃗a % ⃗c

|a⃗|2+|⃗b|2 +|⃗c|2+ 2 ( a⃗ % ⃗b + ⃗b % c⃗ +a⃗ % c⃗ )=26 +2 ( ⃗a % b⃗ + ⃗b % ⃗c + ⃗a % c⃗ ) =0 Por tanto:

11.

⃗a % b + b % ⃗c + ⃗a % ⃗c =−13

D""rinar ara " &alor"# !" y n lo# &"'or"#

b =mi−6  j + 2 k   . Son 'olin"al"#

⃗a =−2 i + 3 j + n k   y

1oluc3n:

⃗a  8 b  son colneales =4 son paralelos, es decr

⃗a  // b



∃ r ∈ R

a⃗ =r b

−2 i⃗ + 3 j⃗ + n ⃗k =r ( m i⃗ −6  j⃗ + 2 k⃗ ) −2 i + 3 j + n k =rmi − 6 r j + 2 r k  −2 =rm

3=−6 r

6

6

n =2 r

−2 = n =2

−1 2

%m

3

6

=r

6

−1 r =

6

−6

(  ) −1 2

4 =m

6

2

n =−1 7ue&o:

m= 4  8 n =−1

12.

ara " &alor"# !" 4a5 lo# &"'or"#

oro+onal"#. 1oluc3n: B 1:  A ⊥

=4

 A % B =0

 A % B =0

( a ,− 2,1 ) ( 2 a , a ,− 1 ) = 0 2

2a

−2 a −1=0

−(−2 ) $ √ (−2 ) − 4 ( 2 ) (−1) a= 2 (2 ) 2

a=

2 $ √ 4 + 8 4

 A = a i −2 j + k 

y

B =2 a i + a j − k  . Son

a= a=

a= a=

2 $ √ 12 4 2 $ √ 4.3 4 2 $ √ 4 √ 3 4 2 $ 2 √ 3 4

2  2 3 a = $ √  4

a=

1.

1 4

4

$

√ 3 2



1 3 a1= + √ 



a 2=

2

1− √ 3 2

Da!o# lo# &"'or"#

 A = (−1,2,3 )

y

B =(−23,1 ) . Son aral"lo# "#o#

&"'or"# 1oluc3n: B=0

 A x



 A  // B  , no son paralelos

| | i

 A x ⃗B= −1 ⃗

−2

j k 

2 3

3 1

 A x B= ( 2.1 − 3.3 )⃗ i 5 (− 1.1−(− 2) .3 )  j⃗ + (− 1.3− 2. (−2 ) ) ⃗k  ⃗

⃗

 A x B=−7 i −5 j + k   1.

A  8 B  no son paralelos

D""rinar "l &ol"n !"l "ra"!ro 'ya# ari#a# #on lo# &"'or"#

 A =( 2,1,−3 )  ; B =(−3,0,6 )  y C =( 4,5,−6 ) 1oluc3n:

1

Vo&6men= [ A % ⃗B % C ] ⃗

⃗

6

Vo&6men=

1 6

[

2

1

4 −3

5 0

−3 −6 6

]

[ ]

2 4 1 Vo&6men = −3 6 2 4

Vo&6men =

1

Vo&6men =

1

1 5 0

−3 −6

1 5

−3 −6

6

 [ ( 60−0 + 18 )−( 45−0 + 24 ) ]

6

 [ ( 78 )−( 69 ) ]

6 9

3

6

2

Vo&6men= = m3

1*.

Cal'lar lo# 'o#"no# !ir"'or"# !"l &"'or

⃗a = ( 12,− 15,− 16 )

|a⃗|=√ ( 12 )2+ (−15 )2 +( 16 )2 |a⃗|=√ 144 +225 + 256 |a⃗|=25 cos# =

12 25

# =61,31 7 =129,79

cosβ =

6

6

−15 25

cos7 =

6

 β =126,869

−16 25

6

Ob"n"r la ora !" lo# &"'or"#  A  y

17.

