EJERCICIOS CAPITULO 2 TEORIA DE COLAS Nestor Fabian Delgado Poveda – Cod 20161093006 – Fundamentos de teletrafico – Es! "eleinform#tica – $niversidad Distrital Francisco %ose de Caldas
k e$e%ts
emítase e a la fgura fgura 2.3. 2.3. Calcú Calcúles lese e la pr!a pr!a!"l !"l"#a "#a# # #e 2.1 Remítas "%#e "%#epe pe%# %#"e "e%t %tes es e% ls ls
m
"%te "%ter$ r$al als s #e #ura #urac" c"&% &%
∆ t
u%"#a#es u%"#a#es #e
t"emp t"emp'' s" la pr!a pr!a!"l !"l"#a "#a# # #e u% e$e%t e$e%t e% cual(u cual(u"er "er "%ter$a "%ter$al l es m"e%tras (ue la pr!a!"l"#a# #e % e$e%ts es
p '
q =1− p . )u*strese c&m
se !t"e%e !t"e%e la #"str"!uc"&% #"str"!uc"&% !"%m"al #e #e la ecuac"&% +2.,-. p ' pr!a!"l"#a# #e u% e$e%t e% cual(u"er "%ter$al. q =1− p ' pr!a!"l"#a# #e e$e%ts.
/- Selecc Selecc"% "%ar arem ems s m
k eleme%ts e%tre
m ps"!les.
()
C k =
m! m kVm = = k k! ( m−k ) ! k !
2- La pr!a!"l pr!a!"l"#a# "#a# #e u% e$e%t e$e%t e% cual(u"er cual(u"er "%ter$a "%ter$al l ser0 pr pr!a! !a!"l"# "l"#a a# #e
k
p ' 1ra la
e$e% e$e%t ts s e% cual cual(u (u"e "err "%te "%ter$ r$al al serp serpa a la
pr!a!"l"#a# (ue curra e% u% "%ter$al' pr la pr!a!"l"#a# (ue el e$e%t % curra e% ls #em0s "%ter$als.
k
P= p q
m− k
La pr!a!"l"#a# #e p ( k ) =
k e$e%ts "%#epe%#"e%tes estar0 #a#a pr
m! k m − k p q ( m −k ) ! k !
E% el pr!lem lema 2./' sea p 456t' #%#e 4 es u% 7actr #e prpr prprc"%a c"%al"#a# l"#a#.. Est relac" relac"%a %a e%t%ces e%t%ces la #"str"!uc"& #"str"!uc"&% % !"%m"al !"%m"al c% el prces #e P"ss%. Sea 6t 89' c% T m6:t 7";. )u*strese (ue e% el lím"te se !t"e%e la #"str"!uc"&% #e P"ss% #e la ecuac"&% +2./-. )u*strese (ue el $alr me#" E+<- = la $ar"a%>a s% "guales a 45t ?Cu0l es la pr!a!"l"#a# #e (ue % curra algu%a llega#a e% el "%ter$al T@ ra7í(uese *sta cm u%a 7u%c"&% #e T. Repítase para la pr!a!"l"#a# #e (ue curra al me%s u%a llega#a #e T. T. 2.2
E% el pr!lem lema 2./' sea p 456t' #%#e 4 es u% 7actr #e prpr prprc"%a c"%al"#a# l"#a#.. Est relac" relac"%a %a e%t%ces e%t%ces la #"str"!uc"& #"str"!uc"&% % !"%m"al !"%m"al c% el prces #e P"ss%. Sea 6t 89' c% T m6:t 7";. )u*strese (ue e% el lím"te se !t"e%e la #"str"!uc"&% #e P"ss% #e la ecuac"&% +2./-. )u*strese (ue el $alr me#" E+<- = la $ar"a%>a s% "guales a 45t ?Cu0l es la pr!a!"l"#a# #e (ue % curra algu%a llega#a e% el "%ter$al T@ ra7í(uese *sta cm u%a 7u%c"&% #e T. Repítase para la pr!a!"l"#a# #e (ue curra al me%s u%a llega#a #e T. T. 2.2
2.3 Calculese
y grafiquese la distribución de Poisson dad por la ecuación 2.1 para los tres casos: 0.1 , 1 , 10 en el tercer caso trate de calcular y graficar para al menos K = 20
λT
Ecuación: k
( λT ) ⋅ e
P( k )
− λT
K !
