ESTIMACIÓN MEDIA MEDIA CON DESVIACIÓN ESTÁNDAR ESTÁNDAR CONOCIDA Z :
7-3 DESTREZAS Y CONCEPTOS BÁSICOS Conocimientos Conocimien tos estadísticos y pensamiento crítico 1. Inte Interva rvalo lo de confia confianza. nza. Con base en datos muestrales se obtiene el siguiente interva-
lo de confianza del 95%: 2.5 m 6.0. Escriba un enunciado que interprete el intervalo de confianza de manera correcta. 2. Es Esti tima mado dorr si sin n ses sesgo go.. Una de las caracterí sticas sticas de la media muestral que la con-
vierte en un buen estimador de una media poblacional m es que es un estimador sin sesgo. ¿Qué significa que un estadí stico stico sea un estimador sin sesgo de un parámetro poblacional?
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Capítulo 7
Estimaciones y tamaños de muestra
3. Intervalo de confianza. Un fabricante de juegos para parques de diversiones necesita el
estimado de un intervalo de confianza de la fuerza que se puede ejercer cuando un visitante presiona un freno de seguridad. Incapaz de encontrar datos, obtiene una muestra midiendo la fuerza de 100 estudiantes de preparatoria que participan en una feria de ciencias. ¿El estimado de confianza resultante será un buen estimado de la fuerza media de la población de todos los visitantes potenciales? ¿Por qué? 4. Tamaño de muestra. Un investigador calcula el tamaño muestral necesario para esti-
mar la fuerza que pueden ejercer las piernas de las personas en juegos de parques de diversiones y obtiene el tamaño muestral de 120. Si el investigador no puede obtener una muestra aleatoria y en vez de ello debe confiar en una muestra de conveniencia integrada por sus amigos y parientes, ¿será posible compensar y obtener buenos resultados utilizando un tamaño muestral mucho más grande? C álculo de valores crí ticos. En los ejercicios 5 a 8, encuentre el valor cr í tico za>2 que corresponda al nivel de confianza dado. 5. 95%
6. 96%
7. 92%
8. 99%
Verificaci ó n de requisitos y c álculo del margen de error. En los e jercic ios 9 a 12, calcule el margen de error E 5 z>2> n, si se satisfacen los requisitos necesarios. Si estos requisitos no se satisfacen, determine que el margen de error no puede calcularse por medio de los mé todos de esta sección. 9. El nivel de confianza es del 95%, el tamaño muestral es n 100 y s 15. 10. El nivel de confianza es del 95%, el tamaño muestral es n 9 y se desconoce s. 11. El nivel de confianza es del 99%, el tamaño muestral es n 9, s 15 y la población original está distribuida normalmente. 12. El nivel de confianza es de 99%, el tamaño muestral es n población original está distribuida normalmente.
12, se desconoce s y la
C álculo de un intervalo de confianza. En los ejercicios 13 a 16, utilice el intervalo de confianza y los datos muestrales indicados para calcular un intervalo de confianza para estimar la media poblacional m. 13. Salarios de graduados universitarios que tomaron un curso de estadí stica en la universidad: confianza del 95%; n 41, x $67,200, y se sabe que s es $18,277. 14. Las velocidades de conductores multados en una zona con lí mite de velocidad de 55 mi>h: confianza del 95%; n 90, x 66.2 mi>h, y se sabe que s es 3.4 mi>h. 15. Calificaciones de crédito de FICO (Fair, Isacc and Company) de solicitantes de tarjetas de crédito: confianza del 99%: n 70, x 688 y se sabe que s es 68. 16. Cantidades perdidas por jugadores que tomaron un autobús a un casino de Atlantic City: confianza del 99%; n 40, x $189 y se sabe que s es $87.
C álculo del tama ñ o muestral. En los ejercicios 17 a 20, use el margen de error, el nivel de confianza y la desviación est ándar poblacional s indicados para calcular el tamaño de muestra mí nimo requerido para estimar una media poblacional m desconocida. 17. Margen de error: 0.5 pulgadas, nivel de confianza: 95%, s 2.5 pulgadas. 18. Margen de error: 0.25 segundos, nivel de confianza: 99%, s 5.4 segundos. 19. Margen de error: $1, nivel de confianza: 90%, s $12. 20. Margen de error: 1.5 mm, nivel de confianza: 95%, s 8.7 mm.