B  " #" "#ran "n la B+ra "n

!on!"  "# "l no "!io !"l #"+"no 0P. 1oluc3n: 0 =( 0,0,0 ) 8 coor(ena(ases ( 2,6,1,5 )

 K =+8 = 8 −+ =(2,6,1,5 ) ⃗

 K = ^

 K  = | K | ⃗

⃗

 K = ^

(

4

,

(

2

,

6

,

 1, 5

⃗

6,5 6, 5 6,5

12 13

,

13 13 13

)| K |=

6, 5

) ⃗B =( ⃗B ) K =650 ⃗

(

4

,

12  13

,

13 13 13

)=

200, 600, 150

B =200 i+ 600 j + 150 k  Ca&cu&an(o A

⃗

C =( 0,6,0 ) ! =( 2,0,3 ) ⇒ P =C! = ! −C =( 2,0,3 )−( 0,6,0 )  P=( 2,−6, 3 ) ⃗

| P|=√ (2 )2 +(−6 )2 +( 3 )2=√ 4 + 36 +9 ⃗

| P|=√ 49 ⇒ P=7 ⃗

 P= ^

(

2 7

 A =| A| P=700 ⃗

⃗

^

,

(

⃗

−6 7 2 7

,

,

3 7

−6 7

) ,'ectorunitario ,

3 7

)=

200 i −600 j + 300 k 

 A + B= 400 i + 450 k 

1. ?n &"'or " &a !" S(x,y,z) a T (*,-,2) "# !o# &"'"# "l &"'or " &a !" R(2,-1,*) a S(x,y,z). Cal'lar "l &alor !" x3y3z

⃗a =9- =-⃗ − ⃗9 =( 5,− 4,2 )−( x , y , z ) =( 5− x ,− 4 − y , 2 − y ) ⃗b = R9= ⃗9 − R= ( x , y , z )− ( 2,− 1,5 )= ( x − 2, y + 1, z − 5 ) ⃗

{

5 − x =2 ( x −2 ) 4 x =3 ⃗ si⃗ a =2 b : −4 − y =2 ( y + 1 ) 4 y =−2 ∴ x + y + z =5 2− z =2 ( z −5 ) 4 z = 4

1. S"an / (2, ,-2) y 0 (7,-,2). %allar "l no  " "#8 "n "l #"+"no !" r"'a " n" / 'on 0 y a Q !" !i#an'ia !" / a 0

( ) AB´ :  AP´ =  AB´

´  AP ´ = si P ( x , y , z ) ∈ AB4

3

4

4

{

3

4 x −8=12 4 x =5

4 ( x −2, y −3, z + 2 )=3 ( 4,−6,4 ) : 4 y − 12 =−18 4 y =

−3 ∴ P (5, − 3 , 1) 2

2

4 z + 8= 12 4 z = 1

1>. D"o#rar " lo# no# /(,*,2) , 0(2,,-1) y C( 7,1,-1) #on &@ri'"# !" n ri8n+lo r"'8n+lo " ´ ´

 AB =( 2,3,−1 )− (3,5,2 ) =(−1, −2,−3 )

 AC =( 6,1, −1 )−( 3,5,2 )=( 3,− 4,−3 )

´ =( 6,1, −1 )−( 2,3,−1 )= ( 4,−2,0 )   entonces :|| AB ´ ||= √ 1 + 4 + 9= √ 14 BC  ´ ||=√ 9 + 16 + 9=√ 34 || AC 

´ ||=√ 16 + 4 + 0 =√ 20 ||BC  2

2

2

´ || +||BC  ´ || =|| AC  ´ || Como : √ 14 + √ 20 =√ 34 4|| AB 2

2

2

!

#

1e cumple el eorema de Ptá&oras, por tanto, el trán&ulo !"# es recto en "

2$. Tr"# "r#ona# iran !" n '"ro al i#o i"o ali'an!o la# #i+i"n"# "rza# G1 = *N al Sr. G2 = 1$N $ al Sr-E#" y G = N * al Nor-E#". Cal'lar or "!io !" 'oon"n"# r"'an+lar"#, la "rza r"#lan" y la !ir"''in a !on!" #" "&".

o$&ci.n raicar to"as $as &eras con s&s resectias comonentes en e$ sistema "e coor"ena"as rectang&$ares  ca$c&$ar $as comonentes rectang&$ares

= −F  +sen90 = −(5)(1) = −5N  F  x  = F  + cos 60 = 10(0+5) = 5N  F  y  = −F  +sen60 = −10(0+8) = −8N  F  x  = F  + cos 45 = 7( 0+7) = 4+9N  F  y  = F  +sen 45 = 7( 0+7) = 4+9N  0

