EJERCICIOS: CINEMÁTICA (MRU, MRUV, MVCL Y MPCL) 1.
Un objeto
se
(
x ( t ) = 3,00t 2
mueve
−
2,00t
a lo largo del eje x de
+
acuerdo con la ecuación
)
3,00 m
. Determine: a) la veloci velocidad dad media media entr entree t = 2,00 2,00 s y t = ,00 ,00 s, b) la velocidad instant!nea en t = 2,00 s y en t = ,00 s, c) la acelera aceleració ción n media media entre entre t = 2,00 2,00 s y t = ,00 ,00 s, y d) la aceleración aceleración instant!nea instant!nea en en t = 2,00 s y t = ,00 ,00 s.
Solución a) "elo loci cida dad d med media ia x ( 2 ) =3,00 × 22 − 2,00 × 2 + 3,00=11,0 m x ( 3 ) =3,00 × 2 − 2,00 × + 3,00=24,0 m
vm =
x( ) − x( 2 ) − 2
=
2# ,0 − 11 11,0
= 1,0
m
v( 2 ) = 10, 0
m
1 , 00
s
b) velocidad instant!nea v=
dx dt
= $, 00 00t − 2 , 00 00
s
y
v( ) = 1$ ,0
m s
c) %c %cel eler erac ació ión n med media ia
v( 2 ) = $ , 00 × 2 − 2, 00 = 10, 0
v( ) = $, 00 × − 2, 00 = 1$, 0
am =
v( ) − v( 2 ) − 2
=
m s
m s
1$ ,0 −10 1 0 ,0 1 , 00
= $,00
m s
2
d) %c %cele elerac ració ión n instan instant!n t!nea ea a=
2.
dv dt
= $ ,00
m s2
a( 2 ) = $ ,00
m s 2
y
a( ) = $ ,00
m s2
&a acel aceler erac ació ión n de de un un mot motoc ocic icli list staa est est!! dad dadaa 'or 'or a(t) a(t) = %t *t2, con % = 1,+0 ms y * = 0,120 ms #. &a moto esta en re'oso en el origen en t = 0. -sica 1
1
a) /btenga su velocidad y la 'osición en unción de t. b) alcule los instantes cuando la velocidad es m!xima.
Solución a) &a velocidad
∫
v = v o + adt = (0,750 t 2 − 0,040t )
m s
&a 'osición
x = xo
+ ∫ vdt = (0,2+0 t − 0,010t # ) m dv dt
=0 ⇒ a=0
b) riterio de la 'rimera derivada t =0 t = 12,+ s
.
Un avión a reacción aterri3a con una ra'ide3 de 100 ms y 'uede acelerar a ritmo de +,00 ms2 4asta detenerse. Determine: a) Desde el instante en 5ue toca la 'ista, 6u!l es el tiem'o mnimo 5ue necesita 'ara detenerse7 b)
68uede este avión aterri3ar en el aero'uerto de una 'e5ue9a isla, donde la 'ista tiene 0,00 ;m de longitud7
Solución a)
⇒ 0 = 100 − +,00t ⇒ t = 20,0 s
b) &a longitud 5ue necesita 'ara aterri3ar 2
2
v f = vo + 2a ∆x
⇒ 0 = 1002 − 2 × +, 00∆x ⇒ ∆x = 1, 00× 10 m
o 'uede aterri3ar
#.