7-3
Estimación de una media de población:
Interpretaci ó n de resultados. En los ejercicios 21 a 24, remí tase a los resultados de Minitab que se presentan abajo, sobre un intervalo de confianza del 95% generado con los mé todos de esta sección. Los resultados muestrales provienen del uso de una muestra aleatoria de las velocidades de conductores multados en una sección de la carretera interestatal 95, en Connecticut. MINITAB
Variable Speed
N
Mean
81 67.3849
StDev
SE Mean
95% CI
3.3498
0.3722
(66.6554, 68.1144)
21. Identifique el valor del estimado puntual de la media poblacional m. 22. Exprese el intervalo de confianza en el formato de x 2 E ,
m , x 1 E .
23. Exprese el intervalo de confianza en el formato de x 6 E . 24. Escriba una afirmación que interprete el intervalo de confianza del 95%. 25. Tiempo para obtener un tí tulo de licenciatura. En un estudio sobre el tiempo que un estudiante requiere para obtener un tí tulo universitario, se selecciona al azar a 80 estudiantes y se descubre que tienen una media de 4.8 años (según datos del National Center for Education Statistics). Suponiendo que s 2.2 años, construya un estimado de un intervalo de confianza de la media poblacional. ¿El intervalo de confianza resultante contradice el hecho de que el 39% de los estudiantes obtienen su tít ulo universitario en cuatro años? 26. Edades de motociclistas muertos en accidentes. Un estudio de las edades de motociclistas muertos en accidentes incluye la selección aleatoria de 150 conductores con una media de 37.1 años (según datos del Insurance Institute for Highway Safety). Suponiendo que s 12.0 años, construya un estimado de un intervalo de confianza del 99% de la media de la edad de todos los motociclistas muertos en accidentes. Si los íl- mites del intervalo de confianza no incluyen edades menores de 20 años, ¿eso significa que los motociclistas menores de 20 años rara vez mueren en accidentes? 27. Percepción del tiempo. Alumnos del autor, seleccionados al azar, participaron en un
experimento con el fin de poner a prueba su habilidad para determinar el transcurso de 1 minuto (o 60 segundos). Cuarenta estudiantes produjeron una media muestral de 58.3 segundos. Suponiendo que s 9.5 segundos, construya un estimado de un intervalo de confianza del 95% de la media poblacional de todos los estudiantes de estadí stica. Con base en el resultado, ¿es probable que sus estimados tengan una media que se acerque razonablemente a 60 segundos? 28. Niveles de cotinina en fumadores. Cuando las personas fuman, la nicotina que ab-
sorben se convierte en cotinina, la cual puede medirse. Una muestra de 40 fumadores tiene una media del nivel de cotinina de 172.5. Suponga que se sabe que s es 119.5, calcule un estimado del intervalo de confianza del 90% de la media del nivel de cotinina para todos los fumadores. ¿Qué aspecto de este problema no es realista? 29. Niveles de presión sanguí nea. Cuando 14 estudiantes de segundo año de medicina del Bellevue Hospital midieron la presión sanguí nea de la misma persona, obtuvieron los resultados que se listan abajo. Suponiendo que se sabe que la desviación estándar
poblacional es de 10 mmHg, construya un estimado de un intervalo de confianza del 95% de la media poblacional. De manera ideal, ¿cuál debe ser el intervalo de confianza en esta situación? 138 130 135 140 120 125 120 130 130 144 143 140 130 150 30. El mamí fero más pequeño del mundo. El mamí fero más pequeño del mundo es el murciélago abejorro, también conocido como murciélago nariz de cochino (o Craseonycteris thonglongyai). Estos animales apenas alcanzan el tamaño de un abejorro grande. A continuación se listan los pesos (en gramos) de una muestra de estos murciélagos. Suponiendo que los pesos de todos estos murciélagos tienen una desviación
s
conocida
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Estimaciones y tamaños de muestra