F 1y 

1

0

2

2

0

2

2

0

3

3

3

3

0

 9ora se ca$c&$an $as :;  : , entonces

0N  + 5N  + 4,9N  = 9,9N  ⇒ F  x 

F  x 

=

F 1 x  + F 2 x  + F 3 x 

=

F y 

=

F 1y  + F 2 y  + F 3y 

= −5N  + − 8N  +

(

)

=

9+9N 

4,9N  = −13N  + 4,9N  = −8,1N  ⇒ F y 

= −8<1N 

&ego se ca$c&$a $a &era res&$tante, a$ican"o teorema "e it%goras F R 

=

2

F  x 

+ F y  = ( 9,9N ) + ( − 8,1N ) = 2

2

2

2

98,01N 

+ 65,61N  = 2

2

163,62N 

= 12,7N 

a$c&$ar $a "irecci.n  F y    −1   − 8,1   ⇒ = α  = tan g −1    α  tg    ⇒ α  = 39 017 = 21+86==     9,9    F  x    raica "e $a so$&ci.n

21. ?n a&in &"la 2$$  rbo al o"#" !"#!" la 'i!a! / 6a#a la 'i!a! 0 y !"#@# $$  "n la !ir"''in !" $ +ra!o# al noro"#" !" la 'i!a! 0 6a#a la 'i!a! C.

a) #n $>nea recta, '&e tan $eos est% $a ci&"a"  "e $a ci&"a" + !) ?esecto "e $a ci&"a"  en '&@ "irecci.n est% $a ci&"a" A cos 30 =

B

X 300

BX = 300 cos 30 B

BX = 300 * (0,866) B

B

BX = 259,8 metros

?X = BX C 200 ? X = 25,8 C 200 RX = 459,8 metros

 sen 30 =

C

Y 300

Y = 300 sen 30 Y = 300 * 0,5 Y =150 metros 2

2

POR PITAGORAS R  = ! Y"  # RX"

2

?2 = (E50)2 C (45,8)2 ?2 = 22500 C 2EE4E6,04 ? 2 = 233E6,04 R = 483,64 metros

22. D""rinar la# 'oon"n"#, "l !lo y lo# 'o#"no# !ir"'or"# !" n &"'or "n "l lano 'yo ori+"n "# "l no (1, 2) y # "xr"o "l no (-, ). Indicamos con P 1 = ( x1, y1) al  !nto (1,2) " con  P 2 = ( x2 , y2 ) al  !nto (#3,3)$ %as  y2 C y1 = 3 # 2 B

son a x = x2 C

comonentes del &ector  P 1 P 2 B

a y = =  x1 =

B

#3 # 1 = #4 , =

 P P

=

(C 4,1) $ ! md!lo es

 PP  = 1

1 2

a 2

2

+

1$ %!e'o, 2

(C 4)

1

2+

a

2

=

17$ %os

cosenos

 y

 x

a

# 4 * cos E =  y = 1 directores son cos D $ + artir de los cosenos se !ede a a 17 17 calc!lar cada !no de los n'!los -!e .orma el &ector con los e/es coordenados F 166$0° , E D = arcos C 4 = arcos 1 F 76$0° $ = a  x =

17

2.

17

E"'ar "l ro!'o &"'orial "nr" lo# &"'or"# a) A (1, #2, 0 ) " B (#3, 1, 4) i

A G B = #3

 j k  1 # 2 0 = i C 2 0 1 4 1 4

C  j C

1 0 3 4

+

k  1 C 2 C 3 1

=

C 8i C 4 j C 5k 

 ) A (2, #1 ) " B (#3, 5) 2

i ien estos &ectores ertenecen a R  , ara e.ect!ar el rod!cto &ectorial deemos escriirlos como 3 &ectores de R  $ %a comonente z  es n!la$ i  j k  A G B = 2 #1 0 = i  C 1 0 C  j 2 0 + k  2 C 1 = 7k = (0,0,7) C