Para λT
k
1 ( λT 1) ⋅ e
1 := 0.1
k 1 := 5
− λT 1
9'992 k 1!
= 7.54 ×
9'99/ Para λT := 1 2 k − λT 2 9'99/
2 ( λT 2) ⋅ e
= 1.014 ×
k 2!
−8
10
k 2 := 10
−7
Ser"es/
10
9'999 Para λT
3 := 10
k 3 := 20
9 B2 k
3 ( λT 3) ⋅ e
− 9λT 3
B9'999 rafica k 3!
2
= 1.866 ×
,
−3
10
/9
/2
2.4 Lle$ese a ca! ls #etalles #el a%0l"s"s (ue #a% cm resulta# las
ecuac"%es +2./9- = +2.//-' mstra%# (ue la suma #e prcess #e P"ss% es tam!"*% #e P"ss%.
[
]
P N ( t 1 + ∆ t )=1 = λ ∆ t + 0 ( ∆ t )
Te%"e%# 2 prcess #e P"ss%.
{ N 1 ( t , t + ∆ t ) ≥ 0 } = { N 2 ( t , t + ∆ t ) ≥ 0 } Se t"e%e
{( N 1 + N 2 ) ( t , t + ∆ t ) ≥ 0 }
A1ra N ( x , ∆ t ) así
para
eFpresa la #"7ere%c"a e%tre
cual(u"er
$alr
e%
ls
t"emps
( T 1 > ∆ t 1 ,T 2 > ∆ t 2 ,… .. , T n > ∆ t n ) se eFpresa cm N 1+ N 2
¿ ¿ N 1+ N 2 ¿ ¿ N 1+ N 2 ¿ ¿ ¿
( N [
1 0, ∆ t 1
( N [
) (
] =0 ∩ N 2[ 0, ∆ t ]=0
1 T 1 ,T 1+ ∆ t 2
1
) (
)
]=0 ∩ N 2[ T ,T +∆ t ]=0 1
1
2
) . .
N x − N t para ∆ t 1 , … . ∆ t n
0≤x≤∆t '
el
e$e%t
( N [
1 T n − 1 ,T n− 1+ ∆ t n
) (
]=0 ∩ N 2[ T − , T − +∆t ] = 0 n 1
n 1
n
)
Se t"e%e −( λ 1+ λ2) ∆ t 1
P ( T 1 > ∆ t 1 ,T 2> ∆ t 2 , … .. ,T n > ∆ t n )= e
+ e−( λ + λ ) ∆t + …+ e−( λ + λ ) ∆ t 1
2
2
1
2
n
2.5 Remítase a la ecuac"&% #epe%#"e%te #el t"emp +2./2a- (ue g!"er%a la
perac"&% #e la cla )G)G/. I%íc"ese e% el t"emp t9 c% la cla $acía +?Cu0les s% e%t%ces ls $alres #e p%+9-@-. H0gase 4G9. para s"mpl"7"car' t&mese 6t / = esc&;ase u% 46t = u% 6t mu= pe(ueas #e ma%era (ue pue#a% "g%rase t*rm"%s #e r#e% 6tK2 = ma=res. Escrí!ase u% prgrama (ue recurs"$ame%te calcule P%+t6tc%7rme t aume%ta pr 6t = mu*strese (ue p%+t- 7"%alme%te cae e% el c%;u%t #e pr!a!"l"#a#es #e esta# estac"%ar" p%' t&mese el $alr m0F"m #e % cm . El c%;u%t #e pr!a!"l"#a#es #e esta# estac"%ar" !te%"# #e!er0 c%cr#ar c% la ecuac"&% +2.29-. ta La ecuac"&% +2./2a#e!e m#"7"carse u% pc al calcular p9+t6t- = p+t6t-. Tal $e> se (u"era pla%tear el pr!lema e% 7rma #e matr">B$ectr. Sluc"&% Real">a%# "terac"%es e% la ecuac"&%' se muestra% ls resulta#s e% la s"gu"e%te ta!la
La ult"ma clum%a $er"fca%# la sumatr"a #e t#as las pr!a!"l"#a#es a1ra s" calculams las pr!a!"l"#a#es c% la ecuac"%es 2.29 %s #a
Masta%te cerca% a l !te%"# e% la ta!la.