Un camión en un camino recto 'arte del re'oso y acelera a ra3ón de 2,00 ms 2 4asta alcan3ar una ra'ide3 de 20,0 ms. Des'u>s, el camión viaja durante 20,0 s con una ra'ide3 constante 4asta 5ue a'lica los renos 'ara detener el camión de manera uniorme en +,00 s m!s. Determine: a) 6u!nto tiem'o 'ermanece el camión en movimiento7 b) 6u!l es la velocidad media del camión en el movimiento descrito7
Solución
-sica 1
2
v f = vo + at
⇒ 20,0 = 2 ,00t ⇒ t = 10,0 s
a) on a = ?2,00
= 20, 0 s
t on a = 0,00 t
= +,00 s
on a @ 0 t
= +,0 s
Aiem'o total b)
∆ x1 =
v f 2
⇒ ∆x1 =
2a
20,0 2 2 × 2 ,00
= 100 m
t1 =
v f a
⇒ t1 =
∆ x2 = vt ⇒ ∆x2 = 20,0 × 20, 0 = #00 m ∆ x =
v f + vi
2
⇒ ∆x =
t
0 + 20,0 2
× +, 00 = +0, 0 m
20, 0 2 ,00
= 10,0 s
t2 = 20, 0 s
t = +, 00 s
"elocidad media vm =
+.
∆ xtotal 100 + #00 + +0 ,0 m ⇒ vm = = 1+,B ∆ttotal 10 , 0 + 20 , 0 + + , 00 s
ra'ide3 el automóvil gol'eo el !rbol7
Solución −+ ,$0 =
v f − vi # , 20
⇒ v f − vi = −2,+2
m s
%dem!s
v f2
− vi2 = ( v f + vi ) ( v f − vi ) = 2( −+, $0 )( $2, # ) ⇒ v f + vi = 2D, B1 v f
= ,10
&uego
m
vi
s
= 2$, $
m s
y
Nota: Egnore la resistencia del aire en todos los 'roblemas y tomar g = ,1 ms 2 en la su'ericie de la Aierra. -sica 1
$.
Fe lan3a una 'elota en dirección 4acia arriba con una ra'ide3 de 2+,0 ms.
a)
6Gasta 5u> altura sube7
b)
6u!nto tiem'o le toma alcan3ar el 'unto m!s alto7
c)
6u!nto tiem'o le toma llegar al suelo des'u>s de alcan3ar el 'unto m!s alto7 Folución a) %ltura m!xima v f2 = vi2 − 2 × D,:1 hmax
⇒ 0 = 2+, 02 − 2 × D, :1× hmax
hmax = 1,D m
b)
= vi − D,:1 t ⇒ 0 = 2+, 0 − D,:1× t t = 2 ,++ s
c)
B.
= 2,++ s
s de 5ue se suelta, el saco est! en cada libre. a) alcule la 'osición y velocidad del saco a 0,2+0 s des'u>s de soltarse. b) 6u!ntos segundos tardar! el saco en c4ocar con el suelo des'u>s de soltarse7 c) 6on 5u> ra'ide3 c4ocar!7 d) 6Hu> altura m!xima alcan3a el saco sobre el suelo7
Solución a) &a velocidad v f = vi − D,:1 t
y = yo + voyt −
⇒ v f = + ,00 − D,:1× 0,2+0 = 2 ,++ 1 2
D,:1 t 2
⇒
m s
y = #0, 0 + +, 00 × 0, 2+ −
1 2
D,:1× 0 , 2+ 2 = #0,D m
b)
1 2
D ,:1 t
2
⇒ 0 = #0 ,0 + +,00t − # ,D0+t 2
# ,D0+t 2 − +,00t − #0 ,0 = 0 ⇒
t = ,#1 s
-sica 1
#
c) &a ra'ide3 con 5ue c4oca v f
= vi − D,:1 t ⇒ v f = +, 00 − D,:1× , #1 = − 2:, +
m s
d) %ltura m!xima 2
2
v f = vi − 2 × D,:1 ∆y hmax
.
⇒ 0 = +, 002 − 2× D, :1× ( hmax − #0 )
= #1, m
Emagine 5ue est! en la a3otea del ediicio a #$,0 m del suelo. Fu 'roesor 5ue tiene una estatura de 1,0 m camina junto al ediicio con una ra'ide3 constante de 1,20 ms. Fi usted 5uiere dejar caer un 4uevo sobre la cabe3a de su 'roesor 6Dónde debera estar >ste cuando usted suelte el 4uevo7
Solución
y = yo + voyt −
1 2
D,:1t 2
⇒
1, :0 = #$, 0 −
1 2
D, :1 t 2
t = ,00 s &uego el 'roesor debe estar a x = v p t
.