estándar de 0.30 gramos, construya un estimado de un intervalo de confianza del 95% de su peso medio. Utilice el intervalo de confianza para determinar si esta muestra de murciélagos proviene de la misma población con una media conocida de 1.8 gramos. 1.7 1.6 1.5 2.0 2.3 1.6 1.6 1.8 1.5 1.7 2.2 1.4 1.6 1.6 1.6 31. Pesos de monedas de 25 centavos del apéndice B. Utilice los pesos de las monedas de 25 centavos, acuñadas después de 1964, que se incluyen en el conjunto de datos 14 del apéndice B. Suponiendo que las monedas se acuñan de tal manera que tienen pesos con una desviación estándar poblacional de 0.068 gramos, utilice la muestra de pesos para
construir un estimado del intervalo de confianza del 99% del peso medio. Las especificaciones en Estados Unidos exigen que las monedas pesen entre 5.443 gramos y 5.897 gramos. ¿Qué sugiere el intervalo de confianza acerca del proceso de fabricación? 32. Errores de pronóstico del apéndice B. Remí tase al conjunto de datos 8 del apéndice B y reste cada temperatura máxima real de la temperatura máxima que se pronosticó un dí a antes. El resultado es una lista de errores. Suponiendo que todos los errores tienen una desviación estándar de 2.5°, construya un estimado del intervalo de confianza del 95% para la media de todos estos errores. ¿Qué sugiere el resultado acerca de la
exactitud de las temperaturas pronosticadas? C álculo del tama ñ o de muestra. En los ejercicios 33 a 38, calcule el tamaño de muestra indicado. 33. Tamaño muestral para la media del CI de estudiantes de estadí stica. La prueba Weschler de CI está diseñada de tal forma que, para la población de adultos normales, la media es 100 y la desviación estándar es 15. Calcule el tamaño muestral necesario para estimar la media de la puntuación de CI de estudiantes de estadí stica. Queremos tener una confianza del 95% de que nuestra media muestral está dentro de dos puntos de CI de la media real. La media para esta población es claramente mayor que 100. Tal vez la desviación estándar de esta población es menor que 15, porque se trata de un grupo con menor variación que un grupo seleccionado al azar de la población
general; por lo tanto, si usamos s 15, estamos siendo conservadores al emplear un valor que hará que el tamaño de la muestra sea al menos tan grande como se necesite. Suponga entonces que s 15 y determine el tamaño de muestra requerido. 34. Tamaño muestral de pesos de monedas de 25 centavos. La Tyco Video Game Corporation encontró que está perdiendo ingresos por las fichas que se usan en sus juegos de video. Las máquinas deben ser ajustadas para aceptar monedas sólo si caen dentro de lí mites prefijados. Para ajustar estos lí mites, debe estimarse la media del peso de monedas de un cuarto de dólar en circulación. Se pesará una muestra de monedas de un cuarto de dólar para determinar la media. ¿Cuántas monedas de un cuarto de dólar debemos selec-
cionar al azar y pesar si queremos tener un nivel de confianza del 99% de que la media muestral está dentro de 0.025 g de la media real de la población de todas las monedas de un cuarto de dólar? Con base en los resultados de una muestra de monedas de un cuarto de dólar, podemos estimar que la desviación estándar de la población es 0.068 g. 35. Tamaño muestral para la dieta Atkins. Usted desea estimar la pérdida media de peso de las personas, un año después de utilizar la dieta Atkins. ¿Cuántas personas sometidas
a la dieta se deben encuestar si deseamos tener una confianza del 95% de que la media muestral de la pérdida de peso está dentro de 0.25 lb de la media poblacional real? Suponga que sabemos que la desviación estándar poblacional es de 10.6 lb (según datos de “Comparison of the Atkins, Ornish, Weight Watchers and Zone Diets for Weight Loss and Heart Disase Risk Reduction”, de Dansinger et al., Journal of the American Medical Association, vol. 293, núm. 1). 36. Tamaño muestral de uso de la televisión. Nielsen Media Research desea estimar
la media de la cantidad de tiempo (en minutos) que los alumnos universitarios que estudian tiempo completo dedican a ver la televisión cada dí a de la semana. Calcule el tamaño muestral necesario para estimar esta media con un margen de error de 15 minutos. Suponga que se desea un nivel de confianza del 96%. También suponga que un estudio piloto indicó que la desviación estándar se estima en 112.2 min.