2.6 !eri"ese
la ecuación que gobierna las probabilidades de estado estacionario de la cola #$#$1.
Partiendo de:
Pn( t + ∆t )
Pn ( t) ( 1 − λ∆t + 0∆t ) ( 1 − µ∆t − 0∆t ) + Pn( t) ( λ∆t + 0∆t ) + ( µ∆t + 0∆t )
Pn
+ 1( t) ( 1 − µ∆t + 0⋅ ∆t ) ( µ∆t + 0∆t ) + Pn − 1(t) ( λ∆t + 0∆t ) ( 1 − µ∆t + 0∆t ) + 0∆t ( ∆t )
%grupando terminos similares y dado que
Pn( t + ∆t )
2
0∆t
&se tiene:
Pn ( t) ( 1 − λ∆t − µ∆t ) + [ Pn + 1( t) ( µ∆t ) + Pn − 1( t) ( λ∆t ) + 0∆t ]
( 1)
Para n = 0& se tiene: P0( t + ∆t )
P0( t) ( 1 − λ∆t ) + [P1( t) ( µ∆t ) + 0∆t ]
( 2)
'omando 1 y 2 como el sistema de ecuaciones en diferencia se tiene: Pn( t + ∆t ) − Pn ( t)
−( λ + µ ) Pn( t) ∆t + µPn + 1( t) ∆t + λPn − 1( t) ∆t + 0∆t
!i"iendieno por (t y aplicando
lim
∆t → dPn( t) dt dP0( t) dt
( Expresión ) 0
−( λ + µ ) Pn( t) + µPn + 1( t) + λPn − 1( t)
para
n
≥1
−λP0 ( t) + µP1( t)
El sistema alcan)a un estado estacionario cuando
0
−( λ + µ ) Pn(t) + µPn + 1( t) + λPn − 1(t)
0
−λP0 ( t) + µP1 ( t)
t *+ 唴 por lo cual se tiene:
para
n
≥1
!e modo que: Pn + 1
P1
λ µ
λ+µ µ ⋅ P0
⋅ Pn −
λ µ
⋅ Pn − 1
para
n ≥1
2.7 Cm u%a ge%eral">ac"&% #el a%0l"s"s #e la cla )G)G/' c%s"#*rese u%
prces #e %ac"m"e%t B muerte c% llega#as #epe%#"e%tes #e esta# λn = sal"#as #epe%#"e%tes #e esta#
μn . )u*strese' apl"ca%# argume%ts
#e !ala%ce' (ue la ecuac"&% (ue g!"er%as las pr!a!"l"#a#es #e esta# estac"%ar" est0 #a#a pr
( λ n+ μ n ) pn = λn− p n− + μ n− pn− 1
1
1
1
N*ase +Ec.+2.3-- )u*strese (ue la sluc"&% a esta ecuac"&% est0 #a#a pr la ecuac"&% +2.,9Pr me#" #e ecuac"%es #e !ala%ce
Esta# 9 /
μ2 p2 + λ 0 p0 =( μ1 + λ 1) P 1
2
μ2 p2 + λ 1 p1=( μ2 + λ2 ) P2
%
μn− 2 pn−2 + λ n pn =( μn −1 + λ n−1) P n− 1
%B/
!-
μ1 p1 = λ0 p 0
λ0 P1= P0 μ 1
μ2 p2 + λ 0 p0 = μ1 p1 + λ 1 p1 μ2 p2 = λ1 p1 λ1 λ1 λ0 P2= P1= P μ 2 μ 2 μ1 0
μ3 p3 + λ1 p1= μ 2 p2 + λ2 p2 μ3 p3 = λ2 p 2
Tasa e%tra#a Tasa #e llega#as μ1 p1 = λ0 p 0
μn− 1 pn −1 + λ n+1 p n+1=( μn + λn ) P n
λ 2 λ 2 λ1 λ0 P3= P2= P μ3 μ3 μ 2 μ1 0 λn−1 … … … .. λ 0 Pn= P0 μ n … … … μ1 n −1
Pn=
λ ∏ =
i
μ ∏ =
i
i 0 n
P 0
i 1
n−1
P n P0
=
λ ∏ =
i
μ ∏ =
i
i 0 n
i 1
2.8 C%s"#*rese el a%0l"s"s #e la cla )G)G/. )u*strese (ue la pr!a!"l"#a#
#e esta# estac"%ar"' pn ' est0 #a#a pr.