⇒ x = 1, 20 × , 00 = , $0 m
8ara iniciar una avalanc4a en una monta9a, un 'royectil de artillera se dis'ara con una velocidad inicial de 00 ms bajo un !ngulo de ++,0 I sobre la 4ori3ontal 5ue ex'lota en la ladera #2,0 s des'u>s del lan3amiento. 6u!les son las coordenadas x e y donde ex'lota, en relación a su 'uesto de tiro7 Folución oordenada 4ori3ontal -sica 1
+
⇒ x = 00 cos ++ ,0°× #2 ,0 = B ,2× 10 m
x = v cos θ× t
oordenada vertical 1 2 y = voy t − D,:1 t ⇒ 2 10.
x = 00 sen++ ,0°× #2 ,0 −
1 2
2
D ,:1× #2 ,0 = 1,$B ×10 m
Una atleta lan3a la bala a cierta distancia sobre el suelo 'lano con velocidad de 12,0 ms, +1,0 0 sobre la 4ori3ontal. &a bala gol'ea el suelo 2,0 s des'u>s. a) 6cu!les son las com'onentes de la aceleración de la bala en vuelo7 b) 6cu!les son las com'onentes de la velocidad de la bala al inicio y al inal de su trayectoria7 c) 65u> distancia 4ori3ontal recorre la bala7 d) 6desde 5u> altura sobre el suelo se lan3o la bala7 Folución
a)
&as com'onentes son: a y = D,:1 m / s 2
a x = 0
y b)
&as com'ontes de la velocidad Enicio v x = v cos θ
⇒ v x = 12, 0 × cos +1, 0° = B, ++ m / s
voy = vsenθ ⇒
voy = 12 ,0 × sen+1,0° = D , m / s
-inal
c)
v x
= cte ⇒ vx = B, ++ m / s
v y
= voy − D,:1t ⇒ v y = D, − D,:1× 2 , 0: = −11,1 m / s
%lcance d = x = v xt
d)
⇒ d = B, ++ × 2, 0: = 1+, B m
&a altura
y = yo + voyt −
1 2
D,:1 t 2
⇒
0 = yo + D, × 2, 0: − 0,+ × D,:1× 2 , 0: 2
yo = 1,:1 m
-sica 1
$
11.
Un bombero, a una distancia d = 1+,0 m de un ediicio en llamas, dirige una corriente de agua de una manguera contra incendios bajo un !ngulo θ = #2,0I 'or encima de la 4ori3ontal como se muestra en la igura. Fi la velocidad inicial de la corriente es v = +,0 ms, 6a 5u> altura h llega el agua al ediicio7
Folución &a altura
hi
= voyt −
1 2
2
D,:1 t
8ara evaluar la altura necesitamos el tiem'o, 5ue lo calculamos con el alcance d = v xt
⇒ t=
d vi cos θ
⇒ t=
1+,0 +,0 cos #2 ,0°
= 0,+BB s
&uego evaluando la altura hi
12.
= +, 0sen #2, 0°× 0, +BB − 0, + × D,:1× 0, +BB 2 = 11, D m
Un jugador de baloncesto 5ue es de 2,00 m de altura, est! de 'ie en el 'iso 10,0 m de la canasta, como se muestra en la igura. Fi >l tira la 'elota en un !ngulo de #0,0 'or encima de la 4ori3ontal, si la altura de la cesta es ,0+ m. 6% 5u> velocidad inicial debe tirar de manera 5ue se 'asa 'or el aro sin gol'ear el tablero7 °
Folución Jovimiento 4ori3ontal
x = xo + v cos θt
⇒
t =
x vcos θ
Jovimiento vertical y = yo + vsenθ t −
1 2
2
D ,:1t
Keem'la3ando el tiem'o
-sica 1
B
x − 1 D,:1 y = yo + vsenθ ÷ v cos θ 2
x
2
⇒ ÷ v cos θ
v=
D,:1x 2 2 cos 2 θ( xtg θ − ∆y )
&a velocidad
v=
1.