2. En'onrar la in"r#"''in "nr" la r"'a <  (x, y, z)  (1,2, 1)  (1,$,) y "l lano U  2x  y  z   1. 2*. 27. .ect!amos el rod!cto escalar entre los &ectores V (1,2,#1) "  N  (2,C 1,3)  C 2 C 3 (1,2,C 1) H (2, C  1,3) = C 3 I 0 $ Concl!imos -!e la recta " el lano no son aralelos 2=  !es los &ectores V  "  N  no son erendic!lares$ or lo tanto, eiste !n !nto de interseccin$ C t + 3 recta x = t + 1*  y = 2t  * z = " ara allarlo, escriimos a artir de la ec!acin de la 1) C 2t + 3(C t + 3) 2(t + = C 1 de donde s!stit!imos en la ec!acin del lano 2t + 2 C 2t  C 1 o sea 1 2 3t + 9 = C 3t = C C C 9 " .inalmente t 4$ %as coordenadas del !nto C

 z =

de interseccin son x41* y = 2 H 4 * C 4 + 3 $ l !nto es (5,8,#1)$ e !ede comroar  -!e este !nto c!mle tamin con la ec!acin del lano 2 H 5 C 8 + 3 H (C 1) = C 1

2. Cal'lar la !i#an'ia "nr" "l no (2,-1,) y "l lano 2x  y  z  2 . n rimer l!'ar, comroemos -!e el !nto dado no ertenece al lano$ n e.ecto, al reemlaar las coordenadas del !nto en la ec!acin del lano otenemos 2 H 2 + 3H (C 1) 4 H3 = C 11 I 2 $ le'imos aora al':n !nto del lano, or e/emlo el (1,4,3) " C B (2, C 1,3) (1,4,3) = (1,C 5,0) $ ! rod!cto escalar con la constr!imos el &ector   PQ = Q C P = C (1,C 5,0) H (2,3,C 4) normal al lano, N = (2,3,#4) es = 13 $ +dems, N = 4 + 9 + 16 = 29 $ C

%!e'o, la distancia es

d=

13 $ 29

2. Si"n!o a= (-,) b= (,-1) .Cal'lar n &"'or niario "n la !ir"''in y #"ni!o !" &=2a3b. &2(#4,3)3(4,#1) &(#8,6)(12,#3) &(4,3) ;allamos s! &ector !nitario

¿ ' ∨¿ ¿ ' ∨¿ u⃗  '  ( 4,3 ) ¿ ¿

;allamos el mod!lo 4

¿ ¿

 

<&<

√ 16 + 9

<&<

√ 25

<&<

5

<&<

3

¿ ¿ ¿ √ ¿

=eemlaamos al &ector !nitario

¿ ' ∨¿ 4 3 ( 4,3 ) ( , ) u⃗  '    5 5 5 ¿ 1$ i IaI8 , II6 " a$#24 , entonces el &alor del +n'!lo -!e .orman los &ectores a "  es ntonces tenemos la .orm!la a$
# 48   cos # > cos

;

;

;=120 2>.  %allar la nora !" la #a !" / noraliza!o 'on 0 noraliza!o Si /=(,) y 0=($,-*)  ?ormaliando + :

| A|=√ ( 3 )2+ ( 4 )2 ⃗

e A= ⃗

| A|=√ 9 +16

( 3,4 )

| A| ⃗

⃗

| A|=√ 25 ⃗

| A|=5

e A= ⃗

⃗

e A= ⃗

 ?ormaliando B

( 3,4 ) 5

( ) 3  4

,

5 5

|⃗B|= √ ( 0 )2+(−5 )2 |⃗B|= √ 0 + 25 |⃗B|= √ 25 |B|=5 ⃗

( 0, −5 ) |B⃗|

e B= ⃗

( 0, −5 )

e B= ⃗

e B= ⃗

5

(

0 5

,−

5 5

)

( )( ) e + e =( , ) + ( − ) e + e =( + − ) − e + e =( ,  )

⟹ e A + e B=

3  4

⟹

3  4

⟹

⟹

⃗

⃗

⃗

 A

⃗

⃗

 A

⃗

 A

⃗

B

5

B

0,

9 25

+

1 25

4

5

√( ) ( 5

1

5

1

5

3

5

,−

0, 1

5 5

3

⃗

∴ 0orma :

√

5 5

3

B

0

+

,

2

+

 )

−1 5

2

5 5

√

$.