n
pn= ρ p0
λ ρ= μ
De #s ma%eras. 1. )u*strese (ue esta sluc"&% para
ρ
n
sat"s7ace la ecuac"&% +2./-'
(ue g!"er%a la perac"&% #e la cla
( λ + μ ) pn= λ p n−1 + μ pn+ 1 n− 1
()
( λ + μ ) pn= λ λ μ
n+1
()
λ p + μ μ 0
p
( ) ( ( ) ( ))
( λ + μ ) pn= p0 λ μ
n
λ
()
n
μ λ + μ λ μ
( λ + μ ) pn= p0 λ ( λ + μ ) μ
()
λ pn= p0 μ
n
0
n ≥1
2. )u*strese (ue la ecuac"&% #e !ala%ce
λ pn= μ pn +1
n
pn+1= ρ p0
sat"s7ace la ecuac"&% 2./. It*rese e%t%ces % $eces. Esta# /
Tasa e%tra#a Tasa #e llega#as μ p 1= λ p 0
2
μ p 2+ λ p 0=( μ + λ ) P1
3
μ p 2+ λ p 1=( μ + λ ) P2
%B/
μ p n−2+ λ p n=( μ + λ ) Pn−1
%
μ p n− 1+ λ p n+ 1=( μ + λ )¿ Pn
2.9 )ustrese (ue la pr!a!"l"#a# #e !l(ue PM para #e la cla )G)G/
f%"ta est #a#a pr me#"a%te la "gualac"Q% #e la tasa %eta #e llega#a a la tasa prme#" #e sal"#a = resl$"e%# para PM.
P
P!
ρ ⋅ ( 1 − ρ) 1
γ γ
+ 1
−ρ
µ ⋅ ( 1 − P0)
µ [x − (x − ρ) ]
λ
Para un sistema M/M/1
µρ
,
2.10 C%s"#*rese u%a cla )G)G/ f%"ta capa> #e acm#ar pa(uetes
+usuar"s-. Calcúlese ls $alres #e re(uer"#s para −3
PB =( 1− ρ ) ρ
N
PB
( 1 − ρ ) ln
= ρ N
PB
(1 − ρ ) ln
N =
= N ln ( ρ)
PB
(1 − ρ ) ln ( ρ) −3
ρ= 0,5 ; P B= 10
−3
ln
N =
10
(1 −0,5 ) ln ( 0,5)
N =8,96 −6
ρ= 0,5 ; P B= 10 −6
ln
N =
−6
ρ= 0,5 ; P B= 10 , 10
a-
10
(1 −0,5 ) ln ( 0,5)
N =18,93
−3
ρ= 0,8 ; P B=10
!-
−3
10
ln
N =
(1 −0,8 ) ln ( 0,8)
N =23,74
−6
ρ= 0,8 ; P B= 10
c-
−6
10
ln
N =
(1 −0,8 ) ln ( 0,8)
N =54,7
Para am!s cass se !ser$a (ue el aume%t #e tr0fc
ρ ' cm la
#"sm"%uc"&% #e la pr!a!"l"#a# #e !l(ue' perm"te u% aume%t #e la ca%t"#a# #e usuar"s. S"% em!arg la #"sm"%uc"&% #e la pr!a!"l"#a# #e !l(ue perm"te u% ma=r gra# #e aume%t #e ls pa(uetes ' (ue el aume%t #e tr0fc ρ .