D ,:1×10 ,0 2 2 cos #0, 0°( 10, 0tg #0, 0° − ( , 0+ − 2,00 )) 2
= 10, B m / s
onorme un barco se acerca al muelle a #+,0 cms es necesario lan3ar 4acia el barco una 'ie3a im'ortante 'ara 5ue 'ueda atracar.
Solución %nalicemos en eje vertical, el e5ui'o tarda en caer al barco y = yo + vsenθt −
1 2
D ,:1t 2
⇒ 0 = : ,B+ + 1+,0 sen$0 ,0° t − 0 ,+ × D ,:1t 2
# ,D0+t 2 − 1, 0t − :, B+ = 0
t = ,21 s
x = v cos θt
⇒
x = 1+, 0 cos $0 × , 21 = 2#,1 m
&o 5ue recorre el barco en el mismo tiem'o xb = vbt
⇒ xb = 0,#+0 × ,21 = 1, ## m
&uego la distancia a la 5ue debera estar el barco es D = x + xb
⇒ D = 2#,1 + 1, ## = 2+, + m
1#.
a ! c
en el 'unto !, a una distancia de #,+0 m m!s adelante del 'unto como se muestra en la igura. Determine lo siguiente: la ra'ide3 5ue el es5uiador tiene en el 'unto %, el desnivel (altura) existente entre % y *, &a ra'ide3 5ue el es5uiador tiene en el 'unto *.
Solución a. &a ra'ide3 en el 'unto %
v = # , m / s
b. Desnivel entre los 'untos % y *.
1
2
2
∆ y = v yo t − D ,:1 t 2 ⇒ ∆ y = −# , sen( 0 ,0 ) × 1 ,20 − D ,:1× 1 ,20 2 ∆ y = −D ,22 m " el desnivel es ,22 m c. &a velocidad en el 'unto * tiene dos com'onentes v x = # , cos 0 ,0 = ,B+ m / s
= −# , sen0 ,0 − D ,:1× 1 ,20 = 1 ,D m / s
= ,B+ 2 + 1 ,D 2 = 1# ,# m / s
1+. Se dispara un proyectil al aire desde la cima de una montaña a 200 m por encima de un valle (ver fgura). Su velocidad inicial es de 60,0 m/s a 60,0° respecto a la horiontal. !espreciando la resistencia del aire, !etermine lo siguiente
-sica 1
a !
"l m#dulo de velocidad justo antes de im'actar en el suelo. "l alcance horiontal respecto del punto de lanamiento.
Folución a. &a velocidad com'onentes
tiene
dos
0 ,0 2 + $ ,0 2 = $D ,: m / s
b. %lcance 4ori3ontal x = v x t 1
− 200 = $0 ,0 sen( $0 ,0 ) × t − D ,:1 × t 2 2
x = 0 ,0 × 1 ,$ = #0: m &uego 1$. Un 'e3 ar5uero lan3a un c4orro de agua desde la su'ericie de un 'e5ue9o lago con un !ngulo de $0,0I res'ecto de la su'ericie.
Solución
-sica 1
10
t=
x = v o cosθ t
a)
x v o cosθ
Donde 1 y = v o sin θ t C gt 2 2
y
g 2 = (tan θ ) x − 2 x θ 2 v cos o vo
=
g
x 2( x tan θ − y ) cos 2 θ
&uego
vo
=
D.:1 2(0,+0 tan $0,0 − 0,2+0) cos 2 $0,0
0,+00 = 2,:0m s
v y = vo senθ − D,:1(t )
b) v y = v o senθ − D,:1(
x vo cos θ
)
0 ,+0 v y = 2 ,:0 sen$0 ,0 − D ,:1( ) = 1,03 m/s " 2 ,:0 cos $0
-sica 1
11