2 5

%allar "l &"'or a 3 nb  r' "n R # =, n=1, r=; a=

(1,-*,$) b= (-1W2,$,W2) '= (1,1,1).

ma + nb −rc= R 3 a + b −4 c = R

( )− ( ) + ( − , ) + (− −

3 ( 1,−5,0 ) +

( 3,−15,0

( − , ( − 3−

1 2

3

2

−1 , 2

1

2

0,

0,

3 2

4 1,1,1, ) = R

 3

2

4,

4,− 4, )= R

)

3 − 4,−15 + 0 −4,0 + − 4 = R 2

19, −

5 2

)= R

1. >. S"an lo# &"'or"# + (#2,4) B (3,#2) C (4,#2) @ (5,#3) ;allar analAtica " 'r.icamente +#B* +@* +#C  ?ormaliar la s!ma de + con B ;allar analAtica " 'r.icamente +#B

 A = (−2,4 ) B= ( 3,−2 ) 4 −B =(−3,2 )  A + (−B )=(−2,4 ) + (−3,2 )

⃗ − = (− + (− ) ⃗  A

B

2

 A − B =(−5,6 )

3 , 4 + 2)

+@

 A = (−2,4 ) D = ( 5,− 3 ) ⃗

⃗ ⃗ + = (− + ⃗

 A + D = (−2 + 4 ) + ( 5,− 3 )  A  D

2 5,4 + (−3 ) )

 A + D=( 3,1 )

+#C

⃗

 A = (−2,4 ) C = ( 4,− 2 ) 4− C = (− 4,2 ) ⃗

⃗

 A + (− C ) = (−2,4 ) + (− 4,2 )

⃗

 A −C = (−2 + (−4 ) , 4 + 2 )  A −C =(−6,6 )

 ?ormaliar la s!ma +B  ?ormaliando +B A+ B e A+ B= | A + B|

⃗

 A + B  A = (−2,4 ) B= ( 3,− 2 )

 A + B=(−2,4 )+ (3, −2 )

⃗+ =(− +  A B

2 3,4 + (−2 ) )

 A + B=( 1,2 )

| A + B| | A + B|=√ 12 + 22 | A + B|=√ 1 + 4 | A + B|= √ 5

⃗ =| AA ++ BB|

∴ e A + B

( ) e = , = ⃗ √  ( √  √  ) 1,2

 A+ B

5

1

5

2

5

 ?ormaliar la di.erencia de C#@  ?ormaliando C#@

 C − D e = ⃗ |C − D| C − D

C − D C = ( 4, − 2 ) D = ( 5,− 3 ) ⃗

⃗

C − D = ( 4,− 2, )− (5, − 3 ) 4,−2

¿ −5,3 C − D =¿

⃗

C − D =(−1,1 )

|C − D| |C − D|= √ − 12 + 12 |C − D|=√ 1 +1 |C − D|=√ 2

⃗=| −− | (− ) − ⃗ e = =( , ) √  √  ∴ eC − D

C   D C   D

1,1

C − D

2

1

2

1

2

2. %allar "l 8r"a y "r"ro !" la B+ra 'yo# la!o# #on &"'or"#, #i ## &@ri'"# #on a) (2,), (-2,), (-*,-2), (*,-2)

;allando la lon'it!d de los &ectores

|'|=√ ( 2 + 2 )2+ ( 3−3 )2 =√ 16 + 0= 4 | y|=√ (−2 +5 )2 + ( 3 +2 )2= √ 9 + 25=√ 34 | z|= √ (−5−5 )2+ (−2 + 2 )2=√ 100=10 |w|= √ ( 5 −2 )2+ (−2− 3 )2=√ 9 +25 =√ 34 ∴ Per
=14 + 2 √ 34

;allando el rea 1

 A = = > 2

||  5

1

−2

2 3

 A = = −2 3 2 −5−2 5 −2 1

 A = = ( 15 + 6 + 4 + 10 ) −(− 4 − 6 − 15 − 10) 2

1

 A = = ( 35 )−(−35 ) 2 1

 A = = 70=35 u2 2

 ) + ( 2,1 ) B (−1,4 ) C (− 4,2 ) D (− 3,− 3 ) ! ( 1,− 3 )