2.11 La pr!a!"l"#a#
pn #e (ue u%a cla "%f%"ta )G)G/ se 1alle e% esta#
% est0 #a#a pr pn=( 1− ρ ) p
n
λ ρ= μ
a- )u*strese (ue la cupac"&% prme#" #e la cla est0 #a#a pr
E ( n )=
∑ n p = 1−ρ ρ n
n
∞
E ( n )=
∑= n (1 − ρ ) ρ
n
n 0
∞
E ( n )=( 1 − ρ ) ρ
∑= n ρ −
n 1
n 1
d E ( n )=( 1 − ρ ) ρ dρ
∞
∑= ρ
n
n 1
( )
E ( n )=( 1 − ρ ) ρ
d ρ dρ 1− ρ
E ( n )=( 1 − ρ ) ρ
[
E ( n )=( 1 − ρ ) ρ
E ( n )=
[ ] 1
( 1− ρ )
( 1− ρ )− ρ (−1 ) ( 1− ρ )2 1
( 1− ρ )2
]
!- raf(ue pn cm 7u%c"&% #e
c- ra7í(uese E ( n ) c%tra ρ .
n para ρ= 0.8
2.12 -a
ocupacin promedio del /rea de almacenamiento temporal de un multipleor estadstico o concentrador de datos3 se calcula por "arios casos. En un dispositi"o de este tipo los paquetes de entrada de las terminales conectadas a el se almacenan en orden de llegada en un /rea de almacenamiento termporal y despu4s se leen con una potlica de ser"icio 5 primero que llega& primero en ser atendido5 sobre un enlace de transmisin de salida.3 6e usar/ un modelo de /rea de almacenamiento infinita #$#$1 para representar el contrador. 13 !ie) terminales est7n conectadas al multicanali)ador estad8stico& cada una genera& en promedio& un paquete de 90 bits& que se suponen con distribución eponencial& cada ; s. 6e usa una l8nea salida de 2<00 bits$s. 23 epitase a>ora si cada terminal genera a>ora en promedio un paquete cada ? s. @3 epitase el punto 1 anterior si se conectan 1 terminales. <3 %>ora se encuentran conectadas <0 terminales y se usa una l8nea de salida de 900 bits$s. epitase 1 y 2 para este caso. %umAntese a>ora la longitud promedio del paquete a 100 bits. BCu7l es la ocupación promedio del area de almacenamiento temporal si se genera un paquete cada ; s en cada terminal B DuA pasar8a si se permite a cada terminal aumentar su tasa de generación de paquetes a 1 por cada ? s en promedio 6ugerencia seria apropiado usar un modelo de cola #$#$1 finita deando a la propia elección el tamaFo del 7rea de almacenamiento temporal3.
23 6i cada terminal genera 1 paquete cada ? segundos:
λ := ρ :=
10 5 2 2.5
→2
'erminales$ 6eg → 0.8
2.13 C%s"#*rese la cla )G)G/ f%"ta f%"ta c% capac"#a# m0F"ma
1
a- )u*strese (ue la pr!a!"l"#a# #e !(ue es PB = N + 1 para ρ =1
( 1 − ρ ) ρn PB = n+ 1 1− ρ N N + 1 ( 1− ρ ) ρn ρ − ρ = lim lim n +1 N + 1 ρ 1 1− ρ ρ 1 1− ρ
Apl"ca%# l1p"tal N − 1
lim
Nρ
ρ 1
−( N + 1 ) ρ N −( N + 1 ) ρ
Reempla>a%# ρ=1 N − N −1 ρ 1 − N − 1 lim
PB =
PB =
−1 −( N + 1) 1
( N + 1)
2.14 Remítase al pr!lema 2./2. E%cu*%trese el retar# me#"
t"emp prme#" #e espera E ( ) e% ca#a cas. Para el cas / 1
E ( T ) =
2.5 p"q#ete$ =0,8 1 −0,5
E ( T ) =2 E ( % )= 1
μ
Para el cas 3 1
E ( T ) =
2.5 p"q#ete$ =0,2 1 −0,8
E ( T ) =5 E ( % )= 1 2,5
Para el cas , 1
E ( T ) =
6 p"q#ete$ =0,9803 1 −0,83
E ( T ) =5,8 E ( % )= 1
μ
E ( T ) = el
2.19 C%s"#*rese u%a cla c% u% prces ge%eral #e sal"#a +ser$"c"-
#epe%#"e%te #e esta# μ . N
a- EFplí(uese pr(ue el re%#"m"e%t prme#" est0 #a# pr
& =
μ p ∑ = n
.