7-4
Estimación a de la media poblacional:
37. Tamaño muestral utilizando la regla práctica del intervalo. Usted acaba de ser contratado por la división de marketing de General Motors para estimar la media de la cantidad de dinero que se gasta actualmente en la compra de automóviles nuevos en Estados Unidos. Primero use la regla práctica del intervalo para hacer un estimado burdo de la desviación estándar de las cantidades gastadas. Es razonable suponer que el rango típ ico de cantidades va desde $12,000 hasta alrededor de $70,000. Luego use esa desviación estándar estimada para determinar el tamaño muestral que corresponde a un nivel de confianza del 95% y a un margen de error de $100.¿Es práctico el tamaño muestral? Si no es así , ¿qué se debe cambiar para obtener un tamaño muestral práctico? 38. Tamaño muestral utilizando datos muestrales. Usted quiere estimar la media del pulso de adultos varones. Remí tase al conjunto de datos 1 en el apéndice B y calcule el pulso máximo y mí nimo para varones, luego utilice estos valores con la regla práctica del intervalo para estimar s. ¿Cuántos adultos varones debe usted seleccionar al azar y exa-
minar si quiere tener un nivel de confianza del 95% de que la media muestral del pulso está dentro de 2 latidos (por minuto) de la media poblacional m real? Si en vez de usar la regla práctica del intervalo se emplea la desviación estándar de los pulsos de varones del conjunto de datos 1 como un estimado de s, ¿es muy diferente el tamaño muestral requerido? ¿Qué tamaño muestral parece estar más cerca del tamaño muestral correcto?
7-3 MÁS ALLÁ DE LO BÁSICO 39. Intervalo de confianza con factor de corrección por población finita. El error esn, siempre y cuando el tamaño de la población sea infinito. tándar de la media es s> Si el tamaño de la población es finito y se denota como N , entonces el factor de corrección ! s N 2 nd > s N 2 1d debe usarse siempre y cuando n 0.05 N . Este factor de corrección multiplica el margen de error E dado en la f órmula 7-4, de manera que
el margen de error es como se indica abajo. Calcule el intervalo de confianza del 95% para la media de 250 puntuaciones de CI, si una muestra de 35 de esas puntuaciones produce una media de 110. Suponga que s 15. E 5 za>2
2 B
N 2 n
s
n
N 2 1
40. Tamaño muestral con factor de corrección por población finita. En la f órmula 7-4 para el margen de error E , suponemos que la población es infinita, que estamos realizando un muestreo con reemplazo, o que la población es muy grande. Si tenemos una población relativamente pequeña y hacemos el muestreo sin reemplazo, debemos modificar E para incluir un factor de corrección por población finita, para que el margen de error sea como el que se indica en el ejercicio 39, donde N es el tamaño de la población. En esta expresión del margen de error se despeja n para obtener n
5
N s2 s za>2d2
s N 2 1d E 2
2
1 s
s za>2d2
Repita el ejercicio 33, suponiendo que los estudiantes de estadí stica se seleccionan al azar y sin reemplazo, de una población de N 200 estudiantes de estadí stica.
Estimación de la media 7-4 poblacional: s desconocida Concepto clave En esta sección se presentan métodos para construir un estimado del intervalo de confianza de una media poblacional cuando no se conoce la desviación estándar. (En la sección 7-3 se presentaron métodos para estimar m cuando se conoce s). Cuando se desconoce s, se utiliza la distribución t de Student (en vez de la distribución normal), suponiendo que ciertos requisitos (los cuales se señalan aba jo) se satisfacen. Como generalmente se desconoce s en circunstancias reales, los métodos de esta sección son muy realistas y prácticos, y se utilizan con frecuencia.
s
desconocida
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