n
n 1
Part"e%# #e & = μ ( 1 − P0)
D%#e P0 es la pr!a!"l"#a# #e usuar"s e% el s"stema' es #ec"r Pn ser0 la pr!a!"l"#a# #e
n usuar"s e% el s"stema te%"e%# u% re%#"m"e%t
& = μ pn
Te%"e%# (ue para ser$"#res se t"e%e u%a tasa #e ate%c"&% #e
μn
#epe%#"e%te #e la ca%t"#a# #e usuar"s e% el s"stema = e% cla' pr l ta%t el re%#"m"e%t prme#" p#r0 eFpresarse a part"r #e la suma #el re%#"m"e%t pr ca#a me%sa;e
& = μ1 p 1+ μ 2 p2 + μ3 p 3+ . . . . . . . + μn p n N
& =
μ p . ∑ = n
n
n 1
μn= μ '
!- T&mese el cas espec"al #e la cla )G)G2' n ≥2 .
)u*strese
;ustame%te
& = λ ' s"
& = μ p1 + 2 μ ( 1− p0− p1 ) .
(ue p1 =
)u*strese
μn=2 μ '
(ue
es
p0 se calcula% #e ma%era eFplíc"ta usa%#
la ecuac"&% +2.,/-.
N
& =
n =1
N
μ p = μ p +∑ μ p ∑ = = n
n
1
n
1
n 1
n 2
N
& = p1 + 2 μ
∑= p n 2
& = p1 + 2 μ p2
n
n
& = μ p1 + 2 μ ( 1− p0− p1 )
Calcula%# p1 = p0 #e ma%era eFplíc"ta usa%# la ecuac"&% +2.,/-. & = μ p1 + 2 μ ( 1− p0− p1 ) & = μ ( p1 + 2 −2 p0 −2 p1 ) & = μ ( 2 −2 p 0− p1)
(
p 1 & =2 μ 1− p 0−
(
2
& =2 μ 1−
)
1− ρ ( 1− ρ ) ρ − 1 + ρ 1 + ρ
(
)
( 1+ ρ ) −( 1 − ρ2 )− ρ ( 1− ρ 2 ) & =2 μ ( 1+ ρ )2 & =2 μ (
2
−1 + ρ2 + ρ3 ) ( 1 + ρ )2
1+ 2 ρ + ρ
2
2 μ ( ρ + 2 ρ + ρ 2
& =
& =2 μρ
)
3
)
( 1 + ρ )2
(+
1 + 2 ρ + ρ
2
1 2 ρ + ρ
2
) λ & =2 μρ ρ= 2 μ & = λ
2.21 %l
super computador de una central de usuarios llegan segGn una distribución de Poisson de ? usuarios cada >ora. 6abiendo que estos consumen un tiempo de cumputo aleatorio cuya distribución puede suponerse eponencial de media 1$ de >ora y considerando que la disciplina de ser"icio es PEP6& determinar:
%3 El trafico, el nGmero promedio de usuarios en el sistema y en cola& el tiempo promedio en el sistema y en cola& el desempeFo del sistema. H3BDue porcentae de usuarios llega al sistema y lo encuentra desocupado C3 6i en el 7rea de almacenamiento temporal >ay < usuarios BCu7l es la probabilidad de que un usuario que llega al 7rea tenga que esperar
2.24 6e transmiten sobre una red de datos 2 tipos de paquetes. -os de tipo 1& paquetes de control& todos de <; bits de longitud, los de tipo 2& paquetes de datos de 900 b$s. -os paquetes de datos tienen una "arian)a
σ
2
.2
2
1
µ
2
2
1
2
6iendo µ la duración en segundos promedio del paquete. -os paquetes de control del tipo cosntituyen un 20L del trafico total. -a utili)ación global de tr7fico sobre un enlace de transmisión es M = 0.?. %3 6e usa una pol8tica de ser"icio PEP6. #uAstrese que el tiempo promedio de espera para ambos paquetes tipos de paquetes es EI3 = 1<; ms. H3 % los paquetes de control tipo 13 se les asigna prioridad sin interrupción. #uestrese que el tiempo de espera de estos paquete se reduce a EI13=J<&? ms. #ientras que el tiempo de espera de los paquetes de datos tipo 23 aumenta ligeramente a EI23=1<9 ms.